1eS : Polyn^omes du second degr e - Valérie...

Chapitre 1

1eS : Polynomes du second degre

1.0 Rappels

La fonction x 7−→ x2 s’appelle la fonction carre. La representation graphique de la fonctioncarre s’appelle parabole La parabole est symetrique par rapport a l’axe des ordonnees et ondit que la fonction est paire.Du fait de l’axe de symetrie, l’abscisse du sommet est la demi-somme de 2 points de memeordonnee. (La droite verticale passant par le sommet est l’axe de symetrie de la parabole).f definie sur I :• f est croissante sur I signifie que pour tout a, b de I, si a < b alors f(a) ≤ f(b).• decroissante• constantef est (st) decroissante sur ]−∞; 0] et (st) croissante sur [0; +∞[.On dit qu’une fonction f est une fonction polynome de degre 2 s’il existe a 6= 0 et b, c telsque :

f(x) = ax2 + bx+ c

ax2 + bx+ c est appelee forme developpee ou reduite de f(x).f(x) peut aussi s’ecrire : f(x) = a(x− α)2 + β appelee forme canonique de f(x).[Cette forme est utile pour resoudre f(x) = m].f(x) peut parfois s’ecrire : f(x) = a(x− x1)(x− x2) appelee forme factorisee de f(x).[Cette forme est utile pour resoudre f(x) = 0 ou chercher le signe de f(x)].

1

2 CHAPITRE 1. 1ES : POLYNOMES DU SECOND DEGRE

*** Feuille d’exercices 1 ***

1 a) Quelle est l’image par la fonction carre de −3

5?

b) Quels sont les antecedents par la fonction carre de9

16et de 36 ?

2 Resoudre :

a) x2 = 100, x2 = −10,4

5x2 = 5.

b) 2x2 + 3 = 1, 2x2 + 1 = 1.

c) (x− 1)2 = 4, (2x− 3)2 = −3, (3x− 1)2 = 0.

3 Comparer x2 et x2 − 2x+ 3.

4 a) f(x) = 2(x− 3)2 + 4. Montrer que f est croissante sur [3; +∞[.

b) f(x) = −3(x− 4)2 + 1. Montrer que f est decroissante sur [4; +∞[.

5 Determiner 2 points differents qui ont la meme ordonnee puis ecrire le tableau de variationsdes fonctions suivantes :

a) f : x 7−→ x2 + 5x+ 4.

b) f : x 7−→ −2x2 + 3x.

6 Donner un encadrement de x2 sachant que :

a) 2 < x ≤ 4.

b) −3 < x ≤ −1.

c) −1 < x ≤ 3.

d) x ∈ [2; 3].

e) x ∈ [−2;−1].

f) x ∈ ]− 2; 3].

7 Pour x ∈ R, on pose f(x) = −2(x− 1)2 + 8.

a) Determiner la forme developpee de f(x).

b) Determiner la valeur maximale de la fonction et ecrire le tableau de variations de fsur R.

c) Verifier que f(x) peut aussi s’ecrire −2(x+ 1)(x− 3).

d) Calculer les coordonnees des points d’intersection de la courbe representative de favec les axes des coordonnees.

e) Soit h ∈ R. Calculer f(1 + h)− f(1− h).

f) Resoudre f(x) = 4 et f(x) < 4.

8 f(x) = 3(x+ 2)2 − 27 forme canonique de f(x).

a) Verifier que f(x) = 3x2 + 12x− 15 ou f(x) = 3(x− 1)(x+ 5).

1.1. VOCABULAIRE 3

b) Choisir l’expression pour calculer :

(i) f(0),

(ii) f(1),

(iii) f(−2).

(iv) un antecedent de 0.

(v) un antecedent de −15.

(vi) un antecedent de −27, −24.

(vii) −30 a-t-il un antecedent ?

c) Signe de f(x) ?

d) Tableau de variations de f :

9 On note x la longueur en cm du cote [AB] :

Determiner l’expression de l’aire du domaine et determiner la valeur de x pour que l’airesoit de 110, 25.

1.1 Vocabulaire

Une fonction polynome est une fonction P de la forme P (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anx

n

(forme reduite.

ex : P (x) = 5x4 + 6x3 − 3x2 + 2x− 3

polynome nul

a0, a1, · · · , an sont les coefficients du polynome.

n est le degre du polynome.


Le terme aixi est le terme de degre i.

terme de degre 3 de P ? de degre 1 ?

polynomes de degre 1 ?

polynome de degre 0 ?

Les polynomes de degre 2 sont les trinomes du second degre.

On appelle racine ou zero du polynome tout nombre reel α tel que P (α) = 0. On dit que α estune racine de P (x) = 0.

ex : 1 est racine de (x− 1)(x+ 3)(2x− 1). 1 racine de 3x2 − 5x+ 2 ?

declic : ex 15, 17, 18 page 55

1.2 Forme canonique

1 (pas fait)

Resoudre x2 − 3x = 0, x2 + x = 0, −x2 + 1 = 0, (x + 3)(1 − 2x)(5 + x) = 0, x2 − 9 = 0,−x2 − 9 = 0 et (x− 2)2 = 4.

Resoudre x2 − 3x ≤ 0, −x2 + 1 < 0, (x+ 3)(1− 2x)(5 + x) ≥ 0 et (x− 2)2 ≥ 4.

2 (pas fait) declic page 40 : On considere la courbe d’equation y = (x− 1)2 − 5.

a) Quelles sont les coordonnees de son sommet ?

b) Par quelles translations passe-t-on de la parabole d’equation y = x2 a cette courbe ?

c) Resoudre algebriquement (x+ 1)2 − 5 = 0. Comment peut-on retrouver les solutionsgraphiquement ?

d) Donner les solutions de (x+ 1)2 − 5 ≤ 0.

3 (pas fait)

On pose f1(x) = (x − 1)2 − 2, f2(x) =1

2(x + 5)2 + 2, f3(x) = −(x + 2)2 et f4(x) =

−2(x− 3)2 + 4.

a) Resoudre algebriquement les equations fi(x) = 0.

b) Determiner une factorisation de f1(x) et f4(x).

c) Peut-on factoriser f2(x) ?

***

1 f(x) = x2 + 6x+ 5.

(x+ 3)2 =? donc f(x) =?.

forme canonique du polynome f(x).

2 Mettre sous forme canonique :

1.3. RESOLUTION D’EQUATIONS 5

a) x2 − 6x− 14.

b) x2 + 8x− 33.

c) x2 + 3x− 4.

d) x2 − 5

3x+

4

3.

e) 3x2 + 9x− 7.

f) 3x2 − 7x+1

2.

3 declic : ex 22, 23, 24 page 55, ex 40,41,44,45 p 58

1.3 Resolution d’equations

ax2 + bx+ c = .. = a

((x+

b

2a

)2− b2 − 4ac

4a2

).

discriminant ∆=, x1 =, x2 =.

4 Reperes : ex 47, 49, 50, 41, 51, 54, 55 p 30

5 Reperes : ex 58 p 30, interpolation de Lagrange, 56, 52 (53)

6 Declic : ex 42, 43 page 58

1.4 Representation graphique et variations

1.4.1 Extremum

P : 7−→ ax2 + bx+ c = a(..

C est une translatee de la parabole y = ax2. Sommet : ..

a > 0, a < 0 (allures parabole, tableau de variation

Pour determiner l’extremum, on determine le sommet de la parabole.

1 Declic : ex 70 p 61, 92 p 64 (aire maximale d’un rectangle)

2 Representer x 7−→ 2x2 + 8x+ 7 :

= 2(..)−1, sommet, translation.


1.4.2 Signe du trinome

On regarde la position de la courbe par rapport a l’axe des abscisses :

1.5. EQUATIONS QUI SE TRANSFORMENT EN UNE EQUATION DU 2ND DEGRE 7

ax2 + bx+ c est du signe oppose de a entre les racines :

1 Reperes : ex 72, 74, 75 p 35, ex 83 p 38

2 Declic : ex 76, 77 page 62, ex 80, 81 page 63

3 Declic : ex 25 page 55 (identites 3e degre), ex 51 page 59 (eq symetriques) ex 52,53 page59, ex 106, 88, 89 page 67


1 On pose g(x) =√x2 + 1.

a) Calculer g2(x). Donner son degre. g2 peut-il s’annuler ?

b) On suppose que g est un polynome. Quel serait son degre ? Montrer que g s’annule.

c) Conclure.

2 On pose g(x) = (x2 −√

2x+ 1)(x2 +√

2x+ 1).

a) Donner la forme reduite de g. Quelles sont ses racines ?

b) Montrer que x2 −√

2x+ 1 ne peut pas s’annuler.

3 ex 100 p 40

4 Donner les variations (et les montrer) des fonctions f definies sur R par :

a) f(x) = x2 − 8x+ 7.

b) f(x) = −3x2 + 6x+ 1.

5 Montrer que :

a) Il existe x dans R tel que x2 − 5x+ 4 = 0. Notation ..

b) Pour tout x dans [4; +∞[, x2 − 5x+ 4 ≥ 0. Notation ..

6 ex 1,2 p 18

7 ex 101, 102 p 40

1.5 Equations qui se transforment en une equation du 2nd degre


1 Resoudre :

a)x

3+

3

x=

5

2.

b)x

x+ 1− x

x− 1+

2

x2 − 1= 0.

c)x2 + x+ 1

x2 + 1=x+ 5

x+ 3.


2 Resoudre :

a) 2x4 − x2 − 6 = 0.

b) 2x2 + 5x+ 2 = 0 puis2

(x− 1)2+

5

x− 1+ 2 = 0 (pas fait).

c) 4x+ 6√x− 18 = 0.

d) Declic : ex 82, 83, 84, 85, 86 page 63

3 Reperes : ex 76, 77, 78, 79, 81 p 36

4 Declic : ex 91 page 64

a) Determiner les longueurs des cotes d’un triangle rectangle dont l’hypothenuse mesure13 cm et l’aire 30cm2.

b) Determiner les triangles isoceles d’aire 60cm2 dont les cotes de meme longueur me-surent 13 cm.

c) Determiner h pour que le trapeze ait une surface de 10m2 (hauteur h, grande basede 6m et angle de 45 .

5 Declic : ex 48, 49a, 49c, 53 p 58, ex 96 page 64

1.6 Factorisation


1 Resoudre :1

x2 + x− 2− 2x

−3x2 − 5x+ 2= 0

2 Resoudre : −6x2 − 10x+ 3 < −4 + x.

3 Resoudre :3x− 13

x2 + x+ 2≤ −1.

4 Resoudre :5

x+ 7− 2

2x− 1>

7

9(x− 1.

5 Factoriser :

a) 4x3 − 5x2 − 9x.

b) 2x3 − 5x2 + 4x− 1.

c) 4x3 + 9x2 − 16x− 36 (-2 est racine).

d) x3 − 4x2 − 9

4x+ 9 (4 est racine).

6 Montrer que : ∀x ∈ R, −6 <4x2 − 5

x2 + x+ 1< 5

7 (E) designe l’equation : x4 − 4x3 + 2x2 − 4x+ 1.

a) Verifier que 0 n’est pas solution de (E).

