Mathématiques financières - dunod.com · Table des matières 1 • Temps, valeur et intérêts 1...

AIDE MÉMOIRE

Mathématiques financières

Étienne Harb, Firas Batnini, Xavier Durand

AIDE-MÉMOIRE

Mathématiques financières

Mise en page : Belle Page

© Dunod, 201611 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.comISBN 978-2-10-074366-7

V

Table des matières

1 • Temps, valeur et intérêts 1

1 Temps et valeur 12 Intérêts simples 103 Intérêts composés 24

2 • Les annuités constantes et les annuités variables 33

1 Les annuités 332 Les rentes 52

3 • Les emprunts indivis 57

1 Le cas général 572 Amortissement de l’emprunt indivis 623 Renégociation des clauses d’un emprunt indivis 734 Crédit renouvelable (revolving) 765 Exemple réel 77

4 • Les placements 85

1 Les types de placements 852 Évaluation de portefeuille de titres de placement 114

5 • Le choix et le rendement des investissements 121

1 Investissement et détermination des flux de trésorerie 1212 Les outils de choix d’investissement 129

athématiques financièresM

VI

6 • Les obligations 151

1 Les caractéristiques des obligations 1512 L’obligation classique à terme fixe 1543 Obligation et remboursement 162

7 • La gestion du risque des obligations 173

1 Risque de taux 1732 Mesure du risque de taux 176

8 • Les courbes de taux 191

1 Courbes de taux 1912 Différents marchés 1933 Construction des courbes zéro coupon 1984 Construction des courbes de taux forward (à terme) 204

Annexe : tables financières 213Index des notions 281

1

1 Temps, valeur et intérêts

Mots-clés

Actualisation, capitalisation, escompte, intérêts simples et composés, taux d’actualisation, taux d’intérêt effectif, taux équivalent, taux pro-portionnel.

Ce chapitre permet de faire le lien entre temps et valeur puis de comprendre les principes et les modes de calcul des intérêts simples et composés.

1 Temps et valeur

« Le temps, c’est de l’argent » selon la formule populaire ! « Préférez-vous recevoir 1 000 euros tout de suite (hypothèse n° 1) ou dans un an (hypo-thèse n° 2) ? » Tout individu normalement constitué aura une préférence en toute logique pour la première hypothèse ; tout simplement parce qu’il n’attribue pas de manière spontanée la même « valeur » aux 1 000 euros perçus maintenant à ceux, plus hypothétiques, reçus dans 12 mois… à moins de recevoir des intérêts en compensation.

1.1 Le prix du temps

1 000 euros dans un an ont une valeur inférieure à 1 000 euros aujourd’hui puisque la certitude de les recevoir diminue au fur et à mesure que le temps passe. Il est donc normal, dans notre système économique, que les agents (individus, entreprises, banques…) qui prêtent leurs fonds, perçoivent, en contrepartie, une rémunération venant compenser leur renoncement, pendant une durée déterminée, à en disposer eux-mêmes.


2

Une telle rémunération renvoie aux intérêts que doivent supporter ceux qui ont emprunté et qui, par conséquent, disposent de ces mêmes res-sources pendant la durée concernée. Les intérêts correspondent donc au prix du temps.

Ce prix du temps implique qu’une somme d’argent aujourd’hui n’aura pas la même valeur demain, d’où la distinction entre valeur « actuelle » et valeur « future ». Or, il est fréquent, dans notre société, de vouloir comparer ces deux valeurs. Ainsi, un individu qui place son argent sur un compte épargne peut chercher à savoir ce qu’il récupérera dans 12 mois. Comme le montre la figure 1 ci-après, il se posera donc la question : « Que vaudront dans un an les 1 000 euros dont je dispose aujourd’hui ? » ou, à l’inverse, « Que valent aujourd’hui les 1 000 euros que je percevrai dans un an ? ».

1er janvier

1er janvier 31 décembre

Que valent aujourd’hui 1 000 € dans un an ?

1 000 € Valeur future ?

31 décembre

1 000 €Valeur actuelle ?

