LABORATOIRE D’ETUDES AERODYNAMIQUES (LEA) Université de Poitiers , CNRS , ENSMA

COTONOU, LE 08 Octobre 20091

SEMINAIRE SUR LA SIMULATION NUMERIQUE UNIVERSITE D’ABOMEY CALAVI , Rep du BENIN

PLAN DE L’EXPOSE

Développement de modèles Algébriques Explicites Méthodologie de la

modélisation algébrique

Résultats

Conclusions et perspectives

Prise en compte des effets de paroi par pondération elliptique Bases d’intégrités

Ecoulement Couette – Poiseuille Couche limite sans cisaillement

INTRODUCTION

Modèles EB-EASM : études analytiques en canal

Simulation numérique en Canal

Extension 3D des modèles Algébriques explicites

2

INTRODUCTIONINTRODUCTION Détermination de ij

EB-EASM: , ,( , , , )ij ij ij i

k Pf S W

MODELES ALGEBRIQUES ,( , ),,

ij ij ij i

k Pf S W

Projet Européen Wallturb

Principal objectif

Méthodes empiriques Fonctions d’amortissements Pas d’universalité

Pondération elliptique : EB-

RSM

INFLUENCE DE LA PAROI

Nouvelle Approche

Approche standard

• Robustes numériquement• Simple à coder

Modèles 1er Ordre

( , , , )ij ij ij

f S W k Modèles 2nd ordre

.......ijd

dt

• prennent mieux en compte la physique des écoulements • Moins robustes numériquement

• Bon compromis physique et robustesse numérique

3

Principe de la modélisation algébrique Principe de la modélisation algébrique

Equations des tensions de Reynolds Pour un fluide incompressible :

Tenseur d’anisotropie :

La combinaison de (1) et (2) donne

(2)

(3)

(1)

Pij : Production ; εij : tenseur de dissipation terme de pression , Dij : Diffusion * :ij

* ij

ij ij ij ij

DP D

Dt

Tij ij ijD D D avec

4

avec

2

1

2 ij ij ijDb D Dk

Dt k Dt k Dt

*1

2

ij ij ij ij

ij ij ij ij

DbP D P D

Dt k k k k

Hypothèses d’équilibre faible :

Modèle algébrique implicite :

Rodi 1976

(6)*( ) ( ) 0 ij ij

ij ij ijP Pk k

*ijChoix de modèles ijet

système fermé

0ijDb

Dt

ij ij

kk kk

D

D

(5)(4

)

Prise en compte des effets de paroi

5

Equations de transport de k et

Introduction pondération elliptiqueIntroduction pondération elliptique

EB-RSM

Développé par Manceau &Hanjalic (2002 )Permet une bonne reproduction à la paroi de l’effet de blocage Numériquement robuste et réduit le nombre d’équations par rapport à la la relaxation elliptique de Durbin ( 1991) sur laquelle est basé son concept

* 2 2(1 )

w hij ij ij

22 2(1 )

3ij

ij ijk

orientation de la paroi

n : Vecteur normal à la paroi

25 ( )

31 22 3

+M M I M Mτ τ- τ τ- w

jki k

(7)

Coefficient de pondération α • solution de l’équation elliptique :

2 2 1L 0 • CL à la

paroi : 1 • Loin de la paroi

(8)

(9)

6

Fermeture de l’équation implicite

système algébrique implicite

*ijChoix modèles de ij de EB-RSM introduits dans et (6)

termes encadrés : introduits par l’EB-RSM

(10)

7Cas où , on retombe sur le modèle classique 1 (6)

Modèle Algébrique Explicite Modèle ASM implicite et numériquement instable

Recherche des Solutions explicites

8

Modèle EB- EASMModèle EB- EASM

Equation implicite s’écrit sous forme f(b, S, W, M )= 0

Théorie des bases d’intégrité

N

i ii

b T

Solution du système est

(10)

(11)

Projection de Galerkine

i iX

( , , )i i

k Pf

(12)

XA BN

i ii

b T Injectée dans (10)

Solutions explicites

sont les invariants pouvant apparaître i

9

Puis projetée sur la base des Ti

Bases d’IntégritésBases d’Intégrités : cas standard : cas standard f(b,S,W)=0

En écoulement 3D

base invariante 6 invariants indépendants

Base intégrité fonct. 10 tenseurs

(13)

(14)

10

En écoulement 2D plan

base invariante 2 invariants indépendants

Base intégrité fonct. 3 tenseurs

(16)

(15)

11

Ecoulement 2D .0

z

ij

U U0

x y

U V V0

x x y

W W0

x y

Ecoulement 2D plan .

