LOGO Mohamed Yassine Haouam ALGEBRE DE BOOLE.

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Mohamed Yassine Haouam

ALGEBRE DE BOOLE

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2.1 Algèbre de Boole

Définition Système algébrique constitué de l'ensemble

{ 0, 1 } Variable booléenne : variable qui prend une

valeur 0 ou 1 Trois opérateurs de base:

Somme (+): a + b Produit (. ): a.b / ab Inverse/complémentation ( ¯ ) :

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Somme logique (+)

Propriétés: Elément neutre (0): a+0 = a Complémentation: a+ā = 1 Commutativité: a+b = b+a Associativité: (a+b)+c = a+(b+c) Distributivité: a+(b.c) = (a+b).(a+c)

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Produit logique (.)

Propriétés: Elément neutre (1): a.1 = a Complémentation: a.ā = 0 Commutativité: a.b = b.a Associativité: (a.b).c = a.(b.c) Distributivité: a.(b+c) = (a.b)+(a.c)

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Inverse/complémentation ( ¯ )

Propriétés Complémentation: a+ā =1 et a.ā=0 Involution :

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Théorèmes

Idempotence a + a = a et a.a = a

Elément absorbant a + 1 = 1 et a.0 = 0

Absorption a + a.b = a et a.(a + b) = a

Lois de De Morgan

Simplification et

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2.2 Fonctions Booléennes

Définition 1 On appelle fonction booléenne de n variables, toute

combinaison de ces variables au moyen des trois opérations booléennes (+, . , ¯ ).

Exemple: fonction booléenne de 3 variables a, b et c

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Mintermes et Maxtermes

Minterme On appelle "minterme" de n variables, l'un des produits

booléens de ces variables ou de leurs complémentaires. Exemple: Si on considère 4 variables a, b, c et d,

m= est un minterme,

m= n’est pas un minterme.

Il existe 2n Mintermes distincts pour n variables. Le symbole ‘mj’‘ est utilisé pour représenter un Minterme

particulier j est égale au décimal équivalent au code binaire associé

en posant 1 si une variable est présente, 0 si son complémentaire est présent.

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Maxterme On appelle «Maxterme » de n variables, l’une des sommes

booléennes de ces variables ou de leurs complémentaires. Exemple: Si on considère 4 variables a, b, c et d,

est un Maxterme,

n’est pas un Maxterme.

Il existe 2n Maxtermes distincts pour n variables. Le symbole ‘Mj’‘ est utilisé pour représenter un Maxterme

particulier. j est égale au décimal équivalent au code binaire associé

en posant 0 si une variable est présente, 1 si son complémentaire est présent.

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Propriétés Le complémentaire d’un Minterme est un Maxterme,

le complémentaire d’un Maxterme est un Minterme.

Exemple:

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Soit f une expression booléenne écrite sous la forme d’une somme de Mintermes (respectivement d’un produit de Maxterme) alors son complémentaire est la somme de tous les Mintermes (respectivement le produit de tous les Maxtermes) qui ne figurent pas dans l’écriture de f.

Exemple: Si

Alors

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Formes canoniques d’une fonction

Première forme: Ecrire f sous forme canonique disjonctive (ou première

forme canonique) revient à l’écrire comme la somme de mintermes des n variables.

Exemple:

Deuxième forme: Ecrire f sous forme canonique conjonctive (ou deuxième

forme canonique) revient à l’écrire comme le produit de maxtermes des n variables.

Exemple:

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Détermination des formes canoniques Utiliser le calcul booléen pour avoir une forme développée, Dans chaque monôme (terme), faire apparaitre les

«variables » manquantes. On s'appuie sur les propriétés de l'algèbre de Boole, et

notamment les règles: a+ā =1 et a.ā=0 Exemple 1: Pour 3 variables a, b et c

Exemple 2: Pour 4 variables a, b, c et d

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Passage d’une forme canonique à une autre

On utilise la règle

Exemple:

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Passage de la fonction logique à la table de vérité Pour chaque combinaison de valeurs possibles pour les

variables, on détermine la valeur booléenne de f. Exemple:

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Passage de la table de vérité à la fonction logique (1ère forme canonique)

Pour chaque valeur de f égale à 1, On définit un minterme de toutes les variables tel que:

Si une variable a = 1 on note a, sinon on note ā La première forme canonique de f(X) est la somme de ces

mintermes. Exemple: A partir de la table de vérité de l'exemple

précédent, f(a,b,c)= 1 quand :

