Une ligne est un ensemble de deux conducteurs, chargs de transmettre un signal dun point un autre.

Les types de lignes les plus employes sont :

La ligne bifilaire

Elle est forme de 2 conducteurs isols, placs cte cte. On la rencontre sous forme torsade dans le rseau tlphonique filaire .

On la trouve galement sous forme de 2 conducteurs de cuivre multibrins, disposs paralllement , et spars par un ruban de polythylne. (ligne twin lead ) Elle est utilise par exemple comme descente dantenne radio TV (en Allemagne)

La ligne coaxiale

Elle est forme de 2 conducteurs concentriques, nomms me et blindage Cest la ligne utilise pour les descentes dantennes TV, comme liaison entre loscilloscope et le montage tudi

La ligne imprime

Cette ligne est imprime sur de lpoxy double face : Elle comprend, sur une face, un conducteur form par une piste (ruban) et , sur lautre face, un plan de masse. Ce type de ligne se rencontre notamment en hyperfrquences.

Paire torsade t : longueur dune torsade

Ligne coaxiale

Ame

Blindage

Ligne microruban (microstrip)

Ligne twin lead

1 . Description lectrique dune ligne.

1.1 Rsistance.

Chacun des conducteurs de la ligne est caractris par une rsistance, qui dpend essentiellement du mtal dont il est fait, et de sa forme.

Pour un fil mtallique cylindrique, de section S et de longueur l, on rappelle la formule : SlR = , dans laquelle

dsigne la rsistivit (en m) du mtal. Quelques valeurs de rsistivits : Argent Cuivre Aluminium Fer Plomb 1,610-8 m 1,710-8 m 2,710-8 m 9,810-8 m 2010-8 m

On aura ainsi, pour un fil de cuivre de 1m de long et de diamtre 0,4mm : R 0,14 ; on parlera dune rsistance linque de 0,14/m pour ce conducteur.

Il faut cependant tenir compte du fait suivant : Dans un conducteur, les lectrons de conduction (libres) se repoussent naturellement. Ils ont ainsi tendance circuler la priphrie du conducteur ; on appelle ce phnomne effet de peau. La densit de courant (en A/mm2) dcrot exponentiellement quand on scarte de la surface du conducteur. On dfinit lpaisseur de peau (voir ci-contre) comme lpaisseur de conducteur dans laquelle la densit de courant chute de 100% 37% de sa valeur maximale (revoir les proprits de la fonction exponentielle ce sujet) peut tre calcule laide de la formule :

fr0 pi

=

Avec f : frquence ; : rsistivit ; 0 = 410-7H/m, permabilit du vide ; r : permabilit magntique relative du conducteur, sans dimension ; r vaut 1 pour la plupart des mtaux, sauf pour les mtaux proprits magntiques (fer, cobalt, nickel et leurs alliages)

Exemple, pour le cuivre : A 50Hz, 9,3mm ; 500kHz, 0,093mm Pour les frquences allant d'une centaine de kHz quelques MHz on utilise du fil divis c'est dire un conducteur constitu de multiples brins (diam. 0,05 mm environ) de cuivre maill thermo-soudable tresss ensemble, ce qui augmente la surface de la "peau" par rapport un conducteur plein de section quivalente.

1.2 Capacit.

Une ligne est forme de 2 conducteurs, spars par un isolant. Ceci correspond une capacit, rpartie tout au long de la ligne. On appelle C la capacit linque de la ligne (capacit par unit de longueur, exprime en pF/m) C peut tre calcule grce au Thorme de Gauss.

Pour une paire torsade :

+

pi=

1dD

dDLn

..C2

r0

Pour une ligne twin lead :

pi=

dD2Ln

..C r0

0 8,8410-12 F/m, permittivit dilectrique du vide ; r, permittivit relative de lisolant sparant les 2 conducteurs.

Pour un cble coaxial :

pi=

12

r0

r

rLn

..2C

Ordres de grandeur : Pour les dilectriques courants (polythylne), on peut prendre r 2 Paire torsade (d 0,4mm ; D 1,2mm) C 32pF/m Ligne twin-lead (d 0,4mm ; D 9mm) C 15pF/m Ligne coaxiale 50 (r1 1,6mm; r2 5mm) C 97pF/m

1.3 Inductance.

Lorsque les 2 conducteurs de la ligne sont parcourus par un courant variable dans le temps, ils sinfluent mutuellement par effet inductif. Ceci va correspondre une inductance rpartie tout au long de la ligne. On appelle L linductance linque de la ligne (inductance par unit de longueur, exprime en H/m) L peut tre calcule laide du thorme dAmpre.