0 et W=0z

i

j

U U0

x y

U V V0

x x y

0 0 0

En écoulement 1D

base invariante 1 invariant

Base intégrité fonct. 3 tenseurs

.0

x

ij

U0 0

yU

0 0 0x

0 0 0

et 0V

y

En plus des conditions 2D plan

(eq. continuité)

12

En écoulement 3D

base invariante : 6 29 invariants indépendants

En tenant compte que 2 1 2

3 9M M I

(17)

13

Bases d’IntégritésBases d’Intégrités : cas EB-EASM : cas EB-EASM f(b,S,W,M)=0

Base intégrité fonct.10 41 tenseurs

Propriétés du tenseur M

(18)

14

En écoulement 2D plan base invariante : 2 5 invariants

indépendants

Base intégrité fonct.3 6 tenseurs

En écoulement 1D idem au cas classique

(19)

(20)

15

Base tronquéeBase tronquée

plusieurs choix possibles

base minimale Nombre de tenseurs N = dimension de b

En ces points

• le système n’est pas inversible • on aboutit à des singularités

base subminimale Nombre de tenseurs N < dimension de b

Cas de 3 tenseurs : Cas classique :base d’intégrité fonctionnelle en 2D plan Dans notre cas : base d’intégrité fonctionnelle seulement en 1D

16

Modèles EB –EASM particuliersModèles EB –EASM particuliers Combinaisons attractives

Modèles Correspondants

EB-EASM #1 b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

EB-EASM #2 b= β1S+β2M

EB-EASM #3 b= β1S+β2(SM+MS-2/3{SM}I)+β3M

EB-EASM #4 b= β1S+β2(SW-WS)+β3M

Non linéaire

Linéaire

Linéaire

Non linéaire

S SW-WS S²-1/3{S²}I

SM+MS-2/3{SM}I MMW-WM

EB-EASM #4 identique à EB-EASM #1 ( modèle standard ) en 1 D EB-EASM #3 dégénère vers EB-EASM #2 en 1 D (tenseurs linéairement dépendants : modèles simples )

(21)

17

Etude du modèle EB-EASM#1 en 2D planEtude du modèle EB-EASM#1 en 2D plan b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

Fait apparaître 4 invariants

2 Nouveaux invariants introduits par l’EB-RSM par rapport au cas classique

eQ t P

2 21 S η

2

2 22

1 S

Wη

η R

solutions ( , , , , , ),i

k Pf Q

PR (22)

18

: Solution d’une équation quartique 1

19

Prise en compte de la physique dans les modèlesRôle des invariants

η caractérise l’intensité de cisaillement

2 2 2( 1) ( )Q w S 1 1

2 2

2R

régions de l’écoulement moyen qui tendent à réduire la pression moyenne R 1

Renseigne sur de la rotation moyenne de l’écoulement

R Q Première composante du laplacien de Pmoy

= SMP

R ‡ 1 Région de cisaillement plane

Nouveau invariant Sensible à la présence de la paroi

= n

n

U

x

P à l’approche de la paroi 2/ 0 2P écoulement // à la paroi

2 3/ 2 2P Jet impactant axisymétrique

2 1/ 2 2P Jet plan

Caractérise l’orientation du gradient de vitesse moyenne par rapport à la normale Invariant de couche limite

Q = 2 SMW

2/ 1Q 2 Couche limite

Jet plan

Jet impactant axisymétrique

2/ 0Q 2

2/ 0Q 2

EB-EASM #1

Modèles non linéaires

Etudes analytiques en canalEtudes analytiques en canal

(23)

20

b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

β1 pilote seul la contrainte de cisaillement et donc -k β1 joue le rôle de la viscosité turbulente

β3 reproduit correctement b33 et facilite la comparaison entre b11 et b22

permet de distinguer les composantes diagonales ( cas EASM#1) β2

permet de distinguer la composante diagonale b22 des deux autres à la paroi ( cas EASM#2 )

EB-EASM #2

Modèles linéaires

b= β1S+β2M

y+

EB-EASM#1 : b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

Ecoulement en Canal

Résultats Simulation numérique Résultats Simulation numérique

21

EB-EASM#1 : b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

y+

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.)

