ÉLECTROCINÉTIQUE - gerald.philippe.free.fr

G.P. Électrocinétique 2013

ÉLECTROCINÉTIQUE

SommaireChap 0: Rappels divers.........................................................................................................................3

A.Lois de base pour étudier un circuit........................................................................................31Lois d'Ohm.............................................................................................................................3

Pour un générateur linéaire................................................................................................3Pour résistance, bobine, capacité.......................................................................................4

2Associations............................................................................................................................5De résistances....................................................................................................................5De générateurs linéaires.....................................................................................................6

3Diviseurs.................................................................................................................................74Loi des nœuds en termes de potentiels...................................................................................8

B.Régime transitoire.................................................................................................................101Mise en équation...................................................................................................................102Les conditions initiales.........................................................................................................10

Continuité:.......................................................................................................................10Grandeurs en t=0+...........................................................................................................11Grandeurs en t=∞.............................................................................................................11

C.Régime forcé alternatif..........................................................................................................111Exemple du RLC série..........................................................................................................11

Schéma et notations.........................................................................................................11Résolution par l'équation différentielle............................................................................11Résolution plus facile en travaillant directement avec les impédances...........................12Résultat............................................................................................................................13

2Résonance du RLC série......................................................................................................13Schéma et notations.........................................................................................................13Introduction.....................................................................................................................14Résonance d'intensité.......................................................................................................14Résonance de charge........................................................................................................16

D.Aspects énergétiques.............................................................................................................171Énergie emmagasinée par un condensateur..........................................................................172Énergie emmagasinée par une bobine..................................................................................183Puissance en sinusoïdal........................................................................................................19

Puissance instantanée.......................................................................................................19Puissance moyenne..........................................................................................................19Écriture en utilisant les complexes..................................................................................20Cas particuliers................................................................................................................20Grandeur efficace.............................................................................................................21Grandeur efficace en alternatif........................................................................................21

E.Filtres.....................................................................................................................................221Ordre d'un filtre....................................................................................................................22

Équation différentielle.....................................................................................................22Fonction de transfert........................................................................................................22Ordre................................................................................................................................22

1


2Filtres du premier ordre........................................................................................................22Filtre passe-bas du premier ordre....................................................................................22Filtre passe-haut du premier ordre...................................................................................25

3Filtres du deuxième ordre.....................................................................................................27Expression canonique de la fonction de transfert des filtres d'ordre 2............................27Diagramme de Bode pour un passe-bas d'ordre 2...........................................................29

F.Amplificateur opérationnel....................................................................................................311Fonctionnement linéaire et non linéaire...............................................................................31

En fonctionnement linéaire..............................................................................................31Saturation de la tension de sortie.....................................................................................32

2Mise en équation d'un montage avec un AO........................................................................323Montages .............................................................................................................................33

Chap 1: Spectre d'un signal périodique..............................................................................................34A.Rappel...................................................................................................................................34B.Décomposition d'un signal en fréquences.............................................................................34

1décomposition en série de Fourier d'une fonction périodique..............................................342exemples de spectres (monolatéraux)...................................................................................35

Chap 2: Filtrage..................................................................................................................................36A.Filtre passe-bas de coupure f0...............................................................................................36B.Filtre passe-haut de coupure f0..............................................................................................36C.Filtre passe-bande de fréquence propre f0.............................................................................37

Chap 3: Dérivateur et Intégrateur.......................................................................................................38A.Définitions et généralités.......................................................................................................38

1Intégrateur.............................................................................................................................382Dérivateur.............................................................................................................................38

B.Application aux filtres du premier ordre...............................................................................391Filtre passe-bas du premier ordre.........................................................................................39

Fonction de transfert........................................................................................................39Équation différentielle.....................................................................................................39Intégration d'une composante sinusoïdale.......................................................................39Montage intégrateur.........................................................................................................40

2Filtre passe-haut du premier ordre........................................................................................40Fonction de transfert........................................................................................................40Équation différentielle.....................................................................................................40Dérivation d'une composante sinusoïdale........................................................................41Montage dérivateur..........................................................................................................41

C.Application aux filtres du deuxième ordre............................................................................411Les filtres passe-bas et passe-haut du deuxième ordre.........................................................412Le filtre passe-bande du deuxième ordre..............................................................................41

Rappel de quelques résultats............................................................................................42Graphe..............................................................................................................................42Cas d'un signal sinusoïdal ...............................................................................................42Cas d'un signal périodique quelconque...........................................................................43FIN ELECTROCINETIQUE..........................................................................................44

2


Chap 0: Rappels divers

A. Lois de base pour étudier un circuit

1 Lois d'Ohm

Pour un générateur linéaire

(En convention générateur ici)

Pour le modèle de Thévenin, la tension est la somme des deux tensions:

u=E−Ri

Pour le modèle de Norton, l'intensité est la somme des deux intensités:

i=−ur

Équivalence entre les deux modèles: les deux expressions doivent être identiques ∀ u et i donc:

r=R (résistance interne)

= ER (courant de court-circuit)

E=R (tension à vide)

