Analyse 2 : Suites et séries numériques8.4 Opérations sur les séries.115 8.5 Exercices117 9...

Analyse 2 : Suites et séries numériques

(version du 8 décembre 2016 par Bernard Le Stum)

UFR de Mathématiques

Table des matières

I Première partie

1 Les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Introduction 9

1.2 Opérations sur les réels, relation d’ordre 10Complément : corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Complément : relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Valeur absolue 11

1.4 Rappel : intervalles de R 12

1.5 Majorant, borne supérieure 13Majorant, minorant, maximum, minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Complément : l’axiome d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Complément : racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Remarque sur la caractérisation axiomatique des nombres réels . . . . . . . . . . 16

1.6 Un peu de topologie 17Ensemble ouvert, fermé, compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Intervalle ouvert, fermé, compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 La droite réelle complétée R 19

Calcul dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Ordre dans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Rappel : récurrence 20

1.9 Complément : quelques notions sur les fonctions 21

1.10 Complément : quelques propriétés des ensembles 22

1.11 Exercices 24

2 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 Définitions 29

2.2 Définition de la convergence d’une suite 30

2.3 Premières propriétés 33

2.4 Limites et inégalités 33

2.5 Limites et opérations 35

2.6 Utilisation des sous-suites 36

2.7 Exercices 38

3 Suites réelles monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1 Suites monotones 43Définition et première propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Borne d’une suite monotone convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Un critère de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Suites adjacentes 45

3.3 Applications 46Racine n-ième, Dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Théorème des segments emboîtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Limite inférieure, Limite supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Une remarque sur la construction des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Exercices 54

4 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1 Définitions 57


4.3 Suites monotones divergentes 58



4.6 Suites équivalentes 61

4.7 Quelques suites classiques 62Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Comparaison des suites géométriques et des suites de puissances . . . . . . . . . 63Racine n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.8 Critères de d’Alembert et Cauchy pour les suites 64

4.9 Exercices 66

II Seconde partie

5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1 Les nombres complexes 73

5.2 Suites complexes 74Définition d’une suite complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Convergence d’une suite complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Un critère de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Propriétés des suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3 Suites géométriques complexes 76

5.4 Exercices 78

6 Limites de suites et limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1 Utilisation des fonctions continues 83Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Limite de suites et limite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2 Généralisation : limites de fonctions, infinies ou à l’infini 86Intervalles dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Limite de fonctions dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.3 Exemples 87Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Comparaison des exponentielles et des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.4 Théorème des valeurs intermédiaires 88

6.5 Complément : quelques propriétés des limites de fonctions 90

6.6 Complément : remarque sur la définition des limites de fonctions 90

6.7 Exercices 92

7 Suites définies par une formule de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.1 Motivation : méthode de Newton 95

7.2 Intervalles stables, points fixes 96Intervalles stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Un exemple « type » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3 Étude d’une suite récurrente 98Suite de l’exemple « type » : représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Cas ou f est monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Suite de l’exemple « type » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Cas ou x 7→ ( f (x)− x) est de signe constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Suite de l’exemple « type » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Méthode quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Suite de l’exemple « type » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.4 Exercices 102

6

III Troisième partie

8 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.0 Motivation 109Un exemple de développement décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Un exemple de série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.1 Définition d’une série 1108.2 Premiers exemples 112

Utilisation de la définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Série géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.3 Un critère de divergence d’une série. 1158.4 Opérations sur les séries. 1158.5 Exercices 117

9 Séries numériques à termes réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.1 Un critère de convergence 1199.2 Critères de comparaison et d’équivalence 1199.3 Un critère de convergence : ∑2nu2n 1219.4 Série de Riemann 1219.5 Critères de Cauchy et de d’Alembert 1239.6 Comparaison avec une intégrale 1249.7 Exercices 127

10 Convergence absolue ; Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10.1 Séries absolument convergentes 13110.2 Séries alternées 13210.3 Excursion : séries entières, un exemple 13410.4 Exercices 136

I1 Les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1 Introduction1.2 Opérations sur les réels, relation d’ordre1.3 Valeur absolue1.4 Rappel : intervalles de R1.5 Majorant, borne supérieure1.6 Un peu de topologie1.7 La droite réelle complétée R1.8 Rappel : récurrence1.9 Complément : quelques notions sur les fonctions1.10 Complément : quelques propriétés des ensembles1.11 Exercices

2 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1 Définitions2.2 Définition de la convergence d’une suite2.3 Premières propriétés2.4 Limites et inégalités2.5 Limites et opérations2.6 Utilisation des sous-suites2.7 Exercices

3 Suites réelles monotones . . . . . . . . . . . . . 433.1 Suites monotones3.2 Suites adjacentes3.3 Applications3.4 Exercices

4 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1 Définitions4.2 Premières propriétés4.3 Suites monotones divergentes4.4 Limites et inégalités4.5 Limites et opérations4.6 Suites équivalentes4.7 Quelques suites classiques4.8 Critères de d’Alembert et Cauchy pour les suites4.9 Exercices

Première partie

1. Les nombres réels

1.1 Introduction

Dans ce cours, nous supposons connus les ensembles de nombres suivants :— l’ensemble N des entiers naturels— l’ensemble Z des entiers relatifs— l’ensemble Q des nombres rationnels— l’ensemble R des nombres réels— l’ensemble C des nombres complexes,

ainsi que leurs propriétés usuelles concernant l’addition, la multiplication et l’ordre.Nous rappellerons celles-ci dans le cas des nombres réels et nous mettrons en évidence la

« propriété de la borne supérieure » qui distingue les nombres réels des nombres rationnels. Le butest d’affiner notre perception des nombres réels sans pour autant donner une construction formellede cet ensemble. Cette construction des nombres réels ainsi que leur caractérisation axiomatiquesera fait dans le module Analyse 3.

On admet aussi des notions élémentaires sur :— les ensembles (inclusion, union, intersection, complémentaire. . .),— les applications (composition. . .)— la logique (implication, négation, contraposée, démonstration par l’absurde. . .)

et le principe de récurrence. Ces notions étaient introduites d’une façon rigoureuse dans le moduleArithmétique 1.

Avec ces prérequis, le cours est construit sans supposer connu aucun autre résultat avec lesexceptions suivantes :

— Dans la section 9.6 nous utilisons la notion d’intégrale (sans la définir) pour donner unedeuxième démonstration du critère de convergence pour les séries de Riemann. Cette sectionn’est pas utilisée dans la suite. Une démonstration élémentaire de ce critère de convergenceest donnée dans la section 9.4.

— Pour les exercices, nous serons moins stricts : afin d’avoir des exercices « intéressants », nousutiliserons les fonctions classiques (trigonométriques, exponentielle et logarithme), quelqueslimites classiques (section 6.3) et, pour établir la monotonie des fonctions classiques, la

10 Chapitre 1. Les nombres réels

dérivée de ces fonctions, surtout pour les suites définies par une formule de récurrence(chapitre 7) et les séries alternées (chapitre 10).

1.2 Opérations sur les réels, relation d’ordreL’ensemble R est muni des opérations d’addition +, de soustraction −, de multiplication ×, et

de division / (par des réels non nuls) avec les règles arithmétiques usuelles.L’ensemble R est aussi muni d’une relation d’ordre ≤ qui permet de comparer deux nombres

réels quelconques. Cette relation d’ordre est compatible avec les opérations dans un sens à préciserplus tard. On dit que

Axiome 1.2.1 R est un corps totalement ordonné.

Notons que Q est également un corps totalement ordonné donc ces notions ne permettent pasde distinguer R et Q.

Pour ce cours il n’est pas essentiel de connaître plus de détails sur la notion de corps totalementordonné. Celle-ci (qui fait partie de la caractérisation des nombres réels) va être étudiée dans lemodule Analyse 3. Pour être complet, nous donnons tout de même les définitions en complément etnous énonçons les propriétés essentielles :

Complément : corpsL’ensemble R, muni de l’addition et de la multiplication, est un corps, ce qui signifie que :

(C1) L’addition dans R est associative : ∀x,y,z ∈ R, (x + y) + z = x + (y+ z) ; on écrit alorssimplement x+ y+ z.

(C2) Elle est commutative : ∀x,y ∈ R, x+ y = y+ x.(C3) Elle admet un élément neutre, noté 0, caractérisé par la propriété suivante : ∀x ∈R, x+0 = x.(C4) Tout élément x de R possède un opposé, noté −x, caractérisé par la propriété suivante

x+(−x) = 0 ; on abrège l’écriture x+(−y) en x− y.(C5) La multiplication dans R est associative : ∀x,y,z ∈ R, (x× y)× z = x× (y× z).(C6) Elle est commutative : ∀x,y ∈ R, x× y = y× x.(C7) Elle admet un élément neutre distinct de 0, noté 1, caractérisé par la propriété suivante :

∀x ∈ R, x×1 = 1× x = x.(C8) Tout réel non nul x admet un inverse, noté x−1 caractérisé par la propriété : x× x−1 = 1 ; on

abrège l’écriture x× y−1 en xy .

(C9) La multiplication est distributive par rapport à l’addition : ∀x,y,z ∈R, x× (y+ z) = (x×y)+(x× z).

Notations 1.2.2 On note R∗ = R\{0}.

Complément : relation d’ordreLe corps R, muni de la relation d’inégalité (large), est totalement ordonné, ce qui signifie que :

(O1) Antisymétrie : ∀x,y ∈ R, (x≤ y et y≤ x)⇒ x = y.(O2) Réflexivité : ∀x ∈ R, x≤ x.(O3) Transitivité : ∀x,y,z ∈ R, (x≤ y et y≤ z)⇒ x≤ z.(O4) Totalité : ∀x,y ∈ R, (x≤ y) ou (y≤ x).(O5) Compatibilité avec (+) : ∀x,y,z ∈ R, (x≤ y)⇒ (x+ z≤ y+ z).(O6) Compatibilité avec (×) : ∀x,y ∈ R, (z≥ 0 et x≤ y)⇒ (z× x≤ z× y).

Notations 1.2.3 1. Pour deux réels x et y, x≤ y se lit : « x est inférieur ou égal à y » ou « yest supérieur ou égal à x », et se note aussi y≥ x.

1.3 Valeur absolue 11

2. On dit que x est positif (respectivement négatif) si on a x≥ 0 (respectivement x≤ 0).3. On note R+ (respectivement R−) l’ensemble des réels positifs (respectivement négatifs).4. Par définition, x < y (ou encore y > x) signifie « x≤ y et x 6= y », et se lit « x est strictement

inférieur à y ».

Proposition 1.2.4 1. On a R= R+∪R− et R+∩R− = {0}.2. ∀x,y ∈ R, (x≤ y⇔ x− y≤ 0).3. ∀x,y ∈ R, (x≤ y⇒−y≤−x).4. ∀x,y,z ∈ R, (x < y)⇒ (x+ z < y+ z).5. ∀x,y ∈ R, (z > 0 et x < y)⇒ (z× x < z× y).6. ∀x,y ∈ R, (z≤ 0 et x≤ y)⇒ (z× x≥ z× y).7. ∀x ∈ R, (x > 0⇒ 1

x > 0) et (x < 0⇒ 1x < 0).

8. ∀x,y ∈ R, (0 < x≤ y⇒ 0 < 1y ≤

1x ).

Preuve. Exercice. �

Remarque Soit (K,+,×) un corps. Pour ordonner totalement (K,+,×), il faut (et il suffit de) sedonner un sous-ensemble K+ de K tel que, si on pose K− = {−a : a ∈ K+}, on ait

1. K+∪K− = K ;2. K+∩K− = {0} ;3. x,y ∈ K+ implique x+ y ∈ K+ ;4. x,y ∈ K+ implique x× y ∈ K+.

Proposition 1.2.5 Soient a,b ∈ R et N ∈ N. Si a,b > 0 et N 6= 0, alors1. a < b si et seulement si aN < bN ;2. a≤ b si et seulement si aN ≤ bN .

Preuve. (1) (⇒) Supposons que a < b. On va montrer par récurrence que l’énoncé

P(N) : aN < bN

est vrai pour tout N ∈ N \ {0} (voir la section 1.8 pour un rappel sur le principe de récurrence).Pour N = 1, il n’y a rien à démontrer. En général, supposons que P(N) est vrai : aN < bN . Commea > 0 on a aNa < bNa. Comme a < b et bN > 0 (ce qui se démontre aussi par récurrence), onobtient bNa < bNb. On a donc aN+1 = aNa < bNa < bNb = bN+1. Donc P(N +1) est vrai. On amontré que P(1) est vrai et que pour tout N ∈ N\{0}, si P(N) est vrai alors P(N +1) est vrai.On déduit par le principe de récurrence que P(N) est vrai pour tout N ∈ N\{0}.

(1) (⇐) On suppose qu’on a aN < bN mais, pour arriver à une contradiction, qu’on n’a pasa < b. Donc on a soit a = b auquel cas on aurait aN = bN , ou bien b < a auquel cas on aurait,d’après (⇒), bN < aN . Dans les deux cas on arrive à une contradiction, donc on a bien a < b.

(2) Il s’agit de la contraposée de (1) (en échangeant les rôles de a et b). �

1.3 Valeur absolueDéfinition 1.3.1 Pour tout x ∈ R on définit la valeur absolue de x, notée |x| par :

|x|=

x si x > 00 si x = 0−x si x < 0.


Proposition 1.3.2 1. ∀x ∈ R, |x| ≥ 0.2. ∀x ∈ R,(|x|= 0⇔ x = 0).3. ∀x ∈ R, |− x|= |x|.4. ∀x ∈ R,x≤ |x| et −x≤ |x|.5. ∀x ∈ R,∀r ∈ R+,(|x| ≤ r⇔−r ≤ x≤ r).6. ∀x,y ∈ R,∀r ∈ R+,(|y− x| ≤ r⇔ x− r ≤ y≤ x+ r).7. ∀x,y ∈ R, |xy|= |x||y|.


Proposition 1.3.3 — Inégalités triangulaires. Soient x,y ∈ R. Alors1. |x± y| ≤ |x|+ |y|2.∣∣|x|− |y|∣∣≤ |x± y|

Preuve. (1) Supposons que x+ y≥ 0. En utilisant la proposition 1.3.2 on obtient

|x+ y|= x+ y≤ |x|+ |y|.

Supposons que x+ y < 0. En utilisant la proposition 1.3.2 on obtient

|x+ y|=−(x+ y) =−x− y≤ |x|+ |y|.

Dans les deux cas on a |x+ y| ≤ |x|+ |y|. En remplaçant y par −y, on obtient |x− y| ≤ |x|+ |y|.(2) Supposons que |x| ≥ |y|. Alors

|x|= |x+ y− y| ≤ |x+ y|+ |y|, donc∣∣|x|− |y|∣∣= |x|− |y| ≤ |x+ y|.

Supposons que |x| ≤ |y|. Alors

|y|= |y+ x− x| ≤ |y+ x|+ |x|, donc∣∣|x|− |y|∣∣= |y|− |x| ≤ |y+ x|.

Dans les deux cas on a∣∣|x|−|y|∣∣≤ |y+x|. En remplaçant y par−y on obtient

∣∣|x|−|y|∣∣≤ |x−y| �

1.4 Rappel : intervalles de RDéfinition 1.4.1 Soient a,b des réels. On définit les ensembles suivants :

1. [a,b] = {x ∈ R |a≤ x≤ b}.2. ]a,b[= {x ∈ R | a < x < b}.3. [a,b[= {x ∈ R | a≤ x < b}.4. ]a,b] = {x ∈ R | a < x≤ b}.5. ]a,+∞[= {x ∈ R | a < x}.6. [a,+∞[= {x ∈ R | a≤ x}.7. ]−∞,b[= {x ∈ R | x < b}.8. ]−∞,b] = {x ∈ R | x≤ b}.9. ]−∞,+∞[ = R.

Une partie I de R est un intervalle si elle est de l’un des types ci-dessus.

Notations 1.4.2 Dans les quatre premiers cas, si l’intervalle n’est pas vide, alors a et b sont lesbords (ou extrémités) de l’intervalle, b−a est sa longueur et a+b

2 son centre (ou milieu). Dansles cas 5 à 8, on parle aussi de demi-droites de bord a ou b.

1.5 Majorant, borne supérieure 13

Remarque 1. Noter que si a = b, on a [a,b] = {a} et ]a,b[=]a,b] = [a,b[= /0 et que si a > b,on a [a,b] =]a,b[=]a,b] = [a,b[= /0 (de sorte que l’ensemble vide est un intervalle). Engénéral on prend soin de supposer a≤ b dans le cas 1 et que a < b dans les cas 2 à 4. Un telintervalle est alors non-vide car il contient son centre.

2. On peut montrer qu’un intervalle I non vide appartient à un seul des types 1 à 9, et que lesréels a et b sont alors (le cas échéant) uniquement déterminés par I (la démonstration seraplus simple lorsque nous aurons vu les notions de borne inférieure et de borne supérieure).

1.5 Majorant, borne supérieure

Dans cette section on rappelle les notions de majorant/minorant, plus grand/petit élément, bornesupérieure/inférieure (qui étaient déjà introduits dans le module Arithmétique 1).

Majorant, minorant, maximum, minimumDéfinition 1.5.1 Soit S un sous-ensemble de R.

1. Soit M ∈ R tel que∀x ∈ S, x≤M.

On dit alors que M est un majorant de S.2. On dit que S est majoré si S admet un majorant :

∃M ∈ R, ∀x ∈ S, x≤M.

3. On dit que M est le plus grand élément ou le maximum de S, et on note M = maxS, si Mest un majorant de S et si M ∈ S :

M ∈ S, ∀x ∈ S, x≤M.

4. Soit m ∈ R tel que∀x ∈ S, m≤ x.

On dit alors que m est un minorant de S.5. On dit que S est minoré si S admet un minorant :

∃m ∈ R, ∀x ∈ S, m≤ x.

6. On dit que m est le plus petit élément ou le minimum de S, et on note m = minS, si M estun minorant de S et si m ∈ S :

m ∈ S, ∀x ∈ S, m≤ x.

7. On dit que l’ensemble S est borné si S est minoré et majoré :

∃m ∈ R,∃M ∈ R, ∀x ∈ S, m≤ x≤M.

Remarque 1. Un ensemble S ⊂ R a au plus un plus grand élément : si x et y sont deux plusgrands éléments de S, alors x≤ y (car x ∈ S et y majore S) et y≤ x (en échangeant les rôles),d’où x = y. Autrement dit le plus grand élément, s’il existe, est unique et il mérite doncl’article défini. Même remarque pour le plus petit élément.

2. Un ensemble S est borné si et seulement s’il existe B tel que ∀x ∈ S, |x| ≤ B.

Borne supérieure


Définition 1.5.2 Soit S un sous-ensemble de R. On dit que M ∈ R est la borne supérieure de S,et on écrit M = sup(S) si M est le plus petit des majorants de S :

1. M est un majorant de S ;2. Si L est un majorant de S, alors M ≤ L.

Remarque 1. On voit que M = sup(S) si :— ∀x ∈ S, x≤M.— si L < M alors il existe x ∈ S tel que L < x ;

2. Il est clair que si S admet une borne supérieure alors cette borne est unique, ce qui justifie laterminologie « la » borne supérieure.

Axiome 1.5.3 — Propriété de la borne supérieure. Tout sous-ensemble non vide de R quiest majoré possède une borne supérieure.

Exemple 1. Un réel M est un majorant de l’intervalle ]−∞,1] si et seulement si M ≥ 1 :(⇒) : si x ∈ ]−∞,1] et M ≥ 1, on a bien x≤ 1≤M.(⇐) : si x ∈ ]−∞,1] et M < x, alors M < 1.De plus, comme on a 1 ∈ ]−∞,1] et 1≥ 1, on voit que max(]−∞,1]) = 1.

2. On montre de même qu’un majorant de l’intervalle ]−∞,1[ est un réel M tel que M ≥ 1.Mais cet intervalle n’admet cependant pas de plus grand élément : si x ∈ ]−∞,1[, on ax < (1+ x)/2 < 1 et donc aucun élément de ]−∞,1[ n’est un majorant de ]−∞,1[. Parcontre, il possède une borne supérieure : en effet, l’ensemble des majorants de ]−∞,1[ estl’intervalle [1,+∞] et on a donc sup(]−∞,1[) = min([1,∞[) = 1.

L’exemple précédent nous fait conjecturer la proposition suivante :

Proposition 1.5.4 Un sous-ensemble S de R admet un maximum si et seulement si S admet uneborne supérieure et celle-ci appartient à S. Et on a alors max(S) = sup(S)

Preuve. (⇒) Supposons que S ait un maximum M. Alors, M est un majorant de S. De plus, si L estun majorant de S, alors M ≥ L car M ∈ S. Donc M est le plus petit majorant de S.(⇐) Supposons que M ait une borne supérieure de S et que M ∈ S. Comme M est un majorant de Set qu’il est dans S, c’est bien le maximum. �

Borne inférieureOn définit d’une façon analogue la borne inférieure (qui si elle existe est unique) :

Définition 1.5.5 Soit S un sous-ensemble de R. On dit que m ∈ R est la borne inférieure de S,et on écrit m = inf(S) si m est le plus grand des minorants de S :

1. m est un minorant de S ;2. Si l est un minorant de S, alors l ≤ m.

Proposition 1.5.6 Soit S un sous-ensemble de R et −S = {−s : s ∈ S}. Alors,1. M est un majorant de S si et seulement −M est un minorant de −S.2. S admet un maximum si et seulement si −S admet un minimum et on a alors min(−S) =−max(S).

3. S admet une borne supérieure si et seulement si −S admet une borne inférieure et alorsinf(−S) =−sup(S).

Preuve. Exercice 1.25 �

1.5 Majorant, borne supérieure 15

Corollaire 1.5.7 Tout sous-ensemble non vide S de R qui est minoré possède une borne infé-rieure.

Preuve. D’après la proposition 1.5.6, l’ensemble −S est majoré. Comme il est aussi non vide,l’axiome 1.5.3 nous dit qu’il admet une borne supérieure. En appliquant maintenant la proposi-tion 1.5.6 à −S, on voit que l’ensemble S admet une borne inférieure. �

Exemple 1. L’intervalle ]−2,1[ est borné non vide et possède donc une borne supérieure ainsiqu’une borne inférieure. Mais il n’admet ni maximum, ni minimum.

2. L’intervalle [−2,1[ est aussi borné non vide. Il possède un minimum qui est donc aussi saborne inférieure ainsi qu’une borne supérieure. Mais il n’admet pas de maximum.

3. L’ensemble vide est minoré et majoré (par n’importe quel élément de R) et donc borné ; Maisil n’a ni plus grand élément ni plus petit élément (et pour cause : il n’a pas d’élément du tout).En fait, il n’a ni borne inférieure ni borne supérieure.

Complément : l’axiome d’ArchimèdeLe sous-ensemble de R formé des entiers naturels n’est majoré par aucun réel, ce qui équivaut

à la propriété suivante :

Théoreme 1.5.8 — Propriété d’Archimède. Pour tout réel x, il existe un entier naturel n telque x≤ n.

Preuve. Supposons que N admette une borne supérieure M. Comme M−1 < M, on voit que M−1n’est pas un majorant de N. Il existe donc n ∈ N tel que M−1 < n si bien que M < n+1. Commen+ 1 ∈ N, c’est une contradiction avec le fait que M est un majorant de N. Comme N est unensemble non-vide, l’axiome 1.5.3 implique que N n’est pas majoré. �

Complément : racine carréeOn vérifie aisément que

√2 n’est pas un nombre rationnel : sinon, on pourrait écrire 2 = (m/n)2

avec m,n ∈ N. Et après simplification à l’intérieur de la parenthèse, on peut même supposer que met n ne sont pas tous les deux pairs. Or comme cette égalité s’écrit aussi m2 = 2n2, on doit avoir mpair. Mais si on écrit m = 2k avec k ∈ N, on aura 4k2 = 2n2 si bien que n2 = 2k2 et on trouve que naussi est pair. Contradiction. Donc si on « place » les nombres rationnels sur une droite il y a des« trous ». Pour indiquer comment l’axiome 1.5.3 (propriété de la borne supérieure) nous permet de« combler ces trous » on montre la proposition suivante :

Proposition 1.5.9 — Racine carrée. Soit a un réel positif, alors il existe un unique réel positif,que l’on note

√a tel que (

√a)2 = a.

Preuve. L’unicité se déduit facilement de la proposition 1.2.5 (voir la démonstration de la proposi-tion 3.3.1). On donne d’abord l’idée de la démonstration de l’existence : posons

E = {x ∈]0,+∞[ : x2 ≤ a}.

On montre que E est non vide et majoré, donc (axiome 1.5.3) admet une borne supérieure, notonsla par l : l = sup(E). On montre alors par l’absurde que l2 = a :

— Si on avait l2 < a alors en prenant ε > 0 suffisamment petit, on aurait encore (l+ε)2 < a, cequi impliquerait que l + ε ∈ E, en contradiction avec le fait que l est un majorant de E ;

— Si on avait a < l2 alors en prenant ε > 0 suffisamment petit on aurait encore a < (l− ε)2, cequi impliquerait que l− ε est un majorant de E, en contradiction avec le fait que l est le pluspetit majorant de E.


On a donc bien l2 = a.Voici les détails de la démonstration : soit donc E = {x ∈ ]0,+∞[ : x2 ≤ a}.

(1) On montre que E est non-vide : y = aa+1 vérifie 0 < y < 1 et donc (en multipliant l’inégalité par

y) y2 < y. On a donc (a

a+1

)2

<a

a+1<

a1= a,

ce qui implique que y ∈ E.(2) On montre que E est majoré par a+1 : (a+1)2 = a2 +2a+1 > a, donc pour tout y ∈ E, on ay2 < a < (a+1)2, ce qui implique (proposition 1.2.5) que y < (a+1). D’après l’axiome 1.5.3, Eadmet une borne supérieure. Notons la par l : l = sup(E).(3) Supposons pour arriver à une contradiction que l2 < a et posons δ = a− l2 > 0. Soit ε > 0 quivérifie ε < 1 et ε < δ

2l+1 . On a alors

a− (l + ε)2 = a− l2−2lε− ε2 = δ −2lε− ε

2 > δ −2lε− ε = δ − ε(2l +1)> 0.

On a montré que (l + ε)2 < a, ce qui implique que l + ε ∈ E. Ceci est en contradiction avec le faitque l est un majorant de E. Donc l2 < a est impossible.(4) Supposons pour arriver à une contradiction que l2 > a et posons δ = l2−a > 0. Soit ε > 0 telque ε < δ

2l . On a alors

(l− ε)2−a = l2−2lε + ε2−a = δ −2lε + ε

2 > δ −2lε > 0.

On a montré que a < (l− ε)2. Comme pour tout x ∈ E on a x2 ≤ a < (l− ε)2 on a x < l− ε

(proposition 1.2.5). On déduit que l− ε est un majorant de E, en contradiction avec le fait que l estle plus petit majorant de E. Donc l2 > a est impossible. (3) et (4) montrent donc que l2 = a et ilsuffit donc de poser

√a = l pour conclure. �

Remarque Soient N ∈ N, N ≥ 2 et a ∈]0,+∞[. On pourrait sans grand effort généraliser cettedémonstration pour montrer l’existence d’une unique racine N-ième de a. On a préféré donner uneautre démonstration de ce fait en utilisant des suites (adjacentes) : voir la proposition 3.3.1.

Notations 1.5.10 On écrit aussi√

a = a12 .

Remarque sur la caractérisation axiomatique des nombres réelsLa construction des nombres réels fait partie du programme du module Analyse 3. Voici quand

même quelques remarques :

Remarque 1. On a énoncé les propriétés (C1)-(C9), (O1)-(O6), et la propriété de la bornesupérieure des nombres réels comme axiomes. Donc on déclare que R est un ensemble quivérifie ces propriétés.

2. On admet pour ce cours l’existence d’un tel ensemble, c’est à dire la construction d’unensemble qui vérifie ces propriétés (et contient Q). On peut même montrer qu’un tel ensembleest « essentiellement unique ». On donnera plus loin (voir page 52) une indication d’uneconstruction possible des nombres réels qui utilise les « suites de Cauchy ».

3. Notons que Q est déjà un corps totalement ordonné, donc Q vérifie les propriétés (C1)–(C9)et (O1)–(O6) mais n’a pas la propriété de la borne supérieure (voir remarque suivante). Ilfaut donc montrer comment rajouter suffisamment de points aux nombres rationnels pourobtenir un nouvel ensemble qui est toujours un corps totalement ordonné mais qui a en plus lapropriété de la borne supérieure. On montre ensuite l’unicité à « renommage » (isomorphisme)près d’un tel ensemble.

1.6 Un peu de topologie 17

4. Le sous-ensemble S = {x ∈Q∗+ | x2 ≤ 2} de Q n’admet pas de borne supérieure rationnelle.Pour le voir on peut imiter la démonstration de l’existence de la racine carrée (proposi-tion 1.5.9) : on montre que S est non-vide et majoré (dans Q). On suppose alors (pour arriverà une contradiction) que S admet une borne supérieure rationnelle `. L’argument de la dé-monstration de la proposition 1.5.9 montre que `2 < 2 et `2 > 2 produisent une contradiction,donc on a `2 = 2. On a donc (unicité de la racine carrée positive) `=

√2, mais comme on l’a

déjà dit,√

2 n’est pas rationnel. Donc Q n’a pas la propriété de la borne supérieure.

1.6 Un peu de topologieEnsemble ouvert, fermé, compact

On introduit dans cette section quelques notions « topologiques » sur les sous-ensembles de R.On donne une définition générale mais on va l’appliquer surtout pour les intervalles de R.

Définition 1.6.1 Soient ` et ε des réels tels que ε > 0. On dit que ]`− ε, `+ ε[ est l’intervalleouvert centré en ` et de rayon ε on le note Uε(l).

Remarque On a x ∈ ]`−ε, `+ε[ si et seulement si `−ε < x < `+ε si et seulement si |x− `|< ε .On dit que |x− `| est la distance de x à `.

Définition 1.6.2 Soit S un sous-ensemble de R.1. On dit que S est ouvert si pour tout x0 ∈ S on peut trouver un intervalle ouvert centré

en x0 qui est contenu dans S. Autrement dit, pour tout x0 ∈ S, il existe un ε > 0 tel queUε(x0) =]x0− ε,x0 + ε[ soit contenu dans S.

2. On dit que S est fermé si son complémentaire Sc = R\S est ouvert.3. On dit que S est compact si S est fermé et borné.

Remarque La définition d’un ensemble fermé n’est pas très intuitive. On donnera plus loin deuxautres interprétations, une qui utilise la notion de « point d’adhérence » et une autre en termes desuites numériques.

Exemple Soit a ∈ R.1. Montrons que l’intervalle I = ]a,+∞[ est ouvert. On fixe un x0 ∈]a,+∞[ (arbitraire) et on

pose ε := x0−a. Notons qu’on a alors Uε(x0) = ]x0− ε,x0 + ε[ = ]a,x0 + ε[⊂]a,+∞[ = I.On a trouvé pour tout x0 ∈ I un intervalle ouvert centré en x0 qui est contenu dans I. Donc,par définition, I est ouvert.

2. On en déduit que ]−∞,a] est fermé puisqu’on vient de montrer que son complémentaire estouvert.

3. L’intervalle ]−∞,a] n’est pas ouvert puisque pour aucun ε > 0, l’intervalle Uε(x0) = ]a−ε,a+ ε[ n’est inclus dans ]−∞,a] (par exemple, le réel a+ ε

2 est bien dans ]a− ε,a+ ε[mais pas dans ]−∞,a]).

4. On en déduit que l’intervalle ]a,+∞[ n’est pas fermé puisqu’on vient de montrer que soncomplémentaire n’est pas ouvert.

5. L’intervalle fermé ]−∞,a] n’est pas borné, donc pas compact.6. Soit b ∈ R. On montre de même (Exercice 1.15) que l’intervalle ]−∞,b[ est ouvert (mais

pas fermé) et que l’intervalle [b,+∞[ est fermé (mais pas ouvert).

Pour construire d’autres ensembles ouverts et fermés la proposition suivante est utile :


Proposition 1.6.3 L’union et l’intersection de deux ensembles ouverts (respectivement fermés)est ouvert (respectivement fermé).


Exemple Soient a,b ∈ R, a < b.1. L’intervalle ]a,b[ est ouvert étant l’intersection des ensembles ouverts ]a,+∞[ et ]−∞,b[.2. L’intervalle [a,b] est fermé étant l’intersection des ensembles fermés [a,+∞[ et ]−∞,b] (on

pourrait aussi dire que le complémentaire de [a,b] est ouvert étant l’union des intervallesouverts ]−∞,a[ et ]b,+∞[.)

3. L’intervalle [a,b] est compact étant fermé et borné.

AdhérenceDéfinition 1.6.4 Soit S un sous-ensemble de R.

1. On dit que x0 ∈ R est un point d’adhérence de S si tout intervalle ouvert centré en x0contient au moins un point de S (qui peut être x0). Autrement dit,

∀ε > 0, Uε(x0)∩S =]x0− ε,x0 + ε[ ∩ S 6= /0.

2. L’adhérence de S est l’ensemble des points d’adhérence de S. On note cet ensemble par S.

Remarque Si x0 ∈ S alors tout intervalle ouvert centré en x0 contient l’élément x0 qui est déjà unélément de S. Donc x0 est un point d’adhérence de S. Autrement dit : S⊂ S.

Intervalle ouvert, fermé, compact

Exemple Soient b ∈ R et I = ]−∞,b[. On va montrer que I = ]−∞,b].— On vient de remarquer que I ⊂ I.— Pour montrer que b est un point d’adhérence de I, on fixe ε > 0 (arbitraire) et on constate

que ]b− ε,b+ ε[ contient par exemple le point b− ε

2 de I. Donc on a montré que pour toutε > 0, l’intervalle ouvert centré en b a une intersection non vide avec I.

— On montre que si x0 > b alors x0 n’est pas un point d’adhérence de I : si on prend par exempleε = x0−b alors l’intervalle ouvert ]x0−ε,x0 +ε[ = ]b,b+2ε[ ne contient aucun élément deI = ]−∞,b[ (on aurait aussi pu utiliser le fait que ]b,+∞[ est ouvert.)

Conclusion : I = ]−∞,b].

Remarque D’une façon imagée, on obtient I en rajoutant à I les points « arbitrairement proches »de I.

Proposition 1.6.5 1. Les intervalles ouverts sont de la forme ]a,b[, ]−∞,a[, ]a,+∞[, R et /0.2. Les intervalles fermés sont de la forme [a,b], ]−∞,a], [a,+∞[, R et /0.3. Soit I un intervalle. Si I = /0 ou I = ]−∞,+∞[, alors I = I.

Si I = ]a,b[, I = [a,b[, I = ]a,b], ou I = [a,b], alors I = [a,b].Si I = ]−∞,a[ ou I = ]−∞,a], alors I = ]−∞,a].Si I = ]a,+∞[ ou I = [a,+∞[, alors I = [a,+∞[.

4. Les intervalles compacts sont de la forme [a,b] et /0.

Preuve. On a déjà traité plusieurs cas. Les autres cas sont laissés comme exercice. �

1.7 La droite réelle complétée R 19

Soient a,b ∈ R. On résume le résultat précédent sous la forme d’un tableau (les cases videscorrespondent a « Non ») :

I ouvert ? fermé? compact ? I

1. [a,b], a≤ b Oui Oui [a,b]

2. ]a,b[, a < b Oui [a,b]

3. [a,b[, a < b [a,b]

4. ]a,b], a < b [a,b]

5. ]a,+∞[ Oui [a,+∞[

6. [a,+∞[ Oui [a,+∞[

7. ]−∞,a[ Oui ]−∞,a]

8. ]−∞,a] Oui ]−∞,a]

9. ]−∞,∞[ Oui Oui ]−∞,∞[

10. /0 Oui Oui Oui /0

Remarque En regardant le tableau on peut voir que1. I est toujours fermé ;2. un intervalle I est fermé si et seulement si I = I ;3. comme I ⊂ I, un intervalle I est fermé si et seulement si I ⊂ I, autrement dit, si et seulement

si I contient tous ses points d’adhérence.4. I est le plus petit intervalle fermé qui contient I ;

On peut montrer que ces énoncés restent vrais si on remplace « intervalle » par « sous-ensemble deR.

La proposition suivante généralise 2) de la remarque précédente pour des sous-ensemblesarbitraires de R. Cette proposition n’est pas utilisée dans la suite mais elle nous donne uneinterprétation de la notion d’ensemble fermé : un ensemble S ⊂ R est fermé si et seulement si Scontient tous ses points d’adhérence.

Proposition 1.6.6 Un sous-ensemble S de R est fermé si et seulement si S = S (si et seulementsi S⊂ S).

Preuve. Les énoncés suivants sont équivalents :— S = S— S⊂ S (comme on a toujours S⊂ S)— Sc ⊂ Sc

— Si x ∈ Sc alors x 6∈ S— Si x ∈ Sc alors x n’est pas un point d’adhérence de S.— Si x ∈ Sc alors il existe ε > 0 tel que Uε(x)∩S = /0.— Si x ∈ Sc alors il existe ε > 0 tel que Uε(x)⊂ Sc.— Sc est ouvert.— S est fermé. �

1.7 La droite réelle complétée RPour simplifier certains énoncés il est pratique d’introduire deux éléments appelés −∞ et +∞ et

de poser R= R∪{+∞,−∞}. On dit que R est la « droite réelle complétée ».


Calcul dans ROn étend l’addition et la multiplication usuelles de R en deux opérations de même nom dans R.

