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Jean Michel PEDECHES

Prépa Agreg Génie Civil Session 2005 page 2

SommaireI. COMPÉTENCES EXIGÉES POUR L’ÉPREUVE DE CALCUL DES STRUCTURES............. 3II. DOMAINES DE LA RDM ET DU CALCUL DES STRUCTURES ABORDÉS DANS LES

SESSIONS DE L’AGRÉGATION......................................................................................... 11III. CONTENU DES SESSIONS PRÉCÉDENTES.................................................................... 12IV. NOTATIONS, SYMBOLES GENERAUX UTILISES EN MECANIQUE................................ 15V. REPRESENTATION DES ACTIONS................................................................................... 21VI. ÉTUDE DES STRUCTURES GÉOMÉTRIQUEMENT SYMÉTRIQUES............................... 29VII. ÉTUDE DES PARABOLES POUR LE TRACÉ DES DIAGRAMMES................................... 47

Annexes :Les sujets de l’agrégation de Génie Civil : sessions 1976 à 2004Les sujets de CAPET : sessions 2000, 2001, 2002 et 2004


Albouy Pédèches

I. COMPETENCES EXIGEES POUR L’EPREUVE DE CALCUL DESSTRUCTURES

1. CONSIGNES GENERALES

♦ Lire entièrement l’énoncé♦ Choix du repère global♦ Choix sens de parcours sur la structure, indiquer les repères locaux♦ Si la structure admet un plan de symétrie, utiliser les propriétés des sections droites appartenant au plan

de symétrie

2. CAS DES STRUCTURES COMPORTANT DES NŒUDS RIGIDES

Savoir déterminer le degré d’hyperstaticité LSavoir déterminer le nombre de degré de liberté DDL : cas général et dans l’hypothèse souvent adoptéede l’incompressibilité des barres (déformation dues à l’effort normal négligée)

Choix de la méthode

Méthode des forces (ou des coupures) Méthode des déplacements

Savoir déterminer les contraintes généralisées (sollicitations) et déplacements engendrés par :

Effet d’un déplacement imposé : tassement d’un appui

Chargement thermique : déformation axialeGradient thermique sur la hauteur de la poutre

Introduction dans la structure d’assemblages élastiques (appuis ou nœuds internes élastiques)

Précontrainte : Prétension d’une barre (câble, hauban, suspente, tirant,..).Tension d’un câble dans un élément en béton : méthodes dites interne et externe

Outils

Savoir appliquer le Principe Fondamental de la Statique PFSSavoir appliquer le Principe des Puissances Virtuelles PPV

Tracer rapidement les diagrammes représentatifs dessollicitations : zy M,V,N , pour cela, il faut savoir déterminer le

moment de flexion zM dans des sections droitesconvenablement choisies et appliquer les relationsfondamentales entre les éléments de réduction du torseur decohésion. x

'y

'yy

'z pNpVVM −=−=−=

L’utilisation fréquente de champs de vitesses virtuelles rigidifiant par morceaux suppose la connaissance deséquations de la cinématique du solide : essentiellement la relation entre les vitesses de 2 points d’un solideet l’équiprojectivité.

Savoir calculer le déplacement d’un point de la structure par application :♦ du PPV♦ du Théorème de la force unitaire (Muller Breslau ou Pasternak pour les structures hyperstatiques)


Albouy Pédèches

♦ des Relations de Navier Bresse♦ de l’intégration de ( ) ( )xMxUEI z

"yGz = , attention aux conditions aux limites (si la structure comporte

une liaison interne de type articulation, le déplacement ( )xU y est continu mais pas la rotation ( )xzθ )

3. STRUCTURES PARTICULIERES

Poutres continues : méthode de résolution : la formule des 3 moments est souvent la plus adaptée.Les inconnues hyperstatiques sont les moments sur les appuis.Méthode des foyers

Savoir représenter les lignes d’influence d’un déplacement, d’une sollicitation, d’une action de contact

Savoir déterminer les contraintes généralisées (sollicitations) et les déplacements engendrés par :

Effet d’un déplacement imposé : tassement d’un appui

Chargement thermique : Gradient thermique sur la hauteur de la poutre

Introduction dans la structure d’assemblages élastiques : appuis ou nœuds internes élastiques

Précontrainte : Tension d’un câble dans un élément en béton : méthodes dites interne et externe

a) Les treillis(structures composées de barres articulées)

Déterminer les efforts normaux dans les barres ji AA : ijNTreillis isostatiquesv Méthode de Crémona (traduction graphique ou géométrique de l’équilibre des nœuds)v Méthode de Ritter (coupure fictive, passant par la barre pour laquelle on cherche à déterminer l’effort

normal, séparant le treillis en 2 tronçons)v PPV

Treillis hyperstatiques (intérieurement ou extérieurement)Méthode énergétique : utilisation du théorème de Ménabréa, méthode des coupures, application du PPVMéthode des déplacements (il faut connaître la formalisation, cependant elle n’est pas très adaptée au calculmanuel) :Utilisation de la relation entre l’effort normal et les coordonnées des déplacements nodaux (compatibilité

géométrique) ( ) ( ) ( ) ijijijijijijijij

ij wwvvuuLEAN

γβα −+−+−= ,relation intéressante si tous les

déplacements sont demandés

Savoir déterminer les efforts normaux engendrés par :v une déformation axiale d’origine thermique appliquée sur une ou plusieurs barres (attention ! sur une

structure isostatique, les nœuds se déplacent mais le chargement thermique n’engendre pas desollicitations dans les barres) ;

v une précontrainte par tension d’une barre (appartenant à une structure hyperstatique) ;v un déplacement d’appui ;v un appui élastique.

Savoir déterminer le déplacement d’un nœud jA : méthode de la force unitaire ou PPV ou utilisation dela relation entre l’effort normal et les coordonnées des déplacements nodaux.


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4. ANALYSE LIMITEExemple type : session 1983

2 approches : méthode cinématiqueméthode statique

♦ Quelques définitions

Champ de contraintes *σ S. A.. (Statiquement admissible sur ( )S ) si :

v *σ est continu sur ( )S ainsi que sur la frontière ( )S∂ ;

v *σ est continûment dérivable par morceaux sur ( )S ;

v *σ vérifie :

les équations d’équilibre : 0rr

=+

fdiv *σ dans ( )S

les conditions aux limites Fn*rr

=

σ sur ( )FS∂

Pour les poutres, les équations d’équilibre s’écrivent :( ) ( ) 0

rrr

=+ spds

sRd * ( ) ( ) ( ) 0rrrr

r

=+∧+ smsRids

sMd **

Le champ de contrainte réel σ est Statiquement Admissible

Le Champ de contraintes est Plastiquement Admissible sur ( )S s’il vérifie le critère de plasticité :

0≤

*f σ ,concrètement, pour la flexion simple cela se traduit par 0≤− plz MM

Le champ de contrainte *σ est licite si : *σ est Statiquement Admissible et Plastiquement Admissible

Le Champ de Déplacement *Ur

est C. A. (Cinématiquement Admissible) si :

v *Ur

est continu sur ( )S ainsi que sur la frontière ( )S∂ ;

v *Ur

est continûment dérivable par morceaux sur ( )S ;

v *Ur

vérifie les conditions aux limites *Ur

= Ur

sur ( )US∂ .

Le champ de déplacement réel Ur

est Cinématiquement Admissible

Le Champ de déplacement est Plastiquement Admissible sur ( )S s’il vérifie l’incompressibilité plastique

( ) 0=*Udivr

Le champ de déplacement *Ur

est licite si : *Ur

est Cinématiquement Admissible et PlastiquementAdmissible

♦ Position du problèmeSoit une structure soumise à un système d’actions FλPour uλλ = , la structure se rompt, on dit qu’elle est ruinée, il s’est formé un nombre de rotulesplastiques suffisant pour transformer tout ou partie de la structure en mécanisme à 1 degré de liberté, ilapparaît un champ de vitesse d’écoulement plastique plU& associé à un champ de déformation plastique (ici

courbure plχ& ).Un tel état est unique, autrement dit pour un cas de chargement donné, il existe un seul schéma de rupture.

uλ peut être considéré comme un coefficient de sécurité global.


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♦ Énoncé du théorème statique (on dit aussi théorème de la borne inférieure)

Dans une structure soumise à un système d’actions extérieures Fλ , le choix d’un champ de contraintelicite conduit à un coefficient de sécurité sous estimé

uλλ ≤

Corollaire : Parmi tous les champs de moments licites, celui qui conduit au λ le plus grand est le plusproche du champ de moment correspondant à l’état ultime (ruine de l’ouvrage).

Dans la recherche du coefficient de sécurité, l’application du théorème statique conduit à une valeurinférieure (ou égale) à la valeur réelle ultime uλ , on est toujours placé du coté de la sécurité.

♦ Énoncé du théorème cinématique (on dit aussi théorème de la borne supérieure)

Dans une structure soumise à un système d’actions extérieures Fλ , le choix d’un champ de déplacementlicite (par exemple un champ de vitesse rigidifiant par morceaux transformant la structure en mécanisme,)conduit à surestimer le coefficient de sécurité.

uλλ ≥

Corollaire : Parmi tous les champs de déplacements virtuels licites, celui qui conduit au λ le plus petit est leplus proche du mécanisme réel.Pratiquement, il suffit de disposer un nombre de rotules suffisant pour transformer la structure en mécanismeet sans se soucier de ce que, pour cela, le champ de contrainte associé soit statiquement admissible.Généralement il ne l’est pas (à moins que le mécanisme choisi soit le vrai mécanisme de rupture), la valeur

plM étant la valeur absolue du moment de flexion dans ces rotules, cette valeur plM est dépassée dansd’autres sections potentiellement critique.Remarque : Pour que le mécanisme choisi puisse correspondre à un mécanisme de ruine possible, il fautchoisir le champ de déplacement de telle sorte que le travail des actions extérieures soit positif.

♦ Théorème d’unicitéDans une structure soumise à un système d’actions extérieures Fλ , soit *U

run champ de déplacement

licite auquel correspond un champ de moment de flexion *M licite, alors uλλ = , λ est le coefficient de

sécurité exact cherché uλ correspondant à la charge ultime.

uλ

Champs C. A.Champs S. A.

P.A. P.A.

Etat de rupture

Champ S.A. C.A. P.A.unique

Champs S. InadmissiblesChamps C. Inadmissibles

λ


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♦ Savoir déterminer le module de résistance plastique plW , pour une section droite, en flexion simple

eplpl f.WM =

♦ Savoir déterminer le degré d’hyperstaticité L♦ Savoir déterminer le nombre de sections potentiellement critiques : soit n le nombre de S.P.C.♦ Savoir appliquer le PPV pour déterminer les Ln − relations indépendantes entre les moments dans

ces sections potentiellement critiques.L’utilisation de champs de vitesse virtuels rigidifiant par morceaux sur des mécanismes obtenus par créationd’articulations virtuelles dans la structure, généralement mécanismes de nœuds, de poutres, de panneaux.

