MATHEX - Tout pour réussir ses maths

MATHEX

Laurence TISTAERT

Tout pour réussir ses maths

2e année

IIIAvant-propos

Professeur de mathématique depuis plus de dix ans, je constate que l’élève ne s’entraîne pas assez par écrit.

Il me semble que bien maîtriser les techniques de base est indispensable pour pouvoir résoudre des situa-tions mathématiques plus complexes.

C’est avec un entraînement rigoureux que l’élève peut maîtriser ces techniques mathématiques et apprécier davantage cette discipline : il va comprendre l’importance de la rédaction de chaque étape amenant à la solution de l’exercice.

MATHEX 2e est un livre d’exercices mathématiques qui a pour but d’aider l’élève dans son apprentissage de la rigueur mathématique, de fournir aux parents une source d’exercices d’entraînement et de com-pléter le cours de l’enseignant.

L’élève peut :

• �lire�les�exemples�et�le�rappel�théorique�pour�les�matières�qui�lui�posent�un�problème�ou�qu’il�veut�appro-fondir ;

•� �choisir�des�séries�d’exercices�en�fonction�de�ses�difficultés�et�de�la�matière�qu’il�voit ;

• apprendre�à�respecter�des�consignes�et�à�rédiger�des�résolutions�d’exercices ;

• s’entraîner�davantage�par�écrit,�en�rédigeant�les�étapes�sur�une�feuille�annexe ;

• revoir�et�approfondir�certaines�notions�et�techniques�mathématiques ;

• aller�plus�loin�dans�la�résolution�d’exercices ;

• se�corriger�en�allant�sur�le�site�http://maths.deboeck.com.

Les parents peuvent :

• �lire�et�s’aider�du�rappel�théorique�et�des�exemples�nécessaires�pour�accompagner�leur(s)�enfant(s)�dans�son�(leur)�apprentissage�des�maths ;

• �choisir�des�séries�d’exercices�en�fonction�du�niveau�ou�des�difficultés�de�leur(s)�enfant(s) ;

• �s’aider�du�corrigé�pour�évaluer�la�progression�de�leur(s)�enfant(s)�dans�son�(leur)�apprentissage�en�allant�sur le site http://maths.deboeck.com.

L’enseignant peut :

• utiliser�ce�livre�comme�outil�d’exercices�pour�son�cours ;

• continuer�à�utiliser�ses�propres�introductions�et�sa�propre�méthodologie ;

• compléter�le�contenu�théorique�comme�il�l’entend.

Chaque chapitre de MATHEX 2e est composé, d’une part, d’un bref rappel théorique de certaines notions accompagné d’exemples avec une résolution complète, et, d’autre part, d’activités avec une multidude de séries d’exercices. Ces dernières sont proposées par gradation croissante de difficulté,�afin�que�chaque�élève puisse appliquer les concepts de façon inductive et progresser à son rythme.

À noter que certaines séries dépassent le programme de deuxième année de l’enseignement général et que, par ailleurs, pour éviter toute confusion avec la lettre x, le signe d’opération de la multiplication est remplacé par�un�point�(.).

MATHEX 2e, ce sont donc des centaines d’exercices couvrant le programme de la deuxième année de l’en-seignement général avec les rappels théoriques indispensables. Tout pour réussir ses maths !

Bon entraînement !

Laurence Tistaert

Avant-propos

IV Sommaire

Sommaire

Chapitre 1 Vocabulaire algébrique ��1

Chapitre 2 Les entiers ��5

Chapitre 3 Le calcul littéral de base avec les entiers ��11

Chapitre 4 Le PGCD et le PPCM ��19

Chapitre 5 Les fractions ��29

Chapitre 6 Opérations sur les fractions ��49

Chapitre 7 Les puissances ��71

Chapitre 8 La distributivité ��91

Chapitre 9 Les produits remarquables ��107

Chapitre 10 La mise en évidence ��119

Chapitre 11 Les équations ��125

Chapitre 12 Les problèmes avec équations ��137

Chapitre 13 Le signe « – » devant des parenthèses ��141

Chapitre 14 Exercices récapitulatifs ��145

Chapitre 15 Angles et droites remarquables du triangle ��149

Chapitre 16 Projection parallèle� Proportion� Thalès ��161

Chapitre 17 Les transformations du plan ��169

5Chapitre 2 • Les entiers

1. Rappel

a) Tout nombre entier est constitué de deux parties : a) un signe + ou –

Ex : – 7 b) une valeur absolue

b) La valeur absolue c’est le nombre sans son signe� | a | = a et | - a | = a

c) L’opposé d’un nombre : l’opposé de a est - a et - (5) = - 5 et - (- 5) = 5

d) • 0 est un nombre à la fois positif et négatif ;• est absorbant dans la multiplication ;• est neutre dans addition et soustraction ;• n’est jamais diviseur�

