Les Poutres Continues Cours

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Chapitre 6LES POUTRES CONTINUES Application de la mthode des forcesA- POUTRES CONTINUES A ME PLEINE6.1 INTRODUCTIONLespoutrescontinuessontdesstructuresqu'onrencontretrsfrquemmentdans les constructions courantes.On appelle poutre continue une poutre reposant sur plusieurs appuis. Il sagitgnralement dappuis simples, lexception dun seul qui est un appui double etdontle rleconsisteassurerlastabilitgomtrique de lapoutre,comme em-pcher la translation horizontale dans le cas de la figure 6.1. Lappui double peuttre plac une extrmit ou, plus gnralement, tre un appui intermdiaire.Les extrmits dune poutre continue peuventtrs biencomporterdes porte--fauxoutreencastres.Letraitementdecescasparticuliersestabordplusloin.Lespoutrescontinuessontdessystmeshyperstatiquespuisquellesprsen-tent des liaisons surabondantes (toutes les liaisons en plus de ce que doit compor-ter une poutre isostatique). Dans le cas dune poutre sans encastrements, le nom-bre de liaisons surabondantes, donc le degr dhyperstaticit, est gal au nombredappuis intermdiaires.Comparativement une srie de poutres bi-articules dont le nombre est gal celui des traves dune poutre continue, cette dernire est plus conomique carl10 1 knlklnFigure 6.1 : Poutre continue avec le mode de numrotation des traves96 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESlesmomentsflchissantsqui lasollicitentsontplus faibles.Lacomparaisonestencore plus nettement lavantage de la poutre continue par rapport une poutreisostatiqueuniquedemme longueur.Dansunepoutrecontinue,lesappuisin-termdiairescontribuent rduire et mieux rpartirsurtoute lapoutre lemo-mentflchissant(quiestlasollicitationprpondrante).Cetteobservationrestevalablepourlesdplacementsquisontnettementmoinsimportantsdanslecasdes poutres continues. Ces dernires prsentent par ailleurs une plus grande rigi-dit et rsistent de ce fait mieux laction dynamique.Leschargesconsidresicisontsupposes tre appliquesstatiquement. El-lessontconstituesdechargestransversales(voireinclines),concentresourparties, et de couples.Contrairementauxpoutresisostatiques,lespoutrescontinues,commetousles systmes hyperstatiques, sont trs sensibles aux dplacements des appuis. Cephnomne a dj t mis en exergue dans un exemple dapplication des formu-les de Bresse traitant une poutre continue soumise au seul effet de laffaissementdun de ses appuis.Lorsque des tassements dappuis sont craindre, les poutres isostatiques sontmieuxindiques.Sipourquelqueraisonquecesoitdesappuisintermdiairessont ncessaires, on ajoute lapoutre continue desarticulationsjudicieusementplaces de manire larendre isostatiqueetannulerainsisasensibilitauxaf-faissements des appuis susceptibles de se produire.Ce type de poutre - poutre reposant sur plusieurs appuis et rendue isostatiqueparlajoutderotules-estdsignpar poutreGerber.Ellessontobtenuesenajoutantautantdarticulationsquily adappuisintermdiaires.Poursassurerque la structure obtenue est bien isostatique et quil ny a ni tronon dformable(trononlibreconstituantunmcanisme)nitrononhyperstatique,ilsuffitderespecterla rglesuivante : pasplus dedeux articulations entre deux appuis,niplusdedeuxappuisentredeuxarticulations.Atitredexemple,lafigure6.2montre les deux faons possibles dobtenir une poutre type Gerber dans le cas dedeux appuis intermdiaires.Linfluence dumomentflchissantsurlesdformationstantprpondrantedanslespoutrescontinues,cestlaseulesollicitationdontilseratenucomptelors du calcul des dplacements que nous serons amens effectuer.Figure 6.2 : Exemples de poutres Gerber(a)(b)A- Pout r escont i nuesmepl ei ne 976.2 APPLICATION DIRECTE DE LA METHODE DES FORCESConsidronsunepoutrecontinuehorizontalesansencastrements(Figure6.3a).L'application directe et intui-tive de la mthode des forcesconduitconsidrercommeinconnueshyperstatiqueslesractions(verticales)desappuis intermdiaires.Le systme debase obte-nuparsuppressiondesliai-sonsverticalesdesappuisintermdiaires est une poutresimplementappuye(Figure6.3b).Danscecas,lecalculdesmomentsunitaires msk(Figure6.3cet6.3d)etdumomentprovoquparleschargesextrieures MsF,ncessairesaucalculdescoefficients ijujFet ,neprsente aucune difficult.Cependant,cechoixnestpasintressantcarilimpliquedescalculsfasti-dieux cause notamment du fait que les moments msk et MsF sont gnralementdiffrents de zro sur toute la longueur de la poutre. De la sorte, les lments dela matrice de souplesse [u] et du vecteur dplacement [F] sont tous non nuls.Ceci nest pas la seule raison ; il en existe une autre plus dterminante. Cha-quecolonnedelamatrice[u]reprsentelesdplacements(flchessilsagitdune poutre horizontale)despointsdapplicationdes inconnueshyperstatiquesprovoqusparunesollicitationunitaire.Pourunepoutrecomportantplusieursappuis intermdiaires, deuxcolonnes successivesde[u]aurontdes valeurs trsprochesetserontcomparables.Decefait,lamatrice[u]devientpratiquementsingulire etconduitdes solutions trs imprcises lors de larsolutiondu sys-tmedquations canoniques.Aussi,onopte pourunautre choixdes inconnueshyperstatiques de manire contourner cette difficult et rduire les calculs.(a)(b)(c)(d)0 1 2 3l1l2l3X1X2X1=1X2=1Figure 6.398 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUES6.3 FORMULE DES TROIS MOMENTS6.3.1 Etablissement de la formuleConsidrons une poutre continue sans encastrements n traves (Figure 6.4).Son degr d'hyperstaticit est gal n-1.Prenonspourinconnues hyperstatiqueslesmomentsflchissantsagissant audroit de chaque appui intermdiaire. Pour ce faire, on procde des coupures demanire supprimer la liaison de moment au niveau de chaque appui. Sagissantdinconnues hyperstatiques internes, chaque coupure libre deux inconnues (desmoments) gales est opposes.Enpratique,celarevientintroduireunearticulationau-dessusdechaqueappuiintermdiaire(Figure6.5a).Pourremplacerlesliaisonssupprimer,onappliqueauxlvresdechacunedescoupuresdeuxcouplesgauxetopposs(M1, M2, , Mn-1) (Figure 6.5b).Le systme statique de base ainsi obtenu prsente une proprit remarquable.En effet, on remarque que si on charge une trave, les autres ne subissent aucuneinfluence.Ce rsultatsignifiequelesystme principalse comporte comme unesuccessiondepoutressimplementappuyesobtenuesparsparationdes ntra-ves (Figure 6.6).0 1 k-1 k k+1nl1lklk+1lnFigure 6.4(a)(b)0 1 k-1k k+1 n-1 nX1=MlXk-1=Mk-1 Xk=Mk Xk+1=Mk+1 Xn-1=Mn-1Figure 6.5 : Systme statique de baseM1MM1MMk-1MMk-1MMkMMkMMk+1MMk+1MMn-1MMn-1MFigure 6.6A- Pout r escont i nuesmepl ei ne 99Pourcalculerles momentsinconnusauxappuis,onappliquelethormedeMenabrea pour chacun deux : WMcWMcWMcWMckknn112211, ... ... , ,o les cireprsentent les manques de concordance des appuis. Ils sont nuls dansle cas des systmes concordants.Les quationsdu systmeci-dessus peuventsemettresouslaformeconnuedeMller-Breslau.Lquationcouranterelativelinconnue Mk scrit : WMc M ckk kiui kF k + i=1n-1Endveloppantlexpressionprcdente,lesystmedes"n-1"quationsdecontinuit prend la forme : 11 1 12 2 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1u unun Fkukuknun kF kM M M cM M M c+ + + + + + + + ................................................ ....... ....... ..................................................................... nunun n n n F nM M M c + + + + 11 1 12 2 1 1 1 1 1Chacunedesquationsexprimelaconditiondecontinuitdelapoutred-forme au-dessus d'un appui.Lquation kparexemple,exprime quela rotationrelativeentreleslvresdelacoupureau-dessusdel'appui kestgaleaumanquedeconcordancecorrespondant.Danslecasdunsystmeconcordantcetterotationrelativeestnulle ; ou encore que la rotation gauche (kg)estgalelarotationdroite(kd);cequisignifieaussiqu'enchaquepoint(appuiparexemple)iln'yaqu'unetangentecarlalignelastique (la dforme) est continue (Figure 6.7).Signification des coefficients iju et iFLes coefficientsiju etiF reprsentent les rotations relatives des lvres dela section coupe i du systme de base. Les premires sont des rotations par unitde couple. ijuestlarotationrelativedeslvresdelasection idusystmedebase,sous leffet dun couple unitaire appliqu aux lvres de la coupure j (les sectionsi et j se trouvant dans le cas prsent au dessus des appuis intermdiaires i et j). iFestlarotationrelative deslvres delasection idusystmedebase,sous leffet des charges extrieures (notes F).( ) kd( ) kgkTangenteFigure 6.7100 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESConsidrons parexemple l'quationde continuit k(relativelacoupure k).Elle scrit : kukukkuk kkuk kkuk knun kF kM M M M M M c1 1 2 2 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + + + ... ...(6.1)On voit apparatre dans lquation les coefficientskju avec j = 1, 2, , n-1et kF. Si nous ne tenons compte que du moment flchissant, qui est la sollicita-tion prpondrante, ces coefficients sobtiennent par les intgrales suivantes : kjusk sjkFsF skL L m mEIdx (a)M mEIdx (b) 0 0(6.2) L= longueur totale =i=1nli o msk(mk)et msj(mj)sontlesmomentsflchissantsproduitsdanslasectioncourante s du systme fondamental par les couples unitaires Mk=1 et Mj=1 agis-santen keten j,respectivement(Figure6.8). MsFtantlemomentflchissantdans la section courante du systme de base sous laction des charges extrieures(F).Onconstatequechaquecoupleunitaireproduitunmomentflchissantuni-quement sur les deux traves situes de part et d'autre de l'appui o il est appli-qu. Pour que les moments dans la section courante s produits par Mk=1 et Mj=1soient simultanment diffrents de zro, il faut que les indices k et j nediffrentpas de plus d'une unit. On en dduit que les coefficients kjusont nuls ds que kdiffre de j de plus d'une unit. Ainsi, dans l'quation (6.1) seuls les coefficients kukkuk ku + 1 1 ket , sont diffrents de zro.Comptetenude ce rsultat,l'quationgnrale de continuit (6.1)se simpli-fie et devient : k kuk k k k kkuk kF kM M c-1uM + ++ + + 1 1 1(6.3)(a)(b)k-1kMk=1k+11lklk+1lj lj+14mj-1 jMj=1j+11Figure 6.8 : Diagrammes msk et msjA- Pout r escont i nuesmepl ei ne 101ou encore : k kuk k k k kkuk k kFM M c-1uM + ++ + 1 1 1(6.4)Onremarquequetroismomentsflchissantsinterviennentdanscettequa-tion, d'o son nom de "formule des trois moments".6.3.2 Calcul des coefficients de la formule des trois momentsIlrestecalculerles coefficientsintervenant dans l'quation(6.4).Consid-rons unepoutrecontinuesans encastrementcomportant ntraves.Lesdiagram-mesunitairespermettantlecalculdescoefficients kkukkukku + 1 1,et sontreprsents la figure 6.9. Calcul de kku1:kku sk sk sk skiol Lsk skklm mEIdxm mEIdxm mEIi k 11 1010= =i=1n( ) ( )(6.5)avec :mxlxlskkskk 11et mFigure 6.9 : Diagrammes unitaires msk-1, msk et msk+1k-2Mk-1=1k-1(a)1lk-1lkkk+1 k-1(b)1lklk+1kMk=1(c)1lk+1lk+2k+1Mk+1=1k+2 k102 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESd'o :, kkuk k klkkklxlxldxEIlx l xEIdxk k