♦ Savoir appliquer la méthode cinématiqueConnaître la procédure (par exemple celle élaborée par le CTICM) par combinaisons linéaires, pourdéterminer la valeur minimale de la force provoquant la ruine de la structure.

Pour affirmer que l’estimation trouvée correspond à la force de ruine, il faut montrer que le champ dumoment fléchissant est licite : statiquement admissible et plastiquement admissible.

♦ Savoir appliquer la méthode statique

Soit jM le moment dans la S.P.C. jA , soit n le nombre de SPC

λ est inconnu de même que les n valeurs jM , soit 1+n inconnues

Nous avons les Ln − relations indépendantes entre les moments dans ces sections potentiellementcritiques.

11 ≤≤−plj

j

MM

cela correspond à 2 n inéquations

Une représentation graphique est parfois possible.

Cela suppose la connaissance de lacinématique du solide :v relation entre les vitesses de 2

points d’un solide,v équiprojectivité


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5. STABILITE _ INSTABILITE. L’INSTABILITE EST UN PHENOMENE DU SECOND ORDRE

En ce plaçant dans le cadre des structures à barres déformables, à chacune des barres, pour déterminer leseuil d’instabilité lorsque l’effort normal est connu, nous pouvons utiliser les méthodes suivantes :

1. Méthode de Rayleigh Timoshenko2. Méthode des grands déplacements3. Méthode traditionnelle due à Euler

v Méthode traditionnelle due à EulerLorsque la structure est simple, on écrit les équations d’équilibre dans une configuration déformée inconnueà priori, l’intégration de l’équation différentielle permettra de trouver les conditions d’existence desconstantes d’intégration non nulles et donnera le seuil d’instabilité.v Méthode de Rayleigh TimoshenkoOn néglige les déformations d’effort normal et d’effort tranchantSoit une structure soumise par un champ de forces F.λ évoluant proportionnellement.Cas d’un seul motif de déplacementChoisissons la fonction adimensionnelle dite « motif de déplacement » *ϕ telle que ( ) *

j .Avv ϕ=v représente la coordonnée, sur l’axe y du repère local attaché à la barre initiale dans la configuration nondéformée, du déplacement réel, ( )jAv coordonnée sur l’axe y du déplacement réel pour le point Aj. Le

champ est ⊥ à la barre et cinématiquement admissible.On applique le PPV à ( )S dans la configuration déformée en prenant pour champ de vitesse *ϕ

On obtient le coefficient critλ par l’expression suivante : ( )

( )( )∫

∫

∂∂

=

∂

∂

−=

S

*

S

*

Gz

crit

dsx

.N

dsx

EI

2

2

2

2

1 ϕλ

ϕ

λ

Dans la pratique, on choisit *ϕ en imaginant le champ de déplacement, par exemple une fonction du 3ième

degré en x pour les barres non soumises à des charges réparties et à l’effort normal :( ) dcxbxaxx +++= 23ϕ ; ( ) xcosbxsinax ααϕ += pour les barres soumises à l’effort normal, les

différents coefficients sont déterminés en écrivant des conditions aux limites : conditions cinématiques etstatiques.si *ϕ ne se superpose pas au champ réel ϕ , on obtient un coefficient de sécurité λ par excèsCas de plusieurs motifs de déplacement, généralisation de la méthode précédente

( ) *iji

n

i.Avv ϕ∑

=

=1

les ( )ji Av sont les déplacements de certains points Aj

Par application du PPV, [ ] [ ] ( )[ ]kjiji AvKF =

[ ] ( )∑=k

k*iki A.F.F ϕλ

[ ] ( )( )( )

+== ∫ ∫

S S

*j

*i

Gz

*j

*i

ij dsdx

d.

dxd.EIds

dxd

.dx

d.NK 2

2

2

2

1ϕϕϕϕ

λλ

Critère de Lejeune_Dirichlet : la structure est dans un état d’équilibre stable tant que ( )[ ] 0>λijKdetL’instabilité se produit pour la plus petite des valeurs critλ telle que ( )[ ] 0=λijKdet


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v Méthode des grands déplacementsÉtablir le nombre de degrés de liberté.Déterminer les efforts normaux dans les barres avant la bifurcation d’équilibre.On écrit les équations intrinsèques normales pour les barres non soumises à l’effort normal.Pour les barres soumises à un effort normal, il faut considérer l’équation intrinsèque de comportementcompte tenu de l’effort normal qui s’y exerce.La différence réside dans l’expression du facteur de rigidité k ou de transmission λ .

ij

ijij EI

N,N => 20 α

( )

( )

M k k kv v

LM

M k k kv v

LM

ij i jj i

ijij

ji j i ij i

ijji

= + − +−

+

= + − +−

+

θ λ θ λ

θ λ θ λ

. .

. .

1

1

0

0

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )ijijij

ijijijij

ij

ij

LsinLLcosLcosLLsin.L

.L

EIk

ααααααα

−−−

=12

( )[ ]( )[ ] ( )ijijij

ijijij

ij

ij

LsinLLcosLsinLL

.L

EIk

αααααα

λ−−

−=

12

le facteur ou coefficient de rigidité k diminue lorsque l’effort normal augmente N kij ↑ ⇒ ↓

λ est appelé facteur de transmission

r N ij = 0 les déplacements infiniment petits, nous retrouvons la RDM classique

α λ→ ⇒ → →04 1

2k

EIL

ij

ij

Établir autant d’équations d’équilibre que de degrés de liberté, ces équations sont obtenues en écrivantl’équilibre des nœuds sièges d’un degré de liberté en rotation, pour les degrés de liberté de translation, onapplique le PPV à partir de la configuration déformée, cependant les termes de puissance virtuelle dusecond ordre seront négligés devant les termes du premier ordre de sorte à pouvoir linéariser le systèmed’équations.Soit [ ]ijK la matrice de rigidité [ ][ ] [ ]0=UK ij [ ] 0=ijKdét


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II. DOMAINES DE LA RDM ET DU CALCUL DES STRUCTURES ABORDES DANS LES SESSIONS DE L’AGREGATIONsessions

76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04Méthode des forces « ou des coupures » ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Méthode des déplacements ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Plasticité et analyse limite ♦ ♦ ♦ Poutre droite continue sur appuis simples : utilisation de larelation des trois moments, …

♦ ♦ ♦ Structure hyperstatique soumise à un moment de torsion,résolution par la méthode des déplacements

♦ Structure hyperstatique soumise à un moment de torsion,résolution par la méthode des forces

♦ Structure isostatique ♦ ♦ ♦ ♦ Arc isostatique ♦ ♦ Poutre dont la ligne moyenne est une courbe plane,application aux ponts courbes

♦ Analyse d’une structure en « ossatures plissées » ♦ Étude d’un câble courbe ♦ Fonctionnement d’une poutre à âme en tôle plissée ♦ Assemblage de poutres parallèles par une articulation detype charnière

♦ Plaque, rigidité d’un panneau soumis à des contraintes decisaillement sur son contour

♦ Pré-tension de haubans, de câbles,… ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Liaisons élastiques ♦ ♦ ♦ ♦ Amplification dynamique, vibrations ♦ ♦ ♦ ♦ Prise en compte des effets du second ordre ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Précontrainte par tension de câbles dans un élément enbéton

♦ ♦ ♦ Contraintes tangentes dans un profil à parois minces ouvertsous une sollicitation d’effort tranchant

♦ Centre de torsion d’un profil mince ouvert ♦ ♦ Torsion pure , torsion gênée ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Gradient thermique sur la hauteur de la section droite d’unepoutre (courbure libre d’origine thermique)

♦ ♦ ♦ ♦ Effet d’une déformation libre axiale due à une variation detempérature

♦ ♦ ♦ ♦ Analyse de la redistribution d’efforts par fluage ♦


Pédèches

III. CONTENU DES SESSIONS PRECEDENTES

Session 76Portiquebi étagé

Structures symétriquesTracé de diagrammesEquation de la déformée par double intégrationMéthode des forces sur portique en flexionUtilisation du PPV pour déterminer des actions deliaison

Instabilité : bifurcation d’équilibreMéthode de Rayleigh-Timoshenko

Session 77structurehaubanée

Méthode des forces avec chargement thermiqueProblème de-prétension de câbles

Etude de la stabilité d’un pylône

Session 78Passerelle pour

piétons

Méthode des déplacementsMéthode des forcesCalcul de rigidité

Instabilité de membrures d’un tablierMéthode de Rayleigh-Timoshenko

Session 79Ouvrage d’art

Sous structures semblablesMéthode des déplacement

Instabilité : recherche de seuil de bifurcation

Session 80Poutre en BP

Assemblage de poutres par une liaison de typecharnière.Méthode de calcul variationnel, PPV, torsion

Session 81Ossature 3D

Méthode des déplacements spatial, torsionInstabilité : recherche de seuil de bifurcation (grandsdéplacements)

Session 82Cadre

bi articuléPanneau nervuré

Méthode des forcesRigidité de diaphragme soumis à un effort decisaillementRigidité en distorsion par flexion

Stabilité au voilement (effort critique de cisaillement)

Session 83Portique plan

Méthode des déplacementsDéplacements dans structure hyperComportement plastique limite (mécanisme deruine par rotules plastiques). Méthode statique,méthode cinématique

Comportement dynamique et élastique

Session 84Grue (matvertical)

Méthode des forces ou des déplacementsAppuis élastiques

Grands déplacements (calcul itératif)Comportement dynamique sous l’effet du vent

Session 85Poutre console à

âme plissée

Equations d’équilibre, efforts-déformations

Session 86Pont suspendu

Etude d’un câble courbeEtude dynamique

Session 87Poutre tubulaireà parois minces

Méthode d’analyse en ossature plisséeTorsion, distorsion, diaphragme

Session 88Mat vertical

haubané

Effets du second ordreStabilité

Session 89Pont poussé

Equation des 3 momentsPrécontrainte centréeCourbes enveloppes

Session 90Tablier de pont

Equations de comportement Etude d’une travée courbePont courbe à 2 travées

Session 91Pont en arc

Etude d’un tronçon de poutre courbe Tension dans les haubansVariation de température, gradient thermique

Session 92Pont

précontraint

Calcul de coeffs de raideur et de souplesse de pilesde ponts.Etude de la flexion longitudinale d’un pont.Méthodes énergétiques.

