La multiplication et la division de nombres décimaux

225

La multiplication et la division

de nombres décimaux

Durée suggérée : 3 semaines

1

2

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)226

LA MULTIPLICATION ET LA DIVISION DE NOMBRES DÉCIMAUX

Aperçu du chapitre

Orientation et

contexte

Pourquoi est-ce

important ?

Le présent module fait appel à ce que les élèves savent déjà sur la

multiplication et la division des nombres entiers. Ils devront revoir

toutes les stratégies qui leur ont été enseignées précédemment et qu’ils

ont développées en travaillant avec des nombres entiers afi n de les

utiliser dans le présent chapitre. Les stratégies de calcul mental revêtent

également une grande importance dans ce module.

Les stratégies d’estimation sont très importantes lorsque les élèves

effectuent des calculs faisant intervenir des nombres décimaux. Il faut

inciter les élèves à estimer le produit ou le quotient avant de calculer la

solution. Ce faisant, ils seront en mesure de déterminer si leur réponse

calculée est vraisemblable. Les élèves doivent également recourir à

l’estimation pour placer correctement la virgule dans le produit ou

le quotient. Durant leur apprentissage des notions du chapitre, les

élèves seront encouragés à utiliser un crayon et du papier ainsi que

la technologie et du matériel de manipulation pour résoudre des

problèmes de multiplication et de division des nombres décimaux.

Les élèves vont travailler sur la multiplication et la division de nombres

décimaux allant jusqu’aux millièmes, par des multiplicateurs et des

diviseurs à un seul chiffre. Il faut encourager les élèves à utiliser du

matériel concret, comme des blocs de base dix ou des cartes de nombres

décimaux; plutôt que le simple suivi d’une procédure établie. Cette

pratique favorisera une meilleure compréhension conceptuelle du

contenu. Ces représentations concrètes et visuelles de la pensée des

élèves les encourageront à élaborer, analyser et expliquer les stratégies de

résolution de problèmes faisant intervenir la multiplication et la division

de nombres décimaux.

Il est très important d’établir des liens entre les nombres décimaux

et les situations de la vie courante. L’argent constitue sans doute la

référence la plus évidente pour les élèves. Ceux-ci manipulent de

l’argent couramment et ce lien doit être souligné, surtout au début du

présent chapitre. Cela les aidera à développer une bonne compréhension

du travail sur les nombres décimaux. Les élèves feront appel aux

compétences acquises précédemment sur la multiplication et la division

pour approfondir leur compréhension de la multiplication et de la

division des nombres décimaux.

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)


227

DOMAINE RÉSULTAT D’APPRENTISSAGE

PROCESSUS MATHÉMATIQUES

Le nombre

6N8 Démontrer une

compréhension de la

multiplication et de la

division de nombres

décimaux (où le

multiplicateur est un

nombre entier positif à

un chiffre et le diviseur

est un nombre entier

strictement positif à un

chiffre).

[C, CE, L, R, RP, V]

Processus

mathématiques

Résultats

d’apprentissage

[C] Communication [CE] Calcul mental et estimation

[L] Liens [R] Raisonnement

[RP] Résolution de problèmes

[T] Technologie [V] Visualisation

228 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)

Résultats d’apprentissage

spécifi ques


Stratégies d’enseignement et d’apprentissage

L’élève doit pouvoir :

Domaine : Le nombre

6N8 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres décimaux (où le multiplicateur est un nombre entier positif à un chiffre et le diviseur est un nombre entier strictement positif à un chiffre).


L’accent est mis sur la multiplication des nombres décimaux par un

multiplicateur constitué d’un nombre entier à un chiffre. Il sera question

de la division des nombres décimaux ultérieurement.

L’estimation doit jouer un rôle important dans l’acquisition de stratégies personnelles pour la multiplication des nombres décimaux. Le problème suivant peut servir de point de départ :

L’agriculteur remplit chaque cruche de 3,7 litres de cidre. Si vous achetez 4 cruches, cela correspond à environ combien de litres de cidre en tout ?

Les élèves doivent voir que 3,7 s’approche de 4 et que 4 × 4 = 16.

Les élèves utiliseront ensuite une méthode de leur choix pour déterminer si leur réponse est correcte. (Addition répétée, multiplication réelle ou utilisation d’une représentation concrète.)

Les élèves ont déjà effectué des estimations de nombres décimaux. À cette étape, il peut s’avérer nécessaire de revoir ces concepts avec les élèves. Les stratégies pour l’estimation des nombres décimaux sont les mêmes que celles pour l’estimation des nombres entiers. Quelques exercices d’estimation sur les nombres entiers pourraient s’avérer utiles avant d’aborder les nombres décimaux.

Indicateur de rendement :

6N8.1 Prédire des produits et des

quotients de nombres décimaux à

l’aide de stratégies d’estimation.

Les élèves commencent à prédire le produit d’une multiplication de nombres décimaux en utilisant des stratégies d’estimation. Les quotients seront abordés ultérieurement. Il est indiqué de rappeler aux élèves les différentes méthodes d’estimation suivantes :

• estimation préliminaire – méthode selon laquelle le premier chiffre du nombre est conservé et tous les autres sont remplacés par zéro.

• nombres compatibles – méthode consistant à utiliser des « beaux » nombres ou des nombres faciles qui se prêtent bien au calcul mental.

• arrondissement – méthode selon laquelle un nombre est arrondi à l’entier, au dixième, etc. inférieur ou supérieur le plus proche.

• compensation – méthode d’ajustement d’une estimation visant à la rapprocher de la réponse calculée.

