M ecanique des Fluides - Site de Daniel Huilier

Mecanique des Fluides

Benjamin Canals

Laboratoire Louis Neel, CNRS, 25 avenue des Martyrs, Boite Postale 166, 38042 Grenoble Cedex 9, France∗

(Dated: 27 janvier 2004)

L’objectif de ces notes est de fournir un support pedagogique en complement des cours et tra-vaux diriges. Certains exemples, des details de calculs, des remarques sur les methodes, y serontdetailles en gardant a l’esprit l’objectif principal : il s’agit de donner a des eleves ingenieurs (IEG)d’origine diverses quelques notions fondamentales concernant la mecanique des fluides. A priori, cemanuscript devrait etre en constante evolution, notamment grace aux remarques et commentairesdes etudiants. Je remercie par avance ceux qui auront la force de le parcourir et les encouragea me faire part de leur avis pour faire evoluer cet ensemble de notes dans le bon sens. Enfin, jeremercie Rafik Ballou et Jacques Deportes pour leurs contributions, qui ont largement inspire cemanuscript. Je me suis egalement servi de nombreux supports pedagogiques, notamment ceux deJ.M Terriez et de Franck Plunian (IUT1, Grenoble).

Contents

I. Introduction 2A. Proprietes physiques d’un fluide 2

1. Notion de fluide 22. Pression 23. Compressibilite 24. Masse volumique et densite 25. Viscosite 2

B. Notion de similitude 31. Analyse dimensionnelle 32. Similitude 3

II. Statique des fluides et dynamique des fluidesparfaits 4A. Statique des fluides 4

1. Le concept de particule fluide 42. Application du principe fondamental de la

dynamique 43. Equation de la statique des fluides incompressibles 44. Fluide statique incompressible soumis a l’action de

la pesanteur 55. Poussee hydrostatique sur une paroi 5

B. Dynamique des fluides parfaits 71. Description de l’ecoulement : points de vue de

Lagrange et Euler 72. Equation de continuite d’un element de volume

fluide 73. Le theoreme de Bernoulli 8

C. Application de l’equation de Bernoulli 91. Formule de Torricelli 92. Temps de vidage d’un Bassin 103. Tube de Pitot 104. Tube piezometrique 115. Phenomene de Venturi 11

III. Fluides reels : ecoulements permanents et pertesde charge 12A. Regimes d’ecoulement 12B. Profil de vitesse, couche limite 13C. Pertes de charge regulieres 13

1. Notion de pertes de charge regulieres 132. Pertes de charge lineaires dans une canalisation a

section constante 143. Coefficient de pertes de charge lineaires 15

∗[email protected]; http://benjamin.canals.free.fr;

4. Abaques de Nikuradse 15D. Pertes de charge singulieres 16E. Equation de Bernoulli generalisee 17

IV. Fluides reels : ecoulements laminaires,unidimensionnels de fluides incompressibles 17A. Ecoulements de Poiseuille 18

1. Profil de vitesse 182. Debit 203. Coefficient de pertes de charges lineaires pour un

ecoulement de Poiseuille 204. Generalisation aux ecoulements coaxiaux 21

B. Notion de lubrification 211. Ecoulements entre plans parallelles 212. Ecoulements entre plaques immobiles 223. Ecoulements plans de Couette 224. Theorie du coin d’huile 23

V. Equations des quantites de mouvement 25A. Principe fondamental de la dynamique et theoreme des

moments 251. Cas general 252. Ecoulements permanents 26

B. Applications 261. Action sur un coude de conduite 262. Effet de ressaut hydraulique 273. Pertes de charge singulieres dans un elargissement

brusque 284. Efforts sur les augets 28

VI. Exercices (corriges) 28

I INTRODUCTION

I. INTRODUCTION

A. Proprietes physiques d’un fluide

1. Notion de fluide

Definition : Un fluide (gaz ou liquide) est un corps dontles molecules sont sans cesse en deplacement et assimilea un corps continu, sans rigidite, pouvant s’ecouler et sedeformant sous l’action d’une force exterieure.

La distinction entre solide et fluide est naturelle puis-qu’elle definit differents etats de la matiere, de l’or-ganisation reguliere et stable des atomes dans les so-lides a l’agitation libre des molecules dans les gazs.Pour le mecanicien, un solide peut etre considerecomme indeformable (hypothese de base en mecaniqueelementaire). Si par contre on admet qu’il puisse sedeformer, sa deformation finale est constante dans unchamp de sollicitations constant (typique de ce qu’on uti-lise en Resistance Des Materiaux).

Comme indique dans la definition, les fluides sont dessubstances capables de s’ecouler et de prendre la formedu recipient qui les contient. En outre, il continuent a sedeformer, meme soumis a des sollicitations constantes.La distinction fluide/solide est parfois delicate pour cer-tains materiaux (asphalte, argile, gelatine) et les condi-tions d’utilisation, notamment en temperature font sen-siblement varier cette distinction (phenomene de fluagedes solides).

Enfin, on separera les fluides en liquides et en gaz. Lesliquides occupent des volumes bien definit et presententdes surfaces libres. Ils sont peu ou quasi incompressibles.Les gaz se dilatent, jusqu’a occuper tout le volume dontils disposent. Ils sont tres compressibles.

2. Pression

La presence d’une paroi dans le volume du fluide pro-voque de nombreux chocs entre les molecules du fluide etla paroi. Le fluide exerce alors une force de surface dirigeedu fluide vers la paroi qui depend de la nature du fluideet de son mouvement relatif a la paroi.

Dans le cas d’un fluide au repos, sur un element desurface dS autour du point M considere, on a

~df = pdS~n

ou ~n est la normale sortante a la paroi et p la pressionexercee par le fluide sur la paroi, au point M . L’uniteinternationale de pression est le N.m−2 ou Pascal (Pa).

Remarques :• 1 Pa correspond a une pression tres faible. On utilisecouramment le bar : 1 bar = 105 Pa• La pression atmospherique de l’air varie de 0.9 a 1.2bar. Sa valeur moyenne est de 1.013125 bar = 1 atm.• La mesure de la pression a l’aide de manometres a co-lonne de mercure reste une methode courante de mesure :

1 atm = 760 mmHg. On reviendra plus tard sur cettecorrespondance entre pression et hauteur.

3. Compressibilite

La compressibilite d’un corps quantifie sa variation devolume en reponse a une variation de pression. On definitle module de compressibilite a temperature constantecomme la variation relative de volume pour une varia-tion absolue de pression

χT = −∆V/V

∆p

On remarquera que si ∆p > 0, on s’attend a ce que levolume diminue, c’est a dire ∆V < 0, ce qui definit unmodule de compressibilite positif. L’unite de ce moduleest le Pa−1.

Pour l’eau, on a χT = 5.10−10 Pa−1. Le mercure est13.3 fois plus compressible et l’alcool ethylique, 2.3 foismoins compressible que l’eau. D’une maniere generale,les liquides sont tres peu compressibles.

4. Masse volumique et densite

La masse volumique d’un corps est le rapport entrela masse et le volume occupe. Notee ρ, elle s’exprime enkg.m−3. Pour un fluide incompressible, elle est constante.La masse volumique de l’eau est de 1000 kg.m−3 atemperature ordinaire.

La densite d’un corps est le rapport de la masse volu-mique de ce corps a la masse volumique de l’eau. Il s’agitpar consequent d’une grandeur sans dimension, et pardefinition, la densite de l’eau vaut 1. Celle du mercurevaut ρHg = 13.6.

5. Viscosite

La viscosite se definit comme la resistance d’un fluidea sa mise en mouvement. La resistance dont on parleconcerne un contrainte de cisaillement. L’experiencedecrite ci-apres illustre le phenomene physique correspon-dant. Soit un volume de fluide contenu entre une paroi ho-rizontale et une paroi mobile de surface A a une distanceh. La paroi mobile est soumise a une force de traction Fqui l’entraine a la vitesse constante v (cf Fig. 1). Plus lefluide est visqueux, plus il s’oppose a sa mise en mouve-ment. En etudiant les rapports F/A (homogene a unecontrainte, ou encore a une pression) et v/h (homogenea un gradient spatial de vitesse), on met en evidence plu-sieurs types de comportement : fluide parfait, fluide new-tonien, fluide epaississant, fluide plastique (cf Fig. 2).

Cette experience permet de generaliser la notion deviscosite en un point M quelconque du plan (xOy). Ence point, le rapport du cisaillement τxy (analogue de F/A)au gradient de vitesse ∂v/∂y (analogue de v/h), definit

c© 2003-2004 B. Canals. CNRS-Laboratoire Louis Neel, Grenoble.

2

I INTRODUCTION

F

h

y

v

xFig. 1 Un volume de fluide est contenu entre une paroi hori-zontale et une paroi mobile de surface A a une distance h dela paroi horizontale. La paroi mobile est soumise a une forcede traction F qui l’entraine a la vitesse constante v.

v/h

F/A

plastique

newtonien

épaississant

parfait

Fig. 2 Les differents regimes de glissement de la paroi (cfFig. 1) suivant la nature du fluide.

la viscosite dynamique (ou absolue) µ :

µ =τxy

∂v∂y

L’unite de µ est le Pa.s ou Poiseuille1.

Pour un fluide parfait, µ = 0, pour un fluide newtonienµ = cste. La viscosite varie avec la temperature et avecla pression.

Ordres de grandeurs : µeau = 0.001 Pa.s ; huile de grais-sage : µ = 0.02 Pa.s ; essence : µ = 0.006 Pa.s.

On definit egalement la viscosite cinematique ν commele rapport entre le coefficient de viscosite absolue µ et la

1 Jean-Louis Marie Poiseuille, 1799-1869.

masse volumique du fluide ρ

ν =µ

ρ(m2/s)

La viscosite peut etre sensible au facteur temps, commefonction de la vitesse d’ecoulement du fluide (peu vis-queux a grande vitesse, tres visqueux a faible vitesse :c’est le comportement thixotrope des peintures, yaourt,ketchup, boues de forage), ou comme fonction de la vi-tesse a laquelle la sollicitation est appliquee (solide fra-gile et elastique a vitesse de sollicitation elevee, fluidevisqueux a vitesse de sollicitation faible : c’est le compor-tement viscoelastique des polymeres, pate a pain, sablemouille).

B. Notion de similitude

1. Analyse dimensionnelle

L’analyse dimensionnelle est constituee des calculsdes dimensions des grandeurs physiques. Elle permetnotamment de passer d’un systeme d’unite a un autre,par exemple du systeme CGS au systeme SI (ou MKSA).

Exemples :• Vitesse (m/s) : L.T−1

• Acceleration (m/s2) : L.T−2

• Vitesse angulaire (rad/s) : T−1

• Force (N) : M.L.T−2

• Masse volumique (kg/m3) : M.L−3

• Pression (Pa) : M.L−1.T−2

• Viscosite absolue (Pa.s) : M.L−1.T−1

• Viscosite cinematique (m2/s) : L2.T−1

• Puissance (W) : M.L2.T−3

2. Similitude

L’application de l’analyse dimensionnelle permet al’ingenieur d’organiser et de simplifier les experiences,d’en analyser les resultats en reduisant le nombre desvariables necessaires a un programme d’essais ou enetablissant les principes de la conseption d’un modele.

