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L’approvisionnement des stations d’essence : Journal Européen des Systèmes Automatisés. Volume X − n°X/2000, pages 1 à X

Le problème d’approvisionnement des stations d’essence Dounya Taqa allah* −−−− Jacques Renaud*,** −−−− Fayez F. Boctor*,*** * Centre de recherche sur les technologies de l’organisation réseau, Université Laval, Québec, Canada ** Télé-université, Université du Québec, CP 10700, Québec, Canada, G1V 4V9, [email protected] *** Faculté des sciences de l’administration, Université Laval, Québec, Canada, G1K 7P4, [email protected] RÉSUMÉ. Dans cet article, nous étudions le problème d’approvisionnement des stations d’essence et nous analysons la performance de deux politiques d’approvisionnement. Une première politique, généralement utilisée dans ce secteur, ne permet aux camions de visiter qu'une seule station au cours d'un même voyage. Deux heuristiques de construction et une heuristique d’amélioration mettant en œuvre cette politique sont développées. Une seconde politique permet aux camions d’approvisionner plusieurs stations par voyage. Une heuristique de construction est développée afin d’évaluer la performance de cette politique. Les résultats d’une étude comparative montrent que des économies substantielles peuvent être réalisées en utilisant la quatrième heuristique, ce qui nous amène à remettre en question le bien-fondé de la politique habituelle limitant à une seule le nombre des stations à visiter au cours d'un même voyage. ABSTRACT. In this paper we study the gas stations supply problem and we analyze the performance of two distribution policies. A first policy, generally used in this economic sector, do not allow to supply more than one gas station on the same trip. Two construction heuristics and one improvement heuristic are developed following this policy. A second policy allows to visit one or more stations on each trip. A construction heuristic is developed to evaluate this policy. We present the results of a comparative study where the proposed heuristics are used to solve several test problems. The results show that substantial savings can be made by using the fourth heuristic. This leads us to question the validity of the distribution policy which do not allow to supply more than one gas station on the same trip. MOTS-CLÉS : Distribution de marchandises, problèmes de tournées, méthodes heuristiques, optimisation. KEYWORDS : Physical distribution, routing, heuristics, optimization.

# Journal Européen des Systèmes Automatisés

1. Introduction

L’importance économique du secteur du transport explique l’intérêt des chercheurs pour les problèmes de tournées de véhicules (voir à ce sujet Laporte [LAP 92A], Laporte [LAP 92B] et Laporte et Osman [LAP 95]). Une grande attention a été accordée au développement de techniques de définition de tournées car elles présentent un potentiel d’économies majeures. Dans cet article, nous nous intéressons à une classe particulière des problèmes de tournées où les décisions à prendre en matière de définition des tournées doivent être coordonnées avec celles de la gestion des stocks. On parle alors du problème général de tournées avec gestion des stocks.

Le problème général de tournées avec gestion des stocks consiste à déterminer, pour chaque journée de la période de planification, les tournées à effectuer par chacun des camions, les produits à livrer ainsi que les quantités de façon à minimiser la somme des coûts des trajets, des heures supplémentaires et de la location des camions supplémentaires si cela s’avère nécessaire. À chaque visite, un ou plusieurs produits doivent être livrés au client qui les consomme à un taux journalier connu. Le parc de camions utilisé pour le transport peut être homogène ou hétérogène et ces camions peuvent comprendre un ou plusieurs compartiments. Dans certaines situations, plusieurs produits différents peuvent être transportés dans un même compartiment alors que, dans d’autres, un même compartiment ne peut contenir qu’un seul produit. Les camions utilisés peuvent appartenir à l’entreprise où à un transporteur externe. Habituellement, les chauffeurs travaillent un nombre fixe d’heures par jour mais il est possible de faire des heures supplémentaires. Si les clients sont approvisionnés à partir de plusieurs entrepôts, il faut déterminer à partir de quel entrepôt chaque client sera approvisionné. Dans certains cas, le stock disponible à l’entrepôt ne permet pas de couvrir toute la demande, il faut alors prendre cette contrainte en compte pour la détermination des quantités à livrer.

Plusieurs cas particuliers peuvent découler de ce problème général. Le présent article traite du problème d’approvisionnement des stations d’essence (PASE). Dans ce contexte, les camions sont compartimentés et chaque compartiment ne peut transporter qu’un seul type de produit. Une enquête auprès des transporteurs de produits pétroliers de l’est du Québec (voir Malépart, Renaud et Boctor [MAL 98]) montre que la très grande majorité des camions utilisés pour approvisionner les stations d’essence ne sont munis d’aucun débitmètre ni d’aucun autre dispositif permettant de mesurer la quantité versée à partir d’un compartiment. Par conséquent, le contenu d’un compartiment doit être transvidé au complet dans un seul réservoir. Cela nous amène à adopter comme hypothèse que pour un camion donné, chaque compartiment ne peut être utilisé que pour le transport d’un produit demandé par une seule station d’essence.

Le problème d’approvisionnement des stations d’essence consiste à déterminer, pour chaque journée de l’horizon de planification : 1) les stations qui doivent être approvisionnées, 2) la quantité de chaque produit à livrer, 3) le nombre de camions

L’approvisionnement des stations d’essence #

supplémentaires, 4) le camion à utiliser pour approvisionner chacune des stations, 5) l’affectation des produits aux compartiments de chaque camion et 6) les trajets que les camions devront suivre de façon à minimiser la somme des coûts des tournées, des heures supplémentaires et de la location des camions supplémentaires, et ce tout en s’assurant qu’aucune station ne manque de produit et en respectant la limite des heures régulières et supplémentaires autorisées.

Pour traiter ce problème, nous faisons les hypothèses suivantes :

(1) Chaque station possède un nombre de réservoirs égal au nombre des produits en vente. La capacité de ces réservoirs varie d’une station à l’autre pour tenir compte de la demande des produits qui peut être différente.

(2) Le taux de consommation (la demande) d’un produit donné à une station particulière est constant et déterministe. On note que faire l’hypothèse que la demande est déterministe n’est pas excessive car la technologie actuelle en matière de télécommunication nous permet déjà de connaître l’évolution de la consommation plusieurs fois par jour.

(3) Le parc de camions-citernes est localisé au dépôt central et composé d’un ensemble de camions identiques. Chaque camion possède un nombre de citernes (compartiments) égal au nombre de produits et au nombre de réservoirs de chaque station.

(4) Le temps de chargement des camions-citernes au dépôt central est constant et ne dépend pas de la quantité à mettre dans les citernes.

(5) Tous les compartiments des camions peuvent être utilisés pour transporter l’un ou l’autre des produits. Le passage d’un produit à l’autre ne nécessite aucune préparation particulière (par exemple, nettoyage). En effet, nous traitons uniquement du transport de l’essence car, dans l’état actuel des choses, les camions qui transportent l’essence ne transportent aucun autre produit, comme le carburant diesel.