_, 12110 0( ) ( )(6.5)Si (EI)k est constante sur lk, on obtient :kku kklEI16( )Cedernierrsultat-casavec (EI)kconstantesurlatrave lk-s'obtientplusrapidement avec la mthode graphique ; il vient :kkukkkkEIllEI

_,

_,

11 12113 6 ( ). .( )Sila rigidit flexionnelle variesurchaque trave,oncalcule lescoefficientsanalytiquement comme on l'a fait pour kku1.Pour le reste des calculs nous supposons que EI est constante sur chaque tra-ve. Calcul de kku (mthode graphique)kkukkkkkkkkEIlEIllEIlEI

_,

_,

+

_,

_,

+++++1 121231 12123 3 31111( ). .( ). .( ) ( )(6.6) Calcul de kku+1 (mthode graphique)k kkkkkEIllEI+++++

_,

_,

111111 12113 6u( ). .( )(6.7) Calcul de kFPar dfinition, voir relation 6.2 (a) :kFsk sFilinsk sFklsk sFklm MEIdxm MEIdxm MEIdxi k k + ++( ) ( ) ( ) 010101= (6.8)Seules les deux intgrales sur lk et lk+1 subsistent puisque msk est nul ende-hors de ces traves. Soit :kF kg Fkd FR R +( ) ( )(6.9)- Rkg F ( )= rotation de la section k (au-dessus de l'appui k) du systme statiquede base sous l'effet des charges extrieures agissant sur la trave lk.- Rkd F ( )= rotation de la section k du systme statique de base sous l'effet descharges appliques sur la trave lk+1.A- Pout r escont i nuesmepl ei ne 103 Calcul pratique de kF1re mthodeConsidrons les traves lk et lk+1 (du systme isostatique de base) adjacentesl'appuiconsidr k.Lesdeuxtravesconstituentdeuxpoutressimplementappuyes comme on la vu.Lediagrammedesmomentsflchissantsdechaquepoutresousleschargesextrieures peuttre aismentobtenu.Selonla mthode delapoutre conjugue,utilise pourle calculdesdplacementsdes systmesisostatiques (voirchapitre2),sioncharge(fictivement)lespoutresparleursdiagrammesdesmomentsrespectifsdivissparlarigiditflexionnelle(qf=MsF/EI),alors Rkg F ( )etRkd F ( )constituent la raction en k de la poutre de gauche et la raction en k de lapoutre de droite, respectivement (Figure 6.10).2me mthodeSachant que le moment msk vaut x/lk sur la trave lk et 1-x/lk+1 sur latrave lk+1, lquation (6.8) devient :kFsFk klsFk klksFklkk sFklM xl EIdxMEIxldxlxMEIdxll x MEIdxk kk k + + + ++++++( ) ( )( )( )( )( )01 100111011 111Lapremireintgralereprsentelemomentstatiquedudiagramme MsF/(EI)k surla trave lk par rapport lappui k-1 alors que ladeuximedonnelemomentstatiquedudiagramme MsF/(EI)k+1 surlatrave lk+1 parrapport lappui k+1. Lquation prcdente peut scrire :kFkkkkSlSl +++11(6.10)o Sk et Sk +1 sont les moments statiques dfinis plus haut.Danslecasolarigiditflexionnelleestconstantesurchaquetrave,lexpression prcdente prend la forme :Rkg F ( )lklk+1k-1kk+1MsF/EIRkd F ( )a) Diagramme MsFb) Poutres conjuguesFigure 6.10104 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESkFk kk kk kkkl EIzl EIz ++ +++1 11 111( ) ( ) (6.11)- k est laire du diagramme MsFsur la trave lk.- k+1 est laire du diagramme MsFsur la trave lk+1.- zk distance de lappui k-1 au centre de gravit de k.- zk +1 distance de lappui k+1 au centre de gravit de k+1. Calcul de ckLe manquede concordance dunappuiestreprsentparle dplacement li-naire ou angulaire quil subit depuis sa position concordante jusqu sa positionrelle.Danslecasprsent,lesmanquesdeconcordanceintroduiresontdesdplacements angulaires et la position concordante correspond la position hori-zontale.Lesmanquesdeconcordanceproviennentdesdnivellations quepeuventsubirlesappuis(Figure 6.11).Comme noustravaillonsdansle cadre des petitsdplacements, les dnivellations sont suffisamment petites et de ce fait les anglesde discontinuit (Figure 6.11c) peuvent tre confondus avec leurs tangentes.Le manque de concordance est donn par :ck = + = tg + tg = (k- k-1)/lk + (k- k+1)/lk+1= (k- k-1)/lk - (k+1- k)/lk+1(6.12)Les dnivellations sont comptes positivement vers le bas.Enintroduisantdansl'quationdestroismoments(6.4)les valeurstrouvesdes diffrents coefficients on obtient :lklk+1kk+1 k-1k-1kk+1(b)(a) (c)(a) Position concordante.(b) Position relle.Figure 6.11A- Pout r escont i nuesmepl ei ne 105Mm mEIdx MmEIdxmEIdxMm mEIdxl lm MEIdxm MEIdxksk skklkskklskklksk skklk kkk kksk sFklsk sFklk k kkk k++++ ++ + + +

1]11++ +++1102021011101 11010111( ) ( ) ( )( )( ) ( ) (6.13)ou encore :Mlx l xEIdx MlxEIdxll xEIdxMlx l xEIdxl llxMEIdxll x MEIdxkkkklkk klkkklkkkklk kkk kkksFklkk sFklk k kkk k+++++++ ++++++ +

1]11 ++ +++1202201212101121101 11011101 11 1111( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) (6.13)Ces expressions sont valables dans le cas gnral.Cas particuliers1) Chaque trave a sa rigidit flexionnelle constante.MlEIMlEIlEIMlEIl l l EIM xdxl EIM l x dxkkkkkkkkkkkk kkk kk k ksFlk ksF klkk+++++ +++ +++ +

1]1 +

1]1 +1111111 1101 1102666 1( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )= (6.14)2) Rigidit flexionnelle constante sur toute la poutre.M l M l l M lEIl l lM xdxlM l x dxk k k k k k kk kkk kk ksFlksF klkk + + + +++++ + +