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Passage de la table de vérité à la fonction logique (2ème forme canonique)

Pour chaque valeur de f égale à 0, On définit un minterme de toutes les variables tel que:

Si une variable a = 1 on note a, sinon on note ā la somme de ces mintermes est (X). Après calcul de on obtient 2ème forme canonique Exemple: A partir de la table de vérité de l'exemple

précédent, f(a,b,c)= 0 quand :

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2.3 Simplification des fonctions Booléennes

Les formes canoniques d'une fonction logique sont une définition correcte de la fonction, mais elles peuvent être simplifiées

Pour écrire la même fonction avec le moins de termes et les plus simples possibles

Pour réaliser la fonction avec moins d'éléments électroniques (portes logiques)

Trois méthodes pour simplifier l'écriture d'une fonction logique

Utiliser les propriétés de l'algèbre de Boole Utiliser la méthode des tableaux de Karnaugh Utiliser la méthode de Quine-Mc Cluskey

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Simplification des fonctions Booléennes

Simplification via algèbre de Boole A partir des propriétés de l'algèbre de Boole,

transformer la fonction pour la simplifier Simplifier la fonction initiale à l'aide des propriétés de

l'algèbre de Boole Essayer de déduire d'autres simplifications après

chaque simplification

Exemple:

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En factorisant, on obtient:

car ( )

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On distribue et calcule le complément

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Simplification par la méthode des tableaux de Karnaugh

Représentation sous une forme particulière de la table de vérité d'une fonction logique

Détermination des blocs rectangulaires de taille 2n (1, 2, 4, 8...) bits adjacents à 1

On en déduit la fonction simplifiée associée à la table de vérité

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Méthode des tableaux de Karnaugh

On représente un tableau à 2 dimensions Chaque dimension concerne une ou 2 variables Le passage d'une colonne à une colonne

adjacente ou d'une ligne à une ligne adjacente modifie la valeur d'une seule variable

Le tableau se referme sur lui-même : la colonne la plus à gauche est voisine de la colonne la plus à droite, (même chose pour les lignes du haut et du bas)

Une case du tableau contient une valeur booléenne, déterminée à partir de la table de vérité et des valeurs des variables

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Regroupement en blocs rectangulaires des bits à 1 adjacents

Tous les bits à 1 du tableau doivent être englobés dans au moins un bloc (un bloc à une taille de 1, 2, 4, 8 ... bits)

Un bit à 1 peut appartenir à plusieurs blocs On doit créer les blocs les plus gros possibles

chaque bloc correspond un terme formé comme suit:

Pour le bloc, si une variable prend les valeurs 0 et 1, on ne la prend pas en compte

On ne conserve que les variables qui ne varient pas. Si une variable a reste à 1 : on note a, si reste à 0 : on note ā

Le terme logique du bloc correspond au produit de ces variables qui ne changent pas

La fonction logique simplifiée est la somme de tous les termes des blocs trouvés

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tableau de Karnaugh pour 2 variables:

2 groupes de 2 bits adjacents : Le groupe vertical: on a toujours b = 1 donc cela donne le

terme b Pour l’horizontal: on a toujours a = 1 donc cela donne le

terme a

f(a, b) = a+b

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Un groupe de 4 bits adjacents Le terme : a

Un groupe de 2 bits adjacents Le terme:

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Un groupe de 8 bits adjacents Le terme: b



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Méthode de Quine-Mc Cluskey La méthode consiste:

Ecrire la fonction sous la 1ère forme canonique Utiliser la formule de simplification :

Exemple: Soit la fonction logique suivante :

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Méthode de Quine-Mc Cluskey

1ère forme canonique

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Etape 0: On classe les mintermes selon le nombre de ”1” de leur écriture : classe sans ”1”, classe avec un seul ”1”, etc... On obtient le tableau suivant :

Classes Etape 0 Repère

0 0000

1 00101000

2 0011011010011100

3 011111011110

4 1111

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Etape 1: On additionne chaque minterme de la classe

j avec chaque minterme de la classe j+1. Lorsqu’il est possible d’utiliser la formule de

simplification et d’éliminer ainsi une variable, on écrit le résultat dans la colonne Etape 1. Le symbole ”x” remplace la variable éliminée.