Que valent dans un an 1 000 € aujourd’hui ? ➀

➁

Figure 1 Valeur future et valeur actuelle

Remarque

Le prix ou la valeur du temps est un concept fondamental en finance car il est associé à la notion de risque. Or le risque est inhérent à la rentabilité (il n’existe pas de rentabilité sans risque !) et donc à tout mécanisme de prêt ou d’investissement (cf. les chapitres suivants).

Temps, valeur et intérêts

3

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11.2 La capitalisation et l’actualisation

Deux techniques rendent comparables des sommes qui apparaissent dans le temps à des dates différentes : la capitalisation et l’actualisation. La première permet de calculer la valeur future d’une somme d’argent dont on dispose aujourd’hui ; à l’inverse, la seconde aide à convertir en une valeur de maintenant une somme d’argent que l’on percevra ultérieurement.

Représentons le temps par une droite t :

10 2 n3

tFigure 2 La droite du temps

On considérera par la suite que la date 0 correspond à aujourd’hui et la date 1 à la fin de la première période. Une période renvoie généralement à une année ou peut avoir une durée plus courte (mois, trimestre, semestre…), chaque période étant de même durée. Les chiffres font référence à la fin d’une période ou de manière indifférente au début de la suivante : la période 2 correspond à la fin de la deuxième période ou au début de la troisième. Enfin, dans un souci de simplification et sauf indication contraire, on part du principe que les sommes d’argent sont placées ou perçues en fin de période.

�� La valeur future

Le calcul de la valeur future permet de savoir quelle sera la valeur, dans n périodes, d’une somme d’argent placée aujourd’hui. On est dans le cas de la capitalisation.

Exemple : placement à obtenir en tn1

Un individu place 1 200 euros sur un compte d’épargne rémunéré au taux annuel de 2 %. Au bout d’un an, il dispose de 1 000 + (1 000 × 2 %) ou 1 000 × 1,02 soit 1 020 euros. Au bout de 2 ans, la somme disponible

1 On retrouve ici le cas le plus courant des intérêts composés (versus les intérêts simples qui ne sont calculés que sur le capital initial). Cf. le § 3.


4

sera de 1 040,40 euros soit 1 020 × 1,02 ou 1 000 × 1,022. On notera que 1 000 euros aujourd’hui sont « équivalents » à 1 040,40 euros dans 2 ans.

Ainsi, la valeur future, dans n périodes, d’une somme V0 qui procure un taux d’intérêt i par période p (en %) et notée Vn est :

Vn = V0 × (1 + i)n

Fonction sous Excel

On utilisera la fonction Valeur capitalisée : VC(taux;npm;vpm;va;type) avec taux = taux d’intérêt ; npm = nombre de périodes ; vpm = coupon1 à chaque période ; va = valeur aujourd’hui ; type = 0 si versement en fin de période, 1 si versement en début de période.

Application : une somme de 20 000 euros est placée au taux fixe annuel de 5 %. Quelle sera sa valeur dans 5 ans ?

Tableau 1

A B

1 Taux d’intérêt annuel 5 %

2 Durée 6

3 Valeur actuelle – 20 000

4 Valeur future 26 801,91

Dans 5 ans, la valeur sera donc de 26 801,91 euros.

Remarque

Sous Excel, les fonctions VC et VA peuvent être adaptées à différentes situations de montants, de taux, de durée, d’échelonnements de versements ou de dépenses (unicité ou multiplicité de flux…), etc. On notera également que valeur future et valeur actuelle doivent avoir un signe contraire.

1 La notion de coupon est abordée dans le chapitre 6.


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1�� La valeur actuelle

Le calcul de la valeur actuelle permet de savoir quelle somme il convient d’investir aujourd’hui pour disposer d’un certain montant à une date future déterminée.

En d’autres termes, on cherche à connaître la valeur actuelle (V0) d’une somme future ; d’où la nécessité d’actualiser, c’est-à-dire de convertir en euros d’aujourd’hui des euros futurs en tenant compte d’un coût d’opportunité, le taux d’actualisation.

