Mécanique des solides indéformables

8/14/2019 Mcanique des solides indformables

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Licence de Mcanique - UE 201

Notes de cours Mcanique des solides rigides

Y BP UPMC

Septembre 2006

Laboratoire de Mcanique et TechnologieENS Cachan/CNRS/Universit Paris 6

61, avenue du Prsident Wilson, F-94235 CACHAN CEDEX
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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2 Notes de cours Mcanique des solides L2 UPMC - 2006 - YB


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Table des matires

Table des matires 3

1 Cinmatique du solide indformable 91.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Bases, repres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Reprage dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4 Vitesse dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.6 Acclration dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Calcul des vecteurs vitesse et acclration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Calcul de la vitesse dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Calcul de la vitesse dans R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Relation entre les vecteurs vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Vitesse et acclration des points dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 Dfinition dun solide indformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Angles dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Champ des vitesses dans un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.4 Equiprojectivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.6 Champ des acclrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Composition des vecteurs vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2 Composition des vecteurs rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3 Composition des torseurs cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.4 Vitesse de glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.5 Composition des acclrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Mouvement plan sur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.2 Dtermination du point I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.3 Proprits de la base et de la roulante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Proprits des torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.1 Champ de vecteurs antisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.2 Vecteurs lis, libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.3 Champ de moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.4 Oprations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.5 Glisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Notes de cours Mcanique des solides L2 UPMC - 2006 - YB 3


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Table des matires

1.6.6 Couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.7 Dcomposition dun torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Axe dun torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Statique des solides 292.1 Dfinitions des actions mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Modlisation des actions mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Actions distance : gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Calcul des centres de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Additivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.3 Thormes de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Modlisation des actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.1 Lois dites de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2 Cas du contact ponctuel rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.1 Degr de libert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.2 Liaison unilatrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.3 Liaison ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6.4 Liaison linaire rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.5 Liaison linaire annulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.6 Liaison rotule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6.7 Liaison appui plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6.8 Liaison pivot glissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6.9 Liaison pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6.10 Liaison glissire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.11 Liaison glissire hlicodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.12 Liaison encastrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6.13 Rsum des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7.1 Puissance des actions de liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.8 Statique des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8.1 Principe fondamental de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8.2 Thorme des actions rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8.3 Rsum des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.9 Analyse des mcanismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.10 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.11 Mobilit, hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.12 Statique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.13 Chane ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.14 Chane ferme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.15 Chanes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Cintique 593.1 Torseur cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.1 Rsultante cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.2 Moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.3 Autre expression de ce torseur cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60



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Table des matires

3.1.4 Exemple : calcul du torseur cintique dune barre . . . . . . . . . . . . . 613.1.5 Moment cintique par rapport un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 nergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Moment dinertie dun solide par rapport un plan . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4 Moment dinertie dun solide par rapport un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.2 Calcul du moment dinertie par rapport un axe . . . . . . . . . . . . . 64

3.5 Oprateur dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.2 Calcul de loprateur dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6 Moment dinertie dun solide par rapport un point . . . . . . . . . . . . . . . . 663.7 Rayon de giration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.8 Thorme dHuyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.9 Thorme dHuyghens gnralis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.10 Axes principaux dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.11 Calcul du moment cintique dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.11.1 Mouvement plan sur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.11.2 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.12 Energie cintique dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Dynamique 734.1 Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.2 Autre expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Relation entre le torseur cintique et le torseur dynamique . . . . . . . . . . . . 73

4.3 Principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.1 nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.2 Thormes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.3 Thorme des actions rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Principe fondamental de la dynamique en repre non galilen . . . . . . . . . . . 774.5 Principe de la dynamique appliqu un systme en rotation . . . . . . . . . . . . 78

4.5.1 Calculs prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5.2 Principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5.3 quilibrage statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5.4 quilibrage dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 Thormes nergtiques 835.1 Dfinitions gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2 Puissance des actions mcaniques exerces sur un solide . . . . . . . . . . . . . 835.3 Puissance des actions mutuelles entre deux solides . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.1 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3.2 Liaison parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4 Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5 nergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5.1 nergie potentielle et densit massique dnergie potentielle . . . . . . . 855.5.2 Exemple : nergie potentielle de la pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . 865.5.3 nergie potentielle des forces dinertie dentranement . . . . . . . . . . 87

5.6 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88



6/91

5.6.1 Application un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.6.2 Application un ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.7 Intgrale premire de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.7.1 nergie mcanique dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.7.2 Intgrale premire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Bibliographie 91



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Table des matires



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Table des matires



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Chapitre 1

Cinmatique du solide indformable

1.1 Dfinitions

1.1.1 Espace

On va utiliser un espace affine (form de points) et euclidien (pour dfinir des distance entrepoints). Il est not E3 de dimension 3 sur le corps des rels.

Pour les oprations sur les vecteurs, il nous faut un espace vectoriel de dimension 3 not E3 sur lecorps des rels.

1.1.2 Bases, repres

Lespace E3 est rapport une base forme de trois vecteurs (x, y, z).

Remarque : dans ce document les vecteurs sont nots avec un trait en dessous ce qui correspond une notation largement utilise (elle est de plus plus pratique pour moi au tableau).Lespace E3 est rapport un repre form dun point O, origine du repre, et de trois axes ayantles directions dune base choisie dans E3.

On appelle rfrentiel despace lensemble constitu dun point et de trois vecteurs de base et onle note (O, x, y, z).

1.1.3 Reprage dun point

On repre la position dun point M dans E3 par ses coordonnes. En fait cest le choix du repredespace (O, x, y, z) qui permet de dfinir ses coordonnes. Comme il y a une infinit de choixpossibles, il y a galement une infinit de coordonnes pour un mme point M une positiondonne.Si on choisit (O, x, y, z) orthonorm direct alors les coordonnes de Msobtiennent par projectionorthogonale de OM sur les vecteurs de la base. Dans cette quation x .y dsigne le produit scalairedes deux vecteurs ( dot product notation due Gibbs (autour de 1900)).

xM = OM. x yM = OM .y zM = OM .z (1.1)

Remarque : le choix des vecteurs de base nest pas limit au classique systme dit cartsien. On

verra dautres systmes de coordonnes (cylindriques en particulier).



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1. Cinmatique du solide indformable

y

z

O

M

x

yz

Figure 1.1 Vecteur position pour un reprage cartsien

1.1.4 Vitesse dun point1.1.4.1 Notion de temps

Cette notion est pour nous associe des mouvements particuliers qui se rptent (horloges, mou-vements des astres, mares, oscillations). La mesure du temps seffectue sur un repre une di-mension (repre de temps) qui est orient.

1.1.5 Vecteur vitesse

On choisit un rfrentiel despace temps (O, x, y, z) et (0 t) qui selon les applications peut tre :

1. Copernic : Centre de masse du systme solaire (assimil celui du soleil) et trois toilesfixes plus une horloge,

2. Gocentrique : Centre de masse de de la terre et trois toiles fixes plus une horloge,

3. Terrestre : un point et trois axes du laboratoire ainsi quune horloge.

t1

O

t

t2

Instants

Dates Dure

1 2

Figure 1.2 Temps, dure

D Soit un point matriel M en mouvement et soit un rfrentiel despace temps. Onnote :

V(M/R) =

ddt

OMR

(1.2)

Le vecteur vitesse est la drive par rapport temps dans le rfrentiel considr du vecteur position.

D La suite des points P de E3 qui coincident avec Mau cours du temps (courbe dcritepar le point) est appele trajectoire de Mdans le rfrentiel.



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1.2. Calcul des vecteurs vitesse et acclration

x

y

O

M (t0)

M (t)d(OM) dt

Figure 1.3 Vecteur vitesse

Interprtation : le vecteur vitesse est tangent la trajectoire au point M linstant tconsidr.

Unit : la vitesse sexprime en ms1.

1.1.6 Acclration dun point

Le vecteur acclration du point Mpar rapport au repre considr est not (M/R) est il est donnpar :

(M/R) =

ddt

V(M/RR

=

d2

dt2OM

R

(1.3)

Unit : lacclration sexprime en : ms2.

1.2 Calcul des vecteurs vitesse et acclration

Soit un repre R1 (O, x1, y1, z) en rotation autour de laxe (O, z) par rapport un repre R(O, x, y, z). Langle (x, x1) est not .

x

y

O

x1

y1

Figure 1.4 Changement de repre



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1.2. Calcul des vecteurs vitesse et acclration

Ceci signifie que la drive dans un repre R1 dun vecteur de base appartenant ce repre estnulle.

Interprtation : on saccroche un repre ; on ne voit pas voluer les vecteurs de base qui noussemblent fixes (par rapport nous) mais les coordonnes du point changeant, on retrouve leurdrive temporelle pour exprimer le vecteur vitesse.

Donc le vecteur vitesse se rsume videmment :

V(M/R1) =dx1dt

x1 +dy1dt

y1

= x1 x1 + y1 y1 (1.11)

1.2.3 Relation entre les vecteurs vitesse

On va essayer de trouver une relation entre ces vecteurs vitesses V(M/R) et V(M/R1).

