de m´ecanique des milieux continus solides et fluides...
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Consignes Analyse tensorielle cartesienne Symetries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions
Seance 2 de mecanique des milieux continus solides et fluides
Analyse tensorielle avancee
0 Quelques consignes generales
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc
1 Retour sur l’analyse tensorielle (cartesienne)
2 Notions sur les symetries des systemes
Principe de Curie, illustration sur un exemple
3 Analyse tensorielle en coordonnees cylindriques
Illustration sur le meme exemple
4 Conclusion provisoire concernant les tenseurs
Infos sur le TD - Questions1
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Points d’attention :
• absence en TD ⇒ redaction de TD notee
• 1 redaction de TD individuelle sur l’un des TD des seances 3 a 5, 7 a 9
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Consignes Analyse tensorielle cartesienne Symetries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions
Analyse tensorielle : gradient
Champ tensoriel T0 d’ordre 0 :
application de Ω ouvert de l’espace physique T1 dans T0 = R,
x ∈ Ω 7−→ T0(x) ∈ T0 .
Champ tensoriel Tn d’ordre n ≥ 1 :
application de Ω ouvert de l’espace physique T1 dans Tn,
x ∈ Ω 7−→ Tn(x) application lineaireT1 −→ Tn−1
h 7−→ Tn(x) · h.
Gradient : ∇Tn champ tensoriel d’ordre n+ 1 tq
x ∈ Ω 7−→ ∇Tn(x) application lineaireT1 −→ Tndx 7−→ ∇Tn(x) · dx = dTn(x)
,
dTn(x) etant Tn(x + dx)− Tn(x) linearise pour dx infinitesimal.
NB : souvent on note, au lieu de ∇Tn(x), ∇xTn voire ∇Tn.
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Gradient d’un champ vectoriel
Autour d’un point x,
∇u application lineaire dx 7−→ ∇u · dx = du = u(x+ dx)− u(x) linearise.
δu = u(x+ dx)− u(x) ≃ du
≃ dx1
dx2
∇u =∂ui∂xj
ei ⊗ ej4
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Decomposition du gradient en parties symetrique + antisymetrique
du = ∇u · dx = ǫ · dx︸ ︷︷ ︸
deformation
+ Ω · dx︸ ︷︷ ︸
rotation
= +
ǫ =1
2
(
∇u + ∇uT)
diagonalisable sur une base orthonormee
Ω =1
2
(
∇u − ∇uT)
, Ω · dx = Ω ∧ dx
avec Ω = vd(
Ω)
=1
2ǫ : Ω =
1
2ǫ :
(
∇u − ǫ
)
=1
2ǫ : ∇u =
1
2rot(u)
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Divergence d’un champ vectoriel- Formules integrales
divu = ∇u : 1 = tr∇u =∂ui∂xi
∫∫∫
Ω
divu d3x =
∫∫
∂Ω
u · n d2S (en 3D)
avec Ω ouvert de R3, ∂Ω son bord, n la normale unitaire sortante a ∂Ω :
Ω∂Ω
n
n
n
n n
n
nn
n
n
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Divergence d’un champ vectoriel - Formules integrales
divu = ∇u : 1 = tr∇u =∂ui∂xi∫∫∫
Ω
divu d3x =
∫∫
∂Ω
u · n d2S (en 3D)
∫∫
S
divu d2S =
∫
∂S
u · n dl (en 2D)
avec S ouvert de R2, ∂S son bord, n la normale unitaire sortante a ∂S :
O
x1
x2
S∂S
n
n
n
nn
n
n
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Divergence d’un champ vectoriel - Formules integrales
divu = ∇u : 1 = tr∇u =∂ui∂xi
∫∫∫
Ω
divu d3x =
∫∫
∂Ω
u · n d2S (en 3D)
∫∫
S
divu d2S =
∫
∂S
u · n dl (en 2D)
→ interpretation Φ, cas d’un champ u = λ1x1e1 + λ2x2e2 :
(λ1,λ2) = (1,1), (1,− 12), ( 1
2,− 1), (−1,− 1)
x1
x2
divu > 0 divu < 0
u divergent u convergent !8
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Divergence d’un champ tensoriel d’ordre 2
div T = ∇ T : 1 =∂Tij
∂xjei
Formule integrale de la divergence
∫∫∫
Ω
div T d3x =
∫∫
∂Ω
T · n d2S
Interpretation Φ : cas T symetrique, cf. l’ex. 2.7 :
ei · div T = div
(
T · ei
)
donc mesure si T · ei diverge ou converge...