On parle de coût d’opportunité car en investissant, l’agent économique sacrifie l’opportunité de disposer des fonds d’aujourd’hui en échange de l’espoir de disposer d’un montant plus élevé dans le futur.

La valeur actuelle peut être obtenue par la formule suivante :

( )( )0 1

1nn

nnVV V i

i−

= = × ++

Exemple : placement à réaliser en t0

Quel doit être le montant d’un placement qu’un salarié doit réaliser pour disposer le jour de sa retraite, dans 15 ans, d’une somme de 150 000 euros, sachant qu’il lui est possible de placer ses fonds au taux fixe de 4 % annuel ?

Fonction sous Excel

On utilisera la fonction Valeur actuelle VA (taux;npm;vpm;vc;type) avec taux = taux d’intérêt ; npm = nombre de périodes ; vpm = coupon à chaque période ; vc = valeur capitalisée (ou prix de remboursement) ; type = 0 si versement en fin de période, 1 si versement en début de période.

Application : quel placement doit-on effectuer pour obtenir dans 12 ans, une somme de 200 000 euros au taux de 4 % ?


6

Tableau 2

A B


2 Durée 12

3 Valeur future – 200 000

4 Valeur actuelle 124 919,41

�� La capitalisation et l’actualisation de flux multiples

En pratique, il est rare qu’un investissement ne produise qu’un seul flux ou qu’un placement ne consiste qu’en un seul versement. Dans ce cas, il suffit de reprendre les formules déjà présentées en les appliquant à chacun des flux (notés F) :

Graphiquement, la capitalisation de flux futurs peut être représentée de la manière suivante :

1 2 53

t

4

F F1 2 3F F4 F5

F1(1 + i)5

F2(1 + i)4

F3(1 + i)3

F4(1 + i)2

F5(1 + i)

6

Figure 3 La capitalisation de flux multiples en fin de période 5


7

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it

1Graphiquement, l’actualisation de flux futurs, quant à elle, peut être représentée de la manière suivante :

F1(1 + i)-1

F2(1 + i)-2

F3(1 + i)-3

F4(1 + i)-4

F5(1 + i)-5

10 2 53

t

4

F F1 2 3F F4 F5

Figure 4 L’actualisation de flux multiples en début de période 1

Exemple : la capitalisation de flux multiples

Un placement est effectué à raison d’un versement de 2 000 euros par an (en début de période) pendant 4 ans au taux annuel de 5 %. Quelle est la valeur capitalisée à la fin de la quatrième année ?

( ) ( ) ( ) ( )nV ( ) ( ) ( ) ( )nV

On utilisera la fonction VC sous Excel :

Tableau 3

A B


2 Durée 4

3 Placement – 2 000

4 Valeur actuelle 0

5 Type 1

6 Valeur future 9 051,26


8

Exemple : l’actualisation de flux multiplesUn investissement suppose un versement de 5 000 euros par an (en fin de période) pendant 6 ans. Quelle est la valeur actualisée en date 0 sachant que le taux actuariel retenu est de 4,5 % ?

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

43210

65

5 000 1,045 5 000 1,045 5 000 1,05 5 000 1,05

+5 000 1,05 5 000 1,05 25 789,36 euros.

V −−−−

−−

= + + +

+ =

On utilisera la fonction VA sous Excel :Tableau 4

A B

1 Taux d’intérêt annuel 4,5 %

2 Durée 6

3 Versement – 5 000

4 Valeur future 0

5 Type 0

6 Valeur actuelle 25 789,36

�� Les cas particuliers relatifs aux flux multiples

1. Les flux sont parfois constants et limités dans le temps : c’est le cas lors d’un virement automatique sur un compte épargne d’une certaine somme d’argent (notée F) ou de la perception d’un coupon fixe sur une obligation1. On peut alors simplifier le mode de calcul de la valeur future et de la valeur actuelle :

( )( )0

1 – 1

ni

i

−+

( )( )1 1

n

n

iV F

i

+ −= ×

1 Cf. chapitre 6.


9

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1Exemple : l’actualisation de flux constants et limités dans le tempsUn individu perçoit une rente annuelle de 750 euros au taux de 10 % pendant 4 ans. Calculer la valeur actuelle en année 0.