Comportement de piles en torsion avec diversessections transversales (fermée, ouverte)

Session 93Pont à tablier

sous-tendu

Méthode des forcesCâbles (efforts, pré-tension)Lignes d’influence

Précontrainte par câbles dans élément en béton


Poutre continue, équation des 3 moments, foyersPhasage,


Pédèches

précontraint Précontrainte excentréeGradient thermique

Session 95Pont à béquilles

Méthode des déplacements ou des forcesTorsion d’un caisson, centre de torsion

Phasage

Session 96Cadres

d’entretoisementde tablier de

ponts

Méthode des forcesAssemblage élastiqueEffets du second ordre

Force critique de flambement d’une poutreAnalyse limite, rotules plastiques


précontraint

Méthode des déplacements Précontrainte par tension de cablesAnalyse de la redistribution d’efforts par fluage

Session 98Mat d’éclairage

Analyse statique au 1er et 2nd ordreEtude dynamiqueHaubans

Session 99Fléau de pont

HaubansLiaison élastique

Session 2000Plastificationd’un portique

Méthode des forces ou des déplacementsPlasticité et analyse limite (méthode pas à pas)

Session 2001Enceinte deconfinement

Arc isostatiqueTirantPhasageEffets thermiques et variation de pression

Session 2002Pont isostatique

Structure isostatique

Session 2003Tranchéecouverte

Appui élastiquePhasage

Session 2004Constructiond’un pont par

poussage

Iso, hyper1, hyper2Méthode des forcespré-tension dans des haubans


Albouy

IV. NOTATIONS, SYMBOLES GENERAUX UTILISES EN MECANIQUE

En vue de la préparation à l’oral de la leçon de mécanique appliquée, et lors de tout exercice demécanique des structures, vous devez utiliser si possible les notations de la norme NF P 06-005.

1. LES ACTIONSF Action en général, et force en particulier

R Résultante d'un ensemble de forces; action de contact ou de liaison, "réaction" d'appui

G Charge permanente: on indique en général l'intensité de la force ponctuelle ( ou norme ) ex: 10 kN

g Charge permanente: on indique en général l'intensité de la force répartie. ex: 20 kN/m

Q Action variable qui généralement représente la charge d'exploitation sur les planchers de bâtiment : on

indique en général l'intensité de la force ponctuelle ex: 10 kN

q Action variable qui généralement représente la charge d'exploitation: on indique en général l'intensité de laforce répartie. ex: 20 kN/m

S Action due à la neige: on indique en général l'intensité de la force ponctuelle ex: 10 kN

s Action due à la neige: on indique en général l'intensité de la force répartie ex: 10 kN/m

W Action due au vent :on indique en général l'intensité de la force ponctuelle ex: 10 kN

w Action due au vent :on indique en général l'intensité d'une force répartie ex: 10 kN/m

T Actions dues aux variations de température.

p Pression.

2. CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES, PHYSIQUES ET MECANIQUES.

A Aire d'une surface Ω = dA A=∫∫Ω

sa mesure dans une unité est un nombre positif, Ω est une figure géométrique.

S ( )GzS y dAΩΩ

= ∫∫ = Moment statique de la section droite Ω d'une poutre par rapport à l'axe GZ.

u Périmètre

V Volume

L, l Longueur , portée d'une poutre.

b Largeur d'une section droite.

e Excentricité.

t Épaisseur pour pièces minces.

h Hauteur d'une section droite , épaisseur.

d Diamètre.

r Rayon.

s Espacement.

z Bras de levier des forces internes.

α ,β ,ϕ Angles.

I ( )GZI y dAΩΩ

= ∫∫ 2 Moment quadratique de la section droite Ω par rapport à l'axe GZ.

v Distance entre G et la fibre tendue la plus éloignée ou la moins comprimée, nombre positif. (Notation personnelle)

v' Distance entre G et la fibre comprimée la plus éloignée ou la moins tendue, nombre positif. (Notation personnelle)


Albouy

W Module de résistance ou de flexion: ( ) ( )

Wv

Wvz

GZz

GZI I= =Ω Ω

''

i Rayon de giration GZIA

= zi

λ Élancement. f

zz

f

yy

li

li

= =λ λ

K, J Moment d'inertie de torsion

γ Poids volumique. kN/m3

ρ Masse volumique. kg/m3 ; pourcentage d'acier dans une section B.A.

φ Diamètre d'un armature.

µ Coefficient de frottement

g Accélération de la pesanteur 9.81 m/s2 ou N/kg γ=ρ g

m Masse m=ρV

P Poids propre P = mg = ρVg = γV.

σ Contrainte normale, on pourra noter σadm pour une contrainte admissible (σadm = valeur limite à ne pasdépasser dans la condition de résistance pour la vérification de certains matériaux.)

τ Contrainte tangentielle (ou tangente).

E Module d'Young ou module d'élasticité longitudinal

G Module d'élasticité transversal ou de glissement

υ Coefficient de Poisson.

ε Déformation unitaire.

γ Glissement unitaire

χ Courbure (notation personnelle)

f Résistance du matériau ,ef = Limite élastique ( f y

d’après les normes Européennes),

Les déplacements: translation: i

ix

iy

iz

i

i

i

i

UUUU

UUVW

r r

, Rotation i

ix

iy

iz

rθ

θθθ

3. MECANIQUE GENERALE : CINEMATIQUEa Accélération v Vitesse ω Vitesse angulaire


Albouy

4. LES LETTRES GRECQUES

ΑΒΓ∆ΕΖΗΘΙΚΛΜ

αβγδεζηθ

ικλµ

alphabetagammadeltaepsilondzétaetatheta

iotakappalambdamu

$

$

$

ΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ

νξοπρς στυϕχψω

nuxiomicronpi

rhosigma

tauupsilonphikhipsioméga

$

,

5. LES MULTIPLES ET SOUS-MULTIPLESfacteur préfixe symbole

1010101010

9

6

3

2

giga Gméga Mkilo khecto hdéca da

facteur préfixe symbole

101010101010

1

2

3

6

9

12

−

−

−

−

−

−

déci dcenti cmilli mmicronano npico p

µ

6. LES UNITESEn statique et pour la détermination des sollicitations, il est préférable d’utiliser le kN et le m.

Pour la détermination des contraintes et déplacements en translation : N, mm, MPa.p kN m N mm= =20 20/ /

Pour les rotations unité rad (radian), utilisez les unités : N, m, Pa

Attention ! Il faut toujours faire suivre une valeur numérique de l’unité employée.


Albouy

7. FORCES, MOMENTS, TORSEURSLes coordonnées (anciennement composantes) des forces sont déterminées par rapport au repère

orthonormal (terminologie antérieure : orthonormé) ( )O x y z, , ,r r r.

Soit la force 0 1→

rA notée aussi

0 1/

rA :Les indices indiquent que la force est due à l'action du solide 0

sur le solide 1, on peut se dispenser d'indiquer les indices uniquement s'il n'y a pas d'ambiguïté.

Lorsque la force r

Fi est appliquée en un point M i , nous noterons ( )M Fi i,r

ou ( )rF Mi i,

Lorsque la force r

Fi est "portée" par une droite Di , nous noterons ( )D Fi i,r

ou ( )rF Di i,

Lorsque la force linéique (ou répartie) rpi est appliqué sur la barre (i-1,i) du solide k ( )( )i i S pk

i− ∈1, , r

ou en permutant les termes ( )( )rp i i Sik, ,− ∈1

Les coordonnées X Y Z sont des valeurs algébriques. Quand il n'y a pas d'ambiguïté, on simplifie

souvent l'écriture en omettant de préciser la base ( )r r rx y z, , , ce qui est souvent le cas en statique où il estrecommandé d'utiliser un repère unique.

( ) ( ) ( ) ( )

r

r r r r r r r r r r r r

r r rF

XYZ

XYZ

A

XYZ

AAAx y z

i

i

i

i x y z

A

A

A x y z

X

Y

Z x y z

F F A

→

→

→

→

→

→

→

→, , , , , , , ,

exemples0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

La norme (ou intensité) d'une force rA est notée

rA . Pour simplifier l'écriture, on peut poser

rA A=

La valeur algébrique d'une grandeur est aussi notée A.

On peut définir, au cours d'une résolution, les paramètres qui sont positifs : par exemple l'ensemble desparamètres ( )l L a F p, , , , sont des nombres positifs.

La valeur absolue d'une grandeur algébrique est notée A .

Un système mécanique (structure, poutre, portique,...) sera noté par exemple ( )S 1 , l'exposant

représentant la structure. On réserve l'exposant 0 pour les structures isostatiques ( )S 0 . Soit,

( ) ( )S F F C10

1 2=r r r

, , un système d'actions composé de 2 forces r

F1 , r

F2 et d'un couple r

C . L'indice

représente l'ensemble des actions. Ces actions s'exercent sur le solide S 0 .

Résultante des forces du système: ( )r r rR S F F1

01 2= + c'est la somme vectorielle des différentes forces.

Le moment ( )rM SG 1

0 représente la somme des moments de chacune des forces du système ( )r rF F1 2, ,

plus les couples éventuels ici r

C . ( ) ( ) ( )r r r r r rM S M F M F CG G G1

01 2= + +


Albouy

On peut définir le TORSEUR : ( ) ( )

( )( )

( )

G O x y z

G G z O x y z

SS

G S

XYZ M

RM

Γ 10 1

0

10

00

/ , , ,

/ , , ,

r r r

r r r

r

r

Traduction de la notation : par rapport au repère ( )O x y z, , ,r r r , le torseur en G des actions S1 s'exerçant sur

S 0s'écrit...

Le repère n'est nécessaire que si l'on exprime ses coordonnées.

( )rR S1

0 résultante du torseur, elle est indépendante du point où est écrit le torseur

( )r

MG S10 moment du torseur, ce vecteur dépend du point où est écrit le torseur

Propriété : si ( ) ( )r rR MS G S1

010 0. = c'est à dire si ces 2 vecteurs sont orthogonaux

⇒ ∃ ∈I ∆ tel que ( ) ( )I

I

S SRΓ 10 1

0

0=

r

r

Le vecteur ( )rR S1

0 porté par la droite ∆ est aussi nommé résultante, ce vecteur est un glisseur. Pouréviter la confusion avec la somme vectorielle qui, elle, est indépendante du point où elle est définie, il fautadopter une notation et une terminologie qui lève toute ambiguïté.

Par exemple: ( )∆;rR S1

0

, ( )I SR;

r10

avec ( )

rR S1

0 nommé par exemple résultante générale.


Albouy

V. REPRESENTATION DES ACTIONS

Objectif: choix de représentation et de désignation d'entités mécaniques (forces, couples, torseurs...)