1]1 +1 1 1 11 1101102666 1( )( ) = (6.15)3) Le systme est concordant et EI est constante sur toute la poutre.M l M l l M llM xdxlM l x dxk k k k k k kksFlksF klk k + + ++++ + + +1 1 1 1011026 6 1( )( ) =(6.16)106 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESOnpeutremplacerlesecondmembreparlaractionfictiveagissanten k:R R RkFkg Fkd F +( ) ( ). Cette raction est positive si elle est dirige de bas en haut.On crit l'quation des trois moments pour chaque appui intermdiaire.6.3.3 Points particuliers1)Prsenced'unencastrement:onremplacel'encastrementparunepoutreadjacentedontonfera tendre la longueurvers zroenappliquant laformule destrois moments.2)Prsenced'unporte--faux(console):la consoleseraremplaceparseseffets, pour l'application de la formule des trois moments.3)Couple concentr enunappuiintermdiaire :onpeutsoitle diviserentreles deux traves adjacentes, soit le reporter sur l'une des deux.6.3.4 Calcul des lments de rduction1) Raction de lappui k- Action des moments aux appuis seuls (Figure 6.12).RM Mlk Mg k kk( ) 1;RM Mlk Md k kk( ) ++11- Action des forces extrieures :R R Rk F k Fgk Fd( ) ( ) ( ) +d'o :R RM MlM Mlk k Fk kkk kk ++ ++( )1 11(6.17)2) Moment flchissantLe diagramme final est obtenu par superposition des diagrammes (des travesisostatiques) des charges extrieures et des moments appliqus aux appuis. Cher-chons lexpression du moment flchissant dans la section courante de la trave lk(dabscisse x par rapport lappui k-1).Chaquetrave lkdusystmedebasesecomportecommeunepoutrebi-articule sollicite,en plus des charges extrieures, pardeux couples Mk-1 et Mkappliqus ses appuis. Si on dsigne par Ms F ( )lemomentproduit dans lasec-tioncourantede lkparleschargesextrieuresquiluisontappliques,alorslexpression gnrale du moment flchissant scrit :, M M M M Mxls s F k k kk + + ( ) 1 1(6.18)Rk Md( )Rk Mg( )lklk+1Mk-1Mk Mk+1kk-1 k+1Figure 6.12A- Pout r escont i nuesmepl ei ne 1073) Effort tranchantLexpressiondel'efforttranchantdanslasectioncourantedabscisse xsobtientendrivantparrapport xl'expressiondumoment.DsignonsparTs F ( ) leffort tranchant d aux charges extrieures ; il vient :T TM Mls s Fk kk +( )1(6.19)6.3.5 Exemple d'applicationConsidronsunepoutretroistravesgalesetinertieconstantesoumiseunechargeuniforme q (Figure 6.13a).Lapoutreestdeuxfoishy-perstatique maiscompte tenu dela symtrie, il ny a quune seuleinconnue.Oncritunefoislquationdestroismoments,pour k=1.M0 = M3 = 0et M1 = M2 = MEquationdestroismoments(appui 1) :, , , M l M l l M lEI R RMl EI RRMl EI Rg F d Fg Fg F d Fg F0 0 1 1 2 2 21 111 11265 6 25 12+ + + + = ;R( ) ( )( )( ) ( )( )REIqllqlEIg F12 31223 8 24( )

