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LISTE 1

MODULES, BORNES SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES

Analyse I, partie 12019–2020 – Bachelier en sciences physiques

Exercice 1. Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :

(a) |x− 2| = 3

(b) −4 = |x+ 6|(c) | − 3x+ 4|+ | − 5 + x| = 10

(d) |x2 + x− 6| = |x− 2|

(e) | − 2x+ 4| ≤ 7

(f) 5 ≤ |3x+ 1|(g) |2x− 1| ≤ |x+ 2|(h) |x4 − 3x3 + 2x2 − 1| > −1

Exercice 2. Si x et y sont des nombres réels, démontrer que

|x+ y|1 + |x+ y|

≤ |x|1 + |x|

+|y|

1 + |y|.

Exercice 3. Soient x, y, z des points de R. Montrer que |x − y| = |x − z| + |z − y| si etseulement s’il existe r ∈ [0; 1] tel que z = rx+ (1− r)y.

Exercice 4. Si x est un nombre réel et r un nombre réel strictement négatif, exprimer(rx)+ en fonction de r, x+ et x−

Exercice 5. Trouver, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des ensemblessuivants et établir si elles sont réalisées :

1. A1 = {0} ∪ {x ∈ R : 1 < x < 3}2. A2 = {(−1)m/m : m ∈ N0}3. A3 = {2− 1/m2 : m ∈ N0}4. A4 = N5. A5 = Q

6. A6 =]0,+∞[

7. A7 = {1p +1q: p, q ∈ N0}

8. A8 = { 2xyx2+y2

: x, y ∈ R0}

9. A9 =⋂j∈N\{0}]−

1j+ 1

j2, cos(j π

2) + 2].

Exercice 6. Soient A et B deux parties non vides et bornées de R, posonsA+B = {a+ b : a ∈ A et b ∈ B}, AB = {ab : a ∈ A et b ∈ B} et −A = {−a : a ∈ A}.

(a) Montrer que A ⊂ B implique inf(B) ≤ inf(A) et sup(A) ≤ sup(B). Qu’en est-ilde la réciproque ?

(b) Montrer que sup(A∪B) = max(sup(A), sup(B)) et inf(A∪B) = min(inf(A), inf(B)).(c) Montrer que sup(A+B) = sup(A) + sup(B) et inf(A+B) = inf(A) + inf(B).(d) Montrer que sup(−A) = − inf(A).(e) Montrer que siA etB sont inclus dans ]0,+∞[, alors on a sup(AB) = sup(A) sup(B).(f) En déduire des points précédents que si A et B sont deux parties non vides et

bornées de R telles que A est inclus dans ]0,+∞[ et B est inclus dans ] −∞, 0[alors on a inf(AB) = sup(A) inf(B).

Exercice 7. Montrer que si E est un borné non vide de R, alors

sup{|x− y| : x, y ∈ E} = sup{x : x ∈ E} − inf{x : x ∈ E}.

Exercice 8. Résoudre dans C les inéquations suivantes :

(a) |z−3||z−5| ≤√22

(b) |z−2|2|z| > 1 (c) |z − 1| < |z − 3|.

Exercices proposés

Exercice 9. Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :

(a) |3x− 5| = |x+ 3|(b) |8x2 + 2x− 3| = |2x− 1|(c) |6x2 − 3x+ 2| < −|x+ 2|

(d) |4x+ 2| > 5

(e) | − 3x2 + x| ≤ |x2 − 3|(f) |3x+ 2| > |6x3 + 7x2 − 16x− 12|

Exercice 10. Trouver, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des ensemblessuivants et établir si elles sont réalisées :

(a) {(−1)j+ 1

j2: j ∈ N0} (b)

{(−1)kkk + 1

: k ∈ N}

(c) {x2 : x ∈]−1, 1/2[}

Exercice 11. Soit r ∈ R. Si A est une partie non vide et bornée de R et r ∈ R, on poserA = {ra : a ∈ A}, montrer que

sup(rA) =

{r supA si r ≥ 0

r inf A si r < 0.

Exercice 12. Déterminer inf{x2 − y : 0 < x ≤ 1 et 0 ≤ y < 1}.

