Leçon 262 - Modes de convergence d’une suite de variables ...

ENS Rennes Université de Rennes 1

Mémoire de Master 2 préparation à l’agrégation.

Leçon 262 - Modes de convergence d’unesuite de variables aléatoires. Exemples et

applications

17 février 2018

Auteur :Corentin Kilque

Encadrant :Dr. Ismael Bailleul

1 c. kilque

Table des matières

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. Convergence presque sûre et convergence en probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Convergence presque sûre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Convergence dans LppPq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Définition et première propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Liens avec la convergence presque sûre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Uniforme intégrabilité et convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1. Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Convergence en loi et fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3. Liens avec les autres notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Annexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Réponses aux questions du jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Mémoire de M2. Leçon 262 - Convergence de variables aléatoires. 2

Introduction

L’étude de suites de variables aléatoires ainsi que de leur convergence est une question trèsnaturelle en probabilité. On est souvent amené par exemple à approcher certaines variablesaléatoires par des suites de variables aléatoires plus simple ou que l’on sait simuler. On peutciter le fait que la façon effective de simuler une variable aléatoire sur ordinateur se fait àpartir d’une loi uniforme sur r0, 1s, que l’on approche par une suite de variables aléatoiresde Bernoulli, au moyen de la décomposition en base deux d’un nombre réel.

Cette leçon s’intéresse alors à préciser la notion de convergence, et les propriétés quien découlent. On commence par les modes de convergence trajectoriels, puis on donne laconvergence en loi. On peut aussi justifier l’ordre de l’introduction des modes de convergencepar le soucis d’aller de la notion de convergence la plus intuitive, à celle la moins intuitive. Ons’attache, pour chaque mode de convergence donné, à donner ses propriétés, à caractériser laconvergence d’une suite, et à donner le lien avec les notions de convergence déjà introduites.Un diagramme donné en annexe résume ces liens.

La première partie commence donc par donner la notion de convergence presque sûre,analogue en théorie de la mesure de la convergence simple. On énonce notamment la tra-duction en terme de convergence presque sûre des lemmes de Borel-Cantelli qui fournissentdes critères très puissants. A la fin de cette partie est donné comme premier développementla preuve qu’une marche aléatoire symétrique sur Zd pour d ě 3 tend presque sûrementvers l’infini. On introduit ensuite la convergence en probabilité, proche de la convergencepresque sûre dans sa définition, et avec laquelle on précise les liens. La métrisabilité decette convergence est également précisée. Pour conclure cette partie on énonce les lois desgrands nombres, qui sont des convergence de suites particulières en probabilité et presquesûrement, et qui trouvent notamment des applications en analyse.

On introduit dans une deuxième partie la convergence en norme ||.||p héritée de la théoriede la mesure, et on étudie notamment les propriétés des espaces Lp. Il est ensuite précisé lesliens avec la convergence presque sûre et en probabilité, en introduisant pour cette dernièrela notion d’uniforme intégrabilité.

La dernière partie est consacrée à la convergence en loi, qui n’est pas trajectorielle, et unenotion de convergence faible puisque toutes les autres notions de convergence implique celle-ci, quitte à extraire. Elle présente néanmoins l’avantage d’être équivalente à la convergencedes fonctions caractéristiques, des fonctions génératrices dans le cas discret ainsi que desfonctions de répartition. L’équivalence avec la convergence des fonctions caractéristiques estutilisée en particulier pour montrer le théorème central limite qui constitue un raffinementdes lois des grands nombre et fait l’objet du second développement.

On termine ce rapport en apportant la réponse aux questions qui avaient été posées parle jury lors de l’oral.

Janvier 2018.

3 c. kilque

Dans tout le rapport, on note pΩ,A,Pq un espace probabilisé et on considère pRd,BpRdqql’espace Rd muni de la tribu borélienne. Les variables aléatoires considérées seront desfonctions mesurables X : Ω Ñ Rd.

1. Convergence presque sûre et convergence en probabilités

1.1. Convergence presque sûre.

Définition 1 ([PB07, définition V.1.1.]). Si pXnqn et X sont des variables aléatoires àvaleurs dans Rd on dit que pXnqn convergence presque sûrement vers X si

P´

ω P Ω, limnÑ`8

Xnpωq “ Xpωq¯

“ 1.

On note alors limnÑ`8Xn “ X p.s. ou Xn ÝÑ X p.s. lorsque nÑ `8.

Proposition 2 ([PB07, remarque V.1.1.]). La suite pXnqn converge presque sûrement versX si et seulement si

@ε ą 0, P´

ď

mPN

č

něm

t|Xn ´X| ă εu¯

“ 1.

De la complétude de R on déduit le critère de Cauchy de convergence presque sûresuivant, très utile puisqu’il n’exige pas de connaitre la limite.

Proposition 3 ([PB07, remarque V.1.1.] critère de Cauchy). La suite pXnqn convergepresque sûrement si et seulement si

@ε ą 0, P´

ď

mPN

č

něm

t|Xn ´Xm| ă εu¯

“ 1.

Exemple 4 ([PB07, exemple V.1.3.]). On considère pXkqk une suite de variables aléatoiresindépendantes et identiquement distribuées de loi de Bernoulli de paramètre p P r0, 1s.Alors la suite Un :“

řnk“1 2´kXk converge presque sûrement d’après le critère de Cauchy.

En effet, si m ă n,

|Un ´ Um| ďnÿ

k“m`1

2´k ď 2´m

et doncď

mPN

č

něm

tω, |Unpωq´Umpωq| ă εu Ąď

mPN

č

něm

tω, 2´m ă εu “ď

mPNtω, 2´m ă εu “ Ω @ε ą 0.

Proposition 5. Si pXnqn converge en presque sûrement vers X et que f : Rd Ñ Rn estcontinue alors fpXnq converge presque sûrement vers fpXq. D’autre part, si pour 1 ď i ď n,pXi

kqk est une suite de variables aléatoires réelles, alors ppX1k , . . . , X

nk qqk converge presque

sûrement vers pX1, . . . , Xnq si et seulement si pour tout 1 ď i ď n, pXinqn converge presque

sûrement vers Xi.


On déduit immédiatement des lemmes de Borel-Cantelli et de 2 le critère et la caracté-risation de convergence presque sûre suivante.

Proposition 6 ([PB07, proposition V.1.2.]). Soit pXnqn une suite de variables aléatoires,alors

(i) Si pour tout ε ą 0,ř

nPN Pp|Xn ´ X| ě εq ă `8, alors pXnqn converge presquesûrement vers X.

