M06 - détermination des dimensions des surfaces et des volumes BTP-TDB 01

7/31/2019 M06 - dtermination des dimensions des surfaces et des volumes BTP-TDB 01

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OFPPT ROYAUME DU MAROC

MODULE N:6DETERMINATION DES DIMENSIONS,DES SURFACES ET DES VOLUMES

SECTEUR:BTP

SPECIALITE: TECHNICIEN DESSINATEUR DEBATIMENT

NIVEAU:TECHNITIEN

Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion du TravailDIRECTIONRECHERCHE ETINGENIERIE DEFORMATION

RESUMETHEORIQUE&

GUIDE DETRAVAUXPRATIQUES


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Rsum de thorie et guidede travaux pratique

Module N6 :Dtermination des dimensions dessurfaces et des volumesdes structures

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REMERCIEMENT

La DRIF remercie les personnes qui ont contribu llaboration du prsentdocument.

Pour la supervision :

M. Khalid BAROUTI Chef projet BTPMme Najat IGGOUT Directeur du CDC /BTPM. Abdelaziz EL ADAOUI Chef de ple du CDC/BTP

Pour la conception :

Mme Saadia BOUKFAR Formatrice ISB /CASA

Pour la validation :

Mme GUNINA Fatna CDC /BTP

Les utilisateurs de ce document sont invits communiquer laDRIF toutes les remarques et suggestions afin de les prendre enconsidration pour lenrichissement et lamlioration de ceprogramme.

DRIF


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SOMMAIRE

Prsentation du moduleA/ Connatre les relations dans le triangle

1-la hauteur2- la mdiatrice3- la bissectrice4- la mdiane5-Les diffrentes sortes de triangles6- les relations dans le triangleB/ Etudier les cercles :1- Le cercle inscrit2- Le cercle circonscritC/Etudier les polygones1-Dfinition2-Polygones rguliersD/ Calcul des surfaces et des volumes des pices gomtriques1-Les Primtres2-Les aires3-Les volumesE/ Balancement des escaliers1-Terminologie des diffrentes parties2-Trac escalier droit3-1er trac escalier balanc4-2me trac escalier balanc

Evaluation de fin de module


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MODULE 6 : DETERMINATION DES DIMENSIONS DESSURFACES ET DES VOLUMESDES STRUCTURES

Dure : 60 h

OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAUDE CONMORTEMENT

COMPORTEMENT ATTENDU

Pour dmontrer sa comptence, le stagiaire doit dterminer les dimensions, les surfaces et lesvolumes des structures selon les conditions, les critres et les prcisions qui suivent.

CONDITIONS DEVALUATION

Individuellement partir des questions de cours A partir des exercices nots

CRITERES GENERAUX DE PERFORMANCE

Connaissance exacte des formules concernant les relations mtriques et trigonomtriquesdes triangles Dtermination prcise du ct, de lapothme et de la surface des polygones Calcul exacte des volumes et des surfaces des figure gomtriques


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PRECISIONS SUR LECOMPORTEMENT ATTENDU

A- Connatre convenablement les relationsdans le triangle

B- Etudier les cercles

C- Appliquer les formules concernant lespolygones rguliers

D- Calculer les surfaces et les volumes despices gomtriques

E- Tracer correctement de balancementdes escaliers

CRITERES PARTICULIERS DEPERFORMANCE

Dfinition prcise des droites remarquables Dfinition prcise des diffrents types de

triangle Dtermination exacte des relations

trigonomtriques dans un triangle rectangle

Dtermination exacte de langle inscrit etangle circonscrit

Traage correcte du cercle inscrit et ducercle circonscrit

Calcul exacte du ct de chaque polygonergulier

Calcul exact de lapothme de chaquepolygone rgulier

Dtermination prcise de la surface dunpolygone rgulier

Dtermination prcise des formules decalcul des surfaces et des volumes desfigures gomtriques

Dfinition exacte et terminologie correctedes escaliers

Traage exact de balancement.


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OBJECTIFS OPERATIONNELS DE SECOND NIVEAU

LE STAGIAIRE DOIT MAITRISER LES SAVOIRS, SAVOIR-FAIRE, SAVOIR-PERCEVOIR

OU SAVOIR-ETRE JUGES PREALABLES AUX APPRENTISSAGES DIRECTEMENT REQUISPOUR LATTEINTE DE LOBJECTIF DE PREMIER NIVEAU,TELS QUE :

Avant dapprendre connatre convenablement les relations dans le triangle (A) :

1. Savoir correctement dterminer la hauteur, la mdiatrice, la bissectrice et la mdiane2. Connatre correctement les diffrentes sortes de triangle tels que triangle quilatral, triangle

isocle et triangle rectangle3. Etablir correctement les relations mtriques et trigonomtriques dans le rectangle.

Avant dapprendre tudier les cercles (B) :

4. Savoir tracer un cercle5. Calculer langle inscrit et langle circonscrit6. Savoir un cercle inscrit

Avant dapprendre appliquer les formules concernant les polygonesrguliers (C) :

7. Dfinir correctement un polygone rgulier un cts8. Tracer correctement un polygone rgulier un cts9. Etudier et calculer correctement le ct et lapothme dun polygone particulier tel que :

-

Carr- Triangle- Pentagone- Hexagone- OctogoneAvant dapprendre calculer les surfaces et les volumes des pices gomtriques (D) :

10.Dterminer parfaitement les formules des surfaces et des volumes des figures11.particulier tel que: cube , paralllpipde ,cylindre ,pyramide ,tronc de pyramide ,cne et

tronc de cne

Avant dapprendre tracer les balancements des escaliers (E) :12.Dfinir la terminologie des escaliers13.Tracer le balancement

- Mthode de larc de cercle- Mthode des alignements- Mthode des angles

(Les balancement seront trac avec un compas)


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PRESENTATION DUMODULE

- Ce module de comptence gnrale consiste connatre les formules decalcul des volumes et des surfaces des structures. Il sera tal sur une durede 6 semaines du 1er semestre du programme de formation raison de 10h

par semaine .

- A lissu de ce module, les stagiaires auront acquis des connaissances etcomptences techniques de base SUR les formules de calcul des surfaces et

des volumes ainsi que le traage des formes gomtriques.

- La dure de ce module est de 60h.


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Module N6 : Dtermination des

dimensions des surfaces et des volumes

des structures


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A/ Connatre les relations dans le triangle

1- la hauteur

Dfinition : On appelle hauteur dans un triangle ABC la droite passant par un sommet dece triangle et perpendiculaire au ct oppos ce sommet.

Pour tracer la hauteur issue du sommet B, prendrergle et querre et effectuer le schma ci-contre.Le segment [BK] est appel hauteur issue de B.

H est appel pied de la hauteur ( BK )

Proprit de l'orthocentre : les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un pointH appel orthocentre du triangle.

Tracer la hauteur issue du sommet A. Pour lahauteur [AK], il a fallu prolonger le segment [BC].

Tracer la hauteur issue de B. On a la hauteur [BL]


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Tracer la hauteur issue de C. galement la hauteur

issue de C est extrieure au triangle.On dfinit H comme tant l'orthocentre du triangleABC.

2- la mdiatrice

Dfinition : On appelle mdiatrice d'un segment [AB] la droite passant par le milieu I de[AB] et perpendiculaire [AB].

Pour tracer la mdiatrice d'unsegment [ AB ], choisir un

point de ce segment C, autreque le milieu.

En mesurant BC et CA, onprend la longueur la plusgrande ( ici BC ), pour tracerun 1er cercle ayant pour centrel'une des deux extrmits, onobtient ainsi C1


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Puis on trace un deuximecercle l'autre extrmit engardant bien le mme rayon.On obtient la figure suivante

On prend les deux pointsd'intersection entre les deuxcercles et on trace ainsi lamdiatrice.


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3- la bissectrice

Dfinition : On appelle bissectrice d'un angle, la droite qui partage un angle en deuxparties gales.

Construction la rgle et aucompas: Soient deux droites

(Ou) et (Ov).

On construit un cercle decentre O qui coupe les droites

(Ou) et (Ov) en I et J.

On construit alors les deux arcsde cercle de centre I et J, de

mme rayon. On appelle K leurpoint d'intersection.

(OK) est la bissectrice de

l'angle


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La bissectrice de deux droites estl'ensemble des centres des cercles

tangents chacune de ces deuxdroites.La bissectrice de deux droites estl'ensemble des points situs galedistance de chacune des droites.

On a trac sur ces trois figures troiscercles tangents aux deux droites(Ou) et (Ov);Comme on le voit les centres de cestrois cercles appartiennent la

bissectrice de l'angle


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4- la mdiane

Dfinition : Une mdiane d'un triangle est la droite issue d'un sommet coupant le ctoppos en son milieu. I milieu du segment [AB] La droite (AI) est une mdiane du triangleABC.

