Mécanique des systèmes de solides indéformables · On appelle espace affine , un ensemble...

Cours de Mécanique des Systèmes de

Solides Indéformables

M. BOURICH (ENSAM)

Deuxième édition 2014

AVANT–PROPOS

Ce manuel est un cours de base de la mécanique des systèmes de solides indéformables,

particulièrement destiné aux étudiants de la deuxième année de l’École Nationale des Sciences Appliquées

de Marrakech. La première édition du présent manuel est constituée du cours que j’ai assuré, entre 2004

et 2010, en deuxième année SMP à la faculté poly-disciplinaire de Safi. Cette seconde édition respecte le

contenu du descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables de la filière EGT, de l’École

Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech, accréditée.

L'objectif de ce cours est d'apporter une contribution à l'acquisition d'une culture scientifique de

base permettant une meilleure compréhension des lois du mouvement et la maîtrise dans le maniement

des outils de la mécanique.

Chaque chapitre s’ouvre par la précision des objectifs et des compétences visées. L’introduction de

chaque concept est accompagnée par une brève évolution dans le temps, de la sorte que l’étudiant

pourra relater les événements marquants de l’histoire de la mécanique.

Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est

articulé en sept chapitres :

Calcul vectoriel-Torseurs,

Cinématique du solide,

Géométrie des masses,

Cinétique du solide,

Dynamique du solide,

Liaisons-Forces de liaison,

Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes.

Pour l’élaboration de ce cours polycopié, j’ai utilisé de nombreuses ressources pédagogiques

citées en bibliographie : ouvrages, sites Web et le polycopié de mon cher enseignant Monsieur M.

Hasnaoui.

Gageons que ce cours constituera un précieux outil pédagogique pour les étudiants, tant pour une

préparation efficace des examens que pour l’acquisition d’une solide culture scientifique.

M.Bourich

Illustration de couverture :

GALILÉE (Galileo Galilei, 1564-1642)

(Source : https://www.delcampe.net)

Mathématicien, philosophe et astronome italien. Il utilisa le premier, en 1610, un système optique

pour observer le ciel et révolutionna l'observation de l'Univers. Il découvrit l'inégalité de la surface de la

Lune, les 4 étoiles (satellites) autour de Jupiter, Saturne au triple corps (les anneaux), les phases de

Vénus, et résolut la Voie Lactée en étoiles.

Il fut un des précurseurs de la mécanique classique (celle de Newton), introduisant l'usage des

mathématiques pour l'explication des lois de la physique. Il établit la loi de la chute des corps dans le vide,

et donna une première formulation du principe de relativité. Il défendit ardemment les thèses

héliocentriques de Copernic. Contraire aux Saintes Ecritures, le livre écrit sur le sujet fut interdit et les

exemplaires saisis et brûlés.

A 70 ans (en 1634), jugé par l'église catholique, il fut accusé d'hérésie et dut prononcer un serment

d'abjuration pour ne pas être condamné à mort sur le bûcher. L'Église l'a réhabilité seulement en 1992.

Table des matières

AVANT–PROPOS ................................................................................................................................................................................................... 2

PLAN D’ÉTUDE D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE ............................................................................................................................................................... 7

CALCUL VECTORIEL - TORSEURS...................................................................................................................................................................... 10

I– Approche historique ........................................................................................................................................................................... 10 II– Définitions ........................................................................................................................................................................................... 10

1 – Espace vectoriel ........................................................................................................................................................................... 10 2 - Espace vectoriel Euclidien .......................................................................................................................................................... 10

II- Espace Affine-Espace Métrique ....................................................................................................................................................... 10

1 – Espace affine ................................................................................................................................................................................. 10

2 - Espace métrique ............................................................................................................................................................................ 11

III– Vecteurs-Moment d’un vecteur ...................................................................................................................................................... 11

1- Introduction ...................................................................................................................................................................................... 11

2- Vecteur lié-Vecteur glissant ........................................................................................................................................................ 11

3 - Opérations sur les vecteurs ....................................................................................................................................................... 11

4- Moment d’un vecteur en un point............................................................................................................................................... 12

IV- Torseurs .............................................................................................................................................................................................. 13 1 - Introduction .................................................................................................................................................................................... 13

2- Application antisymétrique ......................................................................................................................................................... 13

3- Champ antisymétrique ................................................................................................................................................................. 14

4- Torseurs .......................................................................................................................................................................................... 15

CINÉMATIQUE DU SOLIDE ................................................................................................................................................................................. 20

I. Approche historique ........................................................................................................................................................................... 20

II. Espace Repère-Solide rigide ........................................................................................................................................................... 20

1- Espace repère ................................................................................................................................................................................ 20

2- Définition d’un solide rigide ........................................................................................................................................................ 20 III. Notion des Champs des Vitesse et des Accélérations ............................................................................................................... 21

1-Introduction ...................................................................................................................................................................................... 21 2-Champ des vitesses d’un solide .................................................................................................................................................. 21

3- Champ des accélérations d’un solide ....................................................................................................................................... 21 IV. Mouvements de translation-rotation-tangent ............................................................................................................................ 22

1- Mouvement de translation ........................................................................................................................................................... 22

2- Rotation d’un solide autour d’un axe fixe ................................................................................................................................ 22

3- Mouvement hélicoïdal .................................................................................................................................................................. 23

4- Mouvement général d’un solide : Mouvement tangent ......................................................................................................... 23

IV- Composition des Mouvements ....................................................................................................................................................... 24

1- Dérivation vectorielle ................................................................................................................................................................... 24

2- Composition des vitesses ........................................................................................................................................................... 25 3- Composition des vecteurs rotations ....................................................................................................................................... 25

4- Composition des accélérations ................................................................................................................................................. 26

V- Cinématique des solides en contact............................................................................................................................................. 26 1- Vitesse de glissement ................................................................................................................................................................... 27

2- Roulement et pivotement ............................................................................................................................................................ 28

VI- Mouvement plan d’un solide ............................................................................................................................................................ 28

1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 28 2- Centre instantané de rotation (C.I.R.) ...................................................................................................................................... 29

3- Base et roulante-Étude analytique ........................................................................................................................................... 29

GÉOMÉTRIE DES MASSES ................................................................................................................................................................................. 35

I. Approche historique ...........................................................................................................................................................................35

II. Masse - Centre de Masse .................................................................................................................................................................35

1- Définition .........................................................................................................................................................................................35 2- Centre de masse ......................................................................................................................................................................... 36

3- Théorème de Guldin .................................................................................................................................................................... 36 Les méthodes pratiques de recherche de G dans le cas de corps homogènes : ............................................................... 36

4- Centre de masse de volume ou de surface homogènes présentant un axe de révolution ......................................... 38

III. Moment d’inertie - Opérateur d’inertie ....................................................................................................................................... 38 1- Définitions ...................................................................................................................................................................................... 38

2- Moment d’inertie .......................................................................................................................................................................... 39 Les relations entre ces grandeurs :On peut écrire .................................................................................................................. 39

3- Opérateur d’inertie en un point O ............................................................................................................................................. 40

IV- Matrice d’inertie-Matrice principal d’inertie............................................................................................................................... 41

1- Matrice d’inertie ............................................................................................................................................................................. 41

2- Matrice principale d’inertie: ....................................................................................................................................................... 42 V- Théorème de Huygens ...................................................................................................................................................................... 43

1- Relation entre les opérateurs d’inertie d’un système en deux points .............................................................................. 43 2- Théorème de Huygens .................................................................................................................................................................... 1

VI- Exemple de corps homogènes classiques ............................................................................................................................. 44

CINÉTIQUE DU SOLIDE ...................................................................................................................................................................................... 49

I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 49

II. Définitions des cinq quantités cinétiques ...................................................................................................................................... 49

III. Torseur Cinétique ............................................................................................................................................................................... 49

1- Quantité de Mouvement ................................................................................................................................................................ 49 2- Moment Cinétique ........................................................................................................................................................................ 50

IV. Torseur Dynamique [D] ..................................................................................................................................................................... 52 1. Quantité d'accélération (résultante dynamique) .................................................................................................................... 52

2- Moment dynamique ......................................................................................................................................................................53

3- Autres résultats ........................................................................................................................................................................... 54

V. Énergie Cinétique ................................................................................................................................................................................ 56

1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 56

2- Deuxième théorème de Kœnig .................................................................................................................................................. 56

DYNAMIQUE DU SOLIDE .................................................................................................................................................................................... 60 I. Approche historique............................................................................................................................................................................ 60

II. Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux .............................................................................................. 60

1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 60

2- Torseur des forces appliquées à (S) ...................................................................................................................................... 60

3- Classification des forces ............................................................................................................................................................. 61

4- Principe fondamental de la dynamique (PFD) ou axiome de la dynamique ..................................................................... 61

5- Théorème des interactions ou théorème de l’action et de la réaction ............................................................................ 62 III- Changement de repère - Repère galiléen ................................................................................................................................... 63

1- Position du Problème ................................................................................................................................................................... 63

2- Torseur dynamique d’entraînement-Torseur dynamique de Coriolis .............................................................................. 63 IV. Travail et puissance ........................................................................................................................................................................... 64

1- Puissance d’un couple appliqué à un solide ............................................................................................................................. 64

2- Puissance d’un torseur de forces appliquées à un solide .................................................................................................. 64

3- Puissance du torseur des forces appliquées à un système matériel (S) ...................................................................... 65 4- Théorème de l’énergie cinétique .............................................................................................................................................. 66

LIAISONS - FORCES DE LIAISON ...................................................................................................................................................................... 70

I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 70

II. Liaisons-Actions de contact .............................................................................................................................................................. 70

1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 70 2- Liaisons ........................................................................................................................................................................................... 70

3- Liaison holonome ........................................................................................................................................................................... 71

4- Action de contact ........................................................................................................................................................................... 71

III. Lois de Coulomb ................................................................................................................................................................................... 71

1- Approche historique ...................................................................................................................................................................... 71 2- Réaction normale ......................................................................................................................................................................... 72

3- Réaction tangentielle ................................................................................................................................................................... 72 4- Vitesse de rotation de pivotement-roulement ....................................................................................................................... 73

5- Puissance totale des actions de contact ................................................................................................................................ 73 IV. Exemple d’application: mouvement d’une sphère sur un plan incliné..................................................................................... 74

MOUVEMENT D’UN SOLIDE AUTOUR D’UN POINT OU D’UN AXE FIXES ................................................................................................................ 79

I- Approche historique ............................................................................................................................................................................ 79

II- Rotation d’un Solide autour d’un Point Fixe (Angles d’Euler) .................................................................................................... 79

1- Angles d’EULER ............................................................................................................................................................................... 79 2- Moment cinétique en O du solide : ........................................................................................................................................... 80

3- Moment dynamique en O: ........................................................................................................................................................... 80 4- Énergie cinétique: ........................................................................................................................................................................ 80

III- Exemple de la toupie symétrique sur sa pointe fixe O ............................................................................................................... 81

VI. Solide mobile autour d’un axe fixe ........................................................................................................................................... 84

1. Exemple ............................................................................................................................................................................................ 84

2. Énergie cinétique .......................................................................................................................................................................... 85

3. Mouvement du centre de gravité ............................................................................................................................................. 85

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................................................................................................ 87

Mécanique des systèmes de solides indéformables

M.BOURICH 7

PLAN D’ÉTUDE D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE

Définir le système mécanique étudié : (S)

Étude cinématique : vecteurs rotation

vecteurs vitesses

veteurs accélérations ….

Géométrie de masse : masse

centre de masse, d’inertie

matrice d’inertie ……

Étude cinétique : déterminer les torseurs des actions mécaniques

extérieures agissant sur (S) et les ramener

en des points judicieusement choisis

Étude dynamique : application des théorèmes généraux au système (S)

Résolution de système différentiel pour l’obtention des équations du mouvement de (S)


M.BOURICH 8

1

Chapitre

Calcul Vectoriel-Torseurs


M.BOURICH 9

Objectifs :

Définir un torseur (torsur symétrique et anti-symétrique, invariants scalaires) ;

Décomposer un torseur (couple et glisseur) ;

Comprendre la notion de torseur équiprojectif ;

Décrire les élements de réduction d’un torseur ;

Déterminer l’axe central.

Galilée : (1564-1642) La philosophie est écrite dans ce grand livre, l'univers,

qui ne cesse pas d'être ouvert devant nos yeux. Mais ce livre ne peut se lire si on ne comprends pas le langage et on ne connaît

pas les caractères avec lesquels il est écrit. Or, la langue est

celle des mathématiques, et les caractères sont triangles,

cercles et d'autres figures géométriques. Si on ne les connaît pas, c'est humainement impossible d'en comprendre même pas

un seul mot. Sans eux, on ne peut qu'aller à la dérive dans un

labyrinthe obscur et inextricable". G. Galilei, "Il Saggiatore",

Rome, 1623


M.BOURICH 10

CALCUL VECTORIEL - TORSEURS

I– Approche historique

Pour les problèmes de physique, l'Allemand Hermann Grassman (1809-1877) fut l’un des

premiers à utiliser la notation vectorielle. L'Américain Gibbs (1839-1903) et l'Anglais Heaviside

(1850-1925), disciples de Hamilton (l'un des premiers à utiliser la notion de vecteur), donnent au

calcul vectoriel sa forme quasi définitive. L’intérêt de la maitrise du calcul vectoriel est

fondamental pour la bonne application des lois de la mécanique.

II– Définitions

1 – Espace vectoriel

On appelle espace vectoriel E sur un corps commutatif K un ensemble d’éléments

(vecteurs) qui vérifient les propriétés suivantes:

- E est muni d’une structure de groupe commutatif pour une loi de composition interne,

l’addition vectorielle, notée (+).

- , K et Evu

, , on a : et

2 - Espace vectoriel Euclidien

Un espace vectoriel E est dit euclidien s’il est muni d’un produit scalaire f qui à ,

fait correspondre le nombre réel tel que:

=

( égalité si )

Notation:

II- Espace Affine-Espace Métrique

1 – Espace affine

On appelle espace affine , un ensemble d’éléments appelés points tels qu’à tout couple

ordonné de deux points A et B (bipoints), on fait correspondre un vecteur d’un espace

vectoriel E et si A, B et C , on a:

O et E, ! A défini par

u v u v

u u

Ev,u

f u v ,

f u v , f v u

,

f u v f u v , ,

f u v w f u v f u w , , ,

f u u , 0

u 0

f u v u v ,

AB

AB BA

AC AB BC

u

uOA


M.BOURICH 11

2 - Espace métrique

Un espace métrique est un espace affine auquel on a associe un espace vectoriel

euclidien.

Pour la suite du cours, on désignera par l’espace métrique associé à un espace vectoriel

euclidien E de dimension 3.

III– Vecteurs-Moment d’un vecteur

1- Introduction

En physique, la modélisation des grandeurs, qui ne peuvent être entièrement définies par

un scalaire ou une fonction numérique seuls, se fait par l’introduction de la notion de vecteur.

Par exemple, pour préciser un déplacement, une vitesse, ou une force, la direction et le sens sont

indispensables.

2- Vecteur lié-Vecteur glissant

On appelle vecteur lié, tout couple (A, ) formé de A appelé origine ou point

d’application et d’un vecteur de E appelé grandeur vectorielle.

Notation: (A, ) = (A) : on lit vecteur lié au point A.

Exemples: - Force résultante appliquée à un point.

- Champ électrique créé par une charge électrique en un point.

On appelle vecteur glissant, un vecteur défini à un glissement près sur un axe () appelé

support.

Notation: (, ) : vecteur glissant

Exemple: - Résultante dans le cas d’un torseur.

Soit b = ( , , ) une base orthonormée directe de E.

E, sera défini par ses composantes ux, uy et uz dans cette base :

ou dans (b)

3 - Opérations sur les vecteurs

3-1 Produit scalaire

Le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux

vecteurs. À deux vecteurs, elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire, d'où son

nom). Elle permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs,

angles, orthogonalité.

Soient et deux vecteurs libres non nuls de E.

u

u

u

u

u

u

ijk

u

u

kujuiuu zyx

z

y

x

u

u

u

u

u

v

zzyyxx vuvuvuvu

0vu

u

v

u

()


M.BOURICH 12

3-2 Produit vectoriel

Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens

orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel

d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique.

Aux deux vecteurs et de E, on peut associer un vecteur (unique) tel que:

On a , et ( , , ) forme un trièdre direct.

Conséquences

- Si et sont dans le plan de la feuille, est à ce plan.