(ii) Si les pXnqn sont mutuellement indépendantes, alors pXnqn converge presque sûre-ment vers 0 si et seulement si pour tout ε ą 0,

ř

nPN Pp|Xn| ě εq ă `8.

Contre-exemple 7 ([Ouv09, remarque 10.3.]). Le point (i) du théorème est suffisant maispas nécessaire comme le montre l’exemple suivant, qui montre également que l’hypothèsed’indépendance dans le deuxième point est bien justifiée. Soit Xn “ 1r0,1nr définie surpr0, 1s,Bpr0, 1ss,Pq où P est la mesure de Lebesgue. Alors la suite pXnqn converge presquesûrement vers 0 alors que pour ε ą 0 et n P N˚, Pp|Xn| ą εq “ 1n et donc

ř

nPN Pp|Xn| ě

εq “ `8.

Un résultat sur les séries dont le terme général est majoré par le terme général d’unesérie convergente nous donne le résultat suivant.

Proposition 8 ([Ouv09, théorème 10.2.]). Si il existe pεnqn une suite de réels positifs quisoient le terme général d’une série convergente et que pXnqn est une suite de variablesaléatoires telles que

`8ÿ

n“0

Pp|Xn`1 ´Xn| ą εnq ă `8

alors la suite pXnqn converge presque sûrement.

Le théorème qui suit ainsi que sa démonstration constitue le premier développement dela leçon.

Théorème 9. Soit peiq1ďiďd la base canonique dans Rd, et pXiqiPN˚ une suite de variablesaléatoires indépendantes et identiquement distribuées à valeurs dans Rd telles que

PpX1 “ eiq “ PpX1 “ ´eiq “1

2d

pour tout 1 ď i ď d. On note Sn :“řni“1Xi, S0 “ 0. Alors pour d ě 3,

Pp|Sn| Ñ `8q “ 1

c’est à dire que pSnqn diverge presque sûrement vers `8.

Démonstration. On cherche à montrer queř

PpSn “ 0q converge. En effet, si on noteR “ Er

ř

ně0 1Sn“0s l’espérance du nombre de retours en 0, on a par Fubini-Tonelli, R “ř

ně0 PpSn “ 0q, et l’on pourra aboutir à une conclusion.

5 c. kilque

On cherche alors à calculer PpSn “ 0q. On pose, pour t “ pt1, ¨ ¨ ¨ , tdq P Rd,

ϕptq :“ ϕX1ptq “ EreiX1¨ts “

dÿ

j“1

1

2dpeitëj ` eítëj q “

1

d

dÿ

j“1

cosptjq.

De plus, par indépendance, on a ϕSnptq “ pϕptqqn.

D’autre part, avec ϕSnptq “ř

kPZd PpSn “ kqeik¨t, si on pose T :“ r´π, πs, on a :

1

p2πqd

ż

T d

ϕSnptqdt “1

p2πqd

ÿ

kPZd

ż

T d

PpSn “ kqeik¨tdt “ PpSn “ 0q

par Fubini puisque 1p2πqd

ř

kPZd

ş

T d |PpSn “ kqeik¨t|dt “ř

kPZd PpSn “ kq “ 1 et puisque1

p2πqd

ş

T d eik¨tdt “ 1

p2πqd

ş

T d

śdj“1 e

ikjtjdt “ δk0 .

Puisqu’il faut un nombre pair d’étape à pSnqn pour revenir en 0, on sait que pour nimpair, PpSn “ 0q “ 0. On remarque que |ϕ| ď 1 sur T d et |ϕptq| “ 1 si et seulement sit “ p0, . . . , 0q,˘pπ, . . . , πq. On obtient alors :

ÿ

ně0

PpSn “ 0q “1

p2πqd

ÿ

ně0

ż

T d

ϕS2nptqdt “1

p2πqd

ÿ

ně0

ż

T d

ϕptq2ndt

“1

p2πqd

ż

T d

ÿ

ně0

ϕptq2ndt “1

p2πqd

ż

T d

1

1´ ϕptq2dt

par Fubini-Tonelli puisqu’on a justifié que ϕptq est réel et puisque |ϕ| ă 1 presque partoutsur T d.

Puisque 11´ϕ2 est continue sur T dztp0, . . . , 0q,˘pπ, . . . , πqu, il nous reste maintenant à

justifier l’intégrabilité de la fonction 11´ϕ2 en p0, . . . , 0q,˘pπ, . . . , πq. On se limite au point

p0, . . . , 0q puisque pour tout y P R, cospy ˘ πq “ ´ cospyq.

Or, en 0,

ϕptq “1

d

dÿ

j“1

´

1´t2j2` opt2j q

¯

“ 1´||t||2

2d` op||t||2q

et ainsi

1´ ϕptq2 “||t||2

d` op||t||2q

donc1

1´ ϕptq2„

d

||t||2

qui est intégrable en 0 dès que d ě 3.


Soit maintenant k P Zd, on montre queř

ně0 PpSn “ kq converge en se ramenant en 0 :on pose l “ |k|, on a, pour n ě l ` 1

PpSn “ 0q ě PpSn “ 0 et Sl “ ´kqě PpX1 ` ¨ ¨ ¨ `Xl “ ´k et Xl`1 ` ¨ ¨ ¨ `Xn “ kq

“ PpSl “ ´kqPpSn´l “ kq

car les Xi sont i.i.d. Or, puisque l “ |k|, PpSl “ ´kq ě 1p2dql

ą 0 doncÿ

ně0

PpSn “ kq “ÿ

ně1

PpSn “ kq “ÿ

něl`1

PpSn´l “ kq ď1

PpSl “ ´kqÿ

něl`1

PpSn “ 0q ă 8.

On peut alors conclure : pour k P Zd, on note Nk :“ř

ně0 1Sn“k le nombre de retoursde Sn en k, et puisque ErNks “

ř

ně0 PpSn “ kq, Nk est fini presque sûrement. On a alors

Pp|Sn| Ñ `8q “ Pp@A P N˚, Dn0, @n ě n0, |Sn| ě Aq

“ limAÑ`8

PpDn0, @n ě n0, |Sn| ě Aq

“ limAÑ`8

Pp@k, |k| ď A, Nk est finiq

“ 1

puisque ptDn0, @n ě n0, |Sn| ě AuqAPN˚ est décroissante, que tDn0, @n ě n0, |Sn| ě Au “t@k, |k| ď A, Nk est finiu et puisque l’union dénombrable d’ensembles de mesure nulle estde mesure nulle.

