Logique des propositions -...

31
Logique des propositions Damien Nouvel Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 1 / 31

Transcript of Logique des propositions -...

Page 1: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Logique des propositions

Damien Nouvel

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 1 / 31

Page 2: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Plan

1. Fondements de la logique

2. Formes normales

3. Dérivations logiques

4. Problème / exercice

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 2 / 31

Page 3: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Notions élémentaires

§ Le monde de la logique formelle classique• Valeurs de vérité : vrai, faux• Monde ouvert (non clos)• Manipulation de propositionsñ Pas d’ambigüités (tiers exclu)ñ Monde discret (logique non floue)

§ Validité d’une proposition• Syntaxique : est-elle bien formée ?• Sémantique : a-t-elle du sens ?

§ Validité d’un raisonnement• Prémisses : propositions en condition (antécédent)• Conclusion : proposition en conséquenceñ Est-ce que les prémisses sont suffisantes (et nécessaires) ?

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 3 / 31

Page 4: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Quelques exemples

§ Raisonnements non valides à divers niveaux• Syntaxe

• Aristote mortel estñ Syntaxe de la prédicationñ Contrainte liée au langage

• Sémantique• Tout Socrates est mortelñ Sémantique de la quantificationñ Contrainte liée au sens des symboles

• Raisonnement• Tout chat est mortel• Or Socrates est mortel• Donc Socrates est un chat ?!ñ Règles d’inférence (déduction)

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 4 / 31

Page 5: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Formules bien formées

§ Langage formel• Formules (dont variables atomiques) : p, q, r …• Parenthèses (op. syntaxique) : ( et )• Négation (op. unaire) : ␣ (ou !, „,

_)

• Connecteurs logiques (op. binaires)• Conjonction, et : ^ (ou ., &)• Disjonction, ou : _ (ou +, |)• Implication : Ñ• Équivalence : Ø

• Priorité (à gauche) des opérateurs : (, ), ␣, ^, _, Ñ, Ø• Formules bien formées (définition récursive)

• Si p est une f.b.f. alors ␣pet(p) aussi• Si p et q sont des f.b.f. alors p^ q, p_ q, p Ñ q et p Ø q aussi• Les autres formules ne sont pas bien formées

ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiquesDamien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 5 / 31

Page 6: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Arbre d’expression

§ Décomposition d’une formule sous forme d’arbre• Éléments : nœuds (ronds) et arcs (traits)• Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)• Position des nœuds : racine (haut) et feuilles (bas)ñ Description de la structure de l’expression

• Nœuds internes : opérateurs• Feuilles : atomes

§ Exemple• Formule : ␣p_ q^ r• Équivalente (priorité) à : (␣(p)_ ((q)^ (r))

_

p

^

q r

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 6 / 31

Page 7: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Assignations

§ Association de valeurs à des variables atomiques• Les variables atomiques ne se décomposent pas• Valeurs de vérité V,F (ou 1, 0, J,K)ñ Permet le calcul des formules

• Valeur de vérité pour chaque variable atomique• Connecteurs logiques qui les séparent

§ Exemple• Formule : ␣p_ q^ r• Assignation : p = V, q = V et r = V• Calcul : ␣V_V^V = F_V^V = F_V = V• Assignation : p = V, q = F et r = V• Calcul : ␣V_ F^V = F_ F^V = F_ F = F• Assignation : p = F, q = F et r = F• Calcul : ␣F_ F^ F = V_ F^ F = V_ F = V

ñ Pour n variables, 2n assignations possiblesDamien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 7 / 31

Page 8: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Tables de vérité (assignations)

Négationp ␣pV FF V

Conjonctionp q p^ qV V VV F FF V FF F F

Disjonctionp q p_ qV V VV F VF V VF F F

Implicationp q p Ñ qV V VV F FF V VF F V

Équivalencep q p Ø qV V VV F FF V FF F V

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 8 / 31

Page 9: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Exercice

§ Ajouter les parenthèses, déterminer l’arbre d’expression et latable de vérité pour

