Les puissances 1

A) Décomposition d’un nombre en puissances positives d’un autre nombre.

Un entier naturel n est premier si n > 1 et s'il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n.

Il y a une infinité de nombres premiers. Jusqu'à 50, ce sont :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un

produit de puissances de nombres premiers distincts.

Pour décomposer un nombre en produits de nombres premiers, il faut trouver tous les nombres

premiers qui divisent ce nombre. Pratiquement on part du plus petit (2) et on cherche les différents

diviseurs jusqu'à obtenir 1.

Exemple : décomposons 20 en nombres premiers

20 | 2 20 est pair, donc divisible par 2. Le résultat de la division est 10

10 | 2 10 est pair, donc divisible par 2. Le résultat de la division est 5

5 | 5 5 est un nombre premier.

1 La décomposition est finie car le résultat est 1.

On écrit alors : 20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5

Autre exemple : décomposons 462 en nombres premiers

462 | 2 462 est pair

231 | 3 231 est divisible par 3 car 2+3+1 = 6 est divisible par 3

77 | 7

11 | 11

1

On écrit : 462 = 2 x 3 x 7 x 11

B) Calculs avec des puissance

Si a est un réel non nul et n un entier naturel différent 0

Pour tout réel a ≠≠≠≠ 0 a0=1

Pour tout réel a non nul, 1

a existe et est appelé inverse de a. On le note a-1 : a-1 =

1

a

Remarque :

Cohérence avec ce qui a déjà été étudié : a.1

a = a.a-1 = a1-1 = a0 = 1

Cette nouvelle notion nous permet d’introduire des exposants négatifs.

En effet : a-n = (an)-1 = 1

an

Les règles de calculs étudiées dans le cadre des exposants entiers positifs restent valables pour les

exposants entiers négatifs.

Les puissances 2

Si a et b sont des réels non nuls ; si p et q sont des entiers relatifs

apa

q= a

p+q

(a p)q= a

pq

a

p

aq

= ap−q

(ab) p= a

pb

p

a

b

p

=a

p

bp

Exemples :

23.2

-5 = 2

3-5 = 2

-2 =

1

22 =

1

4 (3

-2)-1

= 3(-2)(-1)

= 32

= 9

53

5-2 = 5

3-(-2 )= 5

5 = 3125 (3.2)

-2 = 3

-2.2

-2 =

1

32 .

1

22 =

1

9 .

1

4 =

1

36

C) Calculs avec des puissances de 10 Une puissance naturelle (non nulle) de 10 désigne un nombre plus grand ou égal à 10

4342144 344 21nzérosnfacteurs

n 000000000110.....10.10.1010 == avec n ∈ IN* ( IN \{0})

Ces puissances sont souvent utilisées pour écrire de grands nombres.

Une puissance à exposant entier négatif (non nul) de 10 désigne un nombre compris entre 0 et 1

434214434421 nchiffres

nfacteurs

n

n 01...000,010....10.10.10

1

10

110 ===

− avec n ∈ IN

*

Ces puissances sont souvent utilisées pour écrire de petits nombres.

Exemples :

0000001,0101000000000101000000100001,010 7964====

−−

Noms des puissances de 10

Les scientifiques donnent des noms aux puissances de 10 usuelles

Puissances de 10 Préfixes Symboles 1210 téra T

910 giga G

610 méga M

310 kilo k

210 hecto h

110 déca da

1

Les puissances 3

110− déci d

210 − centi c

310 − milli m

610 − micro µ

910 − nano n

1210 − pico p

Exemples :

1 gigawatt = 1 000 000 000 watts 1 micromètre = 1 millionième de mètre

1 mégaoctet = 1 000 000 octets 1 nanoseconde = 1 milliardième de seconde

Pour les curieux : 1 gogol = 10 100

Nombre à l’origine de GOOGLE (organiser l’immense volume d’informations disponibles sur le web)

Notation scientifique d’un nombre

Un nombre en notation scientifique est un nombre écrit sous la forme d’un produit de deux facteurs :

� le premier est un nombre décimal dont la valeur absolue est un élément de [1 ;10[. � le deuxième facteur est une puissance de 10

Cette notation présente un double avantage :

� une écriture plus « courte » des nombres ayant un très grand nombre de chiffres

par exemple 7 345 627 631,04561 ≈ 7,34562 . 109

(en notation scientifique on se contente généralement d’indiquer 4 ou 5 chiffres après la

virgule)

� cette écriture donne un ordre de grandeur du nombre.

Ainsi, 7,34562 . 109 est de l’ordre de 7 milliards.

