SYS852 - Hiver09 - ETS1 Version 02/2009 (A.S.) Cours Mécanique des solides en 3D et en 2D.

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Cours

Mécanique des solides en 3D et en 2D


Équations d’équilibre en 3D

Seconde Loi de Newton :

État plan de contrainte :

2

, 2

2

, 2

2

, 2

xyxx xzv x

xy yy yzv y

yzzx zzv z

uf

x y z t

vf

x y z t

wf

x y z t

force/masse accélération

0yz xz zz

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Version 02/2009 (A.S.)

Équations d’équilibre en 3D Notion de déformation :

déformation longitudinale :les facettes AB et CD ne se déplacentpas de la même manière

x

allongement AC= =

longueur ACxx

u

x

1B 1DB D

x

x

x

1CCA

TRACTION

1A

u u u

0 de la même façon on trouve : etxx yy zz

u u wsi x

x y z

dans la direction



déformation angulaire :

déplacement relatif C par

rapport à A

v

tanCC

AC

c

B

v v

x xu u

y y

;

;

: rotation de la fibre ACSi les déplacements sont petitstan ;

B B

x

C

CA

2



L’angle de cisaillement

cas particulier rotation de l’élément sans cisaillement

inconnues : : 6 composantes en 3D

déplacements en 3D :

Loi de comportement du matériau :

Loi de Hooke pour une barreE = module de Young


xy

v u

x y

0

,u v et w

xx xx



généralisation en 3D :

xx xx

yy yy

zz zz

xy xy

xz xz

yz yz

D

matrice despropriétés du matériau



1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 21 1 2 0 0 0 0 02

1 20 0 0 0 0

2

1 20 0 0 0 0

2

ED

1 1: matériau incompressible

2 2si


Équations d’équilibre en 2DLoi de Hooke en état plan de contraintes :

en imposant ces 3 conditions, on trouve une relation entre :

0xz yz zz

0 0 0xz xz zz

et , ,

et

zz xx yy xy

yz xz



État plan de contraintes

1 0

1 0

1 00 0

2

xx xx

yy yy

xy xy

D D

2

2

2

1

11

2 12 1

xx xx yy

yy xx yy

xy xy xy xy

vv

vvv

Gvv


Équations d’équilibre en 2DModèle physico-mathématique de l’état plan de contraintes :


0

0

xyxxx

xy yyy

fx y

fx y

équations d’équilibre :


en régime permanent :


2 2

2 20

u

t t

A D

B C

xq

E

poutre épaisse

p

x

constante


Équations d’équilibre en 2DLoi de comportement :


conditions aux limites : déplacement imposéforce/contrainte imposée


hypothèse petits déplacements


D

: 0

0

AB u

AD

BC x

contrainte répartie selon


Formulation variationnelleFormulation variationnelle (principe des travaux virtuels)


intégration par parties


0xy xy yyxxx y

A

W u f v f dAx y y y

xxxx xx x

A A S

xyxy xy y

A A S

xyxy xy x

A A S

yyyy yy y

A A S

uu dA dA u n dS

x x

uu dA dA u n dS

y y

vv dA dA v n dS

x x

vv dA dA v n dS

y y


Formulation faibleLoi de comportement :


force par unité de surface

travail virtuel des forces de surface = t

xx xy x

yxy yy

termes de contour

σ σ nδu , δv

nσ σ

xx x xy y

S

xy x yy y

S

S

u n n dS

v n n dS



termes d'intégration de surface

, ,

xx yy xy

A

xx

yy

A

xy

u v u vdA

x y y x

u v u vdA

x y y x

travaux virtuels des travail des forcesforces internes sur le contour

travail des forces volumiques

, ,A S A

W dA u v t ds u v f dA

Forme faible :

0 travail virtuel des forces internes = travail virtuel des forces externesW


Principe des travaux virtuels :

Si est la solution d’équilibre alors pour tout déplacement virtuel on a l’équilibre :

Modèle numérique :• maillage• formulation en déplacement : les inconnues principales sont , on

récupère par la suite et

approximation par éléments finis :

( , )u v

( , )u v internes externesW W

( , )u v

1

1 1 2 2

1 1 2 2

...

...

ee

n

ee

ee

u

u N u N u N N u

u

v N v N v N v

uN U

v


Discrétisation

1

12

1

1 2

2

1 1 2 22

0 0

0 0 : vecteu

eee

xx

eee

yy

e ee ee

xy

e

xx

e

yy

xy

u Nu

x x

v Nv

y y

u v N Nu v

y x y x

uN N xx

v

N y N y U

u

N y N x N y N xv

:

r des dd.l de l'élément

xy matrice des gradients

e


Discrétisation

D’autre part :

Matrice de rigidité élémentaire et vecteur des charges volumiques :

e e e

xyD D

Te e

xy

TF N

e

e

exy xyA

ev vA

K B D B dA

et

f dA

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