LES SÉRIES NUMÉRIQUES

Lycée Sainte GenevièvePT-PT*MATHÉMATIQUES

2020-2021CoursChap 1

LES SÉRIES NUMÉRIQUES

Objectifs :

� Étudier la nature d'une série à termes positifs.

� Étudier la nature d'une série à termes dans R ou C.� Calculer la somme d'une série convergente.

Table des matières

1 Généralités sur les séries numériques 21.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Divergence grossière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Première série de référence : la série géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Reste d'une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Structure algébrique de l'ensemble des séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Lien séries-suites : les séries télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Séries à termes positifs 102.1 Lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 La règle de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Comparaison séries-intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Comparaison séries-intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Application 1 : Les séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Application 2 : Étude des sommes partielles de séries divergentes et des restes de séries

convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Séries absolument convergentes 233.1 La convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Étude pratique de la convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Le produit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Compléments : études de quelques séries non absolument convergentes 314.1 Les séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 L'utilisation d'un développement asymptotique sur deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Synthèse : tableau récapitulatif 35

6 Représentation décimale d'un nombre réel 366.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Existence et unicité de la représentation décimale propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Application en informatique : représentation des nombres réels par des �ottants . . . . . . . . . . . 38

Lycée Sainte Geneviève, PT-PT* /38 2020-2021

1 Généralités sur les séries numériques

1.1 Dé�nitions

Notion de série

Dé�nition 1. Soit (un)n2N une suite à valeurs dans K = R ou C.On peut alors lui associer une autre suite (Sn)n2N, appelée la suite des sommes partielles, en posant :

On appelle série de terme général un la suite (Sn)n2N. On la note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarques :

� Une série n'est donc pas autre chose qu'une suite. On peut donc lui appliquer tous les résultats concernantles suites. Mais une série est donnée par son terme général un et non par la suite des sommes partielles(Sn)n2N. Ainsi, l'objectif de ce chapitre est de développer pour étudier une série des outilsspéci�ques opérant sur son terme général un.

� Lorsque (un)n�n0 n'est dé�ni qu'à partir d'un certain rang n0 :

? On pose pour tout n � n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? On note alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Convergence-Divergence

Dé�nition 2. Soit la sérieX

un.

� La sérieX

un est dite convergente lorsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sinon elle est dite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� En cas de convergence, il existe donc S = limn!+1Sn 2 K. S s'appelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et on note

Ne pas confondre les notations suivantes :

�X

un représente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�+1Xn=0

un est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L'écriture+1Xn=0

un n'est possible que si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemples :

� La série nulle :

� La série presque nulle :

Exercice 1 : Soit (un)n2N une suite constante. A quelle condition la série de terme général un est-elle convergente ?


1.2 Divergence grossière

Une condition nécessaire de convergence

Propriété 1. Si la sérieX

un converge, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

Une réciproque fausse

La réciproque est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple : La série harmoniqueXn�1

1

nest une série divergente et pour autant son terme général tend vers 0.

Montrons la divergence de la série harmonique (méthode 1) :


Une contraposée très utile :

Dans ce cas, on dit que la série est grossièrement divergente et on parle de divergence grossière.

Étape 1 de l'étude d'une série numérique : calcul de la limite de son terme général.

� Si limn!+1un 6= 0 : la série diverge grossièrement.

� Si limn!+1un = 0 : on ne peut rien en déduire.

Exemples :

�X

(�1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�X

cos(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Première série de référence : la série géométrique

Soit x 2 C, on peut considérer la série géométrique de raison x :X

xn.

Théorème 1. Soit x 2 C.�X

xn converge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Elle est même grossièrement divergente pour . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Et, pour jxj < 1, sa somme est égale à :


Preuve :

1.4 Reste d'une série convergente

Dé�nition

On ne modi�e pas la nature d'une série en changeant un nombre �ni de termes (et donc en particulier ses premierstermes). Ainsi nous allons pouvoir dé�nir le reste d'une série convergente :

Dé�nition 3. SoitX

un une série convergente.

