Logique classique Cours 2 : Logique...

IntroductionLe langage propositionnel

La logique propositionnelle comme systeme formelLa semantique de la logique propositionnelle

Quelques resultats

Logique classiqueCours 2 : Logique propositionnelle

Odile PAPINI

POLYTECHUniversite d’[email protected]

http://odile.papini.perso.luminy.univ-amu.fr/sources/LOG.html

Odile PAPINI Logique classique



Quelques resultats

Plan du cours

1 Introduction

2 Le langage propositionnel

3 La logique propositionnelle comme systeme formel

4 La semantique de la logique propositionnelle

5 Quelques resultats




Quelques resultats

Bibliographie I

Delahaye J. P., Outils logiques pour l’intelligenceartificielle. ,Eyrolles, Paris, 1986.

Gochet P.& Gribomont P., Logique : methodes pourl’informatique fondamentale.Langue, Raisonnement, Calcul, Hermes, Paris, 1990.

Kleene S. C., Logique mathematique. ,Epistemologie, Jacques Gabay, Paris, 1987.

Thayse A.& al., Approche logique de l’intelligenceartificielle, Tome 1. ,Informatique, DUNOD, Paris, 1990.




Quelques resultats

Bibliographie II

Alliot J.-M., Scheix T., Brisset P. & Garcia F.,Intelligence artificielle et Informatique theorique.,CEPADUES EDITIONS, Toulouse, 2002.




Quelques resultats

Bibliographie 2 I

Support de cours logique propositionnelle

http ://www.irit.fr/ Andreas.Herzig/C/prop.htmlhttp ://www.grappa.univ-lille3.fr/ champavere/Enseignement/0607/l2miashs/ia/logique.pdfhttp ://www-lipn.univ-paris13.fr/ levy/pdf/CoursLogMod.pdf

Exerciceshttp ://home.etu.unige.ch/ guigong3/TPdeLogique.htmlhttp ://users.info.unicaen.fr/ zanutti/logique/http ://liris.cnrs.fr/ amille/enseignements/emiage/supports−IA/logique/logique propositions.pdf




Quelques resultats

Intoduction

proposition

concept de proposition :

information atomique contingente

ce qui est ou ce qui n’est pas, un fait, une assertion

exemple de propositions

2 + 2 = 41 + 1 = 0

Le soleil brilleIl a les yeux rouges

un carre est un polygonetout homme est mortel · · ·




Quelques resultats

Le langage propositionnel L

Vocabulaire

un ensemble infini denombrable de variables propositionnellesou propositions P

les constantes : 0 (Faux , F ou ⊥) et 1 (Vrai , V , ou >)

les connecteurs : ¬ ∧ ∨ → ↔

les parentheses




Quelques resultats

Le langage propositionnel

Procede de formation des formules de L

⊥ (ou 0 ou F ) : est une formule

> (ou 1 ou V ) : est une formule

p : une variable propositionnelle est une formule

si P et Q sont des formules alors¬ P, P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q

sont des formules




Quelques resultats


Exemples de formules propositionnelles

(¬P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q)

P ∨ (Q ∧ R)

(P → (Q → P))

(A→ B)→ ((A→ (B → C ))→ (A→ C ))

¬¬A→ A




Quelques resultats


exercice : representation d’enonce

Si Pierre vient, on joue aux cartes ;

Si Pierre et Jean viennent, il y a des disputes ;

Si on ne joue pas aux cartes, il n’y a pas de dispute ;

Pierre ne vient pas.




Quelques resultats


exercice : representation d’enonce

Si Didier est l’auteur de ce bruit, il est stupide ou depourvu deprincipes.

Didier n’est ni stupide ni depourvu de principes.

Didier n’est pas l’auteur de ce bruit.