V(M/R) =

d

dtOM

R

=

d

dt(x1 x1 +y1 y1)

R

(1.12)

=dx1

dtx1 + x1

d

dtx1

R

+dy1

dty

1+y1

d

dty

1

R

Le problme est de savoir calculer les termes

ddt

x1

R

. On sait que le vecteur x1 ne dpend que delangle qui lui mme est fonction du temps. Donc :

d

dtx1

R

=

d

dx1

R

d

dt(1.13)

Or on peut exprimer x1 en fonction des vecteurs de base du repre R et de langle :

x1 = cos x + sin y (1.14)

On remplace dans lquation prcdente et on obtient pour le premier terme

d x1d

R

= sin x + cos y (1.15)

On reconnat le vecteur y1

et on peut donc crire :

d x1

d

R

= y1

= z x1 (1.16)

Dans cette quation dsigne le produit vectoriel.Si je fais le mme travail pour le second terme je peux alors crire :

ddt

OMR

= ddt

OMR1

+ z OM (1.17)



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1.3. Vitesse et acclration des points dun solide

x

y

z1 x1

!

uv

z

v

z

"

w

u z1

u

w

#

y1

Figure 1.6 Angles dEuler

V(M/R) =

d

dtOM

R

= d

dt(x1 x1 +y1 y1 +z1 z1)R

(1.20)

= x1 x1 + x1

d

dtx1

R

+ y1 y1 +y1

d

dty

1

R

+ z1 z1 +z1

d

dtz1

R

On reconnat le vecteur V(M/R1. Que reprsentent les termes du type x1

ddt

xR

?

On sait que le vecteur x1 est une fonction des angles dEuler qui sont eux mmes fonction dutemps car le solide est en mouvement. On peut donc crire :

d

dtx1

R

=

x1

R

+

x1

R

+

x1

R

(1.21)

Il faut donc calculer les termes du type

x1

R

.

On peut crire grce aux angles dEuler :

x1 = cos u + sin w

= cos u + sin cos v + sin sin z (1.22)

Donc en drivant cette expression par rapport on obtient :

x1

R

= cos v sin cos u + 0 (1.23)

Le dernier terme est nul car le vecteur z ne dpend pas de langle .

On essaie de retrouver une expression de type . x1. Comme la rotation dangle seffectueautour de z on crit :

z x1 = z (cos u + sinw)

= cos v sin cos u (1.24)

= x1

R



16/91


On vient donc de montrer que lexpression valable pour le cas simple de la rotation autour dunaxe (quation 1.18) sapplique dans un cas plus gnral pour un vecteur quelconque (x1 ici). Enprocdant de mme pour les deux autres termes de lquation 1.21 on montre que :

d

dtx1

R

= z x1 + u x1+ z1 x1

= (z + u + z1) x1 (1.25)

On appelle (S/R) vecteur vitesse de rotation (instantan) du solide S dans son mouvement par

rapport au repre R le vecteur : (S/R) = z + u + z1 . On remarque quil gnralise bien

lexpression tablie pour une seule rotation.

On peut crire les mmes relations pour les autres drives des vecteurs y1

et z1 ce qui permet

dcrire au final : d

dtOM

R

=

d

dtOM

R1

+ (S/R) OM (1.26)

ou

V(M/R) = V(M/R1) + (S/R) OM (1.27)

1.3.3 Champ des vitesses dans un solide

Nous allons utiliser lexpression 1.26 en remplaant le vecteur OM par le vecteur AB. On crit

donc : d

dtAB

R

=

d

dtAB

R1

+ (R1/R) AB (1.28)

avec (R1/R) = (S/R) car le solide S est attach au repre R1.

Comme les points A et B appartiennent au solide suppos indformable, le premier terme de droiteest nul. Il reste :

d

dtAB

R

= (R1/R) AB

d

dt(AO + OB)

R

= (R1/R) AB (1.29)

d

dtOB

R

=

d

dtOA

R

+ (R1/R) AB

On en dduit la relation importante :

V(B S/R) = V(A S/R) + (S/R) AB A,B S (1.30)



17/91


18/91


1.3.6 Champ des acclrations

On considre toujours le mme solide S en mouvement par raport R. On a la relation de champdes vitesses 1.30 qui par drivation donne :

d

dtV(B S/R)

R

=

d

dtV(A S/R)

R

+

d

dtBA

R

(S/R)

+ BA

d

dt(S/R)

R

A,B S (1.34)

On note (B S/R) le vecteur acclration de B appartenant S par rapport au repre R.

(B S/R) = (A S/R) +

d

dtBA

R

(S/R) + BA

d

dt(S/R)

R

A,B S (1.35)

Or on peut crire que :

d

dtBA

R

=

d

dtBA

R1

+ (S/R) BA

= 0 + (S/R) BA (1.36)

= (S/R) BA

car les points A et B appartiennent au solide S attach au rfrentiel R1 par rapport auquel ondrive. On a donc au final :

(B S/R) = (A S/R) + ((S/R) BA) (S/R) + BA

d(S/R)dt

R

A,B S

(1.37)Remarque : On ne trouve pas de relation de type torseur pour le champ des acclrations.

1.4 Composition des mouvements

1.4.1 Composition des vecteurs vitesse

Nous allons tudier dans ce passage la mthode qui permet de passer dun repre un autre, ce qui

est souvent ncessaire lorsque lon sintresse des mcanismes qui comportent plusieurs solidesen mouvement.

On reprend un solide S en mouvement par rapport R et par rapport R1.

V(M/R) =

d

dtOM

R

=

d

dt(OO1 + O1M)

R

(1.38)

= V(O1/R) + d

dt O1MR



19/91

1.4. Composition des mouvements

Or on sait en utilisant la rgle de drivation dans deux repres diffrents (q. 1.19) que :

d

dtO1M

R

=

d

dtO1M

R1

+ (R1/R) O1M (1.39)

Donc :

V(M/R) = V(O1/R) +

d

dtO1M

R1

+ (R1/R) O1M

= V(O1/R) + V(M/R1) + (R1/R) OM (1.40)

Si on suppose le point M appartenant non pas au solide S mais au repre R1 (ce qui revient supposer que le solide S est fixe dans R1) alors sa vitesse V(M R1/R1) est nulle donc :

V(M R1/R) = V(O1/R) + (R1/R) O1M (1.41)

On peut donc utiliser cette criture pour obtenir :

V(M S/R) = V(M S/R1) + V(M R1/R) (1.42)

Le premier terme est appel vitesse absolue, le deuxime vitesse relative et le troisime vitessedentranement.

Remarque : on peut omettre dans les deux premiers termes S mais je conseille de lindiquersystmatiquement.

1.4.2 Composition des vecteurs rotation

Nous reprenons notre solide en mouvement par rapport aux deux repres R et R1 et notons (S/R),(S/R1) et (R1/R) les vecteurs vitesse de rotation instantane respectivement du solide S parrapport R et R1 ainsi que du repre R1 par rapport R.

La rgle de drivation vectorielle nous donne (q. 1.19) :

d

dtOM

R

=

d

dtOM

R1

+ (R1/R) OM (1.43)

Nous pouvons aussi crire :d

dtOM

R1

=

d

dtOM

S

+ (S/R1) OM (1.44)

On ajoute terme terme ces deux quations pour obtenir :

d

dtOM

R

=

d

dtOM

S

+ ((R1/R) + (S/R1) OM (1.45)

Mais on peut aussi crire en considrant le solide S et le repre R :

ddt OM

R =

ddt OM

S + (S/R) OM (1.46)



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En comparant ces deux dernires galits, on en dduit la rgle de composition des vecteurs vitessede rotation :

(S/R) = (S/R1) + (R1/R) (1.47)

1.4.3 Composition des torseurs cinmatiques

On peur rsumer les compositions du vecteur vitesse et du vecteur vitesse de rotation en crivant :

(S/R) = (S/R1) + (R1/R) (1.48)

V(M S/R) = V(M S/R1) + V(M R1/R) (1.49)

ce qui permet dcrire :

{V(S/R)}M = {V(S/R1)}M + {V(R1/R)}M

(S/R)

V(M S ,R)

M

=

(S/R1)

V(M S/R1)

M

+

(R1/R)

V(M R1/R)

M

(1.50)

Attention : Il faut lorsque lon veut composer les torseurs utiliser le mme point Mdo limpor-tance de le noter dans lcriture du torseur.

1.4.4 Vitesse de glissement

On a vu apparatre dans la composition des vitesses un terme V(M R1/R) appel vitesse den-tranement. Considrons maintenant que le solide S est fixe dans R1 et quil est en mouvement parrapport R (sphre qui roule sur un plan par exemple). Supposons quil existe un plan tangent aupoint de contact not P (si le contact est ponctuel). Le terme V(P P1/R) = V(P S/R).

D : La vitesse dentranement V(P S/R) au point de contact P entre le solide S et unsolide li R reprsente la vitesse de glissement en P linstant tdu solide S par rapport R.

Proprit : La vitesse de glissement appartient au plan tangent en P aux deux solides.

D : Si la vitesse de glissement est nulle on dit que le solide S roule sans glisser par

rapport R.

Exercice faire.