• p^␣q• ␣(p_ q)• p^␣q_␣p^ q• ␣(p^ q)_ (␣p^ r)_ (p^␣r)• p Ñ q^ r• ␣p Ñ q• (p Ñ q)^ (q Ñ p)

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 9 / 31

Page 10: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Problème

§ Exprimez les relations entre les éléments suivants• Transports :tbus,metro, tram, rer, voiture, taxi, velo,moto, pied, autolibu

• Motorisation : tmoteur, pedale, 2roues, 4rouesu• Caractéristiques :tvehicule, elec, public, proprio, location, payant, gratuitu

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 10 / 31

Page 11: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Fondements de la logique

Problème

§ Exprimez les relations entre les éléments suivants• Aliments : tsalade, carotte, herbe, steak, oeuf, lait,

biscuit, compote, eau, jus, the, cafeu• Mode d’alimentation :tcarnivore, herbivore,monivore, vegetarien, veganu

• Moments d’alimentation :trepas, petitdej, dejeuner, diner, gouter, encasu

• Restauration :tmenu, cafegourmant, the, entree, plat, dessert, boissonu

• Animaux : thumain, enfant, adulte, vache, lionu

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 11 / 31

Page 12: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Plan

1. Fondements de la logique

2. Formes normales

3. Dérivations logiques

4. Problème / exercice

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 12 / 31

Page 13: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Comparaison de formules

ñ Quelles formules sont équivalentes ?• Identiques

p^ q Ñ r et p^ q Ñ r• Identiques aux parenthèses près

p^ q Ñ r et (p^ q)Ñ r• Identiques à une commutation près

p^ q Ñ r et q^ p Ñ r• Et autres propriétés (associativité, distributivité, etc.)• Pour toute assignation, les formules ont même valeur

p^ q Ñ r et ␣(p^ q)_ r• …ñ Notation avec ”ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ?ñ Mettre les expressions sous forme normale

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 13 / 31

Page 14: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Équivalence de formules logiquesFaux p^ F ” F

p_ F ” pVrai p^V ” p

p_V ” VContradiction p^␣p ” FTiers-exclus p_␣p ” VDouble négation ␣␣p ” pImplication p Ñ q ” ␣p_ qÉquivalence p Ø q ” (p Ñ q)^ (q Ñ p) ” (p^ q)_ (␣p^␣q)Lois de De Morgan ␣(p_ q) ” ␣p^␣q

␣(p^ q) ” ␣p_␣q

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 14 / 31

Page 15: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Équivalence de formules logiquesIdempotence p^ p ” p_ p ” pCommutativité p^ q ” q^ p

p_ q ” q_ pAssociativité (p^ q)^ r ” p^ (q^ r) ” p^ q^ r

(p_ q)_ r ” p_ (q_ r) ” p_ q_ rDistributivité p_ (q^ r) ” (p_ q)^ (p_ r)

p^ (q_ r) ” (p^ q)_ (p^ r)Absorption p_ (p^ q) ” p

p^ (p_ q) ” p

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 15 / 31

Page 16: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Formes normales

§ Système suffisant de connecteurs : ␣, ^, _• Littéral : variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)• Formes normales

• Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux(p_ q)^ (p_␣r)

• Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux(p^ q)_ (p^␣r)

• Mise sous forme normale• Suppression des connecteurs Ñ, Ø• Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)• Distributivité, commutativité, absorption

§ Exemple (FNC)• ␣p Ñ (q^ r)” ␣␣p_ (q^ r)” p_ (q^ r)” (p_ q)^ (p_ r)

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 16 / 31

Page 17: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Exercice

§ Mettre sous FNC les formules• ␣(p^ q)• p_ q^ r• (p Ñ q)^ (p Ñ r)• p_␣(q^ r)• q Ñ ␣p^␣p_ q• (p Ñ q)^␣(q Ñ p)• (␣p^ q)_ r• p Ø q• ␣(p_ q)_ (p^ r)• (p_ q)Ñ r• (␣p Ñ q)Ñ r

