Algebre 1 (annales)

Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,

Économiques et Sociales RABAT

http://www.fsjesr.ac.ma

� ا�� اآ�ال – آ�� ا��م ا�� وا��د��

�� وا� اا�! �ط

Filière de Science Économiques et de Gestion

Semestre d’étude : S3

Module M10 : Méthodes Quantitatives II Matière : Mathématiques II

Mathématiques II

Annales :

2004-2005 à 2007-2008 & 2009-2010 Sujets d'examens dont certains sont avec correction

Salma DASSERSalma DASSERSalma DASSERSalma DASSER

Dernière mise à jour Juin 2010




� ا�� اآ�ال – آ�� ا��م ا�� وا��د��

�� وا� اا�! �ط

Filière de Sciences Économiques et de Gestion

Semestre : S3 Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II

Contenu du cours Chapitre 1 : espaces vectoriels réels

I- LCI et LCE

II- Structure d’espace vectoriel réel

III- Sous espaces vectoriels

IV- Combinaison linéaire - Système générateur

V- Système libre - système lié

VI- Ordre et rang d’un système de vecteurs

VII- Base d’un espace vectoriel

VIII- Espace vectoriel de dimension fini

Chapitre 2 : applications linéaires

I- Définitions et généralités

II- Opérations sur les applications linéaires

III- Image et image réciproque

IV- Noyau et image d’une application linéaire

V- Applications linéaires injectives et surjectives

VI- Rang d’une application linéaire

Chapitre 3 : Matrices

I- Généralités (définition, matrices particulières)

II- Matrices carrées

1. Matrice diagonale, Matrice triangulaire

2. Matrice symétrique, Matrice antisymétrique

III- Opérations sur les matrices

1. Addition, Multiplication, Puissance

2. Propriétés de l’ensemble des matrices

3. Matrice inversible

IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan

V- Matrice associée à un système de vecteurs

VI- Matrice d’une application linéaire

VII- Changement de base

Chapitre 4 : déterminants

I- Calcul d’un déterminant d’ordre n

II- Propriétés des déterminants

III- Inversion d’une matrice par la méthode des

cofacteurs

IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application

linéaire

Chapitre 5 : systèmes linéaires

I- Généralités (définition, écriture, rang)

II- Résolution d’un système linéaire triangulaire

III- Résolution d’un système linéaire de Cramer

1. Par l’inversion de la matrice du système

2. Par la méthode de Cramer

IV- Résolution d’un système linéaire non de Cramer

1. Système avec second membre

2. Cas particulier d’un système homogène

Objectif du cours Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et le calcul

matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires.

Pré-reqcuis recommandé� Calcul dans � � Notions élémentaires sur les ensembles

Mode d’évaluation� Contrôle final (2h) � contrôle de rattrapage (1h30)

Déroulement du cours� Cours magistraux (25h) � Travaux dirigés (15h)

Support du cours� Polycopié du cours � Séries d’exercices corrigés

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Année académique : 2004-2005

Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004

[1]

Année académique : 2004-2005

Session : Automne-hiver

Contrôle Contrôle Contrôle Contrôle continucontinucontinucontinu .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2222

Contrôle finalContrôle finalContrôle finalContrôle final ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 10101010

Contrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapage ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 12121212




� ا�� اآ�ال – �� آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط

CONTROLE CONTINU Durée : 1h30

Filière : Sciences Economiques et de Gestion

Semestre : S3

Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2004-2005

Sections : C & D

Professeure : Salma DASSER

Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.


[2]

Exercice 1 : (2 points)

On considère l’application linéaire f définie de 3IR vers

2IR par :

)..,.()),,((:),,( 3 zeyxezyexzyxfIRzyx mmm ++++=∈∀ , IRm∈

A-t-on { })0,0,0()( =fKer ?

Exercice 2 : (3 points) Soit ),( ∗G un groupe et f un endomorphisme de ),( ∗G .

Montrer que l’ensemble { }xxfGxH =∈= )(/ est un sous groupe de ),( ∗G .


Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V et 2V définis par :

{ }0/),,( 31 =++∈= zyxIRzyxV et { }zyxIRzyxV ==∈= /),,( 3

2

1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels 1V et 2V . 1,5 pts

2) Déterminer 21 VV ∩ . A-t-on 3

21 IRVV =⊕ ? 2,5 pts

Exercice 4 : (11 points) (Les parties I et II peuvent être traitées séparément)

I) Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,1,1(1 =v , ),1,1(2 av = et ),,1(3 aav = .

Discuter suivant le paramètre IRa∈ :

1) La dépendance des vecteurs 321, vetvv . 3 pts

2) Le rang du système { }321 ,, vvvS = . 2 pts

II) On considère l’endomorphisme f de 3IR défini par :

),,()),,((:),,( 3 mzmyxmzyxzyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ , ( IRm∈ )

1) Pour 1=m , déterminer une base de )( fKer et en déduire le rang de f . 1,5 pts

2) Pour 1−=m , déterminer une base de fIm et en déduire le rang de f . 1,5 pts

3) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre IRm∈ , l’application f est-elle bijective ? 3 pts

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle continu


[3]

Exercice 1

Enoncé :

On considère l’application linéaire f définie de 3IR vers

2IR par :

)..,.()),,((:),,( 3 zeyxezyexzyxfIRzyx mmm ++++=∈∀ , IRm∈

A-t-on { })0,0,0()( =fKer ?

Solution :

On suppose que { })0,0,0()( =fKer .

� Si { })0,0,0()( =fKer , alors f est injective (car une application linéaire f de E vers F est

injective ssi { }EfKer 0)( = ).

� f est injective implique que 23 dimdim IRIR ≤ ( car si une application linéaire f de E vers

F est injective alors FE dimdim ≤ ).

� Ce qui absurde car on sait que )2dim)3(dim 23 =>= IRIR

Ou bien :

)(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0()),,(( =zyxf

ssi )0,0,0()..,.( =++++ zeyxezyex mmm

ssi

=++=++

0..

0.

2

1

zeyxe

zyex

e

emm

m

ssi

=+−=−

−−

0)).(1(

0).1(

.

.2

2

12

21

zxe

ye

eee

eeem

m

m

m

� Si )0(0)1( 2 ≠≠− me m alors

)(),,( fKerzyx ∈ ssi

=+=

0)(

0

zx

y

ssi IRzzzzyx ∈= ),,0,(),,(

ssi )1,0,1.(),,( −= zzyx

ssi )1,0,1.(),,/()(! −=∈=∃ αα zyxIRz

D’où >−=< )1,0,1()( fKer et alors { })0,0,0()( ≠fKer

� Si )0(0)1( 2 ==− me m alors

)(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0()),,(( =zyxf

ssi )0,0,0(),( =++++ zyxzyx

ssi 0=++ zyx

ssi zyx −−=

ssi IRzyzyzyzyx ∈−−= ,),,,(),,(

ssi )1,0,1.()0,1,1.(),,( −+−= zyzyx

ssi )1,0,1.()0,1,1.(),,/()(),(! −+−=∈==∃ βαβα zyxIRzy

D’où >−−=< )1,0,1(),0,1,1()( fKer et alors { })0,0,0()( ≠fKer



[4]

Exercice 2

Enoncé :

Soit ),( ∗G un groupe et f un endomorphisme de ),( ∗G .

Montrer que l’ensemble { }xxfGxH =∈= )(/ est un sous groupe de ),( ∗G .

Solution :

Montrons que { }xxfGxH =∈= )(/ est un sous groupe de ),( ∗G .

� Ο/≠H : He∈ ( eétant l’élément neutre de ),( ∗G ) car :

� eef =)( ( f est un endomorphisme ⇒ eef =)( )

� :Hx∈∀ Hx∈' ( 'x étant le symétrique de x dans le groupe ),( ∗G ) car :

� ))'(()'( xfxf = ( f est un endomorphisme ⇒ ))'(()'( xfxf = )

� ⇒ ')'( xxf = ( xxfHx =⇒∈ )( )

� :, Hyx ∈∀ Hyx ∈+ car :

� )()()( yfxfyxf +=+ ( f est un endomorphisme)

� ⇒ yxyxf +=+ )( ( yyfetxxfHyx ==⇒∈ )()(, )

{ }xxfGxH =∈= )(/ est alors un sous groupe de ),( ∗G .

Exercice 3

Enoncé :

Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V et 2V définis par :

{ }0/),,( 31 =++∈= zyxIRzyxV et { }zyxIRzyxV ==∈= /),,( 3

2

Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels 1V et 2V .

Déterminer 21 VV ∩ . A-t-on 3

21 IRVV =⊕ ?

Solution :

1) Déterminons une base de { }0/),,( 31 =++∈= zyxIRzyxV et { }zyxIRzyxV ==∈= /),,( 3

2

a. { }0/),,( 31 =++∈= zyxIRzyxV

)1,1,0.()1,0,1.(),,/()(),(!

)1,1,0.()1,0,1.(),,(

,),,,(),,(

0:),,( 1

−+−=∈==∃⇔−+−=⇔

∈−−=⇔−−=⇔

=++∈∀

βαβα zyxIRyx

yxzyx

IRyxyxyxzyx

yxz

zyxVzyx

{ })1,1,0(),1,0,1( −− est alors une base de 1V .



[5]

Remarque : Cette base n’est pas unique. On peut en trouver d’autres :

Par exemple :

)1,0,1.()0,1,1.(),,/()(),(!

)1,0,1.()0,1,1.(),,(

,),,,(),,(

0:),,( 1

−+−=∈==∃⇔−+−=⇔

∈−−=⇔−−=⇔

=++∈∀

βαβα zyxIRzy

zyzyx

IRzyzyzyzyx

zyx

zyxVzyx

{ })1,0,1(),0,1,1( −− est alors une autre base de 1V .

b. { }zyxIRzyxV ==∈= /),,( 32

)1,1,1.(),,/()(!

)1,1,1.(),,(

),,,(),,(

:),,( 2

αα =∈=∃⇔=⇔

∈=⇔==∈∀

zyxIRx

xzyx

IRxxxxzyx

zyxVzyx

{ })1,1,1( est alors une base de 2V .

2)

a. Déterminons 21 VV ∩

)0,0,0(),,(

0

0

),,(),,(),,( 2121

=⇔===⇔

===++⇔∈∈⇔∩∈

zyx

zyx

zyxetzyx

VzyxetVzyxVVzyx

On en conclut que { })0,0,0(21 =∩VV

b. Vérifions si 3

21 IRVV =⊕ .

� ),,(),,(),,/(),,(),,(!:),,( 2221112222111133

21 zyxzyxzyxVzyxetVzyxIRzyxIRVV +=∈∈∃∈∀⇔=⊕

� Or { })1,1,0(),1,0,1( 21 −=−= uu est une base de 1V ,

� ce qui implique que : 2211111211111 ),,/(,!),,( uuzyxIRVzyx αααα +=∈∃∈∀

� et { })1,1,1(3 =u est une base de 2V ,

� ce qui implique que : 3322232222 ),,/(!),,( uzyxIRVzyx αα =∈∃∈∀

� On en déduit alors que :

33221132133

21 ...),,/(,,!:),,( uuuzyxIRIRzyxIRVV αααααα ++=∈∃∈∀⇔=⊕

3321 de base uneest ),,( IRuuu⇔

� Il suffit alors de vérifier que { }321 ,, uuu est une base de 3IR .