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Laplacien d’un champ scalaire
∆ρ = div∇ρ =∂2ρ
∂xi∂xi
mesure si ∇ρ diverge ou converge...
Laplacien d’un champ tensoriel d’ordre 1
∆u = div ∇u =∂2ui
∂xj∂xjei = ∆ui ei
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Systemes symetriques : principe de Curie (1894)
...
...ces elements de symetrie se retrouvant deja
dans la forme du domaine occupe par le milieu...
En mecanique des milieux continus
Milieu Causes Effet
Solide Champs de forces volumiques d3f Champ de deplacement u(X,t)
Fluide ou surfaciques d2f Champ de vitesse v(x,t)11
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Ex. en mecanique des fluides : rheometre de Couette cylindrique
Vue 3D :
[ Benbelkacem & Skali-Lami 2008 - Lemta ]
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Ex. en mecanique des fluides : rheometre de Couette cylindrique
Vue de dessus :
Cause :
Effet :
v(x,t) =dx
dt13
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Ex. en mecanique des fluides : rheometre de Couette cylindrique
Vue de dessus :
Cause : densite de forces surfaciques T =d2f
d2S= τeθ avec τ constante > 0
Effet :
v(x,t) =dx
dt14
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Ex. en mecanique des fluides : rheometre de Couette cylindrique
Vue de dessus :
Cause : densite de forces surfaciques T =d2f
d2S= τeθ avec τ constante > 0
Effet : champ de vitesse simplifie avec le principe de Curie en coord. cylindriques
v(x,t) =dx
dt= v(x) = v(r ,θ) = U(r ,θ)er + V (r ,θ)eθ = U(r)er + V (r)eθ
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Ex. en mecanique des fluides : rheometre de Couette cylindrique
→ analyse tensorielle en coordonnees cylindriques, cf. le pb. 2.2
=⇒ v(x,t) = U(r) er + V (r)eθ
L’etude mecanique necessite le calcul de
• ∇v
• divv
• ∆v
O
M
x
y
z
er
eθ
ez
r
θ
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Ex. en mecanique des fluides : rheometre de Couette cylindrique
→ analyse tensorielle en coordonnees cylindriques, cf. le pb. 2.2
Calcul partiel sur un seul terme (le seul en fait a cause de l’incompressibilite)
v(x,t) = V (r)eθ
PSfrag
O
O
M
x
x
y
yz
z
er er
eθ
eθ
ez
r
θ
θ
θ
∇v =dV
dreθ ⊗ er −
V
rer ⊗ eθ 6=
∂vi∂xj
ei ⊗ ej avec i , j ∈ r ,θ,z
La formule cartesienne, qui serait INHD,
ne se generalise pas en coordonnees cylindriques !17
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Conclusion provisoire concernant les tenseurs: dedramatisons !
En pratique en mecanique on ne manipulera pas des tenseurs d’ordre n > 4,
cf. la section 1.7 Exemples en mecanique des milieux continus
du document de cours de calcul tensoriel !..
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Programme du TD
• Exercices d’analyse tensorielle cartesienne 2.2, 2.3 et 2.6
• Probleme d’analyse tensorielle cylindrique 2.1
Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression
Par linearite, on se ramene a :
Configuration de reference : Configuration actuelle :
pint = 1 bar
pext = 1 bar
pint = 155 bars
pext = 1 bar19
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Programme du TD - Questions ?
• Exercices d’analyse tensorielle cartesienne 2.2, 2.3 et 2.6
• Probleme d’analyse tensorielle cylindrique 2.1
Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression
Par linearite, on se ramene a :
Configuration de reference : Configuration actuelle :
pint = 0 bar
pext = 0 bar
pint = 154 bars
pext = 0 bar20