1.6. FACTORISATION 9

b) Montrer que si x0 est solution de (E) alors1

x0est solution de (E).

c) Montrer que (E) est equivalente a l’equation : x2 − 4x+ 2− 4

x+

1

x2= 0.

d) Developper(x+

1

x

)2.

e) En posant X = x+1

x, montrer que x2−4x+2− 4

x+

1

x2= 0 se ramene a une equation

du second degre.

f) Resoudre cette equation puis en deduire les solutions de (E).

Chapitre 2

Vecteurs

2.1 Rappels

Une translation est une transformation par laquelle l’image d’une figure est obtenue en faisantglisser la premiere. La translation qui transforme A en B est :• selon la direction AB,• dans le sens de A vers B,• d’une longueur egale a AB.C’est la translation de vecteur

−−→AB et est notee t−−→

AB.

Le couple (A;B) definit un vecteur. On dit que−−→AB est un representant de ce vecteur.

Soient A,B,C,D 4 points du plan.−−→AB =

−−→CD ⇐⇒ (ABDC) est un parallelogramme (eventuellement aplati).

Pour tout point A, il existe un unique point M tel que −→u =−−→AM .

(On l’obtient en tracant la parallele a la direction de −→u passant par A et en reportant lanorme de −→u dans le sens de −→u .)relation de Chasles :On note le repere (0, ı→, →) un repere orthonorme.Les coordonnees du vecteur −→u sont les coordonnees du point M tq −→u =

−−→OM .

Les coordonnees d’un point M sont notees en ligne (x, y) ; les coordonnees d’un vecteur sontnotees en colonne.−→u =

−−→OM = xı→+ y→ et ‖−→u ‖=

√x2 + y2.

On prend 2 points A(xA; yA) et B(xB; yB).−−→AB a pour coordonnees xB − xA et yB − yA.

Si −→u(ab

)et−→u′(a′

b′

)alors :

−−−→u+ u′

(a+ a′

b+ b′

)et λ−→u

(λaλb

).

Si I est le milieu de [AB] avec A(xA; yA) et B(xB; yB) alors : xI =xA + xB

2et yI =

yA + yB2

.

11

12 CHAPITRE 2. VECTEURS

2.2 Colinearite

Definition :

Deux vecteurs non nuls −→u et −→v sont dits colineaires ssi il existe un reel k tel que :

−→v = k−→u

Proprietes :Deux vecteurs

−−→AB et

−−→CD sont colineaires ssi (AB) et (CD) sont paralleles.

Les point M est sur la droite (AB) ssi−−→AM et

−−→AB sont colineaires.

Dans un repere quelconque :

Si −→u(ab

)et−→u′(a′

b′

)alors : −→u et −→v sont colineaires ssi :

xy′ − x′y = 0

Tout vecteur s’exprime de facon unique en fonction de 2 vecteurs non colineaires.

1 Reperes : ex 21,23,24,25,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37 p 329

2 Reperes : ex 72,73,74,76,77,78,81 p 333

2.3 Equation de droites

Definition : On appelle vecteur directeur d’un droite, tout vecteur non nul dont la direction estcelle de la droite.

Une droite parallele a l’axe des ordonnees a une equation de la forme x = k.Reciproquement, l’ensemble des points M(x; y) tels que x = k est une droite parallele a l’axedes ordonnees.Une droite non parallele a l’axe des ordonnees a une equation de la forme y = mx+ p (m estle coefficient directeur et p l’ordonnee a l’origine).Reciproquement, l’ensemble des points M(x; y) tels que y = mx+p est une droite non parallelea l’axe des ordonnees.

Theoreme :Toute droite du plan a une equation de la forme ax+by+c = 0 avec a, b, c reels et (a; b) 6= (0; 0).Reciproquement, si (a; b) 6= (0; 0) alors ax + by + c = 0 est l’equation d’une droite, appeleeequation cartesienne.

3 Reperes : ex 44,45,46,48,52,53,54,55, 57, 59, 60,61,62 p 330

2.4. VECTEUR DIRECTEUR 13

2.4 Vecteur directeur

Le vecteur

(1m

)est un vecteur directeur de la droite d’equation y = mx+ p.

Le vecteur

(0m

)(m quelconque) est un vecteur directeur de la droite d’equation x = k.

Le vecteur

(−ba

)est un vecteur directeur de la droite d’equation ax + by + c = 0 avec

(a; b) 6= (0; 0).

4 Reperes : ex 43,50,51,63,64 p 330

2.5 Intersection de deux droites

Deux droites d’eq respectives ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c = 0 (avec (a, b) 6= (0, 0) et(a′, b′) 6= (0, 0)) sont :• paralleles si et ssi a′b− ab′ = 0.• secantes si et ssi a′b− ab′ 6= 0.Deux droites d’eq respectives y = mx+ p, y = m′x+ p′ (avec m 6= 0 et m′ 6= 0) sont :• paralleles si et ssi a′ = a.• secantes si et ssi a′ 6= a.

5 Reperes : 64,65, 66(−→u = −2−−→AB), 67, 68(−a+ b 6= 0, y = 1, x = −b− a),69 p 332

6 D : 2x− y + 5 = 0

D′ : A(1; 2) −→v de coordonnees -3 ;1

et D′′ : (m− 1)x+ (m− 2)y + 3m− 5 = 0.

Determiner m pour que :

a) D soit parallele a D′′.b) D′′ soit parallele a Ox.

c) D′′ soit parallele a Oy.

d) D′ soit parallele a D′′.

14 CHAPITRE 2. VECTEURS

*** Devoir a rediger pour le 3 novembre ***

1 Soit (0, ı→, →) un repere orthonorme du plan. On considere 3 points A(0; 4), B(−3;−1) etC(4;−1).

a) Determiner une equation des medianes du triangle ABC issues de A et de B et lescoordonnees de leur point d’intersection G.

Verifier que G est bien sur la mediane issue de C.

b) Soit E(52

41;99

41

).

(i) Verifier que E est le pied de la hauteur issue de B.

(ii) Determiner une equation des hauteurs du triangle ABC issues de A et de B etles coordonnees de leur point d’intersection H.

c) Determiner une equation des mediatrices des segments [BC] et [AC] et les coor-donnees de leur point d’intersection Ω.

d) Verifier que les points G,H et Ω sont sur une meme droite (droite d’Euler).

2 Reperes : ex 103 p 41

3 facultatifs (donc non notes) : ex 105 p 41, ex 110 p 43

Chapitre 3

Etudes de fonctions

3.1 Fonction inverse

La fonction inverse est la fonction definie sur R∗ par x 7−→ 1/x.

Elle est strictement decroissante sur ]−∞; 0[∪]0; +∞[.

demonstration : a, b...

1 Variations de x 7−→ 1/x− x+ 2.

3.2 Fonction racine carree

La fonction racine carree est la fonction definie sur R+ par x 7−→√x.

Elle est strictement croissante sur [0; +∞[.

demonstration : a, b...

3.3 Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est la fonction definie sur R par x 7−→ |x| avec :|x| = x si x ≥ 0

−x si x < 0. fonction affine par morceaux

Rem :une valeur absolue est toujours positive.Deux nombres opposes ont la meme valeur absolue.√x2 = |x|.

15

16 CHAPITRE 3. ETUDES DE FONCTIONS

Proprietes :|x| = 0⇐⇒ x = 0.|x| = |y| ⇐⇒ x = ±y.∀x, y ∈ R, |xy| = |x| × |y|.∀x ∈ R, ∀y 6= 0, |x/y| = |x|/|y|.∀x, y ∈ R, |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

Elle est strictement decroissante sur ]−∞; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[.

demonstration : sur R+, f(x) = x


2 Donner la valeur absolue des nombres suivants : −3,√

2−√

3, (−2)2, (−2)21.

3 Classer dans l’ordre croissant : | − 2|, |4|, | − π|, | − 5|, |1− π|.4 A quel intervalle appartien |x| si x ∈ [0; 5[, x ∈ [−2; 7[ ?

5 Resoudre : |x| = 2 et |x| = −√

2, |x− 2| = 5, | − 5− x| = 3.

6 Etudier les variations de x 7−→ |x− 6|.7 Meme question avec x 7−→

√(3x− 6)2.

8 Meme question avec x 7−→ |1− x| − 2|x+ 3|.9 Resoudre |x+ 1| = |x− 4|, |2x+ 1| = 2|x− 3|.10 Reperes : ex 94 p 39

3.4 Fonctions associees

u est une fonction definie sur un intervalle I. k ∈ R.

3.4.1 u+ k

C’est la fonction definie sur I par : x 7−→ u(x) + k.

Proprietes :Elle a les memes variations que u.dem : a, b...Dans un repere orthogonal (O, ı→, →), la courbe de u+ k est l’image de la courbe de u par latranslation de vecteur k→.

ex : u(x) = x2 et f(x) = x2 + 2.

Rem : Plus generalement :la somme de 2 fct croissantes est croissante.la somme de 2 fct decroissantes est decroissante.la somme d’une fct decroissante et d’une fonction croissante peut etre croissante ou decroissante.

3.4. FONCTIONS ASSOCIEES 17

3.4.2 ku

ku est la fonction definie sur I par : x 7−→ k × u(x).

Proprietes :si k > 0, elle a les memes variations que u, si k < 0, elle a les variations contraires de cellesde u,dem : a, b...Dans un repere orthogonal (O, ı→, →), la courbe de ku est obtenue en mulitpliant par k l’or-donnee de chaque point de la courbe de u.Rem : si k = −1, les courbes de u et −u sont symetriques par rapport a Ox.

ex : u(x) = x2 et v(x) = 2x2 et w(x) = −x2.

3.4.3√u

Si u est une fonction positive sur I,√u est la fonction definie sur I par : x 7−→

√u(x).

Propriete : elle a les memes variations que u,

dem : a, b...

ex : f(x) =√x2 + 1.

3.4.41

u

Si u est une fonction qui ne s’annule pas sur I, 1/u est la fonction definie sur I par : x 7−→ 1

x.

Propriete : elle a les variations contraires de celles de u,

dem : a, b...

ex : f(x) =1

x2 + 1.

11 Reperes : ex 95,96,97,98,99,101,102 p 39

12 **DM : ex 103, 105, 110(facultatif) p 41**


3.5 Fonctions polynomes

3.5.1 Trinome : ax2 + bx+ c avec a 6= 0

Si a > 0, f est strictement croissante sur ] −∞;α] et strictement decroissante sur [α; +∞[. Sia < 0, c’est le contraire.

L’extremum a pour coordonnees : (α, β = f(α)) ((a, b) est un minimum si a > 0).

Factorisation :Si ∆ > 0, on a 2 racines x1 et x2 : ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2).Rem : x1 × x2 = c/aSi ∆ = 0, on a une racine x1 : ax2 + bx+ c = a(x− x1)2.Si ∆ < 0, ax2 + bx+ c ne se factorise pas.

3.5.2 Fonction cube

La fonction cube est la fonction definie sur R par x 7−→ x3.

