Mcanique desmilieux continus

Mcanique des milieux continusCours et exercices corrigs

Prface de Liviu SolomonIllustrations de Jean-Pierre Petit

Jean CoirierCarole Nadot-Martin

4e dition

Dunod, Paris, 2013 Dunod, Paris, 1997, 2001, 2007 pour les prcdentes ditions

ISBN 978-2-10-059851-9

Illustration de couverture Copyright 2001PhotoDisc Inc.

CHEZ LE MME DITEUR

J. COIRIER, Mcanique des milieux continus, Aide-mmoire, Paris, Dunod, 2001

Prface la premire dition

Parmi les sciences de la nature, la mcanique est la plus ancienne, car la plus simple.Les btisseurs de la tour de Babel, du phare dAlexandrie, des pyramides, les naviga-teurs phniciens, etc. ont eu rsoudre, souvent de faon empirique, des problmes demcanique. La physique, la chimie, la biologie ne sont venues que plus tard, avec desapproches de plus en plus fines de la connaissance du monde matriel dans lequel noussommes plongs et dont nous faisons nous-mmes partie.

Avec la mcanique, lhumanit a commenc pntrer les mystres de la connais-sance, comprendre lunivers et agir sur des fragments de celui-ci. La mcanique at longtemps la seule utiliser les moyens des mathmatiques et a jou un rle essen-tiel dans leur dveloppement : Galile, Newton, Euler, Lagrange, Cauchy ont dve-lopp loutil mathmatique, pousss par leurs recherches en tant que mcaniciens. Celase passait une poque o lon ne savait encore rien de llectromagntisme, dutableau priodique des lments, des microbes : Maxwell, Mendeleieff, Pasteurntaient pas encore ns.

partir de Galile, on a assist pendant trois sicles une extraordinaire floraisondes diffrentes branches de la mcanique : systmes de points matriels, systmesrigides, corps solides, liquides, gaz, mlanges, etc. La technique moderne, la scienceque lon pratique, la vie que nous menons seraient inconcevables sans ces trois siclesde recherche en thorie des mcanismes, en lasticit, en mcanique des fluides. Letableau a chang, me semble-t-il, aprs 1950 : les disciplines de branche continuentleur progrs, mais en mme temps, il se forme une vritable mcanique gnrale ,visant dcrire tout ce que le mcanicien peut dire du mouvement de tout corps rele-vant de sa comptence.

Le livre du professeur Jean Coirier que jai lhonneur et le grand plaisir de prsen-ter ici, est un livre de mcanique gnrale des milieux continus. Dans quelle mesureest-ce une nouveaut ?

Des ouvrages avec un titre semblable sont rgulirement publis un peu partout,depuis les USA jusquen Nouvelle Zlande... Regardons leurs tables des matires,feuilletons-les. Nous trouverons trs souvent des textes qui dbutent par une partie de gnralits sur les milieux continus, suivie de chapitres portant frquemment sur lamcanique des fluides et sur llasticit. Cest un choix possible, et cela peut rendreservice.

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Le livre que vous avez entre les mains en diffre profondment. Ce nest pas unesuccession de chapitres venant de disciplines diverses ; ici, on apprendra bel et bien lamcanique gnrale des milieux continus. Sa structure est dicte par un soucidconomie et de minimalit : on introduit chaque tape ce qui est ncessaire, et onlexamine jusqu ses consquences ultimes.

Ltude dbute par le mouvement dun milieu continu : on identifie les parti-cules , on rpond aux questions : qui est qui ? et qui est o ? . Viennent ensuiteles dformations, puis la cinmatique du milieu continu. Ce nest quaprs quinter-vient la masse : le milieu est en mouvement et ses particules sont porteuses de matire.Suit la thorie des contraintes (il faut agir sur le milieu pour le faire passer duneconfiguration une autre). Les quations de bilan sont la cl de vote de la logique dulivre : cest de l que vont venir les quations rsoudre, ce qui sera laffaire du math-maticien, du numricien, du programmeur ; on ne sen occupe pas ici, cela nappartientpas au sujet.

La thermodynamique, avec les concepts et les bilans dnergie et dentropie, sechargera denglober le tout dans une construction unitaire (construction qui, avecconcision et lgance, va inclure aussi ltude des discontinuits).

Mais o sont donc passes la mcanique des fluides, llasticit, la plasticit ? Ilny en a pas et cest trs bien ainsi : nous sommes toujours en mcanique des milieuxcontinus quelconques . Ce nest qu la fin de louvrage que ces milieux seront dotsde lois de comportement, faisant la diffrence entre un solide rigide, un solide lasto-plastique, un liquide, un gaz, etc. Ces lois ne sont pas introduites de manire arbitraire,ce sont des consquences des principes de la thermodynamique prcdemment exami-ns. Les milieux hyperlastiques, les fluides stoksiens, se ramnent des cas particu-liers intressants, et cest dans cet esprit-l quils sont examins. La thermodynamiquenest pas un chapitre parmi dautres, cest elle qui organise cette mcanique gnrale en un ensemble cohrent.

