Libro de Metodos Numericos New

UNMSM METODOS NUMERICOS I - II

MÉTODOS NUMÉRICOS

I N D I C E

INDICE………………………………………………………………………………..…2

INTRODUCCIÓN…………………………………………..……………………...…... 4

ERROR ABSOLUTO…………………………………………..………..………………5

TEOREMA DE BOLZANO……………………...…………………….……….….……6

MÉTODO DE BISECCIÓN………………………………………………………….….7

MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN……………….10

MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVA…..12

MÉTODO DE LA SECANTE…………………………………………………………...15

MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON…………………………………..….…………17

MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON EN DOS VARIABLES…………………..…..24

INTERPOLACIÓN………………………………………………………………..…….27

INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO………………..…….28

INTERPOLACIÓN DE NEWTON REGRESIVO (NR)…………………………..……31

INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL……………………………………….……32

INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES…….….…35

INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE………………….………38

PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………….……..42

METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES……..…….48

Método Crout-Doolitle…………………………………………………………………..50

Método de Cholesquy……………………………………………..…………………….52

Método Tridiagonal para sistemas de ecuaciones lineales………………………………59

Método Pentadiagonal para sistemas de ecuaciones lineales…………………..………..65

NORMA DE UNA MATRIZ………………………………………………………......73

SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………...75

Método de Jacobi……………………………………………………………………….75

Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz2

Pág.

MÉTODOS NUMÉRICOS

Método de Gauss- Seidel……………………………………………………………….85

DIFERENCIA NUMERICA…………………………………………………………..99

INTEGRACIÓN NUMERICA…………………………………………….………….105

EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R)……………………………………..113

INTEGRACION DE ROMBERG…………………………………………………….123

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE E. D.O. CON VALOR INICIAL…………………….130

Método de Euler……………………………………………………………………….130

Método de Taylor de orden K…………………………………………………………133

Predictor – corrector…………………………………………………………………...138

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR………………………140

CONCLUSIONES……………………………………………………..……………...143


MÉTODOS NUMÉRICOS

INTRODUCCIÓN

En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.

Para una mejor organización y búsqueda rápida de cada tema se ha implementados con un índice al principio del trabajo para su fácil ubicación de los temas ya que el texto completo se encuentra enumerada de principio a fin, además en el final se ha considerado incluir problemas resueltos de los diferentes temas estudiados.

Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación (personales) de los métodos directos (que son más difíciles de programar). El lenguaje de programación idóneo para tal fin será MATLAB 6.0

Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua superación en los próximos trabajos que se han de mostrar.


MÉTODOS NUMÉRICOS

ERROR ABSOLUTO

Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS:Se define por la siguiente relación:ε a=0.5×10m−n+1; Donde:m = es la descomposición polinómica.n = numero de cifras significativas exactas.DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS:Se define por la siguiente relación:ε a=0.5×10−t; Donde:t=numero de cifras decimales exactas.Ahora sea:P = ln(5)Entonces:P= ln(5) = 1.609437912

Y sea sus siguientes aproximaciones:

P1 = 1.60123456P2 = 1.609413131P3 = 1.6094372

Donde: m = 0

Ahora hallamos sus Ea de cada uno.

Ea1 = | p – p₁ | = 0.008203 = 0.008 = 0.8x10¯³ = 0.001 = 0.1x10¯² Ea₂ = |p - p₁ | = 0.000025 = 0.00003 = 0.3x10¯⁴Ea₃ = |p - p₃ | = 0.0000012 = 0.00001 = 0.1x10¯⁵

Ahora hallaremos el número de cifras significativas exactas:Para p₁: 0.1x10¯²≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -2 = -n+1 n = 3 ---> p₁ tiene 3 cifras significativas exactas.


MÉTODOS NUMÉRICOS

Para p₂: 0.3x10¯⁴ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -4 = -n+1 n = 5 ---> p₂ tiene 5 cifras significativas exactas.

Para p₃: 0.1x10¯⁵ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -5 = -n+1 n = 6 ---> p₃ tiene 6 cifras significativas exactas.

Ahora hallaremos el número de cifras decimales exactos:Para p₁: 0.1x10¯²≤ 0.5x10¯™ K = 2 Entonces p₁ tiene 2 cifras decimales exactas.

Para p₂: 0.3x10¯⁴ ≤ 0.5x10¯™ K = 4 Entonces p₂ tiene 4 cifras decimales exactas.

Para p₃: 0.1x10¯⁵ ≤ 0.5x10¯™ K = 5 Entonces p₃ tiene 5 cifras decimales exactas.

TEOREMA DE BOLZANO (T.B.)

Sea la ecuación no lineal f(x) =0;Donde f(x) es función no trascendente (trigonométrica, exponencial, logarítmica o polinomial), x∈[a ,b ]Si f (a ) f (b )<0 , entonces existe la raiz o solucion x¿∈<a ,b>¿ . f (x¿)≡0

Aplicación del Teorema de Bolzano:Sea f(x) = 4cosx - 1

Como f (1 ) f (2 )<0→ existe X* que pertenece a [1,2]


x f(x)

0 3

1 1.1612

2 -2.664

MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO DE BISECCIÓN

Dado la ecuación no lineal f(x) = 0 /. Existe la raíz X* ∈ [a, b] por T.B.El método de bisección consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo [a i , bi] −→ X*.

Algoritmo de bisección:P-1.- Dado la ecuación f(x) = 0 /. Existe la raíz X* ∈ [a, b] por T.B.P-2.- Generar la sucesión {xi} x* mediante la siguiente relación

Xi=ai+b i

2 ; i = 0, 1, 2,3…….

P-3. – Hallar

¿0−→ai+1=X i ,b i+1=b i

F (ai) F ( xi )=¿ 0−→ai+1=ai , bi+1=X i

¿0−→X i=X∗¿

P-4. - Dejar de iterarse ε=0.5×10m−n+1

Parar si |X i−X i−1|≤Eε=0.5×10−t

Caso contrario ir al paso numero 2.

Ejemplo 01.

F ( x )=x3−2 x+1 / X* [-2;-1]

Obtener una solución con 2 cifras exactas(n).

Se deja de iterar si |x i−x i−1|≤0.5∗10m−n−1

i=0; [a0 , b0 ]=[−2,1]

x0=¿-1.5

f (−2 ) f (−1.5 )<0→a1=−2b1=−1.5

i=1; [a1 , b1 ]=[−2 ,−1.5]

x1=−1.75


MÉTODOS NUMÉRICOS

f (−2 ) f (−1.5 )>0a2=−1.75b2=1.5

i=2; [a2 , b2 ]=[−1.75 ,−1.5]

x2=−1.625

f (−1.75 ) f (−1.625 )>0→a3=−1.625b3=−1.5

i=3; [a3 , b3 ]=[−1.625 ,−1.5 ]

x3=−1.5625

|x3−x2|=0.0625=0.06=0.6 x 10−1=0.1 x100≤0.5∗10−1 Por lo tanto se sigue iterando

f (−1.625 ) f (−1.5625 )<0→a4=−1.625b4=−1.5625

i=4; [a4 , b4 ]=[−1.625 ,−1.5625 ]

x4=−1.59375

|x4−x3|=0.03125=0.03=0.3∗10−1≤0.5 x10−1

→ Verdadero por lo tanto se termina las iteraciones

x4=X¿

X* = -0.03125


MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN

Es un método similar al método de bisección en la que en vez de hallar el promedio simple de dos intervalos [ai , bi] -->X*. El método de R.F. determina el promedio ponderado de

los intervalos [ai , bi ]-->X*.

Algoritmo del método de R.F.

Paso 1: Dada la ecuación f ( x )=0

Paso 2: Generar la sucesión: {xn} x* mediante la relación:

Xi=F (bi )ai−F (ai )bi

f (bi )−f (ai)

Paso 3: Hallar

¿0−→ai+1=X i ,b i+1=b i

F (ai) F ( xi )=¿ 0−→ai+1=ai , bi+1=X i

¿0−→X i=X∗¿

Paso 4: Parar si |X i−X i−1|≤E

Ejercicio 1:

F ( x )=x2 ex−1

a) Por Teorema de Bisección determinar donde existe la raíz

f (0 ) . f (1 )<0→x∈[0 ;1]


x f(x)

-1 -

0 -

1 +

2 +

MÉTODOS NUMÉRICOS

b) Por bisección obtener una solución con 1 cifra significativa exacta

Se deja de iterar si |x i−x i−1|≤0.5∗10m−n−1

i=0; [a0;b0 ]=[0 ;1]

x0=¿0.5

f (0 ) f (0.5 )>0→a1=0.5b1=1

i=1; [a1;b1 ]=[0.5 ;1]

x1=0.75

f (0.5 ) f (0.75 )<0a2=0.5b2=0.75

i=2; [a2;b2 ]=[0.5 ;0.75]

x2=0.625

f (0.5 ) f (0.625 )>0→a3=0.625b3=0.75

i=3[a3;b3 ]=[0.625 ;0.75]

x3=0.6875

f (0.625 ) f (0.6875 )>0→a4=0.6875b4=0.75

i=4; [a4 ;b4 ]=[0.6875 ;0.75]

x4=0.71875

|x4−x3|=0.71875−0.6875=0.03125=0.3∗10−1≤0.5 x10−1

→ verdadero por lo tanto termina las iteraciones

x4=X¿

X* = 0.71875


MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONESSUCESIVAS

Algoritmo:

Paso 1: Dado la ecuación f ( x )=0 / exista la raíz X* ∈ [a,b] por el T.B.

De f ( x )=0 despejar x de diferentes formas y obtener una ecuación de la siguiente forma:

x = g (x)……….. (2)

Donde g(x) es llamado función de iteración.

Si x = x* es raíz o solución de (2) también lo será de f ( x )=0, X* que satisface (2) es llamado punto fijo.

Paso 2: Generar la sucesión:

{xn} x*

Mediante la siguiente relación:

Xn+1 = g (Xn) ; Donde n= 0,1,2,3,…

Tomando como valor X 0 arbitrario / X 0∈ [a,b]Paso 3: Dejar de iterar si:

|Xn−X n−1|≤ E

Caso contrario ir al paso 2.Condición de convergencia:Existe {xn} x* Si se cumple lo siguiente:

a) g (x) ∈ [a,b]b) ∃ g´(x) tal que | g´(x)| ≤ L < 1; ∀ x <a,b>L es llamado constante de LipschitzL = Max{| g´ (a) |, | g´ (b) |}


MÉTODOS NUMÉRICOS

Donde también consideramos obvio f ( x ) es continua y diferenciable en [a,b].L ∈ [a,b]Ejemplos:

f ( x )=x e− x−1=0a) Por TB encontrar el intervalo donde existe la raíz X*

f (0 ) f (1 )<0→∃ X¿∈[0 ;1]

b) Por punto fijo verificar su convergencia

De x e−x−1→e−x=g1 ( x ) →x=ln (1 /x )=g2 ( x )

Análisis para e− x=g1 ( x )¿Si g1 ( x ) cumple la 1ra condición? Si g1 ( x )∈ [0 ;1 ]=I g1 ( x )=1∈ I

g1 ( x )=0.36∈ I∴Cumple g1 ( x )1ra condición

¿Si g1 ( x )cumple con la 2da condición? Si |g' (x )|≤ L<1 ,∀ x∈<0;1>¿

g1 ( x )=ex→g1 ' ( x )=−e

−x

|g'1(0.1)|=0.9|g'1(0.9)|=0.4L=max {|g' (0,1)|;|g' (0.9)|} = max |g' (0,9)|;|g' (0.4 )|L = 0.9 < 1

Como g1(x) cumple ambas condiciones →∃ {xn }→X¿

Se evalúa en punto fijo

c) Por punto fijo obtener una solución con 1 decimal inexacto, entonces se deja de iterar si: |xn−xn−1|≤0.5x 10−1≤0.5x 10−1

Como g1 ( x )=ex, cumplió con las condiciones de convergencia, entonces su relación de

recurrencia:xn+1=e−xn , n∈0 ,1,2

Como X ¿∈ [0 ;1 ]→sea X0 = 0.5 (Punto arbitrario entre [0; 1])

n = 0; Punto inicial y de xn+1=e−xn


x f(x)

-1 -

0 -

1 +

MÉTODOS NUMÉRICOS

x0=e− xn=e−0.5=0.6065306597

n = 1; 1ra Iteración x2=e

− x1=e−0.6065306597=0.5452392119

n = 2; 2da Iteración x3=e

− x2=e−0.5452392119=0,5797030949

n =3; 3ra Iteraciónx4=e

−x3=e−0,5797030949=0,5600646279

|x4−x3|=0.0196603=0.02=0.2x10−1→0.2 x10−1≤0.5 x10−1

x4 es la X* con una cifra decimal exacta.


MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO DE LA SECANTE

Algoritmo:

Paso 1: Dado la ecuación f ( x ) =0. / ∃ x* ∈ [a,b].Paso 2:Generar la {xi} x* Mediante:

x i = f (x i−1 )(x i−2)− f (x i−2 ) (xi−1)

f (x i−1 )− f (x i−2 ) ; Donde i =2, 3,4,…

Paso 3: Dejar de iterar si:|X i−X i−1|≤E

Caso contrario ir al paso 2.

Ejemplos:

Sea: f ( x )=x2 ex−1 Obtener una solución con una cifra significativa.

f (0 ) f (1 )<0→∃ X¿∈[0,1]

i = 2x i−2=x0

→ [ x0 , x1 ]=[0 ;1]x i−2=x0

2da Iteración


x f(x)

-1 -

0 -

1 +

2 +

MÉTODOS NUMÉRICOS

x2=f (x0 ) (x1)−f (x1 ) x0

f (x0 )−f (x1)

x2=f (0 ) (1 )−f (1 )(0)

f (0 )−f (1)=0,36788

i =3; 3ra Iteración

x3=f (x1 ) (x2 )−f (x2 ) x1

f (x1 )−f (x2)=f (1 ) (0,36788 )− f (0,36788 )(1)

f (1 )− f (0,36788)=0,5694566

i =4; 4ta Iteración

x4=f ( x2 ) (x3 )−f (x3 )x2

f (x2)−f (x3)

x4=f (0,36788 ) (0,5694566 )−f (0,5694566 )(0,36788)

f (0,36788 )−f (0,5694566)=0,79736


x5=f (x3 ) (x4 )−f (x4 ) x3

f (x3 )−f ( x4)

x5=f (0,5694566 ) (0,79736 )−f (0,79736 )(0,5694566)

f (0,5694566 )−f (0,79736)=0,68554


x6=f (x4 ) (x5 )−f (x5 ) x4

f ( x4 )− f (x5)

x6=f (0,79736 ) (0,68554 )−f (0,68554 )(0,79736)

f (0,79736 )−f (0,68554)=0.701244

|x6−x5|=0.015704≈0.02≈0.2x 10−1


MÉTODOS NUMÉRICOS

Se deja de Iterar si:

|X i−X i−1|≤E=0.5 x 10m−n−1≤0.5 x10−1

∴ X6=X ¿ , con 1 cifra significativa exacta.

MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON

El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial muy cercana a la raíz.

Se requiere que f(x) sea doblemente continua y diferenciable en [a,b].

Algoritmo:

Paso 1: Dado la ecuación f(x) = 0 / Existe la raíz X* ∈ [a,b] por T.B.Paso 2:Generar la sucesión {xn} x* mediante la siguiente relación de recurrencia.

X n+1 =X n- f (X n )f ´ (X n)

; n=0,1,2,…

Paso 3: Dejar de iterar si:

|Xn−X n−1|≤ E

Caso contrario ir al paso 2.

Convergencia de N-R.

Existe {xn} x*

Si: | f ( x ) . f ´ ´ (x)( f ´ ( x )) ² | < 1

Ejemplo:

Sea: f ( x )=x5−4 x3+x2−1


MÉTODOS NUMÉRICOS

a) Por TB encontrar el intervalo donde ∃ X¿

f (−1 ) f (0 )<0→∃ X1¿∈[−1 ;0]

f (1 ) f (2 )<0→∃ X2¿∈[1;2]

b) Sea X2¿∈[1 ;2]

Por Newton Raphson verificar su convegencia

¿Qué valor de X0 se debe de tomar? / f (x0) f ( {x} rsub {0} )>*

Si X0 = 1, entonces f(1) . f'’(1)

f ( x )=x5−4 x3+x2−1

f ' ( x )=5x4−12x2+2 x

f left (x right ) = {20x} ^ {3} -24x-

Si x0 = 1, f (1) f (1)>0→ {x} rsub {0} =1es valida

Si x0 = 2, f (2) f (2)>0→ {x} rsub {0} = es valida

Para x0 = 1 ¿

c) Por Newton Raphson ¿Cuántas cifras significativas exactas tiene la solución en la 2da Iteración?

i = 0; xn+1=xn−f (xn)f ' (xn)

→xn+1=xn−xn

5−4 xn3+xn

2−1

5 xn4−12 xn

2+2 xn

x1=x0−x0

5−4 x03+x0

2−1

5x04−12 x0

2+2 x0

=0.4

i = 1; 1ra Iteración Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

17

x f(x)

-2 +

-1 +

0 -

1 -

2 +

MÉTODOS NUMÉRICOS

x2=x1−x1

5−4 x13+x1

2−1

5x14−12x1

2+2x1

=−0.6945

i = 2; 2da Iteración

x3=x2−x2

5−4 x23+x2

2−1

5x24−12x2

2+2x2

=−0.584643

METODO DE PUNTO FIJO O METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN

DOS VARIABLES

Dado el Sistema:

F(x, y) = 0…… (1)

G(x, y) = 0…… (2)

De (1) y (2), despejamos de alguna forma xe y para obtener un sistema de la siguiente forma:

x = f(x, y) = f…… (3)

y = g(x, y) = g…… (4)

La solución de (3) es solución de (1).La solución de (4) es solución de (2).

* Algoritmo del Punto Fijo:1º Paso:

Dado el sistema: F(x, y) = 0G(x, y) = 0

Despejar x ^ y, y obtener el siguiente sistema.x = f(x, y) = fy = g(x, y) = g


MÉTODOS NUMÉRICOS

2º Paso:Generar la sucesión:

{Xn} xk

^{yn} Yk

Mediante la siguiente relación de recurrencia:

n = 0, 1, 2,…

3º Paso:

Dejar de iterar si:

ε=0.5×10m−n+1

; C.C. ir al 2º Paso.Condición de convergencia del punto fijo:

∃ {Xn} xk

^∃ {yn} Yk

Si se cumple lo siguiente:

|f x|(x0 , y0 )+|f y|( x0 , y0 )≤L<1

^

|gx|( x0 , y0 )+|g y|(x0 , y0 )≤L<1

Ejemplo: Sea el sistema.

y=x+ 1

x2 … (1)

y23+x

23=4 … (2)

Localizar el intervalo inicial (x0, y0) por el T.B.


|X n−Xn−1| ≤ ℰó|Y n−Y n−1| ≤ ℰ

yn+1 = g(xn, yn) ^Xn+1 = f(xn, yn)

MÉTODOS NUMÉRICOS

De (1) y (2) se tiene:

F ( x )=x23+(x+x−2)

23−4=0

Con intervalo de longitud = l = 1

x F ( x )-2-10123

--∄--+

Con intervalo de longitud = l = 0.1

x f ( x )2

2.12.22.32.42.52.62.72.82.93

--------+++

x0=2.7 , en (1 ) : y0=x0+1

x02→y 0=2.8 ;m=0

Verificar su condición de convergencia

De: y=x+ 1

x2=g ( x , y )=g

De: x23+ y

23=4→x=(4− y )

32=f ( x , y )=f

Se requiere que se cumpla:X=(4− y23)

32

|f x|(x0 , y0 )+|f y|( x0 , y0 )≤L<1

0 + 1 = 1 < 1Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

20

f (2 ) . f (3 )<0→∃ x❑¿ ∈ [2,3 ]

f (2.7 ) . f (2.8 )<0→∃ x¿∈ [2.7 ,2.8 ]

MÉTODOS NUMÉRICOS

f x=0 yf=3

2(4− y

23)

12−2

3y−13

|f y|=−(4− y

23)

12

y13

|f y|(2.7 ,2.8 )=1.006=1

Como L = 1 ∢ 1 → la solución puede converger o no

^ |gx|( x0 , y0 )+|g y|(x0 , y0 )≤L<1

0.9 + 0 = 0.9 < 1

gx=1−2 x y¿=0

|gx|(2.7 ,2.8 )=0.9

Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2) Se deja de iterar si:|X n−Xn−1| ≤0.5*10m-n+1 /m=0, n=20.5*10-1 ó|Y n−Y n−1| ≤ 0.5*10-1

Sus relaciones de recurrencia son:

De : xn+1=f (xn , yn )→xn+1=(4− yn

23)

32, n=0 ,1,2 , ...