3

R

Ε

u

iA B

Modèle série

r

η

u

iA B

Modèle parallèle


Pour résistance, bobine, capacité

(En convention récepteur ici)

1)Pour une résistance:

u=R i

2)Pour un condensateur idéal:

i=C dudt

Pour l'établir, on introduit Q mais il y a deux possibilités, selon ce que l'on appelle Q (préciser alors la convention supplémentaire adoptée pour Q ):

i= dQdt

i=−dQdt

Q=C u Q=−C u

3)Pour une bobine idéale:

u=L didt

Pour l'établir, on introduit flux propre de B dans la bobine et la force électromotrice induitee dans la bobine (donnée par la loi de Faraday), e est donnée dans le sens positif choisi (cf.

sens positif pour le courant):

4

Ri

u

i

u

C

i

u

CQ -Q i

u

C-Q Q

i

u

L


u=−e

avec e=−ddt (Loi de Faraday)

et =L i (Flux propre)

2 Associations

De résistances

1)Résistances en série:

u=u1u2u3

u=R1 iR2iR3i

u=R1R2R3i

L'ensemble se comporte donc comme une résistance égale à la somme des résistances.

Req=R1R2R3

2)Résistances en parallèle:

i=i 1i2i 3

5

i

u

e+

R3

R2 R

1i

u3u2 u1

u

R1

R2

R3

i

u

i1

i2

i3


i=G1uG 2 uG3 u

i=G1G 2G 3u

L'ensemble se comporte donc comme une conductance égale à la somme des conductances.

Geq=G1G2G 3

De générateurs linéaires

1)Générateurs série en parallèle:

On transforme ces générateurs Thévenin en générateurs Norton

Donc pour le générateur de Norton équivalent, le courant de court-circuit est la somme des trois courants de court-circuit et la résistance est formée des trois résistances en parallèle

6

u

Ε1

R1

i1

R2

Ε2

i2

R3

Ε3

i3

i

u

Ε1/R1

R1

i1

Ε2/R2

R2

i2

Ε3/R3

R3

i3

i


1Req= 1

R1 1

R2 1

R3

eq=E1

R1

E2

R2

E3

R3

et pour le générateur de Thévenin, Req est le même et :

Eeq=Reqeq

2)Générateurs parallèle en série:

On transforme ces générateurs Norton en générateurs Thévenin.

Donc pour le générateur de Thévenin équivalent, la tension à vide est la somme des trois tensions à vide et la résistance est formée des trois résistances en série

Req=R1R2R3

E eq=R11R22R33

et pour le générateur de Norton, Req est le même et :

eq=Eeq

Req

3 Diviseurs

1)Formule des diviseurs de tension:

7

u

η1

R1

i

R2

η2

R3

η3

u1 u2 u3

u

R1

R1η1

i

R2η2

R2

R3

R3η3

u1 u2 u3


u=R1R2R3i

u1=R1i

donc

u1

u=

R1

R1R2R3

il faut que la sortie du diviseur soit à vide pour que toute l'intensité parcourt la résistance considérée.

2)Formule des diviseurs de courant:

i=G1G 2G 3u

i1=G1u

donc

i 1

i=

G1

G1G2G 3

il faut que la sortie du diviseur soit en court-circuit pour que toute la tension soit aux bornes de la conductance considérée.

4 Loi des nœuds en termes de potentiels

8

u1

R3 R

2 R1i

u

i ' = 0

R1

R2

R3

i

u

i1

u' = 0


1)En continu:• Loi des nœuds: la somme des intensités arrivant à un nœud est nulle.

• Application en termes de potentiels dans le cas général:Il est plus facile de comptabiliser les nœuds que les mailles indépendantes dans un réseau électrique. Ces nœuds sont repérés par leur potentiel par rapport à une référence de potentiel arbitrairement nul appelée masse.

La loi s'écrit donc:i1i 2i=0

V 1−V 1R1V 2−V 1

R20−V 1

R=0

finalement, on obtient la loi « de type barycentrique » (théorème de Millman)

V=V 1

1R1V 2

1R20 1

R1R1 1

R2 1

R

• Il faut prévoir le cas où le courant dans une branche est imposé (par un générateur de courant par exemple)

I 1i2i=0

I 1V 2−V 1R20−V 1

R=0

d'où V

9

N

R1

R

R2

V1 V V2

i1 i2

i

N

R

R2

V V2

i2

i

I1


2)En alternatif:

On travaille en complexe et les conductances sont remplacées par les admittances complexes.

3)Généralisation partielle en régime transitoire:

Dans les cas d'un condensateur C dans une branche i ,

au lieu de i t =V it −V t

R(cas d'une résistance R )

l'intensité du courant dans cette branche s'écrira:

i t =C ddtV it −V t

B. Régime transitoire

1 Mise en équation

On écrit les lois d'Ohm, les lois des nœuds et des mailles

En travaillant avec méthode, on obtient l' équation différentielle.

2 Les conditions initiales

Pour résoudre, il faut écrire les conditions initiales en utilisant les relations de continuité.

Continuité:

Les seules grandeurs toujours continues sont la tension uC au bornes d'un condensateur et l'intensité iL dans une bobine. Toutes les autres grandeurs peuvent subir des discontinuités.

