(Concluded)

NOTES

Location of Axis u-u Axis v - v shear centre

1 ,,,, a r ,. .I xs Y S 1 ,, C , P I * P?* (1 06mm4) (deg .) (106mm4) (mm) (1 03mm4) (mm) (mm) (106mm4) ( 1 06mm6) (mm) (mm)

0.158 26.2 0.017 6.08 5.40 5.16 12.1 0.251 0.282 25.9 43.7 0.139 25.5 0.016 6.46 3.23 5.81 13.8 0.241 0.122 26.9 52.0 0.118 24.0 0.017 7.13 1.74 6.54 15.9 0.232 0.022 29.3 57.2 0.092 23.7 0.014 7.37 0.754 6.62 16.4 0.184 0.006 30.2 58.0

outside of vertical leg respect to x-x and y-y axes) x s negative x-coordinate of shear centre (with a angle of inclination of major principal axis

respect to x-x and y -y axes) with respect to the horizontal - Y vertical distance of the centroid from the P,, P2 parameters required for the calculation of

outside of the horizontal leg theoretical buckling loads of eccentrically Y S negative y-coordinate of shear centre (with loaded columns

Influence de la turbulence sur la force tractrice dans les canaux rectangulaires lisses

KAROL ROHAN ET GBRALD PILON De'partement de ge'nie civil, Faculte' des sciences applique'es, Universiti de Sherbrooke, Sherbrooke (Qui . ) , Canada JIK 2Rl

R e p le 5 avril 1983 RCvision acceptCe le 23 avril 1984

Un programme de recherche a CtC entrepris a I'UniversitC de Sherbrooke afin de dCvelopper en laboratoire, des procdures pour dCterminer les forces tractrices moyennes et maximales i partir des relevis des vitesses ponctuelles 5. l'aide d'un v&locimetre laser.

Dans le cadre de cette recherche, pour des canaux rectangulaires lisses, une fonction entre la vitesse ponctuelle et la contrainte locale de cisaillement a CtC dCterminCe. Cette derniere implique des parametres adimensionnels, tels la forme de la section, la pente de la ligne dlCnergie ainsi que le nombre de Reynolds. Cette fonction peut aussi &tre employCe i la determination des forces tractrices maximales.

A specific research program was undertaken at the University of Sherbrooke in order to develop new procedures to determine the mean and the maximal shear stress found by means of velocity distribution measurements. For this purpose, the noninvasive flow measurement technique of laser velocimetry was employed.

For smooth rectangular channels, a function between local velocity and local shear stress was developed, which includes nondimensional parameters such as the form factor of the cross section, the slope of the energy grade line, and the Reynolds number. This function can also be employed to estimate the value of maximal instantaneous shear stresses.

Can. 1. Civ. Eng. 11, 655-662 (1984)

Introduction La rktrospective de divers travaux antkrieurs por- La mkthode qui fait l'objet de cet article permet d'ob- tant sur l'kvaluation et la dktermination des contraintes

tenir les valeurs des contraintes locales, partir de de cisaillement en canaux a surface libre, permet mesures de vitesses prises le long du ptrimetre mouillk de constater de grands kcarts entre les rksultats de la section d'tcoulement en canaux lisses. disponibles.

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En canaux, plusieurs facteurs importants tels que la forme de la section et diverses autres caracteristiques hydrauliques sont souvent negligees dans les expres- sions employtes pour les calculs de contraintes de ci- saillement. Nous avons donc tent6 de trouver une ex- pression, oh on pourrait tenir compte de ces facteurs.

Rappel des travaux anterieurs I1 ne serait pas opportun de passer ici en revue le

grand nombre de references bibliographiques que nous avons pu amasser et consulter dans le cadre de cette recherche. C'est pourquoi nous nous limitons dans ce paragraphe a quelques remarques concernant ces tra- vaux. I1 faut noter que les travaux de Lane (1955) sont encore utilists dans la pratique.

En Ccoulements turbulents, il n'y a pas de formule rationnelle permettant de predire la repartition de contraintes de cisaillement sur le pkrimktre mouillC. Cette dernikre, tout comme la distribution de vitesse, implique trop de facteurs dont l'influence mutuelle est connue mais extrtmement difficile a formuler.

De plus comme il existe plusieurs moyens directs et indirects pour determiner la contrainte de cisaillement, 70, du ptrimktre mouille, il n'est pas surprenant de constater a travers les differentes recherches, la variabi- lit6 des rksultats experimentaux obtenus.