Exercice 13. Résoudre dans C les inéquations suivantes :

(a) |z−5||3z−1| <

35

(b) 4|z+8| ≥ 1

L. Loosveldt – Liste 1

LISTE 2

SUITES


Exercice 1 (Illustration de la convergence vers l’infini).(a) Trouver une suite réelle qui converge vers ∞ mais qui ne converge ni vers −∞, ni

vers +∞.(b) Considérons la suite complexe (zj)j∈N définie par

zj =

{j si j est pairij sinon

Montrer que cette suite converge vers∞ mais que ce n’est pas le cas pour sa partieréelle ni pour sa partie imaginaire.

Exercice 2. Etablir la convergence de la suite (xj)j∈N0 lorsque

(a) xj =2j2 + 5j + 1

3j2 + 1

(b) xj =j8/3 − 2j + 1

j2 − 2

(c) xj =3√

8j2 + 5j − 2√j3 − 2j + 1

(d) xj =√j(√

j + 1−√

j)

(e) xj = j − 3√j2 + j3

(f) xj =

√j +

√j +

√j −

√j.

Exercice 3 (Suites de base).(a) Pour tout a ∈ R, étudier la convergence de la suite (aj/j!)j∈N0 .(b) Etudier la convergence de la suite (aj)j∈N0 pour toutes les valeurs réelles du paramètre

a.(c) Pour tout a > 0 fixé, étudier la convergence de la suite (a1/j)j∈N0 .(d) Etudier la convergence de la suite ( j

√j)j∈N0 .

Exercice 4. Si a ∈ R, établir la convergence de la suite (xj)j∈N0 lorsque

(a) xj =πj2√

(j!)π

(b) xj =(j!)2

(2j)!

(c) xj =j√ln(j)

(d) xj =j!√jj

(e) xj =(j + 2)!

(j2 + 1)j!

(f) xj =j sin(j!)

j2 + 1

(g) xj =sin(j)

jj + (−1)j+1j!

(h) xj =aj

1 + a2j

(i) xj = (√

j2 + 2− 3√

j3 + 3j)aj.

Exercice 5. Etablir que la suite (xj)j∈N définie par récurrence selon

x0 =√3 et xj+1 =

√3 + 2xj, j ∈ N

converge vers 3.

Exercice 6. Etablir que, pour tout a > 0, la suite (rj)j∈N définie par récurrence selon

r0 > 0 et rj+1 =1

2

(rj +

a

rj

), j ∈ N

converge vers√a.

Exercice 7. Étudier la convergence de la suite (xj)j∈N définie par récurrence selon

x0 = 1 et xj+1 = 1 +√

1 + xj, j ∈ N .


x0 ≥ 0 et xj+1 =6(x2

j + 1)

x2j + 11

∀j ∈ N .


x0 ∈ R et xj+1 =x3j + 7xj

2x2j − 3xj + 7

∀j ∈ N .

Exercice 10. Soit z0 ∈ C et (zj)j∈N la suite définie par

zj+1 =1

3(zj + 2zj) ∀ j ∈ N0,

étudier la convergence de cette suite.

Exercice 11. Soit a ∈ R, étudier la convergence des suites (xj)j∈N0 de terme généralégal à

(a) xj =

j∑k=0

1

(j + k)2(b) xj =

j∑k=1

1

k(k + 1)(c) xj =

1

j

j∑k=1

k√a

(d) xj =j∏

k=0

(1 + z2k

) avec z ∈ C tel que |z| < 1.

Exercice 12. Si E est une partie de C, soit U = (Ec)c. Montrer que U est un ouvertcontenant tout ouvert inclus dans E.

Exercices proposés

Exercice 13. Si a ∈ R et b > 0, étudier la convergence de la suite (xj)j∈N0 lorsque

(a) xj =√j2 + j + 1−

√j2 − j + 1

(b) xj = j − 3√j3 + j2

(c) xj =j 3√j

(a− 1)2j − 1

(d) xj =−3j4 + 5j3 + 2j − 1

j5 + 2j − 1

(e) xj = j

(√1 +

1

j− 1

)(f) xj = (

ln b

2+ 1)j( 3

√j + 1− 3

√j)

(g) xj =j2

aj

(h) xj =j√

ja.