L'énergie électrique emmagasinée dans un condensateur est U E=12

C uC2 . Elle ne peut subir de

discontinuité, ce qui nécessiterait la mise en jeu d'une puissancedU E

dtinfinie, donc uC est

continu. (On peut aussi remarquer que iC=CduC

dtétant fini, il faut que uC soit continu).

L'énergie magnétique emmagasinée dans une bobine est U M=12

L iL2 . Elle ne peut subir de

discontinuité, ce qui nécessiterait la mise en jeu d'une puissancedU M

dtinfinie, donc iL est

continu. (On peut aussi remarquer que uL=LdiL

dtétant fini, il faut que iL soit continu).

10


Grandeurs en t=0+Sur le schéma, on porte la valeur des grandeurs continues en t=0 et l'on peut déterminer les

autres grandeurs au départ

Si en t=0-, uC=0 (sinon ce n'est pas vrai) le condensateur de comporte comme un interrupteur fermé en t=0 et si en t=0- iL=0 (sinon ce n'est pas vrai) la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert en t=0 . Il faut surtout remarquer que ces analogies ne sont donc pas générales

Grandeurs en t=∞On peut prévoir éventuellement les valeurs finales.

Si le circuit est alimenté en continu et s'il est résistif, il va évoluer vers un état stationnaire où les grandeurs ne dépendent plus du temps donc en t=∞ , toutes les dérivées sont nulles.

Donc iC=CduC

dt=0 le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert en t=∞ .

Donc uL=LdiL

dt=0 la bobine se comporte comme un interrupteur fermé en t=∞ .

On peut alors déterminer les autres grandeurs.

C. Régime forcé alternatif

1 Exemple du RLC série

Schéma et notations

Résolution par l'équation différentielle

e t =uRuLuC

11

e (t) =E0 cos(ωt)

Ri

uR

C uC

L uL


e t =RiL didtuC or: i=C

duC

dt

On dérive donc l'équation de départ:

de t dt

=R didtL d 2i

dt 2duC

dt

− E0sin t =R didtL d 2 i

dt2 iC

Ici, on ne s'intéresse qu'à la solution en régime sinusoïdal forcé. On cherche la solution particulière de l'équation avec second membre. On travaille en complexes (c'est la partie réelle qui a un sens).

j E0exp j t =R d idtL d 2i

dt 2i

C

j E0exp j t =R j iL j2 i iC

E0 exp j t =R i j L i ij C

e=R j L 1j C

i

i= eZ

avec:

e=E0 exp j t

Z=R j L 1j C

=R j L− 1C

Résolution plus facile en travaillant directement avec les impédances

Il était plus rapide de passer directement en complexes au niveau des équations de départ:

e t =uRuLuC avec

u L=L d idt= jL i

i=Cd uC

dt= j CuC ou uC=

1jC

i donc

e t =Ri j L i 1j C

i=Z i

12


Résultat

i=E0 exp j t

R j L− 1C

avec R j L− 1C

=R2L− 1C

2

exp j

=arg R j L− 1C

sin=L− 1

C

R2L− 1C

2

cos= R

R2L− 1C

20

tan= L− 1

C

Rdonc, puisque cos0

=arctan L− 1

CR

i=E0

R2L− 1C

2

exp j t−arctan L− 1

CR soit en réel:

i=E0

R2L− 1C

2

cos t−arctan L− 1

CR

2 Résonance du RLC série

Schéma et notations

13


Introduction

Pour le circuit RLC série, auquel on applique une tension sinusoïdale u t =U 2 exp j t

d'amplitude constante U 2 mais de fréquence variable f = 2 :

1) l'amplitude I 2 de l'intensité i t =I 2 exp j t−u /i passe par un maximum pour une certaine fréquence. On parle de résonance d'intensité. On étudiera plutôt le rapport sans dimension

U R

Uen fonction de , uR t =R i t désignant la tension aux bornes de la résistance.

2) l'amplitude Q2 de la charge du condensateur q t =Q 2exp j t−u /q peut passer par un maximum pour une certaine fréquence. On parle de résonance de charge. On étudiera plutôt le

rapport sans dimensionU C

Uen fonction de , uC t =

1C

q t désignant la tension aux bornes

du condensateur.

En mécanique, la résonance d'élongation est analogue à la résonance de charge et la résonance de vitesse correspond à la résonance d'intensité.

