INF 55 : Automates avancésL3 Informatique

2013-2014

Mme SOGOBA Jacqueline KONATEAssistant à l'USTTB

jacqueline.konate@gmail.com

Année 2013-2014

Chapitre 3 :Expressions régulières

et leurs propriétés

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Expressions régulières (ER)et leurs propriétés

➢ Expressions régulières➢ Équivalence de modèles➢ Langages réguliers et propriétés de fermeture ➢ Langages non réguliers

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Expressions régulières

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Expression régulière

● Une expression régulière (ER) est une description algébrique d'un langage régulier.

● Très proche des AFND: utilisée comme alternative aux automates finis non-déterministes.

● Si E est une expression régulière, alors L(E) est le langage qu'il définit.

● Les expressions régulières se définissent de manière récursive.

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6

1) Si a est un symbole, alors a est une expression régulière ER, et L(a) = {a}.

Il faut noter que {a} est le langage contenant unechaîne, et que cette chaîne est de longueur 1.

2) ε est une ER, et L(ε) = {ε}.3) ∅ est une ER, et L(∅) = .∅

Définition

Opérateurs

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Propriété 1 : si E1 et E

2 sont des expressions régulières,

alors E1+E

2 est régulier, et L(E

1+E

2) = L(E

1)∪L(E

2).

union: l'ensemble des chaînes u tels que u est dans L(E1)

ou u est dans L(E2).

Propriété 2 : si E1 et E

2 sont des expressions régulières,

alors E1E

2 est régulier, et L(E

1E

2) = L(E

1)L(E

2).

Concaténation: l'ensemble des chaînes uv tel que u est dans L(E

1) et v est dans L(E

2).

Propriété 3 : Si E est une ER, alors E* est une ER et L(E*)=(L(E))*.Fermeture de Kleene: l'ensemble des chaînes u

1u

2...u

n ,

où chaque ui ∈L(E) avec 0≤i≤ n , n>0.

Priorité des opérateurs

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1) L'ordre de priorité est : a) * (l'étoile de Kleene),b) . (la concaténation),c) + (l'union).

2) Les parenthèses peuvent être utilisées partout où il est nécessaire pour regrouper les opérandes.

Exemples

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L(01) = {01}. L(01+0) = {01, 0}. L(0(1+0)) = {01, 00}.Noter l'ordre de priorité des opérateurs.

L(0*) = {ε, 0, 00, 000, ...}. L((0+10)*(ε+1)) = l'ensemble des u ∈{0,1}* tels qu'il n'y ait pas dans u deux 1 consécutifs.

Équivalence des expressions régulières avec les automates

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Théorèmes

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Théorème 1 : pour toute expression régulière ER, il existe un automate qui accepte le même langage.

Théorème 2 : pour tout automate, il existe une ER définissant son langage.

Équivalence des modèles

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X Y : tout langage défini par la classe X est aussi défini par la classe Y

ER ADEF

AFNDε‑AFND

Passage d'une ER à un ε-AFND

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Cas de base

Symbole a

ε

∅

ε

a

Passage d'une ER à un ε-AFND

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Induction : cas de l'union

Pour E1∪E

2

ε ε

εε Pour E2

Pour E1

Pour E1∪E

2

Passage d'une ER à un ε-AFND

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Induction : cas de la concaténation

ε Pour E2

Pour E1

Pour E1E

2

Passage d'une ER à un ε-AFND

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Induction : cas de la fermeture de Kleene/étoile

Pour E*

ε

Pour E εε

ε

Passage d'un ADEF à une expression régulière

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Système d'équations associé à un ADEF

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Soit A = (Q, ∑, q0, δ, F) un automate fini. Soit

SE(A) le système d’équations donné par: X

q = ∑

δ(q,a)=q′ aX

q' + (si q ∈F alors ε sinon )∅

Théorème : Soit A = (Q, ∑, q

0, δ, F) un

automate fini. Alors, L(A) = Lq0

.

Conversion d'un ADEF en ER

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Soit Σ = {a, b, c} et A l’automate suivant:

A

B

C

a b

cb

b

Conversion d'un ADEF en ER

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Le système d'équation suivant peut être associé à A :

XA = {a}.X

1 ∪ {b}.X

C

XC = {b}.X

C ∪ {c}.X

B ∪ {ε}

XB = {b}.X

A

où Xi est le mot accepté à partir de l'état i.