Nous avons compile a la fig. 1 les rksultats de diffe- rents auteurs concernant les valeurs maximales des contraintes de cisaillement au fond (T,)~,,, et sur la paroi ( T ~ ) ~ , , , ~ en fonction du rapport de forme B / h pour des canaux rectangulaires lisses. On peut en deduire qu'au fond du canal le rapport [ ( ~ o ) b r n ~ ~ / ~ ] r n ~ ~

s'obtient pour une valeur de B / h comprise entre 3 et 4 et que sa valeur semble fluctuer, selon les auteurs, entre 1,18 et 1,55. Du cGtC des parois le rapport [ ( T ~ ) ~ ~ ~ ~ / T ] ~ ~ ~ oscille autour de la valeur de 1,25. La disparite de ces rksultats peut s'expliquer entre autres par le fait que differentes mithodes de determination des contraintes ont ete utilisees.

Dans la pratique, trois methodes d'evaluation des contraintes de cisaillement sont actuellement em- ployees a savoir: profil de vitesse (supposant par exemple une loi logarithmique), tube de Preston calibre par Bradshaw et Gregory (1958) et balance a friction.

Dans la litterature, la comparaison des rksultats d'aprks ces methodes montre un Ccart relatif allant jusqu'a 15%.

Concepts de base et analyse du phenomene Les conclusions de Strauss (1963), qui a compark

plusieurs methodes indirectes d'evaluation des con- traintes de cisaillement avec sa propre methode directe, nous ont amen6 2 developper une methode qui est dans son concept basCe sur l'hypothkse de PantClopoulos

(1954). D'aprks cette hypothkse, l'auteur suppose qu'une valeur moyenne locale de vitesse selon la direc- tion principale d'ecoulement a proximite de la paroi ou encore du fond engloberait une bonne partie des in- fluences locales de la tridimensionnalite de 1'Ccoule- ment en ce point. I1 introduisit dans le cas d'un kgime dYCcoulement turbulent la relation

ou ii = vitesse moyenne en un point pres du ptrimetre mouillC et Kp = constante de transfert, qui doit avoir la mCme valeur le long du ptrimktre pour un tcoulement donne.

La constante Kp est dCrivCe a partir de 17Cquation

oh y = poids volumique du fluide, Ub = vitesse moyen- ne en un point situC a proximitt du fond, i, = vitesse moyenne en un point situe a proximite de la paroi et R = rayon hydraulique.

La distance de ces mesures du fond et des parois n'est pas definie dans la publication de Strauss.

L'analyse dimensionnelle montre qu'il est possible de relier la contrainte moyenne de cisaillement sur le pirimktre mouille aux autres variables d'un Ccoule- ment. Par exemple, en canaux rectangulaires pour un ecoulement turbulent:

B P e U Uh [,I 7 0 = pu2+ (;, ;. j ; . S,. 7, -1

gh v La contrainte moyenne de cisaillement est donc

proportionnelle au carre de la vitesse moyenne d'icou- lement a travers toute la section, mais est egalement fonction de divers autres paramktres representant: la forme de la section ( B / h , P / h ) , la rugosite relative de la section ( e / h ) , la pente de la ligne d'energie (S,) et les caracteristiques de 1'Ccoulement sous forme des nom- bres de Reynolds et de Froude, respectivement Uh/v , urn.

L'Ctude s'etant limitee a des canaux lisses, le para- mktre e / h a pu Ctre elimine. De plus comme pour un Ccoulement en canal le nombre de Froude est rarement superieur a 3 , et que d'aprks Chow (1959) sous cette limite les effets du nombre de Froude sont non signifi- catifs, nous avons CliminC ce param5tre.

Au niveau ponctuel, l'analyse dimensionnelle mkne, dans un canal rectangulaire lisse et trks large, a la relation

ou u', v' sont les valeurs de fluctuations de vitesse locales dans les deux directions principales respective- ment; y / h = position relative dl1 point de mesure par

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NOTES 657

Sur les porois --2---

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018

RAPPORT D E FORME B/h

AUTEURS : - Au fond I i --- ROO (1967)

/ - Kartha et Leutheusser (1970)

/

- Ghosh et Jena (1971)

. - . Knight et McDonald ( 1 9 7 9 ) - - Worrnleoton et 0 1 .(I9801 -

I I I I I I I I I I I I I

FIG. I . Comparaison des rapports de contraintes maximales aux contraintes moyennes en fonction du rapport Blh , en canaux rectangulaires lisses.

rapport 2 ia paroi ou au fond; ii = vitesse moyenne locale; yiilv = nombre de Reynolds local.