Résonance d'intensité

• fonction de transfert

En utilisant les diviseurs de tension:

uR

u= R

R jL 1jC

uR

u= 1

1 jLR 1

jRC

qu'on identifie en faisant:

14

u (t) =U√2 cos(ωt)

Ri

uR

C uC

L uL

q

-q


Q=L0

R= 1

R C0donc:

0=1LC

et

Q= 1R L

Cà:

uR

u= 1

1 jQ 0−0

on posera la pulsation réduite x= 0

• résonance

En prenant le module de la fonction de transfert pour obtenir le gain G :

G=U R2U 2

= 1

1Q2 0−0

2

G=U R

U= 1

1Q2x−1x

2

Ce rapport est évidemment maximum pour x=1 . La pulsation à la résonance d'intensité est donc égale à la pulsation propre 0 :

résonance d ' intensité=0

Le gain maximal est:

Gmaxauxbornes de R=1

Toute la tension se retrouve alors aux bornes de la résistance.• courbes

15


Résonance de charge

• fonction de transfert

En utilisant les diviseurs de tension:

uC

u =

1jC

1jC jLR

uC

u= 1

1−L C2 j RC

uC

u= 1

1− 02

j 1Q0

• résonance

En prenant le module de la fonction de transfert pour obtenir le gain G :

G=U C 2U 2

= 1

1− 0

22

1Q2

0

2

G=U C

U= 1

1−x22 1Q 2 x2

Ce rapport est évidemment maximum quand le dénominateur est minimum. On cherche ici l'extremum de:

f u=1−u2 1Q2 u en dérivant par rapport à u=x2

ddu

f u=−2 1−u 1Q2=0

1−u = 12Q2

x2=1− 12 Q20

La résonance de charge n'existe donc que si:

16


Q 12

La pulsation à la résonance de charge est donc inférieure à la pulsation propre 0 :

résonance de charge=01− 12 Q2

Le gain maximal est:

G= 1

12Q 2

2

1Q2 1−

12Q2

G= Q

1− 14 Q2

Gmaxaux bornes deC=Q

1− 14Q2

L'amplitude de la tension aux bornes du condensateur est alors environ Q fois plus grande que l'amplitude de la tension imposée par la source (si on suppose Q≫1 ).

Remarquer que pour =0 , on a toujours G=Q .

• courbes

D. Aspects énergétiques

1 Énergie emmagasinée par un condensateur

17


On part de la loi des tensions et on multiplie par i t dt afin d'obtenir le bilan énergétique en t( pendant dt )

E=R i t uC t

E i t dt=R i2t dtuC t i t dt

E i t dt=R i2t dtuC t Cdu t

dtdt

E i t dt=R i2t dtC uC t dut

E i t dt=R i2t dtd 12

C uC2 t

Pendant dt , l'énergie électromagnétique élémentaire fournie par le générateur E i t dt se transforme partiellement en énergie thermique élémentaire dans la résistance par effet Joule

R i2t dt . Le terme complémentaire correspond à l'énergie élémentaire électrique emmagasinée

dans le condensateur d 12

C uC2 t .

L'énergie emmagasinée au total dans le condensateur est 12

C uC2 t .

2 Énergie emmagasinée par une bobine

On part de la loi des tensions et on multiplie par i t dt afin d'obtenir le bilan énergétique en t( pendant dt )

E=R i t u Lt

18

CE

Ri i

uC

uR

LE

Ri i

uL

uR


E i t dt=R i2t dtuL t i t dt

E i t dt=R i2t dtL di t dt

i t dt

E i t dt=R i2t dtL i t di t

E i t dt=R i2t dtd 12

Li 2t

Pendant dt , l'énergie électromagnétique élémentaire fournie par le générateur E i t dt se transforme partiellement en énergie thermique élémentaire dans la résistance par effet Joule

R i2t dt . Le terme complémentaire correspond à l'énergie élémentaire magnétique

emmagasinée dans la bobine d 12

L i2t .

L'énergie emmagasinée au total dans la bobine est 12

Li 2t .

3 Puissance en sinusoïdal

Puissance instantanée

1) i= I M exp j t

soit en réel: i= I M cos t

2) u=Z i

u=Z exp j I M exp j t

u=Z I M exp j t

(on pose U M=Z I M )

u=U M exp j t

soit en réel: u=U M cos t

3) donc pour la puissance instantanée

(on doit travailler en réel):

p t =u i=U M I M cos tcos t

Puissance moyenneEn notant < > la valeur moyenne par rapport au temps, on a:

P= pt =u i=U M I M cos tcos t

19


P=U M I M cos2 t cos −sin t cos t sin

avec cos2 t =12 et sin2 t =0

P=U M I M

2cos

en introduisant les valeurs efficaces:

U=U M

2

I=I M

2

P=U I cos

Écriture en utilisant les complexes

On remarque, en désignant un complexe conjugué par une étoile, que:

P=ℜ 12

u i *

Cas particuliers

1) Pour une résistance:

Z=R

=0

P=U M I M

2=

R I M2

2=1

2U M

2

Rou:

P=U I=R I 2=U 2

R

2) Pour une bobine idéale:

Z= j L donc

=2 et cos=0

P=0

3) Pour un condensateur idéal:

20


Z= 1j C donc

=−2 et cos=0

P=0

Grandeur efficace

On définit la grandeur efficace pour une intensité i t de période T comme la valeur de l'intensité continue I eff=I qui produit le même effet Joule dans la même résistance pendant une période.

R I 2T=R∫0

T

i t 2 dt

I= 1T ∫0

T

i t 2 dt

I=i t 2

C'est donc la racine carrée de la valeur moyenne du carré.