2. Addition et soustraction d’entiers

Pour calculer la somme de deux nombres entiers de même signe

Pour calculer la somme de deux nombres entiers de signes différents

on conserve le signe commun on donne à la somme le signe du terme ayant la plus grande valeur absolue

on additionne les valeurs absolues on soustrait les valeurs absolues (la�plus�grande�moins�la�plus�petite)

Exemples :(+8)�+�(+2)�= +10(– 10)�+�(– 4)�= –14

Exemples :(+7)�+�(–5)�=�+2

(+13)�+�(–15)�=�–2

3. Multiplication et division d’entiers

Pour multiplier les entiers, il faut Pour diviser des entiers, il faut

chercher le signe du produit chercher le signe du quotient

+ . + +

+ . – –

– . – +

– . + –

+ : + ++ +

+ : – +– –

– : – –– +

– : + –+ –

effectuer le produit des valeurs absolues effectuer le quotient des valeurs absolues

12 . 3 = 36

12�.�(–3)�= –36�

–�12�.�(–3)�= 36

–�12�.�3�= –36�

123

= 12�:�(–3)�= –�4− =123 12 : 3 = 4

− =123 –�12�:�(–3)�= 4

123−

= –�12�:�3�= –�4�

Les entiersChapitre 2

6 Chapitre 2 • Les entiers

4. Priorités des opérations avec les entiers

Parenthèses Exposants MultiplicationDivision AdditionSoustraction

Dans le sens de la lecture Dans le sens de la lecture

–�(5�+�3 . 2)�–�[2 . [3 + (–5)]] Parenthèses

=�–�(5 + 6)�–�[2 . (–2)] Parenthèses

=�–�(11)�–�(–4)�

=�–11�+�4� AddiSoustr

=�–7

4 . (–2) + 5 . 3 + 15 : (–5)�–�(–1)� MultDivision

=�–�8�+�15�+�(–3)�–�(–1)� AddiSoustr

=�–8�+15�–�3�+1

=�5

Activité 1 • Addition et soustraction d’entiers

Exercice 1 • Effectue les sommes et les différences d’entiers suivantes.

Série 1 Série 2 Série 3

a) 32�–�(–3)�= ..................................................

b) 17�+�(–8)�= .................................................

c) 115�–�(–32)�= ............................................

d) –�8�–�0�= ........................................................

e) –�0�–�12�= .....................................................

f) 12�–�12�= ......................................................

g) –12�–�12�= ..................................................

h) –5�–�(–5)�= ..................................................

i) (–3)�+�(–8)�= ................................................

j) 25�–�(–�42)�= ................................................

a) –125�+�35�= ..............................................

b) –225�–�49�= ...............................................

c) 175�–�38�= ...................................................

d) 49�–�107�= ..................................................

e) 19�–�23�= .....................................................

f) –56�–�35�= ...................................................

g) –�48�–�12�= .................................................

h) –53�+�53�= .................................................

i) 168�–�213�= ................................................

j) –85�+�120�= ..................................................

a) 450�–�328�= ...............................................

b) –752�–�425�= ...........................................

c) –175�+�392�= ............................................

d) –708�–�151�= ...........................................

e) 409 + 510 = ..............................................

f) 130�–�75�= ...................................................

g) –�49�–�267�= ..............................................

h) 827�–�856�= ..............................................

i) –�492�–�(–225)�= ......................................

j) 189�–�179�= ................................................


a) –�4�+�13�–�20�= .......................................

b) –7�+�(–3)�–�9�= ........................................

c) 16�–�8�–�10�= ............................................

d) –13�–�(–8)�+�5�= .....................................

e) 51�–�(–1)�–�(–2)�= ..................................

f) –19�–�8�+�27�= .........................................

g) 25�–�0�+�9�–�11�= .................................

h) –17�+�3�–�5�= ...........................................

i) –25�–�3�–�9�–�11�= .................................

j) –12�–�18�–�(–12)�= .................................

a) –�(–5)�–�3�+�2�–�3�= .............................

b) 12�–�(–2)�+�(–7)�= .................................

c) 17�+�5�–�(–3)�+�(–2)�= ........................