-

- : le produit vectoriel est anti-commutatif.

3-3 Double produit vectoriel

Soient , et E.

3-4 Produit mixte

Considérons , et E.

Propriétés

: le produit mixte est invariant par permutation circulaire.

: le produit mixte change de signe dans le cas d’une permutation

non circulaire.

4- Moment d’un vecteur en un point

En physique, les moments des vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de

modéliser des grandeurs comme, moment d’une force, moment d’inertie et moment

cinétique…etc.

Soit (A, ) un vecteur lié et O .

Le moment en O du vecteur lié est le vecteur

Soit (, ) un glisseur et O .

est indépendant du point M .

u

v

w

xyyxz

zxxzy

yzzyx

z

y

x

z

y

x

vuvuw

vuvuw

vuvuw

v

v

v

u

u

u

vuw

w

u

w

v

u

v

w

u

v

w

0uu

uvvu

u

v

w

wvuvwuwvu

u

v

w

zzz

yyy

xxx

wvu

wvu

wvu

detw,v,uw∧vu

u,w,vv,u,ww,v,u

w,u,vv,w,uw,v,u

u

Au

u∧OA)A(u,O→→

M

u

( )u,O→ M

u

v

w

A

u

M(O,u(A))

O

u

u

M

O

M(O, u)

M'


M.BOURICH 13

Preuve:

IV- Torseurs

1 - Introduction

Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide

indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'ils subissent

de la part d'un environnement extérieur. Un certain nombre de vecteurs utilisés en mécanique

sont des moments : moment d'une force, moment cinétique, moment dynamique. Les champs

vectoriels utilisés en mécanique (moment d'une force, moment cinétique, moment dynamique..)

possèdent des propriétés communes, d’où l’intérêt d’être modélisés par un même objet

mathématique appelé « torseur

».

2- Application antisymétrique

Définition: : E E

( )

est antisymétrique , E; ( ) = - ( )

Exemple: a: E E

(où est un vecteur donné non nul).

Proposition : Si est antisymétrique, E tel que:

( ) = ( E)

Démonstration

Si [L] est la matrice associée à dans la base ( , , ), alors ( ) = [L]

avec

Considérons les produits scalaires suivants :

( ) = - ( ) = 0

( ) = 0

( ) = 0

( ) = - ( )

0

uM'Mu'OMuOM

u

u

u

v

u

v

v

u

u

a

u

a

R

u

R

u

u

ijk u

u

[ ]L

11 12 13

21 22 23

31 32 33

i

i

i

i 0

0

0

1

0

0

1

ii]L[

333231

232221

131211

11 0

j

j 22 0

k

k 33 0

i

j

ji

12

3231

2321

1312

21

3231

2321

1312

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0


M.BOURICH 14

( ) = - ( )

( ) = - ( )

( ) = - ( )

Posons , et . Il en résulte :

( ) = [L]

avec

3- Champ antisymétrique

3-1 Définitions

Soit D un sous-ensemble de (D ). On appelle champ de vecteurs sur D, une application de

D dans E qui à M D E.

Notation: D E

M

Un champ de vecteurs est dit antisymétrique s’il existe une application antisymétrique

telle que M, N , on a la relation = + ( ).

Si est le vecteur associé à on aura = + , M, N .

Un champ de vecteurs est dit équiprojectif si M, N :

Propriété

Un champ de vecteurs est antisymétrique est équiprojectif.

Preuve

= +

Achever la démonstration dans l'autre sens.

i

j

ji 21 12

i

k

k

i 31 13

j

k

k

j 23 32

12 3 r 13 2 r 23 1 r

u

u

uR

urur

urur

urur

u

u

u

0rr

r0r

rr0

u]L[

y1x2

z1x3

z2y3

z

y

x

12

13

23

krjrirR 321

Mu

Mu

Mu

Nu

Mu

MN

R

Nu

Mu

MNR

Mu

MuMNNuMN

Mu

Mu

Nu

Mu

MNR

0

MNRMNMuMNNuMN

u(M)

u(N)

M

N


M.BOURICH 15

4- Torseurs

4-1 Définition

On appelle torseur [ ] un ensemble formé d’un champ de vecteurs antisymétrique et de

son vecteur .

Conséquence

Soit O et M quelconque, on a

Un torseur est donc caractérisé par la donnée de et de son champ en un point.

Notation: .

Les vecteurs et sont appelés les éléments de réduction du torseur [] en O ou ses

coordonnées en O.

Exemple: Le champ des moments d’un vecteur est un torseur.

Considérons un vecteur lié à un point A et M un point quelconque de . Le moment en

M de vérifie la relation :

= =

= + = +

Ainsi, le champ est antisymétrique. On peut donc lui associer un torseur avec

comme résultante.

4-2 Opération sur les torseurs

Addition des torseurs

Considérons les torseurs et .

Le champ possède la propriété suivante:

Il vérifie donc la propriété d’un torseur et caractérise la somme [ (O) ] = [1(O) ] + [2(O) ] .

Ses éléments de réduction en O sont :

Remarque:

- Cette loi d’addition est commutative et associative,

- Elle a un élément neutre: le torseur nul (résultante et moment nuls),

Mu

R

OMROuMu

R

R),O(u)O(

Ou

R

du torseurrésultante:R

Ointpoautorseurdumoment:Ou

F

F

FM

,M F∧MA

F∧AMMM

)''(

F∧→

A'M

F∧→

'MM

FM

,M F∧→

'MM

MM

F

111 R),O(u)O(

222 R),O(u)O(

MuMuMu 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) iqueantisymétrest champce:'MM∧RMu

'MM∧RMu'MM∧RMu'Mu'Mu'Mu

→

→

22

→

1121

+=

+++=+=

)O(u)O(u)O(u

RRR

21

21


M.BOURICH 16

- Tout torseur [ (O) ] a un torseur opposé .

Multiplication d’un torseur par un scalaire

[ (O) ] = [1(O) ] ;

Exercice : Vérifier que [1(O) ] est un torseur.

Comoment ou produit scalaire de deux torseurs

Considérons les deux torseurs:

considérons OO et examinons

Cette quantité, indépendante de O et par conséquent invariante, représente par définition le

produit scalaire (on utilise également la terminologie de comoment) des deux torseurs [1 ] et [2 ].

Définition du comoment:

Égalité de deux torseurs: [1 ] = [2 ] M ,

Conséquence: [1(O) ] = [2(O) ]

4-3 Invariant scalaire d’un torseur

Soit un torseur défini par ses coordonnées en O. La quantité ,

indépendante du point O, est appelée invariant scalaire ou automoment du torseur.

Preuve: ( O)

4-4 Axe central d’un torseur

Définition : On appelle axe central () d’un torseur avec , le lieu des

points P

tel que

Équation de ()

Soit P ()

R),O(u

)O(u)O(u

RR

1

1

222

111

R),O(u)O(

R),O(u)O(

)'O(uR)'O(uR 1221

'OORR'OORR)O(uR)O(uR

'OOR)O(uR'OOR)O(uR)'O(uR)'O(uR

12211221

1122211221

)O(uR)O(uR)O()O( 122121

)M(u)M(u

et

RR

21

21

)O(u)O(u

RR

21

21

R),O(u)O(

)O(uRI

'OOR)O(u)'O(u

I

0

OORROuROuR

')()'(

R),O(u)O(

0R

0R)P(u

0R)P(u

0ROPR)O(u


M.BOURICH 17

Multiplions vectoriellement () par

Donc tel que

Ainsi, si P à l’axe central (avec ).

Remarque:

L’axe central d’un torseur est la droite () de vecteur directeur et passant par le

point P0 tel que:

4-5 Classification des torseurs

Glisseur

Le torseur est un glisseur, si son invariant scalaire est nul.

et .

Remarque :

Sur l’axe central d’un glisseur, P () car et avec .

Couple : est un couple si . Le champ devient alors indépendant de

M.

Remarque :

Il n’existe pas d’axe central pour un couple.

Proposition: Le torseur peut se décomposer en la somme d’un glisseur

et d’un couple.

Démonstration :

N.B.: Cette décomposition n’est pas unique; il y a une infinité de décompositions possibles

qui dépendent du choix de O.

0ROPROPRR)O(u 2

R ( ) 0

0

R∧R)OP.R(-OP∧RRR∧)O(u∧R→→

2

=

=

+

0OPRR)O(uR 2

ROPRR)O(u 2

22 R

R)O(u

R

ROP

2R

)O(uRROP

R),O(u

R

20R

)O(uROP

R),O(u)O(

0)O(uRI

0R

0)P(u

)P(u//R

0)P(uR

0R

R),O(u)O(

0R

)M(u

R),O(u)O(

)]O(C[)]O(G[0),O(uR,0R),O(u)O(

CoupleGlisseur


M.BOURICH 18

2

Chapitre

Cinématique du Solide


M.BOURICH 19

Objectifs :

Décrire et analyser la nature du mouvement d’un système;

Différencier entre les vitesse linéaire et angulaire ;

Recenser le nombre de paramètres indépendants intervenant dans l’étude cinématique ;

Savoir choisir une base dans laquelle expliciter simplement le mouvement ;

Savoir mettre en œuvre les formules de changement de référentiel pour les vitesses et les

accélérations;

Déterminer le centre instantané de rotation ;

Savoir mettre en œuvre la condition de roulement sans glissement ;

Savoir analyser le mouvement instantané d’un solide et déterminer la base et la roulante.

René Descartes : (1596-1650) René Descartes a écrit les principes de la philosophie en 1644, dont l’objectif est de « donner des fondements rigoureux à la

philosophie». La physique cartésienne est fondée sur

l’identification de la matière avec la quantité géométrique : la pesanteur et le mouvement sont ramenés à une explication

mécaniste. Sa description du monde est essentiellement

cinématique, le mouvement se transmettant de proche en

proche par contact. Dans les Principes de la Philosophie, Descartes distingue la cause première de tous les mouvements

(Dieu, auteur de la nature), des causes secondes appelées les lois De la nature, qui régissent le mouvement des parties de la

matière.


M.BOURICH 20

CINÉMATIQUE DU SOLIDE

I. Approche historique

En mécanique, la cinématique (tiré du nom grec : kinêma) est l'étude des mouvements des

corps sans tenir compte des causes qui les produisent. Au côté de la notion d'espace qui fut

l'objet de la géométrie, la cinématique introduit en outre la notion du temps. On peut dater la

naissance de la cinématique moderne à l'allocution de Pierre Varignon en 1700 qui a démontré

qu’il est possible de déduire l’accélération de la vitesse instantanée à l'aide d'une simple

procédure de calcul différentiel.

II. Espace Repère-Solide rigide

1- Espace repère

On considère que l’espace dans lequel évoluent les systèmes est homogène (indépendant

du lieu), isotrope (indépendant de la direction) et euclidien (muni d’un produit scalaire). Il est

défini par l’association de l’horloge H et d’un repère R0 (O, b0).

L’existence du temps absolu H est unique.

O : origine du repère

b0 est une base orthonormée directe.

Un point M est en mouvement par rapport à R0 si ses coordonnées varient en fonction du

temps, i.e. :

On définit aussi:

La vitesse de M par rapport à R0 :

L’accélération de M par rapport à R0 :

2- Définition d’un solide rigide

Un solide rigide ou indéformable est un ensemble de points matériels dont les distances

mutuelles restent constantes au cours du temps.

Soient A et B deux points d'un solide (S).

000 k,j,i

)t(z

)t(y

)t(x

OM

0R

0

→

dt

OMd)R/M(v =

0R

2

2

0R

00

dt

OMd

dt

)R/M(vd)R/M(

AB

(S)(R)

io

jo

ko

O

(R) lié à (S)

(Ro)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Physique

https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie

https://fr.wikipedia.org/wiki/Temps

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_Varignon

https://fr.wikipedia.org/wiki/1700

https://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse

https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_diff%C3%A9rentiel


M.BOURICH 21

(c’est le carré de la distance entre les points A et B), alors que peut dépendre du

temps par sa direction.

En effet: (vecteur variable)

Or

III. Notion des Champs des Vitesse et des Accélérations

1-Introduction

En mécanique du point matériel (sans dimension), il est impossible de lui concevoir un

mouvement de rotation propre. Par contre, pour la mécanique du solide, ce dernier peut effectuer

une rotation sur lui-même, elle est définissable et mesurable. D’où l’intérêt de l’introduction de

la notion des champs des vitesses et des accélérations afin de décrire et de modéliser les rotations

de l'objet sur lui-même.

2-Champ des vitesses d’un solide

Pour un solide on a A, B (S)

Donc ou bien

On déduit que le champ des vitesses d’un solide est équiprojectif et par conséquent c’est un champ

antisymétrique. Ainsi, tel que

Soit R un repère lié au solide. En utilisant la relation

, on voit que n'est autre que le vecteur rotation instantané de

R par rapport à R0.

Le champ des vitesses d’un solide est donc un torseur, on l’appelle torseur cinématique. Ses

éléments de réduction (ou coordonnées) au point A sont:

On le note [ (A)] =

3- Champ des accélérations d’un solide

Pour A, B (S) on a

En dérivant cette relation par rapport au temps on obtient:

cteAB2

AB

)t(OA)t(OBAB

cteABABAB2

0dt

ABdAB

0dt

ABdAB

0)R/A(v)R/B(vAB 00

)R/A(vAB)R/B(vAB 00

AB)R/A(v)R/B(v 00

AB)R/R(dt

ABd

dt

ABd0R0R

R dans fixeest ABcar 0

dt

ABdR

momentvecteurson:)R/A(v

résultante sa:)R/S(

0

0

)R/S(),R/A(v 00

AB)R/A(v)R/B(v 00

)o

(A/Rv)o

(B/RvΩABdt

Ωd)

o(A/Rγ)

o(B/Rγ

0R


M.BOURICH 22

Finalement

En général, le terme n’est pas nul. Par conséquent, le champ des

accélérations d’un solide n’est pas un torseur.

IV. Mouvements de translation-rotation-tangent

1- Mouvement de translation

Le solide (S) est animé d’un mouvement de translation par rapport à R0 si , t.

Il en résulte que A, B (S),

De plus, dans un mouvement de translation on a:

et t (le vecteur reste équipollent à lui même)

Dans ce cas [ (A)] = : dans un mouvement de translation, le torseur

cinématique est un couple.

2- Rotation d’un solide autour d’un axe fixe

Supposons que (S) est en mouvement de rotation autour d’un axe (), fixe dans R0 (de

manière instantanée ou permanente).

Soit A un point appartenant à () (on retiendra comme remarque le fait

que tous les points fictifs ou géométriques appartenant à l’axe de rotation sont considérés

comme des points du solide et peuvent être utilisés dans les relations de transfert).

Soit M un point (S) alors:

, avec (si non le solide serait au repos).

L’invariant scalaire

Dans un mouvement de rotation autour d’un axe fixe (), le torseur cinématique est un glisseur

[ ].

Appelons () l’axe central du torseur cinématique et () l’axe de rotation du solide.

Proposition: Les axes () et () sont confondus.

)AB(ABdt

d)R/A()R/B(

0R

00

AB)AB(ABdt

d)R/A()R/B( 2

R

00

0

AB)AB( 2

0S/R 0

)R/A(v)R/B(v 00

BAAB BBAA AB

]0),R/A(v[ 0

0)R/A(v 0

AM)R/S(

0

)R/A(v)R/M(v 000

0)R/S( 0

0)R/S()R/M(vI 00

io

jo

ko

O

(Ro)

AB

(S)(R)

A"

B"

(S)(R)

B'

A'


M.BOURICH 23

Démonstration: A (), on a

A ()

() ()

Remarques

Lorsqu’il s’agit d’une rotation de (S) autour d’un axe () on retient que:

- le torseur cinématique est un glisseur;

- l’axe de rotation du solide est l’axe central du glisseur;

- [ (A)] = si A ();

- [ (B)] = si B ().

3- Mouvement hélicoïdal

Dans un mouvement hélicoïdal, tout point M (S) tourne autour d’un axe () et, en même

temps, se déplace suivant cet axe.

Soit A un point de (S) appartenant à (). On a:

Schématisation - Interprétation

D’après la figure, le point P représente la projection de M sur le plan (). Ainsi, on a:

L’invariant scalaire n’est pas nul dans un mouvement hélicoïdal.

4- Mouvement général d’un solide : Mouvement tangent

A, B (S), on a la relation de transfert suivante:

Si, à un instant t donné, , et on dira alors, qu’à cet instant,

le mouvement du solide est tangent à une translation.