1) REPRESENTATION VECTORIELLE (compatible avec les usagesmathématiques)

1.1.) L'action est parfaitement connue.

• soit numériquement

• soit littéralement

Exemples:

1. représentation vectorielle

x

yx

y q

2. représentation vectorielle

q = -q y

avec q > 0

3. représentation simplifiée

q

Le vecteur est représentéaccompagné par sa norme(intensité). q > 0Complémentarité entre le symbolede la force représentée par levecteur et sa norme.

Si q est une donnée numérique, par exemple q kN m= 10 / : la désignation 3 suppose lareprésentation de l'action, par contre le repère n'est pas nécessaire. Elle est intéressante pour l'étude desstructures planes que l'on rencontre généralement en génie civil, de plus les directions des forces sontsouvent connues (verticales ou ⊥ à une ligne).

Les désignations 1 et 2 sont plus scolaires, le repère est obligatoire par contre la représentation del'action n'est pas nécessaire. Elle est adaptée à l'étude des structures spatiales. C'est une bonne applicationdu cours de maths.

a L

p ( 8 kN/m )

A B


Albouy

L

p

papa2

2

Lorsque les actions sont connues, entièrementdéfinies, la désignation 3 est intéressante car lerepère n'est pas nécessaire et l'écriture est la plussimple.A coté du vecteur force ou du symbole représentant lemoment on donne la norme (ou intensité de l'action).

L

-p-papa2

2

xy x

y

yz

y Représentation vectorielle

Le sens indiqué par les vecteurs pour les forces etl'arc pour le couple est le sens vrai. Le repère estnécessaire.On pourrait se dispenser de représenter les actionscependant le graphique est plus "parlant" et contientl'ensemble des indications mis à part l'intensité.

1.2.) L'action est inconnue.

• 1.2.1 Complètement

• 1.2.2 Partiellement: par exemple la droite support est connue

1.2.1 Complètement, représentation vectorielle

x

yx

y

zi j

V ij

x

yMij z

N ij

j

j

j

j

j

j j j

On représente les actions avec un sensprédéfini correspondant aux vecteurs unitairesde la base lorsque les expressions algébriques"accompagnatrices" sont positives. Le signe deces expressions est déterminé en considérantchacun des termes positifs. Par exemple ici,pour l'action du nœud i sur l'extrémité i de labarre, on considère les coordonnées positives.Comme les expressions et les coordonnées seconfondent, le sens de ces actions correspondau sens positif des vecteurs unitaires.

x

x +

dx

Vy(x+dx)

x

y

Mz(x+dx) z

N(x+dx)Vy(x) y

Mz(x) z

xN(x)

xz

y

Exemple classique de la RDM. On isole untronçon de poutre de longueur dx .Pour la section d'abscisse x de la poutre,l'action du tronçon de gauche sur celui isolé estdéfinie par:

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

G x cohé x y z

G x

y

z x y z

TN xV x

M x− =

−−

−

r r r

r r r

, ,

, ,

00

0

Ces actions sont ici écrites en fonction dessollicitations.

( ) ( )N x N x≥ ⇔ − ≤0 0 d'où le sens opposéà

rxidem pour les autres actions

( ) ( )V x V xy y≥ ⇔ − ≤0 0( ) ( )M x M xz z≥ ⇔ − ≤0 0


Albouy

Vy(x) y

Mz(x) z

xN(x)

x x

Vy(x) y

xN(x)

Mz(x) z

G(x)

G(x)

xz

y

xz

y

Cette représentation esten accord avec lareprésentationmathématique des vecteursopposés.

Il faut que la désignationcorresponde à celle d'unvecteur, il faut donc écrireles vecteurs unitaires.

Cette représentation illustrebien le cours demathématiques et doit êtreutilisé par les élèves de lycée.

1.2.2 Partiellement: par exemple la droite support est connue

a L

p

A B

C

1

2

α

0

Première méthode: le sens est choisi par hypothèse.

C

1

A

C0/1

A2/1

Le théorème de la statique relatif ausolide soumis à 2 forces:

Pour que le solide reste en équilibre, ilfaut et il suffit que les 2 forces soientd'égale norme et directementopposées.

Traduction mathématiquer rA C2 1 0 1/ /= −

support commun AC

La connaissance de ces 2 forces estincomplète au niveau de leurs normes etsens.Pour la représentation, si nous utilisonsla représentation vectorielle, il faut leurdonner un sens.

Il faut donc faire une hypothèse:

Par exemple ici on à prédéfini le sens de rA2 1/ , celui de

rC0 1/ ainsi que celui de

rA1 2/ s'en déduisent.


Albouy

a L

p

A B2

A 1/2

XB X

YB Y0/2

0/2

Le sens supposé de la force rA1 2/

étant connu nous pouvons exprimer

ses composantesrA

AA1 2

1 2

1 2/

/

/

cossin

αα

Le repère doit être représenté.

Cependant comme le terme A1 2/ peut s'avérer être négatif si le choix concernant le sens de rA2 1/ est

contraire au sens réel, nous l'appellerons intensité "algébrique" . Avec cette notation, nous ne pouvons pasla distinguer de la norme ou (intensité) A1 2/ qui est toujours positive. Pour pouvoir la distinguer nouspourrions envisager de surligner l'intensité algébrique ex: A1 2/ ou trouver une autre notation A1 2/

+− ou Aalgé1 2/

..

A1/2 A1/2= u

u

A2/1 A2/1= uu

α

α uA2/1 u=

A1/2 = A2/1

Choisir le sens de l'action c'est adopter un vecteur unitaire ru de même sens. On retrouve les notions

mathématiques abordées en seconde sur l'analyse vectorielle.

Méthode analytique:

Elle ne demande pas d'hypothèses mais la démarche est plus longue

C

1

A

A 2/1Y

XA 2/1

C 0/1Y

XC 0/1 X

X

y

y

Le repère doit être indiqué.

La relation entre les composantes s'obtientsoit:• en isolant 1 et en écrivant que le moment

par rapport au point C est nul.l'expression algébrique est de la formeX L Y LX YYX

A A

A A

A

A

2 1 2 1

2 1 2 1

2 1

2 1

00

/ /

/ /

/

/

. tan .

.tan

tan

α

α

α

− =

− =

=

• soit géométriquement, cependant dans cecas, le signe des coordonnées ne peutêtre déterminé que par l'observation

signes contraires mêmes signes


Albouy

a L

p

A B2

A 1/2Y

XA 1/2XB

YB 0/2

0/2 x x

y y

Le repère doit être indiqué.

Représentation des rotations

i θwi0

θei0θwi

0

Nous avons représenté des angles orientés.Ces angles sont définis par une origine et uneextrémité. Le sens définit le signe de leur mesurealgébrique. (+ pour le sens dit trigonométrique)

i θwi0

θei0θwi

0

Ici, nous avons représenté des anglesgéométriques. Leur mesure est toujours positive


Albouy

2) REPRESENTATION "INGENIEUR"

2.1.) L'action est parfaitement connue.

• soit numériquement

• soit littéralement

Exemples:

Représentation n°1 Représentation n°2

Le vecteur représenté est un vecteur unitaire, laquantité exprimée à ses cotés correspond à l'intensité"algébrique" de l'action.

Les 2 représentations ci-contre sont équivalentes.

Traduction de la représentation n°1: d'après nosnotations habituelles q étant une valeur positive, .− <q 0donc l'action, ici la force est verticale ascendante. Lorsquela force est connue la représentation 1 est plus claire, elledonne le sens réel et se confond avec celle définie plusavant. Si q est une donnée numérique, par exempleq kN m= 10 / , il faut utiliser la représentation 1.

Dans la représentation n°2, il faut considérer que q−est négatif − = −q kN m10 / .

On remarque que le repère n'est pas nécessaire.

.

a L

p ( 8 kN/m )

A BL

p

papa2

2

Lorsque les actions sont connues, donc entièrement définies, la représentation 1 est intéressante car le repèren'est pas nécessaire et l'écriture est la plus simple.A coté du vecteur force ou du symbole représentant le moment, on donne l'intensité algébrique de l'action qui seconfond avec la norme.

2.2.) .l'action est inconnue

• Complètement

• Partiellement: par exemple la droite support est connue

2.2.1 L'action est complètement inconnue

Cette représentation montre des actions qui sont opposées, d'après le principe des actions mutuelles,représentées par des vecteurs de même sens. Cette contradiction avec la représentation mathématique desvecteurs opposés n'est qu'apparente.

Ces vecteurs ne représentent pas les vecteurs "force" mais des vecteurs unitaires. C'est pourquoil'expression accompagnatrice n'est pas un vecteur mais une intensité "algébrique".


Albouy

x

yx

y

zi j

V ijMij

N ij

j

j

j j ji

V ijMij

Nij

Vy(x+dx)

Mz(x+dx)

N(x+dx)

Vy(x)

Mz(x)

N(x)

xz

y

Si le repère existe, on représente les actions avec unsens prédéfini correspondant généralement auxvecteurs unitaires de la base, sinon la flèchecorrespond au sens du vecteur unitaire selon lequella force agit. La valeur "accompagnatrice" est uneintensité algébrique. Si le calcul donne une valeurpositive, le sens indiqué est alors réel, sinon le sensréel est contraire (dans le cas d'une valeur négative).

2.2.2 L'action est partiellement inconnue: par exemple la droite support est connue

a L

p

A B

C

1

2

α

0

représentation n°1

A

C

1

C0/1

A2/1

Le théorème de la statique relatif au solide soumis à2 forces:Pour que le solide soit en équilibre, il faut et il suffitque les 2 forces soient d'égale norme et directementopposées.Traduction mathématiquer rA C2 1 0 1/ /= − support commun ACTraduction compte tenu de la conventionadoptéeA C2 1 0 1/ /= vecteurs unitaires opposés intensitésalgébriques égales.

La connaissance de ces 2 forces est incomplète au niveau de l'intensité algébrique (signe et valeur absolue).


Albouy

représentation n°2

A

C

1

C0/1

A2/1

Autre représentationA C2 1 0 1/ /= −vecteurs unitaires égaux, intensités algébriques opposées

a L

p

A B2

A 1/2

XB

YB

Cela correspond à se définir un senspour la force. Le sens supposé de laforce

rA1 2/ étant connu, nous pouvons

exprimer ses coordonnées par rapportau repère de la statiquerA

AA1 2

1 2

1 2/

/

/

cossin

αα

Cependant, comme le terme A1 2/ peut s'avérer être négatif si le choix concernant le sens de rA2 1/ est contraire au

sens réel, cette notation ne permet pas de distinguer l'intensité algébrique de la norme ou (intensité) A1 2/ qui, elle,est toujours positive. L'appellation intensité "algébrique" prend ici tout son sens.

