Jean-Maxime doit se rendre au travail. En chemin, il passera au centre dactivités physiques pour...
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Jean-Maxime doit se rendre au travail. En chemin, il passera au centre d’activités physiques pour s’entraîner.
De sa maison, il parcourt une distance de 0,75 km dans la direction [N36oE] et s’arrête au centre.
Après son entraînement, il marche jusqu’à l’arrêt d’autobus situé à 0,50 km au sud du centre.
L’autobus arrive.
Jean-Maxime embarque et débarque à l’entrée de son travail, 2,6 km plus loin dans la direction [S40oE].
Détermine le déplacement total de Jean-Maxime.
Étape 1 : Écris les données et trace un diagramme vectoriel.
Données :
1
2
3
0,75km [N36°E]
0,50km [S]
2,6km [S40°E]
?total
d
d
d
d
1d
2d
3d
totald
Diagramme vectoriel :
36o
40ox
y
x
y
x
Le triangle est rectangle et la mesure de l’angle entre l’axe des x positif et le vecteur est donnée. Tu peux alors faire appel au rapport trigonométrique cosinus.
Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des
vecteurs à additionner.
1d
36o
x
y
90 36 54 54
1xd
1yd
Commence par déterminer la composante dans la direction x.
cosadj
hyp
Pour cela, détermine la longueur du côté adjacent à l’angle
cosadj
hyhyp hyp
p
coshyp adj
cosadj hyp
(composante vectorielle dans la direction x)
(com
posa
nte
vect
orie
lle
dan
s la
dire
ctio
n y)
Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des
vecteurs à additionner.
1d
36o
x
y
54
1xd
1yd
0,75 km
cosadj hyp
(composante vectorielle dans la direction x)
(com
posa
nte
vect
orie
lle
dan
s la
dire
ctio
n y)
La longueur de l’hypoténuse est la longueur du vecteur donné, soit 0,75 km.
1 (0,75km) cos54xd
1 0,4408kmxd
* Note que pour indiquer qu’il s’agit bien d’une composante et non d’une composante vectorielle, il n’y a pas de flèche au-dessus de la lettre.
Une fois que tu as déterminé la composante dans la direction x, calcule la composante dans la direction y.
Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des
vecteurs à additionner.
1d
36o
x
y
54
1xd
1yd
0,75 km
cosadj hyp
(composante vectorielle dans la direction x)
(com
posa
nte
vect
orie
lle
dan
s la
dire
ctio
n y)
1 (0,75km) cos54xd
1 0,4408kmxd
Tu cherches maintenant à déterminer la longueur du côté opposé à l’angle
La longueur du côté opposé à l’angle est la composante dans la direction y.
Fais appel au rapport trigonométrique sinus pour déterminer la composante dans la direction y.
Note que est toujours la mesure de l’angle prise dans le sens anti-horaire entre la partie positive de l’axe des x et le vecteur. 1 0,6068km
yd 1 0,6068km
yd
Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des
vecteurs à additionner.
1d
36o
x
y
54
1xd
1yd
0,75 km
(composante vectorielle dans la direction x)
(com
posa
nte
vect
orie
lle
dan
s la
dire
ctio
n y)
sinopp
hyp
sinopp
hyhyp hyp
p
sinhyp opp
sinopp hyp
1 (0,75km) sin 54yd
Récapitulation (mi-activité)
Pour déterminer la composante dans la direction x, tu peux utiliser l’équation qui suit :
cosadj hyp
Tu peux aussi retravailler l’équation pour qu’elle soit plus pratique.
xiadj d
ihyp d
L’équation devient :
cosxi id d
où est toujours la mesure de l’angle prise dans le sens anti-horaire entre la partie positive de l’axe des x et le vecteur.
Récapitulation (mi-activité) (suite)
Pour déterminer la composante dans la direction y, tu peux utiliser l’équation qui suit :
sinopp hyp
Tu peux aussi retravailler l’équation pour qu’elle soit plus pratique.
yiopp d
ihyp d
L’équation devient :
sinyi id d
où est toujours la mesure de l’angle prise dans le sens anti-horaire entre la partie positive de l’axe des x et le vecteur.
Détermine maintenant les composantes dans les directions x et y des
deux autres vecteurs.
2dx
y
2 (0,50km) cos 270x
d
2 0kmx
d
2 (0,50km) sin 270y
d
2 0,50kmy
d
cosxi id d
270
sinyi id d
0,50 km
3 (2,6km) cos310x
d
3 1,6712kmx
d
3 (2,6km) sin 310y
d
3 1,9917 kmy
d
cosxi id d
270 40
sinyi id d
3d
40o
x
y
310
3xd
3yd
3,6 km
Étape 3 : Additionne les composantes dans chaque direction (x et y).
1 0,4408kmxd
2 0kmx
d 2 0,50kmy
d 1 0,6068kmyd
0,4408km 0km 1,6712kmxd
0,6068km ( 0,50) km ( 1,9917) kmyd
2,112kmxd
1,8849kmyd
3 1,6712kmx
d 3 1,9917 kmy
d
Étape 4 : Résous le triangle rectangle qui en résulte pour déterminer la
longueur du vecteur résultant (l’hypoténuse) et son orientation.
x
y
totald
2,112kmxd
2,8308kmtotald 2,8308km
Étape 4 : Résous le triangle rectangle qui en résulte pour déterminer la
longueur du vecteur résultant (l’hypoténuse) et son orientation.
totald
2,112km
2 2 2c a b 2 2 2(1,8849km) (2,112km)totald
2 28,0134kmtotald 2 28,0134kmtotald
tanopp
adj
2,112kmtan
1,8849km
tan 1,1205 1tan (1,1205)
48 48
1,88
49km
yN1d
2d
3d
totald
x
Donc, le déplacement total de Jean-Maxime
est de 2,8 km [S48oE].