Leçon n°59 : Séries numériques

Les séries numériques sont étudiées dans les sections de techniciens supérieurs comme préalable à l’étude des séries de Fourier. L’objectif est « de se familiariser avec les « sommes infinies » et la notation Ʃ ».

I. « Séries numériques », de quoi parle-t-on ?A. Définitions.

Activité tableur : Avec des suites géométriques on amène l’idée de « somme infinie ». Que peut-il se passer ? Lorsqu’on prend en compte un nombre croissant de termes (sommes partielles, on peut rappeler la formule) trois cas : on tend vers une valeur (convergence), on tend vers +/-∞ ou on fluctue indéfiniment (divergence).

Une autre idée pour sensibiliser à la notion de « somme infinie » est d’utiliser le développement

décimal. Par exemple 0,33333… = ∑k=1

∞ 310k

= limN→+∞

∑k=1

N 310k

=13

(on utilise ici aussi les suites

géométriques pour calculer la dernière somme).

Définition : On appelle série numérique de terme général uk , notée ∑k ≥0uk, la donnée d’une suite

(uk)k≥0 de nombres réels (ou complexes mais en BTS on se limite à réels) et de la suite (sn)n≥0 de ses

sommes partielles : sn=∑k=0

n

uk.

Définition : On dit que la série ∑k ≥0uk converge lorsque la suite (sn)n≥0 converge, dans ce cas la limite

l de (sn)n≥0 est la somme de la série, on note ∑k=0

∞

uk=l. On dit que la série diverge lorsque la suite

(sn)n≥0 diverge.

Remarques : La série peut démarrer pour d’autres valeurs de k que 0 (k ≥ 1 …).

Il faut bien différencier les deux notations : ∑k ≥0uk désigne l’objet série numérique, tandis

que ∑k=0

∞

uk désigne la somme de cette série (n’a donc de sens que si la suite des sommes

partielles admet une limite) La nature (convergence ou divergence) d’une série ne dépend pas de ses premiers termes

(par contre sa somme si).

Propriété : (un premier outil pour déterminer la nature d’une série)

Si la série ∑ uk converge alors limk→+∞

uk=0.

Attention ! Réciproque fausse (exemple : la série harmonique, de terme général 1/k pour k ≥ 1).

Exercice :

La série de terme général (1/2)k converge : on a la somme des termes d’une suite

géométrique donc on peut calculer sn, sn=1∗1−( 1

2 )n+1

(1−12 )

=2−(12)n

n→+∞→

2.

Les séries de terme général (k²+1)/(k+1) et 1/k divergent : limite infinie pour le terme général de la 1ère ; s2n-sn ≥ ½ pour 2ème, si convergence alors s2n et sn ont même limite –suites extraites- donc la différence tend vers 0 ce qui contredit le fait que cette différence est toujours supérieure à 1/2.

B. Opérations sur les séries.

Définition-proposition : Soient ∑ uk et ∑ vk deux séries.Si ∑ uk et ∑ vk convergent alors leur somme –la série de terme générale uk + vk- est une série

convergente et ∑k=0

∞

(uk+v k)=∑k=0

∞

uk+∑k=0

∞

vk .

Pour tout réel λ, si la série ∑ uk converge alors son produit par λ –la série de terme générale

λuk- converge et ∑k=0

∞

(λuk )=λ∑k=0

∞

uk . Si λ≠0 et ∑ uk diverge alors son produit par λ diverge.

Remarque : La somme de deux séries divergentes est une série divergente. Pour la somme d’une série divergente et d’une série convergente il n’y a pas de résultat général.

II. Des séries de référence : séries géométriques et séries de Riemann.

Définition-propriété : On appelle série géométrique toute série dont le terme général est de la

forme xk, où x∈ℝ (ou ℂ mais pas en BTS). La série ∑k ≥0xk converge si et seulement si │x│ < 1, sa

somme est alors égale à 1

1−x .