La valeur efficace est aussi désignée par valeur RMS ou:

Root Mean Square

Pour la tension:

U=u t 2

Grandeur efficace en alternatif

Par exemple:

i t =I M cos t−

i t 2=I M2 cos2 t−=

I M2

2donc:

I=i t 2=I M

2

de même

U=u t 2=U M

2

21


E. Filtres

1 Ordre d'un filtre

Équation différentielle

L'équation différentielle entre sortie s t et entrée e t pour un filtre d'ordre 2 est de la forme:

d 2 st dt 2

0

Qd s t

dt0

2 s t =...

avec Q : coefficient de qualité ou:

d 2 st dt 2 20

d s t dt

02 st =...

avec (noté souvent m ): coefficient d'amortissement1Q=2

Fonction de transfert

En alternatif, le fonction de transfert s'écrit alors:

H p= se= ...

p20

Qp0

2 avec p= j

H= ...

−2 j0

Q0

2

Ordre

1)L'ordre du filtre est égal à l'ordre maximal de la dérivée de s t qui intervient dans l'équation

différentielle. C'est donc la puissance maximale en x= 0

qui apparaît au dénominateur de la

fonction de transfert.

2)C'est aussi le nombre d'éléments réactifs (inductances, capacités) du filtre restant après groupements éventuels des éléments de même nature.

2 Filtres du premier ordre

Filtre passe-bas du premier ordre

22


1).Schéma:

2) Prévision du comportement:

Le montage se comporte comme un passe-bas.

3) Fonction de transfert:

H=

1jC1

jCR

H= 11 j RC

On pose H=1

RC (pulsation de coupure haute)

H= 1

1 j H

4) Diagramme de Bode

Comportement asymptotique

23

ve

R

C vs

ve

R

C vs = ve

i = 0

u = 0

Basse fréquence: ω→0

vs=0v

e

R

C

Haute fréquence: ω→∞


à basse fréquenceH≪1

à la fréquence de

coupureH=1

à haute fréquenceH≫1

transfert H~1 H= 11 j

H~ 1

j H

gain G~1 G= 12

G~ 1H

=1x

gain en dB G dB~0 G dB=20log 12

G dB=−10 log 2

G dB=−3,0

G dB~20 log 1x

G dB~−20 log x

phase ~0 =−arg 1 j

=−4

~−2

24

GdB

1 x (log)10 1000,1

- 20

-3


Filtre passe-haut du premier ordre

1).Schéma:

2) Prévision du comportement:

Le montage se comporte comme un passe-haut.

3) Fonction de transfert:

25

ϕ

1 x (log)10 1000,1

-π/2

-π/4

C

ve R v

s

vs = vevs=0

i = 0

Basse fréquence: ω→0

ve R

C

Haute fréquence: ω→∞

ve R

C


H= R1

jCR

H= j R C1 j RC

On pose B=1

RC (pulsation de coupure basse)

H=j B

1 j B

4) Diagramme de Bode

Comportement asymptotique

à basse fréquenceB≪1

à la fréquence de

coupureB=1

à haute fréquenceB≫1

transfert H~ j BH= j

1 jH~1

gain G~ B= x G= 1

2G~1

gain en dB G dB~20 log x G dB=20 log 12

G dB=−10 log 2

G dB=−3,0

G dB~0

phase ~2 =arg j

1 j

=4

~0

26


3 Filtres du deuxième ordre

Expression canonique de la fonction de transfert des filtres d'ordre 2

On part du RLC série sachant, par cœur, que ici Q=L0

R= 1

R C0

1) Le passe bas aux bornes de C :

H=

1j C

R j L 1j C

27

GdB

1 x (log)10 1000,1

- 20

-3

ϕ

1 x (log)10 1000,1

π/2

π/4


H=

1j RC

1 jLR

1j R C

H=

Qj x

1 j xQ Qj x

on multiplie haut et bas parj xQ

H= 1j xQ −x21

La forme canonique est:

H=H 0

1− x2 j xQ

( H=H 0 à la pulsation =0 )

2) Le passe bande aux bornes de R :

H= R

R j L 1j C

H= 1

1 j LR 1

j R C

H= 1

1 j xQ Qj x

H= 1

1 j Qx− 1x


H=H 0

1 j Q x− 1x

( H=H 0 à la pulsation =0 )

28


ou éventuellement en multipliant haut et bas parj xQ

H=H 0

j xQ

j xQ − x21

H=H 0

j xQ

1−x2j xQ

3) Le passe haut aux bornes de L :

H= j L

R j L 1j C

H=j L

R

1 jLR

1j R C

H= j x Q

1 j xQ Qj x

on multiplie haut et bas parj xQ

H= −x2

j xQ−x21


H=H 0−x2

1−x2 j xQ

( H=H 0 à la pulsation =∞ )

Diagramme de Bode pour un passe-bas d'ordre 2

En posant pour la pulsation réduite x= 0

dans le cas général pour un passe-bas du deuxième

ordre:

29


H=H 0

1−x2 j xQ

avec H 00 si le filtre n'inverse pas.

On suppose ici H 00 .