Les modeles doivent avoir toutes les caracteristiquesdes prototypes, reproduites a l’echelle : similitudegeometrique, cinematique et dynamique.

Similitude geometrique : On a similitude geometriquesi les rapports de toutes les longueurs correspondantes dumodele et du prototype sont egaux

Lmodele

Lprototype= Lr = Cste

Similitude cinematique : Les trajectoires des parti-cules sont geometriquement semblables et les rapportsdes vitesses correspondantes du modele et du prototype


3

II STATIQUE DES FLUIDES ET DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

sont egaux

Vmodele

Vprototype=

Lm/Tm

Lp/Tp

= Vr = Cste

Idem pour les accelerations

amodele

aprototype=

Lm/T 2m

Lp/T 2p

= ar = Cste

Similitude dynamique : Les forces correspon-dantes s’exercant sur le modele et sur le prototypesont equivalentes (les similitudes geometriques etcinematiques doivent etre satisfaites). Les forces peuventetre de plusieurs type : forces d’inertie, forces de pression,forces de viscosite, forces de pesanteur, forces elastiques.

Cas ou les forces d’inertie agissent seules

Fmodele

Fprototype=

Mmam

Mpap

=ρmL3

mLm

T 2m

ρpL3p

Lp

T 2p

=ρmL2

mν2m

ρmL2mν2

p

II. STATIQUE DES FLUIDES ET DYNAMIQUE DESFLUIDES PARFAITS

A. Statique des fluides

1. Le concept de particule fluide

Pour etudier un fluide, on isole une partie du fluidelimitee par une surface S, qui constitue une particulefluide. A cette particule, on peut appliquer les lois dela Mecanique, c’est a dire le principe fondamental de ladynamique, la conservation de la masse, la conservationde l’energie mecanique (pour les systemes conservatifs)...

Les dimensions de la particule fluide sont tres grandesa l’echelle moleculaire. Elles dependent du phenomeneetudie : de plusieurs km en meteorologie a quelques mmdans un circuit hydraulique.

L’evolution temportelle de l’etat d’une particule fluidepeut etre decrite de deux facons, que nous explicitons parla suite.

2. Application du principe fondamental de la dynamique

Soit un element de volume dx × dy × dz du fluide,

soumis a des forces de folume ~f , de composantes fx, fy

et fz, qui agissent sur la masse m = ρdxdydz = ρdV devolume fluide (cf Fig. 3). A la surface de cet element devolume se manifestent les forces de pression p (mais pasles contraintes visqueuses puisque le fluide est au repos).L’equation d’equilibre de cet element de volume s’ecrit

p(x) × dydz − p(x + dx) × dydz + mfx = mγx

p(y) × dxdz − p(y + dy) × dxdz + mfy = mγy

p(z) × dxdy − p(z + dz) × dxdy + mfz = mγz

x

z

dx

dy

p(x+dx)

dz

y

p(x)

Fig. 3 RFD sur un element fluide de volume dV = dxdydz,

selon l’axe (Ox). La force volumique ~f s’applique sur tout levolume.

c’est a dire

−∂p

∂xdV + ρfxdV = ρdV γx

−∂p

∂ydV + ρfydV = ρdV γy

−∂p

∂zdV + ρfzdV = ρdV γz

ce qui permet d’ecrire finalement

−−→∇ (p) + ρ~f = ρ~γ

Enfin, si le champ de forces derive d’un potentiel, ~f =−−→∇ (U), on obtient,

−−→∇ (p) − ρ−→∇ (U) = ρ~γ

3. Equation de la statique des fluides incompressibles

On se place dans le cas de fluides incompressibles,ρ = Cste, c’est a dire qu’on considere que les distancesinteratomiques moyennes dans le fluide ne varient quetres peu, ou encore, que la compressibilite du fluide esttres faible et peut etre negligee. Alors

ρ−→∇ (U) =

−→∇ (ρU)

ce qui donne

−−→∇ (p + ρU) = ρ~γ

Pour des fluides en equilibre statique, ~γ = ~0, cetteequation devient

−→∇ (p + ρU) = ~0


4


M (fluide)zM

y

z

OA (surface libre)

(atmosphère)

Fig. 4 Fluide soumis a la force de pesanteur, avec une surfacelibre au contact de l’atmosphere.

ou encore

p + ρU = Cste

ou la constante est homogene a une pression.

4. Fluide statique incompressible soumis a l’action de lapesanteur

Puisque le champ de force est celui de la pesanteur,U = gz. Donc

∂p

∂x= 0 ;

∂p

∂y= 0 ;

∂p

∂z= −ρg

La pression est independante des coordonnees x et y ; ellene depend que de la cote z. Si celle ci est constante, lapression est constante et inversement : la surface libred’un fluide est une surface horizontale.

De plus, on a

p + gz = Cste

et cette quantite definit la pression motrice (oupiezometrique), alors que p constitue la pression absolue.

Considerons la situation de figure 4. L’equationprecedente nous donne

pM + ρfgzM = pA + ρagzA

avec zA = 0 ρa, ce qui donne

pM + ρfgzM = pA

ou encore

pM − pA = −ρfgzM

pM − pA constitue la pression effective. On a

peffective

ρfg= −z > 0

La pression peut donc s’exprimer en “hauteur de fluide”(unite SI : le metre).

Par un raisonnement identique, on peut reecrirel’equation de la statique des fluides dans un champ depesanteur sous la forme

p + ρgz = Cste ⇔ p

ρg+ z = Cste

et cette fois, la constante est homogene a une distance,appelee hauteur piezometrique.

Applications :

• Faire le vide signifie abaisser la pression a unevaleur inferieure a la pression atmospherique. La pres-sion effective est alors negative. Le vide peut etre plusou moins pousse, c’est a dire que l’atmosphere gazeuseest plus ou moins rarefiee. Le vide total correspond aune pression absolue nulle.• Vases communiquants : les surfaces libres d’un memefluide sont a la meme cote.• Variation de pression entre deux points d’un fluide :pB − pA = ρg(zA − zB) = ρgh > 0.• Principe de Pascal : toute variation de pression estintegralement transmise en tous points. Application a lapresse hydraulique.

5. Poussee hydrostatique sur une paroi

Le fluide considere est incompressible, de massevolumique ρ, au repos et soumis au seul champ depesanteur.

• Paroi horizontale

On considere une paroi horizontale, de surface S,dans la situation de la figure 5. SoitM un point quel-conque de la paroi, cote fluide. En chacun de ces pointson a

pM + ρgzM = pA + ρzA

ou pA est egale a la pression atmospherique patm. Parconsequent, pM = patm+ρgh, avec h la hauteur de fluide.Au point M ′, son vis a vis du cote de l’atmosphere, lapression est pM ′ = patm. Par consequent, l’application dela RFD sur un element de surface ds centre en M , nousdonne

d~f = −ρghds ~uz

ou ~uz est un vecteur unitaire qui oriente l’axe vertical versle haut. En outre, il ne s’exerce aucun couple sur cette pa-roi puisque l’ensemble des forces qui s’y appliquent est or-


5


h

A

G

(S)

O

M

(atmosphère)

(atmosphère)

M’

Fig. 5 Une paroi de surface S est soumise a la pression d’uncote d’un fluide et de l’autre a celle de l’atmosphere. La paroiest horizontale et la hauteur de fluide est h.

thorgonal a celle-ci. La force totale qui s’exerce sur cetteparoi est par consequent

~F =

∫

d~fds = −ρghS ~uz

c’est a dire egale au poids d’une colonne de fluide dehauteur h et de base de surface S.• Paroi verticale

Dans le meme cadre, considerons une paroi verti-cale comme indiquee sur la figure 6. Soit S sa surface

hG

z

x

(atmosphère)surface libre

fluideG

A

B

Fig. 6 Un paroi verticale, de surface S, symetrique par rap-port au point G, est soumise d’un cote a la force de pressiond’un fluide et de l’autre a celle de l’atmosphere.

et G le point sur l’axe z par rapport auquel elle estsymetrique. En un point quelconque de la paroi, situe ala cote z, la force qui s’exerce sur un element de surfaceest horizontale et proportionnelle a la hauteur de fluideen ce point

d~f = ρghds ~ux

Si on place l’origine des z en G, on peut reecrireh = hG − z, c’est a dire

d~f = ρg(hG − z) ds ~ux

et puisque G est centre de symetrie, la force totale est

−→F =

∫

ρghG ds ~ux −∫

ρgz ds

︸︷︷︸

=0

~ux = ρghGS ~ux

Le point d’application de cette force n’est pas le pointG puisqu’il n’est pas centre de symetrie pour les forces

elementaires d~f . Il s’exerce donc un moment sur cetteparoi verticale, qu’on peut calculer. Si on appelle P lepoint de poussee, alors le moment total est

−→GP ∧ ~F

qui correspond aussi a l’integrale de tous les momentselementaires

−→M total =

∫−−→GM ∧ d~f ds

Considerons pour simplifier les calculs une surface rec-tangulaire, de dimension L suivant y. L’expressionprecedente devient

−→M total = L ×

∫ zB

−zB

z × ρg(hG − z) dz ~uy

= −ρgL

∫ zB

−zB

z2 dz ~uy

= −ρgL2z3

B

3~uy

En identifiant ces deux expressions, c’est a dire

−→GP ∧ ~F = −ρgL

2z3B

3~uy

on obtient

zP =

(

−ρgL2z3

B

3

)

/ (ρghGL2zB) = − z2B

3hG

Le centre de poussee est en dessous de G.

Exercice : Effectuer le meme calcul pour une paroiinclinee, faisant un angle α avec la verticale.

• Principe d’Archimede

Soit un volume de fluide V . On isole un volumeV1, de centre de gravite G1. Comme indique sur lafigure 7, V = v1 + v2. L’action sur V1 se decompose enl’action de la pesanteur et l’action de V2. Ce volume esten equilibre, si bien que la force qu’exerce le volume 2sur le volume 1 est l’opposee de son poids et le momentqu’elle exerce est nul.

D’ou le principe d’Archimede : tout corps immergedans un fluide en equilibre est soumis a une pousseerepresentee par un torseur (force, couple) oppose a l’ac-tion de la pesanteur sur le fluide deplace. Le centre depoussee est confondu avec le centre de gravite du fluide


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V1

V2G1

surface libre

(S)

Fig. 7 Un volume de fluide est separe en deux volumes dis-tincts, V1 et V2, le volume V1 etant de centre de gravite G1 etde contour de surface S.

deplace.Application aux corps immerges : il existe 3 situations

d’equilibre. Soit G le centre de gravite du corps immerge.

• Si le corps est homogene, alors G et G1 sontconfondus ; le corps est en equilibre indifferent.

• Si G est au dessus de G1, l’equilibre est instable.

• Si G est au dessous de G1, l’equilibre est stable.

Remarquons que pour un corps flottant (un navire parexemple), G est en general au dessus de G1, si bien quel’equilibre est instable. Cependant, l’equilibre peut etrestable (metastable) a condition que G reste sous un pointM , appele metacentre, point d’intersection, pour une in-clinaison donnee, de l’axe vertical du navire et de l’axede poussee.

B. Dynamique des fluides parfaits

1. Description de l’ecoulement : points de vue de Lagrange etEuler

On peut decrire la cinematique d’un fluide enconsiderant les variables de Lagrange usuelles, c’est a direla position et la vitesse d’une particule fluide sur sa tra-jectoire a chaque instant.

