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Le second degré

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Le second degré. Formation complète.

Pré-requis :

savoir réduire les écritures de racines carrées

savoir utiliser la distributivité de la multiplication sur l’addition

savoir gérer une écriture polynomiale

savoir utiliser les identités remarquables

savoir développer, factoriser un polynôme en utilisant les pré-requis précédents

savoir résoudre une équation du type produit nul.

savoir résoudre une équation de la forme x² = A ou A est un réel

Ces pré-requis sont développés dans les formations « développement factorisation » et

« réduction d’écriture en racines carrées »

Objectifs :

savoir mettre sous forme canonique puis factoriser lorsque c’est possible un polynômedu second degré donné sous la forme ax² + bx + c

savoir résoudre les équations du second degré données sous la forme ax² + bx + c=0.

savoir étudier le signe d’un polynôme du second degré donné sous la formeP (x) = ax² + bx + c.

Savoir transformer une écriture polynomiale du second degré pour la ramener sous laforme standard

Savoir utiliser les propriétés de la somme et du produit des racines éventuelles d’un polynôme du second degré

Le second degré


1. transformation sous forme produit de polynômes du second degré• Exemples méthodologiques :

A;On veut factoriser x² - 3 x + 2

Idée il faut arriver à regrouper les termes en x et x² dans un même terme au carré pour cela on

dispose des identités remarquables .

x² - 3x est le début d’une identité remarquable de la forme a² - 2ab + b²

rappel : a² - 2ab + b² = ( a - b )² donc a² - 2ab = ( a - b )² - b²

Identifions les différents termes :x² - 3x et a² - 2 ab

x² correspond à a² donc nous pouvons choisir x = a 3x correspond à 2 ab comme x = a nous avons 2b = 3 donc b = 3/2

a² - 2ab = ( a - b )² - b² devient donc x² - 3x = ( x - 3/2 )² - ( 3/2 )²

remarque : les termes en x et en x² sont bien regroupés dans un même terme au carré

conclusion 1 : l’expression x² - 3 x + 2 se transforme en :x² - 3 x + 2 = ( x - 3/2 )² - ( 3/2 )² + 2

donc en :( x - 3/2 )² - ( 3/2 )² + 2 = ( x - 3/2 )² - 9/4 + 2

d’oux² - 3 x + 2 = ( x - 3/2 )² - 1/4

l’expression se ramène donc à une différence de deux nombres dont le premier est un carré

: Idée pour factoriser une différence dont le premier terme est un carré nous disposons de l’identité

remarquable a² - b²

rappel : a² - b² = ( a - b ) ( a + b )

Appliquons ce résultat à notre expression résultante ( x - 3/2 )² - 1/41/4 peut être bien sur considéré comme le carré se ½donc ( x - 3/2 )² - 1/4 = ( x - 3/2 )² - ( 1/2 )²d’ou ( x - 3/2 )² - 1/4 = ( x - 3/2 - 1/2 ) ( x - 3/2 + 1/2 ) ( x - 3/2 )² - 1/4 = ( x - 2 ) ( x - 1 )

conclusion 2 : l’expression x² - 3 x + 2 se transforme en : ( x - 2 ) ( x - 1 )

donc x² - 3 x + 2 = ( x - 2 ) ( x - 1 )

nous avons atteint notre objectif qui était la factorisation de l’expression . Cet exemple est à étudiersoigneusement si vous éprouvez des difficultés les formations citées en référence sont à reprendre.

Le second degré


B. Soit à factoriser x² + 4x +1

Exploitons l’idée précédente

Idée

il faut arriver à regrouper les termes en x et x² dans un même terme au carré pour cela ondispose des identités remarquables .

Ici il nous faut regrouper x² + 4x cette expression peut être considérée comme le début dudéveloppement de ( a + b )²

rappel : a² + 2ab + b² = ( a + b )² donc a² + 2ab = ( a + b )² - b²

x² + 4x = a² + 2ab on peut considérer que x = a donc que 4 = 2b c’est à dire que b = 2on en déduit que :

x² + 4x = ( x + 2 )² - (2)²donc que :

x² + 4x +1 = ( x + 2 )² - (2)² + 1et par calcul que :

x² + 4x +1 = ( x + 2 )² - 3exploitons alors l’idée de la mise en facteur :

: Idée pour factoriser une différence dont le premier terme est un carré nous disposons de l’identitéremarquable a² - b²

rappel : a² - b² = ( a - b ) ( a + b )

Ici le terme a² correspond à ( x + 2 )² et le terme b² correspond à 3.

rappel : X² = A admet deux solutions si A > 0 qui sont X = a et X = - a

donc on peut choisir a = x + 2 et b = 3

donc ( x + 2 )² -3 = ( x + 2 )² - ( 3 )² c’est à dire que

( x + 2 )² -3 = (( x + 2 ) - ( 3 ) ) (( x + 2 ) + ( 3 ) )donc :

x² + 4x +1 = ( x + 2 - 3 ) ( x + 2 + 3 )

conclusion : l’expression x² + 4x +1 se transforme en : ( x + 2 - 3 ) ( x + 2 + 3 )

C. Soit à factoriser x² + 6x +12

Suivons le même type de démarche.

x² + 6x + 12= ( x + 3)² - (3)² + 12Après identification du début de l’expression au développement de ( a + b )²

détail des calculs : x² + 6x = x² + 2 . 3 . x donc x² + 6x = ( x + 3)² - (3)² car a = x et b = 3

x² + 6x + 12 = ( x + 3)² - (3)² + 12 x² + 6x + 12 = ( x + 3)² - (3)² + 12

x² + 6x + 12 = ( x + 3)² + 3

Le second degré


x² + 6x + 12 = ( x + 3)² + 3x² + 6x + 12 = ( x + 3)² + ( 3 )²

Ici se pose un problème nous n’avons pas de formule de factorisation pour une somme de carrés,mais nous savons que si une telle expression était factorisable elle le serait sous la forme d’un produitde deux polynômes du premier degré c’est à dire (ax+b) (cx+d) ce qui est impossible car le signe d’untel produit n’est pas constant alors que la somme de deux carrés est toujours positive.