� Pour tout n 2 N, la sérieX

k�n+1uk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�+1X

k=n+1

uk s'appelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Pour tout n 2 N : Rn = ou S =

Preuve :

On ne confond pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarque : Lorsque on obtient une inégalité de type jRnj � ", c'est-à-dire : jS � Snj � ", alors Sn est une


valeur approchée de S à moins de " près. D'où l'intérêt des formules de majoration du reste.

La suite des restes tend vers 0

Propriété 2. SiX

un est une série convergente alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

Exemple : Soit x 2 C tel que la série géométrique de raison x converge. Que vaut Rn pour tout n 2 N ?

1.5 Structure algébrique de l'ensemble des séries convergentes

Une structure d'espace vectoriel

Propriété 3. Soient deux sériesX

un etX

vn qui convergent respectivement vers S et S0 et � 2 C.Alors on a :

�X

(un + vn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�X

�un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

Remarques :

� Reformulations :

? L'ensemble C des séries convergentes est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


? L'application� : C ! K

Xun 7!

+1Xn=0

un

est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� SiX

un converge etX

vn diverge, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� SiX

un etX

vn divergent alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? Exemple 1 :

? Exemple 2 :

� On ne coupe pas des séries sans précaution !En particulier, l'exemple 1 montre que

X(un + vn) peut être une série convergente avec

Xun et

Xvn

divergentes.


Cas des séries à termes complexes

Propriété 4. SoitX

un une série à termes complexes. On a :

Xun converge()

8>>>>><>>>>>:

Dans ce cas, on a alors :

+1Xn=0

un =

Preuve :

Exemple : Les séries trigonométriques : Montrer que les séries de termes généraux un =cos (n)

2net

vn =sin (n)

2nsont convergentes et calculer leur somme. On pourra ensuite généraliser cela aux sériesX

rn cos (n�) etX

rn sin (n�) avec r 2 [0; 1[ et � 2 R.


1.6 Lien séries-suites : les séries télescopiques

Propriété 5. Soit une sérieXn�1

un tel que un s'écrive sous la forme : un = an � an�1 avec (an)n2N

une suite à valeurs dans K. Une telle série s'appelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On a alors :

�Xn�1

un converge () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Dans ce cas, on peut calculer la valeur de sa somme S :

Preuve :

Exemples : Étude de la sérieXn�1

1

n(n+ 1), de la série

Xn�1

ln

�1 +

1

n

�puis de la série

X 1pn+ 1 +

pn

:

� Savoir reconnaître des séries télescopiquesX

(an � an�1) permet d'étudier la nature d'une série et encas de convergence d'en calculer sa somme.Quelques idées classiques :

? Décomposition en éléments simples dans le cas d'une fraction rationnelle�

? Utilisation de la quantité conjuguée,

? Utilisation du formulaire de trigonométrie lorsque la série comporte des arctan ; sin ; cos ; tan ...

� Parfois, pour étudier la nature d'une suite, on étudie la nature de la série télescopiqueX

(an � an�1)(voir l'exemple sur le développement asymptotique de la série harmonique)


Exercice 2 : Dans chaque cas suivants, déterminer la nature de la sérieXn�1

un et lorsqu'il y a convergence, calculer la somme de la

série : un =1pn+ 1

� 1pn

et un = ln�cos�

1

2n

��.

2 Séries à termes positifs

On suppose ici essentiellement un 2 R+ pour tout n 2 N, mais d'autres cas s'y ramènent :

� Étude deX

un avec un 2 R+ à partir d'un certain rang : 9N 2 N; 8n � N; un 2 R+

carX

un etXn�N

un ont même nature.

� Étude deX

un avec un 2 R� pour tout n 2 N ou à partir d'un certain rang

carX

un etX

�un ont même nature.

2.1 Lemme fondamental


un une série à termes réels positifs.

Alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :


un une série à termes réels positifs. On a alors :

� Ou bien (Sn)n2N est une suite majorée et alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Ou bien (Sn)n2N N'est PAS une suite majorée et alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

Exemple : On a déjà montré que la série harmonique diverge. Comme elle est de plus à termes positifs, . . . . . .