1.4.5 Composition des acclrations

On reprend le solide S et les deux repres R et R1. Nous avons tabli que (quation 1.40) :

V(M/R) = V(O1/R) + V(M/R1) + (R1/R) OM (1.51)

On va driver cette expression par rapport au temps :



21/91

1.4. Composition des mouvements

d

dtV(M/R)

R

=

d

dtV(O1/R)

R

+

d

dtV(M/R1)

R

+

d

dt(R1/R)

R

O1M+

d

dtO1M

R

(1.52)

Nous allons considrer tous les termes dans lordre :

1. Terme

ddt

V(M/R)R

. Cest par dfinition le vecteur acclration (M/R).

2. Terme

ddt

V(O1/R)R

. Le point O1 est un point M particulier ; on a donc lacclration deO1 par rapport au repre R : (O1/R).

3. Terme d

dt V(M/R1)R. On va le modifier ainsi :

d

dtV(M/R1)

R

=

d

dtV(M/R1)

R1

+ (R1/R) V(M/R1) (1.53)

= (M/R1) + (R1/R) V(M/R1) (1.54)

4. Terme

ddt

(R1/R)R

O1M. On le laisse tel que.

5. Terme (R1/R)

ddt

O1MR

. On crit :

(R1/R)

d

dtO1M

R

= (R1/R)

d

dtO1M

R1

+ (R1/R) O1M

= (R1/R)

V(M/R1) + (R1/R) O1M

(1.55)

= (R1/R) V(M/R1) + (R1/R) ((R1/R) O1M)

On peut donc dornavant crire lquation 1.52 sous la forme :

(M/R) = (O1/R) + (M/R1) +

d

dt(R1/R)

R

O1M

+ (R1/R)

(R1/R) O1M

+ 2 (R1/R) V(M/R1) (1.56)Si on suppose (comme pour la composition des acclrations que le point M est li au repre R1(S fixe dans R1) alors on peut crire :

(M R1/R) = (O1/R) +

d

dt(R1/R)

R

O1M

+ (R1/R)

(R1/R) O1M

(1.57)

On peut donc crire finalement :

(M S/R) = (M S/R1) + (M R1/R) + 2 (R1/R) V(M S/R1) (1.58)



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1.5. Mouvement plan sur plan

2. La position du point I varie au cours du temps.

D

1. On appelle base b du mouvement de S par rapport R la trajectoire de I dans le repre R.

2. On appelle roulante r du mouvement de S par rapport R la trajectoire de I dans le repreR1.

1.5.2 Dtermination du point I

Il est ais partir de la dfinition de Ide connatre sa position un instant tsi on connat au moinsla vitesse de deux points. En effet on crit :

V(A S/R) = V(I S/R) + (S/R) IA (1.61)

= 0 + z IA (1.62)

Cette quation montre que le vecteur IA est perpendiculaire au vecteur vitesse connu V(A S/R).Le point I se situe sur cette perpendiculaire. Si on connat une autre vitesse pour un second pointlintersection des droites donne la position linstant tdu point I.On reprend lexercice.

1.5.3 Proprits de la base et de la roulante

Nous savons que la trajectoire de Idans le repre R (resp. R1) est la base b (resp. la roulante r). Cesdeux courbes peuvent servir dfinir la vitesse de I par rapport elles-mmes. Elles sont tellesque la relation de composition des vitesses sapplique :

V(I/b) = V(I/r) + (r/b) V(I r/b) (1.63)

Mais le vecteur V(I r/b) est gal V(I R1/R) car la roulante est attache au repre R1 alorsque la base est fixe dans R. Or V(I R1/R), par dfinition du centre instantan de rotation I, estnul. donc :

V(I/b) = V(I/r) (1.64)

Comme I appartient la fois b et r et que V(I) est tangent la base et la roulante, on endduit que la base et la roulante sont deux courbes tangentes au point I.

Proprits

1. La base et la roulante sont deux courbes tangentes en I chaque instant.

2. Comme la vitesse relative V(I r/b) est nulle par dfinition du CIR, que cette vitesse rela-tive reprsente la vitesse de glissement de rpar rapport b on peut dire que les deux courbesroulent sans glisser lune sur lautre.

Exercice Soit le systme dcrit sur la figure suivante :



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1.6. Proprits des torseurs

Calcul de (2/1) : On a roulement sans glissement en D donc :

V(D 2/3) = 0 (1.67)

Donc

V(D 3/1) = V(D 3/2) + V(D 2/1) = V(D 2/1) (1.68)

On a aussi :

V(D 2/1) = (B 2/1) + (2/1) BD = (2/1) BD (1.69)

V(D 3/1) = (O 2/1) + (3/1) OD = (3/1) OD (1.70)

On peut donc conclure de ces deux dernires galits que :

(3/1) OD = (2/1) BD (1.71)

On crit (2/1) (r x1 + r z1) = 3/1 z1 (R r) x1 ce qui permet de calculer le vecteur :

(2/1) = AB = (r+ rcos) x1 + rsinz1 (1.72)

= 3/1R r

r2(1 + sin + cos(1.73)

vitesse de C. On a roulement sans glissement de 2 par rapport 4 qui est li 1 soit :

V(C 2/1) = 0 = V(B 2/1) + (2/1) BC (1.74)

Mais la vitesse de B est connue donc :

V(C 2/1) = 3/1(R r)sin

1 + sin + cosx1 (1.75)

vitesse de T. Ce point sur laxe de rotation de 2 par rapport 1 cette vitesse (et lacclration)

est nulle.Comme on vient de calculer les vitesses de points appartenant aux diffrents solides ainsi lesvecteurs rotation, on connat tout le mouvement. On peut alors calculer la vitesse de glissementau point E.

Ajouter dmonstration avec cercle roulant sans glisser sur plan pour V(I) = 0

1.6 Proprits des torseurs

Lobjectif est ici de mettre en place la structure des torseurs avec leurs proprits. Cette partie est

inspire dun cours de DEUG de M. Devel (Universit de Franche Comt).



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1.6.1 Champ de vecteurs antisymtriques

Soit un espace vectoriel euclidien En. Une application f de En dans En est symtrique si :

u En, v En, u. f(v) = v . f(u) (1.76)

Elle est antisymtrique si :

u En, v En, u. f(v) = v . f(u) (1.77)

Proprit :

1. Toute application f (anti)symtrique de En dans Enest linaire.

u En, v En, f( u + v) = ()( f(u) + f(v)) (1.78)

2. La matrice dans une base orthonorme dune application (anti)symtrique est (anti)symtrique.

i = 1, ...,n j = 1, ...,n ai j = ()aji (1.79)

T Si f est une application antisymtrique de E3, il existe un vecteur R unique de E3

appel vecteur caractristique de f tel que :

u E3 f(u) = R u (1.80)

Si les coordonnes de R dans une base orthonorme de E3 sont rx, ry, rz alors la matrice de f danscette base est donne ci-dessous. Rciproquement toute application dont la matrice est de cetteforme a un vecteur caractristique R de coordonnes rx, ry, rz.

0 rz ryrz 0 rx

ry rx 0

(1.81)D Lapplication est videmment antisymtrique si la matrice est de la formeindique ci-dessus.

Montrons que R est unique. Pour cela soit R1 et R2 vecteurs caractristiques. On a alors

(R1 R2) u = 0 u E3. On en dduit dont que R est unique.

Comment trouver R ? Soit une matrice de la forme0 az ayaz 0 ax

ay ax 0

(1.82)Soit un vecteur de composantes (a, b, c). Limage de ce vecteur par f est donc un vecteur (axa ayc, axa azc, aya + azb) qui est comparer R u gal (rxa ryc, rxa rzc, rya + rzb). Lescomposantes de R sont donc : (ax, ay, az).

T Si e1, e2 et e3 sont les vecteurs unitaires dune base orthonorme de E3 alors le

vecteur R = 123

i=1 ei f(ei) est le vecteur caractristique de lapplication f.

D3

i=1 ei f(ei) =3

i=1 ei (R ei) =3

i=1( ei. ei)R (ei.R) ei = 2R.



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1.6. Proprits des torseurs

1.6.2 Vecteurs lis, libres

D On appelle vecteur li ou pointeur un vecteur trac partir dun point (vecteur vitessepar exemple). On note (A, u) le vecteur li dorigine A et de vecteur libre u. On appelle vecteur

glissant un ensemble de vecteurs lis dont lorigine A appartient une droite parallle au vecteurli.

1.6.3 Champ de moment

On dfinit le champ de moment dun vecteur glissant (A, u) par :

M M(A, u) = MA u = AM u (1.83)

T Tous les vecteurs lis dun mme vecteur glissant ont le mme champ de moment.

D Un champ de vecteur M(A) (application de lespace affine sur lespace vectoriel)qui associe un vecteur un point est antisymtrique si il existe un point O et une applicationantisymtrique f tels que :

P M(P) = M(O) + f( OP) (1.84)

= M(O) + R OP (1.85)

T Pour quun champ M soit antisymtrique, il faut et il suffit quil soit quiprojectif.

D A rdiger.

1.6.4 Oprations sur les torseurs

Egalit : deux torseurs sont gaux si les lments de rduction en un mme point sont gaux.