1)Asymptotes:

a) Pour les basses fréquences x≪1 ,

H~H 0 d'où les asymptotes:

G~H 0

GdB~20 log H 0 (horizontale)

et

~0

b) On peut chercher la valeur en x=1 ,

H=− j H 0 Q d'où:

G=H 0Q

GdB=20 log H 020 log Q

et

=−2

c) Pour les hautes fréquences x≫1 ,

H~−H 0

x2 d'où les asymptotes:

G~H 0

x2

G dB~20 log H 0−40 log x (de pente: - 40 dB/décade)

et

~−

2)Tracés rapides(pour H0 >1):

30


F. Amplificateur opérationnel

(On n'a pas représenté les tensions d'alimentation Vcc et Vcc− )

1 Fonctionnement linéaire et non linéaire

En fonctionnement linéaire

La tension de sortie v s est proportionnelle à la tension différentielle d'entrée =v+−v- et l'on

31

GdB

x (log)1 10 1000,1

20 log(H0)

20 log(H0)- 40

Q élevé (par exemple >1)

GdB

x (log)1 10 1000,1

20 log(H0)

20 log(H0)- 40

Q faible (par exemple <1)

-

+

v+

v-

vs

ε


a: v s= où désigne le gain de l'AO ( ≃105 ).

Saturation de la tension de sortieL'excursion en sortie est limitée par la tension d'alimentation. La tension de sortie est comprise

entre −V SAT et V SAT . Si devient trop important en valeur absolue, il apparaît une saturation en sortie, la tension de sortie, en valeur absolue, étant limitée à V SAT . Dans ce cas, l'AO fonctionne en régime saturé et le fonctionnement n'est plus linéaire puisque l'on ne peut plus écrire

v s= .

(Il existe d'autres raisons pour lesquelles le fonctionnement de L'AO n'est pas linéaire.)

Finalement:

régime linéaire v s==v+−v-

régime non linéaire saturé soit: v s=V SAT

donc (vérification de cohérence à faire dans l'étude)

0 c'est-à-dire v+v-

soit: v s=−V SAT

donc (vérification de cohérence à faire dans l'étude)

0 c'est-à-dire v+v-

Pour un AO idéal, le gain est supposé infini donc en fonctionnement linéaire,

=0

2 Mise en équation d'un montage avec un AO

En général les paramètres sont des potentiels v s , ve , v+ , v - et éventuellement le potentiel des nœuds supplémentaires: Ex: 1 nœud supplémentaire v1 . ( ve connu, il reste ici 4 inconnues)

32

vs

ε

VSAT

-VSAT

VSAT/µ

-VSAT/µ


1)On écrit les équations aux nœuds (Millman, diviseurs de tension) -sauf au nœud de sortie de l'AO où c'est inutile, le courant de sortie de l'AO n'étant pas à déterminer ici- c'est à dire que l'on écrit des relations entre ces potentiels. Il faut vérifier que tous les potentiels interviennent. Parfois, par exemple, si la borne + de l'AO est à la masse, il faudra ne pas oublier d'écrire v+=0 . Ici, il faut obtenir 3 équations à ce niveau.

2)Si le fonctionnement est linéaire et si l'AO est idéal, on ajoute alors v+−v-=0 . Avec cette quatrième équation,on peut résoudre.

(Si le fonctionnement est saturé,

on écrit v s=V SAT et on résout: v+v-

on écrit v s=−V SAT et on résout: v+v- )

3 Montages

Suiveur (adaptation d'impédance)InverseurAmplificateur inverseurAmplificateur non inverseurSommateurSoustracteurIntégrateurDérivateurDéphaseursFiltres divers

33


Chap 1: Spectre d'un signal périodique

A. Rappel

Un système linéaire donne d'un signal sinusoïdal de pulsation , un signal sinusoïdal de même pulsation . On peut caractériser le système par une fonction de transfert H j .

Pour utiliser cette fonction de transfert, il faut que le signal d'entrée soit décomposé en fréquences.

B. Décomposition d'un signal en fréquences

-si possible utiliser des relations trigo

-sinon pour un signal périodique (on pose =2 T ), on aura:

1 décomposition en série de Fourier d'une fonction périodique

f t= f t A1cos tB1 sin t A2 cos 2 tB2 sin 2 t ...etc(continu - la valeur moyenne du signal - fondamental ou harmonique 1 de pulsation harmonique 2 de pulsation 2...etc)

• autre expression de l'harmonique n : C ' n cosn t±n C ' n=An2Bn

20

• calcul des An=2T ∫−T /2

T /2

f tcosn t dt ( nuls si fonction impaire )

et des Bn=2T ∫−T /2

T /2

f t sin n t dt ( nuls si fonction paire )

• représentation du spectre des amplitudes ( C ' n ) dans l'espace des fréquences ou des pulsations

34

pulsation0 ω 2ω 3ω 4ω

C'n


2 exemples de spectres (monolatéraux)

Dans le cours de maths, les spectres obtenus sont bilatéraux ( fréquences négatives et positives ) et les Cn deux fois plus petits que les C ' n .