Ces opérations ne sont que partiellement définies : voir les tableaux suivants, dans lesquels NDsignifie « non défini » (on parle aussi de « formes indéterminées ») :

a+b? a =−∞ a ∈ R a =+∞

b =−∞ −∞ −∞ ND

b =+∞ ND +∞ +∞

ab? a < 0, a =−∞ a = 0 a > 0, a =+∞

b =−∞ +∞ ND −∞

b =+∞ −∞ ND +∞

On étend la fonction « inverse » à R\{0} en posant (toujours par définition) :

1+∞

=1−∞

= 0

(attention : l’inverse de 0 n’est toujours pas défini !)

Ordre dans R.Si a,b ∈ R ⊂ R la relation a < b a la signification usuelle dans R. On étend cette relation

d’ordre en une relation d’ordre dans R en définissant −∞ < +∞ et, pour tout a ∈ R, −∞ < a eta <+∞. On voit tout de suite que c’est une relation d’ordre total sur R, qui admet +∞ comme plusgrand élément et −∞ comme plus petit élément.

Définition 1.7.1 Soit S un sous-ensemble non vide de R. Si S n’est pas majoré, alors on dit que+∞ est la borne supérieure de S et on écrit sup(S) = +∞. De même si S n’est pas minoré, alorson dit que −∞ est la borne inférieure de S et on écrit inf(S) =−∞.

Avec cette convention la borne supérieure et la borne inférieure sont définies (dans R) pour toutsous-ensemble non vide S de R. Si nécessaire, on dira que la borne supérieure de l’ensemble videest −∞ et sa borne inférieure est +∞.

1.8 Rappel : récurrenceCette notion était introduite et traitée en détail dans le module Arithmétique 1.Le principe de récurrence est basé sur la propriété fondamentale des nombres entiers suivante :Soit S un sous-ensemble de N. Supposons que :

1. 0 ∈ S ;2. pour tout entier n, si n ∈ S, alors n+1 ∈ S.

Alors S = N.Pour appliquer cette propriété fondamentale des nombres entiers, supposons que P(n) est un

énoncé qui est a priori vraie ou fausse selon la valeur de l’entier naturel n.Si on peut montrer que :

1. P(0) est vraie (initialisation de la récurrence) et2. pour tout n ∈ N l’hypothèse que P(n) soit vraie implique que P(n+1) est encore vraie

(hérédité de la récurrence),

1.9 Complément : quelques notions sur les fonctions 21

alors on peut conclure que P(n) est vraie pour tous les entiers n (on dit par le principe derécurrence). Pour voir cela on pose

E = {n ∈ N : P(n)est vrai},

et on applique la propriété fondamentale des nombres entiers pour conclure que E = N.On peut utiliser le principe de récurrence pour démontrer les deux propositions suivantes :

Proposition 1.8.1 ∀n ∈ N\{0}, ∑nk=1 k = n(n+1)

2 .

Preuve. Exercice 1.11. �

Notons qu’on peut trouver la relation de la proposition précédente en écrivant

1 + 2 + · · · + n−1 + n+ n + n−1 + · · · + 2 + 1= n+1 + n+1 + · · · + n+1 + n+1

Rappelons la convention 0! = 1 et la définition des coefficients binomiaux :

∀n ∈ N, ∀k ∈ {0, . . . ,n},(

nk

):=

n!k!(n− k)!

.

On a alors

Proposition 1.8.2 — Formule du binôme.

∀a,b ∈ R, ∀n ∈ N, (a+b)n =n

∑k=0

(nk

)akbn−k.


1.9 Complément : quelques notions sur les fonctionsSoit S un ensemble quelconque. Beaucoup des notions définies précédemment pour les réels

s’étendent aux « fonctions réelles définies sur S », c’est-à-dire aux applications de S dans R.L’ensemble de ces applications se note (parfois) RS ou F (S,R).

Si f et g sont deux fonctions réelles définies sur S, on définit leur somme f + g « point parpoint », c’est-à-dire par la formule

∀x ∈ S, ( f +g)(x) = f (x)+g(x).

On fait de même pour le produit, l’opposé, la différence. . .Les propriétés (C1) à (C9) de la section 1.2 sont encore valables, à l’exception de (C8) : dire

qu’une fonction f n’est pas nulle ( f 6= 0) signifie qu’elle n’est pas la fonction nulle (autrement dit,il existe x ∈ S tel que f (x) 6= 0) ; dire qu’elle est inversible équivaut à dire qu’elle est partout nonnulle (autrement dit, que l’on a f (x) 6= 0 pour tout x ∈ S).

On dit que f ≤ g si l’on a f (x)≤ g(x) pour tout x dans S. Cette relation vérifie les propriétés(O1) à (O6) de 1.2, à l’exception de (O4) : par exemple la fonction x 7→ x sur R n’est ni positive, ninégative.

Il est pratique d’utiliser la convention suivante : si f est une fonction réelle définie sur unensemble S et si M ∈ R alors dans une expression comme f ≤M le second membre est interprétécomme la fonction constante M sur S. Donc f ≤M signifie que

∀x ∈ S, f (x)≤M.


Avec cette convention, on prendra garde que la notation « f > 0 » signifie que f (x)> 0 pourtout x dans S, ce qui n’est pas la même chose que « f ≥ 0 et f 6= 0 ».

On dit qu’une fonction f sur S est majorée s’il existe un réel M tel que f ≤M. Un tel M estappelé majorant de f .

Dire que f est majorée par M équivaut à dire que l’image de f , c’est-à-dire la partie de Rdéfinie par

f (S) = Im( f ) = { f (x) : x ∈ S}= {y ∈ R | ∃x ∈ S tel que f (x) = y}

est majorée par M. On définit de même les fonctions minorées et les fonctions bornées.La somme de deux fonctions majorées (resp. minorées, resp. bornées) a la même propriété. Le

produit et la différence de deux fonctions bornées sont des fonctions bornées. Enfin, f est majorée(minorée, bornée) si et seulement si − f est minorée (resp. majorée, bornée) (exercice).

1.10 Complément : quelques propriétés des ensembles

Proposition 1.10.1 Pour tout réel x, il existe un et un seul entier relatif k tel que k ≤ x < k+1.

Preuve. (existence) Considérons d’abord le cas où x ∈ R+. D’après la propriété d’Archimède, ilexiste un entier N tel que x < N. L’ensemble E = {n ∈ N |n≤ x} des entiers inférieurs ou égaux àx est contenu dans {0,1, . . . ,N} et contient 0, il est donc non vide et fini. Soit k le plus grand deséléments de E (pour une démonstration de l’existence d’un plus grand élément d’un sous-ensembledes réels qui est non vide et fini voir la proposition 1.10.4). On a alors k ≤ x < k+1. Supposonsmaintenant x ∈ R−. On vient de voir qu’il existe un entier k′ tel que k′ ≤−x < k′+1. On obtient−k′−1 < x≤−k′. Si x =−k′, on pose k =−k′ et sinon, on pose k =−k′−1 ; dans les deux cas,on a k ≤ x < k+1.(unicité) Supposons maintenant, qu’il existe deux entiers k et k′ tels que k ≤ x < k+1 et k′ ≤ x <k′+1. On obtient k ≤ x < k′+1, donc k < k′+1, soit k ≤ k′. De même, k′ ≤ k. Finalement k = k′.Ceci prouve l’unicité de l’entier recherché. �

Définition 1.10.2 Si x ∈ R, l’unique entier relatif k tel que k ≤ x < k + 1 est appelé partieentière de x et noté E[x]. L’application R→ Z, x 7→ E[x] est appelée fonction partie entière.

Remarque On rencontre aussi les notations [x] et bxc pour la partie entière d’un réel x (et aussi lanotation dxe pour le plus petit entier ≥ x).

Définition 1.10.3 Un ensemble S est fini s’il est vide ou s’il existe un entier n non nul et unebijection u : {1,2 . . . ,n} → S (ceci revient à dire que S = {u1, . . . ,un} où les éléments ui sontdeux à deux distincts ; on peut alors montrer qu’un tel entier n est unique et on l’appelle lecardinal de S).

Le principe de récurrence permet d’obtenir le résultat suivant :

Proposition 1.10.4 Un sous-ensemble de R qui est fini et non vide a un plus petit et un plusgrand élément.

Preuve. Si n est un entier non nul, on note P(n) la propriété suivante :

si S est un sous-ensemble non vide de cardinal n de R,alors S a un plus petit et un plus grand élément.

1.10 Complément : quelques propriétés des ensembles 23

1. (initialisation) un ensemble S de cardinal 1 est un singleton {u1} et u1 est à la fois le pluspetit et le plus grand élément de S.

2. (hérédité) soit n un entier vérifiant P(n), S un ensemble fini de cardinal n+1 et u : {1, . . . ,n+1}→ S une bijection. L’ensemble S′ = {u(1), . . . ,u(n)} est en bijection avec {1, . . . ,n}, donca un plus petit élément m′ et un plus grand élément M′. Si m′ ≤ u(n+ 1) ≤ M′, on posem = m′ et M = M′ ; si u(n+1)< m′, on pose m = u(n+1) et M′ = M, si M′ < u(n+1), onpose m = m′ et M = u(n+1). Dans les trois cas, m est un plus petit élément de S et M unplus grand élément. La propriété P(n+1) est donc vérifiée.

Par récurrence sur n, la propriété P(n) est vérifiée pour tout n ∈ N\{0}. �

Proposition 1.10.5 1. Tout sous-ensemble d’un ensemble fini S est fini.2. Un sous-ensemble S de N est fini si et seulement si il existe un entier n tel que S ⊂{0,1, . . . ,n}.

Preuve. (1) Exercice (on pourrait faire une récurrence sur le cardinal de S).(2) (⇒) Supposons S fini. Si S = /0, on a S ⊂ {0}. Sinon, S a un plus grand élément n, donc on aS⊂ {0, . . . ,n}.(⇐) Pour n ∈ N, notons P(n) la propriété :

si S est un sous-ensemble non vide de {0, . . . ,n}, alors S est fini.

1. Pour n = 0, soit S un sous-ensemble non vide de {0} ; on a S = {0} ; donc S est fini.2. Soit n un entier tel que P(n) soit vérifiée et soit S un sous-ensemble non vide de {0, . . . ,n+

1}. Si n+ 1 /∈ S, on a S ⊂ {0, . . . ,n} et par hypothèse S est fini. Si n+ 1 ∈ S, on poseS′ = S

⋂{0, . . . ,n} ; cet ensemble est fini par hypothèse. Si S′ = /0, on a S = {n+1}, donc S

est en bijection avec {1}. Sinon, il existe une bijection u : {1, . . . ,m}→ S′ où m ∈ N\{0}.On peut alors prolonger u en une bijection (encore notée u) de {1, . . . ,m,m+1} sur S telleque u(m+1) = n+1. Donc S est fini.

Par récurrence sur n, P(n) est vérifiée pour tout n ∈ N\{0}. �

Proposition 1.10.6 Soit S un sous-ensemble non vide de N. Alors,1. L’ensemble S a un plus petit élément.2. Si S est majoré, il a un plus grand élément.

Preuve. (1) Soit n ∈ S et S′ = {0, . . . ,n}⋂

S. On a S′ ⊂ {0, . . . ,n}, donc S′ est fini et comme ilcontient n, il est non vide ; il a un plus petit élément m, qui est aussi un plus petit élément de S.(2) Si A ∈ R majore S, il existe un entier n tel que A≤ n et qui majore donc S. On a S⊂ {0, . . . ,n},donc S est fini et a un plus grand élément. �

Ces deux propriétés sont-elles vérifiées dans R? Et dans Z?


1.11 ExercicesRelation d’ordre

Exercice 1.1 Soient x et y des réels tels que −2≤ x≤ 3 et −7≤ y≤−5. Encadrer les réels x2

etx2

y2− x2 .

Exercice 1.2 Déterminer les ensembles suivants :{x ∈ R : ∃n ∈ N\{0}, 1

n≤ x≤ 1

} {x ∈ R : ∀n ∈ N\{0}, 1

n≤ x≤ 1

}.

Valeur absolueExercice 1.3 Soient x et y des réels tels que |x− 1| ≤ 2 et −5 ≤ y ≤ −4. Encadrer les réelsx+ y, x− y, xy,

xy

et |x|− |y|.

Exercice 1.4 Soit x un réel tel que |x| ≤ 1. Montrer que∣∣∣∣ x+ sinxx7 + x−3

∣∣∣∣≤ 2.

Majorant, minorantExercice 1.5 (Extrait d’un contrôle continu.) Soient e,m,M des nombres réels qui vérifientm < e < M. Montrer qu’on a

|e|< max{|m|, |M|} ≤ |m|+ |M|.

Exercice 1.6 L’ensemble {x− y

x+ y+3|x ∈ [−1,1],y ∈ [−1,1]

}.

est-il majoré? minoré?

Exercice 1.7 L’ensemble {n2− cosn

n2−2|n ∈ N

}est-il majoré? minoré?

Exercice 1.8 Pour tout n ∈ N on pose

A(n) =10n3−2n+ exp(−n)−n5 +n2 +(−1)n .

Déterminer un entier N tel que pour tout n supérieur à N on ait |A(n)|< 10−5.

Borne supérieure, inférieureExercice 1.9 Déterminer (s’ils existent) le minimum, maximum, la borne supérieure et infé-

1.11 Exercices 25

rieure (dans R) des ensembles suivants :

(a) ]−∞,2[ (b) ]−∞,2] (c) ]−2,5](d) R∗ (e) [1,2]∪{3} (f) /0(g) {x ∈ R : x2 ≤ 3}, (h) {x ∈ R : x2 < 3} (i) {x ∈Q : x2 ≤ 3}

Exercice 1.10 Déterminer (s’ils existent) le minimum, le maximum, la borne supérieure et laborne inférieure (dans R) des ensembles suivants :

(a){

1n

: n ∈ N\{0}}

, (b){−1

n+[1+(−1)n]n2 : n ∈ N\{0}

}

RécurrenceExercice 1.11 Démontrer la proposition 1.8.1 :

∀n ∈ N\{0},n

∑k=1

k =n(n+1)

2.

Exercice 1.12 1. Soient a,b ∈ R et n ∈ N. Démontrer la formule du binôme (proposi-tion 1.8.2) :

∀a,b ∈ R, ∀n ∈ N, (a+b)n =n

∑k=0

(nk

)akbn−k.

2. Soit a≥ 0. Montrer que pout tout n ∈ N on a les deux relations suivantes :

(1+a)n ≥ 1+na

(1+a)n ≥ n(n−1)2

a2

Exercice 1.13 Soient n ∈ N\{0} et a1, . . . ,an des nombres réels. Montrer que

|a1 + · · ·+an| ≤ |a1|+ · · ·+ |an|

Exercice 1.14 (Extrait d’un contrôle continu de 2011/2012.) Démontrer par récurrence quepour tout n ∈ N\{0} et x >−1 on a (1+ x)n ≥ 1+nx.

Un peu de topologie

Exercice 1.15 (on imitera l’exemple qui suit la définition 1.6.2 de la page 17.) Soit b ∈ R.1. Montrer (en utilisant la définition d’un ensemble ouvert) que l’intervalle ]−∞,b[ est

ouvert.2. En déduire que l’intervalle [b,+∞[ est fermé.3. Montrer que l’intervalle [b,+∞[ n’est pas ouvert.4. En déduire que l’intervalle ]−∞,b[ n’est pas fermé.5. L’intervalle ]−∞,b] est-il compact ?

Exercice 1.16 Soient A, B deux sous-ensembles de R. Démontrer la proposition 1.6.3 :1. Montrer que si A et B sont ouverts alors A∪B et A∩B sont ouverts.2. Montrer que si A et B sont fermés alors A∪B et A∩B sont fermés.

(Voir aussi l’exercice 1.28.)


Exercice 1.17 Soit S⊂ R. Donner la définition de : x ∈ R n’est pas un point d’adhérence de S.

Exercice 1.18 Décider pour chaque ensemble s’il est ouvert, fermé et déterminer son adhé-rence :

1. S1 = ]−∞,2]2. S2 = [0,1]∪{2}3. [−5,3]\{0}4. ]1,2[ ∪ ]3,+∞[5. ]1,2[ ∪ [3,4]

La droite réelle complétéeExercice 1.19 Déterminer dans R la borne supérieure et inférieure des ensembles des exer-cices 1.9 et 1.10.

Vrai/Faux?Exercice 1.20 Décider pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux. Justifier votre réponse par uncourt argument ou un contre exemple.

1. Un ensemble S⊂ R est majoré si pour tout x ∈ S il existe un M ∈ R tel que x≤M.2. Tout sous-ensemble de R qui est majoré admet un maximum.3. Tout sous-ensemble de R qui est majoré admet une borne supérieure.4. Si un sous-ensemble S de R admet un maximum M alors M = sup(S).5. [1,+∞[ est une partie fermée de R.6. Le maximum de l’ensemble [1,2[ est 2.7. 3 est un majorant de l’ensemble [1,2[.8. Un ensemble S est ouvert s’il existe ε > 0 tel que pour tout x ∈ S, Uε(x)⊂ S.9. Un ensemble qui n’est pas ouvert est fermé.

10. R est à la fois ouvert et fermé.11. Soit S⊂ R un ensemble dont le complémentaire est fermé, alors S est ouvert.12. 0 et 1 sont des points d’adhérence de l’ensemble {1

n : n ∈ N\{0}}.

Exercices supplémentairesExercice 1.21 Montrer que pour tout n ∈ N\{0} on a

n

∑k=1

k2 =n(n+1)(2n+1)

6n

∑k=1

k3 =

(n(n+1)

2

)2

Exercice 1.22 Soit x un réel.1. On suppose x≥ 1. Montrer qu’il existe un unique entier naturel n tel que 2n ≤ x < 2n+1.2. On suppose x > 0. Montrer qu’il existe un unique entier n tel que 2n ≤ x < 2n+1.

Exercice 1.23 Soit ` ∈ R. Montrer que l’ensemble I` des réels x vérifiant

|x| ≤ 1 et |x− `| ≤ 1

est un intervalle. Tracer le graphe de la fonction représentant la longueur de I` en fonction de `.

1.11 Exercices 27

Exercice 1.24 On considère deux parties quelconques A et B de R. On suppose que A est bornéet que B est majoré. Pour chacun des ensembles suivants, on dira s’il est automatiquement borné(ou majoré) :

1. un sous-ensemble quelconque de A (de B) ;2. pour c réel donné, l’ensemble cA = {ca | a ∈ A} ;3. pour c réel donné, l’ensemble cB ;4. l’ensemble {ca | a ∈ A,c ∈ R} ;5. A∩B ;6. A∪B ;7. A+B = {a+b | a ∈ A,b ∈ B} ;8. {a/b | a ∈ A,b ∈ B non nul} ;9. {x ∈ R | x2 ∈ B} ;

10. {x ∈ R | sin(x) ∈ A}.

Exercice 1.25 Démontrer la proposition 1.5.6 : soit S un sous-ensemble de R et

−S = {−s : s ∈ S}.

1. Montrer que M est un majorant de S si et seulement −M est un minorant de −S.2. Montrer que S possède un maximum si et seulement si −S possède un minimum et

qu’alors min(−S) =−max(S).3. Montrer que S possède un maximum si et seulement si −S possède un minimum et

qu’alors inf(−S) =−sup(S).

Exercice 1.26 Soient S et T des sous-ensembles de R. On pose

S+T = {s+ t : s ∈ R, t ∈ R}.

1. Montrer que si S et T sont majorés et non vides, alors S + T aussi et sup(S + T ) =sup(S)+ sup(T ).

2. Montrer que si S et T sont minorés et non vides, alors S + T aussi et inf(S + T ) =inf(S)+ inf(T ).

3. Montrer que les formules sont valables pour des sous-ensembles non vides quelconquesde R en prenant inf(S) ∈ R et sup(S) ∈ R.

Exercice 1.27 Soient S et T des sous-ensembles de R. On pose

S−T = {s− t : s ∈ R, t ∈ R}.

1. Montrer que si S et T sont bornés et non vides, alors sup(S−T ) = sup(S)− inf(T ) etinf(S−T ) = inf(S)− sup(T ).

2. Montrer que les deux formules sont valables pour des sous-ensembles non vides arbitrairesde R en prenant inf(S) ∈ R et sup(S) ∈ R.

Exercice 1.28 Soient, pour tout n ∈ N, An un sous-ensemble de R. Soient N un entier tel queN ≥ 2 et B1, . . . ,BN des sous-ensembles de R.

1. Montrer que si chaque An est ouvert alors leur union⋃

n∈N An est ouverte et si chaque An

est fermé alors leur intersection⋂

n∈N An est fermée.2. Montrer que si chaque Bn est ouvert alors leur intersection

⋂1≤n≤N Bn est ouverte et si

chaque Bn est fermé alors leur union⋃

1≤n≤N Bn est fermée.3. Montrer que N est un sous-ensemble fermé de R.


Fonction partie entièreExercice 1.29 1. Déterminer la partie entière de −π ?

2. Tracer le graphe de la fonction partie entière.3. Pour deux réels x et y quelconques, comparer [x+ y] et [x]+ [y].

Exercice 1.30 Soit f : R→ R la fonction définie par f (x) = x−E[x] pour x réel.1. Montrer que pour tout x ∈ R, on a 0≤ f (x)< 1.2. Montrer que la fonction f est périodique de période 1.3. Tracer le graphe de f .

2. Suites numériques

Dans ce chapitre, on étudie les premières propriétés de convergence des suites réelles.

2.1 DéfinitionsDéfinition 2.1.1 1. On appelle suite réelle toute application u : n 7→ u(n) de N dans R. Pour

n ∈ N on écrit souvent un au lieu de u(n) et on dit que un est le terme d’indice n de lasuite. On note la suite u aussi par (un)n∈N.

2. Soit n0 ∈ N. Par extension, on appelle suite réelle toute application u : n 7→ u(n) del’ensemble {n ∈ N | n≥ n0} dans R. On notera (un)n≥n0 une telle suite.

3. Si tous les termes d’une suite réelle (un)n≥n0 sont dans un sous-ensemble S de R alors ondit que u est une suite à valeurs dans S (donc ∀n ∈ N, n≥ n0, on a un ∈ S).

Remarque 1. Une suite est donc une fonction comme une autres. La notation (un)n≥n0 (plutôtque « n 7→ u(n) », ou simplement u n’a aucune justification autre que la tradition. On va aussise permettre d’utiliser la notation (un) si la valeur de n0 n’a pas d’importance.

2. Soient u = (un)n≥n0 et v = (vn)n≥n0 deux suites et α,β ∈R. Comme u et v sont des fonctionsde T = {n ∈ N | n≥ n0} dans R, αu+βv, u · v et (si ∀n ∈ T , vn 6= 0) u/v sont des fonctionsde T dans R, donc des suites. Par exemple, la suite αu+βv est définie par (αu+βv)n =αun +βvn, ∀n ∈ N, n≥ n0. La suite u+α est la somme de la suite (fonction) u et la suite(fonction) constante qui ne prend que la valeur α .

3. Les propriétés (C1) à (C9) de 1.2 sont encore valables, à l’exception de (C8) : dire qu’unesuite n’est pas nulle (u 6= 0) signifie qu’il existe n ∈ N tel que un 6= 0) ; dire qu’elle estinversible équivaut à dire que l’on a pour tout n ∈ N un 6= 0 ).

4. On dit que u≤ v si l’on a un ≤ vn pour tout n ∈ N. Cette relation vérifie les propriétés (01) à(06) de la section 1.2, à l’exception de (04) : par exemple la suite un = (−1)n n’est ni positive,ni négative.

30 Chapitre 2. Suites numériques

Définition 2.1.2 Soit (un) une suite réelle. On dit que u est1. constante si tous les termes de la suite sont égaux : pour tout n ∈ N, un = u0.2. majorée, (respectivement minorée, bornée) si l’ensemble {un |n ∈ N} est majoré (respec-

tivement minorée, bornée).

Remarque La notion de suite majorée, minorée, bornée sont des cas particuliers de la notion defonction majorée, minorée, bornée.

Comme exercice on écrira à l’aide de quantificateurs la définition d’une suite non majorée, nonminorée, non bornée (exercice 2.1).

2.2 Définition de la convergence d’une suiteDéfinition 2.2.1 Soit u une suite réelle.

1. On dit que u converge vers un réel ` (ou tend vers `, ou a pour limite `) si

∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n ∈ N, (n≥ N⇒ |un− `|< ε).

2. On dit que u converge s’il existe un réel ` tel que u tend vers `.3. Si u ne converge pas on dit que u diverge.

Remarque D’une façon moins formelle, mais moins précise, dire qu’une suite u tend vers `signifie : « un intervalle ouvert arbitrairement petit centré en ` contient tous les termes de la suite àpartir d’un certain rang », autrement dit, contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini.

Exemple Dans la figure 2.1 on a représenté les termes de la suite un = 1+ 1n cos(n), pour n =

3, . . . ,150 en reliant deux termes successifs par un segment. En regardant cette tranche de la suiteon conjecture que la suite tend vers 1. On conjecture aussi qu’à partir du terme u34 tous les termesde la suite sont entre les deux droites y = 0.97 et y = 1.03, ce qui signifie que pour n ≥ 34 on a0.97 < un < 1.03 et donc |un−1|< 0.03. Donc pour ε = 0.03 on conjecture que le rang N = 34vérifie la condition de la définition de convergence de la suite (un) vers 1 : n≥ N = 34 impliqueque |un−1|< ε = 0.03.

Si pour ε = 0.03 on veut déterminer un rang N par un calcul on utilise la majoration suivante :

|un−1|= |1+ 1n

cos(n)−1|= |1n

cos(n)| ≤ 1n.

On veut 1/n < 0.03, ce qui ce traduit par n > 1/0.03 = 33.3, et donc le rang N = 34 (ou tout autrerang qui vérifie N ≥ 34) convient. (Le fait que ce calcul nous donne le rang minimal est dû aufait que la majoration qu’on a utilisé est très bonne, mais pour la définition on n’a pas besoin dedéterminer un rang « optimal ».)

Dans la figure 2.2 on a représenté les termes de la suite un = 1+ 1n cos(n) pour n = 33, . . . ,150.

On conjecture qu’à partir du terme u100 tous les termes de la suite sont entre les deux droites y= 0.99et y = 1.01, ce qui signifie que pour n≥ 100 on a 0.99 < un < 1.01 et donc |un−1|< 0.01. Doncpour ε = 0.01 on conjecture que le rang N = 100 vérifie la condition de la définition de convergencede la suite (un) vers 1.

Pour déterminer un rang N associé à ε = 0.01 par un calcul on procède comme pour ε = 0.03 :On veut 1/n < 0.01, ce qui ce traduit par n > 1/0.01 = 100, et donc le rang N = 101 (ou tout autrerang qui vérifie N ≥ 101) convient.

On généralise pour un ε > 0 arbitraire (mais fixé). On veut 1/n < ε , ce qui ce traduit parn > 1/ε . Posons N =

[ 1ε

]+1, où [ 1

ε] est la partie entière de 1/ε , c’est-à-dire le plus grand entier qui

2.2 Définition de la convergence d’une suite 31

est inférieur ou égal à 1/ε . N est donc (le plus petit entier qui est) supérieur à 1/ε . Mais N > 1/ε

implique que 1/N < ε et donc

n≥ N ⇒ |un−1|= |1+ 1n

cos(n)−1|= |1n

cos(n)| ≤ 1n≤ 1

N< ε.

Par définition (un) converge vers 1. (Notons que pour ε > 0 donné on aurait pu prendren’importe quel entier N supérieur à 1/ε).

0 20 40 60 80 100 120 140n

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

un

y=1.03

y=0.97

n=34

FIGURE 2.1 – La suite un = 1+ 1n cos(n), pour n = 3, . . . ,150

40 60 80 100 120 140n

0.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

un

y=1.03

y=0.97

n=34

y=1.01

y=0.99

n=100

FIGURE 2.2 – La suite un = 1+ 1n cos(n), pour n = 2, . . . ,80

Remarque 1. Pour les démonstrations, la terminologie suivante est utile : la convergence d’unesuite u vers un réel ` nous permet de construire une fonction N :]0,+∞[→N, ε 7→ N(ε) telleque

∀ε > 0,∀n ∈ N, (n≥ N(ε)⇒ |un− `|< ε).


2. Quand on travaille avec les suites, les variables n et N désignent toujours des entiers, doncon se permet d’utiliser comme définition de convergence :

∀ε > 0,∃N, (n≥ N⇒ |un− `|< ε).

3. En explicitant la « variable » n, on dit aussi que « un tend vers ` lorsque n tend vers +∞ ».L’expression « u tend vers ` » est en fait une abréviation justifiée par le fait que pour les suites(contrairement à d’autres fonctions), la seule notion de convergence intéressante est celle-ci.

4. Pour `= 0 on obtient : u tend vers 0 si

∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n ∈ N, (n≥ N⇒ |un|< ε),

donc un intervalle ouvert arbitrairement petit centré en 0 contient tous les termes de la suiteà partir d’un certain rang. On en déduit qu’une suite u converge vers un réel ` si la suiteu′ = u− ` tend vers 0. Ceci permet de se ramener au cas d’une limite nulle, souvent plussimple à manipuler.

5. On peut remplacer l’inégalité stricte |un− `|< ε de la définition de la convergence vers l parune inégalité large :

∀ε > 0,∃N = N(ε), (n≥ N⇒ |un− `| ≤ ε).

En effet, supposons cette formule vraie et fixons ε > 0 ; Si on pose N′(ε) = N(ε/2), alorsn≥ N′(ε)⇒ |un− `| ≤ ε

2 < ε . On en déduit que u vérifie la condition de la définition 2.2.1de convergence. La réciproque est immédiate.

6. On peut aussi remplacer les intervalles ouverts centrés en ` par les intervalles ouvertscontenant ` (exercice).

Pour s’entraîner avec la définition de suite convergente on utilise cette définition pour établir lalimite des suites de la proposition suivante.

Proposition 2.2.2

1. La suite(

1n

)n∈N∗

converge vers 0.

2. Soit k ∈ N\{0}, alors la suite(

1nk

)n∈N∗

converge vers 0.

3. La suite(

1√n

)n∈N∗

converge vers 0.

Preuve. (1) On veut montrer en utilisant la définition d’une suite convergente que la suite définiepar un =

1n , ∀n ∈ N\{0}, tend vers la limite l = 0.

Soit ε > 0. La propriété d’Archimède dit qu’il existe un entier N0 tel que 1ε< N0. On a alors

n≥ N0 ⇒ 1n≤ 1

N0< ε.

On a donc montré que pour tout ε > 0 il existe N0 ∈ N tel que

n≥ N0 ⇒ |un− l|=∣∣∣∣1n −0

∣∣∣∣= 1n< ε.

Par définition de convergence d’une suite, la suite (un) tend bien vers l = 0.(2) Notons que pour le même N0 on a

n≥ N0 ⇒ 1nk ≤

1n≤ 1

N0< ε,


d’où le résultat. (on a utilisé que pour n ∈ N\{0} et pour k ∈ N\{0} on a nk ≥ n.)(3) Exercice 2.5. �

Remarque Notons que (1) est un cas particulier de (2). On a démontré (1) séparément vu l’impor-tance de la suite (1

n)n∈N∗ . Notons que le fait qu’elle converge vers 0 est équivalente à la propriétéd’Archimède.

2.3 Premières propriétés

Proposition 2.3.1 (Unicité de la limite) Si u est une suite qui converge vers `1 et vers `2, alors`1 = `2.

Preuve. Supposons pour arriver a une contradiction que `1 6= `2. Pour ε = |`1− `2|/2 (qui eststrictement positif) on peut trouver N1,N2 ∈ N tel que

n≥ N1 ⇒ |un− `1|< ε,

n≥ N2 ⇒ |un− `2|< ε.

On déduit que si n≥max{N1,N2}, alors

2ε = |`1− `2|= |`1−un +un− `2| ≤ |`1−un|+ |un− `2|< 2ε.

On obtient donc une contradiction. �

Notations 2.3.2 Si u est une suite qui converge vers un ` ∈ R on dit que ` est la limite de lasuite et on note :

`= limn→+∞

un.

La proposition suivante montre que la convergence et la limite d’une suite ne dépend pas despremiers termes de la suite :

Proposition 2.3.3 Soient u et v deux suites. On suppose qu’il existe un rang R ∈ N tel quen≥ R⇒ un = vn. Si la suite u converge vers un ` ∈ R alors la suite v converge vers `.

Preuve. Soit ε > 0. Il existe N > 0 tel que n ≥ N implique que |un− `| < ε , donc si on poseN′ = max(R,N) alors :

n≥ N′ ⇒ |vn− `|= |un− `|< ε. �

Proposition 2.3.4 Soient u une suite réelle et ` ∈ R.1. Si u tend vers ` alors la suite |u| tend vers |`|.2. La réciproque est vraie pour l = 0 : si |u| tend vers 0 alors u tend vers 0.

Preuve. Notons la suite |u| par v .(1) Soit ε > 0. On peut trouver N ∈ N tel que n≥ N implique que |un− l|< ε et donc∣∣vn−|l|

∣∣= ∣∣|un|− |l|∣∣≤ |un− l|< ε.

(2) Soit ε > 0. On peut trouver N ∈ N tel que n≥ N implique que |vn|< ε et donc

|un|=∣∣|un|

∣∣= |vn|< ε. �

2.4 Limites et inégalités


Proposition 2.4.1 Soit u une suite qui converge vers un réel ` ∈ R.1. Si λ est un réel tel que λ > `, alors on a un < λ à partir d’un certain rang (ce qui veut dire :

il existe N0 ∈ N tel que n≥ N0 implique que un < λ ).2. Si µ est un réel tel que µ < `, alors on a un > µ à partir d’un certain rang.

Preuve. (1) Pour ε = λ − ` > 0 on peut trouver N0 ∈ N tel que n≥ N0 implique que |un− `|< ε .On déduit que

un < `+ ε = λ .

La démonstration de (2) est analogue et laissée comme exercice (exercice 2.10). �

On déduit de 2.4.1 une propriété importante de comparaison de limites :

Proposition 2.4.2 Soient u et u′ deux suites réelles qui convergent respectivement vers ` et `′.1. Si ` < `′, alors on a un < u′n à partir d’un certain rang.2. Si on a un ≤ u′n à partir d’un certain rang, alors on a `≤ `′.3. Si c ∈ R est tel qu’on a un ≤ c (respectivement un ≥ c) à partir d’un certain rang, alors on

a `≤ c (respectivement `≥ c).

Preuve. (1) Choisissons un réel λ ∈]`,`′[ (par exemple λ = `+`′

2 ) et appliquons 2.4.1 : comme utend vers ` et que ` < λ , il existe N0 tel que un < λ pour tout n≥ N0. De même, il existe N1 tel queu′n > λ pour tout n≥ N1. Pour tout n≥max(N0,N1) on a donc un < λ < u′n, d’où la conclusion.

(2) Sinon, on aurait `′ < ` d’où une contradiction d’après (1).(3) Il suffit d’appliquer (2) en prenant pour l’une des deux suites la suite constante (c)n∈N. �

Remarque De façon imagée, on exprime 2.4.2 (2) et (3) en disant que « les inégalités larges passentà la limite ». Il n’en est pas de même des inégalités strictes : par exemple les suites (un) = (0) et(vn) = ( 1

n+1) vérifient :u < v, mais lim

n→+∞un = lim

n→+∞vn.

Proposition 2.4.3 Toute suite convergente est bornée.

Preuve. Soit ` la limite d’une suite convergente u. En appliquant la définition de convergence pourε = 1 (par exemple), on obtient un rang N tel que `−1 < un < `+1 pour tout n≥ N. (On pourraitaussi utiliser la proposition 2.4.1.) Donc la suite u est majorée par max{u0,u1, . . . ,uN−1, `+1} etminorée par min{u0,u1, . . . ,uN−1, `−1}. �

Théoreme 2.4.4 — Théorème des gendarmes. Soient u, v et w trois suites réelles.1. Si u≤ v≤ w et si u et w convergent vers une même limite ` alors v converge vers `.2. Si |v| ≤ w et si w tend vers 0 alors v tend vers 0.

Preuve. (1) Soit ε > 0. On peut trouver N et N′ tel que

n≥ N ⇒ |un− `|< ε,

n≥ N′ ⇒ |wn− `|< ε.

La condition n≥max{N,N′} implique que

`− ε < un < `+ ε

`− ε < wn < `+ ε,


et donc`− ε < un ≤ vn ≤ wn < `+ ε.

On en déduit que |vn− `|< ε .(2) L’hypothèse |v| ≤ w se traduit par −w≤ v≤ w. Il est facile de voir que si w converge vers

0 alors −w converge aussi vers 0. Il suffit alors d’appliquer (1) pour conclure.Variante : soit ε > 0. On peut trouver N ∈ N tel que n ≥ N implique que |wn| < ε , et donc

|vn| ≤ wn < ε ce qui veut dire que v tend vers 0. �

Proposition 2.4.51. Si u = (un)n∈N est une suite à valeurs dans un intervalle I qui converge vers un réel `, alors

` ∈ I.2. Si u = (un)n∈N est une suite à valeur dans un intervalle fermé F ⊂ R qui converge vers un

réel `, alors ` ∈ F .


Remarque 1. La proposition précédente est valable si on remplace « intervalle » par « sous-ensemble de R » (voir l’exercice 2.19).

2. On a donc une autre interprétation de la notion d’ensemble fermé : si on a une suite conver-gente dont tous les termes sont dans un ensemble fermé F alors sa limite est aussi dansF .