Conclusion : x² + 6x +12 n’est pas factorisable et est de signe toujours strictement positif..(on peutmême dire toujours supérieur ou égal à 3 )

D. Soit à factoriser 2 x² + 8x + 5

Ici la seule chose nouvelle par rapport aux exemples précédents est l’apparition du facteur 2 devant leterme x² l’idée est de factoriser ce terme pour nous ramener à une forme classique.

2 x² + 8x + 5 = 2 ( x² + 4x + 5/2 )suivons alors la méthode des exemples précédents en l’appliquant au terme entre parenthèse.

2 x² + 8x + 5 = 2 ( ( x + 2)². - (2)² + 5/2 ) idée 1

2 x² + 8x + 5 = 2 ( ( x + 2)². - 3/2 )

2 x² + 8x + 5 = 2 ( ( x + 2)². - (23

)² ) car (23

)² = 3/2

2 x² + 8x + 5 = 2 ( ( x + 2) - 23

) ( ( x + 2) + 23

) Idée 2

2 x² + 8x + 5 = 2 ( x + 2 - 23

) ( x + 2 + 23

) Après calculs

E . Factoriser - 3x² + 7x - 5

- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( x² - 73

x + 53

)

- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( (x - 76

)² - (76

)² + 53

)

- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( (x - 76

)² - 4936

+ 53

)

- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( (x - 76

)² - 4936

+ 6036

)

- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( (x - 76

)² + 1136

)

conclusion : l’intérieur de la parenthèse est une somme de deux nombres positifs dont l’un n’estjamais nul donc l’expression n’est pas factorisable de plus cette expression est strictement négative.

Le second degré


Exercices :Factoriser si c’est possible :

A(x) = x² - 4x + 3

B(x) = 3x² - 5x + 7

C(x) = x² + x + 1

Correction :A (x) = ( x - 1) ( x - 3)

B (x) = 3 ( (x - 56

)² + 5936

donc n’est pas factorisable

C(x) = (x + 12

)² + 34

donc n’est pas factorisable

Remarque : La méthode développée ici ne s’utilise que si les méthodes « classiques » de factorisation ne sontpas utilisables . ( facteur commun évident ou proportionnel dans chaque terme d’une sommealgébrique, ou bien utilisation des identités remarquables directement. )Par exemple factoriser : x² + x

x² + x = x (x + 1) puis factoriser 3 x² + 2 3 x + 1

3 x² + 2 3 x + 1 = ( )32

x² + 2 3 x + (1 )² = ( 3 x + 1)²

• Méthode générale

Soit un polynôme du second degré P(x) = a x² + bx + c avec a≠ 0 Factorisons ce polynôme :

étape 1

P(x) = a x² + bx + c donc P(x) = a ( x² + ba

x +ca

)

étape 2 ( utilisation du début du carré (a+b)² )

P(x) = a ( x² + 2 ba2

x + ca

) donc P(x) = a ( ( x + ba2

)² - (ba2

)² + ca

)

P(x) = a ( ( x + ba2

)² - ba²²4

+ ca

)

puis par addition

P(x) = a ( ( x + ba2

)² - b ac

a²

²− 44

) cette forme extrêmement importante est appelée

forme canonique.

Le second degré


On appelle forme Canonique d’un polynôme du second degré P(x) = a x² + bx + cL’expression :

P(x) = a ( ( x + ba2

)² - b aca

²²

− 44

)

Remarque : ce résultat important est soit à connaître, soit à savoir retrouver.Cette forme d'écriture de P(x) permet d’analyser sa factorisabilité, mais aussi d’aider à la

résolution des équations du second degré ainsi qu’à celle des inéquations . Nous verrons dans lesformations sur l’étude des fonctions du second degré que cette forme nous permettra des calculs plusrapides.

Etape 3 Analyse de la forme canonique.

Remarquons tout d’abord que cette forme est constituée d’un produit de deux facteurs, l’un constant a,

l’autre ( x + ba2

)² - b aca

²²

− 44

est constitué d’un carré auquel on enlève la quantité b ac

a²

²− 44

,

il faut pour pouvoir factoriser identifier cette dernière quantité à un carré . Il est donc nécessaire queb ac

a²

²− 44

soit positif pour pouvoir factoriser.