^

De : yn+1=g (xn , yn )→ yn+1=xn+ xn−2 , n=0 ,1,2 ,.. .

Iterando:n = 0; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8

x1=(4− y0

23)

32=2.85695^

y1=x0+x0−2=2.83717


MÉTODOS NUMÉRICOS

n = 1; PRMERA ITERACION; con X1 = 2.85695^ Y1 = 2.83717

x2=(4− y1

23)

32=2.81969

^y2=x1+x1

−2=2.97947

n = 2; SEGUNDA ITERACION; con X2 = 2.81969^ Y2 = 2.97947

x3=(4− y2

23)

32=2.68003

^y3=x2+x2

−2=2.94547

n = 3; TERCERA ITERACION; con X3 = 2.68003^ Y3 = 2.94547

x4=(4− y3

23 )

32=2.71298

^y4=x3+ x3

−2=2.81926

n = 4; CUARTA ITERACION; con X4 = 2.71298^ Y4 = 2.81926

x5=(4− y4

23)

32=2.83761

^y5=x4+ x4

−2=2.84885

n = 5; QUINTA ITERACION; con X5 = 2.83761^ Y5 = 2.84885

x6=(4− y5

23)

32=2.80806

^y6=x5+x5

−2=2.96180

n = 6; SEXTA ITERACION; con X6 = 2.80806^ Y6 = 2.96180

x7=(4− y6

23)

32=2.69712

^y7=x6+x6

−2=2.93488


MÉTODOS NUMÉRICOS

n = 7; SEPTIMA ITERACION; con X7 = 2.69712^ Y7 = 2.93488

x8=(4− y7

23)

32=2.7233

^y8=x7+x7

−2=2.83459

Si:|X 8−X7| = 0.02 = 0.2*10-1≤0.5*10-1

|̂Y 8−Y 7| = 0.1*10-1 ≤ 0.5*10-1

Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.

METODO DE NEWTON – RAPSON (N.R)

El sistema debe de estar en la forma:F = F(x, y) = 0

G = G(x, y) = 0

Para que tenga solución su Jacobiano = J(x, y) = J ≠ 0

*Algoritmo de N.R.1º Paso:

Dado el sistema:F(x, y) = 0

G(x, y) = 0

2º Paso:Generar la sucesión:


J=|Fx F y

Gx G y|≠0

MÉTODOS NUMÉRICOS

{Xn} xk

^{yn} Yk

Mediante la siguiente relación de recurrencia:

^

Parar si:

C.C. ir al 2º Paso.

Ejemplo:

y=x+ 1

x2

y23+x

23=4

J (x , y)=|Fx Fy

Gx G y|

F=F ( x , y )= y−x−x−2=0

G=G ( x , y )=x23+ y

23−4=0


X n+1=X n−|F F y

G G y|(xn , yn)

J (x , y)(xn , yn );n=0 ,1 ,2 ,…

Y n+1=Y n−|F x FG x G|(xn , yn )

J (x , y)(xn , yn );n=0 ,1 ,2 ,…

|X n−Xn−1| ≤ ℰó|Y n−Y n−1| ≤ ℰ

MÉTODOS NUMÉRICOS

F= y−x− x−2→F x=−1+2 x y¿=1

G=x23+ y

23−4→G x=

23xx¿=2

3y−13

J=−23

y−13 + 4

3x−3 y

−13 −2

3x−1

3

*Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2).

Iterando:

n = 0; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8

x1=x0−|y0−x0−x0

−2 1

x0

23+ y0

23−4

23y0

−13 |

23(2 x0

−3 y0

−13 − y0

−13 −x0

−13 )

x1=2.7629

y1= y0−|−1+2x0

−3 y0−x0−x0−2

23x0

−13 x0

23+ y0

23−4 |

23(2 x0

−3 y0

−13 − y0

−13 −x0

−13 )

y1=2.8937


J ( x , y )=2(2x−3 y

−13 − y

−13 −x

−13 )

3

MÉTODOS NUMÉRICOS

n = 1; PRIMERA ITERACION; con X1 = 2.7629 ^ Y1 = 2.8937

x2=x1−|y1−x1−x1

−2 1

x1

23+ y1

23−4

23y1

−13 |

23(2 x1

−3 y1

−13 − y1

−13 −x1

−13 )

x2=2.7632

y2= y1−|−1+2 x1

−3 y1−x1−x1−2

23x1

−13 x1

23+ y1

23−4 |

23(2 x1

−3 y1

−13 − y1

−13 −x1

−13 )

y2=2.8942

Si:|X2−X1| = 0.0003 = 0.3*10-3≤0.5*10-3

|̂Y 2−Y 1| = 0.0005 = 0.5*10-3 ≤ 0.5*10-3

Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.INTERPOLACIÓN

Supongamos que se conoce f0 , f1, f2, …….fn valores correspondientes a X0, X1, X2, ….., Xn valores independientes de una variable independiente X.( X0<X1<…<Xn) entonces tenemos dos tipos de interpolación.

a) Interpolación directa.- consiste en que dado un valor XP diferente de los Xi pero correspondido entre X0 y Xn, se desea hallar el valor de su imagen fP

b) Interpolación inversa.- consiste en que dado el valor de la imagen fP se desea hallar el valor XP que genera dicha imagen.


(X1,f1)

MÉTODOS NUMÉRICOS

1.- INTERPOLACIÓN DIRECTA LINEAL

XP = valor a interpretar f

FP = f (XP) imagen de XP

Xo XP X1 X

n

INTERPOLACIÓN DIRECTA DENEWTON -PROGRESIVO Y NEWTON – REGRESIVO.

Para un conjunto de (n+1) puntos igualmente espaciados Interpolación consiste, en dado un valor no considerado x p , en la tabla, se debe hallar su imagen f p. Hay dos tipos de Interpolación.

A) Interpolación Directa. Consiste en que dado x pse debe hallar su imagen f p.

B) Interpolación Inversa. Consiste en que dado el valor de la imagen f p, se debe hallar el valor x p.

1) Interpolación Directa de Newton Progresivo (IDNP)

Se utiliza cuando se desea interpolar un valor x p dado al principio de la tabla o 1er sector de la tabla.Utiliza la siguiente fórmula.

Donde P=x p−x0

h , x p∈ [ x0 , x1 ] ,P∈<0,1>¿

Utiliza la siguiente Tabla de omisión de Términos (T.0.T)


f p=f 0+P∆ f 0+P(P−1)

2!∆2 f 0+

P (P−1 )(P−2)3 !

∆3 f 0+…+P¿¿

F(X)

(

(XP,fP)

MÉTODOS NUMÉRICOS

∆2 ∆3 ∆4 ∆5

Newton ProgresivoNewton Regresivo

4 8 12 16

Observación:

Si |∆2 f i|<4 Se tiene Inter. Directa Lineal y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la 1ra Diferencia, o sea;

f p¿ f 0+P∆ f 0.

Si |∆3 f i|<8 Se tiene Inter. Directa No Lineal (IDNL) y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la 2da

Diferencia, o sea;f p¿ f 0+P∆ f 0+P(P−1)

2!∆2 f 0 .

Si |∆4 f i|<12 Se utiliza IDNL y en la formula de NP se utiliza hasta la 3radiferencia, osea

f p¿ f 0+P∆ f 0+P(P−1)

2!∆2 f 0+

P (P−1 )(P−2)3 !

∆3 f 0.

(4) Tanto en (1),(2) y (3) solo se considera las cifras significativas.

Ejemplo 1: En la Sgte. Tabla si x p =1.05, hallar f p

x 1 1.1 1.2 1.3

f ( x) 4 4.3 4.6 4.9

Sol:

Como|∆2 f i|<4 se aplica IDL y se

utiliza f p de NP hasta la Diferencia anterior o sea hasta

la 1radiferencia

|∆2 f i

|=0<4


x f ( x )∆∆2

1xp=1.051.1

1.2

1.3

4 fp=? 3=∆ f 0

4.3 0=∆2 f 0

34.6 0 34.9

MÉTODOS NUMÉRICOS

P=x p−x0

h=1.05−1

0.1=0.5 → P=0.5 ∈<0,1>

f p¿ f 0+P∆ f 0→ f p=4+0.5 (0.3 )=4.15

Ejemplo 2: Si x p=6.36

Hallar f pen la Sgte. Tabla

x f ( x)=log (x) ∆ ∆2 ∆3

6.2 0.79239=f 0

Xp=6.36

fp=? 1279=∆ f 0

6.4 0.30618=f 1 -43=∆2 f 0

1336=∆ f 1 46.6 0.8195 =f 2 -39=∆2 f 1

1297=∆ f 2 16.8 0.83251=f 3 -38=∆2 f 2

1259=∆ f 3 27 0.84510=f 4 -36=∆2 f 3

1223=∆ f 4

7.2 0.85733=f 5

P=x p−x0

h=6.36−6.2

0.2=0.8

f p¿ f 0+P∆ f 0+P(P−1)

2!∆2 f 0

f p=0.79239+0.8 (0.01379 )+0.8 (0.8−1 )(−0.00043)

2 !=0.803458

Si f ( x)=log(x )

f (6.36 )=0.80345711


x 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2

f ( x)=log (x) 0.79239 0.30618 0.81954 0.83251

MÉTODOS NUMÉRICOS

2) Interpolación de Newton Regresivo (NR)

Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte final de la tabla. Su fórmula es

Donde P∈←1,0> y x p=[ x−1, x0]

Ejemplo Si x p=3.9 hallar f p

x f ( x)=ex ∇ ∇2 ∇3 ∇4

3 20.084.45

3.2 24.53 0.985.43 .22

3.4 29.96 1.20 66.63 .28

3.6 36.59 1.48 28.11 .30

3.8 49.7 1.789.89

4.0 54.59 |∇2 f i|<12 Se aplica f pde NR hasta la 3radiferencia

f p=f 0+P∇ f 0+P(P+1)

2!∇2 f 0+

P (P+1 )(P+2)3 !

∇3 f 0

f p=54.59+(−0.5 )(9.89)+−0.5 (−0.5+1 )(1.78)

2 !+−0.5 (−0.5+1 ) (−0.5+2 )(0.30)

3 !f p=49.40375

INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL

Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte central de la tabla.Se tienen las siguientes formulas:

a) Interpolación de Stirling:


f p=f 0+P∇ f 0+P(P+1)

2!∇2 f 0+

P (P+1 )(P+2)3 !

∇3 f 0+…+P ¿¿

MÉTODOS NUMÉRICOS

Se aplica si p ∈ ⟨0 ,1/2 ⟩

Su formula es:

f p =f 0 + S1 (δf -1/2 + δf 1/2) + S2δ 2 f 0 + S3 (δ 3 f -1/2 + δ 3 f 1/2) + S4δ 4 f 0 + …

Donde:

S1=12p; S2=

12p2

; S3=p ( p2−1)

2∗3 ! ; S4=

p2(p2−1)4 !

; S5=p ( p2−1 )( p3−4)

2∗5 ! ; …

b) Interpolación de Bessel:

Se aplica si p ∈ ⟨1/2 ,1 ⟩

Su formula es:

f p =f 0 + β1δf 1/2 + β2(δ 2 f 0 + δ 2 f 1) + β5δ 3 f 1/2+…

Donde:

β1=p ; β2=p ( p−1)

2∗2! ; β3=

p ( p−1 )( p−12)

3 ! ; β4=

p ( p−1 ) ( p−2 )( p−12)

2∗4 ! ; …

p=x p−x0

h

c) Interpolación de Everett:

Se aplica si p ∈ ⟨0 ,1 ⟩

Su fórmula es:

f p= f 0E0+ f 1 F0+E2δ2 f 0+F2δ

2 f 1+E4 δ4 f 0+F4 δ

4 f 1+¿…

Donde:

E0=1−p ; E2=p ( p−1 )(2−p)

3 ! ; E4=

−p (p+1 ) ( p−1 )(p−2)( p−3)5 !

; …


MÉTODOS NUMÉRICOS

F0=p ; F2=p ( p+1 )( p−1)

3 ! ; F4=

( p+2 ) (p+1 ) p( p−1)(p−2)5 !

; …

*Tabla de Omisión de Términos (T.O.T):

Bessel o Stirling 4 60 20 500 100

Everett 4 no existe 20 no existe 100

Ejemplos resueltos:

En la siguiente tabla se tiene:

X f(x)=x3+ x2+ x +1 δ δ2δ3

x0=¿0 1 0.111 0.0260.006 0

0.1 1.111 0.137 0.032 0.006 0

0.2 1.248 0.169 0.038 0.006 0

0.3 1.417 0.207 0.044

0.4 1.624 0.251

0.5 1.875

Como:

δ 2 ; No cumple

δ 3 ; cumple con la T.O.T, según P se aplica Bessel, Stirling o Everett.

Entonces hallar:fp

a) Si x p=0.224 ; f p=?

Solución a):

Se sabe que:

x0=0.2

x1=0.3


MÉTODOS NUMÉRICOS

Entonces:

p=x p−x0

h=0.224−0.2

0.1=0.24∈ ⟨0,1/2 ⟩

Como:

p∈ ⟨0,1/2 ⟩ y|δ 3 f i|<60

→Se aplica Stirling y Everett porque p∈ ⟨0,1 ⟩

Para Stirling su f p es hasta su 2ºdiferencia, como p∈ ⟨0,1 ⟩ y |δ4 f i|<20 se aplica Everett o hasta su

anterior pero como no existe la 3º diferencia; el f p de Everett es hasta la 2º diferencia.

*Solución según Stirling:

f p =f 0 + S1 (δf -1/2 + δf 1/2) + S2δ 2 f 0

f p = 1.248 + 0.12 (0.137 + 0.169) + 0.0288*0.032

f p = 1.2856416 valor aproximado

Con calculadora:

f p = 1.285415424

*Solución según Everett:

f p= f 0E0+ f 1 F0+E2δ2 f 0+F2δ

2 f 1

f p =0.76*1.248+0.24*1417-(0.053504*0.032)-(0.037606*0.038)

f p =1.285415424


MÉTODOS NUMÉRICOS

INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES

POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE

Sean (X0, f0), (X1, f1),…, (Xn,fn) (n+1) ptos

Entonces existe un polinomio de grado≤n que para por dichos puntos

(X0<X1<X2<………………………. <Xn)

F(X) = a0(X-X1) (X-X2)…..(X-Xn)+a1(X-X0)(X-X2)….(X-Xn)+……+an(X-X0)(X-X1)(X-X2)...(X-Xn-1)

OBS: en el primer termino falta (X-X0), en el 2º termino (X-X1), y así sucesivamente en el ultimo termino falta (X-Xn) esto es una cualidad de dicho polinomio.

Como f(x) debe contener a los puntos dados

Si X = X0 ; f(X0)= a0(X0-X1) (X0-X2)……..(X0-Xn)

a 0=f(o)(X0-X1 ) (X0-X2) (X0-X3 )………(X0-Xn)

Si X = X1 ; f(X1)= a1(X1-X0) (X1-X2)……..(X1-Xn)

a 1=f(1)(X1-X0 ) (X1-X2) (X1-X3 )………(X1-Xn)

.

.

.

Si X = Xn ; f(Xn)= an(Xn-X0)(Xn-X1)(Xn-X2)……..(Xn-Xn-1)

a n=f (n)(Xn-X1) (Xn-X2 ) (Xn-X3)………(Xn-Xn-1)

Remplazando los así en el polinomio P(X)


MÉTODOS NUMÉRICOS

f (X )= (X-X1) (X-X2 )…(X-Xn)(X0-X1) (X0-X2 )…(X0-Xn)

f0+(X1 -X 0 ) ( X1- X2 )…(X1-Xn)

(X1-X0 ) (X1-X2)…(X1-Xn)f1+…+

(X-X0) (X-X1 )…(X-Xn-1) (Xn-X0 ) (Xn-X1 )…(Xn-Xn-1)

fn

L0(X) L1(X) Ln(X)

F(X) = L0(X)fo + L1(X)f1 + ……………. + Ln(X)fn

Polinomio de Lagrange

Donde:

Li (X )= (X-X0 )….. (X-Xi-1 ) (X-Xi+1)…(X-Xn)(Xi-X0 )….. (Xi-Xi-1 ) (Xi-Xi+1)…(Xi-Xn)

Función multiplicadora de Lagrange

TEOREMA.- Sean (X0, f0), (X1, f1),…, (Xn,fn) para los puntos (n+1) y además (X0<X1<X2<……<Xn)

Entonces existe un único polinomio de grado ≤n que pasa por dichos puntos.

DEMOSTRACIÓN

i). La existencia del polinomio está generalizada por el `polinomio de aproximación de Lagrange.

ii). La unicidad: supongamos que existen dos polinomios P(X) y Q(X) de grado ≤nque pasan por los puntos dados.Probaremos que P(X) =Q(X) , ∀x∈ (X0,Xn)

Consideremos

R(X)= P(X) - Q(X)

R(X) es de grado ≤n (ya que el grado de P(X) y Q(X) es ≤n)

Además:


MÉTODOS NUMÉRICOS

R(X0)= P(X0) - Q(X0)= f0-f0 =0

R(X1)= P(X1) - Q(X1)= f1-f1 =0

En general

R (Xi) = 0 ∀ i= 0,1,2,3,……n

Entonces.

X0, X1, X2,…., Xn son las raíces de R(X)

R(X) tiene (n+1) raíces (pero el grado de R(X) es menor o igual a n)

Entonces R(X) debe ser el polinomio nulo (el único que tiene más raíces que su grado)

R(X)= P(X) - Q(X)= 0

P(X) =Q(X) , ∀ x ∈ ( X0 , Xn)

Ahora consideremos

X -1 0 2

Fx 2 1 5

El polinomio P(X) = X2 +1 pasa por estos puntos, también pasa por estos puntos el polinomio Q(X) = X3-2X + 1

¿Contradice el teorema?

No contradice el teorema, ya que el teorema establece que son iguales para aquellos que tengan grado ≤n=2 , luego pueden muchos otros de grado >n que sean diferentes al del grado grado ≤n .

INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE

Polinomio de Lagrange: Dado un conjunto de (n+1) puntos de la forma (x i,f i); i=0,1,2,…, n.

Se puede aproximar a un polinomio de grado ≤n.


MÉTODOS NUMÉRICOS

Sea el siguiente polinomio P ( x )=f (x) a determinar:

Observación:

El polinomioP ( x ) se caracteriza por:

En el 1º término falta el factor (x−x0 ), en el 2º término falta el factor(x−x1 ) , en el 3º termino falta

el factor (x−x2 )y así sucesivamente, en el n-ésimo termino falta el factor (x−xn ).

En el polinomio de Lagrange los puntos (x i,f i) no necesariamente son igualmente espaciados, es decir h no es constante.

Para hallar el polinomio de Lagrange se debe hallar los a i; i=0,1,2 ,…,n; de la siguiente manera:

Si x=x0

P (x0 )=a0 ( x0−x1) (x0−x2 ) (x0−x3 )… (x0−xn )+a1 (x0−x0 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )… (x0−xn )+…+an (x0−x0 ) ( x0−x1) (x0−x2 )… (x0−xn−1 )

f (x0 )=f 0=a0 (x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )… (x0−xn )

a0=

f (x0)a0 (x0− x1) (x0−x2) (x0−x3 )…(x0−xn )

Si x=x1

P (x1)=a0 (x1−x1 ) (x1−x2) (x1−x3 )… (x1−xn )+a1 (x1−x0 ) (x1−x2) (x1−x3 )… (x1−xn )+…+an ( x1−x0 ) (x1−x1 ) (x1−x2)… (x1−xn−1 )

f (x1 )=f 1=a0 (x1−x0 ) ( x1−x2 ) (x1−x3 )… (x1−xn )

a1=

f (x1)a0 (x1− x0 ) (x1− x2 ) (x1−x3)… (x1− xn )

⋮

Si x=xn

P (xn )=a0 (xn−x1 ) (xn−x2 ) (xn−x3 )… (xn−xn )+a1 (xn−x0 ) (xn−x2 ) ( xn−x3 )…(xn−xn)+…+an (xn−x0 ) (xn−x1 ) (xn−x2 )… (xn−xn−1)

f (xn )=f n=a0 (xn−x0 ) (xn−x1 ) (xn−x2 )…( xn−xn−1)

an=

f (xn)a0 (xn− x0) (xn−x1) (xn−x2 )…(xn−xn−1)


P ( x )=a0 (x−x1 ) (x−x2 ) ( x−x3 )…(x−xn)+a1 (x−x0 ) ( x−x2) (x−x3 )… (x−xn )+…+an (x−x0 ) (x−x1 ) (x−x2 )…(x−xn−1 ).

MÉTODOS NUMÉRICOS

Remplazando los coeficientes en P ( x ) ,tenemos:

P ( x )=(x−x1) (x−x2 ) (x−x3 )… (x−xn )

( x0−x1) (x0−x2 ) (x0−x3 )… (x0−xn )f 0+

(x−x0 ) (x−x2 ) (x−x3 )… (x−xn )(x1−x0 ) (x1−x2 ) (x1−x3 )… (x1−xn)

f1+¿+…+

(x−x0) (x− x1 )(x− x2 )…(x− xn−1 )(xn−x0) (xn− x1 )(xn− x2 )…(xn− xn−1 )

f n¿

El polinomio de Lagrange, también se puede expresar como:

P ( x )=∑ Li (x ) f i , i=0 ,1 ,2 ,3 ,…,n

Ó

P ( x )=L1 ( x ) f 1+L2 (x ) f 2+…+Ln ( x ) f n

Ejemplo: 1

En la siguiente tabla:

a) Aproximar a un polinomio de Lagrange.

b) Si x p=1.1. Determinar f p por Lagrange.

Tenemos:

X f (x)

x0=¿0¿ 2

x1=¿1¿ 1

x2=¿2¿ 2

x3=¿4 10=nemos : range.un polinomiodelagrange . behallar los punton igualmente espaciados ,esdecir hnoes constante .¿

x4=¿ 6¿ 26

a) Solución:

El polinomio de Lagrange P ( x )=Li ( x ) f i , i=0 ,1,2 ,3 ,…,n , será:

P ( x )=(x−x1) (x−x2 ) (x−x3 ) (x−x4 )

( x0−x1) (x0−x2 ) (x0−x3 ) (x0−x4 )f 0+

(x−x0 ) ( x−x2) (x−x3 ) (x−x4 )(x1−x0 ) (x1−x2) (x1−x3 ) (x1−x4 )

f 1+(x−x0 ) (x−x1 ) ( x−x2) (x−x 4 )

(x2−x0 ) (x2−x1 ranomio de Lagrange ) (x2−x3 ) (x2−x4 )f 2+

(x−x0 ) (x−x2 ) (x−x3 ) (x−x4 )( x3−x0 ) (x3−x1 ) (x3−x23 ) (x3−x4 )

f 3+(x−x0 ) (x−x1 ) (x−x2 ) (x−x3 )

(x 4−x0 ) (x4−x1 ) (x4−x2 ) (x4−x3 )f 4


MÉTODOS NUMÉRICOS

P ( x )= (x−1 ) ( x−2 ) ( x−4 ) ( x−6 )(0−1 ) (0−2 ) (0−4 ) (0−6 )

∗2+( x−0 ) ( x−2 ) ( x−4 ) ( x−6 )(1−0 ) (1−2 ) (1−4 ) (1−6 )

∗1+( x−0 ) ( x−1 ) ( x−2 ) ( x−6 )(2−0 ) (2−1 ) (2−4 ) (2−6 )

∗2+( x−0 ) (x−2 ) ( x−4 ) ( x−6 )(4−0 ) (4−1 ) (4−2 ) (4−6 )

∗10+(x−0 ) ( x−1 ) (x−2 ) ( x−4 )(6−0 ) (6−1 ) (6−2 ) (6−4 )

∗26

Luego, resolviendo tenemos:

P ( x )=2x3+1

b) Solución:

Como: P ( x )=2x3+1

→P ( x )=f (x p=1.1 )=2(1.1)3+1=3.662

→f (1.1 )=2 (1.1 )3+1=3.662

→f (x p )=3.662

Aprox. E interpolación de un polinomio de newton.

P ( x )=f 0+(x−x0)

(1 )∆ f 0

1 !h+(x−x0)

(2)∆2 f 0

2 !h2 +(x−x0)

(3)∆3 f 0

3! h3 +…+(x−x0)

(n)∆n f 0

n!hn

Donde:

(x−x0)(1)=(x−x0)

(x−x0)(2)=(x−x0)(x−h−x0)

(x−x0)(3)=(x−x0)(x−h−x0)(x−2h−x0)

(x−x0)(4 )=(x−x0)(x−h−x0)(x−2h−x0)(x−3h−x0)

(x−x0)(1)¿h=1=( x−1 ) ( x−h−1 )=(x−1)( x−1−1)(x−2)

(x−x0 )(3) ¿h=2=( x−3 ) ( x−h−3 ) ( x−3−2h )=( x−1 ) ( x−3−2 ) ( x−3−4 )=( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 )

Ejemplo: 2


MÉTODOS NUMÉRICOS

Aproximar la siguiente tabla aun polinomio de newton

x f ( x) ∆ ∆2 ∆3

1.1 1.04 =f 0

0.041.2 1.08=f 1 -0.02

0.03 0.021.3 1.11=f 2 -0.01

0.041.4 1.15=f 3

Donde: h=1.4-1.3=0.1

(x−1.1)(1)=(x−1.1)

(x−1.1)(2)= ( x−1.1 ) ( x−0.1−1.1 )=x2−2.3 x+1.32

(x−1.1)(3)=( x−1.1 ) (x−0.1−1.1 ) (x−(2 ) (0.1 )−1.1 )=x3−3.6 x2+2.99 x−1.716

P ( x )=1.04−( x−1.1 )0.04

(1 )(1.1)+(x2−2.3 x+1.32 )(−0.01)

(2 )(1.1)+(x3−3.6 x2+2.99 x−1.716 )(0.02)

(6 )(1.1)

P ( x )= x3

330−0.0165 x2−0.0164 x+1.0684

PROBLEMAS RESUELTOS

(Método de Newton – Raphson)

F(x)=xex−1 / e¿∈ [0,1]

Cuantas cifras significativas exactas tiene la solución en la 2da iteración.

Solución:


1

MÉTODOS NUMÉRICOS

F(x)=xex−1F’(x)=ex+xex

F’’(x)=ex+e x+xex =ex (2+x )

1ro Analizar el pto inicial xₒ optimo / xₒ∈ [0,1]Para xₒ :F(xₒ).F‘’(xₒ)<0 ->xₒ no es valido.Para x₁ =1: F(1).F‘’(1)>0 ->x₁ =1 es valido para iterar.

-> |F (1) .F ‘ (1)

F '(1)2|=0.47 = 0.5 < 1 ->∃ {xn} ->x¿

n=0 Xn+₁=Xn-F (xn)F ’ (xn)

=> Xn+1 = Xn – Xn.ex

ex (xn+1)

Con X₀=1

X₁ = X₀ – X ₀.. e X0−1e x₀(x ₀+1)

X₁=0.683939

1ra Iteración.

X₂ = X₁ – X ₁.eX₁−1e x₁(x ₁+1)

X₂=0.5774544772

2da Iteración.

X₃ = X₂ – X ₂. e X₂−1ex ₂(x₂+1)

|X₃ - X₂|=0.01=0.01*10−1≤0.5∗10−n

n=1 -> X₃=X ¿ con 1 cifra significativa.

(Método del Punto fijo)

Resolver por el método por el punto fijo con 1 cifra decimal exacta.

Solución:{}


n=1

n=2

Xe− y-1 =0 (1)X2+4 y2− y=0 (2)

2

MÉTODOS NUMÉRICOS

X=e y de (1)Remplazando en (2)F (y)=e2 y+4 y2−4

Y F (y)0 -1 +2 +

Y F (y)0 -0.5 -0.6 +1

Según (*)Sea Y₀=0.5 -> X₀=e yₒ=0.6Se tiene el punto inicial X₀=1.6 y Y₀=1.5 muy cercano a la raiz.X= 2√1− y2 -> fY= LnX -> g

fx=0 fy=−2 y

√1− y2

gx=1x

gy=0

fx(1.6;1.5)=0 fy(1.6;1.5)=0.5773502642gx(1.6;1.5)=0.625 gy(1.6;1.5)=0

|fx(1.6;1.5)+fy(1.6;1.5)|=0.57785026 < 1 |gx(1.6;1.5)+gy(1.6;1.5)|=0.625 < 1->∃{Xn} ->x¿∃{Yn} ->y

¿ Mediante la Sgte. Relación.

Xn+₁=2√1−Yn2 n=0,1,2Yn+₁=Ln(Xn) n=0,1, 2

Dejar de iterar |Xn+₁-Xn|≤0.5*10−k

Iterando como punto inicial [Xₒ,Yₒ]=[1.6;1.5X₁=2√1− yₒ2=1.732050Y₁=0.4700036292


F (0).F(1)<0 ->∃y¿∈ [0,1]

F (0.5).F(0.6)<0 ->∃y¿∈ [0.5,0.6]……(*)1er intervalo para F(y)=e2 y+4 y2−4

n=0

n=1

n=2

MÉTODOS NUMÉRICOS

X₂=1.765328965Y₂=0.5493061446

X₃=1.671242364Y₃=0.5683370555

X₄=1.645591676Y₄=0.5135672804

X₅=1.716098655Y₅=0.49810001

X₆=1.734239187Y₆=0.5400534907

|X₆-X₅|=0.018 = 0.02 = 0.2*10−1≤0.5*10−1

|Y₆-Y₅|=0.04 = 0.4*10−1≤0.5*10−1

->-> X₀=X ¿ y Y₀=X ¿ son raices con una cifra significativa.

(Método del Punto fijo)

Por el método de N-R, resolver el sistema:{}

a) Localizar el intervalo donde existe la raízb) Verificar su condición de convergenciac) Hallar una solución con 4 cifras decimales exactas.

Solución:


n=5

Xe− y-1 =0 (1)X2+4 y2− y=0 (2)

3

MÉTODOS NUMÉRICOS

a) Y=Lnx de (1)Remplazando en (2) x2+4 y2−4=0

x2+4 ln2 x−4=0-> F(x)=x2 4 ln2 x−4

Utilizando el T.B. localizamos el intervalo donde existe la raiz.

x F(x)1 -2 +

x F(x)1.6 -1.7 +Sea X₀=1.6 ; Y₀?De (1) -> Y=Lnx = Ln(1.6)=0.47 -> Y₀=0.47

Entonces: {

b) Sea F(x,y)=Xe− y-1

G(x,y)= X2+4 y2− y

Fx(x,y)= e− yFy(x,y)=-X.e− y

Gx(x,y)=2X Gy(x,y)=8y

J(x,y)=| |=| |

= 5.550020142 ≠ 0

Y como (X₀ ,Y₀) es muy cercano:->->∃ {xn} ->x¿ y ->∃ {yn} ->y¿


F (1).F(2)<0 ->∃y¿∈ [1,2]F(1.6).F(1.7)<0 ->∃y¿∈

X₀=¿1.6Y₀=¿0.47

Pto más cercano de la raíz.

e− y X.e− y

2x 8yFx(x,y) Fy(x,y)Gx(x,y) Gy(x,y)

Fx FGx G

MÉTODOS NUMÉRICOS

c) Dejamos de iterar si:|Xn-Xn+₁|≤0.5*10−k=0.5*10−4

|Yn-Yn+₁|≤0.5*10−k=0.5*10−4

Ahora:

||=| |

8Y [Xe− y-1]+ X.e− y [X2+4 y2− y ]

| |=| |= e− y[X2+4 y2−4]-2x [-X.e− y]

Veamos que la formula de recurrencia asi:

Xn+₁=Xn - 8Yn[X ne− yn−1]+Xn.e− yn [X 2n+4 y2n−4]

8Yne− y+2 X2n . e− yn ;

n=0,1,2,..

Yn+₁=Yn - e−Yn [X2n+4Y 2n−4 ]−2 X2n[Xn .e−Yn−1]

8Yn. . e−Yn+2 X2n .. e−Yn

n=0,1,2,…Siendo Pₒ inicial: (1.6;0.47)=(Xₒ;Yₒ)

X₁=1.6 – (−0.55639349)

5.550020142=1.700250715

Y₁=0.47- (−0.347762875)

5.550020142= 0.53265975

X₂=1.700250715 – (1.700250715)5.895647875

=1.697250462

Y₂=0.53265975- (0.021521708)5.895647875

= 0.52900931


F FyG Gy

Xe− y-1 -X.e− y

X2+4 y2− y8y

e− y-X.e− y

2 x X 2+4 y2−4

n=

n=

n=

MÉTODOS NUMÉRICOS

X₃=1.697250462– (0.0006361619225)

5.887990917=1.6972239658

Y₂=0.53265975- (0.00003597217252)

5.887990917= 0.5290032

Luego|X₃ - X₂|= 0.000026=0.00003=0.3*10−4≤0.5*10−4

->X ¿=X 3 con 4 cifras significativas decimales exactas.

|Y₃ - Y₂|= 0.0000061=0.00001=0.1*10−4≤0.5*10−4

->Y ¿=Y 3 con 4 cifras significativas decimales exactas.

METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES

La factorización matricial consiste en expresar una matriz cuadrada en el producto de otras dos matrices.


MÉTODOS NUMÉRICOS

FACTORIZACIÓN MATRICIAL “LU”

(Método de Crout – Doolitle)

Consiste en factorizar una matriz cuadrada “A” en un producto “LU”. Esto es:

Donde:

A: es la matriz a factorizar

L : es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama “L” porque viene de la palabra inglesa “low”, que significa “bajo”.

U : es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el método de la eliminación gaussiana. Se llama “U” porque viene de la palabra inglesa “up”, que significa “arriba”.

NOTAS:

. Este tipo y todos los tipos de factorización matricial se basan en el “método de eliminación gaussiana”.

. Aunque no todas las matrices admiten este tipo de representación, muchas de las que aparecen frecuentemente en las aplicaciones de las técnicas numéricas sí la tienen.

. La factorización “LU” es especialmente útil cuando hay que resolver varios sistemas lineales con la misma matriz de coeficientes “A”, puesto que el proceso de las operaciones se realiza solamente una vez.

. Desde un punto de vista práctico, esta factorización sólo será útil cuando los intercambios de filas no sean necesarios para controlar los errores que aparecen por utilizar aritmética con un número finito de cifras.

. También se podría decir que la factorización “LU” solamente es aplicable cuando los determinantes de las submatrices de “A” son todos distintos de cero.

Ejemplo


A=L.U

MÉTODOS NUMÉRICOS

Sea la matriz A=(2 0 −14 3 41 2 5 )=(

l11 0 0l21 l22 0l31 l32 l33

)=(u11 u12 u13

0 u22 u21

0 0 u33)

El sistema tiene nueve ecuaciones con doce incógnitas, entonces existen infinitas soluciones. Para que tenga solución debemos fijar tres variables libres, puede ser lii=1 o uii=1

Sea uii=1 → u11= u22= u33=1,

A=(2 0 −14 3 41 2 5 ) = (l11 0 0

l21 l22 0l31 l32 l33

)(1 u12 u13

0 1 u21

0 0 1)

L U

Resolviendo la ecuación matricial se tiene los siguientes resultados:

l11=2, l21=4, l31=1

u12=0, l22=3, l32=2

u13=−12

, u23=2, l33=32

A=(2 0 −14 3 41 2 5 ) = (2 0 -1

4 3 41 2 5 )(1 0

−12

0 1 20 0 1

) L U

Observación.- El método Crout – Doolitle sirve para resolver un sistema de ecuaciones usando la factorización L U mediante las siguientes igualdades:


MÉTODOS NUMÉRICOS

A.x = B L.y = B

L.U.x = B U.x = y

PRIMER METODO DIRECTO:

MÉTODO CROUT-DOOLITLE.

Para un sistema lineal de la forma:

Donde A se factoriza de la forma:

L: Matriz Triangular InferiorU: Matriz Triangular Superior

Sea:A . X=BL .U . X=B

L .Y=BY U . X=Y

Ejemplo:

Sea la matriz A . X=B

(2 0 −14 3 41 2 5 )(

x1

x2

x3)=(542)


A . X=B

A=L.U

MÉTODOS NUMÉRICOS

Para L .Y=B

(2 0 04 3 0

1 232)( y1

y2

y3)=(542)

Para U . X=Y

(1 0−12

0 1 20 0 1

)(x1

x2

x3)=(

52−273)

SEGUNDO METODO DIRECTO

METODO DE CHOLESKY

También para resolver el sistema Ax = b para aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente:Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

50

y1=52, y2=−2 , y3=

73

x1=113, x2=

−203

, x3=73

MÉTODOS NUMÉRICOS

Simetrico

1° que XtAX>0 / X=|X1X2X3|→Xt = (X1 X2 X3)

“A” definida Positiva 2° cada sub determinante sea positiva es decir: A33

|a11|>0|a11 a12a21 a22|>0|a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33|>0

1º versión de cholesky

Ejemplo: 1

Aplicar cholesky al sistema siguiente:

|4 1 21 2 02 0 5||

X 1X 2X 3|=|

124|

A es simétrico

¿A es definida positiva?

