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  • Elements de theorie des graphes

    Licence Universite Lille 1Pour toutes remarques : Alexandre.Sedoglavic@univ-lille1.fr

    Semestre 3 2008-09

    Exercice 1 Construction de graphe.

    On souhaite prelever 4 litres de liquide dun tonneau. Pour ce faire, ondispose de 2 sceaux (non gradues) dune contenance de 5 et 3 litres. Commentproceder ?

    Correction. On peut construire le graphe dont les sommets sont les etatspossibles (couples de volume deau dans les sceaux) et les arcs sont lesoperations permettant de passer dun etat a un autre.

    Exercice 2 Graphe de controle dun programme informatique.

    On cherche a concevoir des jeux de donnee afin de tester le programmesuivant :

    intpgcd(int x, int y){while( x!=y )if (x>y)

    x -= y ;else

    y -= x ;return x ;

    }

    Questions.

    1. Donnez le graphe de controle de ce programme.

    2. Donnez un jeux de donnees de depart afin parcourir tous les :

    1

  • sommets du graphe de controle ; arcs du graphe de controle ; chemins du graphe de controle.

    Correction.

    1. Les sommets du graphe de controle sont :

    1 :(x,y), 2 :(x !=y), 3 :(return x), 4 :(x > y), 5 :(y-=x), 6 :(x-=y)

    La matrice dadjacence du graphe de controle est :0 1 0 0 0 00 0 1 1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 1 10 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0

    .

    Exercice 3 Relations remarquables.

    Soit G un graphe fini ayant n sommets et m aretes avec n 1 et m 0.Pour tout entier k, on note nk le nombre de sommets de degre k et K lemaximum des degres des sommets.

    1. Montrer queK

    k=0

    nk = n.

    2. En utilisant la representation dun graphe par sa matrice dincidence,montrer que

    Kk=0

    k nk = 2 m.

    3. En utilisant la representation dun graphe par sa matrice dadjacence,montrer que si G na pas de boucle alors K n 1.

    4. Donner un exemple ou on a legalite.

    Correction.

    2

  • 1. On peut partitionner lensemble des sommets suivant leur degre. Ainsilensemble des sommets S peut etre partitionner par les ensembles Skdes sommets de degre k :

    S = Kk=0Sk, avec Si Sj = , si i 6= j.

    On a donc

    |S| =K

    k=0

    |Sk|.

    Comme le cardinal de Sk est nk, la relation a demontrer en decouleimmediatement.

    2. La matrice dincidence associee a un graphe non oriente (S, A) est detaille |S| |A| et definie par :

    S :={s1, . . . , s|S|

    },

    A :={a1, . . . , a|A|

    },

    Mi,j =

    2 si aj est une boucle de si,1 si aj est incident avec si,0 sinon.

    Notons d(vi) le degre i.e. le nombre daretes partant et arrivant a vi.Par definition, on a

    sS

    d(s) =K

    k=0

    sSk

    d(s)

    Donc en notant que |Sk| = nk et que s Sk implique que d(s) = k, ona bien

    sS

    d(s) =K

    k=0

    knk.

    Or en considerant chaque ligne de la matrice dincidence, on avG

    d(v) =n

    i=1

    mj=1

    Mi,j,

    avec Mi,j le coefficient de la matrice dincidence positionne dans laligne i et la colonne j. Ainsi, cette somme correspond a la sommede tous les coefficients de cette matrice. Or comme un arc rejoint 2sommets, la somme de chaque colonne est 2. Comme il y a m colonnes,cette somme est 2m.

    3

  • 3. La matrice dadjacence associee a un graphe (oriente ou pas) (S, A) estde taille |S| |S| et definie par :

    S :={s1, . . . , s|S|

    }, Mi,j =

    {1, si (si, sj) A,0, sinon.

    Si notre graphe na pas de boucle alors les coefficients diagonaux decette matrice sont nuls (on a Mi,i = 0). La somme de la jieme colonnede la matrices correspond au degre du jieme sommet. Cette somme estinferieure ou egale a n 1 (i.e. le nombre de lignes moins 1 pour ne pasconsiderer la diagonale). CQFD.

    4. Il suffit de se donner une matrice dadjacence comme : 0 1 11 0 01 0 0

    et de tracer le graphe correspondant.

    Exercice 4 Un graphe sans boucle a au moins 2 sommets dememe degre.

    Soit G un graphe sans boucle ayant n sommets (n 1).1. Montrer que le degre dun sommet est toujours strictement inferieur

    a n.

    2. Montrer quil ne peut pas y avoir simultanement un sommet de degre 0et un sommet de degre n 1.

    3. En deduire quil y a au moins deux sommets de meme degres.

    Correction.

    1. Considerons un sommet quelconque du graphe, une arete peut lier cesommet a chacun des n 1 autres sommets. Donc, le degre de ce som-met est n 1 au plus.Plus formellement, on considere la matrice dadjacence, la somme dunecolonne correspond au degre du sommet. Sil ny a pas de boucle, cettesomme est inferieure ou egale a n 1.

    2. Supposons quil existe un sommet de degre 0 ; les autres sommets sontassocies a des colonnes ou il y a 2 zeros (un pour labsence de boucle

    4

  • et un pour ce sommet de degre 0). Ainsi le maximum des degres est auplus n 2 et il ne peut y avoir de sommet de degre n 1.Inversement, sil y a un sommet de degre n 1, alors chaque autresommet du graphe possede une arete adjacente avec ce sommet. Donc,il ne peut y avoir de sommet de degres 0.