Etudions donc le signe de b ac

a²

²− 44

. Le dénominateur de cette fraction est le produit de 4 avec un

carré donc toujours positif donc le signe de cette fraction ne dépend que de b² - 4 ac.

conclusion : la factorisabilité de P(x) dépend du signe de b² - 4ac Nous appellerons ceterme le discriminant du polynôme et nous le noterons ∆ ( lire delta)

∆ = b ac2 4−

remarque : la forme canonique peut donc aussi s’écrire P(x) = a ( ( x + ba2

)² - ∆

4a² )

reprenons notre étude :

1 Si ∆ = b ac2 4− est positif au sens large alors l’expression ( x + ba2

)² -

b aca

²²

− 44

peut être considérée comme la différence d’un carré avec un nombre positif, nous pouvons

donc écrire :

( x + ba2

)² - b ac

a²

²− 44

= ( x + ba2

)² - ∆

4 2

2

a

par identification à une différence de carrés

donc ( x + ba2

)² - b ac

a²

²− 44

= ( x + ba2

)² - ( )∆

2

2

a

par simplification de la racine

donc : ( x + ba2

)² - b ac

a²

²− 44

= x ba

x ba

−− +

• −

− −

∆ ∆2 2

et l’expression est

factorisée

Le second degré


par l’utilisation de a² - b² donc P(x) = a x ba

x ba

−− +

• −

− −

∆ ∆2 2

Conclusion 1 : Si ∆ = b ac2 4− est positif alors P(x) se factorise et :

P(x) = a x ba

x ba

−− +

• −

− −

∆ ∆2 2

2 Si ∆ = b ac2 4− est négatif alors l’expression ( x + ba2

)² - b ac

a²

²− 44

peut

être considérée comme la différence d’un carré avec un nombre négatif, donc comme la somme dedeux nombres positifs dont l’un est strictement positif. Nous somme donc dans le cas ou aucune

factorisation n’est possible c’est à dire le signe de ( x + ba2

)² - b ac

a²

²− 44

est strictement positif, le

signe de P(x) est celui de a ( vu que P(x) = a ( x + ba2

)² - b ac

a²

²− 44

.

Conclusion 2 : Si ∆ = b ac2 4− est négatif P(x) n’est pas factorisable et estde signe constant celui de a/

Cas particulier : Si ∆ =0 ce cas faisant parti du cas général ∆ positif

on a d’après la conclusion 1 : P(x) = a x ba

x ba

−− +

• −

− −

∆ ∆2 2

or ∆ étant nul

P(x) = a x ba

x ba

−− +

• −

− −

02

02

donc P(x) = a x ba

x ba

−−

• −

−

2 2

on obtient ainsi P(x) = a x ba

−−

2

2

donc P(x) = a x ba

+

2

2

Conclusion 3 : Si ∆ =0 alors P(x) = a x ba

+

2

2

Le second degré


Conclusion générale :

Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠ 0

On appelle discriminant du polynôme la quantité ∆ = b ac2 4−

1 Si ∆ ≥ 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est

P(x) = a x ba

x ba

−− +

• −

− −

∆ ∆2 2

2 Si ∆ = 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est :

P(x) = a x ba

+

2

2

3 Si ∆ p 0 le polynôme n’est pas factorisable et est du signe de apartout.

Remarque : la conclusion précédente est essentielle pour la connaissance à long terme des propriétéssur le signe d’un polynôme du second degré ainsi que sur la résolution générale des équations dusecond degré. Pour les examens un formulaire est fourni qui comporte implicitement les résultatsnumériques de ce théorème mais pas ce théorème il faudra donc savoir le retrouver.

Cette propriété peut être utilisée directement ce qui rend plus rapide la factorisation depolynômes du second degré dans certains cas. (Cas ou la résolution n’est pas évidente)

Exemple d’utilisation :

Factoriser si c’est possible : P(x) = x² +7x +4

Ici a = 1 , b = 7 , c =4 Calculons le discriminant ∆ = b ac2 4− donc ∆ = 7² - 4 X 1 X 4

∆ = 49 -16 = 33: donc le discriminant est strictement positif le polynôme est alors factorisable et

P(x) = a x ba

x ba

−− +

• −

− −

∆ ∆2 2

donc P(x) = a

x x−− +

• −

− −

7 332

7 332

et on a fini !

Le second degré


Exercices : Factoriser si c’est possible les polynômes suivants :

P(x)= - 3x² + 5x + 4 P(x) = 2x² -2x +7 P(x) = 6 x² -24 x + 24 P(x) = 2x² + x + 7réponse réponse réponse réponse

Le second degré


P(x)= - 3x² + 5x + 4 P(x) = 2x² -2x +7 P(x) = 6 x² -24 x+ 24

P(x) = 2x² + x+ 7

∆ = 25 + 48 = 73donc ∆ positif P est factorisable et

P(x) = -3( x -− +

−5 73

6)( x -

− −−

5 736

)

P(x) = -3( x+ − +5 73

6)(x+

− −5 736

)

∆ = 4 - 56 = - 52donc ∆ estnégatif P n’est pasfactorisable

∆ = 576 -576 = 0donc ∆ = 0P est factorisableetP(x) = 6 ( x - 2 )²

∆ = 1 - 56 = -55donc ∆ estnégatifP n’est pasfactorisable

Remarque : la partie la plus difficile est maintenant passée....

Le second degré


2. Résolution des équations du second degré

A Mise en situation du problèmeDéfinition :

On appelle équation du second degré toute équation pouvant se ramener sous la forme ax² + bx + c = 0 avec a différent de 0

Nous avons déjà eu l’occasion de résoudre de telles équations par exemple x² - 4 = 0on écrit alors x²-2² = 0 or x² - 2² = ( x + 2) ( x - 2) donc : x²-2² = 0 peut s’écrire ( x + 2) ( x - 2) = 0or Rappel : Un produit n’est nul que si au moins l’un des facteurs le constituant est nul.

Donc xx− =+ =

2 02 0

d’ou xx== −

22

on a donc obtenu les solutions en factorisant l’expression.