Pour commencer choisir un ct et mesurer salongueur pour en dterminer son milieu.

Relier le milieu du segment [ AB ] au sommet duct oppos, obtient ainsi la mdiane issue dusommet C.Si nous appelons I le milieu du segment [BA] alors(CI) est la mdiane issue de C.Le segment [CI] est galement appel mdiane ainsique la longueur CI.I est alors appel le pied de la mdiane (CI).

Proprit :les trois mdianes d'un triangle sont concourantes en un point G appel centrede gravit du triangle.


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Ici nous avons trac les trois

mdianes du triangle ABC.

Elles sont concourantes en unpoint G qui est le centre degravit.

Le centre de gravit d'un triangle est situ au 2/3 de chaquemdiane en partant du sommet.


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5-Les diffrentes sortes de triangles :

Les triangles isocles et quilatraux sont des triangles particuliers qui prsententrespectivement deux et trois cts gaux. Quelles sont les proprits de ces figures etcomment peut-on les tracer ?

1. Les triangles quilatraux

1.1. Dfinition

Un triangle quilatral est un triangle dont les trois cts ont la mme longueur.

Le triangle 2 de la figure ci-dessous est donc un triangle quilatral.

1.2. Proprits

Tout triangle quilatral a trois axes de symtrie ; rciproquement, si un triangle a trois axesde symtrie, alors ce triangle est quilatral.

Dans un triangle quilatral, chaque angle mesure 60 ; rciproquement, si dans un trianglechaque angle mesure 60, alors ce triangle est quilatral.


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1.3. Construction

On veut construire un triangle quilatral avec la rgle et le compas. La srie de figures ci-dessous montre les tapes de la construction ; lcartement du compas reprsente la longueurdu ct.

2. Les triangles isocles

2.1 Dfinition

Un triangle isocle est un triangle qui a au moins deux cts de la mme longueur.

Remarque : si un triangle est quilatral, alors ce triangle est isocle (mais il existe destriangles isocles qui ne sont pas quilatraux).

2.2. Proprits

Tout triangle isocle a au moins un axe de symtrie ; rciproquement, si un triangle a un axede symtrie, alors ce triangle est isocle.


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Dans un triangle isocle, deux anglesau moins ont la mme ouverture ; rciproquement, sidans un triangle deux angles au moins ont la mme ouverture, alors ce triangle est isocle.

2.3. Construction

On veut ici construire un triangle isocle non quilatral. La diffrence avec la constructionprcdente est que les cartements de compas des tapes 2 et 3 sont gaux, mais ne sont pasgaux AB.


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3- Le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui a angle droit .

6- les relations dans le triangle :

Calcul de la longueur dun ct ou un angle dans un triangle rectangle

Pour calculer un ct dun triangle rectangle connaissant les deux autres, on a recours authorme de Pythagore. Si on connat seulement un ct et un angle aigu, on peut utiliser lesinus, le cosinus ou la tangente de cet angle.

1. Calcul de la longueur dun ct

Il sagit de calculer la longueur dun ct dun triangle rectangle connaissant la longueur dunautre ct et la mesure dun de ses angles aigus. Il suffit pour cela de caractriser le ctconnu et le ct inconnu par rapport langle dont la mesure est connue. On saura ainsi quelrapport trigonomtrique on doit utiliser : le sinus, le cosinus ou la tangente.

Prenons un exemple.

nonc : soit IJK un triangle rectangle en I tel que IK = 3 cm et = 26. On veut calculer KJ etIJ 0,01 cm prs.


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Rsolution : on connat IK qui est la longueur du ct oppos , et on cherche KJ qui est lalongueur de lhypotnuse du triangle ; on va donc utiliser le sinus de langle . En effet, dansun triangle rectangle, le sinus dun angle aigu est gal au rapport

Calculons IJ : on connat IK quiest la longueur du ct oppos , et on cherche IJ qui est lalongueur du ct adjacent ;on va donc utiliser la tangentede langle . En effet, dans untriangle rectangle, la tangentedun angle aigu est gale aurapport

Calcul dun angle

Il sagit de calculer la mesure dun angle dun triangle rectangle, connaissant les longueurs dedeux de ses cts. Il suffit pour cela de caractriser les deux cts connus par rapport langledont la mesure est calculer ; on saura ainsi quel rapport trigonomtrique on doit utiliser (lesinus, le cosinus ou la tangente).

Prenons un exemple.

nonc : soit NRV un triangle rectangle en R tel que RV = 7 m et NV = 9 m. On veut calculerla mesure de langle arrondie 0,1 prs.


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Rsolution : RV est la longueur du ct adjacent langle , et NV est la longueur delhypotnuse du triangle ; on va donc utiliser le cosinus de langle . En effet, dans un

Microsoft Encarta Collection 2003. 1993-2002 MicrosoftCorporation. Tous droitsrservs.

Le triangle rectangle : calculer le cosinus, le sinus et la tangente dun angle dans un trianglerectangle

Le mot trigonomtrie vient du grec et signifie mesure du triangle . Le cosinus, le sinus et latangente sont trois rapports trigonomtriques. Comment peut-on calculer ces rapports etquelles sont leurs proprits ?

Dfinitions

tant donn un triangle ABC rectangle en B, considrons lun de ses angles aigus, parexemple. Le ct [BC] est appel ct oppos langle , le ct [AB] est appel ctadjacent langle .


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On dfinit alors les trois rapports suivants :

Remarque : pour calculer un de ces rapports, il fautexprimer les deux longueurs dans la mme unit.

Exemple : en appliquant ces dfinitions langle de la figure 1, on obtient :

Proprits

Appliquons les dfinitions prcdentes lautreangle aigu du triangle de la figure 1, savoir . Onobtient :

Autrement dit, pour les deux angles aigusdun triangle rectangle, on peut noncer la

proprit suivante : le sinus de lun est gal aucosinus de lautre et la tangente de lun est

gale linverse de la tangente de lautre.

Ou encore, puisque les deux angles aigus dun triangle rectangle sont complmentaires : sideux angles (non nuls) sont complmentaires, le sinus de lun est gal au cosinus de lautre,et la tangente de lun est gale linverse de la tangente de lautre.

Par exemple, sin 67 = cos 23 car un angle de 67 et un angle de 23 sont complmentaires.


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Exemples de calcul

Exemple 1

nonc : lunit de longueur tant le centimtre, soit LEM un triangle rectangle en E tel queEL = 12 et EM = 5. On veut calculer les valeurs exactes de sin , cos et tan .

Rsolution : pour calculer les valeurs exactes de sin et cos , on doit calculer la longueur delhypotnuse du triangle, savoir ML. Ce triangle tant rectangle en E, on peut appliquer la

proprit de Pythagore :

LM = EL + EM, soit LM = 12 + 5, do LM = 169, donc LM = 169 = 13.

Remarque : avec une calculatrice, il estensuite possible dobtenir une valeurapproche de , par exemple partir de sin

= 12/13 en tapant : 12/13 = INV SIN oubien SIN1 (12/13)EXE.

Exemple 2

nonc : soit PHR un triangle rectangle en P tel que HP = PR = 1 cm. Ce triangle tant

isocle et rectangle, on sait que = = 45. On veut calculer les valeurs exactes du sinus, ducosinus et de la tangente de ces angles de 45.

Calculons la valeur exacte de HR, en appliquantla proprit de Pythagore dans le triangle

rectangle HPR :

HR = HP + PR, soit HR = 1 + 1, donc HR = 2, do HR = cm.


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Daprs les proprits prcdentes cites dans leparagraphe 2, les deux angles et tantcomplmentaires et de mesure 45, on en dduitque sin = cos 0007d623 et donc que

:

.

Triangle rectangle et cercle : appliquer la proprit de Pythagore

En quoi consiste cette proprit clbre et quoi sert-elle ?

La proprit de Pythagore

noncs

Dans un triangle rectangle, le carr de l'hypotnuse est gal la somme des carrs des ctsde l'angle droit.

Remarque : ici, le mot hypotnusedsigne la longueur de lhypotnuse et le mot ct, lalongueur dun ct.

On peut noncer galement la proprit de la faon suivante : soit ABC un triangle, s'il estrectangle en A alors BC=AB+AC. Cette galit est appele galit de Pythagore dans letriangle ABC.

Applications


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Calculer la longueur de l'hypotnuse

nonc : FGH est un triangle rectangle en G. L'unit de longueur tant le centimtre, on aGH = 8 et GF = 15. On veut calculer FH.