Les représentations ci-dessous sont équivalentes.

A

C

1

N

NA

C

1

N

N

1 1 1 1

p

L

p L12

p L2

p L2

2 p L12

2

p

L

p L12

p L2

p L2

2p L12

2


Albouy Pédèches

VI. ETUDE DES STRUCTURES GEOMETRIQUEMENT SYMETRIQUES

Os

O: origine de l'abscisse curviligneX

Y

Z

Considérons l’origine des abscisses curvilignes enO, point situé sur le plan de symétrie de lastructure.Soit ( )Z,Y,X

rrr le repère global.

On note les coordonnées par rapport au repèreglobal

( )( )( )( )

( )( )( )( )

sss

ssWsVsU

sU

Z

Y

X

θθθ

θrr

1. PROPRIETES RELATIVES AUX DEPLACEMENTS INTERESSANT LES DEUX METHODES DE CALCUL DESSTRUCTURES : METHODE DES DEPLACEMENTS ET METHODE DES FORCES (OU DES COUPURES).

Chargement symétrique Chargement antisymétrique

O s

O: origine de l'abscisse curviligne

F1r

F1r

( )0θr

( )0Ur

-F2r

F2r

Mr

-Mr

En O, ( ) 00 =U , ( ) ( ) ZYZY ;;U θθθθ ⇒== 000 antisym.

Os

O: origine de l'abscisse curviligne

F1r

( )0θr

( )0UrF1

r−

F2r

Mr

F2r

Mr

En O ( ) 00 =Xθ , ( ) ( ) W;V;WV Xθ⇒== 000 sym..

Os

( )0Ur

( )0θr

⊥

∈ plan de symétrie

plan de symétrie

Os

( )0Ur

( )0θr

⊥

∈ plan de symétrie

plan de symétrie

Soit O le centre de surface de la section droite située dansle plan de symétrie.Le vecteur déplacement ( )OU

r du point O appartient au

plan de symétrie.Le vecteur rotation ( )Oθ

r de la section droite O est

orthogonal au plan de symétrie.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )ss

sVsVsUsU

ZZ θθ −=−=−

−=−

( ) ( )( ) ( )( ) ( )ss

sssWsW

YY

XX

θθ

θθ

−=−

=−=−

Soit O le centre de surface de la section droite situéedans le plan de symétrie.Le vecteur déplacement ( )OU

r du point O est

orthogonal au plan de symétrie.Le vecteur rotation ( )Oθ

r de la section droite O

appartient au plan de symétrie.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )ss

sVsVsUsU

ZZ θθ =−−=−

=−

( ) ( )( ) ( )( ) ( )ss

sssWsW

YY

XX

θθ

θθ

=−

−=−−=−


Albouy Pédèches

2. PROPRIETES DES DIAGRAMMES DES SOLLICITATIONS

Chargement symétrique Chargement antisymétrique

( ) ( )( ) ( )( ) ( )sMsM

sMsMsNsN

yy

zz

=−

=−

=− diagrammes sym.

Y

Z

U

θθ antisym.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )sTsTsVsV

sVsV

zz

yy

−=−

−=−

−=−

diagrammes antisym.

X

WV

θsym.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )sMsM

sMsMsNsN

yy

zz

−=−

−=−

−=− diagrammes antisymétriques

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )sTsTsVsV

sVsV

zz

yy

=−

=−

=−

diagrammes symétriques

Cas particuliers :Soit une structure comportant une barre biarticulée uniquement soumise à un effort normal ; sous un chargementantisymétrique, ( ) ( )sNsN −=− .

Or dans la barre biarticulée soumise uniquement aux 2 forces nodales l’effort normal est constant 0=⇒ N lelong de la barre. La barre n’est pas sollicitée ; sous le chargement antisymétrique, cette barre n’intervient pas, ellepeut donc être ignorée.

L

h

GzTI

GzPI GzPI

Fr

Fr

0=NA

L

h

GzTI

GzPI GzPI

Fr

Fr


Albouy Pédèches

Soit une structure de type portique à deux travées.Dans le cas d’un chargement symétrique, le poteau contenu dans ce plan de symétrie n’est sollicité qu’à un effortnormal.

Fr

Fr

O

O

O

xy

( )xNr+0

( )yVyr+0

( )zM zr+0

O ( )xNr+0

( )zM zr+0

z-Mzr

rr

z-Mz

( )yVyr+0

( )yVyr+0

( )xNr+− 0

( )zM zr+− 0

( )xNr−− 0

( )yVyr−− 0

( )zM zr−− 0 x-Vy

ry-N

x-Vyr

y-N

r

r

On isole le poteau ainsi que le nœud O. Inventaire des actions nodales sur le nœud O

Nous en déduisons que :( ) ( )−+ = 00 NN , ( ) ( )+− −= 00 yy VV , ( ) ( )+− = 00 zz MM

( )yVyr+02

( )+= 02 yVN

0== zy MV

Isolons le poteau central.

La barre située dans le plan de symétrie est soumise uniquement à un effortnormal.Sa ligne moyenne déformée est une droite appartenant au plan de symétrie.Si on néglige les déformations dues à l’effort normal, cette barre ne sedéforme pas, sa longueur est invariante.


Albouy Pédèches

Soit une structure de type portique à deux travées.Dans le cas d’un chargement antisymétrique, l’effort normal dans la barre contenue dans ce plan de symétrie estnul.

Fr

O

O

O

xy

( )xNr+0

( )yVyr+0

( )zM zr+0

O ( )xNr+0

( )zM zr+0

z-Mzr

rr

z-Mz

( )yVyr+0

( )y-Vyr+0

( )xNr+0

( )zM zr+0

( )xNr−− 0

( )yVyr−− 0

( )zM zr−− 0 xVy

ry-N

xVyr

y-N

r

r

Fr

On isole le poteau ainsi que le nœud O. Inventaire des actions nodales sur le nœud O

Nous en déduisons :( ) ( )+− −= 00 NN , ( ) ( )+− = 00 yy VV , ( ) ( )+− −= 00 zz MM


Albouy Pédèches

( )xN r+02( )zM z

r+02

0=N( )+−= 02NVy

( )+= 02 zz MM

On isole le poteau :

Dans la barre appartenant au plan de symétrie, l’effort normal est nul.

Dans le cas ou des actions sont appliquées au point O situé dans le plan de symétrie.Si nous étudions la demi structure simplifiée :

Actions symétriques

OZFZ

r

YFY

r

XC X

r

O

YFYr

2

XC X r

2

ZFZr

2

Actions antisymétriques

O O

YCY

r

ZCZ

rXFX

r

YCYr

2

ZCZr

2

XFXr

2


Albouy Pédèches

3. DECOMPOSITION D’UN SYSTEME D’ACTIONS, EN UN SYSTEME D'ACTIONS SYMETRIQUES ET UNSYSTEME D'ACTIONS ANTISYMETRIQUES.

Hypothèse : la géométrie de la structure est symétrique.

Le système des actions appliqué sur cette structure est quelconque. Soit ( )S .

On peut toujours décomposer un système d'actions en un système d'actions symétriques et unsystème d'actions antisymétriques.

Pour cela, considérons un système nommé ( )S ' obtenu à partir de ( )S en appliquant aux points

symétriques de ceux sollicités en ( )S des actions opposées.

La structure proposée en exemple est hyperstatique d'ordre 3.

I

A

B B'

A'

F

I

FB B'

A'A

Nous pouvons écrire ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S S S= + + −12

12

12

12

' '

soit en regroupant les termes ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S S S= +

+ −

12

12

12

12

' '

Remarque: Ce procédé est à rapprocher de celui utilisé en mathématique pour décomposer une fonctionquelconque en une fonction paire plus une fonction impaire

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x f x= + −

+ − −

12

12

12

12

( ) ( ) ( )f x p x i x= +

fonction paire ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x f x f x p x p x= + −

= −12

12

fonction impaire ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i x f x f x i x i x= − −

− = − −12

12

On peut toujours décomposer un système quelconque en un système d'actions symétriques et unsystème d'actions antisymétriques. On a transformé le problème à résoudre en deux problèmes maisde résolution plus simple.

( ) ( ) ( )S S Ssym antisym= +

( ) ( ) ( )[ ]S S Ss y m = +12

' ce système d'actions est symétrique

( ) ( ) ( )[ ]S S Sa n ti sy m = −12

' ce système d'actions est antisymétrique

( )'S( )S


Albouy Pédèches

4. CAS DES PORTIQUES SIMPLES A TRAVEE UNIQUE CHARGES SYMETRIQUEMENT ETANTISYMETRIQUEMENT

I

FB B'

A'A

F2 2

IB B'

A'A

F2

F2

Étude de la structure symétriquement chargéeLe déplacement du nœud I ∈ plan de symétrie se définitcomme suit :• ( ) 'IIIU =

r translation dans ce plan de symétrie,

le point I' ∈ plan de symétrie,• ( )Iθ

r la rotation du nœud I, si elle existe, est un

vecteur orthogonal au plan de symétrie.

Étude de la structure antisymétriquement chargéeLe déplacement du nœud I ∈ plan de symétrie se définitcomme suit :• ( ) 'IIIU =

r translation orthogonale au plan de

symétrie,• ( )Iθ

r la rotation du nœud I, si elle existe, est un

vecteur ∈ plan de symétrie.nous pouvons donc étudier la demi structure nous pouvons donc étudier la demi structure

I

B

A

F2

I

B

X 1

X2

B

A

F2

IB

X3

I

Le nœud I se comporte comme un encastrement mobileou déplaçable en translation dans le plan de symétrieuniquement, la liaison ne peut pas transmettre des forces// au plan de symétrie.Pour une structure plane chargée dans ce plan, nousavons deux inconnues hyperstatiques X X1 2, , ledegré d'hyperstaticité a diminué, ici de 1.

Le nœud I se comporte comme un appui simple, laliaison ne peut que transmettre des forces qui sont // auplan de symétrie.Pour une structure plane chargée dans ce plan, nousavons une inconnue hyperstatique X 3 , le degréd'hyperstaticité a diminué, ici de 2.