Remarque :

D’après ce résultat pour résoudre une équation de degré 2 (ou plus) il suffit de se ramener à unproduit de facteurs dont le résultat doit être nul.

Or nous avons étudié la factorisation de l’expression ax² + bx + c au chapitre précédent.

Rappel :. Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠ 0



P(x) = a x ba

x ba

−− +

• −

− −

∆ ∆2 2


P(x) = a x ba

+

2

2

3 Si ∆ < 0 le polynôme n’est pas factorisable et est du signe de a partout

B Etude théorique

Etudions les trois cas possibles

1 Si ∆ ≥ 0 le polynôme P(x) est factorisable donc :

P(x) = 0 peut s’écrire P(x) = a x ba

x ba

−− +

• −

− −

∆ ∆2 2

= 0

Rappel : Un produit n’est nul que si au moins l’un des facteurs le constituant est nul.

Le second degré


Donc

a

x ba

x ba

=

−− +

=

−− −

=

0

20

20

∆

∆

: or a n’est pas nul car le polynôme est du second degré donc

x ba

x ba

=− +

=− −

∆

∆2

2

sont les deux solutions de l’équation

Conclusion 1 : . Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠ 0


Si ∆ ≥ 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions distinctes qui sont :

x ba1 2

=− + ∆

et x ba2 2

=− − ∆

2 Si ∆ = 0 le polynôme P(x) est factorisable et l’équation P(x) = 0 peut s’écrire :

a x ba

+

2

2

= 0 or d’après le rappel précédent on obtient :

a

x ba

x ba

=

+ =

+ =

0

20

20

or a n’est pas nul car le polynôme est du second degré donc il y a une seule

solution que l’on retrouve deux fois, (on dira que cette solution est double ) qui est :

x ba

+ =2

0 donc x x ba1 2 2

= =−

conclusion 2 : Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠ 0


si ∆ = 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions confondues dites « solutiondouble » qui sont :

x x ba1 2 2

= =−

Le second degré


3 Si ∆ < 0 le polynôme n’est pas factorisable et est du signe de a partout.

Il est alors certain que P(x) étant strictement positif ou bien strictement négatif n’est jamaisnuldonc l’équation P(x) = 0 n’admet pas de solution.

Conclusion 3 : Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠ 0


Si ∆ < 0 l’équation P(x) = 0 n’admet aucune solution réelle.

Conclusion générale : . Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠ 0


1 Si ∆ ≥ 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions distinctes qui sont:

x ba1 2

=− + ∆

et x ba2 2

=− − ∆

2 Si ∆ = 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions confondues dites« solution double » qui sont :

x x ba1 2 2

= =−

3 Si ∆ < 0 l’équation P(x) = 0 n’admet aucune solution réelle

Remarque ce théorème figure dans les formulaires d’examen mais vu sa fréquence d’utilisation il estbon de le connaître.

Il est intéressant de constater que le théorème étudié au chapitre précédent peut être écritquantitativement grâce aux solutions éventuelles de l’équation ax² + bx + c = 0

en effet si ∆ ≥ 0 les solutions de l’équation sont x ba1 2

=− + ∆

et x ba2 2

=− − ∆

et la

factorisation du polynôme s’écrit : P(x) = a x ba

x ba

−− +

• −

− −

∆ ∆2 2

donc nous pouvons aussi

l’écrire : P(x) = a ( ) ( )x x x x− • −1 2

si ∆ = 0 les solutions de l’équation sont x x ba1 2 2

= =−

et la factorisation du polynôme est

:

P(x) = a x ba

+

2

2

donc nous pouvons aussi l’écrire : P(x) = a ( )x x− 12

Cette remarque va nous aider à la mémorisation du théorème du chapitre précédent sous la forme

Le second degré


. Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠ 0



P(x) = a ( ) ( )x x x x− • −1 2 où x1 et x2 sont les solutions de l’équation P(x)=0


P(x) = a ( )x x− 12

où x1 est la solution double de l’équation P(x)=0


C. Etude méthodologique

1 Résolution d’une équation du second degré

Exemple 1:Soit à résoudre 5x² - x - 6 = 0

- On identifie a, b, c dans l’expression. Ici a= 5, b = -1 , c = -6 (attention auxsignes)

- On calcule ∆ : ∆ = b ac2 4− donc ici ∆ = ( - 1)² - 4 (5) (-6)∆ = 1 + 120 = 121

- On identifie le cadre dans lequel on se trouve en fonction du signe de ∆Ici ∆ >0

- On en conclu sur l’existence et la valeur éventuelle des racines (solutions) del’équationIci ∆ >0 donc l’équation admet deux racines distinctes qui sont :

x ba1 2

=− + ∆

et x ba2 2

=− − ∆

donc ( )

( )x1

1 1212 5

=− − +

donc x11 11

101210

65

=+

= =

et ( )

( )x2

1 1212 5

=− − −

donc x21 11

101010

1=−

= − = −

- On conclue :

conclusion l’équation 5x² - x - 6 = 0 admet deux racines distinctes qui sont : x165

= et x2 1= −

Le second degré


Que l’on peut noter : l’équation 5x² - x - 6 = 0 admet S = −

65

1; comme ensemble solution.

Exemple 2 :Suivons plus rapidement cette démarche.