Exercice 14. Etudier la convergence des suites (xj)j∈N définies par récurrence selon

(a) x0 = −2 et xj+1 =xj

3− xj, j ∈ N

(b) x0 = −2 et xj+1 =2 + xj1 + 2xj

, j ∈ N

(c) x0 =√2 et xj =

√2 + xj−1, j ∈ N0

(d) x0 > 0 et xj+1 =xj(2x

2j + 1)

x2j + 5

, j ∈ N

(e) x0 > 0 et xj+1 = 1 +x2j

4, j ∈ N.

Exercice 15. On considère la suite (xj)j∈N0 telle que{x1 ∈ R

xj+1 = axj + b avec a, b ∈ R si j ∈ N0 .

Étudier la convergence d’une telle suite. On pourra procéder de deux manières :— en montrant qu’il existe une constante C ∈ R telle que la suite (yj)j∈N0 , définie par

yj = xj − C pour tout j ∈ N0, soit géométrique,— ou en montrant que, pour tout j ∈ N0, xj+1 = ajx1 +

∑j−1k=0 a

kb.

Exercice 16. Etudier la convergence de la suite (xj)j∈N0 lorsque

(a) xj =1 +√a+ . . .+ j

√a

j(a > 0)

(b) xj =1

j(1 +

√2 +

3√3 + . . .+ j

√j)

(c) xj =1

j

j∑k=1

k2√k

(d) xj =

j∑k=1

k

j2.

L. Loosveldt– Liste 2

LISTE 3

LES SÉRIES


Exercice 1. Étudier la convergence des séries suivantes :

(a)+∞∑j=1

(√2)j (b)

+∞∑j=1

(−1

2

)j

(c)+∞∑j=1

(−1)jjj3 + 1

(d)+∞∑j=1

(−1)j j2 + 1

j3 + 1

(e)+∞∑j=1

j2 + 1

j!(f)

+∞∑j=1

je−j (g)+∞∑j=1

j!

jj(h)

+∞∑j=2

cos(jπ)

j ln(j)

(i)+∞∑j=1

3√j3 + j + 1−

√j2 + 1

j

Exercice 2. Étudier la convergence des séries suivantes, où a ∈ R, p ∈ N et q ∈ N0 :

(a)+∞∑j=1

aj

jj, (b)

+∞∑j=1

aj

jp, (c)

+∞∑j=1

e−aj2

, (d)+∞∑j=1

2j

j2sin2j(a)

(e)+∞∑j=1

Cpj+pa

j, (f)+∞∑j=1

j(a− 2)j

(j + 1)(j + 2), (g)

+∞∑j=1

jq√j3 + 1

.

Exercice 3. Calculer, en vérifiant que cela a un sens, la somme des séries suivantes :

(a)+∞∑j=0

3j+2

5j, (b)

+∞∑j=1

1

4j2 − 1, (c)

+∞∑j=1

j

2j.

Exercice 4.a) Roberto regarde tranquillement un match de foot en direct à la télévision, lorsque

sa femme lui demande d’aller acheter du lait. Disposant d’un décodeur dernièregénération, il décide de mettre son émission sur “pause” afin d’aller faire cettecourse. Lorsque Roberto rentre à la maison, il ne s’est absenté que 10 minutes etil décide de reprendre le match en vitesse “x2” afin de rattraper le direct. Aprèscombien de temps en vitesse “x2” Roberto aura-t-il rattrapé le direct ?

b) Roberto s’étant amusé à résoudre le point précédent, il tente de généraliser l’exer-cice. Si il a n minutes de retard sur le direct, qu’il reprend à vitese “x V” (V > 1),combien de temps mettra-t-il pour rattraper le direct ?

Exercice 5. Étudier la convergence de la série numérique

+∞∑j=1

1

ln(j)ln(j).

Exercices proposés

Exercice 6. Étudier la convergence des séries suivantes, où a ∈ R, p ∈ Z et q ∈ N :

(a)+∞∑j=1

2j

(2j + j)jp(b)

+∞∑j=1

(a− 2)j

2jaj√3j + 1

(c)+∞∑j=1

1

2j+1(d)

+∞∑j=1

j2 + 1

j(j + 1)2

(a+ 3

a− 1

)j

(e)+∞∑j=1

22jj!

jjaj (f)

+∞∑j=1

√j + 1−

√j

jq(a− 2)j

2jaj(g)

+∞∑j=1

(a− 3)j

2jaj(h)

+∞∑j=1

1 + j2

j!(−a)j

(i)+∞∑j=1

(−1)jaj

2j(j)

+∞∑j=1

(a+ 2)jj√j

(3jj + 3j)3.