Dans les canaux moins larges les facteurs de forme de la section ( B l h et P l h ) ne sont plus ntgligeables. Pour considtrer l'effet du caractkre de turbulence, on devrait connaitre la covariance des deux variables altatoires, u ' et v' qui, en g td ra l , ne sont pas indtpendantes. La thtorie semi-empirique de Prandtl exprime la contrainte de cisaillement, en introduisant la notion de la longueur de mtlange turbulent 1. En comparant son expression avec la relation classique de Reynolds, on peut tcrire:

- , dii d i [ 5 ] T o = - p u ' v l = p l - - - I dy 1 dy

La valeur de 1 traduit entre autres aussi dans un cer- tain sens la covariance des deux composantes de fluc- tuation de vitesse. Pour un tcoulement quelconque en rtgime turbulent, on dtfinit entre 14' et v ' un coefficient de corrtlation C:

oh 0 < C < 1, c'est-a-dire si aucune relation n'existe entre u' et v', C = 0 et si la relation est lintaire, C = 1 a savoir u ' = kv'.

Dans ce cas on exprime la contrainte par

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FIG. 2. Le vClocirn6tre Doppler i laser.

TABLEAU 1 . Garnrne des valeurs relatives aux variables mesuries lors des essais

Variable Syrnbole Unitis

Rapport de forrne B / h - Pente de fond SO - Largeur du canal B rn Profondeur d'Ccoulernent h rn Debit Q rn'/s ViscositC cinimatique v*106 m2/s Vitesse rnoyenne U rn/s

Gamrne des valeurs

4-30 0,0005-0,02517

0,508 0,0169-0,1270 0,0069-0,046

0,903- 1,018 0,383- 1,776

Nornbre de Reynolds 4 UR - - 52,330-313,300 V

Nornbre de Froude U - m 0,54-3,03

sgRs, Facteur de friction - - 0,0065-0,0304

U ' Contraintes rnoyennes

de cisaillement yRSc Pa 0,21- 10,46 y hS, Pa 0,25- 12,56 - (~4) Pa 0.75-5,15

Pour remplacer le coefficient C dans l'expression de TO et pour donner une plus grande flexibilitt de cova- riance de deux composantes pour une large gamme de l'intensitt de turbulence, nous exprimons le coefficient de corrtlation par

( u ' ) ~ - " ( v ' ) " rg1 cn = 4, ,/=

Dans ce cas [4] prendra la forme

[9] 70 = -p ( u ' ) ~ - " ( v ' ) "

ou 0 5 n 5 2; n = 1 donne 70, valeur moyenne mini- male et n = 0 fait disparaitre "l'influence" de la compo- sante v ' et donne 70. valeur moyenne maximale. La gamme de 1 5 n 5 2 est plutbt thtorique ou le 70, valeur maximale thiorique, serait B n = 2. L'exposant n carac- ttrise d'une certaine f a ~ o n l'intensitt et le caractkre de turbulence, donc l'importance mutuelle de chacune des composantes qui dtterminent la valeur de 70. Le calcul de au moyen de la relation [9] devrait comporter en plus une fonction reprtsentant le facteur de forme et I'influence du nombre de Reynolds, que nous expri-

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0 I O ~ e r i e d'essois - I Se=0,0025 I

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10 2 0 3 0

RAPPORT DE FORME B / h

FIG. 3. Variation de la constante K,, en fonction du rap- port de forme B/h. S, = pente de la ligne d'knergie.

RAPPORT DE FORME B/ h

FIG. 5. Variation de I'exposant x en fonction du rapport de forme.

l'expression d'une fonction utilisant d'abord la vitesse ponctuelle moyenne ii comme variable:

[I21 70 = -p 6 ii2 L'expression de la fonction 6 devra permettre Cgale-

ment de dCterminer la contrainte moyenne de cisaille- ment en un point situC au fond, en plus de permettre l'estimation de la contrainte maximale instantante en ce m&me point. Cela pourra se faire en introduisant l a valeur maximale de vitesse enregistrie en un point plu- t6t que sa valeur moyenne.