_, Mql210, Mestdirigdanslesensopposdusenschoisi arbitrairement.Lesfigures6.13get6.13hmontrentlesdiagrammesde Met de T.(a)01 2 3l1=l l2=l l3=l(b)M1 M2(c) ms1M1=1(d) ms2M2=1(e) Ms(F)ql2/8(f) Ms(M)ql2/10(g) Msql2/10ql2/402ql2/25(h) Ts0.4ql 0.5ql0.6qlFigure 6.13q11108 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESB- POUTRES EN TREILLIS ARTICULES6.5 SYSTEMES ISOSTATIQUES PLANS EN TREILLIS ARTICULES6.5.1 Dfinitionsa) Systme en treillis articulOn appelle systme en treillis articul (systme rticul ou plus brivement treil-lis) un ensemble de pices droites ou courbes, appeles barres, lies les unes auxautres(enleursextrmits)pardesarticulations.Lespointsd'assemblagedesbarres sont appels nuds.b) Systme plan en treillis articulLorsquelesaxesdesbarresetleschargesappliquessontsitusdansunmme plan, on parle alors de systme plan.c) Systme charg indirectementOnditqu'unsystmeentreillis est charg indirectement,si toutes lesforcesextrieures sont appliques exclusivement aux nuds.Si les charges sont appliques en des points quelconques et notamment en desendroits des barres autres que les nuds, on parle alors de systme charg direc-tement.d) Systme isostatiqueSi les quations de la statique suffisent elles seules la dtermination com-pltedusystme,c'est--dire qu'ellespermettentdecalculerles ractionsetlesefforts en tout point du systme, le systme considr est dit isostatique. Dans lecas contraire, le systme et dit hyperstatique.6.5.2 Treillis chargs indirectementSeulslestreillisisostatiquesplans,chargsindirectement,serontenvisagsdans ce chapitre.a) Thorme :Lorsqu'unsystmeplanentreillisarticul,constitudebarresdroites,estcharg indirectement, chaque barre du systme n'est soumise qu' un effort nor-mal constant.Figure 6.14 : Poutre isostatiqueMembrure suprieureMembrure infrieureDiagonaleMontantA- Pout r escont i nuesmepl ei ne 109Considrons une barre du treillis. Le systme tant en quilibre, chaque barreleconstituantl'est aussi.La barre tantarticule, ses extrmits ne sontle siged'aucunmoment.Lesseulessollicitationsqu'ellesupportesontlessystmesdeforces concentres aux extrmits.Chaquesystmedeforcesadmetunersultante.Lesrsultantes(R1etR2)doiventobligatoirementtrega-lesetopposespourquel'quilibrepuisseseraliser.Endfinitive,labarren'estsoumisequ'uneffortnormalconstantpouvanttreunetraction ou une compression.b) Condition d'isostaticitLesbarresn'tantsoumisesqu'des efforts normaux, en chaque nuddu treillis il y a unsystme de forcesen quilibre. L'quilibre d'un systmeagissantsuruneparticule,unnudparexemple,estvrifisilarsul-tanteestnulleousilesprojectionssuivant2directionsperpendiculaires(x et y par exemple), sont nulles (Fx= 0, Fy= 0).Si ndsignele nombredenuds(les appuis sont aussi des nuds, n =10 pour le systme de la figure 6.14),le nombre d'quations dquilibre de la statique qu'on peut crire est gal 2n.Soient blenombredebarreset llenombredeliaisonsdanslesappuis.Lacondition d'isostaticit s'crit :2n = b+l(6.20)Ilfautcependantprciserque lacondition(6.20)peut s'avrerinsuffisante prouver l'isostaticit d'un treillis ; le systme doit en outre tre gomtriquementinvariable.Unerglesimple dite rgledelamailletriangulaireper-met de vrifier si le systme estisostatique et stable. Cette rgles'noncecommesuit:si,par-tantd'unemailletriangulaire,onarrivereconstituerlesys-tmeenajoutant2barreslafois, alors le systme est isostatique stable.R1R2Figure 6.15 : Barre d'un treillis charg indirectementF1F1FiFnyxFigure 6.16 : Nud d'un treillischarg indirectementFigure 6.17 : Systme vrifiantla condition 6.20 mais instable110 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUES6.5.3 Mthodes de calculOn peut diviser les mthodes de calcul des systmes en treillis articuls isos-tatiquesendeuxcatgories:lesmthodesanalytiquesetlesmthodesgraphi-ques.Lamthodegraphiquelaplusrpandueestcellede Cremona(tracdeCremona). Elle consiste construire le polygone des forces en chaque nud. Lesmthodes analytiques les plus usuelles sontla mthode des nuds etla mthodedes sections. Les trois mthodes cites seront prsentes.Ilfautsoulignerque,indpendammentdelamthodeutilise,ondoittou-jours commencer par le calcul des ractions.a) Mthode des nudsPrincipe : La mthode consiste isoler le nud considr par des coupureslibrant les efforts dans les barres et projeter toutes les forces, efforts normauxet forces extrieures, agissant sur