Ce livre est le fruit dun long travail de recherche et denseignement de lauteur.Son contenu a t essay sur de nombreuses promotions dlves de lENSMA(cole nationale suprieure de mcanique et darotechnique) de Poitiers, adapt anneaprs anne, enrichi de tout ce que la pratique de lenseignement peut apporter : quimieux quun enseignant pourrait savoir comment assurer lenchanement logique desparties, quelles sont les interrogations possibles de ltudiant, les questions cruciales,les points dlicats, les sujets approfondir ? Le lecteur reoit ici un produit fini etsoigneusement test.

Sur toute ltendue de louvrage, le lecteur aura compris, aura appris manipulerles concepts gnraux, les mcanismes sous-jacents ltude de nimporte lequel desmilieux continus matriels mobiles que lon pourrait imaginer. Il aura compris lordrelogique des choses, aucun concept ntant introduit avant que cela ne devienne invi-table - et chaque concept tant exploit jusquau bout.

Lappareil mathmatique mis en uvre est aussi conomique que le sujet le permet.Puisque nous avons affaire des milieux tridimensionnels, tout repose sur lutilisationde champs de vecteurs fonctions du point et du temps, dapplications dfinies sur detels champs (do ncessairement lapparition des tenseurs) et doprations de driva-tion et dintgration mettant en jeu des champs de vecteurs et de tenseurs. Les concepts

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sont expliqus au fil du texte et analyss en dtail dans les annexes finales. Cest unappareil mathmatique pas trop encombrant, et le lecteur naura pas de difficult las-similer.

Lauteur propose au lecteur de vrifier la bonne comprhension du texte laidedun choix dexercices, prsents avec leurs corrigs.

Le livre est crit dans un style agrable, clair et prcis, et avec un humour auquelles ouvrages de mathmatiques et de mcanique ne semblent pas avoir souventrecours... Il ne sagit pas de suggrer que la mcanique est un jeu elle nen est pasun. Mais lauteur nous montre que lexpos de questions hautement srieuses peut sefaire sur un ton amical et agrable, un ton qui nous permet de sourire de temps autre au milieu dun raisonnement qui reste, videmment, technique et rigoureux. Les des-sins nuance humoristique qui apparaissent ici et l participent de ce mme esprit.

Il ny a pas de voie royale en mathmatiques, en mcanique du continu nonplus. Le livre a demand un travail considrable son auteur ; le lecteur devra fournirsa part deffort. Cest un ouvrage parfaitement articul, o tout est bien expliqu, endtail, exemples lappui. Mais cest un texte travailler, non parcourir. La rcom-pense est au bout du chemin : le lecteur sera en mesure daborder la littrature derecherche contemporaine, en mesure dessayer dy participer.

Cest un outil de travail, accessible tout tudiant-ingnieur, tout tudiant dunmaster en mcanique. Il sera trs utile aux enseignants de mcanique et des sciences delingnieur : il les incitera construire des enseignements nouveaux, jour .

On ne peut pas prvoir quoi ressemblera la mcanique des milieux continus dansun quart de sicle. Mais je suis convaincu que louvrage du professeur Jean Coirier gar-dera toute son actualit et sa fracheur pendant au moins dix ou quinze ans.

Plongez-vous dans ce livre, papier et crayon la main. Au fil de la lecture, vousdcouvrirez des terres nouvelles. Cet ouvrage vaut vraiment le voyage.

Liviu Solomon,

Matre de Confrences luniversit de Bucarest (de 1953 1971)et Professeur luniversit de Poitiers (de 1971 1992).

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Avant-propos

Vous le savez, la mcanique est partout. Elle rgit aussi bien les mouvements desgalaxies que ceux des particules lmentaires. Et la mcanique des milieux dits continus , objet de cet ouvrage, occupe sa juste place dans son domaine qui est celuide lchelle humaine , loin de linfiniment petit et de linfiniment grand. Voil quien fait une science a priori utile et sduisante. Et pourtant combien de livres la concer-nant qui sont referms peine entrouverts. Cest quelle se dfend bien, la canaille,dressant son barrage dquations devant qui veut forcer sa porte sans avoir acquis aupralable une solide culture mathmatique.

Que dquations, que dquations ! , pourrait-on dire en parodiant Mac-Mahon.Il y en a en effet pour tous les gots (ou tous les dgots) : des petites, des moyenneset des grandes, des scalaires, des vectorielles et des tensorielles, des fondamentales etcertaines dont on murmure quelles le seraient moins. Il ny a qu se baisser pour enramasser, mais linquitant, cest que certains ne sen relvent pas.

Cest pour ceux-l et pour les autres que ce livre a t crit, sorte de guide usage personnel pour se frayer un chemin dans la jungle des quations, se sentir biendans sa peau dtud