Montage experimental L'Ctude expkrimentale a CtC effectuke dans un canal

vitrC, avec un fond en mCtal lisse, d'une largeur de 50,8 cm et d'une longueur utile de 760 cm. Le canal est sptcialement CquipC pour les mesures de turbulence. La longueur du canal est relativement faible pour Ctablir un Ccoulement uniforme avec une grande prkcision, ce qui n'Ctait pas nCcessaire pour les mesures qui font l'object de cet article. Le relevC des vitesses locales a travers la section d'Ccoulement s'est effectuC au moyen d'un vt- locimktre Doppler a laser (LDA) en mode de ritrodiffu- sion, voir fig. 2. Cette technique ne nCcessite pas la prCsence d'un capteur physique au sein d'ecoulement et permet Cgalement d'effectuer des mesures beaucoup plus pres de fond et des parois que les autres moyens

FIG. 4. Pararnktre de forme Q2 refletant I'influence selon la rntthode de Kazernipour et Apelt, du rapport B/h sur la rt- sistance de I'tcoulernent. Rtsultats de Tracy et Lester (l961), Shih et Grigg (1967) et Kazernipour et Apelt (1982).

mons par la fonction 4. L'Cquation correspondante re- vCtirait alors la forme

[ lo] 70 = -p 4 ( u ' ) = - ~ ( V I)''

On posera comme cas extrEme n = 0 dans 191, soit -

[ l l ] 70 = -p 4 u t 2

oh 6 reprksente une valeur moyenne baste sur les mesu- res. Pour des raisons pratiques on essaiera de trouver

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I I I I I I - Forrne: I -

-2 T ~ = - P ( $ ~ ) U - 0,002 -

- 0 Nurnto de la s6rie d'essois - - -

- - -

- - - - - - - - - -

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FIG. 6. Variation de I'exposant x en fonction du nombre de Reynolds et le parambtre S,.

conventionnels. M&me si la technique de mesures par un systeme LDA n'est pas t r b rCpandue, elle est assez bien connue et utilisCe par plusieurs instituts de recher- che. Afin de faciliter les dCplacements du systbme LDA d'un point de mesure a un autre; nous avons c o n p un support aux mouvements triaxiaux.

Le systeme d'acquisition et de traitement des don- nees consiste en un micro-ordinateur muni de ses pCri- phCriques usuels, ce qui permet, par l'intermtdiaire d'un logiciel, que nous avons spCcialement dCveloppC pour cet appareil, d'emmagasiner et de traiter jusqu'a 22000 valeurs ponctuelles de vitesse associCes a un point de mesure.

Resultats des essais En premier lieu nous avons d'abord effectuC une

verification de [I]. On s'est fix6 une distance des points de mesure par rapport au fond ou aux parois qui pour tous les essais se situait dans le bas de la zone turbulente de l'Ccoulement, soit 0,002 m.

Les rCsultats de ces essais sont pr6sentCs a la fig. 3. On y voit une certaine corrClation entre les series d'es- sais au niveau de la constante K,, mais ils montrent

aussi que d'autres facteurs intewiennent pour exprimer les liens existants entre E et 70. Quelques donnies hy- drauliques des essais effectuCs peuvent &tre consultCes au tableau 1. Les feuilles d'essais et les rQultats dCtail- 16s sont disponibles dans les archives de 1'Universitt de Sherbrooke.

S'appuyant sur l'analyse dimensionnelle, nous avons choisi surtout trois parametres qui peuvent rendre la fonction 6 dans [12] plus explicite, soit Blh , S, et Re. Apres avoir analysC un grand nombre de variantes selon la technique dite par essais et erreurs, nous avons tlabo- rC un modkle expkrimental englobant les trois paramk- tres adimensionnels citCs et permettant la connaissance,

priori, de la valeur rCsultante de la fonction + dans 1'Cvaluation de 70. Aprbs avoir examine plusieurs solu- tions, la forme ajustCe de [12] proposCe est la suivante:

ou I), reprCsente une fonction du rapport de forme, dCrivte des travaux de Kazemipour et Apelt (1982) et dont les valeurs s'obtiennent au moyen de la fig. 4; x = exposant englobant deux des trois parametres sans dimension dCja citCs (Re et S,) . Cornparant les valeurs

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- que s'appuyant sur I'analyse dimensionnelle, une equation, [13], a i t6 elaboree qui exprirne la fonction T ~ ( U ) englobant I'influence d e la forrne du canal (a2) et deux paramktres sans dimensions (Re, S,) en forrne d'un exposant ( x ) ; - qu'a cette fin, en canaux rectangulaires lisses dans une garnme d e rapports: 4 r B / h 30, une fonction [14] a CtC presentee cornportant des pararnetres adirnen- sionnels tels le rapport de forme, la pente d e la ligne d'knergie ainsi que le nornbre d e Reynolds; - qu'une formulation de ce type pourrait en plus per- mettre, en interchangeant la vitesse rnoyenne par la vitesse maximale, locale, de connaitre l'ordre de gran- deur des contraintes locales maxirnales instantanees agissant au niveau du pkrirnetre rnouillC d e la section.

