Mécanique des solides Les points du cours à connaître

physique année scolaire 2016/2017

Mécanique des solides

Les points du cours à connaîtremardi 27 septembre 2016

I- Rappels sur les systèmes de points matériels et les solides

1. Caractéristiques des systèmes de points matériels

Centre de masse (dénition)

Propriété du centre de masse (dénition)

2. Caractéristiques des solides

Solide (dénition)

Torseur cinématique d'un solide (loi de Varignon) : (dénition)

Puissance des actions intérieures exercées sur un solide : (dénition)

3. Dynamique des solides

Loi de la quantité de mouvement : (dénition)

Loi de l'énergie cinétique (dénition)

4. Cas du solide en translation

Puissance d'une force dans le cas d'un solide en translation (dénition)

Energie cinétique d'un solide en translation (dénition)

Vitesse de glissement : (dénition)

Propriétés de la vitesse de glissement : (dénition)

Lois de Coulomb du frottement solide (dénition)

5. Cas du solide en rotation autour d'un axe xe

Vitesses des points d'un solide en rotation par rapport à un axe xe (dénition)

Puissance d'une force dans le cas d'un solide en rotation par rapport à un axe xe (dénition)

Liaison pivot parfaite : (dénition)

Moment cinétique par rapport à l'axe de rotation d'un solide en rotation par rapport à unaxe xe (dénition)

Energie cinétique d'un solide en rotation par rapport à un axe xe (dénition)

spé PC page n 1 Janson de Sailly


II- Application à un véhicule à roue

1. Position du problème

2. Mouvement d'un véhicule à roues non motorisé

3. Mouvement d'un véhicule à roues motorisé



Techniques à maîtriserjeudi 29 septembre 2016

I- Capacités exigibles

1. Cinématique du solide

Reconnaître et décrire une translation rectiligne, une translation circulaire.Dans le cas d'une rotation autour d'un axe xe, décrire la trajectoire d'un point quelconque du solideet exprimer sa vitesse en fonction de sa distance à l'axe et de la vitesse angulaire.

ce qu'il faut savoir faire capacités

2. Dynamique du solide en translation

Exploiter les lois de Coulomb fournies dans le cas d'une mise en mouvement ou d'un freinage.Formuler une hypothèse (quant au glissement ou non) et la valider.Exprimer la condition de non-glissement des roues d'un véhicule.Appliquer la loi de la quantité de mouvement et la loi de l'énergie cinétique à un véhicule à roue.Expliquer qualitativement les rôles respectifs du moteur et des actions de contact exercées par la routeselon qu'on envisage un bilan énergétique global ou un bilan de quantité de mouvement global.


3. Dynamique du solide en rotation autour d'un axe xe

Relier la direction et le sens du vecteur moment cinétique aux caractéristiques du mouvement.Maîtriser le caractère algébrique du moment cinétique scalaire.Exploiter la relation pour le solide entre le moment cinétique scalaire, la vitesse angulaire de rotation etle moment d'inertie fourni.Relier qualitativement le moment d'inertie à la répartition des masses.Calculer le moment d'une force par rapport à un axe orienté en utilisant le bras de levier.Dénir un couple.Dénir une liaison pivot et justier le moment qu'elle peut produire.Reconnaître les cas de conservation du moment cinétique.Appliquer la loi du moment cinétique aux roues d'un véhicule en translation rectiligne uniforme, dansle référentiel du véhicule.


4. Statique du solide

Exploiter les lois de Coulomb fournies dans le cas d'un équilibre.




II- Méthodes


Quel que soit le couple de point M et N d'un solide, les vitesses de ces points ~vM et ~vN dans unréférentiel R suivent la relation :

~vM = ~vN + ~Ω ∧ −−→NM

A) Appliquer la relation de Varignon méthode

La vitesse de glissement du solide S1 par rapport à S2, si les deux solides sont en contact ponctuel enM , est :

~vgliss (S1/S2) = ~vM1∈S1/R − ~vM2∈S2/R

B) Calculer une vitesse de glissement méthode


On connaît la direction et le sens de la réaction normale : ~N , mais c'est plus compliqué avec la réactiontangentielle. Aussi, il vaut mieux utiliser des grandeurs algébriques qui sont les projections de ~T .