L’article se divise en six sections. Après l’introduction, la section 2 présente une revue de la littérature sur les problèmes de tournées avec gestion des stocks. La section 3 propose une formulation mathématique du problème d’approvisionnement des stations d’essence. Plusieurs heuristiques permettant d’évaluer la performance de deux politiques d’approvisionnement sont présentées à la section 4. La première politique ne permet aux camions de visiter qu’une seule station au cours d’un même voyage. La seconde permet aux camions d’approvisionner plusieurs stations par voyage. La section 5 évalue la performance des politiques d’approvisionnement et des heuristiques développées dans cette recherche et la section 6 présente nos conclusions et voies de recherches futures.


2. Revue de la littérature

Dans cette revue de la littérature, nous avons regroupé les diverses contributions selon que les tournées comportent la visite d’un ou de plusieurs clients à la fois. Cette division se justifie par la diversité des approches proposées. Notre classification est différente de celle proposée par Ronen [RON 88] où les problèmes sont classés selon certaines caractéristiques telles que la taille et l’homogénéité du parc, les éléments de coût à minimiser, le nombre d’entrepôts, la nature de la demande, l’objectif du problème, etc.

2.1. Le cas des visites multiples

Dans cette section, nous présentons les diverses recherches où les véhicules peuvent visiter plusieurs clients au cours d’un même voyage, ce qui demande une attention particulière au moment de l’élaboration des tournées. Une des premières contributions est celle de Dror [DRO 83] qui traite le cas d’un produit unique (l’huile de chauffage). Ce problème, qu’il appelle le problème de tournées et inventaire (PTI), consiste à approvisionner un ensemble de consommateurs sur plusieurs périodes à partir d’un dépôt central détenant un inventaire illimité. Federgruen et Zipkin [FED 84] traitent un problème semblable. Dror, Ball et Golden [DRO 85] proposent et évaluent plusieurs approches pour résoudre le PTI et Burns, Hall, Blumenfeld et Daganzo [BUR 85] proposent et évaluent une méthode analytique pour approvisionner en plusieurs produits un certain nombre de consommateurs à partir d’un entrepôt tout en essayant de minimiser les coûts d’inventaire et de transport. Trois heuristiques d’amélioration de la solution sont présentées et comparées par Dror et Levy [DRO 86]. Ces procédures sont basées sur le concept d’échange de noeuds entre les différentes routes. Dror et Ball [DRO 87] et Trudeau et Dror [TRU 92] étudient l’effet de la longueur de l’horizon de planification et proposent des approches pour le réduire. Bramel et Simchi-Levi [BRA 95] présentent une structure générale pour résoudre différents problèmes de tournées qui sera appliquée à deux problèmes classiques : le problème de tournées de véhicules à capacité limitée et le problème de tournées et inventaire, tel que le définit Dror [DRO 83]. Finalement, Carter, Farvolden, Laporte et Xu [CAR 96] étudient un problème d’approvisionnement dans le domaine de la distribution des produits alimentaires. La disponibilité des produits étant limitée, le problème de la planification des tournées des véhicules doit être combiné à un problème d’allocation de demandes qui vise à déterminer la portion à satisfaire de chaque commande.


2.2. Le cas des visites simples

Dans cette section, nous présentons la littérature portant sur les situations où les véhicules peuvent rarement visiter plus d’un client au cours d’un même voyage. C’est généralement le cas de l’approvisionnement des stations d’essence. Brown et Graves [BRO 81] étudient un problème où la gestion des stocks n’est pas centralisée et où l’approvisionnement se fait à partir de plusieurs entrepôts. Ils proposent une approche composée d’une heuristique simple pour construire une solution initiale suivie d’une méthode d’amélioration basée sur l’échange de paires de camions compatibles et sur l’échange de la charge entre les compartiments d’un même camion. Brown, Ellis, Graves et Ronen [BRO 87] se basent sur les travaux de Brown et Graves pour proposer un système automatisé de gestion de l’approvisionnement que la compagnie Mobil Oil a adopté. Bell, Dalberto, Fisher, Greenfield, Jaikumar, Kedia, Mack et Prutzman [BEL 83] étudient le système de distribution d’un seul produit et proposent un modèle mathématique permettant de produire le plan de livraison de chaque camion à chaque jour. Ce problème est plus simple que celui étudié dans cet article où nous visons à planifier la distribution de plusieurs produits par des camions compartimentés.

Pour terminer, il importe de souligner quelques contributions sur des problèmes reliés à l’objet de notre recherche. Russel et Chalinor [RUS 88] ont étudié le problème de collecte et de transport du pétrole brut vers les raffineries et les terminaux de stockage. Fölsz, Mésàros et Rapcsàk [FÖL 95] ont analysé le problème de distribution des cylindres à gaz de la compagnie internationale Primagaz-Hungaria. Webb et Larson [WEB 95] ont porté leur attention sur le problème stratégique de tournées et inventaire. Ce problème est semblable au problème de tournées et inventaire à la différence qu’il vise également à estimer la taille minimale du parc de camions. Chien, Balakrishnan et Wong [CHI 89] traitent le PTI en considérant que l’approvisionnement se fait à partir d’un dépôt central contenant un stock relativement limité du produit. Finalement, Anily et Federgruen [ANI 93] traitent le cas de la distribution d’un produit unique avec comme objectif de minimiser le coût total du système, ce qui inclut les coûts de stockage chez les clients.

Après cette revue de la littérature, nous constatons qu’aucune recherche n’a présenté une étude approfondie du problème d’approvisionnement des stations d’essence tel qu’il est défini ici. En effet, la plupart des publications étudient diverses versions du problème de tournées avec gestion des stocks d’un produit unique ou de plusieurs produits pouvant être transportés dans un même compartiment d’un camion. De plus, le peu de publications qui traitent du problème d’approvisionnement des stations d’essence se limitent à la définition d’un plan de visites sans se préoccuper de la gestion des stocks.


3. Formulation mathématique

À notre connaissance, aucune formulation mathématique du PASE tel que nous le définissons dans cet article n’a jamais été publiée. Nous présentons une formulation pour le cas où la politique d’approvisionnement permet aux véhicules de visiter plus d’une station par voyage. Afin de ne pas alourdir la formulation, nous n’incluons pas la possibilité de location des camions supplémentaires. Il serait cependant facile de modifier cette formulation pour en tenir compte. Par ailleurs, nous faisons l’hypothèse que chaque station est visitée au plus une seule fois par période et qu’elle n’est visitée que par un et un seul camion.