Dans les cas où la (g) converge, calculer la valeur de la série.

Exercice 7. Soient P un polynôme réel et α un nombre réel ; Etudier la convergence desséries

(a)+∞∑j=1

1

jln(j)(b)

+∞∑j=1

P (j)

j!(c)

+∞∑j=1

P (j)αj.

Exercice 8. Étudier la convergence de la série

∞∑j=1

j + 2

(j + 3)jaj+k,

où a est un nombre réel et k un nombre entier positif.

Exercice 9. Étudier la convergence de la série numérique suivante :

∞∑j=1

3jj−x(x− 2)j

(5x− 3)j

pour toutes les valeurs réelles du paramètre x.


LISTE 4

LIMITES, CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DANS R


Exercice 1. Considérons la fonction

f(x) =

√x2 + x+ 1−

√x2 − x+ 1

xsign(x).

(a) Admet-elle des limites en 0+ et 0− ? Que peut-on dire de la limite en 0 ?(b) Admet-elle des limites en +∞ et −∞ ? Que peut-on dire de la limite à l’infini ?

Exercice 2. Montrer que la fonction f(x) = cos(x) n’a pas de limite à l’infini.

Exercice 3. Si possible, calculer

limx→1

3√x− 1

4√x− 1

et limx→−∞

3√x− 1

4√x− 1

.

Exercice 4. La fonctionf : R→ R : x 7→ x

√|x|

est-elle continue et dérivable sur R ? Calculer sa dérivée. Cela étant, a-t-on f ∈ C1(R) etf ∈ C2(R) ? Justifier.

Exercice 5. On donne les fonctions définies par

f1(x) =

√x2 − 1

x; f2(x) =

√cos(2x) ; f3(x) = ln(

1 + x

1− x) ; f4(x) = arccos

(1− x2

1 + x2

).

Déterminer le domaine de définition, de continuité, de dérivabilité et calculer la dérivéepremière de ces fonctions.

Exercice 6. Soit α > 0, déterminer à quels espaces Cp la fonction

x 7→ |x|α

appartient.

Exercice 7. Déterminer, si possible,— l’ensemble de définition— la régularité (appartenance aux espaces Cp)— la dérivée première— la dérivée seconde

de la fonction définie explicitement par l’expression suivante :

|x|α sin(x)

où α est un nombre réel du segment [0, 1].

Exercice 8. Sachant que f est une fonction continue sur [−1, 1], dérivable sur ]− 1, 1[ etde dérivée donnée par

[Df ]x =1√

1− x2, ∀x ∈]− 1, 1[

où la fonctionF (x) = f

(1− x2

1 + x2

)est-elle définie, continue et dérivable ? Que vaut sa dérivée ?

Exercice 9. Réaliser une étude complète de la fonction suivante. Esquisser son graphe.

f(x) = |x− 1|√x


f(x) =3√x3 − 3x+ 2


f(x) =sin(x)

sin(x+ π4)


f(x) =

{exp( 1

x2−1) six ∈]− 1, 1[

0 sinon

Exercice 13. Démontrer qu’il existe un réel x tel que ex + x = 2.

Exercice 14. Si f : R 7→ R est continue sur R telle que f(R) ⊂ Z alors montrer que fest constante.

Exercice 15. Soient f et g des fonctions définies sur [a, b] et C1([a, b[). Si f(a) ≤ g(a) etDf(x) ≤ Dg(x) pour tout x ∈ [a, b[ alors f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ [a, b[.

Exercices proposés

Exercice 16. Calculer, si cela a un sens,

limx→+∞

xp log(log(x))

pour tout p ∈ Z.

Exercice 17. Calculer, si possible, les limites suivantes :

limx→+∞

sin(x)

x; lim

x→−∞

sin(x)x

sin(x) + π; lim

x→+∞

√x− 1√x+ 1

.