2.5 Limites et opérations

Théoreme 2.5.1 Soient u = (un)n∈N et v = (vn)n∈N deux suites réelles convergentes. On a lespropriétés suivantes :

1. Si λ ∈ R, alors la suite λu converge et limn→+∞

(λun) = λ limn→+∞

un ;

2. La suite u+ v converge et limn→+∞

(un + vn) = limn→+∞

un + limn→+∞

vn ;

3. La suite uv converge et limn→+∞

(unvn) = limn→+∞

un× limn→+∞

vn ;

4. Si limn→+∞

un 6= 0, alors on a un 6= 0 à partir d’un certain rang R ∈ N, donc la suite(

1un

)n≥R

est bien définie. Cette suite converge et on a limn→+∞

1un

=1

limn→+∞

un.

Preuve. Notons `= limn→+∞

un et `′ = limn→+∞

vn.

(1) Si λ = 0 l’assertion est immédiate. Sinon, soit ε > 0 donné. Pour ε ′ = ε

|λ | > 0 il existe un rangN ∈ N tel que n≥ N implique que |un− `|< ε ′ = ε

|λ | . On déduit que

n≥ N ⇒ |λun−λ`|= |λ | |un− `|< |λ | ε

|λ |= ε.

(2) Soit ε > 0. Pour ε ′ = ε

2 il existe N ∈ N et N′ ∈ N tel que

n≥ N ⇒ |un− `|< ε′ =

ε

2,

n≥ N′ ⇒ |vn− `′|< ε′ =

ε

2.


Soit N := max{N,N′}. Alors n≥ N implique que

|(un + vn)− (`+ `′)|= |(un− `)+(vn− `′)| ≤ |un− `|+ |vn− `′|< ε

2+

ε

2= ε.

(3) Prenons d’abord le cas particulier où u et v tendent vers 0 et montrons que uv tend vers 0.Soit ε > 0. On peut trouver N tel que n ≥ N implique que |un| < ε . On peut aussi trouver N′ telque n≥ N′ implique que |vn|< 1. En posant N = max{N,N′} on voit que n≥ N implique que

|unvn|< ε ·1 = ε,

donc la suite uv tend vers 0.Dans le cas ou l et l′ sont des nombres réels arbitraires on pose u′ := u− ` et v′ := v− `′.

Notons que les suites u′ et v′ tendent vers 0. On a

uv− ``′ = (`+u′)(`′+ v′)− ``′ = `v′+ `′u′+u′v′.

Les suites `v′ et `′u′ tendent vers 0 en vertu de (1) et la suite u′v′ tend vers 0 en vertu du casparticulier que nous avons déjà traité.

On a montré que uv− ``′ est la somme de trois suites qui convergent chacune vers 0, donc enappliquant (2) deux fois on déduit que uv− ``′ tend vers 0.

(4) Supposons pour fixer les idées que ` > 0. Alors 0 < `/2 < `, et on déduit de 2.4.1 qu’ilexiste un rang R tel que n≥ R implique que un > `/2 > 0. Donc la suite

(1un

)n≥R

est bien définie.

On suppose pour la suite que n≥ R, donc on a en particulier 0 < 1/un < 2/`, et donc∣∣ 1un− 1

`

∣∣= ∣∣`−un∣∣× 1

`un≤∣∣`−un

∣∣× 2`2 .

Soit ε > 0. Pour ε′ = ε

l2

2il existe N ∈ N tel que n≥ N implique que

|un− `|< εl2

2, et donc | 1

un− 1

`| ≤ |`−un|×

2`2 ≤ ε

`2

22`2 = ε. �

On peut généraliser la proposition précédente pour la somme et le produit de plus de deuxsuites : exercice 2.13.

2.6 Utilisation des sous-suitesDéfinition 2.6.1 Soit (un) une suite réelle. Une sous-suite de u est une suite v de la formen 7→ vn = uϕ(n), où ϕ : N→ N est une application strictement croissante.

Notations 2.6.2 Soit (un)n∈N une suite réelle. En prenant ϕ(n) = 2n dans la définition précé-dente on obtient la sous-suite (vn)n∈N = (u2n)n∈N de (un)n∈N qu’on appelle sous-suite des termesd’indices pairs de (un). On définit d’une manière similaire la sous-suite des termes d’indicesimpairs de (un) par (wn)n∈N = (u2n+1)n∈N en prenant ϕ(n) = 2n+1.

Exemple Considérons la suite (un) = ((−1)n). La sous-suite des termes d’indices pairs est la suite(vn) constante, égale à (1), et celle des termes d’indices impairs est la suite (wn) constante, égale à(−1).

2.6 Utilisation des sous-suites 37

Lemme 2.6.3 Soit ϕ : N→ N une application strictement croissante. Alors on a ϕ(n)≥ n pourtout n ∈ N.

La démonstration, laissée en exercice, est immédiate par récurrence sur n. (On notera cependantque l’analogue pour les applications de R+ dans R+ est faux !)

Proposition 2.6.4 Soit u une suite réelle admettant une limite `. Alors toute sous-suite de uconverge et tend aussi vers `.

Preuve. Soit v une sous-suite de u, donc il existe une fonction ϕ : N→N strictement croissante telque vn = uϕ(n) pour tout n ∈ N. Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que n≥ N implique que |un− `|< ε .Or, n≥ N implique que ϕ(n)≥ n≥ N (lemme 2.6.3) et donc |uϕ(n)− `|< ε . �

Exemple On déduit de cette proposition (et de l’unicité de la limite) que la suite n 7→ (−1)n vueplus haut ne converge pas, puisqu’elle admet deux sous-suites n’ayant pas la même limite.

Dans le cas particulier des sous-suites des termes de rang pair et impair, on a une sorte deréciproque :

Proposition 2.6.5 Soit (un) une suite réelle et `∈R. Il y a équivalence entre les deux propositionssuivantes :

1. La suite (un) converge vers `.2. Les deux sous-suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers `.

Preuve. On note vn = u2n et wn = u2n+1.(1)⇒(2) : cas particulier de 2.6.4.(2)⇒(1) : supposons que les sous-suites (vn) et (wn) convergent toutes les deux vers `, et

montrons qu’il en est de même de u. Pour tout ε > 0 fixé, la définition de convergence d’une suitenous donne l’existence de deux entiers N0 et N1 tels que pour tout n ∈ N :

n≥ N0 ⇒ |vn− `|< ε

n≥ N1 ⇒ |wn− `|< ε.

On pose N = max(2N0,2N1 + 1) et on va montrer que n′ ≥ N implique que |un′ − `| < ε . Ondistingue deux cas :Cas 1. Si n′ est pair, on peut écrire n′ = 2n. Notons que n′ ≥ N nous donne 2n≥max(2N0,2N1 +1)≥ 2N0, et donc n≥ N0, ce qui implique

|un′− `|= |u2n− `|= |vn− `|< ε.

Cas 2. Si n′ est impair, on peut écrire n′ = 2n+ 1. Notons que n′ ≥ N nous donne 2n+ 1 ≥max(2N0,2N1 +1)≥ 2N1 +1, et donc n≥ N1, ce qui implique

|un′− `|= |u2n+1− `|= |wn− `|< ε.

Dans les deux cas, on a montré |un′− `|< ε et on déduit que la suite u converge vers `. �


2.7 Exercices

Définition d’une suite numériqueExercice 2.1 Écrire à l’aide de quantificateurs la définition d’une suite non majorée, nonminorée, non bornée.

Exercice 2.2 Montrer que la suite (un) définie par

∀n ∈ N, un =2n−73n+2

est majorée par 2/3, et minorée par −7/2.

Définition d’une suite convergenteExercice 2.3 Soit (un) une suite réelle. Parmi les énoncés suivants, dire lesquels sont équiva-lents à « (un) converge vers 0 » :

1. ∃ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, |un|< ε ,2. ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, |un| ≤ ε ,3. ∃ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n > N, |un|< ε ,4. ∀ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n > N, |un|< ε .

Exercice 2.4 1. Soit l ∈R. Écrire à l’aide de quantificateurs la définition d’une suite qui neconverge pas vers l. Écrire à l’aide de quantificateurs la définition d’une suite qui diverge.

2. Montrer en utilisant la définition d’une suite qui diverge donnée en 1) que la suite ((−1)n)diverge.

Exercice 2.5 On considère la suite a = (an)n∈N\{0} définie pour tout n ∈ N\{0} par

an =1√n.

1. Trouver un entier N à partir duquel la valeur absolue du terme général est inférieure à10−2. Même question pour 10−3 et 10−4.

2. Montrer en utilisant la définition de convergence d’une suite que la suite a converge vers0.

Exercice 2.6 Trouver la limite des suites numériques (an)n∈N\{0}, (bn)n∈N\{0}, (cn)n∈N\{0},définies ∀n ∈ N\{0} par

an =√

n+1−√

n bn =3n2−2n+1

n2 +1cn =

n2 +(−1)n

n2−1

Justifier la réponse en n’utilisant que la définition de convergence d’une suite. (La suite(cn)n∈N\{0} est extraite de l’examen de l’année 2011/2012.)

Exercice 2.7 Montrer en utilisant la définition que si u est une suite qui converge vers 0 et vune suite bornée alors la suite uv converge vers 0.

Exercice 2.8 Soit (un) une suite qui converge vers un nombre réel l. Soit (vn) une suite quivérifie :

∀ε > 0, ∃N ∈ N, (n≥ N⇒ |un− vn|< ε).

Montrer que la suite (vn) converge vers l.

2.7 Exercices 39

Limites et inégalitésExercice 2.9 Voici une « démonstration fausse » du théorème des gendarmes : « Puisque lesinégalités larges passent à la limite, on a `≤ lim

n→+∞un ≤ `, donc lim

n→+∞un = `. » Où est l’erreur ?

Exercice 2.10 Compléter la démonstration de la proposition 2.4.1 : Soient u une suite quiconverge vers ` ∈R et µ un réel tel que µ < `. Montrer (en utilisant la définition de convergenced’une suite) qu’on a un > µ pour tout n assez grand.

Exercice 2.11 Soient a,b ∈ R.1. Soit I un intervalle d’extrémités a et b (donc I = [a,b], I = [a,b[, I = ]a,b], ou I = ]a,b[).

Montrer que si u = (un)n∈N est une suite à valeur dans I qui converge vers un réel ` ∈ R,alors ` ∈ I.

2. Même question pour un intervalle de la forme ]a,+∞[, [a,+∞[, ]−∞,a[, ou ]−∞,a].3. En déduire que si u= (un)n∈N est une suite à valeur dans un intervalle fermé I qui converge

vers un réel ` ∈ R, alors ` ∈ I.4. Donner l’exemple d’un intervalle I et d’une suite à valeurs dans I qui converge mais dont

la limite n’est pas dans I.(Voir aussi l’exercice 2.19.)

Exercice 2.12 Soit u = (un)n∈N une suite à valeurs dans N. Montrer que si u converge alors salimite est un entier et la suite est stationnaire. (Indication : N est un ensemble fermé.)

Limites et opérationsExercice 2.13 Un résultat du cours (théorème 2.5.1) dit que la somme (produit) de deux suitesconvergentes converge et que la limite est la somme (produit) des limites des deux suites. Le butde l’exercice est de généraliser ce résultat pour k suites, k ≥ 2. Soient donc k ∈ N, k ≥ 2, et u(i)

une suite pour tout i ∈ {1, . . . ,k}.1. Montrer (par récurrence) que la suite u(1)+ · · ·+ u(k) converge et que sa limite est la

somme des limites des suites u(1), . . . ,u(k).2. Montrer que la suite u(1) · · ·u(k) converge et que sa limite est le produit des limites des

suites u(1), . . . ,u(k).3. En déduire que la suite

( 1nk

)converge vers 0.

Exercice 2.14 Soit u une suite réelle qui converge vers 0. On définit une suite v par

vn = nun = un + · · ·+un︸︷︷︸n termes

.

Le raisonnement suivant est il vrai ou faux? « vn est la somme de n suites tendant vers 0, donclimn(vn) = 0. »

Étude de la convergence d’une suite


Exercice 2.15 Étudier la convergence de la suite (un) définie ∀n ∈ N\{0,1} par :

(1) un = (−1)n n2 +1n2−1

; (2) un =1− (−1)n

n2 ;

(3) un =1n

cosn; (4) un =(−1)n

2+4+6+ · · ·+2(n+1);

(5) un =n2−n+1

n3 +2n+1; (6) un =

n3 + sin(cos(n))n3 + cos(sin(n))

;

(7) un =

√n−n+11+3n

; (8) un =√

n+1−√

n;

(9) un =n

∑k=1

√n

2n√

n+√

k; (10) un =

[(1+

1n

)100

−1

] 1100

;

(11) un =an

nn a ∈ R; (12) un =n3−2n2

n−1− n3 +2n

n+1;

(13) un =n7 +3n5

n5 +n3 +√

n− n6−7n4

n4 +(sinn)8 .

Chaque fois que vous utilisez une propriété des suites numériques citez le résultat du cours quiénonce cette propriété. (Les suites (7) à (10) sont extraits de contrôles continus.)

Utilisation de sous-suitesExercice 2.16 Soient u = (un)n≥0 une suite et p ∈ N\{0}.

1. Montrer que la suite v = (vn)n≥0 définie par vn = un+p, n ∈ N est une sous-suite de u.2. Montrer en utilisant la définition de la convergence d’une suite que si u converge alors v

converge vers la même limite.

Exercice 2.17 Le but de l’exercice est de montrer que la suite v = (cos(n))n∈N diverge. Suppo-sons pour arriver à une contradiction que la suite v converge et notons sa limite par `.

1. Démontrer les relations

cos(n+1)− cos(n−1) =−2sin(n)sin(1) (i)

cos(n+1) = cos(n)cos(1)− sin(n)sin(1) (ii)

2. Déduire de (i) que la suite u = (sin(n))n∈N converge et que sa limite est 0.3. Déduire de (ii) qu’on aurait alors `= 0.4. Montrer qu’on arriverait alors à une contradiction.5. Utiliser la même méthode pour montrer que la suite u diverge.

(Voir aussi l’exercice 2.22.)

Vrai/Faux?Exercice 2.18 Décider pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux. Justifier votre réponse par uncourt argument ou un contre exemple.

1. (Extrait d’un examen) Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites convergentes telles qu’on ait∀n ∈ N, un < vn, alors on a limn→+∞ un < limn→+∞ vn.

2.7 Exercices 41

2. (Extrait d’un examen) Soit (un)n∈N une suite qui converge vers 0, alors on a un ≤ 1 pourtout n assez grand.

3. (Extrait d’un examen) Soit (un)n∈N une suite qui vérifie un < 0 pour tout n assez grand,alors (un)n∈N ne converge pas vers 0.

4. (Extrait d’un examen) Soient (un)n∈N une suite qui converge vers 0, et (vn)n∈N une suitearbitraire, alors la suite (unvn)n∈N converge vers 0.

5. (Extrait d’un examen) Une suite (un)n∈N est convergente si et seulement si toute sous-suitede (un)n∈N est convergente.

6. (Extrait d’un examen) Soit (un)n∈N une suite convergente, alors la suite de terme généralvn = un−u2n converge vers 0.

7. Si (un)n∈N est une suite telle que (|un|)n∈N converge vers une limite ` ∈ R alors la suite(un)n∈N converge vers ` ou −`.

8. Si (un)n∈N est une suite qui converge vers une limite `∈R alors la suite (|un|)n∈N convergevers |`|.

9. Si u est une suite bornée et v est une suite qui tend vers 0 alors la suite uv tend vers 0.10. La suite

1,14,13,18,17,

116

,1

15, . . .

est une sous suite de la suite(1

n

).

Exercices supplémentairesExercice 2.19

1. Soit u une suite à valeurs dans un sous-ensemble S de R. Si u converge, disons vers l ∈ R,alors on a l ∈ S.

2. Soit u une suite à valeurs dans un sous-ensemble fermé F de R. Si u converge, disonsvers l ∈ R, alors on a l ∈ F .

Exercice 2.20 Pour tout entier n≥ 2, on pose

un =n

∏k=2

(1− 1

k2

)=

(1− 1

22

)(1− 1

32

)· · ·(

1− 1n2

).

Montrer, en écrivant chaque facteur sous la formek−1

kk+1

k, que ce produit se simplifie

considérablement. En déduire que u converge et préciser sa limite.

Exercice 2.21 Soit (un)n∈N\{0} une suite qui converge vers un nombre réel l. Pour tout n ∈N\{0} on pose

Tn =u1 + · · ·+un

n=

1n

n

∑k=1

uk.

Montrer que la suite (Tn)n∈N\{0} converge vers l.

Exercice 2.22 Pour étudier la convergence de la suite u = (sin(n))n∈N, on pose pour tout n∈N,

An =[2πn+

π

6,2πn+

π

2

], Bn =

[2πn− π

3,2πn

].

1. Montrer que pour tout n ∈ N, l’intervalle An contient au moins un entier et notons par an

un de ces entiers, disons le plus petit des entiers dans An.2. Montrer que (sin(an))n∈N est une sous-suite de u.


3. Trouver un encadrement pour la suite (sin(an))n∈N.4. Trouver de la même manière une sous-suite (sin(bn))n∈N en choisissant un entier bn ∈ Bn,

pour tout n ∈ N et encadrer cette sous suite.5. Montrer que la suite u est divergente.

3. Suites réelles monotones

3.1 Suites monotonesDéfinition et première propriété

Définition 3.1.1 On dit qu’une suite réelle u = (un)n∈N est croissante (resp. décroissante,strictement croissante, strictement décroissante) si pour tout n ∈ N, on a un ≤ un+1, (resp.un+1 ≤ un, un < un+1, un+1 < un).

Remarque La proposition suivante montre que la notion de suite (strictement) croissante oudécroissante est un cas particulier de la notion de fonction (strictement) croissante ou décroissante.

Proposition 3.1.2 Soit u = (un) une suite réelle. La suite u est croissante (resp. décroissante,strictement croissante, strictement décroissante), si et seulement si pour tout n,m ∈ N tels quen < m on ait un ≤ um, (resp. um ≤ un, un < um, um < un).

Preuve. On se restreint au cas d’une suite strictement croissante. Les autres cas sont analogues.(⇐) C’est trivial puisque l’on a toujours n < n+1.(⇒) Supposons que

(∗) ∀n ∈ N, un < un+1

et montrons que u est strictement croissante. Soient donc p et q deux entiers naturels tels que p < q :il s’agit de voir que up < uq. On peut écrire q = p+1+k, où k ∈N : montrons alors par récurrencesur k la propriété

P(k) ∀p ∈ N, up < up+1+k.

Initialisation : la propriété P(0) n’est autre que (∗), elle est donc vérifiée.Hérédité : supposons que k > 0 et que P(k−1) soit vérifiée. Pour tout p∈N, on a alors up < up+kd’après P(k− 1), et d’autre part up+k < up+k+1 d’après (∗), d’où up < up+1+k par transitivité.Ainsi P(k) est démontrée. �

44 Chapitre 3. Suites réelles monotones

Comme exercice, on écrira à l’aide de quantificateurs la définition d’une suite non croissante,décroissante (exercice 3.1).

Exemple La suite(

1√n+(−1)n

)est positive, tend vers 0 mais n’est pas décroissante (même pas à

partir d’un certain rang). Voir la figure 3.1.

10 20 30 40 50 60 70 80n

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

un

FIGURE 3.1 – La suite un =1√

n+(−1)n pour n = 4, . . . ,80

Borne d’une suite monotone convergenteOn a montré qu’une suite réelle convergente est bornée. Pour les suites monotones, on a plus

précisément :

Proposition 3.1.3 1. Soit (un)n∈N une suite réelle croissante qui converge vers un réel `,alors elle est majorée par ` et on a `= sup{un : n ∈ N}.

2. De même, si (un)n∈N est une suite réelle décroissante qui converge vers un réel `, alorselle est minorée par ` et on a `= inf{un : n ∈ N}.

Preuve. (1) Supposons que u soit une suite croissante qui converge vers ` ∈ R et montrons parl’absurde que ` est un majorant de (un). Pour arriver à une contradiction on suppose qu’il existeun entier n0 tel que ` < un0 . Pour tout n ≥ n0 on aurait un ≥ un0 > `, ce qui impliquerait (propo-sition 2.4.2) que ` = lim

n→+∞un ≥ un0 > `, ce qui est impossible. Donc ` est bien un majorant de

(un).

3.2 Suites adjacentes 45

On a montré que ` est un majorant de l’ensemble S = {un : n ∈ N}. Pour montrer que ` estle plus petit majorant de S prenons ε > 0 arbitraire et montrons que `− ε n’est pas un majorantde S. La définition de convergence d’une suite nous donne un N ∈ N tel que n≥ N implique que|un− `|< ε , donc en particulier uN > `− ε ce qui montre que `− ε n’est pas un majorant. Donc `est le plus petit majorant de S : `= sup{un : n ∈ N}.

(2) Le cas décroissant est laissé comme exercice 3.3. �

Un critère de convergence

Théoreme 3.1.4 Soit u une suite réelle. On a :1. Si u est croissante et majorée alors u est convergente (et sa limite est sup{un : n ∈ N}).2. Si u est décroissante et minorée alors u est convergente (et sa limite est inf{un : n ∈ N}).

Preuve. (1) Soit u = (un)n∈N une suite croissante et majorée. Posons S = {un : n ∈ N}. Comme Sest majorée et non vide, S admet une borne supérieure que l’on note par ` : `= sup{un : n ∈ N}.On montre que u converge vers ` :(i) ` est un majorant de S, donc ∀n ∈ N, un ≤ `.(ii) Soit ε > 0. Comme ` est le plus petit majorant de S, `− ε n’est plus un majorant de S, donc ilexiste un N ∈ N tel que `− ε < uN . En utilisant en plus le fait que u est croissante on obtient

n≥ N⇒ `− ε < uN ≤ un ≤ `.

On en déduit que |un− `|< ε . On voit donc que u converge vers `.(2) Le cas décroissant est conséquence du cas croissant en remplaçant u par −u. �

Remarque Pour la démonstration du théorème 3.1.4 (1) on utilise la propriété de la borne su-périeure (axiome 1.5.3) qui est valable dans R mais pas dans Q. Le théorème 3.1.4 (1) n’estpas vrai dans Q. Soit par exemple a la suite dont le n-ième terme est le nombre rationnelqu’on obtient en n’utilisant que n chiffres après la virgule du développement décimal de π :3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, . . .. La suite a est rationnelle et croissante mais tend vers π , donc neconverge pas dans Q. Voir aussi (2) de la remarque qui suit la proposition 3.3.1.

3.2 Suites adjacentesDéfinition 3.2.1 Dire que deux suites réelles (an)n∈N et (bn)n∈N sont adjacentes signifie quel’une des suites est croissante, l’autre est décroissante et lim

n→+∞(bn−an) = 0.

Remarque Quitte à renommer les suites, on peut supposer que (an) est croissante et (bn) décrois-sante.

Théoreme 3.2.2 — Théorème des suites adjacentes.1. Si deux suites a = (an)n∈N et b = (bn)n∈N sont adjacentes, elles convergent dans R et leurs

limites sont égales.2. Notons par ` la limite des deux suites adjacentes et supposons la notation choisie pour que

a soit croissante et b décroissante. On a alors

∀p ∈ N,∀q ∈ N, ap ≤ `≤ bq.

Preuve. Quitte à renommer les suites, on peut supposer que a est croissante et b décroissante.


(1) On pose w = b−a. Notons que pour tout n∈N, wn+1−wn = (bn+1−bn)−(an+1−an)≤ 0,donc w est une suite décroissante. Comme elle converge vers 0, on déduit de la proposition 3.1.3que w est minoré par 0, donc a≤ b. En utilisant la monotonie de b on obtient

∀n ∈ N, an ≤ bn ≤ b0.

La suite a est donc majorée par b0 et comme elle est croissante elle converge (Théorème 3.1.4),disons vers `. En écrivant b = a+(b−a) on voit que b est la somme d’une suite qui tend vers ` etd’une suite qui tend vers 0, donc la suite b converge et sa limite est aussi `.

(2) : la proposition 3.1.3 implique que ∀p ∈ N, ap ≤ ` et ∀q ∈ N, ` ≤ bq, ce qu’il fallaitdémontrer. �

3.3 ApplicationsRacine n-ième, DichotomieDichotomie Soit r =

√3, donc r vérifie r2 = 3. On va construire (par « dichotomie », ce qui signifie

« couper en deux ») deux suites adjacentes (an) et (bn) qui approchent r, une par défaut, l’autre parexcès.

Comme 12 < 3 = r2 < 22 on sait (proposition 1.2.5) que r ∈ [1,2]. Posons a0 = 1 et b0 = 2.(Voir Figure 3.2.)

Divisons alors l’intervalle [a0,b0] = [1,2] en deux et notons c0 = 1.5 son milieu. On a c20 < 3

et comme on a toujours b20 > 3 on déduit comme avant que r ∈ [c0,b0]. Posons a1 = c0 = 1.5 et

b1 = b0 = 2. (Voir Figure 3.2.)Le milieu c1 = 1.75 de l’intervalle [a1,b1] = [1.5,2] vérifie c2

1 = 3.063 > 3, donc si on posea2 = a1 = 1.5 et b2 = c1 = 1.75 alors r ∈ [a2,b2]. (Voir Figure 3.2.)

Le milieu c2 = 1.625 de l’intervalle [a2,b2] = [1.5,1,75] vérifie c22 = 2.641 < 3, donc si on

pose a3 = c2 et b3 = b2 alors r ∈ [a3,b3]. (Voir Figure 3.2.)En répétant cette procédure on obtient deux suites (an) et (bn) qui approchent

√3 par défaut et

par excès.La démonstration de la proposition suivante (appliqué à cet exemple) montre que les deux

suites sont adjacentes et convergent vers√

3. Cette démonstration montre aussi qu’on peut utiliserla méthode de dichotomie pour montrer l’existence de

√3, et en général l’existence de la racine

N-ième d’un nombre réel positif.

Proposition 3.3.1 — Racine N-ième. Soient N ∈ N, N ≥ 2 et x0 ∈]0,+∞[, alors, il existe ununique réel positif r tel que rN = x0.

Preuve. Unicité : Pour arriver à une contradiction on suppose que r1 et r2 sont des nombres réelspositifs distincts qui vérifient rN

1 = rN2 = x0. Quitte a renommer r1 et r2 on peut supposer qu’on a

r1 < r2, mais la proposition 1.2.5 impliquera alors que rN1 < rN

2 , ce qui est impossible. Donc on abien l’unicité.

Existence : On va construire par récurrence deux suites a = (an)n∈N et b = (bn)n∈N (à valeursdans ]0,+∞[) qui vérifient aN

n ≤ x0 < bNn :

n = 0 : la propriété d’Archimède assure l’existence d’un B ∈ N tel que B > x0. Comme B≥ 1on a BN−1 ≥ 1 (proposition 1.2.5), donc BN ≥ B > x0. On a aussi 0N = 0 < x0, donc a0 = 0 etb0 = B conviennent.

Supposons qu’on a construit pour un n ∈ N an et bn tels que aNn ≤ x0 < bN

n . On pose cn =an+bn

2et on considère deux cas :Cas 1 : si cN

n ≤ x0 alors on pose an+1 = cn et bn+1 = bn. On a alors

aNn+1 = cN

n ≤ x0 < bNn = bN

n+1.

3.3 Applications 47

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1

0

1

2

3

4

a0 b0

a1 b1

a2 b2

a3 b3

a4 b4

FIGURE 3.2 – Approximation de√

3 par dichotomie

Cas 2 : si x0 < cNn alors on pose an+1 = an et bn+1 = cn. On a alors

aNn+1 = aN

n ≤ x0 < cNn = bN

n+1.

Donc on a dans les deux cas aNn+1 ≤ x0 < bN

n+1 et la suite est définie au rang n+1.On va montrer que les deux suites (an) et (bn) sont adjacentes.Notons que la proposition 1.2.5 implique que an < bn, donc cn est le milieu de l’intervalle

[an,bn], en particulier an < cn < bn.Notons qu’au cas 1 on a an < cn = an+1 et bn+1 = bn et au cas 2 on a an = an+1 et bn+1 = cn < bn,

donc la suite a est croissante et la suite b est décroissante.Comme l’intervalle [an+1,bn+1] est dans les deux cas un des deux moitiés de l’intervalle [an,bn]

on a bn+1−an+1 =bn−an

2. Il est facile de montrer (par récurrence) que

bn−an =12n (b0−a0), donc lim

n→+∞(bn−an) = 0.

On sait donc (a est croissante et b est décroissante) que les deux suites a et b sont adjacentes.D’après le théorème 3.2.2 elles convergent vers une même limite qu’on note par `.

Les suites (aNn ) et (bN

n ) convergent aussi (comme produit d’un nombre fini de suites conver-gentes) et leur limite commune est `N . Comme on a pour tout n ∈ N, aN

n ≤ x0 < bNn , on déduit

que `N = limn→+∞

aNn ≤ x0 et `N = lim

n→+∞bN

n ≥ x0 (on utilise la proposition 2.4.2). Ceci implique que

`N = x0, donc il suffit de poser r = ` pour terminer la démonstration. �

Remarque Pour la démonstration de l’existence de la racine N-ième on pourrait aussi commenceravec un intervalle [a0,b0] de la forme [M,M+1] où M ∈N. Pour voir cela, soit S= {k∈N | kN ≤ x0}.


S est non vide car 0 ∈ S. On utilise comme avant la propriété d’Archimède pour démontrerl’existence d’un B ∈ N tel que BN > x0. Comme tout élément k ∈ S vérifie kN ≤ x0 on déduit queS est majoré par B. On déduit que S est contenu dans {0, . . . ,B} ⊂ N, et est donc fini. Soit M lemaximum de S. Comme M est dans S mais pas M+1 on obtient : MN ≤ x0 < (M+1)N .

Définition 3.3.2 Soient N ∈ N, N ≥ 2 et x ∈]0,+∞[. L’unique réel positif r qui vérifie rN = xest appelé racine N-ième de x0 et on écrit r = N

√x = x

1N . On peut alors définir la puissance de x

pour tout q ∈Q : on écrit q = ab , avec a ∈ Z et b ∈ N∗ premier entre eux et on pose

xq =(

x1b

)a.

Remarque 1. La méthode que nous avons employée pour démontrer la proposition 3.3.1s’appelle la dichotomie (« couper en deux ») : il s’agit d’un algorithme récursif où oncommence avec un intervalle qui contient une valeur recherchée (la racine N-ième dans notrecas) et ou, à chaque étape, on coupe l’intervalle en deux parties (de longueur égales dansnotre cas) et on dispose d’un test pour savoir dans quelle partie se trouve la valeur recherchée.

2. Dans la démonstration de la proposition 3.3.1 on a construit pour tout x0 > 0 deux suitesadjacentes (an) et (bn) qui convergent vers r = N

√x0. Par construction, ces deux suites (an) et

(bn) sont des suites rationnelles (cet à dire à valeurs dans Q). Donc si r = N√

x0 est irrationnelon a approché un nombre irrationnel par deux suite rationnelles adjacentes.

Théorème des segments emboîtésDans la démonstration de l’existence de la racine N-ième r = N

√x0 d’un nombre x0 réel positif

(proposition 3.3.1) on a utilisé la méthode de dichotomie pour construire une suite d’intervallesIn = [an,bn] tels que

— In+1 ⊂ In (In+1 est une des deux moitiés de In), ∀n ∈ N ;— la longueur des intervalles tend vers 0 ;— r vérifie an ≤ r < bn ce qui veut dire que r ∈

⋂n∈N In.

C’est un cas particulier du théorème suivant :

Théoreme 3.3.3 — Théorème des segments emboîtés.. Soit (In)n∈N = ( [an,bn] )n∈N unesuite d’intervalles, tels que

1. ∀n ∈ N, In+1 ⊂ In ;2. la longueur de cette suite d’intervalles tend vers 0 : lim

n→+∞(bn−an) = 0.

Il existe alors un unique ` ∈ R tel que ⋂n∈N

In = {`}.

(Autrement dit, ` est l’unique réel qui vérifie ∀n∈N, an≤ `≤ bn.) De plus, les suites a= (an)n∈Net b = (bn)n∈N sont adjacentes et que leur limite commune est `.

Preuve. La démonstration de ce théorème est laissée comme exercice 3.12 : on montre que lacondition (1) implique que la suite a= (an)n∈N est croissante et la suite b= (bn)n∈N est décroissanteet comme on a aussi la condition (2) on déduit que les suites a et b sont adjacentes. Si on note leurlimite commune ` alors on bien ∀n ∈ N, an ≤ `≤ bn. �

Remarque 1. On dit qu’une suite d’intervalle (In)n∈N qui satisfait aux hypothèses du théorèmedes segments emboîtés est une suite de segments emboîtés.

3.3 Applications 49

2. On a démontré le théorème des segments emboîtés en utilisant le théorème des suitesadjacentes mais ces deux théorèmes sont en fait équivalents car on peut aussi utiliser lethéorème des segments emboîtés pour démontrer le théorème sur les suites adjacentes. Sia = (an)n∈N et b = (bn)n∈N sont adjacentes alors on montre par l’absurde qu’on a ∀n ∈ N,an ≤ bn, et donc

∀n ∈ N, an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn.

La suite d’intervalles (In)n∈N = ( [an,bn] )n∈N est donc une suite de segments emboîtés.Par hypothèse il existe un unique ` ∈ R qui vérifie ∀n ∈ N, an ≤ ` ≤ bn. Comme on a|`−an| ≤ |bn−an| on déduit que la suite a tend vers `. On montre de même que b tend vers`.

Suite de CauchySoit (un) une suite réelle qui converge vers ` ∈ R. Soit ε > 0. En utilisant la définition de

la convergence d’une suite pour ε ′ = ε/2 on trouve un rang N ∈ N tel que n ≥ N implique que|un− l|< ε ′ = ε/2. On a donc

∀n,m≥ N, |un−um|= |un− `+ `−um| ≤ |un− `|+ |um− `|< ε

2+

ε

2= ε.

Ceci nous amène à définirDéfinition 3.3.4 Soit u = (un) une suite réelle. On dit que u est une suite de Cauchy si

∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n,m ∈ N, n,m≥ N⇒ |un−um|< ε.

On a montré :

Proposition 3.3.5 Toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy.

On s’intéresse à l’implication réciproque. Commençons par montrer :

Lemme 3.3.6 Toute suite de Cauchy est bornée.

Preuve. Soit (un) une suite de Cauchy. La définition d’une suite de Cauchy nous donne, pour ε = 1(par exemple) un rang N tel que n,m ≥ N implique que |un− um| < 1. Si on pose m = N alorsn≥ N implique que |un−uN |< 1 et donc

∀n≥ N, |un|= |un−uN +uN | ≤ |un−uN |+ |uN |< 1+ |uN |.

On en déduit que

∀n ∈ N, |un| ≤max{|u0|, |u1|, . . . , |uN−1|,1+ |uN |},

et donc la suite (un) est bien bornée. �

Pour démontrer que toute suite de Cauchy converge il est utile de définir deux suites :Soit u = (uk)k∈N une suite réelle. On pose pour tout n ∈ N,

Sn = {uk : k ≥ n}= {un,un+1, . . .}αn = inf(Sn) = inf{un,un+1, . . .} ∈ R∪{−∞}βn = sup(Sn) = sup{un,un+1, . . .} ∈ R∪{+∞}

Exemple 1. Pour la suite u = ((−1)n) on trouve Sn = {−1,1}, αn =−1 et βn = 1, pour toutn ∈ N.


2. Pour la suite (1+ 1n) on trouve

Sn = {1+1n,1+

1n+1

,1+1

n+2, . . .},

αn = 1 et βn = 1+ 1n , pour tout n ∈ N.

Proposition 3.3.7 Soit u = (uk)k∈N une suite réelle majorée par M ∈ R et minorée par m ∈ R,alors on a

1. αn ≤ un ≤ βn, pour tout n ∈ N.2. m≤ αn ≤ βn ≤M, pour tout n ∈ N.3. (αn) est une suite réelle croissante et (βn) est une suite réelle décroissante.4. Les suites réelle (αn) et (βn) convergent.

Preuve. (1) αn est un minorant de Sn et comme un ∈ Sn on a bien αn ≤ un. On a de même un ≤ βn.(2) La suite (uk) est majorée par M et minorée par m, donc par définition l’ensemble {u0,u1, . . .}

(qui est S0) est contenu dans l’intervalle [m,M]. Soit n ∈ N. Comme Sn ⊂ S0, l’ensemble Sn estaussi inclus dans [m,M]. On déduit que αn (étant le plus grand des minorants de Sn) vérifie m≤ αn

et βn (étant le plus petit des majorants de Sn) vérifie βn ≤M. On a donc bien m≤ αn ≤ βn ≤M.(3) Soit n ∈ N. On déduit de (2) que αn et βn sont finis, donc des nombres réels. Les suites (αk)

et (βk) sont donc bien des suites réelles.Comme αn est un minorant de Sn et comme Sn+1 ⊂ Sn, αn est aussi un minorant de Sn+1. Il suit

que αn+1 (étant le plus grand des minorants de Sn+1) vérifie αn ≤ αn+1. On montre de même queβn ≥ βn+1.

(4) La suite (αn) est croissante d’après (3) et majorée d’après (2), donc converge d’aprèsla proposition 3.1.4. On montre de même que la suite (βn) est décroissante et minorée, doncconverge. �

Théoreme 3.3.8 Toute suite de Cauchy réelle converge (dans R).

Preuve. Soit u = (un) une suite de Cauchy. D’après le lemme 3.3.6, la suite u est bornée, et onpeut donc appliquer la proposition 3.3.7 à Sn, (αn) et (βn).