Sauf dans quelques cas, on utilisera plutôt, pour étudier la nature d'une série, les théorèmes qui suivent permettantde travailler directement sur le terme général de la série et non sur ses sommes partielles.

2.2 Théorèmes de comparaison

Il s'agit ici de comparer les termes généraux de deux séries.

Comparaison de deux séries à termes positifs : inégalités

Propriété 8. SoientX

un etX

vn deux séries véri�ant :

� SiX

vn converge alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Par contraposée : siX

un diverge alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Preuve :

Exemples :

� Justi�er que la série de terme général un =1

1 + 2nest convergente.

� SoitX

un une série à termes positifs convergente. Montrer queX

u2n est convergente.

� Déterminer la nature de la sérieXn�1

ln (n)

n2n.

Remarque : Les résultats de convergence, divergence restent vrais sous l'hypothèse :

9N 2 N; 8n � N; 0 � un � vn

car

� les sériesX

un etXn�N

un ont même nature,

� les sériesX

vn etXn�N

vn ont même nature.


Règle des équivalents

Théorème 2. SoientX

un etX

vn deux séries.

On suppose que :

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Alors :

Preuve :

Rj j j j j0 1

21 3

22

nnnnnnnnnnn

�n (pour n � N)

Exemples :

� Divergence de la série harmonique (Méthode 2) :

En tant que série télescopique, on a déjà montré la divergence de la sérieXn�1

ln

�1 +

1

n

�. En déduire la nature

de la série harmoniqueXn�1

1

n.


� En tant que série télescopique, on a déjà montré la convergence de la sérieXn�1

1

n(n+ 1). En déduire la nature

de la sérieXn�1

1

n2.

Exercice 3 : Déterminer la nature de la sérieXn�1

1

2n � 1.

Remarque : Avec les équivalents, la positivité d'un seul des termes généraux su�t puisque, par équivalence,l'autre est aussi positif à partir d'un certain rang.

Exemple : Développement asymptotique de la série harmonique :

On considère la suite (un)n�1 dé�nie par : 8n 2 N?; un =

nX

k=1

1

k

!� ln (n). D'après le critère sur les séries

télescopiques, montrons alors que la suite (un)n�1 converge en étudiant la nature de la sérieXn�2

(un � un�1).

Conclusion : développement asymptotique de la série harmonique :Il existe ainsi une constante , appelée constante d'Euler, telle que

nXk=1

1

k=

n!+1 ln (n) + + �(1):


Règle de domination, règle du o


un etX

vn deux séries.

On suppose que :

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Alors :

Preuve :


un etX

vn deux séries.

On suppose que :

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Alors :

Preuve :

Remarques :

� Les contraposées de ces deux propriétés donnent :

? Pour le � grand O � :


? Pour le � petit o � :

� Les résultats restent vrais si les séries sont à termes positifs qu'à partir d'un certain rang.

Exemple : Étude pour tout � 2 R de la nature de la sérieXn�1

n�e�n :

Utilisation des théorèmes de comparaison pour déterminer la nature d'une série à termes positifs :

� Connaissance de la nature des séries de référence : série géométrique, série de Riemann (voir plus loin)

� Comparaison du terme général de notre série à celui d'une série de référence :

? En le majorant (pour une convergence) ou en le minorant (pour une divergence) :Y penser pour des termes généraux avec du sin ; cos ; b c....

? En trouvant un équivalent simple du terme général.Parfois un calcul de DL est alors nécessaire.

Exercice 4 : Déterminer la nature des séries de terme généraux an =j sinnjn2

, bn = ln (n+ �)� ln (n+ e) et cn = ln�1 +

2

n2

�� 1

n2.

