Cours LOG Odile Cours 2

IntroductionLe langage propositionnel

La logique propositionnelle comme syste`me formelLa semantique de la logique propositionnelle

Quelques resultats

Logique classiqueCours 2 : Logique propositionnelle

Odile PAPINI

POLYTECHUniversite [email protected]

http://odile.papini.perso.esil.univmed.fr/sources/LOG.html

Odile PAPINI Logique classique



Quelques resultats

Plan du cours

1 Introduction

2 Le langage propositionnel

3 La logique propositionnelle comme syste`me formel

4 La semantique de la logique propositionnelle

5 Quelques resultats




Quelques resultats

Bibliographie I

Delahaye J. P., Outils logiques pour lintelligenceartificielle. ,Eyrolles, Paris, 1986.

Gochet P.& Gribomont P., Logique : methodes pourlinformatique fondamentale.Langue, Raisonnement, Calcul, Hermes, Paris, 1990.

Kleene S. C., Logique mathematique. ,Epistemologie, Jacques Gabay, Paris, 1987.

Thayse A.& al., Approche logique de lintelligenceartificielle, Tome 1. ,Informatique, DUNOD, Paris, 1990.




Quelques resultats

Bibliographie II

Alliot J.-M., Scheix T., Brisset P. & Garcia F.,Intelligence artificielle et Informatique theorique.,CEPADUES EDITIONS, Toulouse, 2002.




Quelques resultats

Bibliographie 2 I

Support de cours logique propositionnelle

http ://www.irit.fr/ Andreas.Herzig/C/prop.htmlhttp ://www.grappa.univ-lille3.fr/ champavere/Enseignement/0607/l2miashs/ia/logique.pdfhttp ://www-lipn.univ-paris13.fr/ levy/pdf/CoursLogMod.pdf

Exerciceshttp ://home.etu.unige.ch/ guigong3/TPdeLogique.htmlhttp ://users.info.unicaen.fr/ zanutti/logique/http ://liris.cnrs.fr/ amille/enseignements/emiage/supportsIA/logique/logique propositions.pdf




Quelques resultats

Intoduction

proposition

concept de proposition :

information atomique contingente

ce qui est ou ce qui nest pas, un fait, une assertion

exemple de propositions

2 + 2 = 41 + 1 = 0

Le soleil brilleIl a les yeux rouges

un carre est un polygonetout homme est mortel




Quelques resultats

Le langage propositionnel L

Vocabulaire

un ensemble infini denombrable de variables propositionnellesou propositions P

les constantes : 0 (Faux , F ou ) et 1 (Vrai , V , ou >)

les connecteurs :

les parenthe`ses




Quelques resultats

Le langage propositionnel

Procede de formation des formules de L

> (ou 0 ou F ) : est une formule

(ou 1 ou V ) : est une formule

p : une variable propositionnelle est une formule

si P et Q sont des formules alors P, P Q, P Q, P Q, P Q

sont des formules




Quelques resultats


Exemples de formules propositionnelles

(P Q) (P Q)

P (Q R)

(P (Q P))

(A B) ((A (B C )) (A C ))

A A




Quelques resultats


exercice : representation denonce

Si Pierre vient, on joue aux cartes ;

Si Pierre et Jean viennent, il y a des disputes ;

Si on ne joue pas aux cartes, il ny a pas de dispute ;

Pierre ne vient pas.




Quelques resultats


exercice : representation denonce

Si Didier est lauteur de ce bruit, il est stupide ou depourvu deprincipes.

Didier nest ni stupide ni depourvu de principes.

Didier nest pas lauteur de ce bruit.




Quelques resultats

syste`me formel

Axiomes

P, Q, R L

A1) (P (Q P))

A2) ((P (Q R)) ((P Q) (P R)))

A3) (( P Q) (Q P))




Quelques resultats

syste`me formel

Re`gles de deduction

P, Q, R L

modus ponens

` P, ` P Q` Q

re`gle de substitution

remplacer dans un theore`me une variable propositionnelle,partout ou` elle figure, par :

une autre variable propositionnelleou une formule bien formee




Quelques resultats

syste`me formel

Definitions

P, Q LD1) P Q =def P Q

D2) P Q =def (P Q)

D3) P Q =def (P Q) (P Q)




Quelques resultats

syste`me formel

Deduction

une deduction a` partir dhypothe`ses H1,H2, ,Hm est une suitede formules bien formees F1,F2, ,Fp ou` chaque Fi est soit :

une hypothe`se

un axiome

ou une formule obtenue a` partir des re`gles dinference(substitution ou modus ponens) appliquees aux formulesplacees avant Fi dans la deduction

notation

H1,H2, ,Hm ` Fptheore`me : deduction sans hypothe`se ` F




Quelques resultats

syste`me formel

exemple : deduction

Donner une deduction de C a` partir de A, B et A (B C ),plus formellement, montrer que :

A, B, A (B C ) ` C




Quelques resultats

syste`me formel

Proposition :

P L ` (P P)

Proposition :

P1, ,Pn1 L

si P1, ,Pn1 ` (Pn Q) alors P1, ,Pn ` Q

Theore`me de deduction :