C) Réaction tangentielle en cas de non glissement méthode

Il faut d'abord caractériser le glissement :~vglis 6= ~0

pour connaître sa direction et son sens ~eglis (vecteur normé). On connaît alors la direction et le sens dela réaction tangentielle ~T :

~T = −µd.N.~eglis

D) Réaction tangentielle en cas de glissement méthode

On connaît la direction et le sens de la réaction normale : ~N , mais c'est plus compliqué avec la réactiontangentielle. Aussi, il vaut mieux utiliser des grandeurs algébriques qui sont les projections de ~T .La condition dynamique revient à écrire

‖~T‖ < µs‖ ~N‖

E) Condition dynamique de non glissement méthode

On peut utiliser le fait que le contact entre deux solides est perdu dès que la réaction normale de l'unsur l'autre s'annule :

~N = ~0 ⇒ perte de contact

F) Condition dynamique de contact méthode




Le moment d'une force ~F projeté sur l'axe Oz est MOz = ±F.d où d est le bras de levier de la droited'action (MOz > 0 si cela tend à faire tourner dans le sens trigonométrique, négatif sinon).

G) Calculer le moment d'une force grâce à la méthode du bras de levier méthode

Le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe de rotation Oz tout comme le théorème de lapuissance cinétique donne :

JOzdΩzdt

= MOz(ext)

On rappelle d'autre part que la liaison pivot étant supposée parfaite, la puissance de cette action estnulle.

H) Dynamique du solide en rotation par rapport à un axe xe méthode


Un solide Σ est immobile si tous les points matériels le composant sont immobiles :

~vM = ~0 ∀M ∈ Σ

D'après le torseur cinématique du solide, un solide Σ est immobile ssi

• un de ses points matériels le composant est immobile ∃A ∈ Σ tel que ~vA = ~0 ;

• son vecteur rotation est nul : ~ΩΣ = ~0.

I) Conditions cinématiques d'immobilité méthode



si un solide Σ est immobile alors, nécessairement ∑ ~F (ext) = ~0∑ ~MO (ext) = ~0

J) Conditions dynamiques d'immobilité méthode

III- Exercices


1.1) Astérix et Cléopâtre

y

xO

v

R

Obélix pousse à la vitesse v un bloc de pierre(assimilé à un parallélépipède rectangle) sur desrondins de bois (assimilés à des cylindres de rayonR) qui ne glissent ni sur le sol, ni sur la pierre.1) Quelle est la vitesse du centre de gravité desrondins, vO ?2) Quelle est leur vitesse angulaire Ω ?

1) ~vO = ~v2 .

2) Ω = vOR = v

2.R .

1.2) Principe du diérentiel

On va donner le principe d'un diérentiel de voiture, qui permet, dans un virage, aux deux roues motricesde tourner à des vitesses diérentes.

Un cylindre creux, d'axe Oz, de rayon R2, tourne à la vitesse angulaire ω2 d'une roue et un cylindre coaxial,de rayon R1, à la vitesse angulaire ω1 de l'autre.

On supposera R1 < R2.La synchonisation entre les deux roues se fait par l'intermédiaire d'un troisième cylindre de diamètre R2−R1,

tangent aux deux précedents : il est inclu dans le cylindre de rayon R2 et roule sans glisser (en fait il s'agit deroues dentées).

1) Ecrire les deux conditions de non glissement dans le repère cylindrique d'axe (Oz).2) En déduire, en fonction de R2, ω2, R1 et ω1 :

2.a) la vitesse angulaire ω3 du cylindre de rayon R3 = R2−R1

2 ;2.b) et la vitesse v3 de son centre C.

1) ~v(I1) = ω1.R1.~uθ et ~v(I2) = ω2.R2.~uθ.2) L

2.a) ω3 = ω2.R2−ω1.R1

R2−R1.

2.b) et v3 = ω2.R2+ω1.R1

2 .



1.3) Les roues des trains

e

O

e

α

θ

Un wagon d'un train roule à la vitesse v0. Lesrails sont écartés de la distance e. Les roues sontsolidairement reliées à un essieu qui tourne à lavitesse angulaire ω. Le wagon est lié au centre del'essieu. Dans tout le problème, on supposera queles roues du train ne glissent pas sur les rails.

1) La voie ferrée est rectiligne. Que vaut ω en fonction de v0 et r0, le rayon des roues ?2) Le train aborde maintenant un virage de rayon de courbure R (R e).