Rsolution : le triangle FGH est rectangle en G. La proprit de Pythagore permet d'crire :FH = GF + GH.

En remplaant : FH = 8 + 15 = 289 = 17. Finalement : FH = 17.

Calculer la longueur d'un ct de l'angle droit

nonc : RST est un triangle rectangle en R. L'unit de longueur tant le centimtre, on a

RS = 5 et ST = 8. Combien mesure le segment [RT] ?

Rsolution : le triangle RST est rectangle en R. La proprit de Pythagore permet d'crire :ST = RS + RT.

En remplaant : 8 = 5 + RT soit 64 = 25 + RT. On obtient : RT = 64 25 = 39. DoncRT = 39 6,2 cm.


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La rciproque de la proprit de Pythagore

1-nonc

Soit ABC un triangle. Si les longueurs de ses cts vrifient la relation BC = AB + ACalors ce triangle est rectangle en A.

2-Applications

Dmontrer quun triangle est rectangle

nonc : soit un triangle MNP. L'unit de longueur tant le mtre, MN = 152, NP = 377 etMP = 345. Ce triangle est-il rectangle ?

Rsolution : le ct le plus long est [NP]. Comparons donc NP et MN + MP.

NP = 377 = 142 129 et MN + MP = 152 + 345 = 23 104 + 119 025 = 142 129

On a bien NP = MN + MP.

D'aprs la rciproque de la proprit de Pythagore, ce triangle est rectangle en M.

Dmontrer quun triangle nest pas rectangle

nonc : ABC est un triangle. L'unit de longueur tant le centimtre, AB = 11, BC = 13 etAC = 17. Ce triangle est-il rectangle ?


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Rsolution : si on observe la figure 5, ce triangle parat rectangle mais l'est-il en ralit ?

Le ct le plus long est [AC]. Ce triangle ne peut donc tre rectangle qu'en B. (En effet, dansun triangle rectangle le ct le plus long est l'hypotnuse).

Comparons AC et AB + BC.

AC = 17 = 289 et AB + BC = 11 + 13 = 121 + 169 = 290

AC AB + BC

La proprit de Pythagore (AC = AB + BC) nest pas vraie, donc le triangle ABC nest pasrectangle en B.

Comme il ne pouvait pas tre rectangle en un autre sommet que B, il n'est pas rectangle.

Exemple dapplication

nonc : on a dessin deux triangles rectangles ayant un ct commun. Le triangle ABCrectangle en C et le triangle ABD rectangle en D. Le point I est le milieu de [AB]. Le triangleICD est-il isocle ?


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Rsolution : le triangle ABC est rectangle en C. Il peut donc tre inscrit dans le cercle dediamtre [AB] ; le segment [IC] est donc un rayon de ce cercle. Pour la mme raison, [ID] estgalement un rayon du mme cercle. On a donc IC = ID. Le triangle ICD est bien isocle desommet A.

Dmontrer quun triangle est rectangle

La proprit rciproque

Si un triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamtre [BC], alors ABC est rectangle en A.

Remarque : cette proprit est la rciproque de celle vue dans le paragraphe 1.

Autres formulations :

si le cercle circonscrit un triangle ABC a pour diamtre le ct [BC], alors ABC estrectangle en A ;

si dans un triangle ABC, le milieu de [BC] est quidistant des trois sommets, alors ABC estrectangle en A.

2.2. Exemple dapplication

nonc : ABC est un triangle non rectangle. Le cercle de diamtre [BC] recoupe la droite(AB) en I et la droite (AC) en J. On va dmontrer que les droites (CI) et (BJ) sont des hauteursdu triangle ABC.


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Rsolution : le triangle BCI est inscrit dans le cercle de diamtre [BC]. Il est donc rectangle enI. La droite (CI) passe par le point C et est perpendiculaire la droite (AB) ; cest donc unehauteur du triangle ABC.

En considrant le triangle BCJ, on dmontre de la mme faon que (BJ) est galement unehauteur du triangle ABC.

On vient de dmontrer que dans un triangle, deux sommets et les pieds des hauteurs issues deces sommets sont cocycliques (cela veut dire quils se trouvent sur un mme cercle).

Triangle rectangle et cercle : dfinir et utiliser le cosinus dun angle

Soit un angle aigu dun triangle rectangle, le rapport entre le ct adjacent et lhypotnuse esttoujours le mme, quelle que soit louverture de langle : ce nombre est appel cosinus de cetangle. Mais quelle est son utilit ?

Cosinus d'un angle aigu

1-Dfinition

ct adjacent l'angle qui n'est pas l'hypotnuse ).

Remarque : le cosinus delangle ne dpend que delouverture de langle.

Pour sen persuader,tudions la figure suivante.


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On a un angle aigu : . Les triangles ABC et ABC sont rectangles respectivement en B et B.

Les droites (BB) et (CC) tant parallles, on reconnat une situation de Thals.

On voit donc que le rapportAB/AC ne dpend pas de la

position de C sur la demi-droite [Ax). Ce qui fait qu'on

peut le calculer dans n'importe quel triangle ABC rectangle en B avec C sur [Ax) et B sur[Ay).

On convient de l'appeler le cosinus de l'angle aiguxy.

2. Proprits

Le cosinus d'un angle aigu est compris entre 0 et 1, car lhypotnuse dun triangle rectangleest le plus grand des trois cts.

Voici quelques valeurs particulires :

2. Applications

2.1. Calculer des longueurs

nonc : soit RST un triangle rectangle en R. L'unit de longueur tant le centimtre, ST = 7.De plus = 35. On veut calculer une valeur approche de RS, puis de RT 0,1 cm prs.


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Rsolution : le triangle RST est rectangle en R. On peut donc crire :

En multipliant chaque membre par 7, ilvient : SR = 7 cos 35.

Avec une calculatrice scientifique :

on vrifie d'abord, qu'elle est bien en mode degr ;

on tape ensuite la squence : 7 35 (ou 7 35 ). Laffichage indique5,73

Finalement, arrondi 0,1 cm prs, le segment [SR] mesure 5,7 cm.

Pour calculer RT, on pourrait utiliser la proprit de Pythagore mais ce serait maladroit car onne connat qu'une valeur approche de SR.

Il vaut mieux calculer l'angle . En effet et sont complmentaires donc = 90 35 = 55.

Pour la mme raison que ci-dessus, on a

.

Finalement, 0,1 cm prs [ST] mesure 4,0 cm. (On laisse parfois le 0 pour rappeler que lersultat est 0,1 prs).

Calcul des anglesnonc : FGH est un triangle rectangle en G. L'unit de longueur tant le centimtre, FG = 8et FH = 11. On veut calculer la mesure (arrondie 0,1 prs) de .

Rsolution :FGH est rectangle en G. On peut donc crire

Le problme revient donc trouver un angleconnaissant son cosinus.

Avec une calculatrice scientifique :


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on vrifie d'abord, qu'elle est bien en mode degr ;

on tape ensuite la squence : ( 8 11 ) (ou ( 8 11) ).

L'affichage indique 43,34

Finalement, arrondi 0,1 prs, l'angle 0007d609 mesure 43,3.

Remarques :

sur certaines calculatrices, la touche est remplace par ;

sur d'autres, les deux touches et (ou et ) sont remplaces par une seule

.

Triangle rectangle et cercle : dmontrer quun triangle est rectangle

On sait quun triangle rectangle possde des proprits relatives ses angles, ses longueurset quil peut sinscrire dans un cercle. Comment peut-on utiliser ces proprits pour dmontrerquun triangle est rectangle ?

Le triangle a deux angles complmentaires

1. Proprit

Si un triangle a deux angles complmentaires (donc si la somme de leurs ouvertures est gale 90), alors il a un angle droit.

2. Exemple

nonc : ABCD est un paralllogramme. La bissectrice de l'angle BD coupe la bissectricede l'angle A C en I. On veut dmontrer que le triangle ADI est rectangle.


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Rsolution : on sait que, dans un paralllogramme, deux angles conscutifs sontsupplmentaires.

Donc BD + A C = 180.

De plus BD = 2ID et A C = 2I A.

On en dduit que 2ID et 2I A = 180, soit en simplifiant ID + I A = 90.

Les angles ID et I A sont donc complmentaires.

Le triangle IAD, qui a deux angles complmentaires (ID et I A), est rectangle en I.

Remarque :si on trace les quatre bissectrices du paralllogramme ABCD, le quadrilatredtermin par les quatre points d'intersection des bissectrices est un rectangle.

Le triangle est inscrit dans un cercle dont le diamtre est un ct du triangle

1. Proprit

Si un triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamtre [BC], alors ABC est rectangle en A.