Se debe de cumplir que XtAX>0

[X 1 X 2 X 3 ]|4 1 21 2 02 0 5||

X1X2X 3|

(4 X 1+X 2+2 X 2 )X 1+(X 1+2 X 2 ) X 2+ (2 X1+5 X 3 ) X 3

4 X12+X1 X2+2 X1 X3+X1 X2+2 X2

2+2 X1 X3+5 X32

4 X12+2 X1 X2+2 X2

2+2 X1X3+5 X 32

Se puede aplicar cholesky

Ax = bLic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

51L*LtX = bY = LtX

L*Y = bLt*X = Y

MÉTODOS NUMÉRICOS

A = L*Lt

A=|4 1 21 2 02 0 5|=|

l11 0 0l 21 l 22 0l 31 l 32 l 33||

l11 l 21 l 310 l 22 l 320 0 l 33|

l11=2

l21 = ½

l31 = 1

l22 = √72

l32 = −√77

l33 =√ 277

L*Lt = A=|2 0 0

1/2 √72

0

1−√7

2 √ 277||

2 1/2 1

0 √72

−√72

0 0 √ 277|

Ax = b

L*LtX = b

Para L*Y = b

|2 0 0

1/2 √72

0

1−√7

2 √ 277||Y 1Y 2Y 3|=|

124|


Lt*X = YL*Y = b

MÉTODOS NUMÉRICOS

Y1 = ½

Y2 = √72

Y3 = 4*√ 277

Para Lt*X = Y

|2 1/2 1

0 √72

−√72

0 0 √ 277||X 1X 2X 3|=|

1/2√72

4∗√ 277|

X1 = 28/27 X2 = 35/27 X3 = -16/27

Ejemplo: 2

(Métodos de Cholesky para hallar el sistema Ax=B)

Resolver el siguiente sistemas por Cholesky.

(4 2 02 5 20 2 6 ) ¿ (x1

x2

x3) ¿ (235 )

Solución:

• A=A t

, entonces A

es simétrica.

• x t Ax>0

, luego A

es definida positiva.

Factorizamos la matriz A=LLT


MÉTODOS NUMÉRICOS

A=(4 2 02 5 20 2 6 )=(

l11 0 0l21 l22 0

l31 l32 l33)×( l11 l21 l31

0 l22 l32

0 0 u33)

Para la 1ra

columna tenemos:

l112 =4→ l11=2l21 l11=2→ l21=1l31 l11=0→ l31=0

Para la 2da

columna tenemos:

l11 l21=2

l212 + l22

2 =5→ l22=2l31 l21+l32 l22=2→ l32=1

Para la 3ra

columna tenemos:

l11 l31=0l21 l31+l22 l32=2

l312 + l32

2 +l332 =6→ l33=2

L=(2 0 01 2 00 1 2 ) , Lt=(2 1 0

0 2 10 0 2 )

Del sistema Ax=b→LLt x=b

, luego Ly=b

y Lt x= y


MÉTODOS NUMÉRICOS

Para Ly=b

(2 0 01 2 00 1 2 )×(

y1

y2

y3)=(235 )⇒ y=(112)

Para Lt x= y

(2 1 00 2 10 0 2 )×(

x1

x2

x3)=(112)⇒ x=(

1201)

2. Segunda versión de cholesky


MÉTODOS NUMÉRICOS


MÉTODOS NUMÉRICOS

TERCER METODO DIRECTO:


MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Sea el sistema de ecuaciones de la forma:

a11x1+a12 x2+………………+0=b1 ………. (1)

a21 x1+a22 x2+a23 x3+……………+0=b2 ………. (2)

0+a32 x2+a33 x3+a34 x4+……+0=b3 ………. (3)

………………………………………………………0+…+an−1 , n−2 xn−2+an−1 , n−1 xn−1+an−1 ,n xn=bn−1 ………. (n-1)0+………………+an ,n−1 xn−1+an ,n xn=bn ………. (n)

ALGORITMO TRIDIAGONAL:

P-1: Del sistema A . X=B , expresarlo como A . X=B

P-2: Sea x1=C, C es constante arbitraria / C ϵ Z∪ {0 }

De la Ec. (1) despejar x2



………….De la Ec. (n-1) despejar xn

De la Ec. (n) despejar xn+1

Pero como no existe xn+1 se hace lo siguiente:

Tal que: R=(0,0 ,…, r )t donde R: vector residual

Se tiene x1=(x1 , x2 ,…,xn )t


an ,n−1 xn−1+an ,n xn=bn+R

(a1 … 0⋮ ⋱ ⋮0 … an

)(x1

⋮xn)=(b1

⋮bn)

MÉTODOS NUMÉRICOS

Si r=0→x1 es solución de A . X=BSi r ≠0→x1 es solución de A . X1=B+R

P-3: Del sistema A . X=B expresarlo como A . X=θ y sea x1=C , se procede como P-2, llegando a lo siguiente:

Tal que: S= (0,0 ,…, s )t donde S: vector residual

Se tiene x2=(x1 , x2 ,…,xn )t

Si r=0→x2 es solución de A . X=θSi r ≠0→x1 es solución de A . X2=θ+S

∴ Se tiene: A . X1=B+R …….. ( i )A . X2=θ+S …….. ( i )

( i )−α . ( ii ): A (x1−α . x2 )=B+(r−α . s )

0

Se busca una relación: x=x1−α . x2

Tal que: (r−α . s )=0→α= rs

Ejemplo:

Resolver:

x1+ x2=12x1+ x2−x3=−92x2+2x3−x4=3

x3+2x4=7

Del sistema A . X=B→A .X=B

x1+ x2=1 ……… (1)

2x1+ x2−x3=−9 ….….. (2)

2x2+2x3−x4=3 ……… (3)

x3+2x4=7 ……… (4)


an ,n−1 xn−1+an ,n xn=0+S

MÉTODOS NUMÉRICOS

Sea x1=C, C ϵ Z∪ {0 }→x1=0

De (1): x2=1De (2): x3=10De (3): x4=19

De la ec. (4) despejo x5 , pero como no existe x5

x4+2 x4=7+r→

x1=(x1 , x2 ,…,xn )t

x1=(0,1,10,19 )t

Del sistema A . X=B→A .X=θ

Sea x1=C ,C arbitrario→x1=4 , luego se procede como P-2

x́1+ x́2=0

x́2=−4 , en 2 x́1+ x́2− x́3=0x́3=4 , en 2 x́2+2 x́3− x́4=0x́4=0 , en x́3+2 x́4=0+s

→

Observación: Si s=0→ cambiar el valor inicial de x́1

x2=(x1 , x2 , x3 , x 4 )t

x2=(4 ,−4,4,0 )t

Se busca una solución x=x1−α . x2

Tal que: α=rs→


r=41

s=4

α=414

MÉTODOS NUMÉRICOS

Verificando: 2x1+ x2−x3=−9

2(−41 )+ (42 )− (−31 )=−9

−9=−9

Ejemplo 2

(Solución de sistemas lineales en Tribanda)

Sea Ax=Ben Tribanda.

(1 ) X1+X2+0 X3+0 X4=1

(2 )2 X1+X2−X 3+0 X4=−9

(3 )0 X1+2 X2+2 X3−X4=15

(4 )0 X1+0 X2+X3+2 X 4=1

Algoritmo del sistema Tridiagonal

Solución:

Del sistema Ax=B→A x=B(1 ) x1+x2+0 x3+0x4=1

(2 )2x1+x2−x3+0 x4=−9

(3 )0 x1+2 x2+2x3−x4=15

(4 )0 x1+0 x2+x3+2x4=1


x1=−41, x2=42 , x3=−31 , x 4=19

MÉTODOS NUMÉRICOS

Sea x1=C, C vector arbitrario talque Cϵ Z∪ {0 }

Entonces:

De (1) despejo x2:

(1 ) x1+x2=1

De (2) despejo x3:

(2 )2x1+x2−x3=−9

De (3) despejo x4:

(3 )2x2+2 x3−x4=15

De (4) despejar x5; pero∄ x5:

(4 ) x3+2 x4=1+r

11+14=1+r

Y se tiene que:

x1=(x1 , x2 , x3 , x4)

x1=(1,0,11,7)


x1=1

r=24

x2=0

x3=11

x4=7

MÉTODOS NUMÉRICOS

Ahora expresarlo como A x́=0 ,0es un vector nulo.

(1 ) x́1+ x́2=0

(2 )2 x́1+ x́2− x́3=0

(3 )2 x́2+2 x́3− x́4=0

(4 ) x́3+2 x́4=0

Sea x́1=c , cϵZ− {0 }

De (1) despejar x́2 :

(1 ) x́1+ x́2=0

De (2) despejar x́3 :

(2 )2 x́1+ x́2− x́3=0

De (3) despejar x́4:

(3 )2 x́2+2 x́3− x́4=0

x2=( x́1 , x́2 , x́3 , x́ 4 )

x2=(1 ,−1,1,0 )

De (4) despejar x́5 , pero∃ x́5entonces:

(4 ) x́3+2 x́4=0+s

α= rs=24→α=24

Entonces:


x́1=1

x́2=−1

x́3=1

x́4=0

s=1

MÉTODOS NUMÉRICOS

x=x1−αx 2

x=(x1

x2

x3

x4

)=( 10117)−24 (

1−110)

(x1

x2

x3

x4

)=(−2324−13

7)

Comprobación:

2 X1+X2−X3=−9

-46+24+13

-22+13=-9

CUARTO METODO DIRECTO

MÉTODO PENTADIAGONAL PARASISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

(⋯ 0⋮ ¿

⋮ ¿0¿⋯¿¿)(x1

x2

⋮⋮xn)=(

x1

x2

⋮⋮xn

) A x bAlgoritmo PentadiagonalLic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

64

Ec (1)Ec (2)⋮Ec (n)

MÉTODOS NUMÉRICOS

P-1Dado el sistema Ax=b , expresarlo en la forma Ax=b y definir x1=C ∧ x2=DDonde C ∧ D son constantes arbitrarias.P-2De Ec (1) despejar x3De Ec (2) despejar x4

⋮

De Ec (n-2) despejar xnDe Ec (n-1) despejar xn+1De Ec (n) despejar xn+2Como no existe xn+1 se hace lo siguiente :an−1, n−2 xn−2+an−1 , n−1 xn−1=bn−1+R1Como no existe xn+2 se hace lo siguiente :

an ,n−1 xn−1+an ,n xn=bn+R2

Donde R=(R1

R2) es un vector residual.

Si R=0→x1=(x1 , x2 ,…,xn )t es solución del sistema A.x = b

Si R≠0⟶x1 es solucióndel sistema A . x1=b+R

P-3:La primera solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como A x́=θ ,dondeθes el vector nulo;luego definir x́1=C y x́2=Den la cual se considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso anterior (P-2) llegando a la siguiente soluciónan−1, n−2 ´xn−2+an−1 , n−1 ´xn−1=θ+s1

an ,n−1 ´xn−1+an ,n x́n=θ+s2 en donde S=(s1

s2) es un vector residual.


MÉTODOS NUMÉRICOS

Si S=0→x2=( x́1 , x́2 ,…, x́n )t es solución del sistema A.x = b

Si S≠0⟶x2 es solucióndel sistema A . x2=θ+S

P-4: La segunda solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como A x́=θ ,dondeθes el vector nulo;luego definir x́1=C y x́2=Den la cual se considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso P-2 llegando a la siguiente solución.

an−1, n−2 ´xn−2+an−1 , n−1 ´xn−1=θ+T 1

an ,n−1 ´xn−1+an ,n x́n=θ+T 2 en donde T=(T1

T2) es un vector residual.

Si T=0→x3=( x́1 , x́2 ,…, x́n )t es solución del sistema A.x = b

Si T ≠0⟶ x3es solución del sistema A .x3=θ+T

P-5:Finalmente se llegará al siguiente sistemaA . x1=b+R ………(1)

A . x2=θ+S ………(2)A . x3=θ+T ……….(3)Luego hacemos (1) – α (2 )−β (3) y se llega a lo siguienteA (x1−α (2 )−β (3 )¿=b+(R−αS−βT )

X θLic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

66

MÉTODOS NUMÉRICOS

Se busca luego una solución en donde R −αS−βT = θ / X=x1−α x2−β x3Entonces la solución del sistema A.x = b estará dado por

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema pentadiagonal2X1+ 3X2+ X3 = 8 Ec(1)3X1+ 2X2 + 4X3 + X 4 = 15 Ec(2)X1+ 4X2 + X3 + 4X 4 + 2X5 = 13 Ec(2)X2 + 4X3 + 2X 4 + X5 = 19 EC(4)2X3 + X 4 + 7 X5 = 15 EC(5)PASO DEL ALGORITMOP-1: Expresar el sistema como A. X= b2X1 + 3X2 + X3 = 8 Ec(1)3X1 + 2X2 + 4X3 + X 4 = 15 Ec(2)X1 + 4X2 + X3 + 4X 4 + 2X5 = 13 Ec(3)X2 + 4X3 + 2X 4 + X5 = 19 Ec(4)2X3 + X 4 + 7X5 = 15 Ec(5)Sea X1 = 0 ⋀ X2 = 1 cte arbitrarioLic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

67

X=x1−α x2−β x3

MÉTODOS NUMÉRICOS

P-2: DE Ec(1) despejar X3→X3 = 5 pues 0 + 3(1) + X3 = 8DE Ec(2) despejar X 4→X 4 = −¿7 pues 0 + 2(1) +4(8) + X 4 = 15DE Ec(3) despejar X5→X5 = 16 pues 0 + 4(1) + 5 + 4(−¿7) + 2X5 = 13DE Ec(4) despejar X 6; como ∄ X6, hacemos lo sgte. :X2 + 4X3+ 2X 4 + X5 = 19 + R11 + 4(5) + 2(−¿7) + 16 = 19 + R1→R1= −¿45 De la Ec(5) despejar X7 ; como X7∄ hacemos2X3+ X 4+ 7X5= 15 + R22(5) + (−¿7) +7(16) = 15 + R2→R2 = 100R =(−45

100 ), como R ≠0; A. x1= b + RSe tiene:x1 = ¿= ¿ ó X1=( X1 , X2 , X3 , X4 , X5 )

t

P-3:Primera solución homogénea del sistema A.x = b, expresarlo Como A.x́= θ2X́1+ 3X́2+ X́3 = 0 Ec(1)3X́1+ 2X́2+ 4X́3+ X́ 4 = 0 Ec(2)X́1+ 4X́2+ X́3+ 4X́ 4+ 2X́5 = 0 Ec(3)X́2+ 4X́3+ 2X́ 4+ X́5 = 0 Ec(4)Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

68

MÉTODOS NUMÉRICOS

2X́3+ X́ 4+ 7X́5 = 0 Ec(5) Sea X́1= 10 ⋀ X́2= 20 De Ec(1) despejar X́3; →X́3 = −¿80 pues 2(10) + 3(29) + X́3 = 0De Ec(2) despejar X́ 4;→X́4= 250 x2=¿ pues 3(10) +2(20) + 4(−¿8) + X́ 4= 0De Ec(3) despejar X́5;→X́5= −505

pues 10 + 4(20) + (−¿80) + 4(250) + 2X́5 =0De Ec(3) despejar X́6; como ∄ X́6 hacemosX́2+ 4X́3+ 2X́ 4+ X́5= 0 + S120 + 4(−¿80) + 2(250) + (−¿505) = 0 + S1; →S1= 1445De Ec(5) despejar X́7; como ∄ X́7 hacemos 2X́3+ X́ 4+ 7X́5= 0 + S2 ;→S2=−3445

S =( 1445−3445)

2(−80¿+ (250) + 7(−505¿= 0 + S2 = 0 P-4: Segunda solución homogénea del sistema A.x = bexpresar A.x́= 02X́1+ 3X́2+ X́3 = 0 Ec(1) 3X́1+ 2X́2+ 4X́3+ X́ 4 = 0 Ec(2)X́1+ 4X́2+ X́3+4 X́ 4+ 2X́5 = 0 Ec(3)X́2+ 4X́3+2X́ 4+ X́5 = 0 Ec(4) 2X́3+ X́ 4+ 7X́5 = 0 Ec(5)Sea X́1= 20 ⋀ X́2= 10 De Ec(1) despejar X́3; →X́3= −70


MÉTODOS NUMÉRICOS

pues 2(20) + 3(10) + X́3= 0 De Ec(2) despejar X́ 4→X́ 4= 200

3X́1+ 2X́2+ 4X́3+ X́ 4= 03(20) + 2(10) + 4(−70) + X́ 4= 0De Ec(3) despejar X́5→X́5= 395X́1+ 4X́2+X́3+ 4X́ 4+ 2X́5= 020 + 4(10) + (−70¿+ 4(200) + 2X́5= 0De Ec(4) despejar X́ 6 como ∄ X́6, hacemos X́2+ 4X́3+2X́ 4+ X́5= 0 + T 1→T1= 192510 + 4(−70¿+¿2(200) + 395 = 0 + T 1

De Ec(5) despejar X́7; como ∄ X́7hacemos

2X́3+ X́ 4+7X́5= 0 + T 2

T = (T 1

T 2)= ( 1995−2705) ; X3= (

X́1

X́2

X́3

X́4

X́5

)=( 2010−70200395)

A.x3 = θ + TP-5: Y se llega a lo siguiente A.x1= b + RA.x2= 0 + SA.x3= 0 + T


MÉTODOS NUMÉRICOS

R – αS – βT = 0 R= (−45100 )

αS + βT = R S = ( 1445−3445)

α ( 1445−3445)+ β ( 1445

−3445)= (−45100 ) T = ( 1925

−2705)

1445α+ 1925β = −45 ; α = −¿0.025992507 −3445α−¿2705β = 100 ; β = −¿0.003865364X = X1−α X2−βX3

X = ¿= ¿ + 0.025992507 ¿+ 0.003865364 ¿X = ¿Comprobación : Ec(1) 2X1+ 3X2+ X3= 80.6744647 + 4.67551134 + 2.65002396 = 8 8 = 8 Cumple!!!Y tambien cumple todas las ecuaciones…

NORMA DE UNA MATRIZ

La Norma de una matriz An×n es un número real tal que satisface las siguientes condiciones


( i )‖A‖>0 y‖A‖=0 , si A=0(ii )‖τA‖=|τ|‖A‖,en particular‖−A‖=‖A‖, donde|−1|=1

( iii )‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖( iv )‖AB‖≤‖A‖‖B‖

MÉTODOS NUMÉRICOS

Principales Normas

Ejemplo 1:

Sea A=−1 −2 34 5 67 8 9

‖A‖m=max {|−1|+|−2|+3,4+5+6,7+8+9 }=max {6,15,24 }=24

‖A‖l=max {|−1|+4+7 ,|−2|+5+8,3+6+9 }=max {12,15,18 }=18

‖A‖k=√(−1)2+(−2)2+32+..+82+92=√285=16.9

Para el vector X =

x1

x2

:.xn

→‖X‖m=max {x }

‖X‖l=|x1|+|x2|+..+¿xn∨¿

‖X‖k=√¿ x1∨¿2+¿x2∨¿

2+¿x3∨¿2¿¿¿

Ejemplo 2:

Sea X = (−2 3 0 1−4)t


-Norma “m” o Norma ∞ →‖A‖=maxi∑j

¿aij∨¿¿

-Norma “l”, ‖A‖l=max j∑i

¿a ij∨¿¿

-Norma “k”, ‖A‖k=√∑i , j|aij|

2

MÉTODOS NUMÉRICOS

‖X‖m=max {|−2|,3 ,0 ,1,|−4|}=4

‖X‖l=|−2|+3+0+1+|−4|=10

‖X‖k=√(−2)2+32+02+12+(−4 )2=30

SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PRIMER METODO:

METODO DE JACOBI


MÉTODOS NUMÉRICOS

Dado el sistema AX=b………… (1)Despejamos X de la ecuación 1 obteniendo un sistema equivalente de la forma: X = β + αX……… (2)De la siguiente manera.