� { }321 ,, uuu est une base de 3IR ssi { }321 ,, uuu est un système libre

(car { } 3dim,, Ordre 3321 == IRuuu )



[6]

� { }321 ,, uuu est un système libre ssi 0)0,0,0(... 321332211 ===⇒=++ αααααα uuu

� )0,0,0(... 332211 =++ uuu ααα )0,0,0()1,1,1.()1,1,0.()1,0,1.( 321 =+−+−⇒ ααα

� )0,0,0(),,( 3213231 =+−−++⇒ ααααααα

�

=−==−=

=++⇒

=+−−=+=+

⇒

0

0

03

0

0

0

32

31

3

2

1

321

321

32

31

3

2

1

αααα

α

ααααααα

e

e

eee

e

e

e

0321 ===⇒ ααα

� { }321 ,, uuu est alors un système libre donc une base de 3IR et

321 IRVV =⊕ .

Exercice 4

Enoncé :

I) Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,1,1(1 =v , ),1,1(2 av = et ),,1(3 aav = .

Discuter suivant le paramètre IRa∈ :

1) La dépendance des vecteurs 321, vetvv .

2) Le rang du système { }321 ,, vvvS = .

On considère l’endomorphisme f de 3IR défini par :

),,()),,((:),,( 3 mzmyxmzyxzyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ , ( IRm∈ )

1) Pour 1=m , déterminer une base de )( fKer et en déduire le rang de f .

2) Pour 1−=m , déterminer une base de fIm et en déduire le rang de f .

3) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre IRm∈ , l’application f est-elle bijective ?

Solution :

I) )1,1,1(1 =v , ),1,1(2 av = et ),,1(3 aav = .

1) Discutons la dépendance des vecteurs 321, vetvv , suivant le paramètre IRa∈ .

� { }321 ,, vvv est un système libre ssi 0)0,0,0(... 321332211 ===⇒=++ αααααα vvv

� )0,0,0(... 332211 =++ vvv ααα )0,0,0(),,1.(),1,1.()1,1,1.( 321 =++⇒ aaa ααα

)0,0,0(),,( 321321321 =++++++⇒ ααααααααα aaa

=++=++=++

⇒

0

0

0

321

321

321

3

2

1

ααααααααα

aa

a

e

e

e

=−=−=++

−−⇒

0)1(

0)1(

0

2

3

321

32

21

1

ααααα

a

a

ee

ee

e



[7]

� Si )1(0)1( ≠≠− aa alors

)0,0,0(... 332211 =++ vvv ααα

===++

⇒

0

0

0

2

3

321

ααααα

0321 ===⇒ ααα

{ }321 ,, vvv est alors un système libre.

� Si )1(0)1( ==− aa alors

)0,0,0(... 332211 =++ vvv ααα

∈∈=++

⇒

IR

IR

2

3

321 0

ααααα

0321 =++⇒ ααα

� { }321 ,, vvv est alors un système lié car ( 321 vvv == )

)0,0,0(.../)0,0,0()1,0,1(),,( 332211321 =++≠−=∃ vvv αααααα

2) Discutons le rang du système { }321 ,, vvvS = , suivant le paramètre IRa∈ : 3)(1 ≤≤ Srg

� Si )1(0)1( ≠≠− aa alors { }321 ,, vvvS = est un système libre et 3)( =Srg

� Si )1(0)1( ==− aa alors { }111 ,, vvvS = et 1)( =Srg

II) ),,()),,((:),,( 3 mzmyxmzyxzyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ , ( IRm∈ )

1) Pour 1=m ),,()),,(( zyxzyxzyxzyxf ++++++=

� )(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0()),,(( =zyxf

ssi )0,0,0(),,( =++++++ zyxzyxzyx

ssi 0=++ zyx

ssi zyx −−=

ssi IRzyzyzyzyx ∈−−= ,),,,(),,(

ssi )1,0,1.()0,1,1.(),,( −+−= zyzyx

ssi )1,0,1.()0,1,1.(),,/()(),(! −+−=∈==∃ βαβα zyxIRzy

� { })1,0,1(),0,1,1( −− est alors une base de )( fKer et 2)(dim =fKer

� On sait que 3dim)(dim)( IRfKerfrg =+ 1)( =⇒ frg

Remarque : 1)( VfKer = (cf. Exercice 3) et alors >−−=< )1,0,1(),0,1,1()( fKer .

2) Pour 1−=m ),,()),,(( zyxzyxzyxzyxf −−−+++=

� On sait que si { }321 ,, eee est une base de 3IR alors >=< )(),(),()Im( 321 efefeff et

{ })(),(),()Im(dim 321 efefefrgf = .



[8]

� Pour déterminer une base de )Im( f , il suffit alors d’extraire du système { })(),(),( 321 efefef un

système libre d’ordre égal au { })(),(),( 321 efefefrg

� On considère la base canonique { }321 ,, eee de 3IR :

−−=−=

=

)1,1,1()(

)1,1,1()(

)1,1,1()(

3

2

1

ef

ef

ef

� On commence par déterminer le { })(),(),( 321 efefefrg : { } 3)(),(),(1 321 ≤≤ efefefrg

� { } 3)(),(),( 321 =efefefrg ssi { })(),(),( 321 efefef est un système libre

� { })(),(),( 321 efefef est un système libre ssi

0)0,0,0()(.)(.)(. 321332211 ===⇒=++ αααααα efefef

� )0,0,0()(.)(.)(. 332211 =++ efefef ααα )0,0,0()1,1,1.()1,1,1.()1,1,1.( 321 =−−+−+⇒ ααα

)0,0,0(),,( 321321321 =−−−+++⇒ ααααααααα

=−−=−+=++

⇒

0

0

0

321

321

321

3

2

1

ααααααααα

e

e

e

===++

−−⇒

02

02

0

2

3

321

32

21

1

ααααα

ee

ee

e

� )0,0,0(... 332211 =++ vvv ααα 0321 ===⇒ ααα

� { })(),(),( 321 efefef est alors un système libre et { } 3)(),(),( 321 =efefefrg

� { })(),(),( 321 efefef est alors une base de )Im( f et 3)Im(dim =f . D’où 3)Im( IRf =

Remarque : { } { }321321 ,,)(),(),( vvvefefef = , avec 1−=a

Comme )1( ≠a alors { }321 ,, vvvS = est un système libre et 3)( =Srg (cf. I- 2))

3) Déterminons les valeurs du paramètre IRm∈ pour lesquelles l’application f est bijective.

� On sait qu’une application linéaire définie d’un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F de

même dimension est bijective ssi elle injective ssi elle est surjective.

� Pour montrer que l’endomorphisme f est bijectif, il suffit alors de montrer qu’il est injectif ou

surjectif.

� f est injective ssi { })0,0,0()( =fKer .

� Pour montrer que f est injective, il suffit alors de déterminer le noyau de f suivant les valeurs

du paramètre IRm∈ .



[9]

� )(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0()),,(( =zyxf

ssi )0,0,0(),,( =++++++ mzmyxmzyxzyx

ssi

=++=++=++

0

0

0

3

2

1

mzmyx

mzyx

zyx

e

e

e

ssi

=−=−=++

−−

0)1(

0)1(

0

32

21

1

ym

zm

zyx

ee

ee

e

� Si )1(0)1( ≠≠− mm alors

)(),,( fKerzyx ∈ ssi

===++

0

0

0

y

z

zyx

ssi 0=== zyx

D’où { })0,0,0()( =fKer

� Si )1(0)1( ==− mm alors >−−=< )1,0,1(),0,1,1()( fKer (cf. 1))




� ا�� اآ�ال – �� آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط

CONTROLE FINAL Durée : 2h


Semestre : S3


Sections : C & D




[10]


Soit E l’ensemble des matrices M de )3(MMMM qui ont la forme suivante :

++

+=

bacb

ccac

bcba

M , IRcba ∈,,

1) Montrer que toute matrice M de E peut s’écrire sous la forme cKbJaIM ++= , où les matrices I ,

J et K sont à déterminer. 0,5 pt

2) En déduire que E est un sous espace vectoriel de )3(MMMM dont on donnera une base. 1 pt

3) La matrice

−−−

−

111

111

111

est-elle dans E ? 0,5 pt


On considère les vecteurs )1,0,0,1(1 =u , )0,1,1,0(2 =u , )0,1,1,0(3 −=u et )1,0,0,1(4 −=u .

1) Montrer que { }4321 ,,,' uuuuB = est une base de 4IR . 1 pt

2) On considère l’endomorphisme f de 4IR défini par :

),,,(),,,(:),,,( 4 xtyzzytxtzyxfIRtzyx ++−−=∈∀

a. Que représente la matrice 'BBP pour f , B étant la base canonique de 4IR ? 1pt

b. En déduire que ),/()','/( BBfMBBfM = . 1 pt


On considère le système linéaire

−=−+−−−=+++−=++−

3)3(32

2)1(2

122)1(

)(

mzmyx

mzymx

mzyxm

S , IRm∈

1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )(S est-il de Cramer ? 3 pts

2) Le résoudre pour 3=m . 2 pts

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle final


[11]


I) On considère l’endomorphisme f de 3IR défini par :

),,()),,((:),,( 3 zmymxmzymxmzmyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ ( IRm∈ )

1) Discuter, selon le paramètre m , le rang de f . 3 pts

2) Pour 2/1−=m , déterminer une base de )( fKer et une base de fIm . 2 pts

II) Dans 3IR , on considère les vecteurs )2,,2(1 aaav −= , )2,2,(2 aaav −= et ),2,2(3 aaav = , IRa∈ .

1) Montrer que si 0≠a alors { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR . 1,5 pt

2) On prend 3/1=a

a. Calculer 2

')( BBP , B étant la base canonique de 3IR . 1 pt

b. En déduire BBP ' . 0,5 pt

III) On prend 1=m et 3/1=a .