2. Exemple

nonc :soit un cercle Cde centre O. Soit A un point extrieur au disque limit par ce cercle.Le cercle de diamtre [OA] coupe Cen D et E. On veut dmontrer que le triangle OAD est

rectangle.


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Rsolution : le triangle OAD est inscrit dans le cercle de diamtre [AO], qui est un de ses

cts. Il est donc rectangle en D.

Remarques : la droite (AD) est perpendiculaire en D au rayon [OD]. La droite (AD) est doncla tangente Cau point D.

On peut dmontrer de mme que le triangle AEO est rectangle en E, donc la droite (AE) esttangente Cau point E.

Le triangle vrifie la rciproque de la proprit de Pythagore

1. Proprit

Soit ABC un triangle. Si les longueurs de ces cts vrifient la relation : BC = AB + AC,alors le triangle est rectangle en A.

2. Exemple

nonc :soit un triangle DEF. L'unit de longueur tant le centimtre, DE = 9, EF = 21 etDF = 19. Ce triangle est-il rectangle ?

Rsolution : le ct le plus long est [EF]. Comparons donc EF et DE + DF.


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EF = 21 = 441 et DE + DF = 9 + 19 = 81 + 361 = 441

On a bien : EF = DE + DF.

D'aprs la rciproque de la proprit de Pythagore, ce triangle est rectangle en D.

Triangle rectangle et cercle : dterminer la distance dun point une droite

On cherche tracer un segment le plus court possible joignant un point une droite. Faut-ilutiliser une querre et, si oui, pourquoi ?

1. La distance d'un point une droite

Proprit

Soit une droite det A un point du plan. Soit H le pied de la perpendiculaire dpassant par A.H est le point de dle plus proche de A.

On voit sur la figure que, si M est un point de la droite distinct de H, alors AM > AH.

Dmonstration

Notons d'abord que la proprit est vraie si A est surd. En effet, dans ce cas de figure, H = Adonc AH = 0 et si M est distinct de H (et donc de A), alors AM > 0.

Considrons ensuite le cas o A n'appartient pas d. Reprenons la figure 1 et construisons lesymtrique A de A par rapport d.


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Par construction, la droite (AA) est perpendiculaire d. Les points A, H et A sont doncaligns et H est le milieu du segment [AA]. On a donc AA = 2AH. (1)

De plus M est sa propre image par la symtrie axiale d'axe det comme une symtrie axialeconserve les longueurs, AM = AM. (2)

Considrons les trois points A, A et M. L'ingalit triangulaire permet d'crire :AA AM + MA.

En utilisant les galits (1) et (2), il vient : 2AH 2AM, do en simplifiant par 2 : AH AM.

Ce que l'on voulait dmontrer.

Dfinition

Soit une droite d. Soit A un point et H le pied de la perpendiculaire dpassant par A.

La longueur AH s'appelle la distance du point A la droite d.

On a vu dans le paragraphe 1.1. que c'est la plus petite distance entre A et un point de d.

Consquences

Lhypotnuse du triangle rectangle

Proprit : soit un triangle ABC rectangle en A, l'hypotnuse [BC] est le ct le plus long.

En effet :


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la distance de B la droite (AC) est BA donc BC > BA ; de mme : BC > AC.

Ce qui montre bien que l'hypotnuse est plus longue que chacun des deux autres cts.

Lensemble des points situs une distance donne d'une droite donne

Proprit : soit une droite det run rel positif. L'ensemble des points qui se trouvent ladistance rde dest constitu de deux droites parallles d.

Application : soit det ddeux droites scantes. Trouver les points se trouvant 2 cm de det 3 cm de d.

On a trac en rouge l'ensemble des points situs 2 cm de det en vert l'ensemble des pointssitus 3 cm de d.

Ces quatre droites se coupent en A, B, C et D.


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Ces quatre points se trouvent 2 cm de det 3 cm de d. Ils rpondent donc au problmepos.

Triangles : appliquer le thorme de Thals :

1. nonc du thorme

Ce thorme permet de calculer des longueurs dans certaines configurations.

Dans la figure 1, ABC est un triangle. M se trouve sur le segment [AB] et N sur lesegment [AC]. Daprs le thorme de Thals, si les droites (BC) et (MN) sont parallles,alors on a lgalit :

Remarques :

Le thorme reste vrai dans le cas de la figure 2.


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Le thorme 2 de la droite des milieux est un casparticulier de ce thorme. Voici un moyen pratique pour se souvenir de ce thorme (avec dautres points) :

2. Applications du thorme

2.1. Calculer des longueurs

nonc : considrons la figure 4.


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RST est un triangle. RS = 5 cm ; RT = 6 cm et ST = 7 cm. Le point M est sur le segment [RS]et RM = 3 cm. La parallle (ST) passant par M coupe le segment [RT] en N. On veutcalculer les longueurs RN et MN.

Rsolution : M est sur le segment [RS], N sur le segment [RT] et les droites (MN) et (ST)sont parallles. On reconnat donc une situation de Thals.

En conclusion : RN mesure3,6 cm et MN mesure 4,2 cm.

2. 2. Vrifier que des droites sontou non parallles

Dans la figure ci-dessousAB = 7 cm, AC = 11 cm,

AM = 5 cm et AN = 8 cm.

Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallles ?


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Sur le dessin, les droites (MN) et (BC) paraissent parallles. Le sont-elles vraiment ?

Si les droites (MN) et (BC) sont parallles, alors on a une situation de Thals et on doit avoir :

Triangles : appliquer les thormes relatifs aux milieux de deux cts dun triangle

Quand on sintresse aux deux thormes relatifs aux milieux des cts dun triangle, onconsidre non seulement les milieux de deux cts dun triangle, mais aussi la droite qui lesrelie. Ces thormes permettent de dmontrer que des points sont les milieux de segments ouque des droites sont parallles entre elles.

1. La droite des milieux dun triangle

1.1. Thorme 1

Dans un triangle ABC, la droite passant par les milieux B de [AC] et C de [AB] estparallle au troisime ct [BC]. De plus, la longueur BC est gale la moiti de la

longueur BC.


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Remarque : la droite (BC) sappelle la droite des milieux dans le triangle ABC.

1.2. Exemple

nonc : soit ABC un triangle. A est le milieu du ct [BC], B celui de [AC] et C celui de[AB]. On veut dmontrer que le quadrilatre ABAC est un paralllogramme.

Dmonstration : la droite (AB) passe par les milieux de [BC] et de [AC]. Elle est doncparallle la droite (AB). Pour la mme raison, (AC) est parallle (AC). Le quadrilatreABAC, qui a ses cts opposs parallles deux deux, est bien un paralllogramme.

2. Une application du thorme 1 : un problme dalignement

nonc : ABCD est un trapze de bases [AB] et [CD]. I, J, K et L sont les milieux respectifsdes segments [AD], [BC], [AC] et [BD]. On veut dmontrer que les quatre points I, J, K et Lsont aligns.

Dmonstration : dans le triangle ABD, la droite (IL) est une droite des milieux donc (IL) est

parallle (AB). De mme, dans le triangle BCD, la droite (LJ) est parallle (DC) et doncaussi (AB). Les droites (IL) et (LJ) sont parallles car chacune delles est parallle (AB) ;


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elles ont un point en commun : L. On en dduit quelles sont confondues. Cela prouve que lespoints I, L et J sont aligns.

En tudiant, de la mme faon, les triangles ABC et ACD on peut aussi dmontrer que lespoints K, I et J sont aligns. En conclusion, les points I, J, K et L appartiennent la mmedroite (IJ) ; ils sont donc aligns.

3. la droite passant par le milieu dun ct et parallle un ct

3.1. Thorme 2

Dans un triangle ABC, la droite passant par le milieu B du ct [AC] et parallle au ct[AB] passe par le milieu C du troisime ct [AC]. Bien sr, on a encore : BC = BC.

3.2. Exemple

nonc : dans la figure 5, AI = JB et D est le symtrique de B par rapport C. La parallle la droite (DI) passant par C coupe le segment [AB] en J. On veut dmontrer que J est le milieudu segment [IB] et que AI = IJ = JB.


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Dmonstration : on remarque tout dabord que IB = JA, donc IB = 2AI et C est le milieu dusegment [BD]. Considrons maintenant le triangle IDB. La droite (CJ) passe par le milieu duct [BD] et est parallle au ct [DI]. Le thorme 2 permet daffirmer quelle coupe letroisime ct en son milieu. J est donc le milieu du segment [IB] et on a IJ = JB . Or commeIB = 2AI, on a bien : AI = IJ = JB.

.

2. Complments

2.1. Dmontrer la formule

La figure 5 explique sur un exemple la formule du calcul de laire.