    3. La question precedente montre quil y a n 1 degres possibles au maxi-mum pour n sommets. Il ne peut y avoir dinjection dun ensemble de nelements dans n 1 elements et donc 2 sommets ont meme degre.

    Exercice 5 Propriete des sommes de degres dun graphe.

    A tout sommet s dun graphe G = (S, A), on associe le nombre d+(s)darcs de A de but s, le nombre d(s) darcs de A de source s et le nombre d(s) = d+(s) + d(s),appele degre de s.

    1. Quel rapport y a-t-il entre la somme des degres des sommets dungraphe et le nombre darcs m ?

    2. En deduire que dans un graphe, le nombre de sommets de degre impairest pair.

    3. Soit le minimum des degres des sommets dun graphe ayant m arcset n sommets. Montrer que n 2 m.

    Correction.

    1. Cest le theoreme des poignees de mains. La somme des degres est egalea 2 m.

    2. Notons d1 + + dk la somme des degres impairs et dk+1 + + dn lasomme des degres pairs. Cette derniere somme est manifestement unnombre pair. La difference de deux nombres pairs est un nombre pairdonc la somme des degres impairs

    d1 + + dk = 2 m (dk+1 + + dn)

    est un nombre pair.

    3. On a di pour tout i donc n d1 + + dn = 2 m.

    Exercice 6 Utilisation de la parite de la somme des degres dungraphe.

    Est-il possible de tracer 5 segments sur une feuille de papier de manierea ce que chaque segment en coupe exactement 3 autres ?

    5

  • Correction. Modelisons la situation par un graphe. Les sommets de notregraphe sont les segments. Une arete entre 2 sommets indique que les segmentscorrespondant se coupent. On veut que le degre de chaque sommet soit 3 ; lasomme des degres est donc 3 5 et doit etre le double du nombre daretes.Comme 15 nest pas un nombre pair, ce nest pas possible.

    Exercice 7 .

    Soit G un graphe fini sans boucle. On suppose que G ne contient pas detriangle et on note S lensemble des sommets et A lensemble des aretes.

    1. Montrer que pour deux sommets adjacents distincts x et y, le nombre nxde sommets S \ {x, y} adjacents a x et le nombre ny de sommets S \ {x, y}adjacents a y satisfont linegalite :

    nx + ny |S| 2.

    2. En deduire par recurrence sur le nombre |S| de sommets que le nombredaretes |A| verifie :

    |A| |S|2

    4.

    Correction.

    1. Construisons le graphe G pour lequel x et y sont identifies (fusionnes)en un meme sommet z. On a d(z) = d(x) + d(y) 2 et d(z) |G| 1cest a dire d(z) |S| 2. Comme d(x) = nx + 1 et de meme pour y,le resultat en decoule trivialement.

    2. Pour |S| = 1, on a |A| = 0 et pour |S| = 2, on a |A| = 1. La relation estverifiee pour ces cas. Supposons quelle est verifiee pour |S| = n 2 etconsiderons un graphe a n sommet. Si on lui retire 2 sommets x et y,alors lensemble B des aretes restantes est de cardinal au plus n2/4 n 1.Le fait quil ny a pas de triangle dans G montre que |A| = |B|+ nx + nyet donc que la relation est vraie pour un ensemble de cardinal n.

    Exercice 8 Isomorphisme de graphes.

    1. Montrer que la relation disomorphisme entre les graphes est une rela-tion dequivalence.

    2. Trouver tous les graphes non-isomorphes dordre n 4.

    6

  • 3. Parmi les graphes suivants y a-t-il des graphes isomorphes ?

    q qq qqq q q q qq q qqq q q q qqq

    q q q q qqq q q

    Correction.

    1. On doit montrer que cest une relation :

    (a) binaire : trivial dans notre cas ;

    (b) reflexive : trivial dans notre cas ;

    (c) symetrique : trivial dans notre cas ;

    (d) transitive : trivial dans notre cas ;

    2. On peut raisonner sur les matrices dadjacence par exemple.

    3. Lisomorphisme entre graphes conserve certaines proprietes les in-variants de graphes comme par exemple le nombre de sommets, lenombre daretes, le degres des sommets mis en relation, lexistence decycle, etc.

    On voit ainsi que seuls les 2 premiers graphes peuvent etre isomophes.Pour aller plus loin, on peut mettre les 2 graphes sous une forme cano-nique (par exemple, les sommets tries par degres croissants) puis tenterde voir si ces formes normales sont isomorphes. En maple, on a :

    A1:=Matrix([[0,1,0,0,0,0,0],[1,0,1,0,0,1,0],[0,1,0,1,0,0,1],[0,0,1,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0]]) ;A2:=Matrix([[0,1,0,0,0,0,0],[1,0,1,0,0,1,0],[0,1,0,1,0,0,0],[0,0,1,0,1,0,1],[0,0,0,1,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0]]) ;

    Exercice 9 Les matrices associees a un graphe.

    7

  • Soit G un graphe fini ayant n sommets si. On definit la matrice AG = (aij)dadjacence par aij = 1 si les sommets si et sj sont adjacents et aij = 0 sinon.Le rang de la matrice dadjacence AG est appele le rang du graphe G quonnote rank(G).

    1. Montrer que les graphes finis G et H sont isomorphes si, et seulementsi, la matrice dadjacence AG sobtient par les memes permutations deslignes et des co