1.2. Convergence en probabilité.

Définition 10 ([PB07, définition V.2.1.]). Si pXnqn et X sont des variables aléatoires ondit que pXnqn converge en probabilité vers X si

@ε ą 0, limnÑ`8

Pp|Xn ´X| ě εq “ 0.

On note alors limnÑ`8Xn “ X en probabilité ou XnPÝÑnÑ`8

X.

Proposition 11 ([Ouv09, remarque 10.1.]). La limite en probabilité d’une suite de variablesaléatoires est presque sûrement unique, c’est à dire que si pXnqn est une suite de variablesaléatoires telle que Xn

PÝÑnÑ`8

X et XnPÝÑnÑ`8

Y alors X “ Y presque sûrement.

Démonstration. On a, par inégalité triangulaire, pour tout ε ą 0 et tout n P Np|X ´ Y | ą εq Ă p|X ´Xn| ą ε2q Y p|Y ´Xn| ą ε2q

ainsiPp|X ´ Y | ą εq ď Pp|X ´Xn| ą ε2q ` Pp|Y ´Xn| ą ε2q

et donc, par convergence en probabilité,

Pp|X ´ Y | ą εq “ 0.

7 c. kilque

OrpX ‰ Y q “

ď

nPN˚

´

|X ´ Y | ą 1n¯

et on conclut avec la σ-sous additivité de la mesure P.

Proposition 12 ([PB07, proposition V.2.5.]). Soit pXnqn et pYnqn deux suites de variablesaléatoires qui convergent en probabilité respectivement vers X et Y , alors

(i) Si f : Rd Ñ Rn est une application continue, alors fpXnqPÝÑnÑ`8

fpXq

(ii) Pour tous α, β P R, αXn ` βYnPÝÑnÑ`8

αX ` βY

(iii) XnYnPÝÑnÑ`8

XY .

On a un premier résultat sur le lien entre les modes de convergence.

Proposition 13 ([Ouv09, théorème 10.4.]). Si pXnqn converge presque sûrement vers Xalors pXnqn converge en probabilité vers X.

La réciproque de ce théorème est fausse comme le montre le contre-exemple suivant.

Contre-exemple 14 ([Ouv09, théorème 10.4.]). On considère une suite de variables aléatoiresréelles indépendantes pXnqn de loi de Bernoulli Bp1nq. Alors puisque pour 0 ă ε ă 1,

Pp|Xn| ą εq “ PpXn “ 1q “1

n

la suite pXnqn converge en probabilité vers 0. On utilise alors le point (ii) de la proposition6 pour montrer que pXnqn ne converge pas presque sûrement vers 0. En effet,

ÿ

nPN˚Pp|Xn| ě εq “

ÿ

nPN˚

1

n“ `8.

Définition 15 ([PB07, lemme V.2.3.]). On pose pourX,Y deux variables aléatoires définiessur le même espace probabilisé,

dpX,Y q :“ Er|X ´ Y | ^ 1s

dont on vérifie facilement que cela définit une distance.

La distance que l’on vient d’introduire est la distance de convergence en probabilité (iln’y a pas unicité) comme le montre la proposition suivante.

Proposition 16 ([PB07, lemme V.2.3.]). La suite pXnqn converge en probabilité vers X siet seulement si dpXn, Xq ÝÑ

nÑ`80.

On peut déduire de la métrisabilité de la convergence en probabilité la caractérisationsuivante, dont le condition nécessaire est très souvent utilisé.


Théorème 17 ([PB07, théorème V.2.4.]). Soit pXnqn, X des variables aléatoires. La suitepXnqn converge en probabilité vers X si et seulement de toute suite croissante d’entierspnkqk on peut extraire une sous-suite pnkiqi telle que pXnki

qi converge presque sûrementvers X.

Démonstration. On montre que l’on peut extraire une sous-suite de pXnqn qui convergepresque sûrement vers X ce qui montrera le sens direct en l’appliquant à toute sous-suite.On construit une suite extraite ainsi : n0 “ 1 et pour k ě 1 on pose nk le plus petit entiern tel que

P´

|Xn ´X| ě1

k

¯

ď 2´k

qui existe par convergence en probabilité et propriété de N. On a alorsÿ

kPN˚Pp|Xnk

´X| ě1

kq ă `8

et donc pour ε ą 0,ÿ

kPN˚Pp|Xnk

´X| ě εq ă `8

et on conclut par le point (i) de la proposition 6.

Réciproquement, si de toute suite croissante d’entiers pnkqk on peut extraire une sous-suite pnkiqi telle que pXnki

qi converge presque sûrement vers X, en particulier de toute suitecroissante d’entiers pnkqk on peut extraire une sous-suite pnkiqi telle que pXnki

qi convergeen probabilité vers X et donc puisque la convergence est métrisable, pXnqn converge enprobabilité vers X.

La métrisabilité permet également de montrer le critère de Cauchy suivant.

Proposition 18 ([PB07, théorème V.2.6.]). Si la suite pXnqn est de Cauchy en probabilité,c’est à dire si

@ε ą 0, Dn ě 0,@p, q ě n, Pp|Xp ´Xq| ě εq ď ε

alors la suite pXnqn converge en probabilité.

1.3. Lois des grands nombres. On donne maintenant des lois les grands nombres : desrésultats de convergence en probabilité et presque sûre de suites particulières qui trouventde nombreuses applications.

La démonstration du théorème qui suit est élémentaire, tandis que celle du suivant, quia des hypothèses plus faibles, nécessite plus de travail.

Théorème 19 (Loi faible des grands nombres, [Ouv09, théorème 10.18.]). Soit pXnqnune suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées admettant unmoment d’ordre deux. On note m :“ ErX1s et σ2 :“ VarpX1q. Alors si on pose

Sn “nÿ

k“1

Xn,

9 c. kilque

´Snn

¯

nconverge en probabilité vers m.

Démonstration. On remarque que, pour tout n ě 1, par linéarité ErSns “ nm et parindépendance VarpSnq “ nσ2. On a alors, par inégalité de Tchebychev, pour ε ą 0 etn ě 1,

P´ˇ

ˇ

ˇ

Snn´m

ˇ

ˇ

ˇą ε

¯

“ P`ˇ

ˇSn ´ nmˇ

ˇ ą nε˘

ďV arpSnq

n2ε2“

σ2

nε2

d’où le résultat.