Quelques resultats

systeme formel

Axiomes

∀P, Q, R ∈ L

A1) (P → (Q → P))

A2) ((P → (Q → R))→ ((P → Q)→ (P → R)))

A3) ((¬ P → ¬ Q)→ (Q → P))




Quelques resultats

systeme formel

Regles de deduction

∀P, Q, R ∈ L

modus ponens

` P, ` P → Q

` Q

regle de substitution

remplacer dans un theoreme une variable propositionnelle,partout ou elle figure, par :

une autre variable propositionnelleou une formule bien formee




Quelques resultats

systeme formel

Definitions

∀P, Q ∈ L

D1) P → Q =def ¬P ∨ Q

D2) P ∧ Q =def ¬(¬P ∨ ¬Q)

D3) P ↔ Q =def (¬P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q)




Quelques resultats

systeme formel

Deduction

une deduction a partir d’hypotheses H1,H2, · · · ,Hm est une suitede formules bien formees F1,F2, · · · ,Fp ou chaque Fi est soit :

une hypothese

un axiome

ou une formule obtenue a partir des regles d’inference(substitution ou modus ponens) appliquees aux formulesplacees avant Fi dans la deduction

notation

H1,H2, · · · ,Hm ` Fptheoreme : deduction sans hypothese ` F




Quelques resultats

systeme formel

exemple : deduction

Donner une deduction de C a partir de A, B et A→ (B → C ),plus formellement, montrer que :

A, B, A→ (B → C ) ` C




Quelques resultats

systeme formel

Proposition :

∀P ∈ L ` (P → P)

Proposition :

∀P1, · · · ,Pn−1 ∈ L

si P1, · · · ,Pn−1 ` (Pn → Q) alors P1, · · · ,Pn ` Q

Theoreme de deduction :

Soient P1, · · · ,Pn,Q ∈ L

si P1, · · · ,Pn ` Q alors P1, · · · ,Pn−1 ` (Pn → Q)




Quelques resultats

systeme formel

Quelques theoremes utiles :

∀P,Q,R ∈ L, toutes les formules suivantes sont des theoremes :

` ((P → Q)→ ((Q → R)→ (P → R)))

` (P → ((P → Q)→ Q))

` (¬P → (P → Q))

` (¬¬P → P)

` (P → ¬¬P)

` ((P → Q)→ (¬Q → ¬P))

` (P → (¬Q → ¬(P → Q)))

` ((Q → P)→ ((¬Q → P)→ P))




Quelques resultats

systeme formel

exercices : deduction

Montrer que ∀P ∈ L, ` (P → P)

En utilisant le theoreme de deduction montrer que :` (A→ (B → C ))→ (B → (A→ C ))




Quelques resultats

semantique de la logique propositionnelle

Interpretation

toute application σ de P (ensemble des propositions) dans {0, 1}telle que :

σ(⊥) = 0 et σ(>) = 1

∀P,Q ∈ L,

σ(¬P) = 1− σ(P)

σ(P ∨ Q) = max(σ(P), σ(Q))

σ(P ∧ Q) = min(σ(P), σ(Q))

σ(P → Q) = max((1− σ(P)), σ(Q))

σ(P ↔ Q) =min(max((1− σ(P)), σ(Q)),max(σ(P), (1− σ(Q)))).




Quelques resultats


Table de verite

P Q P ∨ Q P ∧ Q P → Q P ↔ Q

1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1




Quelques resultats


exercice

Quelles sont les interpretations qui rendent vraie la formule :

(A→ (B → C ))→ (B → (A→ C )) ?




Quelques resultats


quelques definitions

∀P,Q ∈ L et F ⊂ L

P est une tautologie si pour toute interpretation σ, σ(P) = 1, onecrit |= P

Q est une consequence logique de P si pour toute interpretationσ, si σ(P) = 1 alors σ(Q) = 1, on ecrit P |= Q

Q est une consequence logique de F si pour toute interpretationσ, tq ∀P ∈ F , si σ(P) = 1 alors σ(Q) = 1, on ecrit F |= Q




Quelques resultats


exercices

Monter que les axiomes A1), A2), A3) sont des tautologies

Est-ce que (P → R) est une tautologie ?

Est -ce que ψ est une consequence logique de φ ?