Elle est strictement croissante sur R.

demonstration :

Soient a et b 2 reels tels que a < b (a− b < 0).a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2).Comme a− b < 0 et a2 + ab+ b2 > 0, on a : a3 − b3 < 0.

3.5.3 Polynome

P (x) est de la forme a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + · · · anxn.

Pour les variations, on regarde si P est la somme de fonctions croissantes ou de fonctionsdecroissantes. Sinon, on verra plus tard (chapitre 5) ! !Pour resoudre P (x) = 0 ou P (x) > 0, on essaie de factoriser P . Pour cela, si l’on connaıt uneracine α (hasard ou donnee), on ecrit :P (x) = (x− α)Q(x) avec Q un polynome de degre 1 de moins que celui de P .

ex : Resoudre x3 − 4x2 + 4x− 1 = 0 (voir module).

3.6. POSITIONS RELATIVES 19

3.6 Positions relatives

3.6.1 Cas general

f est superieure a g sur I, notee f ≥ g si sur I si : ∀x ∈ I, f(x) ≥ g(x).La courbe de f est au dessus de celle de g sur I.f est inferieure a g sur I, notee f ≤ g si sur I si : ∀x ∈ I, f(x) ≤ g(x).La courbe de f est au dessus de celle de g sur I.

14 Etudier les positions relatives de y = 1/x et y = 4x.


3.6.2 Un cas particulier

x 0 14

12 1

√2 2

x2 0 14 1 2√

x 0 12 1

√2

Si 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ x ≤√x.

Demonstration :

Si x = 0, 02 ≤ 0 ≤√

0.Si 0 < x ≤ 1 :• On multiplie l’inegalite x ≤ 1 par x qui est strictement positif : cela donne :

x2 ≤ x .

• Racine etant strictement croissante sur R+, 0 < x ≤ 1 donne :√

0 <√x ≤√

1. c’est-a-dire 0 <√x ≤ 1.

On mulitplie ensuite l’inegalite√x ≤ 1 par

√x qui est strictement positif ;

cela donne x ≤√x .


Si x ≥ 1,√x ≤ x ≤ x2.

16 a) Comparer√

3, 14, 3,14 et 3, 142.

b) Comparer√π − 3, π − 3 et (π − 3)2.

17 Soit A = 3− 2√

2. Calculer (√

2− 1)2 et A2 puis comparer√

2− 1; 3− 2√

2 et 17− 12√

2.

3.7 Composee

Proposer un enchaınement de fonctions qui definit : 1/(x− 3), 1/(x+ 2)2.

18 Determiner f g et g f quand cela est possible dans les cas :

a) f(x) = 2x+ 3 et g(x) = x2.

b) f(x) =x2

x2 + 1et g(x) = 3x− 2.

c) f(x) = 2x− 1 et g(x) =x2

x2 + 2.

d) f(x) =1

xet g(x) =

1

x− 2.


1 Soit A = 3− 2√

2. Calculer (√

2− 1)2 puis comparer√

2− 1; 3− 2√

2 et 17− 12√

2.

2 Pour x ∈ [0; +∞[, on pose f(x) = 2√x et g(x) = x+ 1.

Etudier la position relative des 2 courbes.

3 Pour x ∈ R− 3, on pose f(x) =x2 − 5x+ 5

x− 3.

Etudier la position relative de la courbe de f avec la droite d’eq y = x− 2.

4 Pour x ∈ [0; 1], on pose f(x) =√x+ 1, g(x) = 1 +

x

2et h(x) = 1 +

x

2− x2

8.

a) Comparer (f(x))2 et (g(x))2.

b) En deduire que : ∀x ∈ [0; 1],√

1 + x ≤ 1 +x

2.

c) Montrer que ∀x ∈ [0; 1], f(x) est positif et comparer (f(x))2 et (h(x))2.

d) En deduire que : ∀x ∈ [0; 1],√

1 + x ≥ 1 +x

2− x2

8.

e) Decrire les posityions relatives des courbes de f , g et h.

f) Donner un encadrement de√

1, 000002 et l’amplitude de cet encadrement.

Chapitre 4

Nombre derive

4.1 Nombre derive

4.1.1 Definitions taux d’accroissement

Fichier PenteTg2 sous geoplan

f(x) = x2 et A(1; 1). B d’abscisse 1 + h.

La pente de (AB) vaut :yB − yAxB − xA

=f(1 + h)− f(1)

1 + h− 1= 2 + h.

h = 0, 75; 0, 1; 0, 0001.

Lorsque B se rapproche de A, h se rapproche de 0 (tend vers 0) et T se rapproche de 2 (tendvers 2).

Soient f une fct definie sur I et a, a+ h 2 reels de I (avec h 6= 0).

Def 1 :

Le taux de variation ou taux d’accroissement entre a et a+ h est : T =f(a+ h)− f(a)

h.

ex : f(x) = x2 + 1, a = 2. T =.

ex : f(x) = −x2 + 4 et a = 0 ; a = 2.

4.1.2 Limite en 0

ex : h2 + 2h+ 3

h 0, 1 0, 01 0, 001 −0, 1 −0, 01 −0, 001

h2 + 2h+ 3 3, 321 3, 0301 3, 003001 2, 71 2, 9701 2, 997001

21

22 CHAPITRE 4. NOMBRE DERIVE

Lorsque h se rapproche de 0, h2 + 2h+ 3 se rapprcohe de 3.

On note : limh−→0

(h2 + 2h+ 3) = 3.

ex 2 : 1/(h2).

ex 3 : |h|/h.

4.1.3 Nombre derive

f est derivable en a si, le taux d’accroissement de f entre a et a+ h a une limite lorque h tendvers 0.

On note limh−→0

f(a+ h)− f(a)

h= L.

Le reel L s’appelle nombre derive de la fonction f en a et on le note f ′(a).

ex : f(x) = x3 et a = 1. T = h2 + 2h+ 3 qui tend vers 3 (voir ci-dessus)

1 nombre derive de x2 en 1 ; 1/x en 2 ; 2x+ 1 en 1 ; 3 en 2.

2 Reperes : ex 37,38,39,40 p 74

3 a) Que veut dire ”f derivable en a” et ”f non derivable en a”.

b) Soit f : x 7−→√x pour x ≥ 0.

(i) Calculer le taux de variation en 0.

(ii) Calculer ce taux pour h = 10−1, h = 10−2, h = 10−3, h = 10−8, h = 10−16.

(iii) Comment doit-on choisir h pour que ce taux soit superieur a 104, 109, 1050 ?

(iv) En deduire le comportement de ce rapport quand h tend vers 0.

(v) Qu’en deduit-on pour f ?

(vi) Tracer la courbe de f sur [0, 1].

c) (i) Tracer la fonction f : x 7−→ |x|.(ii) Peut-on penser que f est derivable en 0 ?

(iii) Exprimer le taux de variation sans valeur absolue en distinguant les cas h > 0 eth < 0.

(iv) Que fait ce taux quand h tend vers 0 en restant negatif ?

Que fait ce taux quand h tend vers 0 en restant positif ?

Conclusion :

Le taux n’a pas de limite quand h tend vers 0 : f n’est pas derivable en 0.Le taux a une limite quand h tend vers 0 en restant positif : on dit que f estderivable a droite en 0.Le taux a une limite quand h tend vers 0 en restant negatif : on dit que f estderivable a gauche en 0.

(v) Quel est le nombre derive a droite ?

4.2. FONCTION DERIVEE 23

4.1.4 Interpretation graphique

Fichier PenteTg2 sous geoplan

Def 3 :

Si f est derivable en a, la droite passant par le point d’abscisse a et de coef directeur f ′(a) estla tangente a la courbe de f en ce point.

Graphiquement, lorsque h tend vers 0, le point B se rapproche du point A et la droite (AB)tend vers une position ”limite”, la droite tangente a la courbe en A, qui a pour coef directeurf ′(a).

eq de cette tangente :

le coef directeur valant f ′(a), y = f ′(a)x+ b.Le point d’abscisse a etant sur cette droite, f(a) = f ′(a)a+b d’ou b = f(a)−f ′(a)a

et y = f ′(a)x+ f(a)− f ′(a)a.

y=f’(a)(x-a)+f(a)

4 Reperes : ex 42,45,(46,47) p 75, 49, (50) p 76

5 *** Module *** ex 52, 53 p 76

6 a) Calculer les nombres derives en a de f definie par :

(i) f(x) = x2 en a = 1 et en a qcq.

(ii) f(x) = x en a = 1 et en a qcq.

(iii) f(x) = 3 en a = 2 et en a qcq.

(iv) f(x) =1

xen a = 2 et en a qcq.

b) Determiner les equations des tangentes en a a la courbe des fonctions f de la questionprecedente.

7 Declic : ex 10, 11, 12, 13, 15, 9 page 82, ex 60 p 90

4.2 Fonction derivee

4.2.1 Definition

f est derivable sur un ens D si f est derivable en tout point de D.

fct derivee : f ′ : D −→ R, a 7−→ f ′(a).

Si on connaıt f ′(x), inutile de revenir a la def


4.2.2 Derivees des fonctions usuelles

fct constante x 7−→ k. taux *** fct identite. taux *** fct carree.taux *** fct cube. taux *** fctpuissance avec n ≥ 2 *** fct inverse. taux *** fct racine carree. taux avec quantite conjuguee*** fct sinus et cosinus

4.2.3 Operations

derivees de ku, u+ v, uv, 1/v, u/v.

Proprietes :Les fct affines et polynomes sont derivables sur R.Les fct homographiques et rationnelles sont derivables sur leur ensemble de definition.

8 Reperes : ex 56 a,57,58,59,60,61,62,63 p 77

9 Reperes : ex 65 (66), 67(68),69,70,71 p 78

4.3. APPROXIMATION AFFINE 25

4.3 Approximation affine

Soit f une fonction derivable en a.

Pour h 6= 0, on pose ε(h) =f(a+ h)− f(a)

h− f ′(a) ; hε(h) = f(a+ h)− f(a)− hf ′(a).

Si f est derivable en a, lorsque h tend vers 0, ε(h) tend vers ?, hε(h) tend vers ?

Donc f(a) + hf ′(a) est une valeur approchee de : f(a+ h).

On dit que f(a) + hf ′(a) est l’approximation affine de f(a+ h) pour h proche de 0.

hε(h) est l’erreur.

10 Soit f(x) = x2.

a) Determiner l’approxiamtion affine de f(1 + h).

b) Calculer mentalement (1, 024)2.

11 Calculer1

1, 003,

1

0, 98,

1

0, 991. (1, 004)3, (0, 98)3, (0, 991)3.

12 Methode d’Euler

But : approcher pas a pas une fonction dont on connaıt la derivee (distance parcourue parun objet dont on connaıt le point de depart et sa vitesse instantanee).

On connaıt f ′(x) =1

x.

a) Sur la moitie superieure d’une feuille de papier millimitre, tracer un repere ortho-norme.

Placer le point M0 = (1, 0).

b) Choisir un pas de 1. Completer la 1e et 3e ligne du tableau :

x 1 2 3 4 5 6

f(x) 0

f ′(x)

accroissement

c) Tracer la droite passant par M0 et de coefficient directeur f ′(1).