Somme : la somme (en un mme point) de deux torseurs est un torseur.

Produit : on appelle produit (comoment) de deux torseurs la grandeur scalaire :

{T1} { T 2} = R1 . M2(A) + R2 . M1(A) A (1.86)

Cette grandeur scalaire ne dpend pas du point A utilis pour le calcul.

La quantit R .T qui est lauto moment du torseur est un invariant (qui ne dpend pas du point).

1.6.5 Glisseur

D On appelle glisseur un torseur {T } =R M

si il existe au moins un point A tel

que M(A) = 0.

Ceci correspond en cinmatique un mouvement de rotation autour dun axe fixe. En effet on a

bien pour tout point A situ sur laxe : V(A) = 0.



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1.6.6 Couple

D On appelle couple un torseur {T } = {R M} si la rsultante R est nulle.

Ceci correspond en cinmatique un mouvement de translation pour lequel on ne peut pas trouverde point vitesse nulle.

1.6.7 Dcomposition dun torseur

T Tout torseur {T } = {R M} se dcompose de faon unique en la somme dunglisseur et dun couple. On peut toujours crire :

M(M) =M(M) .R

R2R +

M(M)

M(M) .R

R2R

(1.87)

Le premier terme dfini le champ dun couple, le second celui dun glisseur.

D Dmonstration pour plus tard.

1.7 Axe dun torseur

On appelle axe dun torseur lensemble des points A tels que R est colinaire M(A) cest diretels que R M(A) = 0.

Laxe dun torseur de rsultante R est un axe parallle R



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Chapitre 2

Statique des solides

2.1 Dfinitions des actions mcaniques

Une action mcanique peut tre exerce sur un solide S 1 pour le maintenir au repos, le dplacerou le dformer. On peut par exemple recenser : le pied dun footballeur qui frappe un ballon, leschamps lectriques et magntiques qui dvient llectron, le rotor qui entrane laxe dune turbine.Ces actions sont exerces par S 2 sur S 1.

D Deux solides S 1 et S 2 sont en interaction si on peut trouver dans lun une modifica-tion de position dorientation qui entrane une modification dans lautre.

D On appelle force la grandeur vectorielle dcrivant une interaction capable de pro-duire un mouvement ou de crer une dformation. On dit alors que S 2 exerce une action mcanique

sur S 1 si relativement un rfrentiel les mouvements (ou dformations) de S 1 par rapport cerfrentiel sont diffrents selon que S 2 est prsent ou absent.

Ces actions se classent en deux grandes catgories :

Actions distance : elles sont lies des champs dacclration (pesanteur), lectromagntiquespar exemple.

Actions de contact : de pression (le pied qui frappe un ballon, le gaz qui maintient le ballon souspression).

Ces actions sexercent soit sur :

Une surface : contact solide solide, action dun gaz sur un solide,Un volume : cest le cas de la gravit.

Elles peuvent tre pour le systme considr :

Externes : la gravit agit sur un vhicule (avec tous les lments internes),

Internes : si on veut comprendre le fonctionnement de certains organes internes (roues par exemple)on pourra alors faire apparatre non seulement les efforts extrieurs appliqus par le sol surcette roue mais aussi des efforts exercs par le systme de fixation de la roue sur le vhicule.Cette dernire classification dpend du systme que nous allons isoler.



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2. Statique des solides

2.2 Modlisation des actions mcaniques

Si on considre un solide matriel comme un ensemble de points matriels (cest dire de points Mauxquels on attache une petite quantit de matire dm) on peut alors crire que toute action ( dis-tance ou de contact) se rsume un effort reprsent par un vecteur. On notera d f(Ext M(dm))cet effort appliqu au point M dont la masse lmentaire est dm.

D Une force se reprsente par un vecteur li (attach au point M).

P On sait que la puissance P, dans le repre R dun effortd f appliqu en un point Mdansune vitesse de dplacement de M note V(M/R) se dfinit comme le produit scalaire :

P (d f, V(M/R) = d f . V(M/R) (2.1)

Comme le champ des vitesses dun solide est celui donn par le torseur cinmatique {V} on dfinit

le torseur statique (not mathcalF comme force ) (F(Ext S ) des efforts exercs sur un solideS tel que la puissance (par rapport au repre R) de ces efforts dans le champ de vitesse est donnpar le comoment des deux torseurs :

P = {V} . {F } =

(S/R)V(M/R)

.

F

M(M, F)

(2.2)

Rsultante : Elle se dtermine comme la somme de tous les actions lmentaires d f.

F(Ext S ) = S

d f(Ext M) M S (2.3)

Moment : De la mme manire on obtient :

M(A) =

S

AM d f(Ext M) M S (2.4)

D Si on admet que F reprsente bien la rsultante des actions lmentairesexerces sur des points Mi du solide S , alors M(B) =

i BMi d fi

=

i(BA + AMi d fi =

i(BA d fi +

i(AMi d fi = BA F + M(A).

On trouve donc la relation caractristique dun torseur ce qui tait annonc.

2.3 Actions distance : gravit

Si on considre les actions distance de gravit exerces sur un solide S de centre de gravit G onpeut crire le torseur des actions mcaniques par :

F(g S ) =

S

d f =

S

g dm = g zMS (2.5)

On a suppos que le vecteur z est vertical ascendant et que g est vertical descendant avec g constant

sur le domaine dintgration.



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2.4. Calcul des centres de masse

M(A, g S ) =

MS

AM d f

=

MS

AM g dm (2.6)

= g

MS

AM dm z

D On dfinit le centre de masse (ou dinertie) G comme le point tel que :

MS AG =

MSAM dm A (2.7)

On peut donc reprendre lexpression du moment M et crire :

M(A, g S ) = gMS AG z (2.8)

Proprit Le moment des actions de gravit au point G centre de masse du systme est nul et letorseur des actions de la gravit se rduit donc en ce point un glisseur.

Il nous faut donc savoir calculer les centres de masse de diffrents solides trouvs couramment enmcanique.

Remarques.

1. On admettra lquivalence entre centre de masse et dinertie.

2. Le centre de gravit dun objet est par dfinition le point dapplication de son poids. Si lesdimensions de lobjet sont telles lhypothse g constant est fausse alors on constate que le

centre dinertie G nest pas forcment confondu avec le centre de gravit. Si par contre lechamp dacclration de la pesanteur est constant sur le domaine dintgration alors il y aaussi quivalence entre le centre de masse G et de gravit.

2.4 Calcul des centres de masse

2.4.1 Additivit

On peut remarquer que la dfinition du centre masse permet dcrire que si le systme S considrpeut-tre dcompos en plusieurs parties S 1 et S 2 simples (i.e. dont les centres de masse G1 et G2sont simples dterminer) alors le centre de masse G de S est tel que :

AS

OAdm =

AS 1

OAdm +

AS 2

OAdm

= M1 OG1 + M2 OG2 (2.9)

= M OG

2.4.2 Symtries

On dira quun systme S possde une symtrie matrielle par rapport un point, une droite ou unplan si pour tout point A du systme, il existe un point B symtrique de A (par rapport au point, la droite ou au plan) tel que :



32/91


B appartient S , (A) = (B) avec la masse volumique locale.

T Si un systme possde un lment de symtrie, alors son centre de masse appartient

ncessairement cet lment de symtrie.

D Dmonstration vidente par utilisation de deux petits lments de matiresymtrique dont le centre de masse est situ sur llment de symtrie et par le fait que la somme

de deux vecteurs parallles une mme droite (ou plan) est un vecteur parallle cette droite

(plan).

2.4.3 Thormes de Guldin

Guldin (1577, 1643) est un scientifique (pre jsuite) suisse qui on attribue ces thormes ga-lement attribus Pappus dAlexandrie (300, ?) lequel a surtout comment les dcouvertes de cesprdcesseurs.

T Soit une plaque plane, homogne dpaisseur ngligeable. Soit G son centre demasse et une droite situe dans le plan de la plaque mais nappartenant pas au solide.

On a :

2S HG = V (2.10)

Le point H est la projection orthogonale de G sur , S est la surface de la plaque et V le volumeengendr par S en rotation autour de laxe .

D Soit G le centre de masse de P la plaque.

S OG =

Plaque

OM ds (2.11)

Par projection sur un axe perpendiculaire on obtient :

S rG =

Plaque

r ds (2.12)

Ce qui donne par multiplication par2

2S rG =

Plaque

2r ds (2.13)

Le second membre reprsente le volume V engendr par la rotation de la plaque autour de laxe

.

Application : soit un demi disque dont on cherche le centre de masse. On utilise le fait que lecentre de masse appartient un axe de symtrie. On utilise le thorme de Guldin et on obtient :1/2R2 (2rG) = 4/3R3 soit rG = 4R/3.



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2.5. Modlisation des actions de contact

T Soit une courbe contenue dans un plan. Soit G son centre de masse et une droitesitue dans le plan de la courbe mais ne coupant pas la courbe.On a :

2LHG = S (2.14)

Le point H est la projection orthogonale de G sur , L est la longueur de la courbe et S la surfaceengendre par la courbe en rotation autour de laxe .