Théorème 20 (Loi faible des grands nombres, [Ouv09, théorème 10.19.]). Soit pXnqnune suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées admettant unemoyenne que l’on note m :“ ErX1s. Alors si on pose

Sn “nÿ

k“1

Xn,

´Snn

¯

nconverge en probabilité vers m.

On donne alors le théorème de la loi forte des grands nombres, qui admet les mêmehypothèses que précédemment mais dont la conclusion est plus forte. Ici encore, si l’onsuppose l’existence d’une moment d’ordre quatre pour la loi commune la démonstration estplus aisée, mais on ne la détaillera pas ici.

Théorème 21 (Loi forte des grands nombres, [PB07, théorème V.5.2.]). Soit pXnqn unesuite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées admettant une moyenneque l’on note m :“ ErX1s. Alors si on pose

Sn “nÿ

k“1

Xn,

´Snn

¯

nconverge presque sûrement vers m.

Exemple 22. Si pXnqn admet pour loi commune une loi de Bernoulli de paramètre p, alorson sait que Sn la somme des pXiq1ďiďn suit une loi binomiale Bpn, pq.

Application 23 (Méthode de Monte-Carlo, [Ouv09, exercice 10.8.]). Soit f : r0, 1s Ñ Rmesurable et pUnqn une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur r0, 1s.Alors si Xn “ fpUnq, d’après la loi des grands nombres,

řni“1Xn

n

p.s.ÝÑnÑ`8

ErX1s “

ż 1

0fpxqdx.

Une application de la loi des grands nombre en analyse nous est donnée par le théorèmesuivant, qui fournit une suite explicite de polynômes qui approchent uniformément unefonction continue sur r0, 1s donnée, ce qui précise le théorème d’approximation de Weiers-trass.


Théorème 24 ([HQ02, théorème XIII.II.3.]). Soit f : r0, 1s Ñ C une fonction continueet soit Bnpf, xq le polynôme Bnpf, xq “

řnk“0

`

nk

˘

xkp1 ´ xqn´kfp knq. Alors Bn convergeuniformément vers f sur r0, 1s.

Démonstration. On note ||.||8 la norme sup sur r0, 1s et ωpδq le module d’uniforme conti-nuité de f , c’est à dire

ωpδq :“ supt|fpxq ´ fpyq|, |x´ y| ď δu.

On remarque que en reprenant les notations de l’exemple 22 et en notant x “ p P r0, 1s,Bnpf, xq “ ErfpSnpxqnqs. Ainsi, on a, pour x P r0, 1s, et δ P r0, 1s,

|fpxq ´Bnpf, xq| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

E„

fpxq ´ f

ˆ

Snpxq

n

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď E„ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

fpxq ´ f

ˆ

Snpxq

n

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ E„ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

fpxq ´ f

ˆ

Snpxq

n

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1ˇˇ

ˇx´Snpxq

n

ˇ

ˇ

ˇďδ

` E„ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

fpxq ´ f

ˆ

Snpxq

n

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1ˇˇ

ˇx´Snpxq

n

ˇ

ˇ

ˇąδ

ď ωpδq ` 2||f ||8Pˆˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x´Snpxq

n

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ą δ

˙

ď ωpδq `2||f ||8Var

´

Snpxqn

¯

δ2

or Var

ˆ

Snpxq

n

˙

“xp1´ xq

nď

1

2net on peut conclure.

2. Convergence dans LppPq

Dans cette partie, les variables aléatoires considérées sont réelles.

2.1. Définition et première propriétés.

Définition 25 ([MB06, définition 9.5.]). On définit, pour 1 ď p ă `8 l’espace vectoriel

LppPq “ LppPq „où

LppPq “!

X : pΩ,A,Pq Ñ pR,BpRqq mesurable,ż

Ω|X|pdP ă `8

)

et où „ est la relation d’équivalence donnée par l’égalité presque partout.

Définition 26 ([MB06, théorème 9.1.]). Pour 1 ď p ă `8, si X P LppPq, on définit

||X||p “´

ż

Ω|X|pdP

¯1p

appelé norme p de X.

Proposition 27 (Inégalité de Hölder, [MB06, théorème 9.1.]). Si 1 ă p, q ă `8 sont telsque 1

p `1q “ 1 (on dit qu’ils sont conjugués), alors si X P Lp et Y P Lq, XY P L1 et

||XY ||1 ď ||X||p||Y ||q.

11 c. kilque

Proposition 28 (Inégalité de Minkowski, [MB06, théorème 9.2.]). Si 1 ď p ă `8 etX,Y P Lp, alors

||X ` Y ||p ď ||X||p ` ||Y ||p.

Théorème 29 (Riesz-Fischer, [MB06, théorème 9.3.]). Pour 1 ď p ă `8, d’après l’inéga-lité de Minkowski, pLp, ||.||pq est un espace vectoriel normé, il est de plus complet.

Proposition 30 ([MB06, corollaire 9.2.]). Si 1 ď p ď q ă `8, alors si X P Lq, X P Lp,c’est à dire que Lq Ă Lp et de plus l’injection est continue, au sens où

||X||p ď ||X||q.

Corollaire 31. La convergence en norme ||.||q implique la convergence en norme ||.||p.

2.2. Liens avec la convergence presque sûre. Il n’existe pas d’implication sans hy-pothèses supplémentaires entre convergence presque sûre et convergence en norme ||.||pcomme le montre les contre-exemples qui suivent. Il existe cependant des liens, que l’onprécise maintenant.

Proposition 32 ([MB06, théorème 9.3.]). Si pXnqn converge dans Lp vers X (1 ď p ă `8)alors pXnqn converge vers X presque sûrement à une sous-suite près.

La convergence presque sûre de toute la suite n’est pas vraie en général comme le montrele contre-exemple suivant.

Contre-exemple 33. On définit la suite pXnqn sur pr0, 1s,Bpr0, 1sq, λq de la manière suivante :X0 “ 1r0,1s, X1 “ 1r0,12s, X2 “ 1r12,1s, X3 “ 1r0,13s, X4 “ 1r13,23s, X5 “ 1r23,1s, eton continue par récurrence. Ainsi construite, on a ||Xn||1 ÝÑ

nÑ`80 mais pXnqn ne converge

vers 0 en aucune point de r0, 1s. Pour obtenir une convergence presque sûre on pourrait parexemple considérer la suite extraite pX0, X1, X3, X6, . . . q qui converge vers 0 sur s0, 1s.