0)R/A(v 0

0)R/S()R/A(v 00

)]R/S(,0[ 0

)]R/S(),R/B(v[ 00

rotation

AM)R/S(

ntranslatio

)R/A(v)R/M(v 000

OPOHHMOHOM

axel'deautourrotation

HM∧)R/S(

axel' de long lentranslatio

)R/H(v

OP∧)R/S()R/H(v

)R/P(v)R/H(v)R/M(v

00

00

000

+=

+=

+=

AB)R/S()R/A(v)R/B(v 000

0)R/S( 0

)R/A(v)R/B(v 00

A

V(A/Ro)

MH

P

O

V(H/Ro)

(S/Ro)

P est animé d'un mouvement

de rotation autour de ()

M reste à une

distance fixe de ()


M.BOURICH 24

Si, à un instant t donné , on dira alors, qu’à cet instant, le torseur cinématique

admet un axe central ().

Soit H () on a:

Si , on dira que le mouvement du solide est tangent à une rotation d'axe

().

Si le mouvement du solide est dit tangent à un mouvement hélicoïdal ayant

() comme axe instantané de rotation.

IV- Composition des Mouvements Il s’agit de déterminer le mouvement du solide par rapport à un repère R0, sachant que son

mouvement est connu par rapport à un repère R1.

Considérons: R0 (O, , , ) un repère absolu (repère fixe);

R1 (O1, , , ) un repère mobile (repère relatif);

R (G, , , ) un repère lié au solide.

1- Dérivation vectorielle

Soient A et B deux points , fixes dans R1 est un vecteur constant dans R1.

Puisque, par définition, un repère d’espace est un ensemble de points dont les distances

mutuelles sont invariables dans le temps, on appelle également ce repère un solide de référence.

Conséquences

, et

Considérons maintenant A, B , mobiles dans R1

On peut obtenir le vecteur dérivé de dans R0 en prenant en

considération le fait que les vecteurs varient dans ce repère.

0)R/S( 0

HA)R/S()R/S(

HA)R/S()R/H(v)R/A(v

00

000

0)R/H(v 0

0)R/H(v 0

0i

0j

0k

1i

1j

1k

i

j

k

AB

AB)R/R()R/A(v)R/B(vdt

ABd0100

R0

101

R

1 i)R/R(dt

id

0

101

R

1 j)R/R(dt

jd

0

101

R

1 k)R/R(dt

kd

0

111 k)t(j)t(i)t(AB

111

1R

k)t(j)t(i)t(dt

ABd

111 k)t(j)t(i)t(AB

111 k,j,i


M.BOURICH 25

: Ce résultat est général

2- Composition des vitesses

Soit M (S), on peut écrire

: vitesse absolue du point M

: vitesse relative du point M

: vitesse d’entraînement du point M.

Remarque :

La vitesse d’entraînement s’interprète comme étant la vitesse absolue d’un point Me fixe dans R1

et coïncidant avec M à l’instant t.

3- Composition des vecteurs rotations

On a : (1)

(2)

(3)

En éliminant entre les équations (1) et (2), on obtient:

(4)

En comparant (2) et (4) on déduit que :

On peut généraliser cette dernière relation à plusieurs repères:

0R1

0R1

0R1

1R0Rdt

kd)t(

dt

jd)t(

dt

id)t(

dt

ABd

dt

ABd

AB)R/R(dt

ABd

dt

ABd01

RR 10

MOOOOM 11

MO)R/R(dt

MOd)R/O(v

dt

MOd)R/O(v)R/M(v 101

R

101

R

1010

10

)M(v)M(vMO∧)R/R()R/O(v)R/M(v)R/M(v er1010110

)R/M(v)M(v 0a

)R/M(v)M(v 1r

MO)R/R()R/O(v)M(v 10101e

AB)R/R(dt

ABd

dt

ABd01RR 10

AB)R/R(dt

ABd

dt

ABd0RR1

AB)R/R(dt

ABd

dt

ABd0RR0

1Rdt

ABd

AB)R/R()R/R(dt

ABd

dt

ABd011RR0

)R/R()R/S()R/S( 0110

)R/R()R/R()R/R()R/R()R/S()R/S( 0nn1n322110


M.BOURICH 26

4- Composition des accélérations

Considérons M (S) et utilisons la loi de composition des vitesses:

En dérivant cette expression par rapport à t dans R0, on obtient:

En définitive on obtient:

V- Cinématique des solides en contact

Considérons deux solides (S1) et (S2) en mouvement par rapport à un référentiel R0 (O, ,

, ) de manière à ce que leurs surfaces restent en contact ponctuel.

A chaque instant, on doit distinguer 3 points confondus dont les vitesses et les

accélérations sont différentes en général :

- le point matériel I1 (I1 S1);

- le point matériel I2 (I2 S2);

- le point géométrique I ( non lié ).

era v

MO)R/R()R/O(v

v

)R/M(v

v

)R/M(v 1010110

000 R

1011

R

01

01

R

10

dt

MOd)R/R(MO

dt

)R/R(d)R/O(

dt

)R/M(vd)R/M(

MO)R/R()R/M(vdt

MOd1011

R

1

0

)R/M(v)R/R()R/M()R/M(v)R/R(dt

)R/M(vd

dt

)R/M(vd1011101

R

1

R

1

10

)MO∧(∧MO∧dt

d)R/O()R/M(v∧)R/R(2)R/M()R/M( 11

R

0110110

0

++++=

)M()M()M()M()R/M( ecra0

ntentraînemed'on accélérati :)MO(MOdt

d)R/O()M(

Coriolis deon accélérati :)R/M(v)R/R(2)M(

relativeon accélérati:)R/M()M(

11

0R

01e

101c

1r

0i

0j

0k

io

jo

ko

O

(Ro)

(R2)

(R1)

(S1)

(S2)

I1

I2

I

O1

O2


M.BOURICH 27

Au cours du temps, le point I est confondu avec les différents points matériels de contact.

1- Vitesse de glissement

Le glissement décrit un mouvement relatif entre deux solides en contact.

.

Définition

On appelle vitesse de glissement de (S1) sur (S2), la vitesse de I1 par rapport à (S2).

Notation: (I1 S1 et R2 lié à S2)

Autres expressions de cette vitesse ?

Considérons R0 absolu et R2 relatif et cherchons

Or:

En définitive:

De manière plus générale:

( le repère R)

C’est une vitesse indépendante du repère par rapport auquel (S1) et (S2) sont en mouvement, et

elle est contenue dans le plan tangent () commun à (S1) et (S2).

Démonstration

La loi de composition des vitesses nous permet d’écrire :

(R1 relatif)

(R2 relatif)

Or :

Cas particulier

Lorsque la vitesse de glissement est nulle, on dit qu’il y a absence de glissement.

)R/I(v)S/I(v)S/S(v 212121g

==

)I(v)I(v)R/I(v 1e1r01

)S/S(v)R/I(v)I(v 21g211r

21020202

021202021e

OI)R/R()R/I(v)R/O(v

)R/I(vIO)R/R()R/O(v)I(v

)R/I(v)I(v 021e

)R/I(v)R/I(v)R/I(v 022101

)S/S(v)R/I(v)R/I(v)R/I(v 21g020121

)R/I(v)R/I(vdt

IId)S/S(v 21

R

1221g

)R/I()I(

IO∧)R/R()R/O(v)R/I(v)R/I(v

01vev

1010110

)R/I(v)R/I(v)R/I(v 0110

)R/I(v)R/I(v)R/I(v 0220

∈

)R/I(v

π∈

)R/I(v)R/I(v)R/I(v)S/S(v 12020121g ==

O

(Ro)(S1)

(S2)

I1

I2

I

jo

ko

io


M.BOURICH 28

( R0)

Si l’on choisit R1 ou R2 comme repères de travail on aura:

2- Roulement et pivotement

Soit M S1, la relation de transfert du torseur cinématique

Le vecteur peut être décomposé comme suit:

Le vecteur exprime une rotation instantanée autour d’un axe du plan tangent; il caractérise le

roulement de (S1) / (S2).

Le vecteur exprime une rotation instantanée autour d’un axe au plan tangent; il caractérise

le pivotement de (S1)/(S2). Ainsi, /( ) est la vitesse angulaire de roulement/(pivotement).

Finalement: .

Remarque

Lorsque la vitesse de glissement est nulle, on dit qu’il y a roulement et pivotement.

VI- Mouvement plan d’un solide

1- Définition

On appelle mouvement plan d’un solide (S), un mouvement tel que chaque point de (S) se

déplace dans un plan parallèle à un plan fixe (0) dans le référentiel considéré R0.

Exemple:

- Cas d’un disque vertical évoluant sur un axe.

Les vecteurs de base restent constamment

dans le plan x0Oy0.

Considérons deux points M et M de (S) évoluant dans un même plan () parallèle à (0) .

()

L’invariant scalaire et le torseur cinématique est un glisseur dans ce

cas.

)R/I(v)R/I(v0)S/S(v 020121g

)R/I(v)R/I(v 0201

0)R/I(v)R/I(v)R/I(v)R/I(v 22211211

MI)S/S()S/I(v)S/M(v 121212

MI)S/S()S/S(v)S/M(v 12121g2

)S/S( 21

nt21 )S/S(

)(plan au normale )S/S( de composante :

)(plan le danscontenu )S/S( de composante :

21n

21t

t

n

t

n

pivotementdevitesse

MI∧

roulementdevitesse

MI∧

glissementdevitesse

)S/S(v)S/M(v 1n1t21g2 ++=

)j,i(

MM)R/S()R/M(v)R/M(v 000 )R/S( 0

0)R/S()R/M(vI 00

(S1)

(S2)

( / )S S1 2

t

n

GO

j

0

i

0

j

i


M.BOURICH 29

(I point commun à () et ()).

Le mouvement plan peut s’interpréter comme étant une rotation (instantanée) pure autour

de l’axe () à () en I avec I appartenant à l’axe central () du glisseur (l'axe () peut changer

avec le temps).

2- Centre instantané de rotation (C.I.R.)

L'axe instantané de rotation est un terme utilisé en mécanique classique et plus

particulièrement en cinématique pour désigner l'axe autour duquel tourne un solide à un instant

donné par rapport à un référentiel. Si l'on peut utiliser la simplification des problèmes plans, on

parle alors du centre instantané de rotation (CIR).

C’est un point lié à (S) par nature et admettant une vitesse nulle dans R0 à l’instant

considéré.

Le point I () () est le centre instantané de rotation.

Preuve

car I est lié à S

car I (), axe fixe dans R0

Exemple

Cas d’une roue en rotation autour d’un axe fixe au plan de la roue et passant par son centre de

masse G. Le point G est de nature lié à (S) et G C.I.R.

Remarques :

- I est donc un point central du torseur cinématique de S par rapport à R0. Le C.I.R

correspond donc à l'intersection de l'axe central du torseur cinématique de S/R avec le

plan d'évolution du solide S.

- Le CIR est "instantané", c'est à dire que, dans le cas général, sa position est attachée à un

instant donnée et à une position particulière du mécanisme.

- Le CIR peut être un point défini en dehors de la limite matérielle du solide S.

3- Base et roulante-Étude analytique

Par définition, la base est le lieu des C.I.R. dans R0 lorsque t varie et la roulante est le lieu

des C.I.R. dans R (lié à S) lorsque t varie.

IM)R/S(

0

)R/I(v)R/M(v 000

MI)R/S(

0

)R/I(v)R/M(v 000

0)S/I(v

0)R/I(v 0

0)R/G(v 0

G

j

0

i

0

v M R

( / )0

v M R

( / )0

(S1)

I

( / )S R0v M R

( / )0

M

M'v M R

( / )0


M.BOURICH 30

Soit M (S)

(x et y sont des constantes)

O1 (S)

(1)

et

On retrouve :

Le C.I.R. est tel que et

Considérons I qui présente ces caractéristiques au lieu de M.

Dans le repère R0 :

avec

(2)

Ce sont les équations paramétriques de la roulante.

Équations paramétriques de la base :

Compte tenu des équations (1) et (2) on a:

: Ce sont les équations paramétriques de la base.

Remarque: Ces équations sont utiles quand la détermination graphique du C.I.R. n’est pas

évidente.

Exemple

Cas d’une barre glissant sur les axes de R0.

La base?

OI = AB = cte la base est le cercle de centre O et de rayon AB.

Mx

ydansR

Mx

ydansR

0

0

0

jyixjijyixMOOOOM 00000011

00

00

jcosisinj

jsinicosi

cosysinxy

sinycosxx

0

0

)sinycosx(dt

d

dt

dy

)cosysinx(dt

d

dt

dx

0

0

00 k)R/S(

)M(vMO)R/S()R/O(v)R/M(v e10010

0)R/I(v 0

0)R/I(v

0)sinycosx(dt

d

dt

dy

0)cosysinx(dt

d

dt

dx

0

0

d

dt

0

0)sinycosx(dt

d

0)cosysinx(dt

d

x x

y y

( )

( )

xd

d

yd

d

0

0

Oxo

yo

O1

dans R0

x

yM


M.BOURICH 31

La roulante?

GI = AB/2 = cte la roulante est le cercle de centre G et de rayon AB/2.

Méthode analytique

D’après la figure, on a : + = /2 = /2 -

Composantes de G dans R0 de base

Équation paramétrique de la roulante:

: équation d’un cercle de centre G et de rayon r = /2.

Équation paramétrique de la base:

: équation d’un cercle de centre O et de

rayon

Autre exemple

Détermination graphique de la position du CIR, I, dans le cas d’un disque se déplaçant dans un

plan vertical.

Pour les 3 cas de figures, si on utilise le CIR, I, dans les relations de transfert, on obtient :

est proportionnel à IM i.e. .

cos2

sin2

sin2

cos2

OG

)j,i( 00

d

dx y x y

d

dx y x y

( sin cos ) cos ( sin cos )

( cos sin ) sin ( cos sin )

20

20

x y

x y

sin cos cos

cos sin sin

2

2

x y2 22

4

xd

d

yd

d

0

0

2 2

2 2

sin sin sin

cos cos cos

x y0

2

0

2 2

IM)R/R()R/M(v 00

)R/M(v 0

IM)R/M(v 0

Oxo

yo

j

0

i

0

j

i

G

IA

B

v A R

( / )0

v R

( / )B 0

u


M.BOURICH 32

RSG : I1 ≡ I RAG : I au disque RAG : I au disque

(grande vitesse de rotation) (faible vitesse de rotation)

0)R/I(v)R/I(v 001

0)R/I(v 01

≠ 0)R/I(v 01

≠

Iv I R

( / )1 0

G

v M R

( / )0

yo

xo

I1

IG

v M R

( / )0

yo

xo

I1

G

v M R

( / )0

yo

xo

I1

v G R

( / )0v G R

( / )0 v G R

( / )0

v I R

( / )1 0


M.BOURICH 33

3

Chapitre

Géométrie des Masses


M.BOURICH 34

Objectifs : Savoir calculer et commenter la matrice d’inertie ;

Savoir déterminer le repère et l’axe principal d’inertie ;

Déterminer et différencier entre centre de masse et centre d’inertie ;

Comprendre la notion de moment d’inertie ;

Savoir appliquer le théorème de Guldin .

Roger Josef Boscovich : (1711-1787) Pour R.J. Boscovich, les corps ne sont continus qu’en

apparence, en réalité, ils sont formés de points matériels isolés ; « un corps continus soit un concept intuitif, primitif, on peut toujours le penser comme un ensemble de points matériels, liés

entre eux par des liens sans masse, de telle sorte que la masse totale soit la somme de la masse des tous les points, et que la

forme, donc la disposition des ces points, soit garantie par le

"squelette" des liens imaginaires ».


M.BOURICH 35

GÉOMÉTRIE DES MASSES

I. Approche historique

La notion de barycentre est utilisée en physique, et en particulier en mécanique et en

astronomie, pour simplifier l'étude du mouvement d’un système. Le premier à avoir étudié le

barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours le centre de gravité) est le

mathématicien et physicien Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le

principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité

sur le centre de gravité de surface plane : « Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en

lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré ».

Il est le premier à avoir

cherché des centres de gravité de surface comme des demi-disques, des paraboles. Il procède par

approximations successives et a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des

méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Par la suite, sur la base de ses travaux, Guldin à

développé les deux théorèmes portant son nom.