Nous utilisons la notation suivante dans notre formulation et dans le reste de l’article :

n le nombre de stations à visiter m le nombre de camions à utiliser pour l’approvisionnement r le nombre de produits à transporter (également le nombre de réservoirs à

chaque station ou le nombre de compartiments dans chaque camion) T le nombre de périodes composant l’horizon de planification V le nombre maximal de voyages par camion et par période i l’indice des stations, i = 0, 1, ..., n, (0 représente l’entrepôt) p l’indice des produits, p = 1, ..., r k l’indice des camions, k = 1, ..., m w l’indice des compartiments, w = 1, ..., r t l’indice des périodes, t = 1, ..., T v l’indice des voyages, v = 1, ..., V S un sous-ensemble de stations dont le nombre d’éléments est supérieur ou

égal à 2 et inférieur ou égal à r s le nombre de stations incluses dans S ; donc s = |S| Θ l’ensemble de tous les sous-ensembles S τ le temps de chargement au dépôt central ui le temps de déchargement à la station i L le nombre d’heures régulières par période, pour chaque camion H le nombre maximal d’heures supplémentaires autorisées par période,

pour chaque camion Cr le coût d’une heure régulière Cs le coût d’une heure supplémentaire Cd le coût (par période) de dépréciation d’un camion Cl le coût (par période) de location d’un camion qw la capacité de la citerne w d’un camion dij le temps du trajet entre la station i et la station j fij le coût du trajet entre la station i et la station j, incluant le coût de l’arrêt

à la station j


tip le taux de consommation du produit p à la station i sip0 le stock initial du produit p à la station i sipt le stock du produit p à la station i, à la fin de la période t Cip la capacité du réservoir du produit p à la station i hkt le nombre d’heures supplémentaires effectuées par le camion k à la

période t Xikvt une variable binaire égale à 1 si la station i est approvisionnée par le

camion k durant le voyage v à la période t ; sinon 0 Yipwt une variable binaire égale à 1 si le produit p est alloué à la citerne w lors

de l’approvisionnement de la station i à la période t ; sinon 0 Zijkvt une variable binaire égale à 1 si le camion k visite durant le voyage v la

station j immédiatement après la station i à la période t ; sinon 0 Qipwt la quantité à livrer du produit p dans la citerne w du camion qui visite la

station i à la période t En utilisant cette notation, le PASE peut se formuler comme suit :

∑=

∑=

∑=

∑≠

∑=

∑ ∑T

t

m

k

n

i ij

V

vZijkvtf ij

T

t

m

khktC

1 1 0 1 +

1= 1=sMinimiser :

Sous les contraintes :

( ) ( )dojj

n

v

VZojkvt dijj

j i

n

i

n

v

Vui

Zijkvt L hkt=∑

=∑ + +

=≠

∑=∑

=∑ + ≤ +

11 011τ

k = 1, ..., m ; t = 1, ..., T ; [1] hkt H≤ k = 1, ..., m ; t = 1, ..., T ; [2]

sipt Qipwtw

rtip sipt− +

=∑ − =1 1

i = 1, ..., n ; p = 1, ..., r ; t = 1, ..., T ; [3]

Qipwt Yipwt qw≤ i = 1, ..., n ; p = 1, ..., r ; w = 1, ..., r ; t = 1, ..., T ; [4]

Qipwtw

rCip sipt=

∑ ≤ − −1 1 i = 1, ..., n ; p = 1, ..., r ; t = 1, ..., T ; [5]

sipt tip≥ i = 1, ..., n ; p = 1, ..., r ; t = 1, ..., T ; [6]


( ) ( )Z ikvti

nZijkvtj

j i

nZi kvt r01 1 0 1

=∑ +

=≠

∑ + ≤ +

k = 1, ..., m ; v = 1, ...,V ; t = 1, ..., T ; [7]

Yipwt X ikvtv

V

k

m≤

=∑

=∑

11 i = 1, ..., n ; p = 1, ..., r ; w = 1, ..., r ; t = 1, ..., T ; [8]

Yipwtp

r

w

rXikvtv

V

k

m

=∑

=∑ ≥

=∑

=∑

11 11 i = 1, ..., n ; t = 1, ..., T ; [9]

X ikvtv

V

k

m

=∑

=∑ ≤

111 i = 1, ..., n ; t = 1, ..., T ; [10]

Zijkvtjj i

nX ikvt=

≠

∑ =0

i = 1, ..., n ; k = 1, ..., m ; v = 1, ..., V ; t = 1, ..., T ; [11]

Zijkvtii j

nX jkvt=

≠∑ =

0 j = 1, ..., n ; k = 1, ..., m ; v = 1, ..., V ; t = 1, ..., T ; [12]

ijkvtZj S j ii S

s∈ ≠∑

∈∑ ≤ −

,1

∀ S ∈ Θ ; k = 1, ..., m ; v = 1, ..., V ; t = 1, ..., T ; [13]

La fonction-objectif de ce modèle donne la somme des coûts variables sur l’horizon de planification. Cela comprend le coût des heures supplémentaires et le coût des trajets qui inclut le coût des arrêts aux stations. La contrainte (1) assure que, pour chaque camion et pour chaque période, le nombre d’heures de travail ne dépasse pas le nombre d’heures autorisées (régulières et supplémentaires, s’il y a lieu). La contrainte (2) garantit que le nombre d’heures supplémentaires effectuées par chaque camion et pour chaque période ne dépassera pas le nombre maximal autorisé. La contrainte (3) détermine le stock de fin de chaque période, pour chaque produit et pour chaque station. La contrainte (4) garantit que la quantité livrée à une station ne dépasse pas la capacité de la citerne utilisée. La contrainte (5) garantit que, pour chaque station visitée, la quantité totale à livrer du produit p ne dépasse pas l’espace libre du réservoir associé à ce produit. La contrainte (6) assure qu’aucune station ne sera en rupture de stock même si la station est approvisionnée à la fin de la période t. Comme les stations visitées sont approvisionnées en au moins un produit, la contrainte (7) assure que le nombre de stations visitées pendant un même voyage ne pourra dépasser le nombre de citernes d’un camion. La contrainte (8) assure que l’affectation d’un compartiment à la livraison d’un produit à une station ne se fera que si la station doit être visitée. La contrainte (9) garantit que si la station i est visitée durant la période t, alors au moins un produit lui sera livré. La contrainte (10) garantit qu’aucune station ne sera visitée plus d’une fois par période. Les contraintes (11) et (12) assurent qu’au plus une seule station sera visitée immédiatement après (avant) une autre station i pendant un voyage k si et seulement si i est visitée durant ce voyage. Enfin, la contrainte (13) est la contrainte dite d’interdiction de «sous-


tours» (voir Laporte [LAP 92A]). Cette contrainte rend impossible les tours qui excluent le dépôt central.