1) Ecrire ),/( BBfM . 0,5 pt

2) Déterminer ),'/( BBfM , )',/( BBfM et )','/( BBfM . 1,5 pts




� ا�� اآ�ال – �� آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط

CONTROLE DE RATTRAPAGE Durée : 1h30


Semestre : S3


Sections : C & D




[12]


Montrer que : 02

2

2

=cbcac

bcbab

caba

et 3)(

22

22

22

cba

baccc

bacbb

aacba

++=−−

−−−−



=++=+−=++−

522

122

122

)(

zyx

zyx

zyx

S

1) Ecrire le système )(S sous sa forme matricielle bXA =. 0,5 pt

2) Calculer 2A et en déduire

1−A . 1 pt

3) En déduire la solution du système )(S . 0,5 pt

4) Résoudre le système )(S par la méthode des déterminants de Cramer. 1 pt


Dans 4IR , on considère les sous ensembles 1V et 2V définis par :

{ }0/),,,( 41 =−=−∈= tzyxIRtzyxV et { }mzytxIRtzyxV =−=−∈= /),,,( 4

2 ,( IRm∈ )

1) Vérifier que 1V est un sous espace vectoriel de 4IR et en donner une base. 1 pt

2) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , 2V est-il un sous espace vectoriel de4IR ? 1 pt

3) Pour 0=m

a. Trouver une base de 2V . 1 pt

b. A-t-on 4

21 IRVV =⊕ ? 2 pt

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle de rattrapage


[13]


1) Dans 3IR muni de sa base canonique { }321 ,, eeeB = , on considère les vecteurs :

3211' eeee ++= , 22' ee = et 33' ee =

a. Vérifier que { }321 ',','' eeeB = est une base de 3IR . 1 pt

b. Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' . 1,5 pts

2) On considère l’endomorphisme f de 3IR défini par :

),,()),,((:),,( 3 bzaycxazcybxczbyaxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ ( *,, IRcba ∈ )

a. Ecrire ),/( BBfM . 0,5 pt

b. Déterminer )','/( BBfM . 1 pt

3) On prend ba =

a. Calculer 'detA , )','/(' BBfMA = 0,5 pt

b. En déduire Adet , ),/( BBfMA = 0,5 pt

c. Retrouver Adet par un calcul direct du déterminant. 1 pt

4) On prend ba = et ac 2−=

a. Déterminer le rang de f . 1 pt

b. f est-il un automorphisme ? 0,5 pt

5) On prend 2/1−== ba et 1=c

a. Déterminer une base de )( fKer et une base de fIm . 2 pts

b. En déduire le rang de f . 0,5 pt

[S1, Module M4, Matière : Instruments d’analyse économique] Année académique : 2005-2006


[14]








� ا�� اآ�ال – �� آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط

CONTROLE FINAL Durée : 1h30


Semestre : S3


Sections : A & B




[15]

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : (2: (2: (2: (2 points)points)points)points) L'ensemble

+=+∈

= cbdaM

dc

baE /)2( est-il un sous espace vectoriel de )2(M ?

(Si oui, on donnera une base et la dimension de E ) Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : (3 points): (3 points): (3 points): (3 points) Sur

3IR , on définit l’endomorphisme f par :

),,()),,(()(:),,( 3 zzxzyzyxfXfIRzyxX +−+−==∈=∀

1) On considère les ensembles 1V et 2V définis par :

{ }XXfIRXV =∈= )(/31 et { }XXfIRXV −=∈= )(/3

2

a. Montrer que 1V et 2V sont deux sous espaces vectoriels de 3IR . 1 pt

b. Déterminer une base de 1V et une base de 2V . 1 pt

c. A-t-on 3

21 IRVV =⊕ ? 1 pt

2) On considère dans 3IR les vecteurs :

)1,2,1( aau −−= , )1,1,2( −−= aav et )0,,( aaw = , IRa∈

a. Vérifier que IRa∈∀ : 1Vu∈ , 1Vv∈ et 2Vw∈ . 0,5 pt

b. Pour quelles valeurs du paramètre IRa∈ , { }wvu ,, est-elle une base de 3IR ? 1 pt

3) On prend 1=a

a. Vérifier que { }wvu ,, est une base de 3IR . 0,5 pt

b. Ecrire les matrices de passage 'BBP et BBP ' . 1,5 pt

c. En déduire les matrices ),'/( 3 BBidMIR

et )',/( 3 BBidMIR

. 0,5 pt

d. Déterminer la matrice )','/( BBfM . 1 pt



[16]

Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : (10 points): (10 points): (10 points): (10 points) N.B. Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment.

I) Dans )4(M , on considère la matrice

+=

mm

mm

m

mm

A

00

1)1(20

001

210

, IRm∈

1) Montrer que 2)1)(2(det mmmA +−= . 2,5 pts

2) Discuter le rang de la matrice A selon les valeurs du paramètre IRm∈ . 1 pt

II) On considère l’application linéaire f définie de 4IR vers

4IR par :

),)22(,,2()),,,((:),,,( 4 mtmxtmzymmyxmtzmxtzyxfIRtzyx +++++++=∈∀

1) Ecrire la matrices ),/( BBfM . 0,5 pt

2) On prend 1−=m

a. Donner une base de )Im( f et une base de )( fKer . 2 pts

b. En déduire le rang de f . 0,5 pt

III) On considère le système linéaire

−=+=+++

−=+=++

1

22

1

2

)(

mmtmx

mtmzymy

mmyx

mmtzmx

S

1) Ecrire le système )(S sous la forme matricielle bXA =. . 0,5 pt

2) On prend 1=m

a. Vérifier que le système est de Cramer. 1 pt

b. Résoudre le système )(S . 2 pts

(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer)




� ا�� اآ�ال – ��آ�� ا��م �� ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط



Semestre : S3


Sections : A & B




[17]


1) L'ensemble

+=+∈

= cbdaM

dc

baE /)2(1 est-il un sous espace vectoriel de )2(M ?

(Si oui, on donnera une base et la dimension de 1E ) 2 pts

2) Même question pour

=∈

= bcadM

dc

baE /)2(2 2 pts

Exercice 2 : (16 points) N.B. Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment.

I) Dans )3(M , on considère la matrice

=mm

m

m

A

1

11

11

, IRm∈

1) Montrer que la matrice A est inversible si et seulement si { }1,1−∉m . 1,5 pts

2) Discuter le rang de la matrice A selon les valeurs du paramètre IRm∈ . 1,5 pts

II) On considère l’application linéaire f définie de 3IR vers

3IR par :

),,()),,((:),,( 3 mzymxzmyxmzyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀

1) Calculer l’image de la base canonique B de 3IR par f . 0,5 pt

2) En déduire une base de )Im( f selon les valeurs du paramètre m . 2 pts

3) Déterminer le noyau de f , selon les valeurs du paramètre m . 2 pts

4) En déduire le rang de f , selon les valeurs du paramètre m . 1 pt



[18]

III) On prend 1−=m

1) Donner une base de )( fKer et une base de )Im( f . 1 pt

2) A-t-on 3)Im()( IRffKer =⊕ ? 1 pt

3) En déduire une base 'B de 3IR . 0,5 pt

4) Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' . 1,5 pts

5) Donner les matrices ),/( BBfM et )','/( BBfM . 1 pt

IV) On considère le système linéaire

+=+++=+++=++

1

1

1

)(

mmzymx

mzmyx

mmzyx

S

1) Ecrire le système )(S sous la forme matricielle bXA =. . 0,5 pt

2) On prend 2=m

3) Vérifier que le système est de Cramer. 0,5 pt

4) Résoudre le système )(S . 1,5 pts




[19]








� ا�� اآ�ال – �� آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط



Semestre : S3


Sections : A & B




[20]

Les parties I, II, III, IV et V peuvent être traitées indépendamment.

I) Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V et 2V suivants :

{ }02,0/),,( 31 =+−=+−∈= zyxzyxIRzyxV et )1,1,1(),2,2,1(),1,1,1(2 −−−−=V

1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus. 1 pt

2) A-t-on 3

21 IRVV =⊕ ? 2 pts

II) Dans )3(M , on donne la matrice

=001

011

111

M

1) Montrer que la matrice M est inversible. 0,5 pt

2) Calculer sa matrice inverse 1−M . 1 pt

3) Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,1,1(1 =v , )0,1,1(2 =v et )0,0,1(3 =v .

a. Que représente la matrice M pour le système { }321 ,, vvv ? 0,5 pt

b. En déduire que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR . 0,5 pt

c. Déduire des questions précédentes les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base

canonique de 3IR . 0,5 pt

III) Dans )3(M , on donne la matrice

−−−+−=mm

mmmC

102

1122

102

, IRm∈

1) Montrer que la matrice C est inversible si et seulement si { }1,0−∉m . 1 pt

2) Discuter le rang de la matrice C selon les valeurs du paramètre m . 2 pts



[21]


+=+−=−+++=++

12

0)1(

)1(

)(

mzyx

zmymx

mmzmyx

S

1) Pour quelle(s) du paramètre m , le système )(S est-il de Cramer? 1,5 pts

2) On prend 1=m

a. Vérifier que le système )(S est de Cramer. 0,5 pt

b. Résoudre le système )(S . 1,5 pt


3) On prend 1−=m .

a. Quel est le rang du système )(S ? 0,5 pt

b. Résoudre le système )(S . 1 pt

V) Dans )3(M , on considère la matrice

−−−+−=mm

mmmC

102

1122

102

, IRm∈

� Soit f l'endomorphisme dont la matrice relativement à la base { }321 ,,' vvvB = est égale à C :

)','/( BBfMC = . ( 'B est la base du II)3)b. : )1,1,1(1 =v , )0,1,1(2 =v et )0,0,1(3 =v ).

1) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de f . 1 pt

(Sans écrire l'expression analytique de f ).

2) Donner les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR . 1 pt

3) En déduire que

−−==

211

11

11

),/( mm

m

ABBfM , 1 pt

( A est la matrice du système )(S du IV).

4) Déterminer le rang de la matrice A suivant le paramètre m . 1 pt

5) Pour 1−=m , donner une base de )Im( f et une base de )ker(f . 2 pts




� ا�� اآ�ال – �� آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط



Semestre : S3


Sections : A & B




[22]

Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment.

I) Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V , 2V et 3V suivants :

{ }0332,02,022/),,( 31 =−−−=++=++−∈= zyxzyxzyxIRzyxV ,

)3,1,2(),2,2,1(2 −−−=V et )1,1,3(3 −=V

1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus. 1,5 pts

2) A-t-on

a. 331 IRVV =⊕ ? 1 pt

b. 3

32 IRVV =⊕ (On peut remarquer que 323 VVV =∩ )? 1,5pt

c. 321 IRVV =⊕ ? 2 pts

II) Sur 3IR , on définit l’endomorphisme f par :

( )zmyxzymxzyxmzyxfIRzyx )3(32,)1(2,22)1()),,((:),,( 3 −+−−+++++−=∈∀

1) Dans3IR , on considère les vecteurs )1,1,0(1 −=v , )2,2,1(2 −=v et )1,3,4(3 −=v .

a. Vérifier que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR . 0,5 pt

b. Déterminer par un calcul direct )','/( BBfMC = . 2 pts

c. Discuter le rang de la matrice C selon les valeurs du paramètre m . 1 pt

d. En déduire le rang de f , suivant le paramètre m . 0,5 pt

2) Pour 0=m , donner une base de )Im( f et une base de )ker(f . 2 pts

III) Dans )3(M , on donne la matrice

−−−+

−=

332

112

221

m

m

m

A , IRm∈

1) Montrer que la matrice A est inversible si et seulement si { }2,1,0∉m . 1,5 pt

2) Discuter le rang de la matrice A selon les valeurs du paramètre m . 2 pts

3) Comparer )(Arg et )(Crg , pour IRm∈ ?, avec )','/( BBfMC = (voir II)2)c.). 0,5 pt



[23]


=−+−−−=+++

=++−

bzmyx

bzymx

bzyxm

S

)3(32

)1(2

22)1(

)(

1) On prend 1−=m et 2=b .

a. Vérifier que le système )(S est de Cramer. 0,5 pt

b. Résoudre le système )(S . 1,5 pt


2) On prend 0=b .

a. Pour quelle(s) du paramètre m , le système )(S est-il de Cramer? 0,5 pt

b. On prend 0=m .

i. Quel est le rang du système )(S . 0,5 pt

ii. Résoudre le système )(S . 1 pt



[24]








� ا�� اآ�ال – �� آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط



Semestre : S3


Sections : A & B




[25]


Partie I (3 points)