P. ex., Pour estimer le produit de 2,629 et 4 :

• estimation préliminaire : 2,000 × 4 = 8

• nombres compatibles : 2,5 × 4 = 10 ou 3 × 4 = 12

• arrondissement : 3 × 4 = 12 ou 2,6 × 4 = 10,4

• compensation : 2,629 × 4. Penser à 2 × 4 = 8 (estimation préliminaire) 0,629 vaut environ 0,5 × 4 = 2, alors 8 + 2 = 10.

(à suivre)

229PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)

Stratégies d’évaluation Ressources / Notes


Résultat d’apprentissage général : Développer le sens du nombre

Journal

• Donner aux élèves un choix de plusieurs expressions de multiplication dans lesquelles des nombres décimaux sont multipliés par un nombre entier à un seul chiffre. Leur demander de choisir un ou deux énoncés et d’estimer la solution. Puis, demander aux élèves d’expliquer comment ils ont estimé le ou les produits et de justifi er leur raisonnement.

(6N8.1)

Performance

• Demander aux élèves d’utiliser l’information suivante pour déterminer le meilleur achat :

A. Jus de pomme – 2 L pour 1,99 $ ou 4 L pour 3,89 $

B. Oranges – 4 pour 0,99 $ ou 6 pour 1,59 $

C. Bananes – 3 kg pour 1,89 $ ou 5 kg pour 3,19 $

Demander aux élèves d’expliquer comment ils ont déterminé leur réponse. (6N8.1, 6N8.2)

• Dire aux élèves qu’un nombre décimal a été arrondi à 3. Leur

demander de quel nombre il peut s’agir.

(6N8.1)

Compas Mathématique 6

Leçon 1 : Estimer des produits

6N8

GE p. 12 – 15

ME p. 292 - 295

Dans le manuel d’élève, les montants

d’argent ne sont pas toujours écrits

avec la virgule décimale, par ex.,

1200 $. Souligner aux élèves qu’on

devrait aussi inclure la vergule

décimale avec un montant d’argent

sans cents, donc 1200,00 $.



spécifi ques




Domaine : Le nombre


(suite)


Donner aux élèves de nombreuses occasions de pratiquer leurs habiletés

d’estimation. À titre d’exercice de mise en train, demander aux élèves de travailler par groupe de deux. À tour de rôle, les partenaires donnent un nombre décimal que l’autre doit estimer. Cette activité de mise en train pourra être étendue lorsque les élèves commenceront à estimer le produit de nombres décimaux et de nombres entiers. À tour de rôle, les partenaires proposent une expression numérique dont il faut estimer le produit en faisant part des stratégies utilisées.

Pour établir des liens avec la vie courante, créer des problèmes faisant appel à l’argent en utilisant des catalogues et des prospectus, ainsi que des données associées aux sports (p. ex. chronométrages d’une descente de ski alpin).





(suite)

À cette étape de la résolution de problèmes faisant intervenir la multiplication de nombres décimaux et de nombres entiers, on s’attend uniquement à ce que les élèves utilisent l’estimation pour résoudre le problème et non à ce qu’ils calculent la solution véritable.

Il est suggéré que les élèves estiment les nombres décimaux au nombre entier le plus près, d’abord pour faciliter le calcul des produits estimés. On ne s’attend pas, à cette étape, que les élèves calculent mentalement les produits des nombres décimaux, étant donné que l’accent est mis sur la pratique de l’estimation.

Le matériel de base dix, les cartes de nombres décimaux et les droites numériques peuvent être utilisés pour représenter des nombres décimaux afi n d’aider les élèves à reconnaître, par exemple, que la valeur estimée de 3,7 se rapproche davantage de 4 que de 3.

Il est essentiel que les élèves bénéfi cient de multiples occasions de représenter des nombres décimaux au moyen du matériel de manipulation à mesure qu’ils progressent dans leur travail de multiplication et de division des nombres décimaux. Lorsqu’ils représentent des nombres décimaux, il importe que les élèves saisissent qu’il est possible de représenter l’entier en utilisant différents blocs de base dix.

(à suivre)






Leçon 1 (suite) : Estimer des

produits

6N8

GE p. 12 – 15

ME p. 292 - 295

Littérature jeunesse (à venir) :

Performance

• Comme exercice de calcul mental, demander aux élèves de trouver le produit de 5,6 × 2, en utilisant une stratégie d’estimation de leur choix. Refaire l’exercice avec un nombre décimal de l’ordre des centièmes, puis des millièmes. Demander aux élèves d’expliquer comment ils savent que leur estimation est vraisemblable. (6N8.1, 6N8.2)

• Donner aux élèves un dépliant d’épicerie et leur demander de choisir un article à acheter. Leur demander combien cela coûtera s’ils achètent 6 unités du même article. Ils devront être capables d’expliquer la stratégie d’estimation employée. Faire l’exercice en leur attribuant un montant d’argent précis (p. ex. 100 $) et demander aux élèves de choisir la quantité de l’article choisi qu’ils

pourront acheter avec cette somme, sans la dépasser.

(6N8.1, 6N8.2)



spécifi ques




Domaine : Le nombre


(suite)


Les élèves doivent très bien comprendre la multiplication d’un nombre entier à un chiffre par un nombre décimal de l’ordre des dixièmes avant de se lancer dans la multiplication d’un nombre entier par un nombre décimal de l’ordre des centièmes et des millièmes. L’utilisation de grilles de base dix ou de cartes de nombres décimaux aidera les élèves à

visualiser ce concept.

Indicateurs de rendement :




(suite)

Lors de travaux antérieurs, les élèves devaient uniquement résoudre des problèmes au moyen de l’estimation. Dorénavant, ils continueront à

utiliser leurs stratégies d’estimation pour résoudre les problèmes, mais

ils devront également trouver la réponse exacte. Leur estimation servira

maintenant à vérifi er la vraisemblance de leur réponse exacte.

