Les oscillateurs en électrocinétique. - Philippe...

Les oscillateurs en electrocinetique.

P. Ribiere

College Stanislas

Annee Scolaire 2016/2017

P. Ribiere (College Stanislas) Les oscillateurs en electrocinetique. Annee Scolaire 2016/2017 1 / 30

1 Introduction.

2 Les oscillateurs quasi sinusoıdaux.

3 Les oscillateurs a relaxation.

Introduction.

Les oscillateurs en electrocinetique sont des circuits susceptibles de generer un signal de periodestable, de caracteristiques spectrales choisies, a partir d’une alimentation continue (dans notrecas, l’alimentation ±15 V de l’ALI), sans autre signal d’entree.

L’interet des oscillateurs est diverse :

Realisation de signaux de forme et periode variable. (Traitement du signal, generation defonction,...)

Realisation ”d’horloge” electronique.

Les oscillateurs quasi sinusoıdaux. Presentation des oscillateurs quasi sinusoıdaux.

1 Introduction.

2 Les oscillateurs quasi sinusoıdaux.Presentation des oscillateurs quasi sinusoıdaux.Montage a resistance negative.Circuit RLC associe au montage a resistance negative.Etude des oscillations.Structure des oscillateurs quasi-sinusoıdaux.

Les oscillateurs quasi sinusoıdaux. Presentation des oscillateurs quasi sinusoıdaux.

Un oscillateur est dit quasi sinusoıdal si le signal qu’il delivre est d’apparence sinusoıdal bien queson analyse spectrale puisse reveler la presence d’autres harmoniques.

Nous etudierons un exemple d’oscillateur quasi sinusoıdal : le montage a resistance negative.L’autre exemple tres classique est l’oscillateur a filtre de Wien, etudie en TD.

Les oscillateurs quasi sinusoıdaux. Montage a resistance negative.

1 Introduction.

Figure – Montage a resistance negative.

Faisons l’hypothese du regime lineaire (ALI ideal degain infini).

V+ = rR′+r

V− = ue

ε = 0 donne rR′+r

us = ue

Or ue − R.ie = us .D’ou

ue = −αrie

Role du montage

L’impedance d’entree du circuit est −αr .

ue = −αrie

Le montage simule une resistance negative.

Figure – Montage a resistance negative.

V+ = rR′+r

V− = ue

ε = 0 donne rR′+r

us = ue

Or ue − R.ie = us .D’ou

ue = −αrie

Role du montage

L’impedance d’entree du circuit est −αr .

ue = −αrie

Le montage simule une resistance negative.

ue = −αrieL’impedance d’entree du circuit est −αr .Le montage simule une resistance negative.

Ce modele est valable tant que la tension de sortien’atteint pas la valeur de saturation Vsat .

Pour la saturation hauteue = R.ie + Vsatet imax = Vsat

R+α.r

Tous ces elements peuvent etre resume sur legraphique de la caracteristique ue = f (ie) ci-contre

Figure – Graphique courant tension de laresistance negative.

R+α.r

Les oscillateurs quasi sinusoıdaux. Circuit RLC associe au montage a resistance negative.

1 Introduction.

Figure – Oscillateur a resistance negative.

L’equation differentielle devient :

R1 − αrL

LCuc = 0

Conditions d’oscillations : premiere approche.

Pour une valeur α = αc = R1r

, l’equation differentielleest celle d’un oscillateur harmonique.

Le systeme peut osciller sans signal d’entree, a sapulsation propre ω0, les pertes dans la resistance R1

sont compensees par l’apport d’energie vial’alimentation de l’ALI.(Facteur de qualite infini).

R1 − αrL

LCuc = 0

R1 − αrL

LCuc = 0

Les oscillateurs quasi sinusoıdaux. Etude des oscillations.

1 Introduction.

Certes, les oscillations sont possibles. Mais il faut qu’elles soient amorcees.Tant que uc (0−) = 0 et i(0−) = 0 les oscillations n’apparaissent pas, par continuite desgrandeurs citees.

L’amorcage des oscillations se fait sur un parasite, un bruit electronique present dansl’environnement.Le bruit (blanc) contient, par definition meme, toutes les harmoniques donc il en est une a lafrequence propre f0 du circuit.

Neanmoins, les oscillations ainsi creees sont d’amplitude tres faible et doivent donc etre amplifiees.

Conditions d’oscillations.

La condition d’oscillation precedemment enoncee doit etre revue et reecrite α � αc .

L’amplitude des oscillations croient donc jusqu’a ce que la saturation en tension de l’ALI soitatteinte.

Mais alors le montage a ALI cesse de se comporter comme une resistance negative. Et l’amplitudedes oscillations decroıt.

Il est en effet possible de verifier que, dans le cas de la saturation,ε = V+ − V− = Vsat + R1.ie − r

R′+r.Vsat au depart positif (saturation haute) decroıt puisque ie

decroıt. Donc le systeme sort bien spontanement du regime sature.