On assimile la courbe a cette droite sur [1; 2]. Placer le point M1 d’abscisse 2. Quellevaleur approchee de f(2) obtient-on ? La calculer. En deduire l’accroissement entreM0 et M1.

d) Recommencer avec le trace de la droite passant par M1 et de coefficient directeurf ′(2). On trouve M2. Completer les 2e et 4e ligne.

Voici les courbes obtenues avec 4 pas differents superposees avec la vraie fonction :


13 Utiliser la methode de l’exercice precedent avec un pas de 0,5 sur [0; 3] et la fonction qui

verifie f(0) = 0 et f(x) =1

1 + x2.

4.4 Variations

Soit f une foncton croissante et derivable sur I.

Si h < 0 alorsf(a+ h)− f(a)

hest positif. Si h > 0 alors

f(a+ h)− f(a)

hest positif.

Donc : Si f est croissante alors pour tout a de I, f ′(a) ≥ 0.

De meme, Si f est decroissante alors pour tout a de I, f ′(a) ≤ 0.

Si f est constante alors pour tout a de I, f ′(a) = 0.

Reciproque : Theoreme

Si f est derivable sur I :si pour tout x de I, f ′(x) ≥ 0 alors f est croissante.si pour tout x de I, f ′(x) ≤ 0 alors f est decroissante.si pour tout x de I, f ′(x) = 0 alors f est constante.

14 Reperes : ex 82,83, 84,85,87,88,90,93,94,95,96, 77,78,79,81,81’ p 82

4.5. QUELQUES EXERCICES EN PLUS ... 27

15 ***Module*** : ex 100 p 84

16 En utilisant les fonctions derivees, trouver les variations de : x 7−→ x2, x 7−→ x3.

17 On pose f(x) = x3 et g(x) =1

x. Existe-t-il un reel x0 ou les courbes ont au point d’abscisse

x0 des tangentes paralleles ?

18 Declic : ex 48 1) page 87, ex 36 p 85, ex 53, 51, 56, 60, 61 p 88

4.5 Quelques exercices en plus ...

***Feuille d’exercices 7 ***

1 Pour x ∈ [0; 1], on pose f(x) =√x+ 1, g(x) = 1 +

x

2et h(x) = 1 +

x

2− x2

8.

a) Comparer (f(x))2 et (g(x))2.

b) En deduire que : ∀x ∈ [0; 1],√

1 + x ≤ 1 +x

2.

c) Montrer que ∀x ∈ [0; 1], f(x) est positif et comparer (f(x))2 et (h(x))2.

d) En deduire que : ∀x ∈ [0; 1],√

1 + x ≥ 1 +x

2− x2

8.

e) Decrire les positions relatives des courbes de f , g et h.

f) Donner un encadrement de√

1, 000002 et l’amplitude de cet encadrement.

2 a) Proposer un enchaınement de fonctions qui definit : 1/(x− 3), 1/(x+ 2)2.

b) Determiner f g et g f quand cela est possible dans les cas :

(i) f(x) = 2x+ 3 et g(x) = x2.

(ii) f(x) =x2

x2 + 1et g(x) = 3x− 2.

(iii) f(x) = 2x− 1 et g(x) =x2

x2 + 2.

(iv) f(x) =1

xet g(x) =

1

x− 2.


4 Reperes : ex 52, 53 p 76



(i) Calculer le taux de variation en 0.

(ii) Calculer ce taux pour h = 10−1, h = 10−2, h = 10−3, h = 10−8, h = 10−16.

(iii) Comment doit-on choisir h pour que ce taux soit superieur a 104, 109, 1050 ?


(iv) En deduire le comportement de ce rapport quand h tend vers 0.

(v) Qu’en deduit-on pour f ?

(vi) Tracer la courbe de f sur [0, 1].





Conclusion :



6 f est la fonction definie par f(x) = x3 et C sa courbe representative dans un repereorthonormal.

Soient a un reel et M le point de C d’abscisse a.

On note H le projete orthogonal de M sur l’axe des ordonnees.

On appelle T la tangente a C au point M ; elle coupe l’axe des ordonnees en I.

a) Quelles sont les coordonnees de H ?

b) Ecrire une equation de T .

c) Calculer les coordonnees de I.

d) Verifier que−→OI = −2

−−→OH.

e) En deuire une methode pour construire la tangente en n’importe quel point de C.7 Un puits a 24,2m de profondeur et il est a sec. On lache une pierre dans ce puits a l’instant

t = 0.

La loi horaire du deplacment est donnee par d(t) = 5t3 avec d(t) en metres et t en secondes.

a) A quel instant t0, la pierre touche-t-elle le fond ?

b) Calculer la vitesse moyenne de la pierre entre les instants t0 − h et t0 avec h > 0.

c) En deduire la vitesse instantanee de la pierre au moment ou elle touche le fond.

Chapitre 5

Statistiques

5.1 Vocabulaire

La population est l’ensemble des individus sur lesquels porte l’etude statistique.L’individu est un ”element” de la population.Le caractere d’une serie statistique est la propriete etudiee.Le caractere est dit quantitatif s’il ne prend que des valeurs numeriques.Sinon il est dit qualitatif (ex : langue vivante LV2 etudiee).Le caractere est dit quantitatif discret s’il ne prend qu’un nombre fini ou denombrable devaleurs numeriques (ex : notes au dernier devoir).Le caractere est dit quantitatif continu s’il prend une infinite de valeurs numeriques (ex : taillesdes eleves de la classe).On prend les centres de classe pour les calculs.L’effectif total de la serie est le nombre total d’individus. On le notera en general N .L’effectif de la valeur xi est le nombre d’individus ayant cette valeur. On le notera en generalni.La frequence de xi est la proportion d’individus ayant cette valeur (quotient de l’effectif parl’effectif total). On la notera en general fi.L’effectif cumule croissant (ECC) de la valeur xi est la somme des effectifs des valeursinferieures a xi.L’effectif cumule decroissant (ECD) de la valeur xi est la somme des effectifs des valeurssuperieures a xi.La frequence cumulee croissante (FCC) de la valeur xi est la somme des frequences des valeursinferieures a xi.Lafrequence cumulee decroissante (FCD) de la valeur xi est la somme des frequences desvaleurs superieures a xi.L’etendue d’une serie est la difference entre les valeurs extremes du caractere.Le mode d’une serie est la valeur ayant l’effectif le plus grand.

29

30 CHAPITRE 5. STATISTIQUES

5.2 Presentation des donnees

5.2.1 Liste

Exemple 1 : le nombre de battements de coeur de quelques personnes adultes :

53 112 110 79 84 101 97 93 103 78

104 130 118 106 105 89 102 91 66 81

176 99 83 78 111 112 101 76 135 81

188 59 66 81 122 73 92 58 134 103

121 111 103 106 125 79 112 71 96 81

116 79 93 88 101 132 131 86 105 91

83 102 121 99 89 109 95 99 101 70

5.2.2 Tableau avec effectifs

On donne les valeurs avec le nombre d’individus prenant cette valeur.

Exemple 2 : nombre de postes de tele chez quelques familles :

Television 0 1 2 3 4

Effectif 7 16 15 2 1

5.2.3 Tableau avec classes

On donne un intervalle de valeurs avec le nombre d’individus dont la valeur du caractere estdans cet intervalle. Par convention, la borne superieure de l’intervalle est exclue.

Exemple 3 : Tailles en cm de personnes d’un club :

Taille [150; 160[ [160; 170[ [170; 180[ [180; 190[

Effectif 3 14 15 8

Pour les calculs, tout se passe comme si on etait dans le cas d’un tableau avec effectifs car lesintervalles sont remplace pas des centres de classes.

En resume, les valeurs de la serie sont notees x1, x2, · · · (valeurs ou centre de classes). ni sontles effectifs ou 1.

5.3 Indicateurs statistiques de tendance

5.3.1 Moyenne

La moyenne d’une serie dont les valeurs du caractere sont x1, x2, · · · , xk et les effectifs corres-pondants n1, n2, · · · , nk vaut la somme des valeurs divisee par l’eff total :

5.4. DIAGRAMME EN BOITES OU BOITES DE TURKEY 31

x =

∑Ni=1 nixiN

=N∑i=1

fixi

ex : 14,17,13,12,15,12 donnent 13,83.

5.3.2 Mediane

La mediane partage la serie en 2 groupes de meme effectif : 50% au moins des individus ont unevaleur inferieure ou egale a la moyenne.

ex : la mediane de la serie ci-dessus est 13,5.

Pour determiner la mediane, Me :on range les N valeurs dans l’ordre croissant.

Si N est impair, Me est laN + 1

2eme valeur.

Si N est pair, Me est la demi-somme de laN

2eme valeur et de

(N2

+ 1)

eme .

5.3.3 Quartiles

Les quartiles partagent la serie en 4 groupes de meme effectif. Q1 est le plus petit nombre telque 25% des donnees sont inferieures ou egales a ce nombre.

On range la serie dans l’ordre croissant. On appelle n le plus petit entier superieur ou egal aN

4.

Q1 est la neme valeur de la serie.

Ex (7 valeurs) : 12,12,14,15,16,16,17

ex2 (6 valeurs) ; ex3 : (5 valeurs) ; ex4 : (4 valeurs)

5.3.4 Deciles/Centiles

Les deciles partagent la serie en 10 groupes de meme effectif.

5.4 Diagramme en boıtes ou boıtes de Turkey

On reporte sur un axe graduee le minimum, le 1er quartile, la mediane, le 3e quartile et lemaximum.

voir Reperes page 173 n 85

Remarque : parfois, on represente min, D1, Q1, Me, Q3, D9 et max.

1 Reperes 50,51,53,55,56 p 166, ex 60 p 167, ex 63 p 168, ex 65,66 p 169


5.5 Indicateurs statistiques de dispersion

Ces notions servent a quantifier la dispersion autour de la moyenne.

5.5.1 Rappels

L’etendue est la difference entre la plus grande et la plus petite valeur.

L’ecart interquartile est la difference entre Q3 et Q1.

5.5.2 Variance

x1, · · · , xk est un echantillon de moyenne x. La variance est la moyenne des carres des ecartsentre chaque terme de la serie et la moyenne :

var X = V =1

N

k∑i=1

ni(xi − x)2

(Si la serie est continue, xi est le centre de classe.)

La variance s’exprime dans les unites des donnees au carre.

Remarque : var =1

n

∑i

ni(xi − x)2 =1

n

∑i

nix2i − (x)2 (plus rapide pour les calculs).

1

N

k∑i=1

ni(xi − x)2 =1

N

k∑i=1

ni

((xi)

2 − 2xix+ (x)2)

=1

N

k∑i=1

nix2i − 2

1

N

k∑i=1

nixix+1

N

k∑i=1

ni(x)2

=1

N

k∑i=1

nix2i − 2x

1

N

k∑i=1

nixi + (x)21

N

k∑i=1

ni

=1

N

k∑i=1

nix2i − 2x× x+ (x)2

1

N×N =

1

N

k∑i=1

nix2i − 2(x)2 + (x)2.