2.a) Exprimer la vitesse de la roue à l'extérieur du virage, v1 en fonction de e, R et v0.2.b) Exprimer la vitesse de la roue à l'intérieur du virage, v2 en fonction de e, R et v0.

3) Les roues des trains doivent avoir des rayons (r1 et r2) diérents !3.a) Exprimer r1

r2en fonction de e et R.

3.b) Proposer une solution technique pour que la dernière condition soit réalisée quelle que soit R (onse rappellera que les trains penchent dans les courbes).

4) Questions subsidiaires :4.a) Pourquoi le métro couine ?4.b) Comment ça marche pour les voitures ?

1) v0 = ω.r0.2)

2.a) v1 =(1 + e

2.R

).v0.

2.b) v2 =(1− e

2.R

).v0.

3)3.a) r1

r2≈ 1 + e

R 6= 1.3.b) Les trains on des roues coniques ! Ainsi, ils penchent dans les courbes.

4)4.a) Le métro couine car ses roues glissent dans les virages de faible rayon R de courbure.4.b) Les voitures ont des diérentiels pour assurer une vitesse diérente sur chaque roue.


2.4) L'échelle

On considère une échelle de longueur `0, appuyée le long d'un mur vertical (on y négligera le frottement) etposée sur un sol horizontal de coecient de frottement µ, faisant un angle α avec le sol. On modélise un hommequi grimpe sur cette échelle par une masse ponctuelle m posée sur une marche à une distance ` de l'extrémitébasse de l'échelle. On négligera le poids de l'échelle devant celle de l'homme.

1) Montrer que les conditions de non glissement de l'échelle aboutissent à : ` < `max. Que vaut `max enfonction de `0, µ et α ?

2) Comment être sûr de ne pas glisser en montant sur l'échelle ?

`max = `0.µ. tanα.

2.5) L'archet de violon

Un archet de violon de masse m, se déplace à vitesse constante ~v = v.~ex sur une corde située à l'abscissex (t).



La corde tendue à ses extrémités est soumise à une force de rappel ~F = −k.x (t) .~ex (k est proportionnelle àla tension de la corde) ainsi qu'à la réaction de l'archet (le coecient de frottement statique est noté µs et onsupposera que le coecient de frottement dynamique µd est rendu nul grâce au colophane.

A l'instant initial t = 0 la corde se trouve en position x (t) = 0.1) Montrer que lors d'une première phase l'archet entraîne avec lui la corde.2) A quelle date s'arrête cette phase ?3) Quelle est ensuite le mouvement de la corde ?

La phase s'arrête dès que t = µs.m.gk.v .

2.6) Le trampoline

On modélise un trampoline T par un ressort vertical OT de longueur à vide l0, de raideur k, xé à un pointO xe au sol.

Tous les mouvements se font suivant un axe vertical (Oz) dirigé vers le haut. On néglige toute force defrottement.

Un homme assimilé à un point matériel H de masse mH arrive à t = 0 sur le tapis avec une vitesse initiale~v = −v0.~uz.

1) L'homme décollera-t-il du trampoline ?

L'oscillateur repassera par la position d'origine et décollera pour z = l0.

2.7) Le looping au mini-golf

y

xO

g

1 2

R

Ω Ω

Pθ

On considère une gouttière hélicoïdale, d'axe ho-rizontal (suivant (Oz)), posée sur le sol en Ω1

et Ω2. Sa projection dans le plan vertical (x0y)((Oy) est vertical, vers le haut) est donc un cerclede centre O et de rayon R.Une balle de golf assimilée à un point matériel enP , de massem, entre dans la gouttière en Ω1 avecune vitesse initiale v0. On repère la position de Ppar l'angle θ que fait

−−→OP avec

−−→OΩ1.

Le contact de la balle sur la gouttière est supposésans frottement et on néglige la résistance de l'air.

1) On suppose tout d'abord que P reste toujours en contact avec la gouttière.1.a) Montrer que si v0 > v1 que l'on exprimera en fonction de g et R, la balle sort de la gouttière en Ω2.1.b) Si v0 < v1, montrer que la balle ressort de la gouttière en Ω1 après être montée jusqu'à une altitude

y1 que l'on exprimera en fonction de v0, g et R.2) Tant que P reste en contact avec la gouttière.