Montrons que limn→+∞

(βn−αn) = 0 : soit ε > 0. Si on utilise la définition de suite de Cauchy

pour ε ′ = ε/2 on obtient un rang N ∈ N tel que

n,m≥ N ⇒ |un−um|< ε′ =

ε

2,

donc en particulier

n≥ N ⇒ |un−uN |<ε

2.

Si on écrit cette relation par

n≥ N ⇒ uN−ε

2< un < uN +

ε

2

on déduit que Sn est contenu dans l’intervalle ]uN− ε

2 ,uN + ε

2 [, pour tout n≥ N. On en déduit quepour tout n≥ N, αn (étant le plus grand des minorants de Sn) et βn (étant le plus petit des majorantde Sn) vérifient

uN−ε

2≤ αn ≤ βn ≤ uN +

ε

2.

3.3 Applications 51

On a doncn≥ N ⇒ |βn−αn| ≤ ε,

ce qui implique que limn→+∞

(βn−αn) = 0.

Comme la suite (αn) est croissante et la suite (βn) décroissante (proposition 3.3.7), les deuxsuites sont adjacentes, donc convergent vers la même limite. Comme on a αn ≤ un ≤ βn (proposi-tion 3.3.7), le théorème 2.4.4 des gendarmes implique que la suite (un) converge aussi. �

Remarque 1. Si on montre qu’une suite u est une suite de Cauchy on a montré qu’elle convergesans parler de sa limite.

2. Dans la démonstration du théorème précédent on a montré que si (un) est une suite de Cauchyalors sa limite vérifie

limn→+∞

un = limn→+∞

αn = limn

βn.

On donnera un nom aux limites des suites (αn) et (βn) dans la section suivante.3. Comme toute suite de Cauchy réelle converge dans R, on dit que R est complet.4. Soit (un) est une suite rationnelle qui converge vers un nombre irrationnel r (voir par exemple

la remarque 3.1 de la page 45). La suite (un) est donc une suite de Cauchy qui ne convergepas dans Q. Le corps Q n’est donc pas complet et on a encore trouvé une propriété quidistingue Q de R.

Limite inférieure, Limite supérieureLa proposition 3.3.7 nous permet de définir :

Définition 3.3.9 Soit u = (uk)k∈N une suite réelle bornée. On pose

∀n ∈ N αn = inf({uk : k ≥ n}) et βn = sup({uk : k ≥ n}).

La limite inférieure (limite supérieure) de la suite u, noté liminfn→+∞

un (respectivement limsupn→+∞

un)

est définie par

liminfn→+∞

un = limn→+∞

αn

limsupn→+∞

un = limn→+∞

βn.

Exemple (suite)1. Pour la suite u = ((−1)n) on trouve αn =−1 et βn = 1, pour tout n∈N, donc liminf

n→+∞un =−1

et limsupn→+∞

un = 1.

2. Pour la suite (1+ 1n) on trouve αn = 1 et βn = 1+ 1

n , pour tout n ∈ N, donc liminfn→+∞

un = 1 =

limsupn→+∞

un.

Proposition 3.3.10 Soit u = (uk)k∈N une suite réelle bornée. La suite u converge si et seulementsi liminf

n→+∞un = limsup

n→+∞

un. On a alors limn→+∞

un = liminfn→+∞

un = limsupn→+∞

un.

Preuve. Si on a liminfn→+∞

un = limsupn→+∞

un, alors on déduit de la proposition 3.3.7 (1) et du théo-

rème 2.4.4 des gendarmes que la suite (un) converge vers liminfn→+∞

un = limsupn→+∞

un.


Supposons que la suite (un) converge et notons sa limite par l ∈ R. Soit ε > 0. La définition deconvergence de la suite u vers l nous donne un rang N ∈N tel que n≥N implique l−ε < un < l+ε .Donc Sn est inclus dans l’intervalle ]l− ε, l + ε[, pour tout n≥ N. Les réels αn (étant le plus granddes minorants de Sn) et βn (étant le plus petit des majorant de Sn) vérifient

∀n≥ N, l− ε ≤ αn ≤ βn < l + ε.

On en déduit que les suites α et β convergent vers l. On a donc

l = liminfn→+∞

un = limsupn→+∞

un.

(Notons que les suite α et β sont adjacentes.) �

Remarque 1. On a vu que, pour la suite (1+ 1n), on trouve liminfn→+∞ un = 1= limsupn→+∞ un.

Cette notion ne nous donne donc rien de nouveau pour cette suite convergente.2. Par contre, pour la suite u = ((−1)n) on trouve liminfn→+∞ un =−1 et limsupn→+∞ un = 1.

Notons que cette suite contient une sous-suite qui converge vers −1 et une autre qui convergevers +1.

3. On peut voir que si pour une suite bornée arbitraire (un) on considère toutes les sous-suitesconvergentes, alors la limite minimale (maximale) qu’on peut obtenir est liminfn→+∞ un

(respectivement limsupn→+∞ un).

Une remarque sur la construction des nombres réels1. Pour passer des nombres rationnels aux nombres réels, nous avons choisi comme axiome pour

les nombres réels d’avoir la propriété de la borne supérieure (axiome 1.5.3). Pour illustrercomment cela nous permet de construire des nombres irrationnels à partir des nombresrationnels, nous avons montré l’existence de la racine carrée (proposition 1.5.9). Nous avonsutilisé la propriété de la borne supérieure pour démontrer qu’une suite croissante et majoréeest convergente, résultat que nous avons utilisé pour démontrer le théorème sur les suitesadjacentes.

2. Une autre possibilité aurait été de choisir le théorème des suites adjacentes (ou le théorèmedes segments emboîtés) ainsi que la propriété d’Archimède comme axiomes, et d’en déduirel’existence de la borne supérieure pour une partie bornée.

3. Une façon intuitive de voir pourquoi le théorème sur les suites adjacentes nous permet depasser des nombres rationnels aux nombres réels est le suivant : supposons qu’on ait « placé »les nombres rationnels sur une droite graduée suivant leur valeur et qu’on ait « marqué » unpoint P sur cette droite qui n’est pas un nombre rationnel. On peut alors utiliser la méthode dedichotomie pour construire deux suites adjacentes (rationnelles) (an) et (bn) qui convergentvers ce point : on commence avec un intervalle [N,N +1], N ∈ Z, qui contient ce point P.On coupe cet intervalle en deux et on ne retient que la moitié qui contient ce point, notonsle par [a1,b1]. On répète alors ce procédé avec l’intervalle [a1,b1] pour obtenir [a2,b2] quicontient encore ce point, etc. On peut voir comme lors de la démonstration de l’existenced’une racine n-ième (proposition 3.3.1) que le point marqué est un nombre réel, étant limitecommune des deux suites adjacentes (an) et (bn). On a ainsi « complété » l’ensemble desnombres rationnels pour construire une droite « sans trou ». La démonstration de l’existencede la racine N-ième (proposition 3.3.1) suit cette méthode.

4. Une troisième possibilité aurait été de demander que toute suite de Cauchy converge.5. On peut utiliser les suites de Cauchy pour construire les nombres réels : si u = (un) est

une suite de Cauchy rationnelle qui converge vers un nombre rationnel, alors cette suite« représente » un nombre rationnel : sa limite. Si u ne converge pas dans Q alors u représente

3.3 Applications 53

un nombre irrationnel, le « trou » dans la « droite réelle » vers laquelle la suite u tend. Biensur, deux suites de Cauchy différentes peuvent tendre vers la même limite rationnelle ou versle même « trou », donc il faut identifier ces suites. Pour faire cela on identifie deux suites deCauchy u et v si la suite u− v tend vers 0.


3.4 Exercices

Définition et première propriétéExercice 3.1 Écrire à l’aide de quantificateurs la définition d’une suite non croissante, nondécroissante.

Borne d’une suite monotone convergenteExercice 3.2 Soient u une suite croissante pour laquelle il existe une sous-suite v qui convergevers un réel `.

1. Montrer que la suite v est majorée par `.2. En déduire que la suite u est majorée par `.3. Montrer que la suite u converge vers `.

Exercice 3.3 Démontrer la proposition 3.1.3 (2) : si (un)n∈N est une suite réelle décroissantequi converge vers un réel `, alors elle est minorée par ` et on a `= inf{un : n ∈ N}.On utilisera deux méthodes différentes :

1. Imiter la démonstration de la proposition 3.1.3 (1).2. Utiliser la proposition 3.1.3 (1) pour v =−u.

Exercice 3.4 1. Montrer que la suite de terme général

un =1

n+1+ · · ·+ 1

n+n, n ∈ N\{0}

est croissante et majorée.2. Utiliser le fait (hors programme) que si f : [0,1]→ R est une fonction continue alors on

a1n

n

∑k=1

f(

kn

)→∫ 1

0f (x)dx

pour évaluer la limite de la suite (un).

Suites adjacentesExercice 3.5 Pour n ∈ N\{0}, on pose

un =n

∑k=1

1k3 = 1+

123 + · · ·+

1n3 et vn = un +

1n2 .

1. Montrer que les suites u et v convergent et ont la même limite.2. Donner une valeur approchée par défaut de cette limite à 10−1 près.

Exercice 3.6 (Extrait d’un examen de 2011-2012) Soit S = (Sn)∞n=2 la suite de terme général

∀n ∈ N\{0,1}, Sn =n

∑p=2

(−1)p 1p=

12− 1

3+ · · ·+(−1)n 1

n.

1. Montrer que les deux suites U = (Un)n∈N\{0} et V = (Vn)n∈N\{0} définies par

∀n ∈ N\{0}, Un = S2n et Vn = S2n+1

sont adjacentes.2. En déduire que la suite S = (Sn)

∞n=2 est convergente.

3.4 Exercices 55

Exercice 3.7 (Extrait d’un examen de 2010-2011)1. Déterminer la limite : lim

n→+∞

(√n+1−

√n)

.

2. Soient u et v les suites définies pour tout n ∈ N∗ par

un =

(n

∑k=1

1√k

)−2√

n+1 vn =

(n

∑k=1

1√k

)−2√

n

(a) Montrer que u < v.(b) Montrer que u et v sont adjacentes.(c) Que peut-on dire de leurs limites éventuelles ?

Exercice 3.8 Pour n ∈ N\{0}, on pose

un =n

∑k=0

1k!

= 1+11!

+ · · ·+ 1n!

et et vn = un +1n!.

1. Montrer que les suites u et v convergent et ont la même limite `.2. Trouver un intervalle contenant ` et de longueur inférieure à 0,02.3. Montrer que ` n’est pas rationnel (on supposera que `= m/n avec m,n ∈ N\{0} et on

montrera qu’alors n!un < m(n−1)! < n!un +1).

Exercice 3.9 Soit a un réel strictement positif. Étudier la monotonie de la suite (a1n )n∈N\{0}

suivant les valeurs de a.

Racine n-ième, DichotomieExercice 3.10 On cherche une valeur approchée de

√3. Pour cela on utilise la méthode

(dichotomie) décrite dans la démonstration de la proposition 3.3.1 (voir aussi la remarque quisuit cette proposition). Pour cet exercice on utilise la notation de cette démonstration.

1. Pour trouver une approximation de√

3 commencez avec [a0,b0] = [1,2] et construisezla suite d’intervalles [ai,bi] qui contiennent tous

√3, disons pour i = 1, . . . ,7. (Réponse :

a7 =221128 = 1.7265625 et b7 =

11164 = 1.734375.)

2. Pour passer de [ai−1,bi−1] à [ai,bi] on retient soit la première moitié de [ai−1,bi−1], soit ladeuxième moitié. Dans le premier cas on pose ei = 0 et dans la deuxième on pose ei = 1.Quelle est la suite e1, . . . ,e7 qu’on a obtenu en (1)? (Réponse : (1,0,1,1,1,0,1).

3. Pouvez-vous trouver une formule qui relie a7 et la suite e1, . . . ,e7 ?4. (Pour aller plus loin). Pouvez-vous modifier la méthode de dichotomie en divisant à

chaque fois l’intervalle en dix parties (de longueur égales) plutôt que en deux parties?Comment associer une suite (e1, . . . ,en) à cet algorithme appliqué n fois ? Commenttraduire cette suite en une approximation de

√3.

Vrai ou faux?Exercice 3.11 Décider pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux. Justifier votre réponse par uncourt argument ou un contre exemple.

1. (Extrait d’un examen de 2011/2012) Si (un) est une suite croissante et majorée par un réel`, alors elle converge vers `.

2. (Extrait d’un examen de 2011/2012) Si (un)n∈N est une suite à termes strictement positifsqui converge vers 0, alors la suite (un)n∈N est décroissante à partir d’un certain rang.


3. Si (un)n∈N et (vn)n∈N sont deux suites telles que

∀n ∈ N, un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤ vn,

alors les deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N convergent.4. Si (un) est une suite croissante et minorée, alors (un) converge.5. Si (un) est une suite monotone et bornée, alors (un) converge.

Exercices supplémentairesExercice 3.12 (Démonstration du théorème 3.3.3 des segments emboîtés.) Soient a = (an)n∈Net b = (bn)n∈N deux suites de réels telles que ∀n ∈ N, an ≤ bn. On suppose que ∀n ∈ N, lesintervalles In = [an,bn] vérifient In+1 ⊂ In et que la longueur de cette suite d’intervalles tend vers0 : lim

n→+∞(bn−an) = 0. (On dit alors que la suite ([an,bn]) est une suite de segments (fermés)

emboîtés).1. Montrer que les suites a et b sont adjacentes, et donc convergentes. Notons leur limite

commune par `.2. Montrer que ∩n∈NIn = {`} (autrement dit : ` est l’unique réel qui vérifie ∀n ∈ N, an ≤

`≤ bn).3. Trouver une suite Jn = ]an,bn[ d’intervalles qui vérifient Jn+1 ⊂ Jn, lim

n→+∞(bn−un) = 0

et tel que ∩n∈NJn = /0. (Donc le théorème des segments emboîtés n’est pas valable engénéral pour les segments ouverts.)

Exercice 3.13 — Généralisation de l’exercice précédent. Soient a = (an)n∈N et b =(bn)n∈N deux suites réelles telles que ∀n ∈ N, an ≤ bn. On suppose que ∀n ∈ N, les intervallesIn = [an,bn] vérifient In+1 ⊂ In.

1. Montrer que les suites a et b vérifient

∀n ∈ N, an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn.

2. Montrer que les suites a et b convergent et que leurs limites vérifient ` = limn→+∞

an ≤lim

n→+∞bn = `′.

3. Montrer que ∩n∈NIn = [`,`′].

4. Limites infinies

4.1 DéfinitionsDéfinition 4.1.1 Une suite réelle (un)n∈N a pour limite (ou tend vers) +∞ si

∀M ∈ R+, ∃N ∈ N, n≥ N⇒ un > M.

Cette suite a pour limite (ou tend vers) −∞ si

∀M ∈ R+, ∃N ∈ N, n≥ N⇒ un <−M.

On écrit dans le premier cas limn→+∞

un =+∞, et dans le deuxième, limn→+∞

un =−∞.

Remarque 1. Autrement dit, pour M > 0 arbitrairement grand, tous les un à partir d’un certainrang N (qui dépend de M) sont dans la demi-droite ]M,+∞[ (resp. dans ]−∞,−M[).

2. Une suite qui tend vers +∞ (resp. −∞) n’est pas majorée (resp. n’est pas minorée) : elle n’estdonc pas convergente. On dit parfois qu’elle diverge vers +∞ (ou vers −∞).

3. Dans la définition de ce que signifie « la suite u tend vers +∞ », on n’a pas besoin du symbole+∞ et on peut considérer la phrase « la suite u tend vers +∞ » comme une expressiontoute faite sans donner un sens à +∞. Nous avons fait un choix différent pour ce cours enintroduisant les symboles +∞ et −∞ et de poser R= R∪{+∞,−∞} dans le chapitre 1.7. Ilest alors possible de parler de « la limite d’une suite dans R », sans avoir à distinguer les cas.Notons cependant qu’une suite convergente a, par définition, une limite finie

4. Comme pour la définition 2.2.1 d’une suite convergente, on peut remplacer dans les définitionsprécédentes, les inégalités n ≥ N et/ou un < −M par des inégalités n > N et/ou un ≤ −M.On peut aussi prendre M ∈ R au lieu de M ∈ R+. (Exercice.)

5. Pour voir l’analogie entre une suite qui tend vers un ` ∈ R et une suite qui tend vers` = +∞ ∈ R utilisons n > N dans la définition 4.1.1 et utilisons la terminologie suivante :Si ` ∈ R on dit qu’un intervalle de la forme ]`− ε, `+ ε[ est un voisinage ouvert de ` et si`=+∞ on dit qu’un intervalle de la forme ]a,+∞[ est un voisinage ouvert de `=+∞. Dansles deux cas on a alors qu’une suite (un) tend vers ` si pour tout voisinage ouvert de ` il

58 Chapitre 4. Limites infinies

existe un rang à partir duquel un est dans ce voisinage.

Remarque 1. Une suite réelle (un)n∈N admet au plus une limite dans R (Exercice). On peutdonc parler de la limite et écrire limn→+∞ un = `.

2. On peut généraliser la proposition 2.6.4 (limite d’une sous-suite) au cas où `∈R∪{+∞,−∞}(voir exercice 4.4).

Proposition 4.1.21. Soit k ∈ N\{0}, alors la suite (nk)n∈N tend vers +∞.2. La suite (

√n)n∈N tend vers +∞.

Preuve. (1) Soit M ∈R+. La propriété d’Archimède dit qu’il existe un entier N tel que M < N. Ona alors

n≥ N ⇒ un = nk ≥ n≥ N0 ≥M,

d’où le résultat.(2) Exercice 4.1. �

Exemple La suite de terme général un = 1+[1+(−1)n]n, n ∈ N \ {0} est strictement positive,n’est pas majorée mais ne tend pas vers +∞. (Exercice 4.3.)

4.2 Premières propriétés

Proposition 4.2.1 Soit u = (un)n∈N une suite réelle qui tend vers +∞ (resp. −∞). Alors :1. la suite u est minorée (resp. majorée),2. la suite −u tend vers −∞ (resp. −∞),3. pour tout réel a, la suite (a+un)n∈N tend vers +∞ (resp. −∞),4. pour tout c > 0 la suite cu tend +∞ (resp. −∞).

Preuve. On ne démontre que le cas ou la suite u tend vers +∞. L’autre cas est laissé commeexercice 4.6.(1) Pour M = 1, la définition 4.1.1 nous donne un rang N ∈ N tel que n≥ N implique que un > 1.On a alors un ≥min(1,u0,u1, . . . ,uN−1), donc la suite est minorée.

(2) On note la suite −u par v et on se donne M ∈ R+. La définition 4.1.1 nous donne un rangN ∈ N tel que n≥ N implique que un > M. Mais on a alors vn =−un <−M et donc par définitionla suite v tend vers −∞.

(3) On note la suite a+ u par v et on se donne M′ ∈ R+. La définition 4.1.1 nous donnepour M = M′− a un rang N ∈ N tel que n ≥ N implique que un > M = M′− a. Mais on a alorsvn = a+un > M′ et donc par définition la suite v tend vers +∞.

(4) On note la suite cu par v et on se donne M′ ∈ R+. La définition 4.1.1 nous donne pourM =M′/c un rang N ∈N tel que n≥N implique que un >M =M′/c. Mais on a alors vn = cun >M′,et donc, par définition, la suite v tend vers +∞. �

4.3 Suites monotones divergentes

Proposition 4.3.1 Soit u une suite réelle. Alors :1. Si u est croissante et n’est pas majorée, alors u tend vers +∞.2. Si u est décroissante et n’est pas minorée, alors u tend vers −∞.


Preuve. (1) Soit u = (un)n∈N une suite croissante non majorée. Soit M un réel positif ; puisque Mne majore pas la suite, on peut choisir un entier N tel que uN > M ; la suite étant croissante, on aalors :

∀n≥ N, un ≥ uN > M.

Ceci est vrai pour M arbitraire, donc limn→+∞

un =+∞.

(2) Le cas décroissant est conséquence du cas croissant en remplaçant u par −u. �

Le théorème 3.1.4 et la proposition 4.3.1 nous donnent :

Corollaire 4.3.2 Soit u = (un)n∈N une suite réelle.1. Si u est croissante alors u tend vers l = sup{un : n ∈ N}. Donc si u est majorée, alors u

est convergente de limite l ∈ R, et si u n’est pas majorée alors u tend vers l =+∞.2. Si u est décroissante alors u tend vers l = inf{un : n ∈ N}. Donc si u est minorée, alors u

est convergente de limite l ∈ R, et si u n’est pas minorée alors u tend vers l =−∞.

Preuve. Si u est croissante et majorée (ou décroissante et minorée) alors l’énoncé du corollaire estle théorème 3.1.4. Si u est croissante et non majorée alors la proposition 4.3.1 dit que u tend vers+∞. Il suffit alors de remarquer que dans ce cas on a sup{un : n ∈ N}=+∞. Le cas d’une suitedécroissante et non minorée est analogue. �

Remarque 1. On sait déjà qu’une suite qui n’est pas majorée (ou minorée) est divergente. Maisle corollaire 4.3.2 est plus précis : elle dit que la seule façon dont une suite monotone peutêtre divergente est qu’elle tend vers +∞ ou −∞.

2. Ce résultat est faux pour des suites non monotones : la suite ((−1)n)n∈N n’a pas de limitedans R. Cette suite est bornée et divergente.

3. Notons aussi qu’une suite non-monotone (positive) peut ne pas être majorée sans pour autanttendre vers +∞ : par exemple la suite

(1+[1+(−1)n]n

), n ∈ N\{0} de l’exemple 4.3 est

strictement positive, mon majorée mais ne tend pas vers +∞. Voir la figure 4.1 ou on a reliédeux termes consécutifs de la suite par un segment en pointillés. On a aussi tracé la courbereprésentative de la fonction x 7→ 2x+1 ainsi que la droite d’équation y = 1.

4.4 Limites et inégalités

Proposition 4.4.1 Soient u = (un)n∈N et v = (vn)n∈N deux suites réelles tel que u≤ v.1. (Théorème des gendarmes à l’infini) Si u tend vers +∞ alors v tend vers +∞ et si v tend

vers −∞ alors u tend vers −∞.2. Si la suite u tend vers ù ∈ R et si la suite v tend vers `v ∈ R alors on a ù ≤ `v.

Preuve. (1) Exercice 4.7.(2) Si ù et `v sont finies, ce n’est pas nouveau. On supposera donc que ù ou `v est infinie. Si

ù =−∞ ou `v =+∞, l’inégalité ù ≤ `v est toujours vraie. Il ne reste que les cas ù =+∞ qui sedéduit de (1) et le cas `v =−∞, qui se déduit aussi de (1). �

4.5 Limites et opérationsÉnonçons d’abord un cas particulier de la proposition 4.5.2.

Proposition 4.5.1 1. Soit u = (un)n∈N une suite qui tend vers +∞ ou −∞. Alors il existe unrang R ∈ N tel que n≥ R implique que un 6= 0, et la suite (1/un)n≥R est donc bien définie.Cette suite tend vers 0.


5 10 15 20 25 30n0

10

20

30

40

50

60

un

y=2x+1

y=1

u6

u7

u8

u9

FIGURE 4.1 – La suite(1+[1+(−1)n]n

)30n=1, et les courbes représentatives de x 7→ 2x+1 et x 7→ 1.

2. Soit u une suite réelle tendant vers 0 et strictement positive (resp. strictement négative).Alors on a lim

n→+∞(1/un) = +∞ (resp. −∞).

Preuve. (1) Prenons le cas ou u tend vers +∞. Pour M = 1, la définition 4.1.1 nous donne unrang R ∈ N tel que n≥ R implique que un > 1 donc en particulier un > 0. La suite v = (1/un)n≥R

est donc bien définie. Soit ε > 0. Si on utilise la définition 4.1.1 avec M = 1/ε on obtient unrang N ∈ N tel que pour tout n≥ N on ait un > 1/ε . On déduit que pour tout n≥max(N,R) on a|vn|= |1/un|= 1/un < ε ce qui montre que la suite v tend vers 0. Dans le cas ou u tend vers −∞

on pose w =−u et on applique le cas précédent à w.(2) Traitons le cas u> 0. Soit M > 0. Comme la suite u tend vers 0 on peut trouver pour ε = 1/M

un rang N ∈N tel que n≥ N implique que |un|< 1/M. On en déduit que 1/un = 1/|un|> M ce quimontre par définition que la suite 1/u tend vers 0. Dans le cas ou u tend vers −∞ on pose w =−uet on applique le cas précédent à w. �

Remarque La condition de signe est évidemment essentielle. D’abord, pour que 1/u ait un sens ilfaut bien supposer que un 6= 0, au moins pour n assez grand. Même dans ce cas, la suite u définiepar un = (−1)n/(n+ 1) tend vers 0 et est à termes non nuls, mais la suite 1/u n’a pas de limitedans R.

Proposition 4.5.2 Soient ù et `v deux éléments de R, u = (un)n∈N une suite réelle qui tend versù et v = (vn)n∈N une suite réelle qui tend vers `v. Alors :

1. Si ù + `v est défini, alors la suite u+ v tend vers ù + `v.2. Si ù`v est défini, alors la suite uv tend vers ù`v.3. Si 1/ù est défini (c’est-à-dire si ù 6= 0), alors on a un 6= 0 à partir d’un certain rang R ∈N.

Donc la suite(

1un

)n≥R

est bien définie. Cette suite tend vers 1ù

.

4.6 Suites équivalentes 61

Preuve. Si ù et `v sont finies, ce n’est pas nouveau. On supposera donc désormais que ù ou `v estinfinie. On peut supposer, quitte à passer aux suites opposées, que ù ou `v vaut +∞ ; par symétrieon supposera même que ù =+∞.

(1) : le cas `v =−∞ est exclu (forme indéterminée), et donc la suite v est minorée (par 2.4.3si `v ∈ R, et par 4.2.1 (1) si `v = +∞). Il existe donc une constante a telle que v ≥ a. Comme lasuite u+a tend vers +∞ par 4.2.1 (3), la suite u+ v qui vérifie u+ v > u+a tend aussi vers +∞

par 4.4.1 (1).(2) : le cas `v = 0 est exclu (forme indéterminée), donc quitte à changer v en −v on peut

supposer que `v > 0. Choisissons un réel c tel que 0 < c < `v. Alors, pour n assez grand, on avn > c et un > 0, donc unvn > cun. D’après 4.2.1 (4), la suite cun tend vers +∞, on conclut donc par4.4.1 (1).

(3) : comme on suppose que ù =+∞ c’est la proposition 4.5.1 (1). �

Exemples 1. La suite u = (n) tend vers +∞, la suite v = (−n+(−1)n) tend vers−∞ et la suiteu+ v n’a pas de limite.

2. La suite u = (n2) tend vers +∞, la suite v = (−n) tend vers−∞ et la suite u+v tend vers +∞

3. La suite u = (n) tend vers +∞, la suite v = (−n2) tend vers−∞ et la suite u+v tend vers−∞

4. Soit a ∈ R. La suite u = (n) tend vers +∞, la suite v = (a−n) tend vers −∞ et la suite u+ vtend vers a ∈ R

4.6 Suites équivalentesDéfinition 4.6.1 Soient u = (un)n∈N et v = (vn)n∈N deux suites réelles. On dit que u est équiva-lente à v et on écrit u∼ v s’il existe une suite e = (en)n∈N tel que

1. ∃N ∈ N,∀n≥ N, un = vn · en ;2. e converge vers 1.

Proposition 4.6.2 ∼ est une relation d’équivalence :1. (∼ est réflexive) u∼ u ;2. (∼ est transitive) u∼ v, v∼ w implique u∼ w ;3. (∼ est symétrique) u∼ v implique v∼ u.


Remarque 1. Comme la relation ∼ est symétrique on peut dire que deux suites u et v sontéquivalentes.

2. Souvent la condition d’équivalence de deux suites u = (un)n∈N et v = (vn)n∈N est donnéesous la forme suivante : il existe une suite ε = (εn)n∈N qui converge vers 0 et qui vérifieu = v(1+ ε) :

∀n ∈ N, un = vn(1+ εn).

Parfois le critère suivant est utile pour montrer l’équivalence entre deux suites :

Proposition 4.6.3 Soient u = (un)n∈N et v = (vn)n∈N deux suites telles que vn 6= 0 à partir d’uncertain rang. Alors u∼ v si et seulement si u/v converge vers 1 :

limn→+∞

un

vn= 1.



Proposition 4.6.4 Soient u et v deux suites équivalentes, alors u admet une limite (dans R) si etseulement si v admet une limite (dans R) et on a alors lim

n→+∞un = lim

n→+∞vn.

Preuve. On a u = v · e avec e une suite qui converge vers 1. Donc si u converge vers un réel ` (resp.si u tend vers +∞, −∞), alors la proposition 4.5.2 implique que v converge vers le même réel `(resp. v tend vers +∞, −∞). Par symétrie, on voit que si v tend vers ` alors u tend vers `. �

Proposition 4.6.5 Si u,u′,v,v′ sont des suites telles que u∼ u′ et v∼ v′, alors on a uv∼ u′v′.


4.7 Quelques suites classiques

Suites géométriquesLa convention qui est pratique dans ce contexte est de poser q0 = 1 même si q = 0.

Définition 4.7.1 Soient c et q deux réels. La suite géométrique de raison q et de terme initial cest la suite définie par

∀n ∈ N un = cqn.

Il est facile de voir (exercice 4.14) que (un) est une suite géométrique de raison q si et seulementsi elle vérifie ∀n ∈ N, un+1 = qun.

Proposition 4.7.2 Soit q ∈ R.1. Si q = 1, la suite (qn) est constante et égale à 1.2. Si q > 1, on a lim

n→+∞qn =+∞.

3. Si |q|< 1, on a limn→+∞

qn = 0.

4. Si q≤−1, la suite (qn) n’a aucune limite dans R.

5. Si q 6= 1, alors ∀n ∈ N, 1+q+ · · ·+qn =1−qn+1

1−q.

Preuve. (2) Posons q = 1+a, où a > 0. Soit n ∈ N. La formule du binôme donne :

qn = (1+a)n =n

∑k=0

(nk

)ak = 1+na+ · · ·+an.

On en déduit que ∀n ∈ N, qn ≥ na, d’où limn→+∞

qn =+∞. (Au lieu d’utiliser la formule du binôme,

on aurait pu aussi démontrer l’inégalité (1+a)n ≥ 1+na par récurrence sur n. Voir l’exercice 1.14.)(3) Pour se ramener à (2) on pose q′ =

∣∣∣1q

∣∣∣. Comme q′ > 1 on a limn→+∞

q′n = +∞, d’après (ii).

Comme ∀n ∈N, |qn|= 1q′n , on utilise proposition 4.5.1 pour déduire que lim

n→+∞|qn|= 0, c’est-à-dire

limn→+∞

qn = 0.

(4) Cas q =−1 : la sous-suite des termes d’indice pairs (q2n) = (1) a comme limite 1 et la sous-suite des termes d’indice impairs (q2n+1) = (−1) a pour limite −1. Comme ces deux sous-suitesont des limites différentes on déduit que la suite (qn) = ((−1)n) diverge (proposition 2.6.5).

Cas q <−1 : on utilise (2) pour voir que la sous-suite des termes d’indice pairs (q2n) = (|q|2n)tend vers +∞ et la sous-suite des termes d’indices impairs (q2n+1) = (−|q|2n) tend vers−∞ (comme|q|> 1). Les deux sous-suites tendent donc vers des limites (de R) différentes et on conclut commeavant que la suite (qn) diverge.

4.7 Quelques suites classiques 63

(5) On pose Sn = ∑nk=0 qk et on calcule

Sn = 1 + q + · · · + qn

qSn = q + · · · + qn + qn+1

Sn−qSn = 1 + 0 + · · · + 0 − qn+1,

donc (1−q)Sn = 1−qn+1 ce qui termine la démonstration. (Exercice : donner une démonstrationpar récurrence.) �

Voir l’exercice 4.15 pour une application des suites géométriques : soit u = (un)n∈N une suiteréelle pour laquelle il existent l ∈ R et λ ∈]0,1[ tels que ∀n ∈ N, |un+1− l| ≤ λ |un− l|, alors lasuite u converge vers `.

Comparaison des suites géométriques et des suites de puissancesQuand on multiplie une suite géométrique par une suite de puissances de n, on aboutit parfois à

des formes indéterminées. La proposition suivante permet de lever ces indéterminations.

Proposition 4.7.3 Soit q ∈ R+ et p ∈ Z.

1. Si q > 1, on a limn→+∞

qn

np =+∞.

2. Si 0 < q < 1, alors limn→+∞

qnnp = 0.

Preuve. Si p = 0, alors (1) et (2) se déduisent de la proposition 4.7.2. Si p < 0, on utilise lespropositions 4.7.2 et 4.1.2 pour voir que la suite du (1) est le produit de deux suites qui tendent vers+∞, donc (proposition 4.5.2) tend vers +∞. On voit de même que la suite du (2) est le produit dedeux suites qui tendent vers 0, donc tend vers 0). Il n’y a donc pas de forme indéterminée. Il suffitdonc d’étudier le cas p ∈ N\{0}.

(1) On suppose donc q > 1 et p ∈ N\{0}.Cas p = 1. Comme dans la démonstration de la proposition 4.7.2, si l’on écrit q = 1+ a (donca > 0) et si l’on utilise la formule du binôme, on obtient pour tout entier n≥ 2 :

qn = 1+na+n(n−1)

2a2 + . . .+an >

n(n−1)2

a2

donc qn

n > n−12 a2. On en déduit lim

n→+∞

qn

n =+∞.

Cas p > 1. On se ramène au cas précédent en « sortant l’exposant p » : on remarque que

qn

np =

(qn/p

n

)p

=

(rn

n

)p

où l’on a posé r = q1/p. Puisque r > 1, le cas précédent montre que rn

n tend vers +∞, et il en estdonc de même de

( rn

n

)p(les résultats sur le produit de deux suites s’étendent au produit de p suites).

(2) On suppose donc 0 < q < 1 et p ∈N\{0}. Si on pose q′ = 1q alors 1 < q′. On a lim

n→+∞

q′nnp =+∞,

c-à-d. lim 1qnnp =+∞. Donc lim

n→+∞qnnp = 0, d’après la proposition 4.5.1. �

Remarque En comparant les propositions 4.7.2 et 4.7.3 on voit que pour p ∈ Z et q ∈ R+, q 6= 1,les suites (qnnp)n∈N et (qn)n∈N ont la même limite.

Racine n-ième


Proposition 4.7.4 1. Soit a ∈]0,+∞[, alors la suite (a1n )n∈N\{0} converge vers 1.

2. La suite (n1n )n∈N\{0} converge vers 1.


Voir les figures 4.2 et 4.3.

4.8 Critères de d’Alembert et Cauchy pour les suites

Proposition 4.8.1 — Critère de d’Alembert pour les suites. Soit (un) une suite réelle à termesstrictement positifs pour laquelle il existe ` ∈ R+∪{+∞} qui vérifie

limn→+∞

un+1

un= `.

1. Si 0≤ ` < 1 alors la suite (un) converge vers 0.2. Si ` > 1 alors la suite (un) tend vers +∞.

Preuve. (1) Supposons ` < 1 et choisissons un réel q tel que ` < q < 1 (par exemple q = `+12 ). Il

existe un entier n0 tel que pour n ≥ n0, on a un+1un≤ q (proposition 2.4.1), soit (puisque un > 0),

un+1 ≤ qun. On en déduit ∀n≥ n0, un ≤ qn−n0un0 , et donc

∀n≥ n0, 0 < un ≤ qn un0

qn0.

La suite géométrique qn (avec 0≤ q < 1) tend vers 0 et il suffit alors d’appliquer le théorème desgendarmes (2.4.4) pour conclure que la suite (un) converge vers 0.(2) Supposons ` > 1 et choisissons un réel q tel que 1 < q < `. On montre comme ci-dessus qu’ilexiste un entier n0 tel que pour tout n ≥ n0 on ait un ≥ cqn, où c > 0 est une constante. Commeq > 1, on peut appliquer le théorème des gendarmes à l’infini (4.4.1) pour conclure. �

Remarque Comme on le voit dans la démonstration, on a un résultat plus général : s’il existeq ∈]0;1[ tel que un+1 ≤ qun pour n assez grand, la suite (un) converge vers 0. S’il existe q > 1 telque un+1 ≥ qun pour n assez grand, la suite (un) tend vers +∞.

Proposition 4.8.2 — Critère de Cauchy pour les suites. Soit (un) une suite réelle à termespositifs pour laquelle il existe ` ∈ R+∪{+∞} qui vérifie

limn→+∞

(un)1n = `.


La démonstration se fait comme celle du critère de d’Alembert pour les suites et est donnéecomme exercice 4.24.

4.8 Critères de d’Alembert et Cauchy pour les suites 65

0 10 20 30 40n

0.8

1

1.2

1.4

1.6

un

y=1

q=3

q=1/2

FIGURE 4.2 – La suite(

q1n

)40

n=2, pour q = 1/2 et q = 3.

0 10 20 30 40 50 60 70 80n

1

1.1

1.2

1.3

1.4

un

y=1

FIGURE 4.3 – La suite(

n1n

)80

n=1.


4.9 ExercicesDéfinitions

Exercice 4.1 Montrer en utilisant la définition d’une suite qui tend vers +∞ que la suite(√

n)n∈N tend vers +∞.