Conversion d'un ADEF en ER

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En utilisant les expressions régulières, le système d'équations précédent peut s'écrire :

XA = a.X

A + b.X

C (1)

XC = b.X

C + c.X

B + ε (2)

XB = b.X

A (3)

Conversion d'un ADEF en ER

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Résolution du système

(Lemme d’Arden) : Si ε ∉α alors α*β est la solution unique de l'équation suivante : X = αX + β

Conversion d'un ADEF en ER

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Exemple de résolution

XA = a.X

A + b.X

C (1)

XC = b.X

C + c.X

B + ε (2)

XB = b.X

A (3)

On remplace XB dans (2) et on obtient :

XC = b.X

C + c.(b.X

A) + ε = b.X

c + cb.X

A + ε

On applique le lemme à l'équation (2) et on obtient:X

C = b*(cb.X

A + ε) = b*cb.X

A + b*

Conversion d'un ADEF en ER

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On remplace XC dans l'équation (1) et on

obtient :X

A = a.X

A + b(b*cb.X

A + b*)

= (a + bb*cb).XA + b.b* = (a + b+cb).X

A + b+

On applique le lemme à l'équation (1) et on obtient:X

A = (a + b+cb)*b+

Le langage reconnu par l'automate (L(A)) est celui de l'expression régulière X

A (L(X

A)).

Langages réguliers et propriétés de fermeture

Eléments neutres et éléments absorbants

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∅ est l'élément neutre pour l'union (+). R + = R.∅

ε est l'élément neutre pour la concaténation. εR = Rε = R.

∅ est l'élément absorbant pour la concaténation.

∅R = R = .∅ ∅

Propriétés de fermeture

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Définition : Une propriété de fermeture déclare que certaines opérations sur des langages appartenant à une catégorie donnée produit des résultats (langages) qui appartiennent aussi à la même catégorie.

Pour les langages réguliers, il est possible de prouver une propriété de fermeture.

Propriétés de fermeture

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Si R et S sont des expressions régulières dont les langages sont respectivement L et M, alors :

Union : L ∪ M est est régulier. Intersection : L ∩ M est aussi régulier. Concaténation : LM Étoile de Kleene : L* = L0 ∪ L1 ∪ … est aussi régulier. L* est le langage obtenu en réunissant tous Ln (n ≥ 0 ).

Fermeture sous différence

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Si L et M sont des langages réguliers, alors L – M = {u ∈∑*/ u ∈L et u ∉M}.

Construction de l'automate différence : Soit C = A – B. La construction de C se fait ainsi :

Construire l'automate produit de A et B. Les états finals de C sont des couples d'états contenant des états finals de A et aucun état final de B.

Exemple d'automate pour la différence

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A B

a

a, b

D

b a

b

aC

a

Exemple d'automate pour la différence

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A,C A,D

a

b

a

b

a

B,C

b

b

B,D

a

Fermeture sous complémentation

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Le complément d'un langage L ( avec un alphabet Σ tel que L ⊆ ∑*) est ∑* – L. Puisque ∑* est régulier, le complément d'un langage régulier est toujours régulier.

Fermeture sous miroir

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Soit un langage L, LR est l'ensemble des mots dont le miroir appartient à L.

Exemple: L = {0, 01, 100}; LR = {0, 10, 001}.

Soit A un automate, pour construire son miroir, il faut :

Inverser le sens des flèches de transition, Transformer les états accepteurs en états initiaux,

Transformer les états initiaux en états accepteurs.

Miroir d'une ER

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Cas de base: si E est un symbole : a, ε, ou , alors E∅ R = E.

Induction: si E est F+G, alors ER = FR + GR. FG, alors ER = GRFR

F*, alors ER = (FR)*.

Exemple : Miroir d'une ER

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Soit E = 01* + 10*.

ER = (01* + 10*)R = (01*)R + (10*)R

= (1*)R0R + (0*)R1R

= (1R)*0 + (0R)*1= 1*0 + 0*1.

Homomorphismes

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Un homomorphisme sur un alphabet est une fonction qui donne une chaîne pour chaque symbole de cet alphabet.

Exemple: h(0) = ab; h(1) = ε.

Cas des chaînes : h(a1...a

n) = h(a

1)...h(a

n).

Exemple: h(01010) = ababab.

Fermeture sous homomorphismes

37

Soient L un langage régulier et h un homomorphisme sur son alphabet, alors h(L) = {h(u) | u ∈L} est aussi un langage régulier.

Exemples

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Soient h(0) = ab et h(1) = ε. Soit L le langage de l'expression régulière 01* + 10*.

Alors h(L) est le langage de l'expression régulière abε* + ε(ab)*.

abε* + ε(ab)* peut être simplifié ε* = ε, alors abε* = abε. ε est l'identité sous concaténation.