Théorème 34 (Beppo-Levi, [MB06, théorème 7.1.]). Soit pXnqn une suite croissante devariables aléatoires réelles positives. Alors ErlimnÑ`8Xns “ limnÑ`8 ErXns.

Théorème 35 (Convergence dominée, [MB06, proposition 9.6.]). Soit 1 ď p ă `8 et soitpXnqn une suite de Lp qui converge presque sûrement vers X. S’il existe Y P Lp telle que|Xn| ď Y pour tout n P N et P-presque partout, alors ||Xn ´X||p ÝÑ

nÑ`80.

Contre-exemple 36. On définit la suite pXnqn sur pr0, 1s,Bpr0, 1sq, λq de la manière suivante :Xn “ pn ´ n2tq1r0,1ns. Alors pXnqn converge presque sûrement vers 0 mais ||Xn||1 “ 12qui ne converge pas vers 0.


0

n

1

1n

1

Xn

On donne ici un autre exemple, plus probabiliste.

Contre-exemple 37 ([PB07, exemple V.3.2.]). Soit p ą 1 et soit pXnqn la suite de variablesaléatoires définies sur R de lois PpXn “ nq “ n´p “ 1´PpXn “ 0q. Si ε ą 0, alors pour toutn ě 1 tel que n ě ε, Pp|Xn| ą εq “ n´p et donc par le lemme de Borel-Cantelli (proposition6), puisque p ą 1, pXnqn converge presque sûrement vers 0. Or pour tout n ě 1, ||Xn||p “ 1.

On donne maintenant un exemple qui sera important pour la notion d’uniforme intégra-bilité.

Exemple 38. Si X P L1, alors pX1|X|ąnqn converge vers 0 dans L1 par le théorème deconvergence dominée puisque la suite converge presque sûrement vers 0 et que l’on peut ladominer partout par |X| P L1.

2.3. Uniforme intégrabilité et convergence en probabilité. On donne un premierlien entre la convergence en probabilité et la convergence Lp.

Proposition 39 ([PB07, théorème V.3.5.]). Si pXnqn converge dans Lp, p ě 1 vers X,alors pXnqn converge en probabilité vers X.

Démonstration. On va utiliser le théorème 17 pour montrer la convergence en probabilité.Soit pnkqk une suite croissante d’entiers. Alors pXnk

qk converge encore dans Lp vers X,et donc d’après la proposition 32 il existe une sous suite de pXnk

qk qui converge presquesûrement, on peut donc conclure.

La réciproque de ce théorème est fausse comme le montre le contre-exemple suivant.

Contre-exemple 40 ([PB07, exemple V.3.2.]). Pour α ą 0, on définit sur pr0, 1s,Bpr0, 1sq,Pqoù P “ λ la suite de variables aléatoires réelles pXnqn par, pour ω P r0, 1s,

Xnpωq “ ω´α1s0,1nspωq.

Alors pour ε Ps0, 1r, Pp|Xn| ą εq “ 1n et donc pXnqn converge en probabilité vers 0, maissi p ě 1 et que α est tel que αp ě 1, alors

ż

r0,1s|Xn|

pdP “ż 1n

0ω´pαdω “ `8

13 c. kilque

et donc en particulier pXnqn ne converge pas vers 0 dans Lp.

On peut néanmoins obtenir une réciproque partielle en introduisant la notion d’uniformeintégrabilité d’une famille de variables aléatoires.

Définition 41 (Uniforme intégrabilité, [PB07, définition V.3.3.]). Soit pXiqiPI une famillede variables aléatoires de L1. On dit que pXiqi est uniformément intégrable si

limcÑ`8

supiPI

ż

t|Xi|ącu|Xi|dP “ 0.

Exemple 42 ([PB07, définition V.3.3.]). D’après l’exemple 38, une variable aléatoire inté-grable, et donc une famille finie de variables aléatoires intégrables est uniformément inté-grable. On montre également grâce à cet exemple que si la famille pXiqiPI est elle qu’il existeY P L1 telle que |Xi| ď Y presque partout alors la famille est uniformément intégrable.

On donne maintenant un caractérisation de l’uniforme intégrabilité qui nous sera utiledans la preuve qui suit.

Proposition 43 ([PB07, proposition V.3.4.]). Une famille de variables aléatoires pXiqiPIest uniformément intégrable si et seulement si les deux points suivants sont vérifiés :

(i) supiPI Er|Xi|s ă `8

(ii) Pour tout ε ą 0, il existe η ą 0 tel que,

@A P A,PpAq ď η ùñ @i P I,

ż

A|Xi|dP ď ε.

On peut maintenant montrer une réciproque partielle de la proposition 39.

Théorème 44 ([PB07, théorème V.3.5.]). Soit pXnqn une suite de variables aléatoires deL1, et X une variable aléatoire. Alors il y a équivalence entre :

(i) XnPÝÑnÑ`8

X et pXnqn est uniformément intégrable

(ii) X est intégrable et ||Xn ´X||1 ÝÑnÑ`8

0.

Démonstration. On suppose piq vérifié. Le théorème 17 nous assure qu’il existe une sous-suite de pXnqn qui converge presque sûrement vers X. Alors par le lemme de Fatou,

Er|X|s ď lim infk

Er|Xnk|s ď sup

nPNEr|Xn|s ă `8

par la proposition précédente. Ainsi X P L1. D’autre part, pour ε ą 0,

Er|Xn ´X|s ď

ż

t|Xn´X|ďεu|Xn ´X|dP`

ż

t|Xn´X|ąεu|Xn|dP`

ż

t|Xn´X|ąεu|X|dP

ď ε`

ż

t|Xn´X|ąεu|Xn|dP`

ż

t|Xn´X|ąεu|X|dP.


Puisque X P L1, la famille ppXnqn, Xq est encore uniformément intégrable et on peut doncappliquer la proposition précédente avec ε, qui nous fournit un η ą 0. Par hypothèse deconvergence en probabilité, à partir d’un certain rang, Pp|Xn´X| ą εq ď η et donc d’aprèsla proposition précédente, à partir d’un certain rang,

Er|Xn ´X|s ă 3ε

d’où la convergence L1.