Application : soit un cercle de rayon r(courbe) qui par rotation autour dun axe (HG = R) engendreun tore dont on cherche la surface. On utilise le thorme de Guldin et on obtient : 2(2)RS soitS = 42Rr.

2.5 Modlisation des actions de contact

Le contact entre deux solides seffectue selon une surface aussi petite soit-elle note dS . On saitque les efforts lmentaires appliqus en un point Mpar S 2 sur S 1 sont reprsents par un vecteurd f(M, S 2 S 1) attach au point M. Le rapport entre leffort lmentaire et llment de surface

est une densit surfacique deffort (homogne une pression Nm2 = Pa). Le problme est quedans la plupart des cas il est impossible de connatre la valeur de ces actions en tout point M. Ondoit alors faire des hypothses.

Cas de contact dit parfait (sans frottement). On assimile dans ce cas le contact entre deux so-lides celui exerc par un fluide parfait sur un solide : dans ce cas les actions sont normales llment de surface local.

Exemple : soit un solide S 2 qui exerce sur S 1 une pression constante le long dune ligne (surface).Calculer en un point le torseur des actions mcaniques de S 2 sur S 1.

Refaire le mme calcul en supposant que dans la ralit ces pressions varient (linairement) lelong de la ligne (surface) de contact.

Remarque On constate donc que ds que les actions locales de contact sont connues avec prci-sion, on peut dterminer le torseur des actions de contact.

Cas de contact avec frottement. Dans ce cas nous allons supposer que leffort d f(M, S 2 S 1)

est constitu de deux composantes : lune dirige suivant la normale n en M la surface de contactet une composante appartenant au plan tangent.

DOn note d f

n(M, S 2 S 1) la force normale et p = fn/dS la pression correspondante.

On note d ft(M, S 2 S 1) la force tangentielle et t = ft/dS la pression (dite de cisaillement)

correspondante.

Le problme est davoir une relation entre ces deux grandeurs dans le cas gnral de solides enmouvement relatif.



34/91


Soit V(P S 2/S 1) = Vg la vitesse de glissement au point P du solide S 2 par rapport au solide S 1.Ce vecteur appartient au plan tangent en P au deux solides.

2.5.1 Lois dites de Coulomb

Ces lois expriment une relation entre les actions normales et tangentielles. Bien quattribues Charles de Coulomb (1726, 1805) elles sont en fait dues L. de Vinci (1452, 1519) qui ne lespublia pas, et Amontons (1663, 1705), physicien franais qui ajouta un fait exprimental din-dpendance du coefficient de frottement par rapport la vitesse de glissement. C. de Coulomb quicite les travaux dAmontons a formalis lensemble de ces travaux et observ quun objet mis aurepos aprs un glissement relatif possde un coefficient de frottement plus important (coefficientdadhrence).

1er Cas On va considrer le premier cas dun glissement relatif (Vg

0).

Dans ce cas la force d ft

est oppose au vecteur glissement relatif et est proportionnelle au vecteurd f

n. Ceci scrit :

d ft(P, S 2 S 1) .V(P S 2/S 1) 0

d ft(P, S 2 S 1) V(P S 2/S 1) = 0

d ft(P, S 2 S 1) = f d fn(P, S 2 S 1)

(2.14)

La premire ingalit exprime le fait que les actions de contact tangentielles sopposent au glisse-ment relatif, la seconde quelles sont colinaires et la troisime que ces actions tangentielles sontproportionnelles - en cas de glissement - aux actions normales. Le terme f est appel coefficientde frottement. Il est caractristique du contact entre les deux solides (matriaux respectifs, type desurface).

2e Cas On va considrer le cas dun glissement relatif nul (Vg

= 0).

Dans ce cas la force d ft

est telle que :

d ft(P, S 2 S 1) f d fn(P, S 2 S 1) (2.15)

On ne peut plus utiliser de vitesse de glissement. On exprime simplement quen statique (plus demouvement relatif) les actions de contact tangentielles sont infrieures (en intensit) au cas limitedonn par lexistence dun glissement.

Remarque Si on suppose que la vitesse de glissement peut tre quelconque dans le plan tangentalors on dfinit le cne de frottement par f = tan tel que dans le cas de glissement relatif lesactions tangentielles se situent sur le cne.

Le cas dun contact parfait correspond un coefficient de frottement nul.



35/91

2.5. Modlisation des actions de contact

Tableau 2.1 Valeurs indicatives des coefficients dadhrence fs et de frottement f avec et sanslubrification. Le coefficient fs correspond en fait la valeur de f au dmarrage du mouvement

Nature des matriaux fs sans fs avec f sans f avec

Acier sur acier 0,18 0,12 0,15 0,09Acier sur fonte 0,19 0,1 0,16 0,08 0,04

Acier sur bronze 0,11 0,1 0,1 0,09Tflon sur acier 0,04 0,04Fonte sur bronze 0,1 0,2 0,08 0,04Nylon sur acier 0,35 0,12

Bois sur bois 0,65 0,2 0,4 0,2 0,16 0,04Mtaux sur bois 0,6 0,5 0 1 0,5 0,2 0,08 0,02Mtal sur glace 0,02

Pneu voiture sur route 0,8 0,6 0,3 0,1

2.5.2 Cas du contact ponctuel rel

Dans de nombreux cas on a des contacts entre surfaces de type sphre plan, cylindre cylindre... etles contacts peuvent tre assimils des contacts ponctuels (ils se limitent de petites surfaces).Le torseur des actions de contact exerces par S 2 sur S 1 peut de dcomposer en :

{T } =

F(S 2 S 1)

M(P, S 2 S 1)

=

Fn(P, S 2 S 1) + Ft(P, S 2 S 1)

Mn(P, S 2 S 1) + Mt(P, S 2 S 1)

(2.16)

Les quantits Fn et Ft reprsentent les efforts normaux et tangentiels, alors que Mn et Mt repr-

sentent les moments dits de pivotement et de roulement. Les indices n et t se rfrent au vecteurnormal n au plan tangent (de contact) et un vecteur appartenant ce plan t

Le torseur cinmatique du mouvement de S 2 par rapport S 1 scrit lui aussi au point P decontact :

{T } =

(2/1)

M(P, S 2/S 1)

=

n(2/1) + t(2/1)

Vg(P 2/1)

(2.17)

On appelle la composante normale du vecteur rotation le vecteur rotation de pivotement et lacomposante tangentielle vecteur rotation de roulement.On gnralise les lois de Coulomb en introduisant des coefficients de frottement de roulement etde pivotement en crivant de la mme manire si les vecteurs rotation sont non nuls :

Mn(P, S 2 S 1) . n(S 2/S 1) 0 (2.18)

Mn(P, S 2 S 1) = Fn(S 2 S 1) (2.19)

Mt(P, S 2 S 1) . t(S 2/S 1) 0 (2.20)

Mt(P, S 2 S 1) t(S 2/S 1) = 0 (2.21)

Mt(P, S 2 S 1) = Ft(S 2 S 1) (2.22)



36/91


Les paramtres et sont homognes des longueurs et valent (contact pneu chausse) 0, 01m.Pour un contact de type roue mtallique rail on a 0, 000005m. On peut se reprsenter ce paramtre comme une dimension caractristique de la surface de contact.

Dans le cas dun contact ponctuel idalis (pas de surface de contact), le torseur des actions m-caniques se rduit - au point de contact - sa rsultante.

2.6 Liaisons

Nous allons dans ce paragraphe nous intresser aux diffrentes liaisons qui existent entre les so-lides. Elles peuvent tre ponctuelles (bille sur plan), linique rectiligne (cylindre sur plan), lini-queire (bille dans cylindrique de mme rayon), rotule (bille dans sphre de mme rayon), plans(plan sur plan), pivot glissant (cylindre base circulaire dans cylindre base circulaire), glissire

(cylindre base non circulaire dans cylindre base non circulaire), pivot (surfaces de rvolutionnon cylindriques) et encastrement (aucun mouvement relatif).

" " " "

Contact plan/sphre! ponctuelle,Contact plan/cylindre! linaire rectiligne,Contact plan/plan! appui plan,Contact cylindre/sphre! linaire annulaire,Contact cylindre/cylindre! pivot glissant,Contact sphre/sphre! rotule ou sphrique.

! "#$%! &'#(%)*+! ,-./*+!

,-./*+!

! ! !

&'#(%)*+!

! !

!

"#$%! ! !

" "

Figure 2.1 Diffrentes associations de surfaces. Daprs Philippe Fichou.

2.6.1 Degr de libert

Cela dsigne le nombre de mouvements indpendants possibles, i.e. le nombre de paramtresscalaires utiles pour paramtrer la position du solide par rapport au repre de rfrence et que lonpeut faire varier indpendamment les uns des autres.

2.6.2 Liaison unilatrale

Certaines liaisons peuvent varier au cours du temps (un livre pos sur une table). Il peut tre pos(contact avec la table) ou enlev (il ny a plus de contact). On parle alors de contact unilatral.

Si techniquement il y a impossibilit denlever le livre de la table alors il y a contact bilatral.



