Traitement de Signal TS Corrigé des...

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Haute Ecole d’Ingéniérie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd) Département de la formation en emploi Filière Electricité Filière Télécommunications (RS et IT) Traitement de Signal (TS) Corrigé des exercices A i i utomatisation nstitut d' ndustrielle Prof. Michel ETIQUE, janvier 2006, Yverdon-les-Bains

Transcript of Traitement de Signal TS Corrigé des...

Haute Ecole d’Ingéniérie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-Vd)

Département de la formation en emploiFilière Electricité

Filière Télécommunications (RS et IT)

Traitement de Signal(TS)

Corrigé des exercices

Ai

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Prof. Michel ETIQUE, janvier 2006,Yverdon-les-Bains

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Corrigé des exercices, v 1.16 2 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Table des matières

1 Analyse des signaux périodiques 51.1 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Exercice SF 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Exercice SF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Exercice SF 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4 Exercice SF 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.5 Exercice SF 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.6 Exercice SF 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.7 Exercice SF 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.1.8 Exercice SF 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.1.9 Exercice SF 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.1.10 Exercice SF 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.1.11 Exercice SF 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.1.12 Exercice SF 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Analyse des signaux non périodiques 532.1 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.1 Exercice TF 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.1.2 Exercice TF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1.3 Exercice TF 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.4 Exercice TF 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.5 Exercice TF 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.6 Exercice TF 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.7 Exercice TF 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.8 Exercice TF 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.9 Exercice TF 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.10 Exercice TF 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.11 Exercice TF 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1.12 Exercice TF 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.13 Exercice TF 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.14 Exercice TF 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.15 Exercice TF 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.16 Exercice TF 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Corrigé des exercices, v 1.16 3 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

2.1.17 Exercice TF 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.1.18 Exercice TF 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.1.19 Exercice TF 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.1.20 Exercice TF 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.21 Exercice TF 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.22 Exercice TF 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.23 Exercice TF 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.24 Exercice TF 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.25 Exercice TF 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.26 Exercice Corr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.27 Exercice Corr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3 Echantillonnage des signaux analogiques 813.1 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.1.1 Exercice ECH 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.2 Exercice ECH 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.3 Exercice ECH 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.4 Exercice ECH 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.5 Exercice ECH 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.6 Exercice ECH 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.7 Exercice ECH 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1.8 Exercice ECH 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1.9 Exercice ECH 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1.10 Exercice ECH 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.11 Exercice ECH 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.12 Exercice ECH 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.13 Exercice ECH 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.14 Exercice ECH 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.15 Exercice ECH 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.16 Exercice ECH 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.17 Exercice ECH 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.18 Exercice ECH 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Corrigé des exercices, v 1.16 4 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Chapitre 1

Analyse des signaux périodiques

1.1 Corrigé des exercices

1.1.1 Exercice SF 1

Considérant les 2 signaux suivants pour lesquels f0 = 1 [kHz]

x1 (t) = 6− 2 · cos (2 · π · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · f0 · t)x2 (t) = 4 + 1.8 · cos

(2 · π · f0 · t + π

3

)+ 0.8 · sin (6 · π · f0 · t)

1. dessinez leurs spectres d’amplitude et de phase unilatéraux et bilatéraux ;

2. écrivez x1 (t) et x2 (t) sous forme de série de Fourier complexe.

Corrigé

x1 (t) = 6− 2 · cos (2 · π · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · f0 · t) :Pour x1(t), en comparant à la relation générale du développement en sériede Fourier,

x (t) =a0

2+

∞∑k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t) (1.1)

on a :

1. Une composante continue a0

2= 12

2= 6

2. Une harmonique 1 (fondamental) à f0 = 1 [kHz], avec a1 = −2 etb1 = 3

Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculerla série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On atout d’abord pour la série en cosinus :

Corrigé des exercices, v 1.16 5 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

2

4

6

8

10Signal temporel

x(t)

temps

0 1000 2000 3000 4000 50000

2

4

6Spectre unilatéral

Ak

k f0

0 1000 2000 3000 4000 5000−1

−0.5

0

0.5

1

α k / π

k f0

−5000 0 50000

2

4

6Spectre bilatéral

|X(jk

)|

k f0

−5000 0 5000−1

−0.5

0

0.5

1/X

(jk)

/ π

k f0

f_ex_SF_1_1_1.eps

Fig. 1.1 – Spectres unilatéral et bilatéral de x1(t) (fichier source).

A0 =a0

2=

12

2= 6

A1 =√

a21 + b2

1 =√

(−2)2 + 32 = 3.6056

α1 = arctan

(−b1

a1

)= arctan

(−3

−2

)= −2.1588 [rad] = −123.6901 []

On peut donc écrire :

x1 (t) = 6− 2 · cos (2 · π · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · f0 · t)= A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1)

= 6 + 3.6056 · cos (2 · π · f0 · t− 2.1588)

x2 (t) = 4 + 1.8 · cos(2 · π · f0 · t + π

3

)+ 0.8 · sin (6 · π · f0 · t) :

Pour x2(t), on a en se référant au développement en série de Fourier (1.1 ) :1. Une composante continue a0

2= 8

2= 4

Corrigé des exercices, v 1.16 6 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

2. Des harmoniques à f0 = 1 [kHz] et 3 · f0 = 3 [kHz], avec a1 et b1 àcalculer, a3 = 0, b3 = 0.8

Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculerla série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On apour la série en cosinus :

A0 =a0

2= 4

A1 = 1.8

(=√

a21 + b2

1

)α1 =

π

3

A3 =√

a23 + b2

3 =√

02 + 0.82 = 0.8

α3 = arctan

(−b3

a3

)= arctan

(−0.8

0

)→ −π

2

On peut donc écrire :

x2 (t) = 4 + 1.8 · cos(2 · π · f0 · t +

π

3

)+ 0.8 · sin (6 · π · f0 · t)

= 4 + 1.8 · cos(2 · π · f0 · t +

π

3

)+ 0.8 · cos

(6 · π · f0 · t−

π

2

)= A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1) + A3 · cos (6 · π · f0 · t + α3)

Dans le cas général, il aurait fallu calculer a1 et b1 selon les relations :

ak =2

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · cos (2 · π · k · f0 · t) · dt k ≥ 0

bk =2

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · sin (2 · π · k · f0 · t) · dt k ≥ 1

En tenant compte des identités trigonométriques

cos (α) · cos (β) =1

2· cos (α + β) +

1

2· cos (α− β)

sin (α) · cos (β) =1

2· sin (α + β) +

1

2· cos (α− β)

Corrigé des exercices, v 1.16 7 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

0

2

4

6

8Signal temporel

x(t)

temps

0 1000 2000 3000 4000 50000

1

2

3

4Spectre unilatéral

Ak

k f0

0 1000 2000 3000 4000 5000−1

−0.5

0

0.5

1

α k / π

k f0

−5000 0 50000

1

2

3

4Spectre bilatéral

|X(jk

)|

k f0

−5000 0 5000−1

−0.5

0

0.5

1

/X(jk

) / π

k f0

f_ex_SF_1_2_1.eps

Fig. 1.2 – Spectres unilatéral et bilatéral de x2(t) (fichier source).

Corrigé des exercices, v 1.16 8 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

on a donc :

a1 =2

T·∫ +T

2

−T2

1.8 · cos(2 · π · f0 · t +

π

3

)· cos (2 · π · 1 · f0 · t) · dt

=2

T· 1.8 ·

∫ +T2

−T2

[1

2· cos

(4 · π · f0 · t +

π

3

)+

1

2· cos

3

)]· dt

=2

T· 1.8 · 1

2· cos

3

)[t]

+T2

−T2

= 0.9

b1 =2

T·∫ +T

2

−T2

1.8 · cos(2 · π · f0 · t +

π

3

)· sin (2 · π · 1 · f0 · t) · dt

=2

T· 1.8 ·

∫ +T2

−T2

[1

2· sin

(4 · π · f0 · t +

π

3

)+

1

2· sin

(−π

3

)]· dt

=2

T· 1.8 · 1

2· sin

3

)[t]

+T2

−T2

= −0.9 ·√

3

On vérifie que l’on a bien :

A1 =√

a21 + b2

1 =

√0.92 +

(−0.9 ·

√3)2

= 1.8

α1 = arctan

(−b1

a1

)= arctan

(0.9 ·√

3

0.9

)= 1.047 =

π

3

Corrigé des exercices, v 1.16 9 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

Pour x1(t) :

x1 (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1)

= A0 +A1

2·(e+j·(2·π·f0·t+α1) + e−j·(2·π·f0·t+α1)

)= A0 +

A1

2·(e+j·2·π·f0·t · e+j·α1 + e−j·2·π·f0·t · e−j·α1

)= X1(j · 0)︸ ︷︷ ︸

A0

+ X2(j · 1)︸ ︷︷ ︸A12·e+j·α1

·ej·2·π·f0·t + X2(−j · 1)︸ ︷︷ ︸A12·e−j·α1

·e−j·2·π·f0·t

Pour x2(t) :

x2 (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1) + A3 · cos (6 · π · f0 · t + α3)

= A0 +A1

2·(e+j·(2·π·f0·t+α1) + e−j·(2·π·f0·t+α1)

)+

A3

2·(e+j·(6·π·f0·t+α1) + e−j·(6·π·f0·t+α1)

)= A0 +

A1

2·(e+j·2·π·f0·t · e+j·α1 + e−j·2·π·f0·t · e−j·α1

)+

A3

2·(e+j·6·π·f0·t · e+j·α3 + e−j·6·π·f0·t · e−j·α3

)= X1(j · 0)︸ ︷︷ ︸

A0

+ X2(j · 1)︸ ︷︷ ︸A12·e+j·α1

·ej·2·π·f0·t + X2(−j · 1)︸ ︷︷ ︸A12·e−j·α1

·e−j·2·π·f0·t + X2(j · 3)︸ ︷︷ ︸A32·e+j·α3

·ej·6·π·f0·t + X2(−j · 3)︸ ︷︷ ︸A32·e−j·α3

·e−j·6·π·f0·t

Corrig

édes

exercices,

v1.16

10M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1.1.2 Exercice SF 2

Utilisez les formules d’Euler pour montrer que la série de Fourier du signal suivant

x (t) =(1 + cos

(2 · π · f0 · t +

π

6

))· cos (10 · π · f0 · t)

est décrite par les harmoniques 4, 5 et 6. Pour ce faire :

1. remplacez chaque fonction cosinus par deux phaseurs ; effectuez le produit ;2. écrivez x (t) sous la forme d’une somme de phaseurs ;3. que valent les coefficients X (j · k) non-nuls ?4. dessinez les spectres bilatéraux et unilatéraux d’amplitude et de phase.