Il faut donner aux élèves l’occasion de vivre des situations concrètes

faisant appel à l’estimation et de se rendre compte que l’estimation la

plus importante n’est pas nécessairement celle qui se situe le plus près de

la réponse réelle. P. ex., si vous aviez besoin de 2,2 mètres de fi celle pour

emballer un colis et que vous avez 3 colis à expédier, de combien de

corde avez vous besoin ? La plupart des élèves diraient 2 × 3 = 6 mètres.

Bien qu’il s’agisse d’une estimation très proche, elle serait toutefois

erronée, car il n’y aurait pas assez de corde pour envelopper les colis.

La plupart des élèves devraient être capables de relier facilement l’argent

aux nombres décimaux. Il s’avérera facile de travailler avec ce concept

étant donné que les dépliants et les catalogues peuvent être utilisés

comme exemples concrets de nombres décimaux. Les élèves peuvent

aussi parler d’économiser leur allocation pour s’acheter un objet spécial,

ou résoudre des problèmes faisant intervenir une somme d’argent reçue

à dépenser dans une séance de magasinage.

(à suivre)

6N8.2 Résoudre un problème

donné comportant des

multiplications et des divisions

de nombres décimaux ayant des

multiplicateurs de 0 à 9 ou des

diviseurs de 1 à 9.





Performance

• Demander aux élèves de dessiner ou de construire un modèle pour illustrer l’expression 4 × 1,36 $ et de montrer leur réponse. Demander aux élèves de rédiger un problème basé sur une expression de multiplication et de demander à un partenaire de le résoudre. (6N8.2)

• Donner aux élèves un dépliant d’épicerie et leur demander de choisir 3 de leurs articles préférés. Leur demander de déterminer la quantité de chaque article qu’ils pourraient acheter avec 90 $. (6N8.1, 6N8.2)

Papier et crayon

• Demander aux élèves de déterminer combien d’argent de plus il faut pour payer cinq canettes de jus à 1,29 $ chacune, comparativement à 6 canettes à 0,99 $ chacune. (6N8.2)

• Présenter l’énoncé suivant : À l’école, un contenant de lait coûte 0,55 $. S’il y a 8 élèves dans ta classe qui ont commandé un contenant de lait par jour, combien cela coûtera-t-il chaque jour pour acheter le lait pour ta classe ? Combien cela coûtera-t-il pour une semaine ? (6N8.1, 6N8.2)

• Poser la question suivante aux élèves : Si un maillot pour l’équipe de ballon-volant de l’école coûte 18,49 $, combien cela coûterait-il pour en acheter 9 ? Montre comment tu as obtenu ta réponse sous forme imagée et explique ton raisonnement. (6N8.1, 6N8.2)


Leçon 1 (suite) : Estimer des produits

6N8

GE p. 12 – 15

ME p. 292 - 295


Leçon 2 : Multiplier un montant d’argent par un nombre à 1 chiffre

6N8

GE p. 16 - 19

ME p. 296 - 299



spécifi ques




Domaine : Le nombre

Il est important que les élèves dessinent ou construisent des modèles illustrant l’expression d’une multiplication comportant des nombres décimaux. P. ex. 2 × 0,7

Montrer aux élèves (ou leur demander de trouver) 2 cartes de nombres décimaux représentant 0,7. Les superposer pour illustrer le montant total noirci afi n que les élèves puissent voir comment un entier est créé et combien il y a de parties d’unautre entier.

On peut également utiliser des blocs de base dix pour illustrer cet exemple. Les élèves peuvent représenter 0,7 en utilisant sept réglettes, lorsqu’une planchette équivaut à un entier. Ils pourraient faire 2 groupes de 7 réglettes et constater qu’il y a 14 réglettes en tout. Comme il y a 10 réglettes par planchette, les élèves doivent comprendre que 14 réglettes équivalent à un entier et 4 dixièmes. Les élèves peuvent également utiliser une droite numérique pour représenter 2 × 0,7. Après avoir placé 0,7 sur la droite, ils peuvent se déplacer d’un autre 0,7 le long de la droite pour arriver à 1,4.


6N8.3 Placer la virgule décimale

dans un produit à l’aide de la

stratégie des premiers chiffres, ex.:

pour 15,205 m × 4, penser à

15 m × 4, et en conclure que le

produit est supérieur à 60 m.

Les élèves doivent savoir où placer la virgule décimale dans le produit d’un problème de multiplication. Pour ce faire, ils peuvent recourir à l’estimation préliminaire.

P. ex., il y a 3 CD qui coûtent 12,69 $ chacun. De combien d’argent avez vous besoin pour acheter ces 3 CD ?

Quelle réponse représente le meilleur choix ?

A) 380,70

B) 3,807

C) 38,07

D) 3807,00

Pense : Arrondir 12,69 à 12 et faire 12 × 3 = 36. La réponse choisie doit se rapprocher de 36.

Les régularités peuvent aider les élèves à comprendre où placer la virgule dans le produit de deux valeurs décimales.

P. ex., 420 x 4 = 1 680 42 x 4 = 168 4,2 x 4 = 16,8

La place de la virgule peut également être explorée à l’aide d’une calculatrice, mais il est important que les élèves pratiquent les stratégies de calcul mental.


(suite)







diviseurs de 1 à 9. (suite)





Journal

• Dire aux élèves d’étudier l’expression numérique suivante où la

virgule a été omise. Leur demander d’estimer le produit pour

déterminer la place de la virgule décimale. Leur demander

d’expliquer comment l’estimation les a aidés à placer correctement

la virgule dans le produit.