Laire du paralllogramme est gale b h. Laire de chaque triangle est gale la moiti de

laire du paralllogramme, cest--dire :

2.2. Calculer une hauteur

ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 4 cm, BC = 5 cm et AC = 3 cm. On veutcalculer la hauteur AH.


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La hauteur AH est gale 2,4 cm.

B/ Etudier les cercles :

1- Le cercle inscrit

Dfinition :Le cercle inscrit est le cercle tangent aux cts du triangle. Son centre est situ l'intersection des bissectrices.


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Construire la bissectrice du premierangle.

Construire la bissectrice du deuximeangle.

Tracer la bissectrice du dernier angle.Les trois bissectrices sont

concourantes en I.


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Le point d'intersection est le centre ducercle inscrit dans le triangle.

Pour trouver le rayon, il faut tracer laperpendiculaire l'un des cts

passant par I.

Cette perpendiculaire coupe le ct enun point H.

Le rayon du cercle inscrit est [IH]

2- Le cercle circonscrit :

Dfinition :Le cercle circonscrit est le cercle passant par les trois sommets du triangle. Soncentre est situ l'intersection des mdiatrices.


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Tracer la mdiatrice du segment [AB]. Elle passepar le milieu de [AB] not I

Tracer la mdiatrice du segment [AC]. Elle passepar le milieu de [AC] not J

Tracer la mdiatrice du segment [BC]. Elle passepar le milieu de [BC] not K.


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Donc O est point d'intersection des troismdiatrices du triangle ABC.

(OI) est la mdiatrice de [AB], donc A et B sontquidistants de O : OA = OB(OJ) est la mdiatrice de [AC], donc A et C sontquidistants de O : OA = OC(OK) est la mdiatrice de [BC] , donc B et C sontquidistants de O : OB = OC

Finalement OA = OB = OC.Donc les trois points A, B et C appartiennent au mme cercle que l'on appellera cercle circonscrit au

triangle ABCIl suffit de prendre le compas, placer la pointe sur O et mesurer la distance de O A pour tracer le

cercle.

Cas N1 : Si les trois angles sont aigus.


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Cas N2 : Si un des angles est obtu.

Proprit :

Les trois mdiatrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est la mmedistance des trois sommets du triangle et c'est le seul point ayant cette proprit.

Il est donc le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle.

Remarques :

ce cercle est appel cercle circonscrit au triangle. On dit quelquefois : le triangle est inscritdans le cercle ; le mot circonscritvient du latin et signifie : crit autour (de mme, inscritsignifie : crit dans ) ;

en pratique, il suffit de construire deux mdiatrices pour trouver le centre du cerclecirconscrit.


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- Position du centre du cercle circonscrit

Dans la figure 2, le centre du cercle circonscrit se trouve l'intrieur du triangle. En revanche,si on observe la figure 3, il est l'extrieur du triangle.

Dans la figure 4, le centre du cercle circonscrit est le milieu du ct [BC]. On peut vrifierque le triangle est rectangle en A.

En rsum :

si le triangle a tous ses angles aigus, le centre du cercle circonscrit est lintrieur dutriangle ; si le triangle a un angle droit, le centre du cercle circonscrit est le milieu de lhypotnuse ; si le triangle a un angle obtus, le centre du cercle circonscrit est lextrieur du triangle.


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C/Etudier les polygones

1-Dfinitions :

Un polygone est constitu dau moins trois cts.Un polygone est rguliersi ses cts ainsi que ses angles ont mme mesure.Une diagonale dun polygone est une droite (ou un segment) qui passe par deuxsommets nonconscutifs.Une mdiane dun polygone qui a quatre sommets (quadrilatre) est une droite (ou unsegment) qui passe par les milieux de deux cts opposs. Si le polygone a troissommets alors il sagit dun triangle et la mdiane dun triangle est une droite qui

passe par un sommet et par le milieu du ct oppos (voirdroites particulires).

Sur la figure de gauche ci-dessus :A, B, C, sont des sommets ; les sommets A et B sont conscutifs ; [AB] et [DC]sont des cts opposs (pas dextrmits communes) alors que [AB] et [BC] sont descts conscutifs (une extrmit commune qui est B). ABCD est un quadrilatre, [MP]est lune des deux mdianes (lautre passe par les milieux de [AD] et [BC] ).

Sur la figure de droite :ABCDE est un polynme, [AD] et [AC] sont deux des quatre diagonales (les deuxautres sont [BE] et [BD] ).

Cas particuliers :Un triangle est un polygone 3 cts. Le triangle quilatral est rgulier (le triangleisocle ne lest pas : ses cts nont pas tous la mme mesure).Un quadrilatre est un polygone quatre cts. Le carr est un quadrilatre rgulier (lelosange ne lest pas : ses angles ne sont pas tous de mme mesure).

Exemples :Dans lordre croissant du nombre de cts (ou dangles) :

Polygones

Irrguliers


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Rguliers

2-Polygones rguliers

Construction exacte du triangle quilatralTriangle quilatral :polygone 3 cts de mme longueur et 3 angles au sommet de 60

Le triangle quilatral aurait aussi pu s'appeler "trigone rgulier".

Rappel de la construction de l'hexagonergulier:

Tracer un cercle de centre O et de rayon OA.Reporter la longueur OA sur le cercle partirde A.Le polygone obtenu est un hexagone rgulier,

inscrit dans le cercle.Construction du triangle quilatral partir de l'hexagone rgulier :Il suffit de relier les sommets de l'hexagonedeux deux.

Le polygone obtenu est un trianglequilatral, inscrit dans le cercle.


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Constructions exactes du carr

Carr :polygone 4 cts de mme longueur

et 4 angles au sommet gaux 90

Construction du carr partir d'un de ses cts

Un segment [AB] tant donn,

tracer la perpendiculaire (AB) en A.Puis tracer le cercle de centre A et de rayonAB.Soit D le point d'intersection entre le cercle etla perpendiculaire.

La perpendiculaire au segment [AB] en B etla perpendiculaire au segment [AD] en D secoupent en C.

La figure ABCD obtenue est le carr de ctAB.


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Construction du carr inscrit dans un cercle

Deux points O et A tant donns,

tracer le cercle de centre O et de rayon OA.

Tracer le diamtre [AB], puis la mdiatrice de[AB].

Les quatre points d'intersection avec le cercleforment un carr inscrit dans ce cercle.


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Constructions exactes du pentagone rgulier

Pentagone rgulier : polygone 5 cts de mme longueuret 5 angles au sommet gaux 108C'est une structure essentielle en art, fortement symbolique.

Une construction du pentagone rgulier partir d'un rectangle d'Or :

Tracer un cercle de centre O et de diamtre[CR]. Soit H le milieu de [OC].La mdiatrice de [CR] coupe le cercle en A et

N.Le cercle de centre H et de rayon HA coupe[OR] en E.OA et CE reprsentent donc la largeur et lalongueur d'un rectangle d'Or.

Reporter la longueur AE sur le cercle partirdu point R pour obtenir les sommets du

pentagone rgulier.


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Une autre construction du pentagone rgulier partir d'un rectangle :

Tracer un cercle de centre O et de diamtre[CR]. Soit H le milieu de [OC].

La mdiatrice de [CR] coupe le cercle en A etN.Le cercle de centre H et de rayon HA coupe[OR] en E.OA et CE reprsentent donc la largeur et lalongueur d'un rectangle d'Or.

Reporter la longueur OE sur le cercle partirdu point R pour obtenir les sommets d'undcagone rgulier.

Il suffit alors de relier les points deux deuxpour obtenir un pentagone rgulier.

Une troisime construction du pentagone rgulier :

Tracer un cercle de centre O et de diamtre[CR].Soit H le milieu de [OC].La mdiatrice de [CR] coupe le cercle en A et

N.Le cercle de centre H et de rayon HA coupe[OR] en E.

OA et CE reprsentent donc la largeur et lalongueur d'un rectangle d'Or.


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La mdiatrice de [OE] coupe le cercle en L etL'.[RL] et [RL'] sont deux cts conscutifsd'un pentagone rgulier inscrit dans le cercle.

Reporter la longueur LR sur le cercle partirde L pour obtenir les autres sommets du

pentagone rgulier.

Une construction du pentagone rgulier :

Tracer un cercle de centre O, puis deuxrayons perpendiculaires en O, [OA] et [OC].

Soit H le milieu de [OC]. Construire le cercle ' de centre H et de rayon HO. Le segment[AH] coupe ' en D.

Le cercle de centre A et de rayon AD coupe lecercle en M et N. [MN] est un des cts dupentagone rgulier inscrit dans le cercle .

Il suffit donc de reporter la longueur MN surle cercle partir de M.

On obtient ainsi un pentagone rgulier.