• résultat pour un créneau symétrique

f t=4 Esin t sin 3 t

3

sin5 t 5

...

harmoniques impairs en 1/n

• résultat pour un triangle symétrique

f t=8 E2 cos t cos3 t

9

cos 5 t25

...

harmoniques impairs en 1/n2

35

t

f(t)

E

T

t

f(t)

E

T


Chap 2: Filtrage

A. Filtre passe-bas de coupure f0

Ex: RC ou RLC aux bornes de C

Le continu est restitué et le signal de sortie n'a pas de discontinuité (pas de discontinuité aux bornes d'un condensateur).

En ce qui concerne la partie variable:

si f ≪ f 0 le signal de sortie est quasiment identique au signal d'entrée

si f ≈ f 0 le signal de sortie est d'allure sinusoïdale

si f ≫ f 0 le signal de sortie est très faible, correspondant ( à une constante multiplicative près) à l'intégrale du signal d'entrée dans le cas du filtre du premier ordre.

B. Filtre passe-haut de coupure f0

Ex: RC aux bornes de R ou RLC aux bornes de L

Le continu est éliminé et les discontinuités du signal d'entrée doivent se retrouver ici en sortie (RC: pas de discontinuité aux bornes d'un condensateur RLC: présence de L en série pas de discontinuité de l'intensité donc pas de discontinuité de la tension aux bornes de la résistance).


si f ≪ f 0 le signal de sortie est très faible, correspondant ( à une constante multiplicative près) à la dérivée du signal d'entrée dans le cas du filtre du premier ordre.

si f ≈ f 0 le signal de sortie est déformé par rapport au signal d'entrée

si f ≫ f 0 le signal de sortie est quasiment identique au signal d'entrée

36

systèmeSignal d'entrée périodique de fréquence f

Signal de sortie

H(f)

On décompose en fréquences:Continu (0)Fondamental ou harmonique1 (f)Harmonique2 (2f)Harmonique3 (3f)

H(0) → H(f) → H(2f) → H(3f) →

Recomposer pour obtenir le signal de sortie


C. Filtre passe-bande de fréquence propre f0

Ex: RLC aux bornes de R

Le continu est éliminé et le signal de sortie n'a pas de discontinuité (Pourquoi?).


– s'il s'agit d'un filtre à bande large: le filtre peut dériver ( f ≪ f 0 ) ou intégrer ( f ≫ f 0 ). Dans ces deux cas, le signal de sortie est très faible puisque l'on est hors de la bande passante.

– s'il s'agit d'un filtre à bande étroite: le filtre peut intégrer ( f ≫ f 0 ) mais pas dériver ( f ≪ f 0 ) car on obtient des oscillations dans le signal de sortie à cause des composantes sinusoïdales de fréquences proches de f 0 . Si f ≈ f 0 le filtre isole le fondamental.

37


Chap 3: Dérivateur et Intégrateur

A. Définitions et généralités

Si H= j le montage dérive la tension sinusoïdale de pulsation (pente de 20 dB/décade)

Si H=1/ j le montage intègre la tension sinusoïdale de pulsation (pente de -20 dB/décade)

1 Intégrateur

Un intégrateur (la sortie est proportionnelle à l'intégrale de l'entrée donc l'entrée est proportionnelle à la dérivée de la sortie) vérifie:

e t = dst dt

s t−s t=0=1 ∫t=0

t

e t ' dt '

La fonction de transfert correspondante est puisque e= j s :

se= 1

j

Dans la diagramme de Bode:

pour le gain, on obtient une droite GdB=−20 log 1 /

de pente – 20dB/ décade

pour la phase, =−2

( =2 pour un intégrateur inverseur)

2 Dérivateur

Un dérivateur (la sortie est proportionnelle à la dérivée de l'entrée) vérifie:

s t = de t dt

La fonction de transfert correspondante est puisque s= j e :

38


se= j

Dans la diagramme de Bode:

pour le gain, on obtient une droite G dB=20 log 1/

de pente 20 dB /décade

pour la phase, =2

( =−2 pour un dérivateur inverseur)

B. Application aux filtres du premier ordre

1 Filtre passe-bas du premier ordre


H=vS

v E=H0

1

1 j H

Équation différentielleen posant p= j

v Spv S

H=H 0 v E d'où l'équation différentielle

v S t 1H

dv st dt

=H 0 v Et

Intégration d'une composante sinusoïdale

si ≫H alors

H~H 01

j H

et

1H

dv st dt

=H 0 vE t

39


v St est une primitive de v E t à une constante multiplicative près

v S t −v S t=0=H 0H ∫t '=0

t '=t

v E t ' dt '

(souvent v S t=0=0 )

Montage intégrateur

en décomposant le signal d'entrée en continu + composantes sinusoïdales de pulsations (cf : Fourier):

– le continu sera amplifié: v S ,moyen=H 0 v E ,moyen (on peut remarquer que si le continu était intégré, la tension de sortie moyenne en valeur absolue augmenterait sans arrêt -phénomène de dérive- et tout montage réel finirait par saturer)

– une composante sinusoïdale est intégrée si sa pulsation ≫H

Un signal périodique, de valeur moyenne nulle, de période T (on imagine de le décomposer

en série de Fourier) tel que2T≫H sera donc intégré puisque toutes ses composantes

sinusoïdales ont des pulsations ≫H .