3 × 16,17 = 4851

(6N8.3, 6N8.1)

Portfolio

• La virgule décimale a été omise dans chacun des produits suivants.

Mets la virgule à la bonne place. Explique ta réponse.

i) 15,97 × 3 = 4791

ii) 4,326 × 7 = 30282

(6N8.4)


Leçon 2 (suite) : Multiplier un

montant d’argent par un nombre

à 1 chiffre

6N8

GE p. 16 - 19

ME p. 296 - 299



spécifi ques




Domaine : Le nombre


L’estimation est une opération essentielle pour déterminer la place de la

virgule dans le produit d’une multiplication d’un nombre entier par un

nombre décimal. Le recours aux stratégies d’estimation aidera les élèves à

placer correctement la virgule dans le produit.

P. ex., vous allez au magasin pour acheter 9 caisses de bouteilles d’eau.

Chaque caisse coûte 6,69 $. La caissière vous annonce que le total

est de 602,10 $. Vous savez immédiatement que c’est faux. Expliquer

comment vous pensez que la caissière a fait pour obtenir ce total.







Faire résoudre aux élèves des problèmes dans lesquels ils doivent

manipuler de l’argent, cela les aidera à établir un lien entre l’usage des

nombres décimaux à l’école et les expériences de la vie courante. Intégrer

les nombres décimaux dans le contexte de l’argent plutôt que de traiter

le nombre décimal isolément permet de rendre l’apprentissage plus

signifi catif.

Demander aux élèves de parler des contextes où ils voient et utilisent des nombres décimaux dans leur vie. Ensuite, leur demander de noter tous les usages qu’ils font des ce type de nombres dans une même journée, surtout quand ils utilisent la multiplication des nombres décimaux pour comprendre un problème. Par exemple, ils peuvent aller à la cafétéria et

faire l’achat de trois biscuits à 0,35 $ chacun. Ils doivent alors savoir s’ils

auront assez de 1 $ pour acheter les 3 biscuits.

Distribuer de l’argent « de jeu » aux élèves (p. ex., 100 $) ainsi que divers catalogues ou dépliants. Leur demander de dépenser leur argent en achetant des articles qui les intéressent. Ils doivent cependant acheter le même article pour leurs 2 amis. Leur demander de dresser une liste des choses à acheter et de conserver un registre de l’argent qu’ils ont

dépensé. Leur demander de présenter à la classe leur liste d’achats

et la méthode utilisée pour calculer le coût total de leurs achats. Les

encourager à dire si l’estimation des prix leur a permis de déterminer s’ils

pouvaient acheter le ou les articles désirés.

(à suivre)


(suite)


6N8.4 Corriger, sans papier ni

crayon, des erreurs de placement

de virgule décimale dans un

produit ou un quotient donné.





Journal

• Demander aux élèves d’expliquer pourquoi le produit de 0,6 et 3 a un chiffre à la position des dixièmes. Explique ton raisonnement à

l’aide de mots, d’images et des nombres. (6N8.2)

• Demander aux élèves d’expliquer si Jean a raison ou tort quand il

dit que la réponse de 4 × 4,5 est 0,18.

Leur demander d’utiliser des images, des nombres et des mots pour

expliquer leur raisonnement.

(6N8.3, 6N8.4, 6N8.1, 6N8.2)

Présentation

• Donner aux élèves plusieurs exemples d’expressions de

multiplication accompagnées de leur réponse. Mettre la virgule

décimale au mauvais endroit et demander aux élèves d’expliquer

pourquoi la virgule ne va pas là, de mettre la virgule à la bonne

place et d’expliquer leur choix.

P. ex. 4,35 x 6 = 2,615

6,487 x 2 = 129,74

(6N8.3, 6N8.4, 6N8.1)



montant d’argent par un nombre

à 1 chiffre

6N8

GE p. 16 - 19

ME p. 296 - 299

Littérature jeunesse (à venir) :



spécifi ques




Domaine : Le nombre

Il est important que les élèves utilisent du matériel de manipulation, comme le matériel de base dix ou les cartes de nombres décimaux, car ces outils peuvent les aider à visualiser plus facilement le concept de la multiplication.

En outre, le travail fait auparavant sur la multiplication des nombres décimaux

dans le contexte de l’argent peut permettre aux élèves de réfl échir à ce que ces

nombres signifi ent d’une manière plus signifi cative. Même si les élèves de 6e année ont déjà modélisé des nombres décimaux en utilisant différents blocs de base dix pour représenter un entier, il peut s’avérer nécessaire de revoir ce concept étant donné que certains élèves n’ont pas nécessairement encore saisi qu’un entier peut se représenter de différentes manières.

À l’aide de cartes de nombres décimaux, demander aux élèves de noircir une grille des centaines vierge (cartes de nombres décimaux) pour représenter 0,27. Leur demander comment ils pourraient maintenant utiliser cette grille pour représenter ou illustrer 5 × 0,27. Les élèves doivent arriver à saisir qu’il est possible de représenter le produit de ces nombres en noircissant 5 groupes de 0,27 sur la grille. Les élèves peuvent ensuite être invités à expliquer d’autres méthodes pour obtenir ce produit.

Les grilles ci-dessous indiquent qu’on a noirci 27 cases (les « x » et les « o ») à plusieurs reprises pour obtenir 135 cases noircies en tout ou 1 entier et 35 centièmes.

Le modèle d’aire constitue une autre stratégie à laquelle pourraient recourir les élèves pour faciliter la résolution des problèmes de multiplication des nombres décimaux. Il se peut que ce modèle ait déjà été exposé aux élèves en 5e année lors de la présentation de la multiplication des nombres entiers; on peut maintenant y recourir pour multiplier des nombres entiers et des nombres décimaux.