Résoudre l’équation 8 x² - 6x + 1 = 0

a = 8, b = -6, c = 1. Calculons ∆ ; ∆ = b² - 4a c Donc ∆ = ( -6)² - 4 (8) (1)∆ = 36 - 32 = 4 . Donc le discriminant est positif l’équation admet deux solutions distinctes qui sont

:

x ba1 2

=− + ∆

et x ba2 2

=− − ∆

Calculons x16 4

168

1612

=+

= = et x26 4

164

1614

=−

= =

Conclusion : l’équation 8 x² - 6x + 1 = 0 admet S =

14

12

; comme ensemble solution.

Exemple 3 :Résoudre l’équation 8 x² - 5x + 1 = 0

a = 8, b = -5, c = 1. Calculons ∆ ; ∆ = b² - 4a c Donc ∆ = ( -5)² - 4 (8) (1) = 25 - 32 = - 7Le discriminant est ici négatif donc l’équation n’admet aucune solution réelle

Conclusion l’ensemble solution est vide ( on note ) S=∅

2 Factorisation d’un polynôme du second degré

Exemple : Factoriser le Polynôme P(x) = 3 x² - 7x +2

Nous allons utiliser le théorème liant la factorisation du polynôme aux racines éventuelles del’équation associée.

Résolvons 3 x² - 7x + 2 = 0 Ici a = 3 , b = - 7, c =2 calculons le discriminant: ∆ = b² - 4a c∆ = ( - 7 )² - 4 ( 3 ) ( 2 ) = 49 - 24 = 25 Donc le discriminant est strictement positif, l’équation admet

deux racines distinctes qui sont : x17 25

6126

2=+

= = et x27 25

626

13

=−

= =

dans cette situation la forme factorisée du polynôme est : P(x) = a ( ) ( )x x x x− • −1 2 donc ici

P(x) = ( )3 2 13

x x− −

Il semble évident que la vitesse d’exécution est largement accélérée par l’utilisation de ces théorèmes cequi justifie leur étude systématique.

Le second degré


Exercices sur le chapitre 2 : Résoudre les équations suivantes

5x² + 14x -3 = 0 x² - 29x + 210 = 0 x² - x + 14

= 0 4x² + x - 2 = 0 7x² - 5x - 2 = 0

Le second degré


éléments de réponse (attention une rédaction minimum est obligatoire.)

5x² + 14x -3 = 0 x² - 29x + 210 = 0 x² - x + 14

= 0 4x² + x - 2 = 0 7x² - 5x - 2 = 0

∆ =256

x1210

15

= =

et

x230

103=

−= −

∆ = 1

x1302

15= =

et

x2282

14= =

∆ = 0

x112

=

et

x212

=

∆ = 33

x11 33

8=− +

et

x21 33

8=− −

∆ = 81

x11414

1= =

et

x24

142

7=−

=−

Si la question avait été factoriser il suffisait d’appliquer ensuite le théorème sur la factorisation...

D. Elément de simplification des calculs cas où b est pair.

Un cas particulier peut attirer notre attention le cas où b est pair si b est un nombre pair nous pouvons lenoter b = 2b’ où b’ est bien sur la moitié de b.

Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠ 0 peut alors s’écrire P(x) =ax² + 2b’x + c

le discriminant du polynôme ∆ = b ac2 4− = ( )2 42b ac' − =4b ac'2 4−

donc ∆ = 4 ( )b ac'2− notons ∆ ’ la quantité ( )b ac'2− ; ∆ ’= ( )b ac'2−

∆ ’ est appelé le discriminant réduit. Ce qu’il y a de’ intéressant c’est que ∆ ∆ ∆= =4 2' 'donc

1 Si ∆ ≥ 0 ce qui revient à ∆'≥ 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions distinctes quisont :

x ba1 2

=− + ∆

et x ba2 2

=− − ∆

Calculons ces solutions en fonction de ∆ ’

x ba1 2

=− + ∆

=− +2 2

2b

a' '∆

=− +b

a' '∆

x ba2 2

=− − ∆

= − −2 2

2b

a' '∆

=− −b

a' '∆

Nous obtenons ainsi des formules simplifiées (pour le calcul)

x ba1 =

− +' '∆et x b

a2 =− −' '∆

2 Si ∆ = 0 ce qui revient à ∆'= 0 l’équation P(x) = 0 admet une solution double qui est

x x ba

ba

ba1 2 2

22

= = − = − = −' '

:

Le second degré


3 Si ∆ p 0 ce qui revient à ∆'p 0 l’équation n’admet pas de solution

Le second degré


Conclusion Formules réduites

P(x) =ax² + 2b’x + c avec a non nulOn appelle discriminant réduit et on note ∆ ’ la quantité : ∆ ’= ( )b ac'2−

1 Si ∆'≥ 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions distinctes qui sont :

x ba1 =

− +' '∆et x b

a2 =− −' '∆

2 Si ∆'= 0 l’équation P(x) = 0 admet une solution double qui est

x x ba1 2= = −' :

3 Si ∆'p 0 l’équation n’admet pas de solution

Ce dernier théorème est marginal et ne représente qu’un intérêt de simplification de calcul. Il est àretenir si vous voulez simplifier au maximum vos calculs..

Pour vous entraîner utilisez donc ces formules sur les exercices précédents où b est pair.......... à vos stylos !!!

