Manipuler et expérimenter en

mathématiques

Thierry Dias

Chercheur en mathématiques

Sylvie COUSTIER CPAIEN -Oullins 2012

TRI

• Trier les problèmes selon un critère défini

• Ecrire le critère de regroupement en haut

de chaque colonne du tableau constitué

• Critère de réussite: faire apparaître les

différents « types » de problèmes

Critères retenus • Organisation gestion de données

• Logique espace / géométrie

• Logique suite numérique

• Partage

• Tri de données utiles/inutiles

• Échanges / grandeurs et mesures

• Déduction

• Une étape / deux étapes

• 1 question / question intermédiaire

• Durée

• Sans donnée numérique

• Additif simple

• Choix des données numériques

• Cycle 2 / Cycle 3

• Géométrie / calcul d’aire

« Il y a problème dès qu’il y a

réellement quelque chose à chercher,

que ce soit au niveau des données ou

du traitement et qu’il n’est pas possible

de mettre en jeu la mémoire seule ». Equipe Ermel- INRP

une culture scientifique à l'école

Acquérir des connaissances

• concepts

• objets

• relations

Développer des attitudes

• recherche

• raisonnement

• pensée critique

savoirs

savoir faire

savoir être

Construire des capacités

• méthodes

• techniques

• procédures

Des catégories de problèmes…

Première classification : à partir des

formes d’énoncés

Deuxième classification : à partir des

notion mathématiques

Troisième classification : à partir des

objectifs pédagogiques

Quatrième classification: à partir des

procédures utilisées

A partir des formes d’énoncés

Situation à vivre + Enoncé oral

Enoncé écrit, situation imaginée •Texte et document réel : publicité,

extrait de tarif…

•Texte et image(s) : photo, dessin…

•Texte littéral et texte visuel: tableau, diagramme, carte, schéma… •Texte

Présence ou absence de question(s),

place de celle(s)-ci dans l’énoncé

A partir des notions des différents domaines des mathématiques

NUMERATION

Types de nombres

TECHNIQUE OPERATOIRE

Opérations utilisées

GRANDEURS ET MESURES

Domaine et unité de mesure

GEOMETRIE

Différents objets géométriques

OBS. ET GESTION DE DONNEES

Différents outils de traitement de données

A partir des objectifs pédagogiques Place de la séance de RESOLUTION DE

PROBLEME(S) dans la séquence d’enseignement

Séance de relevé des savoirs et de mise

en questionnement: problème ouvert (recherche)

Séance de formalisation: problème pour

apprendre (échanges sur les procédures)

Séance(s) de mémorisation et

d’entrainement des savoirs et des

procédures: problèmes d’application (différenciation)

A partir des objectifs pédagogiques

Place de la séance de RESOLUTION DE PROBLEME(S) dans

la séquence d’enseignement

•Séance d’évaluation: problèmes

d’application

•Séance de remédiation: problèmes

d’application et/ou de

réinvestissement (différenciation)

ACTION

VALIDATION

FORMULATION

INSTITUTIONALISATION

Expérimenter

Manipuler

Représenter

Mettre en mots Faire des hypothèses Anticiper sur l’effet de la procédure

Argumenter

Prouver

Justifier Stabiliser les savoirs

S’entrainer

Mémoriser

agir dire

prouver

retenir

Selon la situation d’apprentissage, un même problème peut

avoir différentes fonctions.

12

APPRENDRE CHERCHER

Situation

problème

Problème

d’application

directe

Problème de

réinvestissement

- transfert

Problème

ouvert

construire une

nouvelle

connaissance

ou découvrir

un nouvel

aspect d’une

connaissance

antérieure

S’entrainer à

maîtriser le

sens d’une

connaissance

nouvelle

Problème

complexe

Utilisation de

plusieurs

connaissances

construites dans

différents contexte

Développer des

capacités à

chercher:

différentes

solutions,

pas de solution

Résolution

experte

inconnue des

élèves

13

« J'ai 250

œufs.

Combien de

boîtes de 6

sont

nécessaires

pour les

ranger ? »

CE1:

Problème

Ouvert

Les élèves ne connaissent pas

la technique de la division. Ils

sont face à un défi intellectuel

qu'ils doivent relever.

Ils vont utiliser différentes

procédures personnelles:

dessin, calculs partiels…

CE2:

Situation

Problème

Ils ne connaissent pas encore la

technique de la division.

Ils vont analyser les procédures

utilisées et leurs limites pour

identifier la procédure experte:

introduction de la technique

opératoire de la division.

CM2 :

Problème

d'application

La division a été étudiée.

Les élèves sont censés

reconnaître un problème de

division et utiliser la technique

opératoire pour le résoudre.