( )4

0

1 – 1,10 750 2 377 euros.

0,10V

−

× ≈=

Exemple : la capitalisation de flux constants et limités dans le tempsUn individu perçoit en début de chaque mois sur son compte bancaire 200 euros relatifs à un placement au taux de 3 % pendant 5 ans. Calculer la valeur future en fin d’année 5.

( )( )601,03 – 1 200 32 611 euros.

0,03nV = × ≈

2. Les flux sont constants sur un horizon infini. Lorsque les flux n’ont pas de limite temporelle, on parle de rente perpétuelle1. L’horizon n’étant pas borné, il s’avère impossible de calculer une valeur future. En revanche, on pourra estimer une valeur actuelle, F étant le flux constant dégagé à chaque période et i le taux d’intérêt :

0FVi

=

3. Les flux augmentent à un taux constant g sur un horizon infini. Cette situation se rencontre lorsque l’on cherche, en entreprise, à actualiser des flux de trésorerie ou des dividendes. Ces derniers augmentent alors chaque année d’un taux constant g :

10 avec

( – )FV g i

i g= <

1 Cette notion est également abordée dans le chapitre 2.


10

2 Intérêts simples

Tout individu ou toute entreprise peut être amené(e) dans sa vie à emprunter de l’argent pour un besoin d’investissement et/ou de consommation. À l’inverse, il (ou elle) peut être conduit(e) à placer et/ou à prêter de l’argent dont il (ou elle) dispose. Dans les deux cas, il (ou elle) est nécessairement confronté(e) à la notion d’intérêt. En la matière, deux cas de figure se présentent : l’intérêt simple et l’intérêt composé.

2.1 Définitions et modes de calcul

�� Notion d’intérêt et formule fondamentale

L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un prêt d’argent. Quand un agent (dit le créancier) prête à un autre agent (appelé le débiteur) une somme d’argent, il se prive lui-même, pendant toute la durée de ce prêt, de la possibilité de consacrer cet argent à un autre usage (consommation, par exemple). La mise à disposition du débiteur d’un capital suppose donc pour le créancier une « contrepartie » ou « compensation » nommée intérêt et pouvant être considérée comme le loyer de l’argent.

Le montant de l’intérêt (noté I) dépend de l’importance du capital prêté en valeur monétaire (noté C), du taux de placement (noté i) par unité de capital de 100 euros et de la durée du prêt (noté n), laquelle est exprimée en années, en mois ou en jours. Plus précisément, il est proportionnel au produit des mesures de ces trois quantités C, i et n.

=

I =

Exemple : calcul de l’intérêt sur 2 ansUn capital de 3 000 euros, prêté pendant 2 ans, au taux de 5 %, rapportera au prêteur un intérêt I égal à :


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1( )3 000 5 2

300 euros.100× ×

=

Remarque

Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont calculés uniquement sur ce capital. Les placements d’une durée inférieure à un an ont généralement des intérêts simples. Le taux annuel est appelé taux nominal ou taux facial.

�� Durées de placement

La durée n d’un placement peut être exprimée en mois. Le cas échéant, elle correspond à n / 12 d’année. Ainsi, la formule de calcul est la suivante :

Exemple : calcul de l’intérêt simple sur 4 moisQuel est l’intérêt de 2 000 euros placés 4 mois au taux de 6 % ?

1 200I = =

La durée n d’un placement peut aussi être exprimée en jours. En France, on retient généralement 360 jours (12 mois de 30 jours) : la durée correspond alors à n / 360 d’année. Ainsi la formule de calcul est la suivante :

=I


12

I =

Exemple : calcul de l’intérêt simple sur 90 jours

Quel est l’intérêt de 3 000 euros placés 90 jours au taux de 4 % ?