Une description alternative est celle d’Euler2. On fixeson attention en un point fixe M et considere l’evolutionavec le temps des grandeurs cinematiques du fluide aupoint M , au fur et a mesure que defilent les elements devolume fluide. La cinematique du fluide est alors definiepar la donnee du champ de vitesse ~v(~r, t). Nous adopte-rons cette description.

Dans ce cadre, on appelle ligne de courant C une tan-gente en chacun de ses points d’un champ de vitesse eton appelle tube de courant la surface definie par un en-semble de lignes de courant qui s’appuient sur une courbe

2 Leonhard Euler, 1707-1783

fermee.

On peut d’ailleurs faire l’analogie entre ligne de cou-rant d’un fluide et ligne de champ electrique dans lecadre de l’electrostatique. On verra par la suite que lesequations infinitesimales de la mecanique des fluides sontsouvent analogues a celles de l’electrostatique, quand ils’agit de flux, de conservation, ...

2. Equation de continuite d’un element de volume fluide

Considerons un ecoulement de fluide a travers unelement de volume elementaire, de dimensions dx, dy etdz. Soient u, v et w les composantes de la vitesse deselements fluides selon les trois directions d’espacex, y etz. En x, et pendant un temps dt, il penetre une masse defluide egale a

mentrante = ρ(x) × (u(x)dt)dydz

alors qu’en x + dx il sort une masse de fluide egale a

msortante = ρ(x + dx) × (u(x + dx)dt)dydz

Le bilan entree - sortie est, selon l’axe x

(ρ(x)u(x) − ρ(x + dx)u(x + dx)) dtdydz =∂

∂x(ρu)dtdxdydz

et le bilan massique total est par consequent

∂

∂x(ρu)dtdV +

∂

∂y(ρu)dtdV +

∂

∂z(ρu)dtdV

c’est a dire

div(ρ~v)dtdV

En outre, ce bilan de masse entrante et sortante corres-pond a la variation de densite, au cours du temps, dufluide dans ce volume elementaire

(ρ(t) − ρ(t + dt)) dV = −∂ρ

∂tdtdV .

Finalement, en egalant ces deux points de vue, on aboutita

div(ρ~v) = −∂ρ

∂t⇔ div(ρ~v) +

∂ρ

∂t= 0

On en deduit les cas limites suivants. Si l’ecoulement estun ecoulement permanent, c’est a dire si les variables nedependent pas du temps alors

div(ρ~v) = 0 .

En outre, si le fluide est incompressible, c’est a dire si ladensite ne depend pas de la position dans l’espace, alors

ρdiv(~v) = 0 ⇔ div(~v) = 0 .


7


3. Le theoreme de Bernoulli

Considerons les composantes de l’acceleration d’unelement de fluide, de vitesse ~v = (u, v, w). L’accelerationqu’on veut calculer correspond a l’accroissement de la vi-tesse quand toutes les variables du probleme, spatiales ettemporelles, varient. On est dans la situation de l’accrois-sement d’une fonction dont les variables sont contraintesentre elles, comme pour le Lagrangien dans le cours devibration. Autrement dit, on considere que l’accelerationd’une particule fluide est une fonction qui depend de laposition dans l’espace et du temps,

γ = γ(x(t), y(t), z(t), t) .

Par consequent, pour une variation de temps dt, les ac-croissements des champs de vitesse sont

du =∂u

∂x

∂x

∂tdt +

∂u

∂y

∂y

∂tdt +

∂u

∂z

∂z

∂tdt +

∂u

∂tdt

dv =∂v

∂x

∂x

∂tdt +

∂v

∂y

∂y

∂tdt +

∂v

∂z

∂z

∂tdt +

∂v

∂tdt

dw =∂w

∂x

∂x

∂tdt +

∂w

∂y

∂y

∂tdt +

∂w

∂z

∂z

∂tdt +

∂w

∂tdt

c’est a dire

γx =du

dt=

∂u

∂xu +

∂u

∂yv +

∂u

∂zw +

∂u

∂t

γy =dv

dt=

∂v

∂xu +

∂v

∂yv +

∂v

∂zw +

∂v

∂t

γz =dw

dt=

∂w

∂xu +

∂w

∂yv +

∂w

∂zw +

∂w

∂t

Ces accelerations sont generalement separees en deuxcontributions ; une contribution purement temporelle etune contribution spatiale ou geometrique. La premiere,qui correspond a la derivee partielle ∂/∂t est appeleeacceleration locale parce qu’elle est proportionnelle a l’ac-croissement de la vitesse en un point de l’espace fixe. Laseconde, qui correspond aux derivee partielles spatialesdu type

∂u

∂xu +

∂u

∂yv +

∂u

∂zw

est appelee acceleration convective. C’est un termegeometrique. On peut se convaincre de leur differencedans un cas tres simple. Imaginons un ecoulementpermanent dans un tube conique qui se retrecit dansla direction des x croissants. Puisque l’ecoulement estpermanent, en tout point de l’espace, la vitesse nedepend pas du temps et l’acceleration locale est nulle.En revanche, quand le tube se retrecit, le sens communnous indique que les particules fluides vont plus vite(conclusion qu’on atteint plus precisement en disant quele debit de fluide est conserve, si bien que la vitessedes particules fluides augmente quand la section del’ecoulement diminue) ; c’est bien que pour des raisons

de geometrie de l’ecoulement, la vitesse depend de laposition dans l’espace : l’acceleration convective est nonnulle.

Il est interessant de reecrire cette acceleration convec-tive d’une facon un peu plus complexe. Il ne s’agit pas derendre le probleme plus difficile mais bien au contraire defaciliter son analyse, comme nous allons le montrer. Afind’alleger les notations, nous conviendrons que

∂

∂x= ∂x ;

∂

∂y= ∂y ;

∂

∂z= ∂z

En ne retenant que la partie convective, on a

γcx = u∂xu + v∂yu + w∂zu

γcy = u∂xv + v∂yv + w∂zv

γcz = u∂xw + v∂yw + w∂zw

En calculant−→∇ (~v2) et (

−→∇ ∧ ~v) ∧ ~v, c’est a dire

−→∇ (~v2) =

∂x~v2

∂y~v2

∂z~v2

= 2

u∂xu + v∂xv + w∂xwu∂yu + v∂yv + w∂ywu∂zu + v∂zv + w∂zw

et

(−→∇ ∧ ~v) ∧ ~v =

∂yw − ∂zv∂zu − ∂xw∂xv − ∂yu

∧

uvw

=

w∂zu − w∂xw − v∂xv + u∂xwu∂xv − u∂yu − w∂yw + w∂zvv∂yw − v∂zv − u∂zu + v∂yu

on constate qu’on obtient pour l’acceleration convective

~γc =1

2

−→∇ (~v2) + (−→∇ ∧ ~v) ∧ ~v

ou encore, avec les notations en lettres

~γc =1

2

−−→grad(~v2) +

−→rot(~v) ∧ ~v

Ceci nous permet d’ecrire la relation fondamentalede la dynamique pour un element de volume fluide.L’acceleration d’un element de volume dV est

m~γ = ρdV(~γc + ~γl

)

= ρdV

(1

2

−→∇ (~v2) + (−→∇ ∧ ~v) ∧ ~v +

∂~v

∂t

)

alors que les forces qui s’y appliquent sont les forces depression −−→∇ (p) ainsi que des champs de forces volu-

miques d’autres origines ρ~f (on omet les forces de visco-site pour le moment). On en deduit par unite de volume

−−→∇ (p) + ρ~f =1

2ρ−→∇ (~v2) + ρ(

−→∇ ∧ ~v) ∧ ~v + ρ∂~v

∂t


8


Nous pouvons a present deriver l’equation de Ber-noulli3 en faisant les etapes suivantes, qui resumentnotre derivation et les approximations necessaires.

• Application de la RFD sans les forces de visco-site :

−−→∇ (p) + ρ~f = ρ~γ

• Fluides incompressibles : ρ = Cste

• Ecoulements irrotationnels−→∇ ∧ ~v = ~0

• Regime permanent :

∂~v

∂t= ~0

• Le champ de forces annexes derive du potentiel gravi-tationnel :

~f = −−→∇ (U)

Dans ces conditions, l’equation que nous avons etablit enutilisant la RFD devient

−−→∇ (p + ρU) =1

2

−→∇ (ρ~v2)

c’est a dire

12ρ~v2 + p + ρgz = Cste

ou ρ est la densite du fluide incompressible, ~v son champde vitesse en ecoulement non visqueux, permanent et ir-rotationnel, p la pression au point considere et z l’altitudede ce point.

On peut egalement envisager cette equation commela conservation de l’energie mecanique. Considerons unecoulement permanent irrotationnel dans un fluide in-compressible, parfait, soumis aux seules forces de pesan-teur. Soit un element de masse dm passant de la position1 a l’instant t1 a la position 2 a l’instant t2. Sans echanged’energie avec le milieu exterieur, l’energie mecanique dela masse dm de fluide est invariante. Elle est egale a lasomme de l’energie cinetique et de l’energie potentielle,cette derniere se separant en un terme de pression et unterme de pesanteur.

Pour l’energie cinetique,

Ecin =1

2dmv2

Pour l’energie potentielle de pression

Epression = F.dx = p.S.dx = p.dV = pdm

ρ

3 Daniel Bernoulli, 1700-1782.

Pour l’energie potentielle de pesanteur

Epesanteur = dm.g.z

D’ou la conservation de l’energie mecanique de l’elementde fluide de masse dm

1

2dmv2 + p

dm

ρ+ dm.g.z = Cste

ce qui donne par unite de masse du fluide

v2

2+

p

ρ+ g.z = Cste

ou par unite de volume

ρv2

2+ p + ρgz = Cste

ou par unite de poids

v2

2g+

p

ρg+ z = Cste

Dans cette derniere forme du theoreme de Bernoulli, laconstante est homogene a une hauteur, appelee hauteurde charge du fluide. Le premier terme est la hauteurde fluide due a la vitesse de l’ecoulement, le deuxiemela hauteur due a la pression, le troisieme la hauteurgeometrique.

La somme de la hauteur due a la pression et de lahauteur geometrique est appelee hauteur piezometrique.

La hauteur de charge est constante tant qu’il n’y a pasde machines generatrices (pompes) ou consommatrices(turbines) d’energie. Au passage de ces machines, la hau-teur de charge subit une discontinuite. Nous verrons dansl’etude des fluides reels qu’il existe en fait des pertes decharges, dites regulieres ou singulieres suivant leur ori-gine.

C. Application de l’equation de Bernoulli

1. Formule de Torricelli

Considerons un reservoir de grande dimension, qui sevide par un orifice de section S. La grande dimensiondu reservoir nous garantie que la hauteur en fluide de cedernier est constante, c’est a dire que la perte de fluidepar l’orifice est negligeable devant le contenu du reservoir(cf fig. 8).

Soit M un point a la surface du reservoir. Il existeune ligne de courant qui relie le point M jusqu’a unpoint de l’orifice de sortie. Considerant que sur cetteligne l’ecoulement est permanent, irrotationnel, nous ap-pliquons le theoreme de Bernoulli.