Ec.(1) a11X1+a12X2+ …………………………………………………….. +a1mXm = b1

Ec.(1) a21X1+a22X2+ …………………………………………………….. +a2mXm = b2

Ec.(1) a31X1+a32X2+ …………………………………………………….. +a3mXm = b3

Ec.(1) am1X1+am2X2+ …………………………………………………….. +ammXm = b1

Donde:

Despejamos X; de la Ec. (i); i=1,2,3, …. , m

X = β + αi-1X

X1 = b1a11−a12a11

X 2−a13a11

X 3−…………−a1ma11

X m

X2 = b2a22−a21a22

X 1−a23a22

X3−…………−a2ma22

X m

Donde:

β = bi/aii ; aii≠ 0 ; β = (β1,β2, … … … ,βm)t

α = αij = -aij/aii α =


.

.

.

.

.

.

………. (2)

[ 0 α 12α 21 0

⋯ α 1mα 2m

⋮ ⋱ ⋮α m1 αm2 ⋯ 0

]

X =|X 1⋮

X m|

A =[ a11 ⋯ a1m⋮ ⋱ ⋮

am1 ⋯ amm] b = |b1⋮

b m| y si aii≠ 0

MÉTODOS NUMÉRICOS

El sistema (2) anterior se puede expresar en la siguiente forma X = β + αX

X = β + αX

|X 1⋮

X m|=|X1⋮

X m|+[ 0 α 12α 21 0

⋯ α 1mα 2m

⋮ ⋱ ⋮αm1 α m2 ⋯ 0

]∗| X1⋮

X m|… (2)

El Sistema (2) sugiere Jacobi la siguiente relación de recurrencia

X (k+1) = β + αX (k), k=0,1,2, … … …

Ó …………………….. (3)

X (k) = β + αX (k-1), k=1,2, … … …

De la relación (3) se obtiene la sucesión {Xk} ∞k=0 tomando como valor inicial X (0) arbitrario, que

generalmente X (0)=0 ó X (0)=β ó β=1

Obs. X (k+1) = (X1(k+1),X2

(k+1), … … … … … … … … … … … … … , Xm(k+1))t

X (0) = (X1(0), X2(0),… … … … … … … … … … … … … …,Xm

(0)) t

ALGORITMO DE JACOBI:

P-1 Dado el Sistema Ax = b………………………… (1)

Expresarlo en el sistema equivalente X = β + αx…………………… (2)

P-2 Tomando como solución inicial X (0) arbitrario generar la sucesión {X (k)} → X (*) mediante la relación de recurrencia:

X (k+1) = β + αx (k) , k=0,1,2,… ….….…

Ó

X (k) = β + αX (k-1) , k=1,2,… … …


MÉTODOS NUMÉRICOS

P-3 Dejar de iterar si

(|| X (k) – X (k-1) ||)/ || X (k) || <= ε = 10-m

C.C. ir al P-2

NOTACION MATRICIAL DEL METODO DE JACOBI

Sea el sistema Ax = b

Donde:

La matriz A se le puede descomponer en la forma A = D +L + U, donde

Matriz Diagonal Matriz Triangular inferior Matriz Triangular superior

Así el sistema Ax = b se le puede expresar como:

(D + L + U)X = b

DX + (L + U) X = b

DX = b – (L + U) X

X = D-1b – D-1(L + U) X

X = D-1b + [-D-1(L + U)] X → β = D-1b ^ α = -D-1(L + U)

Si el método de Jacobi es X = β + αX

Matricialmente es: → X = D-1b – D-1(L + U) X


D=[a11 00 a22

⋯ 00

⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ amm

]L=[ 0 0α 21 0

⋯ 00

⋮ ⋱ ⋮α m1 … am(m-1) 0

]U=[0 α 120 0

⋯ α 1mα 2m

⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 0

]

A =a11 a12 … a1ma21 a22 … a2m⋮

a m1⋮

am2⋱ ⋮… amm

MÉTODOS NUMÉRICOS

Su relación de recurrencia es X (k+1)= D-1b – D-1 (L + U) X (k) , k=0, 1, 2 …

Ejemplo. 1

Sea el sistema siguiente:

10 X 1+X 2+X 3=12X 1+10 X 2+X 3=12X 1+X 2+10 X 3=12

Con un ε = 10-1

Verificar su convergenciaƎ {X (k)} → X (+) Si ||α | |∞< 1

Obs. Para que se cumpla ||α | | < 1 es necesario que del sistema Ax = b, A sea diagonalmente dominante.

De (1) → X1: X1 = 12/10 ó (-1/10) X2-(1/10)X3

(2) → X2: X2 = 12/10 – (1/10)X1 ó (-1/10)X3

(3) → X3: X3 = 12/10 – (1/10)X1 – (1/10)X2

||α | |∞ = ||α | |m = Max{0 + |-0.1| + |-0.1|, |-0.1| + 0 + |-0.1|, |-0.1| + |-0.1| + 0}

= Max{0.2, 0.2, 0.2} → ||α | | = 0.2 <= 1 → Ǝ {X (k)} → X (+)

POR EL MÉTODO DE JACOBI

Obs. Se toma como valor inicial X(0) arbitrario

X (0)


X (0) = 0X (0) = βX (0) = 1

β=(1.21.21.2) , α=(

0 −0.1 −0.1−0.1 0 −0.1−0.1 −0.1 0 )

MÉTODOS NUMÉRICOS

K=0 Iteración Inicial:

X (k+1) = β + αX (k)

X (1) = β + αX (0)

Donde β=(1.21.21.2)y sea X(0) = β = ( X(0)

1 X(0)2 X(0)

3 )t

X (1) = |X1(1)X2(1)X3(1)|=|

1.21.21.2|+[

0 −0.1 −0.1−0.1 0 −0.1−0.1 −0.1 0 ]∗|1.2

1.21.2|=|

1.21.21.2|

Donde

X1(1) = 1.2 + (0 -0.1-0.1)(1.2

1.21.2)=1.2+(−0.1 ) (1.2 )+(−0.1 ) (1.2 )=0.96

X2(1) = 1.2 + ( -0.1 0 -0.1)(1.2

1.21.2)

K=1 1° Iteración:

X (2) = β + αX (1)

X (2) = |X1(2)X2(2)X3(2)|=|

1.21.21.2|+[

0 −0.1 −0.1−0.1 0 −0.1−0.1 −0.1 0 ]∗|0.96

0.960.96|=|

1.0081.0081.008|

Donde:

X2(2) = 1.2 + (0 -0.1 -0.1)(0.96

0.960.96) = 1.008

K=2 2° iteración:

X (3) = β + αX(2)


MÉTODOS NUMÉRICOS

X (3)=|X1(3)

X2(3)

X3(3)|=|1.2

1.21.2|+[

0 −0.1 −0.1−0.1 0 −0.1−0.1 −0.1 0 ]∗|1.008

1.0081.008|=|

0.99840.99840.9984|

Donde:

X (3) = 1.2 + (0 -0.1 -0.1)(1.0081.0081.008) = 0.9984

Veremos si ya se consiguió la solución:

¿|X (3 )−X (2 )|∨ ¿

¿|X (3)|∨¿=

max {|0.9984−1.0080.9984−1.0080.9984−1.008|}

max {|0.99840.99840.9984|}

¿

¿

max {|0.99840.99840.9984|}

0.9984=0.009615=0.01≤

10-1 = ε → X (3) = X (*) con ε=10-1

Ejemplo 2:

Sea el siguiente sistema

Ec (1) 20x1 + 5x3 =2Ec (2) x1 + 20x2 + 2x3 = 4Ec (3) x1 + 9x2 + 20x3 = 6

Por Jacobi verificar su convergencia

CONVERGENCIA DE JACOBI

{x( x)

} X* Si ||α|| < = 1 …………….. (i)


MÉTODOS NUMÉRICOS

Observación

Para que se cumpla (i)

Es necesario que A del sistema original Ax = b sea diagonalmente dominante, es decir

aii>= ∑ |aij| de su fila y de su columna

Así: a11 = 20 > = 0 + 5 de su fila

a11 = 20 > = 1 +1 de su columna

a22 = 20 > = 1 + 2 de su fila

a22 = 20 > = 0 + 9 de su columna

Igual para a33

x1 = 2

20 + 0 + 0 -

520

x3

x2 = 4

20 -

120

x1 + 0 - 2

20x3

x3 = 6

20 -

120

x1 - 9

20x 2 + 0

… …. . ………………….

x = β + αx

α = | 0 0− 520

−120

0− 220

−120− 9

200| =| 0 0−0.2

−0.05 0−0.1−0.05−0.45 0|

|| α ||∞ = máx.{ 0 + 0 + | −520

| , | −120

| + 0 + | −120

| , | −120

| + | −920

| + 0 }

|| α ||∞ = máx.{0.25, 0.15, 0.5 }

|| α ||∞ = 0.5 < = 1

{ } X* por jacobi

Por jacobi obtener una solución con € =


MÉTODOS NUMÉRICOS

Si la relación de jacobi es = β + α , k = 0, 1,2…

Para k = 0

Interacción inicial

= β + α

Observación es arbitraria

Sea =

= = +

….. ……………………. …

β + α =

= β =

Para k = 1

Primera iteración = β + α

= = +

Donde


MÉTODOS NUMÉRICOS

= 0.1 +

= 0.1 + (0)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.25)(0.3) = 0.025\

= 0.2 +

= 0.2 + (-0.05)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.1)(0.3) = 0.165

= 0.205

Para k = 2

Segunda iteración = β + α

= = + =

….. ………………….... ……… …………

β α

k =3

Tercera iteración = β + α

= = + =

….. ………………….... ……… …………

β α


MÉTODOS NUMÉRICOS

Verificamos si se llego a la solución

=

=

= = 0.03289625 < =

= x* con € <

SOLUCION MATRICIAL DE JACOBI

Del sistema Ax = b

Sea A = D + L + U

( D + L + U )x = b

Dx + ( L + U)x = b

Dx = b + [-( L + U)x]

x = b + [- ( L + U )]x

…… ………………..

x = β + α x


la relación matricial de jacobi

= b + [- ( L + U )]k = 0, 1, 2…

Observación

α = - ( L + U ) es igual al despejarxi de la ecuación (i), i = 1, 2, 3…

MÉTODOS NUMÉRICOS

SEGUNDO METODO:

METODO DE GAUSS- SEIDEL

También determina la solución del sistema Ax=b iterativamente.

De la relación matricial del sistema Ax=b :

(D+L+U ) x=b→Dx+Lx+Ux=b

Dx=b−Lx−Ux→x=D−1b+ (−D−1 L )x+(−D−1U ) x…(θ)

De (θ) se obtiene la relación matricial de G-S , siguiente:

Observación:

*Si α=−D−1 (L+U )

→ {−D−1Les la MatrizTriangular Inferior deα−D−1U es laMatriz Triangular Superiro deα


x(k +1)=D−1b+(−D−1L ) x(k +1)+(−D−1U ) x(k)

MÉTODOS NUMÉRICOS

*La relación (θ) se puede obtener al igual que Jacobi del sistemaAx=b , de la ecuación idespejar la variable x i, para obtener la Matriz α .

Algoritmo del método de Gauss-Seidel:

Paso1:Dado el sistema Ax=b obtener su sistema X=β+αx.

Paso 2: Para un punto inicial arbitrario x(0) generar la sucesión {x(k )}→x(¿) mediante la siguiente relación:

x(k +1)=D−1b+(−D−1L ) x(k +1)+(−D−1U ) x(k) ; K=0 ,1 ,2 ,…

Paso 3: Dejar de iterar si ‖x (k )−x (k−1)

x(k) ‖≤ ε=10−n ; caso contrario ir al paso 2.

Observación:

En la convergencia del método de Gauss-Seidel también se cumple que:

‖α‖<1

→ {x8k ¿¿}→x(¿)

Ejercicios resueltos:

1) Dados:

A=(10 3 12 −10 31 3 10) , b=(

14−514 ) , x(0)=(

000)

Resuelva el sistema Ax = b por el método de Gauss-Seidel.

Solución:

Utilizando Gauss-Seidel:


MÉTODOS NUMÉRICOS

x (k +1)=D−1b+ (−D−1L )x ( k )+(−D−1U ) x (k )

Operando obtenemos la secuencia:

x (1 )=( 7 /539 /50

513 /500) , x (2)=( 1.06341.020480.987516)

x (3 )=(0.9951040.9952761.00191 ) , x (4)=( 1.00123

1.000820.999632)

x(5)=(0.9997920.9998481.00007 ) , x(0)=(

1.000041.00003

0.999988)Claramente converge a la solución exacta (1 ,1,1)T.

La tasa de convergencia del método de Gauss-Seidel viene dada por la norma de:

S=(L+D)−1U=(0 3/10 1/100 3/50 −7 /250 −6/125 37 /500)

Cuyas normas son: ‖J‖1= 227/500 = 0.454 y ‖J‖∝= 2/5 = 0.4.

2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

A=(3 2 12 3 11 1 3) , b=(

123)

¿Puede resolver este sistema por el método de Gauss-Seidel? ¿Por qué? Si lo puede hacer, haga solo dos iteraciones a partir de la solución nula y determine la tasa numérica de convergencia. Además calcula la tasa exacta de convergencia. ¿Cuántas iteraciones necesitará para alcanzar un error absoluto de 10−5.

Solución:

El método de Gauss-Seidel es aplicable porque por que la matriz es simétrica definida positiva. Dos iteraciones conducen a:


MÉTODOS NUMÉRICOS

x (0 )=(0 0 0 )Tx (1 )=(1/3 4/9 20/27 )T

x (2 )=(−17/81 136/246 644 /729 )T

Y la tasa de convergencia numérica la podemos calcular como (en norma infinito)

‖x(2)−xx(1)−x‖= 46

189=0.24

Que se parece poco a la tasa de convergencia exacta:

ρ ¿

NOTA: Calculando con más iteraciones nos acercamos a la tasa teórica, por ejemplo:

‖x(10)−xx(9 )−x ‖=0.413

Para alcanzar (en norma infinito) un error absoluto menor que 10−5se requieren 13 iteraciones.

Ejemplo 1

Sea el sistema:

20 x1+9x2+9 x3=2

2 x1+20 x2+9 x3=4

5 x1+9x2+20 x3=6

Por el método de Gauss-Seidel

Analizar su divergenciaHallar su solución con ε=10−1

Solución:

Analizar su divergencia


MÉTODOS NUMÉRICOS

D=[20 0 00 20 00 0 20]

L+U=[0 9 92 0 95 9 0]

Luego:

α=−D−1(L+U )

α=[−1/20 0 00 −1/20 00 0 −1/20] [

0 9 92 0 95 9 0]=[

0 −9 /20 −9 /20−2/20 0 −9 /20−5/20 −9 /20 0 ]

α=[ 0 −0.45 −0.45−0.10 0 −0.45−0.25 −0.45 0 ]

‖α‖=max {0.9 , 0.55 , 0.7 }=0.9<1

→∃ {X (k)} → X*

Hallar su solución con ε=10−1

β=D−1b=[0.05 0 00 0.05 00 0 0.05][

246 ]=[

0.10.20.3]

De x (k +1)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(k+1)]+ [−D−1U ] x(k)

k=0


MÉTODOS NUMÉRICOS

Sea x(0)=[ x1

(1)

x2(1)

x3(1)]=[000]

→x(1)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(1)]+[−D−1U ] x(0)

x(1)=[ x1(1)

x2(1)

x3(1)]=[0.1

0.20.3]+[

0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1

(1)

x2(1)

x3(1)]+[0 −0.45 −0.45

0 0 −0.450 0 0 ][000]

x1(1)=0.10

x2(1)=0.2−0.1 x1

(1)=0.2−0.1 (0.1 )

→x2(1)=0.19

→x3(1)=0.1895

x(1)=[ x1(1)

x2(1)

x3(1)]=[ 0.1

0.190.1895]

k=1 : 1era Iteración

→x(2)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(2)]+[−D−1U ] x(1)

x(2)=[ x1(2)

x2(2)

x3(2)]=[0.1

0.20.3]+[

0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1

(2)

x2(2)

x3(2)]+[0 −0.45 −0.45

0 0 −0.450 0 0 ][ 0.1

0.190.1895]

x1(2)=−0.070775

→x2(2)=0.114725−0.1 (−0.0707755 )=0.1218025

→x3(1)=0.262882625


MÉTODOS NUMÉRICOS

x(2)=[ x1(2)

x2(2)

x3(2)]=[ −0.070775

0.12180250.262882625]

k=2: 2da Iteración

→x(3)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(3)]+[−D−1U ] x(2)

x(3)=[ x1(3)

x2(3)

x3(3)]=[0.1

0.20.3]+[

0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1

(3)

x2(3)

x3(3)]+[0 −0.45 −0.45

0 0 −0.450 0 0 ][ −0.070775

0.12180250.262882625]

x(3)=[ −0.0731083060.081702819−0.1x1

(3 )

0.3−0.25 x1(3)−0.45 x2

(3 )]→x1

(3)=−0.073108306

→x2(3)=0.089013649

→x3(3)=0.278220934

x(3)=[−0.0731083060.0890136490.278220934 ]

k=3: 3era Iteración

→x(4 )=D−1b+[−D−1L ] [x(4)]+[−D−1U ] x(3)

x(4 )=[x1(4)

x2(4)

x3(4)]=[0.1

0.20.3]+[

0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1

(4 )

x2(4 )

x3(4 )]+[0 −0.45 −0.45

0 0 −0.450 0 0 ] [−0.073108306

0.0890136490.278220934 ]


MÉTODOS NUMÉRICOS

→x1(4)=−0.065255562

→x2(3)=0.081326136

→x3(3)=0.279717129

x(4 )=[−0.0652555620.0813261360.279717129 ]

‖x(4)−¿x(3 )‖‖x(4)‖

=

max|0.0078527440.007687513

0.0014 |max|0.065255562

0.0813261360.279717129|

=0.028<0.1

→x(4)=x¿conε=10−1

Ejemplo 2

Sea el sistema:15 x1+0x2+0 x3=2

7 x1+15x2+1 x3=4

0 x1+9 x2+15 x3=6



MÉTODOS NUMÉRICOS


Solución:


D=[15 0 00 15 00 0 15]

L+U=[0 0 07 0 10 9 0]

Luego:

α=−D−1(L+U )

α=[−1/5 0 00 −1/5 00 0 −1/5][

0 0 07 0 10 9 0]=[

0 0 0−7/15 0 −1/15

0 −9/15 0 ]‖α‖=max {0 , 8/19 , 9/15 }= 9

15<1

→∃ {X (k)} → X*

Hallar su solución con ε=10−1

β=D−1b=[1/15 0 00 1/15 00 0 1/15] [

246]=[

2/154 /156/15]