En conclusion,

Conditions d’oscillations : Bilan.

Les oscillations demarrent a partir de la composante spectrale du bruit a la frequence deresonance du filtre passe bande.

La condition d’amplification doit etre α � αc .

L’amplitude des oscillations est alors limitee par la saturation en tension de sortie de l’ALI,saturation qui ne dure pas car le systeme en sort spontanement.

Neanmoins ce passage par la saturation fait que le signal n’est pas parfaitement sinusoıdal. Ilpresente des harmoniques, faibles mais visibles, dans le spectre de Fourier.

Figure – Demarrage et limitation des oscillations d’un oscillateur quasi sinusoıdal.

Les oscillateurs quasi sinusoıdaux. Structure des oscillateurs quasi-sinusoıdaux.

1 Introduction.

Les oscillateurs quasi sinusoıdaux. Structure des oscillateurs quasi-sinusoıdaux.

Structure d’un oscillateur quasi-sinusoıdal.

Pour obtenir un oscillateur quasi sinusoıdal, comme dans l’oscillateur a resistance negative oul’oscillateur de Wien, trois elements sont necessaires

1 presence d’une double retroaction sur l’entree + et - de l’ALI.

2 un filtre passif passe bande.(Etude en courant dans le RLC serie, de frequence de resonance f0, ou le filtre passe bandede Wien)

3 un montage amplificateur (a ALI) pour compenser les ”pertes” dans le filtre passif.

Si ces trois conditions sont reunies, il est possible d’obtenir sous certaines conditions (choixjudicieux des parametres d’amplification) un signal quasi sinusoıdal a la frequence de resonancedu filtre passe bande.

Les oscillateurs a relaxation. Oscillateur a relaxation compact a un ALI.

1 Introduction.

3 Les oscillateurs a relaxation.Oscillateur a relaxation compact a un ALI.Le multivibrateur astable.Structure generale des oscillateurs a relaxation.

Figure – Oscillateur a relaxation a un ALI.

Faisons l’hypothese du regime lineaire (ALI ideal degain infini).(C’est la ”mauvaise” hypothese et il ne faut la faireque si l’enonce le demande explicitement.)

V+ =0R1

+ VsR2

= Vs1+k

V− = UC =0.jCω+ Vs

jCω+ 1R

= Vs1+jRCω

ε = 0 donne Vs1+k

= Vs1+jRCω

Soit Vs .(1 + jRCω) = Vs .(1 + k)

RC dVsdt− kVS = 0 equation differentielle instable.

VS augmente et sature.

L’hypothese n’est pas bonne.

Faisons l’hypothese du regime lineaire (ALI ideal degain infini).(C’est la ”mauvaise” hypothese et il ne faut la faireque si l’enonce le demande explicitement.)

V+ =0R1

+ VsR2

= Vs1+k

V− = UC =0.jCω+ Vs

jCω+ 1R

= Vs1+jRCω

ε = 0 donne Vs1+k

= Vs1+jRCω

Soit Vs .(1 + jRCω) = Vs .(1 + k)

RC dVsdt− kVS = 0 equation differentielle instable.

VS augmente et sature.

L’hypothese n’est pas bonne.

Faisons l’hypothese du regime sature.

Supposons donc la saturation haute : Vs = +Usat

Quelle est alors la condition sur UC pour que cettehypothese soit verifiee ?ε > 0

V+ = Vs1+k

= Usat1+k

V− = Uc

Donc UC <Usat1+k

Reste a trouver l’equation de UC (t)Par la loi des mailles : UC (t) + UR(t) = US = Usat

UC + RC dUCdt

= Usat

En supposant le condensateur decharge :UC (t) = Usat(1− exp(−t/τ))

D’ou Usat(1− exp(−t/τ)) < Usat1+k

t < τ. ln( 1+kk

Supposons donc la saturation haute : Vs = +Usat

Quelle est alors la condition sur UC pour que cettehypothese soit verifiee ?ε > 0

V+ = Vs1+k

= Usat1+k

V− = Uc

Donc UC <Usat1+k

Reste a trouver l’equation de UC (t)Par la loi des mailles : UC (t) + UR(t) = US = Usat

UC + RC dUCdt

= Usat

En supposant le condensateur decharge :UC (t) = Usat(1− exp(−t/τ))

D’ou Usat(1− exp(−t/τ)) < Usat1+k

t < τ. ln( 1+kk

Supposons donc le regime sature :Vs = +Usat

Quelle est alors la condition sur UC pourque cette hypothese soit verifiee ? ε > 0

UC <Usat1+k

t < τ. ln( 1+kk

Figure – Debut des scillations a relaxation.