( )S sym ( )Santisym


Albouy Pédèches

Propriétés des diagrammes des sollicitations:Soit s une abscisse curviligne, dont l'origine serait en IN est symétrique ( ) ( )N s N s= −Mz est symétrique ( ) ( )M s M sz z= −

Vy est antisymétrique ( ) ( )V s V sy y= − −Si aucune force ponctuelle n’est appliquée en I,

( )V y 0 = ( )V Iy = 0

Propriétés des diagrammes des sollicitations:

N est antisymétrique ( ) ( )N s N s= − −Mz est antisymétrique ( ) ( )M s M sz z= − −

Vy est symétrique ( ) ( )V s V sy y= −Si aucune force ou couple ponctuel n’est appliqué en I,

( ) ( )N N I0 0= = ( ) ( )M M Iz z0 0= =

5. CAS DES PORTIQUES A TRAVEES MULTIPLESPour des structures à géométrie symétrique plus complexes,

( )S = ( )S sym + ( )Santisym

F1

F2

pF1

F2

p2

2

2

F22

F12

F22

F1

p2

2 F22

F12

p2

Étude des structures à géométrie et chargement symétriques ( )S sym

• Lorsque le nombre de travées est pair, le plan moyen est confondu avec des barres verticalescentrales de la structure, comme nous négligeons les déformations dues à l'effort normal et tranchant, leslongueurs des barres sont invariantes. Les nœuds appartenant au plan de symétrie sont fixes. Ici le nœudétant rigide (ou indéformable) on peut étudier la demi structure en le considérant comme un encastrementparfait fixe.


Albouy Pédèches

F1

F2

p2

2

2

F22

F12

F1

F2

p2

2

2

• Lorsque le nombre de travées est impair, les nœuds I, J ∈ au plan de symétrie se comportentcomme des encastrements mobiles ou déplaçables en translation dans le plan de symétrie uniquement.

F1

F22

2

F22

F12p

2

F1

F22

2 p2

II

JJ


Albouy Pédèches

Étude des structures à géométrie symétrique et chargement antisymétrique ( )Santisym

• Lorsque le nombre de travées est pair, le plan moyen est confondu avec des barres verticalescentrales de la structure. On montre que l'étude de la demi structure exige de prendre les caractéristiquesgéométriques, pour les sections droites des barres ∈ plan de symétrie, égales à la moitié de celles de lastructure réelle. (moments quadratiques et aire de la section droite). Pour les barres centrales, lessollicitations obtenues pour les 2 demi structures doivent être additionnées, ce qui revient à multiplier par 2les sollicitations obtenues pour une demi structure.

F22

F1

p2

2 F22

F12

p2

F22

F1

p2

2 F22

F12

p2Ip1

Ip2 Ip2

Ip1

2

2

Ip2

Ip1

2

2

• Structure comportant un nombre impair de travées. Les nœuds I, J se comportent comme desappuis simples.

F22

F1

p2

2 F22

F12

p2

F22

F1

p2

2

I

J

I

J


Albouy Pédèches

JustificationLorsque le nombre de travées est pair, l'étude de la demi structure exige de prendre les caractéristiquesgéométriques, pour les sections droites des barres ∈ au plan de symétrie, égales à la moitié de celles de lastructure réelle. (inertie et aire de la section droite). Dans la barre centrale, il ne faut pas oublier de multiplierpar 2 les sollicitations obtenues pour une demi structure.

Modélisation en considérant la demi structure simplifiée :

1A

2AFr

Fr

0A

2GzI

1GzI ( )S

Soit une structure de type portique composéd’un nombre pair de travées. Un montant estcontenu dans le plan de symétrie.On considère la demi structure et on chercheles caractéristiques dimensionnelles dessections droites à considérer pour le montantdédoublé.Les conditions aux limites sont :

21

111 UUU == 2

2122 UUU == 2

1111 θθθ ==

22

122 θθθ ==

1A

2AFr

0A

1A

2A Fr

0A

11GzI

12GzI

21GzI

22GzI

XUr

1XUr

1

XUr

2 XUr

2

( )1S ( )2S


Albouy Pédèches

Utilisons le formalisme de la méthode des déplacementsPour la structure ( )S

121

11

1

101

62U

LEI

LEI

M GzGz += θ 121

11

1

110

64U

LEI

LEI

M GzGz += θ

( )1222

22

2

21

2

212

624UU

LEI

LEI

LEI

M GzGzGz −++= θθ

( )1222

21

2

22

2

221

624UU

LEI

LEI

LEI

M GzGzGz −++= θθ

Pour la structure ( )1S

121

11

11

111

0162

UL

EIL

EIM GzGz += θ 12

1

11

11

111

1064

UL

EIL

EIM GzGz += θ

( )1222

12

22

12

12

121

12624

UUL

EIL

EIL

EIM GzGzGz −++= θθ

( )1222

12

12

12

22

121

21624

UUL

EIL

EIL


Pour la structure ( )2S

121

21

11

212

0162

UL

EIL

EIM GzGz += θ 12

1

21

11

212

1064

UL

EIL

EIM GzGz += θ

( )1222

22

22

22

12

222

12624

UUL

EIL

EIL


( )1222

22

12

22

22

222

21624

UUL

EIL

EIL


Eu utilisant le principe de superposition :210

11010

201

10101 MMMMMM +=+=

221

12121

212

11212 MMMMMM +=+=

Nous en déduisons : 21

111 GzGzGz III += 2

21

22 GzGzGz III +=De part l’antisymétrie : en considérant les deux demi structures et en faisant apparaître les couples nodaux ; ceux-ci étant alors des actions extérieures, on peut écrire :

221

121

212

112

210

110

201

101 MMMMMMMM ==== ⇒ 2

21

22

11

1 GzGzGzGz IIII ==

2222

21

212

11

1Gz

GzGzGz

GzGzI

III

II ====


Albouy Pédèches

6. EXEMPLE D'UNE STRUCTURE GEOMETRIQUEMENT SYMETRIQUE. RESOLUTION EN ETUDIANT LASTRUCTURE COMPLETE.

Si on étudie la structure complète, pour simplifier les calculs, la structure isostatique associée doit être choisie symétrique ( )S 0.

On définit les inconnues hyperstatiques (en les groupant si nécessaire) de façon à n'étudier la structure ( )S 0 que sous des

chargements ( )S i0

symétriques ou antisymétriques. Voir l’exemple proposé ci-dessous.

(S) (S )0

(S1 )0

1 1(S2 )0

1 1

(S3 )0

1 1

(S4 )0

1

1

1

1

(S5 )0

11(S6 )0

1

1

1

1

( )pour i S i= 1 2 3 4 0, , , correspond à un chargement symétrique


Albouy Pédèches

( )pour i S i= 5 6 0, correspond à un chargement antisymétrique

on en déduit que pour i i i= = =1 2 3 4 050

60, , , δ δ

Dans ( ) ( )S S10

20, les sollicitations sont nulles dans la partie de la structure correspondant à l'étage

située au dessus des articulations appartenant aux montants verticaux.

δ δ230

130 0= = δ ji i jX0

00. = −∆

−=

060

050

040

030

020

010

6

5

4

3

2

1

066

056

056

055

044

034

024

014

034

033

024

022

012

014

012

011

00000000

000000000000

∆∆∆∆∆∆

δδδδ

δδδδδδδδδδδδ

XXXXXX

.

Si les charges appliquées sur la structure ( )S sont symétriques, ( )S00 sera un chargement symétrique,

d'où pour j j= = ⇒ = =5 6 0 000

500

600, ∆ ∆ ∆

−=

00

00000000

000000000000

040

030

020

010

6

5

4

3

2

1

066

056

056

055

044

034

024

014

034

033

024

022

012

014

012

011

∆∆∆∆

δδδδ


XXXXXX

. X X5 6 0= =

Si les charges appliquées sur la structure ( )S sont antisymétriques, ( )S00 sera un chargement

antisymétrique, d'où pour j j= = ⇒ = = =1 2 3 4 000

100

200

300

400, , , ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

−=

060

050

6

5

4

3

2

1

066

056

056

055

044

034

024

014

034

033

024

022

012

014

012

011

0000

00000000

000000000000

∆∆

δδδδ


XXXXXX

. X X X X1 2 3 4 0= = = =

Le degré d’hyperstaticité est inchangé, cependant le système d’équations est plus facile à résoudre.


Albouy Pédèches

7. CALCUL DES DEPLACEMENTSSoit une structure à géométrie symétrique et symétriquement chargée.

1A

2A 3A

4A

5A

p

'A5

On demande de déterminer le déplacement vertical dunœud 5A . De par le caractère de symétrie, le

déplacement du nœud symétrique 'A5 est identique.

1A

2A 3A

4A

5A 'A5

1 1

( )isoS

Utilisons le théorème de Pasternak ou (théorème de laforce unitaire)

dsEI

MMA

Gz

isoz z∫=52∆

En appliquant un facteur sollicitant unité aux points 5A et

'A5 , le diagramme des moments dans ( )isoS est aussisymétrique.Les deux diagrammes étant symétriques, l’intégration ensera facilitée.

1A

2A 3A

4A

q q

De même si nous voulons déterminer ledéplacement horizontal du nœud 2A ,

sachant que 32 XAXA UU = .

Appliquons un facteur sollicitant unité àchacun des nœuds 2A et 3A .

dsEI

MMU

Gz

isoz

XAz∫=

22

1A

2A 3A

4A

1 1

( )isoS

Dans cette structure le diagramme estaussi antisymétrique, l’intégration en serafacilitée.


Albouy Pédèches

8. TRACE DE DIAGRAMMES DES MOMENTS

Soit une structure soumise à un système de forces

Pour ces deux cas de chargement, le diagramme des moments est identique.

Fr

GzTI

GzPI GzPI

L

2Fr

2Fr

L

h

GzTI

GzPI GzPI

2Fh

2Fh

−

Diagramme des moments.Le signe des moments dépend du sens de parcourschoisi pour décrire la structure.

2Fh

2Fh

−

2Fh

Si nous changeons le sens de parcours (poteau droit),le signe des moments change, cependant la forme dudiagramme reste invariante.


Albouy Pédèches

Soit une structure soumise à un système de forces.

GzTI

GzPI GzPI

L

h

q

1A

2A 3A

4A

Lh

IIk

GzP

GzT=

322

83 2

2+

+=

kkqhM z

3265

8

2

3++

−=kkqhM z

Soit d l’axe de symétrie.Effectuons une réflexion d’axe d de la structure et de son chargement. L’image de la structure est invariante.Le diagramme des moments se déduit par réflexion d’axe d. Le signe des moments dépend du sens de parcours. Sinous conservons le sens de parcours initial (sens trigonométrique), le signe des sollicitations est inchangé.

GzTI

GzPI GzPI

L

h

1A

2A 3A

4A

q

3265

8

2

2++

−=kkqhM z 32

28

3 2

3+

+=

kkqhM z

Si nous effectuons un changement du sens des forces appliquées, le signe des sollicitations est changé.