On repère à l’aide du symbole ”1” dans la colonne repère les deux mintermes concernés afin de montrer qu’ils disparaissent de la formule

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Classes Etape 0 Repère Etape 1 Repère

0 0000 1 00X0X000

1 00101000

11

001X0X10100X1X00

2 0011011010011100

1111

0X11011XX1101X01110X11X0

3 011111011110

111

X11111X1111X

4 1111 1

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Etape 2:

On procède comme à l’étape précédente avec les termes des classes 0, 1, 2, etc... On inscrit dans la colonne Etape 2, les nouveaux termes obtenus.

Si un terme a déjà été obtenu, on ne le réinscrit pas, par contre on marque avec des ”1”, les termes dont il est issu.

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Classes Etape 0 Repère Etape 1 Repère Etape 2 Repère

0 0000 1 00X0X000

00

1 00101000

11

001X0X10100X1X00

1111

0X1X0X1X1X0X1X0X

2 0011011010011100

1111

0X11011XX1101X01110X11X0

111111

X11XX11X11XX

3 011111011110

111

X11111X1111X

111

4 1111 1

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Etape 3,4…:

On réitère le processus jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de simplifications.

Dans l’exemple, il n’y a pas d’étape 4 et on obtient :

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Classes Etape 0 Repère Etape 1 Repère Etape 2 Repère Etape3

0 0000 1 00X0X000

00

1 00101000

11

001X0X10100X1X00

1 0X1X1X0X

00

2 0011011010011100

1111

0X11011XX1101X01110X11X0

111111

X11X11XX

00

3 011111011110

111

X11111X1111X

111

4 1111 1

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Les termes qui ont pour repère 0 sont les implicants premiers de f.

Dans notre exemple, les implicants premiers sont: 00X0 X000 0X1X 1X0X X11X 11XX

La forme simplifiée de f n’est pas optimale

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On construit la grille de Mc Cluskey

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Les barres verticales représentent les mintermes de la fonction f et les barres horizontales ses implicants premiers.

Les mintermes construits à partir des implicants premiers sont marqués d’une croix.

Lorsqu’il n’y a qu’une croix sur une ligne verticale, elle est entourée. Cela signifie que les implicants premiers correspondants doivent figurer impérativement dans l’expression simplifiée de f.

On a donc:

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On remarque ensuite qu’avec et on peut construire tous les mintermes de f sauf :

Pour les couvrir on a le choix entre:

ce qui donne les quatre formes simplifiées minimales de f:

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Les circuits logiques

Portes logiques Une porte logique est un circuit électronique

élémentaire qui Permet de réaliser la fonction d’un opérateur logique de base .

Porte NOT (NON)

Porte AND (ET)

Porte OR (OU)

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Porte NAND

Porte NOR

Porte XOR (OU exclusif)

A B A ⊕ B

0011

0101

0110

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Schéma d’un circuit logique ( Logigramme) C’est la traduction de la fonction logique en un schéma

électronique. Le principe consiste à remplacer chaque opérateur logique

par la porte logique qui lui correspond. Exemple 1:

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Exemple 2:

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Définition textuelle d’une fonction logique

Généralement la définition du fonctionnement d’un système est donnée sous un format textuelle .

Pour faire l’étude et la réalisation d’un tel système on doit avoir son modèle mathématique (fonction logique).

Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de la description textuelle.

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Étapes de conception et de réalisation d’un circuit logique

Pour faire l’étude et la réalisation d’un circuit il faut suivre le étapes suivantes :

Il faut bien comprendre le fonctionnement du système. Il faut définir les variables d’entrée. Il faut définir les variables de sortie. Etablir la table de vérité. Ecrire les équations algébriques des sorties ( à partir de

la table de vérité ). Effectuer des simplifications ( algébrique , par

Karnaugh, ou par Quine-Mc Cluskey). Faire le schéma avec un minimum de portes logiques.

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Exemple : définition textuelle du fonctionnement d’un système

Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés.

Le fonctionnement de la serrure est définie comme suit : La serrure est ouverte si au moins deux clés sont

utilisées. La serrure reste fermée dans les autres cas .

Donner la schéma du circuit qui permet de contrôler l’ouverture de la serrure ?

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Le système possède trois entrées : chaque entrée représente une clé.

On va correspondre à chaque clé une variable logique: clé 1 A , la clé 2 B , la clé 3 C

Si la clé 1 est utilisée alors la variable A=1 sinon A =0 Si la clé 2 est utilisée alors la variable B=1 sinon B =0 Si la clé 3 est utilisée alors la variable C=1 sinon C =0

Le système possède une seule sortie qui correspond à l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).

On va correspondre une variable S pour designer la sortie : S=1 si la serrure est ouverte , S=0 si elle est fermée

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