Ce modèle contient Tn[r2 + mV(n + 2)] variables binaires, T(nr2 + m) variables continues et T[2m + mV(1 + 2n) + n(3r + 2r2 + 2)] contraintes (excluant la contrainte 13). Pour un tout petit problème comportant 20 stations, 5 camions, 3 produits, un horizon de planification de 7 périodes et un maximum de 2 voyages par camion et par période, il y aura 32 060 variables binaires, 1 295 variables continues et 7 000 contraintes (excluant les contraintes d’interdiction de « sous-tours »). On constate donc que l’utilisation d’un tel modèle pour la résolution de problèmes de taille réelle est pratiquement impossible à l’aide des logiciels commerciaux disponibles. Par conséquent, pour résoudre des problèmes pratiques, nous devons avoir recours à l’utilisation d’heuristiques. Dans la section qui suit, nous proposons plusieurs heuristiques originales pour résoudre ce problème.

4. Politiques d’approvisionnement et heuristiques proposées

Dans cette section, nous allons proposer quatre heuristiques qui nous permettront d’évaluer la performance de deux politiques d’approvisionnement différentes. La première politique d’approvisionnement ne permet aux camions de visiter qu’une seule station au cours d’un même voyage. Plusieurs compagnies de distribution utilisent cette politique car elle permet de simplifier la planification des tournées. Les trois premières heuristiques, appelées A1, A2 et A3, mettent en oeuvre cette politique d’approvisionnement. La deuxième politique d’approvisionnement permet aux camions de visiter plusieurs stations par voyage. Cette politique permet dans la plupart des situations de réduire le coût des trajets. L’heuristique A4 permet d’approvisionner plusieurs stations par voyage.

4.1. L’heuristique A1

L’objectif de cette heuristique est de visiter les stations le plus tard possible tout en s’assurant qu’il n’y ait aucune rupture de stock. Soit :

nip la période au plus tard où la station i doit être approvisionnée en produit p, nip={ t | sipt-1 ≥ tip > sipt}

ni la période au plus tard où la station i doit être approvisionnée, ni = min

,...,p r=1[ nip ]

I l’ensemble de toutes les stations X le paramètre de contrôle de l’heuristique dont la valeur sera déterminée à

la section 5 Les étapes suivantes doivent être répétées pour chaque période de l’horizon.


1. Détermination des stations à visiter à la période (journée) t : déterminer Et, l’ensemble des stations qui doivent être approvisionnées au plus tard à la période t, Et ={i∈ I | ni = t}. Calculer le temps d’approvisionnement d’un voyage aller-retour pour chaque station i ∈ Et.

2. Allocation des stations aux camions pendant les heures régulières : pour chaque camion, allouer successivement la station i ∈ Et la plus éloignée de l’entrepôt tout en respectant la limite des heures régulières. Classer les camions selon l’ordre décroissant du temps restant. Si toutes les stations de Et peuvent être visitées dans la limite des heures régulières, passer à l’étape 5. Sinon, aller à l’étape 3.

3. Allocation des stations restantes en temps supplémentaire : pour chaque station i ∈ Et qui n’est pas visitée, prendre successivement la plus éloignée du dépôt et l’affecter au camion ayant le plus grand temps disponible, incluant le temps supplémentaire. S’il reste des stations non visitées, aller à l’étape 4. Autrement, passer à l’étape 6.

4. Location de camions supplémentaires : affecter les stations non visitées à un camion supplémentaire en commençant par les stations les plus éloignées de l’entrepôt sans dépasser la limite du temps régulier. Enregistrer le nombre de camions supplémentaires nécessaires pour la journée t. Passer à l’étape 6.

5. Utilisation du temps disponible pour effectuer des visites à l’avance : s’il existe un camion k dont le temps restant est inférieur ou égal à (1 - X)L, alors lui affecter les stations qui doivent être approvisionnées au plus tard à la période (t + 1) et qui peuvent l’être par le camion k tout en respectant la limite des heures régulières (cette allocation se fait comme à l’étape 2).

6. Calcul des quantités à livrer et des stocks : pour chaque station, calculer la quantité à livrer et mettre à jour les stocks. On livre à chaque station visitée la plus grande quantité possible de chaque produit. Cette quantité est le minimum entre la capacité du compartiment alloué au produit et la quantité nécessaire pour remplir le réservoir. L’allocation des produits aux compartiments se fait en affectant chaque produit au compartiment libre qui a la capacité la plus proche de la quantité à livrer.

7. Calcul du coût total : ajouter au coût total le coût de la période t. Ce coût regroupe le coût des heures régulières, le coût des heures supplémentaires, le coût de location des camions supplémentaires, la dépréciation des véhicules et le coût des trajets.


Cette deuxième heuristique, comme la précédente, cherche à visiter les stations le plus tard possible sans causer de ruptures de stock et les camions visitent une seule station par voyage. La seule différence entre les deux heuristiques est la règle de décision utilisée pour visiter d’avance les stations de la période qui suit (étape 5). La


règle de décision utilisée par A2 est la suivante: si les camions disponibles permettent d’approvisionner les stations qui doivent être visitées durant la période t sans recours aux heures supplémentaires et si la charge de travail de la période (t + 1) nous oblige à faire des heures supplémentaires, alors on tente d’approvisionner les stations de la période (t + 1) à la période t.


Cette heuristique vise à améliorer une solution obtenue à l’aide des heuristiques A1 ou A2 en tentant de réduire le coût des heures supplémentaires ainsi que le coût de location des camions supplémentaires. En commençant par la dernière période de l’horizon de planification, on examine chaque période t où des heures supplémentaires sont effectuées et on tente de devancer la date de visite de quelques-unes des stations visitées à la période t à la période (t - 1), et ce, tout en s’assurant que ce déplacement n’occasionne pas de rupture de stock et qu’il procure un gain.

Chaque itération de l’algorithme A3 se décrit comme suit. Pour chaque période t, en commençant par t = T et en reculant jusqu’à t = 1, répéter les étapes suivantes : 1) Identification des stations candidates au déplacement : déterminer Dt, l’ensemble

des stations approvisionnées le jour t et pouvant être déplacées au jour t - 1 sans que cela ne cause une rupture de stock ni avant la prochaine livraison, ni après. Soit Qipt la quantité du produit p originalement planifiée pour être livrée à la station i la période t, Qipt-1 la quantité maximale que l’on peut livrer à la période t - 1 du même produit, q la période de la livraison suivante, sipq-1 le stock de p au début de la période q et tip le taux de consommation du produit p à la station i. Afin de ne pas manquer de ce produit avant la prochaine livraison, il faut que sipq-

1 - (Qipt-Qipt-1) ≥ tip. Pour éviter la rupture du stock du produit p après la période q, nous devons être capable d’augmenter la quantité à livrer de ce produit à la période q de la différence entre Qipt et Qipt-1. On doit donc vérifier que la capacité de la citerne utilisée pour effectuer cette prochaine livraison permet cette augmentation.