Résultats Simulation numérique Résultats Simulation numérique

22

EB-EASM#1 : b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser & al.)

23

13

EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M

y+

Ecoulement en canal

(Moser et al. ; Hoyas & Jiménez)

24

EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M

y+

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.)

25

EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.)

26

13

Ecoulement de Couette-Poiseuille Ecoulement de Couette-Poiseuille

Uw

-h

hy

x

y/h

PT : Poiseuille-type IT : Intermediate-type CT : Couette-type

Ecoulement en Canal (DNS P.ORLANDI)

27

y/h

PT : Uw = 0.75 Ub IT : Uw = 1.2 Ub

CT : Uw = 1.5 Ub

y/h

Intermediate- type (IT) à Reτ= 182

Poiseuille- type (PT) à Reτ= 204

Couette- type (CT) à Reτ= 207

28y/h

Intermediate- type (IT) à Reτ= 182

Couche limite sans cisaillementCouche limite sans cisaillement

S=W= 0 partout dans la couche limite

Ecoulement se déplaçant à la vitesse que la plaque la grille fixe génère la turb de grille

29

loin de la paroi : 2 0

à la paroi :25 4 5

2 2 25 4 5 4

3( 3 ) 1

18 12 2 2

a a a

a a a a

10 0

32

0 03

10 0

3

M

1 0 06

10 03

10 06

b

30

Extension en 3D modèle EB-EASMExtension en 3D modèle EB-EASM• Solution de b

Solutions du système

b= β1 S+β2 (SW-WS)+ β3 (S²-1/3{S²}I)

Invariants apparus : 12

(24)

31

Cas du modèle EB- EASM# 1 à 3 tenseurs

Test à priori modèleTest à priori modèle EB-EASM#1 : : jet impactant jet impactant Ecoulement « 3D  »

Calcul EB-RSM : R. Perrin & R. Manceau (2009)

Schéma et Exp : Minagawa et al. (2004)

32

Tester la qualité de l’approximationBut de l’étude

Cas Modèle EB-EASM#1

Deux options

Voir si le caractère 3D doit être pris en compte

Utiliser une base tronquée à 3 tenseurs Utiliser la base d’intégrité Invariante ( 12 invariants) Utiliser une base tronquée à 3 tenseurs Utiliser la base d’intégrité Invariante tronquée ( 4 invariants 2D )

Disque en rotation autour de z

Etudes en système d’axes cartésien z,w

x,u

y,v

Cas test

Test à priori d’un jet impactant sur disque en Rotation

Ici considérer comme « 3D »

Effet de courbure non pris en compte

33

Résultats test à priori en « 3D » Résultats test à priori en « 3D »

Composantes normales du tenseur de Reynolds . Profils pour x = 4.8

34

z,w

x,u

y,v

Composantes de cisaillements du Tenseur de Reynolds . Profils pour x = 4.8

35

z,w

x,u

y,v

Conclusions et perspectives Conclusions et perspectives

36

Introduction de la pondération elliptique

• Fait apparaitre un nouveau tenseur M

• Réduit à 3 le nombre d’équations différentielles à résoudre : k, et

• Solution exacte de b nécessite un important nombre d’éléments des bases d’intégrité invariante et fonctionnelle

Base intégrité

• Possibilité d’utiliser une base tronquée

Modèles EB-EASM#1 en canal, Couette- Poiseuille

• Bonne reproduction de l’anisotropie en proche paroi • Limite à deux composantes restituée

• Mais augmente la complexité de l’équation du ratio P/

• Apparition probable des singularités

• Limite à deux composantes reproduite• Similaire à V2F mais plus physique

Perspectives

Extension EB-EASM en 3D

EB-EASM capables de reproduire les écoulements complexes et de rotations

• Nécessité de prendre en compte tous les invariants qui apparaissent

• Modifier les hypothèses faibles pour prendre en compte les effets de courbure et améliorer la diffusion

• Tester les modèles sur d’autres configurations d’écoulements

• Approfondir la procédure de sélection de racines de l’équation du ratio P/

• Simulation numérique en 2D plan et en 3D afin de déterminer les meilleurs modèles tronquées

Modèles EB-EASM#2 en canal, Couette- Poiseuille • Modèle linéaire à 2 tenseurs ( modèle simplifié)

• Bonne reproduction en proche paroi de b22 et b12 mais (b11=b33)

37

Je vous remercie