Exercice 4.2 Pour la suite (un) = (n2−n), trouver un entier N à partir duquel on a un > 100.Montrer que la suite (n2−n) tend vers +∞. (On justifiera la réponse en utilisant la définitiond’une suite qui tend vers +∞.)

Exercice 4.31. Écrire à l’aide de quantificateurs la définition d’une suite qui ne tend pas vers +∞.2. Montrer que la suite de terme général un = 1+[1+(−1)n]n, n ∈ N\{0} est strictement

positive, n’est pas majorée mais ne tend pas vers +∞. Voir la figure 4.1.

Exercice 4.4 Montrer que si (un) est une suite qui tend vers +∞, alors toute sous-suite de (un)tend vers +∞.

Exercice 4.5 Montrer que si (un) est une suite qui n’est pas majorée, alors il existe unesous-suite de (un) qui tend vers +∞.

Premières propriétésExercice 4.6 Démontrer la proposition 4.2.1 pour une suite u = (un)n∈N qui tend vers −∞ :montrer que si u tend vers −∞ alors,

1. la suite u est majorée,2. la suite −u tend vers +∞,3. pour tout réel a, la suite (a+un)n∈N tend vers −∞,4. pour tout c > 0, la suite cu tend −∞.

Exercice 4.7 Démontrer le théorème des gendarmes à l’infini (proposition 4.4.1 (1)) : soientu = (un)n∈N et v = (vn)n∈N deux suites réelles tel que u ≤ v. Montrer que si u tend vers +∞

alors v tend vers +∞ et si v tend vers −∞ alors u tend vers −∞.

Suites monotones divergentesExercice 4.8 — Série harmonique. Soit (Sn)n∈N\{0} la suite définie par

Sn =n

∑k=1

1k= 1+

12+

13+ . . .+

1n.

Utiliser le calcul suivant

S16 = 1+12

+

(13+

14

)+

(15+

16+

17+

18

)+

(19+ · · ·+ 1

16

)> 1+

12

+214

+418

+8116

.

pour conjecturer une minoration de S2p , pour tout p ∈ N\{0}. Démontrer votre formule. Endéduire que la suite (Sn)n∈N\{0} tends vers l’infini.

Application aux calculs de limites

4.9 Exercices 67

Exercice 4.9 Construire une suite un = vnwn convergente et telle que l’une au moins des suites(vn) et (wn) diverge.

Suites équivalentesExercice 4.10 Démontrer la proposition 4.6.2 : montrer que ∼ est une relation d’équivalence :

1. (∼ est réflexive) u∼ u ;2. (∼ est transitive) u∼ v, v∼ w implique u∼ w ;3. (∼ est symétrique) u∼ v implique u∼ v.

Exercice 4.11 Démontrer la proposition 4.6.3 : soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites tels quevn 6= 0, ∀n≥ R. Alors u∼ v si et seulement si u/v converge vers 1 : lim

n→+∞

un

vn= 1.

Exercice 4.12 Démontrer la proposition 4.6.5 : si u,u′,v,v′ sont des suites telles que u∼ u′ etv∼ v′, alors on a uv∼ u′v′.

Exercice 4.13 Montrer que les suites u et v définies par

un =n2−2n+1

n−1, vn =

n2−1n−1

, n≥ 2

sont équivalentes, mais que la suite u− v ne tend pas vers 0.

Suites géométriquesExercice 4.14 Montrer qu’une suite (un) est une suite géométrique de raison q si et seulementsi elle vérifie

∀n ∈ N, un+1 = qun.

Exercice 4.15 Soient l un nombre réel et λ un nombre réel qui vérifie λ ∈]0,1[. Soit u =(un)n∈N une suite réelle qui vérifie

∀n ∈ N, |un+1− l| ≤ λ |un− l|.

Démontrer par récurrence que

∀n ∈ N, |un− l| ≤ λn|u0− l|,

et en déduire que la suite u converge vers `.

Étude de convergence d’une suiteExercice 4.16 Étudier la convergence de la suite (un) définie ∀n ∈ N\{0,1} par :

(1) un =n3 +2n

3n (2) un =nn

n!(3) un =

nn

4n

(4) un = (2n +3n)1n (5) un =

2n

n!

Exercice 4.17 — Extrait d’un examen de 2010/11. Étudier la convergence, et le cas échéantdonner la limite, des suites réelles a, b, c ci-dessous (définies pour n entier ≥ 2) :

an = (−1)n(

1011

)n

; bn = n14 sin

1n

; cn =n

34(4

3

)n

ln(n).


Exercice 4.18 On considère la suite définie par :

u1 =14, u2 =

1 ·342 ·2!

, . . . un =1 ·3 ·5 · · ·(2n−1)

4n ·n !.

Démontrer queun

un−1<

12.

En déduire la limite de la suite (un).

Exercice 4.19 Étudier en fonction du paramètre α ∈ R+ la convergence de la suite

∀n ∈ N\{0}, un =1

nα(1+2+ · · ·+n) =

1nα

n

∑p=1

p.

Exercice 4.20 1. Étudier (par encadrement) la convergence de la suite (un) telle que

∀n ∈ N\{0}, un =1n+

1n+√

1+

1n+√

2+

1n+√

3+ · · ·+ 1

n+√

n.

2. Étudier (par encadrement) la convergence de la suite (vn) telle que

∀n ∈ N, vn =n√

n2 +1+

n√n2 +2

+n√

n2 +3+ · · ·+ n√

n2 +n.

Exercice 4.21 Étudier selon la valeur de θ ∈ [0,2π[ la convergence des suites (un)n∈N et(Sn)n∈N définies par

∀n ∈ N, un = (sinθ)n,

∀n ∈ N, Sn = 1+ sinθ +(sinθ)2 + · · ·+(sinθ)n =n

∑p=0

(sinθ)p,

et, le cas échéant, déterminer la limite.

Exercice 4.22 1. Soit a ∈ R\{−2}. Étudier en fonction de la valeur de a la convergencede la suite (un)n∈N définie par

∀n ∈ N, un =(a+1)n−1(a+1)n +1

,

et, le cas échéant, déterminer sa limite.2. (Extrait d’un contrôle continu de 2011/2012.) Soit a∈R∗. Étudier en fonction de la valeur

de a si la suite (un)n∈N définie par

∀n ∈ N, un =25n +52n

an ,

admet une limite dans R= R∪{+∞,∞} et, le cas échéant, déterminer cette limite.

Racine n-ièmeExercice 4.23 (Démonstration de la proposition 4.7.4). Pour a ∈]0,+∞[ on définit la suite u

4.9 Exercices 69

dont le terme général est un = a1n , n ∈ N\{0}.

1. Soit a ∈]1,+∞[. Montrer que un ∈]1,+∞[ pour tout n ∈ N\{0}.2. Soient x∈]0,∞[ et n∈N\{0}. Utiliser la formule du binôme pour montrer que (1+x)n ≥

nx.3. On pose εn = un− 1, donc un = 1+ εn. Utiliser la relation du (2) pour montrer que εn

tend vers 0. En déduire que la suite (a1n ) converge vers 1.

4. En déduire la convergence de la suite u pour a ∈]0,1[.5. Généraliser ce qui précède pour étudier la convergence de (n

1n )n∈N\{0}. (Indication :

(1+ x)n ≥ n(n−1)2 x, pour tout n ∈ N et x ∈]0,∞[.)

Démonstration du critère de Cauchy pour les suitesExercice 4.24 Imiter la démonstration du critère de d’Alembert pour les suites (4.8.1) pourdonner une démonstration du critère de Cauchy pour les suites (4.8.2), c’est-à-dire : soit (un)une suite réelle à termes positifs pour laquelle il existe ` ∈ R+∪{+∞} qui vérifie

limn→+∞

(un)1n = `.


Vrai ou fauxExercice 4.25 Décider pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux. Justifier votre réponse par uncourt argument, un résultat du cours ou un contre exemple. Soient u = (un)n∈N et v = (vn)n∈Ndeux suites réelles.

1. Si (un) converge, alors (un+1−un) tend vers 0.2. Si la suite (un+1−un) tend vers 0, alors la suite (un) converge.3. (Extrait d’un examen de 2011-2012.) Si u et v sont deux suites réelles telles que la suite u

converge et la suite u+ v diverge, alors la suite v diverge.4. Si la suite (u2

n) converge, alors (un) converge.5. Une suite qui n’est pas bornée diverge.6. Une suite qui diverge ne peut pas être bornée.7. Une suite monotone qui diverge ne peut pas être bornée.8. Une suite strictement négative qui n’est pas bornée tend vers −∞.9. Soit (un) une suite décroissante pour laquelle il existe une sous-suite qui tend vers −∞

alors (un) tend vers −∞.10. Soit (un) une suite réelle pour laquelle il existe une sous-suite (vn) qui tend vers −∞ alors

(un) tend vers −∞.11. Si u converge vers l ∈ R et si v diverge alors uv diverge.12. Si u converge vers l ∈ R∗ et si v diverge alors uv diverge.13. Soit u une suite qui n’est pas majorée, alors elle tend vers +∞.14. Si u tend vers −∞ alors u2 tend vers +∞.15. Soient u et v deux suites tels que leur produit uv converge alors les deux suites u et v

convergent.16. Soit u une suite qui tend vers −∞ alors elle est décroissante à partir d’un certain rang.17. Soit (un) une suite tel que un 6= 0, pour tout n ∈ N. Si la suite (un) tend vers 0 alors la

suite ( 1un) tend vers +∞ ou −∞.

18. Soient u et u′ deux suites équivalentes alors la suite u−u′ tend vers 0.19. Si u et u′ sont deux suites équivalentes et si v et v′ sont deux suites équivalentes alors


u+ v et u′+ v′ sont équivalentes.20. Si u et u′ sont deux suites équivalentes et si v et v′ sont deux suites équivalentes alors uv

et u′v′ sont équivalentes.21. La suite définie par

∀n ∈ N\{0},(

1− 1n

)n

est une suite géométrique.22. un ∼ vn implique que un

n ∼ vnn.

23. La suite (n1n )n∈N\{0} tend vers +∞.

24. Soient B > 1 un nombre réel et (un) une suite à valeurs dans ]1,B[, alors la suite (u1nn )

converge.

Exercices supplémentairesExercice 4.26 Pour tout entier n≥ 1, on pose

vn =√

n+1+ · · ·+√

2n =2n

∑k=n+1

√k.

Étudier la convergence éventuelle des suites

(vn)n∈N\{0},(vn

n

)n∈N\{0}

, et( vn

n2

)n∈N\{0}.

Exercice 4.27 1. Que peut-on dire d’une suite qui vérifie limn→∞ nun = 0?2. Que peut-on dire d’une suite qui vérifie limn→∞ nun = 1?3. Que peut-on dire d’une suite qui vérifie limn→∞ nun =+∞ ?

Exercice 4.28 Soit (un)n∈N une suite vérifiant : ∀n ∈ N, un+1 = 2un +1.1. Exprimer un en fonction de n et de u0.2. Montrer qu’il existe une valeur ` telle que pour u0 = `, la suite (un) soit constante.3. Retrouver le résultat du 1) en étudiant la suite (un− `).

Exercice 4.29 Vous empruntez une somme S0 pour une période de N années, à un taux annuelde τ , à intérêts composés (au bout d’un an, vous devez donc la somme S0(1+ τ)). A la fin dechaque année, vous devrez rembourser une annuité A, fixée au départ. On cherche à calculer A.

Pour n ∈ {1, . . . ,N} on note Sn la somme encore due au bout de n années.1. Pour 0 ≤ n < N, exprimer Sn+1 en fonction de Sn ; en déduire une expression de Sn en

fonction de n.2. En déduire A.3. Quelle annuité doit-on verser pour un prêt à 3% sur 10 ans?

Exercice 4.30 Pour n ∈ N\{0}, on pose un =n∑

k=0k, vn =

n∑

k=0k2 et wn =

vnun

.

1. Exprimer un en fonction de n.2. Étudier les premiers termes de la suite (wn) et conjecturer une expression de wn puis de

vn en fonction de n.3. Vérifier si votre conjecture sur (vn) est correcte.

II5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1 Les nombres complexes5.2 Suites complexes5.3 Suites géométriques complexes5.4 Exercices

6 Limites de suites et limites de fonctions 836.1 Utilisation des fonctions continues6.2 Généralisation : limites de fonctions, infinies ou à

l’infini6.3 Exemples6.4 Théorème des valeurs intermédiaires6.5 Complément : quelques propriétés des limites de

fonctions6.6 Complément : remarque sur la définition des limites

de fonctions6.7 Exercices

7 Suites définies par une formule de récur-rence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.1 Motivation : méthode de Newton7.2 Intervalles stables, points fixes7.3 Étude d’une suite récurrente7.4 Exercices

Seconde partie

5. Suites complexes

5.1 Les nombres complexesL’ensemble des nombres complexes est, comme R, muni d’une addition et d’une multiplication,

qui en font un corps. En revanche, la relation d’inégalité ne se prolonge pas à C. Les propriétésde R vues en 1.2, qui ne dépendent pas de cette relation, mais seulement de l’addition et de lamultiplication, s’étendent sans difficulté à C.

Un nombre complexe z ∈ C s’écrit sous forme cartésienne z = a+ ib, où a ∈ R et b ∈ R. Cetteécriture est unique, de sorte que a et b méritent des noms : ce sont respectivement la partie réelleet la partie imaginaire de z. Notations : a = Re(z), b = Im(z). On définit le module |z| de z par|z|=

√a2 +b2 et son conjugué z par z = a− ib.

On utilise le même symbole | · | pour désigner la valeur absolue d’un nombre réel et le moduled’un nombre complexe. Ceci est justifié par le fait que si on considère un nombre réel a commenombre complexe a+ i0 (avec partie imaginaire 0), alors le module du nombre complexe a+ i0 est|a|=

√a2 ce qui n’est rien d’autre que la valeur absolue du nombre réel a.

On rappelle les formules (où z et w sont des nombres complexes quelconques) :

z+w = z+w, zw = zw, z+ z = 2Re(z), z− z = 2i Im(z)

zz = |z|2, |z|= |z|, |zw|= |z| |w|.

On a les inégalités :

Proposition 5.1.1 Soient z,w ∈ C.1. |Re(z)| ≤ |z| ; |Im(z)| ≤ |z|2. |Re(z)−Re(w)| ≤ |z−w| ; |Im(z)− Im(w)| ≤ |z−w|3. |z±w| ≤ |z|+ |w|4. ||z|− |w|| ≤ |z±w|5. |z| ≤ |Re(z)|+ |Im(z)|

Preuve. Posons z = a+ ib.(1) |Re(z)|= |a|=

√a2 ≤

√a2 +b2 = |z|. De même pour la deuxième inégalité.

74 Chapitre 5. Suites complexes

(2) Il suffit d’appliquer (1) : |Re(z)−Re(w)|= |Re(z−w)| ≤ |z−w|. De même pour la deuxièmeinégalité.(3) On va utiliser

zw+ zw = zw+ zw = 2Re(zw)≤ 2|Re(zw)|(1)≤ 2|zw|= 2|z| |w|= 2|z| |w|.

Donc|z+w|2 = |z|2 + zw+ zw+ |w|2 ≤ |z|2 +2|z| |w|+ |w|2 = (|z|+ |w|)2.

(4) Comme dans le cas réel.(5)

|z|= |a+ ib|(4)≤ |a|+ |ib|= |a|+ |b|= |Re(z)|+ |Im(z)|. �

Soit P un plan muni d’un repère orthonormée direct (O,~u,~v). On peut alors représenter unnombre réel z = a+ ib, a,b ∈ R par le point M(z) qui vérifie

−−−−→OM(z) = a~u+b~v. On dit que z est

l’affixe du point M(z). On dit aussi que P est un plan complexe, car tout point de P représente un(unique) nombre complexe.

Notons que |z|=√

a2 +b2 est alors la distance (euclidienne) de M(z) à l’origine O. De même, sion représente un autre nombre complexe w = c+ id par le point M(w) qui vérifie

−−−−→OM(w) = c~u+d~v,

alors la distance entre M(w) et M(z) est√(c−a)2 +(d−b)2 ce qui est égal à |w− z|.

Notons que l’ensemble {z ∈ C : |z− z0|< r} correspond à un disque ouvert centré en M(z0)de rayon r dans le plan P.

Si M est un point de P contenu dans le cercle de centre O et de rayon 1 alors il existe θ ∈ R telque−−→OM = cos(θ)~u+ sin(θ)~v. L’affixe du point M est alors cos(θ)+ isin(θ).En posant eiθ = cos(θ)+ isin(θ) on voit que l’ensemble {eiθ : θ ∈ [0,2π[} correspond au

cercle de centre O et de rayon 1 du plan P.Si z 6= 0 est un nombre complexe alors le module de z

|z| est 1, donc z|z| peut être écrit comme

cos(θ)+ isin(θ), et donc z peut être écrit comme z = |z|(cos(θ)+ isin(θ)) = |z|eiθ . On dit que|z|eiθ est l’écriture exponentielle du nombre complexe z.

On a aussi pour tout k ∈ Z, z = |z|ei(θ+2kπ) ; les nombres θ +2kπ sont appelés arguments de z.

Exemples i = ei π

2 , 1+ i =√

2ei π

4 =−√

2ei 5π

4 .

5.2 Suites complexesDéfinition d’une suite complexe

Définition 5.2.1 On appelle suite complexe toute application de N dans C.

Remarque On utilise le même type de notations (n 7→ un, etc.) que pour les suites réelles. On ditaussi que u est une suite complexe s’il existe n0 ∈ N tel que u soit une application de {n ∈ N : n≥n0} dans C.

Les notions de suite réelle majorée, minorée, croissante, décroissante n’ont pas d’analogue pourles suites complexes. On dit, en revanche :

Définition 5.2.2 Une suite complexe u = (un)n∈N est bornée s’il existe un réel R tel que |un| ≤ Rpour tout n ∈ N.

Notons qu’une suite complexe est bornée si et seulement si {un : n ∈ N} (représenté dans leplan complexe) est contenu dans un disque du plan complexe centré en 0 et de rayon R.

En utilisant les inégalités de la proposition 5.1.1 on peut voir qu’une suite complexe u estbornée si et seulement si les suites réelles Re(u) et Im(u) sont bornées. (Exercice 5.6.)

5.2 Suites complexes 75

Convergence d’une suite complexeDéfinition 5.2.3 Soit u une suite complexe. On dit que la suite u tend (ou converge) vers unnombre complexe ` si la suite réelle |u− `| donnée par (|un− `|) converge vers 0 :

∀ε > 0,∃N ∈ N, (n≥ N⇒ |un− `|< ε).

Remarque 1. Notons que la convergence d’une suite complexe u vers une limite ` ∈ C estdéfinie par la convergence de la suite réelle |u− `|

2. Représentons les termes un d’une suite complexe convergente par des points Mn de P et lalimite ` par un point M. L’inégalité |un− `|< ε veut alors dire que la distance (euclidienne)entre le point Mn et L est plus petit que ε .

3. Donc dire que la suite complexe u tend vers ` veut dire que si on se donne un disque centréen L et de rayon ε , alors à partir d’un certain rang tous les termes Mn sont dans ce disque.

4. Il est facile de voir que si la suite u est réelle et si ` est réel, la phrase « u converge vers ` » ale même sens dans R et dans C. (Autrement dit, la définition 5.2.3 ne contredit pas 2.2.1).

Exemple 1. Dans la figure 5.1 on a tracé les termes de la suite

un = 1+ i+n−32

(cos(

nπ

10

)+ i(

sin(nπ

10)),

pour n = 9, . . . ,100, ou on a relié deux termes consécutifs de la suite par un segment enpointillés. On conjecture que la suite tend vers 1+ i (ou quelque chose de proche). Onconjecture aussi que si on se donne ε = 0,01 alors tous les termes de la suite (au moins parmiceux qui sont représentés) sont dans le disque de centre 1+ i et de rayon ε = 0,01, à partirde n = 22. On a donc |un− (1+ i)|< 0.01 pour n≥ 22. Donc le rang N de la définition deconvergence qui correspond à ε = 0,01 est N = 22.

2. Dans la figure 5.2 on a tracé les termes de la suite

un = 1+ i+n−32

(cos(

nπ

8

)+ i(

sin(nπ

10)),

pour n = 10, . . . ,100. La suite « semble » aussi tendre vers 1+ i.3. Notons que dans les deux cas on a

|un− (1+ i)|= 1

n32→ 0,

lorsque n→+∞. Pour avoir |un− (1+ i)|< 0.01 il faut choisir n > 10023 ∼ 21.544, donc le

rang N = 22 (ou tout autre rang plus grand que 22) convient.

Un critère de convergence

Proposition 5.2.4 Soient u une suite complexe et ` ∈ C. Les conditions suivantes sont équiva-lentes :

1. la suite u converge vers ` ;2. la suite Re(u) converge vers Re(`) et la suite Im(u) converge vers Im(`).


Preuve. (⇒) Supposons que u converge vers `. Soit ε > 0. Il existe alors N ∈ N tel que n ≥ Nimplique que |un− l|< ε et donc (Proposition 5.1.1)

0≤ |Re(un)−Re(l)| ≤ |un− l|< ε.

Donc la suite Re(u) converge vers Re(`). On montre de même que la suite Im(u) converge versIm(`).

(⇐) Supposons que la suite Re(u) converge vers Re(`) et la suite Im(u) converge vers Im(`).Soit ε > 0. La définition de la convergence (pour ε/2) nous donne N1 ∈ N et N2 ∈ N tel que

n≥ N1 ⇒ |Re(un)−Re(l)|< ε/2,

n≥ N2 ⇒ |Re(un)−Re(l)|< ε/2.

On a alors que n≥max{N1,N2} implique que

0≤ |un− l| ≤ |Re(un− l)|+ |Im(un− l)|= |Re(un)−Re(l)|+ |Im(un)− Im(l)| ≤ ε

2+

ε

2= ε,

ou on a utilisé la Proposition 5.1.1, (5).�

Propriétés des suites complexesOn laisse comme exercice la généralisation aux suites complexes de :

1. la proposition 2.3.1 : unicité de la limite.2. la proposition 2.4.3 : toute suite convergente est bornée. (Exercice 5.5.)3. la notion de sous-suite, la proposition 2.6.4 (Toute sous-suite d’une suite convergente converge

et admet la même limite) et la proposition 2.6.5 (Une suite complexe (un) converge vers ` siet seulement si les deux sous-suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers `).

4. le théorème 2.5.1 : opérations sur les limites. (Exercice 5.7.)On peut définir comme dans le réel (en remplaçant la valeur absolue par le module) la notion de

suite de Cauchy pour une suite complexe. On montre comme dans le cas réel (propositions 3.3.5)qu’une suite convergente est une suite de Cauchy. Le théorème suivant généralise le théorème 3.3.8 :

Théoreme 5.2.5 — C est complet. Toute suite de Cauchy complexe converge (dans C).

Preuve. Soit u une suite de Cauchy complexe. Soit ε > 0 donné. Il existe alors un N > 0 tel quen,m≥ N implique que |un−um|< ε . Donc n,m≥ N implique que

|Re(un)−Re(um)| ≤ |un−um|< ε

où on a utilisé Proposition 5.1.1. La suite (Re(un)) est donc une suite de Cauchy et comme cettesuite est réelle, cette suite converge. On montre de même que la suite (Im(un)) converge. Il suffitalors d’utiliser la proposition 5.2.4. �

5.3 Suites géométriques complexesDéfinition 5.3.1 Soit q ∈ C. Comme dans le cas réel, on appelle suite géométrique de raison qune suite de la forme (u0qn) où u0 ∈ C.

On généralise alors la proposition 4.7.2 :

5.3 Suites géométriques complexes 77

Proposition 5.3.2 Soit q ∈ C.1. Si q = 1, alors (qn) est constante.2. Si |q|< 1, alors lim

n→+∞qn = 0.

3. Si |q|> 1, (qn) n’est pas bornée, donc diverge.4. Si |q|= 1, q 6= 1, la suite (qn) diverge.

5. Si q 6= 1, alors ∀n ∈ N, 1+q+ · · ·+qn =1−qn+1

1−q.

Preuve. Pour (ii) et (iii), il suffit de remarquer que |qn|= |q|n. Pour (iv), supposons que |q|= 1 etque (qn) converge vers un complexe `. Comme lim

n→+∞qn+1 = lim

n→+∞qn et lim

n→+∞qn+1 = q lim

n→+∞qn, on

a q`= `, soit q = 1 ou `= 0. Mais le cas `= 0 est exclu car la suite |qn| est égale à 1 donc ne tendpas vers 0. Donc q = 1. La propriété (v) se démontre comme dans le cas réel. �

Exemple Quelques exemples de suites géométriques complexes (un) = (qn) :1. Si q = 9

10 eπi6 , alors comme on a |q|= 9

10 < 1, la proposition 5.3.2 implique que la suite (qn)tend vers 0. Dans la figure 5.3 on a représentés les termes u0, . . .u50, en reliant deux termesconsécutifs de la suite par un segment en pointillés. On voit que la suite tend vers 0 en suivantune spirale.

2. Pour q = 1,1 · e πi4 on obtient une suite divergente (|q|= 1,1 > 1). La suite (|q|n) = (1,1)n

tend vers +∞, donc la suite (q)n s’éloigne de l’origine de plus en plus. La figure 5.4 où sontreprésentés les termes u0, . . . ,u25 indique que les termes suivent encore une spirale, mais ens’éloignant de 0.

3. Pour q = eπi8 on obtient une suite périodique de période 16. Les termes de la suite sont sur le

cercle unité (|un|= 1) et sont les sommets d’un polygone régulier de 16 côtés. (Ce sont lesracines 16-ièmes de l’unité.) Voir la figure 5.5. Cette suite est divergente.

4. Pour q = eπi√

2 on obtient aussi une suite divergente dont les termes sont sur le cercle unité,mais les termes « remplissent » le cercle d’unité de plus en plus. Voir la figure 5.6, où on areprésenté les termes u0, . . . ,u120.


5.4 ExercicesDéfinition d’une suite complexe

Exercice 5.1 Tracer dans le plan complexe les premiers 10 termes de la suite complexe (un)définie par

un =1n

eni π

2 ,n ∈ N\{0}.

Représenter dans le même plan les ensembles

Uε = {z ∈ C | : |z|< ε}

pour ε = 1/2,1/4. Pour ε > 0 (arbitraire) déterminer le rang N ∈N à partir duquel on a |un|< ε .

Exercice 5.2 Soit q ∈ C. En utilisant l’écriture exponentielle de q tracer dans le plan complexequelques termes de la suite géométrique (qn). Faire une conjecture quand au comportement(pour n grand) de cette suite en distinguant les cas |q|< 1 et |q|> 1. Que pensez-vous est soncomportement si |q|= 1?

Un critère de convergenceExercice 5.3 Soit a un nombre réel non nul. On pose

∀n ∈ N, un =1+ ina|1+ in|

.

1. Construire géométriquement les premiers 5 termes de la suite (un) pour a = 1 et faire uneconjecture quant à la convergence de la suite.

2. Étudier la convergence de la suite (un) (pour a 6= 0 arbitraire).

Exercice 5.4 Étudier la convergence de la suite de terme général

(1) un =n

(1+ni)2 (2) un =1+2in1+ni

,

(3) un =einθ

n2 + icosn,θ ∈ R (4) un = (−1)n n+1

n−3i

(5) un =

(1+ i2− i

)n

et, le cas échéant, déterminer sa limite. (Le (3) est extraite d’un contrôle continu de 2011/2012.)

Propriétés des suites complexesExercice 5.5 Soit u une suite complexe.

1. Montrer que u est bornée si et seulement si les suites réelles Re(u) et Im(u) sont bornées.2. Montrer que si u converge alors u est bornée.

Exercice 5.6 Montrer qu’une suite complexe u est convergente si et seulement si les suitesréelles Re(u) et Im(u) sont convergentes.

Exercice 5.7 Soient u et v deux suites complexes et λ ∈ C. Montrer que1. si u converge vers ` alors λu converge vers λ`,

5.4 Exercices 79

2. si u converge vers ` et v converge vers `′ alors u+ v converge vers `+ `′ et uv tend vers``′.

(On peut se ramener au cas réel en utilisant la proposition 5.2.4.)

Exercice 5.8 Soit u une suite complexe qui converge vers ` ∈ C.1. Est-ce que u converge vers `? Réciproque?2. Est-ce que |u| converge vers |`|? Réciproque?

Exercice 5.9 Frai ou faux : si θ < 0 alors la suite einθ tend vers 0?

Exercices supplémentairesExercice 5.10 Soit θ ∈ [0,2π[. Le but de l’exercice est de montrer que la suite w = (einθ )n∈Nconverge pour θ = 0 et diverge sinon. La méthode utilisée est une adaptation de celle del’exercice 2.17.

1. Vérifier que la suite u converge pour θ = 0.On suppose maintenant que θ ∈]0,2π[ et on veut montrer que la suite w diverge.

2. Dire pourquoi il est suffisant de montrer que la suite u = (cos(nθ))n∈N diverge.Supposons pour arriver à une contradiction que la suite u converge et notons sa limite par `.

3. Démontrer les relations

cos((n+1)θ)− cos((n−1)θ) =−2sin(nθ)sin(θ) (i)

cos((n+1)θ) = cos(nθ)cos(θ)− sin(nθ)sin(θ) (ii)

4. Déduire de (i) que la suite v = (sin(nθ))n∈N converge et que sa limite est 0.5. Déduire de (ii) qu’on aurait alors `= 0.6. Montrer qu’on arriverait alors à une contradiction.

Exercice 5.11 En imitant les définitions données dans la section 1.6 pour les sous-ensemblesde R, proposez pour un sous-ensemble S de C une définition de ce que signifie d’être ouvert,fermé, borné, compact et donner une définition de l’adhérence de S.


0.97 0.98 0.99 1 1.01

0.985

0.99

0.995

1

1.005

1.01cercle de centre 1 +i et rayon 0.01u9

u10

u22

FIGURE 5.1 – La suite un = 1+ i+n−32(cos(nπ

10

)+ i(sin(nπ

10 )), pour n = 9, . . . ,100

0.98 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015

0.985

0.99

0.995

1

1.005

u10

u11

FIGURE 5.2 – La suite un = 1+ i+n−32(cos(nπ

8

)+ i(sin(nπ

10 )), pour n = 10, . . . ,100

5.4 Exercices 81

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

u0

u1

FIGURE 5.3 – La suite (qn)50n=0, pour q = 9

10 eπi6 .

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

u0

u25

FIGURE 5.4 – La suite (qn)25n=0, pour q = 1.1 · e πi

4 .


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

FIGURE 5.5 – La suite (qn)16n=0, pour q = e

πi8 .

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

FIGURE 5.6 – La suite (qn)120n=0, pour q = eπi

√2.

6. Limites de suites et limites de fonctions

6.1 Utilisation des fonctions continuesLimite d’une fonction

Définition 6.1.1 Soient I un intervalle, f : I→R une fonction définie sur I, a ∈ I et ` ∈R. Direque f a pour limite ` en a signifie que

∀ε > 0,∃δ > 0,∀x ∈ I, |x−a|< δ ⇒ | f (x)− `|< ε.

On dit aussi que f tend vers ` lorsque x tend vers a et on écrit

`= limx→a

f (x).

On va aussi dire que f admet une limite en a s’il existe ` ∈ R tel que f a pour limite ` en a.

Remarque 1. Avec les notations de la définition, on peut dire que ` est la limite de f en a carla proposition 6.1.2 établit que si une limite existe elle est unique. Ceci justifie la notation`= lim

x→af (x).

2. D’une façon moins formelle (mais moins précise) : f a pour limite ` en a si les valeurs f (x)sont arbitrairement proches de ` quand x est suffisamment proche de a, ou encore qu’unintervalle ouvert arbitrairement petit centré en ` contient tous les f (x) dès que x est dans unintervalle ouvert centré en a suffisamment petit.

3. Pour la définition on s’est restreint aux fonctions définies sur un intervalle I. On pourraitutiliser la même définition en remplaçant I par un sous-ensemble quelconque S de R. Pour cecours on ne considère que les fonctions qui sont définies sur un intervalle, ou éventuellementsur l’union de plusieurs intervalles.

4. Comme pour la définition 2.2.1 d’une suite convergente et la définition 4.1.1 d’une suite quitend vers +∞ ou−∞, on peut remplacer les inégalités strictes |x−a|< δ et/ou | f (x)−`|< ε

par les inégalités larges |x−a| ≤ δ et/ou | f (x)− `| ≤ ε .5. On rappelle qu’une suite est un cas particulier d’une fonction. Si on compare la définition 2.2.1

de la convergence d’une suite avec la définition 6.1.1 de la convergence d’une fonction, on

84 Chapitre 6. Limites de suites et limites de fonctions

voit qu’on a remplacé « n tend vers +∞ » par « x tend vers ` », ce qui se traduit par unremplacement de la condition « n≥ N » par « |x−a|< δ ». En utilisant la terminologie dela remarque qui suit la définition 4.1.1 on a remplacé la condition « n est dans un voisinageouvert de +∞ » par la condition « x est dans un voisinage ouvert de a ».

6. Comme exemple de ce qu’on vient de dire, on peut comparer la démonstration de l’unicité dela limite d’une suite (proposition 2.3.1) avec la démonstration de l’unicité de la limite d’unefonction (proposition suivante).

Proposition 6.1.2 Soient I un intervalle, f : I→R une fonction définie sur I, a ∈ I et `1, `2 ∈R.Si f a pour limite `1 et `2 en a alors `1 = `2.

Preuve. Supposons pour arriver a une contradiction que ` 6= `′. Pour ε = |`1− `2|/2 (qui eststrictement positif) on peut trouver δ1,δ2 > 0 tel que

|x−a|< δ1 ⇒ | f (x)− `1|< ε,

|x−a|< δ2 ⇒ | f (x)− `2|< ε.

On déduit que si |x−a|< min{δ1,δ2}, alors

2ε = |`1− `2|= |`1−un +un− `2| ≤ |`1−un|+ |un− `2|< 2ε.

Comme ε > 0 on a une contradiction. �

Remarque Comme on l’a déjà remarqué, la démonstration précédente sur l’unicité de la limited’une fonction est une « traduction » de la démonstration de la proposition 2.3.1 sur l’unicité de lalimite d’une suite convergente. On peut de cette manière « traduire » les résultats sur la somme,produit et quotient de suites convergentes pour obtenir des résultats analogues à ceux obtenus plushaut pour les limites de suites. Comme ces résultats, bien que importants, ne sont pas l’objet de cecours et ne seront pas utilisés, ils sont donnés comme exercices dans la section 6.5. (Ils seront parcontre étudiés dans le module Analyse 3).

Proposition 6.1.3 Soient I un intervalle, f : I→ R une fonction et a ∈ I. Si f admet une limite` en a alors on a `= f (a).

Preuve. Supposons pour arriver a une contradiction que ` 6= f (a), alors ε = | f (a)− `| > 0. Onpeut alors trouver un δ > 0 tel que ∀x ∈ I, |x− a| < δ implique que | f (x)− `| < ε . En prenantx = a on obtient | f (a)− `|< ε qui contredit le fait que ε = | f (a)− l|. �

Exemple La fonction f : R→ R définie par

f (x) :=

{0 si x 6= 01 si x = 0

.

n’admet pas de limite en 0. (Voir exercice 6.2.)

Fonction continueDéfinition 6.1.4 — Fonction continue. Soient I un intervalle réel et f : I→ R une fonction.

1. Soit a ∈ I. On dit que f est continue en a si f admet une limite en a (et celle-ci est alorsnécessairement f (a) :

limx→a

f (x) = f (a)).

6.1 Utilisation des fonctions continues 85

2. On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

Limite de suites et limite de fonctions

Proposition 6.1.5 Soient I un intervalle, f : I→ R une fonction et a ∈ I. Si u = (un) est unesuite à valeurs dans I qui converge vers a et si f a une limite ` en a alors la suite f ◦u =

(f (un)

)converge vers ` :

limn→+∞

un = a

limx→a

f (x) = `

}⇒ lim

n→+∞f (un) = `.

Preuve. Soit ε > 0. Par hypothèse, il existe δ > 0 tel que

∀x ∈ I, (|x−a|< δ ⇒ | f (x)− `|< ε) .

Pour ce δ > 0, l’hypothèse « limn→+∞

un = a » permet de choisir un entier N tel que :

∀n≥ N, |un−a|< δ .

On a trouvé N ∈ N tel que∀n≥ N, | f (un)− `|< ε .

Ceci pour ε > 0 arbitraire. D’où le résultat. �

Remarque La proposition 2.4.5 implique que dans l’énoncé de 6.1.5, l’hypothèse que a ∈ I est enfait une conséquence du fait que u converge vers a et est à valeurs dans I.

La proposition 6.1.5 admet une réciproque :

Proposition 6.1.6 — Les limites de fonctions se testent avec des suites. Soient I un inter-valle de R, a ∈ I, f : I→ R une fonction, et ` ∈ R.

Si pour toute suite (un)n∈N à valeurs dans I telle que limn→+∞

un = a, on a limn→+∞

f (un) = `, alors

on a limx→a

f (x) = `.

Preuve. On montre la proposition contraposée de celle annoncée. Supposons donc que f ne tendpas vers ` en a. Nous allons construire une suite (un)n∈N qui converge vers a, mais telle que ( f (un))ne converge pas vers `. L’hypothèse sur f nous dit qu’il existe ε0 > 0 tel que pour tout δ > 0, ilexiste x ∈ I (qui dépend de δ ) tel que

|x−a|< δ et | f (x)− `| ≥ ε0.

Pour tout n ∈ N on utilise la propriété précédente avec δ = 1n+1 et on note le x correspondant par

un, donc on obtient :

∀n ∈ N, ∃un |un−a|< 1n+1

et | f (un)− `| ≥ ε0.