d) 42�–�5�–�(–3)�–�(–8)�= ........................

e) –15�–�(–15)�+�7�= ..................................

f) –108�–�12�+�15�= ..................................

g) –�(–17)�–�2�–�6�+�(–7)�= ...................

h) 144�–�13�+�(–8)�= .................................

i) –59�+�3�–�(–5)�–�11�= ..........................

j) –19�–�15�–�7�= ..........................................

a) –8�+�3�–�25�= ...........................................

b) –150�–�100�+�25�= ..............................

c) 98�+�12�–�52�= ........................................

d) –�(–52)�+�(–48)�–�4�= .........................

e) 121�+�(–76)�–�(–34)�= ........................

f) –65�–�32�–�10�= ......................................

g) 62�–�64�–�26�= ........................................

h) –20�–�80�–�(–102)�= ...........................

i) 12�–�(–25)�+�66�= ...................................

j) –33�+�43�+�(–53)�= ...............................


Exercice 2 • Complète les pointillés.


a) –�8�+�................................................ = 5

b) –�8�–� .......................................... =�–�25

c) 12 + ................................................= 19

d) 5�–� ................................................. =�–�8

e) 12�–� ................................................= 15

f) –�7�–� .............................................. =�–�4

g) –�7�–� ......................................... =�–�13

h) –15�+� ...................................... =�–�13

i) –15�+� ........................................ =�–�18

j) 13�–� .................................................. = 6

a) 12 + ................................................ = 7

b) ............................................. + 15 = 42

c) ................................................. �–�6�= 76

d) 91 + ............................................. = 80

e) 91�–� .............................................. = 80

f) –17�+� ....................................... =�–�30

g) 53 + ............................................. = 23

h) 72�–� ......................................... =�–�54

i) ............................................... + 13 = 75

j) ........................................... �–�(–�9)�= 27

a) 75 + ............................................. = 25

b) –�100�+�...................................... = 25

c) 56�–� .............................................. = 40

d) ............................................. + 9 = 208

e) 150�–� ....................................... = 100

f) 150 + .................................... =�–�100

g) 25�–� ............................................. = 60

h) –�25�+� ......................................... = 60

i) ........................................... + 13 =�–�30

j) ............................................... �–�89�= 61

Activité 2 • Multiplication et division d’entiers

Exercice 1 • Effectue les produits et les quotients d’entiers suivants.


a) 13�.�(–2)�= ....................................................

b) –�5�.�(–2)�= ...................................................

c) 12�.�(–2)�= ....................................................

d) –�7�.�(–�4)�= ..................................................

e) –�8�.�(–12)�= ................................................

f) –�50�.�2�= .......................................................

g) –�8�.�(–25)�= ................................................

h) 75�.�(–3)�= ...................................................

i) 2�.�(–56)�= .....................................................

j) 4�.�(–11)�= .....................................................

a) –17�.�3�= .......................................................

b) –15�.�(–8)�= ................................................

c) –�3�.�(–1)�.�0�= ............................................

d) –�8�.�(–2)�.�9�= ...........................................

e) –�7�.�(–3)�= ...................................................

f) –�4�.�(–2)�.�(–5)�= ......................................

g) –17�.�(–3)�.�2�= ........................................

h) 42�.�2�.�(–5)�= ...........................................

i) –3�.�(–2)�.�(–1)�.�(–�4)�= ........................

j) 17�.�(–3)�.�(–2)�= .......................................

a) –3�.�(–5)�.�2�= ............................................

b) 127�.�(–8)�.�0�= ........................................

c) –1�.�(–9)�.�(–9)�= ......................................

d) 8�.�7�.�(–3)�.�(–2)�= ................................

e) 5�.�(–6)�.�(–9)�.�5�= ................................

f) 2�.�12�.�(–1)�.�12�= .................................

g) 13�.�(–13)�.�2�= ........................................

h) 5�.�3�.�2�.�(–�4)�= .....................................

i) –7�.�(–6)�.�(–1)�.�(–2)�= ........................

j) –60�.�(–�3)�.�(–2)�= ...................................


a) 48 : 6 = ..........................................................

b) 36�:�(–6)�= ...................................................

c) 50�:�(–5)�= ....................................................

d) 10�:�(–�1)�= ...................................................

e) –10�:�(–10)�= .............................................

f) 75�:�(–5)�= .....................................................

g) 72�:�(–9)�= ...................................................

a) −−

=3010

............................................................

b) − =7525

...........................................................

c) − =423

............................................................

d) 15

3−= ...............................................................

e) −−

=3913

...........................................................

f) 1000100

= .........................................................

g) 225

5−= ...........................................................

a) 45�:�(–3)�= ....................................................

b) –�144�:�(–12)�= ........................................

c) 225�:�5�:�(–1)�= .........................................

d) 121 : 11 = ...................................................

e) 14�:�2�:�(–7)�= ...........................................

f) –16�:�(–�4)�= .................................................

g) –204�:�4�= ...................................................