♦ Dans )3(M , on donne la matrice

−−−

−−=

m

m

m

Am

111

111

111

, IRm∈

1) Calculer le rang des matrices 2A ( 2=m ) et 1−A ( 1−=m ). 2 pts

2) Montrer que la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,2−∉m . 1 pt

Partie II (6 points)

♦ On considère le système linéaire

−=−++−−=+−+−=−+−

)2()1(

)2()1(

)2()1(

)(

mmzmyx

mmzymx

mmzyxm

Sm

1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )( mS est-il de Cramer ? 1,5 pt

2) Résoudre le système )( mS pour :

a. 0=m 1,5 pt

b. 1=m 1,5 pt

c. 1−=m 1,5 pt

(Utiliser uniquement la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer pour la

résolution de tout système de Cramer)



[26]

Partie III (3 points)

♦ Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V , 2V et 3V suivants :

( ){ }02et 02,02/,, 31 =++−=++=−+∈= zyxzyxzyxIRzyxV

( ){ }02,02/,, 32 =++=−+∈= zyxzyxIRzyxV et ( ){ }02/,, 3

3 =−+∈= zyxIRzyxV

1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus. 1,5 pts

2) A-t-on 3

21 IRVV =⊕ ? 3

31 IRVV =⊕ ? 1,5 pts

Partie IV (8 points)

♦ Soit f l'endomorphisme de 3IR dont la matrice relativement à la base canonique B de

3IR est donnée

par :

−−−

−−==

m

m

m

ABBfM m

111

111

111

),/(

1) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de f . 1,5 pts

2) Pour 1−=m , donner une base de )Im( f et une base de )ker(f . 2 pts

3) Dans 3IR , on donne les vecteurs )1,1,1(1 −=v , )0,1,1(2 =v et )1,1,0(3 =v .

a. Vérifier que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR . 0,5 pt

b. Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' . 1,5 pt

4) On prend 0=m .

a. Déterminer par un calcul direct )','/( BBfM . 1,5 pts

b. Retrouver )','/( BBfM par la formule de changement de base. 1 pt

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle final


[27]

Partie 1

Enoncé :

Dans )3(M , on donne la matrice

−−−

−−=

m

m

m

Am

111

111

111

, IRm∈

1) Calculer le rang des matrices 2A ( 2=m ) et 1−A ( 1−=m ).

2) Montrer que la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,2−∉m .

Solution :

1) Calcul du rang de mA pour

a. 1−=m :

−

−=−

211

121

112

1A , 3)(1 1 ≤≤ −Arg

La méthode "matricielle":

� 3)( 1 =−Arg ssi la matrice 1−A est inversible. On calcule alors son déterminant :

� 0

211

121

112

det 1 =−

−=−A puisque 312 LLL += ou 312 CCC +=

� Donc 3)( 1 <−Arg

� On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice 1−A :

� La matrice

21

12 est une matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la

matrice 1−A ( )0(321

12det ≠=

).

� Donc 2)( 1 =−Arg .

b. 2=m :

−−−

−−=

111

111

111

2A , 3)(1 2 ≤≤ Arg

La méthode "vectorielle":

� On considère le système S formé de vecteurs lignes de la matrice 2A : )()( 2 SrgArg =

� { }wvuS ,,= , avec )1,1,1( −−=u , )1,1,1( −=v et )1,1,1( −−=w .

� 3)( =Srg ssi le système S est libre :

� Puisque )1,1,1( −−== wu alors le système { }wvuS ,,= n’est pas libre

� Donc 2)(1 ≤≤ Srg .



[28]

� On cherche parmi les vecteurs du système S , 2 vecteurs linéairement indépendants :

� Les systèmes d’ordre 2 extraits du système S sont : { }vu, , { }wu, et { }wv, :

� vu −= alors le système { }vu, n’est pas libre

� wu = alors le système { }wu, n’est pas libre

� vw −= alors le système { }wv, n’est pas libre

� Donc 1)( =Srg

� Donc 1)( 2 =Arg .

2) La matrice mA est inversible ssi 0

111

111

111

det ≠−−

−−−

=m

m

m

Am :

� Calcul du mAdet :

�

110

111

111

)2(

220

111

111

111

111

111

233 m

m

m

mm

m

m

LLL

m

m

m

−−−

−=−−

−−−

+→−−

−−−

� Or m

mLm

m

CCCm

m

−−

−−−

−→−−−

1

21suivant

100

11

121

110

111

111

3322

� Et 22)1(1

21 2 −−=−−=−

−mmmm

m

m:

=−=

⇒

+=

−=⇒=∆

2

1

291

291

92

1

2

1

m

m

m

mm

� Donc 2)2)(1(det −+−= mmAm

� )2(ou )1(0det =−=⇔= mmAm

� Donc La matrice mA est alors inversible ssi )2(et )1( ≠−≠ mm

Partie 2

Enoncé :


−=−++−−=+−+−=−+−

)2()1(

)2()1(

)2()1(

)(

mmzmyx

mmzymx

mmzyxm

Sm

1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )( mS est-il de Cramer ?


a. 0=m

b. 1=m

c. 1−=m

(Utiliser uniquement la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de

Cramer pour la résolution de tout système de Cramer)



[29]

Solution :

1) Les valeurs du paramètre mpour lesquelles le système )( mS est de Cramer :

� Le système )( mS s’écrit sous la forme matricielle suivante bXAm =. , avec

−−−

−−=

m

m

m

Am

111

111

111

,

=z

y

x

X et

−−−

=)2(

)2(

)2(

mm

mm

mm

bm

� La matrice du système )( mS est égale à la matrice

−−−

−−=

m

m

m

Am

111

111

111

� Le système )( mS est de Cramer ssi sa matrice mA est inversible.

� mA est inversible si et seulement si { }1,2−∉m (d’après I)

� Donc Le système )( mS est de Cramer ssi { }1,2−∉m .

2) Résolutions du système )( mS pour 0=m , 1=m et 2=m :

a. 0=m :

=++−=++=−+

0

0

0

)( 0

zyx

zyx

zyx

S

� Le système )( 0S est de Cramer car { }1,20 −∉ .

� )( 0S est un système de Cramer homogène.

� )0,0,0( est alors l’unique solution du système )( 0S .

b. 1=m :

=+−=+=−

1

1

1

)( 1

yx

zx

zy

S

� Le système )( 1S est de Cramer car { }1,21 −∉ .

� Résolution du système )( 1S par la méthode des déterminants de Cramer :

�

=1

1

1

1b et

−

−=

011

101

110

1A : 2det 1 −==∆ A car 2)2)(1(det −+−= mmAm

� 1

011

101

111

−=−

=∆x , 3

011

111

110

−=−

−=∆ y et 1

111

101

110

−=−

=∆z

� )21

,23

,21

( est alors l’unique solution du système )( 1S



[30]

c. 1−=m :

−=++−−=++−=−+

−

32

32

32

)( 1

zyx

zyx

zyx

S

� ),,( zyx est alors solution du système )( 1−S ssi

=−+−=++−=−+

− 02

32

32

)3()2(

)2((

)1(

zyx

zyx

zyx

.

� D’où l’impossibilité de résoudre le système )( 1−S : 32 −=−+ zyx et 02 =−+ zyx

� La solution du système )( 1−S est alors égal à φ .

Partie 3

Enoncé :

Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V , 2V et 3V suivants :

( ){ }02et 02,02/,, 31 =++−=++=−+∈= zyxzyxzyxIRzyxV

( ){ }02,02/,, 32 =++=−+∈= zyxzyxIRzyxV et ( ){ }02/,, 3

3 =−+∈= zyxIRzyxV

1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus.

2) A-t-on 3

21 IRVV =⊕ ? 331 IRVV =⊕ ?

Solution :

1) Cherchons une base de chacun des sous espaces vectoriels.

� ( ){ }0202,02/,, 31 =++−=++=−+∈= zyxetzyxzyxIRzyxV

� 1),,( VzyxX ∈= ssi

=++−=++=−+

02

02

02

)3(

)2(

)1(

zyx

zyx

zyx

ssi

=++−=−=+

−+

02

033

033

)3(

)3()1(

)2()1(

zyx

zx

yx

ssi

∈=

−=

IRx

xz

xy

� Donc 1),,( VzyxX ∈= ssi )1,1,1(),,(),,( −=−= xxxxzyx , IRx∈ .

� { })1,1,1( − est alors une base de 1V , 1dim 1 =V et >−=< )1,1,1(1V .

� ( ){ }02,02/,, 32 =++=−+∈= zyxzyxIRzyxV

� 2),,( VzyxX ∈= ssi ),,( zyx est solution du système linéaire

=++=−+

02

02

zyx

zyx

� ),,( zyx est solution du système linéaire

=++=−+

02

02

zyx

zyx ssi ),,( zyx est solution du

système linéaire

=++−=++=−+

02

02

02

zyx

zyx

zyx

car ( ) ( )zyxzyxzyx −+−++=++− 222

� Donc 12 VV =

� { })1,1,1( − est alors une base de 2V , 1dim 2 =V et >−=< )1,1,1(2V .



[31]

� ( ){ }02/,, 33 =−+∈= zyxIRzyxV

� 2),,( VzyxX ∈= ssi 02 =−+ zyx ssi yxz += 2 , ( )IRyx ∈,

� 2),,( VzyxX ∈= ssi )1,1,0.()2,0,1.()2,,(),,( yxyxyxzyx +=+= , ( )IRyx ∈,

� { })1,1,0(),2,0,1( est alors une base de 3V , 2dim 3 =V et >=< )1,1,0(),2,0,1(3V .

2)

� 321 IRVV =⊕ ?

� >−=<= )1,1,1(12 VV et 1dimdim 22 == VV

� 321 IRVV ≠⊕ car

321 dimdimdim IRVV ≠+ ou bien { })0,0,0(2121 ≠==∩ VVVV

� 331 IRVV =⊕ ?

� 31 VV ⊆ car 31 ),,(02

02

02

02

),,( Vzyxzyx

zyx

zyx

zyx

Vzyx ∈⇒=−+⇒

=++−=++=−+

⇒∈

� Donc 131 VVV =∩

� Donc 3

21 IRVV ≠⊕ car { })0,0,0(31 ≠∩VV même si 331 dimdimdim IRVV =+

Partie 4

Enoncé :

Soit f l'endomorphisme de 3IR dont la matrice relativement à la base canonique B de

3IR est

donnée par :

−−−

−−==

m

m

m

ABBfM m

111

111

111

),/(

1) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de f .

2) Pour 1−=m , donner une base de )Im( f et une base de )ker(f .


4) Vérifier que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR .

5) Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' .

6) On prend 0=m .

a. Déterminer par un calcul direct )','/( BBfM .

b. Retrouver )','/( BBfM par la formule de changement de base.

Solution :

♦ Soit f l'endomorphisme de 3IR dont la matrice relativement à la base canonique B de

3IR est

donnée par :

−−−

−−==

m

m

m

ABBfM m

111

111

111

),/(



[32]

1) Le rang de f , suivant le paramètre m :

� mABBfM =),/( , donc )()( mArgfrg = .

