Cours de Mecanique Analytique - fhQED.free. et Magist`ere de Physique UniversiteJosephFourier Cours...

download Cours de Mecanique Analytique - fhQED.free. et Magist`ere de Physique UniversiteJosephFourier Cours de Mecanique Analytique Jonathan Ferreira Annee Universitaire 2002-2003 Laboratoire

of 90

  • date post

    06-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    221
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of Cours de Mecanique Analytique - fhQED.free. et Magist`ere de Physique UniversiteJosephFourier Cours...

  • Licence et Magistere de Physique Universite Joseph Fourier

    Cours de Mecanique Analytique

    Jonathan Ferreira

    Annee Universitaire 2002-2003

    Laboratoire dAstrOphysique de Grenoblehttp://www-laog.obs.ujf-grenoble.fr/ferreira

  • Contents

    1 Mecanique de Lagrange 11.1 Coordonnees generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Equations de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2.1 Principe de dAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Exemple 1: le pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.4 Exemple 2: masse sur une tige avec ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Variables cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Lagrangien independant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Theoreme de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.4 Une application: force centrale entre deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 Invariance par translation dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 Invariance par translation dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.3 Invariance par rotation dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.4 Loi horaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.5 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.6 Force en 1/r2, Loi de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.5 Petites oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.1 Systemes a 1 degre de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Systemes a n degres de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.3 Oscillations forcees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2 Principe variationnel 192.1 Le principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Deduction des equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Exemples simples de calcul variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.3.1 Plus petite distance dans un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 La brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.4 Generalisation des equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.1 Forces non conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Contraintes non holonomes: multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.5 Expressions du lagrangien en fonction de lespace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.1 Mecanique non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.2 Mecanique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.3 Remarques epistemologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    i

  • ii CONTENTS

    3 Mecanique de Hamilton 313.1 Hamiltonien dun systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Equations canoniques de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Etude dun cas simple: pendule 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.4.1 Ecriture de lhamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2 Le portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.3 Etude au voisinage de points particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.4 Remarques dordre general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.5 Theorie de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.6.1 Fonctions generatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6.2 Quelques transformations canoniques remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.7 Les crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7.3 Invariance canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.7.4 Interpretation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.8 Lespace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8.1 Flot hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8.2 Incompressibilite du flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8.3 Theoreme de Liouville: lien avec la physique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.9 Systemes integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9.1 Theoreme de Arnold-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9.2 Cartes et atlas symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4 Systemes hamiltoniens 514.1 Lequation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.1.1 La fonction principale de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.2 Laction hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1.3 Methode generale de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.4 Methode de separation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.5 Applications a quelques problemes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.6 Le principe de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.7 Mecanique ondulatoire de Louis de Brooglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.2 Variables canoniques angles-actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.1 Systemes fermes periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2 Variables angulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.3 Variables dactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.4 Fonction generatrice des variables angles-actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5 Description lagrangienne des milieux continus 735.1 Exemple dun passage a la limite continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5.1.1 Corde elastique 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1.2 Retour au lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5.2 Formulation lagrangienne des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.1 Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.2 Equations de Lagrange du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    5.3 Theorie classique des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.1 Cadre general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.2 Exemple: electrodynamique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.3 Tenseur energie-impulsion dun champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

  • CONTENTS iii

    5.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4.1 Formulation relativiste de la theorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4.2 Densite dhamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

  • iv CONTENTS

  • Chapter 1

    Mecanique de Lagrange

    1.1 Coordonnees generalisees

    La mecanique de Newton se base sur trois postulats:

    1. Principe dinertie: le mouvement dun corps isole est rectiligne uniforme dans un referentiel galileen.

    2. Principe de la dynamique, offrant une definition de la force

    p = mr = F

    3. Principe daction et de la reaction.

    A laide de ces trois principes, la mecanique de Newton a montre sa puissance de description dans denombreux cas. Le mouvement dun systeme quelconque de N particules est ainsi obtenu par la resolutionde N equations vectorielles differentielles du 2eme ordre, mettant