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Une construction du pentagone rgulier, d'aprs Maurice Starck :


Soit H le milieu de [OC]. Construire le cercle ' de centre H et de rayon HO. La droite(AH) coupe ' en D et E.

Le cercle de centre A et de rayon AD coupe

le cercle

en M et N. [MN] est un des ctsdu pentagone rgulier inscrit dans le cercle .

Le cercle de centre A et de rayon AE fournitdeux autres sommets du pentagone.

Le cinquime sommet du pentagone est lepoint diamtralement oppos A.

On obtient ainsi un pentagone rgulier.

Une construction gyptienne du pentagone rgulier :

Tracer un cercle de centre O et de diamtre [AB].Tracer le cercle de diamtre [OA], puis celui de diamtre[OB].La perpendiculaire (AB) passant par O coupe le

premier cercle en K et L.

Soit I le centre du cercle de diamtre [OA]. La droite (LI)coupe ce cercle en R et S.

Tracer le cercle de centre L et de rayon LR, puis sonsymtrique par rapport la droite (AB).

Cette figure est la reprsentation de l'il d'Amon vue par lesgyptiens.Les deux arcs de cercle de couleur mauve forment ce que lesmathmaticiens appellent une lentille.


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L'arc de cercle suprieur de la lentille coupe le premier cercleen deux points C et D.

[KC] et [KD] sont deux cts conscutifs du pentagonergulier inscrit dans le premier cercle.

Il suffit de reporter la longueur KC sur le cercle pour obtenirtous les cts du pentagone rgulier.

Une construction d'architecte du pentagone rgulier :

Tracer le cercle de centre A et de rayon AB,puis la perpendiculaire (AB) passant par A.Soit R un des points d'intersection entre lecercle et la droite.

Soit I le milieu de [AB]. Le cercle de centre Iet de rayon IR coupe la demi-droite [BA) enS.

Le cercle de centre B et de rayon BS coupe lecercle de centre A et de rayon [AB] en E.

Il coupe aussi la mdiatrice de [AB] en D.

Les segments [BA], [AE], [ED] sont trois

cts conscutifs du pentagone rgulier quenous avons commenc tracer.

Tracer le cercle de centre D et de rayon DE,puis celui de centre B et de rayon BA.Ces deux cercles possdent deux pointsd'intersection. Seul le point C permetd'obtenir un polygone convexe.

ABCDE est un pentagone rgulier.


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Construction exacte de l'hexagone rgulierHexagone rgulier : polygone 6 cts de mme longueur et 6 angles au sommet de 120

L'hexagone rgulier est un des polygones les plus utiliss dans les tracs d'architecture.C'est aussi un des plus faciles construire.

Tracer un cercle de centre O et de rayon OA.

Reporter la longueur OA sur le cercle partirde A.

Le polygone obtenu est un hexagonergulier, inscrit dans le cercle.

Construction exacte de l'octogone rgulierOctogone rgulier : polygone 8 cts de mme longueur et 8 angles au sommet de 135

Rappel de la construction du carr :

Tracer un cercle de centre O et de rayon OA.Tracer un diamtre [AB], puis la mdiatricede [AB].Les quatre points d'intersection avec le cercleforment un carr inscrit dans le cercle.

La mdiatrice de chaque ct du carr coupele cercle en deux points.

Il ne reste qu' relier les huit points obtenussur le cercle.Le polygone obtenu est un octogone rgulier,inscrit dans le cercle.


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Constructions exactes du dcagone rgulier

dcagone rgulier : polygone 10 cts de mmelongueur et 10 angles au sommet gaux 144

La construction rigoureuse repose sur le rectangle

Une construction du dcagone rgulier partir d'un rectangle d'Or :

Tracer un cercle de centre O et de diamtre[CR]. Soit H le milieu de [OC].La mdiatrice de [CR] coupe le cercle en A eten un deuxime point N.Le cercle de centre H et de rayon HA coupe[OR] en E.OA et CE reprsentent donc la largeur et lalongueur d'un rectangle d'Or.

Reporter la longueur OE sur le cercle partir

du point R pour obtenir les sommets d'undcagone rgulier.


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Une autre construction du dcagone rgulier :


Soit H le milieu de [OC]. Construire le cercle ' de centre H et de rayon HO. Le segment[AH] coupe ' en D.

Le cercle de centre A et de rayon AD coupe lecercle en M et N. [MA] est un des cts dudcagone rgulier inscrit dans le cercle .

Il suffit donc de reporter la longueur MA surle cercle partir de M.

On obtient ainsi un dcagone rgulier.

Construction d'un rectangle d'OrTracer un carr COAD.

Soit H le milieu de [CO].

Construire le cercle de centre H et de rayonHA. Il coupe la demi-droite [CO) en E.

Soit F le quatrime sommet du rectangleDCEF.

DCEF est un rectangle d'Or. Cela signifie quele rapport de la longueur par la largeur estgal au nombre d'Or. (le nombre d'Or est not )

1,618 donc DF/DC 1,618

Le rectangle d'Or est utilis dans la construction dupentagone rgulier, du dcagone rgulier,

de l'icosagone rgulier, dupolygone rgulier 40 cts.


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Construction de l'icosagone rgulier partir du rectangle d'OrIcosagone rgulier : polygone 20 cts de mme longueur et 20 angles au sommet de 162

Tracer un cercle de centre O et de diamtre[CR]. Soit H le milieu de [OC].La mdiatrice de [CR] coupe le cercle en A eten un autre point N.Le cercle de centre H et de rayon HA coupe[OR] en E.OA et CE reprsentent donc la largeur et lalongueur d'un rectangle d'Or.

En reportant la longueur OE sur le cercle partir du point R, on obtient le point S.La mdiatrice de [SR] coupe le cercle en I.

L'arc RI est la vingtime partie du cercle.Autrement dit, le segment [RI] est un ct del'icosagone rgulier inscrit dans le cercle.Reporter cinq fois cette longueur sur le cercle,afin d'aboutir au point A.

Construire le symtrique des cinq pointsprcdemment obtenus par rapport la droite

(AO).

La construction du symtrique des dix pointsprcdemment obtenus par rapport ladroite (CR) permet d'obtenir la division ducercle en vingt parties gales. L'icosagone

peut tre trac en joignant ces vingt points.

Cette construction est utilise pour le tracd'une coupole 20 caissons, que l'onretrouve dans la chapelle Nord du Panthonde Soufflot, Paris.


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D/ Calcul des surfaces et des volumes des pices gomtriques

1- Les Primtres

Dfinitions:

Un primtre mesure le contour d'une figure.

L'unit de mesure est le mtre (m).

Les polygones:Les triangles, les rectangles, les paralllogrammes sont des polygones.

Le primtre d'unpolygone est gal la somme des longueurs de ses cts.

Remarques:

Pour un triangle quilatral il est plus simple de calculer: P=3.co c est la longueur d'un ct.

Pour un paralllogramme (ainsi que le cas particulier durectangle) vous utiliserez la formule: P=(L+l).2 o L est lalongueur, l est la largeur. Notez que L+l est appel demi-

primtre.

Pour un losange (donc pour un carr aussi) la formule est: P=4.co c est la longueur d'un ct.

Les cercles:

La formule est: P=2..Ro vaut environ 3,14 et Rest la mesure d'un rayon.

2-Les Aires

Dfinitions:

Une aire mesure une surface.

L'unit de mesure des aires est le mtre carr (m2).


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Les triangles:

Quelconques:

Dans la formule le ct [BC] est considr comme la base. Ladroite perpendiculaire cette base et passant par le sommetoppos A est la hauteurrelative cette base.

Il y a trois cts dans un triangle et donc trois bases possiblesavec leur hauteur relative. D'o trois formules.

Triangle rectangle:

Nous pouvons bien sr utiliser l'une des formules du triangle

quelconque, condition d'avoir les lments ncessaires(longueurs de ct, de hauteur). Il est souvent plus faciled'utiliser le fait que le triangle rectangle est la moiti d'unrectangle. La formule utilise les longueurs des cts de l'angledroit ..

Remarque:

Les aires des triangles isocles et quilatraux se calculent comme pour lestriangles quelconques. Certains triangles isocles sont aussi rectangles...


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Les quadrilatres:

Les paralllogrammes:

Il y a plusieurs faons de calculer l'aire d'un paralllogramme.Tout dpend des dimensions connues. Il est ncessaire deconnatre la longueur d'un ct (pris comme base) et la hauteurqui lui est relative. Par exemple: si AB est connu il fautconnatre la hauteur qui passe par A (comme [AH]) ou par B,

par C ou par D ou encore par n'importe quel point du ct (DC)ou (AB). Toutes ces hauteurs sont gales.