E. Elément de simplification des calculs, somme et produit des racines.


∆ = b ac2 4− plaçons nous dans le cas du discriminant positif ou nul

rappel ; ∆ ≥ 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est

P(x) = a ( ) ( )x x x x− • −1 2 où x1 et x2 sont les solutions de l’équation P(x)=0Développons cette dernière expression :P(x) = a ( ) ( )x x x x− • −1 2 = a ( )x axx axx x x ax a x x x ax x2

1 2 1 22

1 2 1 2− − + = − + +

Donc P(x)= ( )= − + +ax a x x x ax x21 2 1 2 or P(x) = ax² + bx + c pour tout x réel donc par

identification des coefficients nous obtenons :

( )a ab a x xc ax x

=

= − +

=

1 2

1 2

donc

x x1 2+ =−ba

et x x1 2 = ca

On peut en conclure qu’un polynôme du second degré admettant des racines a des coefficients qui s’écrivent en fonction de la somme et du produit de ses racines.Si on note S la somme des racines c’est à dire S= x x1 2+ et P le produit de ses racines c’est à dire P= x x1 2 Le polynôme P(x) = ax² + bx + c peut s’écrire P(x) = ax² - aS x + a P où encore

P(x) = a ( x² - Sx + P ) où S et P sont la somme et le produit des racines de P(x).

Le second degré


Conclusion :

Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠ 0Si ∆ ≥ 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est

P(x) = a ( ) ( )x x x x− • −1 2

Soit S la somme de ses racines et P le produit de ses racines

alors : S= x x1 2+ =−ba

et P= x x1 2 = ca

P(x) = a ( x² - Sx + P )

Première conséquence de ce théorème si l’on connaît une racine d’un polynôme on sait calculerl ’autre de manière directe

Exemple: soit P(x) = 3x²-2x-1 Calculer P(1) , puis factoriser ce polynôme.

Réponse : P(1)= 3 - 2 - 1= 0 donc 1 est racine du polynôme (c’est une solution de l’équation P(x) = 0 )donc P(x) admet une racine son discriminant est donc forcement positif ou nul , cherchons l’autre racine

notons les x’ et x"= 1 on sait que P= x x' " = ca

donc 1x’=−13

donc x’ = −13

Le polynôme admet donc deux racines distinctes et se factorise sous la forme P(x) = a ( ) ( )x x x x− • −' "

P(x) = 3 ( x - 1) ( x + 13

)

commentaire cette méthode nous a permis d’éviter de calculer le discriminant ...

Deuxième conséquence de ce théorème Il permet de résoudre les problèmes (nombreux en particulieren physique et en mathématiques commerciales ) de recherche de nombres connaissant leur somme etleur produit.

Exemple : Soit deux nombres x et y tels que x + y = 5 et xy = - 6 trouver x et ysupposons que ces deux nombres soient les racines d’une équation du second degré alors

S = 5 et P = - 6 Ces nombres sont donc solutions des équations a (x² - Sx + P) = 0 où a est non nul.On peut bien sur choisir a = 1 Il nous reste alors à résoudre l’équation x² - 5x -6 = 0∆ = 25 +24 = 49 donc cette équation admet deux solutions qui sont :

x15 49

2122

6=+

= = et x25 49

222

1=−

= − = −

les nombres cherchés sont donc 6 et - 1.

Troisième conséquence on connaît le signe des racines éventuelles d’un polynôme sans les calculer.

Exemple : trouver le signe des racines du polynôme P(x) = 7 x² - 9x + 4

Si ce polynôme admet des racines leur somme est S = 97

et leur produit est P = 47

Le produit des racines est positif donc les racines sont de même signe et leur somme est positive doncles racines si elles existent sont toutes deux positives.

Le second degré


Remarque on se sert en premier de la règle des signes sur le produit ( même signe si produit positif ,signe contraire si produit négatif. ) puis si besoin on trouve le signe en se servant du signe de la somme.

Remarque Pour aider à la rapidité des calculs dans la résolution d’équation ou la factorisation depolynômes il est intéressant de s’habituer à la reconnaissance d’une racine lorsque celle ci est dite« évidente ».

Aucune méthode complète de reconnaissance rapide de racine n’existe de manièreuniverselle, mais certains cas sont à reconnaître.

Cas ou 1 est racine P(x) = ax² + bx + c donc P(1) = 0 d’où a + b + c = 0

conclusion si a + b + c = 0 1 est racine du polynôme

l’autre racine est donc égale à ca

car est égale au produit.

Cas ou - 1 est racine P(x) = ax² + bx + c donc P(-1) = 0 d’où a - b + c = 0

conclusion si a - b + c = 0 -1 est racine du polynôme

l’autre racine est donc égale à -ca

car est égale à l’opposé du produit.

Cas ou 2 est racine P(x) = ax² + bx + c donc P(2) = 0 d’où 4a -+2b + c = 0

conclusion si 4a + 2b + c = 0 2 est racine du polynôme

l’autre racine est donc égale à ca2

- car est égale à la moitié du produit.

Cas ou - 2 est racine P(x) = ax² + bx + c donc P(-2) = 0 d’où 4a --2b + c = 0

conclusion si 4a - 2b + c = 0 -2 est racine du polynôme

l’autre racine est donc égale à -ca2

- car est égale à l’opposé de la moitié du produit.

Cas particulier dit « visible » Exemple P(x)= ( )x x2 3 2 6− + +

On remarque que 6 3 2= donc la forme de P(x) est exactement x² - Sx + P donc les deux

racines de cette équation sont 3 et 2 .

