Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis

L’objectif est de présenter les principales étapes de construction d’un

Modèle éléments finis

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Les techniques numériques relatives à la MEFsont présentées dans le chapitre 5 du cours. Elles sont mises en œuvre dans les scripts Matlab de l’application MEFLAB.

Bonne lecture

Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis

Idées de basePoint de départ : Formulation Variationnelle

Approximation de la solution par sous-domaines : éléments finis

• forme simple

• approximation sur des variables physiques

Domaine continu Domaine discrétisé

Forces nodales

Déplacements imposés

Chargerépartie

Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis

2

* * * * * . : . . 0CA

D D D D

u u u dV dV f u dV T u dS

Formulation Variationnelle PTV en Mécanique

*etu u

Approximation Éléments Finis e eD D W W

Mêmes familles de fonctions pour (Galerkin)

Pour chaque élément : ( )( ) M nMu N u

(*

( ))* M nMu uN

Efforts donnés sur 1

*sur :

0

du uD

u

2D

Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis

* : ?e

e

D

dV Pour les efforts internes

yzxzxyzzyyxxT ,,,,, 222

yzxzxyzzyyxxT ,,,,,

* * : T

Notation matricielle

( ) ( ) M ML u

Opérateur gradient en petites déformations

( ) ( ) ( ) M M MD Loi de comportement

( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] TM M Me e

De

K B D B dVavec

Matrice raideur élémentaire

( ) ( ) ( ) M M nM uBD * * *

( ) ( ) ( ) MM n nML Bu uN Approximation EF

** : e

T

e n e n

D

dV u K u

Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis

* * . e e

e e

D D

Tu ff u dV dV

Pour les efforts externes

Vecteur force généralisée élémentaire

*( )n*

e e

T TMe e

D D

Tu f dV u N f dV

(*

( ))* M nMu uNApproximation EF

Vous avez utilisé cette démarche pour l’étude des treillis et des portiques.

On défini des vecteurs globaux * UetU

e ee e

K K F F ~ ~

K U F Système global

ee WWDD Assemblage

En statique

Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis

Approximation nodale

Exemple 1D

2 variables approximation à 2 paramètres : T = a0+ a1 s

« Pb de température » s 0 1

T1 T2T(s)

Variables nodalessignification physique

Identification aux nœuds :

1 1

2 2

0

1 1 ;

T T TT s s s

T T T

Fonctions d’interpolation

Techniques numériques

Exemple : approximation utilisant 3 éléments

L’approximation n’assure pas la continuité de la dérivéeC’est l’approximation utilisée pour l’élément barre

Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis

Interpolation

Éléments à une dimension

Base polynomiale

Linéaire (1 s )

Quadratique (1 s s2 )

Cubique (1 s s2 s3 )Type Lagrange

Type Hermite

2 variables par nœudexemple : élément poutre v et

N NN1 2

31

1s

0

N

N

1

2

s10

1

1

1

s

N2

N3

1

N4

N1

s

N 21

10

N 1

Espace réel

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Éléments triangulaires

Éléments quadrilatéraux

Éléments toriques

Éléments à deux dimensions

Les bases polynomiales sont complètes

Les bases polynomiales sont incomplètes

zo

symétrie cylindrique

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Éléments à trois dimensions

bases incomplètes

bases incomplètes

Éléments tétraédriques

Éléments prismatiques

Les bases polynomiales sont complètes

Éléments hexaédriques

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nutsg

nutsg

nutsg

zNz

yNy

xNx

),,(

),,(

),,(

Dréf Dréels,t,u x,y,z

nnn zyx ,,nœuds

Transformation géométriqueLa transformation géométrique permet de passer d’un même élément de référence

aux éléments réels du maillage de la structure

, ,n n nx y z

==> matrices [B]e

Dérivation : on montre

u

t

sJ

z

y

x

1

Fct de Ng et

J matrice jacobienne de la transformation

Intégration : on montre

f dxdydz f dsdtduDe Dref

(x, y, z) (s, t, u) det J

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Calcul des matrices élémentaires

Dref

refT

e dvJNNM det )()(

Dref

refT

e dvJBDBK det ][ ][][ )()(

Pour chaque point d ’intégration

Calcul de [J] et [J]-1 au point d ’intégrationConstruction de [D] et [B]

Calcul de [B]T [D] [B] det[J] i

Calcul de [N]T [N] det[J] i

Accumuler dans [K] et [M]

Pour chaque élément Ng et nnn zyx ,,

Intégration numérique

Npi

iii

Dref

fdvf1

)(

Points d’intégration sur l’élément de référence

Poids

A étudier avec les scripts MEFLAB du T3 et Q4

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Domaine continu

Discrétisation géométrique

Calcul des matrices élémentaires n

De

n

De

de udVBDBudV:E TT 2

nn uue

KT

Prise en Compte des Conditions aux limiteset Résolution de l’équation matricielle

ID FFUK

liaisonsdeeffortsF

nodauxtsdéplacemenURésolution

I

Construction de l’approximation nodale

ee uNu

Assemblage ~

e

eKK

Évaluation des grandeurs élémentaires n)M()M()M()M()M( uBDD

Bilan

Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis

Nous venons de présenter la démarche éléments finis

Vous devez maintenant étudier sa généralisation :éléments de référencetransformations géométriquescalculs numériques

Vous l’avez déjà mise en œuvre sur les treillis et portiquesEn effectuant les calculs sur les éléments réels

Techniques Numériques