La suite (un) converge donc vers a, mais la suite (| f (un)− `|) ne tend pas vers 0 (elle est minoréepar ε0 > 0), donc ( f (un)) ne tend pas vers `. �

On peut utiliser cette proposition pour établir, ∀n ∈ N\{0}, la continuité de la fonction x 7→ xn

sur R (exercice 6.4) ainsi que des polynômes et des fractions rationnelles sur leur domaine dedéfinition.

En supposant que a ∈ I dans la notation de 6.1.5 et 6.1.6 on obtient :


Corollaire 6.1.7 Soient I un intervalle, f : I→ R une fonction et a ∈ I. Alors les deux énoncéssuivants sont équivalents :

1. f est continue en a.2. Pour toute suite (un)n∈N à valeurs dans I telle que lim

n→+∞un = a, on a lim

n→+∞f (un) = f (a).

Preuve. (⇒) : Si f est continue en a alors limx→a f (x) = f (a). Donc si u est une suite tel quelimn→+∞ un = a alors 6.1.5 implique que lim

n→+∞f (un) = f (a).

(⇐) : 6.1.6 implique que limx→a

f (x) = f (a), donc f est continue en a. �

Exemple On a limn→+∞

(1+ 1

n

)= 1. Comme ln est continue en 1 on a lim

n→+∞ln(1+ 1

n) = ln(1) = 0.

6.2 Généralisation : limites de fonctions, infinies ou à l’infiniIntervalles dans R

La notion d’intervalle se généralise de façon évidente à R : outre les intervalles de R, on disposemaintenant des intervalles [a,+∞], [−∞,a[, etc. Nous utiliserons surtout ces intervalles dans lecontexte suivant : partant d’un intervalle I de R, on a déjà défini I en ajoutant à I ses extrémités dansR. Nous noterons I la réunion de I et de ses extrémités dans R, donc éventuellement infinies. Parexemple, si I = ]0,+∞[, alors I = [0,+∞[ et I = [0,+∞]. Ce sera commode pour énoncer ci-dessousdes propriétés de « passage à la limite » dans I, sans avoir à distinguer à chaque fois entre les limitesfinies et infinies.

Limite de fonctions dans RDéfinition 6.2.1 Soit I un intervalle de R, f : I→ R une fonction définie sur I, a ∈ I et L ∈ R.Dire que f (x) a pour limite L quand x tend vers a signifie, suivant les cas :

— Cas a ∈ R et L =+∞ ( f tend vers +∞ si x tend vers a ∈ R) :« f (x) est arbitrairement grand quand x est suffisamment proche de a », soit

∀M > 0,∃δ > 0,∀x ∈ I, |x−a|< α ⇒ f (x)> M.

— Cas a =+∞ et L ∈ R ( f tend vers l ∈ R si x tend vers +∞)« f (x) est arbitrairement proche de L quand x est suffisamment grand », soit

∀ε > 0,∃A > 0,∀x ∈ I, x > A⇒ | f (x)−L|< ε.

— Cas `=+∞ et L =+∞ ( f tend vers +∞ si x tend vers +∞)« f (x) est arbitrairement grand quand x est suffisamment grand », soit

∀M > 0,∃A > 0,∀x ∈ I, x > A⇒ f (x)> M.

On a des définitions analogues en remplaçant +∞ par −∞.

Remarque Dans tous les cas, si f (x) admet une limite L quand x tend vers a, on peut montrer quecette limite est unique et ceci justifie la notation lim

x→af (x) = L.

La proposition 6.1.5 se généralise (avec une démonstration analogue), ainsi que sa réciproque6.1.6 :

6.3 Exemples 87

Proposition 6.2.2 Soit I un intervalle, f : I→ R une fonction définie sur I, a ∈ I et L ∈ R.1. Soit (un) une suite à valeurs dans I. On suppose que lim

n→+∞un = a et que lim

x→af (x) = L.

Alors limn→+∞

f (un) = L.

2. Réciproquement, supposons que pour toute suite u : N→ I ayant pour limite a, on aitlim

n→+∞f (un) = L. Alors f a pour limite L en a. �

6.3 ExemplesOn donne dans cette section des résultats qui pourront être utilisés pour faire les exercices. Ils

ne seront pas utilisés dans le cours. On admet donc que :1. les fonctions sin, cos, et la fonction exponentielle sont continues sur R ;2. La fonction logarithme est continue sur R∗+ ;On admet également les limites suivantes :

limx→0,x 6=0

sinxx

= 1 limx→0,x 6=0

ln(1+ x)x

= 1 limx→+∞

lnxx

= 0

limx→+∞

ex

x=+∞ lim

x→0

ex−1x

= 1

Remarque Pour se rappeler de ces limites on peut utiliser la règle de l’Hôpital ou (mieux) undéveloppement limité.

Exemple limx→+∞

lnxx

= 0, donc limn→+∞

lnnn

= 0. De même, limn→+∞

expnn

=+∞.

Fonctions puissancesSoit α ∈R. Pour tout x ∈R∗+, on définit xα = exp(α lnx). En utilisant les limites des fonctions

ln et exp à l’infini, on obtient :

limn→+∞

nα =

1 si α = 0,+∞, si α > 00, si α < 0.

Ceci généralise les propositions 2.2.2 (2) et 4.1.2 (1).

Comparaison des exponentielles et des puissances

Proposition 6.3.1 Soit q ∈ R+ et α ∈ R, alors

1. Si q > 1, on a limn→+∞

qn

nα=+∞.

2. Si 0≤ q < 1, alors limn→+∞

qnnα = 0.

Preuve. Quitte à remplacer α par −α le terme général de la suite (1) et (2) est nαqn.

nαqn = exp[α lnn] · exp[n lnq] = exp[α lnn+n lnq] = exp[n(αlnnn

+ lnq)].

En utilisant limn→+∞

lnnn = 0, on obtient le résultat. �

Remarque Ceci généralise la proposition 4.7.3 : Si α ∈ R et q ∈ R+,q 6= 1, les suites (nαqn) et(qn) ont même limite éventuelle.


Proposition 6.3.2 Pour tout réel x, on a

limn→+∞

(1+

xn

)n= ex.

Preuve. Pour x = 0 le résultat est trivial. Supposons donc que x 6= 0 (x fixé) et posons pour toutn ∈ N\{0}, un :=

(1+ x

n

)n.Pour que ln(un) soit définie on suppose que n > |x|. On peut alors poser vn = n ln

(1+ x

n

)ce

qui nous donne un = evn .Pour déterminer la limite de la suite (vn) posons hn := x

n . On a alors

vn = n ln(1+hn) = xln(1+hn)

hn.

Comme limx→0

ln(1+x)x = 1 et lim

n→+∞hn = 0 on déduit (proposition 6.1.5) que lim

n→+∞

ln(1+hn)hn

= 1, donc

limn→+∞

vn = x.

La continuité de l’exponentielle nous donne alors (proposition 6.1.7) limn→+∞

un = limn→+∞

evn =

ex. �

6.4 Théorème des valeurs intermédiaires

Comme application du critère des suites adjacentes, on montre le

Théoreme 6.4.1 — Théorème des valeurs intermédiaires. Soient I = [a,b] un intervalleavec a < b et f : I→ R une fonction continue. Si f (a) f (b)< 0, alors il existe ξ ∈]a,b[, tel quef (ξ ) = 0.

Preuve. Supposons que f (a)< 0 et f (b)> 0 (sinon on remplace f par − f ).Analyse. Supposons que le théorème soit vrai, donc on sait que l’intervalle ]a,b[ contient une

solution de f (x) = 0. Soit c le milieu de l’intervalle ]a,b[, donc c = (b−a)/2. Si jamais f (c) = 0on a gagné. Sinon on a deux cas. Si f (c)< 0 on peut appliquer le théorème sur l’intervalle ]c,b[ :Comme f (c)< 0 et f (b)> 0, l’intervalle ]c,b[ contient une solution de f (x) = 0. Si f (c)> 0 onpeut appliquer le théorème sur l’intervalle ]a,c[ : comme f (a)< 0 et f (c)> 0, l’intervalle ]a,c[contient une solution de f (x) = 0. Dans les deux cas on a trouvé un intervalle de longueur la moitiéde celle de ]a,b[ qui contient une solution de f (x) = 0. Appelons cet intervalle ]a1,b1[.

Notons qu’on a f (a1)< 0 et f (b1)> 0 donc on peut appliquer la même procédure à l’intervalle]a1,b1[ pour obtenir un intervalle ]a2,b2[ qui contient une solution de f (x) = 0 et dont la longueurest la moitié de celle de ]a1,b1[, donc un quart de celle de ]a,b[.

En itérant ce procédé on obtient une suite d’intervalles emboîtés ]an,bn[ qui contiennent unesolution de f (x) = 0. Ce qu’on va montrer est que les deux suites (an) et (bn) sont des suitesadjacentes et que leur limite commune est une solution de f (x) = 0.

Synthèse. On construit par récurrence deux suites a = (an)n≥0 et b = (bn)n≥0 à valeur dans Itelles que

∀n ∈ N, f (an)≤ 0 < f (bn) (∗).

Pour n = 0, on pose a0 = a et b0 = b. Supposons qu’on ait construit pour un n ∈N, an ∈ I et bn ∈ Itels que f (an)≤ 0 < f (bn). On pose cn =

an+bn2 ∈ I et on considère deux cas :

Cas 1 : si f (cn)≤ 0 alors on pose an+1 = cn et bn+1 = bn. On a alors

f (an+1) = f (cn)≤ 0 < f (bn) = f (bn+1).

6.4 Théorème des valeurs intermédiaires 89

Cas 2 : si f (cn)> 0 alors on pose an+1 = an et bn+1 = cn. On a alors

f (an+1) = f (an)≤ 0 < f (cn) = f (bn+1).

Donc on a dans les deux cas f (an+1) ≤ 0 < f (bn+1) et la suite est définie au rang n+ 1. On vamontrer que les deux suites a = (an)n≥0 et b = (bn)n≥0 sont adjacentes.

Pour tout n∈N, an < bn, donc cn est le milieu de l’intervalle [an,bn], en particulier an < cn < bn.Dans le cas 1, on a an < cn = an+1 et bn+1 = bn, et dans le cas 2, on a an = an+1 et bn+1 = cn < bn.La suite a est donc croissante et la suite b est décroissante. Comme l’intervalle [an+1,bn+1] est dans

les deux cas une des deux moitiés de l’intervalle [an,bn] on a bn+1−an+1 =bn−an

2. Il est facile

de montrer (par récurrence) que

bn−an =12n (b0−a0), donc lim

n→+∞(bn−an) = 0.

On sait donc (a est croissante et b est décroissante) que les deux suites a et b sont adjacentes.D’après le théorème 3.2.2 elles convergent vers une même limite qu’on note par `.

Il suffit alors de montrer que f (l) = 0 : comme f est continue en l ∈]a,b] on a

limn→+∞

f (an) = limn→+∞

f (bn) = f (l).

D’après (*) on a ∀n ∈ N, f (an)≤ 0, donc la proposition 2.4.2 implique que f (l)≤ 0. De même,f (bn)> 0 implique que f (l)≥ 0. On déduite que f (l) = 0. On pose ξ = ` et on a bien ξ ∈]a,b[(car f (ξ ) = 0 6= f (a), f (b)), et f (ξ ) = 0, ce qu’il fallait démontrer.

�

Remarque Si aux hypothèses du théorème 6.4.1, on rajoute que f est strictement monotone surI alors le c du théorème est unique. Pour le voir supposons qu’on a deux solutions distinctes :c1,c2 ∈]a,b[ tel que c1 < c2 et f (c1) = f (c2) = 0. La monotonie de f implique que f (c1)< f (c2)(ou le contraire), ce qui est impossible.

Remarque 1. La méthode que nous avons employée pour démontrer le théorème des va-leurs intermédiaires s’appelle dichotomie (« couper en deux »). Voir la remarque qui suit laproposition 3.3.1 sur l’existence de la racine n-ième.

2. La proposition 3.3.1 sur l’existence d’une racine N-ième est un cas particulier du théorèmedes valeurs intermédiaires et les démonstrations qu’on a donnés pour ces deux résultats sontsimilaires. Notons qu’on a utilisé dans la démonstration de la proposition 3.3.1 la continuitéde la fonction x→ xN d’une façon implicite. Savez-vous où?

3. On peut obtenir la proposition 3.3.1 de l’existence d’une racine N-ième comme corollaire duthéorème des valeurs intermédiaires :

Corollaire 6.4.2 Soient N ∈ N, N ≥ 2 et x0 ∈]0,+∞[, alors il existe un unique réel r tel querN = x0.

Preuve. Unicité : voir la démonstration de la proposition 3.3.1.Existence : pour x0 fixé on considère la la fonction f :]0,+∞[→ R par x 7→ xN − x0. Dans

la démonstration de la proposition 3.3.1, on a montré l’existence d’un B ∈ N qui vérifie BN > x0,ce qui veut dire que f (B) > 0. On a f (0) < 0. La fonction x 7→ xN est continue sur R (voir parexemple l’exercice 6.4) et donc f est continue sur R. On peut donc appliquer le théorème desvaleurs intermédiaires (6.4.1) à la restriction de f à l’intervalle [0,B] pour conclure. �


6.5 Complément : quelques propriétés des limites de fonctions

La notion de limite d’une fonction est étudiée en détail dans le module Analyse 3. Nous donnonsquand même dans cette section quelques propriétés des limites de fonctions. Les démonstrationssont laissées comme exercices. Les démonstrations sont souvent une adaptation directe d’un résultatsimilaire concernant les limites de suites.

Proposition 6.5.1 Soient I un intervalle, f ,g : I→R des fonctions définies sur I, a ∈ I et ` et `′

des réels. Alors :1. Si f tend vers ` et g tend vers `′ en a, alors f +g tend vers `+ `′ en a.2. Si f tend vers ` et g tend vers `′ en a, alors f g tend vers ``′ en a.3. Si f converge vers ` 6= 0 alors f (x) 6= 0 « pour tout x ∈ I assez proche de a », c’est-à-dire

qu’il existe un intervalle ouvert J centré en a tel que f ne s’annule pas sur I ∩ J et lafonction 1/ f (qui est définie sur I∩ J) tend vers 1/` en a. (Noter que l’on a a ∈ I∩ J, desorte que cette assertion a un sens).

4. (Théorème des gendarmes) Soit h : I→ R une fonction qui vérifie f ≤ h≤ g. Si f et gtendent vers la même limite ` ∈ R en a, alors h tend vers ` en a.


Le résultat suivant sur la composition des limites n’a pas d’analogue pour les suites :

Proposition 6.5.2 Soit f : I→ J une fonction réelle définie sur un intervalle I à valeurs dans unintervalle J et g : J→ R une fonction définie sur J. Soient a ∈ I et b ∈ J. Si f a comme limite ben a et si g a comme limite l en b, alors la fonction composée g◦ f a comme limite l en a :

limx→a

f (x) = b

limy→b

g(y) = `

⇒ limx→a

g( f (x)) = `.


Proposition 6.5.3 1. La somme, les combinaisons linéaires, le produit, le quotient (si ledénominateur ne s’annule pas) et la composition de deux fonctions continues sur I sontdes fonctions continues sur I.

2. Les polynômes sont continus sur R, ainsi que les fractions rationnelles sur leur domainede définition.

Preuve. Exercice. Pour (1) on peut utiliser la proposition 6.5.1. On pourrait aussi utiliser les suites(voir exercice 6.4). Pour (2) on peut utiliser (1) �

6.6 Complément : remarque sur la définition des limites de fonctions

La définition 6.1.1 dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I a pour limite ` en un pointa ∈ I si

∀ε > 0,∃δ > 0,∀x ∈ I, |x−a|< δ ⇒ | f (x)− `|< ε. (∗)

Certains ouvrages donnent une définition différente d’une limite en donnant la condition

∀ε > 0,∃δ > 0,∀x ∈ I \{a}, |x−a|< δ ⇒ | f (x)− `|< ε. (∗∗)

Bien sur, si a 6∈ I ces deux définitions sont équivalentes, mais au cas ou a ∈ I il y a une différence :

6.6 Complément : remarque sur la définition des limites de fonctions 91

1. Dire que f admet une limite en un point a ∈ I au sens de la définition (∗) est équivalent à direque f admet une limite au point a ∈ I au sens de la définition (∗∗) et que cette limite vautf (a). En effet, la proposition 6.1.3 montre que si la limite en a existe au sens de la définition(∗) alors cette limite ne peut être que f (a). Si on adopte la définition (∗∗) on peut avoir unefonction f dont la limite en a existe mais est différente de f (a) comme le montre l’exemplesuivant :

2. Soit f : R→ R la fonction définie par

f (x) :=

{0 si x 6= 01 si x = 0

.

de l’exercice 6.2. On a vu que, avec notre définition (∗), la limite n’existe pas en 0. Si parcontre on avait adopté la définition (∗∗) alors on aurait dit que la limite existe et est égale à 0.

3. Pour que la définition de la continuité d’une fonction f : I→R en un point a∈ I soit indépen-dante du choix de la définition de la limite d’une fonction, il faut modifier la définition 6.1.4 :une fonction f est continue en a si f admet une limite en a et si cette limite est f (a).

4. Considérons encore une fois la fonction de l’exercice 6.2 qui n’est pas continue en 0. Si onutilise la définition (∗) on dit qu’elle n’est pas continue en 0 car la limite en 0 n’existe pas etsi on utilise la définition (∗∗) on dit qu’elle n’est pas continue en 0 car bien que la limite en 0existe, cette limite ne vaut pas f (0).

5. Pour que les résultats énoncés dans ce chapitre restent valides, il faut remplacer une hypothèsecomme « f a une limite ` en a ∈ I » par « f a une limite ` en a ∈ I et si a ∈ I cette limite estf (a) » (c’est-à-dire que f est continue en a).


6.7 Exercices

Exercice 6.1 Soient I un intervalle, f : I→ R une fonction définie sur I, a ∈ I et ` ∈ R. Direce que signifie que f ne tend pas vers ` lorsque x tend vers a. Dire ce que signifie que f n’admetpas de limite en a.

Exercice 6.2 Montrer que la fonction f : R→ R définie par

f (x) :=

{0 si x 6= 01 si x = 0

.

n’admet pas de limite en 0.

Exercice 6.3 1. Montrer en utilisant une étude de fonction que ln(x)≤ x pour x > 0.2. En déduire que ln(x)≤ 2

√x, pour x≥ 1.

3. En déduire que limx→+∞

ln(x)x

= 0.

4. En déduire que limn→+∞

ln(n)n

= 0 et limn→+∞

nen = 0.

Exercice 6.41. Montrer en utilisant une propriété des suites convergentes du chapitre 2 que si la suite

(un) converge vers un réel ` alors la suite (u2n) converge vers `2.

2. En déduire que la fonction f2 : R→ R définie par x 7→ x2 est continue.3. Montrer avec la même méthode que pour tout N ∈N\{0} la fonction fN : R→R définie

par x 7→ xN est continue.(La même méthode montre que les polynômes sont continues sur R ainsi que les fractionsrationnelles sur leur domaine de définition.)

Exercice 6.5 Soit a ≥ 0. Étudier (en utilisant le logarithme) la convergence de la suite (un)définie par :

(a) ∀n ∈ N\{0}, un = a1n ; (b) ∀n ∈ N\{0}, un = n

1n .

Exercice 6.6 Étudier la convergence de la suite (un) définie pour tout n ∈ N, n≥ 2 par :

(1) un =nn

en (2) un =(3− sin2(n)

) 1n

(3) un = expn2

−2+ cosn(4) un =

(1+

1n

)n

(5) un = (3n + en)1n (6) un = cos

2n

n!;

(7) un = (ln(n))1n (8) un = cos(n) sin

((−1)n√

n

)

(9) un =n3 +3n

5n +n lnn(10) un =

(1+ e−n)n2

6.7 Exercices 93

Exercice 6.7 Soit α un réel > 0. Trouver en fonction de α la limite éventuelle de la suite determe général

un =

(1+

1nα

)n

.

Exercice 6.8 Soit u une suite réelle quelconque. Montrer que les suites (an), (bn) et (cn)définies pour n≥ 1 par

an = un ln(

1+1n

), bn =

un

n, cn = un sin

(1n

)ont même limite éventuelle.

Exercice 6.9 Soit u une suite réelle strictement positive qui converge vers 0, et soit f :]0;+∞[→R une fonction vérifiant limx→0 f (x) = +∞. Montrer « à la main » (c’est-à-dire à partir desdéfinitions) que limn→+∞ f (un) = +∞.

Vrai ou fauxExercice 6.10 Décider pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux. Justifier votre réponse par uncourt argument ou un contre exemple.

1. La suite (un) définie par

∀n ∈ N\{0}, un =

(1− 1

n

)n

tend vers 1.2. (Extrait d’un examen de 2011/2012.) Soit (un)n∈N une suite à valeurs dans [0, 9

10 ], alors lasuite (un

n)n∈N converge vers 0.3. (Extrait d’un examen de 2011/2012.) Soit (un)n∈N une suite à valeurs dans [0,1[, alors la

suite (unn)n∈N converge vers 0.

4. Soit f : R→ R une fonction quelconque qui vérifie f (0) = 1. Si (un) est une suite quitend vers 0 alors la suite ( f (un)) tend vers 1.

5. Soit (un) une suite qui tend vers 0 alors la suite (eun) tend vers 1.6. La fonction f : R∗→ R définie par

f (x) :=

{1 si x > 0−1 si x < 0

est continue sur R∗.

Exercices supplémentairesExercice 6.11 Soit f une fonction réelle définie sur R+. On suppose que la fonction f (x)sin(x)a une limite (finie ou infinie) lorsque x tend vers +∞.

1. Montrer que cette limite est nulle.2. Peut-on en déduire que f tend vers 0 en +∞ ?3. Même question en supposant f continue.4. Même question en supposant que f a une limite (finie ou infinie) en +∞.

(Suggestion : utiliser des suites).

Exercice 6.12 Soient I un intervalle, f ,g : I→ R des fonctions définies sur I, a ∈ I et ` et `′

des réels. Alors :


1. Si f tend vers ` et g tend vers `′ en a alors f +g tend vers `+ `′ en a.2. Si f tend vers ` et g tend vers `′ en a alors f g tend vers ``′ en a.3. (Théorème des gendarmes) Soit h : I→ R une fonction qui vérifie f ≤ h≤ g. Si f et g

tendent vers la même limite ` ∈ R en a, alors h tend vers ` en a.

7. Suites définies par une formule de récurrence

7.1 Motivation : méthode de NewtonLa méthode de Newton que nous allons traiter brièvement dans cette section va nous servir à

illustrer le thème de ce chapitre : les suites définies par une formule de récurrence. Afin d’expliquercette méthode, nous aurons besoin des notions de dérivée d’une fonction et de tangente à sa courbereprésentative. Nous n’en donnerons pas de définition car celles-ci ne seront pas utilisée par la suite.

Nous voulons calculer une valeur décimale approchée d’une solution ` d’une équation g(x) = 0où g : J→ R est une fonction définie sur un intervalle J. Par exemple, afin de calculer une valeurdécimale approchée de

√2, on peut considérer la fonction g : R→ R donnée par g(x) = x2−2

pour tout réel x > 0. On utilise le théorème des valeurs intermédiaires (6.4.1) pour localiser unesolution : on a g(1) = −1 < 0 et g(2) = 2 > 0, donc l’intervalle ]1,2[ contient une solution deg(x) = 0.

La méthode de Newton utilise une suite récurrente (un) obtenue par « linéarisation » de lafaçon suivante : On choisit un u0 ∈ I. Puis pour calculer un+1 en fonction de un, on considère latangente à la courbe représentative de g au point (un,g(un)) ; un+1 est alors l’abscisse du pointd’intersection de cette tangente avec l’axe des x. Comme l’équation de la tangente en (un,g(un))est y−g(un) = g′(un)(x−un), on obtient y = 0 si

x = un−g(un)

g′(un),

d’où la relation

un+1 = un−g(un)

g′(un).

Posons f (x) = x− g(x)g′(x) . On dit que la suite (un) est donnée par le choix d’un point initial (u0) et la

formule de récurrence un+1 = f (un), pour tout n ∈ N.

Exemple Dans l’exemple ci-dessus on a g(x) = x2−2 et I = [1,2]. La relation de récurrence quel’on obtient est donnée par la fonction

f (x) =12

(x+

2x

).

96 Chapitre 7. Suites définies par une formule de récurrence

On obtient donc une suite u définie par u0 = 1 (par exemple) et

un+1 =12

(un +

2un

)L’étude de cette suite, qui est aussi connue sous le nom de suite de Héron, est proposé dansl’exercice 7.9.

7.2 Intervalles stables, points fixesNotre but, dans le chapitre 7, est l’étude de suites qui sont données par une condition initiale

sur u0 et une relation∀n ∈ N, un+1 = f (un)

où f est une fonction de R dans R (ou de C dans C).La première question est de savoir si une telle relation définit bien une suite, c’est-à-dire définit

un pour tout n ∈ N. Ce n’est pas toujours le cas comme le montre l’exemple suivant :

Exemple Les relations u0 = 2 et la relation de récurrence ∀n ∈ N, un+1 = 1/(un− 1) ne définitpas une suite. On obtient u1 = 1, donc u2 n’est pas définie.

Intervalles stablesDéfinition 7.2.1 Soit I ⊂ R un intervalle contenu dans le domaine de définition d’une fonctionf réelle (donc f est définie pour tout x ∈ I). On dit que I est un intervalle stable par f si on af (x) ∈ I pour tout x ∈ I.

Remarque Dire que I est un intervalle stable par f signifie tout simplement que f définit (parrestriction) une application de I dans I. On pourrait remplacer I par un sous-ensemble quelconquede R, mais pour les applications, nous n’aurons besoin que d’intervalles stables par f .

Exemple 1. Soit f : R+→R la fonction définie par f (x) =√

3x, pour tout x ∈R+. 0 < x < 3implique que 0 < 3x < 9, donc 0 <

√3x <

√9 = 3 (proposition 1.2.5), donc ]0,3[ est un

intervalle stable par f . Notons qu’on peut même montrer que f (]0,3[) = ]0,3[, mais celan’est pas nécessaire pour nos besoins. Les intervalles [0,3[, ]0,3] et [0,3] sont aussi desintervalles stables. De même, [3,+∞[ et ]3,+∞[ sont des intervalles stables. Les intervalles[0,0] = {0} et [3,3] = {3} sont aussi stables puisque f (0) = 0 et f (3) = 3 mais on parleraalors plutôt de points fixes de f (voir définition 7.2.3).

2. Soit f : R→R la fonction définie par f (x) = x−x2, pour tout x∈R. Le tableau de variationsmontre que f est croissante sur [0,1/2], décroissante sur [1/2,1] avec f (0) = f (1) = 0 etf (1/2) = 1/4, donc f ([0,1]) = [0,1/4]⊂ [0,1], donc [0,1] est un intervalle stable par f .

Proposition 7.2.2 Soient I un intervalle de R, f une application de I dans I, et a un élément de I.Il existe alors une et une seule suite u : N→ I à valeurs dans I vérifiant les conditions suivantes :

1. u0 = a ;2. ∀n ∈ N, un+1 = f (un).

On dit alors que (un) est définie par récurrence par les conditions 1 et 2.

Preuve. L’unicité est facile à montrer : si (un)n∈N et (u′n)n∈N vérifient les conditions voulues, alorson voit tout de suite, par récurrence sur p, que up = u′p pour tout p.

Esquissons la preuve de l’existence, qui est un peu plus subtile qu’il n’y paraît. Pour chaqueentier p ∈ N, notons Σp l’ensemble des « solutions partielles de rang p » du problème, c’est-à-dire

7.2 Intervalles stables, points fixes 97

l’ensemble des suites finies s= (s(0), . . . ,s(p)) vérifiant s(0) = a et s(k+1) = f (s(k)) pour tout k <p (ce sont les conditions 1 et 2 limitées aux entiers < p). On montre alors (facilement) par récurrencesur p que Σp a un unique élément, que l’on peut donc nommer, disons sp = (sp(0), . . . ,sp(p)). Deplus, il est clair que pour tout k ≤ p, la suite (sp(0), . . . ,sp(k)) appartient à Σk et est donc égale à(sk(0), . . . ,sk(k)). Autrement dit, sp(k) (qui a un sens dès que p≥ k) est indépendant de p. Si l’onpose un := sn(n) pour tout n ∈ N, on vérifie alors que la suite (un)n∈N vérifie les conditions 1 et 2de l’énoncé. �

Points fixesDéfinition 7.2.3 Soient I un intervalle de R, f : I→ I une application et x0 ∈ I tel que f (x0)= x0.On dit alors que x0 est un point fixe de f .

Proposition 7.2.4 Soient I un intervalle de R, f : I→ I une fonction continue définie sur I eta ∈ I. Soit u : N→ I la suite définie par récurrence par les conditions : u0 = a et un+1 = f (un)pour tout n ∈ N. Si la suite (un) converge vers un réel ` appartenant à I, alors ` est un point fixede f .

Remarque La proposition dit que les seules limites possibles pour (un) sont les points fixes def . Elle ne dit rien sur la convergence de la suite (un). En revanche, on a vu (lemme 2.4.5) que lacondition que ` ∈ I est automatique si I est un intervalle fermé.

Preuve. Supposons que (un) converge vers ` ∈ I. On calcule la limite de la suite (vn) = (un+1)de deux manières différentes : d’une part on a que (vn) = (un+1) est une sous-suite de (un) etdonc converge aussi vers `. D’autre part on observe que (vn) = (un+1) = ( f (un)), et comme f estcontinue en `, le corollaire 6.1.7 implique que lim

n→+∞f (un) = f (`), donc la suite (vn) converge vers

f (`). On a donc bien f (`) = `. �

L’exercice 7.2 a pour objet de montrer que si une fonction f est monotone sur un intervalledont les extrémités sont des points fixes de f alors cet intervalle est stable par f .

Un exemple « type »Exemple (Nous allons utiliser cet exemple plusieurs fois dans ce chapitre.) Soit f : R→ Rla fonction définie par f (x) = −x2 + 2x. Notons que les points fixes de f sont les solutions de0 = f (x)− x =−x2 + x =−x(x−1), donc 0 et 1. Nous allons montrer que l’intervalle I1 = ]0,1[est stable par f :

Version 1 : on peut écrire f (x) =−(x−1)2 +1, donc la courbe représentative est une parabolede sommet (1,1). Ceci implique que f est croissante sur ]−∞,1[ et donc sur I1 (ce qu’on peutaussi voir avec un tableau de variation). Comme on a f (0) = 0 et f (1) = 1 on déduit que I1 est unintervalle stable par f . (voir aussi exercice 7.2.)

Version 2 : tableau de variations.Version 3 : calcul direct.

0 < x < y < 1 ⇒ −1 < x−1 < y−1 < 0⇒ 0 <−(y−1)<−(x−1)< 1⇒ 0 < (y−1)2 < (x−1)2 < 1⇒ −1 <−(x−1)2 <−(y−1)2 < 0⇒ 0 <−(y−1)2 +1 <−(x−1)2 +1 < 1

Nous avons montré que 0 < x < y < 1 implique que 0 < f (x) < f (y) < 1, et donc que f est(strictement) croissant sur I1 = ]0,1[, et que I1 est stable par f .


On montre de même que f est croissant sur I2 = ]−∞,0[ et que I2 est stable par f . On saitalors (proposition 7.2.2) que pour tout choix de u0 ∈ I1 (resp. u0 ∈ I2), la relation de récurrence∀n ∈ N,un+1 = f (un) définit une suite à valeurs dans I1 (resp. I2) et que si la suite converge alorsles seules limites possibles sont 0 et 1 (proposition 7.2.4). Par contre on ne sait encore rien sur laconvergence d’une telle suite.

7.3 Étude d’une suite récurrente

Suite de l’exemple « type » : représentation graphiqueExemple Soient f : R→ R la fonction définie par f (x) = −x2 +2x et u la suite définie par unchoix de point initial u0 ∈ R et la relation de récurrence ∀n ∈ N,un+1 = f (un).

Nous avons déjà remarqué que l’on peut écrire f (x) =−(x−1)2 +1, et que la courbe repré-sentative est donc une parabole de sommet (1,1). Voir figure 7.1 ou on a aussi tracé la droitey = x.

— L’intersection de la courbe représentative de la fonction f et de la droite d’équation y = xdonne les points fixes de f , et donc des limites éventuelles de la suite. La figure 7.1 nous faitconjecturer que les seuls points fixes de f sont x = 0 et x = 1 (déjà établi par un calcul).

— La figure 7.1 nous fait conjecturer que les intervalles ]0,1[ et ]−∞,0[, sont des intervallesstables par f . Nous allons utiliser plus loin la monotonie de f : f est croissante sur ]0,1[ etsur ]−∞,0[ (déjà établi par un calcul).

— La figure 7.2 nous fait conjecturer que si u0 ∈]0,1[ alors la suite u que l’on obtient estcroissante et tend vers 1. (Pour la figure 7.2 on a utilisé u0 = 0,1.)

— La figure 7.3 nous fait conjecturer que si u0 ∈]−∞,0[ alors la suite que l’on obtient estdécroissante et tend vers −∞. (Pour la figure 7.3 on a utilisé u0 =−0,8.)

— La figure 7.4 nous fait conjecturer que si u0 ∈]1,2[, alors u1 = f (u0) ∈]0,1[. La suite seraalors croissante à partir du rang n = 1 et converge vers 1. (Pour la figure 7.4 on a utiliséu0 = 1.8.)

— La figure 7.5 nous fait conjecturer que si u0 ∈]2,+∞[ alors u1 ∈]−∞,0[. La suite sera alorsdécroissante à partir du rang n = 1 et tend vers −∞. (Pour la figure 7.4 on a utilisé u0 = 2.5.)

Cas ou f est monotone

Proposition 7.3.1 Soient I un intervalle et f une application de I dans I. Soit u une suite définiepar un choix de u0 ∈ I et la relation de récurrence ∀n ∈N,un+1 = f (un). Si f est croissante alorsla suite u est monotone. Plus précisément, si u0 ≤ u1 alors u est croissante et si u0 ≥ u1 alors uest décroissante.

Preuve. Considérons le cas u0 ≤ u1 (le cas u0 ≥ u1 est analogue) et démontrons par récurrenceque ∀n ∈ N, l’énoncé un ≤ un+1 (qu’on note par P(n)) est vrai : P(0) est vrai par hypothèse.Supposons que pour un n ∈ N, P(n) est vrai : un ≤ un+1. Le fait que f est croissant implique alorsque f (un) ≤ f (un+1), cet à dire un+1 ≤ un+2 et donc P(n+1) est vrai. On a donc établi (par leprincipe de récurrence) que un ≤ un+1, pour tout n ∈ N, ce qui veut dire que u est croissante. �

Proposition 7.3.2 Soient I un intervalle et f une application de I dans I. Soit u = (un) lasuite définie par un choix de u0 ∈ I et la relation de récurrence ∀n ∈ N,un+1 = f (un). Si f estdécroissante alors une des deux sous-suites des termes d’indice pairs (u2n) et des termes d’indiceimpairs (u2n+1) est croissante et l’autre décroissante. Plus précisément, si u0 ≤ u2 alors (u2n) estcroissante et (u2n+1) décroissante. si u0 ≥ u2 alors (u2n) est décroissante et (u2n+1) croissante.

7.3 Étude d’une suite récurrente 99

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-3

-2

-1

1

2 y=x

y=−x2 +2x

FIGURE 7.1 – étude de la suite récurrente associée à f (x) =−(x−1)2 +1.

Preuve. Notons d’abord que si f est décroissante alors g = f ◦ f est croissante : pour tout x,y ∈ Itel que x < y on a f (x)≥ f (y), donc f ( f (x))≤ f ( f (y)), cet à dire f ◦ f (x)≤ f ◦ f (y).

On pose (vn) = (u2n) et (wn) = (u2n+1). On a

f ◦ f (vn) = f ( f (u2n)) = u2n+2 = u2(n+1) = vn+1

f ◦ f (wn) = f ( f (u2n+1)) = u2n+3 = u2(n+1)+1 = wn+1.

Dans le cas u0 ≤ u2, on a v0 < v1. On déduit de la proposition 7.3.1) que la suite des termes d’indicepairs (vn) est croissante. D’autre part, u0 ≤ u2 implique ( f est décroissante) que f (u0) ≥ f (u2),c’est-à-dire u1 ≥ u3, c’est-à-dire w0 ≥ w1. On déduit de la proposition 7.3.1 que la suite des termesd’indice impairs (wn) est décroissante. Le cas u0 ≥ u2 est analogue. �

Remarque Si f est continue, les limites éventuelles de (u2n) et de (u2n+1) sont des points fixes def ◦ f et non de f : regarder l’exemple où u0 est un réel quelconque et où un+1 =−un.

Suite de l’exemple « type »Exemple Soient f : R→ R la fonction définie par f (x) = −x2 +2x et u la suite définie par unchoix de valeur initiale u0 ∈ R et la relation de récurrence ∀n ∈ N,un+1 = f (un). Nous avons déjàvu que les intervalles I1 = ]0,1[ et I2 = ]−∞,0[ sont stables par f et que f est croissante sur I1 et I2.Prenons par exemple u0 = 1/2 ∈ I1. Comme u1 = 3/4 > u0 on déduit de la proposition 7.3.1 que lasuite u est croissante. Si on prend u0 =−1 ∈ I2 on a u1 =−3 < u0, alors la suite u est décroissante.Nous étudierons plus loin la convergence de la suite (en fonction de la valeur initiale).