À l’aide d’un rectangle et de matériel de base dix, démontrer aux élèves comment multiplier 4,6 × 2,2, comme dans l’illustration ci-dessous. Les lignes pointillées divisent le rectangle en sections.


(suite)













Portfolio

• Dire aux élèves que les cheveux d’une personne poussent de 0,83 cm par mois en moyenne. Leur demander de prédire de combien de cm la chevelure d’un enfant poussera après 9 mois si celui-ci ne se fait pas couper les cheveux. Leur demander d’expliquer leur estimation. (6N8.1)


Leçon 3 : Multiplier un nombre décimal par un nombre à 1 chiffre

6N8

GE p. 20 - 24

ME p. 300 - 303

Lecture supplémentaire (inclus):

Van de Walle, John and Lovin, LouAnn H. (2006) L’enseignement

des mathématiques - L’élève au

centre de son apprentissage Niveaux

4-6. p. 121-122.



spécifi ques




Domaine : Le nombre


(suite)




dans un produit à l’aide de la

stratégie des premiers chiffres, ex.:

pour 15,205 m × 4, penser à

15 m × 4, et en conclure que le

produit est supérieur à 60 m.

(suite)

Dans leur apprentissage de la multiplication des nombres décimaux

par des nombres entiers, il faut inciter les élèves à continuer à utiliser l’estimation pour vérifi er la vraisemblance de leurs réponses aux problèmes qu’ils résolvent. L’une des stratégies d’estimation proposée est l’estimation préliminaire, qui consiste à conserver le premier chiffre du nombre et à arrondir tous les autres à zéro. Il faut cependant prévenir les élèves que bien qu’il s’agisse d’une bonne stratégie pour l’estimation, en particulier pour trouver la bonne position de la virgule décimale, celle-ci peut s’avérer trompeuse. Pour illustrer ce point, demander aux élèves de se pencher sur l’exemple suivant :

Juliette construit une boîte en bois qui mesure 2,98 m de long, 1,87 m

de large et 1,6 m de haut. Pour déterminer la quantité de planches dont

elle a besoin, Juliette utilise l’estimation préliminaire pour avoir une idée

de la quantité de matériel à acheter. Que peut-il se produire si Juliette

utilise cette stratégie pour calculer la quantité exacte de bois nécessaire ?

6N8.4 Corriger, sans papier ni

crayon, des erreurs de placement

de virgule décimale dans un

produit ou un quotient donné.

(suite)

Les élèves doivent s’exercer à trouver la position de la virgule décimale

dans un produit donné. Enseigner aux élèves à placer la virgule dans les

produits autrement qu’en comptant simplement le nombre de décimales

dans les facteurs parce que cela ne favorise pas la compréhension de la

valeur de position ou le sens du nombre. Les élèves doivent comprendre

le concept important suivant : la valeur de position des chiffres du

produit change en fonction de l’emplacement de la virgule. Dans un

exemple comme 1,255 × 2 = 2,51, les élèves doivent saisir que compter

le nombre de positions décimales ne les aidera pas à vérifi er si la réponse

est correcte.

Aider les élèves à voir les nombres décimaux en termes de valeur. Par

exemple, les élèves doivent saisir que 1,62 est un peu plus grand que

1 et demi. Dans la résolution d’un problème qui fait intervenir la

multiplication, p. ex. 1,62 par 5, les élèves devraient saisir que le produit

sera un peu supérieur à 5, mais inférieur à 10 étant donné que 1,62 est

plus petit que 2. Ils devraient également voir que le produit exact sera un

peu plus grand que 7,5, étant donné que 5 groupes de 1,5 font 7,5.

Lorsqu’on prédit le produit d’un nombre décimal par un nombre

entier, le produit doit être vraisemblable en fonction d’une connaissance

antérieure des nombres décimaux et de la valeur de position. Lorsque

les élèves s’appliquent à résoudre des problèmes faisant intervenir

la multiplication, ils doivent être capables de trouver une réponse

vraisemblable et de justifi er leur démarche. Pour certains élèves, il ne

s’agit pas d’un processus automatique et la pratique avec du matériel de

manipulation leur sera bénéfi que.







nombre décimal par un nombre à

1 chiffre

6N8

GE p. 20 - 24

ME p. 300 - 303

Performance

• Dire aux élèves que Jacques voulait verser à ses 3 amis 10,15 $ chacun pour l’aider à peindre son hangar. Demander aux élèves d’estimer le montant total d’argent que Jacques devra payer à ses amis. (6N8.3, 6N8.2)

• Demander aux élèves d’expliquer pourquoi la virgule décimale est à la mauvaise place dans chacun des problèmes suivants :

i) Fred a calculé que 315,2 × 2 = 63,04

Comment sais-tu que sa réponse est incorrecte ? Quelle est la bonne réponse ? Montre tes calculs.

ii) Le facteur a donné à 9 élèves des timbres évalués à 10,45 $ chacun. « Le coût total de ces timbres est 940,50 $ » a déclaré une élève. A-t-elle raison de dire cela ? Explique.