ρv2M

2+ pM + ρgzM =

ρv2S

2+ pS + ρgzS


9


vSS

Ligne de courant

h = constante

M

Fig. 8 On considere un reservoir de grande dimension, si bienque pendant qu’il se vide, sa hauteur est quasiment constanteet la vitesse de sa surface libre est nulle.

ou pM = pS = patm et vM = 0, ce qui nous donne finale-ment

vS =√

2gh

ou h est la hauteur du reservoir.

2. Temps de vidage d’un Bassin

Supposons la meme situation mais avec un bassin dedimension finie. On conserve la meme geometrie de lafigure 8 mais maintenant, on considere que la hauteurvarie au cours du temps, et donc que vM 6= 0. On sup-posera neanmoins qu’a tout moment, l’ecoulement restepermanent. La hauteur du reservoir est maintenant va-riable mais si S est la surface de sa surface libre et s cellede la section de sortie, alors la conservation du debit im-plique

vMS = vss

L’equation de Bernoulli nous permet d’ecrire

ρv2M

2+ pM + ρgzM =

ρv2S

2+ pS + ρgzS

c’est a dire dans ce cas

ρv2M

2+ ρgh =

ρv2S

2.

ou h = h(t) est la hauteur variable au cours du temps dela surface libre. En combinant ce resultat et la conserva-tion du debit de fluide, on obtient

vs =

√

2gh

1 − s2/S2≈√

2gh

pour un rapport s/S � 1. Sachant que

vM = −∂h

∂t

��

��

��

��

��

��

RM

H

Ecoulement permanent uniforme

Point d’arretLignes de courant

Fig. 9 Description d’un tube de Pitot.

et que

vM = vs

s

S

on obtient que

−∂h

∂t=

s

S

√

2gh(t) .

Ceci nous donne pour la hauteur de fluide,

√

h(t) =√

h0 − s/S√

g/2t

ou h0 est la hauteur initiale du reservoir. Alors, si on poseV0 le volume initial du reservoir et Q0 le debit initial, onobtient pour le temps de vidage

√

h0 − s/S√

g/2T = 0 ⇔ T = 2V0

Q0

3. Tube de Pitot

Considerons un ecoulement permanent, uniforme, parexemple le long de l’axe des x. Les lignes de courant sonthorizontales. On place un obstacle dans cet ecoulement,qui separe les lignes de courant. Par symetrie, il existe unpoint R tel que la vitesse du fluide en ce point est nulle.En appliquant le theoreme de Bernoulli sur une ligne decourant qui passe par ce point et qui aboutit au point Hcomme precise sur la figure 9, on a

0 + pR + ρgzR = 0 + pH + ρgzH

et de plus, si on prolonge la ligne de courant dans unezone ou le regime est uniforme, on a

pT =1

2ρv2

M + pM + ρgzM = pH + ρgzH

c’est a dire qu’en connaissant la masse volumiquedu fluide, la pression pH (pression atmospherique parexemple) et la hauteur h = zH − zR, on connait la pres-


10


H

A’ A Lignes de courant

Fig. 10 Description d’un tube piezometrique.

sion totale a l’interieur de l’ecoulement. En outre, si onest capable de mesurer la pression localement en R, onest en mesure de determiner la vitesse de l’ecoulement.

4. Tube piezometrique

Considerons un orifice tangent a une ligne de courantet deux points A et A′ de part et d’autre de cette ligne decourant. En A′, le fluide ne participe pas a l’ecoulement(fluide mort), sa vitesse est nulle. En A, le fluide est enecoulement. On admet (comme le montre l’experience)qu’il n’y a pas de discontinuite de pression entre A et A′.Par consequent,

pA = pA′ et pA′ − pH = ρgh .

On connaıt donc la pression en A, donc on connaıt aussi

pA + ρgzA = pT − 1

2ρv2

A

Or on a vu precedemment qu’a l’aide d’un tube de Pitot,on peut determiner la pression totale pT . L’association deces deux tubes (dit tube de Prandl) permet de determinerla vitesse de l’ecoulement.

5. Phenomene de Venturi

Considerons un ecoulement dans une canalisation desection droite de surface S1, puis de section droite reduiteS2 (cf figure 11). Soit la ligne de courant qui passe aucentre de cette canalisation. En ecrivant l’equation deBernoulli sur cette ligne

1

2ρv2 + p + ρgz = Cste

S 2

v2

S 1

v1

p1

p2

Ligne de courant

Fig. 11 Description du phenomene de Venturi.

Fig. 12 Un exemple de realisation industrielle qui est soumiseau phenomene de Venturi.

ainsi que la conservation du debit, on obtient

p1 − p2 =1

2ρv2

1

((S1

S2

)2

− 1

)

c’est a dire, puisque S1 > S2, p2 < p1. Quand la sectionde l’ecoulement se reduit, la vitesse augmente, la pressiondiminue. Si la pression devient inferieure a la pression devapeur saturante du fluide, ce dernier entre en ebullition,des bulles de vapeur se forment dans l’ecoulement : c’estle phenomene de cavitation, tres nuisible et dangereuxpour les materiaux des parois. Vous trouverez figure 12,un exemple de realisation industrielle qui est soumise acet effet4. La figure 13 illustre les effets destructeurs dece phenomene sur des aubes de pompes centrifuges5.Il existe beaucoup de domaine ou ce phenomene a del’importance comme on l’a precedemment explique, l’in-dustrie, la mecanique (les carburateurs), la medecine (lastenose vasculaire, cf fig 14), la vie de tous les jours (dansune file d’attente pour aller au restaurant universitaire,vous etes plus serres quand la file est large et plus a l’aisequand elle se retreci...).

Exercice : determiner comment, a l’aide de deux tubes

4 Emprunt du sitehttp ://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/

5 Idem.


11

III FLUIDES REELS : ECOULEMENTS PERMANENTS ET PERTES DE CHARGE

Fig. 13 Aubes de pompes centrifuges rongees par les effetsde la cavitation.

Fig. 14 Stenose : retrecissement du calibre d’un vaisseausanguin qui peut etre plus ou moins serre, et qui provoqueune chute, plus ou moins complete, du debit sanguin en aval.Cette image concerne la carotide et elle est empruntee au sitehttp ://www.docteur-seban.com/carotide.htm.

piezometrique, on peut mesurer cette difference de pres-sion, donc le debit dans la canalisation.

III. FLUIDES REELS : ECOULEMENTS PERMANENTSET PERTES DE CHARGE

A. Regimes d’ecoulement

Pour les fluides reels, deux regimes d’ecoulement sontmis en evidence par l’experience de Reynolds, qui consistea visualiser l’ecoulement a l’aide d’un filet colore dans untube de verre horizontal6.

Quand le filet reste net et regulier, parallele a l’axe dutube, l’ecoulement est laminaire.

Quand le filet oscille, vibre, se rompt, l’ecoulement estturbulent.

Considerons le nombre de Reynolds, defini comme lerapport entre les forces d’inertie et les forces de viscosite :

Re =vD

ν

6 Les images de la figure 15 sont empruntees au sitehttp ://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/


12


Fig. 15 Experience de Reynolds. Dans les deux premieresfigures, l’ecoulement est laminaire. Dans les deux figures sui-vantes, l’ecoulement est intermediaire. Enfin, dans les deuxdernieres figures, il est turbulent.

ou v est la vitesse moyenne de l’ecoulement, D le diametrede l’ecoulement et ν la viscosite cinematique, c’est a direle rapport de la viscosite absolue µ et de la masse volu-mique du fluide, ρ.

Le regime laminaire est obtenu pour Re < 2000 : lesforces visqueuses sont preponderentes.

couche limite

couche limite

uniformevitesse quasi

Fig. 16 Profil de vitesses dans un ecoulement permanent d’unfluide reel.

L’ecoulement est turbulent pour Re > 3000 : les forcesde viscosite deviennent negligeables devant les forcesd’inertie.

Entre ces deux regimes, l’ecoulement est in-termediaire7.

Exemples : Soit un ecoulement d’eau a 20C (ν =10−6 m2/s), dans une conduite circulaire (D = 100 mm).L’ecoulement sera laminaire si

Re =vD

ν< 2000 ⇔ v <

2000× 10−6

100 10−3= 0.02 m/s

C’est une vitesse tres faible. Cette situation,d’ecoulement laminaire, est tres rare dans les ecoulementsindustriels, sauf si le fluide est tres visqueux.

B. Profil de vitesse, couche limite

Dans les fluides parfaits, la vitesse d’ecoulement estconstante sur une section droite d’une canalisation.Dans le cas des fluides reels, le profil des vitesses d’unecoulement permanent n’est pas uniforme. Il apparaıtune couche limite (cf figure 16), a fort gradiant de vi-tesse (dans cette couche d’epaisseur faible, la vitesse variefortement). La couche limite est fonction de la viscositedu fluide, de la vitesse moyenne de l’ecoulement, de larugosite de la paroi.

C. Pertes de charge regulieres

1. Notion de pertes de charge regulieres

Ces pertes de charges representent les pertes d’energiedues aux frottements, a la viscosite (nulle dans le cas d’unfluide parfait), tout au long de l’ecoulement.

On peut introduire cette notion de perte de charge parle biais d’un bilan (d’energie mecanique). Si on considereun ecoulement entre deux points 1 et 2 d’une canalisation.

7 Remarquons qu’il ne s’agit que d’ordres de grandeur. La transi-tion entre ecoulement laminaire et turbulent est progressive.


13


L’energie mecanique par unite de poids (alors homogenea une hauteur) au point 1 vaut

H1 =v21

2g+

p1

ρg+ z1

alors qu’au point 2, elle vaut

H2 =v22

2g+

p2

ρg+ z2

La difference de hauteur, c’est a dire d’energie mecanique,est due aux pertes de charge regulieres :

v21

2g+

p1

ρg+ z1 =

v22

2g+

p2

ρg+ z2 + ∆H12 .

Dans cette ecriture, on suppose implicitement que laperte de charge est une fonction de l’altitude, comme lesont les autres variables, vitesse, altitude, pression. Maisd’une maniere generale, et nous le verrons dans la sec-tion suivante, on globalise cette perte a l’ecoulement to-tal dans une canalisation. Par consequent, la perte decharge n’est plus une fonction de l’altitude dans une sec-tion droite de canalisation.

En outre, l’experience montre que les profils de vitessesont inhomogenes pour l’ecoulement des fluides reels, etl’objet phenomenologique pertinent n’est plus la distribu-tion locale du champ de vitesse mais la vitesse moyenne,ou vitesse debitante, definit comme le rapport du debitde l’ecoulement a la surface de la section droite de lacanalisation

vm =Q

S.

On preferera ecrire le bilan d’energie mecanique sous laforme

α1v21m

2g+

p1

ρg+ z1 = α2

v22m

2g+

p2

ρg+ z2 + ∆H12 .