� Or, (d’après I)

� la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,2−∉m , donc 3)( =mArg si { }1,2−∉m

� 2)( 1 =−Arg et 1)( 2 =Arg

� Donc

� Si { }1,2−∉m alors 3)( =frg

� Si 1−=m alors 2)( =frg

� Si 2=m alors 1)( =frg

2) 1−=m :

−

−== −

211

121

112

),/( 1ABBfM et )2,2,2(),,( zyxzyxzyxzyxf ++−++−+=

� Déterminons une base de )Im( f :

� )(),(),()Im( 321 efefeff = , { }321 ,, eeeB = étant la base canonique de 3IR .

�

−====

−==

)2,1,1()(

)1,2,1()(

)1,1,2()(

33

22

11

efu

efu

efu

: >=< 321 ,,Im uuuf

� On pose { }321 ,, uuuS = : )dim(Im)( fSrg =

� Déterminons le rang du système { }321 ,, uuuS = : 3)(1 ≤≤ Srg

� 3)( <Srg car le système { }321 ,, uuuS = n’est pas libre : 321 uuu −=

� { }21,uu est libre, donc 2)( =Srg

� ou bien 2)()( 1 == −ArgSrg (d’après I) , donc 2)( =Srg

� { })1,2,1(),1,1,2( − est alors une base de fIm : 2)dim(Im =f

� Déterminons une base de )( fKer : { })0,0,0(),,(/),,()( 3 =∈= zyxfIRzyxfKer

� ( ){ }0202,02/,,)( 3 =++−=++=−+∈= zyxetzyxzyxIRzyxfKer

� Donc 1)( VfKer =

� { })1,1,1( − est alors une base de )ker(f , 1)(dim =fKer et >−=< )1,1,1()ker(f .


a. Vérifier que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR .

� { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR ssi )/'( BBM est inversible

�

−=101

111

011

)/'( BBM : 312

11suivant

101

012

011

101

111

011

3322 =−

−−→− LLLL



[33]

� Donc { }321 ,,' vvvB = est une base de

3IR .

b. Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' .

� )/'(' BBMPBB = , donc

−=101

111

011

'BBP

� ( ) 1''

−= BBBB PP . Calculons ( ) 1'

−BBP :

� 3det ' =BBP

�

−−

−=

−+

−−+

−+−

−+

−−+

=211

111

121

11

11

11

01

11

01

01

11

11

01

10

01

01

11

11

11

10

11

)( 'BBPC

�

−−

−=

211

112

111

)( 'BBt PC

� ( ) ( )

−−

−=⇒= −−

211

112

111

.31

)(det

1 1''

'

1' BBBB

t

BBBB PPC

PP

� Donc

−

−

−

=

32

31

31

31

31

32

31

31

31

'BBP

4) On prend 0=m :

−

−==

111

111

111

),/( 0ABBfM

a. Déterminer par un calcul direct )','/( BBfM .

� )1,1,1(1 −=v , )0,1,1(2 =v et )1,1,0(3 =v

� ⇒

====

−=−−=⇒

===

33

22

11

33

22

11

.2)2,2,0()(

.2)0,2,2()(

)1,1,1()(

).,/()(

).,/()(

).,/()(

vvf

vvf

vvf

vBBfMvf

vBBfMvf

vBBfMvf

−=

200

020

001

)','/( BBfM



[34]

b. Retrouver )','/( BBfM par la formule de changement de base.

� .).,/(.)','/( '' BBBB PBBfMPBBfM =

�

−

−=

111

111

111

),/( BBfM ,

−=101

111

011

'BBP ,

−

−

−

=

3

2

3

1

3

131

31

32

31

31

31

'BBP

� Donc

−=

200

020

001

)','/( BBfM




� ا�� اآ�ال – �� آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط



Semestre : S3


Sections : A & B




[35]


Partie I (4 points)

♦ Dans )3(M , on donne la matrice

−=

mm

mm

mm

Am

1

1

1

, IRm∈

1) Montrer que la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,0,1−∉m . 2 pts

2) Discuter le rang de la matrice mA selon les valeurs du paramètre m . 2 pts

Partie II (4 points)

♦ Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,,1(1 mv = , ),1,(2 mmv = et ),,(3 mmmv −= , IRm∈ .

1) Pour quelles valeurs du paramètre m , { }321 ,, vvv est-elle une base de 3IR ? 1 pt

2) Discuter le rang du système { }321 ,, vvv suivant le paramètre m . 1,5 pts

3) On prend 2=m . ( { }321 ,,' vvvB = est alors une base de 3IR ).

Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR . 1,5 pts

Partie III (8 points)

♦ Soit mf l'endomorphisme de 3IR défini par : ),,()),,(( mzmyxmzymxmzmyxzyxfm ++++−+=

1) Déterminer, suivant le paramètre m , une base de )Im( mf . 1,5 pt

2) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de mf . 1 pt

3) On prend 2=m .

a. Vérifier que { })2,2,2(),2,1,2(),1,2,1(' −=B est une base de 3IR . 0,5 pt

b. Donner les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR . 1 pt

c. En déduire que ),/()','/( 22 BBfMBBfM = . 1 pt


a. Donner une base de )Im( 1−f et une base de )ker( 1−f . 2 pts

b. Vérifier que 3

11 )ker()Im( IRff =⊕ −− . 1 pt



[36]

Partie IV (4 points)

♦ On considère le système linéaire

+=+++=+++=−+

1

1

1

)(

mmzmyx

mmzymx

mmzmyx

Sm

1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )( mS est-il de Cramer ? 1 pt


a. 2=m 1,5 pt

b. 1−=m 1,5 pt (Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer pour la résolution de tout système de Cramer)

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle de rattrapage


[37]

Partie 1

Enoncé :

Dans )3(M , on donne la matrice

−=

mm

mm

mm

Am

1

1

1

, IRm∈

1) Montrer que la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,0,1−∉m .

2) Discuter le rang de la matrice mA selon les valeurs du paramètre m .

Solution :

1) La matrice mA est inversible ssi 0

1

1

1

det ≠−

=mm

mm

mm

Am :

� Calcul de

mm

mm

mm

1

1

1 − :

11

11

11

.

1

1

1

m

m

m

m

mm

mm

mm −=

−

o or

01

011

11

)1(2

022

011

11

,

11

11

11

133122

m

m

m

m

mm

m

LLLLLL

m

m

m −+=++

−+→+→

−

o et mm

C

m

m

−=−−

11

11).1(suivant

01

011

11

3

o Donc )1)(1(2

1

1

1

mmm

mm

mm

mm

−+=−

� Solution de l’équation 0

111

111

111

=−−

−−−

m

m

m

:

o )1(ou )0(ou )1(0

1

1

1

==−=⇔=−

mmm

mm

mm

mm

� La matrice mA est alors inversible ssi )1(et )0( ),1( ≠≠−≠ mmm



[38]

2) le rang de la matrice mA selon les valeurs du paramètre IRm∈ : 3)(1 ≤≤ mArg

� 3)( =mArg ssi la matrice mA est inversible.

� Donc 3)( =mArg ssi 0≠m , 1≠m et 1−≠m

� Pour 1−=m :

−−−−

−=−

111

111

111

1A , 3)(1 1 ≤≤ −Arg

o 3)( 1 =−Arg ssi la matrice 1−A est inversible.

o Donc 3)( 1 <−Arg car 0det 1 =−A .

o On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice 1−A :

�

−11

11 est une matrice inversible de )2(M extraite de 1−A : 2

11

11det −=

−

o Donc 2)( 1 =−Arg .

� Pour 0=m :

=001

010

001

0A , 3)(1 0 ≤≤ Arg

o 3)( 0 =Arg ssi la matrice 0A est inversible.

o Donc 3)( 0 <Arg car 0det 0 =A .

o On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice 0A :

�

10

01 est une matrice inversible de )2(M extraite de 0A : 1

10

01det =

o Donc 2)( 0 =Arg .

� Pour 1=m :

−=

111

111

111

1A , 3)(1 1 ≤≤ Arg

o 3)( 1 =Arg ssi la matrice 1A est inversible.

o Donc 3)( 1 <Arg car 0det 1 =A .

o On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice 1A :

�

−11

11 est une matrice inversible de )2(M extraite de 1A : 2

11

11det =

−

o Donc 2)( 1 =Arg .

� Résumé :

o Si 0≠m , 1≠m et 1−≠m alors 3)( =mArg

o Si 0=m ou 1=m ou 1−=m alors 2)( =mArg



[39]

Partie 2

Enoncé :

Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,,1(1 mv = , ),1,(2 mmv = et ),,(3 mmmv −= , IRm∈ .

1) Pour quelles valeurs du paramètre m , { }321 ,, vvv est-elle une base de 3IR ?

2) Discuter le rang du système { }321 ,, vvv suivant le paramètre m .

3) On prend 2=m . ( { }321 ,,' vvvB = est alors une base de 3IR ).

4) Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR .

Solution :

� { }321 ,, vvvS = , avec )1,,1(1 mv = , ),1,(2 mmv = et ),,(3 mmmv −=

1) Cherchons les valeurs de IRm∈ pour lesquelles { }321 ,, vvv est une base de 3IR .

� { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR si et seulement si BSM /)( est inversible, B étant la base

canonique de 3IR :

� mABSM =/)(

� Donc { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR si et seulement si mA est inversible.

� Or la matrice mA est inversible ssi )1(et )0( ),1( ≠≠−≠ mmm (D’après I)

� Donc le système { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR ssi )1(et )0( ),1( ≠≠−≠ mmm

2) Discutons )(Srg suivant les valeurs du paramètre IRm∈ : 3)(1 ≤≤ Srg

� ( ))/()( BSMrgSrg = : mABSM =/)(

� Donc )()( mArgSrg =

� Or : (D’après I)

o 3)( =mArg si 0≠m , 1≠m et 1−≠m

o 2)( =mArg si 0=m ou 1=m ou 1−=m

� Donc

o Si 0≠m , 1≠m et 1−≠m alors 3)( =Srg

o Si 0=m ou 1=m ou 1−=m alors 2)( =Srg

3) On prend 2=m : )1,2,1(1 =v , )2,1,2(2 =v et )2,2,2(3 −=v


−=

221

212

221

'BBP

� 2' APBB = , donc ( ) ( ) 12

1''

−− == APP BBBB .



[40]

� Calculons ( ) 1'

−BBP :

o 12)21)(21(22detdet 2' −=−+×== APBB

o

−−−

−−=

+−

−−

+

−−

+−

−

+−+

=366

048

322

12

21

22

21

21

22

21

21

21

21

22

22

21

12

21

22

22

21

)( 'BBPC

o

−−−

−−=

303

642

682

)( 'BBt PC : ( ) ( )

−−−

−−−=⇒= −−

303

642

682

.121

)(det

1 1''

'

1' BBBB

t

BBBB PPC

PP

o Donc

−

−

−

=

41

041

21

31

61

21

32

61

'BBP

Partie 3

Enoncé :

Soit mf l'endomorphisme de 3IR défini par :

),,()),,(( mzmyxmzymxmzmyxzyxfm ++++−+=

1) Déterminer, suivant le paramètre m , une base de )Im( mf .

2) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de mf .

3) On prend 2=m .

a. Vérifier que { })2,2,2(),2,1,2(),1,2,1(' −=B est une base de 3IR .

b. Donner les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR .

c. En déduire que ),/()','/( 22 BBfMBBfM = .


a. Donner une base de )Im( 1−f et une base de )ker( 1−f .

b. Vérifier que 3

11 )ker()Im( IRff =⊕ −− .



