Statique 5-1

Considérons une barre AB soumise en A et B à des forces égales et opposées F et -F portées par l’axe AB. En coupant la barre AB en C

A

B

C

F

-F

F

-FC

A

et en traçant le diagramme des corps libres pour la portion AC, nous pouvons conclure que les forces internes qui existent en Cdans la barre AB sont équivalentes à une force axiale -F égale et opposée à F.Attention, pour un « corps à deux forces » qui n’est pas droit, les forces internes se réduisent àsystème de force-couple et non àune simple force!

EFFORTS DANS LES POUTRES

Statique 5-2

D

J

T

MF

V

Considérons un « corps multi-forces »AD, et coupons le en J, et traçons le diagramme des corps libres pour la portion JD, nous pouvons en conclure que les forces internes en J sont équivalentes à un système de force-couple constitué d’une force axiale F, d’une force de cisaillement V (noté aussi T), et d’un couple M.

A

B

C

D

J

Cx

Cy

Ax

Ay

T

FBE

Statique 5-3

L’intensité de laforce de cisaillementmesure le cisaillementau point J, et le moment du couple est appelé lemoment de flexion en J.

Comme un système force-couple égal et opposé devrait être obtenu à partir d’un diagramme des corps libres pour la portion AJ, il est nécessaire de spécifier quelle portion de l’élément AD a été utiliséquand on présente les résultats.

D

J

T

MF

V

A

B

C

D

J

CxCy

Ax

Ay

T

FBE

Statique 5-4

Problème 7.1

Pour le cadre présenté à gauche, déterminer les forces internes (a) dans le membre ACF au point j,(b) dans le membre BCD au point K.

Statique 5-5

Problème 7.1

1. D’abord, réaliser le diagramme des corps libres, pour le corps en entier ⇒F, Ey, Ex.

2. Le diagramme des corps libres pour le membre ABE ⇒ Cy, By.

3. Le diagramme des corps libres pour le membre BCD ⇒ Bx, Ax, Ay.

4. Encore le diagramme des corps libres pour le membre BCD ⇒ Cx

Seul les résultats sont présentés

Statique 5-6

Problème 7.1Les forces internes en J : le membre ACF est coupé en J. Les forces internes sont représentées par un système force-moment, qui peut être déterminé en considérant l’équilibre de part et d’autre.

Si on considère le corps libre AJ, on écrit :

Le système force-moment interne de JCF, sera égal et opposé.

Statique 5-7

Problème 7.1Les forces internes en K : le membre BCD est coupé en K. Les forces internes sont représentées par un système force-moment, qui peut être déterminé en considérant l’équilibre de part et d’autre.

Si on considère le corps libre BK, on écrit :

Le système force-moment interne de KCD, sera égal et opposé.

Statique 5-8

Les poutres sont généralement longues et fines, conçues pour supporter des chargement appliqués à différents points. En général, les chargements sont perpendiculaires à l’axe de la poutre et produisent seulement du cisaillement et de la flexion dans la poutre.

Les chargements peuvent être concentrés à des points spécifiques, ou répartis sur une toute la longueur ou une portion de la poutre.

La poutre peut aussi être liée de différentes façons.

Seules des poutres statiquement déterminées sont ici considérées : nous limitons donc notre analyse à des poutres posées sur des supports, des poutres articulées et sur supports et des poutres cantilever.

Statique 5-9

Classification des supports de poutre

Poutres : casisostatiques

Poutres : cashyperstatiques

Appuis simples Cas surplombantsur appuis & articulation

Cantilever(Encastrement)

Appuis multiples Encastrement et appuis

Encastrementdouble

Statique 5-10

Diagrammes des efforts intérieurs ( cisaillement et moment )

• La détermination des contraintes normales et cisaillantes impliquent l’identification de la force de cisaillement et le moment de flexion internes maximum.

• la force de cisaillement et le moment de flexion sont déterminés en un point en passant une section virtuelle à travers la poutre et en appliquant l’analyse d’équilibre sur les deux portions de poutres séparés par cette section.

• Les conventions de signes pour les forces de cisaillement V et V’ et les moments de flexion M et M’

Forces internes(cisaillement positif et moment de flexion positif)

Statique 5-11

Problème 5.1

Pour une poutre en bois et un chargement comme indiqués ci-dessus et tracer les diagrammes des efforts intérieurs.

SOLUTION:

• Considérer la poutre entière comme un corps rigide et déterminer les forces de réaction.