Pour une paire torsade :

+

pi

= 1

dD

dDLn..L

2r0

Pour une ligne twin lead :

pi

dD2Ln..L r0

Pour une ligne coaxiale :

pi=

12r0r

rLn.2

.L

Ordres de grandeur. Pour les mmes lignes que plus haut, on obtient : Paire torsade : L 0,7H/m Ligne twin-lead : L 1,5H/m Ligne coaxiale : L 0,23H/m

1.4 Modle lectrique.

Compte tenu de ce qui prcde, une longueur unitaire (1m) de ligne peut tre reprsent par le modle lectrique de droite. La rsistance Rf correspond aux fuites invitables dans lisolant entre les 2 conducteurs ; Rf est bien sur de trs forte valeur (107 1010 /m)

Remarque : La structure de ce modle laisse prsager une rponse en frquence de type passe-bas pour une ligne.

Pour une longueur x quelconque, ce modle devient :

Il est important de noter que les paramtres de description (rsistances, inductance et capacit) sont rpartis tout au long de la ligne et ne sont pas localiss.

2r1

2r2

C

R

Rf

L

1m

C.x

R.x

Rf.x

L.x

x m

2 . Le phnomne de propagation.

Jusqu prsent, nous avons toujours considr que 2 points quelconques dun conducteur sont au mme potentiel instantan. Ceci peut ne plus tre vrai, si la longueur de ce conducteur est grande , ou si la frquence des signaux traits devient trop leve.

2.1 Mise en vidence dune propagation.

Nous ralisons simplement lexprience suivante : On dispose dun cble coaxial de longueur totale 100m, form par lassemblage dun tronon de 50m et de 2 tronons de 25m, comme reprsent sur la figure ci-dessous :

Il sagit de coaxial 50 ; le gnrateur dlivre une tension sinusodale, de frquence 1MHz et damplitude 0,8V ; la ligne est ferme sur une rsistance de 50. (Nous verrons plus loin limportance de cette adaptation) On obtient les relevs suivants pour les tensions v0, v50, v75 et v100 .

On peut constater un retard t croissant sur v0, de v50 ( 280ns) v75 ( 380ns) puis v100 ( 520ns). Ces retards correspondent une vitesse de propagation du signal sur la ligne proche de 200000km/s.

2.2 Vitesse de propagation Longueur donde.

Considrons la tension v, transmise sur la ligne, de la source vers la charge RL. Au niveau de la source (x = 0), on crit : tcosV)t,0(v = v se propageant la vitesse c sur la ligne, elle arrive

labscisse x avec un retard c

xt = , soit :

)c

xtcos(V)tt(cosV)t,x(v == (en admettant une conservation de lamplitude)

La propagation sur une distance x entrane un retard de phase c

x= ; si = 2, x correspond la longueur

donde associe au signal. ( on rappelle la relation fc

cT == ) La longueur donde est la distance parcourue la vitesse c par un signal de frquence f durant la priode T .

Gnrateur de signaux ZS = 50

v0 v50 v75 v100

Y2 Y1 Y3 Y4

RL

50m 25m 25m

v0 v0 v0

v50 v75 v100

Source Charge

x l 0

v(x,t)

Quand peut-on ngliger le phnomne de propagation ? Au niveau de la charge, x = l, )

c

ltcos(V)t,l(v = ; tant que le retard de phase

c

l reste ngligeable, on

peut admettre que v(l,t) v(0,t) et que la propagation est inexistante : Cest lapproximation de ltat quasi stationnaire.

Par extension, pour un circuit de dimension l, on ngligera tout phnomne de propagation si la condition c

l

Lamplitude des signaux est la mme en tous points ( laffaiblissement prs) Notamment, en x = l :

=

c

ltcos.I)t,l(i 1 et

=

c

ltcos.U)t,l(u 1

or, en x = l, la loi dOhm impose u(l, t) = RCi(l, t) ; il en dcoule la relation 11

cIUR = .

Cette relation est valable toute abscisse x, et bien sur lentre de la ligne : La rsistance dentre dune ligne sans pertes, ferme sur sa rsistance caractristique RC, est gale RC. (quelle que soit sa longueur !)