Réciproquement, si (ii) est vérifié, on a déjà montré la convergence en probabilité, il nousdonc reste à prouver l’uniforme intégrabilité, ce que l’on va faire grâce à la propositionprécédente. Soit ε ą 0 et N ě 0 tel que pour tout n ě N , ||Xn ´ X||1 ď ε. Puisquetoutes la variables aléatoires mises en jeu sont intégrables, la famille pX,X0, . . . , XN q estuniformément intégrable et donc d’après la proposition précédente, il existe η ą 0 tel quesi PpAq ď η, pour 0 ď n ď N ,

ż

A|X|dP ď ε et

ż

A|Xn|dP ď ε.

D’autre part pour n ě N , par inégalité triangulaire,ż

A|Xn|dP ď

ż

A|X|dP` ||X ´Xn||1 ď 2ε.

On a donc montré le deuxième point de la caractérisation de la proposition précédente etle premier point s’obtient par inégalité triangulaire.

On a un résultat analogue pour la convergence Lp.

Corollaire 45 ([PB07, corollaire V.3.6.]). Soit p ą 1 et pXnqn une suite de variablesaléatoires telles que supnPN Er|Xn|

ps ă `8. Si XnPÝÑnÑ`8

X alors pour tout 1 ď q ă p,

||Xn ´X||q ÝÑnÑ`8

0.

3. Convergence en loi

3.1. Définition et premières propriétés.

Définition 46 ([Ouv09, définition 14.9.]). Soit pXnqn une suite de variables aléatoiresà valeurs dans Rd, définies sur des espaces probabilisés pΩn,An,Pnq et X une variablealéatoire à valeurs dans Rd définie sur pΩ,A,Pq. On dit que pXnqn converge en loi vers Xet on note Xn

LÝÑnÑ`8

si pour toute fonction f : Rd Ñ Rd continue bornée (on note CbpRdql’ensemble de telles fonctions),

ErfpXnqs ÝÑnÑ`8

ErfpXqs.

Dans toute la suite on considérera des variables aléatoires définies sur des espaces deprobabilités à possiblement différents, comme dans la définition. On obtient immédiatementla proposition suivante.

15 c. kilque

Proposition 47 ([Ouv09, proposition 14.12.]). Si f : Rd Ñ Rk est une fonction continueet que la suite pXnqn converge en loi vers X, alors pfpXnqqn converge en loi vers fpXq.

On a le théorème suivant, très utile pour les preuves qui vont suivre.

Théorème 48 (Théorème du porte manteau, [Ouv09, proposition 14.5.]). Si pXnqn, X sontdes variables aléatoires, on a l’équivalence entre

(i) pXnqn converge en loi vers X(ii) Pour tout fermé F , lim supnÑ`8 PXnpF q ď PXpF q(iii) Pour tout ouvert O, lim infnÑ`8 PXnpOq ě PXpOq(iv) Pour tout borélien A tel que PpBAq “ 0, limnÑ`8 PXnpAq “ PXpAq.

Proposition 49 ([Ouv09, proposition 14.17.]). Soit pXnqn, X des variables aléatoires defonctions de répartition pFXnqn, FX . Alors la suite pXnqn converge en loi vers X si etseulement si pFXnpxqqn converge vers FXpxq pour tout x point de continuité de FX .

Exemple 50. Soit pmnqn et pσnqn deux suites de réelles convergeant respectivement vers met σ. Si pXnqn est une suite de variables aléatoires de loi N pmn, σ

2nq et X est une variable

aléatoire de loi N pm,σ2q, alors XnLÝÑnÑ`8

X.

On donne maintenant deux critères de convergence en loi pour les variables aléatoiresdiscrètes.

Proposition 51 ([Ouv09, proposition 14.16.]). Soit pXnqn, X des variables aléatoires àvaleurs dans Z. On a l’équivalence

XnLÝÑnÑ`8

X ðñ @k P Z, limnÑ`8

PpXn “ kq “ PpX “ kq.

On en déduit la proposition suivante.

Proposition 52 ([Fel68, theorem XI.6.]). Soit pXnqn, X des variables aléatoires à valeursdans Z et pGnqn, G leurs séries génératrice. Alors on a l’équivalence

XnLÝÑnÑ`8

X ðñ @t Ps0, 1r, limnÑ`8

Gnptq “ Gptq.

3.2. Convergence en loi et fonction caractéristique.

Théorème 53 (Lévy, [Ouv09, théorème 14.11.]). Soit pXnqn une suite de variables aléa-toires de fonctions caractéristiques ϕn. On a,

(i) Si pXnqn converge en loi vers X, alors pϕnq converge uniformément sur tout compactvers ϕX .

(ii) Si pϕnq converge simplement vers une fonction ϕ continue en 0, alors il existeune variable aléatoire X telle que ϕ soit la fonction caractéristique de X et pXnqnconverge en loi vers X.


Ce théorème est très puissant et l’on va en donner deux applications.

Théorème 54 (Poisson, [Ouv09, théorème 14.19.]). Soit pour n P N˚ Xn une variablealéatoire de loi binomiale Bpn, pnq. Si limnÑ`8 npn “ λ ą 0, alors pXnqn converge en loivers une variable aléatoire de loi de Poisson Ppλq.

On énonce et démontre maintenant le théorème central limite, qui est un raffinementde la loi des grands nombres. On commence par donner un lemme utilisé dans la preuve.Le lemme, le théorème central limite ainsi que l’application qui suit constitue le seconddéveloppement.

Lemme 55 ([HQ02, exercice XIII.7.]). Soit pznqn une suite de nombres complexes de limitez P C, alors

´

1`znn

¯nÝÑnÑ`8

ez.

Démonstration. Pour n ě 0, on a,

exppznq ´´

1`znn

¯n“

`8ÿ

k“0

zknk!´

nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

´znn

¯k“

`8ÿ

k“0

apnqk zkn

où

apnqk “

#

1k! k ě n` 1

1k!

´

1´ npn´1q¨¨¨pn´k`1qnk

¯

k ď n

ainsi apnqk ě 0 pour tout n, k, et donc,ˇ

ˇ

ˇexppznq ´

´

1`znn

¯nˇˇ

ˇď

`8ÿ

k“0

apnqk |zn|

k “ expp|zn|q ´

ˆ

1`|zn|

n

˙n

.

Enfin, avec pour x ě 0, lnp1` xq ě x´ x2

2 et 1´ e´x ď x,ˇ

ˇ

ˇexppznq ´

´

1`znn

¯nˇˇ

ˇď expp|zn|q ´ exp

ˆ

n ln

ˆ

1`|zn|

n

˙˙

ď expp|zn|q ´ exp

ˆ

n

ˆ

|zn|

n´|zn|

2

2n2

˙˙

“ expp|zn|q

ˆ

1´ exp

ˆ

´|zn|

2

2n

˙˙

ď expp|zn|q|zn|

2

2n.