Exercice 18. Calculer la dérivée des fonctions suivantes en précisant les ouverts de déri-vation.

arcsin(√1− x2) ; tan(log(x)) ; log

(sin(√1− x2)

).

Exercice 19. Sachant que f est une fonction continue sur [−1, 1], dérivable sur ]− 1, 1[et de dérivée donnée par

Df(x) =1√

1− x2,

où la fonction F définie par F (x) = f(2x√1− x2) est-elle continue et dérivable ? Calculer

sa dérivée.

Exercice 20. Déterminer, si possible,— l’ensemble de définition— la régularité (appartenance aux espaces Cp)— la dérivée première— la dérivée seconde

de la fonction définie explicitement par l’expression suivante :∣∣∣∣x− 1

x+ 1

∣∣∣∣α ,où α est un nombre naturel.

Exercice 21. Déterminer, si possible,— l’ensemble de définition— la régularité (appartenance aux espaces Cp)— la dérivée première

de la fonction définie explicitement par l’expression suivante :

arcsin

(4x

4 + x2

).


f(x) =1

xln(

ex − 1

x)


LISTE 5

FORMULES DE TAYLOR ET LEIBNIZ


Exercice 1. Soit la fonction f définie par f(x) = (x3 + 1)e−x pour tout x ∈ R. Calculerla dérivée D4f et en déduire la valeur de [D4f ](−1).

Exercice 2. Soit une fonction f dérivable sur R vérifiant la relation Df = f . Etablir quef appartient à C∞(R) et que pour tout K ∈ N, tous a, b0, . . . , bK ∈ R et tout polynômeP , on a

K∑k=0

bkDk[f(ax)P (x)] = f(ax)

K∑j=0

1

j!DjP (x)

[Djy

(K∑k=0

bkyk

)]y=a

.

Exercice 3. Développer la fonction f sur l’ensemble A en série de puissances de (x−x0)où

(a) f(x) = ln(1 + x), A = [−12; 1] et x0 = 0 ;

(b) f(x) = ex, A = R et x0 = 0 ;(c) f(x) =

√x, A = [1

2; 2] et x0 = 1.

En déduire les limites suivantes :

limx→0

ln(1 + x)

xet lim

x→+∞

ex

xn(n ∈ N0).

Exercices proposés

Exercice 4. Définissons la fonction f par f(x) = arcsin(x) pour tout x ∈ [−1; 1]. CalculerDnf(0) pour tout n ∈ N.

Exercice 5. Développer la fonction f définie par f(x) = sin(x) sur R en série de puis-sances de x. En déduire que

limx→0

sin(x)

x= 1.

Exercice 6. Montrer que

(a) cos(x) =+∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n pour tout x ∈ R,

(b) eαx =+∞∑n=0

αn

n!xn pour tout x ∈ R.

L. Loosveldt– Liste 5

LISTE 6

APPLICATION DE LA DÉRIVATION DANS R


Exercice 1. Comparer les fonctions arcsin et arccos sur [−1, 1].

Exercice 2. Comparer les fonctions suivantes sur R0 :

f : x 7→ arctg(x) et g : x 7→ arctg(1

x

).

Exercice 3. Comparer les fonctions suivantes sur R :

f : x 7→ arcsin(

2x

1 + x2

)et g : x 7→ arctg(x).

Exercice 4. On considère la parabole d’équation y = −29x2+8. On note A(a, 0) et B(b, 0)

(avec a < b) les points d’intersection de la parabole avec l’axe x. On considère un pointP (x, y) (avec a < x < b) sur la parabole. On note H la projection orthogonale de P surl’axe x. Déterminer les coordonnées de P pour que le triangle APH soit d’aire maximale.Donner cette aire maximale.

Exercice 5. Un fermier dispose de 300 mètres de clôture et désire réaliser un enclosformant un rectangle pour une partie et un demi-cercle de l’autre, comme sur la figureci-dessous. Quelles sont les dimensions du rectangle qui maximisent l’aire de l’enclos ?

Exercice 6. Soit un triangle ABC, rectangle en B, et D un point du segment BC. Ondésigne par E l’intersection de la perpendiculaire à BC passant par D avec AC et par Fl’intersection de la perpendiculaire à AB passant par E avec AB. Quelle est la positionde D sur le segment BC qui rend l’aire du rectangle BDEF maximale ?