Supposons la saturation passe : Vs = −Usat

Quelle est alors la condition sur UC pour que cettehypothese soit verifiee ?ε < 0

V+ = Vs1+k

= −Usat1+k

V− = Uc

Donc UC >−Usat1+k

Reste a trouver l’equation de UC (t)Par la loi des mailles : UC + UR = US = −Usat

UC + RC dUCdt

= −Usat

En supposant le condensateur a −Usat1+k

a t=0 :

UC (t) = −Usat + kUsat1+k

exp(−t/τ))

Le basculement se produit donc pour :−Usat + kUsat

1+kexp(−T/(2.τ))) = −Usat

Soit un temps (correspondant a la demi periode) :T2

= τ. ln( 2+kk

) (le regime est etabli)

Supposons la saturation basse : Vs = −Usat

Quelle est alors la condition sur UC pourque cette hypothese soit verifiee ? ε < 0

UC >−Usat1+k

= τ. ln( 2+kk

) (le regime est etabli)

Figure – Oscillations a relaxation.

Les oscillateurs a relaxation. Le multivibrateur astable.

1 Introduction.

Figure – Oscillateur a relaxation a deux ALI.

Supposons le regime sature, en saturation haute :Vs 2 = +Usat

Donc Vs 1 = − 1RC

∫Vedt = − 1

∫Usatdt = −Usat

Hypothese du condensateur decharge.

Quelle est alors la condition sur V+ 2 pour que cettehypothese soit verifiee ?ε2 > 0 soit

V+ 2 =

Vs 1R1

+ VsR2

= k.Vs 1+Usat1+k

=−k.

UsatRC

t+Usat

1+k> 0

Finalement t < RCk

Donc Vs 1 = − 1RC

∫Vedt = − 1

∫Usatdt = −Usat

V+ 2 =

Vs 1R1

+ VsR2

= k.Vs 1+Usat1+k

=−k.

UsatRC

t+Usat

1+k> 0

Finalement t < RCk

Donc Vs 1 = − 1RC

∫Vedt = − 1

∫Usatdt = −Usat

V+ 2 =

Vs 1R1

+ VsR2

= k.Vs 1+Usat1+k

=−k.

UsatRC

t+Usat

1+k> 0

Finalement t < RCk

Supposons le regime sature, en saturationhaute : Vs 2 = +Usat

Donc Vs 1 = − 1RC

∫Vedt =

− 1RC

∫Usatdt = −Usat

Quelle est alors la condition sur V+ 2 pourque cette hypothese soit verifiee ?

V+ 2 =−k.

UsatRC

t+Usat

1+k> 0

Finalement t < RCk

Figure – Debut des oscillations a relaxation.

Supposons donc le regime sature, en saturationbasse : Vs 2 = −Usat

DoncVs 1 = − 1

∫Vedt = 1

∫Usatdt = Usat

RCt − Usat

kPar continuite dans le condensateur .

Quelle est alors la condition sur V+ 2 pour que cettehypothese soit verifiee ?ε2 < 0 soit

V+ 2 =

Vs 1R1

+ VsR2

= k.Vs 1−Usat1+k

=−k.

UsatRC

t−2Usat

1+k> 0

Finalement t < 2.RCk

Donc T2

= 2.RCk

Supposons donc le regime sature, en saturationbasse : Vs 2 = −Usat

DoncVs 1 = − 1

∫Vedt = 1

∫Usatdt = Usat

RCt − Usat

kPar continuite dans le condensateur .

Quelle est alors la condition sur V+ 2 pour que cettehypothese soit verifiee ?

V+ 2 =−k.

UsatRC

t−2Usat

1+k> 0

Finalement t < 2.RCk

Donc T2

= 2.RCk

Figure – Debut des oscillations a relaxation.

Figure – Oscillateur a relaxation a deux ALI,dissymetrique.

Figure – Oscillations a relaxation disymetrisee.

Le rapport cyclique α est tel que Vs 2 soit positive sur t ∈ [0, αT ] et negatif sur le reste de laperiode (pour un signal symetrique α = 0,5 ).

Ici le rapport cyclique est α = RR+R′

Figure – Oscillateur a relaxation a deux ALI,dissymetrique.

Figure – Oscillations a relaxation disymetrisee.

Le rapport cyclique α est tel que Vs 2 soit positive sur t ∈ [0, αT ] et negatif sur le reste de laperiode (pour un signal symetrique α = 0,5 ).

Ici le rapport cyclique est α = RR+R′

Les oscillateurs a relaxation. Structure generale des oscillateurs a relaxation.

1 Introduction.

Structure d’un oscillateur quasi-sinusoıdal.

Un oscillateur a relaxation est donc un oscillateur qui bascule entre deux etats, sans jamaisparvenir a sa stabiliser dans l’un.Il presente deux composantes :

1 un comparateur a hysteresis (2 etats de saturation).

2 un integrateur qui va forcer le basculement de l’ALI d’un etat a l’autre.

1 Introduction.

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