(6N8.3, 6N8.4, 6N8.1)

• Informer les élèves que M. Lebrun a amené sa famille de 8 à un restaurant minute local. Chaque repas coûte 9,59 $. Demander aux élèves d’estimer la note de M. Lebrun avant taxes et de calculer le coût total. Montre tes calculs et les stratégies employées. (6N8.1, 6N8.2)

• Alain a acheté trois sacs de graines d’oiseaux. Chaque sac pèse 0,398 kg. Quelle est la masse totale des trois sacs de graines ? Démontre ta compréhension de deux manières différentes. (6N8.2)

Journal

• Demander aux élèves de prédire la réponse à 21,57 $ × 5; serait-elle supérieure ou inférieure à cent? Leur demander comment ils savent qu’ils ont la bonne réponse. (6N8.1)

Papier et crayon

• Demander aux élèves d’utiliser les blocs de base dix ou les cartes de nombres décimaux pour résoudre les questions suivantes :

i) 4,8 × 2 iv) 7,37 × 7

ii) 7,3 × 8 iv) 7,37 × 7

iii) 3,1 × 7 (6N8.3, 6N8.2)

Demander aux élèves de trouver les nombres dont la multiplication donne les produits indiqués :

(6N8.3, 6N8.1, 6N8.2)



spécifi ques




Domaine : Le nombre


(suite)


L’accent est mis désormais sur la division des nombres décimaux par des nombres

entiers strictement positifs à 1 chiffre.

Beaucoup des stratégies personnelles que les élèves utilisent pour effectuer la

division de nombres entiers peuvent également s’appliquer à la division des

nombres décimaux. L’utilisation de matériel à base dix de concert avec ces

stratégies aidera les élèves à devenir plus effi caces et plus précis lorsqu’ils divisent

des nombres décimaux.

Les élèves de 6e année s’initient au concept de la division faisant intervenir des

nombres décimaux. Une révision de la division des nombres entiers (nombres

à 2 ou à 3 chiffres divisés par un nombre à 1 chiffre) s’impose donc avant de

s’attaquer aux nombres décimaux.

Comme avec la multiplication des nombres décimaux, l’élève doit d’abord estimer

la réponse avant de la calculer lorsqu’il commence à travailler sur la division des

nombres décimaux. À cette étape, les élèves ne doivent qu’apprendre à estimer les quotients; ce n’est que plus tard dans le présent module qu’ils devront calculer les quotients exacts. Ces estimations constituent le fondement sur lequel les élèves peuvent vérifi er la vraisemblance de leurs réponses ultérieurement. Il importe que les élèves utilisent la terminologie appropriée lorsqu’ils effectuent des divisions. Il faut les encourager à utiliser des mots clés tels que quotient, diviseur et dividende. Indicateurs de rendement :

Les élèves ont utilisé l’estimation préliminaire dans les opérations de multiplication de nombres décimaux par des nombres entiers à 1 chiffre. Ils utiliseront maintenant cette stratégie d’estimation pour effectuer des divisions de nombres décimaux et de nombres naturels en plaçant correctement la virgule dans

le quotient. Montrer aux élèves qu’en arrondissant le nombre décimal à l’entier le

plus proche (qui est un multiple du diviseur), ils peuvent plus facilement trouver

une solution vraisemblable au problème.


dans un quotient à l’aide de la

stratégie des premiers chiffres, ex. :

pour 26,83 $ ÷ 4, penser à

24 $ ÷ 4, et en conclure que

le quotient est supérieur à 6 $.

Comme ils l’avaient fait pour prédire les produits, les élèves peuvent maintenant

utiliser les mêmes stratégies d’estimation pour prédire les quotients de nombres décimaux. Les élèves peuvent également utiliser la stratégie axée sur la

multiplication lorsqu’ils prédisent les quotients de nombres décimaux.

Il faut en outre inciter les élèves à utiliser le calcul mental pour terminer les

opérations d’estimation et leur donner des occasions de le faire. Faire pratiquer

cette technique aux élèves sur une base régulière.




(suite)







Certains élèves peuvent avoir plus de diffi cultés à résoudre des problèmes de

division de nombres décimaux que des problèmes de multiplication de tels

nombres. La présentation de problèmes axée sur des situations réelles, dans

lesquels les nombres et les opérations s’inscrivent dans une sorte de cadre pour

les élèves peut faciliter leur intégration du concept. Il est impératif de demander

aux élèves d’utiliser du matériel de manipulation pour modéliser les problèmes

qui leur sont soumis afi n qu’ils puissent décortiquer physiquement les nombres

décimaux. Cette technique permettra de renforcer la notion de division.

(à suivre)





Performance

Présenter les situations suivantes aux élèves :

• Paula construit une cabane à oiseaux et elle a besoin de 24,6 m de bois pour faire le projet. Chaque planche de bois mesure 3 m de long. Demander aux élèves de combien de planches elle a besoin pour construire sa cabane. (6N8.1, 6N8.5)

• Philippe va au magasin. Il a 15 $ en poche et il veut acheter le plus de contenants de fraises possible. Un contenant de fraises coûte

3,69 $. Demander aux élèves comment Philippe peut déterminer le nombre de contenants qu’il peut acheter avec 15 $ à l’aide de l’estimation. (6N8.5, 6N8.1, 6N8.2)

• Demander aux élèves d’imaginer une situation où il serait plus pratique d’estimer le quotient d’une opération comportant un dividende décimal plutôt que de trouver la réponse précise. Explique. (6N8.1, 6N8.2)

• Demander aux élèves d’imaginer une situation dans laquelle l’estimation préliminaire ne serait pas la meilleure stratégie d’estimation à utiliser pour résoudre un problème de division de nombres décimaux. (6N8.1, 6N8.2)

• Faire participer les élèves à des activités de calcul mental favorisant l’utilisation de l’estimation avec la stratégie des premiers chiffres. Leur demander d’estimer les quotients suivants :

i) 36,317 ÷ 2

ii) 45,036 ÷ 3

iii) 16,02 ÷ 4

iv) 80,987÷ 9 (6N8.5)

Portfolio

• Demander aux élèves de créer leur propre devoir de maths ainsi que la clé de correction. Le devoir exige d’utiliser différentes stratégies d’estimation pour résoudre les problèmes de division. Inviter les élèves à présenter leurs travaux à la classe.