II. Masse - Centre de Masse

1- Définition

La mécanique classique associe à tout corps matériel une grandeur qui représente sa masse notée

m. La masse vérifie les trois axiomes suivants:

Positivité: le système matériel (S), m(S) 0;

Additivité: la fragmentation de (S) en sous-systèmes (Si), m(S) = im(Si);

Invariabilité: La masse de tout système est invariante dans tout mouvement de ce système

(vitesses très faibles devant la célérité de la lumière).

Si (S) est un corps continu, sa masse est l’une des intégrales suivantes:

: intégrale de volume (distribution volumique de la masse)

: intégrale de surface ( une dimension négligeable devant les deux autres)

: intégrale de ligne (deux dimensions négligeables devant la troisième)

Pour toutes ces intégrales, l’élément de masse dm contient le point P. Les quantités (P), (P) et

(P) sont appelées respectivement masse volumique locale, masse surfacique locale et masse

linéique locale.

S’il s’agit de corps homogènes alors (P) = cte, (P) = cte et (P) = cte.

Point matériel: c’est un point géométrique affecté d’une masse m. La masse spécifique ne peut

être définie dans ce cas.

VS

dv)P(dmm

ds)P(dmm

S

d)P(dmm

S


M.BOURICH 36

2- Centre de masse

On l’appelle également centre d’inertie ou centre de gravité et on le note G en général.

Définitions

Système discret: Dans le cas de n point matériels Pi de masse mi on a:

: O est un point quelconque de l’espace

Si O G on aura:

Système continu:

, avec dm désignant un élément de masse autour du point P et

.

Si O G on aura :

Remarque

Si (S) = (S1) + (S2) + …+ (Sn) alors

avec mi = mi(Si), i = 1, 2, …., n et

3- Théorème de Guldin

Les méthodes pratiques de recherche de G dans le cas de corps homogènes :

a- Quand c’est possible, on décompose le système en éléments plus simples dont on

connaît les centres de masse, puis on détermine le barycentre de ceux-ci (exemple : centre de

masse du système sphère - cylindre).

b- Utiliser les symétries du système lorsqu’elles existent : le centre de masse appartient

aux éléments de symétrie.

c- Lorsqu’il s’agit de déterminer les centres de masse d’arcs, de courbes planes ou de

surfaces planes on regarde s’il y a une possibilité d’utiliser un des deux théorèmes de Guldin.

3-1 Théorème 1

AB est une courbe homogène située dans le plan xOy.

Une rotation de AB autour de Oy/(Ox) engendre une surface Sy/(Sx). La rotation autour de Oy du

petit élément , construit autour de P, engendre une surface

m S OG m OPi i

i

n

( )

1

i

i

i

i )S(mm)S(m

m GPi i

i

n

01

mOG OP dmS

( )

m dmS

( )

0dmGP)S(

mOG m OGi i

i

n

1

∑n

1i

imm

d dS xdy 2

AB

y xd2S


M.BOURICH 37

La rotation du même élément autour de Ox engendre la surface

Le centre de masse G de (AB) est tel que .

Par projection dans le plan xOy:

et

Exemple d’application

Détermination du centre de masse G d’un quart de cercle de rayon R.

Sy = 2R2, Sx = 2R

2 (surface d’une demi-sphère)

d’où et

3-2 Théorème II

Soit (S) une surface plane située dans le plan xOy.

Une rotation de l’élément dS autour de Oy engendre le volume élémentaire dVy = 2xdS

De même, une rotation de dS autour de Ox engendre le volume élémentaire dVx = 2ydS

Comme

Par projection on aura :

dS ydx 2 S ydx

AB

2

mOG OP dmAB

L OG OP dAB

xL

xdS

LG

AB

y

1

2

y

Lyd

S

LG

AB

x 1

2

2

R

4

R2L)AB(

xS

L

RG

y

2

2

y

S

L

RG

x 2

2

SS

yy xdS2dVV

SS

xx ydS2dVV

mOG OP dmS

)S(

dSOPS

1OG

xS

xdSV

SG

S

y

1

2y

SydS

V

SG

S

x 1

2

x

y

O B

A

G

y

x

dS

Py

xO

x

O

y

y

B

A

P( )x

y

x


M.BOURICH 38

Exemple: Détermination du centre de masse d’un quart de disque homogène de rayon R

et

4- Centre de masse de volume ou de surface homogènes présentant un axe de révolution

Exemple: Cas d’un demi-disque homogène de rayon R.

Ce demi-disque est l’union de deux quarts de disque. Le centre de masse G est tel que :

xG = 0 et yG = 4R/3

Calcul direct de G

Par raison de symétrie, l’élément de surface de côte y et d’épaisseur dy, admet P comme

centre de masse tel que:

avec dm = 2rdy et m = S

r = Rcos

y = Rsin dy = Rcosd

III. Moment d’inertie - Opérateur d’inertie

1- Définitions

La notion de moment d'inertie présente un grand intérêt sur le plan de la véritable histoire

de la mécanique et sur celui de la philosophie et de ses principes. C'est en 1673 que Huygens,

dans la solution du problème du centre d'oscillation du pendule composé (livre : Traité du

Pendule), fit apparaître pour la première fois une quantité de la forme 𝑚𝑟2 . C'est en 1810-1811

que cette quantité intervint pour la première fois sous le nom de moment d'inertie, et d'une

3

R4

4

R2

R3

2

S2

Vx

2

3

y

G

3

R4

4

R2

R3

2

S2

Vy

2

3

xG

OG)mm(OGmOGm 212211

mOG OP dmS

my ydmG

S

3

R4dsincosR

S

2rydy

S

2y

2

0

23

S

G

x

y

O

G2 G1

x

O

yx=

y=

4R

4R

x=-

y=

4R

4R

G1

G2

x

y

O

P

R

r

z


M.BOURICH 39

manière officielle et systématique, dans l'enseignement de la Mécanique des solides

indéformables

Concernant la signification physique, le moment d'inertie est une grandeur qui caractérise

la géométrie des masses d'un solide, c'est-à-dire la répartition de la matière en son sein. Il

quantifie également la résistance à une mise en rotation de ce solide (ou plus généralement à une

accélération angulaire).

2- Moment d’inertie

On peut définir la distance de M par rapport à un point O, une droite () ou un plan (). Il leur

correspond respectivement des moments d’inertie par rapport à un point, un axe ou un plan. Ils

sont définis par r2dm, avec r désignant la distance du point M, de masse dm, par rapport au point

O, à l’axe () ou au plan ().

Pour le solide c’est

Notations: I(O, S), I(, S) et I(, S) ou simplement Io, I et I.

Considérons le cas de la figure ci-contre:

Soit un élément de masse dm autour de M (S).

La distance entre M et le plan xOy est z.

Le moment d’inertie de M par rapport à ce plan est z2dm

Le moment d’inertie de S par rapport à xOy est

Par simple permutation, on aura

et

Le carré de la distance de M par rapport à Oz est (Om)2 = x

2 + y

2

De même : et

Le carré de la distance entre les points M et O est (OM)2 = x

2 + y

2 + z

2

: c’est le moment d’inertie de S par rapport au point O.

Les relations entre ces grandeurs :On peut écrire

x2 + y

2 + z

2 = ( x

2 ) + ( y

2 ) + ( z

2 ) I(O,S) = I(yOz, S) + I(xOz, S) + I(xOy, S)

x2 + y

2 + z

2 = 1/2[(x

2 + y

2) + (x

2 + z

2) + (y

2 + z

2)]

I(O,S) = 1/2[I(Oz, S) + I(Oy, S) + I(Ox, S)]

r dmS

2

( )

I xOy S z dmS

( , ) 2

I xOz S y dmS

( , ) 2 I yOz S x dm

S

( , ) 2

S

22 dm)yx()S,Oz(I

I Ox S y z dmS

( , ) ( ) 2 2 I Oy S x z dm

S

( , ) ( ) 2 2

S

222 dm)zyx()S,O(I

z

x

z y

y

x

M

m

O

(S)


M.BOURICH 40

x2 + y

2 + z

2 = (x

2 + y

2) + z

2 = (x

2 + z

2) + y

2 = x

2 + (y

2 + z

2)

I(O,S) = I(Oz, S) + I(xOy, S) = I(Oy, S) + I(xOz, S) = I(yOz, S) + I(Ox, S)]

3- Opérateur d’inertie en un point O

Considérons l’axe () passant par O et de vecteur unitaire : I(, M) = r2dm et

D’après la figure on a:

Donc :

Par permutation circulaire on obtient:

I(, S) = multiplié scalairement par une certaine opération faite sur le vecteur .

On symbolise cette opération par un opérateur appelé opérateur d’inertie en O et noté J(O,S).

Cet opérateur a les dimensions d’un moment d'inertie (kgm2).

On pose

Finalement on a:

L’opérateur J(O, S) dépend du point O puisque les distances sont mesurées par .

Considérons l’application de E E

J(O,S)( )

J(O,S) est une application linéaire

J(O,S) est une application symétrique i.e.

u

I S r dmS

( , ) 2

OMusinuOMsinOMr

)

3

OM

2

u()

1

OMu(OMur2

2

)]OMu(OM[uu)]OMu(OM[r2

SS

2 dm)]OMu(OM[udmr)S,(I

u

u

S

dm)]OMu(OM[)u)(S,O(J

I S u J O S u( , ) ( , )( )

OM

u

u

vS,OJuuS,OJv?

z

x

O y

M

(S)

u

r


M.BOURICH 41

Démonstration

J(O,S)( ) =

=

= J(O,S)( )

IV- Matrice d’inertie-Matrice principal d’inertie

1- Matrice d’inertie

Soit b = ( , , ) une base orthonormée directe de E.

A l’opérateur J(O,S), on peut associer une matrice dans cette base.

= x + y + z , avec M (S).

Finalement:

Habituellement, les moments d’inertie du solide par rapport aux 3 axes sont notés A, B et C, les

autres termes, notés D, E et F, sont appelés les produits d’inertie.

Les termes A, B, C 0 alors que D, E, F ou 0.

Considérons = + + ( vecteur unitaire: alors on a :

I(,S) = J(O,S)( ) = ( + + )[J(O,S) ( )+J(O,S)( )+ J(O,S)( )]

= ( + + )[(A -F -E )+ (-F +B -D )+(-E -D +C )]

Soit: I(,S) = 2A +

2B +

2C - 2D - 2E - 2F

De la relation de J(O,S)( ), on peut déduire que l’on passe de à J(O,S)( ) par une

application linéaire représentée, dans la base b, par la matrice symétrique (33) suivante:

v

u

SSS

dm)OMv()OMu(dm)]OMu(OM[vdm)]OMu(OM[v

SS

dm)]OMv(OM[udmu)]OMv(OM[

u

v

i

j

k

OM

i

j

k

SS

dm)]jzky()kzjyix[(dm)]OMi(OM[)i)(S,O(J

SSS

22

S

22 dmkxzdmjxydmi)zy(dm)iziykxzjxy()i)(S,O(J

kIjIiI)k)(S,O(J

kIjIiI)j)(S,O(J

kIjIiI)i)(S,O(J

Ozyzxz

yzOyxy

xzxyOx

A I y z dmOx

S

( )2 2 B I x z dmOy

S

( )2 2 C I x y dmOz

S

( )2 2

S

yzdmD S

xzdmE S

xydmF

u

i

j

k

u

)1222

u

u

i

j

k

i

j

k

i

j

k

i

j

k

i

j

k

i

j

k

u

u

u


M.BOURICH 42

: matrice d’inertie ou tenseur d’inertie en O dans la base b.

C’est la représentation de l’opérateur d’inertie dans la base de projection.

La connaissance de la matrice d’inertie en O permet de déduire facilement les composantes du

vecteur J(O,S)( ):

I(,S) = I = J(O,S)( ) = =

2A+

2B+

2C-2D-2E-2F

Remarque

Dans la représentation matricielle, l’écriture de I est une écriture symbolique qui présente

l’avantage de la simplicité et de la commodité.

2- Matrice principale d’inertie:

Lorsque les produits d’inertie de la matrice II(O,S) sont nuls dans la base b, le repère R(O, , ,

) sera appelé repère principal d’inertie, ses axes sont les axes principaux d’inertie et la matrice

II(O,S) est la matrice principale d’inertie.

dans une base principale d’inertie b ( , , )

Examinons les trois cas suivants:

Lorsque les trois éléments de la diagonale sont distincts (A B C), il existe un seul

repère principal d’inertie.

Lorsque deux parmi les trois éléments de la diagonale sont identiques et différents du

troisième (exemple A = B C), il existe une infinité de repères principaux d’inertie ayant l’axe

Oz en commun (symétrie cylindrique).

Lorsque les éléments de la diagonale sont identiques (A = B = C), toute direction

passant par O est une direction principale d’inertie et tout repère ayant O comme origine est un

repère principal d’inertie. On dira alors que l’opérateur est sphérique (symétrie sphérique).

II O S

A F E

F B D

E D C

( , )

u

)13()u)(S,O(Jdescomposante

CDE

DBF

EFA

)13(udescomposante

)33(inertie'dmatrice

CDE

DBF

EFA

u

u

)13(

CDE

DBF

EFA

)31(

i

j

k

II O S

A

B

C

( , )

0 0

0 0

0 0

i

j

k


M.BOURICH 43

Examinons les deux cas de symétrie suivants:

a- Le plan xOy est un plan de symétrie pour le système.

Conclusion

Tous les termes d’inertie en z sont nuls tout axe à un plan de symétrie matérielle est un axe

principal d’inertie.

b- L’axe Oz est un axe de symétrie matérielle pour (S)

En regroupant 2 à 2 les éléments qui ont le même côte z (xzdm et (-x)zdm; yzdm et (-y)zdm),

ces éléments ont respectivement des x et des y opposés Ixz = Iyz = 0

Conclusion

Tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie.

En résumé:

- Tout repère orthonormé dont deux de ses plans sont des plans de symétrie matérielle pour (S)

est un repère principal d’inertie.

- Tout repère dont deux de ses axes sont des axes de symétrie matricielle pour (S) est un repère

principal d’inertie.

V- Théorème de Huygens

1- Relation entre les opérateurs d’inertie d’un système en deux points

Soit M (S) de masse dm.

Considérons O et A deux points de et un vecteur unitaire d’un axe passant par O.

0E0xzdmI ∫S

xz

0D0yzdmI ∫S

yz

u

S

dm)]AMu(AM[)u)(S,A(J

SS

dm)]AMOA(u[)AMOA(dm)]OMu(OM[)u)(S,O(J

z

x

z

y

y

x

z

dIxz = (-x)zdm

dIxz = xzdm

dIyz = (-y)zdm

dIyz = yzdm

O


M.BOURICH 44

=

=

=

En définitive:

Si on considère A G, on aura:

On pose : opérateur d’inertie d’un point matériel se trouvant en G

et ayant pour masse la masse totale de (S).

Ainsi:

Pour la matrice d’inertie on aura:

II(O,S) = II(G,S) + II(O, mG) : c’est le théorème de Huygens généralisé.

Si = xG + yG + zG ,

2- Théorème de Huygens

Considérons le cas de la figure suivante:

On a: I(,S) = J(O,S)( ) = J(G,S)( ) + J(O,mG)( )

= I(G ,S) + m [ ( )]

= I(G ,S) + m( )( )

= I(G ,S) + m( )2

Théorème de Huygens classique

VI- Exemple de corps homogènes classiques

Quart de cercle matériel de rayon R

Le repère en question n’est pas un repère principal d’inertie; seuls les termes d’inertie en z sont

nuls ( z = 0 ).

SSSS

dm)]AMu(AM[dm)]OAu(AM[dm)]AMu(OA[dm)]OAu(OA[

SSS

dm)]AMu(AM[)OAu(]dmAM[]dmAMu[OA)OAu(OAm

)u)(S,A(J)OAu(AGm]AGu[OAm)OAu(OAm

)OAu(AGm)AGu(OAm)OAu(OAm)u)(S,A(J)u)(S,O(J

)OGu(OGm)u)(S,G(J)u)(S,O(J

)OGu(OGm)u)(m,O(J G

)u)(m,O(J)u)(S,G(J)u)(S,O(J G

OG

i

j

k

II O m m

y z x y x z

x y x z y z

x z y z x y

G

G G G G G G

G G G G G G

G G G G G G

( , )

2 2

2 2

2 2

u

u

u

u

u

u

u

OG

u

OG

u

OG

u

OG

u

OG

I S I S md GG , , , 2

G

xR

yR

G

G

2

2

z

x

y

G

O

u

G

d(G,)

x

y

R

M

zO


M.BOURICH 45

dIxy = xydm = R2cossindm = R

3 cossind

Opérateur d’inertie d’un quart de disque de rayon R.