La presence d’un prefacteur α devant le terme cinetiques’explique comme suit. On a introduit la vitesse moyennepour se ramener a une expression phenomenologique,mais pour autant, a supposer qu’on soit capable de cal-culer le profil des vitesses sur une section droite, alorsl’integrale de l’energie cinetique sur une section doit etreinvariante, qu’on la calcule avec le profil exact ou avec lavitesse moyenne. Pour etre plus precis, l’energie cinetiqued’un element de masse dm est

Ec =1

2dmv2

Pour un tube de courant de section droite S, on peutprendre dm = ρdV = ρSdx = ρSvdt. Alors l’energiecinetique d’une “tranche” de fluide, par unite de temps,est

Ec =

∫

S

1

2(ρSv) v2ds =

∫

S

1

2ρSv3ds

Si on considere maintenant le point de vuephenomenologique, on obtiendra une formule plussimple

Ec = α1

2ρS2v3

m

et bien entendu, il est necessaire qu’elles donnent le memeresultat. Ceci permet de deduire le calcul du coefficientphenomenologique α, quand on connaıt le profil des vi-tesses d’un ecoulement,

α =1

S

∫

S

(v

vm

)3

ds

En pratique, on considerera que α = 1 pour un fluideparfait, α = 2 pour un ecoulement laminaire (on fera lecalcul explicite un peu plus tard) et enfin α ' 1 pourles ecoulements turbulents. Paradoxalement, le cas desecoulements turbulents est similaire a celui des fluidesparfaits. Il s’agit d’une propriete du profil des vitessesdans les ecoulement turbulents, ou la couche limite estetroite et ou la vitesse est pratiquement constante dansle reste de la canalisation.

Pour conclure : afin de tenir compte des pertes decharge regulieres dans les ecoulements de fluides reels,on ecrira la generalisation de l’equation de Bernoulli

α1v2

m1

2g+ p1

ρg+ z1 = α2

v2

m2

2g+ p2

ρg+ z2 + ∆H12

2. Pertes de charge lineaires dans une canalisation a sectionconstante

Considerons une canalisation de longueur L dont lasection droite est de perimetre χ et de surface S. Soit τla contrainte de frottement du fluide sur la canalisation.Le point de vue phenomenologique que nous adoptons estle suivant : les forces de viscosite apparaissent sous formed’une perte de charge (globale). On considere que l’effetpertinent est ici un entrainement de la canalisation sousl’effet des forces de frottements (ce qui ne serait pas lecas si le fluide etait parfait).

Si l’ecoulement est permanent, le bilan des forces quis’exercent sur le fluide est nul :

Ffrott. = Fpression .

Les forces de frottement sont dues a la contrainte τ lelong de la paroi de la canalisation

Ffrott. = τ × χL .

Les forces de pression sont les forces dues a la pressiondu fluide sur chacune des deux sections droites de la ca-nalisation. Pour un element de surface ds situe a la cotez, le bilan des forces de pression est

dF1 − dF2 = (p1(z) − p2(z)) × ds = dp(z)ds


14


Considerons l’equation phenomenologique

α1ρv2

m1

2+p1(z1)+ρgz1 = α2ρ

v2m2

2+p2(z2)+ρgz2+ρg∆H12

Ici, le debit est conserve, donc les vitesse moyenne aussi,l’altitude est la meme, et α est aussi le meme puisque lacanalisation garde sa geometrie au cours de l’ecoulement,donc :

p1(z) − p2(z) = ρg∆H12

La perte de charge se repercute sur les pressions.Ceci vient precisement du fait que cette approchephenomenologique est globale. Par consequent, le bilandes forces de pression est

Fpression =

∫

S

dp(z)ds =

∫

S

ρg∆H12ds = ρg∆H12S

On relie ainsi l’action du fluide sur la paroi a la perte decharge reguliere par l’expression

τχL = ρg∆HS

En postulant (c’est un resultat experimental) que

τ = ρCf

v2m

2

ou Cf est un coefficient sans dimension appele coefficientde frottement, la perte de charge s’ecrit

∆H = Cf

χL

S

v2m

2g.

Cette perte de charge est proportionnelle a la longueurde l’ecoulement. La perte par unite de longueur est

j =∆H

L= Cf

χ

S

v2m

2g.

En hydraulique, le rapport S/χ de la sectiond’ecoulement au perimetre mouille de canalisation s’ap-pelle rayon hydraulique de l’ecoulement :

RH ≡ S

χ

et par definition, le diametre hydraulique est

DH ≡ 4RH .

On remarquera que dans le cas d’une canalisation circu-laire, on aurait

RH =πR2

2πR=

R

2

et

DH = 4RH = 2R = D

ou D est le diametre de la canalisation.j et vm sont relies par la formule dite de Chezy8,

vm = C√

RHj

ou C est la constante de Chezy, qui est d’apres ledeveloppement precedent

C =

√

2g

Cf

.

3. Coefficient de pertes de charge lineaires

Exprimees en hauteur de fluide (donc en m), il estd’usage de les ecrire, par unite de poids du fluide,

∆H = ΛL

D

v2

2g

avec v la vitesse moyenne de l’ecoulement (qui est le rap-port du debit par la surface de la section droite de lacanalisation, v = Q/S), D le diametre de l’ecoulement etL la longueur de l’ecoulement.

Λ s’appelle le coefficient de pertes de charge regulieres ;il est fonction du regime de l’ecoulement. Ormis le cas desecoulements laminaires, il est impossible de determinerΛ par le calcul ; seule une determination experimentaleest possible.

4. Abaques de Nikuradse

Λ est determinee a partir des experiences de Nikuradze.Ces experiences completent celles de Reynolds en intro-duisant l’etat de la canalisation.

On dispose d’un bassin contenant un fluide, ouvert versle bas par une canalisation cylindrique a debit controle.Deux tubes piezometriques mesurent la perte de pres-sion ∆p sur une longueur L. Λ est alors determine apartir de ∆p/L, pour les differentes valeurs du nombrede Reynolds Re = vmD/ν obtenues en faisant circulerplusieurs types de fluides, a des debits variables. Dansses experiences, Nikuradze definit l’etat de la canalisa-tion par l’intermediaire d’un coefficient de rugosite. Pourcela, il rendait artificiellement rugueuses les parois de lacanalisation en y collant des grains de sable de diametrecalibre (ε).

Les resultats obtenus sont reportes sous la forme

log Λ = f (log Re)

et conduit a une serie de courbes appelees “harpe de Ni-kuradze” ou diagramme de Moody (cf figure 17).

8 Antoine de Chezy, 1718-1798.


15


Fig. 17 Harpe de Nikuradze ou diagramme de Moody.

D’une maniere schematiques, on peut separer lesregimes d’ecoulement en differentes familles.

• Ecoulement laminaire (Re < 2000)

Λ =64

Re

C’est la loi de Poiseuille.

• Ecoulement turbulent modere (2000 < Re < 105)

Λ = 0.316Re−0.25

C’est la loi de Blasius.

• Ecoulement turbulent rugueux (Re > 105)

Λ = 0.79

√ε

D

C’est la loi de Blench. ε traduit la rugosite de la paroide la conduite, c’est la dimension moyenne des asperitesde cette paroi.

La loi de Colebrook-White, valable quelque soit Re

1√Λ

= −2 log

[ε

3.7D+

2.51

Re√

Λ

]

Il existe d’autres lois pour le calcul des pertes de

charges regulieres, en general etablies sur des basesexperimentales : Darcy, Hazen, Strickler, Scobey, VonKarmann ... mais on se referera, dans le cas le plusgeneral, aux abaques qui les englobent toutes.

D. Pertes de charge singulieres

On s’est interesse aux pertes d’energie mecanique duesaux forces de viscosite, de frottement. Autrement dit, ons’est focalise sur des proprietes intrinseques du fluide (laviscosite) mais egalement sur des proprietes extrinseques,les frottements sur les parois d’une conduite.

On peut etendre ces pertes de charges “extrinseques”au fluide aux discontinuites de l’ecoulement. Celles ci sontlocalisees en des points bien particuliers de la conduiteet sont appelees pertes de charge singulieres. On les ecritsous la forme

∆HS = Kv2

2g

ou v est toujours la vitesse moyenne de l’ecoulement et Kun coefficient sans dimension qui caracterise cette discon-tinuite, c’est a dire les frottements qu’elle met en jeu, sageometrie, sa zone d’influence. La determination de K estparfois possible mais pas toujours. En outre, il convientde bien preciser a quelle vitesse moyenne on se refere pourcalculer ce coefficient. Si avant la discontinuite la vitesse


16

IV FLUIDES REELS : ECOULEMENTS LAMINAIRES, UNIDIMENSIONNELS DE FLUIDESINCOMPRESSIBLES

moyenne est v1 et v2 apres, on ecrira

∆HS = K1v21

2g= K2

v22

2g

E. Equation de Bernoulli generalisee

A partir des developpements des sectionsprecedentes, on peut reecrire un theoreme generalise

(phenomenologique) de Bernoulli, qui tient compte despertes de charges regulieres et singulieres le long del’ecoulement d’un fluide dans une canalisation, entredeux points 1 et 2

α1v2

m1

2g+

p1

ρg+ z1 = α2

v2m2

2g+

p2

ρg+ z2 +

∑

Ki

v2i

2g+∑

Λj

Lj

Dj

v2j

2g(1)

IV. FLUIDES REELS : ECOULEMENTS LAMINAIRES,UNIDIMENSIONNELS DE FLUIDES INCOMPRESSIBLES

Un fluide est dit incompressible si en tout point del’espace,

div(~v) = 0

Autrement dit, si on definit div(~v) comme le taux de dila-

tation volumique, le volume d’un element fluide qu’on suitau cours du mouvement reste constant quand le tempsvarie.

L’equation generale qui traduit la conservation de lamasse transportee dans un petit volume de fluide est9

∂ρ

∂t+ div (ρ~v) = 0

ou encore,

dρ

dt+ div (ρ~v) = 0

La condition d’incompressibilite implique que laderivee particulaire de la masse volumique est nulle

dρ

dt=

∂ρ

∂t+ ~v.

−→∇ (ρ) = 0

Nous considererons en outre que cette masse volumiqueest homogene dans l’espace au cours de l’ecoulement,c’est a dire que

−→∇ (ρ) = ~0

et par consequent,

∂ρ

∂t= 0 .

9 On ne donnera pas la demonstration dans ce cours.

Ceci etant dit, on peut reprendre l’equation du mou-vement que nous avons obtenu pour les fluides parfaits.La RFD nous permet d’ecrire

md~v

dt=∑−→

F

ou le bilan des forces que nous avons etabli est

∑−→F = −−→∇ (p) + ρ~f

c’est a dire les forces de pression et les forces de volume.Sans entrer dans les details, il est possible de generalisercette equation a des fluides reels Newtonien en tenantcompte des contraintes de viscosite, par cisaillement etpar dilatation. Il faut rajouter aux forces precedentes lestermes

µ∆~v + (λ + µ)−−→grad (div(~v))

ou µ est le coefficient de viscosite de cisaillement et λ unautre coefficient de viscosite (qui tient compte des effetsde dilatation).

Par hypothese, ces termes se simplifient ici puisquenous considerons des fluides incompressibles, c’est a diredes ecoulements pour lesquels

div(~v) = 0

Le seul terme supplementaire est par consequent

µ∆~v

et correspond au cisaillement du fluide. Si on considere,comme on l’a fait jusqu’a maintenant, que les seulesforces de volume derive du potentiel gravitationnel U ,

ρ~f = −ρ−→∇ (U)

l’equation qui regit l’ecoulement d’un fluide Newtonien,visqueux, incompressible, dans un champ de pesanteur,


17


est

ρd~v

dt= −−→∇ (p) − ρ

−→∇ (U) + µ∆~v

Si on developpe la derive particulaire, on obtient

ρ∂~v

∂t+ ρ~v.