Définition-propriété : On appelle série de Riemann toute série dont le terme général est de la

forme 1kα

, où α∈ℝ. La série ∑k ≥1

1k α

converge si et seulement si α > 1.

III. Etudier la nature, le cas des séries à termes positifs.

NB : Une série à termes positifs est une série dont le terme général uk est positif quel que soit k. Dans ce cas la suite des sommes partielles est nécessairement une suite croissante (sn+1 -sn = un ≥ 0), donc il n’y a que deux cas possibles pour la série : ou bien (sn) est majorée et alors la série converge, ou bien (sn) n’est pas majorée et tend vers +∞ la série diverge.

A. Ordre et équivalents.

Proposition : Soient ∑ uk et ∑ vk deux séries pour lesquelles il existe un rang à partir duquel on a l’inégalité 0 ≤ uk ≤ vk. Si ∑ vk converge alors ∑ uk converge. Si ∑ uk diverge alors ∑ vk diverge.

Proposition : Si ∑ uk et ∑ vk sont deux séries à termes positifs à partir d’un certain rang et telles que uk vk en +∞ alors elles sont de même nature.

Exercice : Montrer que la série de terme général 3/(n²+n) converge de trois façons différentes. Avec la définition : 3/(n²+n) = 3/n+3/(n+1) après décomposition en éléments simples donc

on a une série télescopique, sn = 3 – 3/n qui tend vers 3 donc convergence. Avec ordre : 3/(n²+n) ≤ 3/n² qui est le terme général d’une série de Riemann convergente

donc convergence. Avec équivalent : 3/(n²+n) est équivalent à l’infini à 3/n² puis idem que ci-dessus.

B. Comparaison à une série géométrique.

Règle de d’Alembert (non écrite pendant l’exposé) : Soit ∑ uk une série à termes strictement

positifs à partir d’un certain rang k’. S’il existe un nombre L tel que L < 1 et uk+1

uk≤ L pour tout k ≥ k’,

alors la série ∑ uk converge. Si L ≥ 1 alors la série diverge grossièrement.

Corollaire (règle pratique) : Soit ∑ uk une série à termes strictement positifs à partir d’un certain

rang. Si limk→+∞

uk+1

uk=L et si L < 1 alors la série ∑ uk converge, si L > 1 alors la série diverge, si L = 1

alors la série peut diverger ou converger selon les cas.

Exercice : Déterminer pour quelles valeurs réelles de a la série de terme générale k(k+3)ak converge (on utilise la règle de d’Alembert ((k+1)(k+4)ak+1)/(k(k+3)ak) = a*(k²+5k+4)/(k²+3k) qui tend vers a donc convergence si et seulement si a < 1).

IV. Et si la série n’est pas à termes positifs ?A. Cas des séries alternées.

Définition : Une série alternée est une série pour laquelle quel que soit k ≥ N, uk et uk+1 sont de signe contraire. Ainsi à partir d’un certain rang N le terme général peut s’écrire (-1)kuk (ou (-1)k+1uk) avec uk positif.

Critère des séries alternées : Si (uk) est une suite de nombres réels positifs qui décroît vers 0 alors la série alternée ∑ (−1)kuk converge (de même avec ∑ (−1)k+1uk).

Remarque : Ce critère n’en est pas un au sens propre du terme puisque ce n’est pas une équivalence comme on pourrait s’y attendre pour un critère mais une simple implication.

B. Se ramener au cas « termes positifs ».

L’idée : La valeur absolue permet de rendre les termes positifs, tout ce qui précède peut alors être utilisé pour la série de terme général │uk│. Comment fait-on le lien avec la série initiale ? Grâce à ce qui suit.

Définition : Une série ∑ uk est dite absolument convergente si la série ∑│uk│ converge.

Proposition : Une série absolument convergente est convergente.