Cas ou x 7→ ( f (x)− x) est de signe constant


Proposition 7.3.3 Soient I un intervalle et f une application de I dans I. Soit u = (un) lasuite définie par un choix de u0 ∈ I et la relation de récurrence ∀n ∈ N,un+1 = f (un). On pose∀x ∈ I,g(x) = f (x)− x. Si g est positive sur I alors la suite u est croissante et si g est négativesur I alors la suite u est décroissante.

Preuve. On sait (proposition 7.2.2) que ∀n∈N, un ∈ I. Notons que g(un) = f (un)−un = un+1−un,donc si g est positive (resp. négative) sur I alors un+1−un est positive (resp. négative) et donc u estcroissante (resp. décroissante). �

Suite de l’exemple « type »Exemple Soient f : R→ R la fonction définie par f (x) = −x2 +2x et u la suite définie par unchoix de valeur initiale u0 ∈ R et la relation de récurrence ∀n ∈ N,un+1 = f (un). Nous avons déjàvu que les intervalles I1 = ]0,1[ et I2 = ]−∞,0[ sont stables par f et que les seuls points fixes def sont 0 et 1. Comme g(x) = f (x)− x =−x2 + x =−x(x−1) on voit que g est positive sur I1 etnégative sur I2, donc la suite est croissante pour tout choix de u0 ∈ I1 et décroissante pour tout choixde u0 ∈ I2 (voir proposition 7.3.3). Si u0 ∈ I1 alors la suite est à valeurs dans I1 (proposition 7.2.2),donc majorée (par exemple par 1). Elle est donc convergente (théorème 3.1.4). Notons sa limite par`. La proposition 7.2.4 nous dit que ` est un point fixe de f ( f est continue), donc `= 0 ou `= 1.Or, la suite est minorée par u0 > 0, donc sa limite ` vérifie `≥ u0 > 0 (proposition 2.4.2, (3)). Onen déduit que `= 1. Si u0 ∈ I2 alors la suite est décroissante, donc majorée par u0 < 0. Supposonspour arriver à une contradiction que la suite soit convergente et notons sa limite par `. Comme on a∀n ∈ N, un ≤ u0 < 0 on sait que `≤ u0 < 0 (proposition 2.4.2, (3)). Mais ` est aussi un point fixede f (proposition 7.2.4), donc `= 0 ou `= 1, ce qui est impossible. On en déduit que la suite n’estpas convergente, donc qu’elle n’est pas minorée, et donc (proposition 3.1.4) qu’elle tend vers −∞.

Remarquons que si on prend u0 ∈]1,2[, alors u1 ∈ I1, et donc la suite qu’on obtient est à valeursdans I1 à partir du rang n = 1, et donc converge vers 1. De même, si on prend u0 > 2, alors u1 ∈ I2,et donc la suite qu’on obtient est à valeurs dans I2 à partir du rang n = 1, et donc tend vers −∞.

Méthode quantitativeParfois on arrive à estimer |un+1− `| en fonction de |un− `|, où ` est un candidat limite, puis

par récurrence, en fonction de |u0− `|. Supposons par exemple qu’il existe λ ∈ [0,1[ tel que

∀n ∈ N, |un+1− l| ≤ λ |un− l|.

On peut démontrer par récurrence que

∀n ∈ N, |un− l| ≤ λn|u0− l|,

et en déduire que la suite u converge vers ` (voir exercice 4.15).

Proposition 7.3.4 Soient I un intervalle et f : I→ I une application. On suppose qu’il existeλ ∈ [0,1[ tel que pour tous x,y ∈ I :

| f (x)− f (y)| ≤ λ |x− y|.

Soit u = (un) la suite définie par un choix de u0 ∈ I et la relation de récurrence ∀n ∈ N,un+1 =f (un). Si f a un point fixe ` ∈ I, alors la suite u converge vers ` (indépendamment du point initialu0 ∈ I).

Preuve. On a |un+1− `|= | f (un)− f (`)| ≤ λ |un− `|. On en déduit (exercice 4.15) que |un− `| ≤λ n|u0− `|, et la suite u tend donc vers `. �

7.3 Étude d’une suite récurrente 101

Remarque 1. Cette méthode ne dit rien sur la monotonie éventuelle de (un), mais permet parexemple de déterminer n pour que l’erreur |un− `| soit inférieure à un ε donné.

2. Dans un cours sur les fonctions dérivables on montre l’inégalité dite des accroissements finis(qui est hors programme pour ce cours) : si f est dérivable sur I et ∀x ∈ I, | f ′(x)| ≤M, ona pour tous x,y ∈ I : | f (x)− f (y)| ≤ M|x− y|. Si M < 1 les hypothèses de la propositionprécédente sont satisfaites.

Suite de l’exemple « type »Exemple Soient f : R→ R la fonction définie par f (x) = −x2 +2x et u la suite définie par unchoix de u0 ∈ R et la relation de récurrence ∀n ∈ N,un+1 = f (un).

On a f (x) =−x2 +2x =−(x−1)2 +1, donc f (x)−1 =−(x−1)2. On a donc ∀n ∈ N,

un+1−1 =−(un−1)2,

ce qui donneun−1 = −(un−1−1)2 =

= −(−(un−2−1)2

)2= −(un−2−1)2·2

= −(−(un−3−1)2

)2·2= −(un−3−1)2·2·2.

On conjecture que ∀n ∈ N,un−1 =−(u0−1)2n

. (∗)

Il est facile (et laissé comme exercice) de démontrer cette formule par récurrence.Si u0 ∈ I1 = ]0,1[, alors |u0− 1| < 1 et on déduit de (∗) que la suite u tend vers 1. Cette

convergence est très rapide : si par exemple |un−1| ≤ 10−p avec p ∈ N, alors |un+1−1| ≤ 10−2p.On dit que la convergence est quadratique (en gros, le nombre de décimales exactes double à chaqueitération). De même, si u0 ∈ I2 = ]−∞,0[, on a |u0−1|> 1 et on déduit de (∗) que la suite u tend(très rapidement) vers −∞.


7.4 ExercicesExercice 7.1 On considère la suite u définie par un choix de u0 ∈]0,3[ et la formule derécurrence suivante :

∀n ∈ N, un+1 =√

3 ·un.

1. Montrer par récurrence que un est bien définie et vérifie un > 0 pour tout n ∈ N.2. Montrer que, pour tout n ∈ N, on a un < 3.3. Montrer que u est une suite croissante.4. En déduire que u converge. Déterminer sa limite.

Exercice 7.2 Soient I un intervalle et f : I→R une application qui a deux points fixes distincts` et `′ dans I. Disons que ` < `′. Si la restriction de f à l’intervalle [`,`′] est croissante alors cetintervalle est stable par f . Si la fonction est strictement croissante sur [`,`′] alors l’intervalle]`,`′[ est stable par f .

Exercice 7.3 Soit f : [0,+∞[ la fonction définie par

f (x) =2x+3x+4

, x ∈ [0,+∞[.

On définit une suite u = (un)n∈N par u0 = 0 et la relation de récurrence un+1 = f (un).1. Déterminer les points fixes de f .2. Calculer u1 et montrer par récurrence que ∀n ∈ N\{0}, 0 < un < 1.3. Montrer que la suite u est croissante.4. Montrer que la suite u est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 7.4 (Extrait d’un contrôle continu de 2011/2012.) Pour x∈ [0,∞[ on pose f (x) =√

5xet g(x) = f (x)− x.

1. Montrer que I = ]0,5[ est un intervalle stable par f : si x ∈ I alors f (x) ∈ I.2. Déterminer les points fixes de f .3. Montrer que pour tout x ∈ I, g(x)> 0.

On définit une suite u = (un)n∈N par un choix de u0 ∈ I et pour n ∈ N la relation de récurrenceun+1 = f (un).

4. Montrer que la suite u est convergente.5. Déterminer la limite de la suite u.

Exercice 7.5 Soient f la fonction de R dans R définie par f (x) = ex−2 et g la fonction de Rdans R définie par g(x) = f (x)− x. Soit u = (un)n∈N la suite définie par un choix de u0 ∈ R etla relation de récurrence un+1 = f (un).

1. Donner les tableaux de variations des fonctions f et g. Montrer qu’il existe exactementdeux réels distincts, disons `1 et `2 avec `1 < 0 < `2, qui sont points fixes de f . Faire undessin du graphe de f et de la droite d’équation y = x.

2. En supposant que la suite u converge quelles sont ses limites possibles.3. Montrer que chacun des intervalles

I1 = ]−∞, `1[, I2 = ]`1, `2[, I3 = ]`2,+∞[, I4 = {`1}, I5 = {`1}

est un intervalle stable par f .4. En utilisant le signe de g, étudier la monotonie de la suite u pour chacun des cas u0 ∈ Ik,

k ∈ {1,2,3,4,5}.5. Étudier la convergence et déterminer la limite éventuelle de la suite u en fonction du choix

de u0 ∈ R.

7.4 Exercices 103

Exercice 7.6 On considère la suite complexe (zn) définie par une valeur initiale z0 ∈ C et pourn ∈ N la relation de récurrence

zn+1 =12(1+ i)zn +2− i.

1. En supposant que la suite z converge déterminer sa limite éventuelle qu’on note l.2. On considère la suite w dont le terme général est wn = zn− l, n ∈ N. Montrer que la suite

w est une suite géométrique dont on déterminera la raison.3. Étudier la convergence des suites w et z.4. Soient α,β des nombres complexes avec |α|< 1. En généralisant ce qui précède, montrer

que la suite complexe définie par un choix arbitraire de point initial z0 ∈ C et pour n ∈ Nla relation de récurrence zn+1 = αzn +β converge.

Exercice 7.7 Soient f la fonction de R dans R définie par f (x) = (1− x)2 et (un)n∈N la suite

définie par u0 =12

et la relation de récurrence un+1 = (1−un)2 .

1. Tracer soigneusement sur l’intervalle [0 , 1] le graphe de f et la droite d’équation y = x.2. Calculer les six premiers termes de la suite et visualiser le début d’un colimaçon.3. Montrer que [0 , 1] est un intervalle stable par f et que f est décroissante sur [0 , 1].4. On pose g = f ◦ f . Montrer que [0 , 1] est un intervalle stable par g et que g est croissante

sur [0 , 1].5. Que peut-on en déduire pour les suites extraites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N ?6. La suite (un)n∈N converge-t-elle ?

Exercice 7.8 1. Soient a et b deux réels vérifiant 0≤ a≤ b. Montrer que

a≤√

ab≤ a+b2≤ b,

et que toutes les inégalités sont strictes sauf si a = b ou si a = 0.2. Montrer qu’il est possible de définir deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N en posant (u0,v0) =

(1,2) puis en déduisant le couple (un+1,vn+1) à partir du couple (un,vn) à l’aide desrelations de récurrence un+1 =

√un vn et vn+1 =

un+vn2 .

3. Montrer que

vn−un =12[√

vn−1−√

un−1]2 .

4. Montrer que un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤ vn. En déduire que les deux suites (un)n∈N et (vn)n∈Nconvergent. Montrer qu’elles convergent vers la même limite qu’on note l.

5. Montrer que

|√y−√

x| ≤ 12|y− x|, ∀x,y ∈ [1,2].

6. Donner une majoration explicite de |vn−un| en fonction de n.7. Donner des approximations à 10−3 et 10−9 près de l.

Exercices supplémentairesExercice 7.9 — Algorithme de Héron. Pour x ∈]0,∞[, on pose

f (x) =12

(x+

2x

)et g(x) = f (x)− x.


1. Déterminer le tableau de variation de f ainsi que le signe de g sur l’intervalle ]0,∞[. Tracerdans le même dessin les graphes de f et de la droite d’équation y = x.

2. Montrer que ]√

2,+∞[ est un intervalle stable par f . En déduire que pour tout choix deu0 ∈]

√2,∞[ la relation de récurrence un+1 = f (un) définit une suite u = (un)n∈N.

3. Montrer que la suite u est décroissante et convergente. Déterminer sa limite.4. Montrer que, pour tout x > 0, on a

f (x)−√

2 =(x−√

2)2

2x,

et en déduire, pour tout n ∈ N, la majoration

|un+1−√

2| ≤ (un−√

2)2

2.

5. On choisit u0 = 2. Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N, on a

|un−√

2| ≤ 122n−1 .

(On note que cette majoration implique aussi la convergence de u.)6. Déterminer un entier N tel que pour n≥ N, on ait |un−

√2|< 10−4. Même question pour

10−8.7. Quel est le comportement de la suite si on choisit u0 ∈]0,

√2[?

Exercice 7.10 À l’aide de la méthode de Newton, déterminer à 10−4 près la plus petite solutionstrictement positive de l’équation tan(x) = x. (Utiliser une calculatrice pour le calcul de lafonction tangente).

7.4 Exercices 105

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y=x

y=−x2 +2x

u0 u5

FIGURE 7.2 – La suite un+1 = f (un), avec f (x) =−(x−1)2 +1 et u0 = 0.1.

-10 -8 -6 -4 -2

-20

-15

-10

-5

y=x

y=−x2 +2x

u0u2

FIGURE 7.3 – La suite un+1 = f (un), avec f (x) =−(x−1)2 +1 et u0 =−0.8.


0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y=x

y=−x2 +2x

u0u4


-2 -1 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y=x

y=−x2 +2x

u0u1


III8 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.0 Motivation8.1 Définition d’une série8.2 Premiers exemples8.3 Un critère de divergence d’une série.8.4 Opérations sur les séries.8.5 Exercices

9 Séries numériques à termes réels positifs119

9.1 Un critère de convergence9.2 Critères de comparaison et d’équivalence9.3 Un critère de convergence : ∑2nu2n

9.4 Série de Riemann9.5 Critères de Cauchy et de d’Alembert9.6 Comparaison avec une intégrale9.7 Exercices

10 Convergence absolue ; Séries alternées131

10.1 Séries absolument convergentes10.2 Séries alternées10.3 Excursion : séries entières, un exemple10.4 Exercices

Troisième partie

8. Séries numériques

8.0 MotivationUn exemple de développement décimal

Quel est le sens de 10/3 = 3,3333 · · · ? Si on divise 10 par 3, on obtient à la première étape

103

= 3+13. (1)

En divisant les deux membres par 10, on obtient

13=

310

+130

, (2)

et donc103

(1)= 3+

13

(2)= 3+

310

+130

(= 3,3+

130

). (3)

(C’est le résultat d’une division de 10 par 3 après deux étapes.) De même, si on divise (2) par 10,on obtient

130

=3

100+

1300

, (4)

et donc103

(3)= 3+

310

+1

30(4)= 3+

310

+3

100+

1300

(= 3,33+

1300

).

(C’est le résultat d’une division de 10 par 3 après trois étapes.) Si on itère ce procédé, on obtientpour tout n ∈ N,

103

= 3+3

10+ · · ·+ 3

10n +1

3 ·10n .

Posons pour tout n ∈ N,

Sn = 3+310

+ · · ·+ 310n =

n

∑k=0

310k = 3,3 · · ·3︸︷︷︸

n fois

.

110 Chapitre 8. Séries numériques

Comme 103 −Sn =

13·10n et lim

n→+∞

13·10n = 0, on obtient

103

= limn→+∞

Sn = limn→+∞

n

∑k=0

310k .

Si on pose

3,3333 · · ·= limn→+∞

3,3 · · ·3︸︷︷︸n fois

et∞

∑k=0

310k = lim

n→+∞

n

∑k=0

310k ,

alors on a103

= 3,3333 · · ·=∞

∑k=0

310k .

Notons qu’en partant de la suite ( 310k )n∈N, nous avons construit la nouvelle suite (Sn)n∈N des

« sommes partielles », où Sn est la somme des n+ 1 premier termes de la suite ( 310k )k∈N. Nous

vérifierons ce calcul une fois que nous aurons introduit les séries géométriques (proposition 8.2.1).

Un exemple de série entièreCe thème sera abordé dans le module Analyse 3 mais nous en donnerons un aperçu dans la

section 10.3. On peut montrer (voir section 10.3) que pour tout |x|< 1 on a

limn→+∞

(N

∑n=0

(−1)nxn+1

n+1

)= ln(1+ x).

Si on pose+∞

∑n=0

(−1)nxn+1

n+1= lim

n→+∞

(N

∑n=0

(−1)nxn+1

n+1

),

alors on peut écrire+∞

∑n=0

(−1)nxn+1

n+1= ln(1+ x),

et on dit que le terme de gauche est un développement en série entière de ln(1+ x). Notons que l’onpeut aussi utiliser cette dernière égalité pour définir le logarithme népérien d’une façon relativementélémentaire (on n’utilise que la notion de limite). La plupart des fonctions élémentaires permettentune telle représentation.

8.1 Définition d’une sérieDéfinition 8.1.1 Soit (un)n∈N une suite réelle ou complexe.

1. On dit que que la série de terme général un converge (resp. diverge, tend vers +∞, tendvers −∞) si la suite (SN)N∈N définie par

∀N ∈ N, SN =N

∑n=0

un = u0 +u1 + · · ·+uN .

converge (resp. diverge, tend vers +∞, tend vers −∞). On dit que (SN) est la suite dessommes partielles de la suite (un)n∈N.

2. Si la série converge on note sa limite par ∑+∞

n=0 un :

+∞

∑n=0

un = limN→+∞

SN = limN→+∞

(N

∑n=0

un

).

8.1 Définition d’une série 111

On appelle alors+∞

∑n=0

un la somme de la série.

3. Si la série tend vers +∞ (resp. −∞) alors on écrit

+∞

∑n=0

un =+∞ (resp.+∞

∑n=0

un =−∞)

mais on ne parle plus de la somme de la série.

Exemple d’une série télescopique Soit (un)n∈N\{0} la suite définie par

∀n ∈ N\{0}, un =1

n(n+1).

On observe que

∀n ∈ N\{0}, 1n(n+1)

=1n− 1

n+1,

si bien que

∀n ∈ N∗, SN = 1− 12+

12− 1

3+

13− 1

4+ · · ·+ 1

N−1− 1

N+

1N− 1

N +1.

Tous les termes de la somme disparaissent sauf le premier et le dernier (d’ou le nom de sérietélescopique) ce qui nous donne

SN =N

∑n=1

1n(n+1)

= 1− 1N +1

. (*)

On a limN→+∞ SN = 1, donc par définition la série de terme général un converge et sa somme est 1 :

+∞

∑n=1

1n(n+1)

= limN→+∞

SN = 1.

(Voir la figure 8.1.) Pour démontrer rigoureusement la relation (∗) on peut procéder par récurrence,mais on peut aussi utiliser un « changement d’indice » :

SN =N

∑n=1

1n(n+1)

=N

∑n=1

(1n− 1

n+1

)=

N

∑n=1

1n−

N

∑n=1

1n+1

.

On fait alors le changement d’indice m = n+ 1 (attention au changement des bornes) dans ladeuxième somme pour obtenir

SN =N

∑n=1

1n−

N+1

∑m=2

1m

= 1+N

∑n=2

1n−

N

∑m=2

1m− 1

N +1= 1− 1

N +1.

Remarque 1. Si deux suites ont tous leurs termes égaux à partir d’un certain rang n0, lessommes partielles des deux séries correspondantes diffèrent d’une constante C à partir durang n0. Les deux séries sont donc de même nature (convergentes/divergentes). Autrementdit la nature d’une série de terme général un ne dépend pas des premiers termes de la suite(un). (En revanche, si les deux séries convergent, leurs sommes diffèrent de la constante C.)


20 40 60 80N

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

SN

y=1

S2 =u2

S3 =u2 +u3

S4 =u2 + +u4

FIGURE 8.1 – La suite des sommes partielles SN =N

∑n=2

1n(n−1)

, pour N = 2, . . .90.

2. Une série (numérique – réelle ou complexe) est donc la donnée de deux suites u = (un)n∈N etS = (SN)N∈N, liées par la relation

∀N ∈ N, SN =N

∑n=0

un.

3. En cas de convergence d’une série, la notion de « somme de la série » est une généralisationde la notion de somme d’un nombre fini de termes. L’écriture ∑

+∞

n=0 un n’est qu’une notationet sa définition est bien la limite d’une suite de sommes partielles, c’est-à-dire d’une suitedont le terme général est la somme d’un nombre fini (bien que de plus en plus grand) determes.

4. Dans les énoncés, la série est désignée par son terme général, alors que la suite des sommespartielles est celle dont on étudie la convergence.

5. Par abus de notation on désigne parfois « la série de terme général un » par « la série ∑un ».On utilise donc le même symbole pour désigner la série et sa somme.

6. On peut aussi associer une série à une suite qui n’est définie que à partir d’un rang n0 ∈ N :(un)n≥n0 . Dans ce cas la suite des sommes partielles est définie par

∀N ∈ N, N ≥ n0, SN =N

∑n=n0

un = un0 +un0+1 + · · ·+uN .

8.2 Premiers exemplesUtilisation de la définition

Voici quelques exemples où il est facile de « voir » si la série converge ou diverge :

8.2 Premiers exemples 113

Exemples 1. Pour la suite (un)n∈N = (n)n∈N, on obtient (en utilisant l’exercice 1.11)

∀N ∈ N, SN =N

∑n=0

n = 0+1+ . . .+N =N(N +1)

2,

et donc la série de terme général n tend vers +∞

+∞

∑n=0

n = limN→+∞

N

∑n=0

n = limN→+∞

N(N +1)2

=+∞.

Notons que la suite (n)n∈N tend aussi vers +∞.2. Pour la suite constante (un)n∈N = (1)n∈N, on obtient

∀N ∈ N, SN =N

∑n=0

1 = 1+ · · ·+1︸︷︷︸N+1fois

= N +1,

et donc la série de terme général 1 tend vers +∞ :

+∞

∑n=0

1 = limN→+∞

N

∑n=0

1 = limN→+∞

(N +1) = +∞.

Notons que la suite (1)n∈N tend vers 1.3. (Exemple d’une série géométrique) Supposons qu’on dispose d’un réservoir de volume 1.

On commence par remplir la moitié du réservoir, à l’étape suivante on remplit la moitié de cequi reste, à l’étape suivante encore la moitié de ce qui reste, etc (en supposant qu’un volumeest infiniment divisible). Après la première étape le réservoir contient 1/2 (de volume) etil reste 1/2 de vide. Après la deuxième étape le réservoir contient 1/2+1/4 et il reste 1/4de vide. Après l’étape suivante le réservoir contient 1/2+1/4+1/8 et il reste 1/8 de vide.Après la N-ième étape (N ∈ N\{0}) le réservoir contient

SN =12+

122 + · · ·+

12N =

N

∑n=1

12n et il reste vide

12N ,

ce qui veut dire que

1−SN =1

2N .

On en déduit que SN converge vers 1, cet à dire que la série de terme général 12n , n ≥ 1

converge vers 1 :∞

∑n=1

12n = lim

N→+∞SN = lim

N→+∞

N

∑n=1

12n = 1.

Nous vérifierons ce calcul une fois que nous auront introduit les séries géométriques (propo-sition 8.2.1).

4. Soit (un)n∈N\{0} la suite

1,12,

14,14︸︷︷︸

2fois

,18, · · · , 1

8︸︷︷︸4fois

,116

, · · · , 116︸︷︷︸

8fois

, · · · , 12n , · · · ,

12n︸︷︷︸

2n−1 fois

, · · ·

On aS1 = 1, S2 = 1+

12, S4 = 1+

12+2

14= 1+2

12,


S8 = 1+12+2

14+4

18= 1+3

12, S16 = 1+

12+2

14+4

18+8

116

= 1+412,

et en général

∀n ∈ N, S2n = 1+n12.

La sous-suite (S2n)n∈N de la suite des sommes partielles (SN)N∈N tend donc vers +∞ ce quiimplique que la suite (SN)N∈N n’est pas majorée. Comme (SN)N∈N est une suite croissanteon déduit qu’elle tend vers +∞. Par définition, on aura donc ∑

+∞

n=1 un =+∞. Notons que lasérie de terme général un tend vers +∞ bien que la suite de terme général un tend vers 0.

5. Soit u la suite ((−1)n)n∈N. La suite (SN)N∈N vérifie

∀N ∈ N, SN =N

∑n=0

(−1)n = 1−1±·· ·± (−1)N︸︷︷︸N+1termes

=

{1, si N pair0, si N impair.

La suite (SN) diverge, donc par définition la série de terme général (−1)n n’est pas conver-gente.

Dans le tableau suivant on a fait la liste des cinq des exemples considérés en comparant laconvergence (et la limite) de la suite (un) et de la série correspondante. Pouvez-vous conjecturer unrapport entre les deux? Nous donnerons plus loin une réponse a cette question.

(un) convergence de la suite convergence de la série

0,1,2,3,4,5,6,7, · · · limn→+∞

un =+∞+∞

∑n=1

un =+∞

1,1,1,1,1,1,1,1, · · · limn→+∞

un = 1+∞

∑n=1

un =+∞

12,14,14,18,18,18,18, · · · lim

n→+∞un = 0

+∞

∑n=1

un =+∞

12,14,18,

116

,132

,164

, · · · limn→+∞

un = 0+∞

∑n=1

un = 1

1,−1,1,−1,1,−1, · · · la suite diverge la série diverge

Série géométriqueUn autre exemple de série où l’on peut utiliser la définition de la convergence d’une série pour

établir sa convergence/divergence est le suivant :

Proposition 8.2.1 — Série géométrique. Soient q ∈ C et (un)n∈N = (qn)n∈N la suite géomé-trique de raison q. Alors la série de terme général qn, n ∈ N converge si et seulement si |q|< 1 eton a

+∞

∑n=0

qn =1

1−q, si |q|< 1.

Preuve. Par définition, la série de terme général qn converge si et seulement si la suite des sommespartielles dont le terme général est SN = ∑

Nn=0 qn converge. Pour q = 1 on obtient SN = N +1 (voir

8.3 Un critère de divergence d’une série. 115

(2) de l’exemple 8.2), donc la série diverge dans ce cas. Pour q 6= 1 on rappelle (proposition 4.7.2,(5)) la relation suivante : si q ∈ C, q 6= 1, alors

∀N ∈ N, SN = 1+q+ . . .+qN =1−qN+1

1−q.

On en déduit que la suite (SN)n∈N converge si et seulement si |q|< 1 et dans ce cas on a

+∞

∑n=0

qn = limN→+∞

1−qN+1

1−q=

11−q

. �

Exemples 1. En utilisant la proposition 8.2.1 avec q = 1/10 on obtient

+∞

∑k=0

310k = 3

+∞

∑k=0

110k = 3

11− 1

10

=103,

ce qui confirme notre calcul du chapitre 8.0. (Pour la première égalité on a utilisé unepropriété de la limite : laquelle ?)

2. En utilisant la proposition 8.2.1 avec q = 1/2 on obtient

+∞

∑k=1

12k =

+∞

∑k=0

12k −1 =

11− 1

2

−1 = 1,

ce qui confirme notre calcul de l’exercice 8.2 (3).

8.3 Un critère de divergence d’une série.

Proposition 8.3.1 — Un critère de divergence. Soit (un) une suite qui ne tend pas vers 0(donc soit elle diverge, ou bien, elle converge mais sa limite n’est pas 0). Alors la série de termegénéral un diverge. (On dira qu’elle diverge grossièrement.)

Preuve. On démontre le contraposé. On suppose donc que la série converge, ce qui veut dire quela suite des sommes partielles (SN)N∈N converge. Notons sa limite (la « somme » de la série) parS : S = lim

N→∞SN . Pour tout entier n, on a un = Sn−Sn−1, donc la suite (un) converge et sa limite est

S−S = 0. �

Remarque 1. On a démontré la contraposée de l’énoncé de la proposition précédente : si lasérie de terme général un converge, on a limn un = 0. Cette proposition est souvent énoncéesous cette forme, mais on va l’utiliser surtout pour démontrer la divergence d’une série.Par exemple la suite ((−1)n) de l’exemple 8.2 (5) diverge, donc la série correspondante neconverge pas.

2. Attention, ce critère n’est pas un critère de convergence. La suite

1,12,

14,14︸︷︷︸

2fois

,18, · · · , 1

8︸︷︷︸4fois

,116

, · · · , 116︸︷︷︸

8fois

, · · · , 12n , · · · ,

12n︸︷︷︸

2n−1 fois

, · · ·

de l’exemple 8.2 (4) tend vers 0 alors que la série correspondante diverge (tend vers +∞).

8.4 Opérations sur les séries.


Proposition 8.4.1 Soient λ un réel (ou un complexe) et (un) et (vn) deux suites de nombresréels (ou complexes).

1. Si la série de terme général un converge, alors la série de terme général λun converge et ona

+∞

∑n=0

(λun) = λ (+∞

∑n=0

un).

2. Si les deux séries de terme général un et vn convergent, alors la série de terme généralun + vn converge et on a

+∞

∑n=0

(un + vn) =+∞

∑n=0

un ++∞

∑n=0

vn.


8.5 Exercices 117

8.5 ExercicesExercice 8.1 Utiliser la définition de convergence d’une série pour décider si la série de termegénéral un converge ou diverge, lorsque la suite (un) est donnée par

(a) 1,0,−1,1,0,−1,1,0,−1,1,0,−1,1,0,−1, . . .

(b) 1,12,12︸︷︷︸

2fois

,13, · · · , 1

3︸︷︷︸3fois

,14, · · · , 1

4︸︷︷︸4fois

, · · · , 1n, · · · , 1

n︸︷︷︸n fois

, · · ·

(c) 2,23,

29,

227

,281

, · · · , 23n , · · ·

Exercice 8.2 (Extrait d’un contrôle continu de 2011/2012.) Soit u = (un)n∈N une suite réelleou complexe.

1. Donner la définition de convergence de la série de terme général un.2. On suppose maintenant que u est une suite complexe. Montrer que si la série de terme

général un converge alors la série de terme général Re(un) converge, ou Re(un) est lapartie réelle de un.

Exercice 8.3 Dans les deux cas suivants, montrer que la série de terme général (un)n∈N diverge :

(a) un = (−1)n, n≥ 0 (b) un = cos(

1n2

), n≥ 1.

Exercice 8.4 Dans chacun des cas suivants, montrer que la série de terme général (un)n∈Nconverge et calculer sa somme :

(a) un =1√n− 1√

n+1, n≥ 1 (b) un =

1n2−1

, n≥ 2

(c) un = ln(

1− 1n2

), n≥ 2

(Indication pour (c) : 1− 1n2 =

(n−1)(n+1)n2 .)

Exercice 8.5 Pour quelles valeurs du nombre réel a la série de terme général (ena)n∈N est-elleconvergente? Peut-on alors calculer sa somme?


(a) un =(−1)n+1

5n , (b) un =2n +3n

4n

Exercice 8.7 Étudier selon la valeur de θ ∈ [0,2π[ la convergence et, le cas échéant, déterminerla somme de la série de terme général

(a) ∀n ∈ N, un =einθ

2n .

(b) ∀n ∈ N, vn =cos(nθ)

2n ; (c) ∀n ∈ N, wn =sin(nθ)

2n .


Exercice 8.8 Soient (un) et (vn) deux suites à termes quelconques. Montrer que si la série∑(un + vn) converge et si la série ∑(un− vn) diverge alors les séries ∑un et ∑vn divergent.(Indication : supposer pour arriver à une contradiction que une des deux séries converge, disons∑un. Montrer qu’on aurait alors que ∑vn converge. Conclure.)

Exercice 8.9 Démontrer la proposition 8.4.1

Vrai ou fauxExercice 8.10 Décider pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux. Justifier votre réponse par uncourt argument ou un contre exemple. Soit (un) une suite numérique réelle.

1. La série de terme général 1 converge.2. Si un→ 0 alors la série ∑un converge.3. Si un 6→ 0 alors la série ∑un diverge.4. Si la série ∑un diverge alors la suite (un) ne tend pas vers 0.5. On suppose que un 6= 0, pour tout n. Si la série ∑un converge alors la série ∑1/un diverge.6. Si la série ∑an et la série ∑bn divergent alors la série ∑(an +bn) diverge.7. Si la série ∑an converge et si la série ∑bn diverge alors la série ∑(an +bn) diverge.8. Soit q un réel. Si q < 1 alors la série géométrique ∑qn converge.

9.+∞

∑n=1

12n = 2.

10.+∞

∑n=1

3−n =12

.

11.n

∑k=1

uk =n−1

∑k=0

uk+1.

12.+∞

∑n=0

1n!

=+∞

∑n=0

nn!

.

Exercices supplémentairesExercice 8.11 Soit u une suite réelle. On définit une nouvelle suite v par

n ∈ N 7−→ vn =

{0 si n est impairun/2 si n est pair.

Montrer que les séries ∑n un et ∑n vn sont de même nature et ont, le cas échéant, la même somme.


(a) un =(−1)n

n2−1, n≥ 2 (b) un =

1n(n+1)(n+2)

, n≥ 1

(c) un = (n+1)1

n+1 −n1n , n≥ 1 (d) un = ln

n2 +2n+1n2 +2n

, n≥ 1

9. Séries numériques à termes réels positifs

9.1 Un critère de convergence

Dans ce chapitre, nous étudions des séries à termes réels positifs, c’est-à-dire des séries dont leterme général un vérifie un ≥ 0, ∀n ∈ N. Une remarque simple mais importante est que la suite dessommes partielles associés est croissante. On obtient donc :

Proposition 9.1.1 Une série à termes réels positifs converge si et seulement si la suite (SN) deses sommes partielles est majorée. Si elle ne converge pas elle tend vers +∞.

Preuve. Par hypothèse, on a SN+1− SN = uN ≥ 0, pour tout N ∈ N, donc la suite des sommespartielles (SN) est croissante. Le corollaire 4.3.2 dit que si la suite (SN) est majorée alors cettesuite converge, et si la suite (SN) n’est pas majorée alors cette suite tend vers +∞. Par définitionde la convergence d’une série, la série converge dans le premier cas et tend vers +∞ dans ledeuxième. �

9.2 Critères de comparaison et d’équivalence

Proposition 9.2.1 — Critère de comparaison. Soient (un) et (vn) deux suites réelles tellesque pour un rang R ∈ N on ait

∀n ∈ N,n≥ R, 0≤ un ≤ vn.

1. Si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général un converge.2. Si la série de terme général un diverge, alors la série de terme général vn diverge.

Preuve. (1) En remplaçant les premiers R termes des suites (un) et (vn) par 0, on obtient deuxnouvelles suites mais la nature (convergence/divergence) des séries correspondantes n’est pasaffectée par ce changement (voir la remarque après la définition 8.1.1). En faisant ce changement(et en notant les nouvelles suites encore par (un) et (vn)) on peut donc supposer qu’on a R = 0,c’est-à-dire 0≤ un ≤ vn pour tout n ∈ N.

120 Chapitre 9. Séries numériques à termes réels positifs

On pose

∀N ∈ N, SN =N

∑n=0

un; S′N =N

∑n=0

vn.

En vue de la proposition 9.1.1 il suffit de montrer que si la suite (S′N) est majorée, alors la suite(SN) est majorée. Or, cela se déduit de la relation

∀N ∈ N, SN =N

∑n=0

un ≤N

∑n=0

vn = S′N .

(2) C’est la contraposée de (1). �

Proposition 9.2.2 — Critère d’équivalence. Soient u et v deux suites à termes réels positifs.Si les deux suites u et v sont équivalentes alors les deux séries de termes généraux un et vn sontde même nature : l’une converge (resp. diverge, tend vers +∞, tend vers −∞) si et seulementl’autre converge (resp. diverge, tend vers +∞, tend vers −∞).

Preuve. Par définition de l’équivalence de deux suites il existe une suite e = (en)n∈N qui convergevers 1 tel que ∀n ∈ N, un = vn · en. En utilisant la proposition 2.4.1 avec λ = 3/2 et µ = 1/2, onobtient l’existence d’un rang N0 ∈ N tel que pour n≥ N0 on ait

12≤ en ≤

32, donc

12

vn ≤ un ≤32

vn.

Il suffit d’appliquer le critère de comparaison (proposition 9.2.1) pour conclure (u et v sont dessuites à termes réels positifs). �

Exemples 1. Soit

un =2n−13n +1

, ∀n ∈ N.

Pour tout n ∈ N, on a 0 6 un 6(2

3

)n. Le terme de droite est le terme général d’une sériegéométrique de raison 2

3 qui converge d’après la proposition 8.2.1 car |23 | < 1. On utilisealors le critère de comparaison (proposition 9.2.1) pour déduire que la série de terme généralun (positif) converge aussi.

2. Soitun =

2n +n3n−1

, ∀n ∈ N.

On a

un =2n +n3n−1

=

(23

)n 1+ n2n

1− 13n

, ∀n ∈ N.

Comme la suite (un) est le produit d’une suite géométrique (de raison 23 ) et d’une suite

qui converge vers 1, elle est équivalente à cette suite géométrique. On utilise le critèred’équivalence (proposition 9.2.2) pour déduire que la série de terme général un est de mêmenature que la série géométrique de raison 2

3 . Comme 23 < 1 la série géométrique converge

(proposition 8.2.1) et donc a série de terme général un (positif) converge aussi.3. La série (dite série de Riemann) de terme général

un =1n, ∀n ∈ N\{0}

diverge. Pour le voir on peut comparer cette série à la série de l’exemple 4 de la page 113. Enutilisant à nouveau le critère de comparaison on peut voir que la série de terme général

vn =1

nα, ∀n ∈ N\{0}

diverge si α ≤ 1. Ce résultat fait partie du théorème 9.4.2 qui sera démontré plus loin.