(6N8.5, 6N8.1, 6N8.2)


Leçon 4 : Estimer des quotiens

6N8

GE p. 29 - 32

ME p. 306 - 308



spécifi ques




Domaine : Le nombre


(suite)


On peut aborder la division d’une manière totalement parallèle à la multiplication. En fait, la meilleure approche à l’estimation d’un quotient découle généralement d’une réfl exion sur la multiplication plutôt que sur la division.

Les élèves devront faire de nombreux exercices de division de nombres décimaux. Utiliser des situations problèmes et des situations de la vie réelle pour créer des problèmes à résoudre.

Il est très important de donner aux élèves de multiples occasions de pratiquer la division de nombres décimaux à l’aide de matériel concret et de représentations visuelles. On ne peut demander aux élèves de résoudre des problèmes de division faisant intervenir des nombres décimaux en utilisant la notation symbolique avant qu’ils aient manipulé ce concept à l’aide de matériel concret. Pour présenter la division des nombres décimaux par un nombre entier positif, on peut montrer aux élèves comment décomposer un nombre décimal dans le nombre voulu de groupes. Demander aux élèves de modéliser ou de représenter le nombre décimal à diviser en utilisant des blocs de base dix. Leur demander d’indiquer de combien de groupes égaux ils ont besoin pour décomposer le nombre décimal. Après avoir introduit l’idée de partage égal, demander aux élèves de partager chacun des blocs de base dix dans le nombre désiré de groupes en commençant par tous les planchettes, et en poursuivant avec tous les réglettes et ainsi de suite. Il se peut que certains élèves ne saisissent pas qu’ils ne peuvent pas partager, par exemple 4 réglettes en 5 groupes. Ils pourraient continuer leur partage en plaçant les 4 réglettes dans les quatre groupes disponibles, le cinquième groupe n’ayant pas de réglette. Il faudra alors leur rappeler qu’il est possible de répartir les réglettes en unités de manière à permettre de former des parts égales. Il importe que les élèves continuent à utiliser le matériel de manipulation pour modéliser la division d’un nombre décimal par un nombre entier pour résoudre des problèmes. Présenter le type d’exemples suivant :

Diviser 3,42 ÷ 3 – illustrer votre réponse sous forme imagée.

Dans la stratégie de réfl exion axée sur la multiplication, les élèves peuvent observer le nombre de groupes égaux à former et réfl échir au nombre décimal qu’il pourrait y avoir dans chaque groupe pour totaliser le dividende.

P. ex., 12,33 ÷ 3(à suivre)












Papier et crayon

• Demander aux élèves d’écrire un problème-histoire en utilisant l’énoncé de division suivant :

96,6 ÷ 7

• Demander aux élèves de trouver le quotient de 2,4 ÷ 4. Leur demander de montrer comment ils utiliseraient les blocs de base dix comme outil d’aide à la résolution.

(6N8.2)


Leçon 5 : La division des nombres

décimaux

6N8

GE p. 33 - 36

ME p. 309



spécifi ques




Domaine : Le nombre


(suite)


Les élèves détermineraient les quantités à répartir également dans les 3 groupes pour totaliser 12,33. Ils pourraient saisir qu’il doit y avoir au moins 4 entiers dans chaque groupe étant donné que 4 x 3 = 12 et qu’il reste 0,33. Ils pourraient alors répartir le reste également entre les 3 groupes, ce qui donne 0,1 dans chaque groupe avec un reste de 0,03. Partant de là, ils pouvaient mettre 0,01 dans chaque groupe. Au total, il y aurait 4,11 dans chaque groupe sans reste. Les élèves qui commencent à utiliser cette stratégie seraient fortement incités à utiliser le matériel de base dix pour modéliser leur réfl exion.

Il faut attirer l’attention des élèves sur le fait qu’une équation de division qui comporte un reste ne signifi e pas qu’il y a un nombre entier; cela signifi e qu’il y a une partie de nombre entier (un nombre décimal).

En plus d’avoir eu recours à des estimations et de créer des modèles pour diviser des nombres décimaux par des nombres entiers à un chiffre, les élèves doivent formaliser leur compréhension et établir le lien entre les modèles concrets et imagés et la représentation symbolique (au moyen d’algorithmes).








Les élèves ont travaillé à la résolution de problèmes à l’aide de matériel concret et de représentations visuelles. Ce travail devrait leur avoir permis d’acquérir une bonne compréhension de la division. Maintenant, les élèves vont formaliser leur compréhension et relier les modèles concrets et visuels aux représentations symboliques de la division. On ne peut s’attendre à ce que les élèves intègrent formellement ce concept sans avoir d’abord divisé des nombres décimaux à l’aide de matériel de manipulation.

Lorsqu’ils résolvent des problèmes faisant intervenir la division de nombres décimaux, les élèves doivent être encouragés à choisir leurs propres stratégies et être capables de communiquer comment

fonctionnent ces stratégies. Les élèves auront besoin de temps pour

développer leur esprit critique à mesure qu’ils découvrent des stratégies

plus effi caces et commencent à les utiliser.

Les élèves auraient avantage à se concentrer sur la création de leurs

propres stratégies de division des nombres décimaux plutôt que de suivre

une procédure établie. Les élèves qui peuvent suivre les étapes et diviser

un nombre décimal par un nombre entier en utilisant l’algorithme

traditionnel ne démontrent pas nécessairement qu’ils comprennent

la division. Ils montrent qu’ils comprennent comment appliquer

l’algorithme ou qu’ils sont capables de se le rappeler.