37/91

2.6. Liaisons

2.6.3 Liaison ponctuelle

Remarque Nous allons classer les liaisons en partant de celles qui dfinissent un contact ponctuel,puis nous aurons les liaisons qui ont un contact selon une ligne et enfin selon une surface.

Cette liaison suppose dans la pratique des solides indformables du type sphre en appui sur unplan, cylindres croiss ou toute surface de forme quelconque en appui sur une autre en un point.On suppose le contact permanent en O donc la vitesse ne peut pas avoir de composante selon laxe(O, z).

Soit une liaison ponctuelle daxe z. Le moment en O des actions transmissibles entre S 2 et S 1 estnul. De plus si le contact seffectue sans frottement alors les efforts transmissibles sont daxe z.Donc le torseur des actions mcaniques de S 2 sur S 1 scrit dans la base (x, y, z) :

{T(S 2 S 1)} =

0 0 Z0 0 0

O

(2.23)

Dans cette criture les termes du haut reprsentent les composantes (dans la base de travail) de larsultante (X, Y et Z) ou (Rx, Ry, Rz) et les termes du bas celles du moment (L, M et N) ou (Mx,My, Mz) selon les cas.Le torseur cinmatique de cette liaison est de la forme :

{V(S 2/S 1)} =

x y z

Vx(O S 2/S 1) Vy(O S 2/S 1) 0

O

(2.24)

P1

A2O

(S1)

(S2)

x

y

z

Figure 2.2 Liaison ponctuelle.Daprs L. Grangon Figure 2.3 Le contact entre chaque

bille du roulement et une des cages estde type ponctuelle. Daprs S. Berto-rello



38/91


2.6.4 Liaison linaire rectiligne

Cette liaison est du type cylindre en appui sur un plan. La ligne de contact entre les deux solidesest une droite.

{T(S 2 S 1)} =

0 0 Z0 My 0

O

(2.25)

Le torseur cinmatique de cette liaison est de la forme :

{V(S 2/S 1)} =

x 0 zVx Vy 0

O

(2.26)

P1

O

(S1)

(S2)

x

y

z

D2

Figure 2.4 Liaison linaire rectiligne.Daprs L. Grangon

Figure 2.5 Pour fabriquer des rou-lements de petite dimension on utilisenon pas des billes mais des aiguilles(cylindres). Le contact aiguille avec lacage de roulement est de type linairerectiligne

2.6.5 Liaison linaire annulaire

Cette liaison est du type sphre dans un cylindrique creux de mme diamtre. La ligne de contactentre les deux solides est un cercle.

{T(S 2 S 1)} =

0 Y Z0 0 0

O

(2.27)


{V(S 2/S 1)} =

x y z

Vx 0 0

O

(2.28)



39/91

2.6. Liaisons

D1

O=A2

(S1)

(S2)

x

y

z

Figure 2.6 Liaison linaire annulaire. Daprs L. Grangon

2.6.6 Liaison rotule

Cette liaison est du type sphre dans une sphre creuse de mme diamtre. La surface de contactentre les deux solides est la sphre.

{T(S 2 S 1)} =

Z Y Z

0 0 0

O

(2.29)


{V(S 2/S 1)} =

x y z

0 0 0

O

(2.30)

O=A2=A

1

(S1)

(S2)

x

y

z

Figure 2.7 Liaison rotule. Daprs L.Grangon.

Figure 2.8 Exemple de liaison rotule.Daprs F. Fichou.



40/91


2.6.7 Liaison appui plan

Cette liaison est du type plan sur plan. La surface de contact entre les deux solides est un plan.

{T(S 2 S 1)} =

0 0 Z

Mx My 0

O

(2.31)


{V(S 2/S 1)} =

0 0 z

Vx Vy 0

O

(2.32)

P1

O

(S1)

(S2)

x

y

z

P2

Figure 2.9 Liaison appui plan.Daprs L. Grangon

Figure 2.10 Appui plan dfini par unebute avec roulements

2.6.8 Liaison pivot glissant

Cette liaison est du type cylindre base circulaire dans un cylindre creux base circulaire demme rayon. La surface de contact entre les deux solides est un cylindre.

{T(S 2 S 1)} =

0 Y Z0 My Mz

O

(2.33)


{V(S 2/S 1)} =

x 0 0Vx 0 0

O

(2.34)

2.6.9 Liaison pivotCette liaison est du type forme de rvolution non cylindrique dans une forme identique. La surfacede contact entre les deux solides est la surface de cette forme.

{T(S 2 S 1)} =

X Y Z

Mx My 0

O

(2.35)


{V(S 2/S 1)} = x 0 0

0 0 0

O

(2.36)



41/91

2.6. Liaisons

(S1)

(S2)

D1

D2

O

x

y

z

Figure 2.11 Liaison pivot-glissant.Daprs L. Grangon

"

Figure 2.12 Exemple de liaison pivot-glissant : injecteur. Daprs P. Fichou

2.6.10 Liaison glissire

Cette liaison est du type cylindre base non circulaire dans un cylindre identique. La surface decontact entre les deux solides est la surface du cylindre.

{T(S 2 S 1)} =

0 Y Z

Mx My Mz

O

(2.37)


{V(S 2/S 1)} = 0 0 0

Vx 0 0

O

(2.38)

O

(S1)

(S2)

x

y

z

P2

P1

D1

D2

Figure 2.13 Liaison glissire. DaprsP. Fichou.

Figure 2.14 Exemple de liaison glis-sire. Daprs L. Grangon.

2.6.11 Liaison glissire hlicodale

La surface de contact entre les deux solides est une surface hlicodale.



42/91


{T(S 2 S 1)} =

X Y Z

Mx My Mz

O

(2.39)

Mais on a une relation entre Mx et X de la forme Mx = p X.Le torseur cinmatique de cette liaison est de la forme :

{V(S 2/S 1)} =

x 0 0Vx 0 0

O

(2.40)

On a aussi une relation Vx = p x.

2.6.12 Liaison encastrement

Dans ce cas il y a de multiples contacts qui interdisent tout mouvement relatif entre les solides.

{T(S 2 S 1)} =

X Y Z

Mx My Mz

O

(2.41)


{V(S 2/S 1)} =

0 0 00 0 Vz

O

(2.42)

2.6.12.1 Liaison encastrement par obstacle

On peut souhaiter raliser des liaisons compltes qui soient dmontables. Dans ce cas on peutassocier les liaisons prcdentes :

2.6.12.2 Liaison encastrement par obstacle et adhrence

Il est courant de combiner des liaisons et le frottement qui existe toujours pour assurer une immo-bilit relative. On peut par exemple utiliser des liaisons pivot assures par des surfaces coniques etajouter soit des obstacles (goupilles ou clavettes) soit des systmes de serrage.Le mme type de liaison encastrement est obtenue avec des surfaces cylindriques base circulaire(liaison pivot glissant) et une obstacle.On peut aussi assurer cette liaison encastrement est obtenue avec des surfaces cylindriques basecirculaire et une systme de serrage.



43/91

2.6. Liaisons

" " " " " " " " "

12

Liaisons pivot et

ponctuelle en parallle

Figure 2.15 Liaison encastrementpar association de pivot et ponctuelle.Daprs P. Fichou.

" " " " " " " " "

1

2

Liaisons appui plan, linaire rectiligne

et ponctuelle en parallle

Figure 2.16 Liaison encastrement parassociation dappui plan, de linairerectiligne et de ponctuelle. Daprs P.Fichou.

" " " " " " " " "

2

1

Figure 2.17 Liaison encastrement par association de glissire et ponctuelle. Daprs P. Fichou.



44/91


Figure 2.18 Liaison encastrement par pivot et obstacles. Daprs P. Fichou.

Figure 2.19 Liaison encastrement pivot glissant et obstacles. Daprs P. Fichou.



45/91

2.6. Liaisons

Figure 2.20 Liaison encastrement par pivot glissant et obstacles. Daprs P. Fichou.



46/91


2.6.13 Rsum des liaisons

Dsignation de

la liaison Schmatisation spatiale Mobilits

Torseur daction

mcaniquetransmissible

Torseur daction

mcaniqueSimplifi

Schmatisation

plane

Pivot

daxe (A, x )

Tr

0

0

0

Rot

Rx

0

0

A

X12

0

Y12

M12

Z12

N12

"#$

%&'

Symtrie par rapport

(A, y, z )

A

0 0

Y12

0

Z12

0

"#$

%&'

1

2

z

Glissire

daxe (A, x )

Tr

Tx

0

0

Rot

0

0

0

A

0 L12

Y12

M12

Z12

N12

"#$

%&'

Symtrie par rapport

(A, x, z )

A

0 0

0 M12

Z12

0

"#$

%&'

x

z

1

2

Pivot glissant

daxe (A, x )

Tr

Tx

0

0

Rot

Rx

0

0

A

0 0

Y12 M12

Z12

N12

"#$

%&'

Symtrie par rapport

(A, y, z )

A

0 0

Y12

0

Z12

0

"#$ %&'

1

2

z

Appui plan de

normale (A, x )

Tr

0

Ty

Tz

Rot

Rx

0

0

A

X12

0

0 M12

0 N12

"#$

%&'

Symtrie par rapport

(A, x, y )

A

X12

0

0 0

0 N12

"#$

%&' 1

2

x

Rotulede centre A

Tr

0

0

0

Rot

Rx

Ry

Rz

A

X12

0

Y12

0

Z12

0

"#$

%&'

Symtrie par rapport

(A, x, y )

A

X12

0

Y12

0

0 0

"#$

%&'

2

1

x

Linaireannulaire

daxe (A, x )

Tr

Tx

0

0

Rot

Rx

Ry

Rz

A

0 0

Y12

0

Z12

0

"#$

%&'

Symtrie par rapport (A, x, z )

A

0 0

0 0

Z12

0

"#$

%&' x

z2

1

Linairerectiligne

de normale

(A,x )et de contact

(A, y )

Tr

0

Ty

Tz

Rot

Rx

Ry

0

A

X12

0

0 0

0 N12

"#$

%&'

Symtrie par rapport

(A, x, z )

A

X12

0

0 0

0 0

"#$

%&' z

x

2

1

Ce tableau nest pas exhaustif

NB : Le torseur des actions mcaniques transmissibles par une liaison glissire hlicodale nest pas modlisable

aussi simplement.