GzTI

GzPI GzPI

L

h

1A

2A 3A

4A

q

3265

8

2

2++

=kkqhM z 32

28

3 2

3+

+−=

kkqhM z


Albouy

VII. ETUDE DES PARABOLES POUR LE TRACE DES DIAGRAMMES1. PROPRIETES GEOMETRIQUES DES PARABOLES.Les courbes représentatives du moment de flexion sur les tronçons de poutres droites, chargés par une forceuniformément répartie sont des arcs de parabole.Soit un tronçon de poutre G Gi i−1 de longueur Li chargé par une charge uniformément répartie descendante

( )p x p piy i i= − > 0 .

Les points i −1 et i ne sont pas forcément les extrémités d’une travée, mais peuvent être quelconques sur celle-ci, cependant le tronçon considéré doit être dépourvu de forces ponctuelles.

D'

D

B'

B

i-1 li4li

4li 3

2li i

M i

i-1Mli

CE

C'

1'

2'

3'

3

Tangente à

au point ila parabole

Tangente à la parabole

au point i-1

1

tangente à la parabole en D et // à 1'1

tangente à la parabole en B et // à

tangente à la parabole en B' et // à

2

3

2'

3'

Mi ( x )

( )M M xi i oimax =M

Li

i

2

xoi

ML

i

i0

2

34 2

0ML

i

i

34 2

0ML

i

i

ML

i

i0

2

2


Albouy

Pour tout tronçon i i−1; de barre droite de longueur Li , l’équation du moment de flexion s’écrit :

( ) ( ) ] [ii

zii

zizizi L,xLx.M

Lx.MxMxM 011

0 ∈+

−+= −

( )xM zi0 ne dépend que des charges appliquées sur ce tronçon supposé isostatique (articulé en i-1 et appuyé

simplement en i). Lorsque la charge est uniformément répartie ( ) 0>−= iiyi ppxp , le moment isostatique

s’écrit : ( ) ( )222

20 xLxpxpx.LpxM iiiiizi

−=−=

Pour tout tronçon i i−1; de barre droite de longueur Li , L’équation de l’effort tranchant s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( )i

ziziyi

ziyi L

MMxV

dxxdM

xV 10 −−−=−=

Moment isostatique au milieu de la travée (dans la travée isostatique de référence sur 2 appuis et chargéeuniformément par pi ).

82

20 iizi

LpLiM =

Expression du moment de flexion au milieu de la travée

+

+=

−

22201 LiM

MMLiM zizizi

zi

Cette formule est valide pour tout chargement. Elle fournit le moment au milieu de la travée.

Expression du moment maximum dans la travée

( )

( )ii

zizioi

ii

izzizimaxzi

LpMMLix

LpMMLiMM

1

2

21

2

22

−

−

−+=

−+

=

Attention ! Ces formules ne sont valides uniquement pour une charge uniformément répartie pi .

ix0 correspond à l'abscisse du moment maximum, cette valeur peut facilement être retrouvée avec le diagramme

de: yiV , ( ) 00 =iyi xV


Albouy

2. APPLICATION DES PROPRIETES GEOMETRIQUES DES PARABOLES AU CAS D’UNTRONCON DE POUTRE CHARGE PAR DES CHARGES REPARTIES ETPONCTUELLES.

Il faut étudier les tronçons (i-1 – j) et (j – i) séparément (un tronçon de poutre ne doit pas être chargé par desforces ponctuelles)

=−0

1 j,iMp l iα

2

8 représente le moment isostatique correspondant au tronçon ( i-1, j ) appuyé simplement et

chargé par p.

=0i,jM

[ ]q l i1

8

2

−

α

représente le moment isostatique correspondant au tronçon ( j , i ) appuyé simplement

et chargé par q.

Sur cet exemple, il suffit de connaître les moments fléchissants aux points i-1 , i : M i−1 , M i ; de déterminer le

moment en j : M j , de tracer les lignes qui joignent ces trois moments , puis d'ajouter les moments isostatiques,

=−0

1 j,iM ......., =0i,jM ........ au milieu de chacun des tronçons.

Ici le moment = M j ( ) ( )[ ] ( )q,p,FMMM i,iii

r0

11 1 −− +−+= αα

p

qF

i-1 i

( 1- α ) liα li

j

Mj

M i

extrémum si

grand

Mi ( x )

0i,jM

0i,jMM

i j−1

0,

M i-1


Albouy

3. METHODE POUR TRACER LES DIAGRAMMES DE MZ SUR UNE POUTRE CONTINUEDROITE

Soit par exemple une poutre continue.

On demande de représenter le diagramme des moments fléchissants sur cette poutre. Les méthodes de la R.D. M. fournissent les moments fléchissants sur les appuis: Mi-2, Mi-1, Mi, Mi+1.

On procède de la façon suivante: on commence par tracer la ligne de fermeture ( ensemble de segments dedroite joignant les moments fléchissants sur les appuis: Mi-2, Mi-1, Mi, Mi+1;puis pour chacune des travéesisostatiques associées, on détermine le diagramme des moments fléchissants, puis on utilise le principe desuperposition.

i-2 i- 1 i i+1

pi+1pi

pi-1Fi-1

li+ 1l ili-1

l i-1/2

i-2 i-1

pi-1F

l i-1li-1/2

i- 1 i

pi

li

F i+1

i i+1

pi+ 1Fi+ 1

l i+1

α i+ 1

li+ 1li+1

α i+1

xxx

M i-1 Mi M i+ 1 M i+ 1 i+ 1i+ 1( α l )

j i+ 1j i-1

i- 1

Mi (

li

/2 )

M i-1 l /2i -1( )

M

M i+ 1 i+ 1i+ 1( α l )l iMi ( /2 )

M i-1 l /2

Mi+ 1MiMi-1M i-2

( )i -1


Albouy

4. METHODE POUR TRACER LES DIAGRAMMES DE MZ SUR UNE POUTRE DE LIGNEMOYENNE BRISEE.

Soit le portique suivant:

qi

i-1

i

hi

qi

i-1

i

hi

Mz

qi

i-1

i

hi

Mz

Mi

extrémum

Barre isostatique associée

h Mq h

i zi

i i2 +

Mq h

ii i0

2

8=

hi

2

Mq h

ii i0

2

8=


Albouy

5. DEMONSTRATIONS DES PROPRIETES GEOMETRIQUES DES PARABOLES.Propriété n°1 : La pente de la « ligne de fermeture » notée 1’, joignant les ordonnées des moments sur lesextrémités M i et M i−1 est identique à la pente de la tangente à la parabole pour l’abscisse du milieu de labarre notée 1.Pour tout tronçon i i−1; de barre droite de longueur Li , l’équation du moment de flexion s’écrit :

( ) ( ) ] [ii

zii

zizizi L,xLx.M

Lx.MxMxM 011

0 ∈+

−+= −

Les moments aux extrémités de la barre M zi−1 et M zi ne dépendent pas des charges appliquées à ce tronçon,

par contre ( )xM zi0 dépend des charges appliquées sur ce tronçon supposé isostatique (articulé en i-1 et appuyé

simplement en i). Lorsque la charge est uniformément répartie ( ) 0>−= iiyi ppxp , le moment s’écrit :

avec ( ) ( )222

20 xLxpxpx.LpxM iiiiizi

−=−=

L’équation de l’effort tranchant : ( ) ( ) ( ) ( )i

ziziyi

ziyi L

MMxV

dxxdM

xV 10 −−−=−=

Dans la section médiane, pour xLi=2

( ) ( )i

ziziiyi

iyi

Lx

zi

LMMLVLV

dxxdM

i

10

222

−

=

−+

−=

−=

or 02

0 =

i

yiLV d’où

( ) ( )dM xdx

M ML

zi

xL

zi zi

ii

=

−

=

−

2

1

( )M ML

zi zi

i

− −1

représente aussi la pente de la droite dite de fermeture reliant les moments aux extrémités de ce

tronçon.

Propriété n°2 : Déterminons les valeurs de CB et C’B’ 843

243 2

0 ii

izi

Lp.LM.'B'CCB =

==

Équation de la droite reliant les moments aux extrémités du tronçon : i i−1

( ) ] [M x MxL

MxL

x Lzii

zii

i1

1 1 0' . . ,= −

+ ∈−

Or ( ) ( ) ( ) ] [i'

zizi L,xxMxMxM 010 ∈+= La distance entre la parabole et la ligne de fermeture que l’on

peut exprimer par ( ) ( ) ( )xMxMxM zi'

zi01 =−

843

244

4

20 i

i

ii

ii

izi

Lp

LLLpLMCB =

−

=

=

de même 84

32

43

43

43 2

0 ii

ii

ii

izi

Lp

LLLpLM'B'C =

−

=

=

843

243 2

0 ii

izi

Lp.LM.'B'CCB =

==


Albouy

Propriété n°3 : Pente de la tangente à la parabole en B notée 2, point de la parabole qui correspond à

l’abscisse Li

4 identique à la pente de 2’.

( ) ( ) ( )i

ziziii

i

ziziiyi

L

zi

LMMLp

LMMLV

dxxdM

i

110

444

−− −+=

−+

−=

Pente de la droite notée 2’ joignant le point d’ordonnée ML

zii

2

et le point d’ordonnée M zi−1

ML

M

L

p LM

L

LM

L

LM

L

zii

zi

i

i izi

i

izi

i

izi

i

2

2

81 2 2

2

1

2

1 1

−

=

+ −

+

−−

− −

( )=

+ −

+

−

=+

−

= +−− − −

−

p LM M M

L

p LM M

Lp L M M

L

i izi zi zi

i

i izi zi

i

i i zi zi

i

2

1 1

2

118

112

12

2

812

12

24

Nous constatons que ces deux pentes sont identiques

Propriété n°4 : Tangentes à la parabole aux extrémités du tronçon i i−1 considéré.Elles concourent en D’ tel que ED=DD’

A l’origine :( )

( )

( )dM xdx

p L M ML

zi

x

i i zi zi

i

= +

−

=

−

0

1

2

A l’extrémité :( )

( )

( )dM xdx

p L M ML

zi

x L

i i zi zi

ii

= − +

−

=

−

21

Équation de la tangente à l’origine du tronçon ( ) ( )y x M

p L M ML

xi zii i zi zi

i− −

−= + +−

1 1

1

2d’où l’ordonnée du point D’

( ) ( ) ( ) ( )22

224222

1012

1111

−−−−−−

++

=

++=

−++==

zizii

ziziziiii

i

ziziiizii

ii

MMLMMMLpL

LMMLpMDyLy

( ) ( )EDLM'ED

MMDy i

zizizi

i 22

22

011 =

==

+− −

−

Équation de la tangente à l’extrémité du tronçon ( ) ( ) ( )y x Mp L M M

Lx Li zi

i i zi zi

ii= + − +

−

−−

21

d’où l’ordonnée du point pour xLi=2

( ) ( ) ( ) ( )22

224222

1012

1 −−− ++

=

++=

−

−+−+==

zizii

ziziziiii

i

ziziiizii

ii

MMLMMMLpL

LMMLpMDyLy

l’ordonnée du point pour xLi=2

correspond aussi au point D’


Albouy

( ) ( )EDLM'ED

MMDy i

zizizi

i 22

22

01 =

==

+− −

Il est facile de déterminer le point D’ : EDLpLM'ED iiizi 2

82

22

20 ==

= , pour tracer les tangentes, il suffit de

joindre les points correspondant aux moments M zi et M zi−1 au point D’.