2.a) Exprimer la vitesse ~v dans le repère cylindrique d'axe (Oz).2.b) Exprimer l'accélération ~a dans le repère cylindrique d'axe (Oz).2.c) Exprimer la réaction N de la gouttière en fonction de θ, m, g et R.2.d) En déduire N en fonction de l'altitude y de P , de y1, m, g et R.

3) On ne suppose plus que P reste toujours en contact avec la gouttière.3.a) Exprimer, en fonction de y1, l'altitude y2 de P pour laquelle N s'annullerait.3.b) Montrer que si v0 > v2 que l'on exprimera en fonction de g et R, la balle reste en contact avec la

gouttière.3.c) Conclure sur le mouvement de la balle en fonction de v0.

1) P reste toujours en contact avec la gouttière.1.a) La balle sort de la gouttière en Ω2 si : v0 > v1 = 2.

√g.R.

1.b) y1 = −R+v202.g . Si v0 < v1, y1 < R, donc la balle ressort de la gouttière en Ω1 après être montée

jusqu'à l'altitude y1.



2) Tant que P reste en contact avec la gouttière.2.a) ~v = R.θ.~eθ.2.b) ~a = −R.θ2.~er +R.θ.~eθ.2.c) N = m.R.θ2 −m.g. cos(θ).2.d) N = m.g

R (3.y − 2.y1).3) P peut quitter la gouttière.

3.a) N s'annullerait en y = y2 = 23y1.

3.b) v0 > v2 =√

5.g.R > v1 : la balle reste en contact avec la gouttière.3.c) Mouvement de la balle en fonction de v0 :

• v0 < v1 : la balle reste en contact avec la gouttière mais redescend en Ω1 (le looping est raté) ;

• v0 ∈ ]v1; v2[ : la balle quitte la gouttière et tombe (le looping est raté) ;

• v0 > v2 : la balle reste en contact avec la gouttière et redescend en Ω2 (le looping est réussi).

2.8) Frottements d'une voiture

Expliquer pourquoi, dans une voiture, il faut :1) limiter les frottements entre les pièces du moteur (en les lubriant),2) mais augmenter les frottements entre les roues et la route (grâce aux pneus).

Car :

• les actions de contact entre les pièces du moteur sont internes,

• les actions entre les roues et la route sont externes (et peuvent être motrices !).

2.9) Cylindre roulant sans glisser sur un support incliné

y

xI

C R

On s'intéresse à un cylindre S de rayon R, d'axeCz, de masse m et de moment d'inertie J par rap-port à son axe, qui roule sans glisser sur un planincliné qui fait un angle α avec l'horizontale.1) Déterminer l'équation qui relie xC , la projec-tion de la vitesse du centre de masse du cylindre, àΩz, la projection du vecteur rotation du cylindre.2) Exprimer2.a) le théorème de la résultante cinétique2.b) le théorème du moment cinétique de deuxmanières diérentes. Montrer qu'elles sont équiva-lentes.2.c) En déduire l'équation d'évolution du cylindrexC en fonction des données du problème.3) N'aurait-on pas pu la trouver directement ?

xC = m.R2

J+m.R2 g sin (α)

2.10) Essuie-tout glissant contre le mur

yx

O gI

F

α

Un rouleau d'essuie-tout assimilé à un cylindre d'axe xe Oz, de massem, de moment d'inertie J par rapport à son axe, frotte le long du muren un point I. Son axe est relié au mur par une celle qui fait un angleα avec le mur.On tire sur le papier verticalement vers le bas avec une force de normeF pour faire tourner le rouleau avec le vecteur rotation ~Ω = Ωz.~y.1) Déterminer l'équation diérentielle suivie par Ωz.



J.ωz = +R.(µd.

m.g+Fcosα−µd. sinα

. sinα− F).


3.11) Eet d'une poulie parfaite

Comparer les forces exercées sur une corde de part et d'autre d'une poulie parfaite (c'est à dire de massequasi nulle, et ayant une liaison parfaite sans frottement).

T1 = T2.

3.12) Oscillations d'un pendule pesant aux petits angles

On s'intéresse à un pendule de moment d'inertie J par rapport à son axe de rotation, de masse m, dont lecentre d'inertie G est une distance a sous l'axe de rotation Oz. Montrer que le pendule est synchrone aux petitsangles et déterminer la période T des oscillations libres.

T = 2π√

Jm.g.a .