8 Chapitre 2 • Les entiers

h) –�49�:�(–7)�= ................................................

i) 56�:�(–8)�= .....................................................

j) –121�:�11�= ..................................................

h) − =129

3 ........................................................

i) −−

=5117

.............................................................

j) 16913

= ...............................................................

h) –�30�:�(–5)�= ................................................

i) 18�:�(–3)�= .....................................................

j) 51 : 3 = ............................................................


a) 17�.�(–3)�.�4�= ...........................................

b) –�5�.�4�.�25�= ..............................................

c) 12�:�(–12)�.�6�= .........................................

d) 150�.�2�.�(–3)�= ........................................

e) –�26�.�1�.�5�= ..............................................

f) 400�:�(–�4)�:�25�= .....................................

g) − =7711

..............................................................

h) 4816

= .................................................................

i) 1313−

= ................................................................

j) 1000

8−= ............................................................

a) 3�.�(–2)�:�(–3)�= ........................................

b) 16�:�4�:�(–�4)�= ..........................................

c) 55�:�(–11)�.�3�= .........................................

d) 17�.�(–�3)�.�2�= ..........................................

e) 66 . 2 : 132 = ...........................................

f) –�8�.�7�:�(–2)�= ............................................

g) 12�:�(–�4)�.�3�= ..........................................

h) 72�:�(–9)�.�(–1)�= .....................................

i) 54�.�2�:�(–2)�= .............................................

j) –36�:�(–6)�.�(–5)�= ....................................

a) 4�.�2�:�(–2)�.�5�= ......................................

b) –�3�.�(–2)�:�(–1)�= ....................................

c) 17�.�2�:�(–17)�= .........................................

d) –�16�.�(–�2)�.�(–5)�:�(–8)�= .................

e) 15�:�(–3)�.�7�.�2�= ...................................

f) 51�.�(–3)�.�(–2)�= ......................................

g) 156�:�(–3)�.�0�= ........................................

h) 42�.�3�:�(–2)�= ...........................................

i) 13�.�(–3)�.�(–1)�:�(–39)�= .....................

j) 160�:�(–8)�:�(–2)�.�(–1)�= .....................

Exercice 2 • Complète le tableau suivant.

x y x . y (–x) . y – (x . y) x . (–y) (–x) . (– y)

–3 5

–�4 –7

0 5

6 9

Activité 3 • Priorités des opérations avec les entiers

Bien respecter les étapes : 1. Parenthèses 2. Exposants 3. MultiplicationDivision 4. AdditionSoustraction

Exercice 1 • Effectue en respectant bien les priorités des opérations.


a) 17�–�3�.�4�= ................................................

b) –�5�.�4�+�25�= ............................................

c) 18�:�6�–�1�= .................................................

d) 72�:�12�–�6�= .............................................

e) (17�+�3)�.�11�= .........................................

f) 45�–�(5�.�4)�= ..............................................

g) –18�+�(5�.�3)�= .........................................

a) 5�–�3�+�5�.�6�= .........................................

b) 58�–�6�:�(–3)�= ..........................................

c) 74�:�2�–�7�= .................................................

d) 25�.�2�:�(–5)�+�1�= .................................

e) 10 . 10 + 7 . 3 = ....................................

f) (45�:�9)�–�(7�+�3)�= ................................

g) 1�+�5�.�(–6)�.�(–3)�= ..............................

a) 13�+�[5�:�(–5)]�= ......................................

b) –25�:�5�+�3�.�13�= .................................

c) (69�:�3�+�2)�–�24�= ................................

d) 13�+�3�.�5�–�2�.�0�= .............................

e) 49�:�7�–�5�.�(–2)�= ..................................

f) 55�.�(–1)�:�11�–�45�= ............................

g) (33�.�2)�+�(55�–�9)�= ............................


h) 75�–�4�.�10�= .............................................

i) –13�–�2�.�9�= ...............................................

j) 16�–�4�.�4�= ..................................................

h) (5�+�9)�.�2�= ...............................................

i) 8�.�4�.�(–1)�+�13�–�5�= .........................

j) [5�+�(–3)] . 8 = ...........................................

h) 6�+�12�:�4�–�8�= ......................................

i) (36�:�6�+�5)�–�(3�.�2)�= .........................

j) 55�–�5�.�11�= ...............................................