Corrigé des exercices, v 1.16 11 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

Corrigé

x (t) =(1 + cos

(2 · π · f0 · t +

π

6

))· cos (10 · π · f0 · t)

=(1 + 0.5 ·

(ej·(0.5·π·f0·t+π

6 ) + e−j·(2·π·f0·t+π6 )))· 0.5 ·

(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t

)= 0.5 ·

(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t

)+ 0.5 ·

(ej·(2·π·f0·t+π

6 ) + e−j·(2·π·f0·t+π6 ))· 0.5 ·

(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t

)= 0.5 ·

(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t

)+ 0.25 ·

(ej·(2·π·f0·t+π

6 ) + e−j·(2·π·f0·t+π6 ))·(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t

)= 0.5 ·

(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t

)+ 0.25 ·

(ej·(2·π·f0·t+π

6 ) · ej·10·π·f0·t + ej·(2·π·f0·t+π6 ) · e−j·10·π·f0·t + e−j·(2·π·f0·t+π

6 ) · ej·10·π·f0·t + e−j·(2·π·f0·t+π6 ) · e−j·10·π·f0·t

)= 0.5 ·

(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t

)+ 0.25 ·

(ej·(12·π·f0·t+π

6 ) + ej·(−8·π·f0·t+π6 ) + ej·(8·π·f0·t−π

6 ) + e−j·(12·π·f0·t+π6 ))

= X(j ·4)·ej·8·π·f0·t+X(−j ·4)·e−j·8·π·f0·t+X(j ·5)·ej·10·π·f0·t+X(−j ·5)·e−j·10·π·f0·t+X(j ·6)·ej·12·π·f0·t+X(−j ·6)·e−j·12·π·f0·t

avec

X(j · 4) = 0.25 · e−j·π6

X(−j · 4) = 0.25 · ej·π6

X(j · 5) = 0.5

X(−j · 5) = 0.5

X(j · 6) = 0.25 · ej·π6

X(−j · 6) = 0.25 · e−j·π6

Corrig

édes

exercices,

v1.16

12M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1

0

1

2Signal temporel

x(t)

temps

0 2 4 6 80

0.5

1Spectre unilatéral

Ak

k f0

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1

α k / π

k f0

−5 0 50

0.5

1Spectre bilatéral

|X(jk

)|

k f0

−5 0 5−1

−0.5

0

0.5

1

/X(jk

) / π

k f0

f_ex_SF_2_1.eps

Fig. 1.3 – Spectres unilatéral et bilatéral de x(t) (fichier source).

Corrigé des exercices, v 1.16 13 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1.1.3 Exercice SF 3

Considérant un signal périodique de période T = 20 [ms] décrit par son spectrebilatéral X (j · k) :

k 0 ±1 ±2

X (j · k) 2 −3± j · 2 +1± j · 3|X|6 X

retrouvez sa description temporelle en cosinus après avoir rempli les cases libresdu tableau.

Corrigé

k 0 ±1 ±2

X (j · k) 2 −3± j · 2 +1± j · 3|X| 2

√32 + 22 = 3.6056

√12 + 32 = 3.16236

6 X 0 ±2.5536 [rad] = ±146.3099 [] ±1.2490 [rad] = ±71.5651 []

x (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1) + A2 · cos (4 · π · f0 · t + α2)

= X(j · 0)︸ ︷︷ ︸A0

+ X(j · 1)︸ ︷︷ ︸A12·e+j·α1

·ej·2·π·f0·t + X(−j · 1)︸ ︷︷ ︸A12·e−j·α1

·e−j·2·π·f0·t + X(j · 2)︸ ︷︷ ︸A22·e+j·α2

·ej·4·π·f0·t + X(−j · 2)︸ ︷︷ ︸A22·e−j·α2

·e−j·4·π·f0·t

On en déduit

A0 = X(j · 0) = 2 α0 = 0 [rad]

A1 = 2 · |X(j · 1)| = 2 · 3.6056 = 7.2111 α1 = 2.5536 [rad]

A2 = 2 · |X(j · 2)| = 2 · 3.16236 = 6.3246 α2 = 1.2490 [rad]

et finalement :

x (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1) + A2 · cos (4 · π · f0 · t + α2)

= 2 + 7.2111 · cos (2 · π · 50 [Hz] · t + 2.5536) + 6.3246 · cos (4 · π · 50 [Hz] · t + 1.2490)

1.1.4 Exercice SF 4

À partir des spectres d’amplitude et de phase d’une SIR vus au cours,

1. calculez les spectres complexes des deux signaux de la figure 1.4 page ci-contre ;

2. esquissez leurs spectres bilatéraux d’amplitude et de phase.

Corrigé des exercices, v 1.16 14 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

2

4

6

8

10

x 1(t)

[V]

Ex. SF4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−4

−2

0

2

4

6

x 2(t)

[V]

t [ms]

f_exgraphes_7.eps

Fig. 1.4 – Exercice SF 4 (fichier source).

Corrigé

Le premier signal est une SIR d’amplitude A = 10 de période T = 1f0

=

10 [ms], de largeur ∆t = 2 [ms], retardée d’une durée td = ∆t2

= 1 [ms]. On endéduit :

X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t· e−j·2·π·k·f0·td

= 10 · 2

10· sin (k · π · 100 [Hz] · 2 [ms])

k · π · 100 [Hz] · 2 [ms]· e−j·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms]

= 2 · sin (k · π · 0.2)

k · π · 0.2· e−j·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms]

= 2 ·sin(k · π · 1

5

)k · π · 1

5︸ ︷︷ ︸0 pour k = 5, 10, 15, . . .i.e. pour

f = 500 [Hz], 1000 [Hz], 1500 [Hz], . . .

·e−j·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms]

Les résultats (spectres bilatéraux d’amplitude et de phase) sont donnés sur lafigure 1.5 page 17. Sur la même figure, on trouve la synthèse de x(t) basée sur les

Corrigé des exercices, v 1.16 15 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

N = 10 premiers termes X(j ·k) du développement en série de Fourier complexe :

x10 (t) =+10∑

k=−10

X(j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

Corrigé des exercices, v 1.16 16 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−1000 −500 0 500 1000

0

0.5

1

1.5

2

f [Hz]

|X(j · k)|

−1000 −500 0 500 1000

−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·k)π

0 0.005 0.01 0.015 0.02

0

2

4

6

8

10

t [s]

xN(t),x(t)

Fig. 1.5 – xN(t) est la synthèse du signal x(t) basée sur les N = 10 premierstermes de la série de Fourier complexe : x10 (t) =

∑+10k=−10 X(j · k) · e+j·2·π·k·f0·t.

On remarque bien sûr la très forte ressemblance avec x(t) tel qu’il apparaît surle haut de la figure 1.4 .

Corrigé des exercices, v 1.16 17 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Le second signal est une SIR d’amplitude A = 9 de période T = 1f0

= 10 [ms],de largeur ∆t = T

2= 5 [ms], retardée d’une durée td = ∆t

2= 2.5 [ms] à laquelle on

a soustrait un offset de 3. On en déduit :

X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t· e−j·2·π·k·f0·td

= 9 · 5 [ms]10 [ms]

· sin (k · π · 100 [Hz] · 5 [ms])k · π · 100 [Hz] · 5 [ms]

· e−j·2·π·k·100 [Hz]·2.5 [ms]

ce à quoi il faut soustraire l’offset de 3 pour k = 0.Les résultats (spectres bilatéraux d’amplitude et de phase) sont donnés sur la

figure 1.6 page ci-contre. Sur la même figure, on trouve la synthèse de x(t) baséesur les N = 10 premiers termes X(j · k) du développement en série de Fouriercomplexe :

x10 (t) =+10∑

k=−10

X(j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

Un code MATLAB permettant de calculer X2(j · k) et tracer les spectres bila-téraux de gain et de phase est donné ci-dessous.

(fichier source)%I n i t i a l i s a t i o nclc ; clear a l l ; close a l l ;

%ParametresA=9;T = 10e−3;delta_t = 5e−3;td = −2.5e−3;

%numeros des harmoniques a c a l c u l e rN = 10 ;k = [−N:N ] ;

%k<>0X = A∗delta_t /T∗ s i n c ( k /2 ) .∗exp(− j ∗k∗pi /2 ) ;%k=0X(8)=−3+A∗delta_t /T;

%Tracagefiguresubplot (211)stem( k/T, abs (X) )xlabel ( ’ kf_0 [Hz ] ’ )ylabel ( ’ |X_2( jk ) | ’ )gridsubplot (212)stem( k/T, angle (X)/pi )xlabel ( ’ kf_0 [Hz ] ’ )ylabel ( ’ arg X_2( jk ) ’ )grid

Corrigé des exercices, v 1.16 18 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−1000 −500 0 500 1000

0

1

2

3

f [Hz]

|X(j · k)|

−1000 −500 0 500 1000

−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·k)π

0 0.005 0.01 0.015 0.02

−4

−2

0

2

4

6

t [s]

xN(t),x(t)

Fig. 1.6 – xN(t) est la synthèse du signal x(t) basée sur les N = 10 premierstermes de la série de Fourier complexe : x10 (t) =

∑+10k=−10 X(j · k) · e+j·2·π·k·f0·t.

On remarque bien sûr la très forte ressemblance avec x(t) tel qu’il apparaît surle bas de la figure 1.4 (fichier source).

Corrigé des exercices, v 1.16 19 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

Ak [

V]

Ex. SF5

0 1 2 3 4 5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

α k / π

f [kHz]

f_exgraphes_6.eps

Fig. 1.7 – Exercice SF 5 (fichier source).

1.1.5 Exercice SF 5

Considérant les spectres unilatéraux (figure 1.7) d’un signal x (t) :1. donnez l’expression de x (t) ;2. dessinez son spectre bilatéral ;3. calculez sa puissance et sa valeur efficace.

Corrigé1. Au spectre unilatéral est associé directement le développement en série en

cosinus. On a donc :

x(t) = 4+4·cos(2·π·1 [kHz]·t)+2·cos(2·π·3 [kHz]·t+0.2·π)+1·cos(2·π·5 [kHz]·t−0.45·π)

2. Les spectres d’amplitude et de phase sont représentés sur la figure 1.8.3.

P = A20 +

1

2·∞∑

k=1

A2k = 42 +

42

2+

22

2+

12

2= 26.5 [V2]

Xeff =√

P =√

26.5 = 5.15 [V]

Corrigé des exercices, v 1.16 20 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−4000 −2000 0 2000 4000

0

1

2

3

4

f [Hz]

|X(j · k)|

−4000 −2000 0 2000 4000−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·k)π

Fig. 1.8 – Ex SF 5.

Corrigé des exercices, v 1.16 21 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

k 0 1 2 3 4x1 (t) ak +2 +5 -2 +1 0

bk +4 +3 –1 0k 0 1 2 3 4

x2 (t) Ak 1 3 0 2 0αk 0 −π

30 +π

20

k 0 ±1 ±2 ±3 ±4x3 (t) X (j · k) 5 4± j · 3 0 −2± j 0

Tab. 1.1 – Exercice SF 6.

1.1.6 Exercice SF 6

Considérant les trois signaux x1 (t), x2 (t), x3 (t) de période T = 1 [ms] décritspar leurs spectres respectifs (tableau 1.1) :

1. donnez l’expression temporelle des trois signaux ;2. écrivez ces expressions à l’aide de cosinus seulement ;3. dessinez leurs spectres d’amplitude et de phase uni- et bilatéraux.