Figure 6.1 – Illustrations des exercices 5 (à gauche) et 6 (à droite).

Exercice 7. Calculer, si elles ont un sens, les limites suivantes :

(a) limx→0

1− cos(a arcsin(x))ln(1 + x2)

(b) limx→0

(1

sin(x)− 1

x

)(c) lim

x→2−

ln(x− 2)

|2− x|

(d) limx→0+

cotg(αx)cotg(βx)

(e) limx→+∞

√x+ (1/

√x) + cos(x)√

x− (1/√x) + sin(x)

(f) limx→∞x

αxarcsin(1− 1x)

(g) limx→−∞

√|4x3 − x+ |√

5− x3(h) lim

x→0

tg(x)− sin(x)

x3(i) lim

x→+∞

2 sin(x)− sin(2x)

ln(1− |x|3)

(j) limx→+∞

xln(|a|+1)

1 + xln(|a|+1) sin2(x)(k) lim

x→0

√1 + xm −

√1− xm

x(l) limx→+∞

ex+e−x

ex−e−x

avec m,n ∈ N, α, β > 0 et a ∈ R.

Exercice 8. Montrer que pour tous x, y tels que 0 < y < x < π2, on a

x− ycos2(y)

≤ tg(x)− tg(y) ≤ x− ycos2(x)

.

Exercice 9. Soit f la fonction définie explicitement sur ]0,+∞[ par f(x) = exp( 1x).

Montrer que pour tout x appartenant au domaine de f , il existe c ∈]x, x+ 1[ tel que

f(x)− f(x+ 1) =1

c2exp(

1

c),

en déduire la valeur de

limx→∞

x2(exp(1

x)− exp(

1

x+ 1)).

Exercice 10. Montrer, à l’aide du théorème des accroissements finis, que l’on a

|tg(x)| ≥ |x|

pour tout x ∈]− π2, π2[.

Exercice 11. Soit la fonction sinc définie par

sinc(x) = limy→x

sin(y)

y.

Déterminer son domaine de définition, continuité et de dérivabilité. Calculer sa dérivéepremière.

Exercice 12. Posons f(x) = x2 sin(x) + 2(x cos(x) − sin(x)), pour tout x ∈ R. Montrerqu’il existe une infinité de maximum et minimum locaux mais aucun global.

Exercices proposés

Exercice 13. Sachant que la fonction arcch est définie, continue sur [1,+∞[ et de classeC∞ sur ]1,+∞[ où la dérivée est donnée pour tout x dans cet intervalle par Darcch(x) =

1√x2−1 et que arcch(1) = 0, comparer les fonctions suivantes sur ]− π

2; π2[ :

f : x 7→ ln

(tg(x) +

1

cos(x)

)et g : x 7→ arcch

(1

cos(x)

).

Exercice 14. Calculer, si elles ont un sens, les limites suivantes :

(a) limx→−∞

ln(1 + 1

x

)2x3

(b) limx→−∞

x√1 + x2

(c) limx→+∞

ex + e−x

ex − e−x

(d) limx→0

ln

(√3x2 + cos(x)√x2 − x

)(e) lim

x→0

tg(x)− sin(x)

sin(x)(cos(2x)− cos(x))(f) lim

x→+∞

√2ax− 1√1 + ax

(g) limx→0

ln(1 + x) sin(sin2(x))

x2(h) lim

x→+∞

√x− sin(x)√2x+ 7

(i) limx→0esin

2(x)−e− sin2(x)

sin2(x) cos(x)

avec a > 0 et m,n ∈ N.

Exercice 15. Écrire le nombre 4 sous la forme x+ y, où x et y sont deux nombres réelsstrictement positifs, de telle manière que l’expression x2 + y3 soit la plus petite possible.

Exercice 16. Démontrer que parmi tous les rectangles d’aire A > 0, celui qui a unpérimètre minimum est le carré. Calculer ce périmètre en fonction de A.

Exercice 17. Démontrer que parmi tous les rectangles de périmètre P > 0, celui qui aune aire maximum est le carré. Calculer cette aire en fonction de P .