le nud suivant deux axes perpendiculaires.On doit obligatoirement entamer les calculs par un nud auquel n'aboutissentque deux barres (2 inconnues, 2 quations). Puis on passe un nud qui ne pr-sente pas plus de deux inconnues.Exemple d'application ud ALechoixdusensdeseffortsdanslesbarresestarbi-traire. Le sens choisi correspond la traction ; le calculmontrera pour chaque barre la nature exacte de l'effortqu'elle porte.Fx = 0 N2 = 0Fy= 0N1=-P(lesigne"-"indiquequelabarre 1 est soumise une compression).Figure 6.18 : Poutre isostatiqueP/2 P/2 PF ECAD GByxl l l l4 89 756321 hN1N2ARA=PA- Pout r escont i nuesmepl ei ne 111 ud CFx = 0 N3 cos + N4 = 0Fy = 0 P - N3 sin = 0d'o :NP3 sin (traction)et NPtg4 (compression) ud DF N NPtgF N NP (compresxy 006 35 3cossin(traction)sion) ud EFPtgN NF NPNPtgxy + + 0 002328 778cossin (traction) (compression) udFF NPtgF N P (compresxy 032089' (compression)sion)N4N3N1=PN6N5DN2=0 N3=P/sinN8N7EN5=PP/2N4=P/tgN9PN8=(3/2)P/tgN8'F112 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESLa figure 6.19 ci-aprs montre la nature de l'effort dans les barres tudies.Convention :- Flches vers les nuds = compression- Flches vers le centre = traction- 0 = effort nulb) Mthode des sections (ou de Ritter)Principe :Lamthodeconsistepratiquerdanslesystmeunecoupenerencontrant pas plus de 3 barres (sauf dans des cas prcis) non concourantes, defaonsparerletreillisendeuxparties.Pourtrouverl'effortdansunedesbarres, oncritl'quation d'quilibre derotation del'une des deux parties parrapport au point d'intersection des autres barres (Figure 6.20).M/A = 0 N5 = M/B = 0 N4 = M/C=0N6=(partie de droite)NB:Lepointd'in-tersectiondes barres parrapportauqueloncalculelesmomentsn'estpasncessairementunnuddusystme (d'o l'intrt travailler graphiquement).Cas particuliers1) Deux barres coupes sont parallles (point d'intersection rejet l'infini)(Figure 6.21)L'effort NKHestobtenupartirde l'quation M/J = 0 etl'effort NLJ dans labarre LJ s'obtient partir de : M/K = 0. Pour calculer NKJ, on utilise une qua-tiond'quilibredetranslation, Fy=0 parexemple;oubienunequationd'quilibre de rotation par rapport un appui, M/A = 0 par exemple.Figure 6.21 : Poutre en NK HJ LAABC645Figure 6.20PP/2 P/2PPFigure 6.19 : Reprsentation de la nature des effortsA- Pout r escont i nuesmepl ei ne 1132) Plus de trois barres coupes :lamthode de Ritter peurtre applique condition que les barres coupes soient toutes convergentes sauf une.La coupe a-a (Figure 6.22) prsente trois barres concourantes 4-5, 5-6 et 6-9en 6 et l'quation M/6=0 donne l'effort N47. L'effort N47 connu, on fait la coupeI-I et il n'y a plus que trois efforts inconnus.Intrtde lamthodedessections:elle permetdecalculerdirectement l'ef-fort de n'importe quelle barre et constitue de ce fait un excellent moyen de vrifi-cation des rsultats obtenus par les autres mthodes.Exemple d'applicationRactions : R R tA B 824 tM/i = 0 2RA N4 = 0 N4 = 8 t (traction)M/A=02x3t+ZN5=0,avec : Z m 45 N t5325 M/j= 0 Z'N62x3t+4RB= 0 Z'N6 = -10 tm3tN4RA=4ti2mN5Figure 6.232t3t3tZ'Z231 4567 A B2m 2m 2m 2m1m1mRARBic j532164879(a)(a)IIFigure 6.22 : Poutre en K114 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESsin' 15 4Z , d'o : Z' 4 5 met : N 5.59 t6 Pour calculer les efforts dans les barres 1, 2 et 3 on crit les quations d'qui-libre de translation en A et C. On peut galement appliquer la mthode de Ritter.Remarque : Dans la pratique, les bras de leviers peuvent tre mesurs graphi-quement ce qui prsente l'avantage de faciliter le travail.c) Mthode de Cremona (trac de Cremona)Principe: Lamthodeconsistetracerlepolygoned'quilibredesforcesappliques chaque nud. Tous les nuds tant en quilibre, les polygones sontncessairement ferms.Pourpouvoirappliquerlamthode,ilest ncessaire quelesystmepossdeaumoins un nud auquel n'aboutissent que deux barres.Les tapes de la mthode :1) On reprsente le systme dans une chelle des longueurs.2) On calcule les ractions puis on numrote :a) Lesintervallesentrelesforcesextrieuresentournantdansunsens,lesens horlogique par exemple.b) Les intervalles du rseau (domaines intrieurs dlimits par les barres).Ainsi,chaquebarresetrouvecaractrisepardeuxchiffresdsignantlesintervalles (domaines) adjacents.3)Onconstruitle polygone desforces extrieures,dansune chelle desfor-ces choisie ; ce polygone est ferm puisque les forces