Exemples :

Nombre en notation scientifique Ecriture décimale

6,3458 . 710 6 43421

chiffres7

3458000

2,4748 . 510 −

0, 0000 {ème5

2 4748

-8,612 . 410 -8{

chiffres4

6120

-5,0376 . 310 −

-0,00 {ème3

5 0376

3,12345 . 210 3 {

chiffres2

12 ,345

Nombre Ordre de grandeur

Les puissances 4

6,3458 . 710 60 millions

2,4748 . 510 −

2 cent-millièmes

-8,612 . 410 -80 mille

-5,0376 . 310 −

-5 millièmes

3,12345 . 210 3 centaines

D) Racine carrée

Pour tout réel x positif : 2

1

xx =

Pour tout réel positif x : xxxxxxxx ===×==×+

12

1

2

1

2

1

2

1

Toutes les propriétés rappelées ci-dessus pour les exposants entiers relatifs restent valides pour des

exposants rationnels

.

a paq= a p+q

(a p)q= a pq

a

p

aq

= a p−q

(ab) p= a pb p

a

b

p

=a p

b p

Exemples :

(74 )

1

2 = 74×

1

2 = 72 3−

1

2 =1

31

2

=1

3 5

1

2 × 3

1

2 =15

1

2

E) Etude d’un exemple concret de croissance exponentielle

Placement à intérêts composés

Une banque propose, pour un placement d’un montant de 1500 euros fait le 1er

janvier 2011,

un taux d’intérêt composé annuel de 5 %. Cela signifie qu’à la fin de chaque année la somme

en banque augmente de 5%. On nomme C0 le capital initial versé le 1er

janvier 2011, C1 le

capital disponible au bout d’un an, C2 le capital disponible au bout de 2 ans, ……

a) Calculer C1 , C2 et C3 .

b) Que représentent C n + 1 et C n ?

c) Etablir la relation entre C n + 1 et C n .

d) Etablir la relation entre C 0 et C n .

e) Si on laisse pendant 10 ans le compte sans retirer d’argent alors combien aura-t-on au

bout de 10 ans ?

f) A l’aide de la calculatrice déterminer au bout de combien d’années le capital aura

doublé ?

Les puissances 5

F) Croissance linéaire – croissance exponentielle Une population de 12 mille individus passe à 18 mille individus au bout de 1 an.

Pour étudier la suite de son évolution, il y a deux modèles possibles :

• le modèle additif

• le modèle multiplicatif.

Lorsqu’on passe d’un terme au suivant en

ajoutant toujours le même nombre, la croissance

est linéaire :

On connaît le terme initial u0 et on calcule les

suivants par un+1=un+r, où r est un nombre

constant.

Lorsqu’on passe d’un terme au suivant en

multipliant toujours le même nombre, la

croissance est exponentielle.

On connaît le terme initial u0 et on calcule les

suivants par un+1=un..q, où q est un nombre

constant,

u4 = u0 + 4 × 6

u4 = u0 ×1,54

Pour une croissance linéaire, le terme général est :

un = u0 + n × r

un = u1 + (n −1) × r

un = up + (n − p) × r

terme cherché = terme donné +(différence des rangs)×raison

Pour une croissance exponentielle, le terme

général est :

un = u0 × qn

un = u1 × q(n −1)

un = up × q(n − p )

terme cherché = terme donné ×raison

(différence des rangs)

La croissance est linéaire lorsque la différence de

deux termes consécutifs quelconques est

constante.

On parle aussi de « progression par différence ».

La croissance est exponentielle lorsque le

quotient de deux termes consécutifs quelconques

est constante.

On parle aussi de « progression par quotient ».

Représentation graphique : croissance linéaire

Ce sont des points alignés…

C’est une fonction de type « affine », autrement

dit une droite.

Représentation graphique : croissance

exponentielle

Ce sont des points….

C’est une fonction de type « exponentiel », nous

aurons donc une courbe.

+ 6 + 6 + 6 +6 +6 +6

u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5

× 1,5 × 1,5 × 1,5 × 1,5 × 1,5

u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5

Les puissances 6

Puissances (exercices) Exercice 1 : Exercice 2 : Calculer Calculer en utilisant les propriétés des puissances :

2−5

−2−5

45

100

−2

1

3−3

4

1

2

5−2

2−3.1

3

−2

.(−1)−6

−3−2.2−3.6−1⋅ 12

24.2−5.23

25.10−4.55

16

1

2

4

(72)−3.(7−2)−4

95

37

(−2)−3

(−2)−4

310

.(−3)−5

.9−4

Exercice 3 : Ecrire sous la forme d’une puissance de 10

10 00 = 10 000 000 =

0,0001 = 0,000001 =

Exercice 4 : Ecrire sous la forme d’un nombre décimal

=−410 =

410.2

=810 =

−610.3

=72 10.10 =−

710.11,2

=− 43 10.10 3,104 . =

−410 Exercice 5 : Utiliser la notation scientifique pour écrire chacun des nombres suivants :

347000000 = 0,0000012 =

0,000123 = 1234567 =

12 milliards = 159,3 millions =

0,037. 510 = trois millièmes =

340. 610 = un millionième =

Les puissances 7

Exercice 6 : Calculer, sans calculatrice, les expressions suivantes. Donner le résultat en notation

scientifique.