1 080 000 30 euros.36 000

I = =

Remarque

Dans la pratique, l’intérêt simple est souvent décompté au prorata du nombre de jours passés : l’année entière est alors prise en compte pour sa valeur exacte de 365 (année commune) ou de 366 jours (année bissextile). Dans le cadre d’une décision de justice, par exemple, la somme due par un individu versée en retard peut être majorée d’un intérêt simple (l’intérêt légal) sur la base d’un nombre de jours exacts.

�� Résolution de problèmes selon l’information disponible

La formule générale de calcul de l’intérêt simple met en relation quatre variables distinctes (intérêt, capital, taux, durée), ce qui potentiellement fait apparaître quatre problématiques différentes, l’une de ces variables étant inconnue. Ainsi, selon que la durée de placement est exprimée en mois ou en jours :

1 200

ou

I

I

=

=


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11 200

( )

36 000

IC

ouIC

=×

×=

×

( )

Exemples : calculs permettant de retrouver C, i et nQuel est le montant C du capital qui, placé à 8 % pendant 120 jours,

produit un intérêt de 240 euros ?

⇒ ( )( )

36 000 240 9 000 euros.

8 120C

×= =

×

Quel est le taux d’intérêt i d’un placement de 1 500 € d’une durée de 10 mois ayant rapporté 75 euros ?

⇒ ( )( )1 200 75

6 %.1 500 10

i×

= =×

Quelle est la durée n (en nombre de jours) d’un placement de 8 000 € à 7,5 % ayant rapporté 500 euros ?

⇒ ( )( )36 000 500

300 jours.8 000 7,5

n×

= =×


14

Remarque

Il convient, dans la vie courante ou dans les exercices à effectuer, d’être vigilant sur la façon dont est exprimée la durée n. Les résultats sont bien entendu différents selon que n est identifiée en mois ou en jours ! Il en est de même pour les taux. Un taux mensuel n’est pas un taux annuel et réciproquement (cf. plus loin).

�� Valeur acquise

En ajoutant au capital C les intérêts I qu’il a produits compte tenu d’un placement pendant une durée n, on obtient la valeur acquise (Vn), somme totale que perçoit le prêteur à l’issue de son placement.

nV C I= +

( ) 1 200n

C i nV C

× ×⇒ = +

ou

( ) 36 000n

C i nV C

× ×= +

Exemple : calcul de la valeur acquise

La valeur acquise par un capital de 20 000 euros, placé à 8 % pendant 9 mois est égale à :

( )20 000 8 920 000 20 000 1 200 21 200 euros

1 200× ×

+ = + = , ce que

le prêteur recevra au bout de 9 mois.

Remarque

La valeur acquise relève d’un calcul de capitalisation. Elle doit être distinguée de la valeur actuelle, fruit de l’actualisation (cf. § 1).


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12.2 Représentations graphiques

�� L’intérêt produit par un capital placé

Compte tenu de son mode de calcul (I = C × i × n / 100), l’intérêt produit par un placement est une fonction linéaire croissante (y = ax) du capital C, du taux i ou de la durée n. Autrement dit, I peut être exprimé, selon les besoins, en fonction de C, de i ou de n.

( )

( )

1 200

ou

36 000

i nI C

i nI C

×= ×

×= ×

( )

( )

1 200

ou

36 000

C nI i

C nI i

×= ×

×= ×

( )

( )

1 200

ou

36 000

C iI n

C iI n

×= ×

×= ×

Exemple : représentation graphique de l’intérêt I en fonction de la durée n

On peut représenter graphiquement la variation de l’intérêt produit par le placement d’un capital de 30 000 euros à 8 % en fonction de la durée du placement exprimée, par exemple, en mois.