• Identifier le cisaillement et le moment maxi à partir de leur courbes de distribution.

• Couper virtuellement la poutre près des supports et des points de chargements. Appliquer l’analyse de l’équilibre sur les corps libres résultants pour déterminer les forces de cisaillement et les moments de flexion internes.

Statique 5-12

• Couper virtuellement la poutre et appliquer l’analyse de l’équilibre sur les corps libres

SOLUTION:

• Considérer la poutre entière comme un corps rigide et déterminer les forces de réaction

∑ ∑ ==== kN14kN40:0 from DBBy RRMFde

Problème 5.1

Statique 5-13

• Identifier le cisaillement et le moment maxi à partir de leur courbes de distribution.

+

-26 kN

+20 kN +14 kN

Problème 5.1

Statique 5-14

Les relations entre le chargement, le cisaillement et le moment de flexion• Les relations entre le chargement et le

cisaillement :

• Les relations entre le cisaillement et le moment de flexion :

( )

( )212

0 : 02CxM M M M V x w x

M V x w x

′Δ

= + Δ − + Δ + Δ =

Δ = − Δ − Δ

∑

( )0 : 0yF V V V w xV w x

= + Δ − − Δ =Δ = + Δ

∑

D

C

x

D Cx

dV wdx

V V w dx

= +

− = + ∫

D

C

x

D Cx

dM Vdx

M M V dx

= −

− = − ∫

!! Ici w est négatif

Statique 5-15

Problème 5.3

Tracer les diagrammes des efforts intérieurs pour le cisaillement et le moment pour le chargement montré ci-dessus.

SOLUTION:

• En considérant la poutre en entier comme étant un corps libre, déterminer les réactions en A et D.

• Appliquer les relations entre le cisaillement et le chargement pour obtenir le diagramme du cisaillement intérieur.

• Appliquer les relations entre le moment de flexion et le cisaillement pour obtenir le diagramme du moment de flexion.

89 kN 53 kN 19 kN/m

2m 2,5m 3m 2,5m

Statique 5-16

Problème 5.3

SOLUTION:

• En considérant la poutre en entier comme étant un corps libre, déterminer les réactions en A et D.

• Appliquer les relations entre le cisaillement et le chargement pour le diagramme du cisaillement

dxwdVwdxdV

−=−=

- Pente nulle entre les charges concentrées

- Variation linéaire sur le segment de chargement uniforme+

89 kN 53 kN

47,5 kN

2m 2,5m 3m 2,5m

1,25m

89 kN 53 kN 19 kN/m

89 kN110,95 kN78,55 kN

-78,55

78,55 kN

10,45

63,45

47,5

V kN

Statique 5-17

Problème 5.3

• Appliquer les relations entre le moment de flexion et le cisaillement pour obtenir le diagramme du moment de flexion.

dxVdMVdxdM −=−=

- Le moment de flexion en A et E est nul

- Le total de tous les changements de moment de flexion le long de la poutre devrait être nul.

- La variation du moment est égale aux surfaces issues des parties sous cisaillement

- La variation du moment de flexion entre D et E est quadratique

- La variation du moment de flexion entre A, B, C et D est linéaire

+

89 kN 53 kN 19 kN/m

110,95 kN78,55 kN

-78,55

10,45

63,45

47,5

V kN

M kN.m 157,1130,97

-59,375

Statique 5-18

Problème 5.5

Tracer les diagrammes des efforts intérieurs pour le cisaillement et le moment pour le chargement montréci-dessus.

SOLUTION:

• En considérant la poutre en entier comme étant un corps libre, déterminer les réactions C.

• Appliquer les relations entre le cisaillement et le chargement pour obtenir le diagramme du cisaillement intérieur.

• Appliquer les relations entre le moment de flexion et le cisaillement pour obtenir le digramme du moment de flexion.

Statique 5-19

Problème 5.5

SOLUTION:

• En considérant la poutre en entier comme étant un corps libre, déterminer les réactions C.

Les résultats de l’intégration du chargement et de la distribution du cisaillement devraient être équivalents.

• Appliquer les relations entre le cisaillement et le chargement pour obtenir le diagramme du cisaillement intérieur.

- Pas de changement en cisaillement entre B et C.- Compatible avec l’analyse des corps libres.

+

Statique 5-20

Problème 5.5

• Appliquer les relations entre le moment de flexion et le cisaillement pour obtenir le diagramme du moment de flexion.

Les résultats en C sont compatibles avec l’analyse des corps libres.

+