Corrigé des exercices, v 1.16 22 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

Corrigé

1. Expressions temporelles de x1(t), x2(t) et x3(t) :

x1(t) =a0

2+

∞∑k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t)

=2

2+ 5 · cos (2 · π · 1 · f0 · t) + 4 · sin (2 · π · 1 · f0 · t)− 2 · cos (2 · π · 2 · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · 2 · f0 · t)

+ 1 · cos (2 · π · 3 · f0 · t)− 1 · sin (2 · π · 3 · f0 · t)= 1 + 5 · cos (2 · π · f0 · t) + 4 · sin (2 · π · f0 · t)− 2 · cos (4 · π · f0 · t) + 3 · sin (4 · π · f0 · t)+ 1 · cos (6 · π · f0 · t)− 1 · sin (6 · π · f0 · t)

x2(t) = A0 +∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

= 1 + 3 · cos(2 · π · 1 · f0 · t−

π

3

)+ 2 · cos

(2 · π · 3 · f0 · t +

π

2

)

Corrig

édes

exercices,

v1.16

23M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

x3(t) =∞∑

k=−∞

X(j · k) · ej·2·π·k·f0·t

= X(−j · 3) · e−j·2·π·3·f0·t + X(−j · 1) · e−j·2·π·1·f0·t + X(j · 0) · ej·2·π·0·f0·t + X(j · 1) · ej·2·π·1·f0·t + X(j · 3) · ej·2·π·3·f0·t

= (−2− j) · e−j·2·π·3·f0·t + (4− j · 3) · e−j·2·π·1·f0·t + 5 + (4 + j · 3) · ej·2·π·1·f0·t + (−2 + j) · ej·2·π·3·f0·t

=√

(−2)2 + (−1)2 · ej·arctan (−1−2) · e−j·2·π·3·f0·t +

√42 + (−3)2 · ej·arctan (−3

4 ) · ej·2·π·1·f0·t

+ 5 +√

42 + 32 · ej·arctan ( 34) · ej·2·π·1·f0·t +

√(−2)2 + 12 · ej·arctan ( 1

−2) · ej·2·π·3·f0·t

=√

5 · ej·arctan (−1−2) · e−j·2·π·3·f0·t +

√25 · ej·arctan (−3

4 ) · e−j·2·π·1·f0·t + 5 +√

25 · ej·arctan ( 34) · ej·2·π·1·f0·t +

√5 · ej·arctan ( 1

−2) · ej·2·π·3·f0·t

=√

5 · e−j·2.6779 · e−j·2·π·3·f0·t + 5 · e−j·0.6435 · e−j·2·π·1·f0·t + 5 + 5 · ej·0.6435 · ej·2·π·1·f0·t +√

5 · ej·2.6779 · ej·2·π·3·f0·t

= 5 + 2 ·√

5 · ej·2.6779 · ej·2·π·3·f0·t + e−j·2.6779 · e−j·2·π·3·f0·t

2+ 2 · 5 · e

j·0.6435 · ej·2·π·1·f0·t + e−j·0.6435 · e−j·2·π·1·f0·t

2

= 5 + 2 ·√

5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + 2.6779) + 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + 0.6435)

2. Expressions de x1(t), x2(t) et x3(t) à l’aide de cosinus seulement. partant des résultats ci-dessus, on a :

x1(t) = 1 + 5 · cos (2 · π · f0 · t) + 4 · sin (2 · π · f0 · t)− 2 · cos (4 · π · f0 · t) + 3 · sin (4 · π · f0 · t)+ 1 · cos (6 · π · f0 · t)− 1 · sin (6 · π · f0 · t)

= 1 +√

52 + 42 · cos

(2 · π · f0 · t + arctan

(−4

5

))+√

(−2)2 + 32 · cos

(4 · π · f0 · t + arctan

(−3

−2

))+√

12 + (−1)2 · cos

(6 · π · f0 · t + arctan

(−(−1)

1

))= 1 +

√41 · cos (2 · π · f0 · t− 0.675) +

√13 · cos (4 · π · f0 · t− 2.16) +

√2 · cos

(6 · π · f0 · t +

π

4

)= A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1) + A2 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α2) + A3 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α3)

Corrig

édes

exercices,

v1.16

24M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

x2(t) = A0 +∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

= 1 + 3 · cos(2 · π · 1 · f0 · t−

π

3

)+ 2 · cos

(2 · π · 3 · f0 · t +

π

2

)= A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1) + A3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + α3)

x3(t) = 5 + 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + 0.6435) + 2 ·√

5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + 2.6779)

= A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1) + A3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + α3)

3. Spectres unilatéraux et bilatéraux d’amplitude et de phase de x1(t), x2(t) et x3(t) :

x1(t) Le spectre unitlatéral correspond directement à l’expression de x1(t) en cosinus :

x1(t) = 1 +√

41 · cos (2 · π · f0 · t− 0.675) +√

13 · cos (4 · π · f0 · t− 2.16) +√

2 · cos(6 · π · f0 · t +

π

4

)= A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1) + A2 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α2) + A3 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α3)

Le spectre bilatéral s’en déduit facilement :

k 0 1 2 3

Ak A0 = 1 A1 =√

41 A2 =√

13 A3 =√

2αk α0 = 0 α1 = −0.675 α2 = −2.16 α3 = +π

4

k 0 ±1 ±2 ±3

X(j · k)X(j · 0) = A0

= 1

X(±j · 1) = A1

2· e±j·α1

=√

412· e∓j·0.675

X(±j · 2) = A2

2· e±j·α2

=√

132· e∓j·2.16

X(±j · 3) = A3

2· e±j·α3

=√

22· e±j·π

4

La représentation graphique des spectre uni- et bilatéraux est donnée sur la figure 1.9.

Corrig

édes

exercices,

v1.16

25M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

x2(t) Le spectre unitlatéral correspond directement à l’expression de x2(t) en cosinus :

x2(t) = A0 +∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

= 1 + 3 · cos(2 · π · 1 · f0 · t−

π

3

)+ 2 · cos

(2 · π · 3 · f0 · t +

π

2

)= A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1) + A3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + α3)

Le spectre bilatéral s’en déduit facilement :k 0 1 2 3Ak A0 = 1 A1 = 3 A2 = 0 A3 = 2αk α0 = 0 α1 = −π

3α2 = 0 α3 = +π

2

k 0 ±1 ±2 ±3

X(j · k)X(j · 0) = A0

= 1X(±j · 1) = A1

2· e±j·α1

= 32· e∓j·π

3X(±j · 2) = 0

X(±j · 3) = A3

2· e±j·α3

= 22· e±j·π

2

= e±j·π2

La représentation graphique des spectre uni- et bilatéraux est donnée sur la figure 1.10.x3(t) Le spectre unitlatéral correspond directement à l’expression de x3(t) en cosinus :

x3(t) = 5 + 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + 0.6435) + 2 ·√

5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + 2.6779)

= A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1) + A3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + α3)

Le spectre bilatéral a dédjà été obtenu au précédemment : on avait :

x3(t) =∞∑

k=−∞

X(j · k) · ej·2·π·k·f0·t

= X(−j · 3) · e−j·2·π·3·f0·t + X(−j · 1) · e−j·2·π·1·f0·t + X(j · 0) · ej·2·π·0·f0·t + X(j · 1) · ej·2·π·1·f0·t + X(j · 3) · ej·2·π·3·f0·t

=√

5 · e−j·2.6779 · e−j·2·π·3·f0·t + 5 · e−j·0.6435 · e−j·2·π·1·f0·t + 5 + 5 · ej·0.6435 · ej·2·π·1·f0·t +√

5 · ej·2.6779 · ej·2·π·3·f0·t

Corrig

édes

exercices,

v1.16

26M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

Si l’on répète néanmoins la même opération que pour x1(t) et x2(t), on a :k 0 1 2 3

Ak A0 = 5 A1 = 10 A2 = 0 A3 = 2 ·√

5αk α0 = 0 α1 = 0.6435 α2 = 0 α3 = 2.6779

k 0 ±1 ±2 ±3

X(j · k)X(j · 0) = A0

= 5

X(±j · 1) = A1

2· e±j·α1

= 102· e±j·0.6435

= 5 · e±j·0.6435

X(±j · 2) = 0

X(±j · 3) = A3

2· e±j·α3

= 2·√

52· e±j·2.6779

=√

5 · e±j·2.6779

La représentation graphique des spectre uni- et bilatéraux est donnée sur la figure 1.11.

Corrig

édes

exercices,

v1.16

27M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 1000 2000 3000

0

2

4

6

fHz

Ak

0 1000 2000 3000

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

fHz

αk

π

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000

0

1

2

3

fHz

|X(j · k)|

••

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

fHz

argX(j·k)π

−2 −1 0 1 2

−5

0

5

10

t [ms]

x(t)

Fig. 1.9 – (fichier source).

0 1000 2000 3000

0

1

2

3

f [Hz]

Ak

0 1000 2000 3000

−0.2

0

0.2

0.4

f [Hz]

αk

π

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000

0

0.5

1

1.5

f [Hz]

|X(j · k)|

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

f [Hz]

argX(j·k)π

−2 −1 0 1 2

−4

−2

0

2

4

6

t [ms]

x(t)

Fig. 1.10 – (fichier source).

Corrigé des exercices, v 1.16 28 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 1000 2000 3000

0

2

4

6

8

10

f [Hz]

Ak

0 1000 2000 3000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

f [Hz]

αk

π

• • •

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000

0

1

2

3

4

5

f [Hz]

|X(j · k)|

••

••

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000

−0.8

−0.6

−0.4

−0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

f [Hz]

argX(j·k)π

−2 −1 0 1 2

−10

0

10

20

t [ms]

x(t)

Fig. 1.11 – (fichier source).

Corrigé des exercices, v 1.16 29 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1.1.7 Exercice SF 7

Calculez la puissance de chacun des trois signaux de l’exercice 1.1.6 page 22.

Corrigéx1(t) :

P = A20 +

1

2·∞∑

k=1

A2k

= A20 +

1

2·(A2

1 + A22 + A2

3

)= 12 +

1

2·[√

52 + 422+√

(−2)2 + 322+√

1 + (−1)22]

= 1 +1

2· [41 + 13 + 2]

= 29 [V2]

x2(t) :

P = A20 +

1

2·∞∑

k=1

A2k

= A20 +

1

2·(A2

1 + A22

)= 12 +

1

2·[32 + 22

]= 7.5 [V2]

x3(t) :

P =∞∑

k=−∞

|X(j · k)|2

= |X(j · 0)|+ 2 ·∞∑

k=1

|X(j · k)|2

= 52 + 2 ·(√

42 + 322+√

22 + 122)

= 85 [V2]

Corrigé des exercices, v 1.16 30 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1.1.8 Exercice SF 8

Considérant le signal x (t) = 2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)

1. écrivez x (t) dans les formes cosinus et complexe ;2. donnez les composantes spectrales dans les trois représentations :

ak, bk Ak, αk X (j · k)

3. vérifiez que la puissance de ce signal calculée à l’aide des trois représenta-tions donne le même résultat ;

4. comment calculeriez-vous la puissance dans l’espace temps ? voyez-vous desmoyens de simplifier ce calcul ? Si oui, le résultat est immédiat.