PROGRESSIVITE DES

APPRENTISSAGES

• MATERNELLE / Début de CP:

Situation vécue, non écrite

• Au cours du CP idem ci-dessus +…

De la situation vécue à la situation représentée

et introduction d’un énoncé écrit

• Au CE1 idem ci-dessus +…

De la situation représentée avec énoncé au

problème évoqué (énoncé écrit seul)

ENSEIGNER DES STRATEGIES DE

RESOLUTION

Mise en commun

• Inventorier les procédures de résolution

• Débattre de leur validité

• Les comparer, les confronter

• Garder trace des procédures efficaces

Conséquences : La diversité est possible

La différenciation est réelle

Le partage entre pairs est efficace

Les progrès sont ressentis par l’élève

RÉSOUDRE UN PROBLÈME:

Les étapes cognitives

• Appropriation (Dévolution)

• Elaboration d’une stratégie

16

Phase de structuration Représentation du problème

• Mise en œuvre de

la stratégie

« Écrits privés », traces intermédiaires

Phase d’opérationnalisation

• Transcription du résultat Phase de formalisation

Lecture de l’énoncé

Recherche d’une procédure

Instanciation de la procédure

Exécution de la procédure

Communication de la réponse

RÉSOLUTION UN PROBLÈME

Résultats obtenus à un problème proposé à

l’entrée en 6ème

Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet

de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€.

Combien de CD à 9€ l’un peut-il acheter ?

Cet exercice obtient 59,3% de réussite.

Analyse

mots du lexique de la vie courante, situation simple

nombres familiers depuis le CP

possibilité d’utiliser des procédures personnelles représentant

plusieurs niveaux d’abstraction

Maîtrise insuffisante de la langue ?

Mauvaise connaissance des nombres ?

Mauvaise maîtrise des méthodes de calcul ?

Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet

de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€. Combien

de CD à 9€ l’un peut-il acheter ?

Qu’est-ce qu’un problème ? Comment faire pour le résoudre ?

Quand on interroge les élèves en difficulté on obtient les réponses suivantes

Seul le maître est capable de dire si le

résultat est juste.

Un problème a toujours une solution.

Un problème fait toujours intervenir

des nombres.

Il n’y a qu’une façon de résoudre un

problème.

Un problème se présente toujours

sous la forme d’un énoncé qui se

termine par une question.

C’est le résultat qui compte.

Pour résoudre le problème, il faut

utiliser les dernières notions

étudiées en classe. Pour trouver la solution, il

faut déjà savoir.

Quelques pistes pour « apprendre à résoudre »

Pour s’approprier le problème

Pour élaborer ou rechercher une procédure

Pour exécuter la procédure et valider sa solution

Aide pour s’approprier le problème

Varier les supports de présentation -Situation réelle

-Situation représentée : dessin, schéma,

document

-Situation communiquée oralement

-Situation communiquée par un énoncé écrit

Varier les problèmes

-Avec des nombres mais sans calcul

-Sans nombres : géométrie, logique

-Numériques avec essais successifs

-Sans solution - Absurdes

-Situations inhabituelles

23

Les obstacles Les aides

l’élève doit

se représenter

la situation

Aider les élèves à se représenter le

contexte

-Choisir des énoncés en rapport avec la

vie de la classe et la «vie quotidienne»

-Proposer des énoncés à l’oral

-Faire raconter l’énoncé avec ses

propres mots

- Faire mimer l’énoncé

- Proposer d’utiliser du matériel pour

simuler la situation

- Inciter à s’appuyer sur l’illustration

(représenter par le dessin, le schéma)

Lecture de l’énoncé

24

Les

obstacles

Les aides

l’élève

doit se

représenter

la tâche

Aider l’élève à se représenter ce qu’on

cherche

- Identifier la catégorie* à laquelle

appartient le problème : reconnaitre la

structure du problème

- faire un schéma des données du

problème

- comparer ce nouvel énoncé à celui du

problème de référence (affiche ou fiche outil)

25

LE VOCABULAIRE

Les obstacles Les aides

connaitre les

termes

spécifiques

distinguer le

sens courant et

le sens en

mathématiques

Aider l’élève à s’approprier le

vocabulaire des mathématiques

- Réalisation de référentiel: construire un

dictionnaire mathématiques Ex: classification des

mots utilisés en mathématiques (exemple un changement : diminuer,

ajouter, partager…)

- Polysémie des mots (langage courant / mathématique)

ex : la différence = soustraire/distinguer

- Utilisation de synonymes Ex : «136 –73 j’enlève

73 à 136 ou je cherche la différence entre 136 et 73 ou ce qu’il faut

ajouter à 76 pour avoir 136»

-Travailler la maitrise des petits mots

comme : l’un, l’une, chacun, chaque, plus

que, moins que, de plus, de moins…

MAITRISE DE LA LANGUE ET MATHS

26

LA FORME ET LA PLACE DE LA QUESTION

Les obstacles Les aides

La question est

le plus souvent

posée à la fin de

l’énoncé

La forme

injonctive

(impératif ou

infinitif) n’est pas

toujours reconnue

comme une

question ou une

tâche à effectuer

Aider les élèves à identifier le

questionnement

-Formuler la question en début d’énoncé

permet à l’élève d’anticiper ce qu’il faut faire

et de sélectionner plus facilement les

données.