3.13) Machine d'Atwood

y

xO

y m'

Poulie parfaite

Fil inextensible

R

O

y'

yym

Une poulie parfaite sans masse peut tourner librement au-tour de son axe horizontal Oz. Autour d'elle un l inex-tensible relie d'un côté la masse m (dont l'altitude est y)à la masse m′ dont l'altitude est y′ (cf. gure). m′ < m.1) Montrer que tout se passe comme si la massem chutaitdans un champ de pesanteur réduit.

y = −m−m′

m+m′ g.

3.14) Machine de Morin

y

xO

y m

Poulie parfaite

Fil inextensible

R

ailette

Un cylindre de rayon R peut tourner librement autour deson axe horizontal Oz. Le moment d'inertie du cylindrepar rapport à l'axe Oz est noté J . Autour de lui s'enrouleun l inextensible relie d'un côté la masse m (dont l'alti-tude est y). Des ailettes freinent la rotation du cylindre,lui imposant un moment projeté par rapport à l'axe Oz−α.Ωz, où α est une constante positive et Ωz la projectiondu vecteur rotation du cylindre selon Oz.1) Montrer que Ωz tend vers une constante quand la massedescend.

(J +m.R2

)Ωz + α.Ωz = −m.R.g.



3.15) Ancien yoyo

yx

O

y m

Poulie parfaiteFil inextensible

R

O

y

Un cylindre peut tourner librement autour de son axe ho-rizontal Oz. Le moment d'inertie du cylindre par rapportà l'axe Oz est noté J . Autour de lui à une distance R del'axe s'enroule un l inextensible relie d'un côté la massem (dont l'altitude est y).1) Montrer que tout se passe comme si la massem chutaitdans un champ de pesanteur réduit.

y = − m.R2

J+m.R2 g.


4.16) Porter un sac lourd

Un sac très lourd (de masse m) est accroché au même point O à deux poignées A et B. Deux personnesportent le sac, chacune prenant une poignée. Ces dernières font alors respectivement un angle αA et αB avec laverticale.

1) Pour quelle personne est-ce le plus lourd à porter ?2) Comment faire de façon à rendre le portage égalitaire et le moins dicile ?

FA cosαA + FB cosαB = m.g et FA sinαA = FB sinαB .

4.17) Le gâteau

y

xG

α

m'

Gâteau dans paquet

OUn gâteau homogène (de masse m) cylindrique de rayonR est mis dans un carton parallélépipède rectangle de côté2R, de centre G. Quatre celles sont accrochées au paquetet reliées entre elles en O, à la verticale de G. Elles fontalors un angle α avec le paquet horizontal.1) Pourquoi ne faut-il pas que α soit trop petit ?

T = m.g4 sinα qui tend vers l'inni (la celle casse !) si α→ 0.

4.18) Balance romaine



y

x

O

M

d x

m

On désire peser la masse inconnueM à l'aide d'une balanceromaine (cf. gure) composée d'un éau qui peut tournerlibrement autour de son axe horizontal Oz. La masse Mest suspendue à une distance d du point O, tandis qu'uneautre massem est suspendue de l'autre côté à une distancex variable.Pour x = xeq la balance voit son éau rester horizontal.1) Montrer que l'axe Ox du éau peut être linéairementgradué en kilogrammes.

xeq = dmM .

4.19) Balance Roberval

y

x

fléau

O

α

m'

mplateau

On désire peser la masse inconnuem à l'aide d'une balanceRoberval (cf. gure) composée d'un éau qui peut tournerlibrement autour de son axe horizontal Oz qui supportedeux plateaux accrochés à une distance d. Un dispositifarticulé rend horizontaux les plateaux qui supportent res-pectivement les masses m et m′.1) Quelle est la condition sur m′ et m pour que la balanceait son éau horizontal ?

m′ = m.

4.20) Palan

y

x

m

Poulie mobile

OO'

GF

Poulie fixe

Un palan peut être constitué de deux poulies parfaites(sans masse), l'une d'axe O′z xe, l'autre d'axe Gz quigarde une direction xe. A l'axe Gz est accroché un poidsde masse m. Une corde inextensible de masse négligeableaccrochée en un point xe est enroulée dans la premièrepoulie d'axe Gz, puis dans la seconde d'axe O′z, le brinlibre étant tiré avec une force ~F par un ouvrier.1) Montrer que le palan permet de soulever une masselourde avec une force réduite.