Corrigé des exercices, v 1.16 31 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

Corrigé

1. On a pour la série en cosinus :

x (t) = 2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)

= 2 + cos(2 · π · f0 · t−

π

2

)+ 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)

= A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1) + A3 · cos (6 · π · f0 · t + α3)

Partant de la série en cosinus, on obtient facilement la série complexe en faisant usage des formule d’Euler :

x (t) = 2 + cos(2 · π · f0 · t−

π

2

)+ 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)

= 2 +1

2· e+j·(2·π·f0·t−π

2 ) +1

2· e−j·(2·π·f0·t−π

2 ) + 0.25 · 12· e+j·(6·π·f0·t) + 0.25 · 1

2· e−j·(6·π·f0·t)

= X (0) + X (+j · 1) · e+j·2·π·f0·t + X (−j · 1) · e−j·2·π·f0 + X (+j · 3) · e+j·6·π·f0·t + X (−j · 3) · e−j·6·π·f0·t

= 2 +1

2· e−j·π

2 · e+j·2·π·f0·t +1

2· e+j·π

2 · e−j·2·π·f0·t +0.25

2· e+j·6·π·f0·t +

0.25

2· e−j·6·π·f0·t

2. Série en cosinus :

A0 = 2

A1 = 1 α1 = −π

2A3 = 0.25 α3 = 0

Corrig

édes

exercices,

v1.16

32M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

Série de Fourier :

a0 = 2 · A0 = 2 · 2 = 4

a1 = +A1 · cos (α1) = cos(−π

2

)= 0

b1 = −A1 · sin (α1) = − sin(−π

2

)= 1

a3 = +A3 · cos (α3) = 0.25 · cos (0) = 0.25

b3 = −A3 · sin (α3) = −0.25 · sin (0) = 0

Série complexe :

X(j · 0) = 2

X(±j · 1) = 0.5 · e∓j·π2

X(±j · 3) = 0.125 · ej·0

3. Série de Fourier :

P =(a0

2

)2

+1

2·∞∑

k=1

(√a2

k + b2k

)2

=(a0

2

)2

+1

2·[a2

1 + b21 + a2

3 + b23

]=

(4

2

)2

+1

2·[02 + 12 + 0.252 + 02

]= 4.52125 [V2]

Corrig

édes

exercices,

v1.16

33M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

Série en cosinus :

P = A20 +

1

2·∞∑

k=1

A2k

= 22 +1

2·[A2

1 + A23

]= 22 +

1

2·[12 + 0.252

]= 4.52125 [V2]

Série complexe :

P =+∞∑

k=−∞

|X (j · k)|2

= |X (−j · 3)|2 + |X (−j · 1)|2 + |X (j · 0)|2 + |X (j · 1)|2 + |X (j · 3)|2

= 0.1252 + 0.52 + 22 + 0.52 + 0.1252

= 4.52125 [V2]

4. La puissance dans l’espace temps se calcule comme :

P =1

T·∫ +T

2

−T2

x2 (t) · dt

=1

T·∫ +T

2

−T2

[2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)]2 · dt

Corrig

édes

exercices,

v1.16

34M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

La fonction à intégrer peut être mise sous la forme :

[2 + (sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t))]2

= 22 + 2 · 2 ·

sin (2 · π · f0 · t)︸ ︷︷ ︸R

T =0

+0.25 · cos (6 · π · f0 · t)︸ ︷︷ ︸R

T =0

+ (sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t))2

Pour la somme de sinus au carré, on a :

(sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t))2

= sin2 (2 · π · f0 · t) + 2 · sin (2 · π · f0 · t) · 0.25 · cos (6 · π · f0 · t) + 0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t)= sin2 (2 · π · f0 · t) + 0.5 · sin (2 · π · f0 · t) · cos (6 · π · f0 · t)︸ ︷︷ ︸

12·sin (2·π·f0·t+6·π·f0·t)+ 1

2·sin (2·π·f0·t−6·π·f0·t)

+0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t)

= sin2 (2 · π · f0 · t) + 0.25 · (sin (8 · π · f0 · t) + sin (−4 · π · f0 · t))︸ ︷︷ ︸R

T =0

+0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t)

Pour le calcul de la puissance dans le domaine temporel, il suffit donc d’évaluer :

P =1

T·∫ +T

2

−T2

x2 (t) · dt

=1

T·∫ +T

2

−T2

[2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)]2 · dt

= . . .

=1

T·∫ +T

2

−T2

[22 + sin2 (2 · π · f0 · t) + 0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t)

]· dt

Corrig

édes

exercices,

v1.16

35M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

Autrement dit, il suffit de sommer les carrés des valeurs efficaces de 2, sin (2 · π · f0 · t) et 0.25 ·cos (6 · π · f0 · t), soit :

P = 22 +

(1√2

)2

+ 0.252 ·(

1√2

)2

= 4.53125 [V2]

Corrig

édes

exercices,

v1.16

36M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1.1.9 Exercice SF 15

Considérant une SIR centrée de période T = 100 [µs], de largeur ∆t = 20 [µs] etd’amplitude A = 10 [V],

1. calculez le pourcentage de puissance comprise dans le premier lobe du sinuscardinal ;

2. admettant que cette SIR est appliquée à un filtre passe-bas d’ordre 1 dontla fonction de transfert est

H (j · f) =1

1 + j · ffc

fc = 10 [kHz]

que valent l’amplitude et la phase des composantes 10 [kHz], 40 [kHz] et150 [kHz] ?

CorrigéLa série de Fourier complexe d’une SIR a été calculée dans le cours. On a :

X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t

= 10 [V] · 20 [µs]100 [µs]

·sin(k · π · 1

100 [µs] · 20 [µs])

k · π · 1100 [µs] · 20 [µs]

= 2 [V] · sin (k · π · 0.2)

k · π · 0.2Le spectre d’amplitude s’annule pour la première fois pour k = 5 (figure 1.12 pagesuivante). Le premier lobe du spectre est donc constitué des raies (pour mémoire,on a |X(j · k)| = |X(−j · k)|)

X(−j · 5) = 0

X(−j · 4) = 0.4677

X(−j · 3) = 1.0091

X(−j · 2) = 1.5136

X(−j · 1) = 1.871

X(j · 0) = 2

X(j · 1) = 1.871

X(j · 2) = 1.5136

X(j · 3) = 1.0091

X(j · 4) = 0.4677

X(j · 5) = 0

Corrigé des exercices, v 1.16 37 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−100 −50 0 50 100

0

0.5

1

1.5

2

f [kHz]

|X(j · k)|

−100 −50 0 50 100

−1

−0.5

0

0.5

1

f [kHz]

argX(j·k)π

Fig. 1.12 – f0 = 1100 [µs] = 10 [kHz] (fichier source).

Corrigé des exercices, v 1.16 38 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1. La puissance correspondante est ainsi :

P±5 =+5∑

k=−5

|X (j · k)|2 = X (0)2 + 2 ·+5∑k=1

|X (j · k)|2

= 22 + 2 ·(1.8712 + 1.51362 + 1.00912 + 0.46772

)= 18.05756 [V2]

La puissance totale du signal se calcule aisément dans le domaine temporel :

P =1

T·∫ +T

2

−T2

x2 (t) · dt

=1

100 [µs]·∫ +

100 [µs]2

− 100 [µs]2

x2 (t) · dt

=1

100 [µs]·∫ +

10 [µs]2

− 10 [µs]2

(10 [V])2 · dt

=1

100 [µs]· (10 [V])2 ·

∫ +10 [µs]

2

− 10 [µs]2

dt

=1

100 [µs]· (10 [V])2 · [t]+

10 [µs]2

− 10 [µs]2

=1

100 [µs]· (10 [V])2 ·

[+

10 [µs]2− (−10 [µs]

2)

]=

20 [µs]100 [µs]

· (10 [V])2

= 20 [V2]

La puissance contenue dans le premier lobe de X(j · k) représente donc

P±5

P=

18.05756 [V2]

20 [V2]≈ 90%

de la puissance totale du signal.2. Il suffit d’injecter dans H (j · f) = 1

1+j· ffc

les harmoniques de x(t) corres-

pondant à 10 [kHz], 40 [kHz] et 150 [kHz], soit X(j · 1), X(j · 4) et X(j · 15),et d’extraire le module et l’argument du résultat Y (j · k) :

Y (j · 1) =1

1 + j · ffc

·X(j · 1) =1

1 + j · 10 [kHz]10 [kHz]

· 1.871 = 0.9355− 0.9355 · j = 1.323 · e−j·π4

Y (j · 4) =1

1 + j · ffc

·X(j · 4) =1

1 + j · 40 [kHz]10 [kHz]

· 0.4677 = 0.0275− 0.1100 · j = 0.1134 · e−j·1.3258

Y (j · 15) =1

1 + j · ffc

·X(j · 15) =1

1 + j · 150 [kHz]10 [kHz]

· 0 = 0

Corrigé des exercices, v 1.16 39 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

On remarquera le cas particulier où f = fc = 10 [kHz], i.e. celui où la fré-quence du signal d’excitation x(t) coïncide avec la fréquence caractéristique(ou fréquence de coupure) du filtre H(j · f) :

(a) Le déphasage est d’exactement arg H(j · fc) = −π4

;

(b) L’atténuation est de |H(j · f)| = 1.3231.871

= 0.7071 =√

22

= −3 [dB].

1.1.10 Exercice SF 16

Un filtre passe-bas RC réalisé avec R = 1 [kΩ] et C = 0.1 [µF] est excité parun signal carré u1 (t) de période T = 1 [ms] et d’amplitude comprise entre 0 et20 [V] :

1. esquissez le signal de sortie u2 (t) et le courant i (t) ;

2. pour chacun des 3 signaux u1 (t), u2 (t), i (t), calculez leurs valeurs DC,efficace totale et efficace AC.

Corrigé

On a pour la tension de sortie u2(t) ainsi que le courant i(t) :

Corrigé des exercices, v 1.16 40 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

t [ms]

u1(t) [V]

0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

t [ms]

u2(t) [V]

0 1 2 3 4 5

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

t [ms]

i(t) [A]

Corrigé des exercices, v 1.16 41 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

Puissance du signal u1(t) La valeur DC n’est autre que la valeur moyenne X (j · 0) du signal. Partant de la définitionde X(j · k)

X (j · k) =1

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt −∞ < k < +∞

on a, pour k = 0 :

U1 (j · 0) =1

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · e−j·2·π·0·f0·t · dt

=1

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · dt

=1

1 [ms]·∫ +

1 [ms]2

− 1 [ms]2

x (t) · dt

=1

1 [ms]·∫ +

1 [ms]2

0

20 [V] · dt

= 10 [V]

La puissance AC se calcule par déduction de la puissance DC Pdc = |U1 (j · 0)|2 = 100[V2]

de la puissance totale

Corrig

édes

exercices,

v1.16

42M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

P . La puissance totale s’écrit :

P =1

T·∫ +T

2

−T2

x2 (t) · dt

=1

1 [ms]·∫ +

1 [ms]2

− 1 [ms]2

x2 (t) · dt

=1

1 [ms]·∫ +

1 [ms]2

0

(20 [V])2 · dt

=1

1 [ms]· (20 [V])2 · [t]+

1 [ms]2

0

=1

1 [ms]· (20 [V])2 ·

[+

1 [ms]2− 0

]= 200

[V2]

La valeur efficace est donc :

U1eff =√

P =√

200[V2]

= 10 ·√

2 [V]

On déduit de la puissance totale P et de la puissance DC Pdc la puissance AC :

P1,AC = P1 − P1,DC = 200[V2]− 100

[V2]

= 100[V2]

La valeur efficace AC est :

U1effAC =√

P1,AC = 10 [V]

Puissance du signal u2(t) La valeur DC sera égale à celle de u1(t) puisque l’on a affaire à un filtre passe-bas. Par calcul,

Corrig

édes

exercices,

v1.16

43M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

on aurait :U2 (j · 0) = H(j · f) · U1(j · 0)

=1

1 + j · 2 · π · 0 · f0 · τ· U1(j · 0)

= 1 · U1(j · 0)

= 10 [V]

Pour la puissance totale, on peut procéder selon Parseval dans le domaine fréquentiel ou temporel. On peut aussinoter que si le rapport des amplitudes de la sortie et de l’entrée est donné par

U2(j · k)

U1(j · k)= H(j · f)|f=k·f0

celui des puissances est par suite donné par :

P2(j · k)

P1(j · k)=|U2(j · k)|2

|U1(j · k)|2= |H(j · f)|2f=k·f0

Il s’ensuit que

P2 (j · k) = |H(j · k · f0)|2 · P1(j · k)

=1

1 + (2 · π · k · f0 · τ)2 · P1(j · k)

Pour la puissance DC de u2(t) on a donc :

P2 (j · 0) =1

1 + (2 · π · 0 · f0 · τ)2 · P1(j · 0)

= 1.0 · P1 (j · 0)

= 1.0 · |U1 (j · 0)|2

= 100[V2]

Corrig

édes

exercices,

v1.16

44M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

La puissance totale est plus facilement calculée dans le domaine temporel :