[41]

Solution : ),,()),,(( mzmyxmzymxmzmyxzyxfm ++++−+=

1) Une base de )Im( mf , suivant le paramètre m :

� )(),(),()Im( 321 efefeff mmmm = , { }321 ,, eeeB = étant la base canonique de 3IR .

� { })(),(),())dim(Im( 321 efefefrgf mmmm =

�

=−===

==

33

22

11

),,()(

),1,()(

)1,,1()(

vmmmef

vmmef

vmef

m

m

m

Donc : )())dim(Im( Srgfm = , avec { }321 ,, vvvS =

� Or : (D’après II) o 3)( =Srg si 0≠m , 1≠m et 1−≠m

o 2)( =Srg si 0=m ou 1=m ou 1−=m

� Donc

o Si 0≠m , 1≠m et 1−≠m alors 3)dim(Im =mf et 3Im IRfm =

o Si 0=m alors 2)dim(Im 0 =f : )1,0,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )0,0,0(3 −=v

� { }21,vv est une base de )Im( 0f .

o Si 1=m alors 2)dim(Im 1 =f : )1,1,1(1 =v , )1,1,1(2 =v et )1,1,1(3 −=v

� { }31,vv est une base de )Im( 1f .

o Si 1−=m alors 2)dim(Im 1 =−f : )1,1,1(1 −=v , )1,1,1(2 −−=v et )1,1,1(3 −−=v

� { }31,vv est une base de )Im( 1−f .

2) Le rang de f , suivant le paramètre m :

� mm ffrg Im)( =

� Donc :

o Si 0≠m , 1≠m et 1−≠m alors 3)( =mfrg

o Si 0=m ou 1=m ou 1−=m alors 2)( =mfrg

3) 2=m :

a. { })2,2,2(),2,1,2(),1,2,1(' −=B est une base de 3IR .

� { }321 ,,' vvvB = , avec 2=m

� Or le système { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR ssi )1(et )0( ),1( ≠≠−≠ mmm

� Donc { })2,2,2(),2,1,2(),1,2,1(' −=B est une base de 3IR .



[42]

b. Les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR .


−=

221

212

221

'BBP

� Donc, (D’après II) :

−

−

−

=

41

041

21

31

61

21

32

61

'BBP

c. ),/()','/( 22 BBfMBBfM = ?

� '2'2 ).,/(.)','/( BBBB PBBfMPBBfM = :

� Or 2' APBB = et 22 ),/( ABBfM = car mm A

mm

mm

mm

BBfM =

−=

1

1

1

),/(

� Donc ),/()','/( 22 BBfMBBfM = car ( ) mmmmBBBB AAAAPBBfMP == − ..).,/(. 1'2'

4) 1−=m : ),,()),,((1 zyxzyxzyxzyxf −−−+−+−=−

a. Une base de )Im( 1−f et une base de )ker( 1−f .

� Une base de )Im( 1−f :

o { })1,1,1(),1,1,1( −−− est une base de )Im( 1−f . (D’après 1) )

� )ker( 1−f :

o { })0,0,0(),,(/),,()( 13

1 =∈= −− zyxfIRzyxfKer

o )(),,( 1−∈ fKerzyx ssi )0,0,0(),,( =−−−+−+− zyxzyxzyx

o )(),,( 1−∈ fKerzyx ssi

=−−=−+−

=+−

0

0

0

zyx

zyx

zyx

ssi

=−−=+−

0

0

zyx

zyx

� or

=−−=+−

0

0

)2(

)1(

zyx

zyx ssi

∈==

−+

IRxz

xy,

0)2()1(

)2()1(

o Donc )(),,( 1−∈ fKerzyx ssi )0,1,1.()0,,(),,( xxxzyx == , IRx∈

o Donc )0,1,1()( 1 =−fKer , 1)(dim 1 =−fKer

o { })0,1,1( est alors une base de )ker( 1−f .



[43]

b. 311 )ker()Im( IRff =⊕ −− .

� Pour vérifier que 3

11 )ker()Im( IRff =⊕ −− , il suffit de vérifier que la réunion d’une base de

)ker( 1−f et une base de )Im( 1−f , est une base de 3IR :

� { })0,1,1( est alors une base de )ker( 1−f

� { })1,1,1(),1,1,1( −−− est une base de )Im( 1−f

� Vérifions que { })0,1,1(),1,1,1(),1,1,1( −−−=S est une base de 3IR :

o

−−−=

011

111

111

)/( BSM : S est une base de 3IR si et seulement si ( ) 0)/(det ≠BSM

o Calcul du ( ))/(det BSM :

� 411

22suivant

011

022

111

011

111

111

3122 =−−−

−−−−→

−−− CLLL

o { })0,1,1(),1,1,1(),1,1,1( −−−=S est alors une base de 3IR .

� Donc 3

11 )ker()Im( IRff =⊕ −−

Partie 4

Enoncé :


+=+++=+++=−+

1

1

1

)(

mmzmyx

mmzymx

mmzmyx

Sm

1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )( mS est-il de Cramer ?


a. 2=m

b. 1−=m

(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer pour la résolution de tout système de Cramer)

Solution :

1) Les valeurs du paramètre mpour lesquelles le système )( mS est de Cramer :

� Le système )( mS s’écrit sous la forme matricielle suivante bXAm =. , avec

−=

mm

mm

mm

Am

1

1

1

,

=z

y

x

X et

+++

=1

1

)1

m

m

m

bm



[44]

� La matrice du système )( mS est égale à la matrice

−=

mm

mm

mm

Am

1

1

1

� Le système )( mS est de Cramer ssi sa matrice mA est inversible.

� mA est inversible si et seulement si { }1,0,1−∉m : )1)(1(2det mmmAm −+= (d’après I)

� Donc Le système )( mS est de Cramer ssi { }1,0,1−∉m .

2) Résolutions du système )( mS pour 2=m et 1−=m :

� 2=m :

=++=++=−+

322

322

322

)( 2

zyx

zyx

zyx

S

o Le système )( 2S est de Cramer car { }1,0,12 −∉ .

o Résolution du système )( 2S par la méthode des déterminants de Cramer :

=3

3

3

2b et

−=

221

212

221

2A

� 12det 2 −==∆ A car )1)(1(2det mmmAm −+=

� 12

223

213

223

−=−

=∆x , 12

231

232

231

−=−

=∆ y et 0

321

312

321

==∆ z

o )0,1,1( est alors l’unique solution du système )( 2S

� 1−=m :

=−−=−+−

=+−

−

0

0

0

)( 1

zyx

zyx

zyx

S

o ),,( zyx est alors solution de )( 1−S ssi )(),,( 1−∈ fKerzyx , (d’après III-4)

o Or )0,1,1()( 1 =−fKer , (d’après III-4)

o Donc La solution du système )( 1−S est égal au sous espace vectoriel >< )0,1,1(



[45]








� ا�� اآ�ال – ��آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط



Semestre : S3


Sections : A, B & C




[46]

Les cinq parties peuvent être traitées indépendamment

1) On munit �� de sa base canonique �� , ��, ��.

Partie 1 : (3 points) 2) On considère les trois sous espaces vectoriels de �� : �� (1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�#, �� 1, !1,1�; �!1,1, !1�#

�� $, %, &� ' ��/ 2$ ( % ! & � 0, $ ( 2% ( & � 0, !$ ( % ( 2& � 0 �

1) Déterminer une base du sous espace vectoriel �� . Comparer �� et ��. 1.5 pt 2) Déterminer une base de chacun des sous espaces vectoriel �� et ��. Comparer �� et ��. 1.5 pt

Partie 2 : (3 points)

3) On considère la matrice )* � + , 1 !11 , 1!1 1 , - , , ' �.

1) Montrer que la matrice ) est non inversible ssi , � !1 ou , � 2. 1.5 pt 2) Discuter le rang de la matrice ) selon les valeurs du paramètre ,. 1.5 pt

Partie 3 : (3 points) 4) On considère les vecteurs de ��: .� � �,, 1, !1� , .� � �1, ,, 1� et .� � �!1,1, ,�, , ' �.

1) Que représente la matrice )* pour le système / � �.�, .�, .�� ? 1 pt 2) Discuter le rang du système / selon les valeurs du paramètre ,. 2 pts


5) On considère le système linéaire : /* 0,$ ( % ! & � , ! 1$ ( ,% ( & � , ! 1!$ ( % ( ,& � 1 ! ,1 1) Pour quelles valeurs du paramètre ,, le système /* est-il de Cramer ? 1 pt 2) Pour , � 1, résoudre �/��. 1 pt 3) Pour , � 0, résoudre �/2�. 2 pts



[47]

Partie 5 : (7 points) 6) On considère l’endomorphisme 3* de �� défini par : 4($, %, &) ' ��: 3*�$, %, &� � �,$ ( % ! &, $ ( ,% ( &, !$ ( % ( ,&�

1) Ecrire la matrice 5�3*/ �� , ��, �� étant la base canonique de ��. 0.5 pt 2) Pour quelles valeurs du paramètre ,, l’endomorphisme 3* est-il surjectif ? 1 pt 3) Pour , � 2, déterminer une base de >�?�3�� et en déduire ?@�3��. 1.5 pt

4) Pour , � 1, déterminer une base de A,�3�� et en déduire >�?�3��. 1.5 pt 5) Vérifier que � � ��1,1,0�, �1, !1,1�, �0,1,1�� est une base de ��. 0.5 pt 6) Pour , � 0, déterminer la matrice 5�3B/ �, �� par un calcul direct. 1 pt 7) Retrouver 5�3B/ �, �� en utilisant la formule de changement de bases. 1 pt

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôl final


[48]

Partie 1

Enoncé :

� On considère les trois sous espaces vectoriels de �� :

1) �� (1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�#, �� 1, !1,1�; �!1,1, !1�#

2) �� $, %, &� ' ��/ 2$ ( % ! & � 0, $ ( 2% ( & � 0, !$ ( % ( 2& � 0 �

3) Déterminer une base du sous espace vectoriel �� . Comparer �� et ��.

4) Déterminer une base de chacun des sous espaces vectoriel �� et ��. Comparer �� et ��.

Solution :

1) �� 1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�# :

� dim �� ?@�/� , avec / � ��1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1��.

� On vérifie que le système ��1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�� est libre.

� Donc dim �� ?@�/� � 3 et ��1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�� est alors une base de ��.

� �� est alors un sous espace vectoriel de ��, de même dimension.

� Donc ��

2)

�� 1, !1,1�; �!1,1, !1�# :

� dim �� ?@�/� , avec / � ��1, !1,1�; �!1,1, !1��.

� On vérifie que le système ��1, !1,1�; �!1,1, !1�� est lié.

� ��1, !1,1�� est un système libre extrait de /, donc ?@�/� � 1

� Donc dim �� 1 : ��1, !1,1�� est alors une base de �� et �� 1, !1,1�#.

