SUE11b : Turbulence - imft.fr · Chapitre 2-Equations de Reynolds et modèles de turbulence SUE11b...

SUE11b : TurbulenceChapitre 2-Equations de Reynolds et modèles de turbulence

SUE11b : Turbulence

Chapitre 2 – Equations de Reynolds et modèles de

turbulence

Chapitre 2-Equations de Reynolds et modèles de turbulence SUE11b : Turbulence 2

Profils instantanés u(z,t) verticaux de CLT(couche limite turbulente)

Profil moyenné en temps u(z)

Pour pouvoir décrire les champs moyens

I- Décomposition de Reynolds ; origine et définition


I- Décomposition de Reynolds ; origine et définition

Problème de décomposition d’un champ instantané…


I- Décomposition de Reynolds ; équations pour le champ moyen

contraintes visqueuses

contraintes turbulentes

Tenseur de ReynoldsÉquations R.A.N.S.


I- Décomposition de Reynolds ; équations pour les scalaires


II- Classification des modèles de Turbulence

Comment résoudre de façon pratique un problème de turbulence… (Classification de Chassaing p411)

exemple : coeff. de perte de charge linéaire dans une conduite…

Formule de Colebrook

Hydrauliquement lisse

Hydrauliquement rugueux

Formule de Blasius (lisse et Re < 105)

1- Lois de régression et abaques




1- Lois de régression et abaques2- Méthodes intégrales

Développées dans le cadre de la couche limite, avec approximation dePrandtl et intégration spatiale suivant 1 ou plusieurs variables→ permettent de prédire l’évolution de la couche limite le long d’unprofil??? nécessitent d’imposer une forme particulière du profil (empirique,qui va induire des valeurs particulières du paramètre de forme H,etc…) et des corrélations entre différents paramètres intégraux…

F. Charru cours de M1 fluide en laminaire

version turbulente ? voir Cousteix p173




1- Lois de régression et abaques 2- Méthodes intégrales

3- Méthodes statistiques en 1 pointUtilisation des grandeurs moyennées en temps…. décomposition de Reynolds + fermeture….

3.1 – premier ordre (prédire seulement U, V, W)- à 0 équation (algébrique) : tenseur de Reynolds dépend de U, V, W et d’une longueur de mélange géométrique- à 1 équation (on rajoute une équation de transport pour k) : tenseur de Reynolds dépend aussi de k, énergie cinétique turbulente- à 2 équations (par exemple k et ε) : tenseur de Reynolds dépend de k et ε.

3.2 – second ordre (prédire aussi u’w’, u’v’, …)- à relations algébriques aux contraintes, connaissant k et ε (Rodi)- à équations de transport des contraintes… il faut au moins une

équation en plus, par exemple sur ε, pour fermer…

3.1 – premier ordre (prédire seulement U, V, W)- à 0 équation (algébrique) : tenseur de Reynolds dépend de U, V, W et d’une longueur de mélange géométrique- à 1 équation (on rajoute une équation de transport pour k) : tenseur de Reynolds dépend aussi de k, énergie cinétique turbulente- à 2 équations (par exemple k et ε) : tenseur de Reynolds dépend de k et ε.




1- Lois de régression et abaques 2- Méthodes intégrales

3- Méthodes statistiques en 1 pointencore le problème de fermeture…4- Méthodes spectrales

5- Méthodes probabilistes6- simulation des grandes échelles

coupure spectrale par le maillage, au-delà, on modélise (T.H.I.)

7- simulation directe numérique coûteux.…


III- modèles algébriques à 0 équation : viscosité turbulente…


III- modèles algébriques à 0 équation : Prandtl-Reichardt

• Ecoulements externes, « libres » (jets, couches de mélange)

== mmt ulνFormule de Prandtl-Reichardt (1/ReT)∆U(x)δ(x)

Résultats expérimentaux :Jet plan (cf TD), S(x)=0.10x → ReT=31Pope 2000, p135 et 366

Solution autosimilaire pour le jet plan• Équation de Prandtl en RANS• Conservation de → U0(x)2δ(x) est conservé

• dδ/dx=S élargissement constant (±δ à ½U0)• Solution u(x,y)=U0(x)f(ξ) où ξ=y/δ(x)

Chapitre 2-Equations de Reynolds et modèles de turbulence SUE11b : Turbulence

III- modèles algébriques à 0 équation : couche limite turbulente

• Ecoulements internes, proche paroi (couche limite sur fond lisse)

from Balachandar, Blakely. (2002)

Sous-couchevisqueuse

Loi log

Couche limite surfond lisse ?

yym κ=)(l

0.5ln1 *

*+

=

νκyu

u

u

Vitesse defrottement ?

pu τρ =2*

(Frottement pariétal)

zm Lint,≈l y+u+

)(2 ugradu mmmt

rll ==νQue choisir pour la viscosité turbulente ?