P2 =1

T·∫ T

0

u22 (t) · dt

=1

T·∫ T

2

0

(U0 ·

(1− e−

1R·C ·τ

))2

· dτ +1

T·∫ T

T2

(U0 · e−

1R·C ·(τ−T

2 ))2

· dτ

∣∣∣∣∣t′=τ−T

2

=U2

0

T·∫ T

2

0

(1− e−

1R·C ·τ

)2

· dτ +1

T·∫ T

2

0

(e−

1R·C ·t

′)2

· dt′

=U2

0

T·∫ T

2

0

(1− e−

1R·C ·τ

)2

· dτ +U2

0

T·∫ T

2

0

e−2· 1R·C ·t

′ · dt′

=U2

0

T·∫ T

2

0

(1− 2 · e−

1R·C ·τ + e−2· 1

R·C ·τ)· dτ +

U20

T·∫ T

2

0

e−2· 1R·C ·t

′ · dt′

=U2

0

T·[t− 2 · 1

− 1R·C· e−

1R·C ·t +

1

−2 · 1R·C· e−2· 1

R·C ·t]+T

2

0

+U2

0

T·[

1

−2 · 1R·C· e−2· 1

R·C ·t]+T

2

0

=U2

0

T·[t− 2 · 1

− 1R·C· e−

1R·C ·t + 2 · 1

−2 · 1R·C· e−2· 1

R·C ·t]+T

2

0

=U2

0

T·[+

T

2− 0− 2 · 1

− 1R·C·(e−

1R·C ·

T2 − e−

1R·C ·0

)+ 4 · 1

−2 · 1R·C·(e−2· 1

R·C ·T2 − e−2· 1

R·C ·0)]

=U2

0

T·[+

T

2− 2 · 1

− 1R·C·(e−

1R·C ·

T2 − 1

)+ 4 · 1

−2 · 1R·C·(e−2· 1

R·C ·T2 − 1

)]=

U20

T·[+

T

2− 2 · 1

− 1R·C· e−

1R·C ·

T2 + 4 · 1

−2 · 1R·C· e−2· 1

R·C ·T2

]= U2

0 ·[1

2+ 2 · R · C

T· e−

T2·R·C − 2 · R · C

T· e−

TR·C

]∣∣∣∣T=1 [ms]R·C=1 [kΩ]·0.1 [µF]=0.1 [ms]

≈ 1

2· U2

0

≈ 1

2· (20 [V])2

≈ 200[V2]

Corrig

édes

exercices,

v1.16

45M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

La puissance AC de u2(t) est dès lors :

P2,AC = P2 − P1,DC = 200[V2]− 100

[V2]

= 100[V2]

La valeur efficace AC est :U2effAC =

√P2,AC = 10 [V]

Puissance du signal i(t) Suite du corrigé en préparation.

Corrig

édes

exercices,

v1.16

46M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

R

Cx(t) y(t)

Fig. 1.13 – (fichier source).

1.1.11 Exercice SF 17

Soit un filtre RC passe-bas dont la constante de temps est mal connue. On luiapplique une SIR x (t) d’amplitude A = 10 [V], de période T = 20 [ms] et delargeur ∆t = 1 [ms].

1. que valent les composantes continues des signaux d’entrée et de sortie ?2. quelle est la fonction de transfert H (j · ω) du circuit ;3. que valent les spectres bilatéraux X (j · k) et Y (j · k) ?4. admettant que la constante de temps est de l’ordre de 2 [ms], esquissez les

signaux d’entrée x (t) et de sortie y (t) ; estimez la valeur maximum de y (t) ;5. pour la fréquence f = 5 · f0, l’analyseur spectral du signal de sortie fournit

le coefficient complexe Y (j · 5) = −0.0659− j · 0.154 ; calculez l’amplitudeet l’argument de la fonction de transfert pour cette fréquence ;(Rép. : |H| = 0.37,6 H = −68 [])

6. que valent la constante de temps et la fréquence de coupure du filtre ?(Rép. : τ = 1.6 [ms], fc = 100 [Hz])

Corrigé1. Comme il s’agit d’un filtre passe-bas (figure 1.13), la composante continue

X(j · 0) de l’entrée x(t) se retrouve telle quelle à la sortie :

Y (j · 0) = X(j · 0)

2. Sous l’hypothèse de régime sinusoïdal permanent, la fonction de transferten j ·ω s’obtient en raisonnant avec des impédance complexes et en faisantusage de la règle du diviseur de tension :

Y (j · k) =

1j·ω·C

R + 1j·ω·C

·X(j · k)

Corrigé des exercices, v 1.16 47 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

d’où :

H(j · ω) =Y (j · k)

X(j · k)=

1

1 + j · ω ·R · C=

1

1 + j · ω · τ=

1

1 + j · ffc

∣∣∣∣∣fc=

12·π·τ

3. Pour X(j · k), c’est le spectre bien connu d’une SIR :

X(j·k) = A·∆t

T·sinc(k · f0 ·∆t) = 10· 1 [ms]

20 [ms]·sinc

(k · 1

20 [ms]· 1 [ms]

)= 0.5·sinc(0.05 · k)

avec f0 = 1T. Y (j · k) est donc simplement :

Y (j ·k) = H(j · ω)|ω=2·π·f=2·π·k·f0·X(j ·k) =

1

1 + j · k · f0

fc

·0.5 · sinc(0.05 · k)

Graphiquement, les résultats se présentent comme indiqué sur la figure 1.14.

4. La figure 1.15 montre le signal de sortie, obtenu ici non par calcul analytique(résolution de l’équation différentielle régisant le circuit de la figure 1.13)par synthèse à partie des N = 41 premiers termes de Y (j · k), i.e. par :

yN (t) =+N∑

k=−N

Y (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

5. On a :

H(j · ω)|ω=2·π·5·f0=

Y (j · 5)

X(j · 5)

=0.0659− j · 0.154

0.5 · sinc(0.05 · 5)

= −0.1464− 0.3421 · j

= 0.3721 · e−j·113.1671 []

6. Du point précédent, on tire :

|H(j · ω)|ω=2·π·5·f0= 0.3721

=

∣∣∣∣∣ 1

1 + j · ffc

∣∣∣∣∣=

1√1 +

(ffc

)2

Corrigé des exercices, v 1.16 48 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−2000 −1000 0 1000 2000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f [Hz]

|X(j · k)|

−2000 −1000 0 1000 2000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f [Hz]

|H(j · k)|

−2000 −1000 0 1000 2000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f [Hz]

|Y (j · k)|

Fig. 1.14 – (fichier source).

Corrigé des exercices, v 1.16 49 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−0.04 −0.02 0 0.02 0.04

0

1

2

3

4

t [s]

yN(t)

Fig. 1.15 – Signal de sortie y(t) ≈ y41(t), obtenu par synthèse à partie desN = 41 premiers termes de Y (j·k), i.e. par : y41 (t) =

∑+41k=−41 Y (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

(fichier source).

D’où :

1

0.37212= 1 +

(f

fc

)2

√1

0.37212− 1 =

f

fc

f√1

0.37212 − 1= fc

5 · f0√1

0.37212 − 1= fc

5 · 50 [Hz]√1

0.37212 − 1= fc

100.22 [Hz] = fc

On en déduit :

τ =1

ωc

=1

2 · π · fc

=1

2 · π · 100.22 [Hz]= 1.59 [ms]

Corrigé des exercices, v 1.16 50 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1.1.12 Exercice SF 21

Un circuit non linéaire de type parabolique est modélisé par la caractéristique detransfert suivante :

u2 (t) = α · u1 (t) + β · u21 (t)

Sachant qu’on lui applique une tension sinusoïdale u1 (t) = A · sin (ω0 · t) :

1. déterminez les composantes spectrales que l’on obtient à la sortie ;

2. quelle est la puissance normalisée P2 du signal de sortie ?

3. que vaut-elle par rapport à celle du signal d’entrée P1 ?

4. faites l’A.N. avec A = 10 [V], ω = 2 · π · 100[ rad

s

], α = 1, β = 0.2

[V−1

]5. esquissez u2 (t) ; quel est son taux de distorsion harmonique ?

Corrigé

1. u2(t) a pour expression :

u2 (t) = α · u1 (t) + β · u21 (t)

= α · A · sin (ω0 · t) + β · (A · sin (ω0 · t))2

= α · A · sin (ω0 · t) + β · A2 · 1− 2 · cos (2 · ω0 · t)2

= β · A2

2+ α · A · sin (ω0 · t)− β · A

2

2· cos (2 · ω0 · t)

Pour obtenir rapidement le spectre U2(j · k de u2(t), on peut dans ce casfaire usage des relations d’Euler :

u2 (t) = β · A2

2+ α · A · e

j·ω0·t − e−j·ω0·t

2 · j− β · A

2

2· e

j·2·ω0·t + e−j·2·ω0·t

2

= β · A2

2+

α · A2 · j

· ej·ω0·t − α · A2 · j

· e−j·ω0·t − β · A2

4· ej·2·ω0·t − β · A2

4· e−j·2·ω0·t

= 0.2 · 102

2+

1 · 10

2 · j· ej·ω0·t − 1 · 10

2 · j· e−j·ω0·t − 0.2 · 102

4· ej·2·ω0·t − 0.2 · 102

4· e−j·2·ω0·t

= 10 + 5 · e−j·π2 · ej·ω0·t + 5 · e+j·π

2 · e−j·ω0·t + 5 · ej·π · ej·2·ω0·t + 5 · e−j·π · e−j·2·ω0·t

= U2(j · 0) + U2(j · 1) + U2(−j · 1) + U2(j · 2) + U2(−j · 2)

2. La puissance du signal d’entrée est donnée par le carré de sa valeur efficace,soit

P1 = U21eff =

A√2

2

=A2

2=

102

2= 50

[V2]

Corrigé des exercices, v 1.16 51 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Pour le signal de sortie u2(t), on a en faisant usage de Parseval :

P2 =+∞∑

k=−∞

|X (j · k)|2

= |U2 (−j · 2)|2 + |U2 (−j · 1)|2 + |U2 (j · 0)|2 + |U2 (j · 1)|2 + |U2 (j · 2)|2

=∣∣5 · e−j·π∣∣2 +

∣∣5 · e−j·π2

∣∣2 + 102 +∣∣5 · e+j·π

2

∣∣2 +∣∣5 · ej·π∣∣2

= 52 + 52 + 102 + 52 + 52

= 200[V2]

3. On a :P2

P1

=200

[V2]

50[V2] = 4

4. cf ci-dessus5. Le taux de distortion harmonique (TDH) est donné par :

TDH =Xeff (k > 1)

Xeff (k = 1)=

√X2 (2) + X2 (3) + X2 (4) + . . .

X2 (1)

On a donc :

TDH =

√U2

2 (2)

U22 (1)

=

√52

52= 100%

Corrigé des exercices, v 1.16 52 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Chapitre 2

Analyse des signaux nonpériodiques

2.1 Corrigé des exercices

2.1.1 Exercice TF 1

À partir de la seule observation du signal temporel de la figure 2.1, précisez ce quevaut sa densité spectrale en f = 0 [Hz] puis calculez et esquissez sa transforméede Fourier.

CorrigéSelon la propriété de la transformée de Fourrier

X(0) =

∫ +∞

−∞x(t) · dt

on a :X(0) = 1 · 2 [ms] + 2 · 2 [ms] + 1 · 2 [ms] = 8 [ms]

Le signal de la figure 2.1 page suivante est constitué de 3 impulsions rectangulairesdécalées et pondérées. Si y(t) est une impulsion rectangulaire définie comme

y(t) =

0 si |t| > ∆t

2

1 si |t| ≤ ∆t2

dont la transformée de Fourier est

Y (j · f) = Fy(t) = ∆t · sinc(f ·∆t)

alors x(t) peut être exprimé comme suit :

x(t) = y (t + 4 [ms]) + 2 · y (t) + y (t− 4 [ms])

Corrigé des exercices, v 1.16 53 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

0

0.5

1

1.5

2

temps [msec]

x(t)

Fig. 2.1 – Exercice TF1.