φ = (P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ R), ψ = Q ∧ Rφ = (P → Q) ∧ (P → ¬Q), ψ = ¬P




Quelques resultats


quelques definitions

∀P,Q ∈ L et F ⊂ L

P est satisfaisable ou coherente s’il existe une interpretationσ tq σ(P) = 1

F est satisfaisable s’il existe une interpretation σ tq ∀P ∈ F ,σ(P) = 1

P est insatisfaisable ou incoherente si pour touteinterpretation σ, σ(P) = 0

F est insatisfaisable si pour toute interpretation σ, ∃P ∈ Ftq σ(P) = 0




Quelques resultats


exercices

les formules suivantes sont-elles coherentes ?

(a ∨ ¬b) ∧ (¬a ∨ b) ∧ ¬(a↔ b)

b → (¬c → ¬(b → c))

les ensembles de formules suivants sont-ils satisfaisables ?

F = {a ∨ b ∨ c , ¬a ∨ b, ¬a ∨ c , ¬b,¬c}

G = {a ∨ b, ¬a, ¬b}




Quelques resultats


Quelques proprietes

∀P,Q ∈ L,

|= (P → Q) ssi P |= Q

|= (P ↔ Q) ssi P ≡ Q

si |= P et |= (P → Q) alors |= Q

|= (P ∧ Q) ssi |= P et |= Q

si |= P ou |= Q alors |= (P ∨ Q)




Quelques resultats


exercice

Montrer :

|= (P → Q) ssi P |= Q

|= (P ↔ Q) ssi P ≡ Q




Quelques resultats

la logique propositionnelle

Quelques theoremes

theoreme (d’adequation) :∀P ∈ L si ` P alors |= P

(les formules qui sont des theoremes sont des tautologies)

theoreme (de completude faible) :∀P ∈ L si |= P alors ` P

(les formules qui sont des tautologies sont des theoremes )

theoreme (de completude forte) :Soit F un ensemble de formules de L, ∀P ∈ Lsi F |= P alors F ` P




Quelques resultats

logique propositionnelle

Quelques theoremes

theoreme (de compacite) :Soit F un ensemble de formules de L.Si toute famille finie F ′ ⊂ F est satisfaisable alors F est aussisatisfaisable.

theoreme (de finitude) :Soit F un ensemble de formules de L. Soit Q ∈ Lsi F |= Q alors ∃F ′ ⊂ F fini tq F ′ |= Q

theoreme (de decidabilite) :∀P ∈ L , il existe un programme qui, pour toute formule P,

indique en un temps fini si oui ou non ` P




Quelques resultats

logique pour l’informatique

formes normales

litteral : une proposition ou la negation d’une propositionclause : disjonction de litterauxcube : conjonction de litterauxforme conjonctive normale : une conjonction de clausesforme disjonctive normale : une disjonction de cubes

theoreme (de normalisation) :

∀P ∈ L, P admet une forme conjonctive normale qui lui estequivalente

∀P ∈ L, P admet une forme disjonctive normale qui lui estequivalente




Quelques resultats

logique pour l’informatique : algorithme de normalisation

debut

elimination des connecteurs → et ↔remplacer P ↔ Q par (P → Q) ∧ (Q → P)

puis remplacer P → Q par ¬P ∨ Q

application des lois de Morgan

remplacer ¬(P ∧Q) par ¬P ∨¬Q et ¬(P ∨Q) par ¬P ∧¬Q

elimination des doubles negations

remplacer ¬¬P par P

application des regles de distributivite

remplacer P ∨ (Q ∧ R) par (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

et (P ∧ Q) ∨ R par (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)

finOdile PAPINI Logique classique



Quelques resultats

formes normales

exercice

Mettre sous forme CNF :

¬(a ∨ b → c)

P → (Q → R)

¬((P → Q) ∧ (R → S))




Quelques resultats

formes normales

exercice

Mettre sous forme DNF :

¬(a ∨ b → c)

P → (Q → R)

¬((P → Q) ∧ (R → S))


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