2) Calcul des gains: pour chaque station candidate i ∈ Dt, calculer le gain Gi que l’on peut réaliser en déplaçant son approvisionnement au jour t - 1. Pour calculer ce gain, on doit refaire l’affectation aux camions des stations à approvisionner aux journées t et t - 1 (en utilisant les étapes 2, 3 et 4 de l’algorithme A1) et comparer le coût des heures supplémentaires et de location des camions à t et à t - 1, avant et après le déplacement. Si aucun gain positif ne peut être réalisé, mettre t = t - 1 et retourner à l’étape 1.

3) Déplacement de l’approvisionnement de la station permettant de réaliser le plus grand gain : déplacer à la journée t - 1 la station i procurant le plus grand gain Gi. Modifier les quantités du produit p à livrer à i aux périodes t - 1, t et q


(Qipt = 0 ; Qipt-1 est égale au minimum entre la capacité du compartiment alloué au produit p et la quantité nécessaire pour remplir son réservoir ; Qipq est augmentée par la différence entre la quantité initialement prévue pour t et la nouvelle quantité à livrer à t - 1) et ajuster les stocks de fin des périodes t - 1, t, ..., q - 1 en conséquence. Réduire le coût total en soustrayant Gi du coût actuel et retourner à l’étape 2

Si aucun gain ne peut être réalisé lors d’une itération complète, la procédure

s’arrête. Sinon, on effectue une nouvelle itération.


Dans cette section, nous proposons une approche où les camions peuvent visiter plusieurs stations au cours d’un même voyage. Par conséquent, les stations ne reçoivent pas nécessairement tous les produits au cours d’une même visite. La décision d’ajouter une station à un trajet est basée sur une adaptation du principe « d’économies » déjà utilisé par Clarke et Wright [CLA 64]. L’heuristique A4 détermine, pour chaque période de l’horizon de planification : 1) les stations à approvisionner, 2) les produits à livrer et les quantités, 3) les camions à utiliser et l’allocation de leurs compartiments, 4) le nombre d’heures supplémentaires, 5) le nombre de camions à louer et 6) les voyages à effectuer par chaque camion. L’heuristique utilise quatre paramètres X, α, β et γ que nous présenterons ci-après et dont la valeur doit être choisie par l’utilisateur.

Les étapes suivantes doivent être répétées pour chaque période (journée) t de l’horizon : 1) Identification des stations à visiter et détermination des produits à livrer :

identifier les stations qui doivent être visitées le jour t (de la même façon qu’à l’étape 1 de l’heuristique A1). Pour chaque station à approvisionner, déterminer les produits à livrer (ceux dont le niveau de stock à la fin de la journée t est inférieur à la demande journalière) et la quantité requise (la quantité nécessaire pour remplir le réservoir). Affecter chacune de ces stations à un camion en allouant chacun des produits à livrer au compartiment libre dont la capacité est la plus proche de la quantité requise.

2) Vérification du degré de satisfaction de la demande : pour chaque station i qui ne requière pas tous les produits, calculer le niveau de satisfaction de la demande, pour les produits livrés, en commençant par le produit p dont le taux de consommation tip est le plus élevé. Si la capacité du compartiment affecté au produit ne permet pas de livrer au moins un pourcentage α de la quantité requise et s’il reste des compartiments libres, affecter un ou deux compartiments supplémentaires à ce produit de façon à atteindre le plus haut niveaux de satisfaction.


3) Livraison des produits non urgents : pour chaque station qui ne requiert pas tous les produits, voir si le camion affecté à cette station peut lui livrer d’autres produits. Si la livraison de un ou de plusieurs de ces produits permet de repousser la date de la prochaine visite de plus de β périodes alors, en plus des produits initialement considérés comme requis, livrer la plus faible quantité de produits supplémentaires qui permet de repousser la date de la prochaine visite le plus loin possible. Chaque produit supplémentaire est affecté au compartiment libre dont la capacité est la plus proche de la quantité nécessaire pour remplir le réservoir du produit.

4) Regroupement des stations dont l’approvisionnement nécessite un seul compartiment avec les stations nécessitant deux compartiments : pour chaque station i n’ayant besoin que d’un seul compartiment, identifier la station j la plus proche ayant besoin de deux compartiments. On décide d’approvisionner les stations i et j au cours d’un même voyage si les trois conditions suivantes sont respectées. Premièrement, le coût du trajet permettant de visiter les deux stations ensemble doit être inférieur à la somme des coûts de deux trajets permettant de visiter les stations séparément. Deuxièmement, la durée du trajet permettant de visiter les deux stations ensemble ne doit pas dépasser la somme du temps régulier et du temps supplémentaire alloué par jour. Troisièmement, pour regrouper l’approvisionnement de i et j, nous devons refaire l’affectation des produits aux compartiments du camion en allouant chaque demande au compartiment dont la capacité est la plus proche de la quantité requise. Cette nouvelle affectation peut entraîner une réduction des quantités à livrer, ce qui peut nous obliger à devancer la prochaine visite de la station i, de la station j ou des deux. Or nous n’acceptons pas le regroupement si la prochaine visite de i ou de j est devancée de plus de γ périodes.

5) Regroupement de deux ou trois stations ayant besoin d’un seul compartiment : pour chaque station i ayant besoin d’un seul compartiment et non encore regroupée avec aucune autre station, nous tentons de trouver une station j ayant besoin d’un seul compartiment, qui peut être visitée avec i au cours d’un même voyage tout en respectant les trois conditions citées à l’étape précédente. Notons que ce regroupement peut aboutir à l’affectation de deux compartiments à l’une des deux stations afin de mieux satisfaire à sa demande et d’éviter de devancer sa prochaine visite de plus de γ périodes. Si, après ce regroupement, le camion a encore un compartiment libre, nous essayons d’ajouter une troisième station à ce voyage. Pour cela, nous choisissons une station k telle que la durée du trajet optimal (le plus court) visitant i, j et k respecte les deux premières conditions données à l’étape 4. On doit également respecter la condition que la prochaine visite d’aucune de ces trois stations ne soit devancée de plus de γ périodes.

6) Affectation des routes aux camions et détermination du nombre de camions à louer : classer la liste des routes à effectuer selon l’ordre décroissant de durée. Affecter chacune des routes en commençant par la plus longue, au premier camion dont la charge actuelle permet l’ajout d’une cette route sans dépasser la limite des heures régulières et supplémentaires. Si le nombre de camions internes


ne suffit pas pour effectuer toutes les routes de la journée, louer le nombre de camions supplémentaires nécessaire.