Exercices 1 Trouver deux nombres de somme S et de produit P

S=27 et P=50 S= -12 et P = 11 S= 14 et P =33

2 Résoudre le plus rapidement possible

x² - 7x + 6 =0 5x² + 9x + 4 =0 ax² + bx + c = a + b + c

: éléments de correction S=27 et P=50 S= -12 et P = 11 S= 14 et P =33

Le second degré


.... x² - 27x +50 = 0 2 est racine évidente l’autre est25

... x² + 12x +11 = 0- 1 est racine évidente l’autre est-11

... x² - 14x +33 = 03 est racine donc l’autre est 11

x² - 7x + 6 =0 5x² + 9x + 4 =0 ax² + bx + c = a + b + c1 est racine donc 6 l’est aussi - 1 est racine donc - 4 l’est aussi 1 est racine donc

− −a ba

l’est aussi ,

développez !!

N’hésitez pas à ce niveau à faire un maximum d’exercices, les livres de BEP, de première regorgentd’exercices sur les polynômes du second degré et sur les équations... entraînez vous !

Le second degré


3. Résolution des inéquations du second degré

A Mise en situation du problème

Rappel : On sait résoudre les inéquations de degré supérieur à un si elles se présentent sous la formede produits de facteurs du premier degré dont on cherche le signe.

Exemple : Soit à résoudre dans l’ensemble des nombres réels (x-7) (2x+4) > 0

Pour résoudre ce type d’inéquation il suffit d’étudier le signe du produit donc de chacun desfacteurs et d’utiliser la règle des signes.

- Etudions le signe de x - 7 .

x - 7 > 0 revient à écrire x > 7 donc x - 7 est positif de 7 exclu jusqu’à plus l’infini et est négatif demoins l’infini jusqu’à 7 ,, il est bien sur nul en 7 ce qui mathématiquement peut s’écrire :

x - 7> 0 ] [⇔ ∈ +∞x 7; et x - 7< 0 ] [⇔ ∈ −∞x ;7 on peut aussi symboliser se résultat dans le tableau suivant

x −∞ 7 +∞x - 7 - 0 +

remarque : si vous avez des problèmes sur cette recherche reprendre le chapitre inéquations du premierdegré

- Etudions le signe de 2x + 4

2x + 4 > 0 ⇔ x > -2 donc :

x −∞ - 2 +∞2x + 4 - 0 +

- Utilisons maintenant la règle des signes d’un produit la manière la plus simple de lasymboliser est encore le tableau de signe appelons P le produit (x - 7) ( 2x + 4)

x −∞ -2 7 +∞x - 7 - 0 +

2x + 4 - 0 +P + 0 -- 0 +

nous avons utilisé le fait que le produit de deux quantités de même signe a un résultat positif et que leproduit de deux quantités de signe différent a un résultat négatif .

Donc les solutions de l’inéquation de départ (x-7) (2x+4) > 0 sont représentées par l’espacepositif de la dernière ligne du tableau ( parties blanches de la dernière ligne.)

(x-7) (2x+4) > 0⇔ ] [ ] [x ∈ −∞ − ∪ +∞; ;2 7c’est à dire x est strictement inférieur à -2 ou est strictement supérieur à 7

D’après l’étude de cet exemple pour résoudre une inéquation du second degré il nous suffira de lamettre sous la forme d’un produit dont on recherche le signe si bien sur la factorisation est possible.

Le second degré


B. Méthode théorique générale

Pour résoudre une inéquation du second degré il nous suffira de la ramener à l’étude du signed’un polynôme du second degré, et pour ce faire on étudiera sa factorisabilité.orRappel :




P(x) = a ( ) ( )x x x x− • −1 2 où x1 et x2 sont les solutions de l’équation P(x)=0


P(x) = a ( )x x− 12



Trois cas vont donc se présenter dans la recherche du signe de P(x) (donc dans la résolutiond’inéquations du second degré ).

- Si ∆ < 0 le polynôme n’est pas factorisable et est du signe de a partout l’étude du signe estfinie.

- Si ∆ = 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est :

P(x) = a ( )x x− 12


Etudions le signe de la forme factorisée, ( )x x− 12

est un carré donc toujours positif et n’est nul que

si x = x ba1 2

= − donc le signe de P(x) est celui de a partout et ne s’annule que pour sa valeur racine

- Si ∆ ≥ 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est P(x) = a ( ) ( )x x x x− • −1 2 où x1 et x2 sont les solutions de l’équation P(x)=0

Etudions le signe de la forme factorisée, Pour étudier son signe il nous faut étudier le signe de ( ) ( )x x x x− • −1 2

le problème que nous rencontrons pour l’étude due ce signe est que nous ne savons pas laquelle des deux racines est la plus grande pour pouvoir utiliser le tableau de signes. Nous noterons x" la plus petite des deux racines et x' la plus grande . le produit peut alors s’écrire P(x) = a ( )( )x x x x− −' "Construisons le tableau de signe du produit ( )( )x x x x− −' " puis celui de P(x)

x −∞ x" x' +∞( )x x− ' - 0 +( )x x− " - 0 +Prod + 0 -- 0 +

a signe de aax²+bx+c signe de a 0 signe opposé de a 0 signe de a

Le second degré


Nous en concluons que le signe d’un polynôme du second degré à discriminant positif est celui de a à l’extérieur de ses racines et donc bien sur du signe opposé à celui de a à l’intérieur de ses racines .

x −∞ x ’ x" +∞ax²+bx+c signe de a 0 signe opposé de a 0 signe de a

Conclusion générale :