- Lire l’énoncé sans lire la question :

demander à l’élève de dessiner ou d’écrire ce

qu’il a compris de l’énoncé, demander d’écrire

la question que l’élève a en tête.

-Reconnaitre la forme interrogative: reformuler

la question avec inversion du sujet.

-Rédiger une question pour chaque catégorie

de problèmes.

27

LES DONNEES DU PROBLEME

Les obstacles Les aides

Les données

doivent être

accessibles

Distinguer les

données utiles et

inutiles

Connaitre les

techniques et

automatismes

pour traiter les

données

Aider les élèves à s’approprier les

données

- Simplifier les données numériques :

utiliser des nombres plus petits, des

nombres entiers

- Pratiquer des séances de calcul

mental ; calcul automatisé et calcul

réfléchi

- Utiliser des données avec des

relations maitrisées : les doubles, les

multiples, l’angle droit…

- Choisir les unités maitrisées

- Réduire / augmenter le nombre de

données

28

LES ETAPES DU PROBLEME

Les obstacles Les aides

Les étapes

correspondent à

l’ordre des

informations

contenues dans

l’énoncé.

Elles peuvent

être explicites

(présence d’une

question) ou

implicites

Identifier les informations explicites et les

informations implicites :

-Trouver la / les question(s)

intermédiaire(s)

- Définir les étapes de la

résolution

Difficultés pour élaborer ou rechercher une procédure

Des blocages psychologiques

Une richesse variable des réseaux de connaissances stockés

en mémoire

La non maîtrise de certaines techniques opératoires

Favoriser la diversité des procédures

Exploiter cette diversité

Aider à progresser vers les résolutions

expertes: comparaisons, justifications

Entrainer: calcul mental, calculs écrits

La non maîtrise des procédures

Classer les problèmes par procédures,

relever des exemples de résolutions

Difficultés pour exécuter la procédure et valider sa

solution

Difficultés à exécuter la procédure de résolution

Remédiations Entrainement

Difficultés à contrôler la représentation du

problème, la procédure de résolution ou le

résultat

Valider par la cohérence du

résultat: ordre de grandeur, unité

Roland CHARNAY

CONCLUSIONS

• Concevoir le parcours de résolution de problème de l’élève: en équipe

• Etablir une progressivité dans les problèmes proposés, les procédures et les représentations

• S’attacher à des outils communs de classements de référence par les procédures : affiches évolutives, qui peuvent passer de classes en classes, outil individuel élève dans l’école (portfolio de problèmes résolus)

• Penser les séances d’entrainement : calcul mental, rituels : énigmes, jeux, séries de petits problèmes simples.

OUVERTURES

• Mise en place d’un labo maths de classe,

d’école…

• Résolution de problèmes dans tous les

domaines d’enseignement : vie de classe,

EPS, sciences, géographie, histoire, étude de

la langue

matériel à manipuler : jetons, cartes, pions, cubes,

buchettes, planche de bois + clous + élastiques, jeux,

Tangrams, matériel fabriqué sur demande des élèves…

supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages,

feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands

tableaux, schémas (ou ébauches de schémas),

agrandissements

outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons,

colle, ficelle

instruments : instruments pour tracer, pour mesurer,

calculatrices, files numériques, tables d’addition, de

multiplication, ordinateur

ça demande beaucoup de

matériel ?

Expérimenter, manipuler ??

Exemple 1 : à la bonne place (éval. Ce2)

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient 367 582 309

300 400 500 600

300 309 400 367 500 582 600

DEUX EXEMPLES

150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes. Combien y a-t-il d’équipes ?

150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?

Exemples monnaie

Dans un restaurant, on propose :

•Deux entrées

•Trois plats principaux

•Deux desserts

•Combien de menus «entrée+plat+dessert»

peut-on composer?

LES DEUX CERCLES SONT BLEUS

LE TRIANGLE EST VERT

IL Y A UNE FORME ROUGE A GAUCHE D’UNE FORME BLEUE