7) Affectation des compartiments non utilisés : s’il existe un camion (interne ou loué) qui effectue un ou plusieurs voyages avec des compartiments libres et dont la durée des routes lui laisse du temps libre, alors on cherche parmi les stations qui doivent être approvisionnées à la période t + 1, une ou plusieurs stations à insérer dans ces voyages. On procède de la façon décrite à l’étape 4 s’il reste un seul compartiment libre et selon l’étape 5 s’il en reste deux. S’il reste encore des compartiments non utilisés, alors on utilise les compartiments libres pour fournir les produits non urgents permettant de repousser la prochaine visite de l’une des stations visitées le plus loin possible.

8) Utilisation du temps disponible pour effectuer des visites à l’avance : s’il existe un camion k dont le temps restant est inférieur ou égal à (1 - X)L, alors lui affecter les stations qui doivent être approvisionnées de tous les produits au plus tard à la période (t + 1) et qui peuvent l’être par le camion k sans dépasser le temps alloué au camion. (On affecte chacun des produits au compartiment libre dont la capacité est la plus proche de la quantité nécessaire pour remplir le réservoir du produit.)

5. Résultats numériques

Cette section présente les tests qui ont été effectués afin d’analyser en détail la performance des heuristiques présentées à la section précédente. Cela nous permet également de comparer les deux politiques d’approvisionnement, telles qu’elles ont été mises en œuvre par ces heuristiques. Étant donné que la littérature ne fournit aucun problème-test, nous avons procédé à la génération de ceux-ci. Nous avons commencé par générer un groupe de 30 problèmes divisés en trois sous-groupes, chacun renfermant dix problèmes. Les trois sous-groupes sont composés respectivement de problèmes à 25, 50 et 75 stations. Ce premier groupe de 30 problèmes a été utilisé pour générer deux autres groupes de problèmes pour un total de 90 problèmes-tests. Le deuxième groupe contient les mêmes 30 problèmes mais avec un changement dans le type de réservoir des stations. Pour chaque station, le type de réservoir est maintenant choisi parmi un ensemble de trois tailles de réservoir au lieu de cinq dans le premier groupe. Finalement, le troisième groupe est identique au premier sauf que le nombre de camions est augmenté de 1 pour chacun des problèmes. L’utilisation de trois groupes de problèmes ayant des caractéristiques différentes nous permettra d’examiner la robustesse des approches développées. La méthode de génération est exposée à la section 5.1. La section 5.2 présente les résultats qui ont permis de fixer les paramètres de nos heuristiques et la section 5.3 compare la performance des différentes heuristiques proposées.


5.1. Génération des problèmes-tests

Afin d’obtenir des problèmes-tests qui représentent le mieux possible la réalité, une enquête a été effectuée auprès de plusieurs transporteurs pour déterminer les valeurs des paramètres à utiliser (voir Malépart, Renaud et Boctor [MAL 98]). Le tableau 1 présente les paramètres retenus ; la notation utilisée est celle de la section 3. Les auteurs fourniront les données relatives à ces problèmes aux chercheurs qui le demandent.

Tableau 1. Les paramètres des problèmes

L (minutes) H (minutes) τ (minutes) u (minutes) r w

600 300 30 30 3 3

q1 (litres) q2 (litres) q3 (litres) Cr ($/h) Cs ($/h) Cd ($/jour) Cl ($/jour)

25 000 15 000 9 000 15 24 250 750

Pour chaque problème, n stations sont réparties de façon aléatoire dans un rectangle de longueur a et de largeur b. La localisation d’une station i se fait par un tirage aléatoire à partir d’une loi uniforme de ses coordonnées xi et yi ; donc xi ∈ U[0, a] et yi ∈ U[0, b]. Le dépôt central est localisé sur l’axe des abscisses et sa coordonnée x0 est déterminée de façon aléatoire à partir d’une loi uniforme entre 0 et a. Cette procédure de localisation du dépôt central est utilisée de façon à refléter le fait que les raffineries ou les terminaux de stockage de produits pétroliers sont souvent situés à l’extérieur des zones d’habitation et même à l’extérieur des zones d’activité économique. Les paramètres a et b sont déterminés de façon que le temps pour servir la station située le plus loin ne dépasse pas L. Nous avons utilisé les valeurs a = 240 et b = 120 ; la contrainte de temps est ainsi respectée pour toutes les stations situées à l’intérieur de ce rectangle.

Une fois les stations et le dépôt localisés, le taux de consommation de chaque produit, la capacité des réservoirs ainsi que le stock initial sont déterminés pour chaque station. D’abord, pour chaque station i, un taux de consommation journalier ti de l’ensemble des produits est déterminé de façon aléatoire à partir d’une loi uniforme entre 5 000 et 16 000 litres. Le taux de consommation journalier de chacun des trois produits est alors déterminé comme suit :

− Produit 1 (l’essence ordinaire) : ti1 = l1 ti − Produit 2 (l’essence supérieure) : ti2 = l2 (ti - ti1) − Produit 3 (l’essence intermédiaire) : ti3 = ti - ti1 - ti2

La valeur des paramètres l1 et l2 est déterminée par un tirage aléatoire à partir d’une loi uniforme entre 0,60 et 0,70.


Pour le premier et le troisième groupes de problèmes-tests, nous choisissons parmi cinq types de réservoir dont la capacité est respectivement de 5 000, 10 000, 20 000, 25 000 et 32 000 litres. Pour déterminer la capacité du réservoir du produit p à la station i, nous commençons par calculer la consommation moyenne de ce produit entre deux visites successives. Cette consommation moyenne est égale à 7 × (ti,j / δi), où δi ∈ U[0,5 ; 1,5] représente le nombre de fois que la station i sera visitée chaque semaine. Ensuite, nous choisissons, parmi les cinq réservoirs possibles, celui ayant la plus faible capacité supérieure à la consommation moyenne calculée. Pour le deuxième groupe de problèmes-tests, nous choisissons nos réservoirs parmi trois types de réservoir possibles dont la capacité est de 10 000, 20 000 et 32 000 litres.

Pour chaque station i, le stock initial de chaque produit p est déterminé de façon aléatoire entre le taux de consommation journalier tip et quatre fois ce taux, sans dépasser la capacité du réservoir alloué au produit ; donc sip0 ∈ U[tip ; min {4 tip, Cip}].

Une fois que toutes les données sont générées, il faut déterminer la taille du parc de camions. Pour cela, nous déterminons, premièrement, pour chaque journée de l’horizon de planification T’ = 21 jours, le nombre de camions nécessaires pour satisfaire à la demande. Soit m’ le nombre moyen de camions obtenu. Deuxièmement, nous résolvons le problème à l’aide de l’heuristique A1 avec un parc de taille [m’]+. Nous regardons alors s’il est possible d’abaisser le coût total en diminuant (augmentant) le nombre de camions de 1. Le nombre de camions est modifié jusqu’à l’atteinte d’un minimum local, et ce, sans accepter de dégradation. Le nombre de camions qui minimise le coût total de distribution est conservé.