On peut alors conclure :ˇ

ˇ

ˇexppzq ´

´

1`znn

¯nˇˇ

ˇď | exppzq ´ exppznq| `

ˇ

ˇ

ˇexppznq ´

´

1`znn

¯nˇˇ

ˇ

ď | exppzq ´ exppznq| ` expp|zn|q|zn|

2

2nÝÑnÑ`8

0.

17 c. kilque

Théorème 56 (Central limite, [HQ02, théorème XIII.II.22.]). Soit pXnqn une suite de va-riables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées admettant un moment d’ordre2. On note m “ ErX1s et σ2 “ VarpX1q. Alors si Sn “

řnk“1Xn,

Sn ´ nm?nσ

LÝÑ X

où X „ N p0, 1q.

Démonstration. On peut sans perte de généralité se ramener au cas m “ 0 et σ “ 1. Onutilise le théorème de Lévy et on cherche donc à montrer que ϕ Sn?

nptq Ñ e´t

22 pour toutt P R.

On note ϕ :“ ϕX1 . Puisque X1 admet un moment d’ordre 2, ϕ est de classe C2 et vérifie :ϕ1p0q “ EriX1s “ 0 et ϕ2p0q “ r´X2s “ ´1. On a donc, par développement de Taylor àl’ordre 2 en 0, pour tout t P R,

ϕptq “ 1´t2

2` opt2q.

On a d’autre part, par indépendance et identique distribution,

ϕ Sn?nptq “ E

«

nź

k“1

eitXk?n

ff

“

nź

k“1

E”

eitXk?nı

“ E”

eitX1?nın“ ϕ

ˆ

t?n

˙n

.

Ainsi, d’après le développement limité de ϕ en 0,

ϕ Sn?nptq “

ˆ

1´t2

2n` op

1

nq

˙n

.

et on conclut avec le lemme.

Application 57. On a,

e´n`8ÿ

k“0

nk

k!“

1

2.

Démonstration. Soit pXiq une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi de Poisson Pp1q, etSn “ X1 ` ¨ ¨ ¨ `Xn qui suit donc une loi de Poisson Ppnq. On a ErX1s “ VarpX1q “ 1 eton applique le théorème central limite pour obtenir :

Zn “Sn ´ n?n

LÝÑ Z „ N p0, 1q.


Or on remarque que

e´nnÿ

k“0

nk

k!“

nÿ

k“0

PpSn “ kq “ PpSn ď nq “ PpZn ď 0q

et donc par convergence des fonctions de répartitions on obtient

e´n`8ÿ

k“0

nk

k!“ PpZ ď 0q “

1

2

puisque Z est symétrique.

Application 58 ([PB07, exemple V.5.5.]). Si pXnqn admet pour loi commune une loi deBernoulli de paramètre p, alors on sait que Sn la moyenne arithmétique des pXiq1ďiďn suitune loi binomiale Bpn, pq. Le théorème central limite nous donne, pour a ă b,

limnÑ`8

P´

a ďSn ´ np

a

npp1´ pqď b

¯

“1?

2π

ż b

ae´t

22dt.

Remarque 59 ([PB07, exemple V.5.5.]). On reprend les notations de l’exemple précédent.Nous verrons que la convergence en probabilité implique la convergence en loi, ainsi, d’aprèsla loi des grands nombres, Snn converge en loi vers p. D’après l’exemple précédent, on aalors

limnÑ`8

P´

a ďSn ´ np

b

nSnn

`

1´ Snn

˘

ď b¯

“1?

2π

ż b

ae´t

22dt

et donc pour n assez grand, l’intervalle«

Snn´

b?n

c

Snn

´

1´Snn

¯

,Snn´

a?n

c

Snn

´

1´Snn

¯

ff

contient p avec une probabilité proche de 1?2π

şba e´t22dt. En statistiques, la paramètre p est

souvent inconnu et ce résultat permet donc d’encadrer sa valeur en observant des réalisationde Xi.

3.3. Liens avec les autres notions de convergence.

Proposition 60 ([Ouv09, proposition 14.13.]). Soit pXnqn une suite de variables aléatoiresdéfinies sur le même espace probabilisé pΩ,A,Pq à valeurs dans Rd et qui converge enprobabilité vers X (définie sur pΩ,A,Pq et à valeurs dans Rd). Alors pXnqn converge en loivers X.

Remarque 61. Puisque la convergence presque sûre implique la convergence en probabilité,on obtient immédiatement avec la proposition précédente que la convergence presque sûreimplique la convergence en loi.

La réciproque de la proposition est fausse, comme le montre l’exemple suivant, très simplepuisque la suite considérée est constante.

19 c. kilque

Contre-exemple 62 ([Ouv09, proposition 14.13.]). Soit X de loi de Bernoulli Bppq et pXnqnla suite constante égale à X. Si on pose Y “ 1 ´ X, Y est de même loi que X et doncpXnqn converge en loi vers Y . Cependant |X ´ Y | “ |2X ´ 1| “ 1 et donc pour ε Ps0, 1r,Pp|Xn ´ Y | ą εq “ 1 et donc pXnqn ne converge pas en probabilité vers Y .

On a cependant une réciproque partielle.

Proposition 63 ([Ouv09, proposition 14.14.]). Soit pXnqn une suite de variables aléatoiresdéfinies sur le même espace probabilisé pΩ,A,Pq à valeurs dans Rd et qui converge en loivers une variable aléatoire a P-p.s. constante. Alors pXnqn converge en probabilité vers a.

Contrairement aux autres notions de convergence, la convergence en loi d’un vecteurn’est pas assurée par la convergence en loi de chacune de ses composantes. Cependant laproposition précédente nous permet d’avoir un résultat de ce type sous certaines hypothèses.

Proposition 64 (lemme de Slutsky, [Ouv09, exercice 14.8.]). Soit pXnqn et pYnqn deuxsuites de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé pΩ,A,Pq et quiconvergent en loi respectivement vers une variable aléatoire X et une constante y0. AlorspXn, Ynqn converge en loi vers pX, y0q.

En particulier, Xn ` YnLÝÑnÑ`8

X ` y0.