La puissance fournie par un gnrateur une ligne ferme sur son impdance caractristique sera optimale si la rsistance de sortie du gnrateur est gale la rsistance caractristique RC. (Il y aura ainsi adaptation des impdances ct gnrateur et ct charge)

Application : Antennes dmission. Une antenne est un diple dont les caractristiques gomtriques sont ajustes de telle faon quelle soit quivalente, la frquence de travail, la rsistance caractristique de la ligne qui lalimente.

4 . La ligne dsadapte. Coefficient de rflexion.

4.1 Cas gnral.

Considrons toujours une ligne , dont on nglige les pertes, de longueur l, dimpdance caractristique ZC (rsistive). Cette ligne est attaque par un gnrateur de rsistance de sortie RG, et ferme lautre extrmit sur une rsistance RU RC

On aura cette fois lexistence simultane dun signal incident et dun signal rflchi :

++

=

c

xtcos.U

c

xtcos.U)t,x(u 21

++

=

c

xtcos.I

c

xtcos.I)t,x(i 21

Une partie de la puissance injecte par le gnrateur sur cette ligne lui revient donc en retour. On dfinit un coefficient de rflexion qui mesure limportance de londe rflchie :

1

2

UU

= .

Si RC est la rsistance caractristique de la ligne et RU la rsistance terminale, on peut montrer :

cu

cu

RRRR

+

=

Le coefficient de rflexion volue entre +1 pour RU infinie (ligne ouverte) et -1 pour RU = 0 (ligne en court-circuit) ; passe par 0 pour RU = RC (ligne adapte) (une valeur ngative de correspond un changement de polarit)

Exemple : On donne , page suivante, la rpartition damplitude de la tension et du courant au long dune ligne dsadapte. La ligne a une impdance caractristique 50 ; elle est suppose sans pertes, de longueur 100m ; la vitesse de propagation y est de 200000km/s. Le gnrateur injecte une tension sinusodale de frquence 5MHz et damplitude 1V ; son impdance de sortie est 50. La ligne est ferme sur une rsistance de 100. On peut ainsi calculer un coefficient de rflexion 0,33

x l 0

u(x,t) u(l,t) RU

i(x,t) i(l,t)

eG

RG

u(0,t)

i(0,t)

Nous pouvons constater plusieurs phnomnes : - Lamplitude des signaux (tension et courant) nest plus constante au long de la ligne ; elle volue

priodiquement entre des minimas et des maximas. - A un maximum de tension, correspond un minimum de courant , et rciproquement.

Quantitativement, les maximas de tension sont donns par MAX = 1(1 + ) (soit ici 1,33V) et les minimas par MIN = 1(1 - ) (soit ici 0,67V) On peut mesurer 20m entre 2 minimas ou entre 2 maximas. Dans les conditions du trac, la longueur donde

associe au signal inject est m40fc

== ; lcart entre deux minimas ou 2 maximas successifs est gal /2.

On voit tout de suite linconvnient de cette dsadaptation : Selon la longueur de la ligne utilise, lamplitude du signal en bout de ligne nest pas dfinie priori.

4.2 Cas de la ligne ouverte.

Le courant est nul au niveau de la charge, donc celle-ci ne reoit aucune puissance. En consquence, toute la puissance injecte par le gnrateur lui revient.

Le coefficient de rflexion vaut +1 : Lamplitude de la tension rflchie est gale celle de la tension incidente ; ces 2 ondes sont en phase en x = l (et leurs amplitudes sy ajoutent). Il en est de mme pour le courant, sauf que courant incident et courant rflchi sont en opposition de phase en x = l. (et donc leurs amplitudes sannulent mutuellement).

On obtient un ventre de tension et un nud de courant lextrmit de la ligne.

La rpartition des amplitudes au long de la ligne volue maintenant entre des minimas nuls appels nuds et des maximas appels ventres.

2 nuds ou 2 ventres sont distants de /2 ;

A un nud de tension correspond un ventre de courant et rciproquement.

4.3 Cas de la ligne en court-circuit.

La tension est nulle aux bornes de la charge, donc, comme dans le cas de la ligne ouverte, la charge ne reoit pas de puissance et toute la puissance injecte par le gnrateur lui revient !

On a cette fois = -1 ; les amplitudes des ondes rflchies et des ondes incidentes sont identiques, mais cette fois ce sont les ondes de courant qui sont en phase en x = l, et qui sajoutent.

Inversement, les ondes de tension sont en opposition de phase en x = l et sannulent mutuellement.