5.5.3 Ecart-type

L’ecart-type vaut σ =√V .

L’ecart-type s’exprime dans les memes unites que les donnees. Plus l’ecart-type est faible, plusla population est homogene.

2 Reperes ex 13,14,15,20,21,22,25,26,28 p 160, ex 30,31,32,34,36,37 p 162, ex 45 p 165

3 Reperes ex 33 p 162, ex 41,42,43 p 164, ex 46, 47,48, 49 p 165

5.5. INDICATEURS STATISTIQUES DE DISPERSION 33

1 ex 18 p233. x = 4, 68, var = 9, 098 et σ = 3, 016.

2 ex 19 p 233 (module sur excel) ecart a la moyenne : |xi − x|.

3 ex 20 p 233 (module avec en plus mediane, quartiles et deciles)

4 ex 23,25 p 234 (calcul d’ecart-type) (pas faits)

5 ex 27 p 235 (calcul d’ecart-type en continu) (pas fait)

6 ex 28 p 235 (calcul d’ecart-type en continu)

Corrige :1) On fait les calculs avec les centres de classe :

xi ni nixi |xi − x| ni(xi − x)2 nix2i

7, 5 57 427, 5 34, 125 66377, 39 3206, 2522, 5 135 3037, 5 19, 125 49378, 36 68343, 7545 104 4680 3, 375 1184, 63 21060090 52 4680 48, 375 121687, 31 421200180 12 2160 138, 375 229771, 69 388800

360 14985 468399, 38 1092150

Formule : x =

∑nixin

.

On calcule sur chaque ligne du tableau ni × xi puis on fait la somme (14985) etl’on divise par l’effectif total : 360Donc x = 41, 625. (On peut aussi utiliser le mode Stats-1var de la calculatriceavec L1 et L2.)

Formule : var =

∑ni(xi − x)2

n.

(moyenne des carres des ecarts a la moyenne.)Pour calculer la variance, on calcule les ecarts a la moyenne |xi − x| qui est ladifference qu’a chaque valeur avec la moyenne (en valeur absolue). Par exemplela 1e valeur est 41,625-7,5.La variance etant la moyenne des carres de ces ecarts, on fabrique la 5e colonnedu tableau que l’on somme et divise par 360.

var =468399, 375

360= 1301, 11

Autre methode : var =

∑nix

2i

n− x2.

(moyenne des carres - carres de la moyenne).On calcule dans la 6e colonne, les nix

2i . La somme vaut 1092150. En divisant

par 360 , on trouve 3033,75. La moyenne des carres vaut donc 3033,75. Il reste asoustraire le carre de la moyenne : 3033, 75− (41, 625)2 = 1301, 11.L’ecart-type sera la racine carree de la variance que l’on vient de trouver : σ =36, 07.


2) L’ecart-type valant 36, on n’a, dans la 4e colonne des ecarts, seulement la 4e et la 5evaleur qui sont superieures a l’ecart-type.

Cela concerne donc (52+12) 64 personnes sur 360 ce qui donne :64

360× 100 = 17, 78%.

7 ex 29 p 235 (calcul d’ecart-type)

Corrige :1) On trouve x = 10 et σ = 1, 5.2) On trouve x = 9, 8 et σ = 2, 64.3) L’ecart-type a varie de 1,14 ;

ce qui represente une hausse de1, 14

1, 5× 100 = 76%.

*** fin seance

8 ex 54 p 241 ( *** a rediger pour le vendredi 4 decembre ***)

5.6. PROPRIETES DES PARAMETRES 35

5.6 Proprietes des parametres

5.6.1 Fonction affine

Exemple 1 : moyenne des notes : 11

Si on rajoute 1 pt a tout le monde, nouvelle moyenne = ?

Si le coefficient de ce devoir est de 2, quelle est la moyenne sur 40 ?

Exemple 2 : Un chimiste a releve les temperatures d’un liquide lors d’une experience.

Il a obtenu les resultats suivants, exprimes en degres Celsius :61,62,62,63,64,64,64,66,68,69,71,71,71,73,73,75,75.

a) Calculer moyenne et ecart-type de cette serie, mediane et ecart interquartile.

b) Pour transmette ses resultats a un collegue americain, il exprime ses temperatures en degresFahrenheit. (tF = 1, 8tC + 32).

Exprimer les nouvelles temperatures et calculer les 6 caracteristiques de cette nouvelle serie.

Propriete : Soient a et b 2 reels et (x1, · · · , xn) une serie de taille n et de moyenne x.

La nouvelle serie definie par yi = axi + b a pour nouveaux parametres :

moyenne variance ecart-type mediane ecart interquartile

X x VX σX Me Q3 −Q1

Y ax+ b a2VX |a|σX a×Me+ b |a|(Q3 −Q1)

1 ex 8,9 page 231

2 Sur 30 copies, la moyenne est de 9,5, l’ecart-type de 3,5 et la mediane de 10,4.

a) Que deviennent ces parametres si toutes les notes sont augmentees de 10% ?

b) Le 31e eleve a rendu son devoir en retard et a eu 12.

Quelle est la nouvelle moyenne ?

Quelle note aurait pu donner une moyenne de la classe de 9,7 ?

Quelle note aurait pu donner une moyenne de la classe de 10 ?

3 Une agence propose des voyages dont le prix moyen est de 540 euros et le prix median de450 euros.

Le voyagiste decide de baisser ses prix de 10% et de demander 50 euros pour frais dedossier.

a) Le prix moyen augmente-t-il ?

b) Le prix median augmente-t-il ?

c) Les acheteurs potentiels en tirent-ils benefice ?

4 ex 48 p 239


5.6.2 Moyenne par paquets

Une serie partagee en sous-series x1, · · ·xp disjointes de moyennes et effectifs (xi, ni) a pourmoyenne :

x =

∑i nixi∑i ni

1 ex 4,5,6,7 page 231

2 Repartitiion poulation francaise par classe d’age et par sexe au 1er janvier 2004 :

Femmes Hommes Total

Total 30788805 29111463

moins de 15 ans 17, 6% 19, 6%

de 15 a 24 ans 12, 5% 13, 6%

de 25 a 34 ans 12, 9% 13, 8%

de 35 a 44 ans 14, 1% 14, 6%

de 45 a 54 ans 13, 7% 14, 1%

de 55 a 64 ans 10, 3% 10, 6%

de 65 a 74 ans 9, 0% 7, 9%

plus de 75 ans 9, 8% 5, 9%

a) Calculer une estimation de l’age moyen des hommes et de celui des femmes au 1erjanvier 2004.

b) Calculer une estimation de l’age moyen de l’ensemble de la population au 1er janvier2004 de 2 facons.

3 ex 52 p 241

4 ex 55 p 241 (DM)

Chapitre 6

Variations et derivees

6.1 Variations

Soit f une foncton croissante et derivable sur I.

Si h < 0 alorsf(a+ h)− f(a)

hest positif. Si h > 0 alors

f(a+ h)− f(a)

hest positif.

Donc : Si f est croissante alors pour tout a de I, f ′(a) ≥ 0.

De meme, Si f est decroissante alors pour tout a de I, f ′(a) ≤ 0.

Si f est constante alors pour tout a de I, f ′(a) = 0.

Reciproque : Theoreme

Si f est derivable sur I :si pour tout x de I, f ′(x) ≥ 0 alors f est croissante.si pour tout x de I, f ′(x) ≤ 0 alors f est decroissante.si pour tout x de I, f ′(x) = 0 alors f est constante.

1 En utilisant les fonctions derivees, trouver les variations de : x 7−→ x2, x 7−→ x3.

2 Reperes : ex 82,83 p 82

3 Declic : ex 48 1) page 87, ex 36 p 85, ex 53, 51, 56, 60, 61 p 88

6.2 Extrema

Soit f une fonction definie sur son domaine D. Soit x0 ∈ D.f admet un maximum local en x0 s’il existe un intervalle J tel que : ∀x ∈ J , f(x) ≤ f(x0).f admet un minimum local en x0 s’il existe un intervalle J tel que : ∀x ∈ J , f(x) ≥ f(x0).f admet un maximum absolu en x0 si : ∀x ∈ D, f(x) ≤ f(x0).

37

38 CHAPITRE 6. VARIATIONS ET DERIVEES

f admet un minimum absolu en x0 si : ∀x ∈ D, f(x) ≥ f(x0).Theoreme : Si f a un extremum local en x0 alors f ′(x0) = 0.

Graphiquement, on a une tg horizontale en x0.

4! : ce n’est pas equivalent, c’est une CS : f(x) = x3.

Reciproque : Si f est derivable en x0, si f ′(x0) ET si f ′ change de signe en x0 alors f a unextremum local en x0.

4 84,85,87,88,89, 90,93,94,95,96,

5 Reperes : 77,78,79,81 p 82

6 On pose f(x) = x3 et g(x) =1

x. Existe-t-il un reel x0 ou les courbes ont au point d’abscisse

x0 des tangentes paralleles ?

7 ***DM : 104 et 105 p 85***

6.2. EXTREMA 39

***Feuille d’exercices 8 ***



(i) Calculer le taux de variation en 0 pour h = 10−1, h = 10−2, h = 10−3, h = 10−8,h = 10−16.

(ii) Comment doit-on choisir h pour que ce taux soit superieur a 104, 109, 1050 ?

(iii) En deduire le comportement de ce rapport quand h tend vers 0.

(iv) Qu’en deduit-on pour f ?

(v) Tracer la courbe de f sur [0, 1].





Conclusion :



2 P (x) = 5x2 − 2x+ 3.

a) Calculer P ′(x) et P ′′(x).

b) Calculer P (0) + P ′(0) + P ′′(0)/2.

3 P est la parabole d’equation y = x2 et A(−1; 1).

a) On appelle d la droite passant par A et non parallele a l’axe des ordonnees.

Montrer que d a une equaton de la forme y = mx+m+ 1 avec m ∈ R.

b) Resoudre x2 = mx+m+ 1.

c) En deduire que d coupe P en 2 points distincts sauf pour une certaine valeur de m.

d) Montrer que si m vaut cette valeur alors d est tangente a P.

4 P (x) = x3 − 3x2 + 3x− 3.

Montrer que pour tout x ∈ ]2; 2, 2[, P (x) < −0, 2.

40 CHAPITRE 6. VARIATIONS ET DERIVEES

Chapitre 7

Angles et trigonometrie

7.1 Radian

7.1.1 Cercle trigonometrique

(0, ı→, k→) est un repere orthonorme direct. C est le cercle trigonometrique de centre O, e rayon1, d’origine I, oriente dans le sens direct.

7.1.2 Radian

On appelle radian la mesure d’un angle qui intercepte un arc dont la longueur est egale a sonrayon :

Rem : OAB n’est pas equilateral donc : 1 rad< 60 ( 1rad' 57 ).

Propriete : Le smesures en radians et les mesures en degres d’un angle sont proportionnelles :

deg 360 180 d 90 30 60 45

rad 2π π α180α = πd⇐⇒ α =

π

180d

1 Reperes : ex 40 p 288, ex 42,43 p 288

41

42 CHAPITRE 7. ANGLES ET TRIGONOMETRIE

7.1.3 Enroulement autour de C

La droite des reels d est la droite tangente au cercle en I.