La matrice d’inertie n’est pas diagonale.

dm = ds = rdrd et dIxy = xydm.

Cas d’un disque de rayon R

Le repère choisi est un repère principal d’inertie.

C mR x y dm x dm y dm 2 2 2 2 22 2

A y z dm y dmC mR

2 2 2

2

2 2

B x z dm x dmC mR

2 2 2

2

2 2

2

20

23

xy

mRsin

2

RI

II O S mR( , )

2

1

2

10

1 1

20

0 0 1

dI r dmr

drOz 232

4

C IR mR

Oz

2 4 2

4 2

A BC mR

2 4

2

x r

y r

cos

sin

2

mR

2

1

4

RdrdsincosrIF

24R

0

2

0

3xy

II O S mR( , )

2

1

4

1

20

1

2

1

40

0 01

2

x

y

r

zdrO


M.BOURICH 46

,

Cas d’un cylindre plein de rayon R de hauteur h

Le solide admet une symétrie cylindrique A = B C

Cas d’une sphère pleine de rayon R

Le solide admet une symétrie sphérique A = B = C.

(élément de volume sphérique)

drr2dmrdI 32Oz

2

mR

4

R2IC

24

Oz 4

mR

2

CBA

2

100

02

10

002

1

2

Rm)S,O(II

2

dm2

RdI

2

Oz

2

mRdm

2

RIC

22

Oz

xOy22

Ox I2

CdmzdmyIA

dI z dm R z dzxOy 2 2 2 IR h mh

xOy 2 3 2

3 4 12

12

mh

4

RmBA

22

IA B C

AO

2

3

2A IO

2

3

ddrdsinrdrrddsinrd 2

dI r dm r drd dO 2 4 sin

IR

mRO 5

2

52 2

3

5A I mRO

2

3

2

5

2

II O S mR( , )

2

5

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2

r

y

xz

O

h

x

y

R

z

O

rd

x

y

z

aO


M.BOURICH 47

4

Chapitre

Cinétique du Solide

Système de freinage


M.BOURICH 48

Objectifs : Maitriser la notion du Torseur cinétique (quantité de mouvement, moment cinétique) ;

Maitriser la notion du Torseur dynamique (quantité d’accélération, moment dynamique) ;

Comprendre la notion de référentiel barycentrique ;

Comprendre et savoir appliquer le théorème de Koenig ;

Johan Samuel König (Koenig) : (1712-1757) Les travaux de Koening publié dans son livre « Elément de

géométrie contenant les six premiers livres d’Euclide »,

permettent le rapprochement des concepts de la cinématique

(vitesse, accélération) et ceux de la géométrie des masses

(centre de masse, moment d’inertie) donnant naissance à La

cinétique (appellée aussi cinématique des masses).


M.BOURICH 49

CINÉTIQUE DU SOLIDE

I. Introduction

Dans un modèle mécanique, les étapes qui suivent la modélisation du mouvement

(cinématique) et la géométrie des masses, consistent à formuler les principes de conservation

de la mécanique (dans le cadre de la cinématique retenue), conservation de la masse, de la

quantité de mouvement, de l’énergie. En effet, formuler pour les systèmes de solides

indéformables le principe fondamental de la dynamique, permettra de faire apparaître les

notions de torseur cinétique, de centre d’inertie et de tenseur d’inertie. Le rapprochement des

concepts de la cinématique (vitesse, accélération) et ceux de la géométrie des masses (centre

de masse, moment d’inertie) est l’objet de la cinétique du solide (ou cinématique des masses).

II. Définitions des cinq quantités cinétiques

Considérons R0(O, , , ) un repère fixe, M un point matériel de masse m, de vitesse

(M/R0) et d’accélération (M/R0). Pour ce point matériel, on introduit cinq quantités

cinétiques qui sont fonctions de sa masse, de sa vitesse et de son accélération.

La quantité de mouvement: (M/R0) = m (M/R0)

Le moment cinétique (ou moment de la quantité de mouvement) / à O:

La quantité d’accélération:

Le moment dynamique (ou moment de la quantité d’accélération) / à O:

L’énergie cinétique:

III. Torseur Cinétique

Soit (S) un système matériel et dm un élément de masse autour de M (S).

1- Quantité de Mouvement

1-1 Introduction

La quantité de mouvement est une grandeur physique qui est associée à la masse et à la

vitesse d’un objet. On l’utilise pour étudier le comportement des objets qui entrent en

collision les uns avec les autres.

1-2 Définition

La quantité de mouvement de (S) est définie par:

oi

oj

ok

v

p

v

)R/M(vmOM)R/M(pOM)R/M,O( 000

)R/M(m)R/M(a 00

)R/M(mOM)R/M(aOM)R/M,O( 000

)R/M(vm2

1)R/M(E 0

20c


M.BOURICH 50

2- Moment Cinétique

2-1 Introduction

Le moment cinétique, est la grandeur physique qui joue dans le cas d'une rotation, un

rôle analogue à celui de la quantité de mouvement pour une translation ; si la conservation de

la quantité de mouvement pour un système isolé est liée à l'invariance par translation dans

l'espace (propriété d'homogénéité de l'espace), la conservation du moment cinétique est liée à

l'isotropie de l'espace.

2-2 Définition

Le moment cinétique de (S) par rapport à O est défini par:

Soit A (le point A est quelconque).

ou bien : : Cette écriture vérifie la structure

d’un torseur appelé torseur cinétique , noté [C].

Ses éléments de réduction on O sont:

Ainsi: [C(O)] = [ , ].

Si A G, alors

avec désignant le moment cinétique par rapport à O d’un point matériel de

masse m placé en G, animé de la même vitesse que G et mG = m(S).

En résumé:

: (1er

théorème de Koenig)

2-3 Moment cinétique par rapport à G

Définition du repère barycentrique:

C’est un repère, noté RG, lié au centre de masse G du solide et dont les axes gardent une

direction fixe par rapport à ceux de R0.

Ainsi RG (G, , , ) est en translation par rapport à R0 (O, , , ).

)S(

0

)S(

00 dm)R/M(v)R/M(pd)R/S(p

)R/G(vmdt

)OGm(ddmOM

dt

ddm

dt

OMddm)R/M(v)R/S(p 0

R)S()S( R)S(

00

00

)S(

00 dm)R/M(vOM)R/S,O(

)S(

0

)S(

0

)S(

00 dm)R/M(vAMdm)R/M(vOAdm)R/M(vAMOA)R/S,O(

→

000 AO∧)R/G(vm)R/S,A()R/S,O(

+=

cinétique résultante :)R/G(vm

cinétiquemoment :)R/S,O(

0

0

)R/S,O( 0

)R/G(vm 0

)R/m,O()R/S,G(

)R/G(vmOG)R/S,G()R/S,O(

0G0

000

)R/m,O( 0G

)R/m,O()R/S,G()R/S,O( 0G00

oi

oj

ok

oi

oj

ok

)R/S,A()R/G(vmOA)R/S,O( 000


M.BOURICH 51

Évaluons

Soit:

Remarque

On utilise le repère RG pour le calcul de

2-4 Moment cinétique par rapport à un axe

Soit () un axe de vecteur unitaire et A un point quelconque ().

Ce résultat est indépendant de A () en raison de l’équiprojectivité du torseur cinétique.

2-5 Autres résultats relatifs à un solide

Considérons :

R (G, , , ) : un repère lié au solide

R0 (O, , , ) : un repère fixe

RG (G, , , ) : un repère barycentrique

a- Le solide (S) est animé d’un mouvement de translation / R0

Soit A un point quelconque. On a :

)S(

eG

)S(

00 dm)M(v)R/M(vGMdm)R/M(vGM)R/S,G(

)R/S,G()R/G(v

0

dmGM)R/S,G()R/S,G( G0

)S(

G0

)R/S,G()R/S,G( G0

)R/S,G( 0

u

u)R/S,A()R/S,( G0

i

j

k

oi

oj

ok

oi

oj

ok

GA)R/G(vm

0

)R/S,G(

GA)R/G(vm)R/S,G()R/S,A(

0G

000

0dmGM∧

0

)R/S(∧GMdm

0

)R/G(v∧GMdm)R/M(v∧GM)R/S,G( ∫∫∫S

GS

GS

GG

=

=

+

=

==

O

(Ro)

io

G

io

jo

joko

(RG)ko

()(A,S/Ro)

A

(,S/Ro)

u


M.BOURICH 52

En définitive :

b- Le point A est un point du solide (S), fixe dans R0

Soit A un point du solide (S) fixe dans R0

Représentation matricielle : .

Remarque très importante

Il faut toujours exprimer et dans la même base que II (O, S).

c- Le solide (S) est en rotation autour d’un axe () fixe dans R0

Soit A () A est fixe dans R0 i.e.

Posons

d- Le mouvement de (S) est quelconque

On a

avec G fixe dans RG

En revenant à l’expression générale de :

IV. Torseur Dynamique [D]

1. Quantité d'accélération (résultante dynamique)

La quantité d’accélération de (S) est définie par :

)R/G(vmAG)R/S,A( 00

0)R/A(v 0

AM)R/S()R/M(v 00

)R/S()S,A(JdmAM)R/S(AMdm)R/M(vAM)R/S,A( 0

S

0

S

00

)13(

)R/S(

)33(

)S,A(II

)13(

)R/S,A( 00

)R/S,O( 0

0R/S(

0)R/A(v 0

AM)R/S()R/M(v 00

0

S

0

S

00 R/S()S,A(JdmAM)R/S(AMdm)R/M(vAM)R/S,A(

u)R/S( 0

)S,(Iu)S,A(Ju)R/S()S,A(Juu)R/S,A()R/S,( 000

)S,(I)R/S,( 0

)R/S,G()R/S,G( G0

)R/S()S,G(J)R/S()S,G(J)R/S,G( 0GG

)R/S,O( 0

)R/G(vOGm)R/S,G()R/S,O( 000

ntranslatio

)R/G(vOGm

rotation

)R/S()S,G(J)R/S,O( 000

()

A

u

(S)

M


M.BOURICH 53

: résultante dynamique

2- Moment dynamique

2-1 Définition

Le moment dynamique du solide (S) par rapport à O est défini par:

Considérons un point quelconque A .

: vérifie la structure d’un torseur.

On définit ainsi un torseur appelé torseur dynamique noté [D].

Ses éléments de réduction en O sont:

Ainsi: [D(O)] = [ , ]

2-2 Moment dynamique par rapport à un axe ()

Soit un vecteur unitaire porté par () et A ():

Ce résultat est indépendant de A () à cause de l’équiprojectivité du champ des vecteurs

.

2-3 Relation entre [ ] et [D]

Soit A un point quelconque .

.

En dérivant dans R0.

)R/G(mdt

)R/G(vdm

dm)R/M(vdt

ddm

dt

)R/M(vddm)R/M()R/S(a

0

R

0

)S(

0

)S( R

0

)S(

00

0

0

)R/G(mdm)R/M()R/S(a 0

)S(

00

∫)S(

00 dm)R/M(∧OM)R/S,O(

=

)S(

0

)S(

0

)S(

00 dm)R/M(AMdm)R/M(OAdm)R/M()AMOA()R/S,O(

)R/G(mOA)R/S,A()R/S,O( 000

dynamique résultante :)R/G(m

dynamiquemoment :)R/S,O(

0

0

)R/S,O( 0

)R/G(m 0

u

u)R/S,A()R/S,( 00

)R/S,O( 0

C

)S(

00 dm)R/M(vAM)R/S,A(

)S(

000

)S(

0

R

0 dm)R/M(v)R/A(v)R/M(vdm)R/M(AMdt

)R/S,A(d

0

)S(

000

R

0 dm)R/M(v)R/A(v)R/S,A(dt

)R/S,A(d

0

)R/G(vm)R/A(vdt

)R/S,A(d)R/S,A( 00

R

00

0

()(A,S/Ro)

,S/Ro)

u


M.BOURICH 54

Donc en général [ ] [D], l'égalité [ ] = [D] est vérifiée dans les quatre cas particuliers

suivants:

R0 est le repère barycentrique RG ;

Le point A est fixe dans le repère R0 de manière permanente ou instantanée (ceci est vrai

pour I1 et I2 mais pas pour le point géométrique I).

A G

( t)

Ainsi

Remarque importante

A chaque instant, les points I1 et I sont confondus (I1 I)

Ne pas oublier de prendre en considération la dérivée par rapport au temps du vecteur nul,

, à l'instant considéré.

3- Autres résultats

3-1 Le solide (S) est animé d’un mouvement de translation /à R0.

En choisissant les éléments de réduction en G on aura:

[ (G)] = [D(G)]

car dans un mouvement de translation.

3-2 Le solide (S) a un de ses points fixe dans R0.

Soit A (S) tel que A est fixe dans R0 [ (A)] = [D(A)]

Puisque A est fixe dans R0

C C

0)R/G(v 0

)R/G(v//)R/A(v 00

)R/G(vm)R/I(vdt

)R/S,I(d)R/S,I(

Ràrapportpar)(Sdeglissementdeabsenceayils':dt

)R/S,I(d)R/S,I(

dt

)R/S,G(d)R/S,G(

00

0R

00

01

0R

011011

0R

00

0

II∧)R/G(vm)R/S,I()R/S,I( 10001

=

+=

)R/S,I()R/S,I( 001

10 II∧)R/G(vm

C

0dt

)R/S,G(d)R/S,G(

0R

00

0)R/S,G()R/S,G( G0

C

0R

00

dt

)R/S,A(d)R/S,A(

)R/S()S,A(J)R/S,A( 00


M.BOURICH 55

En pratique, est connu par ses composantes dans un repère Ri lié au solide où

J(A,S) aurait été calculé.

Cas particulier : Ri est un repère principal d’inertie lié au solide (S).

dans et

: Formules d’Euler obtenues avec l’hypothèse de A (S) et fixe dans

R0.

La matrice II(A,S) est exprimée dans Ri lié à (S) et Ri est un repère principal d’inertie.

3-3 Le solide (S) est en rotation autour d’un axe fixe dans R0

Soit () un axe fixe dans R0 de vecteur unitaire et R un repère lié à (S).

Puisque le vecteur est porté par (), .

Considérons A (), donc A est fixe dans R0.

3-4 Le mouvement de (S) est quelconque

Soit A (A quelconque)

(formule de transfert du torseur dynamique)

Attention

Ne pas oublier que, même si la dérivation est effectuée par rapport à R0, l’opérateur J(G,S) est

souvent exprimé dans un repère lié à (S).

)R/S,A( 0

)R/S,A()R/R(dt

)R/S,A(d

dt

)R/S,A(d)R/S,A( 00i

R

0

R

00

i0

II A S

A

B

C

( , )

0 0

0 0

0 0

k,j,i

krjqipR/R 0i

)k ,j ,i( dans

0i0

Cr

Bq

Ap

r

q

p

C00

0B0

00A

)R/R().S,A(II)R/S,A(

kCrjBqiApkrjqipkrCjqBipAR/S,A 0

pq)AB(rC

pr)CA(qB

qr)BC(pA

R/S,A 0

u

)R/R( 0

u)R/R( 0

00 R

0

R

000

dt

u)R/S,A(du

dt

)R/S,A(du)R/S,A()R/S,(

)S,(Idt

)R/S,(d)R/S,(

0R

00

GA)R/G(m)R/S,G()R/S,A( 000

0

0

R0

R

00 )R/R()S,G(J

dt

d

dt

)R/S,G(d)R/S,G(

GA)R/G(m)R/R()S,G(Jdt

d)R/S,A( 0R00

0


M.BOURICH 56

V. Énergie Cinétique

1- Introduction

En histoire des sciences, G. Leibniz, s'opposant à Descartes, qui estimait que la quantité

de mouvement se conservait toujours, développa l'idée de la «

force vive » (vis viva), à

laquelle il attribuait la valeur mv2. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique. La

force vive est un concept obsolète où on trouve la première expression mathématique de ce

qui sera connu comme la loi de la conservation de l'énergie. Elle peut être considérée comme

une sorte d'énergie cinétique ou d'énergie reliée au mouvement des objets. D’où la naissance

du concept énergie cinétique (du Grec « énergeia

»), qui détermine l’énergie que possède un

corps du fait de son mouvement par rapport à un référentiel donné.