La rpartition en nuds et ventres est complmentaire de celle observe pour la ligne ouverte. ( frquence, clrit et longueur de ligne identiques !)

x

l

0

u(x,t) 0

i(x,t) i(l,t)

eG

RG

u(0,t)

i(0,t)

x

l

0

u(x,t) u(l,t)

i(x,t) 0

eG

RG

u(0,t)

i(0,t)

5 . Ondes stationnaires Taux dondes stationnaires.

Lorsquil y a adaptation des impdances entre le gnrateur, la ligne et la charge terminale, il nexiste pas donde rflchie et lamplitude des signaux est constante au long de la ligne.

On est en prsence dune onde progressive pure. (Cf . ci-contre)

Dans les 2 cas extrmes que constituent la ligne ouverte ou la ligne en court-circuit, le coefficient de rflexion est de 100% : Il ny a globalement plus de propagation, londe semble vibrer sur place. plus aucune puissance ne progresse du gnrateur vers la charge. On est en prsence de ce quon nomme un rgime dondes stationnaires.

Dans le cas le plus gnral (ligne et charge dsadaptes, mais sans atteindre le court-circuit ni le fonctionnement vide) on aura la superposition des 2 phnomnes : onde progressive + onde stationnaire, avec volution priodique de lamplitude des signaux sur la ligne. Du point de vue nergtique, lexistence dune dose donde stationnaire est quivalente la dgradation de la transmission de la puissance du gnrateur vers limpdance terminale. (par rapport au cas de londe progressive pure)

On caractrise cet tat de superposition par le taux dondes stationnaires. (TOS en abrg)

Si dsigne le coefficient de rflexion,

+

=

11

TOS

soit encore :

imin.amplimax.amplTOS =

Pour une ligne adapte, = 0 et ampl. maxi = ampl. mini : Pour une ligne adapte, le taux dondes stationnaires vaut 1.

Pour une ligne ouverte ou en court-circuit, = 1 et ampl. mini = 0 : Pour une ligne ouverte ou en court-circuit, le taux dondes stationnaires est infini

Dans la pratique, il est illusoire d obtenir un TOS de 1 ; on considre que la ligne est adapte pour un TOS compris entre 1 et 1,5 environ (soit un coefficient de rflexion infrieur 20%)

(Remarque : Certains auteurs parlent de ROS : Rapport dondes stationnaires)

c

c

c

c

c

c

c

ampl. maxi

ampl. mini

6 . Cas particuliers : Ligne donde Ligne onde.

Nous travaillons avec des signaux de frquence f constante.

Si c dsigne la vitesse de propagation : - La ligne onde est caractrise par une longueur f2c

2l ==

- La ligne donde est caractrise par une longueur f4c

4l ==

Ligne onde ouverte :

La tension est maximale aux 2 extrmits et nulle au centre ; le courant est nul aux 2 extrmits et maximal au centre.

La ligne onde ouverte est vue comme une impdance infinie par le gnrateur de commande.

Ligne onde en court-circuit :

La tension est maintenant nulle aux 2 extrmits et maximale en son centre, tandis que le courant est maximal aux 2 extrmits et nul au centre.

La ligne onde en court-circuit est vue comme un court circuit par le gnrateur de commande.

Ligne donde ouverte :

La tension est maximale ct charge et minimale ct gnrateur.

Cest linverse pour le courant : Nul ct charge, il est maximal ct gnrateur.

La ligne donde ouverte est vue comme un court-circuit par le gnrateur de commande !

Ligne donde en court-circuit :

La tension est maximale ct gnrateur et nulle ct charge.

Pour le courant : Il est nul ct gnrateur et maximal ct charge.

La ligne donde en court-circuit est vue comme un circuit ouvert par le gnrateur de commande !

Annexe : quation de propagation dun signal sur une ligne. Solution gnrale - Impdance caractristique

Considrons un tronon de ligne de longueur infinitsimale dx, suppose sans pertes. (voir figure ci-contre) Dun bout lautre de ce tronon, la tension u(t) varie de du(t), tandis que lintensit i(t) varie de di(t).