De x (k +1)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(k+1)]+ [−D−1U ] x(k)

k=0

Sea x(0)=[ x1

(1)

x2(1)

x3(1)]=[000]

→x(1)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(1)]+[−D−1U ] x(0)


MÉTODOS NUMÉRICOS

x(1)=[ x1(1)

x2(1)

x3(1)]=[2 /15

4 /156 /15 ]+[

0 0 0−7/15 0 0

0 −9/15 0][ x1(1)

x2(1)

x3(1)]+[0 0 0

0 0 −1/150 0 0 ] [000]

x1(1)=2

5+0= 2

15

x2(1)= 4

15− 7

15x

215=0.204444

→x2(1)=0.2044444444

→x3(1)= 6

15− 9

15x0.2044444444=0.277333334

x(1)=[ 0.133330.204

0.277333334 ]k=1 : 1 era Iteración

→x(2)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(2)]+[−D−1U ] x(1)

x(2)=[ x1(2)

x2(2)

x3(2)]=[2 /15

4 /156 /15]+[

0 0 0−7/15 0 0

0 −9/15 0][ x1(2)

x2(2)

x3(2)]+[0 0 0

0 0 −1/150 0 0 ] [ 0.13

0.2040.2773]

x1(2)=2

5+0= 2

15=0.1333

→x2(2)= 4

15− 7

15x

215− 1

15x 0.2773=0.1862209

x3(2)= 6

15− 9

15x 0.1862209=0.28826746

→x3(2)=0.28826746


MÉTODOS NUMÉRICOS

x(2)=[ 0.18622090.288267460.28826746]

k=2: 2da Iteración

→x(3)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(3)]+[−D−1U ] x(2)

x(3)=[ x1(3)

x2(3)

x3(3)]=[ 2/15

4 /156 /15]+[

0 0 0−7/15 0 0

0 −9/15 0][ x1(3)

x2(3)

x3(3)]+[0 0 0

0 0 −1 /150 0 0 ][ 0.133

0.18622090.28826746]

→x1(3)= 2

15=0.1333

→x2(3)= 4

15− 7

15x

215− 1

15x 0.28826746=0.185216089

→x3(3)= 4

15− 9

15x 0.185216089=0.288570347

x(3)=[ 1.3330.1852160890.288570347]

‖x(3 )−¿ x(2)‖‖x(3)‖

=0.0025026510

→x(3)=x¿con ε=10−1

Ejemplo 3Sea el sistema:20 x1+9x2+9 x3=2

2 x1+20 x2+9 x3=4

5 x1+9x2+20 x3=6



MÉTODOS NUMÉRICOS


Solución:


D=[20 0 00 20 00 0 20]

L+U=[0 9 92 0 95 9 0]

Luego:

α=−D−1(L+U )

α=[−1/20 0 00 −1/20 00 0 −1/20] [

0 9 92 0 95 9 0]=[

0 −9 /20 −9 /20−2/20 0 −9 /20−5/20 −9 /20 0 ]

α=[ 0 −0.45 −0.45−0.10 0 −0.45−0.25 −0.45 0 ]

‖α‖=max {0.9 , 0.55 , 0.7 }=0.9<1→∃ {X (k)} → X*

Hallar su solución conε=10−1

β=D−1b=[0.05 0 00 0.05 00 0 0.05][

246 ]=[

0.10.20.3]

De x (k +1)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(k+1)]+ [−D−1U ] x(k)

k=0


MÉTODOS NUMÉRICOS

Sea x(0)=[ x1

(1)

x2(1)

x3(1)]=[000]

→x(1)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(1)]+[−D−1U ] x(0)

x(1)=[ x1(1)

x2(1)

x3(1)]=[0.1

0.20.3]+[

0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1

(1)

x2(1)

x3(1)]+[0 −0.45 −0.45

0 0 −0.450 0 0 ][000]

x1(1)=0.10

x2(1)=0.2−0.1 x1

(1)=0.2−0.1 (0.1 )

→x2(1)=0.19

→x3(1)=0.1895

x(1)=[ x1(1)

x2(1)

x3(1)]=[ 0.1

0.190.1895]

k=1 : 1 era Iteración

→x(2)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(2)]+[−D−1U ] x(1)

x(2)=[ x1(2)

x2(2)

x3(2)]=[0.1

0.20.3]+[

0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1

(2)

x2(2)

x3(2)]+[0 −0.45 −0.45

0 0 −0.450 0 0 ][ 0.1

0.190.1895]

x1(2)=−0.070775

→x2(2)=0.114725−0.1 (−0.0707755 )=0.1218025


MÉTODOS NUMÉRICOS

→x3(1)=0.262882625

x(2)=[ x1(2)

x2(2)

x3(2)]=[ −0.070775

0.12180250.262882625]

k=2: 2 da Iteración

→x(3)=D−1b+ [−D−1L ] [ x(3)]+[−D−1U ] x(2)

x(3)=[ x1(3)

x2(3)

x3(3)]=[0.1

0.20.3]+[

0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1

(3)

x2(3)

x3(3)]+[0 −0.45 −0.45

0 0 −0.450 0 0 ][ −0.070775

0.12180250.262882625]

x(3)=[ −0.0731083060.081702819−0.1x1

(3 )

0.3−0.25 x1(3)−0.45 x2

(3 )]→x1

(3)=−0.073108306

→x2(3)=0.089013649

→x3(3)=0.278220934

x(3)=[−0.0731083060.0890136490.278220934 ]

k=2: 3 era Iteración

→x(4 )=D−1b+[−D−1L ] [x(4)]+[−D−1U ] x(3)

x(4 )=[x1(4)

x2(4)

x3(4)]=[0.1

0.20.3]+[

0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1

(4 )

x2(4 )

x3(4 )]+[0 −0.45 −0.45

0 0 −0.450 0 0 ] [−0.073108306

0.0890136490.278220934 ]


MÉTODOS NUMÉRICOS

→x1(4)=−0.065255562

→x2(3)=0.081326136

→x3(3)=0.279717129

x(4 )=[−0.0652555620.0813261360.279717129 ]

‖x(4)−¿x(3 )‖‖x(4)‖

=

max|0.0078527440.007687513

0.0014 |max|0.065255562

0.0813261360.279717129|

=0.028<0.1

→x(4)=x¿conε=10−1

DIFERENCIA NUMERICA

Aproximaciones a la Derivada

Generación de Formulas de Diferenciación Numérica


MÉTODOS NUMÉRICOS

Primera y Segunda Derivada Aplicando los Métodos de Newton Progresivo y Regresivo y Métodos Centrales.

Diferenciación numérica

Dado una tabla de (n+1) puntos igualmente espaciados de la forma: (X0, f0), (X1, f1),… (Xn, fn) continua y diferenciable en [X0, Xn]. El problema de la Diferenciación Numérica es que dado un valor Xp∈ [X0, Xn] se desea hallar el valor f p

' tal que f '(X p)=f p

' , donde:

P=X p−X0

h…(i)

X p=X0+Ph

f ( X p )=f p−f (X 0+Ph )

f ' (X p )=d f p

d X p

=

d f p

dp∗dp

d X p

=

d f p

dp∗1

h

→f ¿p'

1h∗d f p

dp….(ii)

Fórmula de Newton Progresivo (N P):

Si Xp = X0 en (i) P = 0

→fórmula de NP es:

f p=f 0+P∆ f 0+P(P−1)∆2 f 0

2 !+P (P−1 )(P−2)∆3 f 0

3 !+P (P−1 ) (P−2 )(P−3)∆4 f 0

4 !+. .

Según (ii)

f p' =1

h [∆ f 0+(P2−P)'∆2 f 0

2 !+(P3−3P2+2 P)'∆3 f 0

3 !+(P4−6P3+11P2+6 P)' ∆4 f 0

4 !+..]

f p' =1

h¿


MÉTODOS NUMÉRICOS

Si XP=X0 en (i) → P=0 en (iii)

f X0' =f 0

' =1h[∆ f 0−

∆2 f 0

2+∆3 f 0

3−∆4 f 0

4+…]

DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR

Se desea hallar f ' ' (X p ) , f ' ' ' ( X p ) ,en forma aproximada

f ' ' (X p )=f p' '. AdemásP=X p−X0

h

f ' ' (X p )=d (f ' (X p))

d X p

=

d f p'

d p

∗d p

d x p

,Si se sabe f p

' '=1h

d f phd p

f p' '=1

h1hd2 f p

d p

f p' '= 1

h2

d2 f p

d p

En general se tiene f n p= 1hn

dn f p

dp

f p' 'Para Newton Progresivo - hacia adelante

f p' '= 1

h2 [∆2 f 0+ (P−1 )∆3 f 0+( 6 P2−18 P+1112 )∆4 f 0…]

Si XP=X0 → P=0

f p' '= 1

h2 [∆2 f 0+∆3 f 0+( 11

12 )∆4 f 0…]Formula de Newton Regresivo (NR). Su formula de interpolación es:

f p=f 0+P∇ f 0+P(P+1)∇2 f 0

2 !+P (P+1 )(P+2)∇3 f 0

3 !+P (P+1 ) (P+2 )(P+3)∇4 f 0

4 !+. .

Según (ii)


MÉTODOS NUMÉRICOS

f p' =1

h¿(P4−6 P3+11P2−6 P)'∇4 f 0

4 !+.. .

¿ 1h¿

Si XP=0 → P=0

f X0' =f 0

' =1h [∇ f 0+

∇2 f 0

2+∇3 f 0

3+∇4 f 0

4+…]

Nota: Para determinar la 1ra derivada se debe tomar una diferencia más que la que indica la T O T en el caso de interpolación.

DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR f ' ' PARA NEWTON REGRESIVO

f P' '= 1

h2 [∇2 f 0+(P+1 )∇3 f 0+( 6 P2+18P+1112 )∇4 f 0… ]

P=0→f 0' '= 1

h2 [∇2 f 0+∇3 f 0+( 11

12 )∇4 f 0…]Ejemplo: En la siguiente tabla determinar (a)f 0

' y (b)f 1(0.055) por NP

X f(X) ∆ ∆2 ∆3

0.00 1.0000 513 26 10.05 1.0513 539 27 30.10 1.1052 566 30 00.15 1.1618 596 300.20 1.2214 6260.25 1.2840

Solución(a):

f 0'=1

h [∆ f 0−∆2 f 0

2+∆3 f 0

3 ]h=X i−X i−1=0.25−0.20=0.05

¿ 1h [0.0513−0.00026

2+ 0.0001

3 ]f 0'=1.0006667≅ 1.0007


MÉTODOS NUMÉRICOS

Solución (b)

f (0.055)' es una derivada que esta al principio de la tabla → se emplea la formula de Newton

Progresivo, como XP=0.055 es un punto intermedio → XP∈ [0.05,0.10], → X0=0.05. Se halla su

valor de P de:P=X P−X0

h .

H=0.05 → P=0.055−0.05

0.05=0.1

X0 f0 ∆f0 ∆2f0 ∆3f00.05 1.0513 539 27 3

Si f P' =1

h [∆ f 0+(2 P−1)∆2 f 0

2!+(3 P2−6 P+2)∆2 f 0

3 ! ]f (0.055)' =

10.05 [0.0539+

(0.2−1 ) (0.0027 )2

+[ 3 (0.1 )2−6 (0.1 )6

+2] (0.0003 )]¿1.05783

Ejemplo de la Fórmula Newton Regresivo

Hallar(a)f ' (0.025 )y (b)f '(0.225)

Solución (a)

Para P=0 y |∇3 f i|<8 , se utiliza → X 0 f 0∇1 f 0∇

2 f 0∇3 f 0

0.25 1.289 0.626 0.030 0

f P=0' =1

h [∇ f 0+∇2 f 0

2+∇3 f 0

3 ] , f 0'=f P=0

' =f (0.25 )' ,porque X0=0.25 en la tabla de NR

f (0.25)' =f 0

' = 10.05 [0.0626+ 0.0030

2+ 0.0000

3 ]→f 0'=1.282


MÉTODOS NUMÉRICOS

Solucion(b)

X P=0.025→P=X P−X0

h=0.025−0.25

0.05=−0.5→P=−0.5

en f P' =1

h [∇ f 0+(2P+1)∇2 f 0

2 !+(3 P2+6 P+2)∇3 f 0

3 ! ]→X0 f 0∇1 f 0∇

2 f 0∇3 f 0

0.25 1.289 0.626 0.030 0

f (0.225)' =

10.05 [0.626+[ 2 (−0.5 )

2+1] (0.0030 )+[ 3 (−0.5 )2+6 (−0.5 )

2+2] (0.0000 )]

f (0.225)' =1.252

FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE BESSEL

f P=f 0+β1δ f 1/2+β2 (δ 2 f 0+δ2 f 1 )+β3δ

3 f 1 /2+…

f P' =1

h

d f PdP=1h[β1

' δ f 1 /2+β2' (δ2 f 0+δ

2 f 1 )+ β3' δ 3 f 1/2+…]

Si β1=P→β1'

β2=P (P−1)

4=P2−P

4→β2

'=2 P−14

β3=P (P−1 )(P−1 /2)

6=2 P3−3 P2+P

6→β3

'=6 P2−6 P+16

Si XP es un punto tabulado XP=X0 → P=0

f 0'=1

h [δ f 1/2−(δ 2 f 0+δ

2 f 1)4

+δ3 f 1 /2

4+…]

FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE STIRLING

f p=f 0+s1 (δ f −1/2+δ f 1/2 )+s2 δ2 f 0+s3 (δ3 f −1/2+δ

3 f 1 /2 )+…Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

103

MÉTODOS NUMÉRICOS

f P' =1

h [ s1' (δ f−1 /2+δ f 1 /2 )+s2

' δ2 f 0+s3' (δ3 f−1/2+δ

3 f 1/2)+…]

Si s1=¿

P2→s1

'=12, Si s3=

P (P−1 )(P+2)2(3!)

→s3' =

3 P2

12¿

Si s2=P2

2→s2

'=P ,Si s4=P2 (P+1 )(P−1)

4 !→s4

'=2 P3−P12

f P' =1

h [ δ f−1 /2+δ f 1/2

2 ]+Pδ 2 f 0+(3P2−1 )

12(δ3 f −1/2+δ

3 f 1/2)+…

En XP=X0 → P=0

f 0'=1

h [ (δ f−1 /2+δ f 1/2)2

−(δ3 f −1/2+δ

3 f 1 /2)12

+… ]

Ejemplo 3:Hallar(a)f '(0.10), (b) f '(0 .125)

Solución(a)

f '(0.10)=f '(X0)=f 0

Como 0.10 ∈ [0.10,0.15] → X 0=0.10∧X p=0.10

P=X p−X0

h=0.10−0.10

0.05=0∧P=0∈<0,1/2¿ seaplica f 0

' deStirlinghastasu3 ra

diferenciaporquesegunTOT|∆3 f 0|<60→f 0' deStirlinghastasu3 radiferenciaes :

f P' =1

h [β1' δ f 1 /2+β2

' (δ 2 f 0+δ2 f 1)+β2

' δ 3 f 1 /2 ]…(i)

ComoP=0→en (i ) setiene s3'=3 P2−1

12, s1

'=12, s2

'=P

f 0'=1

h [δ f 1/2−(δ 2 f 0+δ

2 f 1)4

+δ3 f 1 /2

6 ]


MÉTODOS NUMÉRICOS

En la tabla se tiene:

X 0=0.10

X1=0.15

1.1052 f 0 0.0027(δ2 f 0)0.0 566δ f 1 /2 0.0003(δ 3 f 1/2)

1.1618 f 10.0030 (δ 3 f 1 )

∧h=0.05

→f 0' = 1

0.05 [0.0566−0.0027+0.00304

+ 0.00036 ]=1.1095

Solución (b)

f ' (0.125 )→XP=0.125∈[0.10,0.15 ]

P=X P−X0

h=0.125−0.10

0.05=0.5∈ ¿

|∆3 f 0|<60conP=0.5en (i ) , donde :

β1'=1 , β2

'=2 P−14=

2 (0.5 )−14

=0 , β3'=6P2−6 P+1

6=−0.0833333en ( i ) se tiene

f ' (0.125 )= 10.05

[ (1 ) (0.0566 )+0 (0.0027+0.0030 )+(−0.083 ) (0.0003 ) ]=1.1315

INTEGRACIÓN NUMERICA

Para intervalos Simples

Método del trapecio


MÉTODOS NUMÉRICOS

h=X0−X 1

1=b−a

1

∫a

b

f (X )dx=h2( f 0+ f 1 )+ℇ

ℇ=−h3

12f (m)' ' , mє [X0, X1]

Donde f (m )' ' = max{|f (a)' ' |,|f (b )' ' |}

Método de Simpson de 1/3

h=b−a2

∫a

b

f xdx=h3(f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ

ℇ=−h5

90f (m)IV , m є[X0,X1]

Donde f (m)IV =max {|f (a)IV|,|f (b)IV|}

Método de Simpson de 3/8


MÉTODOS NUMÉRICOS

h=b−a3

∫X 0

X 3

f (x)dx=38h [ f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 ]+ℇ

ℇ=−380

h5 f (m)IV

donde f (m)IV =max {|f (a)IV|,|f (b )IV|}

Ejemplo:

∫1

2

X sin X dx=h2( f 0+f 1)+ℇ

Por el trapecio Simple

Solución:

h=b−a1=2−1

1=1

X f(x)

X0=1 f0=0.841471

X0+h=X1=2 f1=1.818595

Obs: Los puntos Xi son dela forma Xi=X0+hi


MÉTODOS NUMÉRICOS

Determinación del ℇ Si f ( x)=X sin X

f ( x)' =sin X+X cos X

f ( x)' ' =2 cosX−X sin X

f (m )' ' =max {|f (1)' ' |,|f (2)' ' |}

f (m )' ' =max {|0.23|,|2.65|}

ℇ=−h3

12f (m)' ' =−13

12(2.65 )=−0.220907377

Entonces

∫1

2

X sin X dx=h2( f 0+f 1)+ℇ=1.109125

Solución por el método Simpson de 1/3 para intervalo simpleSol:

h=b−a2=2−1

2=1

2=0.5

X f(x)

X0=1 f0=0.841471

X0+h=1.5 f1=1.496242

X0+2h=2 f2=1.818595

Determinación del ℇ

Si f ( x )' ' =2 cosX−X sin X

f ( x )IV=−4 cosX+X sin X


MÉTODOS NUMÉRICOS

f (m)IV =max {|f (1)IV|,|f (2)IV|}f (m)IV =max {3.4831}

ℇ=−h5

90f (m)IV =−0.55

90(3.4831 )=−0.0012094

Entonces:

∫a

b

f (x)dx=h3( f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ=1.442048

Por Simpson 3/8 para intervalo SimpleSol:

∫1

2

X sin X dx=38h ( f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )+ℇ

h=2−13=1

3ℇ, es igual al ejemplo anterior

X f(X)

X0=1 f0=0.841471

X1=4/3 f1=1.295917

X2=5/3 f2=1.659013

X3=2 f3=1.818595

f (m)IV =max {3.4831}

ℇ=−380

h5 f (m)IV =−3

800.335 (3.4831 )=−0.0005117

∫1

2

X sin X dx=38h ( f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )+ℇ=1.42568923

Integración Numérica para intervalos compuestos

Método del trapecio compuesto


MÉTODOS NUMÉRICOS

mveces h

h=b−am

Demostración:

∫X 0

X 1

f (X )dx=h2( f 0+ f 1 )+ℇ 1

∫X 1

X 2

f (X )dx=h2( f 1+ f 2 )+ℇ 2

∫X 2

X 3

f (X )dx=h2( f 2+ f 3 )+ℇ 3

∫Xm−1

Xm

f (X )dx=h2(f m−1+ f m )+ℇm

Entonces la suma todas las integrales seria:

∫X 0

Xm

f (X )dx=h2 [ ( f 0+f m )+2 ( f 1+ f 2……+f m−1) ]+ℇ

Determinación del ℇ del trapecio

ℇ=−(b−a)3

12m2 f (m )' '

Método de Simpson de 1/3 compuesta.