Série 4 Série 5

a) (7�.�25�–�3)�:�4�–�9�= ........................................................................

b) –�12�–�3�.�[25�:�(–5)�–�38�:�19]�= ...........................................

c) 8�.�(37�–�5�.�6)�–�14�= .....................................................................

d) –�9�+�(–15�.�8�–�9)�:�3�= ...............................................................

e) (15�+�6�.�7)�:�3�–�(–18)�= ..............................................................

f) 13�+�(81�–�12)�:�3�= ..........................................................................

g) 16�–�(3�.�10�:�6)�+�5�= ....................................................................

h) –13�–�(9�+�16�:�4)�+�11�.�11�= ................................................

i) 12�:�(–3)�+�5�.�[12�:�(–�4)]�= ..........................................................

j) (12�+�3�.�0)�–�7�= .................................................................................

a) (3�.�2)�+�[5�.�(–3)]�= ...............................................................................

b) [17�.�(–2)]�–�(5�.�2)�= ............................................................................

c) (15�:�3)�.�2�+�5�–�3�.�2�= ....................................................................

d) (17�+�3�–�5)�+�(3�.�2�–�5�.�3)�= ....................................................

e) –�(–3�+�2)�+�5�–�(–7)�.�(–1)�= ........................................................

f) [45�:�(–3)�+�2]�+�(5�.�2�–�3)�= ........................................................

g) (13�.�2)�.�[5�+�(–3)�.�(–2)]�= ............................................................

h) 144�:�12�.�(–3)�+�5�.�2�–�17�.�3�= .............................................

i) –(13�+�5�.�2)�–�(4�+�5�.�0)�= ............................................................

j) 13�–�(–5)�.�(–3)�+�2�.�(–1)�–�0�.�5�= ...........................................

Série 6 Série 7

a) (–7�+�3�.�5)�–�15�+�(–6)�= ............................................................

b) [–(4�.�2)�+�(12�.�5)]�–�6�= .............................................................

c) [46�:�(–2)�–�7]�+�150�:�(–3)�= .....................................................

d) (12�+�3�–�8)�+�77�:�11�= ..............................................................

e) 3�.�(51�:�3�+�2)�–�19�= ....................................................................

f) 8�.�9�+�5�.�(–1)�= ..................................................................................

g) –[(13�:�13�+�5)�–�(3�.�5)�.�2]�= ..................................................

h) (12�+�2�:�2�–�5�.�3�–�9�:�3)�–�3�.�(–1)�= .............................

i) 7�.�(–7)�+�15�–�[13�:�(–1)]�= .........................................................

j) 4�+�(–9)�.�(2�+�5�–�3)�= ....................................................................

a) (8�–�3)�.�2�+�15�:�5�= .......................................................................

b) (16�:�4�:�2)�–�45�:�(–9)�= ...............................................................

c) 480�:�8�–�(75�:�5)�+�12�= ..............................................................

d) (8�+�15�.�2�–�5�:�5)�–�81�:�(–9)�= ...........................................

e) 121�+�89�–�(–�5�.�2�+�9)�= ...........................................................

f) –�(13�.�2�+�4)�–�[(45�:�5�+�1)�.�2]�= ........................................

g) (7�.�3)�+�(15�:�5�–�9)�–�3�.�0�.�2�= .........................................

h) –�(5�.�0�.�5�.�9)�.�(3�.�2�.�8�.�1)�= ..............................................

i) 12�:�(–12)�+�(–5)�:�5�+�8�:�(–8)�= .............................................

j) 72�:�(–9)�+�8�.�5�.�2�–�(3�+�9)�= ................................................

Exercice 2 • Complète avec une des quatre opérations mathématiques.

a) (–�4)�� ........................................... (–2)�= 8

b) (–�4)� ......................................... (–2)�=�–6

c) (–1)� ............................................. �(–1)�= 1

d) (–1)� ......................................... �(–1)�=�–2

e) (–6)� ...........................................�(–2)��= 3

f) (–6)� ......................................... �(–2)�=�–�4

g) (–�4)� .............................................. 2 =�–�6

h) (–�4)� ............................................... 2 =�–2

i) (–2)� .................................................. 5 =�–7

j) 9 .................................................�(–1)�= 10

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