La formule gnrale est: Base x Hauteur

Le calcul de l'aire d'un paralllogramme est dduit de celui del'aire d'un rectangle.

Sur la figure ci-contre: les triangles AHD et BKC sontsuperposables de mme aire. Calculer l'aire de ABCD revient calculer l'aire du rectangle ABKH: AB*AH.

Cas particuliers: les rectangles.

Cas particulier: le losange.

Si nous connaissons la longueur de ses diagonales, nouspouvons dcouper un losange en quatre triangles rectangles


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superposables (dans un losange, les diagonales se coupentperpendiculairement en leur milieu).

Sur la figure ci-contre: l'aire du losange ABCD est gale quatre fois l'aire de AOB. Soit:

4x(OAxOB)/2 ou 2(OAxOB)

ou encore: ACxOB (car 2OA=AC).

Bien entendu, rien ne vous empche d'utiliser la formulegnrale des paralllogrammes si vous en connaissez leslments (une base et sa hauteur relative)

Les trapzes :

Quelque soit le type de trapze (quelconque, isocle ourectangle) la formule utiliser est toujours la mme.

[AB] et [DC] sont appeles petite base (b) et grande base (B).[AH] est une hauteur (h). La formule est:

(B+b)xh/2

La distance entre les deux bases (hauteur du trapze) n'est pasforcment toujours donne par la mesure du seul [AH] comme

pour toute distance entre deux droites parallles.


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Les quadrilatres quelconques :

Dans ce cas il est ncessaire de dcouper la surface en surfaces

de base.

Sur l'exemple ci-contre

deux droites parallles deux cts du quadrilatre (la premire tre trace est celle qui passe par A) permettent de partager lequadrilatre en un rectangle, un triangle rectangle et un trianglequelconque.

Une autre faon serait de tracer une droite parallle (AD) etpassant par B.

Pour les calculs il est videmment ncessaire de connatrecertains lments gnralement donns par le contexte du

problme.

Les polygones:

Lespolygones sont des figures planes ayant plus de deux cts (les triangles etles quadrilatres sont des polygones). Nous donnons ici un exemple de

polygone 5 cts. Pour en calculer l'aire il est ncessaire de partager sasurface en polygones dont nous connaissons une formule (tels que: triangles,quadrilatres).


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Pour enduire d'un produit bleu le mur de cette mansarde il est d'abordncessaire d'en connatre l'aire afin de calculer la quantit de produit acheter.

Nous avons les dimensions en mtres et nous savons que les angles en A et Bsont droits.

Nous pouvons dcomposer la surface de diffrentes manires (tracs en gris):

1 En un rectangle ABFE, un triangle rectangle EID et untrapze rectangle CDIF.

2 En un rectangle EIHA, un trapze rectangle BCDH et untriangle rectangle EID.

3 En deux rectangles EIHA et IFBH, un triangle rectangle EIDet un trapze rectangle CDIF.

4 En un trapze rectangle AHDE, un rectangle BFIH et untrapze rectangle CDIF.

5 En deux trapzes rectangles AHDE et BCDH.

Avec les donnes du problme nous pouvons utiliser n'importe quelle manire,la plus simple tant prfrable! Les dimensions manquantes sont calcules parsoustraction. Par exemple pour calculer l'aire du triangle rectangle EID:EI=3,1m et ID=HD-HI soit ID=4,3-1,7=2,6m. Et aire EID=(IE*ID):2. Noustrouvons 4,03m2.

En utilisant la cinquime manire nous trouvons:

Aire AHDE=(AE+HD)*AH/2 soit 9,3 m2

Aire BCDH=(CB+DH)*HB/2 soit 9,125 m2

Aire du mur enduire=9,3+9,125=18,425 m2

Un conseil: si vous n'tes pas l'aise avec ces calculs d'aires, entranez vous eneffectuant les calculs avec les autres manires. Vous devez trouver exactement

la mme aire bien sr.

Disques et secteurs:

L'aire d'un disque est donne par la formule xR2 o est souvent pris gal 3,14 (pour plus de prcision voir la touche correspondante de votrecalculatrice) et R est la mesure du rayon du disque.


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Un secteur de disque est dtermin par un angle au centre (le sommet del'angle est au centre du disque). Un demi-disque, un quart de disque sont descas particuliers de secteurs de disque. Leur aire est respectivement .R2 /2 et.R2 /4. Voici un exemple de calcul de l'aire d'un secteur de disque dont l'angleau centre mesure 110 et le rayon 3cm:

L'aire du secteur estproportionnelle la mesure de l'angle au centre. Pour le

disque complet l'aire est *R2 et correspond un angle au centre de 360. Si sest l'aire du secteur correspondant l'angle au centre de mesure 110 alors les

produits en croix permettent d'crire:

*R2*110=360*set s= (*R2*110)/360

Si le rayon R mesure 3cm alors s=8,64cm2 environ ( 1/100 de cm2 prs ou1mm2 prs).Si au lieu de 110 nous avons un angle de mesure quelconque a alors la

formule de l'aire du secteur circulaire d'angle au centre a et de rayon Rest:

( .R2.a)/360.

Aires latrales :

Dfinition:

L'aire latrale d'un solide est la somme des aires des faces qui ne sont pas les

bases.

L'aire totale des faces d'un solide est la somme de l'aire latrale et des aires desbases. Si il n'y a pas de base (cas de la sphre) l'aire latrale est l'aire totale.

3-Volumes :

L'unit de mesure d'un volume est le mtre cube (m3)


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Les prismes droits:

Dfinitions: Un prisme droit est un solide qui possde deux bases parallles

(contenues dans deux plans parallles sur la figure ci-dessous) et dont les faceslatrales sont des rectangles.

Le prisme est droit lorsque ses artes latrales (en vert sur le dessin) sontperpendiculaires aux deux bases.

La hauteur d'un prisme est la distance entre les deux plans de base. Pour unprisme droit la hauteur est gale la longueur d'une arte latrale.

Exemples:

Fig 1: leparalllpipde rectangle(ou pav droit)

Fig 2: le cube

Fig 3: prisme droit basetriangulaire.

Fig 4: prisme droit basequelconque.

Calcul de l'aire latrale:

Il suffit d'ajouter toutes les aires des faces latrales. Ces aires secalculent l'aide de la formule de l'aire du rectangle.

Pour le cube il s'agit d'aires de carrs.

Pour le pav droit, les faces latrales sont de mme aire deux deux.

Calcul du volume :

Quelque soit le prisme son volume se calcule avec la formule:V=B.h o B est l'aire de la base (qui est calcule l'aire desformules sur les polygones comme le triangle, le rectangle,..), hest la hauteur du prisme.


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Pour le cube, la formule devient: V=c3 o c est la longueurd'une arte.

Pour le pav droit, la formule s'crit: V=L.l.h o L est lalongueur, l est la largeur et h est la hauteur du pav droit.

Le cylindre droit:

Les bases sont des disques de mme rayon R.

La face latrale se "droule" en formant un rectangle dont lalargeur est la hauteurh du cylindre et la longueur le primtrede l'un des disques 2..R. L'aire de cette face latrale est donc:

A=2 .R.h

d'aprs la formule utilise pour l'aire d'un rectangle.

Le volume se calcule avec la formule:V=.R2.h

Remarque: .R2 est l'aire de la base, donc laformule du volume d'un cylindre peut s'crirecomme la formule du volume d'un prisme:V=B.h

D'autres solides:

Les pyramides:les faceslatrales sont des triangles.L'aire latrale se calcule enajoutant les aires de cestriangles.

Le volume d'une pyramide

Les sphres:l'aire de lasphre est donne par laformule:

4x xR2

o R est le rayon de la

Les cnes:l'aire latrale d'uncne est donne par la formule:

x R x h

ou R est le rayon du disque debase et h la longueur d'une


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est calcul avec:

V=1/3.B.h

o B est l'aire de la base

(triangle, rectangle,..) et hla hauteur de la pyramide.

sphre.

Pour le volume d'une boule,utilisez:

V=4/3..R3

gnratrice.

La formule, pour le volume d'uncne est la mme que la formule

pour le volume d'une pyramide,

bien que le calcul de l'aire de labase soit totalement diffrent:

V=1/3.B.h

o B est l'aire de la base (toujoursun disque) et h la hauteur ducne.

E/ Balancement des escaliers


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1-Terminologie des diffrentes parties:

La marches: masse de bton formant le dcoupement suprieur de l'escalier et qui permet defranchir les diffrents niveaux.

La contre marche:partie verticale de la marche. ( dans un escalier rapide, cette partie peut

tre incline pour faciliter le dgagement du pied).La paillasse: paisseur de bton comprise entre l'angle rentrant de la marche et la sous face del'escalier.