�� $, %, &� ' ��/ 2$ ( % ! & � 0, $ ( 2% ( & � 0, !$ ( % ( 2& � 0� :

� �$, %, &� ' �� ssi 0 2$ ( % ! & � 0$ ( 2% ( & � 0!$ ( % ( 2& � 01 �

�1��2��3� 02$ ( % ! & � 0$ ( 2% ( & � 0!$ ( % ( 2& � 01 D �1� ( �2��2��1� ! �3� 02$ ( % ! & � 03$ ( 3% � 03$ ! 3& � 0 1 D E% � !$& � $$ ' � 1 � Une base de �� est alors donnée par ��1, !1,1��

� Donc �� 1, !1,1�# � ��

Partie 2

Enoncé :

� On considère la matrice )* � + , 1 !11 , 1!1 1 , - , , ' �.

1) Montrer que la matrice ) est non inversible ssi , � !1 ou , � 2.

2) Discuter le rang de la matrice ) selon les valeurs du paramètre ,.



[49]

Solution : )* � + , 1 !11 , 1!1 1 , -

1) la matrice ) est non inversible ssi det�)� � 0 :

� F , 1 !11 , 1!1 1 , F �GHIGHJGK F , 1 !10 , ( 1 , ( 1!1 1 , F � �, ( 1� F , 1 !10 1 1!1 1 , F

� F , 1 !10 1 1!1 1 , F �LHILHMLK F , 2 !10 0 1!1 1 ! , , F � ! N , 2!1 1 ! ,N � !,�1 ! ,� ! 2 � ,� !, ! 2

� Donc F , 1 !11 , 1!1 1 , F � �, ( 1��, ! 2�

� La matrice ) est alors non inversible ssi : , � !1 ou , � 2.

2) le rang de la matrice ) selon les valeurs du paramètre , :

� Si , O !1 et , O 2 alors la matrice ) est inversible, donc ?@�)� � 3.

� Si , � !1 alors )M� � +!1 1 !11 !1 1!1 1 !1- : det�)M�� 0 et tous les déterminants d’ordre 2

extraits de la matrice )M� sont nuls, donc ?@�)M�� 1.

� Si , � 2 alors )� � + 2 1 !11 2 1!1 1 2 - : det�)�� 0 et N2 11 2N est un déterminant d’ordre 2 non

nul extrait de la matrice )�, donc ?@�)�� 2.

Partie 3

Enoncé :

� On considère les vecteurs de ��: .� � �,, 1, !1� , .� � �1, ,, 1� et .� � �!1,1, ,�, , ' �.

1) Que représente la matrice )* pour le système / � �.�, .�, .�� ?

2) Discuter le rang du système / selon les valeurs du paramètre ,.

Solution :

7) .� � (,, 1, !1� , .� � �1, ,, 1� et .� � �!1,1, ,�

1) / � �.�, .�, .�� : )* � 5�//��

2) ?@�/� � ?@P5�//��Q � ?@�)*�, donc, d’après la partie 2 :

� Si , O !1 et , O 2 alors ?@�/� � 3.

� Si , � !1 alors ?@�/� � 1.

� Si , � 2 alors ?@�/� � 2.



[50]

Partie 4

Enoncé :

� On considère le système linéaire : /* 0,$ ( % ! & � , ! 1$ ( ,% ( & � , ! 1!$ ( % ( ,& � 1 ! ,1 1) Pour quelles valeurs du paramètre ,, le système /* est-il de Cramer ?

2) Pour , � 1, résoudre �/��.

3) Pour , � 0, résoudre �/2�.

Solution : /* 0,$ ( % ! & � , ! 1$ ( ,% ( & � , ! 1!$ ( % ( ,& � 1 ! ,1

1) le système /* est de Cramer ssi sa matrice est inversible :

� le système /* s’écrit sous la forme matricielle : )*. R � S ,

avec )* � + , 1 !11 , 1!1 1 , -, R � T$%&U et S � V, ! 1, ! 11 ! ,W

� le système /* est de Cramer ssi La matrice )* est inversible.

� le système /* est alors de Cramer ssi , O !1 et , O 2, d’après la partie 2.

2) Pour , � 1 : /� 0$ ( % ! & � 0$ ( % ( & � 0!$ ( % ( & � 01 ou encore )�. T$%&U � V000W : système linéaire homogène

� /� est un système de cramer, d’après (1), son unique solution est alors donnée par T$%&U � V000W.

3) Pour , � 0 : /B 0% ! & � !1$ ( & � !1!$ ( % � 11 ou encore )B. T$%&U � V!1!11 W, avec )B � + 0 1 !11 0 1!1 1 0 -

� det )B � !2 : det )* � �, ( 1��, ! 2�, d’après partie 2.

� On se propose de résoudre /B par la méthode des déterminants de Cramer :

o ∆Y� F!1 1 !1!1 0 11 1 0 F � 3 Z $ � ∆[\]^ _` � ! ��

o ∆a� F 0 !1 !11 !1 1!1 1 0 F � 1 Z % � ∆b\]^ _` � ! ��

o ∆c� F 0 1 !11 0 !1!1 1 1 F � !1 Z & � ∆d\]^ _` � ��

� l’unique solution du système /B est alors donnée par : T$%&U �efg! ��! ��( ��hi

j.



[51]

Partie 5

Enoncé :

� On considère l’endomorphisme 3* de �� défini par : 4($, %, &) ' ��: 3*�$, %, &� � �,$ ( % ! &, $ ( ,% ( &, !$ ( % ( ,&�

1) Ecrire la matrice 5�3*/ �� , ��, �� étant la base canonique de ��. 2) Pour quelles valeurs du paramètre ,, l’endomorphisme 3* est-il surjectif ?

3) Pour , � 2, déterminer une base de >�?�3�� et en déduire ?@�3��.

4) Pour , � 1, déterminer une base de A,�3�� et en déduire >�?�3��.

5) Vérifier que � � ��1,1,0�, �1, !1,1�, �0,1,1�� est une base de ��.

6) Pour , � 0, déterminer la matrice 5�3B/ �, �� par un calcul direct.

7) Retrouver 5�3B/ �, �� en utilisant la formule de changement de bases.

Solution : 3*�$, %, &� � �,$ ( % ! &, $ ( ,% ( &, !$ ( % ( ,&�

1) 5�3*/ �� , �� + , 1 !11 , 1!1 1 , -

2) 3* est surjectif ssi 3* est bijectif ssi 5�3*/ �� , �� est inversible :

� 5�3*/ �� , �� + , 1 !11 , 1!1 1 , - � )*

� la matrice )* est inversible ssi , O !1 et , O 2, d’après la partie 2.

� 3* est alors surjectif ssi , O !1 et , O 2

3) Pour m � 2 : 3��$, %, &� � �2$ ( % ! &, $ ( 2% ( &, !$ ( % ( 2&�

Ker�f�� : � Ker�f�� $, %, &� ' ��/ 3��$, %, &� � �0,0,0��

� Donc : Ker�f�� $, %, &� ' ��/ 2$ ( % ! & � 0, $ ( 2% ( & � 0, !$ ( % ( 2& � 0 �

� On remarque alors que Ker�f�� , voir partie 1.

� Or �� 1, !1,1�# et une base de �� est donnée par ��1, !1,1��, d’après partie 1.

� Donc Ker�f�� 1, !1,1�# et ��1, !1,1�� est une base de Ker�f��. ?@�3�� :

� ?@�3�� dim �� ! dim ker f� , donc ?@�3�� 2

4) Pour m � 1, : déterminer une base de Im�f�� et en déduire Ker�f��.

Im�f�� :

� Im�f�� 3��, 3��, 3��# � Comme 5�3�/ �� , �� + 1 1 !11 1 1!1 1 1 -, donc : p3�� 1,1, !1�3�� 1,1,1�3�� !1,1,1� 1 � On a alors : Im�f�� 1,1, !1�, �1,1,1�, �!1,1,1�# � On remarque alors que Im�3�� , voir partie 1.

� Or �� , d’après partie 1.

� Donc Im�f��



[52]

Ker�f�� :

� Puisque Im�3�� , l’endomorphisme 3� est surjectif, donc injectif, d’où Ker�3�� 0,0,0�.

� ou bien : dim ker 3� � dim �� ! dim A,�3��, donc dim ker f� � 0 et alors Ker�3�� 0,0,0�.

5) B � ��1,1,0�, �1, !1,1�, �0,1,1�� est une base de �� :

� On vérifie que le système ��1,1,0�, �1, !1,1�, �0,1,1�� est libre.

� α��1,1,0� ( α��1, !1,1� ( α��0,1,1� � �0,0,0� Z α� � α� � α� � 0 :

0α� ( α� � 0α� ! α� ( α� � 0α� ( α� � 0 1 Z 0α� � !α�α� ! α� ( α� � 0α� � !α� 1 Z 0α� � !α�α� � 0α� � !α� 1 Z α� � α� � α� � 0

� ou bien 5�B/Bs� � +1 1 01 !1 10 1 1- est inversible : det 5�B/Bs� � !3

6) Pour , � 0 :

� p3B�1,1,0� � �1,1,0�3B�1, !1,1� � �!2,2, !2� � �!2�.3B�0,1,1� � �0,1,1� 1 �1, !1,1� Z 5�3B/ B, B� � +1 0 00 !2 00 0 1-

7) 5�fB/ B, B� � tuvw x 5�3B/ �� , �� x tvwv :

� 5�3B/ �� , �� )B , donc 5�3B/ ��, �� + 0 1 !11 0 1!1 1 0 -

� tvwv � 5�B/Bs�, donc tvwv � P � +1 1 01 !1 10 1 1-

� tuvw � ztvwv{M�, donc tuvw � tM� :

� det t � !3

� Calcul de tM� par la méthode des cofacteurs :

o |�t� �}~~~~�( N!1 11 1N ! N1 10 1N ( N1 !10 1 N! N1 01 1N ( N1 00 1N ! N1 10 1N( N 1 0!1 1N ! N1 01 1N ( N1 11 !1N��

�� +!2 !1 1!1 1 !11 !1 !2-

o P|�t�Q� � +!2 !1 1!1 1 !11 !1 !2- , donc : tM� � M�� +!2 !1 1!1 1 !11 !1 !2-

� On a alors : 5�fB/ B, B� � M�� +!2 !1 1!1 1 !11 !1 !2- x + 0 1 !11 0 1!1 1 0 - x +1 1 01 !1 10 1 1-

� On retrouve, tout calcul fait : 5�3B/ B, B� � +1 0 00 !2 00 0 1-




� ا�� اآ�ال – �� آ�� ا��م ا�� وا��د�� وا�

اا�! �ط



Semestre : S3


Sections : A, B & C




[53]

Les quatre parties peuvent être traitées indépendamment

� On munit �� de sa base canonique �� , ��, ��.


� On considère la matrice )* � +, 1 ,1 , 1, 1 ,�- .

1) Montrer que det )* � ,�, ( 1��, ! 1��. 2 pts

2) Discuter le rang de la matrice )* selon les valeurs du paramètre ,. 2 pts


� On considère le système linéaire : /* �,$ ( % ( ,& � 0$ ( ,% ( & � �� , ( 2��*M�,$ ( % ( ,�& � 0 1 1) Pour quelles valeurs du paramètre ,, le système /* est-il de Cramer ? 1 pt 2) Pour , � 2, résoudre �/��. 2 pts

3) Pour , � !2, résoudre �/M��. 1 pt

Partie 3 : (3 points) � On considère les deux sous espaces vectoriels de �� : �� !1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1�#, V� � ��$, %, &� ' ��/ 2$ ( % ( 2& � 0, $ ( 2% ( & � 0,2$ ( % ( 4& � 0 �

Déterminer une base et la dimension de chacun des sous espaces vectoriel �� et ��.