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 17 / 31

Page 18: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Exercice

§ Mettre sous FND les formules• ␣(p Ñ q)• p^␣(q^ r)• p^ (p Ñ q)

§ Dire si les équivalences suivantes sont justes• p^ q_ r ” ␣(p Ñ ␣q)_ r• ␣(p_ q^␣r) ” ␣p^␣q_ r

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 18 / 31

Page 19: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Problème

§ Mettre sous forme logique puis en FNC les propositions• Un objet qui n’est ni solide ni gazeux est liquide• Il est faux de dire qu’on peut être grand et petit• Il n’existe pas de planète qui ne soit ronde• Chacun est humain et homme ou humain et femme• Si on est riche ou beau alors on ne peut être malheureux• Si être riche rend bête, et être bête rend heureux, alors être

riche rend heureux• On ne peut être bête et malheureux si on est riche

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 19 / 31

Page 20: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Méthode des mintermes / maxtermes

§ Trouver une formule à partir de sa table de vérité• Calcul des (min/max)termes pour les formes normales• FND

• Minterme : pour V, conjonction des littéraux• Formule comme disjonction des mintermes

• FNC• Maxterme : pour F, disjonction des négations de littéraux• Formule comme conjonction des maxtermes

• Exemplep q formule min/max termeV V V min p^ qV F F max ␣p_ qF V V min ␣p^ qF F F max p_ qñ FND : (p^ q)_ (␣p^ q)ñ FNC : (␣p_ q)^ (p_ q)

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 20 / 31

Page 21: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Formes normales

Exercice

§ Donnez par la méthode des mintermes / maxtermes la FNCet la FND pour la table de vérité suivante

p q r formuleV V V FV V F FV F V FV F F FF V V VF V F VF F V VF F F V

§ Quelqu’un dit « Être héritier ou travailler permet de ne pasêtre pauvre », traduisez cette proposition sous forme logique,donnez sa table de vérité, puis calculez sa FNC et FND.

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 21 / 31

Page 22: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Dérivations logiques

Plan

1. Fondements de la logique

2. Formes normales

3. Dérivations logiques

4. Problème / exercice

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 22 / 31

Page 23: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Dérivations logiques

Théorèmes et démonstrations

§ Système logique• Théorèmes : ce que l’on peut démontrer• Symbole de la dérivation logique (démonstration) : $• Existence d’axiomes (théorèmes admis)• Utilisation de règles d’inférence (prémisses, conclusion)• Mécanismes d’interprétation des formulesñ Le système est-il consistant, complet ?

§ Exemple de système logique• Un axiome est un théorème : $ p• Modus ponens : p, p Ñ q $ q• Modus tollens : p Ñ q,␣q $ ␣p

§ Autre notationpp Ñ qq

(modus ponens)

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 23 / 31

Page 24: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Dérivations logiques

Interprétations et modèles

§ Interprétations• Lien entre sémantique et assignationsñ Une formule peut être

• Valide : vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)• Satisfiable : au moins une interprétation qui la rend vraie• Contingente : une interprétation la rend vraie et une autre

la rend fausse• Insatisfiable : aucune interprétation ne la rend vraie

§ Modèles de formule• Interprétations qui rendent la formule vraie

ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F}ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 24 / 31

Page 25: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Dérivations logiques

Résolution par réfutation§ Principe de la réfutation (absurde / apagogie)

• Démontrer que q est la conséquence logique de p1, p2 . . . pn” démontrer que p1, p2 . . . pn $ q” démontrer que p1, p2 . . . pn est conséquence logique de q” démontrer que ␣(p1 ^ p2 . . . pn)_ q est valide” démontrer que ␣(␣(p1 ^ p2 . . . pn)_ q) est insatisfiable” démontrer que p1 ^ p2 . . . pn ^␣q est insatisfiable