30 000 8 200 .1 200

I n n×= × =


16

Ainsi, pour une durée n de 10 mois, 200 10 2 000 euros.I = × =

Durée n(en mois)

Intérêt I(en euros)

0 2 4 6 8 10

500

1 000

1 500

2 000I = 200 n

Figure 5 Représentation graphique de I en fonction de n

(exprimée en mois)

�� La valeur acquise par un capital

Lors d’un placement, la valeur acquise Vn est fonction affine croissante (y = ax + b) du capital C, du taux t ou de la durée n. Autrement dit, Vn peut être exprimée, selon les besoins, en fonction de C, de i ou de n.

nV C I= +

1 200nC i nV C ×

⇒×

= +

1 200ni n×

⇒

36 0 0

0nou C i nV C × ×

= +

36 000ni nV C C×

+⇒ =

1 200n

C i nV C × ×= +⇒

1 200nC n×

⇒


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1

36 000nC i nou V C × ×

= +

36 000nC nV i C×

= +⇒

⇒ 1 200n

C i nV C × ×= +

⇒ n

C iV n C×= +

36 000nC i nou V C × ×

= +

36 000nC iV n C×

= +⇒

Exemple : représentation graphique de la valeur acquise Vn en fonction de la durée nIl est possible de représenter graphiquement la variation de la valeur acquise par un capital de 54 000 euros placé à 10 % en fonction de la durée du placement exprimée, par exemple, en jours.

= + = +54 000 10

36 000n

Pour une durée n de 240 jours,

Durée n(en jours)

Valeur acquise Vn(en euros)

0 60 120 180 240 300 360

20 000

40 000

57 600

80 000 Vn = 15 n + 54 000

Figure 6 Représentation graphique de Vn en fonction de n

(exprimée en jours)

n .


18

2.3 Notions et calculs complémentaires

�� Le taux moyen

Le taux moyen peut être calculé lorsque des placements sont effectués de façon simultanée mais à des conditions différentes en termes de capital, de taux et de durée (C1i1n1, C2i2n2… Ckiknk).

Si l’intérêt total (noté I) obtenu est égal à…

… le taux moyen (noté T) désigne le taux unique qui, appliqué à ces mêmes placements, conduit à produire le même intérêt global.

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

... 1 200 1 200 1 200

+ ... C i n C i n

+ + +

× × × ×= + +

( )( )

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

k k

k k k

T C n C n C n

C i n C i n C i n

+ + …+

= + + … +

⇒

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

k k kTC n C n C n+ + … +

=+ +…+

⇒

i i i

i i

C i nT

C n=

∑∑


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1Exemple : calcul du taux moyen

On souhaite calculer le taux moyen des trois placements suivants effectués simultanément :

Tableau 5

Capital C (en euros)

Taux i (en %)

Durée n (en jours)

3 000 6 180

5 000 8 90

2 000 5 120

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 000 6 180 5 000 8 90 2 000 5 120

3 000 180 5 000 90 2 000 1208 040 000 6,54 %.1 230 000

T× × + × × + × ×

=× + × + ×

= ≈

On peut vérifier que l’application du taux unique produit le même intérêt I :

3 000 6 1 80

36 000 36 000 36 000

223 .

I

euros

= + +

≈

�� L’intérêt global

L’intérêt global correspond à l’intérêt total procuré par plusieurs capitaux tous placés au même taux. Il est donné par la formule :

1 200i iC n

i

∑

ou

36 000i iC n

i

∑


20

1 200 36 000 oui i

est appelé le diviseur fixe (noté D) attaché au taux

d’intérêt i.

Exemple : calcul du taux globalOn cherche à estimer l’intérêt global fourni par les capitaux suivants au taux unique de 6 % :

Tableau 6

Capital C (en euros)

Durée n (en jours)

900 45

1 500 30

2 800 55

Le diviseur fixe D est égal à 36 000 6 0006

= .

L’intérêt global est égal à :

euros

2.4 L’escompte

�� L’escompte commercial

L’escompte commercial désigne l’intérêt payé par une entreprise qui mobilise auprès de sa banque une reconnaissance de dette reçue d’un client en règlement d’une transaction commerciale. Dite effet de commerce, celle-ci peut notamment prendre la forme d’une lettre de change (tirée par l’entreprise et acceptée par son client)1. L’opération consiste donc pour l’entreprise à se faire prêter par la banque le montant de celle-ci jusqu’à la date de l’échéance, moyennant rémunération (l’intérêt).