Ainsi εE = Eε = E pour toute ER E. D'où, abε* + ε(ab)* = abε + ε(ab)*

= ab + (ab)*.

Exemples : fermeture sous homomorphisme

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Puisque L(ab) ⊆ L((ab)*), alors h(L) = (ab)*.

Inverse de l'homomorphisme

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soit h un homomorphisme et L un langage dont l'alphabet est le langage résultant de h.h-1(L) = {u | h(u) ⊆ L}.

Exemple : Inverse de l'homomorphisme

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Soient h(0) = ab et h(1) = ε. Soit L = {abab, baba}. h-1(L) = le langage avec deux 0 et un nombre quelconque de 1 = L(1*01*01*).

NB: aucune chaîne ne correspond à baba; toute chaîne avec exactement deux 0 correspond à abab.

Construction de l'Inverse de l'homomorphisme

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A

B

C

a

b

b

ba

a

h(0) = ε h(1) = ab

Exemple : Inverse de l'homomorphisme

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h(0) = ε h(1) = ab

A

B

C

1

1

0, 1

0

0

Langage non-régulier et lemme de l'itération

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Langage non-régulier

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Théorème (Lemme de l’itération/l'étoile, Pumping lemma)Il permet d’établir que de nombreux langages ne sont pas réguliers. Il donne une condition nécessaire pour qu'un langage soit régulier. Le raisonnement se fait par l'absurde.

Énoncé du lemme : soit L langage régulier. Alors∀u ∈L, ∃n ∈Ν (dépendant de L), |u| ≥ n, ∃x,y,z ∈∑* tels que u = xyz et 1. y ≠ ε. 2. |xy| ≤ n. 3. ∀k ∈Ν, xykz ∈L. k est la constance d'itération.

Langage non-régulier

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Principe des tiroirs Soit un graphe de n nœuds. Un mot de longueur supérieur à n passe au moins deux fois par le même nœud.

Application à la théorie des automates :Soit u un mot de longueur m qui est reconnu par un automate dont le nombre d'états est n. Si m ≥ n alors, le calcul de l'automate sur le mot u passe nécessairement au moins deux fois par le même état.

Langage non-régulier

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Preuve du théorème Soit L un langage régulier. Alors, il existe un automatedéterministe A = (Q, ∑, q

0, δ, F) tel que L(A) = L.

Soit n = |Q| et soit u = a1...

a

m ∈L tel que |u| = m ≥ n.

Soit pi = δ*(q

0, a

1, …, a

i ) pour i ≤ m. Alors, ∃ i et j

avec 0 ≤ i < j ≤ n tels que qi = qj . On pose x = a

1, …, a

i, y = a

i+1 ... a

j et z = a

j+1, …, a

m. Alors,

on a: 1. u = xyz . 2. |xy| ≤ n. 3. δ*(q

i , y) = q

j = q

i et donc δ*(q

i , yk ) = q

i , ∀ k ≥ 0.

Donc, xykz ∈L ∀k ≥ 0.

Lemme de l'étoile

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Preuve

q0

qi

x = a1 … a

i

y = ai+1

… aj

z = aj+1

… am

Tout mot plus long que le nombre des états entraîne le passage à nouveau par un état

Exemple d'application du lemme

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Soit L le langage sur l'alphabet ∑ = {a,b} tel que ∀u ∈ L, u = anbn, ∀n ≥ 0. Est-il régulier ?

Supposons L régulier. Alors, il existe un automate d'états finis A qui le reconnaît. Soit P le nombre d'états de A.

Soit k la constante d'itération de L. Soit v = akbk. Selon le lemme, ∃v = xyz tel que 1. y ≠ ε2. |xy| ≤ k (y n'est pas loin du début du mot)3. ∀k ∈Ν, xykz ∈L

Exemple d'application du lemme

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Puisque |xy| ≤ k donc x et y sont composés uniquement de lettres a. Posons l = |y|, l ≥ 0. Donc xymz = a(k+(m-1)k) bk pour tout entier l ≥ 0. Puisque xymz ∈L,alors (k + l(m-1)) = k, ∀m ≥ 0 et donc l =|y|=0, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse N°1. Donc L n'est pas régulier.

Bibliograbphie1- J. Hopcroft, R. Motwani, J. Ullman : « Introduction to AutomataTheory, Languages and Computation », 2nd edition,Addison-Wesley, 2001.2- Yassine Lakhnech : « Automates et langages ».3- Marie-Paule Muller : «LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES », 2005.4- F. Barthélemy : «Notes de cours sur les automates », 2012.5- « Cours automates », Lycée Louis-Le-Grand, 2003 –2004.

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