−→∇~v = −−→∇ (p) − ρ−→∇ (U) + µ∆~v

Cette equation est, faut il le preciser, delicate aresoudre. Dans ce cours, nous ne considererons que desecoulements permanent, c’est a dire pour lesquels

∂~v

∂t= ~0

qui sont en outre laminaire et unidimensionnels

~v = v~ux

L’equation precedente se simplifie en

ρ~v.−→∇~v = −−→∇ (p) − ρ

−→∇ (U) + µ∆~v

En tenant compte de ce que la vitesse n’est que selonl’axe x (ce qui ne veut pas dire qu’elle ne depend pas dey et z !), on a

ρv∂v

∂x= −∂p

∂x− ∂U

∂xµ

(

+∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

)

Enfin, l’hypothese d’incompressibilite nous donne,puisque l’ecoulement est unidirectionnel

div(~v) =∂v

∂x= 0

pour ne laisser que les termes suivants pour regirl’ecoulement :

µ

(∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

)

=∂

∂x(p + ρU)

On remarque que le terme de gauche ne depend pas dex et que celui de droite ne depend pas de y et z. S’ilssont egaux, c’est qu’ils sont egaux a une constante en x,y et z. Par consequent, p + ρU varie lineairement le longde l’ecoulement, et est constant sur une section droite decanalisation. Dans chaque cas particulier, il est possibled’integrer cette equation, et de determiner le profil desvitesses le long de l’ecoulement.

Considerons quelques cas correspondant aux hy-potheses precedentes.

A. Ecoulements de Poiseuille

On qualifie ainsi les ecoulements laminaires, perma-nents, dans des conduites cylindriques a section circu-laire. L’ecoulement s’effectue alors, par symetrie, sousforme de couronnes de courant concentriques, la vitesse

τ

��

��R

r

P(x) P(x+dx)

dx

Fig. 18 .

de chaque couronne dependant de son rayon. En identi-fiant la symetrie cylindrique, le Laplacien s’ecrit dans cecas

∆v =1

r

∂

∂r

(

r∂v

∂r

)

La derniere equation du paragraphe precedent devient,en notant la pression motrice p + ρU = p?

µ1

r

∂

∂r

(

r∂v

∂r

)

=∂p?

∂x

ce qui donne, par integration successives,

µ1

r

∂

∂r

(

r∂v

∂r

)

=∂p?

∂x

⇔ ∂

∂r

(

r∂v

∂r

)

=1

µ

∂p?

∂xr

⇔ r∂v

∂r=

1

2µ

∂p?

∂xr2 + K1

⇔ v(r) =1

4µ

∂p?

∂xr2 + K1 log r + K2

ou K1 et K2 sont des constantes d’integration. Cette for-mule qui decrit les profils de vitesse dans le cas le plusgeneral pour des ecoulements de Poiseuille, peut s’obtenirau cas par cas par l’utilisation de la RFD. C’est ce qu’onse propose de faire par la suite afin d’eclaircir d’une partcomment la geometrie de l’ecoulement determine le pro-fil de vitesse et d’autre part, quelles sont les differentescontributions physiques qui entrent en jeu.

1. Profil de vitesse

Considerons une couronne cylindrique comme sur la fi-gure 18. L’ecoulement est permanent, ce qui permet d’af-firmer que le bilan des forces sur cette couronne est nul.Intuitivement, la vitesse du fluide etant nulle au contactde la paroi, il est raisonnable de dire que la contraintesur cette couronne est de s’opposer a son deplacement,


18


c’est a dire

Fµ = −τ × 2πrdx

Quand au forces de pressions, sur un element de surfaceds se faisant face sur la section droite en x et la sectiondroite en x + dx, leur bilan est

dFp = p(x)(z)ds − p(x + dx)(z)ds

et la totalite des forces de pression est

∫

S

dF (p) =

∫

S

(p(x)(z) − p(x + dx)(z))ds

On sait dans ce regime d’ecoulement que p + ρU = p +ρgz est une constante du mouvement. Par consequent,on peut decouper cette integrale de maniere a regrouperdeux a deux des termes d’altitude symetrique par rapportau centre de la canalisation. En prenant l’origine des zau centre, on peut donc les regrouper sous la forme

dFp(z) + dFp(−z) = 2 (p(x)(0) − p(x + dx)(0)) ds

En notant p? la pression motrice constante (p? = p+ρgz),la totalite des forces de pression devient

Fp = (p?(x) − p?(x + dx)) S = −∂p?

∂xdxS

et si on veut un bilan des forces nul, on impose

−∂p?

∂xdxS − τ × 2πrdx = 0

c’est a dire

τ = − r

2

∂p?

∂x

On a vu en introduction de ce cours que la contrainte decisaillement est proportionnelle au gradient de vitesse,via le coefficient µ,

τ ∝ µ∂v

∂r

Avec nos conventions, quand on s’eloigne du centre de lacanalisation, le gradient de vitesse est negatif, et on veutque τ soit positif, donc on prendra dans notre cas

τ = −µ∂v

∂r

ce qui permet finalement d’ecrire

µ∂v

∂r=

r

2

∂p?

∂x

Le gradient radial de vitesse est relie au gradient longi-tudinal de pression. Le membre de gauche ne depend quede r et celui de droite que de x ; ils sont par consequentconstants. On peut integrer cette equation pour obtenir

Profil desvitesses

Profil descontraintes

Fig. 19 .

le profil des vitesses :

∂v

∂r=

1

2µ

∂p?

∂xr ⇔ v(r) =

1

4µ

∂p?

∂x

(r2 + K

)

ou la constante d’integration K est determinee par lesconditions aux limites Au contact de la canalisation, lavitesse du fluide est nulle, donc

v(r = R) =1

4µ

∂p?

∂x

(R2 + K

)= 0 ⇔ K = −R2

Le profil de l’ecoulement est decrit par

v(r) =1

4µ

∂p?

∂x

(r2 − R2

)

L’ecoulement s’effectue dans le sens des x croissants, etpuisqu’il y a des pertes de charge, ∂p/∂x est negatif, doncv(r) est positif. Cette relation est coherente.

La vitesse maximale est obtenu sur l’axe central de lacanalisation

vmax = − 1

4µ

∂p?

∂xR2

lieu des points ou la contrainte de viscosite est nulle.

Le profil de vitesse, ainsi que celui des contraintes estreporte figure 19


19


2. Debit

A travers une couronne d’epaisseur dr, le debitelementaitre dq est

dq = v(r)ds(r) =1

4µ

∂p?

∂x

(r2 − R2

)× 2πrdr

Par consequent, le debit q a travers une section droite dela canalisation est

q =

∫ R

0

dq =2π

4µ

∂p?

∂x

[r4

4− R2 r2

2

]R

0

= − π

8µ

∂p?

∂xR4

ou encore, en l’exprimant en fonction du diametre D dela canalisation,

q = − π

128µ

∂p?

∂xD4

La vitesse moyenne, ou vitesse debitante, est definitcomme le rapport du debit a la surface de la sectiondroite. Son expression dans ce cas est :

vm =q

S= −R2

8µ

∂p?

∂x

C’est la moitie de la vitesse maximale de l’ecoulement, lavitesse au centre de la canalisation. On remarquera doncque le terme cinetique

1

2ρv2

qui apparaıt dans le theoreme de Bernoulli, et qui devient

α1

2ρv2

m

fixe, pour un ecoulement laminaire, α = 2.

En effet, le profil des vitesses s’exprime ici comme

v(r) =1

4µ

∂p?

∂x

(r2 − R2

)= 2vm

(1 − u2

)

avec u = r/R ∈ [0, 1]. Ceci permet de calculer α :

α =1

S

∫

S

(v

vm

)3

ds

=1

πR2

∫ R

0

(v(r)

vm

)3

2πrdr

=1

πR2

∫ 1

0

(2(1 − u2

))32πuRRdu

= 8

∫ 1

0

(1 − u2

)32udu

= −8

[1

4

(1 − u2

)4]1

0

= 2

3. Coefficient de pertes de charges lineaires pour unecoulement de Poiseuille

L’equation du mouvement d’un ecoulement de Poi-seuille, nous venons de l’etablir, est

µ∂v

∂r=

r

2

∂p?

∂x

et nous venons de montrer qu’une fois integree, elle setraduit par

∂p?

∂x= − 8µ

R2vm

donc sur une longueur L de canalisation,

∫ x0+L

x0

∂p?

∂x= p?(x0 + L) − p?(x0) = − 8µ

R2vmL

On peut remarquer que la difference de pression mo-trice le long d’un segment de longueur L ne depend pasde l’origine du segment, x0. S’il fallait ecrire la versionphenomenologique de l’equation de Bernoulli, on aurait :

α1v21m

2g+

p1

ρg+ z1 = α2

v22m

2g+

p2

ρg+ z2 + ρg∆H12

et ici, α1 = α2 = 2 et v1m = v2m. Autrement dit,

p1

ρg+z1 =

p2

ρg+z2+ρg∆H12 ↔ p?(x1) = p?(x2)+ρg∆H12

et nous venons de montrer que si x2 − x1 = L, alorsp?(x2) − p?(x1) = − 8µ

ρgR2 vmL. Donc la perte de chargeest

∆H12 = p?(x1) − p?(x2) =8µ

ρgR2vmL

Si on introduit le nombre de Reynolds dans cette rela-tion10 on obtient :

∆H =µ

ρ

8L

g

4vm

D2=

vmD

Re

8L

g

4vm

D2=

64

Re

L

D

v2m

2g

10 Le nombre de Reynolds est defini comme le rapport entre lesforces d’inertie et les forces de viscosite :

Re =vD

ν

ou v est la vitesse moyenne de l’ecoulement, D le diametre del’ecoulement et ν la viscosite cinematique, c’est a dire le rapportde la viscosite absolue µ et de la masse volumique du fluide, ρ.On a donc

Re =vDρ

µ


20


��

��

τ (r+dr)

τ (r)r

P(x)

dx

P(x+dx)

R

Fig. 20 .

En comparant a la definition du coefficient de pertes decharge lineaire,

∆H = ΛL

D

v2m

2g

il s’avere qu’on retrouve celui obtenu par l’experience deNikuradze pour ce type d’ecoulement,

Λ =64

Re

4. Generalisation aux ecoulements coaxiaux

Soit un fluide incompressible en ecoulement laminaireentre deux cylindres coaxiaux. Isolons une element dede couronne compris entre les rayons r et r +dr. Commeprecedemment, on s’interesse au regime permanent, doncon “impose” que le bilan des forces sur cette couronne soitnul. Il s’agit des forces de viscosite et des forces de pres-sion (cf figure 20). Comme pour le cas de l’ecoulement dePoiseuille, le bilan des forces de pression correspond a ladifference des pressions motrices entre x et x + dx. C’esta dire que les forces de pression sur cette couronne sont

Fp = −∂p?