1500 . 40000 = 0,000005 . 0,0004 =

3000 . 0,00005 = =00002,0

240000

Exercice 7 : Ecrire sous la forme: an . b

m , avec m et n entiers relatifs

3232 )()( baba−

a

−3b

3

ab−2 (a

2b

−3)

2a

−5(b

2)

3 x

−3⋅ y

1

2 ⋅ x

1

2 ⋅ x2 .y

−1

2

21a2b

7ab2

3⋅ a−

1

2 ⋅ b⋅ 18⋅ a⋅ b

x−1

⋅ x

1

2 ⋅ x

Exercice 8 :

a. Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :

25 000 000 = 0,000 5 =

0,000002 = 368 100 000 000 =

b. Donner l'écriture décimale des nombres suivants :

3,6 × 104 = 1,6 × 10 – 5 =

3× 10 – 8 = 5,01 × 10 6 =

c. Simplifier les calculs suivants (on donnera les résultats en écriture scientifique)

2× 104 × 3 × 10 – 7 =

3× 10 – 2 × 6 × ( 10²) – 3 =

3 × 10 7 × ( - 2 ) × 10 – 4 =

Exercice 9 : Donner l’écriture décimale des nombres :

N = 6

4

104

106,3

×

× O =

6

5

102

102,3

×

× P =

23

64

1021015

1051012

×××

×××−

Exercice 10 :

En remarquant que 22011= 211

⋅ 22000 , calcule 22011⋅ 5 2000 ( tu donneras le résultat en écriture

scientifique).

Les puissances 8

Avec la calculatrice

Exercice 11 : Calculer dans une feuille de calcul

2−5 − 2−5 45

100

−2

− 3−2.2−3.6−1⋅ 12

−2

3

−2

.−3

4

3

x15y17

x11

y3

x

1

2 x

1

2 y

−1

2 y

−1

2

Exercice 12 :

Calculer en utilisant les propriétés des puissances

24.2−5.23 25.10−4.55 95

37

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat en notation scientifique.

1500 . 40000 = 0,000005 . 0,0004 =

2× 104 × 3 × 10 – 7 = 3× 10 – 2 × 6 × ( 10²) –= 23

64

1021015

1051012

×××

×××−

;

Exercice 13 Une population de bactéries augmente de 40% toutes les heures. Il y a 200 bactéries au départ.

Calculer le nombre de bactéries au bout de 8 h en arrondissant à l’unité.

Au bout de combien d’heures dépassera – t on 1 million de bactéries ?

Les puissances 9

A PARTIR DE L’EXERCICE 15 :

Utiliser toutes Les fonctionnalités ( feuilles de calcul et tableur) de la calculatrice.

Exercice 15 : Un échiquier comporte 64 cases.

Sur la première case, on pose b1 = 1 grain de blé

Sur la deuxième case, on pose b2 = 2 grains de blé Sur la troisième case, on pose b3 = 4 grains de blé

et ainsi de suite jusqu’à la 64ième case en doublant à chaque fois le nombre de grains déposés sur

chaque nouvelle case

1. Déterminer b5 ; b16 ; b47 ; b64 soit le nombre de grains de blé qu’il y a respectivement sur

la 5ième

; la 16ième

; la 47ième

et la 64ième

case. 2. Déterminer le nombre total de grains de blé qu’il y a sur l’ensemble de l’échiquier ;

(on appliquera la formule 1 + a + a2 + a

3 +…..+ a

n =

1-an+1

1-a)

Exercice 16 : Une compagnie de téléphone demande 25 euros par mois et 2 cents par minute d’utilisation.

Calculer la somme demandée pour un mois sachant que le nombre de minutes utilisées est respectivement de 120 ; 200 ; 350

Exprimer la formule de la somme à payer par mois avec une utilisation de n minutes.

Cela m’a coûté 45 euros pour le mois, combien de temps ai-je utilisé mon téléphone ?

Exercice 17 : Une feuille de papier a 0,1 mm d’épaisseur. On la plie en deux, l’épaisseur est maintenant de 0,2 mm.

On recommence ainsi et on la plie 20 fois. Quelle est l’épaisseur du papier obtenu ?