Modèle de longueur de mélange de Prandtl

12




sous-couchevisqueuse

( ) 0.5ln1 += ++ yuκ

13

++ = yu

( )

)/(2

0.5ln1

δκ

κ

yw

yu

Π+

+= ++

loi déficitaire

loi log

Π paramètre de Cole« wake function »w

32

2

23

2sin

−

≈

≈

δδ

δπ

δ

yy

yyw




14

Π paramètre de Cole, dépend de l’écoulement externe…

45.0≈Π

dx

dP

ue

21

*

δβ =

Gradient de pression nul :

et sinon ?




15

Profils des rms pour les fluctuations turbulentes

'' ji uu2*u

22 */' uu

22 */' uv

22 */' uw2*/'' uwu

2*/ uEt)/exp(27.1*/

)/exp(63.1*/

)/exp(30.2*/

δδδ

yuw

yuv

yuu

rms

rms

rms

−≈−≈−≈



16


Encore plus simple : approximation classiqueen y+

1/7 pour aéro

( ) 71

75.8 ++ = yu


III- modèles algébriques à 0 équation : théorie gradient…


IV- modèles algébriques à 2 équation : k-epsilon…

18

( ) ( )ijijiii

ii

suuupux

kuxt

k''2'''

1 2 νρ

+−∂∂−=

∂∂+

∂∂

• Equation de transport de k, l’énergie cinétique turbulente (Et)

2'2'' ijijji sSuu ν−−

avec

∂∂

+∂∂=

∂∂

+∂∂=

i

j

j

iij

i

j

j

iij x

u

x

uset

x

u

x

uS

''

2

1'

2

1

P -εTi

« shear » production

dissipationdiffusion ?

déjà :ijtijji Skuu νδ 2

3

2'' +−=−

• Modélisation ?

on rajoute :

itjii x

kuupu

∂∂≈− ν2'''

et encore :l

l

212

3

ketk

t ≈≈ νε

Modèle algébrique à 1 équation (en k) en se

donnant l !!!



19

( ) ( )2

2

ii

ii

i xPT

xu

xt ∂∂+−+

∂∂=

∂∂+

∂∂ ενεεε

εεε

• Equation de transport de ε, la dissipation

• Modélisation ?

iti x

T∂∂≈ ενε En supposant encore une fois ,

et en combinant avec l’équationen k, on peut écrire :

et aboutir à un modèle algébrique à deux équations de transport (k et ε), le fameux modèle « k –epsilon » !!!

Ça ne rentre pas dans le transparent….mais sous forme simplifiée

kx

uuuP

j

iji

εε ∂

∂−≈ ''

k

2εε ε ≈

l

23

k≈ε

εν

22

1 kkt ≈≈ l



20

• Le modèle avec les valeurs « classiques » de ses paramètres

∂∂

+∂∂+−=−

i

j

j

itijji x

u

x

ukuu νδ

3

2''

Equation R.A.N.S. pour iu

εν

2

1

kct =

( )

∂∂

∂∂+−

∂∂=

∂∂+

∂∂

i

t

ij

ijii

i x

k

cxx

uuuku

xt

k

2

''νε

( )

∂∂

∂∂+−

∂∂=

∂∂+

∂∂

i

t

ij

ijii

i x

k

cxkc

x

uuu

kcu

xt 5

2

43 ''νεεεε

c1=0.09, c2=1.0, c3=1.44, c4=1.92, c5=1.3 (Spaziale, 1991)Comment ? Par calage du modèle sur des écoulements de référence



21

• Et les conditions limites ???

Il faut utiliser des « fonctions de paroi » pour avoir des conditions limites compatibles avec ce que l’on sait de la couche limite turbulente…

Si on est dans la sous-couche inertielle, au premier point du maillage on doit avoir : ( ) 0.5ln

111 += ++ yu

κLa valeur de vitesse u1 nous donne u*

Cette valeur impose k1

Et comme P=ε (transparent suivant), on estime ε avec ε=u*2/(κy1)

Mais, en fonction de la position du premier point de maillage, on a des formulations plus subtiles…



22

• retour : couche limite sur fond lisse

P/ε≈1 dans la sous-

couche inertielle


IV- modèles algébriques à 2 équation : les autres…

23


V- simulation aux grandes échelles

24

SUE11b : Turbulence - imft.fr · Chapitre 2-Equations de Reynolds et modèles de turbulence SUE11b...

Documents

Transcript of SUE11b : Turbulence - imft.fr · Chapitre 2-Equations de Reynolds et modèles de turbulence SUE11b...