Notons finalement que le temps du trajet (en minutes) est égal à la distance parcourue et que le coût unitaire du trajet est fixé à 2 $ par minute de trajet.

5.2. Détermination des paramètres des heuristiques

Dans cette section, nous allons montrer comment nous avons fixé les valeurs des paramètres des heuristiques proposées. L’objectif de la démarche n’est pas de déterminer les meilleures valeurs possibles de ces paramètres mais de trouver de bonnes valeurs. La détermination des meilleures valeurs possibles est une tâche difficile car le coût total n’est pas forcément une fonction convexe de ces paramètres. Cela n’est pas vraiment nécessaire car les valeurs optimales de ces paramètres varient en fonction de l’ensemble des problèmes à résoudre. Nous suggérons donc à ceux qui souhaitent utiliser ces heuristiques de commencer par une démarche semblable afin de déterminer les valeurs des paramètres à utiliser.

Plusieurs valeurs du paramètre X de l’heuristique A1 ont été utilisées pour résoudre les 30 problèmes-tests du premier groupe sur un horizon T = 365. Les


résultats obtenus sont donnés au tableau 2. Nous retiendrons la valeur X = 20 % puisqu’elle procure le coût total moyen le plus bas.

Tableau 2. Le coût total moyen de l’heuristique A1 en fonction du paramètre X

Valeur de X 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % Coût total moyen ($)

4 420 607 4 419 981 4 422 836 4 424 504 4 429 184

Fixer les valeurs des quatre paramètres (X, α, β et γ) de l’algorithme A4 est beaucoup plus compliqué. Afin de réduire l’effort de calcul, nous avons fixé les valeurs des paramètres de façon séquentielle en commençant par le premier paramètre X et en utilisant α = 80 % et β = γ = 0. Le tableau 3 donne le coût total moyen obtenu par A4 en fonction de X. Ces résultats nous amènent à choisir la valeur X = 40 %.

Une fois le premier paramètre fixé, nous avons résolu les 30 problèmes en faisant varier le second paramètre, α, tout en conservant β = γ = 0. Une fois la valeur de α déterminée (α = 80 %, voir tableau 4), la meilleure combinaison des paramètres β et γ est présentée au tableau 5. Puisque les paramètres β et γ jouent le même rôle au sein de l’heuristique A4, nous les avons contraints à prendre la même valeur. Bien que cette méthode ne garantisse pas l’obtention des meilleures valeurs des paramètres, elle permet d’obtenir de bonnes valeurs tout en nécessitant un temps de calcul raisonnable.

Tableau 3. Le coût total moyen de l’heuristique A4 en fonction du paramètre X avec α = 80 % et β = γ = 0

Valeur de X 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % Coût total moyen ($)

3 685 229 3 684 531 3 694 863 3 661 312 3 670 880

Tableau 4. Le coût total moyen de l’heuristique A4 en fonction du paramètre α avec X= 40 % et β = γ = 0

Valeur de αααα 80 % 90 % 100 % Coût total moyen ($) 3 661 312 3 707 970 3 773 937


Tableau 5. Le coût total moyen de l’heuristique A4 en fonction des paramètres β et γ avec X = 40 % et α = 80 %

Valeur de ββββ et γγγγ β=0, γ=0 β=1, γ=1 Coût total moyen (en $) 3 661 312 3 993 512

Ces résultats nous amènent à opter pour les valeurs suivantes : X = 40 %, α =

80 % et β = γ = 0. Nous constatons que β = γ = 0 permet une économie appréciable (tableau 5). En effet, plus les valeurs de β et γ sont petites, moins on permet de devancer la visite des stations. À long terme, cela nous permet de visiter les stations le moins souvent possible sans générer de ruptures de stock et ainsi économiser sur les coûts des trajets. Pour β = γ = 1, le nombre moyen de visites (sur 30 problèmes) par année et par station est de 1,03 fois plus élevé que pour β = γ = 0 et le coût du trajet augmente de 12 %, le coût des heures supplémentaires augmente de 2,5 % et le coût des camions loués augmente de 4,3 %.

5.3. Analyse de la performance des heuristiques

Afin d’évaluer adéquatement la performance des heuristiques proposées et des politiques d’approvisionnement sous-jacentes, nous avons compilé les statistiques suivantes : 1) le pourcentage d’utilisation moyen des camions, 2) le nombre moyen de stations visitées par camion par jour, 3) le nombre moyen de visites par station sur l’horizon de planification, 4) le coût des heures supplémentaires, 5) le coût de location des camions supplémentaires, 6) le coût des trajets, 7) le coût total et 8) le temps d’exécution.

Les heuristiques ont été codées en «Sun Pascal» et partagent toutes la même structure de données de façon qu’aucune heuristique ne soit favorisée. L’exécution des programmes s’est faite sur un «Sun Sparc Station 10». Le tableau 6 présente les résultats obtenus pour le premier groupe de problèmes. Il est à noter que le pourcentage d’utilisation des camions n’est compilé que pour les camions du parc interne. Un taux d’utilisation supérieur à 100 % signifie un recours au temps supplémentaire. Ainsi, un taux de 109 % signifie qu’en moyenne les camions ont été utilisés à 100 % du temps régulier disponible et que le temps supplémentaire requis représente, en moyenne, 9 % du temps régulier. Les tableaux 7 et 8 présentent les mêmes résultats mais pour les problèmes-tests des groupes 2 et 3.


Tableau 6. Les résultats moyens pour les problèmes du premier groupe

A1 A1 + A3 A2 A2 + A3 A4 Coût total moyen des heures supplémentaires(1)

112 389 112 361 112 681 112 636 108 301

Coût total moyen de location des camions(2)

48 225 48 400 46 825 47 025 120 825

Coût total moyen des trajets(3) 3 315 233 3 312 994 3 314 281 3 312 240 2 488 052 Coût total moyen variable(1+2+3) 3 475 847 3 473 755 3 473 787 3 471 901 2 717 178 Coût total moyen de distribution 4 419 981 4 417 888 4 417 920 4 416 034 3 661 312 Taux moyen d’utilisation des camions par jour

115 % 109 % 115 % 115 % 106 %

Nombre moyen de stations visitées par un camion par jour

2,57 2,51 2,58 2,57 2,56

Nombre moyen de visites par station par année

122,85 122,89 122,81 122,81 127

Temps moyen d’exécution (en secondes)