……

MÉTODOS NUMÉRICOS

h=b−a2m

Demostración:

∫X 0

X 2

f xdx=h3(f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ 1

∫X 2

X 4

f xdx=h3(f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ 2

∫X 4

X 6

f xdx=h3(f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ 3

∫Xm−2

Xm

f xdx=h3( f 0+4 f 1+f 2)+ℇm

Entonces la suma de todas las integrales seria:

∫X 0

Xm

f (X )dx=h3 [ ( f 0+f m )+4 ( f 1+ f 3+ f 5+…+ f m−1 )+2 (f 2+ f 4+…+f m−2)]+ℇ

Determinación del ℇ de Simpson de 1/3 compuesta

ℇ1=−h5

90f (m)IV

ℇ2=−h5

90f (m )IV

ℇ m=−h5

90f (m)IV =

(b−a)5

2880m4 f (m)IV


…

……

MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejemplo:

∫1

2

Xsin X dx

Por trapecio compuesto con m=5Sol:

h=b−am=2−1

5=1

5=0.2

X f(X)

X0=1 f0

X1=1.2 f1

X2=1.4 f2

X3=1.6 f3

X4=1.8 f4

X5=2 f5

ℇ=−(b−a)3

12m2 f (m )' ' =−(2−1)3

12∗52 f (m )' '

∫1

2

f (X )dx=h2 [ ( f 0+ f 5 )+2 ( f 1+ f 2+f 3+ f 4 ) ]+ℇ = 1.436070589 +ℇ

Simpson de 1/3 compuesto con m=3

h=b−a2m=2−1

2∗3=1

6

X f(X)

X0=1 f0

X1=7/5 f1

X2=8/6 f2

X3=9/6 f3


Es igual al ejemplo del trapecio simple

MÉTODOS NUMÉRICOS

X4=10/6 f4

X5=11/6 f5

X6=2 f6=fm

ℇ m=(b−a)5

2880m4 f (m)IV =−(2−1)5

2880∗34 f (m)IV

∫1

2

X sin X dx=h3 [ ( f 0+ f 6 )+4 (f 1+ f 3+f 5 )+2(f 2+ f 4)]+ℇ=¿¿ 2.493614005 +ℇ

EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R)

Definición ER: Consiste en que a partir de dos estimación (o aproximaciones) de una integral, obtener una tercera aproximación (muchas veces la mejor).

Se tiene los siguientes casos:

Para intervalos simples:

ER entre la Regla del trapecio y la 1º formula abierta (Integración abierta) “ambas de precisión uno” porque f ' ' (ç )=0→E=0

Sea I ¿=∫a

b

f (x )dx por dos métodos anteriores se tiene:

Regla Trapecio (RT):


Es igual al ejemplo de Simpson de 1/3

MÉTODOS NUMÉRICOS

I ¿=I 1+E1donde :

1º Regla Abierta de Newton – Cotes:I ¿=I 2+E2donde :

El valor de la integral I* (generalmente es el mejor).

Que se cumple:

I ¿=I 1+E1=I 2+E2……….(1)

Tomando el cociente de errores

E1

E2

=

−(b−a )12

3

f ii ( ç1 )

(b−a )3

24f ii ( ç2 )

ç 1 , ç2 ∊ (a ,b)

Supongamos que:

f ii (ç1 )=f ii (ç2 )→ E1E2=24

12→E1=−2E2……….(2)

(2) en (1)

I 1+E1=I 2+E2

I 1−2E2=I 2+E2

I 1−I 2=E2+2E2

I 1−I 2=3E2→3 E2=13( I 1−I 2 )

(3) en (1)

I ¿=I 2+E2


E2=−h3

3f ii (ç2 ) , ç2 ∊ (x0 , x2 )ó E1=−( b−a

2 )3 f ii

3(ç2 ) , ç2 ∊ (a ,b )

E1=−h3

12f ii (ç1 ) , ç1 ∊ (x0 , x1 )ó E1=

−(b−a)3

12f ii (ç 1 ) , ç 1∊ (a ,b )

I ¿=13I 1+

23I 2

MÉTODOS NUMÉRICOS

I ¿=I 2+13( I 1−I 2)=I 2+

13I 1−

13I 2

I ¿=13I

2

+ 13I 2ó ……………. (4)

E.R. entre la R. trapecio Simple y la primera formula abierta h=b−a

2

FORMULA EXTRAPOLACION -(ER) ENTRE TRAPECIO SIMPLE Y 1RA FORMULA ABIERTA.

Ejemplo:

Calcular ∫1

3

(x3−2x2+7 x−5 )dx=203→F ( x )=x3−2x2+7 x−5

Aplicando: 4 es decir: I¿=1

3I 1+

23I 2

x i=x0+1h i=1 x1=x0+1h

= 1 + 1(1)= 2

i=2 x2=x0+2h

= 1 + 2(1)= 3

I ¿=I 1+E1=h2(f 0+ f 1 )+E1=

22(1+25 )=26=I1

h=b−a=3−1=2 X f (x)

X 0=1 1=f 0

X1=3 25=f 1

I=I 2+E2=2hf 1


I ¿=13I

1

+ 23I

2

f(X)

MÉTODOS NUMÉRICOS

h=b−a2=3−1

2=1

I=2 (1 )(9)

I 2=18

Aplicando (4)

I ¿=13I 1+

23I 2

I ¿=13(26 )+ 2

3(18 )=62

3=20

23

X f (x)

X 0=1 1=f 0

X1=2 9=f 1

X2=3 25=f 2

E.R. ENTRE LAS FORMULAS DE SIMPSON DE 1/3 Y 3/8 SIMPLE

Se sabe que para Simpson de 1/3 para intervalo simple es:

I ¿=I 1+E1=∫x0

x2

f (x )dx=h3(f 0+4 f 1+f 2 )−

h5

90f IV (£1 ) , £ 1 ∊ (x0 , x2 )

→E1=−( b−a2 )

5 190

f IV (£1 ) , £ 1∊ (a ,b )→E1=−(b−a )5

2880f IV (£1 )

Y que para Simpson de 3/8 es:

I ¿=I 2+E2=∫x0

x3

f (x )dx=3h8

(f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )−3h5

80f IV (£2 ) , £2 ∊ (x0 , x3 )

→E2=−380 ( b−a

3 )5 1

90f IV (£2 )=− (b−a )5

6480f IV (£2 ) , £ 2 ∊ (a ,b)


f1

x0 x2x1

MÉTODOS NUMÉRICOS

∴ I ¿=I1+E1=I 2+E2…… (1 )

Sea el siguiente cociente de errores:

E1

E2

=

−(b−a )5

2880f IV (£ 1 )

−(b−a )5

6480f IV (£ 2 )

, £1≠£2 y £ 1£2 ∊ (a ,b)

Si f IV (£1 )=f IV (£ 2 )→E1

E2

=64802880

→E1=94E2… .. (2 )

(2)’ en (1)’: I 1+94E2=I2+E2→I 2−I 1=

94E2−E2

→54E2=I 2−I1→E2=

45( I 2−I 1 )…… (3 )

(3)’ en (1)’:

I ¿=I 2+E2=I 2+45( I 2−I 1 )

… (4)`

Ejemplo:

Aplicando la fórmula I¿=9

5I

2

− 45I 1para hallar:

∫0

0.8

(0.2+25 x−200 x2+675 x3−900 x4+400x5 )dx

Solución:

Para I1 :h=0.8−102

=0.4

X i=X0+ih

X1=X0+i(0.4)


I ¿=95I

2

− 45I 1

Formula De Extrapolación entre Simpson de 1/3 y Simpson de 3/8

para Intervalo Simple

MÉTODOS NUMÉRICOS

F (x)=0.2+25x−200x2+675 x3−900 x4+400 x5

I 1=∫x0

x2

f (x)dx=h3( f 0+4 f 1+ f 2 )

I 1=0.43

(0.2+4∗(2.456 )+0.232 )

I 1=1.36746667

X i=X0+ih

X1=X0+i(0.4)

I 2=∫x0

x3

f (x)dx=3h8( f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )

h=0.8−03=0.8

3=0.2667

I 2=∫x0

x3

f (x)dx=38

0.2667 (0.2+3 (1.43272428 )+3 (3.48717696 )+0.232 )

I 2=1.51917037→{ I ¿=95I 2−

45I 1

I ¿=95(1.51917037 )−4

5(1.36746667 )

I ¿=164053333}

(E.R) PARA EL TRAPECIO COMPUESTO

Sea:

I ¿=I n1+En1=I n2

+En2…….(1)' '

Para n1 aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto, análogamente: I¿=I n2

+En2


X f (x)X 00.2 f 0

X0+1h = X1 0.4 2.456 f 1

X2 0.8 0.232 f 2

X f (x)X 00 0.2 f 0

X1 0.2667 1.43272438 f 1

X2 05333 3.48717696 f 2

X3 0.8 0.232 f 3

MÉTODOS NUMÉRICOS

Para n2 aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto tomando el cociente de errores:

E1

E2

=

−(b−a )12n2

2

3

f IV (£ 1 )

−(b−a )3

12n12 f IV (£ 2 )

; Para£ 1≠ £2 y £ 1£2 ∊ (a ,b)

Si:

f IV (£2 )=f IV (£1 )→En2

En1

=( n1

n2)

2

→En2=( n1

n2)

2

En1…….(2)' '

(2)” en (1)”:

I n1+En1

=I n2+( n1

n2)

2

En1

I n2−I n1=En1

−( n1

n2)

2

En1

En1[1−( n1

n2)

2]=I n2−I n1

En1=

I n2−I n1

1−( n1

n2)

2 ……. (3)' '

(3)” en (1)”:

Para n2=2n , en (3)”. Se tiene:

En1=

In2−I n1

1−( n1

2n1)

2 →En1=I n2−I n1

34

En1=4

3I n2−I n1

…….(4 )' '

(4)” en (1)”

I ¿=I n1+En1=I n1

+ 43(I ¿¿n2−I ¿¿n1)=

43I n2−1

3In1

¿¿


I ¿=43In2

−13I n1

MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejemplo 1:

Calcular ∫1

3

(x3−2x2+7 x−5 )dx usando “1º dos aplicaciones” (n1=2 ) y despues “cuatro

aplicaciones” (n2=4 ) de la regla del Trapecio compuesto y despues aplicar E.R. para encontrar una 3º

aproximacion (que es la mejor).

Solución:

I n=h2¿

Se tiene:

n1=2yn2=4

Para:

I n=h2 (f 0+ f n+2∑

i=1

n−1

f i)Como

n1=2→h=b−an1

=3−12=1

I n1=1

2(1+25+2(9))

I n1=44

2=22

Para:

I n=h2 (f 0+ f n+2∑

i=1

n−1

f i)Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

120

Extrapolación de Richardson (E.R.) para el Trapecio Compuesto para n1 y

n2.

X f (x)

1 1f 0

2 9 f 1

3 2.5 f 2

MÉTODOS NUMÉRICOS

Como

n2=4→h=b−an2

=3−14=0.5

x i=x0+ih

x1=1+1(0.5)

x1=x0+1h

I n2=0.5

2 (1+25+2(4 38+9+15

58))

I n2=0.25(26+2( 35

8+ 125

8))

I n2=21

Aplicando:

I ¿=43In2

−13I n1

I ¿=43(21 )−1

3(22 )=62

3

I ¿=2023

Ejemplo 2:

Evaluar ∫1

31xdx igual a la pregunta anterior.

Solución:

Para:


X f (x)

1 1f 0

1.5 4 f 1

2 9 f 2

2.5 15f 3

3 25f 4

MÉTODOS NUMÉRICOS

n1=2→h=b−an1

=3−12=1

I n1=∫ f ( x )dx=h

2 (f 0+ f n+∑i=1

n−1

f i)¿

12 (1+ 1

3+2( 12 ))

I n1=7

6=1.166666667

Para:

n2=4→h=b−an2

=3−14=0.5

I n2=∫ f ( x )dx=h

2 (f 0+ f n+∑i=1

n−1

f i)¿

0.52 (1+1

3+2( 13 +1

2+

25 ))

I n2=67

66=1.116666667

I ¿=43In2

−13I n1=4

3 ( 6760 )−1

3 (76 )=6745− 7

18

I ¿=1.100000001


X f (x)

1 1f 0

2 1/2f 1

3 1/3 f 2

X f (x)

1 1f 0

1.5 2/3f 1

2 1/2f 2

2.5 2.5f 3

3 1/3f 4

MÉTODOS NUMÉRICOS

E.R. PARA LAS REGLAS DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO

Sea

I ¿=I n1+En1=I n2

+En2…….(1)IV

I n=h3¿

Donde I n1 ^ I n2

son aproximaciones de I ¿ .

Aplicando n1 ^ n2 aplicaciones de la R. de Simpson de 1/3 compuesto y su cociente de errores, donde:

En2

En1

=

−(b−a )2880n2

4

5

f IV (£ 2 )

−(b−a )5

2880n14 f IV (£ 1 )

; Para£ 1≠ £2 y £ 1❑❑£ 2 ∊ (a ,b )…… (2)IV

Si f IV (£1 )=f IV (£ 2 )→En2

En1

=( n1

n2)

4

→En2=( n1

n2)

4

En1…… (2)IV

(2)iv en(1)iv :

I n1+En1

=I n2+( n1

n2)

4

En1

→I n2−I n1=En1

−( n1

n2)

4

En1→En1

=I n2−I n1

1−( n1

n2)

4 ……(3)iv

Para: n2=2n1

en(3)iv→En1

=I n2−I n1

1−( n1

n2)

4 →En1=

I n2−I n1

1516

→En1=16

15 ( I n2−I n1 )…….(4)iv

(4)iven(1)iv :

I ¿=I n1+En1=I n1

+ 1615 ( I n2

−I n1 )


MÉTODOS NUMÉRICOS

… … (5)iv

Ejemplo (1):

∫1

2

sin X dx porformulaE .R .

Para I 1:h=2−1=1

I 1=h2( f 0+f 1)=

12(0.8414709+0.9092974 )=0.8753841

Para I 2:

h=b−a2=2−1

2=0.5

X f(X)X0=1 f0

X1=1.5 f1

X2=2 f2

I 2=2h f 1=2 (0.5 ) (0.99749498 )=0.99749498

Entonces:

I ¿=13I 1+

23I 2=

13

0.8753841+ 23

0.99749498=0.95679135

I ¿=0.95679135


I ¿=43In2

−13I n1

Extrapolación de Richardson (E.R.) entre las reglas de Simpson de 1/3

compuesto para n1 y n2 aplicaciones.

X f(X)X0=1 f0

X1=2 f1

MÉTODOS NUMÉRICOS


MÉTODOS NUMÉRICOS

INTEGRACION DE ROMBERG

Es un método que combina la convergencia de las reglas del Trapecio o Simpson con las técnicas de extrapolación de Richardson para retener una sucesión que converge hacia el verdadero valor de la integral.

Descripción de la técnica de integración de Romberg

Vamos a introducir la RK, la aproximacion de la integral I=∫a

b

f (x)dxutilizando la regla del Trapecio

Compuesto para nK=2k−1 y hK=b−ank

=b−a2k−2 .

Para: nK=2k−1 y hK=b−ank

=b−a2k−2 ; se sugiere la siguiente tabla:

K 1 2 3 4 … n

nK=2K−1 1 2 4 8

hK=b−ank

b−a1

b−a2

b−a4

b−a8

La integración de Romberg da su respuesta en forma matricial:

R11

R21 R22

R31 R32 R33

R41 R42 R43 R44

R51 R52 R53 R54 R55

Rn1 Rn2 Rn3 Rn4 Rn5 Rnn

Se sugiere hallar R11 con la siguiente formula.

Nos generamos las siguientes sucesiones R11 , R21 ,R31 ,…RK 1


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

R1 K=hK

2 [ f (a )+ f (b )+2 ∑i=1

2(k−1)−1

f (a+i hK)]

MÉTODOS NUMÉRICOS

k=1∫x0

x1

f ( x )dx=¿R11=h1

2(f (a )−f (b))¿

Obs: Para las demás filas y columnas se sugiere hallar con la siguiente formula

De la segunda columna hacia adelante se calculara con la siguiente fórmula:

Para la segunda columna se utilizara:

Para la tercera columna k=3 será:

Para la cuarta columna k=4 será:

Para la quinta columna k=5 será:

Para la sexta columna k=6 será:


RK 1=12 [R (K−1) ,1+hK−1∑

i=1

2K−2

f (a+(i−12)hK−1)]

i = 2,3,4,…nj = 2,3,4,…n

k = 2,3,…

Rij=4 j−1R i , j−1−Ri−1 , j−1

4 j−1−1

Rk 2=4 Rk 1−Rk−1 , 1

3

Rk 3=16 Rk 2−Rk−1 ,2

15k = 3,4,…

Rk 4=64 Rk 3−Rk−1 ,3

63k = 4,5,…

k = 5,6,…Rk 5=256 Rk 4−Rk−1 , 4

255

k = 6,7,…Rk 6=1024 Rk 5−Rk−1 ,5

1023

MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejercicio 1

Hallar ∫0

0.8

xex dx ; con n=6 por Romberg

Solución:

Tenemos de datos:a=0b=0.8n=6

f ( x )=xe x

Realizando la tabla

K 1 2 3 4 5 6

nK=2K−1 1 2 4 8 16 32

hK=b−ank 0.8 0.4 0.2 0.1 0.05 0.025

Hallamos la primera fila y columna

R1 K=hK

2 [ f (a )+ f (b )+2∑i=1

2k−1

f (a+i hK)]Cuando K = 1

R11=h1

2 [ f (0 )+ f (0.8 )+2∑i=1

21−1

f (a+ ih1)]R11=

h1

2[ f (0 )+ f (0.8 ) ]

f ( x )=xe x

f (0 )=0e0=0

f (0.8 )=0.8e0.8=1.780432743

R11=0.82

[0+1.780432743 ]=0.7121730971

R11=0.7121730971

Calculando la primera columna y demás filas.Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

128

MÉTODOS NUMÉRICOS

RK 1=12 [R (K−1) ,1+hK−1∑

i=1

2K−2

f (a+(i−12)hK−1)]

Cuando K = 2

R21=12 [R (2−1) ,1+h2−1∑

i=1

22−2

f (a+(i−12)h2−1)]=0.594777

Cuando K = 3

R31=12 [R (3−1) ,1+h3−1∑

i=1

23−2

f (a+(i−12)h3−1)]=0.564899

Cuando K = 4

R41=12 [R (4−1 ) ,1+h4−1∑

i=1

24−2

f (a+(i−12)h4−1)]=0.557395

Cuando K = 5

R51=12 [R (5−1) ,1+h5−1∑

i=1

25−2

f (a+(i−12)h5−1)]=0.555517

Cuando K = 6

R61=12 [R (6−1) ,1+h6−1∑

i=1

26−2

f (a+(i−12)h6−1)]=0.555047

PARA LOS VALORES DE LA SEGUNDA COLUMNA:

Rk 2=4 Rk 1−Rk−1 , 1

3

Cuando K = 2

R22=4 R21−R2−1 ,1

3=0.555545

Cuando K = 3

R32=4 R31−R3−1 ,1

3=0.554939

Cuando K = 4Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

129

MÉTODOS NUMÉRICOS

R42=4 R41−R4−1 ,1

3=0.554893

Cuando K = 5

R52=4 R51−R5−1 ,1

3=0.554891

Cuando K = 6

R62=4 R61−R6−1 ,1

3=0.554890

PARA LOS VALORES DE LA TERCERA COLUMNA:

Rk 3=16 Rk 2−Rk−1 ,2

15

Cuando K = 3

R33=16 R32−R3−1 ,2

15=0.554891

Cuando K = 4

R43=16 R42−R4−1 ,2

15=0.554889

Cuando K = 5

R53=16 R52−R5−1 ,2

15=0.554890

Cuando K = 6

R63=16 R62−R6−1 , 2

15=0.554889

PARA LOS VALORES DE LA CUARTA COLUMNA:


MÉTODOS NUMÉRICOS

Rk 4=64 Rk 3−Rk−1 ,3

63

Cuando K = 4

R44=64 R43−R4−1 ,3

63=0.554888

Cuando K = 5

R54=64 R53−R5−1 ,3

63=0.554890

Cuando K = 6

R64=64 R63−R6−1 ,3

63=0.554889

PARA LOS VALORES DE LA QUINTA COLUMNA:

Rk 5=256 Rk 4−Rk−1 , 4

255

Cuando K = 5

R55=256 R54−R5−1 , 4

255=0.554890

Cuando K = 6

R65=256 R64−R6−1 ,4

255=0.554889

PARA LOS VALORES DE LA SEXTA COLUMNA:

Rk 6=1024 Rk 5−Rk−1 ,5

1023

Cuando K = 6

R66=1024 R65−R6−1 ,5

1023=0.554889


MÉTODOS NUMÉRICOS

LA MATRIZ FINAL SERÁ:

0.712173

0.594777 0.55545

0.564899 0.554939 0.554891

0.557395 0.554889 0.554889 0.554888

0.555517 0.554890 0.554890 0.554890 0.554890

0.555047 0.554890 0.554889 0.554889 0.554889 0.554889


MÉTODOS NUMÉRICOS

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL.