Figure 2.21 Liaison tableau. Ne me souviens plus de lemprunt. Dsol.



47/91

2.7. Quelques remarques

2.7 Quelques remarques

2.7.1 Puissance des actions de liaisons

On a constat que les torseurs cinmatique des liaisons et des actions transmissibles sont de laforme :

{V(I S 2/S 1)} =

0 y 0

Vx Vy 0

I

(2.43)

avec comme torseur statique :

{T(IS 2 S 1)} =

0 0 Rz

Mx 0 Mz

I

(2.44)

Les termes nuls et non nuls se correspondent dans les deux torseurs. Si lon calcule le comomentde ces deux torseurs nous allons retrouver par dfinition du torseur mcanique la puissance desactions mcaniques de S 2 sur S 1 dans son mouvement par rapport S 1. Ce comoment est nul.

Cette puissance nulle correspond donc la puissance des actions de liaison. Il est facile de consta-ter que lhypothse qui permet dobtenir ce rsultat est celle de contact parfait (sans frottement).

T Dans une liaison parfaite, la puissance des actions de liaisons est nulle.

D A faire par ltudiant. Sans difficult.

2.8 Statique des solides

D On dira quun solide S ou un ensemble de solides S i est en quilibre par rapport un repre R si le vecteur position de chaque point (du ou des solides) est indpendant du temps.

2.8.1 Principe fondamental de la statique

nonc. Il existe un repre galilen tel que pour tout sous systme s de lensemble de solides S itudi le torseur des actions extrieures appliqu ce sous systme est nul.

{T(Ext s)} = {O} s (2.45)

avec {O} le torseur nul.

La notion de repre galilen dpend de lobjectif vis. Une tude dun mcanisme sur terre se faitavec un repre local attach la terre, repre suppos galilen. Par contre envoyer une fuse sur lalune exige de considrer comme galilen un autre repre.

De lquation prcdente on en dduit videmment les deux quations :

R(Ext s) = 0

M(A,Ext s) = 0 A(2.46)



48/91


Remarque importante : Il faut faire trs attention la formulation de ce principe car un systmede solides soumis un torseur dactions extrieures nul nest pas ncessairement en quilibre parrapport au repre de travail. Il ny a pas quivalence sauf pour le cas dun solide. Cest la raison

pour laquelle il est ncessaire dajouter la condition de vecteur position de tout point indpendantdu temps (exemple de la paire de ciseaux trait en cours).

2.8.2 Thorme des actions rciproques

On considre un systme matriel E en quilibre par rapport R. On divise ce systme en deuxparties E1 et E2 (fig. 2.22). On applique le PFS chaque partie.

2.8.3 Rsum des liaisons

E1

E2

E

Figure 2.22 Actions rciproques

Pour E1 :

{T(E1 E1)} = {O} (2.47)

Or ce qui constitue lextrieur E1 est lextrieur E plus E2. donc :

{T(E E1)} + {T(E2 E1)} = {O} (2.48)

Si on considre maintenant le systme E2 :

{T(E E2)} + {T(E1 E2)} = {O} (2.49)

Si jajoute les quations 2.48 et 2.49 jobtiens :

{T(E E1)} + {T(E2 E1)} + {T(E E2)} + {T(E1 E2)} = {O} (2.50)

Je peux rassembler les termes {T(E E1)} et {T(E E2)} pour crire {T(E E)} car E1E2 =

E. On a donc au final :



49/91

2.9. Analyse des mcanismes

{T(E E)} + {T(E2 E2)} + {T(E1 E2)} = {O} (2.51)

Or je peux aussi appliquer le PFS au systme E ce qui me permet den conclure que :

{T(E1 E2)} = {T(E1 E2)} (2.52)

On en dduit que le torseur des actions mcaniques exerces par E1 sur E2 est oppos celui desactions exerces par E2 sur E1.

2.9 Analyse des mcanismes

Nous allons nous intresser des systmes de solides en liaison les uns avec les autres par des liai-

sons sans frottement (liaisons parfaites), les solides sont indformables et nous ngligerons assezsouvent les actions de la pesanteur devant les autres actions mcaniques. Le PFS sapplique donc chaque solide du mcanisme tudi.

Lobjectif est la fois dtudier la cinmatique dun mcanisme (relation entre sortie) et les ac-tions mcaniques entre les solides du systme tudi.

Chaque solide tant en contact avec un ou plusieurs autres, on retrouvera une des liaisons lmen-taires pour chaque liaison entre deux solides. On pourra donc tracer le graphe des liaisons.

Selon les cas nous avons diffrentes situations :

Liaison ferme. Le schma 2.23 reprsente un rducteur simple. Le solide 1 est en liaison pivotavec le solide 0 de mme que le solide 2 avec 0. On peut faire lhypothse dun contact ponctuelentre 1 et 2 ce qui permet de tracer le graphe suivant (figure 2.24).

Liaison ouverte. Dans certains cas - robots par exemple - il y a des bras de manipulation qui sepromnent dans lespace. Le graphe devient (figure 2.26).

Liaison complexe Dans la majorit des cas on trouve une combinaison de ces assemblages quinous donnent des graphes plus complexes comme indiqu sur la figure 2.27.

2.10 Exercice

Nous allons tudier le systme suivant, un portique (figure 2.28), constitu dun mur not 0, dunebarre mtallique note 2 en liaison rotule avec le mur en A et une autre tige mtallique en B, dunebarre de forte section 1 en articulation pivot avec le mur en O. Les vecteurs OA, OB et OCvalentrespectivement h z, L y et d y. Toutes les liaisons sont supposes parfaites. Le tirant 2 tant unebarre de section faible, nous ngligerons laction de la gravit sur cette barre devant les efforts misen jeu. Lobjectif est de calculer les actions mcaniques en O, A et B en fonction des diffrentsparamtres d, h, F qui reprsente leffort extrieur appliqu au systme.



50/91


0

1

2

Figure 2.23 Liaison ferme

2

1

0Lp

10

Lp

20

L12ponct

Figure 2.24 Graphe de la liaison fer-me

01

2

3

4

Figure 2.25 Liaison ouverte

210

Lp

10 L12rott

3

L23rott

4

L34p

Figure 2.26 Graphe de la liaison ou-verte

!

0

1

2 4

3

Figure 2.27 Liaison complexe train picylodal



51/91

2.10. Exercice

Remarque : le portique est bien dans un plan mais leffort appliqu tant hors du plan y, z nousavons un problme tri dimensionnel traiter.

Figure 2.28 Portique et chargement. Daprs? ?pas dramatique

Figure 2.29 Graphe des liaisons.Daprs? ? idem

Nous allons tracer afin de bien comprendre le systme le graphe des liaisons (figure 2.29).