2.3 La règle de d'Alembert

Théorème 3. SoitX

un une série. On suppose que :

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Alors :

� Si ` < 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Si ` > 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Si ` = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

� Cas 1 : si ` < 1 :


Rj j j j0 ` `+1

21

nnnnnnnnnnn

un+1

un(pour n � N)

� Cas 2 : si ` > 1 :

Penser à la règle de d'Alembert lorsque l'écriture de un fait intervenir des factorielles, des puissances.

au cas douteux ` = 1

Exemples :

� Nature de la série exponentielleX xn

n!lorsque x > 0 :


� Nature de la sérieX nn

n!:

� Cas douteux : considérer les deux sériesX 1

netX 1

n2:

2.4 Comparaison séries-intégrales

2.4.1 Comparaison séries-intégrales

Comprendre l'idée de la méthode

On considère une série à termes positifs dont on veut étudier la nature. Elle s'écrit doncX

f(n). Une méthodepour étudier la nature de cette série est d'utiliser le théorème de comparaison en encadrant f(n). Or, lorsque lafonction f est :

� continue sur R+ (a�n que l'intégrale existe),

� positive sur R+ (a�n que la série soit bien à termes positifs),

� et décroissante sur R+,

il existe alors un moyen simple d'encadrer f(n) en utilisant des intégrales. Ensuite, si l'intégrale est plus facilementcalculable que la série, cela permet d'obtenir de nouveaux résultats.Toute la méthode tient sur le schéma suivant, en remarquant que f(n) peut être vu comme l'aire d'un rectanglede largeur 1 et de hauteur f(n) :

f(n) f(n)

f(n)

n� 1 n n+ 1

y = f(x)

Graphiquement, il apparaît que

� f(n) � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� f(n) � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cette inégalité, qui se lit facilement sur un dessin, correspond en fait rigoureusement à un théorème de croissance

de l'intégrale en remarquant que f(n) =

nZn�1

f(n)dt =

n+1Zn

f(n)dt.

Illustrons tout cela par l'étude d'un exemple assez classique :


Exemple : Divergence de la série harmonique (méthode 3) et équivalent en +1 :

Comparaison série-intégrale

Lemme 1. Soit n0 2 N. Soit f : [n0;+1[! R+ une fonction positive, continue et décroissante sur

[n0;+1[. On a

Preuve :

f(n) f(n)f(n)

n� 1 n n+ 1

y = f(x)

Exercice 5 : Soit f une fonction continue, positive et décroissante sur R+. Pour tout n 2 N?, on pose : un =

0@ nZn�1

f

1A � f(n).

Montrer que la sérieX

un converge.

Comme pour la série harmonique, nous allons devoir étudier la convergence ou divergence de sommes partielles

s'écrivant sous la forme : SN =

NZn0

f(t)dt lorsque N tend vers +1. A�n de pouvoir passer à la limite de ces

sommes partielles (si elle existe), nous avons besoin d'intégrer des fonctions sur des intervalles non bornés du type[n0;+1[. Un chapitre entier est dédié à l'étude de ce type d'intégrale, nous nous contentons ici de la dé�nitiond'intégrale impropre.


Dé�nition 4. Soit f une fonction continue sur [a;+1[ avec a 2 R.

� On dit que l'intégrale impropre

Z+1

af converge si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Sinon on dit que l'intégrale impropre

Z+1

af diverge.

Propriété 11. Soit n0 2 N et f une fonction continue, positive et décroissante sur [n0;+1[. Alors

Preuve :

Penser au théorème de comparaison série-intégrale lorsque an = f(n) avec une fonction f véri�ant :

� f continue, positive, décroissante sur [n0;+1[,

� et on sait étudier facilement la nature deZ

+1

af .

Exemples : Déterminer la nature des séries de terme général (séries de Bertrand) : un =ln (n)

n, un =

1

n ln (n)

et un =1

n(ln (n))2.


2.4.2 Application 1 : Les séries de Riemann

Convergence et divergence des séries de Riemann

Lemme 2. Soit � 2 R.

+1Z1

dt

t�converge ()

Preuve :

Théorème 4. Séries de Riemann :

Soit � 2 R. Xn�1

1

n�converge ()


Preuve :

Exemples :

� On a déjà vu que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�Xn�1

1pn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�Xn�1

1

npn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Deux séries de référence : série géométrique et série de Riemann.