F = T = mg2 .

Si on tire sur le l d'une bobine, celui-ci faisant un angle α avec l'horizontale, deux cas peuvent seproduire : si α < αseuil la bobine se rapproche, sinon elle s'éloigne de celui qui tire sur le l...

On considère une bobine de l (cf. gure ??), cylindrique, de rayon R. Sa masse estm, et son momentd'inertie par rapport à son axe est J . Le l est enroulé à une distance r de l'axe. On tire sur ce l avec uneforce ~F , qui fait un angle α avec l'horizontale. On supposera que la bobine, posée sur un sol horizontal,se met à rouler sans glisser.

La bobine de l exercice



1) Déterminer αseuil.



Devoir non surveillévendredi 30 septembre 2016

Le document est à lire, l'exercice est à rendre.

Les mécanismes des marées

Laure Barthes, Marc Girondot - Université Paris SudDisponible à l'adresse max2.ese.u-psud.fr/epc/conservation/BEMA/

Les marées sont la réponse de l'océan aux inuences de la Lune et du Soleil.

Chaque jour en un même lieu, la mer monte, puis redescend, cette oscillation périodique du niveau de lamer s'appelle : marée.

Vue de la côte cette oscillation est d'abord perçue comme un déplacement horizontal, en raison de l'arrivéede l'onde de marée sur les côtes. Le courant de ot monte et recouvre des étendues plus ou moins grandes durivage (la pleine mer = PM), le courant de jusant, descend laissant les mêmes étendues à sec (la basse mer =BM).

Sur nos côtes, on observe deux marées par jour, des marées de vives-eaux et mortes eaux qui alternent tousles 14 jours et des grandes marées d'équinoxes en automne et au printempsForces génératrices de la marée

Les océans sont soumis à la force d'attractionexercée par la lune (et le soleil).

Mais aussi à la force centrifuge due au mouve-ment de rotation de la terre autour du centre demasse G du couple terre lune. Le mouvement créeune force centrifuge opposée à l'attraction qui lamaintient en équilibre sur son orbite autour de G.Sur terre, la force centrifuge est constante en tousles points du globe, et dirigée dans le sens opposéà l'astre attracteur.

La résultante de l'addition de ces deux forces(attraction et centrifuge) est la force génératricede la marée .

L'eet de marée est un terme diérentiel (dif-férence entre deux forces). Ce terme est nul aucentre de la terre et extrêmement faible à la sur-face de la terre. Il est 10−7 fois plus faible que lala pesanteur.

Sous l'eet de la force de marée la surface desocéans prend la forme d'un ballon de rugby.

La terre tourne sur elle même en un peu moinsde 24 heures (23h 56mn 4,1sec).

Donc en première approximation, un point surla Terre passe de A en B en environ 6 heures (ma-rée haute puis marée basse) et le décalage entredeux marées hautes successives est de 12 heures(A et C).Les marées de vives-eaux et demortes-eaux

Les coecients de marée sont des grandeurs, sans unité, exprimées en centièmes, variant de 20 à 120, quiindiquent l'amplitude de l'oscillation de la marée. Ces coecients ont été crées au XIX ième siècle par deshydrographes français, en choisissant arbitrairement la valeur de 100 pour une marée d'équinoxe moyenne. Cesystème de caractérisation d'une marée par, un coecient n'est utilisé qu'en France.



Le coecient donne une idée sur l'importancede la diérence de hauteur entre marée haute (PM)et marée basse (BM), donc du marnage attendu.En eet, les valeurs précises du marnage dépendentdes congurations de chaque lieu et ne sont doncpas généralisables partout pour une marée donnée,d'où l'intérêt des coecients.

La lune et le soleil provoquent chacun un ef-fet de marée. Les deux eets sont du même ordrede grandeur. Les deux eets s'ajoutent ou se com-pensent selon l'alignement de la lune, la terre et lesoleil.

Pour les marées de vives-eaux, les forces s'addi-tionnent alors qu'elles sont perpendiculaires pourles marées de mortes-eaux.

La révolution de la lune autour de la terre étantde 28 jours. On a des marées de vive-eaux tous les14 jours et des marées de mortes-eaux tous les 14jours.

