L-System et modélisation de plantes…
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L-System et modélisation de plantes…
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Plan
Introduction Grammaire formelle Structure L-System Exemple de L-System Application aux plantes Logiciel de modélisation de structure L-
System : L-System4
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Introduction Les L-System ont été créés par Aristid Lindenmayer,
But : modéliser les processus de croissance des plantes ou des bactéries.
Traduction algorithmique de leur schéma de prolifération.
Son modèle s’appuit sur les grammaires formelles appelées L-System.
Cellules => symboles. Division cellulaire => remplacement du symbole d’une cellule par
ceux des cellules obtenues après division.
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Rappel : Grammaire Formelle (1)
Définition d’une syntaxe : éléments de base comme les lettres d’un alphabet Rêgles de construction des mots.
La syntaxe produit donc un ensembles de mots.
Langage formel = ensemble des mots de longueur finie construits sur un alphabet fini.
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Rappel : Grammaire Formelle (2) Utilité en informatique : vérifier qu’un élément est construit sur
une syntaxe précise.
Utilisation : Compilation lors de l’analyse syntaxique Analyse et traitement des langues naturelles.
Exemples de grammaires formelles : Expressions arithmétiques
exp -> exp + exp | exp * exp | (exp) | num num -> 0num|1num|2num|3num|4num|5num|6num|7num|8num|9num|0|
1|2|3|4|5|6|7|8|9 Logique propositionnelle …. Expressions régulières….
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L-System : grammaire formelle Un L-System grammaire formelle
1) un alphabet V
(un ensemble de symboles variables propres au L-System)
2) un ensemble de symboles constants S
(dont certains commun à tous les L-System pour leur interprétation) -> voir le symbole F
3) un axiome de départ w
(un ensemble de symboles appartenant à V) 4) un ensemble de règles de reproduction des symboles de V.
Notation : G={V,S,w,P}
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Exemple de L-System (1) Le L-System original de Lindenmayer pour modéliser les algues: Variables : A B Constantes : aucunes Axiome de départ : A Règles : (A -> AB),(B -> A)
Les itérations produisent : n=0 : A -> AB n=1 : AB -> AB A n=2 : ABA -> AB A AB n=3 : ABAAB -> AB A AB AB A Etc…
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Exemple de L-System (2) Les Nombres de fibonacci sont un L-System (Les L-System ne sont pas que des modélisations du monde vivant) Variables : A B Constantes : aucunes Axiome de départ : A Règles : (A-> B),(B->AB) Les itérations produisent :
n=0 : A n=1 : B n=2 : AB n=3 : BAB n=4 : ABBAB n=5 : BABABBAB n=6 : ABBABBABABBAB
Si l’on compte la longueur de chaque string, on obtient la séquence des nombres de fibonacci : 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
(Fameuse fonction non calculable au sens de turing)
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Interprétation graphique
Intérêt des L-System : interprétation graphique. Le mot obtenu : aucun sens en soit. Interprétation de gauche à droite. Chaque symbole (constant et variable) 1 élément graphique.
Des symboles spécifiques introduits. Ces symboles définissent le comportement d’un voyageur
imaginaire qui parcourrait la chaîne obtenue. On parle de « Turtle interpretation »
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Turtle interpretation
Voici les symboles de parcours les plus connus :
F : Se déplacer d’un pas unitaire + : Tourner à gauche d’angle alpha - : Tourner à droite d’un angle alpha & : Pivoter vers le bas d’un angle alpha ^ : Pivoter vers le haut d’un angle alpha < : Roulez vers la gauche d’un angle alpha > : Roulez vers la droite d’un angle alpha | : Tourner sur soi-même de 180° [ : Sauvegarder la position courante ] : Restaurer la dernière position sauvée On peut constater que l’open-GL va se prêter idéalement à cette
modélisation…
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Exemple de L-System (3) Koch Snowflake (flocon de neige) Variables : F Constantes : aucunes Axiome de départ : F Règles : (F -> F+F-F-F+F) n=0:
F n=1:
F+F-F-F+F n=2:
F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F
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Exemple de L-System (4)
n=3:
F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F+ F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F- F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F- F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F+ F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F
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Exemple de L-System (5) Penrose tilings (les tuiles de Penrose) Les tuiles de Penrose est un modèle de tuiles pouvant recouvrir
complètement une surface infinie
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Application aux éléments du monde végétal (1) Un exemple simple de L-System dont l’axiome est A On peut assimiler A à un bourgeon et S à un segment d’entre-noeud Variables : A S Axiome de départ : A Règles :
A -> S[A]S[A]A S –> SS
n=0: A
n=1: S[A]S[A]A
n=2: SS [S[A]S[A]A] SS [S[A]S[A]A] S[A]S[A]A
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Application aux éléments du monde végétal (2) Ce qui donne :
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Application aux éléments du monde végétal (3) Exemple de croissance de
nadinus x ouellettus obtenue par L-System:
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L-System - recherche agronomique – open-gl Le cirad en collaboration avec des universités du canada développe
des programmes basés sur les L-System. http://amap.cirad.fr/ Botanique et bioinformatique de l’architecture des plantes
Sur le web : de nombreux logiciels permettent la modélisation et la génération de formes vivantes du monde végétal: L-System 4 http://www.geocities.com/tperz/L4Home.htm
Ces logiciels sont développés en OPEN-GL pour la plupart. Couplés avec une interface graphique (java, QT,…).