En enroulant cette droite autour du cercle, on a une correspondance entre un point de la droiteet un point du cercle.

Un point d’abscisse a sur d se retrouve en M sur C :

Propriete : Si un point d’abscisse a sur d se retrouve en M sur C alors les points d’abscissesa+ 2π, a− 2π, ... se retrouvent en M aussi.

2 Placer sur le cercle les points :

a) reperes par π/6, π/4, π/3, π/2, π.

b) reperes par −5π/4, 10π/3,−7π/6.

c) Representer les points reperes par les reels de l’intervalle [−3π/4; 2π/3].

3 Reperes : ex 50,51,54,55 p 288

4 Declic : ex 3, 4, 5, 6 p 287

7.2. ANGLES ORIENTES DE VECTEURS 43

7.2 Angles orientes de vecteurs

7.2.1 Definitions

Def 1 : −→u et −→v sont 2 vecteurs de norme 1.

M1 et M2 sont les 2 points de C tels que−−−→OM1 = −→u et

−−−→OM2 = −→v .

Les 2 points de d d’abscisses n1 et n2 qui se retrouvent en M1 et M2 apres enroulement de dautour de C.Une mesure de l’angle oriente (−→u ,−→v ) vaut n2 − n1.

Rem : Si α est une mesure de (−→u ,−→v ), α+ 2π aussi et plus generalement α+ 2kπ avec k ∈ Z :on dit que (−→u ,−→v ) a pour mesure α modulo 2π et on note : (−→u ,−→v ) = α [2π].

Def 2 : −→u et −→v sont 2 vecteurs non nuls.

Une mesure de l’angle oriente (−→u ,−→v ) est egale a une mesure de( 1

‖−→u ‖−→u , 1

‖−→v ‖−→v)

Def 3 : La mesure de (−→u ,−→v ) dans ]− π;π] est sa mesure principale.

5 Dans un carre ABCD de centre O, donner :

a) 2 mesures de (−−→AB,

−−→AD).

b) la mesure principale de (−−→OC,

−−→OB), (

−−→OC,

−→OA) et de (

−−→DA,

−−→CO).

6 Reperes : ex (46,47),48,(52),53,(56),57 p 288

7 Declic : ex 13 p 288

7.2.2 Proprietes

P1 : (−→u ,−→v ) = −(−→v ,−→u ) (2π)(−→u ,−→v ) + (−→v ,−→w ) = (−→v ,−→w ) (2π) (relation de Chasles)


P2 : −→u et −→v sont colineaires ssi (−→u ,−→v ) = 0 (2π) ou (−→u ,−→v ) = π (2π).

P3 : (−−→u ,−→v ) = (−→u ,−→v ) + π (2π) et (−−→u ,−→−v) = (−→u ,−→v ) (2π).

P4 : A,B,C 3 points non alignes. (−−→AB,

−→AC) + (

−−→BC,

−−→BA) + (

−→CA,−−→CB) = π (2π).

P5 : M,A,B trois points d’un cercle, (−→OA,−−→OB) = 2(

−−→MA,

−−→MB) (2π).

8 Reperes : ex 61,62,64,65,59 p 289

7.3 Lignes trigonometriques

(0,−→i ,−→j ) est le repere orthonorme (direct).

t ∈ R. M image de t sur C :xM = cos t et yM = sin t

x 0 π/2 π 3π/2 2π

cosx

sinx

Proprietes :

P1 : −1 ≤ cos t ≤ 1. −1 ≤ sin t ≤ 1.

P2 : cos(t+ 2kπ) = . sin(t+ 2kπ) =

P3 : cos2 t+ sin2 t = 1.

P4 : cos(−t) = . sin(−t) =

P5 : cos(t+ π) sin(t+ π)cos(π − t) sin(π − t)

P6 : cos(π

2− t)

= sin(π

2− t)

=

cos(t+

π

2

)= sin

(t+

π

2

)=

On en deduit :x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π

cosx

sinx

9 Reperes : ex 70,71,(72),73,(74),77 p 290, ex (82),83,84,(85), p 291

10 Declic : ex 39, 42, 44, 45 p 292, ex 50,51 p 294

7.4. REPERAGE POLAIRE 45

7.4 Reperage polaire

Tout point M peut etre repere par (r, θ) tel que r = 0M et θ = (ı→,−−→OM) (coordonnees polaires).

x = r cos θ. y = r sin θ. r =√x2 + y2.

Formules d’addition :

cos(a+ b) = .

cos(a− b) = .

sin(a+ b) = .

sin(a− b) = .

Formules de duplication :

cos(2a) = .

Formules de linearisation :

cos2(a) = .

sin2(a) = .

11 Reperes : ex 89,91,102, (103) p 292. ex 88,(90),(94),96, (97), 100, (101), p292

12 Declic : ex 56,57 p 295, ex 80 p 298

7.5 Resolution d’equations

Soit a ∈ R.Tracer les points M(x) et M(−x) :Proposition 1 : L’equation cosx = cos a equivaut a x = a+ 2kπ ou x = −a+ 2kπ.Tracer les points M(x) et M(π − x) :Proposition 2 : L’equation sinx = sin a equivaut a x = a+ 2kπ ou x = π − a+ 2kπ.

13 Reperes : ex 113, 114, (117), 118, (119), 120, **121 (partie 2), 122, 123, 127, 128 p 294


1 C represente la fonction f definie par f(x) =4x+ 1

x2 + 3

a) Determiner une equation de la tangente a C en A(0; f(0)).

b) C admet-elle des tangentes horizontales ? Si oui, en donner les equations.

2 C est la courbe d’equation y = −x4 + 2x2 + x.

a) Determiner la tangente T a C au point (−1; 0).

b) Montrer que T est aussi tangente a C en un autre point.


3 On pose f(x) = ax2 + bx+ c.

Determiner a, b et c pour que la courbe de f admette une tangente horizontale en −1

3, une

tangente parallele a y = 2x− 5 en 0 et pur que la courbe passe par le point (-1 ;2).


1 ex 83,84 page 291

2 Soient a et b 2 reels. Soient A et C les 2 points de C associes a a et a+ b.

On pose −→u =−→OA et −→n le vecteur tel que (0,−→u ,−→n ) soit un repere orthonorme direct.

On appelle D le point de C tel que−→0D = −→n .

a) Exprimer −→u en fonction de ı→ et →.

b) Ecrire les coordonnees de C dans (0, ı→, →). Exprimer −→v =−−→OC en fonction de ı→ et

→.

c) Exprimer −→v en fonction de −→u et −→n .

d) Exprimer −→n en fonction de ı→ et →.

e) En deduire l’expression de −→v en fonction de−→i et

−→j .

f) En deduire les formules d’addition.

3 ex 106 p 293

Chapitre 8

Probabilites

8.1 Rappels

“Lancer un de et noter le resultat obtenu” est une experience aleatoire car il y a plusieursissues possibles et le resultat n’est pas previsible.L’univers est l’ensemble des issues possibles : Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.A : “Obtenir un nombre pair” est un evenement : A = 2, 4, 6.B : “Obtenir un 2” est un evenement elementaire : B = 2.Il y a 6 evenements elementaires.Si l’on lance un de et que l’on obtient 4, on dit que A est realise et que B n’est pas realise.

La probabilite de l’evenement B est la valeur theorique que doit avoir la frequence (modelisationde l’experience) ;Propriete : la proba pi de chaque issue xi est un nombre entre 0 et 1 : 0 ≤ pi ≤ 1.L’evenement certain a pour probabilite 1. ex : “obtenir un entier inferieur a 6”L’evenement impossible Ø a pour proba 0. ex : “obtenir 7”.

Tous les evenements elementaires ont la meme probabilite : on dit que l’experience est equiprobable

ou suit une loi equirepartie : pi =1

n(n=nombre d’issues).

8.2 Loi de probabilite et variable aleatoire

activite 2 p 180

Definitions :Une variable aleatoire (v.a.) est une fonction X definie sur Ω et a valeurs dans R.ex : compter le nombre de valeurs obtenues ou decrire le gain du jeu en fonction de ce quel’on obtient (on gagne 1 euro si l’on obtient 1, 3 euros si l’on obtient 2, ...)on note x1, x2, · · · , xn les valeurs prises par X.

47

48 CHAPITRE 8. PROBABILITES

La loi de probabilite de X est la fonction qui a chaque xi associe sa probabilite notee pi =P (X = xi).L’esperance mathematique de la loi de probabilite X est :

E(X) =n∑

i=1

pixi

La variance de la loi de probabilite est :

V (X) =n∑

i=1

pi(xi − E(X))2

L’ecart-type est : σ(X) =√V (X).

1 Reperes : ex 21, (28), 36, 39, 40, 41, (35), 52, 54, 55, (58), 50, 51, 62, 64, 73 p 196

8.3 Arbre pondere

Si l’experience est constituee d’1 seul acte (lancer un de, piocher une carte), on enumere lesissues dans un ensemble.Si l’experience est constituee de 2 actes (lancer 2 des, piocher 2 jetons), on complete untableau.Si l’experience est constituee de plus de 2 actes (lancer 3 des, choisir une personne parmiplusieurs groupes, repeter une experience), on complete un arbre.

Si les branches sont affectees de probabilite, l’arbre est pondere :un arbre se construit et se lit de gauche a droite.L’origine est la racine et les traits partant de la racine sont les branches primaires et menenta des nœuds.Les branches joignant 2 nœuds sont secondaires.Le chemin allant de la racine a une feuille est un trajet.

Regles :La somme des probabilites sur des branches issues d’un meme nœud vaut 1.La probabilite d’un evenement correspondant a un trajet, est egal au produit des probabilitesinsxcrites suur chaque branche.La probabilite d’un evenement est la somme des probabilites des trajets qui y aboutissent.

2 Reperes : ex 22, 26, 42, 53, 57, 60, 66, 67, 68, 69, 71, 72 p 196

8.4. PROPRIETES DES PARAMETRES 49

8.4 Proprietes des parametres

X est un v.a. et a, b 2 reels.n∑

i=1

pi(axi + b) =n∑

i=1

(apixi + bpi) = an∑

i=1

pixi + bn∑

i=1

pi.

E(aX + b) = aE(X) + b, V (aX + b) = a2V (X) et σ(aX + b) = |a|σ(X).