� Utilisation des théorèmes de comparaison en utilisant ces séries de référence, en particulier :

? théorème des inégalités,

? Utilisation d'équivalents,

? Règle des n�un (voir ci-dessous).

Règle des n�un

Lorsque le terme général un n'admet pas d'équivalent simple, on peut alors utiliser la règle des n�un qui n'estautre que la règle du � petit o �avec les séries de Riemann. En e�et, on peut remarquer que :

n�un =un1

n�

:


un une série à termes positifs et � 2 R.� S'il existe � > 1 tel que lim

n!+1n�un = 0 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� S'il existe � � 1 tel que limn!+1n�un = +1 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Preuve :

Exemples :

� Série de Bertrand, le retour 1 : Déterminer la nature des séries de terme général : un =ln (n)

n2et

un =1p

n ln (n).

� Déterminer la nature des séries de terme général : un = e�n2

et un = e�pn.

2.4.3 Application 2 : Étude des sommes partielles de séries divergentes et des restes de sériesconvergentes

Soit f : [0;+1[! R+ continue, positive et décroissante sur R+. Le principe d'obtention des encadrements dansle cadre des comparaisons série-intégrale permet d'encadrer de façon précise les restes d'une série convergente oules sommes partielles d'une série divergente et d'en déduire souvent des équivalents.

Exemple : Exemples avec les séries de Riemann :


� Cas de convergence : Soit � > 1. Déterminer un équivalent simple de Rn =+1X

p=n+1

1

p�:

� Cas de divergence : Soit � 2]0; 1[. Déterminer un équivalent simple de Sn =nX

p=1

1

p�:

Exercice 6 : Exemples avec les séries de Bertrand : Déterminer un équivalent simple de Rn =

+1Xp=n+1

1

p2 ln (p). Déterminer un

équivalent simple de Sn =

nXp=1

1

p ln (p).

3 Séries absolument convergentes

Cadre d'étude :


� Des séries dont le terme général un est complexe NON réel,

� Des séries dont le terme général un est réel mais de signe NON constant.

On commence alors par étudier la sérieX

junj, série de termes positifs sur laquelle on peut donc utiliser tous lesthéorèmes vus dans la section précédente.

3.1 La convergence absolue

Dé�nition

Dé�nition 5. On dit queX

un converge absolument si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemples :

� La sérieXn�1

(�1)n

n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� La sérieX ein

2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Une série absolument convergente converge

Théorème 5. Une série absolument convergente est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

� Cas des séries à termes réels : utilisation des parties positive et négative :


� Cas des séries à termes complexes : utilisation des parties réelle et imaginaire :

La réciproque est fausse : on va montrer plus loin queXn�1

(�1)n

nconverge. Pour autant elle n'est pas

absolument convergente car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On appelle série semi-convergente une série convergente qui n'est pas absolument convergente.

Inégalité triangulaire

Propriété 13. Si la série de terme général un converge absolument, alors :

Preuve :

3.2 Étude pratique de la convergence absolue

Il s'agit d'appliquer àX

junj les résultats de la section précédente en particulier les théorèmes de comparaisonet la règle de d'Alembert.


Théorèmes de comparaison


un une série numérique etX

vn une série à termes positifs convergente.

� Si pour tout n 2 N : junj � vn alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Si pour tout n 2 N : junj �+1 vn alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Si un =+1 O(vn) alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Si un =+1 �(vn) alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� En particulier la règle des n�un devient :

si � > 1 et un =+1 �

�1

n�

�(équivalent à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ), alors :

Preuve :

Exemples : Déterminer la nature de la sérieXn�1

cos (n�)

n2pour tout � 2 R puis celle de la série

X ein

n2 + i.

Remarque : L'hypothèse deX

vn une série convergente à termes positifs est indispensable !

Exemples :

� On pose pour tout n 2 N?, un =1

net vn =

(�1)n

n. On a alors :

? un =+1 O(vn) car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? On va montrer plus loin queXn�1

vn converge (voir le critère des séries alternées)


? Pour autant, on sait déjà queXn�1

un diverge.