Propriété n°5: Expression du moment maximum et abscisse de la section droite correspondante.

( ) 00 =iyi xV ( ) ( )( )

( ) 02

0 100

0

=−

−+−⇔=

−= −

i

ziziii

ii

x

ziiyi L

MMxpLpdx

xdMxVi

( )ii

ziziii Lp

MMLx 10 2

−−+=

( ) ( ) ( ) ( )

−++

−=

+

−+

−== −−−

i

izizizi

iiii

i

izi

i

izi

iiiiizimaxzi L

xMMMxLxpLxM

LxMxLxpxMM 0

110000

100

0 21

2

( ) ( )

( )

( )

M

pL M M

p LL

L M Mp L

M M M

L M Mp L

Lzi

ii zi zi

i ii

i zi zi

i i

zi zi zi

i zi zi

i i

imax =

+−

− +−

+ + −

+−

− −

− −

−

2 2

2

21 1

1 1

1

( ) ( ) ( )M

p L p M Mp L

M M MM M

p Lzii i i zi zi

i izi zi zi

zi zi

i imax = −

−

+ + − +−

−− −

−2

1

2

1 11

28 212

( ) ( ) ( )M

p L M Mp L

M M M Mp Lzi

i i zi zi

i i

zi zi zi zi

i imax = −

−

++

+−

− − −2

1

2

21 1

2

28 2 2

( ) ( )M

p L M M M Mp Lzi

i i zi zi zi zi

i imax = +

+

+−

− −2

1 1

2

28 2 2

( )M

L p L M Mzi

i i i zi zi

2 8 2

21

= +

+

−

( )M M

L M Mp Lzi zi

i zi zi

i imax =

+

−

−

2 21

2

2

Nous pouvons atteindre la valeur du moment maximum, en utilisant les propriétés 1 et 4

( ) ( )( )

ii

zizi

izimaxzi

ii

izimaxzi

i

ziziiyi

Lx

zi

LpMM

LMM

Lx

LMM

LMMLV

dxxdM

i 10

1

2

22

2

22

2 −

−

=−

−

=

−

−

=−

=

−=


Albouy

( ) ( ) ( )M M

L M ML

M Mp L

M Mp Lzi zi

i zi zi

i

zi zi

i i

zi zi

i imax −

=− −

=−

− − −

212 2

1 1 1

2

2

( )M M

L M Mp Lzi zi

i zi zi

i imax =

+−

−

2 21

2

2

( )xL M M

p Li zi zi

i i0

1

2= +− −

Li

2

ML

zii

2

M zi max

pente de la tangente ( ) ( )dM x

dxV

L M ML

zi

xL

yii zi zi

ii

= −

=

−

=

−

2

1

2

//

// M ML

zi zii

max −

2

Propriété n°6 :Équation du moment de flexion dans le cas d'une poutre simplement appuyée de portée L soumise à une chargeuniformément répartie p .

α1L α2L L

( )M Lz α1

( )M Lz α2

Mz

x

( )M xpLx px

z = −2 2

2

représentée par

une parabole.Soit deux sections droites quelconquesd'abscisses respectives α1L , α2 L pourlesquelles le moment de flexion a

respectivement pour valeur ( )M Lz α1 et

( )M Lz α2 .

Effectuons un changement de variable: posons x L X= +α1 , l'équation de la parabole s'écrit

( ) ( ) ( )M X

pL X L p X Lz1

1 1

2

2 2=

+−

+α α

( )M Lz α1

( )M Lz α2

X

( )M Xz1

( )L α α2 1−0

L'équation de la droite joignant les pointsappartenant à la parabole d'abscisses, 0 ,

( )L α α2 1− s'écrit:

( ) ( )( ) ( )M L M L

L LX M Lz z

z

α α

α αα2 1

2 11

−

−+


Albouy

Formons ( ) ( ) ( )( ) ( )M X

M L M LL L

X M Lzz z

z12 1

2 11−

−

−+

=

α α

α αα

( ) ( )( )=

+−

+−

−

− −

−+ −

pL X L p X LpL pL pL pL

L LX

pL pLα αα α α α

α α

α α1 1

2

22

22

2 21

21

2

2 1

21

21

2

2 22 2 2 2

2 2

( ) ( )

( )= + − − − −

−−

−

−+ −

pLX pL pX p LX pL

pL pL

LX

pL pL2 2 2

22 2

2 2

2 2

21

21

21

2

22 1

22

21

2

2 1

21

21

2α α α

α α α α

α α

α α

( )

= + − − − − −+

+ −

pLX pL pX p LX pL pL pLX

pL pL2 2 2

22 2 2 2 2 2

21

21

21

22 1

21

21

2α α α α α α α

= + − − − − + + − +pLX pL pX p LX pL pL X pL X pL X pL pL

2 2 22

2 2 2 2 2 2 2

21

21

21

22 1

21

21

2α α α α α α α

( )=

−−

pL X pXα α2 12

2 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22

212

112

121

pXXpLLMXLL

LMLMXM zzz

z −−

=

+−−

−αα

ααα

αα

Nous trouvons une équation de la même forme que ( )M xpLx px

z = −2 2

2

On passe de ( )M xz à ( )M Xz1 en remplaçant ( )x X L L→ → −α α2 1

( )M Xz1 correspond à l'équation du moment de flexion dans le cas d'une poutre simplement appuyée de portée

( )L α α2 1− soumise à une charge uniformément répartie p .


Albouy

α1L α2L L

( )M Lz α1

( )M Lz α2

Mz

x

α1L α2L L

( )M Lz α1

( )M Lz α2

Mz

x

α1L α2L L

Mz

x

( )pL22 1

2

8α α−

( )pL22 1

2

8α α−

Il est donc possible de décomposer le diagramme desmoments comme indiqué ci-contre.

Si sur un tronçon de poutre de longueur ( )L α α2 1− ,nous connaissons les moments de flexion aux extrémitésd'abscisses respectives α1L , α2 L , il suffit de tracer laligne de fermeture c'est-à-dire la droite passant par les

points de moments ( )M Lz α2 , ( )M Lz α1 , puis d'ajouterle moment pour une poutre simplement appuyée de

longueur ( )L α α2 1− chargée uniformément par p .Nous savons que le moment au milieu de la portée est un

extremum et à pour valeur ( )pL2

2 1

2

8α α−

.

C'est une propriété caractéristique des paraboles.


Albouy

Propriété n° 7 : Cas où la ligne d’application de la charge et la barre ne sont pas parallèles.L’abscisse du moment max., parallèle à Li (longueur d’application de la charge), est identique à celle du

cas où la barre est parallèle à Li soit : ( )

XL M M

p Li i i

i i= +

− −

21

.

Mi maxMzi(x)

Mi-1 Mi

x

pi

Li

pi

cos α

2

pi sin α

cos α

α

X0=Li2

Mi Mi-1)-(+ Li

i-1

i

i-1

i

x

xy

y

mesuré dans la direction // Li

x0

pi

Nous avons montré qu’une charge pi uniformément répartie par mètre horizontal pouvait se décomposer en une

charge pi cos2 α perpendiculaire à la barre et donnant le moment de flexion et l’effort tranchant plus une charge

pi cos sinα α parallèle à la barre mais n’intervenant que pour l’effort normal. Nous avons montré, pour le cas

d’une barre horizontale // à Li , la relation donnant l’abscisse mesurée parallèlement à la barre du moment

maximum : ( ) ( )

x

LM M

pL

L M Mp L

i

i i

ii

i i i

i i= +

−= +

−− −cos

cos .cos

cos cos .α

αα

α α2 21

2

1 ;

( )x

L M Mp L

Xi i i

i icos

.α = +

−=−

21

Nous pouvons remarquer que l’abscisse du moment max., parallèle à Li (longueur d’application de la

charge),, est identique à celle du cas où la barre est parallèle à Li soit : ( )

XL M M

p Li i i

i i= +

− −

21

.


Albouy

Propriété n°8 : Abscisses des points de moments nuls

x 0

x i'

x i''

M zi max

M zi

M zi −1

L i

δ δ

Soit x xi i' '' les abscisses des points de moments nuls, posons x x x xi i' ''= − = +0 0δ δD’après la propriété 6, l’expression reliant la longueur de la base d’une parabole en fonction de sa hauteur.

( )M

pzi

imax =

28

2δ d’où 2

8 2δ δ= =

Mp

Mp

zi

i

zi

i

max max

( ) ( ) ( )M M

L M Mp L

Mp L M M M M

p Lzi zii zi zi

i izi

i i zi zi zi zi

i imax max=

+

−

= ++

+−

− − −

2 2 8 2 21

2

2

21 1

2

2

( )x

L M Mp L

i zi zi

i i0

1

2= +

− −

x xM

px x

Mpi

zi

ii

zi

i' ''max max= − = +0 0

2 2x x

Mpi izi

i'' ' max− = =2

8δ


Albouy

x 0

M zi max

M zi

M zi −1

MR 1

2 1δ

En utilisant l’expression précédentereliant la longueur de la base d’uneparabole en fonction de sa hauteur.

( )2

81

1δ =

−M Mp

zi R

i

max

Cette formule est intéressante pourdéterminer la longueur des barres(voir l’épure d’arrêt des barres)

Propriété n°9

x 0

M zi max

M'

MP1

Q1

P' Q'A B

M1

=Li

2

( )=p Li i

2

8

Pour déterminer graphiquement lepoint M appartenant à la parabole,d’abscisse quelconquereprésentée par M’.Soit les points A et B appartenantà la parabole, A et B sont sur une’horizontale.Traçons les tangentes en A et B.Traçons M’M1.Soit P’ milieu de AM’ et Q’ milieude M’B. Traçons les segments dedroite P’P1 et Q’Q1.Traçons P1Q1.L’intersection de P1Q1 avec M’M1donne le point cherché M.

Jean Michel PEDECHES - Site Web du LMDC - … · Savoir représenter les lignes d’influence...

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