0,225 0,266 0,226 0,232 0,749

Tableau 7. Les résultats moyens pour les problèmes du deuxième groupe


107 969 108 651 108 573 108 984 106 759


45 875 45 850 44 200 44 375 111 675


115 % 109 % 115 % 115 % 106 %


2,56 2,49 2,56 2,56 2,53


121,84 121,88 121,85 121,87 124,28


0,226 0,294 0,244 0,261 0,721


Tableau 8. Les résultats moyens pour les problèmes du troisième groupe


50 007 53 961 50 718 54 078 79 756


2 250 10 250 2 675 12 100 49 750


101,35 % 97,5 % 99,9 % 97,9 % 92 %


2,27 2,20 2,24 2,20 2,27


125,71 125,92 123,97 124,11 127,69


0,234 0,398 0,241 0,338 0,760

Nous constatons que, pour tous les groupes de problèmes testés, les heuristiques A1 et A2 donnent pratiquement les mêmes résultats, A2 étant légèrement supérieure. En effet, cette dernière ne fait diminuer le coût total, par rapport à A1, que de 0,05 % pour les problèmes du premier groupe, de 0,03 % pour les problèmes du deuxième groupe et de 0,63 % pour ceux du troisième groupe. La performance de l’heuristique d’amélioration A3 change d’un groupe à l’autre. Elle améliore seulement deux problèmes pour les premier et deuxième groupes. Par contre, pour le troisième groupe, elle améliore les résultats de 20 des 30 problèmes. Malheureusement, le pourcentage d’amélioration n’est pas très élevé à cause du faible nombre de stations que l’on peut déplacer.

L’heuristique qui a la meilleure performance pour tous les groupes de problèmes est A4, ce qui semble démontrer la supériorité de la politique d’approvisionnement permettant de visiter plusieurs stations au cours d’un même voyage. L’heuristique A4 permet de diminuer le coût total moyen, par rapport à celui obtenu par A2, de 17,12 % pour le premier groupe, de 15,14 % pour le deuxième groupe et de 18,1 % pour le troisième groupe. Cette heuristique diminue sensiblement le coût des trajets en permettant aux camions de visiter plus d’une station par voyage. Le coût total moyen des trajets a diminué par rapport à celui obtenu par A2 de 24,92 % pour le premier groupe, de 22,17 % pour le deuxième groupe et de 26,66 % pour le troisième groupe.

La réduction de l’ordre de 25 % du coût moyen des trajets obtenue avec l’heuristique A4 est essentiellement due au fait que cette heuristique permet de visiter plus d’une station au cours d’un même voyage. Cela a un effet direct sur le coût des trajets car la distance parcourue pour visiter deux ou plusieurs stations pendant un même voyage est souvent sensiblement plus courte que la somme des distances à parcourir pour visiter chacune de ces stations séparément.


En plus, ces visites multiples ont un effet indirect important sur le coût des trajets. En effet, visiter plusieurs stations au cours d’un même voyage permet d’atteindre un taux de remplissage des citernes plus élevé que dans le cas des visites simples. En effet, la visite d’une station est, dans la plupart des cas, provoquée par la baisse de stock d’un ou de deux produits seulement tandis que le niveau de stock du deuxième et/ou du troisième produit demeure relativement élevé. Cependant, avec une politique des visites simples, afin d’utiliser tous les compartiments du camion, nous livrons souvent les trois produits et, par conséquent, nous livrons de petites quantités pour des produits non critiques. Évidemment, cela réduit le taux de remplissage des citernes. De l’autre côté, la politique des visites multiples permet souvent de réduire ce gaspillage de la capacité de transport et, par conséquent, aboutit à réduire le nombre annuel de voyages, ce qui diminue le coût annuel des trajets.

6. Conclusion

Nous avons proposé deux types de politique pour résoudre le problème

d’approvisionnement des stations d’essence. Le premier type ne permet de visiter qu’une seule station par voyage tandis que le deuxième type permet de planifier des voyages qui peuvent approvisionner plusieurs stations.

Les tests numériques que nous avons effectués montrent que la politique d’approvisionnement permettant de visiter plusieurs stations par voyage donne de meilleurs résultats pour tous les groupes de problèmes testés. En utilisant cette politique (heuristique A4), le coût total moyen des trajets a diminué (par rapport à celui obtenu par A2) de 24,92 % pour le premier groupe de problèmes-tests, de 22,17 % pour le deuxième groupe et de 26,66 % pour le troisième groupe. Il semble donc clair que l’utilisation d’une approche qui permet de visiter plus d’une station au cours d’un même voyage est de loin préférable si l’on vise à minimiser le coût total de distribution.

La recherche présentée dans cet article n’est qu’une première contribution à l’étude du problème d’approvisionnement des stations d’essence. Beaucoup reste à faire. Une première voie de recherche future doit nous amener à proposer des approches plus efficaces pour la résolution de ce problème de façon optimale. Cela doit passer par la simplification de la formulation mathématique, probablement par l’intermédiaire de l’introduction d’hypothèses simplificatrices. Ensuite, nous devons procéder à une analyse de la structure du modèle afin de sélectionner la méthode la plus apte à tirer profit de cette structure. Nous pouvons envisager l’utilisation d’approches basées sur la génération de colonnes. Une deuxième voie de recherche consiste à développer des heuristiques encore plus efficaces que celles présentées ici. Nous pensons plus particulièrement à des heuristique de décomposition où nous


tenterons de résoudre de façon optimale un ou plusieurs des sous-problèmes identifiés.

Remerciements

Cette recherche a été partiellement financée par les subventions OPG 0172633 et OPG 0036509 du Conseil de Recherche en Sciences Naturelles et en Génie (CRSNG) du Canada. Nous tenons également à remercier deux arbitres anonymes pour leurs commentaires et suggestions qui ont grandement contribué à améliorer cet article.

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Notes biographiques Mme Dounya Taqa allah a obtenu un baccalauréat en sciences mathématiques appliquées et détient une maîtrise en opérations et systèmes de décision de l’Université Laval (MBA). Elle est une professionnelle de recherche au centre de recherche sur les technologies de l’organisation réseau. Ses recherches portent sur les problèmes de distribution.

M. Jacques Renaud est professeur à la Télé-université, une constituante du réseau de l’Université du Québec spécialisée dans l’enseignement à distance. Il est également membre du centre de recherche sur les technologies de l’organisation réseau. Ses recherches portent sur les problèmes de tournées de véhicules et les problèmes de distribution en général.

M. Fayez F. Boctor est professeur titulaire au département Opérations et systèmes de décision de l’Université Laval et membre du centre de recherche sur les technologies de l’organisation réseau. Ses recherches portent sur les problèmes d’approvisionnement et de distribution et la conception et la gestion des systèmes manufacturiers.


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