D) Approximation normale d’une loi binomiale · 2 1 ) Loi de probabilite a densite sur un...
Transcript of D) Approximation normale d’une loi binomiale · 2 1 ) Loi de probabilite a densite sur un...
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Notion de loi à densité ............................................................................................................................................ 1
1 ) Loi de probabilite a densite sur un intervalle et loi uniforme ................................................................ 2
A ) Variable aléatoire a densité ..................................................................................................................... 2
B ) Loi de probabilité a densité ..................................................................................................................... 2
C ) Un exemple simple : La loi uniforme sur .................................................................................. 3
2 ) Les lois exponentielles .................................................................................................................................... 4
3 ) Lois normales .................................................................................................................................................... 5
A ) Loi normale standard (centrée reduite) ................................................................................. 5
B) Loi normale : ........................................................................................................................ 12
C ) Rappel sur la loi binomiale ................................................................................................................... 14
D) Approximation normale d’une loi binomiale ....................................................................................... 16
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1 ) Loi de probabilite a densite sur un intervalle et loi uniforme
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une probabilité.
A ) VARIABL E AL EATOIRE A DENSITE
Définition : Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de Ω associe
un nombre réel d’un intervalle I de ℝ.
Exemple de variable aléatoire continue: La durée de vie d’un équipement produit en grande
série
B ) LOI DE PROBABIL ITE A DENSITE
Définition :
est une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle et est une fonction
continue, positive sur I telle que :
∫
∫
Dire que est la loi de probabilité de densité de signifie que pour tout intervalle inclus
dans , la probabilité est égale à l’aide du domaine et
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Conséquences :
(1) Pour tout nombre réel de , car ∫
(2) On déduit de (1) que :
(3) Si (noté parfois aussi ) alors ∫
(4) Si et si est un nombre réel tel que :
∫
Définition de l’espérance d’une variable aléatoire continue :
L’espérance d’une variable aléatoire de densité sur est le nombre réel :
∫
L’espérance d’une variable aléatoire de densité sur est le nombre réel :
∫
Cette définition prolonge celle de l’espérance d’une variable aléatoire discrète :
∑
C ) UN EXEMPL E SIMPL E : LA LOI UNIFORME SUR
Définition:
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi uniforme sur signifie que la densité de
probabilité est une fonction constante sur
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Conséquences directes de la définition et propriétés :
La densité de probabilité de la loi uniforme sur est la fonction définie sur
par :
est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur :
Pour tout intervalle inclus dans :
DEMONSTRATION
Espérance :
est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur :
Son espérance est :
.
DEMONSTRATION
2 ) Les lois exponentielles
Définition :
λ est un réel strictement positif.
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ sur [0 ;+∞[ signifie que sa
densité de probabilité est définie sur [0 ;+∞ [ par
DEMONSTRATION
Conséquences de la définition et propriétés :
et sont deux réels tels que [ ]
(1)
(2)
(3)
DEMONSTRATION
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Durée de vie sans vieillissement :
Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tous réels positifs et
:
DEMONSTRATION
Espérance :
est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre sur [0 ;+∞ [.
Son espérance est
.
DEMONSTRATION EXIGIBLE
3 ) Lois normales
A ) LOI NORMAL E STANDARD (C ENTREE REDUITE)
Définition : On appelle fonction de Laplace-Gauss la fonction ϕ définie sur ℝ par
√
La fonction est continue, dérivable, strictement positive sur ℝ . Elle admet un maximum en
qui vaut
√ . Elle a pour limite 0 en +∞ et -∞.
Sa représentation graphique ci-contre s’appelle une courbe en cloche ou courbe de Gauss.
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Sa courbe admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
Théorème admis : L’aire totale du domaine sous la courbe en cloche est égale à 1.
La loi de probabilité associée à cette courbe a été définie au XIXème siècle par le mathématicien
allemand Gauss lorsqu’il étudia la distribution des erreurs d’observation de l’astéroïde Cérés. A
la même époque, elle fut aussi décrite par le mathématicien Laplace qui reprit et compléta les
travaux de Moivre en calcul des probabilités.