En faisant usage des propriétés de linéarité

a · x(t) + b · y(t)←→ a ·X(j · f) + b · Y (j · f)

et de décalagex(t + td)←→ X(j · f) · e+j·2·π·f ·td

de la transformée de Fourier, on a :

X(j · f) = Fx(t)= Y (j · f) · e+j·2·π·f ·4 [ms] + 2 · Y (j · f) + Y (j · f) · e−j·2·π·f ·4 [ms]

= ∆t · sinc(f ·∆t) · e+j·2·π·f ·4 [ms] + 2 ·∆t · sinc(f ·∆t) + ∆t · sinc(f ·∆t) · e−j·2·π·f ·4 [ms]

= ∆t · sinc(f ·∆t) ·[e+j·2·π·f ·4 [ms] + 2 + e−j·2·π·f ·4 [ms]]

= ∆t · sinc(f ·∆t) · [2 · cos (2 · π · f · 4 [ms]) + 2]

= 2 · 2 [ms] · sinc(f · 2 [ms]) · [cos (2 · π · f · 4 [ms]) + 1]

= 4 [ms] · sinc(f · 2 [ms]) · [1 + cos (2 · π · f · 4 [ms])]

2.1.2 Exercice TF 2

Partant de la TF d’une impulsion rectangulaire et de la propriété d’intégration,calculez les TF de x(t) et y(t) (figure 2.2). Après calculs, vous remarquerez queY (j · f) peut s’écrire sous la forme d’un sinc2.

Corrigé des exercices, v 1.16 54 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−400 −200 0 200 400 600−1

0

1

x(t)

−400 −200 0 200 400 6000

0.5

1

y(t)

−400 −200 0 200 400 6000

0.5

1

temps [msec]

z(t)

Fig. 2.2 – Exercices TF2 et TF3.

Corrigéx(t) est constituée la superposition de 2 impulsions de largeur ∆t = 200 [ms],

l’une avancée de td1 = 100 [ms] = ∆t2

et l’autre retardée de td2 = −100 [ms] = −∆t2

et de polarité négative (figure 2.1.2). On a donc :

X(j · f) = Fx(t)

= A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) · e+j·2·π·f ·∆t2 − A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) · e−j·2·π·f ·∆t

2

= A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) ·[e+j·2·π·f ·∆t

2 − e−j·2·π·f ·∆t2

]= A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) · 2 · j · sin (π · f ·∆t)

= j · 2 · A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) · sin (π · f ·∆t)

Application numérique :

X(j · f) = j · 2 · A ·∆t · sinc(f ·∆t) · sin (π · f ·∆t)

= j · 2 · 1 · 200 [ms] · sinc(π · f · 200 [ms]) · sin (π · f · 200 [ms])= j · 400 [ms] · sinc(π · f · 200 [ms]) · sin (π · f · 200 [ms])

Corrigé des exercices, v 1.16 55 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

+

=

∆t

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

u (t)

∆t

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

u(

t + ∆t

2

)

∆t

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

−u(

t − ∆t

2

)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

x (t) = u(

t + ∆t

2

)

+ u(

t − ∆t

2

)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

1

∆t·

t

−∞u

(

τ + ∆t

2

)

· dτ

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

1

∆t·

t

−∞−u

(

τ −

∆t

2

)

· dτ

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

y(t) = 1

∆t·

t

−∞x (τ) · dτ

Fig. 2.3 – En traitillé l’intégrale sans prise en compte du facteur 1∆t

.

Corrig

édes

exercices,

v1.16

56M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

y(t) correspond, à un facteur 1∆t

près, à l’intégrale de x(t) (figure 2.1.2) :

y(t) =1

∆t·∫ t

−∞x(τ) · dτ

Connaissant la propriété de la TF∫ t

−∞x(τ) · dτ ←→ 1

j · 2 · π · f·X(j · f) +

1

2·X(0) · δ(f)

avec X(0) =∫ +∞−∞ x(t) · dt, l’on peut ainsi écrire :

Y (j · f) = Fy(t)

=1

∆t·

1

j · 2 · π · f·X(j · f) +

1

R +∞−∞ x(t)·dt=0︷ ︸︸ ︷

X(0) ·δ(f)

=

1

∆t· 1

j · 2 · π · f·X(j · f)

=1

∆t· 1

j · 2 · π · f· A ·∆t · sinc(f ·∆t) · 2 · j · sin (π · f ·∆t)

= A ·∆t · sinc(f ·∆t) · sin (π · f ·∆t)

π · f ·∆t·

= A ·∆t · sinc2(π · f ·∆t)

Application numérique :

Y (j · f) = A ·∆t · sinc2(π · f ·∆t)

= 1 · 200 [ms] · sinc2(π · f · 200 [ms])

2.1.3 Exercice TF 3

Partant de la TF d’une impulsion et d’un saut unité, trouvez celle de z(t) (figure2.2). Est-il possible de trouver Z(j · f) à partir de Y (j · f) ? Vous pouvez vérifiervotre résultat en calculant Z(j · f = 0) qui doit être égal à ∆t

2.

Corrigé1. z(t) correspond à la somme (figure 2.4 ) de

(a) l’intégrale d’une impulsion rectangulaire v(t) de largeur ∆t, retardéede ∆t

2et d’amplitude − 1

∆t:

(b) et d’un saut unité ε(t)

Corrigé des exercices, v 1.16 57 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

∆t

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

t [s]

v (t)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

∫t

−∞v (τ) · dτ

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

ε (t)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

z (t) =∫

t

−∞v (τ) · dτ + ε(t)

Fig. 2.4 –

Corrigé des exercices, v 1.16 58 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

z(t) =

∫ t

−∞v(τ) · dτ + ε(t)

D’où :Z(j · f) = Fz(t)

Z(j · f) = F∫ t

−∞v(t) · dt

+ Fε(t)

=1

j · 2 · π · f· V (j · f) +

1

R +∞−∞ v(t)·dt=−1︷︸︸︷

V (0) ·δ(f) +1

j · 2 · πf+

1

2· δ(f)

=1

j · 2 · π · f· 1

−∆t·∆t · sinc(f ·∆t) · e−j·2·π·f ·∆t

2 +−1

2· δ(f) +

1

j · 2 · πf+

1

2· δ(f)

=1

j · 2 · π · f·[−sinc(f ·∆t) · e−j·π·f ·∆t + 1

]2. On voit que

y(t) = z(−t) + z(t)

Comme y(t) est paire, on sait que =Y (j · f) = 0. On a :

Y (j · f) = Z∗(j · f) + Z(j · f) = 2 · < Z(j · f)

Si on connaît Y (j·f), on ne peut déduire que <Z(j · f) et pas =Z(j · f).3. On a par la propriété de la TF :

Z(0) =

∫ +∞

−∞z(t) · dt =

∆t

2

On obtient le même résultat en faisant tendre f vers 0 dans l’expression deZ(j · f) :

limf→0

Z(j · f) = limf→0

1

j · 2 · π · f·[−sinc(f ·∆t) · e−j·π·f ·∆t + 1

]= lim

f→0

1

j · 2 · π · f· [−1 · (1− j · π · f ·∆t) + 1]

= limf→0

1

j · 2 · π · f· [−1 + j · π · f ·∆t + 1]

=∆t

2

2.1.4 Exercice TF 4

Soit un signal carré symétrique (à valeur moyenne nulle) d’amplitude A. Esquissez1. le signal x(t) ;2. le spectre que l’on obtient avec les séries de Fourier ;3. le spectre que l’on obtient avec la transformation de Fourier.

Corrigé des exercices, v 1.16 59 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG

-Vd

Traitem

ent

de

Sig

nal

(TS)

CorrigéLa série de Fourier complexe d’un signal carré périodique (figure 2.5) de période T = 1

f0, de valeur moyenne nulle (pas

d’offset) se calcule comme suit :

X (j · k) =1

T·∫ +T

4

−T4

(+A) · e−j·2·π·k·f0·t · dt +1

T·∫ + 3·T

4

T4

(−A) · e−j·2·π·k·f0·t · dt

=A

(∫ +T4

−T4

e−j·2·π·k·f0·t · dt−∫ + 3·T

4

T4

e−j·2·π·k·f0·t · dt

)

=A

T·(

−1

j · 2 · π · k · f0

·(e−j·2·π·k·f0·T4 − e+j·2·π·k·f0·T4

)− −1

j · 2 · π · k · f0

·(e−j·2·π·k·f0· 3·T4 − e−j·2·π·k·f0·T4

))

=A

T

2·sin(k · π · f0 · T

2

)k · π · f0 · T

2

− −1

j · 2 · π · k · f0

· e−j·2·π·k·f0·T2︸ ︷︷ ︸−1k

·(e−j·2·π·k·f0·T4 − e+j·2·π·k·f0·T4

)=

A

(T

2·sin(k · π · f0 · T

2

)k · π · f0 · T

2

− (−1)k · −1

j · 2 · π · k · f0

·(e−j·2·π·k·f0·T4 − e+j·2·π·k·f0·T4

))

=A

(T

2·sin(k · π · f0 · T

2

)k · π · f0 · T

2

− (−1)k · T2·sin(k · π · f0 · T

2

)k · π · f0 · T

2

)

=

0 pour k = 0 et k paire

A · sin(k·π2 )

k·π2

= sinc(k · π

2

)pour k impaire

Ce résultat est représenté sur la figure 2.6.

Corrig

édes

exercices,

v1.16

60M

EE

\co_ts.tex

\19m

ai2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−4 −2 0 2 4

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

x(t)

Fig. 2.5 –

Le signal carré périodique x(t) s’exprime partant de sa série de Fourier com-plexe X(j · k) :

x (t) =∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

La transformée de Fourier de x(t) s’écrit alors, en appliquant la définition et entenant compte de la transformée de Fourier d’un phaseur :

X(j · f) =

∫ +∞

−∞x(t) · e−j·2·π·f ·t · dt

=

∫ +∞

−∞

∞∑k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t · e−j·2·π·f ·t · dt

=∞∑

k=−∞

∫ +∞

−∞X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t · e−j·2·π·f ·t · dt

=∞∑

k=−∞

X (j · k) ·∫ +∞

−∞e+j·2·π·k·f0·t︸ ︷︷ ︸

phaseur

·e−j·2·π·f ·t · dt

=∞∑

k=−∞

X (j · k) · δ(f − k · f0)

On obtient donc bel et bien un spectre de raies, représentées par des impulsionsde Dirac pondérées par X(j · k) (figure 2.7).

Corrigé des exercices, v 1.16 61 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

f [Hz]

|X(j · k)|

−10 −5 0 5 10

−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·k)π

Fig. 2.6 –

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

f [Hz]

|X(j · f)|

−10 −5 0 5 10

−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·f)π

Fig. 2.7 –

Corrigé des exercices, v 1.16 62 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

2.1.5 Exercice TF 5

Considérant le signal x(t) = e−a·|t|, calculez et esquissez x(t) et X(j · f), puisvérifiez les 2 égalités suivantes :

X(0) =

∫ +∞

−∞x(t) · dt

x(0) =

∫ +∞

−∞X(j · f) · df

Corrigé

En préparation.

2.1.6 Exercice TF 6

fréquence temps1 la partie réelle de X(j · f) est

nulle2 la partie imaginaire de X(j · f)

est nulle3 il existe un décalage t0 tel que

ej·2·π·f ·t0 ·X(j · f)

est réel4 X(j · f) est continu

1. Considérant les quatre propriétés fréquentielles du tableau ci-dessus, expri-mez leur équivalent temporel dans la colonne de droite.