(à suivre)






Leçon 5 (suite) : La division des

nombres décimaux

6N8

GE p. 33 - 36

ME p. 309


Leçon 6 : Diviser un nombre

décimal par un nombre à 1 chiffre

6N8

GE p. 37 - 41

ME p. 310 - 313

Jeu de maths : Le plus bas

quotient possible

6N8

GE p. 42 – 43

ME p. 314

Curiosités mathématiques : Les

carrés magiques

6N8

GE p. 44 - 45

ME p. 315

Papier et crayon

• Proposer aux élèves les problèmes suivants et leur demander de les résoudre :

• Susie avait 25,55 mètres de fi celle. Elle devait accrocher 5 ballons au plafond de la salle de gym. Demander aux élèves combien de fi celle elle a utilisée pour attacher chaque ballon si elle les a tous fi xés à la même hauteur. (6N8.1, 6N8.2)

• Un groupe de 7 élèves a commandé de la pizza, au coût total de 51,45 $. Demander aux élèves de calculer la part que chacun doit payer sur la somme totale si le coût est partagé également. (6N8.1, 6N8.2)

• Dire aux élèves que cinq amis ont trouvé 4 pièces d’un dollar au sol. Ils essaient maintenant de trouver comment partager équitablement cette somme. Demander aux élèves d’aider ces amis en leur montrant comment ils pourraient procéder. (6N8.2)



spécifi ques




Domaine : Le nombre


(suite)


Avant que les élèves commencent à multiplier des nombres décimaux, il est utile d’examiner les régularités résultant de la multiplication des nombres entiers par 0,1 et 0,01 et des nombres décimaux par 10, 100 et 1 000.

La multiplication ou la division de nombres par des puissances de 10 ne modifi e pas les chiffres d’un nombre, seulement la POSITION de chaque chiffre dans le nombre. P. ex., en partant de 3,4, la division par 10 ou la multiplication par 0,1 diminue la valeur de chaque élément du nombre par un facteur de 10, si bien que les chiffres du produit changent de valeur et gagnent une place vers la droite, p. ex., 3 unités deviennent maintenant 3/10, 4 dixièmes deviennent maintenant 4 centièmes. Ce sont en fait les chiffres qui se déplacent et non la virgule. (Small, 2008. Making Math Meaningful to Canadian Students K-8)


dans un quotient à l’aide de la

stratégie des premiers chiffres, ex. :

pour 26,83 $ ÷ 4, penser à

24 $ ÷ 4, et en conclure que

le quotient est supérieur à 6 $.

(suite)

Indicateurs de rendement :Lorsqu’ils résolvent des problèmes, il faut inciter les élèves à recourir à diverses stratégies qui leur permettent de décortiquer les problèmes pour trouver une solution. Comme les élèves effectuent des activités de résolution de problèmes chaque jour, leur demander de surveiller les stratégies qu’ils utilisent pour résoudre un problème. Modéliser l’utilisation de ces stratégies avec les élèves et rechercher toujours des occasions (périodes propices à l’apprentissage) durant lesquelles les élèves résolvent des problèmes similaires en utilisant des stratégies différentes. C’est de cette manière que les élèves verront qu’il existe vraiment plus d’une façon de résoudre un problème.

Le travail à rebours constitue une stratégie dont les élèves de 6e année

doivent apprendre à connaître. Dans cette technique, les élèves

effectuent l’opération inverse d’une action donnée dans le problème. Il

peut s’agir de prendre la quantité totale donnée et de trouver comment

ce total a été atteint ou de commencer par le résultat fi nal et d’inverser

les étapes à effectuer pour obtenir ce résultat.







Donner aux élèves de nombreux exemples de problèmes qui peuvent se

résoudre en utilisant la stratégie de travail à rebours. Modéliser devant

la classe comment utiliser cette stratégie. Expliquer que, comme dans

toute stratégie, l’usage est déterminé par le contexte du problème. Pour

illustrer un problème qui peut être résolu au moyen de la stratégie du

« travail à rebours », proposer aux élèves la situation suivante :

Dylan a trouvé une planche de bois dans son hangar. Il a coupé

12,34 cm à chaque extrémité, à l’endroit où la planche était

abîmée. Puis, il a coupé le morceau restant en 3 parties égales.

Chaque morceau mesure 21,57 cm de long. Combien la planche

de bois mesurait-elle lorsque Dylan l’a trouvée ?





Journal

• Catherine dit que 3,45 × 4 doit donner 1,380 parce que, comme

il y a seulement un chiffre avant la virgule décimale dans 3,45, le

produit doit comporter un seul chiffre avant la virgule. Réponds à son affi rmation. (6N8.3, 6N8.5, 6N8.4, 6N8.2)


Leçon 6 (suite) : Diviser un nombre décimal par un nombre à 1 chiffre

6N8

GE p. 37 - 41

ME p. 310 - 313Performance

• Demander aux élèves de répondre aux questions suivantes :

(i) Éric coupe un bout de 0,5 m sur une longueur de corde. Puis il coupe ce qui reste en quatre longueurs égales. Si chacune des quatre longueurs fait 1,25 m, combien mesurait la corde avant qu’Éric ne la coupe ? (6N8.2)

(ii) Yvan a téléchargé quatre chansons en format MP3 à partir d’Internet. Deux des fi chiers faisaient 2,7 Mo, trois mesuraient 4,6 Mo et les autres étaient de 2,7 Mo et de 8,1 Mo (Mo – mégaoctet). Après le téléchargement, le disque sur lequel il entreposait les fi chiers contenait 35,5 Mo de données. Quelle quantité de données y avait-il sur le disque avant le téléchargement ? (6N8.2)


Leçon 7 : Résoudre des problèmes en travaillant à rebours

6N8

GE p. 46 - 48

ME p. 316 - 317

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)250


La multiplication et la division de nombres décimaux

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Transcript of La multiplication et la division de nombres décimaux