Exercice 18 : L’unité d’intensité du son utilisée est le décibel (symbole dB).

Une source sonore émet un son d’intensité 100 dB.

On appelle Un (n entier naturel) l’intensité du son mesurée après la traversée de n plaques d’isolation phonique, sachant que chaque plaque d’isolation absorbe 10 % de l’intensité du son qui lui parvient.

1. Calculer U 1 , U 2 , U 3 c’est-à-dire l’intensité du son après la traversée de 1 plaque, de 2 plaques, de 3 plaques.

2. Déterminer la relation entre U n + 1 et U n, puis exprimer U n en fonction de U 0 et de n.

3. Combien de plaques le son doit-il traverser pour que son intensité soit inférieure à 50 dB .

Exercice 19 : Une fabrique de vêtements réalise une étude de marché concernant les vestes. En 2008, la production

annuelle est de 5000 vestes. Chaque année, la production doit augmenter de 4 %.

a) Calculer la production prévue en 2009.

b) En déduire le coefficient multiplicateur q qui permet de calculer directement la production

d’une année à l’autre.

c) Calculer les productions en 2010 puis en 2011.

d) Calculer, en fonction de q et de la production en 2008, la production prévue pour 2018.

Exercice 20: La dépréciation annuelle d’une machine est de 25 % de sa valeur au début de l’année. Si sa valeur initiale est de 5000 €, quelle est sa valeur après 6 ans ?

Les puissances 10

Exercice 21: La vieille citerne d’eau au fond de mon jardin perd chaque jour 3 % de son eau.

Entièrement remplie lorsque je suis partie en vacances (la jauge indique 1200 litres), combien restera-

t-il d’eau à mon retour 14 jours plus tard ?

Exercice 22 : Jean a placé un ficus dans son salon. Le plafond est à 2,50m et le ficus mesurait 1,50m le 1er août

2010. La hauteur d’un ficus croit de 10% par an.

A l’aide de la calculatrice déterminer le nombre d’années pour que le ficus atteigne le plafond.

Exercice 23 : Lola a placé un capital C0 pendant 6 ans à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Elle a ainsi acquis

un capital de 4288,31 €.

Calculer C0 en arrondissant à l’unité.

Exercice 24 : Lucile a placé 2500 € le 1er janvier 2009 à intérêts composés. Le 1er janvier 2011 son capital est de

2652 ,25€.

Quel est le taux du placement ?

Exercice 15 : .Déterminer b5 ; b16 ; b47 ; b64 soit le nombre de grains de blé qu’il y a respectivement sur

la 5ième

; la 16ième

; la 47ième

et la 64ième

case.

Feuille de calcul ou tableur

Déterminer le nombre total de grains de blé qu’il y a sur l’ensemble de l’échiquier ;

Feuille de calcul ou tableur

Les puissances 11

Exercice 16 : .....Calculer la somme demandée pour un mois sachant que le nombre de minutes utilisées est

respectivement de 120 ; 200 ; 350

Exprimer la formule de la somme à payer par mois avec une utilisation de n minutes.

Cela m’a coûté 45 euros pour le mois, combien de temps ai-je utilisé mon téléphone ?

Feuille de calcul et tableur

Exercice 17 : Une feuille de papier a 0,1 mm d’épaisseur. On la plie en deux, l’épaisseur est maintenant de 0,2 mm.

On recommence ainsi et on la plie 20 fois. Quelle est l’épaisseur du papier obtenu ?

Tableur

Exercice 18 :

Les puissances 12

Calculer U 1 , U 2 , U 3 c’est-à-dire l’intensité du son après la traversée de 1 plaque, de 2 plaques, de 3

plaques.

Déterminer la relation entre U n + 1 et U n, puis exprimer U n en fonction de U 0 et de n.

Combien de plaques le son doit-il traverser pour que son intensité soit inférieure à 50 dB .

Exercice 19 : Calculer la production prévue en 2009.

Calculer les productions en 2010 puis en 2011.

Calculer, en fonction de q et de la production en 2008, la production prévue pour 2018.

Exercice 20:

Les puissances 13

La dépréciation annuelle d’une machine est de 25 % de sa valeur au début de l’année. Si sa valeur

initiale est de 5000 €, quelle est sa valeur après 6 ans ?

Exercice 23 : Lola a placé un capital C0 pendant 6 ans à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Elle a ainsi acquis

un capital de 4288,31 €.

Calculer C0 en arrondissant à l’unité.

Exercice 24 : Lucile a placé 2500 € le 1

er janvier 2009 à intérêts composés. Le 1

er janvier 2011 son capital est de

2652 ,25€. Quel est le taux du placement ?