extrieures sont quilibrespar les ractions (quilibre global). On prcise le sens des forces par des flches.4)Ontrace ensuitele polygone desforces agissantsurchaque nud(forcesextrieures et effortsdans les barres) en commenantparun nudauquel abou-tissentseulementdeux barres puisonpasseunnud n'ayant quedeuxeffortsinconnus.N.B.:Lesdirectionsdeseffortssontconnues(orientationsdesbarres)etleurssens et intensit sont obtenus en fermant chaque polygone.Nature des effortsA- Pout r escont i nuesmepl ei ne 115Exemple d'applicationSoit calculer les efforts dans les barres de la poutre reprsente la figure6.24 dj calcule par la mthode de Ritter.La rsolution du problme se fait selon les tapes ci-aprs.0- On reprsente la structure dans une chelle des longueurs (Figure 6.24).1- Numrotationdesdomainesextrieurs(dlimitsparlesforcesappli-ques et les ractions) : 1, 2, 3, 4 et 5 (sens horlogique, Figure 6.24).2- Numrotationdesdomainesintrieurs(mailles):6,7,8,9,10,11(degauchedroite).Onpouvaitchoisirdeslettreslaplacedeschiffres(Figure 6.24).Onpeut maintenant numroterchaqueeffort(extrieurouinterne),avantdepasserl'tapesuivante.Chaqueeffortestcaractris parlesdeuxchiffres desdomainesquisontadjacentssadirection.Leseffortsinternesagissantsurlesuds sont numrots en tournant dans le sens horlogique (Figure 6.25).3- Ontracelepolygonedesforcesextrieures(forcesappliquesetrac-tions).Cepolygoneestreprsentparlesegmentvertical:1-2-3-4-5-1(Figure 6.26).F23=2tF34=3t F12=3tADCFN65F51=4tN16N61 N87N56 N75F45=4tN67N76N28N98N82EN39Figure 6.25B2t3t 3tAl l l lDC GRA=4tRB=4t678213491011FlE5Figure 6.24116 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUES4- Construction des polygones des forces agissant sur chaque nud.a) udA:Leseffortsintervenantsont: N16, N65et F51.Cettedernireforce tantconnue et reprsente surle polygone desforces extrieures.Notons que seul le point 6 est indtermin.A partir du point 1 on trace une parallle labarre AC (N16) et partirde 5on mne une parallle AD (N65).L'intersection des deux parallles dtermine lepoint6cherch. Pourconnatrelesens desefforts N16et N65,onferme lepoly-gone en partant de l'effort connu, F51 (schmas ci-dessous).Les flches obtenues en fermant le polygone (des efforts agissant sur le nudA) indiquent la nature de chaque effort.b) Onpasseensuiteaunud Doseulsleseffortsdanslesbarres DFetDC sont inconnus.Effortsintervenant: N56(connupuisque N65estconnu), N67et N75.Danscecas galement, seul le point 7 est indtermin.A partir de 6 onmne une parallle DC (N67) et partir de 5ontrace uneparallle DF(horizontale)(N75).L'intersectiondesdeuxparalllessefaitaupoint 6,donc lepoint7estconfonduavec 6.Le polygonedesforcesen D (N56,N67et N75)selimiteausegment5-7;doncl'effort N67= 0(voirschmasci-dessous).(3)(6)(2)(4)(4)(5)67834215Figure 6.26516AN16N65F51(compresion)(traction)A- Pout r escont i nuesmepl ei ne 117c) PointC:Effortsintervenant : N61, F12, N28, N87et N76(N67=N76= 0).Seul le point 8 reste trouver.Apartirdupoint2ontrace une parallle CE(N28);puispartirde7onmneuneparallle CF(N87).L'intersectiondesdeuxparalllesdterminelapositiondupoint8.Onfermeensuitelepolygonepourdterminerlesensdesefforts inconnus (N87 et N28) (N61F12N28N87 et N76) (schmas ci-aprs).Remarques :1) Utilisation combine du trac de Cremona et de la mthode de RitterLors d'un trac de Cremona, on ne peut pas franchir les nuds auxquels aboutis-sentplusdedeuxbarresdontleseffortssontinconnus.LamthodedeRitterpermetdefranchirces nuds.Ilsuffitd'effectueruneouplusieurscoupesdon-nantlesvaleursdeseffortsdanslesbarres"surabondantes".Cecasseprsentefrquemment dans les fermes dites "Polonceau" (Figure 6.27).D675N56N76N56 (traction)N75 (traction)12876CF12N28N87N76N61118 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESAyant amorc le Cremona en 1, en arrivant en 4 on se trouve en prsence de3 efforts inconnus (N45, N46 et N44'). La coupe a-a' permet de calculer directementl'effort N44' (M/8=0) ; aprs quoi on poursuit normalement le trac de Cremona.2) Barres ne travaillant pas (N=0)Dansl'exempleci-contre,cinqbarresnetravaillentpas(N=0);nanmoins,ellessontncessairescar elle contribuent :-assurerl'indformabilitetl'isostaticit du systme ;-rduireleslongueursdeflambement ;-faciliterlesdispositionsconstructives.aa6523414'Figure 6.27 : Ferme type Polonceau87PFigure 6.28 : Poutre avec plusieurs barres non sollicites