1 Si ∆ ≥ 0 le signe du polynôme P(x) est celui de a à l’extérieur de sesracines et celui de - a à l’intérieur de ses racines et est nul pour ses deux valeurs racine

x ba1 2

=− + ∆

et x ba2 2

=− − ∆

2 Si ∆ = 0 le signe du polynôme P(x) est celui de a et n’est nul que sur sa racine

x x ba1 2= = −' :

P(x) = a ( )x x− 12


3 Si ∆ < 0 le polynôme est du signe de a partout

ou schématiquement :


1 Si ∆ ≥ 0 P(x) admet deux racines distinctes notons x ’la plus petite d’entre elles et x"l’autre alors

x −∞ x ’ x" +∞ax²+bx+c signe de a 0 signe opposé de a 0 signe de a

2 Si ∆ = 0 le signe du polynôme P(x) est celui de a et n’est nul que sur sa racine

x −∞ x 1 +∞ax²+bx+c signe de a 0 signe de a

3 Si ∆ < 0 le polynôme est du signe de a partout

x −∞ +∞ax²+bx+c signe de a

Conclusion sur la méthode :Pour résoudre une équation du second degré nous nous ramènerons à

l’étude du signe d’un polynôme du second degré ce qui d’après le théorème précédent nousramène à l’étude des racines de ce polynôme.

Exercices :

Le second degré


1. Résoudre 3x² + 5x +32≤ 0

Calculons le discriminant du polynôme P(x) = 3x² + 5x +32

∆ = b ac2 4− donc ici ∆ = 25 - 4 (3)( 32

) = 7 donc le polynôme admet deux racines distinctes qui

sont : x ba1 2

=− + ∆

et x ba2 2

=− − ∆

donc ici x15 7

6=− +

et x25 7

6=− −

la plus petite des deux est ici x2 d’où le polynôme étant du signe de a (c’est à dire positif ) à l’extérieurde ses racines les solutions de l’inéquation proposée sont à l’intérieur des racines bornes comprises car

l’inéquation est au sens large . conclusion : 3x² + 5x +32≤ 0 ⇔ ∈

− − − +

x 5 7

65 7

6;

La présentation n ’est bien sur pas unique, on aurait aussi pu présenter ceci :

x −∞ x2 x1 +∞ax²+bx+c signe de a 0 signe opposé de a 0 signe de a

3x² + 5x +32 + 0 - + +

Donc l’ensemble solution de 3x² + 5x +32≤ 0 se situe entre ses racines , racines comprises

donc S = − − − +

5 76

5 76

; .

2. Résoudre - 3x² + 5x -3 > 0

Calculons le discriminant du polynôme P(x) = - 3x² + 5x -3∆ = b ac2 4− donc ici ∆ = 25 - 36 = - 9 donc le discriminant est strictement négatif, le polynômen’a donc pas de racine, et est de signe constant celui de a d’après le théorème précédent .

Le polynôme est donc de signe strictement négatif partout donc l’ensemble solution àl’inéquation est vide? Il n’y a aucune solution réelle à cette inéquation.

Exercices : Résoudre

5x² + 4x +1 >0 3x² +4x -2 <0 3x²+ 6x+6 <0 -2x² +5x -7≤ 0

Le second degré


5x² + 4x +1 >0 3x² +4x -2 <0 3x²+ 6x+6 <0 -2x² +5x -7≤ 0Tout nombre est

solution S=− − − +

2 103

2 103

; pas de solution tout nombre est

solution.

Vous savez maintenant l’essentiel du cours sur le second degré....C’est un cours qui se travaille en profondeur car....

L’utilisation extrêmement fréquente que nous en aurons justifie cette étude poussée, tant au niveaudes résultats pour tous, qu’au niveau des méthodes pour la plupart car elles seront employées dansd’autres chapitres ....

Le second degré


EXERCICES ET PROBLEMES

A Résoudre les équations suivantes :

5x2+14x-3=0 0,2x²-1,7x+0.5=0 x² + x - 7 = 0 2x²+ 2x-5 = 0

3x²+4x+1=0 x² + 5x - 24= 0 2x² + 4x - 5 = x² + 3x

B. 1) Résoudre les équations

f(x)=10x² -17x + 3 = 0 et g(x)= 5x² + 14x - 3 = 0.

2) Ecrire f(x) et g(x) sous forme de produits de facteur du premier degré.

3) Simplifier f xg x

( )( )

après avoir déterminer son ensemble de définition

C. Dans les exercices 1 â 7, on donne une fonction polynôme du second degré f. On demande de mettre f(x) sous forme canonique; 1. f(x)=x² + 2x + 2. 2. f(x)=-5x2 + x + 1. 3. f(x)=x2 + 2x - 1.

4 f(x)=-x2 + x + 1. 5. f(x)=x2 + x -1. 6. f(x) = 3x2 + 5x - 1 7. f(x) = - 3x2 - 5x + 10.

Le second degré


E. Résoudre les équations définies dans R. 1. x2 - 16 = (2x + 3) (x + 4). 2. x4 + x2 + 4 = 0.

3 x4 + 3x2 + 2 = 0. 4. 5x4 - 3x2 - l4=0. 5. x4+4=0..

F. Résoudre les inéquations suivantes :

1 x2 - 3x < 3. 2. x2 - x - 1 > 0. 3. -5x2 + 5x + 1 > 0.

4. x2 - 19x + 84 < 0. 5. 2x - 1 > x2 + 4.5.. x2 + 1 > 2x - 3.

G . Résoudre :

1. 12

5x yxy+ =

= 2. x² - (a+b)x +ab = 0 où a et b sont deux nombres réels.

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