� On pose pour tout n 2 N?, un =1

net vn =

(�1)npn

. On a alors :

? un =+1 �(vn) car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? On va montrer plus loin queXn�1

vn converge (voir le critère des séries alternées)

? Pour autant, on sait déjà queXn�1

un diverge.

Les théorèmes de comparaison ne s'appliquent pas ici puisque la sérieX

vn n'est pas à termes positifs !

Règle de d'Alembert

Il s'agit d'appliquer la règle de d'Alembert à junj.

Exemple : Montrons que pour tout z 2 C?, la sérieX zn

n!converge absolument.

Remarque : La somme s'appelle l'exponentielle de z :

exp (z) =+1Xn=0

zn

n!

ce qui permet de dé�nir rigoureusement la fonction exponentielle complexe : exp : C! C.

3.3 Le produit de Cauchy

Dé�nition

A�n de bien comprendre la dé�niton du produit de Cauchy, commençons par faire quelques exemples simples.

� Considérons deux séries convergentesX

un etX

vn. On a pu donner un sens à la somme de deux séries ouau produit d'une série par un scalaire :

? la somme de deux série est la série de terme général un + vn,

? la multiplication d'une série par le scalaire � est la série de terme général �un.

On cherche alors à savoir quel sens donner au produit de deux séries convergentes. Peut-on écrire :

+1Xn=0

un

! +1Xn=0

vn

!=

+1Xn=0

unvn?

La réponse est sans appel, NON ! ! Pour s'en convaincre, il su�t déjà de constater :

(u0 + u1)(v0 + v1) 6= u0v0 + u1v1:


� Considérons en guise de deuxième contre-exemple deux séries géométriques de terme général1

2n:

� Comment peut-on calculer le produit deux séries ou plus précisément le produit de la somme de deux sériesconvergentes ? Regardons d'abord ce qui se passe dans le cas des sommes partielles :

nXi=0

ui

!0@ nXj=0

vj

1A =

= sommation verticale

= sommation horizontale

6= u0v0 + u1v1 + � � �+ unvn

0 1 2 3 4i

0

1

2

3

4

j

u0v0

u0v1

u0v2

u0v3

u0v4

u1v0

u1v1

u1v2

u1v3

u1v4

u2v0

u2v1

u2v2

u2v3

u2v4

u3v0

u3v1

u3v2

u3v3

u3v4

u4v0

u4v1

u4v2

u4v3

u4v4

Sommation verticale

0 1 2 3 4i

0

1

2

3

4

j

u0v0 u1v0 u2v0 u3v0 u4v0





Sommation horizontale

Mais on peut aussi choisir de sommer les termes le long des diagonales :Formellement, sans donner de sens rigoureux, regardons la forme des premiers termes lorsque l'on somme lelong des diagonales :


�Xi=0

ui

!0@ �Xj=0

vj

1A =

=

0 1 2 3 4i

0

1

2

3

4

j

u0v0

u0v1

u0v2

u0v3

u0v4

u1v0

u1v1

u1v2

u1v3

u1v4

u2v0

u2v1

u2v2

u2v3

u2v4

u3v0

u3v1

u3v2

u3v3

u3v4

u4v0

u4v1

u4v2

u4v3

u4v4

w0

w1

w2

w3

w4

w5

Le long des diagonalesCela nous conduit à la dé�nition suivante :

Dé�nition 6. SoientX

un etX

vn deux séries numériques. On appelle produit de Cauchy de ces

deux séries, la sérieX

wn de terme général wn dé�ni par

wn =

Théorème

Théorème 6. SiXn�0

un etXn�0

vn sont absolument convergentes alors :

� leur produit de CauchyXn�0

wn converge absolument

� et la somme est égale à :

+1Xn=0

wn =

Preuve : Admis.

