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Dehard 2002 LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES HYPERSTATIQUES u soit une poutre hyperstatique, parcourue par une charge verticale P; R u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche); P

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES HYPERSTATIQUESu soit une poutre hyperstatique, parcourue par

une charge verticale P;

R

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

P

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES HYPERSTATIQUESu soit une poutre hyperstatique, parcourue par

une charge verticale P;

R=0

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

P

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES HYPERSTATIQUESu soit une poutre hyperstatique, parcourue par

une charge verticale P;

R= −P/4

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

P

−P/4

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES HYPERSTATIQUESu soit une poutre hyperstatique, parcourue par

une charge verticale P;

R=0

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

P

−P/4

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES HYPERSTATIQUESu soit une poutre hyperstatique, parcourue par

une charge verticale P;

R=P

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

P

−P/4

PL.I. R

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES HYPERSTATIQUES

u la L.I. est la courbe telle que son ordonnée lue sous les diverses positions de la charge donne la valeur de l’effet considéré dans la section choisie;

u la L.I. permet donc de trouver la position des charges qui produit le max (le min) d’un effet déterminé dans une section déterminée;

−P/4

PL.I. R

R

P

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn Hypothèses

u cas de charges verticales (vers le bas);u démonstration pour une charge unitaire

(principe de superposition applicable);

n L.I. réaction d’appui (R)u soit une poutre hyperstatique soumise à une

charge unitaire ; 1A B C

u recherchons RB par la méthode suivante: RB

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn L.I. réaction d’appui (R)

1A B C

1 2

u on effectue une coupure relative à RB en 1 ;

1A B C

1 2

d12 d22

u sous la charge unitaire, on a les déplacementsd12 et d22 (projetés sur la direction des forces) :

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn L.I. réaction d’appui (R)

u on reprend la même poutre avec la coupure et on y applique une réaction qcq R en 1 ;

1A B C

1 2

d12 d22

R

A B C1 2

d11 d21

u sous cette réaction, on a les déplacements d21 et d11 (projetés sur la direction des forces) :

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn L.I. réaction d’appui (R)

u pour que R soit la réaction RB sous la charge unitaire, il faut : d12 + d11= 0 (éq. compatibilité)

u selon le th. de réciprocité de Maxwell :1.d21 = R.d12

u donc : d21 = − RB.d11

1A B C

1 2

d12 d22

R

A B C1 2

d11 d21

RB = − d21/d11

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn L.I. réaction d’appui (R)

u si on choisit d11 comme unité, RB est donc donné par l’ordonnée d21 de la déformée lue sous la charge !

u la L.I. de RB: c’est la déformée (de la poutre «coupurée» sous l’effet cherché) lue à

l’échelle d11 du D.R.B.C. : RB = y/u !

RB

A B C

d11 d21

RB = − d21/d11

1

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn L.I. effort tranchant (V)

1A B C

V = − d21/d11

V

VA B C

1 d11

d21

u si on choisit d11 comme unité, V est donc donné par l’ordonnée d21 de la déformée lue sous la charge !

u la L.I. de V: c’est la déformée (de la poutre «coupurée» sous l’effet cherché) lue à

l’échelle d11 du D.R.B.C. : V = y/u !

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn L.I. moment (M)

1A B C

M = − d21/d11

M

u si on choisit d11 comme unité, M est donc donné par l’ordonnée d21 de la déformée lue sous la charge !

u la L.I. de M: c’est la déformée (de la poutre «coupurée» sous l’effet cherché) lue à

l’échelle d11 du D.R.B.C. : M = y/u !

M

A B C

1

d21

d11

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUES

u pour des charges verticales vers le bas;u si le dépl. va dans le sens des efforts associés;

n Les signes des L.I.

u d11 étant tjs positif et d21 négatif au-dessus :u les plages L.I. sont donc positives au-dessus !

RB

A B C

d11 d21

1

RB = − d21/d11

M

A B C

1

d21

d11 M = − d21/d11

−+

+−−

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn Les unités des L.I.

u a b

u = b/a

u

RB

A B Cy

1

M

A B C

1

y

VA B C

1

y

u

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn Utilisation des L.I.

u pour n charges concentrées :

u pour une charge répartie q(x):

dxu

)x(y)x(qM,V,R

b

a∫=∑

=

=n

1i

ii

uy

QM,V,R

u pour une charge uniformément répartie q:

uS.q

dx)x(yuq

M,V,R )b,a(b

a

== ∫u Les effets max s’obtiendront en chargeant le

plus possible les plages de même signe !

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUES

n Pour obtenir la L.I. d’un effet:Théorème de LANDu effectuer une coupure simple relative à l’effet;u appliquer une valeur qcq de l’effet qui donnera

à la poutre une déformée correspondante;u la déformée obtenue, lue à l’échelle du

déplacement relatif des bords de la coupure, représente la L.I. cherchée;

u remarque : les ordonnées de la L.I. sont en fait les projections des déplacements sur la direction des forces (projections confondues avec les déplacements dans le cas de poutres horizontales et de charges verticales).

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUES

n Recueils de L.I.

u Pour les poutres continues (sur appuis indéformables) à travées égales (L), il existe des recueils fournissant les L.I. sous forme de graphiques et tableaux ;

u L.I. de R et de M en travée ou sur appui ;

u Pour les V, voir théorème des 2 moments :V(x) = (Md − Mg) / L + V(x)iso

u Exemple de la L.I. du M au milieu de la 2ème travée d’une poutre à 5 travées :

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn Recueils de L.I.

0245,0Ls2

−=

0736,0Ls2

=

0197,0Ls2

−=

0054,0Ls2

=

0018,0Ls2

−=

079,0)Ls

(2

+=+∑ 046,0)Ls

(2

−=−∑ 033,0)Ls

(2

=∑

M −+ +

−−

L

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn Recueils de L.I.

x / L TR. 1 TR. 2 TR. 3 TR. 4 TR. 5

0,0 0 0 0 0 0

0,1 -0,0097 +0,0226 -0,0156 +0,0042 -0,0012

0,2 -0,0188 +0,0511 -0,0255 +0,0069 -0,0021

0,3 -0,0268 +0,0856 -0,0308 +0,0083 -0,0026

0,4 -0,0330 +0,1262 -0,0317 +0,0086 -0,0028

0,5 -0,0368 +0,1729 -0,0296 +0,0081 -0,0027

0,6 -0,0377 +0,1257 -0,0251 +0,0069 -0,0024

0,7 -0,0350 +0,0848 -0,0191 +0,0054 -0,0020

0,8 -0,0283 +0,0502 -0,0124 +0,0035 -0,0014

0,9 -0,0168 +0,0219 -0,0058 +0,0016 -0,0007

1,0 0 0 0 0 0

)Ly

( i

M −+ +

−−

L

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L. I. POUTRES HYPERSTATIQUESn Recueils de L.I.

u Pour les charges concentrées :

u Pour les charges uniformément réparties :

∑=

=n

1iii y.QR L.)

Ly

(QMn

1i

ii∑

=

=

)Ls

.(L.qR = )Ls

.(L.qM2

2=