2- Deuxième théorème de Kœnig

L’énergie cinétique de (S), calculée dans le repère R0, est définie par:

, on a :

: C’est le deuxième théorème de

Kœnig.

2-1 Le solide (S) est animé d’un mouvement de translation /R0

Dans un mouvement de translation, tous les points du solide sont animés de la même vitesse.

2-2 Le solide (S) a un de ses points fixe dans R0

Soit A (S) tel que A est fixe dans R0.

S

0c

S

2

00c )R/M(dEdm)R/M(v2

1)R/S(E

GM

0

)R/R()R/G(v)R/M(v)R/M(v 0G0G0

)R/G(v)R/M(v)R/M(v 0G0

S

2

0G

S

2

00c dm)R/G(v)R/M(v2

1dm)R/M(v

2

1)R/S(E

S

G0

S

2

0

S

2

G0c dm)R/M(v)R/G(vdm)R/G(v2

1dm)R/M(v

2

1)R/S(E

0

dmGMdt

d)R/G(vdm)R/G(v

2

1dm)R/M(v

2

1)R/S(E

S

0

S

2

0

S

2

G0c

( ) 20Gc0c )R/G(vm

2

1)R/S(E)R/S(E

+=

0GM

0

)R/S(

0

)R/G(v)R/M(v GGG

0dm)R/M(v2

1)R/S(E

S

2

GGc

200c )R/G(vm2

1)R/S(E


M.BOURICH 57

Sous forme matricielle:

Conséquence

Le centre de masse G étant fixe dans RG, on a alors:

Comme

[R est un repère lié à (S)]

2-3 Le solide (S) est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe () fixe dans R0

Soit un vecteur directeur de () et A ().

On pose

2-4 Le solide (S) est animé d’un mouvement quelconque

On utilise le deuxième théorème de Kœnig:

.

AM)R/S(

0

)R/A(v)R/M(v 000

AM)R/R()R/M(v)R/M(v 00

2

0

S

00

S

00

S

2

00c

dm)R/M(vAM)R/R(2

1dmAM)R/R()R/M(v

2

1

dm)R/M(v2

1)R/S(E

)R/R()S,A(J)R/R(2

1dmAM)R/R(AM)R/R(

2

1)R/S(E 00

S

000c

)R/S,A()R/R(2

1)R/R()S,A(J)R/R(

2

1)R/S(E 00000c

)13(

)R/R(

)33(

)S,A(II

)31(

)R/R(2

1)R/S(E 00

t0c

×××

=

)R/S()S,G(J)R/S(2

1)R/S(E GGGc

)R/S()R/S( 0G

)R/R()S,G(II)R/R(2

1)R/S(E 00

tGc

u

u)R/R( 0

=

)S,(I2

1

u)S,A(Ju2

1

)R/R()S,A(J)R/R(2

1)R/S(E

2

2

000c

)S,(I2

1)R/S(E 2

0c

20Gc0c )R/G(vm2

1)R/S(E)R/S(E

2

0000c )R/G(vm2

1)R/R()S,G(J)R/R(

2

1)R/S(E

ntranslatio

)R/G(vm2

1

rotation

)R/R()S,G(II)R/R(2

1)R/S(E

2

0

→

0

→

0

→t

0c

()

u

A

(S/Ro)


M.BOURICH 58

5

Chapitre

Dynamique du Solide


M.BOURICH 59

Objectifs : Comprendre la notion de référentiel galiléen ;

Maitriser et savoir appliquer le principe fondamental de la dynamique ;

Savoir mettre en oeuvre les théorèmes généraux;

Maitriser les notion de fonction de forces ,de potentiel et de la puissance;

Interpretation de la résolution des équations différentielles du mouvement ;

Isaac Newton : (1642-1727) Newton formule l'hypothèse audacieuse selon laquelle la

Lune « tombe » sur la Terre de la même manière qu'un objet une pomme par exemple... tombe sur le sol. Mais en raison de sa

vitesse initiale, la Lune décrit une trajectoire curviligne. Chute

verticale et mouvement orbital sont donc des mouvements de

même nature. Puis Newton étend cette hypothèse à tout corps

céleste en orbite et aboutit à la loi suivante : « Deux corps quelconques s'attirent selon une force proportionnelle au produit

de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la

distance qui les sépare ».


M.BOURICH 60

DYNAMIQUE DU SOLIDE

I. Approche historique La cinématique ne peut constituer à elle seule la science du mouvement, dans la mesure

précisément où elle ne tient compte ni des causes qui le produisent ni de ce à quoi il

s'applique. La science galiléenne laisse sans réponse la question des rapports entre la matière

et le mouvement, qui, par contre, était au cœur de la théorie d'Aristote. On verra comment

Newton, par l'introduction d'une dynamique fondée sur les concepts renouvelés de masse et de

force, pensera avoir réglé cette question. On constatera que, comme l'ont souligné les auteurs

du XIXe siècle, et notamment Mach, Newton n'est pas parvenu à remplir entièrement son

programme, dans la mesure où il n'a pas su donner du mouvement de translation uniforme, dit «inertiel

», une explication

«matérialiste

», c'est-à-dire uniquement en termes d'espace, de temps

et de matière. On verra comment Einstein, avec la théorie de la relativité générale et l'idée que

la structure géométrique de l'espace est déterminée par la distribution des masses qui s'y

trouvent, a finalement résolu le problème du lien entre la cinématique et la dynamique.

II. Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux

1- Introduction

L'action mécanique est un concept utilisé en mécanique appliquée pour décrire tous les

phénomènes provoquant un mouvement ou une déformation. Ce concept regroupe les notions

de force et de couple utilisées en mécanique générale. Pour représenter les actions

mécaniques, on utilise souvent un torseur d'action.

2- Torseur des forces appliquées à (S)

2-1 Somme ou résultante

Pour un solide soumis à des forces ponctuelles, volumiques et surfaciques, la résultante

générale de ces forces s’écrit:

avec désignant une force ponctuelle et des densités de forces

volumique et surfacique, respectivement.

2-2 Moment résultant en O,

On écrira de manière générale, pour un système soumis à des forces volumiques, surfaciques

et ponctuelles:

Ici, représente une éventuelle densité volumique du couple en M.

R

SSi

i )'M(d)'M(f)M(d)M(f)M(fR

)M(f i

)'M(fet)M(f

)SF,O( M

SSSi

ii )M(d)M(C)'M(d)'M(fMO)M(d)M(fOM)M(fOM)SF,O(

M

)M(C

Mi

M'

Mf(Mi)

f(M')d

f(M)d

d

d


M.BOURICH 61

Le terme est rajouté car, lorsque , et , la résultante

générale du torseur est nulle et le torseur est un couple de moment . Ce qui justifie

l’appellation de densité volumique de couple (ce couple peut être nul).

Si on prend une autre origine pour calculer le moment résultant, on obtient facilement:

.

On a ainsi défini un champ de force auquel on a associé un torseur [F S] dont les éléments

de réduction en A sont:

3- Classification des forces

Dans cette classification on distingue les interactions de chaque point du système (S)

avec les autres points du système (forces intérieures) et les forces s’exerçant sur les points du

système et dues à des éléments extérieurs à (S) (forces extérieures).

Ainsi, le torseur [F S] peut être décomposé comme suit:

[F S] = [Fint S]+ [Fext S]

[Fint S] torseur des forces intérieures.

[Fext S] torseur des forces extérieures.

4- Principe fondamental de la dynamique (PFD) ou axiome de la dynamique

On admet l’existence de repères privilégiés dits “repères absolus”, Ru, et une

chronologie de temps “temps absolu” tels que, dans tout mouvement d’un système matériel

rapporté à ces repères et temps, le torseur dynamique soit équivalent au torseur des forces

extérieures:

[D(S/Ru)] = [Fext S]

A chaque instant, le torseur dynamique est égal au torseur des forces extérieures.

Remarques

Compte tenu des approximations tolérées, on peut considérer comme absolus des repères

terrestres (galiléens).

En écrivant l’égalité entre les éléments de réduction des torseurs dynamique et celui des

forces extérieures, on recouvre deux théorèmes généraux:

On remarquera que les forces intérieures à un système matériel n’apparaissent pas dans la loi

fondamentale de la dynamique ce qui sous-entend que le torseur des forces intérieures à un

système matériel (S) est nul : [Fint S] = [0].

S

d)M(C

0)M(f i

0)M(f

0)'M(f

S

d)M(C

OO)SF(R)SF,O()SF,'O(

MM

SSSi

ii

SSi

i

:d)M(Cd)'M(fMAd)M(fAM)M(fAM)SF,A(

:)'M(d)'M(f)M(d)M(f)M(f)SF(R

moment M

résultante

cinétiquemomentduThéorème:)SF,A()R/S,A(

massedecentreduThéorème:)SF(R)R/G(m

extu

extu

M


M.BOURICH 62

5- Théorème des interactions ou théorème de l’action et de la réaction

Considérons le système matériel (S) formé de deux solides disjoints (S1) et (S2):

(S) = (S1) (S2) et (S1) (S2) =

On a :

[Fext S] = [Fext à S S1]+ [Fext à S S2]

Appelons:

[FS1 S2]: torseur des efforts exercés par (S1) sur (S2)

[FS2 S1]: torseur des efforts exercés par (S2) sur (S1)

Appliquons le P.F.D. à (S1) et (S2) séparément, on aura :

[D(S1/Ru)] = [Fext à S S1] + [FS2 S1]

[D(S2/Ru)] = [Fext à S S2] + [FS1 S2]

Faisons la somme:

Ainsi:

Le torseur des efforts exercés par (S1) sur (S2) et le torseur des efforts exercés par (S2) sur (S1)

sont opposés dans le cas où les systèmes matériels (S1) et (S2) sont disjoints.

Conséquences

Éléments de réductions

5-1 Torseur des forces intérieures à un solide (S)

C’est l’ensemble des actions mutuelles entre les divers points M (S). Ces actions assurent la

propriété de rigidité du solide: [Fint S] = [0].

5-2 Torseur des actions intérieures à un système matériel (S)

On peut décomposer ce torseur en la somme de deux torseurs:

Le torseur des forces intérieures à chaque solide (Si) de (S)

Le torseur des actions mutuelles entre tous les solides de (S)

Si (S) = (S1) (S2) (Sn)

nultorseur0

SFSFSF)R/S(D 2S1Sextu 12

)SF,A()SF,A(

)SF(R)SF(R

1S2S

1S2S

21

21

MM

0

SF

0

SFSF

ji

jiS

n

1i

iiSàintint

0Sint F

(S2)

(S1)

(S)

(Ru)

z

yO

x


M.BOURICH 63

III- Changement de repère - Repère galiléen

1- Position du Problème

Le choix du référentiel d'étude n'est pas uniquement guidé par des considérations

techniques de complexité plus ou moins grande d'écriture des équations du mouvement, par

exemple selon l'orientation des axes, le système de coordonnées (cartésiennes, sphériques,

etc.), ou l'origine des dates, mais détermine également du point de vue fondamental le cadre

spatio-temporel d'étude des phénomènes considérés.

En effet, pour un référentiel quelconque, l'espace n'apparaîtra pas nécessairement

homogène et / ou isotrope, ni le temps uniforme. Ainsi, par exemple, l'étude du mouvement

d'un corps par rapport au référentiel lié à un wagon en mouvement accéléré par rapport aux

voies fera apparaître une direction privilégiée, celle de du vecteur accélération, soit un

anisotropie de l'espace. Il en sera de même pour un référentiel lié un corps en mouvement de

rotation autour d'un axe fera à la fois apparaître une direction privilégiée, celle de l'axe de

rotation (anisotropie), mais aussi des effets "centrifuges" dépendant de la distance à l'axe

(non-homogénéité de l'espace), voire du temps si la vitesse de rotation n'est pas constante

(non-uniformité du temps).

Une telle situation conduirait à devoir écrire les équations de la Physique, et notamment

celle de la mécanique, d'une façon distincte selon le référentiel d'étude, c'est-à-dire sous une

forme non covariante, à moins de définir une classe de référentiels particuliers, dits galiléens,

par rapport auxquels ces équations prennent justement une forme covariante.

2- Torseur dynamique d’entraînement-Torseur dynamique de Coriolis

Considérons Ru repère absolu et Rr repère relatif. De la loi de composition des

accélérations, on déduit:

[D(S/Ru)] = [D(S/Rr)] + [De(S)] + [Dc(S)]

: Torseur dynamique d’entraînement

: Torseur dynamique de Coriolis

Or, le P.F.D. appliqué dans Ru [D(S/Ru)] = [Fext S]

Ainsi : [D(S/R r)] = [Fext S] - [De(S)]-[Dc(S)]

Cherchons un repère Rg tel que: [De(S)]+[Dc(S)] = [0]

Ceci est particulièrement vrai si [De(S)] = [Dc(S)] = [0]

O/moment

dm)M(OM

résultante

,dm)M()S(D ee)O(e

O/moment

dm)M(OM

résultante

,dm)M()S(D cc)O(c


M.BOURICH 64

Or [Dc(S)] = [0] en particulier si γ c(M) = 0 M (S).

C'est-à-dire

Rg est en translation par rapport à Ru.

De même, [De(S)] = [0] en particulier si M (S)

Rg est en translation rectiligne uniforme par

rapport à Ru.

Conclusion

Les torseurs dynamiques d’entraînement et de Coriolis sont nuls dans les repères Rg animés

d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à Ru : ces repères sont appelés

galiléens. Dans la pratique, un référentiel lié à des corps réels ne peut être

qu'approximativement, localement et momentanément galiléen.

IV. Travail et puissance

1- Puissance d’un couple appliqué à un solide

Un couple est un torseur de forces dont la résultante est nulle. Son moment résultant est

le même en tout point du solide. On le notera avec .

La puissance du couple est

Le travail élémentaire du couple est

2- Puissance d’un torseur de forces appliquées à un solide

Dans le cas d’un solide soumis à des forces ponctuelles et volumiques on a:

Soit A un point quelconque de (S)

Le résultat est indépendant de A (S).

Donc le résultat est le comoment du torseur des forces appliquées et du torseur cinématique.

0)R/M(v)R/R(2 gug

0)R/R( ug

0)M(e

0)R/O( ug

cte)R/O(v ug

)S(

d)M(C

)R/S()R/(P 00

dt)R/S(dt)R/(P)R/(W 000

S

0

i

0ii0 )M(d)R/M(v)M(f)R/M(v)M(f)R/SF(P

S

00

i

i00i0 )M(dAM)R/S()R/A(v)M(fAM)R/S()R/A(v)M(f)R/SF(P

)R/S()M(d)M(fAM)M(fAM

)R/A(v)M(d)M(f)M(f)R/SF(P

0

Si

ii

0

Si

i0

)R/S()SF,A()R/A(v)SF(R)R/SF(P 000

M


M.BOURICH 65

Conséquences

Si deux torseurs de forces appliquées à un solide sont égaux, les puissances qu’ils

développent sont égales.

Si un torseur de forces appliquées à un solide est nul, la puissance qu’il développe est nulle

dans tout mouvement de ce repère. Donc dans tout repère (puissance des

forces intérieures à un solide).

3- Puissance du torseur des forces appliquées à un système matériel (S)

Considérons deux repères: R0 absolu et Rr relatif.

avec [Ve(S)] désignant le torseur cinématique des vitesses d’entraînement de (S).

Finalement:

Avec

Exercice d’application

Montrer que la puissance des forces intérieures à un système matériel est indépendante du

repère et que celle relative à un solide est nulle.

P F S R( / )int 0 0

S

0

i

0ii0 )M(d)R/M(v)M(f)R/M(v)M(f)R/SF(P

S

er

i

ierii0 )M(d)M(v)R/M(v)M(f)M(v)R/M(v)M(f)R/SF(P

2

)M(d)M(v)M(f

1

)M(v)M(f)R/SF(P)R/SF(PS

e

i

ieir0

i

i10r01i

i

iei MO)R/R()R/O(v)M(f

)1(

)M(v)M(f

S

10r01

S

e dMO)R/R()R/O(v)M(f

)2(

d)M(v)M(f

)R/R(d)M(fMO)M(fMO)R/O(vd)M(f)M(f)2()1( 0r

S

1

i

ii101

Si

i

)]S([]S[)R/R()SF,O()R/O(v)SF(R)2()1( 0r101 eVFM

)]S([]S[)R/SF(P)R/SF(P r0 eVF

)R/R(,R/O(v)]S([ 0r01)O( 1

eV

(R0)

(Rr)

(S)

o

o1zo

yo

xo

y1

x1

z1


M.BOURICH 66

4- Théorème de l’énergie cinétique

L’utilisation de ce théorème conduit à l’obtention d’une équation scalaire.