Exemples :

� Avec la série exponentielle : on a déjà démontré que pour tout (z; z0) 2 C2, les sériesX zn

n!etX (z0)n

n!sont

absolument convergentes. Donc la série produit de Cauchy l'est aussi. Calculons sa somme :


� Avec la série géométrique : Soit q 2]� 1; 1[ et considérons la série géométrique de raison q. Elle est doncabsolument convergente. Donc la série produit de Cauchy de la même série

Xqn est absolument

convergente. Calculons sa somme :

Si le terme général de la série à étudier s'écrit sous la forme d'une SOMMEnX

k=0

ukvn�k, le théorème de

Cauchy, sous ses hypothèses, assure :

� l'absolue convergence de la série à étudier,

� un calcul de sa somme.

Exercice 7 : Étudier la nature de la série de terme général wn =

nXk=1

1

k22n�k. En cas de convergence, calculer sa somme. On pourra

admettre que

+1Xn=1

1

n2=

�

2.


4 Compléments : études de quelques séries non absolument convergentes

On rappelle qu'une série est dite semi-convergente si elle converge sans converger absolument. Les méthodes vuesprécédemment ne s'appliquent donc plus sauf lorsque l'on reconnaît une série télescopique. On donne ici deuxméthodes classiques d'étude de séries semi-convergentes.

4.1 Les séries alternées

Dé�nition des séries alternées

Dé�nition 7. Une série à termes réelsX

un est dite alternée si la suite ((�1)nun)n2N est de signe

contant. AinsiX

un est alternée si son terme général un est de la forme :

8n 2 N; un = ou 8n 2 N; un =

avec (vn)n2N une suite positive.

Exemple : La série harmonique alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le critère spécial aux séries alternées : HP

Quitte à considérer les opposés, on peut supposer par exemple que : 8n 2 N; un = (�1)vn avec (vn)n2N une suiteà termes positifs.

Théorème 7. SoitX

un une série à termes réels. On suppose que :

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Alors la sérieX

un converge.


Preuve :

Exemple : La série harmonique alternée ne converge pas absolument mais elle converge. En e�et :

Exercice 8 : Étudier la nature de la série de terme généralXn�1

(�1)n

n�.

Encadrement du reste

Propriété 15. Sous les hypothèse du critère spécial aux séries alternées,

le reste Rn est compris entre 0 et un+1 (il a donc le même signe que un+1).

Preuve : On se place donc sous les hypothèses du critère spécial aux séries alternées. On distingue alors le casn = 2p+ 1 impair et le cas n = 2p pair :


� Cas pair n = 2p :

Rj jjS

Rn

un+1

� Cas n impair n = 2p+ 1 :

Rj jjS

Rn

un+1


4.2 L'utilisation d'un développement asymptotique sur deux exemples

Parfois, le critère spécial aux séries alternées ne s'applique pas. On peut alors, en utilisant un développementasymptotique du terme général de la série, réussir tout de même à étudier sa convergence ou divergence. Traitonscela sur deux exemples :

Exemples :

� Nature de la sérieXn�1

sin

�(�1)n

n+

1

n2

�:

� Nature de la sérieXn�2

ln

�1 +

(�1)npn

�:


5 Synthèse : tableau récapitulatif

Étudier la sérieX

un=

Étudier son terme général un.

Deux séries de référence :

� Série géométrique :X

qn converge () jqj < 1

� Série de Riemann :X 1

n�converge () � > 1

limn!+1un = 0 ?

un de signe constant apcr ?

Div grossière

ACV?Termes positifs

SCV?

Règle

des

équivalents

Théorèm

edes

inégalités

Règle

den�un

Règle

ded'Alem

bert

Com

paraison P

et RProd

uitdeCauchy

Série

télescopiqu

e

SommeSomme

Critère

auxséries

alternées

Série

télescopiqu

e

Dévelop

pem

entasym

ptotiqu

e

Somme

Oui

Non

Oui Non

Non

Oui


6 Représentation décimale d'un nombre réel

6.1 Dé�nitions

Développement décimal d'un réel

On s'intéresse ici à l'écriture d'un réel sous la forme � d'un nombre à virgule �. Par exemple :

� = 3; 14159::::: ou1

3= 0; 333333333::::::::