Soient P1, ,Pn,Q L

si P1, ,Pn ` Q alors P1, ,Pn1 ` (Pn Q)




Quelques resultats

syste`me formel

Quelques theore`mes utiles :

P,Q,R L, toutes les formules suivantes sont des theore`mes :

` ((P Q) ((Q R) (P R)))` (P ((P Q) Q))` (P (P Q))` (P P)` (P P)` ((P Q) (Q P))` (P (Q (P Q)))` ((Q P) ((Q P) P))




Quelques resultats

syste`me formel

exercices : deduction

Montrer que P L, ` (P P)

Montrer que ` ((q p) r) (p r)

En utilisant le theore`me de deduction montrer que :` (A (B C )) (B (A C ))




Quelques resultats

semantique de la logique propositionnelle

Interpretation

toute application de P (ensemble des propositions) dans {0, 1}telle que :

() = 0 et (>) = 1P,Q L,

(P) = 1 (P)(P Q) = max((P), (Q))(P Q) = min((P), (Q))(P Q) = max((1 (P)), (Q))(P Q) =min(max((1 (P)), (Q)),max((P), (1 (Q)))).




Quelques resultats


Table de verite

P Q P Q P Q P Q P Q1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1




Quelques resultats


exercice

Quelles sont les interpretations qui rendent vraie la formule :

(A (B C )) (B (A C )) ?




Quelques resultats


quelques definitions

P,Q L et F L

P est une tautologie si pour toute interpretation , (P) = 1, onecrit |= P

Q est une consequence logique de P si pour toute interpretation, si (P) = 1 alors (Q) = 1, on ecrit P |= Q

Q est une consequence logique de F si pour toute interpretation, tq P F , si (P) = 1 alors (Q) = 1, on ecrit F |= Q




Quelques resultats


exercices

Monter que les axiomes A1), A2), A3) sont des tautologies

Est-ce que (p r) est une tautologie ?

Est -ce que est une consequence logique de ?

= (p q) (p r), = q r = (p q) (p q), = p




Quelques resultats


quelques definitions

P,Q L et F LP est satisfaisable ou coherente sil existe une interpretation tq (P) = 1

F est satisfaisable sil existe une interpretation tq P F ,(P) = 1

P est insatisfaisable ou incoherente si pour touteinterpretation , (P) = 0

F est insatisfaisable si pour toute interpretation , P Ftq (P) = 0




Quelques resultats


exercices

les formules suivantes sont-elles coherentes ?

(a b) (a b) (a b)

b (c (b c))

les ensembles de formules suivants sont-ils satisfaisables ?

F = {a b c , a b, a c , b,c}

G = {a b, a, b}




Quelques resultats


Quelques proprietes

P,Q L,

|= (P Q) ssi P |= Q

|= (P Q) ssi P Q

si |= P et |= (P Q) alors |= Q

|= (P Q) ssi |= P et |= Q

si |= P ou |= Q alors |= (P Q)




Quelques resultats


exercice

Montrer :

|= (P Q) ssi P |= Q

|= (P Q) ssi P Q




Quelques resultats

la logique propositionnelle

Quelques theore`mes

theore`me (dadequation) :P L si ` P alors |= P

(les formules qui sont des theore`mes sont des tautologies)

theore`me (de completude faible) :P L si |= P alors ` P

(les formules qui sont des tautologies sont des theore`mes )

theore`me (de completude forte) :Soit F un ensemble de formules de L, P Lsi F |= P alors F ` P




Quelques resultats

logique propositionnelle

Quelques theore`mes

theore`me (de compacite) :Soit F un ensemble de formules de L.Si toute famille finie F F est satisfaisable alors F est aussisatisfaisable.

theore`me (de finitude) :Soit F un ensemble de formules de L. Soit Q Lsi F |= Q alors F F fini tq F |= Q

theore`me (de decidabilite) :P L , il existe un programme qui, pour toute formule P,

indique en un temps fini si oui ou non ` POdile PAPINI Logique classique



Quelques resultats

logique pour linformatique

formes normales

litteral : une proposition ou la negation dune propositionclause : disjonction de litterauxcube : conjonction de litterauxforme conjonctive normale : une conjonction de clausesforme disjonctive normale : une disjonction de cubes

theore`me (de normalisation) :

P L, P admet une forme conjonctive normale qui lui estequivalente

P L, P admet une forme disjonctive normale qui lui estequivalente




Quelques resultats

logique pour linformatique : algorithme de normalisation

debut

elimination des connecteurs et remplacer P Q par (P Q) (Q P)puis remplacer P Q par P Qapplication des lois de Morgan

remplacer (P Q) par P Q et (P Q) par P Qelimination des doubles negations

remplacer P par Papplication des re`gles de distributivite

remplacer P (Q R) par (P Q) (P R)et (P Q) R par (P R) (Q R)

finOdile PAPINI Logique classique



Quelques resultats

formes normales

exercice

Mettre sous forme CNF :

(a b c)

P (Q R)

((P Q) (R S))




Quelques resultats

formes normales

exercice

Mettre sous forme DNF :

(a b c)

P (Q R)

((P Q) (R S))


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Documents

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