Remerciement Nous tenons a remercier le Conseil de recherches en

sciences naturelles et en genie du Canada a Ottawa qui nous a permis d'entreprendre cette recherche.

BRADSHAW, P., et GREGORY, N. 1958. Calibration of Preston tubes on a flat plate using measurements of local skin friction. Aeronautical Research Council, London, England. Report 20.

CHOW, V. T. 1959. Open channel hydraulic. McGraw-Hill, New York, NY, p. 16.

DOUVILLE, S. 1981. Contribution 2i 1'Ctude de 1'Crosion des sols cohCsifs intacts. Thkse, maitrise de sciences appli- qudes, Universitd de Sherbrooke, Sherbrooke, QuC.

GHOSH, S. N., et JENA, S. B. 197 1. Boundary shear distribu- tion in open channel compound. Proceedings-the Institu- tion of Civil Engineers, 49, pp. 417-430.

KARTHA, V. C., et LEUTHEUSSER, H. J. 1970. Distribution of tractive force in open channels. ASCE Journal of the Hy- draulics Division, 96(HY7), pp. 1469-1483.

KAZEMIPOUR, A. K., et APELT, C. J . 1982. New data on shape effects in smooth rectangular channels. Journal of Hydraulic Research, 20(3), pp. 129- 147.

KNIGHT, D. W., et MACDONALD, J. A. 1979. Open channel flow with varying bed roughnesses. ASCE Journal of the Hydraulics Division, 105(HY9), pp. 1 167- 1183.

LANE, E. W. 1955. Design of stable channels. Transactions of the American Society of Civil Engineers. 120, pp. 1234-1279.

PANTELOPULOS, J. 1954. Theoretical-experimental study of the sedimentation and scouring of the Danube water scheme reservoir. Annual Report, Water Research Insti- tute, Bratislava.

RAO, K. K. 1967. Effect of shape on the mean-flow charac- teristics of turbulent flow through smooth rectangular open channels. Ph.D. thesis, University of Iowa, Iowa City, IA.

SHIH, C. C. , et GRIGG, N. S. 1967. A reconsideration of the hydraulic radius as a geometric quantity in open channel hydraulics. Proceedings of the 12th Congress of the Inter- national Association of Hydraulic Research, Vol. I , pp. 288-296.

STRAUSS, V. 1963. Mesures directes de la force tractrice dans un canal de section rectangulaire avec un fond lisse. Journal de I'AcadCmie des Sciences Slovaques (SAV), Bratislavie, TchCcoslovaquie, 3, pp. 289-297 (en slovaque).

TRACY, H. J., et LESTER, C. M. 1961. Resistance coefficients and velocity distribution, smooth rectangular channel. Geological Survey Water-Supply Paper, No. 1592-A.

WORMLEATON, P. R., ALLEN, J., et HADJIPANOS, P. 1980. Discussion on open channel flow with varying bed rough- ness. ASCE Journal of the Hydraulics Division, 106(HY9), pp. 1554-1556.

Axially compressed members

J. SPRINGFIELD' Carruthers & Wallace Limited, Consulting Structural Engineers, 34 Greensboro Drive, Rexdale, Ont., Canada M9W IEl

Received January 16, 1984 Revised manuscript accepted March 23, 1984

This discussion centres on the text Axially compressed structures, stability andstrength, edited by R. Narayanan. The writer not only critically reviews the text but expresses his own opinions on the merits and shortcomings of the various authors' chapters. The response to axial compression of members of diverse cross section is cross section shape dependent. Included are the fundamentals of steel column design applied to hot-formed and welded open shapes, considerations of safety from both the European and American viewpoints, and detailed considerations of large box and circular fabricated tubes typical of offshore structures, concrete-encased columns, cold-formed tubes, angles, laced and battened columns and masts, and members with intermittent elastic support (through truss bridge chords).

'Chairman, (American) Structural Stability Research Council.

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