Le solstice d'été (autour du 21 juin) correspondà la journée la plus longue de l'année, et inverse-ment le solstice d'hiver (autour du 21 décembre)est la nuit la plus longue de l'année, dans l'hé-misphère nord. Ceci vient de la position du soleilqui est à sa déclinaison maximale par rapport à laterre : 23 degrés nord au solstice d'été et 23 degréssud au solstice d'hiver.

Équinoxe vient du latin et signie que la duréedu jour est égale à celle de la nuit. Pour que celase produise il faut que le soleil soit situé dans leplan de l'équateur terrestre, ce qui veut dire que ladéclinaison solaire est nulle. C'est le cas deux foispar an ; autour du 21 mars et du 23 septembre. Laposition solaire est alors optimale pour amplierles marées de type semi-diurne. Dès que la luneet le soleil sont alignés en syzygie la grande maréed'équinoxe prend place.L'âge de la marée

La marée est une déformation de la surface des océans en réponse à l'attraction et au mouvement des astres.Comme la terre tourne sur elle-même cette déformation se propage autour de la terre en suivant le mouvementapparent de la lune et du soleil.

Si l'on admet que l'onde de marée a une période de durée égale à la rotation terrestre sur elle-même, soitd'environ 24 heures, sa longueur d'onde correspond au quart de la circonférence terrestre, soit 20.000 km.

Pour que des oscillations de cette amplitude se déroulent à la surface du globe sans retard par rapport auxastres, il faudrait une profondeur d'océans de 22 km ! Or la profondeur moyenne des océans n'est que de 4 à6 km. On comprend qu'il y ait un important retard de l'onde par rapport à la position des astres. Ce retards'appelle l'âge de la marée.

L'âge de la marée est déni comme l'intervalle de temps entre la syzygie (conguration en alignement desastres attracteurs, ampliant le phénomène de la marée) et la plus forte marée qui la suit. A Rosco l'âge de lamarée est de trois jours !

La propagation de l'onde à la surface du globe rencontre plusieurs obstacles :

• L'onde de marée est déviée : la rotation de la terre sur elle-même crée des forces (forces de Coriolis) quidévient le trajet de l'onde de marée.

• L'onde de marée est en partie bloquée par la présence des continents.

• L'onde de marée est freinée : la profondeur limitée des océans crée un frottement au fond des océans, quiretarde la progression de l'onde

• L'onde de marée peut, dans certains lieux, être ampliée par résonance : la forme géométrique des bassinsocéaniques permet plus ou moins bien le développement d'ondes de périodes diurnes (24 heures).



Age de la marée (lignes rouges) et marnage (lignes bleues) dans la Manche.

Les gures qui suivent présentent quelques courbes tracées à partir de la hauteur de la mer observée à Bresten 2001 (source : SHOM (Service hydrographique et océanographique de la marine). Disponible à l'adressewww.shom.fr/les-activites/activites-scientiques/maree-et-courants/marees/special-tipe/.



Enoncé

On supposera le référentiel géocentrique galiléen et quasi xe dans le référentiel héliocentrique. Les plans del'équateur, de l'écliptique et du mouvement de la lune seront identiés à celui des schémas à tracer.

Brest (B) sur les schémas sera pris pour plus de commodité sur l'équateur.On notera TT = 1 jour, la période de rotation de la Terre et TL la période de la lunaison.1) Méthode n1 : perturbation de la période des marées

1.a) Faire un schéma qui représente la Terre avec Brest, entourée d'océan et la Lune aux dates t = t0,t = t0 + TL et t = t0 + 2T1, où T1 est la période de la marée.

1.b) En déduire que 12T1

= 1TT− 1

TL.

1.c) Grâce aux documents, en déduire TL par cette première méthode.2) Méthode n2 : modulation de l'amplitude des marées

2.a) Faire un schéma qui représente la Terre avec Brest, entourée d'océan, le Soleil et la Lune au premierquartier, à la pleine lune, au dernier quartier et à la nouvelle lune.

2.b) Quand y a-t-il vive eaux (amplitude forte de la marée) et morte eaux (amplitude faible de lamarée) ? En déduire que l'amplitude de la marée est modulée par une fonction dont on précisera la période.

2.c) Grâce aux documents, en déduire TL par cette seconde méthode.

Devoir surveillésamedi 1ier octobre 2016

Un DS commun aura lieu samedi 1ier octobre 2016 de 8h à 12h, il portera sur la thermodynamique


Mécanique des solides Les points du cours à connaître

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