Exercice 18. On considère un cercle de rayon r > 0 ; donner l’aire maximale que peutavoir un rectangle inscrit dans ce cercle ainsi que sa longueur et sa largeur en fonction der. Justifier votre réponse.

Exercice 19. Trouver, à l’aide du théorème des accroissements finis, deux fonctions f etg telles que

f(x) ≤ ln(x+ 2)− ln(x) ≤ g(x) ∀x > 0

Exercice 20. Montrer que pour tout n > 0 et p ∈ [0, 1], on a

p

(n+ 1)1−p≤ (n+ 1)p − np ≤ p

(n)1−p


LISTE 7

FONCTIONS DÉRIVABLES DE Rn


Exercice 1. Montrer que la fonction définie par

f : (x, y) ∈ R2 7→{ xy

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon

est dérivable sur R2.

Exercice 2. Soit la fonction f définie par

f(x, y) = ln(√

x2 + y2).

Montrer que f ∈ C2(R2 \{(0, 0)}. Déterminer l’expression explicite de

D2xf(x, y) +D2

yf(x, y).

Exercice 3. Posons B = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0} et soit une fonction f ∈ C0(B) ∩C1(B

◦) telle que

Dxf(x, y) = −iDyf(x, y) =1

x+ iy

pour tout (x, y) ∈ B◦. Où la fonction g définie par

g(x, y) = f(x2 − y2, 2xy)

est-elle continue et de classe C1 ? Donner une représentation graphique de ces ensembles.A-t-on encore Dxg = −iDyg ?

Exercice 4. Sachant que f est une fonction continue sur {(x, y) : y ≥ x > 0} et dérivablesur{(x, y) : y > x > 0} de dérivée données par

[Dxf ](x,y) =−y

x2√

y2 − x2et [Dyf ](x,y) =

x

x2√y2 − x2

,

où la fonctionF (x) = f(

1

x+ y,

1

x− y)

est-elle définie, continue et dérivable ? Calculer ses dérivées.

Exercice 5. Dans R2, comparer les fonctions

f : (x, y) 7→ arctg(x) + arctg(y) et g : (x, y) 7→ arctg(

x+ y

1− xy

).

Exercice 6. Soit a ∈ R. Rechercher les extrema de la fonction

f : R2 → R : (x, y) 7→ x3 + y3 − 3axy.

Exercices proposés

Exercice 7. Soit la fonction f définie par f(x, y, z) = ln(x3 + y3 + z3− 3xyz). Donner ledomaine de dérivabilité de cette fonction et démontrer que

Dxf +Dyf +Dzf =3

x+ y + z.

Exercice 8. Sachant que f est une fonction continue sur l’ensemble {(x, y) ∈ R2 : |xy| ≤1} et continûment dérivable sur {(x, y) ∈ R2 : |xy| < 1}, de dérivées données par

Dxf(x, y) =y√

1− x2y2et Dyf(x, y) =

x√1− x2y2

,

où la fonction F définie par

F (x, y) = f

(1√

1− x2y2, 1− x2y2

)

est-elle définie, continue et continûment dérivable ? Calculer ses dérivées.

Exercice 9. Là où elles sont définies, comparer les fonctions

f1(x, y) = arcsin(2x2y2 − 1) et f2(x, y) = arcsin(xy).

Exercice 10. Soient a, b > 0. Rechercher les extrema de la fonction

f : R2 → R : (x, y) 7→ (ax2 + by2)e−(x2+y2)

Solution :— x = y = 0 : minimum strict— x = 0, y = ±1 : si a < b maximum strict ; si a > b pas d’extremum— x = ±1, y = 0 : si a > b maximum strict ; si a < b pas d’extremum— {(x, y) : x2 + y2 = 1} : maximum

Exercice 11.(a) Montrer que l’aire d’un triangle vaut√

p(p− a)(p− b)(p− c)

où a, b, c sont les longueurs des trois côtés du triangle et 2p = a + b + c. Cetteformule est appelée la formule de Héron.

(b) Parmis tous les triangles de périmètre 2p donné, déterminer celui dont l’aire estmaximale.

L. Loosveldt – liste 7

LISTE 1 MODULES, BORNES SUPÉRIEURES ET ...L.Loosveldt–Liste3 LISTE 4 LIMITES, CONTINUITÉ ET...

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