Etude de la loi normale  

La loi normale représente une distribution théorique qui est parfaitement connue sur le plan mathématique. Elle a été définie par Laplace et Gauss. L’équation de la courbe de fréquence d’une distribution normale ne dépend que de deux paramètres : 

la moyenne de la variable et

l’écart-type de la variable

m

loi normale

x

Y

Une courbe normale est symétrique par rapport à l’axe vertical qui passe par la moyenne.L’axe des x est assymptote

Cette courbe possède deux points d’inflexion situés à égale distance de l’axe de symétrie, ils ont pour abscisses :m et m

si x suit une loi normale : 

on notera simplement  

f x ex m

( )( )

1

2

2

22

x N m ( ; )

comme pour toutes les courbes de fréquence, l’aire limitée par ces courbes normales est égale à 1.

loi normale

x

Y

x N m ( ; )

La loi normale centrée réduite

 Si on a

 Alors

 

x N m ( ; )

)1;0(Nmx

z

l’équation de la loi normale centrée réduite est :

2

2

2

1)(

z

ezf

loi normale centrée réduite

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 z

f(z)

)()( zfzf

loi normale centrée réduite

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 z

f(z)

A chaque valeur absolue de z on peut associer une aire située à l’extérieur de l’intervalle [-z ;+z] correspondant à la fréquence P. Ces différentes valeurs possibles de z et de P sont données dans la table statistique de la loi normale centrée réduite.

Si z = 1,54 on trouve la valeur de P dans la case à l’intersection de la ligne 1,5 et de la colonne ,04 soit P=0,124.

Lorsque z suit une loi normale centrée réduite, on trouve donc 12,4% des valeurs de z à l’extérieur de l’intervalle ] -1,54 + 1,54 [.

z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0 1 0,992 0,984 0,976 0,968 0,96 0,952 0,944 0,936 0,928

0,1 0,92 0,912 0,904 0,897 0,889 0,881 0,873 0,865 0,857 0,849

0,2 0,841 0,834 0,826 0,818 0,81 0,803 0,795 0,787 0,779 0,772

0,3 0,764 0,757 0,749 0,741 0,734 0,726 0,719 0,711 0,704 0,697

0,4 0,689 0,682 0,674 0,667 0,66 0,653 0,646 0,638 0,631 0,624

0,5 0,617 0,61 0,603 0,596 0,589 0,582 0,575 0,569 0,562 0,555

0,6 0,549 0,542 0,535 0,529 0,522 0,516 0,509 0,503 0,497 0,49

0,7 0,484 0,478 0,472 0,465 0,459 0,453 0,447 0,441 0,435 0,43

0,8 0,424 0,418 0,412 0,407 0,401 0,395 0,39 0,384 0,379 0,373

0,9 0,368 0,363 0,358 0,352 0,347 0,342 0,337 0,332 0,327 0,322

1 0,317 0,313 0,308 0,303 0,298 0,294 0,289 0,285 0,28 0,276

1,1 0,271 0,267 0,263 0,258 0,254 0,25 0,246 0,242 0,238 0,234

1,2 0,23 0,226 0,222 0,219 0,215 0,211 0,208 0,204 0,201 0,197

1,3 0,194 0,19 0,187 0,184 0,18 0,177 0,174 0,171 0,168 0,165

1,4 0,162 0,159 0,156 0,153 0,15 0,147 0,144 0,142 0,139 0,136

1,5 0,134 0,131 0,129 0,126 0,124 0,121 0,119 0,116 0,114 0,112

1,6 0,11 0,107 0,105 0,103 0,101 0,099 0,097 0,095 0,093 0,091

1,7 0,089 0,087 0,085 0,084 0,082 0,08 0,078 0,077 0,075 0,073

1,8 0,072 0,07 0,069 0,067 0,066 0,064 0,063 0,061 0,06 0,059

1,9 0,057 0,056 0,055 0,054 0,052 0,051 0,05 0,049 0,048 0,047

2 0,046 0,044 0,043 0,042 0,041 0,04 0,039 0,038 0,038 0,037

2,1 0,036 0,035 0,034 0,033 0,032 0,032 0,031 0,03 0,029 0,029

2,2 0,028 0,027 0,026 0,026 0,025 0,024 0,024 0,023 0,023 0,022

2,3 0,021 0,021 0,02 0,02 0,019 0,019 0,018 0,018 0,017 0,017

2,4 0,016 0,016 0,016 0,015 0,015 0,014 0,014 0,014 0,013 0,013

2,5 0,012 0,012 0,012 0,011 0,011 0,011 0,01 0,01 0,01 0,01

2,6 0,009 0,009 0,009 0,009 0,008 0,008 0,008 0,008 0,007 0,007

2,7 0,007 0,007 0,007 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,005 0,005

2,8 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004

2,9 0,004 0,004 0,004 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003

)1;0(Nz

z

-1,96 0 +1,96

P z 1 96 1 96 0 95, : , ,

pour une loi normale centrée réduite, 95% des z appartiennent à l’intervalle [-1,96 :+1,96]

calcul d’une fréquence pour une distribution normale  on cherche la fréquence de

  

)8;40(Nx Asoitx 52

)1;0(8

40N

xz

 5,1

8

12

8

405252

zx

067,02

134,05,1 P

Pz

%7,6Asoit

)8;40(Nx

x x m 52 1 5, )1;0(Nz

5,1zloi normale centrée réduite

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 z

f(z)

loi normale

x

40

8 1

0x z

)1;0(Nmx

z

x N ( ; )170 20

on cherche la fréquence de x soit B 160 180:

loi normale

x170

20

zx

N 170

200 1 ( ; )

loi normale

x170

20

x z

x z

160160 170

20

10

200 5

180180 170

20

10

200 5

,

,

383,01617,05,0 PPz soit B 38 3%,

loi normale centrée réduite

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 z

f(z) x N

x x m m

( ; )

: , : ,

170 20

160180 0 5 0 5

)1;0(Nz

z 0 5 0 5, : ,

loi normale

x

Y

à l’inverse, on peut trouver une valeur à partir d’une fréquence.

 on cherche la valeur limite des 30% les plus faibles   

)8;40(Nx

6,03,02

PP

52,0603,0

53,0596,0

zP

zP

)1;0(8

40N

xz

8,35

408525,08

40525,0

x

xx

loi normale

x

Y

P z x

)1;0(Nz

Pz

20 3 0 525 , ,

8,35

)8525,0(40525,0

x

mx