§ Exemple• Axiomes

• $ (p Ñ q)_ (p Ñ r) (1)• $ p^␣q (2)

• Démonstration que 1, 2 $ r par réfutation• ((p Ñ q)_ (p Ñ r))^ (p^␣q)^␣(r)” (␣p_ q_␣p_ r)^ (p^␣q^␣r)” (␣p_ q_ r)^ (p^␣q^␣r)” (␣p_ q_ r)^␣(␣p_ q_ r) …(contradiction A^␣A)

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 25 / 31

Page 26: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Dérivations logiques

Exercice

§ Montrer par réfutation• (p Ñ ␣q), q $ ␣p• (␣p_␣q), p $ ␣q• (p_ q), (p_ r), (p_ s),␣p $ q^ r^ s• (␣p Ñ ␣q) $ (q Ñ p)• p Ñ q, q Ñ r $ p Ñ r• ((p Ñ r)_ (q Ñ r))^␣r $ (␣p_␣q)• p_ q Ñ r, p_ s,␣s $ r

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 26 / 31

Page 27: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Dérivations logiques

Complétude et cohérence des systèmes logiques

§ Cohérence (ou consistance)• Il n’existe aucune formule telle qu’elle même et sa négation

soient conséquences du systèmeñ Programme de Hilbert (Hilbert, 1900)ñ Contre-exemple : p,␣q, p Ñ qñ Contre-exemple : paradoxe du barbier (Russel, 1903)

§ Complétude• Toute proposition que l’on sait sémantiquement correcte

peut être dérivée par le systèmeñ Exemple : calcul des prédicats du 1er ordre (Gödel, 1929)ñ Contre-exemple : théorème d’incomplétude (Gödel, 1931)

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 27 / 31

Page 28: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Problème / exercice

Plan

1. Fondements de la logique

2. Formes normales

3. Dérivations logiques

4. Problème / exercice

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 28 / 31

Page 29: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Problème / exercice

Politiquement logique

§ Prouvez les assertions suivantes par réfutation• Tout politicien ment, tu fais de la politique donc tu mens• Tout politicien est menteur, tu ne ments pas, donc tu ne fais

pas de politique• Je connais un politique qui ne ment pas : il n’est pas vrai

que tous les politiciens sont des menteurs• Dans une démocratie, il y a des élections et des libertés et

dans une dictature, il n’y a ni l’un ni l’autre. Donc un régimene peut être à la fois démocratique et dictatorial

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 29 / 31

Page 30: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Problème / exercice

Cuisine logique

§ Sujet : un étudiant doit manger la veille d’un examen§ Soient les (assertions) propositions suivantes

• (1) Je peux me faire des pâtes ou aller chercher une pizza• (2) Tous les mardis et jeudis, il y a le camion à pizza• (3) Si je mange mal et que je me couche tard je rate l’examen• (4) Si je ne révise pas mon cours, je vais rater mon examen• (5) Si je révise mon cours, je vais me coucher tard

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 30 / 31

Page 31: Logique des propositions - damien.nouvels.netdamien.nouvels.net/cours/logique/02_Propositions.pdf · Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des

Problème / exercice

Cuisine logique (suite)

§ Questions• Traduire toutes les propositions en logique• Donner les arbres d’expression des propositions (2) et (3)• Mettre la formule (3) sous forme normale conjonctive• Faire la table de vérité du (4), puis sa FNC par minmax• Prouver par réfutation que le mercredi, l’étudiant mangera

nécessairement des pâtes• Prouver que pour réussir l’examen l’étudiant se couchera tard• En supposant qu’il ne sait pas cuisiner (les pâtes seront

ratées), que mangera l’étudiant si l’on est un jeudi et qu’ilveut réussir l’examen ?

• Que se serait-il passé si l’examen était un lundi ?

Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 31 / 31