2. Pour chacun des signaux temporels de la figure 2.8, quelles sont les proprié-tés du tableau qui s’y appliquent ?

3. Construisez un signal qui ne possède aucune des quatre propriétés mention-nées dans le tableau.

Corrigé

En préparation.

Corrigé des exercices, v 1.16 63 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1 (a)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1(b)

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1 (c)

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1 (d)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1(e)

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1 (f)

Fig. 2.8 – Exercice TF6.

Corrigé des exercices, v 1.16 64 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

5.−2 −1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x(

t)

temps [msec]

Fig. 2.9 – Exercice TF7.

2.1.7 Exercice TF 7

Soit X(j ·f) la transformée de Fourier du signal x(t) de la figure 2.9. Sans calculerexplicitement X(j · f), recherchez :

1. la densité spectrale de phase de X(j · f) ;2. la valeur de X(f = 0) ;3. la valeur de

∫ +∞−∞ X(j · f) · df ;

4. la valeur de∫ +∞−∞ |X(j · f)|2 · df .

CorrigéEn préparation.

2.1.8 Exercice TF 8

Connaissant la TF d’une sinusoïde amortie x(t) = A · e−a·t · sin(2 · π · f0 · t) · ε(t) :1. calculez la transformée de Fourier d’une sinusoïde démarrant à l’instant

zéro :y(t) = A · sin(2 · π · f0 · t) · ε(t)

2. esquissez les spectres X(j ·f), Y (j ·f) et celui d’une sinusoïde permanente ;3. discutez les différences existant entre ces trois spectres.

Corrigé des exercices, v 1.16 65 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

CorrigéEn préparation.

2.1.9 Exercice TF 9

On applique une exponentielle décroissante u1(t) = U0·e−a·t·ε(t), d’amortissementa = 100 [s−1] à un filtre passe-bas de constante de temps τ = 1 [ms] ;

1. calculez la TF U2(j · f) de la tension de sortie u2(t) du filtre ;2. utilisez le tableau des transformées pour déduire l’expression temporelle de

u2(t).

Corrigé1. La fonction de transfert du filtre, exprimée dans le domaine fréquentiel, est :

H(j · f) =U2(j · f)

U1(j · f)=

1

1 + j · 2 · π · f · τ

On a donc, en tenant compte du fait que la transformée de Fourier de u1(t)a été calculée au §2.3.1 :

U2(j · f) = H(j · f) · U1(j · f)

=1

1 + j · 2 · π · f · τ· U1(j · f)

=1

1 + j · 2 · π · f · τ· U0 ·

1

a + j · 2 · π · f

=U0

τ· 1

+ j · 2 · π · f· 1

a + j · 2 · π · f

2. La transformée de Fourier inverse fournit directement u2(t) (annexe §2.A) :

u2(t) =U0

τ· 1

a− 1τ

·(e−

tτ − e−a·t

)· ε(t)

=U0

a · τ − 1·(e−

tτ − e−a·t

)· ε(t)

=U0

1− a · τ·(e−a·t − e−

)· ε(t)

2.1.10 Exercice TF 10

Soit un message m(t) = A · cos(2 ·π ·f1 · t) modulé en amplitude par une porteusesinusoïdale p(t) = sin(2 · π · f0 · t) :

Corrigé des exercices, v 1.16 66 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1. calculez la TF du signal modulé x(t) = m(t) · p(t) = A · sin(2 · π · f0 · t) ·cos(2 · π · f1 · t) ;

2. esquissez le spectre du signal modulé |X(j · f)| si f1 = 10 [kHz] et f0 =800 [kHz] ;

3. idem que le point 2) lorsque le signal m(t) possède un spectre continu|M(j · f)| triangulaire et non-nul entre 2 [kHz] et 10 [kHz].

CorrigéEn préparation.

2.1.11 Exercice TF 11

Soit le signal :

u(t) =

U0 · cos(2 · π · f0 · t) si |t| ≤ t0

0 si |t| > t0

1. esquissez u(t) ;2. calculez sa TF U(j · f) ;3. esquissez |U(j · f)| pour U0 = 1 [V] T = 1

f0= 1 [ms] t0 = 10 [ms].

Ce signal correspond à l’observation d’une fonction sinusoïdale pendant une duréefinie 2 ·t0. On remarquera, une fois le calcul effectué, que l’analyse spectrale d’unesinusoïde pendant une durée finie revient à remplacer les raies spectrales situéesen f = ±f0 par la fonction sinus cardinal.

CorrigéOn sait que1.2. On peut exprimer u(t) comme

u(t) = rect (t, 2 ·∆t)·U0·cos(2·π·f0·t) = rect (t, 2 ·∆t)·U0·ej·2·π·f0·t + e−j·2·π·f0·t

2

où la fonction rect (t, ∆t) est définie comme suit :

rect (t, ∆t) =

0 si |t| > ∆t

2

1 si |t| ≤ ∆t2

Sa TF est (§2.2.1)∆t · sinc (π · f · δt)

Corrigé des exercices, v 1.16 67 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Sachant que (§2.1.4, propriété de modulation)

x(t) · e+j·2·π·f0·t ←→ X (j · (f − f0))

on peut écrire :

U(j ·ω) = U0 ·2 ·∆t ·sinc (π ·∆t · (f − f0))+U0 ·2 ·∆t ·sinc (π ·∆t · (f + f0))

3.

2.1.12 Exercice TF 12

Soit la fonction :

u(t) =

12· [1− cos(2 · π · f0 · t)] si |t| ≤ T

2

0 si |t| > T2

1. esquissez u(t) ;2. calculez sa TF U(j · f) ;3. esquissez U(j · f) et la TF d’une impulsion rectangulaire de même durée ;4. observez les différences.

CorrigéEn préparation.

2.1.13 Exercice TF 13

Connaissant la transformée E(j · f) d’un saut unité ε(t), calculez la transforméeS(j · f) de la fonction signe s(t).

CorrigéEn préparation.

2.1.14 Exercice TF 14

Montrez qu’un produit simple dans l’espace des fréquences correspond à un pro-duit de convolution dans l’espace temps :

Y (j · f) = X(j · f) ·H(j · f) ⇔ y(t) = x(t) ∗ h(t) =

∫ +∞

−∞x(θ) · h(t− θ) · dθ

Corrigé des exercices, v 1.16 68 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Pour démontrer ce résultat important et bien connu, vous pouvez d’abord expri-mer la TFI de Y (j · f) :

y(t) =

∫ +∞

−∞Y (j · f) · e+j·2·π·f ·t · df =

∫ +∞

−∞H(j · f) ·X(j · f) · e+j·2·π·f ·t · df

puis y introduire la TF de x(t) :

X(j · f) =

∫ +∞

−∞x(θ) · e−j·2·π·f ·θ · dθ

Corrigé

En préparation.

2.1.15 Exercice TF 15

Considérant la réponse d’un filtre h(t) dont le spectre est le suivant :

H(j · f) =

1 si |f | ≤ 100 [Hz]0 sinon

1. esquissez H(j · f) ;

2. calculez, puis esquissez h(t) ;

3. ce signal correspond à la réponse impulsionnelle du filtre décrit par H(j ·f);ce filtre est-il réalisable ? Justifier la réponse.

Indication Le calcul de la transformée de Fourier inverse (TFI) peut se faireen appliquant la définition telle quelle ; mais il est immédiat si l’on se souvientque

F x(t) = X(j · f)⇐⇒ F−1 x(j · f) = X(−t)

Corrigé

1. H(j ·f) est une fenêtre fréquentielle rectangulaire de hauteur 1 et de largeur2 · fc = 2 · 100 [Hz] (figure 2.10). On peut donc écrire :

H(j · f) = ε(f + fc)− ε(f − fc)

Corrigé des exercices, v 1.16 69 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

2 · fc

A

−300 −200 −100 0 100 200 300

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f [Hz]

|X(j · f)|

Fig. 2.10 – (fichier source)

A · 2 · fc

1

2·fc

−0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03−100

0

100

200

t [s]

x(t)

Fig. 2.11 – (fichier source)

2. La TFI de H(j · f) est, en tenant compte de la propriété de symétrie de latransformée de Fourier

F x(t) = X(j · f)⇐⇒ F−1 x(j · f) = X(−t)

h(t) = A · 2 · fc · sinc (−π · t · 2 · fc)

= 200 [Hz] · sinc (π · 200 [Hz] · t)C’est un sinus cardinal (sinc) en fonction de t (figure 2.11).

3. h(t) est la réponse impulsionnelle du filtre, i.e. la réponse à une impulsionde Dirac δ(t) ; celle-ci intervenant en t = 0 [s], on voit (figure 2.11) que laréponse h(t) existe pour t < 0 [s]. Le système "filtre passe-base idéal" estdonc non causal et par suite irréalisable.

2.1.16 Exercice TF 16

Considérant un signal u(t) dont le spectre est le suivant :

U(j · f) =

1 si 100 [Hz] ≤ |f | ≤ 200 [Hz]0 sinon

Corrigé des exercices, v 1.16 70 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1. esquisser U(j · f) ;

2. calculer puis esquissez u(t) ;

3. que vaut sa puissance ?

Corrigé

1.

2. En profitant de la propriété de symétrie

F x(t) = X(j · f)⇐⇒ F−1 x(j · f) = X(−t)

et en expimant X(j · f) sous la forme de 2 impulsions décalées dans ledomaine des fréquences,

X(j · f) = rect

f + f0︸︷︷︸150 [Hz]

, ∆f︸︷︷︸100 [Hz]

+ rect (f − f0, ∆f)

on a :

x(t) = ∆f · sinc(π ·∆f · (−t)) · e−j·2·π·f0·t + ∆f · sinc(π ·∆f · (−t)) · e+j·2·π·f0·t

= 2 ·∆f · sinc(π ·∆f · t) · cos (2 · π · f0 · t)

3. La puissance de x(t) est avantageusement calculée dans l’espace des fré-quences :

Wx =

∫ +∞

−∞Sx(f) · df

=

∫ +∞

−∞|X(j · f)|2 · df

= 1 ·∆f + 1 ·∆f

= 2 ·∆f

2.1.17 Exercice TF 17

Utiliser la transformation de Fourier pour trouver le courant circulant dans uncircuit RC série sachant que le signal appliqué est un saut de tension d’amplitudeE.

Corrigé des exercices, v 1.16 71 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Corrigé

Le circuit est décrit par l’équation différentielle (conditions initiales nulles) :

u(t) = R · i(t) +1

C·∫ t

−∞i(τ) · dτ

La transformée de Fourier des 2 membres de cette équation différentielle donne :

U(j · f) = R · I(j · f) +1

C·(

1

j · 2 · π · f· I(j · f) +

1

2· δ(f) · I(0)

)

= R · I(j · f) +1

I(j · f) +

0∀f︷ ︸︸ ︷1

2· δ(f) · I(0) · j · 2 · π · f

j · 2 · π · f

= R · I(j · f) +

1

C· I(j · f)

j · 2 · π · f

=

(R +

1

C· 1

j · 2 · π · f

)· I(j · f)

=j · 2 · π · f ·R · C + 1

j · 2 · π · f · C· I(j · f)

On en déduit :

I(j · f) =j · 2 · π · f · C

1 + j · 2 · π · f ·R · C· U(j · f)

=j · 2 · π · f

1 + j · 2 · π · f ·R · C·(

1

j · 2 · π · f· E +

1

2· δ(f) · E

)

=C

1 + j · 2 · π · f ·R · C·

j · 2 · π · fj · 2 · π · f

· E + j · 2 · π · f · 12· δ(f) · E︸ ︷︷ ︸

0

=

C

1 + j · 2 · π · f ·R · C· E

De façon à être compatible avec les formes de présentation des transformées deFourier utilisées dans la tables, on s’arrange pour que les coefficients des plushaute puissance de j · ω (ici 1 au dénominateur, 0 au numérateur) soient uni-

Corrigé des exercices, v 1.16 72 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

taires :

I(j · f) =C

R·Cj · 2 · π · f + 1

R·C· E

=1R

j · 2 · π · f + 1R·C· E

=1

R· 1

j · 2 · π · f + 1R·C· E

En se référant à l’annexe 2A, on a, avec a = 1R·C :

i(t) = F−1 I(j · f) =E

R· e−

1R·C ·t · ε(t)

2.1.18 Exercice TF 18

On applique une fonction signe u1(t) d’amplitude E à un filtre RC passe-bas.