I) De un solo paso:

Dada la Ecuación Diferencial Ordinaria:

Con la condición inicial:

a)Método de Euler:

Es de la forma:

O

Observación:

Euler es un caso particular de Taylor de orden 1.

Ejemplos resueltos:

1º forma de pregunta

1) Dado:

y ´=2 x y2

Con:

y (1 )=1

Hallar: y (1.1 )


y ´=f ( x , y ) / y ´=dydx

y (x0 )= y0

y i+1= y i+hf (x , y )

y i+1= y i+h y´ i

MÉTODOS NUMÉRICOS

Solución:

Como: x0=1 , y0=1

Entonces:

Para i=0 , y1= y0+h y ´0

Donde:

y1= y (1.1 )= y (x1 )

→x1=1.1

→h=x1−x0=1.1−1=0.1

h=0.1

Luego:

y1= y0+h y ´0… (∝)

Donde:

y ´0=2x0 y02

Reemplazando en (∝):

y1= y0+h2 x0 y02

y1=1+(0.1 ) (2 ) (1 )¿

y1=1.2

y (1.1 )=1.2


MÉTODOS NUMÉRICOS


2) Dado:

y ´=2 x y2

Con:

y (1 )=1

Hallar: y (1.1 ) para x∈[1 ,2] , con n=4

Solución:

Como: h=b−an=2−1

4=0.25

i 0 1 2 3 4

x i x0 x1 x2 x3 x4

1 1.25 1.5 1.75 2

x1=x0+1 (0.25 )=1.25

x2=x0+2 (0.25 )=1.5

x3=x0+3 (0.25 )=1.75

x4=x0+4 (0.25 )=2

Para i=0, con (x0 , y0 ¿=(1 ,1)

y1= y0+h y ´0

y1= y0+h2 x0 y02

y1=1.2

Para i=1, con (x1 , y1 ¿=(1.25 ,1.2)

y2= y1+h2 x1 y12

y2=2.1

Para i=2, con (x2 , y2 ¿=(1.5 ,2.1)Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

135

MÉTODOS NUMÉRICOS

y3= y2+h2 x2 y22

y3=5.4075

Para i=3, con (x3 , y3 ¿=(1.75 ,5.4075)

y4= y3+h2x3 y32

y4=30.99342422

Para i=4, con (x4 , y4 ¿=(2 ,30.99342422)

y5= y4+h2x 4 y 42

y5=991.5857691

b) Método de Taylor de orden K:

Es de la siguiente forma:

y i+1= y i+h y ´i

1 !+h2 y i

´ ´

2 !+h3 y i

´ ´´

3 !+…+

hk y i(k )

k !+ε

O

y (x i+1)= y (x i)+h y´ (x i)

1!+h2 y´ ´ (x i)

2 !+h3 y´´ ´ (x i)

3 !+…+

hk y(k )(x i)k !

+ε

Donde:

El error local es de la forma:

ε=hk+1 y(k +1)(x i)

k+1!

Ejemplos resueltos:


Dado:

y´=x2+ y2…(∝)


MÉTODOS NUMÉRICOS

Con:

y (1 )=0

Por Taylor de orden 3 hallar: y (1.5)

Solución:

Como: x0=1 y y0=0

Y de y (1.5) se sabe que: x1=1.5

→h=x1−x0=1.5−1=0.5

Luego, Taylor de orden 3 es de la forma:

y i+1= y i+h y ´i

1 !+h2 y i

´ ´

2 !+h3 y i

´ ´´

3 !

Para i=0 con (x¿¿0 , y0)=(1 ,0)¿

y1= y0+h y ´0

1 !+h2 y0

´ ´

2 !+h3 y0

´´ ´

3 !

Se requiere hallar:

y ´0 , y0´´ , y0

´ ´´

De(∝):

y´=x2+ y2…(β)

y0´=x0

2+ y02

y0´=12+02

y0´=1

Derivando (β ) :

y´ ´=2 x+2 y y´…(θ)

y0´ ´=2 x0+2 y0 y0

´

y0´ ´=2(1)+2(0)(1)

y0´ ´=2


MÉTODOS NUMÉRICOS

Derivando (θ ) :

y´ ´ ´=2+2( y y´ ´+ y´ y´)

y0´ ´ ´=2+2( y0 y0

´ ´+ y0´ y0

´ )

y0´ ´ ´=2+2((0 ) (2 )+(1 ) (1 ))

y0´ ´ ´=4

Por último, reemplazando:

y1=0+80.5¿(0) ¿1 !+(0.5)2(2)

2 !+(0.5 )3(4)

3!

y1=0.8333333…

y (1.5 )=0.8333333 …


Dado:

y´=x2+ y2…(∝)

Con:

y (1 )=0

Por Taylor de orden 3 en el segmento x∈[1 ,2] , con n=2, hallar: y (1.5)

Solución:

Como: h=b−an=2−1

2=0.5

Determinamos los puntos: x i=x0+ih / x i∈ [1 ,2 ]

i=0→x0=x0+0h=1

i=1→x1=x0+1h=1.5

i=2→x2=x0+2h=2


MÉTODOS NUMÉRICOS

Para i=0 con (x0 , y0 ¿=(1 ,0)

y1= y0+h y ´0

1 !+h2 y0

´ ´

2 !+h3 y0

´´ ´

3 !

y1=0.8333333…(Resuelto anteriormente)

Para i=1 con (x1 , y1 ¿=(1.5 ,0.8333333)

y2= y1+h y´ 1

1!+h2 y1

´´

2 !+h3 y1

´ ´ ´

3 !

Se requiere hallar: y ´1 , y1´ ´ , y1

´´ ´

De (∝ ¿:

y´=x2+ y2…(β ¿

y1´=x1

2+ y12

y1´=1.52+0.8333333 …2

y1´=2.9444444 …

Derivando (β ¿:

y´ ´=2 x+2 y y´…(θ)

y1´ ´=2 x1+2 y1 y1

´

y1´ ´=2(1.5)+2(0.8333333…)(2.9444444 …)

y1´ ´=7.907407405

Derivando (θ ) :

y´ ´ ´=2+2( y y´ ´+ y´ y´)

y1´ ´ ´=2+2( y1 y1

´´+ y1´ y1

´ )

y1´ ´ ´=2+2((0.8333333… ) (7.907407405 )+(2.9444444 …) (2.9444444… ))

y1´ ´ ´=32.5185185


MÉTODOS NUMÉRICOS

Luego, reemplazando:

y2= y1+h y ´ 1

1!+h2 y1

´´

2 !+h3 y1

´ ´ ´

3 !

y2=0.8333333 …+(0.5 )(2.9444444…)

1!+(0.5 )2(7.907407405)

2!+(0.5 )3(32.5185185)

3 !

y2=3.235339504

Para i=2 con (x2 , y2 ¿=(2 ,3.235339504 )

y3= y2+h y´ 2

1!+h2 y2

´ ´

2 !+h3 y2

´ ´ ´

3 !

Se requiere hallar: y ´2 , y2´ ´ , y2

´´ ´

De (∝ ¿:

y´=x2+ y2…(β ¿

y2´=x2

2+ y22

y2´=22+3.2353395042

y2´=14.46742171

Derivando (β ¿:

y´ ´=2 x+2 y y´…(θ)

y2´ ´=2 x2+2 y2 y2

´

y2´ ´=2(2)+2(3.235339504)(14.46742171)

y2´ ´=97.61404193

Derivando (θ ) :

y´ ´ ´=2+2( y y´ ´+ y´ y´)

y2´ ´ ´=2+2( y2 y2

´´+ y2´ y2

´ )

y2´ ´ ´=2+2((3.235339504 ) (97.61404193 )+(14.46742171 ) (14.46742171 ))


MÉTODOS NUMÉRICOS

y2´ ´ ´=1052.241714

Luego, reemplazando:

y3= y2+h y ´ 2

1!+h2 y2

´ ´

2 !+h3 y2

´ ´ ´

3 !

y3=3.235339504+(0.5 )(14.46742171)

1!+(0.5 )2(97.61404193)

2!+(0.5 )3(1052.241714)

3 !

y3=44.59250797

PREDICTOR – CORRECTOR

Como su nombre lo indica 1rose predice un valor ym+1, después se usa una formula diferente para corregir este valor.Los métodos Predictor-Corrector hallar el valor del pto(xm+1 , ym+1) utiliza información del pto

(x¿¿m , ym)¿ y sus precedentes donde cada pto precedente indica un paso, de aquí su nombre como método de múltiples pasos. A diferencia de los métodos de Runge-Kuta, Taylor, Euler, que son métodos de un solo paso (Para y i+1utiliza la información de y i )

Ejemplo: Usando el método predictor – corrector

Con h=0.5, hallar y(1 ) sabiendo que y satisface: y '=x y2+3 x , y0=−0.5

Solución:

y '=f ( x, y)=x y2+3 xy; y0=−0.5 Y h=0.5

Por condición del problema.


Predictor:y i+1= y i−1+2h y i'

Corrector:y i+1= y i+h2( y i

'+ y i+1' )

MÉTODOS NUMÉRICOS

y i−1= y0=−0.5

y i= y(0.5)

y i+ 1= y(1)

Para aplicar el predictor corrector, se necesita hallar y1 por un método no menor de 2doorden (puede ser Taylor, o RK), Sea RK-4.

y1= y0+hb(k1+2k 2+2k 3+k4)

k 1=f (x0 , y0 )= y0

'= y(0)' =0

en y '=x y2+3xy

y0'=x0 y0

2+3 x0 y0=0 (−0.5 )2+3 (0 )(−0.5)

y0'=0

k 2=¿ f( x0+

h2 , y0 +

12 k1)=f (0.25,00 .5+0.25 (0))¿

k 2=f (0.25 ,−0.5 )=(0.25 ) (−0.5 )2+3 (0.25 ) (−0.5 )=−0.3125

k 3=f (x0+h2, y0+

12k2)=f (0.25 ,−0.5+(0.25)(−0.3125))

k 3=f (0.25 ,−0.578125 )

k 3=0.25 (−0.578125 )2+3 (0.25 ) (−0.578125 )=−0.3500366

k 4= f(x0+

h2, y0+

12k3)

k 4=f (0.5 ,−0.5+0.5 (−0.350066))

k 4=f (0.5 ,−0.67533 )

k 4=0.5 (−0.67533 )2+3 (0.5 ) (−0.67533 )=−0.7847026

Si y1= y0+h6(k 1+2k 2+2k 3+k4)

y1=−0.5+0.56(…)

y i= y1=−0.6758146

y i'=(0.5 )(−0.6758146)2−3 (0.5 )(−0.6758146)

y i'=−0.7853592

Aplicando el predictor:

y i+1= y i−1+2h y i'

y (1 )=−0.5+2 (0.5 )(−0.7853592)


MÉTODOS NUMÉRICOS

y (1 )=−1.2853592

y i+ 1' = y(1)

' =1 (−1.2853592 )2+3 (1 )(−1.2853592)

y i+1' =−2.2039293

Aplicando el corrector:

y i+1= y i+h2( y¿¿ i'+ y i+1

' )¿

y (1 )=−0.6758146+ 0.52(−0.7853592±2.2039293)

y (1 )=−1.423167 → este es el corrector


MÉTODOS NUMÉRICOS

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se puede transformar en un sistema de EDO de orden 1.Así se tiene una EDO de orden n:

con las condiciones inicialesy(x0)δ = y0

(δ)n condiciones iniciales

Sea las sgtes transformacionesy1= y

y2= y '

y3= y' '

.

yn= y(n−1)

Se tiene

y1'= y '= y2

y2'= y ' '= y3

.

yn'= yn=f (x , y , y ' , y ' ' , y ' ' ' ,…, y (n−1))

Sea y i= y(x i)= → y i'= y(x¿¿ i)'=¿ ¿

Ejemplo 1: La Sgte. EDO de3erorden y ' ' '+t y ' '−t y '=tCon y(0 )= y(0)

' ' =0 , y(0 )' =1

Como un conjunto de ecuaciones de 1er orden

Solución: De y ' ' '+t y ' '−t y '−2 y=t→ y ' ' '=t+2 y+t y '−t y ' '

Sea y= y1 y1(0)= y(0 )=0

y1'= y '= y2 y2 (0 )= y(0 )

' =1

y2'= y ' '= y3 y3(0)= y(0)

' ' =0


y(n )=f ( x, y , y ' , y ' ' , y' ' ' ,…, y (n−1) )

y1( xi)'

y2 (xi)'

…yn (x i)'

y1( xi)

y2 (xi)

…yn (x i)

MÉTODOS NUMÉRICOS

y3'= y' ' '

La EDO de3er orden se expresa como un conjunto de 3 ecuaciones de 1erorden sgte:

y1'= y2

y2'= y3

y3'=t+2 y1+ t y2−t y3

Matricialmente se tiene:

y '=¿ =

Con las Sgts. condiciones iniciales

y(0 )=¿ =

Ejemplo 2:

Dado x ' '=x2− y+et con x(0)=x(0)' =0

y ' '=x− y2−e t y(0)=1 , y(0)' =−2

Expresar como un sistema de EDO de 1erorden

SoluciónSea y1=x y1

'=x ' y1'= y2

y2=x ' y2'=x ' ' y2

'=x ' '

y3= y y3'= y' y3

'= y4

y4= y ' y4' = y ' ' y4

' = y ' '

El sistema de EDO de 1er orden es:

y1'= y2

y2'=x2− y+et= y1

2− y3+et

y3'= y4

y4' =x− y2−et= y1− y3

2−et

y1 (0 )=0 , y2 (0 )=0 , y3 (0 )=1 , y4 (0 )=−2


y2

y3

t+2 y1+t y2−t y3

y1'

y2'

y3'

010

y1(0)

y2 (0 )

y3 (0 )

MÉTODOS NUMÉRICOS

Matricialmentey= = ,i=0,1,2

Sea t 0=0

y0= y(t0 )= y(0 )=¿ =

y '=¿ =


y1(ti)

y2 (ti)

y3 (ti)

y4 (ti)

y1

y2

y3

y4

001−2

y1(0)

y2 (0 )

y3 (0 )

y4 (0)

y2

y12− y3+e

t

y4

y1− y32−e2

y1'

y2'

y3'

y4'

MÉTODOS NUMÉRICOS


MÉTODOS NUMÉRICOS

CONCLUSIONES

Ventajas y desventajas de los métodos iterativos comparados con los métodos directos Ventajas: Probablemente son más eficientes que los métodos directos para sistemas de orden

muy alto.

Más simples de programar.

Pueden aprovecharse una aproximación a la solución, si tal aproximación existe.

Se obtiene fácilmente bajo aproximaciones burdas de la solución.

Son menos sensibles a los errores de redondeo (valiosos en sistemas mal

condicionados).

Se requiere menos memoria de maquina. Generalmente, las necesidades de

memoria son proporcionales al orden de la matriz.

Desventajas:

Si se tiene varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no representara

ahorro de cálculos ni tiempo de maquina, ya que por cada vector a la derecha de A

tendrá que aplicarse el método seleccionado.

Aun cuando la convergencia este asegurada, puede ser lenta y, por; lo tanto, los

cálculos requeridos para obtener una solución particular no son predecibles.

El tiempo de maquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de

convergencia.

Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela.

No se tiene ventaja particular alguna (tiempo de maquina por iteración) si la matriz

coeficiente es simétrica.

No se obtiene la inversa de A ni el determinante de A.

INTEGRANTESLic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz

148

MÉTODOS NUMÉRICOS

1. ALARCON MONRROY, ALEXANDER…………….. 08190032

2. ALVARADO LACMA, MARCIAL…………………………09190023

3. CORREA GALLUFFE, BORIS……………………………..08190144

4. CESPEDES BURGOS, JUAN……………………………….04190205

5. CAQUI PINTADO, GABRIEL……………………………...09190107

6. CASTILLO VELASQUEZ, JUAN………………………….09190026

7. CALDERON HUAMAN, DAVID JESUS………………..10190264

8. DELGADO ARPITA, MIGUEL…………………………….07190020

9. GOMERO GOMERO, CARLOS J………………………….09100168

10. HUAMANI QUISPE, JUAN PABLO…………………….03190038

11. LOPEZ PORRAS, JUAN JOSE……………………………..09190116

12. MARIANO CABELLO, ISIDRO…………………………...09190118

13. MENDOZA GUZMAN, JORGE……………………………07190151

14. MEJIA SANCHEZ, JOSE EDUARDO……………………08190173

15. ROSALES LEON, FERNANDO JESUS…………………09190171

16. RODRIGUEZ ALVARADO, JORGE……………………...08190051

17. RIVERA YANAC, VLADIMIR……………………………..09190139

18. SUEROS ZARATE, JONATHAN………………………….08190094

19. TUÑOQUE MEZA, JOB JOSUE……………………………05190041

20. VILLA FLORES, DANIEL…………………………………..06190148

21. ZAMORA MONTENEGRO, RONEL…………………….09190020

22. ZELADA LOPEZ, ROYBHER FRANK………………….09190153


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