∂xdx × 2πrdr

En ce qui concerne les forces de frottements, le bilan estun peu plus complique. En effet, supposons par exempleque la couronne a laquelle on s’interesse soit celle qui esten contact avec la paroi exterieure. La paroi exterieuretend a “retenir” le fluide, c’est a dire qu’on ecrirait lacontrainte sous la forme

Fµ(R) = −τ(r = R) × 2πRdx

Par contre, la paroi (fictive) de l’interieur de la couronnede fluide, est constitue du reste de l’ecoulement qui vaplus vite que la couronne elle meme. Par consequent,les forces de viscosite sur cette paroi sont des forces d’en-trainement. Elles sont bien sur toujours de la forme

Fµ = +τ(r = R − u) × 2π(R − u)dx

Le raisonnement qu’on vient de faire pour cette couronneparticuliere s’applique a n’importe quelle couronne, com-prise entre r et r + dr :

dFµ = 2πrdxτ(r) − 2π(r + dr)dxτ(r + dr)

La resultante est

dFµ = −2πdx∂

∂r(rτ(r)) dr

Par consequent, dire que les forces de pression et les forcesde frottements visqueux sont egale s’ecrit, pour une cou-ronne de fluide de rayon r et de longueur dx

dFµ+dFp = 0 ⇔ 2πdx∂

∂r(rτ(r)) dr+

∂p?

∂xdx×2πrdr = 0

c’est a dire

∂p?

∂x= −1

r

∂

∂r(rτ(r))

On utilise enfin que

τ(r) = −µ∂v

∂r

pour obtenir

∂p?

∂x=

µ

r

∂

∂r

(

r∂v

∂r

)

On en deduit le profil de vitesse de cet ecoulement parintegration successives :

r∂v

∂r=

r2

2µ

∂p?

∂x+ C1

c’est a dire

∂v

∂r=

r

2µ

∂p?

∂x+

C1

r

et enfin

v(r) =r2

4µ

∂p?

∂x+ C1 log r + C2

C1 et C2 sont deux constantes d’integration qu’ondetermine avec les conditions de bord.

B. Notion de lubrification

1. Ecoulements entre plans parallelles

Considerons un ecoulement plan le long d’une direc-tion (Ox), entre deux plaques paralleles (cf figure 21).Isolons un element de volume fluide, de largeur unitaire,de longueur dx et de hauteur dy. En regime permanent,uniforme, laminaire, le bilan des forces sur cet element


21


τ (y+dy)

τ (y)O

y

xP(x+dx)

dx

L=1

dy

P(x)

Fig. 21 .

de volume s’ecrit

Fp + Fµ = 0

ou, comme precedemment, Fp designe les forces de pres-sion et Fµ les forces de viscosite. Le bilan des forcesde pression, comme auparavant, peut s’exprimer unique-ment en fonction de la pression motrice

Fp = p?(x) × dy − p?(x + dx) × dy = −∂p?

∂xdxdy

De meme, le bilan des forces de viscosite (on suit unraisonnement identique au cas de l’ecoulement coaxial)est

Fµ = τ(y)dx − τ(y + dy)dx = −∂τ

∂ydxdy

ce qui nous donne un bilan

∂p?

∂x= −∂τ

∂y

et en remarquant que

τ = −µ∂v

∂y

on obtient

∂p?

∂x= µ

∂2v

∂y2

Par integration, on en deduit le profil de vitesse

v(y) =1

2µ

∂p?

∂xy2 + Ay + B

ou A et B sont des constantes determinees par les condi-tions de bord.

2. Ecoulements entre plaques immobiles

Considerons par exemple le cas de deux plaques immo-biles espacees d’une distance 2e, comme sur la figure 22.Alors pour y = ±e on a v = 0, ce qui determine les

y

v(y)

y

O2e

x

Fig. 22 .

constantes precedentes :

v(y) =1

2µ

∂p?

∂x

(y2 − e2

)

On en deduit la vitesse maximale

vmax = − e2

2µ

∂p?

∂x

Le debit, qui est la quantite de fluide qui passe par unesection unitaire par unite de temps est

q =

∫ e

−e

v(y) × dy =1

2µ

∂p?

∂x

[y3

3− e2y

]e

−e

= −2e3

3µ

∂p?

∂x

ce qui permet de definir la vitesse moyenne del’ecoulement,

vmoy =q

2e= − e2

3µ

∂p?

∂x=

2

3vmax

3. Ecoulements plans de Couette

On considere a nouveau deux parois : l’une est immo-bile, en y = 0 et l’autre se deplace a une vitesse finie,constante u. Les nouvelles conditions de bord sont main-tenant

v(h) = u et v(0) = 0

On en deduit le profil des vitesses

v(y) =1

2µ

∂p?

∂xy (y − h) + u

y

h

ainsi que le debit

q =uh

2− 1

12µ

∂p?

∂xh3

Comme on peut le constater sur l’expression du pro-fil des vitesses, la geometrie de ce profil depend de lavaleur de ∂p?/∂x. En general, c’est un profil parabo-lique, ∂p?/∂x 6= 0, convexe ou concave suivant le signede ∂p?/∂x (cf figure 23). Pour le cas particulier ou


22


dp/dx=0

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

u

Plaque en mouvement

Plaque immobile

h

Plaque immobile

hdp/dx>0

dp/dx<0

uPlaque en mouvement

Surface libre du film fluide

Fig. 23 .

∂p?/∂x = 0, ce profil est lineaire :

v(y) = uy

h

Cette situation est par exemple realisee si de part etd’autre de la paroi en mouvement, les surfaces libresdu fluide sont a la pression atmospherique. La pressionmotrice est alors une constante, egale a la pression at-mospherique et sa differentielle est nulle. On remarqueradans ce cas, et c’est l’objet du paragraphe suivant, qu’iln’existe pas de surpression a l’interieur du film de fluide.Par consequent, si on ne soutient pas la plaque en mouve-ment, le film de fluide s’ecrase sous son poids et n’assureaucune portance.

4. Theorie du coin d’huile

Si de part et d’autre d’un ecoulement de Couette ilregne une meme pression, par exemple la pression at-mospherique, alors la pression motrice est egale a cettepression et sa differentielle ∂p?/∂x le long de l’ecoulementest nulle. Il n’existe pas de surpression a l’interieur dufilm fluide, qui ne peut assurer aucune portance et nepeut donc pas soutenir la plaque de lui meme.

Un maniere de generer une portance (c’est a dire unelubrification) est d’introduire un angle entre ces deuxplaques comme represente figure 24. On supposera parla suite que la plaque de dimension finie, ou patin, estimmobile et que la plaque infinie se deplace a la vitesseu. On considerera egalement que l’angle i entre ces deuxplaques est suffisamment petit pour que nous puissionsconsiderer l’ecoulement comme etant un ecoulement de

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��

��

��

i

h

h

1

2

l

L

u

x

y

O

Fig. 24 .

Couette, c’est a dire un ecoulement entre deux plaquesparalleles.

L’equation differentielle de l’ecoulement reste parconsequent

∂p?

∂x= µ

∂2v

∂y2

et elle est valable si on la considere dans le referentieldu patin, c’est a dire que l’origine des axes, O, est tou-jours sur le patin. Par consequent, les conditions de bords’ecrivent

v (y = 0) = 0 ; v (y = h(x)) = u

Remarquez que la hauteur du patin a la plaque dependde la position x, et on a h(0) = h1, h(l) = h2. Quanda la pression, si on suppose que la surface libre du filmfluide est a la pression atmospherique p0, ses conditionsde bords sont

p?(x = 0) = p (x = 0, y = 0) = p0

et

p?(x = l) = p (x = l, y = 0) = p0

Dans ces conditions, le profil des vitesse est

v(y) =1

2µ

∂p?

∂xy (y − h(x)) + u

y

h(x)= v(x, y)

et le debit q est obtenu par integration :

q(x) =

∫ h(x)

0

v(x, y)dy

=1

2µ

∂p?

∂x

[y3

3− h(x)y2

2

]h(x)

0

+ u

[y2

2h(x)

]h(x)

0

= − 1

12µ

∂p?

∂xh3(x) +

u

2h(x)

Puisque la hauteur de fluide entre le patin et la plaquedepend de x, le debit est lui aussi une fonction de x. En


23


inversant cette relation, on obtient

∂p?

∂x= −12µ

( q

h3− u

h2

)

Si on fait l’approximation que le debit, dans cetecoulement de plaques “presque” paralleles, resteconstant le long de l’axe x, q(x) = q, ceci permet decalculer la repartition de la pression motrice

p?(x) − p?(0) =

∫ ξ=x

ξ=0

∂p?

∂ξdξ

= 6µu

∫ ξ=x

ξ=0

dξ

h2(ξ)− 12µq

∫ ξ=x

ξ=0

dξ

h3(ξ)

ceci etant vrai pour 0 ≤ x ≤ l. En particulier, pour x = lou p?(x = l) = p?(0), on obtient

0 = 6µu

∫ ξ=l

ξ=0

dξ

h2(ξ)− 12µq

∫ ξ=l

ξ=0

dξ

h3(ξ)

c’est a dire

q =u

2

∫ ξ=l

ξ=0

dξ

h2(ξ)

/∫ ξ=l

ξ=0

dξ

h3(ξ)

Afin de calculer ces integrales, remarquons que l’angle ietant petit, et notant ξ la position sur l’axe x a laquelleon mesure la hauteur de fluide entre le patin et la plaque,on a la relation d’une part,

h1 − h(ξ) = tan iξ ≈ iξ ⇔ h(ξ) = h1 − iξ

et d’autre part,

i =h1 − h2

l

On en deduit en particulier que dh = −idξ. Le calcul desdeux integrales devient :

∫ ξ=l

ξ=0

dξ

h2(ξ)=

∫ h2

h1

1

h2

−1

idh =

1

i

(1

h2− 1

h1

)

et

∫ ξ=l

ξ=0

dξ

h3(ξ)=

∫ h2

h1

1

h3

−1

idh =

1

2i

(1

h22

− 1

h21

)

Par consequent,

∫ ξ=l

ξ=0

dξ

h2(ξ)

/∫ ξ=l

ξ=0

dξ

h3(ξ)=

1

i

(1

h2− 1

h1

)/1

2i

(1

h22

− 1

h21

)

= 2h1h2

h1 + h2

c’est a dire que le debit s’ecrit

q = uh1h2

h1 + h2

On en deduit enfin le profil de la pression motrice danscet ecoulement.

p?(x) − p?(0) =

∫ ξ=x

ξ=0

∂p?

∂ξdξ

= 6µu

∫ ξ=x

ξ=0

dξ

h2(ξ)− 12µq

∫ ξ=x

ξ=0

dξ

h3(ξ)

= 6µu1

i

(1

h− 1

h1

)

− 12µq1

2i

(1

h2− 1

h21

)

=6µu

i

(1

h− 1

h1

)(

1 − h1h2

h1 + h2

(1

h+

1

h1

))

=6µu

i

h1 − h

hh1

(h2

1 (h − h2)

hh1 (h1 + h2)

)

= 6µul1

h1 − h2

h1 − h

hh1

(h2

1 (h − h2)

hh1 (h1 + h2)

)

=6µul

h21 − h2

2

(h1 − h) (h − h2)

h2

c’est a dire

p?(x) = p?(0) +6µul

h21 − h2

2

(h1 − h) (h − h2)

h2

Connaissant la pression motrice en tout point du patin,c’est a dire la pression locale independamment de l’al-titude, la resultante des forces de pression, par unite delargeur, qui s’exerce sur la patin et qui assure sa portanceest

F =

∫ x=l

x=0

p?(x) 1 × dx

Cette force s’exerce, d’apres le theoreme des moments,sur un point situe entre le milieu du patin et le point depression maximale. La pression qui regne sur la surfacelibre du fluide s’exerce elle aussi sur le patin mais en sensoppose. Le bilan de ces forces fait intervenir le termesuivant :

∆F =

∫ x=l

x=0

(p?(x) − p?(0)) dx

c’est la portance du patin, c’est a dire la charge qu’il estsusceptible de supporter,

∆F = −charge maximale supportee


24

V EQUATIONS DES QUANTITES DE MOUVEMENT

V. EQUATIONS DES QUANTITES DE MOUVEMENT

A. Principe fondamental de la dynamique et theoreme desmoments

1. Cas general

Ce theoreme des debits de quantite de mouvement estune reecriture du principe fondamental de la dynamique

m~γ =∑−→

F ext.