4. Annexe

On résume ici les liens entre les différentes notions de convergence, une flèche de A à Bindiquant qu’une convergence au sens de A implique une convergence au sens de B.

Lq, q ą p

Lp, p ą 1

L1

ss-suite// p.s.

cvg monotone, dominéexx

P

ss-suite

OO

U.I.

NN

L

limite p.s. cste

\\


5. Réponses aux questions du jury

Question 1. Concernant le théorème 9 sur la divergence presque sûre d’une marche aléa-toire symétrique sur Zd, que peut-on dire si l’on considère une marche aléatoire symétrique(PpX “ xq “ PpX “ ´xq) sur Zd mais pas forcément à valeurs dans la base canonique ?

Réponse. Dans la preuve donnée on montre la divergence en prouvant la sommabilité de lasérie

ř

PpSn “ 0q. Pour cela on se sert d’un équivalent en 0 de ϕ la fonction caractéristiquedes variables aléatoires considérées. Or dans le cas à valeurs dans la base canonique, cettefonction ϕ est une somme de sinus et est donc facile à développer asymptotiquement et ledéveloppement obtenu permet de conclure. Maintenant si X n’est plus à valeurs dans labase canonique l’on perd cette forme de ϕ et donc la possibilité de conclure de la mêmemanière.

Question 2. En quoi le théorème central limite est-il un raffinement de la loi des grandsnombres ? Peut-on itérer le processus ?

Réponse. La loi des grands nombres nous dit que Snn converge vers m, mais on veut savoir

à quelle vitesse. On soustrait alors m, et dans la même idée qu’un équivalent, on divise parune quantité qui nous semble être la vitesse de convergence de Sn

n vers m :?n

σ

ˆ

Snn´m

˙

“Sn ´ nm?nσ

LÝÑnÑ`8

N p0, 1q.

Il n’existe pas d’itération de ce processus.

Question 3. Donner un contre-exemple au lemme de Slutsky.

Réponse. On considère X qui suit une loi de Rademacher de paramètre 12 et pXnqn, pYnqnles suites constantes égales respectivement à X et ´X. Alors puisque X est symétrique,X “ ´X en loi et donc pXnqn et pYnqn convergent en loi vers X. Mais Xn ` Yn “ 0 neconverge pas en loi vers 2X.

Question 4. Montrer que si une suite pXnqn de variables aléatoires de lois N pmn, σ2nq

converge en loi vers X, alors X „ N pm,σ2q où m,σ sont les limites des suites pmnqn, pσnqnquitte à extraire.

Réponse. On a déjà montré dans l’exemple 50 que si les suites pmnqn, pσnqn convergent versm,σ alors la suite pXnqn converge en loi vers une variable aléatoire de loi N pm,σ2q. On vautiliser ce résultat ici.

On suppose alors la convergence en loi, et on montre que quitte à extraire, les suitespmnqn, pσnqn convergent ce qui nous permettra de conclure d’après la remarque préliminaire.On a, d’après le théorème de Lévy, pour tout t P R,

eitmn´σ2nt

22 ÝÑnÑ`8

ϕXptq.

21 c. kilque

On peut alors facilement en déduire la convergence de la suite pσnqn : on sait que

|eitmn´σ2nt

22| “ e´σ2nt

22 ÝÑnÑ`8

|ϕXptq|

et donc

σn “

c

´2 log |ϕXnptq|

t2ÝÑnÑ`8

c

´2 log |ϕXptq|

t2“: σ

pour t dans un voisinage épointé de 0.

On cherche alors à montrer que pmnqn converge. On va montrer pour cela que la suiteest bornée. En effet, si c’est le cas, on pourra extraire une sous-suite convergeant vers mqui sera alors uniquement déterminé par eitm “ ϕXptqe

σ2t22 pour tout t P R.On commence par montrer que pXnqn vérifie

@ε ą 0, DM ą 0, supnPN

Pp|Xn| ąMq ă ε.

On considérant la suite p|Xn|qn qui converge en loi vers |X|. Soit alors ε ą 0. On saitque la suite pFnqn des fonctions de répartitions des p|Xn|qn converge vers F :“ F|X| entout point de continuité de cette dernière. Soit donc t P R un point de continuité de Ftel que F ptq ą 1 ´ ε (qui existe puisque les points de discontinuité de F sont au plusdénombrable), et soit n0 tel que pour tout n ě n0, Fnptq ą 1´ ε, alors pour tout n ě n0,Pp|Xn| ą tq “ 1 ´ Fnptq ă ε. D’autre part, pour 0 ď n ď n0 ´ 1, il existe Mn tel quePp|Xn| ąMnq ă ε, on peut alors conclure en posant M “ maxpMn, tq.

On suppose enfin par l’absurde que pmnqn n’est pas bornée. On sait que pour tout n,Pp|Xn| ą |mn|q ě 12. Par hypothèse, pour tout M ą 0, il existe n P N tel que |mn| ąM ,pour un tel n, on a alors Pp|Xn| ąMq ě 12, et donc

supnPN

Pp|Xn| ąMq ě 12

ce qui contredit la propriété que l’on a montré plus haut, et conclut la preuve

Question 5. Que peut-on dire de la méthode de Monte-Carlo ?

Réponse. La méthode de Monte-Carlo permet d’approcher une intégrale mais converge pluslentement que des méthodes classiques d’analyse numérique, cependant elle ne nécessite au-cune hypothèse de régularité sur la fonction. On peut préciser la vitesse de convergence sousune hypothèse d’intégrabilité de f : si

ş10 |fptq|

2dt ď C, alors par l’inégalité de Tchebychev,

Pp|Sn ´ I| ą εq ďVarpSnq

ε2ď

C

nε2

en notant I “ş10 fptqdt et Sn “

řnk“1Xn en reprenant les notations de l’application 23.

On voit de plus, grâce à l’inégalité de Markov, que plus la fonction f est intégrable à unepuissance élevée et plus la méthode converge vite.


Références

[Fel68] W. Feller. An introduction to probability theory and its applications, volume Volume 1. Wiley, 3edition, 1968.

[HQ02] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’agrégation. Dunod, 2 edition, 2002.[MB06] Gilles Pagès Marc Briane. Theéorie de l’inteégration. Vuibert, 4ed. edition, 2006.[Ouv09] Jean-Yves Ouvrard. Probabilités Tome 2. Cassini, 2009.[PB07] M. Ledoux Ph. Barbe. Probabilité. EDP SCIENCES, 2007.

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