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Définition : Dire qu’une variable aléatoire Z suit la loi normale standard signifie qu’elle admet
pour densité de probabilité la fonction .
Pour tous nombres et tels que ,
∫
Définition : On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire , la fonction définie
par :
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On peut écrire que :
∫
Cette fonction ne peut pas s’exprimer à l’aide de fonctions élémentaires. C’est la primitive de
qui vaut
en 0. Φ est une fonction strictement croissante sur ℝ puisque ϕ est strictement
positive sur ℝ.
Représentation de Φ :
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Compte tenu de la symétrie de la courbe de Gauss, on a :
Théorème : Pour tout nombre réel x, Φ(-x)=1- Φ(x)
DEMONSTRATION
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Quelques valeurs à mémoriser :
Φ(1.96)≃0,975 et donc Φ(-1.96)≃0,025
P(Z>1.96)= P(Z<-1.96)≃0,025
P(-1.96≤Z≤1.96)= Φ(1.96)-Φ(-1.96)≃0.95
P(-1≤Z≤1)≃ 0.6827
P(-2≤Z≤2)≃ 0.9554
P(-3≤Z≤3)≃ 0.997
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Synthèse des propriétés
(1) ϕ est continue sur ℝ
(2) Pour tous nombres et tels que , ∫
(3) L’aire totale sous la courbe est égale à 1 ; elle représente
(4) La fonction est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées et donc :
(5) Pour tout nombre réel , et pour des raisons de
symétries :
donc :
Théorème : Si une variable aléatoire suit la loi normale standard, alors son espérance et 0 et sa
variance est 1.
Démonstration ex 82 et 83 p 432 Transmaths
C’est pour cette raison que la loi normale standard est aussi nommée loi normale centrée
et réduite car . On dit que suit la loi .
Théorème : Si Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale , alors pour tout
nombre réel , il existe un unique nombre réel tel que
Démonstration exigible
Ce théorème justifie l’existence et l’unicité d’un intervalle centré en 0 de probabilité donné. Par
exemple :
P(-1≤Z≤1)≃ 0.68
P(-1.96≤Z≤1.96)≃ 0.95
P(-2.58≤Z≤2.58)≃ 0.99
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B) LOI NORMAL E :
Définition : Soit μ un nombre réel et σ un nombre réel strictement positif. La variable aléatoire
X suit la loi normale si et seulement si la variable aléatoire
suit la loi
normale centrée réduite .
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Propriété (admise) : Si suit la loi normale alors son espérance mathématique est
et son écart-type est .
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Les intervalles 1, 2 et 3 sigma !
Propriété : P(μ -σ ≤X≤ μ +σ)≃ 0.6827
P(μ -2σ ≤X≤ μ +2σ)≃ 0.9554
P(μ -3σ ≤X≤ μ +3σ)≃ 0.997
Démonstration
C ) RAPPEL SUR L A L OI BINOMIAL E
Définition :
On répète fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli (expérience ayant deux
issues, l’une appelée succès de probabilité et l’autre appelée échec de probabilité
.
On note la variable aléatoire qui indique le nombre de succès.
X suit la loi binomiale de paramètres et notée :
(
)
où l’entier naturel varie de 0 à n et ( ) est un coefficient binomial .
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L’espérance de est
L’écart-type de est √
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D) APPROXIMATION NORMAL E D ’UNE L OI BINOMIAL E
Théorème de Moivre-Laplace (admis) : est une variable aléatoire qui suit une loi
binomiale . On pose
√ .
Pour tous nombres réels et tels que ,
∫
Règle d’approximation : Quand on a :
L’erreur sur les probabilités calculées est très faible. On ne fera l’approximation d’une loi
binomiale par une loi normale que lorsque ces trois conditions sont réunies.