Pour les réels négatifs, l'usage veut que l'on adopte l'écriture décimale de leur valeur absolue précédée du signe� - �. Par exemple :

�p2 = �1; 414:::: ou � e = �2; 7182818284::::

On se contente donc dans la suite de considérer des réels positifs.L'écriture décimale d'un réel positif telle que :

� = 3; 14159::::: = 3 +1

10+

4

102+

1

103+

5

104+

9

105+ : : :

conduit naturellement à l'étude de séries de terme général un =an

10n= an10

�n avec

� a0 2 N� Pour tout n � 1, an est un chi�re c'est-à-dire an 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g.Une telle série

Xun =

X an

10nconverge bien. En e�et, on a :

� 8n 2 N?, 0 � an

10n� 9

10n,

� les sériesX

un etX 9

10nsont à termes positifs,

� comme série géométrique avec�� 110

�� < 1,X 1

10nconverge et donc, par structure vectorielle,

X 9

10nconverge

aussi.

Ainsi en utilisant le théorème de comparaison sur les séries à termes positifs, on obtient bien la convergence deX an

10n. On peut alors dé�nir le développement décimal d'un réel comme suit :

Dé�nition 8. On appelle développement décimal d'un réel positif x, toute suite (an)n2N telle que

� a0 2 N� Pour tout n 2 N?, an 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g,

� x =+1Xn=0

an

10n.

Développement décimal propre d'un réel

Malheureusement, une telle écriture de x n'est pas unique.

Exemple : Montrer que 0; 999999999::::::::::: = 1; 00000000000::::::::::


A�n d'éviter ce problème, nous allons nous limiter aux suites (an)n2N dont les termes ne sont pas constammentégaux à 9 à partir d'un certain rang :

Dé�nition 9. On dit qu'un développement décimal d'un réel x est propre si la suite (an)n2N n'est pas

stationnaire en 9, c'est-à-dire :

6.2 Existence et unicité de la représentation décimale propre

Théorème 8. Tout réel positif admet un et un seul développement décimal propre.

Autrement dit, tout réel positif s'écrit de manière unique sous la forme

x = a0; a1a2a3a4 : : : � � � =+1Xn=0

an

10n;

avec

� a0 2 N� Pour tout n 2 N?, an 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g,� (an)n2N non stationnaire en 9.

Preuve : Admis.

Remarque : Conjecturer l'expression de la suite (an)n2N intervenant dans le développement décimal propre dex :

Exemple : On cherche le développement décimal propre de � =1

12. Calculer les premiers chi�res du

développement décimal propre de � =1

12. Quelle conjecture peut-on en tirer ? Prouver que la conjecture

précédente est vraie.


Remarques : On peut montrer les deux résultats suivants :

� Un nombre réel admet un développement décimal propre �ni si et seulement si il s'agit d'un nombre décimal

(c'est-à-dire un nombre rationnel s'écrivant sous la formea

10pavec a 2 Z et p 2 N).

� Un nombre réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique à partir d'uncertain rang.

Exemple :1

3= 0; 3333333333::::::::: ou

1

13= 0:07692307692307693:::

6.3 Application en informatique : représentation des nombres réels par des �ottants

La représentation des nombres réels en machine, appelés nombres �ottants utilise ce développement mais enne conservant qu'un nombre �ni de chi�res après la virgule, ce qui explique bien des erreurs d'arrondis sur les�ottants.

Exemples :

� cos(pi/2) renvoie sous Python, non pas 0, mais 6.123233995736766e-17.

� Le test d'égalité : cos(pi/2)==0 renvoie quand à lui : False.

Ainsi, les erreurs d'arrondis sur les �ottants rendent dangereux les tests d'égalité, puisque l'expression a==0 peutrenvoyer False à cause d'une erreur d'arrondi sur a. Pour tester si deux �ottants sont égaux, il est ainsi plusprudent de tester la � presque égalité �, c'est-à-dire si la di�érence entre les �ottants est � petite �. Par exemple,pour tester si deux �ottant a et b sont égaux, on peut tester : abs(a-b)<10**(-14).


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