(on peut remarquer que si une basse fréquence était intégrée, la tension de sortie deviendrait très

grande car le gain du dérivateur est proportionnel à1 et tout montage réel finirait par saturer)

–

2 Filtre passe-haut du premier ordre


H=vS

v E=H0

j B

1 j B

Équation différentielleen posant p= j

v Sp v S

B=H 0

p v E

Bd'où l'équation différentielle

v S t 1B

dv st dt

=H 01B

dvE t dt

40


Dérivation d'une composante sinusoïdale

si ≪B alors

H~H 0 j B

et

v st =H01B

dv E t dt

v St est la dérivée de v E t à une constante multiplicative près

Montage dérivateur

en décomposant le signal d'entrée en continu + composantes sinusoïdales de pulsations (cf : Fourier):

– le continu est coupé: v S ,moyen=0 (il est donc dérivé...)

– une composante sinusoïdale est dérivée si sa pulsation ≪B

Un signal périodique, de période T (on imagine de le décomposer en série de Fourier) tel que2T≪B pourra être considéré comme dérivé mais la condition est ici « plus forte ». Les

pulsations des premiers harmoniques ont des pulsations inférieures à B mais les

harmoniques d'ordre n élevé ne seront pas dérivés car la condition n 2T≪B ne sera pas

vérifiée. Dans le cas d'un signal « régulier » où les hautes fréquences sont peu présentes, le résultat sera acceptable.

(on peut remarquer que si une haute fréquence était dérivée, la tension de sortie deviendrait très grande car le gain du dérivateur est proportionnel à et tout montage réel finirait par saturer)

C. Application aux filtres du deuxième ordre

1 Les filtres passe-bas et passe-haut du deuxième ordre

Ils ne permettent d'obtenir ni dérivateur, ni intégrateur. Les asymptotes dans le diagramme de Bode sont en effet de pentes 0 dB /décade et ±40 dB /décade . Ces filtres ne conviennent pas en général.

2 Le filtre passe-bande du deuxième ordre

41


Rappel de quelques résultatsLa fonction de transfert peut s'écrire

H=H 0

1 j Q 0−0

Les pulsations de coupure B et H ( B0H ) , solutions de

Q 0−0

=±1

vérifient notamment :

H

0=0

B

et

0=H−B

0= 1

Q

(cf. : largeur de la bande passante)

(Ces propriétés ne sont pas démontrées ici.)

Graphe

(en supposant H 0=1 )

Cas d'un signal sinusoïdal de pulsation

42

1 1000,10,01 1 10- 3 dB-10 dB

Bande large Q=0,1

Bande étroite Q=10


1)Si ≪B (à basse fréquence):

H~H 0

Q0j

s t ~H0

Q0

de t dt

Le montage se comporte comme un dérivateur vis à vis du signal sinusoïdal de pulsation .

2)Si ≫H (à haute fréquence):

H~H 00

Q1

j

ds t dt

~H 00

Qe t

Le montage se comporte comme un intégrateur vis à vis du signal sinusoïdal de pulsation .

Cas d'un signal périodique quelconquede période T :

On décompose le signal d'entrée en continu + composantes sinusoïdales de pulsations (cf : Fourier):

• Intégration:

– le continu est éliminé par le filtre H =0=0

– une composante sinusoïdale est intégrée si sa pulsation ≫H . Un signal périodique, de valeur moyenne nulle, de période T (on imagine de le décomposer en série

de Fourier) tel que2T≫H sera donc intégré puisque toutes ses composantes

sinusoïdales (dans la bande atténuée droite) ont des pulsations ≫H .

• Dérivation:

– le continu est éliminé par le filtre H =0=0 , on peut donc dire que le continu est dérivé

– Passe-bande peu sélectif (ex Q=0,1 ). Une composante sinusoïdale est dérivée si sa pulsation ≪B .Un signal périodique, de période T (on imagine de le décomposer

en série de Fourier) tel que2T≪B pourra être considéré comme dérivé mais la

condition est ici « plus forte ». Les premiers harmoniques (dans la bande atténuée gauche) ont des pulsations inférieures à B mais les harmoniques d'ordre n élevé ne seront pas

dérivés car la condition n 2T≪B ne sera pas vérifiée. Dans le cas d'un signal

« régulier » où les hautes fréquences sont peu présentes, le résultat sera acceptable.

43


– Passe-bande très sélectif (ex Q=10 ). Une composante sinusoïdale est dérivée si sa pulsation ≪B .Un signal périodique, de période T (on imagine de le décomposer en

série de Fourier) tel que2T≪B ne pourra être considéré comme dérivé. Les premiers

harmoniques (dans la bande atténuée gauche) seront dérivés mais le phénomène de résonance ( Q élevé ) amplifiera fortement (par rapport à la bande atténuée) les harmoniques dont les pulsations sont proches de 0 . Il apparaît alors dans le signal de sortie des oscillations amorties de pseudopulsation voisine de 0 . Pour étudier le phénomène, il est préférable d'écrire l'équation différentielle et de résoudre.

FIN ELECTROCINETIQUE

44

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