Le limon: ossature qui supporte les charges de l'escalier et les transmet aux points d'appui.(assise de dpart).

La cage: c'est l'emplacement o se dveloppe l'escalier, en hauteur, largeur, longueur.Les paliers: ce sont des planchers placs de distance en distance pour limiter le parcours d'unescalier; on distingue deux sortes de paliers:

palier principaux: correspondant aux diffrents tages. palier de repos: se situe entre deux tages

La vole: partie comprise entre deux paliers.Enmarchement:c'est la longueur de la marche comprise entre le mur et le limon o entre deuxlimons.

Hauteur: la diffrence de niveau de deux marches conscutives.La ligne de foule: c'est une ligne imaginaire qui se trouve une distance constante du jour del'escalier et qu'il est ncessaire de tracer pour ffectuer l'pure des escaliers balancs. Ellecorrespond la trajectoire suivie par une personne se dplaant dans l'escalier en semaintenant une distance normale de la rampe soit 0,50 m.

Le giron: c'est la largeur de la marche mesure sur la ligne de foule, cette largeur est

identique pour toutes les marches.Le collet: c' est la plus faible largeur d'une marche dans l'escalier balanc.Le jour: c'est le vide l'intrieur de la cage entre les extrmits des marches, il peut tre limitpar le limon.L chappe: c'est la hauteur libre au dessus d'une marche, cette hauteur tant prise l'arte dela marche, l'chappe ne doit jamais tre infrieure a 1,90m.

RECULEMENT :


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Longueur de la vole descalier projete sur le sol.HAUTEUR A FRANCHIR :Hauteur franchie par lescalier.Elle est gale la hauteur sous plafond + lpaisseur du plancher.

ECHAPPEE :

Hauteur minimum de passage /2,00 mLIGNE DE FOULLE :Cest le trajet thorique emprunt par lutilisateur. Pour emmarchements < 1.00 m :

d = moiti de lemmarchement. Pour emmarchements /1.00 m :

d = 50 cm (mesur partir de la rampe descalier).


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2-Trac escalier droit:La hauteur donner aux marches, varie de 0,16 a 0,18m suivant que l'on veut obtenir unescalier plus ou moins doux.

"H" est la hauteur de plancher plancher. (les hauteurs normalises des tages sontdes multiples du module 100mm ou au moins de ses sous multiples 50 ou 25 mm).

"h" la hauteur de la marche choisie." H : h = n" nombre de marches.Il est ncessaire d'obtenir pour "n" un nombre entier, cela oblige parfois modifier "h" enappliquant la formule: "h = H : n" .Un escalier commode et normalement conu, satisfait la relation: "g + 2h = 0,64m".

"g" tant le giron et "h" la hauteur de la marche. Souvent l'on oublie cette relation.

3-1er trac escalier balanc: ( voir dessin ci-dessous).Plusieurs tracs permettent de dterminer le balancement des marches. Nous n'indiquerons icique deux tracs choisis comme tant les plus simples et les plus faciles excuter.

Indiquez en plan la ligne de collet et la ligne de foule, marquez sur celle- ci desdivisions gales au giron.

Tracez les artes droites et rayonnantes.On constate que les marches droites ont au collet une largeur gale au giron, alors que lesrayonnantes ont un collet trs troit. Le but du balancement est d'attnuer cette diffrence en

passant progressivement de la largeur rduite la largeur normale.Si d'un cot de l'axe, on a 4 marches rayonnantes, on prend 8 marches sur lesquelles on fera

porter le balancement.La largeur au collet varie en progression arithmtique.Les diffrentes largeurs au collet peuvent tre dtermines ainsi:

Tracez un segment de droite "AB" de longueur quelconque et le partager en 7 partiesgales.


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Elevez de "A" une perpendiculaire de longueur gale au collet des marchesrayonnantes, de "B" une perpendiculaire gale au giron.

Joindre "A1, B1".Les perpendiculaires leves des diffrents points, nous donnent les collets successifs des

marches balances.

4- 2eme trac escalier balanc: ( voir dessin ci- dessous).Soit tracer l'pure d'un escalier, d'emmarchement de 1,00m et de giron 0,32m.

Tracez la cage d'escalier et la ligne de foule. De l'arrive porter le pas 0,32 afin d'obtenir les points," 19, 18, 17". Tracez la diagonale" BD" du quartier tournant, l'intersection avec la ligne de foule

nous donne le point" M".

Le balancement peut porter sur 12 marches, 6 de part et d'autre de "BD".Le trac est fait l'aide de construction appels herses de balancement.

1) Balancement de la marche 6 au point "M".(fig 1).Tracez 2 lignes perpendiculaires. Sur l'horizontale portez la longueur "A1, B1" gale a "AB".Sur la verticale la longueur "A1, M1" gale la ligne de foule "6M". Sur "A1, M1" on porte5 fois le pas on obtient les points "7, 8, 9, 10 et 11". Joindre ensuite ces divers points au point"B1".


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De "A1" comme centre, rabattre "B1" en "M2" et tracer "AM2". On a ainsi les points "b, c, d,e, f". Les portions de droite "Ab, bc, cd, de, ef, fM2", nous donnent les largeurs au collet, il nereste plus qu' les porter sur le dessin et les joindre aux points "7, 8, 9, 10, 11".

2) Balancement de la marche 16 au point "M".(fig 2).Tracez 2 perpendiculaires, sur l'horizontale portez "C1 et B1 (la dimension est gale CB)",sur la verticale "C1 et M1 (la dimension est gale 17M)". Sur "C1, M1", portez 5 fois le pas

pour obtenir les points "16, 15, 14, 13 et 12". Joindre ces points "B1".De "C1" comme centre rabattre "B1" en "M2" . Les portions de droite "C1g, gh, hi, ij, jk"nous donnent les largeurs au collet.Les porter sur le dessin et les joindre aux points "16, 15, 14, 13 et 12".

fig 1 et fig 2.

TRACE DUN ESCALIER PAR LA METHODE DE LA HERSE :


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Marche suivre : Calculer G, H et le nombre de marches. Reprsenter la cage descalier et la ligne de jour. Tracer la ligne de foule et reporter les girons sur celle-ci Tracer les marches droites, les autres seront balances (habituellement, on balance

5 6 marches avant et aprs chaque changement de direction.

TRACE DE LA HERSE : Porter sur un segment horizontal la longueur ag de la ligne de jour dans la zone o

les marches sont balancer (pour une moiti de lescalier). Porter sur un segment vertical les girons des marches balancer : AB, BC, CD, Joindre les points A, B, C,. Au point g Tracer un arc de cercle (de rayon ag et de centre A) pour obtenir le pt gl Joindre les points gl et A pour obtenir les largeurs des collets(ab, bc,) Sur le plan, reporter au compas, ces largeurs partir de a et tracer les marches.

Autres types d escaliers :1- ESCALIERS HELICOIDAUX OU A VIS :

Les marches sont fixes sur un noyau central (ou ft) et se dveloppent en spirale.Exemple : escalier cage circulaire (figure 1), cage carre (figure 2).Voir escalier prfabriqu page suivante.

2- ESCALIERS INCURVES :exemples : escalier incurv suivant un arc de cercle (figure 3), suivant une anse de

panier (figure 4).


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Evaluation de fin de module

nonc 1: FGH est un triangle rectangle en G. L'unit de longueur tant le centimtre, on aGH = 8 et GF = 15. On veut calculer FH.

nonc 2: soit PHR un triangle rectangle en P tel que HP = PR = 1 cm. Ce triangle tantisocle et rectangle, on sait que = = 45. On veut calculer les valeurs exactes du sinus, ducosinus et de la tangente de ces angles de 45.

nonc3 : soit un triangle MNP. L'unit de longueur tant le mtre, MN = 152, NP = 377 etMP = 345. Ce triangle est-il rectangle ?

nonc4: En quoi consiste la proprit de Pythagore , expliquer par un exemple

nonc : on veut calculer langle du triangle ABC rectangle en A reprsent sur la figure 3.


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nonc 6

OBSERVER LE PLAN CI-CONTRE.IL REPRESENTE LEMPRISE DUNESCALIER A UN QUARTIER TOURNANT.

DONNEES :Hauteur monter = 2.80 m

Nombre de contremarches = 17Giron = 28 cm (mesur sur la lignede foule).

6 marches droites au dpart.1 marche droite larrive.

REPRESENTER, SUR FORMATA4 VERTICAL, A LECHELLE 1 :25,LESCALIER CI-CONTRE.

EMPLOYER LA METHODE DELA HERSE POUR LE TRACE DESMARCHES BALANCEES.

M06 - détermination des dimensions des surfaces et des volumes BTP-TDB 01

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