4-1 Mouvement dans un repère galiléen

- Système matériel (S)

Soit M (S) un point matériel de masse dm et la résultante des forces agissant sur M.

Ces forces appartiennent au torseur des forces extérieures et intérieures à (S).

On a :

En étendant la somme à tous les points de (S) on aura:

: Puissance des torseurs des forces intérieures et extérieures.

Ici [F S] = [Fext S] + [Fint S] (la contribution des forces intérieures doit être prise en

considération dans le cas d’un système matériel).

- Cas d’un solide (S)

Pour un solide (S) on a: P(Fint S/Rg) = 0.

D’où:

Soit la résultante des forces extérieures agissant sur (S).

On peut faire la décomposition suivante:

Ainsi :

Finalement:

)M(f

)M(fdm)R/M( g

)R/M(v)M(fdm)R/M(v)R/M( ggg

)R/M(fP)R/M(v2

dm

dt

dg

R

2

g

g

g

R

gcR/SFP

dt

)R/S(dE

g

gext

R

gcR/SFP

dt

)R/S(dE

g

)SF(R ext

)SF(R)SF(R)SF(R ncextcoextext

vesconservatinonforcesdestorseur

R/S

vesconservatiforcesdestorseur

R/SR/S gncextgcoextgext FFF

gncext

p

gncextgcoextgext R/SFPdt

dER/SFPR/SFPR/SFP

gncext

p

gext

R

gcR/SFP

dt

dER/SFP

dt

)R/S(dE

g

Mf(M)

(S)


M.BOURICH 67

avec Em(S/Rg) = Ec(S/Rg) + Ep(S) : énergie mécanique du solide.

Lorsque la puissance du torseur des forces extérieures non-conservatives est nulle, on aura:

Em(S/Rg) = constante (conservation de l’énergie mécanique).

Dans ce cas, on dira que le torseur des forces extérieures agissant sur (S) est conservatif.

4-2 Mouvement dans un repère non galiléen:

- Système matériel (S)

Soit la résultante de toutes les forces agissant sur M.

En considérant Rg absolu et Rr relatif on aura:

d’où :

En étendant la sommation à tous les points du système on obtient:

avec: [Fie(S)] = -[De(S)]

- Cas d’un solide (S)

gncextRgmRpgc R/SFP)R/S(Edt

dE)R/S(E

dt

d

gg

)M(f

dm)M(dm)M(dm)R/M()M(fdm)R/M( cerg

dm)M(dm)M()M(fdm)R/M( cer

dm

0

)R/M(v)M()R/M(v

)M(f

dm)M()R/M(v)M(fdm)R/M(v)R/M( rcr

ie

errr

)M(fPR/)M(fP)R/M(Edt

d)R/M(v

2

dm

dt

dierRrc

R

2

rr

r

SFPR/SFP)R/M(Edt

dierRrc

r

)S(S)S(F)S(SF

SFPR/SFP)R/M(Edt

d

rierext

ierextRrcr

VV


M.BOURICH 68

6

Chapitre

Liaisons-Forces de Liaison

Les liaisons piston-bielle et piston-chemise

sont des pivots glissants


M.BOURICH 69

Objectifs : Comprendre la notion de liaisons ;

Différencier entre liaisons unilatérales et liaisons bilatérales;

Comprendre la notion de liaison holomone;

Achever l’étude dynamique en applicant les lois de Coulomb.

Charles Coulomb : (1736-1806) La loi de Coulomb en mécanique, nommée en l'honneur de

Charles de Coulomb, exprime sous une forme très simplifiée

l'intensité des forces de frottements qui s'exercent entre deux solides. Selon que ces solides glissent ou non l'un contre l'autre,

on parle de glissement (frottement dynamique) ou d'adhérence (frottement statique). Dans les deux cas, les actions réciproques

qui s'exercent entre ces solides comportent : une composante

normale N qui les presse l'un contre l'autre, une composante

tangentielle T qui s'oppose, ou tend à s'opposer, au glissement.


M.BOURICH 70

LIAISONS - FORCES DE LIAISON

I. Introduction Un mécanisme est l'association de plusieurs pièces liées entre elles par des contacts

physiques qui les rendent totalement ou partiellement solidaires, selon qu'ils autorisent ou non

des mouvements relatifs. La liaison mécanique est le modèle utilisé pour décrire cette relation

dont la considération est primordiale dans l'étude des mécanismes. Elle emploie des

représentations mathématiques qui diffèrent suivant qu'on l'aborde sous l'aspect cinématique

(étude des mouvements ou guidages) ou sous l'aspect statique (étude de la transmission

d'efforts).

La notion de liaison mécanique se définit plus généralement entre groupes de pièces,

appelés classes d'équivalence contenant respectivement des pièces entièrement solidaires.

II. Liaisons-Actions de contact

1- Définition

Lorsqu’on étudie le mouvement d’un solide en contact avec un autre solide, on doit

prendre en considération de nouvelles forces dites forces de contact.

2- Liaisons

Considérons un système matériel (S) constitué de p solides et de q points matériels. Si le

système est entièrement libre (absence des forces de contact), la position d’un solide dans

l’espace, par rapport à un repère R, est définie par 6 paramètres ( xG, yG, zG, , , ), celle

d’un point matériel est définie par 3 paramètres (coordonnées du point).

La position de (S) par rapport à R est définie par: m = 6p + 3q paramètres.

On pourra avoir un nombre d’équations identique au nombre m de paramètres en appliquant:

- le P.F.D. à chaque point matériel Mi (S):

; avec i = 1, 2, …, q (3q équations)

- le P.F.D. à chaque solide (Si) de (S):

En pratique, le système n’est pas totalement libre car il existe des relations de liaison (égalités

ou inégalités entre les paramètres) à prendre en considération.

)M(f)M(m iiii

)pi1,ichaquepouréquations3()SF,O(M)S,O(

)pi1,ichaquepouréquations3(R)G(m

ii

iiSi

Forces de

contact


M.BOURICH 71

Pour un système soumis à des liaisons, celles-ci sont dites:

- unilatérales, quand elles se traduisent par des inégalités (N 0 ou ).

- bilatérales quand elles se traduisent par des égalités ( ).

3- Liaison holonome

Une liaison est dite holonome si la relation de cette liaison fait apparaître les paramètres

de position (coordonnées et angles) sans faire apparaître leurs dérivées par rapport au temps.

Si la relation de liaison contient des dérivées des paramètres par rapport au temps, la liaison

sera dite non holonome.

On s’intéressera par la suite uniquement aux forces de liaisons dues au contact entre deux

solides (S1) et (S2).

4- Action de contact

On considère le cas de deux solides (S1) et (S2) assujettis à

rester en contact ponctuel au cours de leurs mouvements. On

désignera par I et () respectivement le point de contact et le

plan tangent commun aux deux solides (S1) et (S2).

Les actions de contact exercées par (S2) sur (S1) et celles exercées par (S1) sur (S2) constituent

deux torseurs: et dont la somme est nulle.

D’après le principe de l’action et de la réaction, on a:

: réaction normale; elle s’oppose à la pénétration d’un solide dans l’autre.

: Force de frottement ou force de résistance au glissement.

: Moment de résistance au pivotement.

: Moment de résistance au roulement.

III. Lois de Coulomb

1- Approche historique

Ces lois, largement empiriques, ont été introduites par Coulomb en 1871. Elles

dépendent de l’état des surfaces en contact. Trop souvent considéré comme un élément

perturbateur pour les calculs, on s’aperçoit très vite que le frottement est tout simplement

NfT

0vg

12 SS F

21 SS F

1212

12

12

SSSS

SS

SS

)R,I(

NTR

MF

122121

1221

21

SSSSSS

SSSS

SS

)R,I(

RR

MF

N

T

n

t

I

(S1)

(S2)

I

(S1)

(S2)

t

nS2--S1

T

N RS2--S1


M.BOURICH 72

indispensable : si les vis de fixation restent serrées, le clou en place, les échelles debout et les

voitures sur la route, c’est grâce au frottement. C’est aussi sur ce phénomène que repose le

fonctionnement des freins et embrayages.

2- Réaction normale

a- Son sens: la réaction normale exercée par (S2) sur (S1) est dirigée vers l’intérieur de (S1):

c’est une force répulsive.

b- Sa norme: elle a une valeur arbitraire qui dépend du mouvement ou de l’équilibre et des

actions qui s’exercent sur (S1).

Comme N 0 la liaison de contact entre (S1) et (S2) est unilatérale.

3- Réaction tangentielle

3-1 Contact sans glissement: .

L’expérience montre qu’il existe, dans ce cas, un scalaire f0 tel que: (on a l’égalité

à la limite du glissement).

f0 : coefficient de frottement de non glissement.

On pose f0 = tg (0)

Soit l’angle tel que

0 géométriquement, la réaction est située à l’intérieur

d'un cône appelé cône de frottement, d’axe normal en I à (), de sommet I, et de demi-angle

0.

3-2 Contact avec glissement : .

1ère

loi: et sont colinéaires (même support) .

2ème

loi: (sens opposés).

3ème

loi: (f = coefficient de frottement)

4ème

loi: est pratiquement indépendant de .

Lorsque la vitesse de glissement n’est pas trop grande, f reste pratiquement constant. On a f <

f0 et f = f0 - f << f.

Dans la pratique, on prend f = f0.

Remarque

Si f = 0 : on dira alors que la liaison de contact est parfaite (sans

frottement).

0)S/S(v 21g

NfT 0

N

Ttg 0

N

Ttg

tg tg 0 )SS(R 12

0)S/S(v 21g

T

)S/S(v 21g

0)S/S(vT 21g

0)S/S(vT 21g

NfT

T

)S/S(v 21g

0T

NR12 SS

I

(S1)

(S2)

RS2--S1


M.BOURICH 73

4- Vitesse de rotation de pivotement-roulement

On décompose ce vecteur comme suit : (composantes normale et

tangentielle).

Dans le chapitre relatif à la cinématique, on a vu que:

: vitesse de rotation de pivotement

: vitesse de rotation de roulement.

On admet l’existence de deux scalaires et appelés respectivement coefficients de frottement

de roulement et de pivotement.

- Cas où

(colinéaires)

(sens opposés)

- Cas où a une direction arbitraire dans le plan ().

- Cas où

(colinéaires)

(sens opposés)

- Cas où est normal au plan ().

Remarque

Ces relations sur sont rarement utilisées car on néglige souvent les coefficients

et ( 0).

5- Puissance totale des actions de contact

Les solides (S1) et (S2) sont en mouvement par rapport à R0 et en contact pseudo-ponctuel

entre eux. On étudie la puissance des actions de contact de (S2) sur (S1).

or

et

Finalement:

Si tous les coefficients de frottement sont nuls, i.e. f = = = 0 .

tnSS 12

tn12 )S/S(

n

t

0t

0tt

0tt

N

0t

t

Nt

0n

0nn

0nn

Nn

0n

n

Nn

)SS( 12

)S/S()S/S(vR)R/R(P 21SS21gSS01S2S 1212

0)S/S(vT)S/S(vNT)S/S(vR 21g21g21gSS 12

0)S/S( nntt21SS 12

0)(P 1S2S F

0)(P 1S2S F

I

(S1)

(S2)

t

nS2--S1


M.BOURICH 74

IV. Exemple d’application: mouvement d’une sphère sur un plan incliné La sphère a un rayon r et une masse m. On désigne par f le

coefficient de frottement résultant du contact entre la sphère et

le plan incliné. Les résistances au roulement et au pivotement

sont négligées ( = = 0).

- Étude du mouvement

Le mouvement de la sphère étant plan, on aura besoin au plus

de 3 paramètres primitifs pour le décrire (xG, yG et ).

La liaison de contact en I impose yG = r (t)

Le mouvement dépend donc uniquement des paramètres xG et .

La force de contact (T grandeur algébrique ou 0).

Les inconnus du problème sont xG, , T et N.

Le P.F.D. appliqué au solide en mouvement est

Égalité des résultantes

Égalité des moments:

(solide en rotation autour d’un axe fixe /RG)

Théorème du moment cinétique:

Cas du roulement sans glissement

Finalement on a un système de 4 équations à 4 inconnus.

L’équation (4)

L’équation (3)

L’équation (1)

00 iTjNTNR

Sext0 )R/S( FD

Rgm)R/G(m o

)2(Ncosmg0

)1(Tsinmgxm G

)F,G(dt

)R/S,G(dSext

Ro

o

M

o

2

oGzGo kmr5

2kI)R/S,G()R/S,G(

o2

Ro

o kmr5

2

dt

)R/S,G(d

oooSext krTiTjr

0

gmGGRGI)F,G(

M

rTmr5

2 2 )3(mr5

2T

oGoooG

ooog

irxjrkix

GI)R/S()R/G(v)R/SI(v0)plan/S(v

)4(0rxG

)5(r

xG

Gxm5

2mr

5

2T

sinmgT2

7TsinmgT

2

5

x0

y0

i0

j0j

i

I

mg

TN


M.BOURICH 75

L’équation (1) à nouveau

L’équation (5)

L’équation (2)

Dans le cas d’un roulement sans glissement on a l'inégalité suivante:

Cas du roulement avec glissement

Si il y aura glissement

Cette équation va remplacer l’équation (4).

Or

L’équation (6)

+1: si est opposée à ( sphère tournant trop vite: c’est un cas très rare)

-1: si est de même sens que (cas très fréquent)

L’équation (1)

L’équation (3)

Après intégration, on obtient:

(La constante = 0 si à t = 0 on a )

avec

La condition de roulement avec glissement impose ( )

= -1 (d’après une des lois de Coulomb).

Les équations du mouvement deviennent alors:

T mg 2

70sin

mx mg T mg mg mgG sin sin sin sin 2

7

5

7

sinx gG 5

7

sin 5

7

g

r

N mg cos

T f N

2

7mg fmgsin cos f tg

2

7

f tg2

7

T f N ( )6

N mg cosT fmg cos ( ) 7

)1avec(cosfmgT

)R/S(v og

oi

)R/S(v og

oi

fmgcosinmgTsinmgxm G

sinx g fgcoG

cos

5

2

5

2

T

mr rfg

CtetfgcosingxG xG 0

tcosfgr2

5

0)0t(

)f2

7tg(cosgt

)cosf2

7(singtrx)R/S(v Gog

tg f 7

2tg f

7

2

v S Rg o( / ) 0


M.BOURICH 76

Remarque

Dans le cas de cet exemple, on a trouvé = -1 puisque les conditions initiales utilisées sont

celles du repos. Cependant, on peut avoir la situation où = +1 (situation plus rare) et ce,

dépendamment des conditions initiales.

sin

cos

x g fgco

rfg

G

5

2

N mg

T fmg

cos

cos


M.BOURICH 77

7

Chapitre

Mouvement d’un Solide Autour d’un

Point ou d’un Axe Fixes


M.BOURICH 78

Objectifs : Maitriser les angles d’Euler ;

Différencier entre mouvements de rotation propre, mutation et précession ;

Comprendre et savoir appliquer les théorèmes généraux dans le cas d’un mouvement de

rotaion autour d’un point fixe ou d’un axe fixe.

Leonhard Euler : (1707-1783) L. Euler est la plus grande figure de mathématicien et

mécanicien du XVIIIème siècle, ses études sont extrêmement

nombreuses (plus de 800 publications, dont la moitié vers la fin

de sa vie, quand il était devenu aveugle) et ses contributions et

découvertes de premiers ordre. En mécanique, L. Euler

découvre les fameuses lois du mouvement des corps rigides qui

portent son non.


M.BOURICH 79

MOUVEMENT D’UN SOLIDE AUTOUR D’UN POINT OU D’UN AXE FIXES

I- Approche historique Euler a fait voir, le premier, que quand un corps est retenu par un point fixe tout

mouvement infiniment petit du corps n’est autre qu’un mouvement de rotation autour d’une

certaine droite passant par le point fixe.

Lagrange a donné, dans la première édition de sa mécanique analytique en 1788, les

formules qui servent à décomposer ce mouvement de rotation en trois autres se faisant autour de

trois axes rectangulaires menés par le point fixe. Ces formules offraient une ressemblance

remarquable avec celles qui servent à décomposer le mouvement rectiligne d’un point en trois

autres mouvements rectilignes. Plus lard Lagrange a complété cette analogie en donnant dans la

seconde édition de sa Mécanique analytique en 1811 la construction géométrique des trois

rotations qui peuvent remplacer une rotation unique.