Il s’agit d’ecrire ce principe mais en suivant la masse defluide que l’on considere dans son deplacement.

Soit une masse de fluide m contenue dans un volumede fluide decrit par un domaine D, de surface ∂D. chaqueelement de masse du domaine est dm et il est soumis aune acceleration ~γ :

dm ~γ

si bien que sur tout le domaine, ce terme devient

∫

D

~γ dm

et par definition, l’acceleration de chacune de ces masseselementaire est

~γ =d~v

dt

c’est a dire la derivee particulaire de la vitesse. Parconsequent, l’integrale precedente devient

∫

D

d~v

dtdm

On admettra que, les integrales de masse sur un domainemateriel, c’est a dire un domaine qu’on suit au cours dutemps verifient

d

dt

∫

D

Adm =

∫

D

dAdt

dm

pour toute quantite A. La precedente integrale devient

∫

D

d~v

dtdm =

d

dt

∫

D

~v dm

Mais dm = ρdv ou dv est le volume elementaire de masse

dm. Finalement, on obtient

∫

D

d~v

dtdm =

d

dt

∫

D

ρ~v dv

Afin de transformer de nouveau cette integrale, on ad-mettra cette relation qui permet de deriver les integralede volume materiel :

d

dt

∫

D

Adv =

∫

D

∂A∂t

dv +

∫

∂D

A ~v · n ds

ou n est le vecteur lie sortant, normal a la surfaceelementaire ds de la frontiere ∂D.

Utilisant cette expression, on obtient

d

dt

∫

D

ρ~v dv =

∫

D

∂ρ~v

∂tdv +

∫

∂D

ρ~v (~v · n) ds

et la Relation Fondamentale de la Dynamique, appliqueeau volume materiel D de fluide devient

∫

D

∂ρ~v

∂tdv +

∫

∂D

ρ~v (~v · n) ds =∑−→

F ext.

La meme relation peut etre obtenue pour le bilan desmoments :∫

D

−−→OM ∧ ∂ρ~v

∂tdv +

∫

∂D

ρ−−→OM ∧ ~v (~v · n) ds =

∑−→M ext.

ou∑−→

M ext. est la somme des moments exterieurs en Ode toutes les forces exterieures. Enfin, on peut separer lesforces qui s’exercent sur ce volume en forces de volumeet en forces de surface. Les bilans exterieurs deviennentalors

∑−→F ext. =

∫

D

ρ~fdv +

∫

∂D

−→T ds

∑−→M ext. =

∫

D

ρ−−→OM ∧ ~fdv +

∫

∂D

−−→OM ∧ −→

T ds

L’ensemble de ces deux bilans, RFD et moments,peut s’exprimer de facon synthetique par : la deriveeparticulaire du torseur du volume materiel D et egaleau torseur des forces exterieures appliquees a ce memedomaine :

∫

D

∂ρ~v

∂tdv +

∫

∂D

ρ~v (~v · n) ds =

∫

D

ρ~fdv +

∫

∂D

−→T ds (2)

∫

D

−−→OM ∧ ∂ρ~v

∂tdv +

∫

∂D

ρ−−→OM ∧ ~v (~v · n) ds =

∫

D


∫

∂D

−−→OM ∧ −→

T ds (3)


25


2. Ecoulements permanents

Pour les ecoulements permanents, les derivees localessont nulles

∂ρ~v

∂t= ~0

et il ne reste que les termes convectifs. En particulier, onremarque que les termes de la forme (~v · n) ds representele debit elementaire a travers la surface ds,

(~v · n) ds = dq(ds)

si bien qu’on peut reecrire les integrales surfaciques rela-tives a la frontiere ∂D comme

∫

∂D

ρ~v (~v · n) ds =

∫

∂D

ρ~v dq

∫

∂D

ρ−−→OM ∧ ~v (~v · n) ds =

∫

∂D

ρ−−→OM ∧ ~v dq

Sous ces hypotheses, les equations d’equilibre des torseursdeviennent

∫

∂D

ρ~v (~v · n) ds =

∫

D

ρ~fdv +

∫

∂D

−→T ds (4)

∫

∂D

ρ−−→OM ∧ ~v (~v · n) ds =

∫

D


∫

∂D

−−→OM ∧ −→

T ds (5)

B. Applications

1. Action sur un coude de conduite

Considerons un coude de conduite comme sur la fi-gure 25. L’ecoulement est celui d’un fluide parfait in-compressible. Le champ de vitesse du fluide est parconsequent constant sur une section droite. L’ensembledu coude de conduite constitue par definition un tubede courant et c’est sur ce tube que nous allons appliquerles equations des quantites de mouvement. Le volume Dest celui du coude et sa frontiere ∂D est constitue de laconduite, elle meme tube de courant. L’integrale de sur-face

∫

∂D

ρ~v (~v · n) ds

n 1 v1

n 2

v2

A

B

C

D

Fig. 25 .

se decompose en deux parties. La premiere concerne lesdeux sections droites sur lesquelles

~v · n = Cste = −v1

pour la section AB et

~v · n = Cste = +v2

pour la section CD. Pour le reste du tube de courant,la vitesse est tangentielle au tube par definition, doncorthogonale a la normale : cette derniere contributionest nulle. Cette integrale de surface vaut donc

∫

∂D

ρ~v (~v · n) ds = −v1

∫

AB

ρ~v ds + v2

∫

CD

ρ~v ds

= ρ (S2v2~v2 − S1v1~v1)

ou on note S1 = SAB et S2 = SCD. Puisque le debit seconserve pendant l’ecoulement, on a S2v2 = S1v1 et onpeut factoriser le debit massique qm = ρSv. L’equationbilan sur le coude devient

qm (~v2 − ~v1) =

∫

D

ρ~fdv +

∫

∂D

−→T ds

Si les seules forces de volume sont des forces de pesanteur,l’integrale de volume represente le poids

−→Π du volume

fluide. Pour l’integrale de surface, on distingue a nou-veau deux parties. La premiere est l’action du coude deconduite sur le tube de courant ; soit

−→R cette resultante.

La seconde est l’action du reste du fluide sur les deux sec-tions droites : ce sont les forces de pression de resultantes


26


−→P 1 et

−→P 2 :

−→P 1 =

∫

AB

−→T ds = −

∫

AB

p1(z)n1ds(z) = − (> 0)n1

−→P 2 =

∫

CD

−→T ds = −

∫

CD

p2(z)n2ds(z) = − (> 0)n2

On obtient finalement

qm (~v2 − ~v1) =−→Π +

−→P 1 +

−→P 2 +

−→R

2. Effet de ressaut hydraulique

Le ressaut hydraulique est un phenomene qui apparaıtdans les ecoulements a surface libres, lorsqu’il y a unchangement de regime d’ecoulement ; il se manifeste parune brusque discontinuite de niveau qui ressemble a unevague immobile, comme l’illustrent les exemples11 de lafigure 27.

Considerons le schema de la figure 26. Par le memeraisonnement celui fait pour un coude de canalisation,nous arrivons a l’egalite

qm (~v2 − ~v1) =−→Π +

−→P 1 +

−→P 2 +

−→R

ou maintenant, le debit massique est qm = ρq, et le poidsdu volume fluide est equilibre par la resultante sur lasurface BC, c’est a dire

−→Π +

−→R . L’equation devient

ρq (v2 − v1) = P1 − P2

ou il reste a calculer la resultante des forces de pressionsur les sections AB et CD.

Dans les deux cas, si on considere le fluide comme par-fait, on a, pour la section AB

1

2ρv2 + p(z) + ρgz =

1

2ρv2 + p0 + ρgh1

v 1

v 2

h 2

h 1

A

B C

D

Fig. 26 .

11 Emprunts des siteshttp ://www.lthe.hmg.inpg.fr/ belleudy/misc.htmhttp ://www.bde.espci.fr/perso/bottar19/appart/bonus/http ://pierre.albarede.free.fr/creation/structures/structures.html

Fig. 27 Exemples de ressaut hydraulique. Il s’agit respective-ment de la crue de la Durance, d’une vague fluviale a Munichet d’un jet d’eau vertical tombant dans un evier. Pour ce der-nier, c’est l’amont qui commande, ici l’energie du jet qui luidonne sa vitesse initiale. En aval, les conditions d’ecoulementsont limitees par la bonde de l’evier. Le ressaut est cette zoneou ces deux commandements entrent en conflit.(Pour une discussion un peu plus detaillee, voir par exemple

LA RECHERCHE, no 370, decembre 2003, page 95).


27

VI EXERCICES (CORRIGES)

c’est a dire

p(z) = p0 + ρg (h1 − z)

ce qui nous donne comme force resultante pour la sectionAB,

P1 =

∫ h1

0

p(z)dz = p0h1 +1

2ρgh2

1

De meme, on trouve pour la section CD

P2 =

∫ h2

0

p(z)dz = p0h2 +1

2ρgh2

2

ce qui donne pour l’equation bilan

ρq (v2 − v1) = p0 (h1 − h2) +1

2ρg(h2

1 − h22

)

L’ecoulement est ici considere comme non visqueux, doncla vitesse est constante dans une section droite et v = q/hpour toute section de largeur unitaire. L’equation s’ecritfinalement

ρq2

(1

h2− 1

h1

)

= p0 (h1 − h2) +1

2ρg(h2

1 − h22

)

⇔ ρq2

(h1 − h2

h1h2

)

= p0 (h1 − h2) +1

2ρg(h2

1 − h22

)

⇔ ρq2 = p0h1h2 +1

2ρgh1h2 (h1 + h2)

et si on pose h2 = αh1 avec par definition, α > 1, on

obtient

ρq2 = p0αh21 +

1

2ρgαh3

1 (1 + α)

⇔ α2 +

(

1 +2p0

ρgh1

)

α − 2q2

gh31

= 0

C’est un trinome du second degre, de discriminant

∆ =

(

1 +2p0

ρgh1

)2

+8q2

gh31

> 0

Ses deux racines sont de signes distincts, et la racine po-sitive est

α+ =1

2

−(

1 +2p0

ρgh1

)

+

√(

1 +2p0

ρgh1

)2

+8q2

gh31

Pour avoir α+ > 1, il faut que

√(

1 +2p0

ρgh1

)2

+8q2

gh31

> 2 +

(

1 +2p0

ρgh1

)

⇔(

1 +2p0

ρgh1

)2

+8q2

gh31

>

(

2 +

(

1 +2p0

ρgh1

))2

3. Pertes de charge singulieres dans un elargissement brusque

4. Efforts sur les augets

VI. EXERCICES (CORRIGES)


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