Aux bornes de linductance : dtdi

.dx.Ldu =

Aux bornes de la capacit : dtdu

.dx.Cdi =

Dans la mesure o dx est une grandeur infinitsimale, on peut crire 2 autres quations :

(1) dtdi

.Ldxdu

= et (2) dtdu

.Cdxdi

=

Drivons (1) par rapport au temps : 222

dtid

.Ldt.dxud

=

drivons de mme (2) par rapport x : dx.dtud

.Cdx

id 22

2=

lordre de drivation nimportant pas, ces 2 drives secondes amnent : 22

22

dtid

.LCdx

id=

Drivons maintenant (1) par rapport x et (2) par rapport au temps ; on obtient 2 nouvelles quations :

dx.dtid

.Ldx

ud 22

2= dune part et 2

22

dtud

.Cdt.dxid

= dautre part

dou on tire finalement 22

22

dtud

.LCdx

ud=

Lintensit i et la tension u sont des fonctions de x et de t : i(x, t) et u(x, t), solutions de 2 quations identiques, dites quations des tlgraphistes. (Au sens physique le plus gnral, ces quations sont nommes quations de propagation dune onde) On aura ainsi i(x, t) et u(x, t) de la mme forme.

Par exemple, pour le courant i(x, t), on peut trouver une solution sinusodale lquation de propagation : i(x, t) = 1.cos(t kx) + 2.cos(t + kx) Vrifions la validit de cette solution:

)t,x(i.k)kxtcos(.I.k)kxtcos(.I.kdx

id 2221222

=+=

et )t,x(i.)kxtcos(.I.)kxtcos(.I.dt

id 2221222

=+=

do 22

22

22

dtid

.

kdx

id

= ; lquation des tlgraphistes est vrifie avec LCk 22

=

, soit LCk = .

Finalement, nous aurons, pour les expressions du courant et de la tension sur la ligne, labscisse x et la date t : ( ) ( )LCxtcos.ILCxtcos.I)t,x(i 21 ++= ( ) ( )LCxtcos.ULCxtcos.U)t,x(u 21 ++=

Le terme ( )LCxtcos.I1 correspond la propagation dun signal sinusodal, vers les x positifs, et la vitesse LC1

c = ; le terme ( )LCxtcos.I2 + correspond quant lui la propagation dun signal sinusodal la vitesse - c, cest dire vers les x ngatifs.

Cdx

Ldx

i i + di

du u - du u

di

dx

En conclusion : La tension et le courant en tous points dune ligne de transmission apparaissent comme la superposition dune onde incidente et dune onde rflchie. Ces 2 ondes se propagent la mme vitesse (en valeur absolue) :

LC1

c = , londe incidente progressant de la

source vers la charge et londe rflchie progressant de la charge vers la source.

++

=

c

xtcos.I

c

xtcos.I)t,x(i 21

++

=

c

xtcos.U

c

xtcos.U)t,x(u 21

Impdance caractristique.

Les expressions de i(x, t) et u(x, t) doivent vrifier les quations (1) dtdi

.Ldxdu

= et (2) dtdu

.Cdxdi

= (cf. plus haut) :

(1)

++

=

+

c

xtsin.IL

c

xtsin.IL

c

xtsin.U

cc

xtsin.U

c2121

(2)

++

=

+

c

xtsin.UC

c

xtsin.UC

c

xtsin.I

cc

xtsin.I

c2121

Identifions terme terme :

11 ILUc

=

; 2ILUc

2 =

; 11 UCIc

=

; 22 UCIc

=

Do les rapports CL

Cc1Lc

IU

IU

22

11

==== , compte tenu de la relation LC1

c =

Le rapport des amplitudes de la tension et du courant pour londe incidente et pour londe rflchie reste le mme ; ce rapport se nomme impdance caractristique de la ligne.

2

2IU

11

cIU

CLZ ===

Remarque : Rsultats correspondant une ligne relle. On prend en compte les rsistances (pertes) dans le modle (cf. ci-contre) Les calculs, plus complexes, aboutissent des rsultats de mme nature : La tension et le courant sont toujours forms par superposition dune onde incidente et dune onde rflchie.

Il sajoute la notion daffaiblissement : Les termes rsistifs traduisent les pertes ; lamplitude de londe incidente dcrot avec les x croissants ; lamplitude de londe rflchie dcrot avec les x dcroissants.

Vitesse de propagation : 4/12

LR1

LC1

c

+= Elle est plus faible que pour la ligne sans pertes et varie

avec la frquence des signaux (milieu dispersif). Impdance caractristique :

+

+= jCR/1

jLRZfc

Cest une grandeur complexe dont le module et largument

voluent avec la frquence des signaux. Aux frquences leves , on peut cependant ngliger les termes rsistifs

et retrouver la forme relle CLZc = .

C.dx

R.dx

Rf.dx

L.dx

dx