3 Reperes : ex 79, (82), 84 p 206

50 CHAPITRE 8. PROBABILITES

Si l’experience est “avoir un bebe et voir si c’est un garcon ou une fille”, B= “le bebe est ungarcon” a une probabilite theorique de p(B) = 1/2.On dit qu’on vient de modeliser l’experience.En realite, un modele plus fin est : p(B) = 0, 51.Modeliser une experience aleatoire consiste a associer un univers, des evenements elementaireset definir une loi de probabilite, c’est-a-dire associer une probabilite pi a chaque issue possiblexi tels que p1 + p2 + · · · pn = 1 :

xi 1 2 3 4 5 6

pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

“Lancer deux fois une piece (avec ordre des jets)” est un modele dont la loi est equirepartie(il y a 4 issues) :

xi PP PF FP FF

pi

“Lancer deux fois une piece (sans ordre des jets)” est un modele construit a partir d’une loiequirepartie (on n’ a que 3 issues) :

xi PP PF FF

pi

Dans un sac contenant 6 boules numerotees 1,1,2,3,4,4, “piocher une boule et lire le numero” apour loi de probabilite :

xipi

Chapitre 9

Suites

9.1 Exemples

9.1.1 La suite de Fibonacci

Un couple de lapins, ne le 1er janvier, donne naissance a un autre couple de lapins chaque mois,des qu’il a atteint l’age de 2 mois ; les nouveaux couples suivent la meme loi de reproduction.

On compte le nombre de couples le 1er de chaque mois. On trouve : 1,2,2,3,5,8, ... :

51

52 CHAPITRE 9. SUITES

9.1.2 La suite ”feuille de papier”

On dechire une feuille de papier en 2, on pose les 2 morceaux l’un au dessus de l’autre et onrecommence ..

On compte le nombre de morceaux de papier...

On obtient : 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

9.1.3 La suite ”chocolat”

On separe les parts d’une tablette de chocolat en :cassant suivant les traits de separationcassant sans superposer les morceaux

On compte le nombre de morceaux (apres n cassures).

On trouve : 1,2,3,4,5, ...

9.2 Definitions

9.2.1 Suites

Une suite numerique est une liste infinie de nombres dont chaque terme est numerote.

On note un, terme de rang n, nomme ”u indice n”.

Le 1er terme up (souvent u0 ou u1) s’appelle terme initial (de rang initial).

un+1 est le terme suivant un. un et un+1 sont 2 termes consecutifs.

(up, up+1, up+2, · · ·) est la suite de terme general un, notee u ou (un) ou (un)n≥p.

u est une fonction de N dans R, u : N −→ Rn 7−→ un

La suite est representee par un nuage de points de coordonnees (n, un).

9.2.2 Suites definies par une formule explicite

Definition : son terme s’exprime en fonction de son indice. (f , definie sur [p; +∞[, tq pour n ≥ p,un = f(n)).

ex 1 : suite ”feuille de papier” : un = 2n.

ex 2 : suite ”chocolat” : un = n.

ex 3 : un = n2.

ex 4 : un =10

n2 + 1.

9.3. SUITES ARITHMETIQUES 53

9.2.3 Suites definies par une relation de recurrence

Son terme s’exprime en fonction du (ou des) precedent : u0 = a et un+1 = f(un) (relation derecurrence).

ex 1 : suite de Fibonacci

ex 2 : u0 = 1 et un+1 = 2un − 3.

ex 3 : u0 = 1 et un+1 = 2/un.

1 feuille d’exercices.

2 Declic : ex 4, 5, 10, 9, 7, (6), (8) p 158. ex 13, 16 p 159. ex 21, (22,23,24) p 160, ex 33 p162, ex 36, 37, 38 p 162

3 Reperes : ex 35 p 123. ex 28, 31 p 122.

9.2.4 Representation

***module*** La representation utilise la droite y = x.

ex : u0 = −1 et un+1 =√

2 + un. u0 = 0 et un+1 =1

un + 1. un+1 = un

2 avec u0 = 0, 9 puis

u0 = 1, 1.

4 Declic : ex 28,29 p 161, ex 30 p 161, ex 41 p 163

5 Reperes : ex 37,38,39 p 123

Proprietes : 2 suites sont egales si elles ont le meme terme initial et la meme relation de recurrence

9.3 Suites arithmetiques

Une suite est arithmetique si, pour passer d’un terme au suivant, on ajoute 1 constante r (appeleeraison).

pour tout n, un+1 = un + r

ex : suite ”chocolat”, suite des impairs

terme general : un = u0 + nr ,un = u1 + (n− 1)r, u− n = up + (n− p)r.

7 Declic : ex 4, (5) p 182, ex 8, (9),(10),(11), ex 14, 15, 16, 18, 20 p 183, ex 24 (DM).

8 Reperes : ex 46, 48, (53), 52, (54*), 55, 57* p 124.


9.4 Suites geometriques

Une suite est geometrique si, pour passer d’un terme au suivant, on multiplie par une constanteq : pour tout n, un+1 = un × q .

ex : suite ”feuille de papier”

terme general : un = u0 × qn ,un = u1 × qn−1, ...

9 Declic : ex 28, (29,30,31) p 185. ex 33, (34,35), 36, 37, 38 p 186, ex 46, 48, 50 p 188.

10 Reperes : ex 65, 66, 68, 75, 76, 80, 81*, 82 p 126. ex 83,85,86(excel) p 128.

9.5 Sens de variation

9.5.1 Definitions

Une suite u est :croissante si a partir du rang p, un ≤ un+1.decroissante si a partir du rang p, un ≥ un+1.constante ou stationnaire si a partir du rang p, un = un+1.

19 Declic : ex 45, 46, 47, 48 p 163, ex 44, 45 p 187.

20 Reperes :

9.5.2 Suites arithmetiques

Si r > 0, r < 0, r = 0 alors la suite est respectivement strictement croissante, strictementdecroissante et constante

9.5.3 Suites geometriques

Si q > 1, 0 < q < 1, q < 0 alors la suite (qn) est respectivement strictement croissante, strictementdecroissante et pas monotone.

21 Declic : ex 41, 42 p 186

22 Reperes :

9.5.4 Suites recurrentes

23 Declic : ex 50, 51, 52 p 164

24 Reperes

9.6. CALCULS DE SOMMES 55

9.6 Calculs de sommes

9.6.1 Termes consecutifs d’une suite arithmetique

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

ex : somme des 20 premiers termes de un = 2 + 3n.

25 Declic : ex 57,58, 59 p 189

26 Reperes :

9.6.2 Termes consecutifs d’une suite geometrique

q 6= 1, 1 + q + q2 + q3 + · · ·+ qn =1− qn+1

1− q

ex : somme des 10 premiers termes de un = 3n.

27 Declic : ex 60,61, 62 p 189

28 Reperes :


9.7 Flocon de von Koch

On part d’un triangle equilateral de cote 1 et on modifie recursivement chaque cote de la faconsuivante :

on divise chaque cote en 3 parties egales.on construit, a l’exterieur du precedent, un triangle equilateral de base le segment medianon supprime le segment de droite qui etait la base du triangle de l’etape precedente.

On reitere le procede indefiniment. La figure resultante est auto-similaire.

On note :Ln la longueur du cote du polygone a l’etape n.Nn le nombre de cotes du polygone a l’etape n.Pn le perimetre du polygone a l’etape n.Tn la somme des aires des triangles ajoutes a l’etape n.An l’ aire du polygone a l’etape n.

a) Montrer que L et N sont deux suites geometriques. Preciser leurs premiers termes et leursraisons.

b) Montrer que Pn = 3(4

3

)net calculer sa limite.

c) Exprimer Tn en fonction de Ln et de Nn−1 pour n ≥ 1.

d) En deduire que T est une suite geometrique. Preciser son premier terme T1 et sa raison.

e) Montrer que An =

√3

4+

3√

3

20

(1−

(4

9

)n)et calculer sa limite.

Chapitre 10

Produit scalaire

On se place dans un repere orthonorme.

10.1 Rappel

Si −→u =

(xy

)alors : ‖−→u ‖=

√x2 + y2.

Un vecteur est dit unitaire si sa norme vaut 1.

Propriete : si k ∈ R, ‖k−→u ‖= |k| ‖−→u ‖.

10.2 Definition

Pour −→u et −→v deux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de −→u par −→v le nombre −→u .−→v .

−→u .−→v =

‖−→u ‖‖−→v ‖ cos(−→u ,−→v ) si −→u 6= −→0 et −→v 6= −→00 si l’un des 2 vecteurs est nul

−→u .−→u est appele le carre scalaire de −→u et −→u 2 =‖−→u ‖2

57

58 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE

Exemples : Calculer−−→AB.−→AC :

10.3 Proprietes

−→u .−→v = −→v .−→u .−→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w et −→u .(k−→v ) = k−→u .−→v .

2 vecteurs sont orthogonaux si et ssi le produit scalaire est nul.

10.4 Autres expressions du produit scalaire

10.4.1 Projection orthogonale

A,B,C 3 points distincts. H le projete orthogonal de C sur (AB).−−→AB.−→AC =

−−→AB.−−→AH.

dem :−−→AB.−→AC =

−−→AB.−−→AH +

−−→AB.−−→HC.

10.5. APPLICATIONS EN GEOMETRIE ANALYTIQUE 59

10.4.2 Base orthonormee

Si −→u =

(xy

)et −→v =

(x′

y′

)alors : −→u .−→v = xx′ + yy′

dem : −→u = xı→+ y→ et −→v = x′ı→+ y′→ ...

10.4.3 Avec les normes

−→u .−→v =1

2

(‖−→u +−→v ‖2 − ‖u‖2 − ‖v‖2).

dem : (−→u +−→v )2 =

1 Reperes (2011) : ex 48, 60, 61, 62, 59, 52, 53 p373

2 Declic (2007) : ex 6, 16, 21, 11, 15 p 316, 61 p 322, (62), 30, 31 p 318, 63 p 322, ex 24,25,26p 318, ex 59 p 322

10.5 Applications en geometrie analytique

10.5.1 Coordonnees d’un vecteur

−→u = (−→u .ı→)ı→+ (−→u .→)→.

10.5.2 Equation d’un cercle

de centre A et de rayon R

M ∈ C ⇐⇒ OM = R⇐⇒ OM2 = R2 =

ex : A(−1; 2) et R = 2

de diametre [AB]

M est sur le cercle ssi−−→MA.

−−→MB = 0.

ex : A(−2; 1) et B(3; 1).


10.5.3 Equation de droites

−→n est un vecteur normal a D si −→n est non nul et de direction perpendiculaire a D.

M est sur la droite si−−→AM et −→n sont orthogonaux : a(x− x0) + b(y − y0) = 0.

Theoreme : la droite a pour vecteur normal n(a, b) ssi son eq est ax+ by + c = 0

3 Reperes : ex 108, 109,100,103,104,98,102,105/(106),107,(110),(111),112 p379

4 Declic (2007) : ex 39,41 p 320, 42, 44, 37, 48, 85, 86.

10.6 Applications en geometrie

10.6.1 Angle droit

−→u⊥−→v ⇐⇒ −→u .−→v = 0.

10.6.2 Calcul d’angles

−→u .−→v =‖−→u ‖‖−→v ‖ cos(−→u ,−→v ).

5 Reperes : page 377 ex 124, (86, 88, 90).

10.6.3 Longueur de mediane

I milieu de [AB] dans le triangle ABC :

∀M , MA2 +MB2 = 2MI2 +AB2

2, MA2 −MB2 = 2

−−→IM.−−→AB,

−−→MA.

−−→MB = MI2 − AB2

4.

6 Reperes : page 382 ex 127.

10.6.4 Dans le triangle

Formules d’Al-Kashi, Pythagore

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = a2 + c2 − 2ac cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

dem : BC2 = (−−→BA+

−→AC)2 =.