II- Rotation d’un Solide autour d’un Point Fixe (Angles d’Euler)

1- Angles d’EULER

Considérons un solide (S) en mouvement autour d’un point fixe O de sorte qu'il existe un

point de (S) coïncidant en permanence avec O. L'étude du mouvement de (S) par rapport au

repère fixe R0(O, , , ) est caractérisée par 3 paramètres (angles d’Euler) qui permettent

d’exprimer de manière intéressante.

Si on considère le repère R (O, , , ) comme étant lié au solide, le passage de (R0) à (R) est

possible moyennant trois rotations successives:

Première rotation: on passe de R0 (O, , , ) à R1 (O, , , ) par une rotation d’angle

autour de .

Deuxième rotation: on passe de R1 (O, , , ) à R2 (O, , , ) par une rotation d’angle

autour de .

Troisième rotation: on passe de R2 (O, , , ) à R (O, , , ) par une rotation d’angle

autour de .

Les différentes rotations sont schématisées sur les figures suivantes:

0i

0j

0k

)R/S( 0

i

j

k

0i

0j

0k

u

v

0k

0k

u

v

0k

u

k

u

u

k

i

j

k

k

jo

io

v

u

ko

i

w

u

k

( / ) R R k1 0 0

u v k base directe

, , 0

( / ) R R u2

u

w

v

ko

k

j

( / ) R R u2 1

u w k base directe

, , i j k b a se d ire c te

, ,


M.BOURICH 80

Les trois angles , et sont appelés angles d’Euler et chacun d’eux caractérise un mouvement

particulier. Les noms qui leur sont attribués ont été empruntés de l’astronomie. Ainsi, est un

angle qui caractérise la précession (mouvement conique très lent effectué par l’axe de rotation de

la terre), l'angle caractérise la nutation (léger balancement, de caractère périodique que subit

l’axe de rotation de la terre) alors que l'angle caractérise la rotation propre du solide.

En utilisant la loi de composition des vecteurs rotations, on obtient:

dans

dans avec

2- Moment cinétique en O du solide :

On admet, pour raison de simplification, que le repère R lié au solide est un repère principal

d’inertie pour (S):

dans

O est un point fixe dans R0

3- Moment dynamique en O:

O étant un point fixe dans R0

: Formules d’Euler dans

4- Énergie cinétique:

L'énergie cinétique du solide, en rotation autour du point fixe O, par rapport à R0 est:

kuk)R/R()R/R()R/S()R/R( 0011220

cos

cossinsin

sinsincos

)R/S( o

( , , ) i j ko o o

r

q

p

)R/S( o

( , , ) i j k

p

q

r

cos sin sin

sin sin cos

cos

)R/S,O( o

II O S

A

B

C

( , )

0 0

0 0

0 0

( , , ) i j k

kCrjBqiAp)R/S()S,O(II)R/S,O( oo

)R/S,O( o

0R

oo

dt

)R/S,O(d)R/S,O(

)R/S,O()R/S(dt

)R/S,O(d)R/S,O( oo

R

oo

pqABrC

prCAqB

qrBCpA

)R/S,O( o

( , , ) i j k

222oo

toc CrBqAp

2

1)R/S()S,O(II)R/S(

2

1)R/S(E


M.BOURICH 81

III- Exemple de la toupie symétrique sur sa pointe fixe O

On suppose que (S) est une toupie de révolution autour de reposant par sa pointe fixe sur un

sol horizontal.

Les repères (lié au solide) et (non lié au solide) sont des repères

principaux d’inertie.

Pour simplifier les écritures, on exprimera la matrice d’inertie en O dans le repère R2 (non lié au

solide). Ainsi:

dans

Or

Remarque très importante

La base n’est pas liée au solide, mais on peut quand même utiliser les équations d’Euler

sans grand changement car, à cause de la symétrie du solide par rapport à sont

équivalents à de point de vue des moments d’inertie.

Ici :

Remarque

Pour ne pas avoir à exprimer Mu et Mw on peut procéder différemment.

On détermine le moment résultant par rapport à l’axe Oz de vecteur unitaire :

Mk = Mk = 0

L’équation (c) Cr1 = cte = C1

(1ère

constante du mouvement) (1)

k

R O i j k( , , , )

R O u w k2 ( , , , )

II O S

A

A

C

( , )

0 0

0 0

0 0

( , , ) u w k

kuk)R/S( oo

krwqupkcoswsinu)R/S( 111o

kCrwAquAp)R/S()S,O(II)R/S,O( 111oo

( , , ) u w k

wetu,k

jeti

)S,O(dt

)R/S,O(d)R/S,O(

ext

R

o

o

0

FM

)c(rC

)b(AprpCAqA

)a(AqrqACpA

)R/S,O(

k1

w1111

u1111

o

M

M

M

cosr

sinq

p

1

1

1

k

0kROOkgmOG

0rC 1

1CcosC

O

G

mg

R

io u

jo

ko

k


M.BOURICH 82

La constante C1 est déterminée par les conditions initiales.

Rappel

A et C ne dépendent pas du temps dans la base de R2.

Remarque

Le moment résultant des forces extérieures par rapport à l’axe Ozo, de vecteur unitaire , est

nul.

En effet: rencontre en O et est parallèle à .

Appliquons le théorème du moment cinétique:

avec (2)

La constante C2 est déterminée par les conditions initiales.

Les constantes C1 et C2 permettent d’exprimer en fonction de seulement.

Les équations (1) et (2)

Il reste donc à trouver une équation différentielle contenant

Appliquons le théorème de l’énergie cinétique.

La réaction ne travaille pas car elle est appliquée en O dont la vitesse est nulle.

La seule force restante est le poids qui est une force conservative conservation de l’énergie

mécanique du solide.

Ec(S/Ro) + Ep (S) = Em(S/Ro) = C3

En effet:

On a:

ok

R

ok

gm

ok

)S,O(dt

)R/S,O(dext

R

o

0

FM

0k)S,O(kdt

)R/S,O(doexto

R

o

0

FM

0

dt

k)R/S,O(d

0R

oo

2oo Ck)R/S,O(

wsinkcosk o

2

2 CcoscosCsinA

et

)d(sinA

cosCC

2

12

)e(

sinAC

cosCCcosCsinAC

2

222

1

ou/et,

R

0)R/O(vRR/RPdt

dE00

R

m

0

0

0

RR

0p OGgmdOGdgmR/gmWdE

ctekkmgcteOGgmE 0p

a ctecosmgEp a


M.BOURICH 83

La constante est nulle si Ep = 0 en z = 0 (origine des potentiels)

Donc:

Conservation de l’énergie mécanique:

(3)

Dans l’équation (3), on remplace par son expression de l’équation (d) et par

d’après l’équation (1). On aura alors:

(équation différentielle en ne contenant que )

avec

Allure du mouvement

f() pour 0 ou

f() passe donc nécessairement par un minimum

entre ces deux valeurs de .

Or

Pour le niveau d’énergie Em = C3 (énergie totale de la

toupie dans sons mouvement par rapport à R0), les

seules valeurs de possibles sont comprises entre 1

et 2. Ainsi, la partie de la courbe physiquement valable est celle qui vérifie

f() Em 1 2.

Cas où Em > E0

Plusieurs cas sont à considérer selon le signe de .

Or : est de même signe que

)R/S,O()R/S(2

1)R/S()S,O(II)R/S(

2

1)R/S(E oooo

toc

2220c cosC

2

1sinA

2

1A

2

1)R/S(E

3

222 CcosmgacosC2

1sinA

2

1A

2

1

cosC

C1

3

2

1

2

2

122 CcosmgaC

C

2

1

sinA

cosCC

2

1A

2

1

32 C)(fA

2

1 2

cosmga

C

C

2

1

sinA

cosCC

2

1)(f

2

1

2

2

12

)(fA2

1C 2

3

0)(fCA2

13

2 m3 EC)(f

2

12

sinA

cosCC cosCC 12

f

O

E 0

C 3 = E m


M.BOURICH 84

Les constantes C1 et C2 étant fixées par les conditions initiales, il en est de même pour 1 et 2

qui ne dépendent que de C1, C2 et C3 [en résolvant C3 = F()].

a- , [1, 2 ]

Dans ce cas, garde un signe constant le mouvement se fait toujours dans le même sens.

En représentant, par exemple, la trajectoire de G sur la sphère de rayon OG (sphère car O est

fixe), on obtient la trajectoire de la figure 1.

b- C2 – C1cos change de signe entre 1 et 2

Il en résulte que change également de signe pour une valeur de [1, 2 ] tantôt croît,

tantôt décroît, d’où la représentation de la figure 2.

c- C2 – C1cos s’annule sans changer de signe

Si s’annule pour une valeur n de sans changer de

signe, la courbe obtenue est différente mais difficile à différentier

de celle représentée en (a) sauf si n = 1 ou n = 2.

Par exemple, si n = 1 on aura à l’instant où cette condition est

réalisée, un point G avec une vitesse nulle et sa trajectoire

présente des points de rebroussement comme indiqué sur la figure

3.

Cas où Em = E0

Dans ce cas , = 0 =cte et le mouvement est stationnaire en et sont des

constantes lors du mouvement. Ainsi, la toupie précessionne et tourne uniformément sur elle

même.

Les cas singuliers ( = 0 ou = ) correspondent à une toupie “dormante” en position haute ou

basse.

VI. Solide mobile autour d’un axe fixe

1. Exemple

On considère un solide (S) mobile dans R0 autour d’un axe fixe (). On a intérêt à prendre

le repère R1 lié au solide dont l’origine O1 () et dont l’un de ses axes (axe par exemple),

est un vecteur directeur de ().

0cosCC 12

cosCC 12

0

1k

Figure 1: C2 - C1cos s'annule

sans changer de signe

k

O


M.BOURICH 85

Il en résulte que et

l’expression de ce vecteur est

particulièrement simple :

(par choix)

(O1 fixe)

Remarque

Si la rotation du solide est uniforme ( = cte) est un vecteur constant dans R1.

2. Énergie cinétique

Le point O1 étant fixe dans R0

Soit la résultante des forces agissant sur (S) (y compris les forces de contact).

( O1 lié au solide)

M: est le moment des forces extérieures par rapport à l’axe (). Le calcul de M permettra de

connaître donc (t) si l’intégration est possible puis, (t) par une nouvelle intégration.

(t): angle repérant la rotation du solide autour de l'axe ().

3. Mouvement du centre de gravité

La trajectoire de G est connue : c’est un cercle centré sur l’axe

de rotation.

Le théorème du centre de masse

Soit

: résultante des forces extérieures de liaison ou de contact.

: résultante des forces autres que celles de liaison.

On peut toujours choisir O1 et R1 de telle sorte que G O1x1.

Posons

001 R/SR/R

1101 kk)t(R/R

0R/Ov 01

0101 R/SS,OIIR/S,O

1Rdans

01

C

D

E

)t(

0

0

CDE

DBF

EFA

R/S,O

11101 kCjDiER/S,O

01 R/S,O

20100c C

2

1R/S,OR/S

2

1R/SE

f

1M

O001

R

0c R/SR/Ovfdt

R/SdE

0

MM

1O1kC

MC

fR/Gm 0

ac fff

cf

af

11 iGO

a

k

ji

(S)

k

j

iO

O

k

ji G

O

S/R


M.BOURICH 86

et

D’où les forces de liaison:

Ainsi, même pour une rotation uniforme ( ), le terme ma2 peut atteindre des valeurs très

élevées conduisant à des valeurs élevées de , donc des efforts considérables au niveau des

liaisons (pivots, paliers, etc. …) pour les machines tournant à grande vitesse.

Remède à ce problème

C’est l’équilibrage statique qui consiste à ramener G sur l’axe de rotation ( a =0)

Le torseur des forces extérieures, est alors équivalent à un couple puisque sa résultante générale

est nulle.

Équilibrage dynamique

Supposons une machine tournant à la vitesse constante et déjà équilibrée statiquement.

= cte est un vecteur constant dans R1.

D’après le théorème du moment cinétique:

tend à désaxer le solide ( le faire tourner autour d’un axe à l’axe de rotation ()).

Comme est proportionnel à 2 les efforts sont nuisibles à grande vitesse.

Remède à ce problème: rendre ( 2) E = D = 0 l'axe () est un axe principal

d'inertie.

Dans ce cas ( vecteurs colinéaires )

Donc est // à l’axe de rotation: c’est l’équilibrage dynamique.

0

)G(GOR/SR/SGOdt

R/Sd

0

R/O

0

R/GR/G c1001

R

00110

0

10 kR/S

1

R

0 kdt

R/Sd

0

1

2

111

2

10 ijjkjR/G

aaaa

a1

2

1a0c fijmfR/Gmf

a

0

cf

0R/Gm 0

0fff ac

11101 kCjDiER/S,O

010

R

01

R

01 R/S,OR/S

0

dt

R/S,Od

dt

R/S,Od

10

01O010

R/S,OR/S,OR/S

1M

222

O

01O

01OEDet

R/S,O

R/R

1

1

1

M

M

M

1OM

1OM

01O M

0R/S,OR/S 010

01 R/S,O

BIBLIOGRAPHIE

- Mémoires couronnés par l’académie royale des sciences et belles-Lettres de Bruxelles, tome XI,

chapitre VI, 1873.

- Luis Figuier, Les Merveilles de la science ou description populaire des inventions modernes,

Librairie Furne, Editeurs Jouvet et Cie, Tome 1 des suppléments, 1891

- P.Duhem, L’évolution de la mécanique, A. Hermann, Paris, 1905.

- R. Bricard, Calcul Vectoriel, Armand colin, Paris, 1929.

- P.Costabel, Histoire du moment d’inertie, Revue d’histoire des sciences et leurs applications,

tome3, n°4, pp. 315-336, 1950.

- F. Halbwachs, Angles d'Euler, rotation instantanée et opérateurs quantiques de rotation dans

l'espace temps, Volume 16, Partie 3 de Annales de l'Institut Henri Poincaré, 1959.

- F. Balibar, Galilée, Newton lus par Einstein, PUF,1984.

- C. Chauviré, L’essayeur de Galilée, Belles Lettres, 1989.

- AGATI, LEROUGE et ROSSETTO, Liaisons, mécanismes et assemblages, DUNOD 1994.

- S. Pommier & Y. Berthand, Mécanique générales, Dunod, Paris, 2010.

- M.Hasnaoui et A. EL Maâchai, cours de mécanique 2, Première édition, FSSM, 2010.

Sites WEB

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https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit vectoriel https://fr.wikipedia.org/wiki/Torseur https://fr.wikipedia.org/wiki/Les Principes de la philosophie https://fr.wikipedia.org/wiki/Théories scientifiques de Descartes

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https://fr.wikipedia.org/wiki/Energie

https://fr.wikipedia.org/wiki/Action

https://fr.wikipedia.org/wiki/R�f�rentiel

https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi

https://fr.wikipedia.org/wiki/Liaison

Mécanique des Systèmes de Solides Indéformables

M. BOURICH

Ce cours de mécanique des systèmes de solides indéformables s’adresse aux étudiants en tout

domaine faisant intervenir la mécanique des systèmes de solides indéformables. Mais il est tout

autant destiné aux étudiants des classes préparatoires de la deuxième année de l’école nationale des

sciences appliquées. Il peut être consulté avec profit par les étudiants en DEUG.

Ce manuel expose les principaux concepts de la mécanique des systèmes de solides

indéformables avec une démarche pédagogique innovante incluant les événements clés marquant

histoire de la mécanique. L’ensemble du cours est construit en sept chapitres:

Calcul vectoriel-Torseurs,

Cinématique du solide,

Géométrie des masses,

Cinétique du solide,

Dynamique du solide,

Liaisons-Forces de liaison,

Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes.

M. BOURICH, Docteur ès Sciences, Enseignant chercheur à l’École Nationale des Sciences Appliquées-

Marrakech, Spécialité : Énergétique, membre du laboratoire Mécanique des Fluides et Énergétique de

la Faculté des Sciences Semlalia-Marrakech.

On ne peut rien apprendre aux gens. On peut seulement les aider à découvrir qu’ils possèdent déjà

en eux tout ce qui est à apprendre.

Citation de G. Galilée

Mécanique des systèmes de solides indéformables · On appelle espace affine , un ensemble...

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