Remarque

Comme l’intérêt simple, l’escompte, prix du service rendu par le ban-quier, est fonction linéaire d’un taux, d’une durée et d’un montant prêté.

1 Ferré F., Zarka F., Comptabilité, Dunod, 2014.


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© D

un

od. T

oute

rep

rod

uct

ion

non

au

tori

sée

est

un

dél

it

1Plus précisément, l’escompte (noté e) est calculé sur la base d’une valeur nominale de l’effet (noté Vnom) correspondant au montant de l’avance effectuée par la banque, d’un taux i et d’un nombre n de jours séparant la date de remise à l’escompte1 de l’effet de sa date d’échéance.

Mathématiquement :

36 000nomV i ne × ×

=

( ) 3600036 000nom nom

nomV n ViOu e V n

Di

×× × = ==

Exemple : calcul de l’escompteCalculons l’escompte commercial sur un effet de commerce d’une valeur nominale de 12 000 euros, d’échéance au 30 avril et remis au banquier le 13 mars au matin au taux de 5 %.

On comptera 47 jours entre le 13 mars et le 30 avril (sur la base de 12 mois de 30 jours).

12 000 5 47 78 .36 000

e euros× ×= ≈

�� Le taux d’intérêt effectif

Dans la pratique, le banquier prélève l’escompte de façon immédiate lors de « la remise de l’effet ». On parle d’intérêt précompté. Autrement dit, dans le cas précédent, il crédite le compte bancaire de l’entreprise (son client) de 12 000 – 78 soit environ 11 922 euros. Cette somme nette de l’escompte est appelée valeur actuelle commerciale (notée Vac).

V V e– ac nom=

1 Aujourd’hui, les effets ont été remplacés par les LCR (lettres de change relevés).


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– 36 000nom

ac nomV i nV V × ×

=⇒

1 – 36 000ac nom

i nV V ×= ×

⇒

36 000 – 36 000ac nom

i nV V ×⇒

– nomac nom

V nV VD×

=⇒

– ac nomD nV V

D= ×⇒

Remarque

La valeur actuelle est fonction linéaire de la valeur nominale de l’effet. Elle est aussi fonction affine du taux de l’escompte, du nombre de jours retenus et de la valeur nominale.

Exemple : calcul de la valeur actuelle commerciale

Retrouvons la valeur actuelle (notée Vac) dans l’exemple précédent.

36 000 = 7 200.5

D =

7 200 – 47 12 000 12 000 0,99 11 922 .7200ac= × = × ≈

�� Résolution de problèmes selon l’information disponible

La formule permettant de calculer l’escompte commercial met en relation quatre variables (e, Vnom, i et n), ce qui potentiellement fait apparaître quatre problématiques différentes, l’une de ces variables étant inconnue. Ainsi, et selon les données disponibles, on écrira :


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© D

un

od. T

oute

rep

rod

uct

ion

non

au

tori

sée

est

un

dél

it

1

36 000nome =

36 000 nom

eVi n

×=

×

36 000 nom

eiV n

×=

×

36 000 nom

enV i

×=

×

Exemples : calculs permettant de retrouver e, Vnom , i et nQuel est le montant de l’escompte d’une avance de 18 000 euros

effectuée par la banque au taux de 6 % pendant 60 jours ?18 000 6 60 180 .

36 000e euros× ×= =⇒

Quel est le montant avancé par une banque produisant un escompte de 122,22 euros pour une durée de 40 jours lorsque le taux d’intérêt appliqué est de 5,5 % ?

20 000 .5,5 40nomV euros×

= =×

⇒

Quel est le taux d’intérêt appliqué par une banque lorsque l’avance de 15 000 euros réalisée sur 50 jours produit un escompte de 166,67 euros ?

36 000 1 66,67 8 %.15 000 50

i ×= =

×⇒

À quelle date a été remis à la banque un effet de 6 000 euros échu le 30 juin, produisant un escompte de 140 euros compte tenu d’un taux d’intérêt de 7 % ?

36 000 140

120 .6 000 7

n jours×= =×

⇒

L’effet a été remis le 1er mars.

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