Analyse statique. Nous allons isoler successivement les diffrents solides. Soit le PFS appliqu

2. Nous avons dcid de ngliger les actions de la gravit sur ce solide de masse faible. Donc ona :

{T(2 2)} = {T(0 2) + {T(1 2)} (2.53)

= {O} (2.54)

Le torseur des actions mcaniques transmissibles de 0 sur 2 est donn par :

{T(0 2)} =

X02 Y02 Z020 0 0

A

(2.55)

Le torseur des actions mcaniques transmissibles de 1 sur 2 est donn par :

{T(1 2)} =

X12 Y12 Z120 0 0

B

(2.56)

Nous pouvons crire lquation dquilibre au mme point B par exemple. Le seul torseur r-exprimer est celui des actions exerces par 0 sur 2. On utilise la relation de torseur : M(B, 0 2) = M(A, 0 2) + BA R(0 2). Compte tenu des donnes on obtient :

{T(0 2)} =

X02 Y02 Z02

LZ02 hX02 LX02

B

(2.57)

Le PFS scrit donc en projection sur les axes du repre :



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X02 + X12 = 0 (2.58)

Y02 + Y12 = 0 (2.59)

Z02 +Z12 = 0 (2.60)

LZ02 hY02 = 0 (2.61)

hX02 = 0 (2.62)

LX02 = 0 (2.63)

Nous avons au bilan 5 quations indpendantes pour 6 inconnues. On peut choisir des inconnuesprincipales (une dans ce cas) et crire que les torseurs mcaniques valent :

{T(0 2)} =

0 L

hZ02 Z02

0 0 0

A

(2.64)

{T(1 2)} =

0 L

hZ02 Z02

0 0 0

B

(2.65)

Pour poursuivre, il faut isoler un autre solide, par exemple le solide 1. Si on fait le bilan des effortsextrieurs appliqus on a :

La pesanteur qui se rduit un glisseur en G, La force F qui correspond un glisseur au point dapplication de cette force, Les actions mcaniques des solides 2 en B et 0 en O.Action de la force F :

{T(F 1)} =

Fx 0 Fz0 0 0

C(2.66)

Action de la gravit M g :

{T(M g 1)} =

0 0 Mg0 0 0

G

(2.67)

Action de 0 sur 1 en O :

{T(0

1)

} = X01 Y01 Z010 M01 N01

0 (2.68)

Action de 2 sur 1 en B : elles se dduisent par utilisation du thorme des actions mutuelles decelles des actions de 1 sur 2 (quation 2.69) par :

{T(2 1)} =

0 L

hZ02 Z02

0 0 0

B

(2.69)

Au final on crit le PFS appliqu 1. Le problme est de choisir le point o lon crit cette galitdes torseurs. On choisit par simplicit le point O car cest en ce point que le torseur des actions de0 sur 1 est le plus complet.



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2.11. Mobilit, hyperstatisme

Action de la force F ramen au point O :

{T(F 1)} = Fx 0 Fz

dFz 0 dFx

O (2.70)

Action de la gravit M g en O :

{T(M g 1)} =

0 0 Mg

LMg

2 0 0

O

(2.71)

On trouve alors le systme dquations :

Fx + X01 = 0 (2.72)

Y01 Lh

Z02 = 0 (2.73)

Fz Mg +Z01 +Z02 = 0 (2.74)

dFz LM g

2+ LZ02 = 0 (2.75)

M01 = 0 (2.76)dFx + N01 = 0 (2.77)

On peut alors rsoudre compltement le systme de 6 quations 6 inconnues. On en dduit :

X01 = Fx (2.78)

Y01 = MgL

2h+ Fz

d

h(2.79)

Z01 = Fz(1 d

L) +

Mg

2(2.80)

Z02 = Fzd

L+

Mg

2(2.81)

M01 = 0 (2.82)

N01 = dFx (2.83)

Faire une application numrique en supposant que 10Fx = Fz = 1000N et que la masse de la barre

1 vaut 30kg. On prend L = h = 5m et d = 4m.

Analyse cinmatique. Nous savons que les liaisons sont de type rotule en A et B donc :

{V(2/0)} =

x y z

0 0 0

A

(2.84)

De la mme faon nous avons :

{V(2/0)} = x y z

0 0 0

B

(2.85)

2.11 Mobilit, hyperstatisme

Nous allons tudier un exemple simple : celui dun arbre 1 en liaison pivot glissant en deux sec-tions diffrentes dcales dune quantit e (figure 2.30).

Analyse cinmatique. On crit les torseurs cinmatiques des liaisons en A et A :

{V(S 1/S 0)} =

x 0 0Vx 0 0

A

(2.86) {V(S 1/S 0)} =

x 0 0Vx 0 0

A

(2.87)

On peut utiliser la composition de mouvement pour crire que :



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A A

e

L

Figure 2.30 Arbre en liaison pivot sur deux paliers excentrs

{V(S 1/S 0)} + {V(S 0/S 1)} = {O)} (2.88)

Ecrivons le premier torseur en A comme celui de cette liaison et le second (ramen en A) commecelui de la seconde liaison en A. Dans ce cas on trouve :

x 0 0Vx 0 0

A

x 0 0Vx 0 ex

A

=

0 0 00 0 0

(2.89)

On en dduit que pour retrouver une liaison de type pivot glissant il faut que le terme ex soit nulce qui impose dont e = 0 ce qui correspond des paliers parfaitement aligns. Dans ce cas on abien le fait que les vitesses de rotation et de translation sont gales.

Dans le cas e 0 alors la liaison est de type glissire puisque la condition ex = 0 nous imposedans ce cas x = 0.

D Le degr de mobilit dune liaison correspond au nombre de paramtres indpen-dants du torseur cinmatique tout comme celui dun mcanisme.

Analyse statique. On crit les torseurs statiques des liaisons en A et A :

{T(S 1 S 0)} =

0 Y Y0 M N

A

(2.90) {T(S 1 S 0)} =

0 Y Z

0 M N

A(2.91)

On crit le PFS appliqu au solide 1.

{T(S 0(A) S 1)} + {T(S 0(A) S 1)} = {O)} (2.92)

On crit cette galit au mme point A ce qui donne :

0 Y Z0 M N

A

0 Y Z

eZ M + LZ N + LY

A

=

0 0 00 0 0

(2.93)

On constate que (avec la condition e = 0 qui permet davoir la liaison globale pivot glissant) onaboutit un systme de quatre quations indpendantes avec 8 inconnues statiques. On dit que lesystme est hypertatique dordre 8 4 = 4. Cela signifie que quelque soit le chargement extrieurimpos larbre 1 il sera toujours impossible sans hypothse supplmentaire de calculer les ac-tions de liaisons en A et A.



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2.12. Statique graphique

D On dit quun systme est hyperstatique si le nombre des inconnues statiques est su-prieur au nombre dquations indpendantes obtenues en isolant les diffrents solides du systme.

Dans le cas dun nombre dinconnues statiques gal au nombre dquations indpendantes le sys-tme est isostatique.

Question. Comment rendre ce systme isostatique ? Si lon adopte le point de vue statique il nousfaut supprimer quatre inconnues. On peut le faire en supprimant une des liaisons (mais alors il y apeut tre des problmes de porte faux), ou en transformant le systme. A complter.

2.12 Statique graphique

Dans le cas particulier dun systme plan (le portique prcdent par exemple) charg dans son plan(Fx = 0) on peut parfois utiliser une construction graphique. En effet pour que le PFS soit vrifi

il faut et il suffit quun solide soumis deux forces soit tel quelles correspondent des vecteursopposs, de mme support.

Si le solide est soumis trois forces alors pour satisfaire lquation de moment et de la rsul-tante elles doivent tre concourantes (se couper en un mme point) et de somme vectorielle nulle.Dmonstration facile faite en cours.

2.13 Chane ouverte

Dans le cas dune chane dite ouverte (typiquement un robot manipulateur) on a n + 1 solides

en liaisons les uns par rapport aux autres, chaque solide i tant en contact avec i 1 et i + 1.On considre que le bti est not 0. Il y a donc n liaisons entre des solides. On suppose que lesefforts extrieurs sont appliqus au dernier solide de la chane (logique pour un bras manipulateur).

i-110

L1 0

Li-2 i-1

i

Li-1 i

n

Ln-1 n

Ext

Figure 2.31 Chane ouverte (robot)

Analyse cinmatique. On peut par composition des mouvements crire que :

{V(n/0)} =n1

{V(i/n i)} (2.94)

Nous aurons donc 6 quations scalaires pour un nombre Nc dinconnues cinmatiques indpen-dantes (la somme des inconnues de chaque torseur cinmatique).



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Le degr de mobilit est donc de Nc.

Remarque. Il est possible que, pour une position donne du solide n des mouvements internes

soient permis. Il y a alors un degr de mobilit interne quil faut souvent liminer (usure, vibra-tions).

Analyse statique. On va isoler successivement les solides ou ensemble de solides suivants : n, net n 1, n, n 1 n et n 2 jusqu isoler lensemble de n 1. On peut pour le solide n crire parapplication du PFS :

{T(Ext n)} + {T(n 1 n)} = {O} (2.95)

On peut faire de mme pour lensemble de solides n et n 1 :

{T(Ext (n, n 1))} + {T(n 2 (n, n 1))} = {O} (2.96)

Or {T(Ext (n, n 1))} est gal {T(Ext n)} car il ny a pas dautres efforts extrieurs quecelui en bout de chane. Donc on en dduit :

{T(Ext 1)} + {T(1 0)} = {O} (2.97)

De faon gnrale on peut crire pour tous les solides i :

{T(i i 1)} = {T(Ext n)} i 1 n (2.98)

Ce systme dquations fournit 6n quations dont le second membre est invariablement le torseurdes efforts extrieurs. La position dquilibre peut toujours tre trouve et les inconnues de chaquetorseur de liaison galement. Le systme est toujours isostatique.

2.14 Chane ferme

Il sagit dun cas trs courant de mcanismes dont les solides sont en liaisons les uns par rapport

aux autres avec une seule liaison sauf pour le bti qui est en liaison avec le solide 1 et le solide n.Il est raisonnable dintroduire des actions extrieures agissant sur 1 (moteur) et sur n (rcepteur)dans le cas dune transformation de mouvement.

Analyse cinmatique. On peut par composition des mouvements crire que :

{O} = {V(0/1} + {V(1/2} + ... + {V(n 1/n} + {V(n/0} (2.99)

On

Mécanique des solides indéformables

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