Attention ! La réciproque est fausse : 1-1+1/2-1/2+1/3-1/3 … est une série convergente (les sommes partielles valent

alternativement 1/(n+1) et 0, et tendent toutes les deux vers 0) mais pas absolument convergente (avec des valeurs absolues on a deux fois la série harmonique).

La série de terme général (-1)^k/k est un autre contre-exemple (convergente avec critère des séries alternées, pas absolument convergente car égale à série harmonique avec valeur absolue).

Démonstrations

Démo propriété I.A. : uk = sn – sn-1 et si la série des uk converge alors sn et sn-1 tendent vers la même limite l donc la différence, c’est-à-dire uk, tend vers 0 CQFD.

Démo propriété I.B. :

Si les deux séries convergent alors les suites de sommes partielles associées convergent, respectivement vers l et l’, donc la somme des deux suites tend vers l+l’ et par conséquent la série somme converge.

Si la série de terme général uk converge alors suite des sommes partielles tend vers l donc le produit de la suite par λ tend vers λl et donc la série multipliée par λ converge. Si la série de terme général uk diverge alors (sauf si λ = 0) la suite des sommes partielles fois λ diverge donc la série multipliée par λ diverge.

Démo II :

Séries géométriques : On calcule ce que vaut la somme partielle en fonction de n puis on en étudie la limite selon la valeur de x.

Séries de Riemann : On a déjà montré que la série harmonique diverge, lorsque α ≤ 1 on a 1/kα ≥ 1/k pour k ≥ 1 donc en utilisant la propriété sur l’ordre on a divergence des séries de Riemann pour α ≤ 1 (à noter donc que cette preuve utilise une propriété qui n’est donnée que plus loin dans l’exposé). Si α > 1 alors on compare la série avec une intégrale : pour k ≥ 2 on a

1kα≤ ∫k−1

k dttα

= 1∝−1 ( 1

( k−1 )∝−1−1k∝−1 ) donc en sommant pour k allant de 1 à n on obtient sn ≤ 1+

∫1

n dtt∝

avec le membre de droite qui est une intégrale de Riemann convergente donc la suite (sn) est

croissante majorée donc converge, donc la série converge pour α > 1. Si on ne veut pas utiliser l’argument de la série de Riemann (on tourne un peu en rond entre série et intégrale de Riemann)

on peut écrire 1kα≤ ∫k−1

k dttα

= 1∝−1 ( 1

( k−1 )∝−1−1k∝−1 ) et en sommant on a à droite une série

télescopique convergente donc avec la propriété sur l’ordre on en déduit la convergence de la série de terme général 1/kα pour α ≥ 1.

Démo III.A. :

Ordre : Soient deux séries de terme général respectif uk et vk telles que pour tout k ≥ K on a 0 ≤ uk ≤ vk. On a deux séries dont les termes sont positifs à partir d’un certain rang K, donc les suites des sommes partielles associées (Un) et (Vn) sont croissantes à partir de ce rang.Si la série des vk converge alors (Vn) est majorée donc (Un) est majorée (d’après l’inégalité). Ainsi (Un) est croissante majorée donc elle converge, ie la série des uk converge.Par contraposée si la série des uk diverge alors la série des vk diverge.

Equivalents : Soient deux séries de terme général respectif uk et vk, à termes positifs à partir d’un certain rang K et telles que uk et vk sont équivalents en + l’infini alors on a :

∀ ε>0 ,∃ k '|∀ k ≥k '|uk−vk∨≤ε∨vk∨¿

donc ∀ k ≥max (K ,k ' ) ,−ε vk≤uk−vk ≤ ε vk ie(1−ε )vk ≤uk≤(1+ε )vkFixons alors Ɛ=1/2, on a 0≤(1−ε )vk≤uk ≤(1+ε )vk, la première inégalité nous donne que si la série des uk converge alors celle des vk converge, la seconde inégalité nous donne que si la série des vk converge alors la série des uk converge, CQFD.

Démo III.B. :

Démo IV.A. :

Démo IV.B. :