Partie 4 : (8 points) � On considère l’endomorphisme 3* de �� défini par : 4�$, %, &� ' ��: 3*�$, %, &� � �,$ ( % ( ,&, $ ( ,% ( &, ,$ ( % ( ,�&�

1) Ecrire la matrice 5�3*/ �� , ��, �� étant la base canonique de ��. 0.5 pt 2) Pour quelles valeurs du paramètre ,, l’endomorphisme 3* est-il injectif ? 1 pt 3) Pour , � 2, déterminer >�?�3�� et en déduire A,�3��. 1.5 pt 4) Pour , � !1, déterminer une base de A,�3M�� et une base de >�?�3M��. 2 pts

5) On considère les vecteurs : .� � �� , .� � �� ( �� ( �� et .� � ��

a. Vérifier que � � �.�, .�, .�� est une base de ��. 0.5 pt b. Déterminer les matrices de passages : tvwv et tvvw . 1.5 pt

c. Pour , � 1, déterminer la matrice 5�3�/ �, ��. 1 pt



[54]

Partie 1

Enoncé :

� On considère la matrice )* � +, 1 ,1 , 1, 1 ,�- .

1) Montrer que det )* � ,�, ( 1��, ! 1��.

2) Discuter le rang de la matrice )* selon les valeurs du paramètre ,.

Solution : )* � +, 1 ,1 , 1, 1 ,�-

1)

� det )* � F, 1 ,1 , 1, 1 ,�F �G�IG�MGH F, ! 1 1 ! , , ! 11 , 1, 1 ,� F � �, ! 1� F 1 !1 11 , 1, 1 ,�F

� F 1 !1 11 , 1, 1 ,�F �LKILKML� F 1 !1 01 , 0, 1 ,� ! ,F � �,� ! ,� N1 !11 , N � ,�, ! 1��, ( 1�

� Donc det )* � ,�, ( 1��, ! 1��

2) le rang de la matrice ) selon les valeurs du paramètre , :

� la matrice ) est inversible ssi det )* O 0 ssi , O 0 , , O !1 et , O 1.

� Si , O 0 , , O !1 et , O 1 alors la matrice ) est inversible, donc ?@�)� � 3.

� Si , � 0 alors )B � +� � 0� � 10 1 0- : det�)B� � 0 et N0 11 0N est un déterminant d’ordre 2 non nul

extrait de la matrice )B, donc ?@�)B� � 2.

� Si , � !1 alors )M� � +!1 1 !11 !� �!1 � � - : det�)M�� 0 et N!1 11 1N est un déterminant

d’ordre 2 non nul extrait de la matrice )M�, donc ?@�)M�� 2.

� Si , � 1 alors )� � +1 1 11 1 11 1 1- : det�)�� 0 et tous les déterminants d’ordre 2 extraits de la

matrice )� sont nuls, donc ?@�)�� 1.

Partie 2

Enoncé :

� On considère le système linéaire : /* p,$ ( % ( ,& � 0$ ( ,% ( & � �� , ( 2��*M�,$ ( % ( ,�& � 0 1 1) Pour quelles valeurs du paramètre ,, le système /* est-il de Cramer ?

2) Pour , � 2, résoudre �/��.

3) Pour , � !2, résoudre �/M��.



[55]

Solution : /* pmx ( y ( mz � 0x ( my ( z � �� m ( 2�e�M�mx ( y ( m�z � 0 1

1) le système /* est de Cramer ssi sa matrice est inversible :

� le système /* s’écrit sous la forme matricielle : )*. R � S , avec

)* � +, 1 ,1 , 1, 1 ,�-, R � T$%&U et S � � 0�� m ( 2�e�M�0 �

� le système /* est de Cramer ssi la matrice )* est inversible

� le système /* est alors de Cramer ssi Si , O 0 , , O !1 et , O 1 , d’après la partie 1.

2) Pour , � 2 : /� 02x ( y ( 2z � 0x ( 2y ( z � 22x ( y ( 4z � 01 ou encore )�. T$%&U � V020W, avec )� � +2 1 21 2 12 1 4-

� det )� � 6 : det )* � ,�, ( 1��, ! 1��, d’après partie 1.

� On se propose de résoudre /� par la méthode des déterminants de Cramer :

o ∆Y� F0 1 22 2 10 1 4F � !4 Z $ � ∆[\]^ _H � ! ��

o ∆a� F2 0 21 2 12 0 4F � 8 Z % � ∆b\]^ _H � ��

o ∆c� F2 1 01 2 22 1 0F � 0 Z & � ∆d\]^ _H � 0

� l’unique solution du système /� est alors donnée par : T$%&U � �! ��0 �.

3) Pour , � !2 : /� 0!2x ( y ! 2z � 0x ! 2y ( z � 0!2x ( y ( 4z � 01 ou encore )M�. T$%&U � V000W : système linéaire homogène

� /M� est un système de cramer, d’après (1),

� son unique solution est alors donnée par T$%&U � V000W.

Partie 3

Enoncé :

� On considère les deux sous espaces vectoriels de �� : �� !1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1�#, V� � ��$, %, &� ' ��/ 2$ ( % ( 2& � 0, $ ( 2% ( & � 0,2$ ( % ( 4& � 0 �

Déterminer une base et la dimension de chacun des sous espaces vectoriel �� et ��.



[56]

Solution :

� �� (!1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1�# :

� dim V� � rg�S� , avec S � ��!1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1��.

� On vérifie que le système ��!1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1�� est lié.

� Le système ��!1,1, !1�; �1, !1,1�� extrait de S est libre, donc rg�S� � 2.

� ��!1,1, !1�; �1, !1,1�� est alors une base de V� et dim V� � 2 : V� � �!1,1, !1�; �1, !1,1�#

� �� $, %, &� ' ��/ 2$ ( % ( 2& � 0, $ ( 2% ( & � 0,2$ ( % ( 4& � 0 � :

� �$, %, &� ' �� ssi 02$ ( % ( 2& � 0$ ( 2% ( & � 02$ ( % ( 4& � 01 ssi �$, %, &� est solution du système p,$ ( % ( ,& � 0$ ( ,% ( & � 0,$ ( % ( ,�& � 01 � Or ce système est de Cramer car sa matrice )� � +2 1 21 2 12 1 4- est inversible, d’après partie 1.

� Son unique solution est alors �$, %, &� � �0,0,0�.

� Donc �� 0,0,0� et dim �� 0 , �� n’admet pas de bases.

Partie 4

Enoncé :

� On considère l’endomorphisme 3* de �� défini par : 4�$, %, &� ' ��: 3*�$, %, &� � �,$ ( % ( ,&, $ ( ,% ( &, ,$ ( % ( ,�&�

1) Ecrire la matrice 5�3*/ �� , ��, �� étant la base canonique de ��. 2) Pour quelles valeurs du paramètre ,, l’endomorphisme 3* est-il injectif ?

3) Pour , � 2, déterminer >�?�3�� et en déduire A,�3��.

4) Pour , � !1, déterminer une base de A,�3M�� et une base de >�?�3M��.

5) On considère les vecteurs : .� � �� , .� � �� ( �� ( �� et .� � ��

a. Vérifier que B � �u�, u�, u�� est une base de ��.

b. Déterminer les matrices de passages : Pu�u et Puu�.

c. Pour m � 1, déterminer la matrice 5�f�/ B, B�.

Solution : 3*�$, %, &� � �,$ ( % ( ,&, $ ( ,% ( &, ,$ ( % ( ,�&�

1) 5�3*/ �� , �� +m 1 m1 m 1m 1 m�-

2) 3* est injectif ssi 3* est bijectif ssi 5�3*/ �� , �� est inversible :

� 5�3*/ �� , �� +m 1 m1 m 1m 1 m�- � )*

� la matrice )* est inversible ssi , O 0 , , O !1 et , O 1 , d’après la partie 1.

� 3* est alors surjectif ssi , O 0 , , O !1 et , O 1 .

3) Pour m � 2 : 3��$, %, &� � �2$ ( % ( 2&, $ ( 2% ( &, 2$ ( % ( 4&�

� Ker�f�� : Ker�f�� 0,0,0�� car 3� est injectif, d’après (1).

� A,�3�� : A,�3�� car 3� est injectif ssi 3� est surjectif ssi A,�3��



[57]

4) m � !1, : 3M��$, %, &� � �!$ ( % ! &, $ ! % ( &, !$ ( % ( &�

Im�fM�� :

� Im�fM�� 3M��, 3M��, 3M��#

� Comme 5�3M�/ �� , �� +!1 1 !11 !1 1!1 1 1 -, donc : p3M�� !1,1, !1�3M�� 1, !1,1�3M�� !1,1,1� 1 � On a alors : Im�fM�� !1,1, !1�, �1, !1,1�, �!1,1,1�#

� On remarque alors que : Im�3M�� , voir partie 3.

� Or �� !1,1, !1�; �1, !1,1�# : ��!1,1, !1�; �1, !1,1�� est une base de ��, d’après partie 3.

� Donc Im�fM�� !1,1, !1�; �1, !1,1�# et ��!1,1, !1�; �1, !1,1�� est une base de Im�fM��.

Ker�fM�� :

� �$, %, &� ' Ker�fM�� ssi 3M��$, %, &� � �0,0,0�

� �$, %, &� ' �� ssi 0!$ ( % ! & � 0$ ! % ( & � 0!$ ( % ( & � 01 �

�1��2��3� 0!$ ( % ! & � 0$ ! % ( & � 0!$ ( % ( & � 01 D �1� ( �3��2��2� ( �3� 0!2$ ( 2% � 03$ ( 3% � 0& � 0 1 D E% � $& � 0$ ' �1 � Une base de Ker�fM�� est alors donnée par ��1,1,0��

� Donc Ker�fM�� 1,1,0�#

5) u� � e� , u� � e� ( e� ( e� et u� � e�

a. � � �.�, .�, .�� est une base de �� :

� Le système �.�, .�, .�� est libre car 5�B/Bs� � +0 1 10 1 01 1 0- est inversible : det 5�B/Bs� � 1

b. les matrices de passages Pu�u et Puu� : Pu�u � 5�B/Bs� et Pu�u � 5�B/Bs�

� Pu�u : Pu�u � +0 1 10 1 01 1 0-

� Puu� : Pu�u � +0 !1 10 1 01 !1 0- car � �.� � �� Z �� .�.� � �� Z �� .� 1 �� .� � �� ( �� ( �� Z �� !.� ( .� ! .�

c. 5�f�/ B, B� � tuvw x 5�3�/ �� , �� x tvwv : 5�3�/ ��, �� )�

� 5�3�/ �� , �� +1 1 11 1 11 1 1- . On trouve alors, après calcul, que : 5�3B/ B, B� � +0 0 01 3 10 0 0-

� Remarque : p3�.�� 3�� ( �� ( �� .�3�.�� 3�� ( �� ( �� 3�� ( 3�� ( 3�� 3� �� ( �� ( �� 33�.�� 3�� ( �� ( �� .�1 .�

Algebre 1 (annales)

Documents

Transcript of Algebre 1 (annales)