9.3 Un critère de convergence : ∑2nu2n 121

9.3 Un critère de convergence : ∑2nu2n

On va généraliser la méthode utilisée dans l’exemple 4 de la page 113.

Théoreme 9.3.1 Soit (un)n≥0 une suite à termes positifs. Si la suite (un)n≥0 est décroissante,alors :

∞

∑n=1

un converge ⇐⇒∞

∑n=0

2nu2n converge

Preuve. On pose

∀N ∈ N\{0}, SN =N

∑n=1

un, ∀N ∈ N, TN =N

∑n=0

2nu2n .

D’après la proposition 9.1.1 il suffit de démontrer que la suite (Sn) est majorée si et seulement si lasuite (Tn) est majorée.

On a

S2k−1

= u1︸︷︷︸20 termes

+ u2 +u3︸︷︷︸21 termes

+ u4 + · · ·+u7︸︷︷︸22 termes

+ · · ·+ u2k−1 + · · ·+u2k−1︸︷︷︸2k−1 termes

≤ u1 + 2u2 + 4u4 + · · ·+ 2k−1u2k−1

= Tk−1.

et

S2k

= u1 + u2︸︷︷︸20 termes

+ u3 +u4︸︷︷︸21 termes

+ u5 + · · ·+u8︸︷︷︸22 termes

+ · · ·+ u2k−1+1 + · · ·+u2k︸︷︷︸2k−1 termes

≥ u12 + u2 + 2u4 + 4u8 + · · ·+ 2k−1u2k

= 12 Tk.

(1) Supposons que la suite T soit majorée, disons par L. Soit n ∈ N\{0} arbitraire. On choisitk ∈ N tel que n≤ 2k−1, donc Sn ≤ S2k−1 ≤ Tk−1 ≤ L et la suite S est majorée.

(2) Supposons que la suite S est majorée, disons par L′. Soit n ∈ N \ {0} arbitraire. On aTn ≤ 2S2n ≤ 2L′ et la suite T est majorée. �

9.4 Série de Riemann

Définition 9.4.1 Soit α ∈R. La série de terme général1

nα(n> 1) est appelée série de Riemann

d’exposant α . Si α = 1 on parle aussi de série harmonique.

Théoreme 9.4.2 La série de Riemann d’exposant α est convergente si et seulement si α > 1.

Preuve. Dans le cas α ≤ 0, le terme général 1nα ne converge pas vers 0, et la série est donc

grossièrement divergente. Si α > 0 on applique le théorème 9.3.1 : la série de Riemann de terme


général un =1

nαconverge si et seulement si la série

∞

∑n=0

2nu2n =∞

∑n=0

2n 1(2n)α =

∞

∑n=0

2n 12nα

=∞

∑n=0

2n(1−α) =∞

∑n=0

(21−α

)n

converge. Or, il s’agit d’une série géométrique de raison 21−α qui converge si et seulement si21−α < 1, c’est-à-dire si et seulement si α > 1. �

Remarque Dans la section suivante, nous donnerons une autre démonstration de ce théorème, quiutilise une comparaison avec une intégrale.

Exemples 1. Soit

un =ln(n+3)

n, ∀n ∈ N\{0}.

Pour tout n ∈ N \ {0}, on a un ≥ 1n ≥ 0. Comme la série harmonique est divergente (théo-

rème 9.4.2), le critère de comparaison (proposition 9.2.1) implique que la série de termegénéral un est aussi divergente.

2. Soient α > 0 etun =

n(n+1)α +(−1)n , ∀n ∈ N.

En écrivant

un =n

nα

1(1+ 1

n

)α+ (−1)n

nα

,

on voit que la suite (un) est le produit de la suite v =( 1

nα−1

)n∈N et d’une suite qui converge

vers 1, et est donc équivalente à la suite v. Le critère d’équivalence (proposition 9.2.2)implique (les deux suites sont à termes positifs) que la série de terme général un est de mêmenature que la série de Riemann d’exposant α−1. D’après le théorème 9.4.2, elle converge siet seulement si α−1 > 1, c’est-à-dire si et seulement si α > 2.

3. Soit

un =ln(n+1)(n+1)2 , ∀n ∈ N.

Le problème ici est que le logarithme n’est équivalent à aucune puissance. On utilise alors lefait que le logarithme tend vers +∞ moins vite que toute puissance positive, en particulier lapuissance α = 1

2 . On écrit

un =ln(n+1)(n+1)2 =

ln(n+1)

(n+1)12

1

(n+1)32.

Le fait que

limn→+∞

ln(n+1)

(n+1)12= 0

implique qu’à partir d’un certain rang on a

ln(n+1)

(n+1)12< 1 et donc 0 < un <

1

(n+1)32.

La série de Riemann d’exposant 32 converge ( 3

2 > 1, théorème 9.4.2) et majore celle de termegénéral un, donc celle-ci converge aussi (critère de comparaison : proposition 9.2.1.)

9.5 Critères de Cauchy et de d’Alembert 123

4. Soitun =

1√n+1ln(n+2)

, ∀n ∈ N.

Le fait que

limn→+∞

ln(n+2)√n+2

= 0

implique qu’à partir d’un certain rang on a

ln(n+2)√n+2

< 1, et donc1

ln(n+2)>

1√n+2

.

On déduit que

un =1√

n+1ln(n+2)>

1√n+1

√n+2

=1n

1√1+ 1

n

√1+ 2

n

∼ 1n.

Comme la série harmonique diverge on déduit (des critères de comparaison et d’équivalence)que la série de terme général un diverge. On pourrait aussi déduire du fait que lim

n→+∞nun =+∞

que un ≥ 1n > 0, pour n assez grand.

9.5 Critères de Cauchy et de d’Alembert

Proposition 9.5.1 — Critère de d’Alembert. Soit (un) une suite à termes réels (strictement)positifs. Supposons qu’il existe ` ∈ R+∪{+∞} tel que

limn→+∞

un+1

un= `.

Alors,1. si ` < 1, la série converge,2. si ` > 1, on a lim

n→+∞un =+∞ et la série diverge grossièrement.

Preuve. (1) Supposons ` < 1 et choisissons un réel q tel que ` < q < 1 (par exemple q = `+12 ). La

proposition 2.4.1 montre qu’il existe un entier n0 tel que pour n≥ n0, on a un+1un≤ q, soit un+1 ≤ qun.

On en déduit que∀n≥ n0, un ≤ qn−n0un0 = qn un0

qn0.

La série géométrique de terme général qn converge puisque 0≤ q < 1. Le critère de comparaison(proposition 9.2.1) montre que la série de terme général un converge.

(2) Supposons ` > 1 et choisissons un réel q tel que 1 < q < `. On montre comme ci-dessusqu’il existe un entier n0 tel que pour tout n≥ n0 on ait un ≥ cqn, où c est une constante > 0. Commeq > 1, on en déduit le résultat. �

Remarque Comme on peut le voir lors de la démonstration, on dispose d’un résultat plus général :s’il existe q ∈]0,1[ tel que un+1

un≤ q, pour n assez grand, la série converge. Notons que si on a

un+1un≥ 1, pour n assez grand, alors alors la suite (un) est croissante et donc ne peut pas tendre vers

0, donc la série diverge (grossièrement).


Proposition 9.5.2 — Critère de Cauchy. Soit (un) une suite à termes réels positifs. Supposonsqu’il existe ` ∈ R+∪{+∞} tel que

limn→+∞

n√

un = `.

Alors1. Si ` < 1, la série converge.2. Si ` > 1, on a lim

n→+∞un =+∞ et la série diverge grossièrement.

Preuve. La démonstration se fait comme celle du critère de d’Alembert et est laissée commeexercice (exercice 9.11) �

Remarque Comme pour le critère de d’Alembert, on dispose d’un résultat plus général : s’il existeq ∈]0,1[ tel que n

√un ≤ q, pour n assez grand, alors la série converge. Si on a n

√un ≥ 1, pour n assez

grand, alors la suite (un) diverge (grossièrement).

Exemples 1. Si (un) = ( 3n

n+1), on a ∀n ∈N, un > 0 et un+1un

= 3 nn+1 , donc lim

n→+∞

un+1un

= 3 > 1 ; la

série de terme général un diverge d’après le critère de d’Alembert. Notons qu’on peut aussiobserver que un 6→ 0 lorsque n→+∞, et donc la série diverge (grossièrement).

2. Si (un) = ( 1(n+1)n ), on a ∀n ∈ N, un > 0 et (un)

1n = 1

n+1 , donc limn→+∞

(un)1n = 0 ; la série de

terme général un converge d’après le critère de Cauchy.

Remarque 1. Il peut arriver que (un+1un

) ou (un)1n n’ait pas de limite.

2. Lorsque limn→+∞

un+1un

= 1 (resp. limn→+∞

(un)1n = 1), le critère de d’Alembert (resp. de Cauchy) ne

permet pas de conclure. Voir par exemple le cas des séries de Riemann.

9.6 Comparaison avec une intégrale

Le but de cette section est de donner une démonstration alternative du théorème 9.4.2 qui ditqu’une série de Riemann d’exposant α est convergente si et seulement si α > 1. Cette démonstrationutilise la notion d’intégrale d’une fonction continue. Cette méthode peut-être généralisée pourdémontrer le critère « comparaison avec une intégrale » (théorème 9.6.1).

Preuve. (Démonstration du théorème 9.4.2) Comme dans la démonstration précédente du théo-

rème 9.4.2, si α ≤ 0, le terme général1

nαne converge pas vers 0, et la série est donc grossièrement

divergente. On suppose donc pour la suite que α > 0.

(i) D’après la proposition 9.1.1 la série de terme général1

nα, n≥ 1 converge si et seulement si

la suite des sommes partielles (SN)N∈N\{0} définie par

SN =N

∑n=1

1nα

, N ∈ N\{0}

est majorée.(ii) On va comparer la suite (SN)N∈N\{0} à la suite (IN)N∈N\{0} définie par

IN =∫ N

1

1xα

dx, N ∈ N\{0}.

9.6 Comparaison avec une intégrale 125

(Notons en passant que l’existence de IN est assurée par le fait que la fonction fα : x 7→ 1xα est

continue et donc intégrable.) La fonction fα : x 7→ 1xα

est décroissante sur R+ (parce que α > 0),donc

1nα≥ 1

xα≥ 1

(n+1)α, pour x ∈ [n,n+1], ∀n ∈ N\{0}.

En intégrant on obtient∫ n+1

n

1nα

dx︸︷︷︸1

nα

≥∫ n+1

n

1xα

dx≥∫ n+1

n

1(n+1)α

dx︸︷︷︸1

(n+1)α

, ∀n ∈ N\{0}.

En prenant la somme de n entre 1 et N−1 on obtient

N−1

∑n=1

1nα≥∫ N

1

1xα

dx≥N−1

∑n=1

1(n+1)α

, ∀n ∈ N\{0}.

Notons que le terme de gauche est SN−1, le terme du milieu est IN et le terme de droite est

N−1

∑n=1

1(n+1)α

=N

∑m=2

1mα

= SN−1,

donc on peut réécrire les inégalités précédentes par

SN−1 ≥ IN ≥ SN−1, ∀n ∈ N\{0}. (9.1)

On voit donc que la suite (SN) est majorée si et seulement si la suite (IN) l’est.(iii) On va évaluer IN . Notons que

IN =∫ N

1x−α dx =

1

1−α

(N1−α −1

), si α 6= 1;

ln(N), si α = 1.

On en déduit que

limN→+∞

IN =

+∞, si α ≤ 1;

1α−1

, si α > 1.

Si 0 < α ≤ 1, alors la suite (IN) tend vers +∞, donc n’est pas majorée. Si α > 1 la suite (IN)converge, donc elle est majorée. Ainsi, la suite (IN) est majorée si et seulement si α > 1.

(iv) Conclusion. On a vu en (iii) que la suite (IN) est majorée si et seulement si α > 1, doncd’après (ii) la suite (SN) est majorée si et seulement si α > 1, donc d’après (i) la série de Riemannd’exposant α converge si et seulement si α > 1. �

Remarque Pour α > 1, on obtient (par passage à la limite dans (9.1)) l’encadrement

1α−1

≤+∞

∑n=1

1nα

≤ 1+1

α−1.

La démonstration précédente peut être adaptée pour donner une démonstration de l’énoncésuivant :


Théoreme 9.6.1 — Comparaison avec une intégrale. Soit f : [1;+∞[→ R une fonctioncontinue, décroissante, et positive. La série de terme général f (n) converge si et seulement si lasuite des intégrales

IN :=∫ N

1f (x)dx

a une limite finie lorsque N tend vers +∞.


Séries de Bertrand. Soit (α,β ) ∈ R2. La série de terme général

1nα(lnn)β

, n≥ 2

(dite série de Bertrand) converge si α > 1 (β arbitraire) et si α = 1 et β > 1. Sinon, elle diverge.(Voir les exercices 9.6 et 9.9 pour le cas α = 1.)

9.7 Exercices 127

9.7 Exercices

Critères de comparaison et d’équivalenceExercice 9.1 Soient (un), (vn) et (wn) trois suites réelles telles que

∀n ∈ N, un ≤ vn ≤ wn.

1. Montrer qu’on a∀n ∈ N, 0≤ vn−un ≤ wn−un.

2. Montrer que si les séries ∑un et ∑wn convergent alors la série ∑vn converge.

Exercice 9.2 Soit u = (un) une suite à termes positifs.1. Montrer que si la série ∑un converge alors la série ∑u2

n converge.2. Montrer que si la série ∑un converge alors la série ∑u2n converge.

Exercice 9.3 Soit u = (un) une suite à termes positifs. Soit α ∈ R.1. On suppose que la suite (nαun) tend vers 1. Montrer que la série ∑un converge si α > 1

et diverge si α ≤ 1.2. On suppose que la suite (nαun) tend vers 0. Montrer que la série ∑un converge si α > 1.3. On suppose que la suite (nαun) tend vers +∞. Montrer que la série ∑un diverge si α ≤ 1.

Exercice 9.4 1. Montrer que si x et y sont deux nombres réels positifs, alors√

xy≤ x+y2 .

2. En déduire que si ∑n un et ∑n vn sont deux séries convergentes à termes positifs, alors lasérie ∑n

√unvn est convergente.

3. Soit ∑n un une série convergente à termes positifs. Montrer que la série ∑n≥1

√unn est

convergente.

Exercice 9.5 Soit u une suite à termes positifs.1. Montrer que les séries de termes généraux un et vn =

un

1+unsont de même nature.

2. Montrer que les séries de terme généraux un et vn = ln(1+un) sont de même nature.

Un critère de convergence : ∑2nu2n

Exercice 9.6 — Série de Bertrand. Soit β ∈]0,+∞[. Montrer que la série de terme général

1n(lnn)β

, n≥ 2

converge si et seulement si β > 1 en utilisant le théorème 9.3.1.

Étude de convergence d’une série à termes positifsExercice 9.7 Soit a un réel strictement positif. Étudier la nature des séries dont le terme généralest :

(a) n!an (b) n(n+1)an (c) an ln(n)√

2n +1

(d)nn

4nn!(e)(

1+an

)n2

(f)nln(n)

(ln(n))n

(g)en + e−n

an (h) un =√

n ln( √

n√n+1

)


Exercice 9.8 Étudier la nature des séries dont le terme général est :

(a)n+ cosn

n3 +1(b) ln

(1+

1n2

)(c)

√ln(n)

n

(d)(sin(n))2

n2 (e)1

n×n1n

(f)nn

(n+1)(n+2) . . .(n+n)

(g)(

n−1n+1

)2n

(h)√

n ln(n)n2 +1

(i)∫ 1

n

0

dt1+ tn

Comparaison avec une intégraleExercice 9.9 — Série de Bertrand bis. Redémontrer le résultat de l’exercice 9.6 en utilisantle théorème 9.6.1.

Critère de Cauchy et de d’AlembertExercice 9.10 Soit (un) une suite à termes réels strictement positifs. Supposons qu’on ait

∀n ∈ N,un+1

un≤ 1

2.

Montrer en adaptant la démonstration du critère de d’Alembert (proposition 9.5.1) que la sériede terme général un converge.

Exercice 9.11 Donner une démonstration du critère de Cauchy (proposition 9.5.2) en adaptantla démonstration du critère de d’Alembert (proposition 9.5.1).

Exercice 9.12 Soit a un réel strictement positif. On définit une suite u par : u0 = a, un+1 =un− un

1+unpour tout n ∈ N.

1. Montrer que la suite u est bien définie, strictement positive et strictement décroissante.2. Montrer que la suite u est convergente et déterminer sa limite.3. En déduire que la série de terme général un est convergente.

Vrai ou faux?Exercice 9.13 Décider pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux. Justifier votre réponse par uncourt argument ou un contre exemple.

1. Une série numérique qui ne converge pas diverge vers l’infini.2. Une série à termes positifs qui ne converge pas diverge vers l’infini.3. (Extrait de l’examen de l’année 2011/2012.) Soit (un)n∈N une suite à termes strictement

positifs telle que∀n ∈ N,

un+1

un< 1,

alors la série de terme général un converge.4. Soit (un)n∈N une suite à termes strictement positifs telle que

∀n ∈ N,un+1

un<

12,

alors la série de terme général un converge.5. (Extrait de l’examen de l’année 2011/2012.) Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles

9.7 Exercices 129

à termes strictement positifs telles que

limn→+∞

un

vn= 2,

alors la série de terme général un et la série de terme général vn sont de même nature.

6. La série ∑1

n1+ 1n

est une série de Riemann qui converge.

7. Soient (un) et (vn) deux suites à termes positifs tels que à partir d’un certain rang 0 ≤un ≤ vn. Si la série ∑vn diverge alors la série ∑un diverge.

8. Soient (un) et (vn) deux suites a termes négatifs tels que à partir d’un certain rangun ≤ vn ≤ 0. Si la série ∑un converge, alors la série ∑vn converge.

9. Soit (un) une suite à termes positifs. Si la série ∑un diverge, alors la série ∑u2n diverge.

10. Soit (un) une suite à termes positifs telle que la suite ( n√

un) tend vers 3/4. Alors la série∑n3un converge.

11. Soit (un) une suite à termes positifs telle que la suite (n2un) tend vers 1, alors la série ∑un

converge.

Exercices supplémentaires

Exercice 9.14 Soient a et b des nombres réels strictement positifs. On pose u1 = b, u2 = ab et,plus généralement, u2n = an bn et u2n+1 = an bn+1.

1. À quelle condition la suite(

un+1

un

)a-t-elle une limite?

2. Calculer la limite de (un)1n . Montrer que si ab 6= 1, alors la règle de Cauchy permet

d’étudier la série de terme général un. Pour quelles valeurs de a et de b, la règle ded’Alembert permet-elle d’étudier cette série ?

3. On suppose ab = 1. La série de terme général un est-elle convergente?

Exercice 9.15 Le but de cet exercice est de démontrer le théorème 9.6.1 en adaptant la dé-monstration du théorème 9.4.2 donnée dans la section 9.6. Soit f : [1;+∞[→ R une fonctioncontinue, décroissante, et positive. On pose

SN =N

∑n=1

f (n), et IN =∫ N

1f (x)dx, N ∈ N\{0}.

1. Montrer (en adaptant la démonstration du théorème 9.4.2 donnée dans la section 9.6) que

∀n ∈ N\{0}, SN ≤ IN ≤ SN+1−1.

2. Montrer que la série de terme général f (n) converge si et seulement si la suite desintégrales

IN :=∫ N

1f (x)dx

a une limite finie lorsque N tend vers +∞.

Exercice 9.16 1. Soient ∑n un et ∑n vn deux séries à termes positifs. Montrer que la série∑n max(un,vn) converge si et seulement si les deux séries ∑n un et ∑n vn sont convergentes.

2. Trouver deux séries divergentes ∑n un et ∑n vn, à termes positifs, telles que min(un,vn) = 0pour tout n.


Exercice 9.17 Soit f : [1,+∞[→R une fonction décroissante et positive. Pour tout entier n≥ 1

on pose un = f (n)−∫ n+1

nf (t)dt.

1. Montrer que l’on a 0 ≤ un ≤ f (n)− f (n+1) pour tout entier n ≥ 1. En déduire que lasérie de terme général un est convergente.

2. Montrer que la suite de terme général (∑np=1

1p)− ln(n) est convergente. En déduire que

l’on a

limn→∞

∑np=1

1p

ln(n)= 1.

10. Convergence absolue ; Séries alternées

10.1 Séries absolument convergentesDéfinition 10.1.1 Soit (un) une suite complexe (ou réelle). On dit que la série de terme généralun est absolument convergente si la série de terme général (réel positif) |un| est convergente.

Remarque Si l’on veut appuyer sur le fait que l’on parle de la convergence d’une série (commedéfinie dans la section 8) et non de la convergence absolue, alors on utilise l’expression convergencesimple au lieu de convergence.

Proposition 10.1.2 Soit (un) une suite complexe (ou réelle). Si la série de terme général un

converge absolument alors elle converge (simplement) et l’on a∣∣∣∣∣+∞

∑n=0

un

∣∣∣∣∣≤ +∞

∑n=0|un| .

Preuve. Supposons d’abord que la suite u est réelle. Pour tout entier n, on note alors u+n =max(un,0) la « partie positive » et u−n = max(−un,0) la « partie négative » de un ; on a alors0≤ u+n ≤ |un| et 0≤ u−n ≤ |un|. Les séries ayant respectivement pour terme général u+n et u−n sontdonc convergentes d’après le critère de comparaison (proposition 9.2.1). Comme un = u+n − u−npour tout n, le résultat s’obtient par la proposition 8.4.1.

Dans le cas général, on remarque que, pour tout n ∈ N, on a |Re(un)| ≤ |un| et |Im(un)| ≤ |un|(proposition 5.1.1). Le critère de comparaison 9.2.1 entraîne donc que les séries de terme général(réel) Re(un) et Im(un)) sont absolument convergentes, donc convergentes d’après le cas réel établici-dessus. Donc la série de terme général Re(un)+ i Im(un) = un converge (proposition 8.4.1).

L’inégalité sur les sommes s’obtient en remarquant l’inégalité analogue pour les sommespartielles ∣∣∣∣∣ N

∑n=0

un

∣∣∣∣∣≤ N

∑n=0|un|

132 Chapitre 10. Convergence absolue ; Séries alternées

qui est toujours vérifiée (inégalité triangulaire), puis en prenant les limites lorsque N tend vers+∞. �

Remarque 1. Notons que la convergence absolue d’une série de terme général un est définiepar la convergence (simple) d’une autre série, celle de terme général |un|.

2. La proposition précédente dit que si la série de terme général |un| converge, alors la série determe général un converge aussi.

3. La réciproque est fausse. La série harmonique alternée ∑(−1)n

nn’est pas absolument

convergente, mais on a déjà vu (exercice 3.6) qu’elle converge. Voir aussi exercice 1 de lapage 134.

Définition 10.1.3 Une série qui converge mais n’est pas absolument convergente est dite semi-convergente.

Exemples 1. La série harmonique alternée est donc semi-convergente.

2. Soit un =(−1)n

n2 , n ∈ N\{0}. Comme la série de Riemann ∑1n2 est convergente, la série

∑(−1)n

n2 est absolument convergente et donc converge (simplement).

3. Soit x ∈R∗ et un =xn

√n+1ln(n+2)

. Commençons par étudier la convergence absolue, donc

la convergence de la série de terme général |un|=|x|n√

n+1ln(n+2). Comme il s’agit d’une

série à termes réels strictement positifs on peut appliquer le critère de d’Alembert : on a

limn→+∞

|un+1||un|

= |x|. On en déduit ce qui suit :

(i) si |x|< 1, la série ∑ |un| converge, donc la série ∑un est absolument convergente (a fortioriconvergente).(ii) si |x|> 1, on a lim

n→+∞|un|=+∞, donc la suite (un) ne peut pas tendre vers 0, donc la série

∑un est grossièrement divergente.(iii) Si |x|= 1, ce critère ne permet pas de conclure. Mais on a vu plus haut (exemple (4) dela page 123) que la série diverge pour x = 1. On verra plus loin (exercice 2 de la page 134)que la série converge pour x =−1 (et est donc semi-convergente).

10.2 Séries alternéesDéfinition 10.2.1 La série de terme général réel un est dite alternée s’il existe une suite (an) àtermes positifs telle que l’on ait, soit

un = (−1)nan, ∀n ∈ N,

ou bienun = (−1)n+1an, ∀n ∈ N.

La suite (an) vérifie an = |un|, ∀n ∈ N.

Remarque Pour énoncer des propriétés sur les séries alternées, on peut se restreindre au cas d’unesérie dont le terme général est (par exemple) un = (−1)nan, puisqu’une série alternée dont le termegénéral est un = (−1)n+1an vérifie (−1)n+1an =− [(−1)nan], ∀n ∈ N.

Exemples Les séries suivantes sont alternées :

10.2 Séries alternées 133

1. La série de terme général ln(1+(−1)n

n+1).

2. La série harmonique alternée de terme général(−1)n

n.

3. La série de terme général(−1)n

√n+1ln(n+2)

.

Proposition 10.2.2 — Critère spécial des séries alternées. Soit (an) une suite réelle qui estdécroissante et qui converge vers 0, alors :

1. La série alternée de terme général (−1)nan converge.2. Si on désigne sa somme par S, on a

|S−N

∑n=0

(−1)nan| ≤ aN+1.

Preuve. (1) Notons que la démonstration suit la méthode de l’exemple 3.6. Par définition, la sériede terme général (−1)nan converge si et seulement si la suite des sommes partielles (SN) définiepar

SN =N

∑n=0

(−1)nan, ∀N ∈ N

converge. En utilisant le fait que la suite (an) est décroissante on obtient pour tout entier N ∈ N :

S2N+2−S2N = a2N+2−a2N+1 ≤ 0,

S2N+3−S2N+1 =−a2N+3 +a2N+2 ≥ 0.

Donc la suite (S2N) est décroissante et la suite (S2N+1) est croissante. Comme on a en plus

limn→+∞

(S2N+1−S2N) = limn→+∞

−a2N+1 = 0,

on constate que les deux sous-suites (S2N) et (S2N+1) de (SN) sont adjacentes. Elles ont donc(théorème 3.2.2 des suites adjacentes) une limite commune S et on a vu (proposition 2.6.5) quedans ce cas, la suite (SN) converge aussi vers S.

(2) On a de plus

S2N+1 ≤ S2N+3 ≤ S≤ S2N+2 ≤ S2N , ∀n ∈ N

d’où les inégalités

|S−S2N+1|= S−S2N+1 ≤ S2N+2−S2N+1 = (−1)2N+2a2N+2 = a2N+2;

|S−S2N |= S2N−S≤ S2N−S2N+1 =−(−1)2N+1a2N+1 = a2N+1.

Donc dans tous les cas on a|S−SN | ≤ aN+1,

d’où le résultat. �

Remarque 1. Si on approche la somme S =+∞

∑n=0

(−1)nan par SN =N∑

n=0(−1)nan (le N-ième

terme de la suite des sommes partielles), la proposition précédente dit que l’erreur commiseest

|S−SN |=

∣∣∣∣∣ +∞

∑k=N+1

(−1)nan

∣∣∣∣∣≤ aN+1.

On dit que |S−SN | est le reste d’ordre N de la série.


2. Dans la proposition précédente il suffit d’assumer que la suite (an) tend vers 0 et est dé-croissante à partir d’un certain rang pour pouvoir conclure que la série alternée ∑(−1)nan

converge. Pour voir cela il suffit de remplacer les termes de la suite (an) par un réel suffisam-ment grand jusqu’au rang à partir duquel elle devient décroissante. On obtient alors une suitequi est décroissante, mais la convergence de la série correspondante n’est pas modifiée.

Exemples Les deux exemples suivants ont déjà été cités :

1. La série harmonique alternée de terme général (−1)n 1n

converge puisque la suite (1/n)décroît vers 0. Elle ne converge pas absolument car la série harmonique diverge. La sérieharmonique alternée est donc semi-convergente. Notons que la convergence est lente : si l’onveut approcher la somme à 10−6 près, il faut sommer environ 106 termes.

2. La série de terme général un =(−1)n

√n+1ln(n+2)

est alternée et la suite (|un|) décroît vers 0.

Donc, cette série converge.

Exemple Posons

∀n ∈ N, n≥ 2, vn =(−1)n

√n+(−1)n , wn =

(−1)n√

n.

1. La suite(

1√n

)décroît vers 0, donc la série alternée de terme général wn converge.

2. La suite v =(

1√n+(−1)n

)tend vers 0 mais n’est pas décroissante. Le critère spécial des

séries alternées (proposition 10.2.2) ne s’applique donc pas. On peut voir (exercice 10.4)que la série de terme général vn ne converge pas. Il ne faut donc pas oublier l’hypothèse dedécroissance du critère spécial des séries alternées (proposition 10.2.2).

3. Dans le même exercice on montre que les deux suites (vn) et (wn) sont équivalentes maisque les séries de termes généraux vn et wn ne sont pas de même nature. On voit donc que lecritère d’équivalence de la proposition 9.2.2 ne peut pas s’appliquer pour des séries à termesgénéraux arbitraires.

10.3 Excursion : séries entières, un exempleCe chapitre (hors programme) sert à donner une motivation supplémentaire pour l’étude des

séries. Ce thème va être développé dans un autre cours (Analyse 3).

Exemple Pour N ∈ N, on pose

fN(t) =N

∑n=0

(−1)ntn = 1− t + t2 + · · ·+(−1)NtN

et

SN =∫ 1

0fN(t)dt.

1. Comme

fN(t) =N

∑n=0

(−t)n =1− (−t)N+1

1− (−t)

=1+(−1)N+2tN+1

1+ t=

1+(−1)NtN+1

1+ t,

10.3 Excursion : séries entières, un exemple 135

on obtient

SN =∫ 1

0

11+ t

dt +(−1)N∫ 1

0

tN+1

1+ tdt =

= ln2+(−1)N∫ 1

0

tN+1

1+ tdt.

Comme ∣∣∣∣|(−1)N∫ 1

0

tN+1

1+ tdt∣∣∣∣= ∫ 1

0

tN+1

1+ tdt ≤

∫ 1

0tN+1 dt =

1N +2

,

on obtient|SN− ln2| ≤ 1

N +2.

On en déduit que la suite (SN) converge vers ln2.2. On va évaluer SN d’une autre manière :

SN =∫ 1

0

(N

∑n=0

(−1)ntn

)dt =

N

∑n=0

(−1)n∫ 1

0tn dt =

N

∑n=0

(−1)n

n+1.

Comme la suite (SN) converge vers ln2, on obtient

+∞

∑n=0

(−1)n

n+1= ln2.

L’exemple précédent peut être généralisé : pour N ∈ N, on pose (comme dans l’exemple)

fN(t) =N

∑n=0

(−1)ntn = 1− t + t2 + · · ·+(−1)NtN ,

mais maintenant on définit pour tout x ∈ R

SN(x) =∫ x

0fN(t)dt.

On montre alors de même que

1. |SN(x)− ln(1+ x)| ≤ |x|N+2

N +2, donc la suite (SN) tend vers ln(1+ x) si |x|< 1,

2. SN(x) =N

∑n=0

(−1)nxn+1

n+1,

3.+∞

∑n=0

(−1)nxn+1

n+1= ln(1+ x), si |x|< 1.

La somme partielle SN(x) est donc un polynôme de degré N + 1, qui approche ln(1+ x) pour xproche de 0, avec un terme d’erreur plus petit que |x|

N+2

N+2 . On dit que SN(x) est un développementlimité d’ordre N+1 de ln(1+ x) au voisinage de 0. Les développements limités ont déjà été étudiés

dans le module Analyse 1. On dit aussi que la série+∞

∑n=0

(−1)nxn+1

n+1est un développement en série

entière de ln(1+ x), sur l’intervalle ]−1,1[. Beaucoup de fonctions peuvent être ainsi développéesen série entière. Les propriétés de ces fonctions sont étudiées dans le module SSF (Suites et sériesde fonctions).


10.4 ExercicesConvergence absolue

Exercice 10.1 Le but de cet exercice est de réécrire la démonstration de la proposition 10.1.2(la convergence absolue entraîne la convergence simple) dans le cas particulier de la série determe général

un =(−1)n

n2 , n ∈ N\{0}.

1. Montrer que la série de terme général un est absolument convergente.2. Déterminer, dans ce cas, u+n = sup(un,0) et u−n = sup(−un,0).3. Vérifier, dans ce cas, qu’on a 0 ≤ u+n ≤ |un|, 0 ≤ u−n ≤ |un|, et un = u+n −u−n , pour tout

n ∈ N\{0}.4. Montrer (en utilisant l’argument de la démonstration de la proposition 10.1.2) que la série

de terme général un converge (simplement).

Exercice 10.2 Soit (un) une suite à termes quelconques qui est équivalente à la suite(−1)n

n2 .Montrer que la série de terme général un converge absolument, et donc simplement.

Séries alternéesExercice 10.3 Étudier la convergence et la convergence absolue des séries dont le terme généralest :

(a)(−1)n

n2 + sin(n2)(b) (−1)n ln(n)

n(c)

(−1)n√n+1n

(d) (−1)n cos(

1n2

)(e)

sin(√

n)n√

n(f) sin

((−1)n

n

)Exercice 10.4 On pose

∀n ∈ N, n≥ 2, un = (−1)n√

nn−1

, vn =(−1)n

√n+(−1)n , wn =

(−1)n√

n.

1. Étudier la convergence de la série de terme général un.2. En déduire la nature de la série de terme général vn. (Indication : multiplier numérateur et

dénominateur de vn par le « conjugué » du dénominateur de vn.)3. Étudier la convergence de la série de terme général wn.4. Montrer que les deux suites (vn) et (wn) sont équivalentes mais que les séries de termes

généraux vn et wn ne sont pas de même nature. Pourquoi cet exemple ne contredit-il pasle critère d’équivalence de la proposition 9.2.2?

Exercice 10.5 Montrer que la série alternée de terme général (−1)n 1√n

converge en réécrivant

la démonstration du critère spécial des séries alternées (proposition 10.2.2) dans ce cas particulier.(Voir aussi l’exercice 3.6.)

Exercice 10.6 1. Démontrer que pour tout n ∈ N\{0},

n

∑p=2

1p≤ ln(n).

10.4 Exercices 137

2. Utiliser le critère spécial des séries alternées pour démontrer la convergence de la série determe général

un =(−1)n

n

n

∑p=2

1p.

3. La série est-elle absolument convergente?

Étude de la convergence d’une série à termes quelconquesExercice 10.7 Étudier la convergence et la convergence absolue des séries dont le terme généralest :

(a)n2−1

n4 +n2 +1(b)

(−1)n

n2 +(−1)n (c) (−1)n sin12n

(d) (−1)n nlnn

(e) (−1)n an

n!,(a > 0) (f)

1√n2−n+5

(g) (−1)n 2n +3n√

n3n (h)(

12

) n√n

(i)nn

n!

(j)1 ·3 ·5 · · ·(2n−1)

nn (k)1

(1+ lnn)n (l) n ln(1+1n2 )

(m)(−1)n

n2 +(−1)n (n)√

n+1−√

n (o)1√

n2 +(−1)n n

(p)(

n−1n

)n2

(q) (sinθ)n (θ ∈ R) (r)1

n2+ 1n

(s)n+3√n5 +1

cos(n) (t)1

n(√

n+ lnn)(u)

2n +n2 +3en +n

(v)sin(nθ)

2n (θ ∈ R)

Vrai ou faux?Exercice 10.8 Décider pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux. Justifier votre réponse par uncourt argument, un résultat du cours ou un contre exemple. Soit u une suite réelle.

1. Soit (un) une suite équivalente à la suite ((−1)n 1√n), alors la série de terme général un

converge.2. Soit (un) une suite équivalente à la suite ((−1)n 1

n2 ), alors la série de terme général un

converge.3. Si la suite (an) tend vers 0 mais n’est pas décroissante (à partir d’un certain rang) alors la


série alternée de terme général (−1)nan ne converge pas.4. Soit (un) une suite à termes positifs. Si la série ∑un converge alors la série ∑u2

n converge.5. Soit (un) une suite à termes quelconques. Si la série ∑un converge alors la série ∑u2

nconverge.

6. Soit (un) une suite à termes positifs. Si la série ∑un converge alors la série ∑u2n converge.7. Soit (un) une suite à termes quelconques. Si la série ∑un converge alors la série ∑u2n

converge.

8. Si un 6= 0 pour tout n et si la série ∑un converge, alors la suite(

un+1

un

)a une limite

strictement plus petite que 1.9. Soit (un) une suite à termes quelconques. Si la suite (un) est bornée, alors la série ∑

1n2 un

converge.10. Si la série ∑un converge absolument, alors la série ∑un sin(n) converge.11. Soit (un) une suite à termes positifs. Si la suite (un) est équivalente à la suite ( 1

n2 ) alors lasérie ∑sin(n)un converge.

Exercices supplémentairesExercice 10.9 Pour N ∈ N, on pose

fN(t) =N

∑n=0

(−1)ntn = 1− t + t2 + · · ·+(−1)NtN ,

et, pour tout x ∈ R,

SN(x) =∫ x

0fN(t)dt.

Montrer en imitant l’exemple de la page 134 que

1. |SN(x)− ln(1+ x)| ≤ |x|N+2

N +2. En déduire que la suite (SN) tend vers ln(1+ x) si |x|< 1.

2. SN(x) =N

∑n=0

(−1)nxn+1

n+1.

3.+∞

∑n=0

(−1)nxn+1

n+1= ln(1+ x), si |x|< 1.

Analyse 2 : Suites et séries numériques8.4 Opérations sur les séries.115 8.5 Exercices117 9...

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