7 Reperes : page 382 ex (128),129,(130),131,(132)

10.7. TRIGONOMETRIE 61

Aire d’un triangle

A =bc sin A

2=ac sin B

2=ab sin C

2

8 Reperes : page 382 ex 139,(140),141,(143)

Sinus (non fait)

a

sin A=

b

sin B=

c

sin C

9 Reperes : page 382 ex (133),134,(135),(136).

10.7 Trigonometrie

Formule d’addition : cos(a− b) = ...

(ı→,−→u ) = b ; (ı→,−→v = a. On calcule : −→u .−→v avec le cos et les coordonnees

10.8 Exercices en plus

10 ex 113,(114),118,119, 91,92,94,142 p 381


10.9 Derniere formule !

1

2

(‖−→u +−→v ‖2 − ‖−→u ‖2 − ‖−→v ‖2

)= −→u .−→v .

(u+ v).(u+ v)− u.u− v.v = ..

1 ex 23 p 318

1) En projetant M sur (EF ),−−→EF.−−→EM = EF × EF = 4a2.

En projetant K sur (EH),−−→EH.−−→EK = EH × EH = a2.

2)a)

En projetant K sur (EM),−−→EK.−−→EM = EL× EM .

−−→EK.−−→EM = EK × EM × cos(−−→EK.−−→EM).−−→

EK.−−→EM= (

−−→EH +

−−→HK).(

−−→EF +

−−→FM)

=−−→EH.−−→EF +

−−→EH.−−→FM +

−−→HK.

−−→EF +

−−→HK.

−−→FM

= 0 + a.a

2+

2

3a.2a+ 0 =

3a28a2

6=

11a2

6

Comme EM2 = 4a2 +a2

4=

17a2

4, on en deduit que EL × EM =

11a2

6d’ou

EL =11

3√

17a.

2)b) Comme EK2 = a2 +4a2

9=

13a2

9, cos(

−−→EK.−−→EM) =

11√221

.

2 ex 56 p 322

−→AJ.−−→BC =

1

2

−→AI.−−→BC =

1

2(−−→AB +

−→BI).−−→BC

=1

2

−−→AB.−−→BC +

1

2

−→BI.−−→BC

=1

2× 1

2

(‖−−→AB +

−−→BC ‖2 − ‖−−→AB ‖2 − ‖−−→BC ‖2

)+

1

2

(1

3

−−→BC

).−−→BC

=1

4

(‖−→AC ‖2 −25− 36

)+

1

6BC2 =

1

4

(49− 25− 36

)+ 6 = −3 + 6 = 3.

3 *****DM pour le 14 mai : 49 p 321 et 57 p 322 ********

4 module 13 mai : ex 49,50 p 321 (distance a une droite)

10.10. EXERCICES D’ENTRAINEMENT 63

10.10 Exercices d’entraınement

1 ABC est un triangle isocele en A tel que AB = 3 cm et BC = 4 cm.

a) Calculer−−→BA.−−→BC.

b) Calculer−→AC.−−→CB.

c) On appelle H le projete orthogonal de C sur (AB).

Calculer la longueur BH.

2 ABC est un triangle equilateral inscrit dans un cercle de rayon 3 et de centre O.

a) Calculer−−→OB.−−→OC.

b) Calculer−→AO.−−→BC.

c) Calculer−−→OB.−→AO.

3 ABCD est un carre de cote 1 et AEB est un triangle equilateral de cote 1 :

a) Calculer−−→BC.−−→BE et en deduire

−−→DA.−−→BE.

b) Calculer−→EA.−−→EB.

c) (i) Montrer que BCG est un triangle equilateral.

(ii) En deduire−−→BC.−−→BG et

−−→DA.−−→EF .

d) Calculer−→AE.−−→EF .

e) Calculer−−→DE.−−→BF .

f) En deduire que les points D,E et G sont alignes.

4 ABCD est un rectangle tel que AD = 3 cm et AB = 5 cm. H et K sont les projetesorthogonaux respectifs de B et D sur (AC).

a) Calculer−→AC.−−→DB.

b) En deduire la longueur HK.

Chapitre 11

Binomiale-Echantillonnage

11.1 Independance

Definition : Deux experiences aleatoires sont independantes lorsque les resultats de l’une n’in-fluencent pas les probabilites des resultats de l’autre.

Propriete : P (A ∩B) = P (A)× P (B).

Rem : La repetition d’une experience dans les memes conditions initiales sont des experiencesindependantes.

1 Reperes 2011 : 27,28,30,31 p 243

11.2 Schema de Bernouilli

Definition : Une epreuve de Bernouilli est une exprience aleatoire a 2 issues possible : echec ousucces.

p, la proba du succes, est le parametre de l’epreuve.

Rem : q =

Definition 2 : n ∈ N∗. Un schema de Bernouilli est une experience consistant a repeter n foisune epreuve de Bernouilli.

n et p sont les 2 parametres de l’epreuve.

Le schema se represente par un arbre a 2n branches.

11.3 Coefficients binomiaux

ex : n = 3. X = nombre de succes. p(X = 3) = 1/8, p(X = 0) =...

65

66 CHAPITRE 11. BINOMIALE-ECHANTILLONNAGE

Definition 3 : Dans un schema de Bernouilli de parametres n et p, le nomre de chemins conduisanta k succes (0 ≤ k ≤ n), s’appelle coefficient binomial ou combinaison de k parmi n.

Il se note

(np

)et se lit ”k parmi n”

Proprietes :

(n0

)= 1,

(nn

)= 1,

(n1

)= n,

(n

n− k

)=

(nk

)(n− k succes=k echecs)

Theoreme :

(nk

)+

(n

k + 1

)=

(n+ 1k + 1

).

dem : La n+ 1e epreuve est un succes ou un echec

Ce theoreme permet de construire le triangle de Pascal :

n/k 0 1 2

12

11.4 Loi binomiale

X le nombre de succes dans un schema de Bernouilli de parametre n et p.

La loi binomiale de parametres n et p est la loi de probabilite de la v.a. X, notee B(n, p).

Propriete :

P (X = k) =

(nk

)pkqn−k

E(X) = np et V (X) = npq.

1 ex 46,48 p 246

11.5. ECHANTILLONNAGE 67

11.5 Echantillonnage

11.5.1 Echantillon

Definition : Un echantillon de taille n : on preleve au hasard et successivement avec remise nelements d’une population.

ex :lancer plusieurs fois 1 piece (et l’on obtient pile ou face),lancer plusieurs fois 1 de (et l’on obtient 6 ou pas),piocher plusieurs boules (et l’on obtient 1 rouge ou pas).

Si l’effectif total est grand, on considere que l’echantillon est constitue avec remise : ex :pieces avec ou sans defaut dans 1 production (on ne remet pas la mauvaise piece ! !)sondage (on n’interroge pas 2 fois la meme personne !)

11.5.2 Intervalle de fluctuation

Definition : L’echantillonnage consiste a donner les caracteristiques d’un echantillon a partir decelles connues de la population.

Propriete : Un caractere a une proportion p dans une population. Dans un echantillon de taillen, l’effectif des elements qui presentent ce caractere est une v.a. qui suit la loi binomiale deparametres n et p.

Definition : L’intervalle de fluctuation de la frequence observee au seuil de 95% ou au seuil 0,95est [a/n; b/n] ou a est le plus petit entier tq P (X ≤ a) > 0, 025 et P (X ≤ b) > 0, 975.

Il y a 95% de chance que la frequence d’un echantillon de taille n soit dans l’intervalle defluctuation au seuil 0,95

L’intervalle de fluctuation de l’effectif au seuil 0,95 est [a; b].

Exemple 1 : B(10; 0, 3) : [0/10; 6/10] et [−0, 016; 0, 616].

Exemple 2 : B(30; 0, 3) : [3/30; 12/30] = [0, 1; 0, 4] et [0, 12; 0, 48].

Exemple 3 : B(100; 0, 3) : [a/100; b/100] et [0, 2; 0, 4].

Propriete : pour un echantillon de grande taille (n ≥ 30) ayant une proportion p entre 0,2 et

0,8,[p− 1√

n; p+

1√n

]est une bonne approximation de l’intervalle de fluctutation au seuil 0,95

de la frequence.

1 ex 96 p 254

2 ex 97 p 254


11.6 Estimation

L’estimation consiste a induire les caracteristiques de la population a partir de celles d’unechantillon.

On cherche a accepter ou rejeter l’hypothese :”il y a une proportion p de pieces defectueuses dans la production”.”un de est equilibre”.”un candidat a une proportion de voix”.

3

11.6. ESTIMATION 69

Algorihmique

Entree/sortie

Un algorithme est construit en 3 phases :phase d’initialisation (declaration, initialisation des variables)phase de traitement (instructions, affectation, formules de calcul)phase de sortie (affichage de la reponse)

1 Calculer le perimetre d’un cercle, l’aire d’un disque.

2 Que fait l’algo :entrer a et bmettre a+b dans amettre a-b dans bmettre a-b dans aafficher a et b

3 100,87,13,74,61,13,48,35,..

a) Trouver le procede de calcul.

b) Ecrire l’algorithme correspondant.

4 Que fait l’algo :entrer a et bc=0mettre a dans cmettre b dans amettre c dans bafficher a et b

Test conditionnel

1 Demander un nombre.

Si le nombre est positif, afficher ”positif”

Sinon afficher ”negatif”

2 Tester si un nombre est divisible par 2

3 afficher N

Si N < 50 alors IS(N) sinon ”on a gagne”

4 entrer N

Si N < 10 alors N × 5 sinon N × 5− 10


11.7 Boucle For

repete un certain nombre de fois un enchaınement d’etapes

Pour ”variable” allant de ”debut” a ”fin” avec un pas de ”pas”

faire ”instructions”

fin

1 afficher les entiers de 1 a 10

2 afficher la somme des entiers pairs de 0 a 20

0 −→ SFor(I, 0, 20, 2)S + I −→ SENDDISP S

3 afficher la somme des entiers au carre de 1 a 13.

4 Calculer les coordonnees des sommets d’un pentagone regulier de centre O.

A(1; 0), B a pour coord (cos 72; sin 72), ... :

For(n, 0, 4)cos(72n) −→ Xsin(72n) −→ YDISPXDISPYPAUSEFIN

5 Tracer les sommets du pentagone.

pt-on(X,Y) dans le menu dessin pour tracer un point

Z orthonorme dans Zomm pour avoir un repere norme

EffDessin pour redemarrer avec un ecran vide

6 Tracer le pentagone.

Line(X1,Y1,X2,Y2) pour relier le point 1 au point 2

EffDessin0 −→ X0 −→ YFor(I, 0, 5)X −→ AY −→ Bcos(72I) −→ Xsin(72I) −→ YDISPXDispYPausePt− on(X,Y )Ligne(A,B,X, Y )pauseend

11.7. BOUCLE FOR 71

7 Tracer un polygone a n cote ou n est le nombre de cotes.

1eS : Polyn^omes du second degr e - Valérie...

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