1. utilisez la transformation de Fourier pour trouver la tension de sortie ;

2. esquissez u1(t) et u2(t).

Corrigé

En préparation.

2.1.19 Exercice TF 19

On applique une exponentielle symétrique u1(t) = U0 · e−a·|t| à un filtre passe-basde constante de temps τ .

1. avant de vous lancer dans les calculs, esquissez u1(t) et imaginez ce quepeut être u2(t) ;

2. calculez la tension de sortie du filtre.

La marche à suivre est la même que celle utilisée avec la transformation de La-place : décomposition en somme de fractions simples puis recherche des coeffi-cients par identification avec des transformées connues.

Corrigé

En préparation.

Corrigé des exercices, v 1.16 73 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

2.1.20 Exercice TF 20

On applique une exponentielle décroissante u1(t) = U0 · e−a·t · ε(t) à un filtrepasse-bas idéal de fréquence de coupure fc.

1. exprimez U1(j · f) et U2(j · f) ; esquissez leur module ;2. en admettant U0 = 10 [V] et a = 1000 [s−1], calculez les énergies E1 et E2

des signaux d’entrée et de sortie lorsque :

(a) fc = 1 [kHz](b) fc = a

2·π

Corrigé

En préparation.

2.1.21 Exercice TF 21

On applique à un filtre passe-bas de constante de temps τ = 1 [ms] un signal u1(t)dont le spectre est défini par :

U1(j · f) =

1[ VHz

]si 100 [Hz] <= |f | <= 300 [Hz]

0[ VHz

]sinon

1. exprimez la fonction de transfert H(j · f) du filtre ; que vaut sa fréquencecaractéristique fc ?

2. esquissez U1(j · f), H(j · f) et U2(j · f) pour −500 [Hz] < f < +500 [Hz] ;3. quelles sont les énergies E1 et E2 des signaux d’entrée et de sortie ?4. comment évoluera E2 si la constante de temps τ diminue ?5. comment calculeriez-vous u2(t) ? Ne faites pas les calculs, mais précisez

point par point votre démarche ; essayez d’entrevoir les difficultés de cecalcul.

Corrigé

En préparation.

2.1.22 Exercice TF 22

On applique à un filtre passe-bas de constante de temps τ = R ·C = 10 [ms] unetension exponentielle u1(t) = 10 · e−a·t · ε(t) avec a = 1000 [s−1].

Corrigé des exercices, v 1.16 74 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

1. esquissez u1(t) et u2(t) ;2. calculez les énergies contenues dans les signaux d’entrée et de sortie.1

CorrigéEn préparation.

2.1.23 Exercice TF 23

On applique une impulsion de Dirac δ(t) à un filtre passe-bande dont la fonctionde transfert vaut :

H(j · f) =D0 · j·f

f0

1 + D0 · j·ff0

+(

j·ff0

)2 D0 =1

Q0

1. esquissez les spectres des signaux d’entrée et de sortie ;2. exprimez l’énergie du signal de sortie contenue dans la bande passante ∆f

sachant que :

f0 =1

2 · π ·√

LC= 1 [kHz] D0 =

1

Q0

= 0.1

fi,s =∆f

2·[±1 +

√1 + 4 ·Q2

0

]∆f = f0 ·D0

CorrigéEn préparation.

2.1.24 Exercice TF 24

Considérant le spectre X(j · f) de la figure 2.12 constitué d’un sinus cardinald’amplitude X(0) = 2 · 10−3 et de 2 impulsions de Dirac de surface 1

2, trouvez

puis esquissez le signal x(t) correspondant.1Si le calcul de l’intégrale définie nécessaire pour obtenir l’énergie vous paraît trop difficile,

essayez la démarche suivante :

(a) esquissez la fonction à intégrer ;(b) estimez des limites raisonnables pour la valeur de l’énergie ;(c) à l’aide d’un petit programme (une douzaine de lignes), intégrez numériquement la densité

spectrale d’énergie. Si le nombre de pas est suffisant, le résultat obtenu sera tout à faitsatisfaisant.

Corrigé des exercices, v 1.16 75 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

0

5

10

15

20x 10−4

fréquence [kHz]

X(jf

)

1/21/2

Fig. 2.12 – Exercice TF24.

CorrigéEn préparation.

2.1.25 Exercice TF 25

A partir du signal x(t) = e−a·t · ε(t), trouvez le spectre de y(t) = sgn(t).

CorrigéEn préparation.

2.1.26 Exercice Corr 1

Considérant le signal x(t) défini comme suit :

x(t) =

−A si −∆t < t < 00 si t = 0

+A si 0 < t < ∆t0 si |t| ≥ ∆t

on demande :1. esquissez x(t)

2. calculez sa fonction d’autocorrélation pour les valeurs particulières suivantes

τ = 0 τ = ±∆t τ = ±2 ·∆t

3. esquissez la fonction rxx(τ) −∞ < τ < +∞.

Corrigé des exercices, v 1.16 76 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Corrigé

1. L’esquisse de x(t) est présenté à la figure 2.13(a).2. – Pour τ = 0 [s], la fonction d’autocorrélation est

rxx(0) = Wx =

∫ +∞

−∞x(t) · x(t) · dt =

∫ +∞

−∞x2(t) · dt

On a :rxx(0) = 2 · A2 ·∆t

– Pour τ = ∆t, la situation est décrite sur la figure 2.13(b), avec en grisla surface définie par le produit x(t) · x(t + τ). Comme, par définition, lafonction d’autocorrélation est l’intégrale de ce produit, i.e.

rxx(τ) =

∫ +∞

−∞x(t) · x(t + τ) · dt

on a :rxx(∆t) = −A2 ·∆t

– Pour τ = 2 ·∆t, la situation est décrite sur la figure 2.13(c). On a claire-ment :

rxx(2 ·∆t) = 0

3. Comme les surfaces définies par le produit x(t)·x(t+τ) évoluent linéairementavec τ et que l’on dispose des valeurs de rx(τ) pour τ = 0 [s], τ = ∆t etτ = 2 ·∆t, on peut facilement esquisser rx(τ) (figure 2.14).

Corrigé des exercices, v 1.16 77 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

∆t∆t

+A

−A

−1 −0.5 0 0.5 1

−4

−2

0

2

4

t [s]

x(t)

(a) x(t)

∆t∆t

τA

−1 −0.5 0 0.5 1

−4

−2

0

2

4

t [s]

x(t), x(t + τ)

(b) τ = ∆t

∆t∆t

τA

−1 −0.5 0 0.5 1

−4

−2

0

2

4

t [s]

x(t), x(t + τ)

(c) τ = 2 ·∆t

∆t∆t

τA

−1 −0.5 0 0.5 1

−4

−2

0

2

4

t [s]

x(t), x(t + τ)

(d) τ = 0.33 [s]

Fig. 2.13 – (a) : signal x(t).(b) : décalage de τ = ∆t. (c) : décalage de τ = 2 ·∆t.(d) : décalage de τ = 0.33 [s] (fichier source).

Corrigé des exercices, v 1.16 78 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

−1 −0.5 0 0.5 1

−2

−1

0

1

2

t [s]

x(t)

−A2· ∆t −A

2· ∆t

2 · A2· ∆t

−∆t +∆t

−1 −0.5 0 0.5 1−2

−1

0

1

2

3

τ [s]

rx(τ)

Fig. 2.14 – (fichier source)

Corrigé des exercices, v 1.16 79 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

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2.1.27 Exercice Corr 2

Considérant les 3 signaux suivants :– x(t) = une exponentielle décroissante d’amplitude A et de constante de

temps τ1

– y(t) = une impulsion rectangulaire centrée en t = 0, d’amplitude A et delargeur ∆t

– z(t) = une impulsion triangulaire centrée en t = 0, d’amplitude A et debase 2 ·∆t

on demande :1. esquissez ces 3 signaux ;2. calculez des valeurs particulières de leur fonction d’autocorrélation ;3. calculez leur fonction d’autocorrélation pour τ compris entre +∞ et −∞ ;4. esquissez ces fonctions.

Remarque Le calcul de la troisième fonction n’est pas simple ; sans entrer dansle détail des calculs, imaginez comment vous devriez vous y prendre pour le faire.

CorrigéEn préparation.

Corrigé des exercices, v 1.16 80 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

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Chapitre 3

Echantillonnage des signauxanalogiques

3.1 Corrigé des exercices

3.1.1 Exercice ECH 1

Considérant un signal dont le spectre est représenté à la figure 3.1, déterminezla fréquence d’échantillonnage minimum pour qu’il n’y ait pas de recouvrementspectral. Admettant fe = 16 [kHz],

1. dessinez le spectre du signal échantillonné pour f compris entre ±16 [kHz] ;

2. que faut-il faire pour éviter le recouvrement spectral ?

3. dessinez le nouveau spectre ; quel en est l’avantage ?

Corrigé

On constate que le spectre proposé est borné par fmax = 10 [kHz] ; la fréquenced’échantillonnage devrait donc être supérieure à 2 · fmax = 20 [kHz].

1. Cependant, comme on propose fe = 16 [kHz], il y aura inévitablement durecouvrement spectral pour f > fe − fmax = 6 [kHz].

2. En filtrant analogiquement le signal temporel avant de l’échantillonner, onpourra supprimer les fréquences supérieures à fN = fe

2= 8 [kHz] et éviter

ainsi tout recouvrement jusqu’à la fréquence de Nyquist fN .

3. On a ainsi gagné 2 [kHz] de bande passante non perturbée par le recouvre-ment spectral.

Corrigé des exercices, v 1.16 81 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

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−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

f [kHz]

X(jf

) [V

/Hz]

f_xechant1_1.eps

Fig. 3.1 – Exercice 1 (fichier source).

3.1.2 Exercice ECH 2

On échantillonne un signal xa(t) = cos(2 · π · 1000 · t) ;1. esquissez xa(t) sur 3 périodes T au moins puis échantillonnez xa(t) avec

(a) Te = T4

;(b) Te = T

2;

(c) Te = 3 · T4

;2. esquissez Xa(j · f) ;3. esquissez les 3 spectres Xe(j · f) correspondant aux 3 échantillonnages ;

analysez et commentez.

CorrigéEn préparation.

3.1.3 Exercice ECH 3

On considère une SIR d’amplitude A = 10 [V], de période T0 = 1 [ms] et delargeur ∆t = T0

4que l’on échantillonne avec Te = T0

20;

1. esquissez x(t) et xe(t) ;2. esquissez X(j · f) et Xe(j · f) ;3. que valent X(j · f) et Xe(j · f) pour f = 3 [kHz] ?

Rép. : Xe(+j · 3) = X(+j · 3) + X(−j · 17) + X(+j · 23)

Corrigé des exercices, v 1.16 82 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Corrigé

1. En préparation.

2. La densité spectrale d’amplitude d’une SIR a été calculée au chap.1 :

X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t

Comme les raies spectrales des séries de Fourier complexes X(j · k) de-viennent des impulsions de Dirac lorsque l’on passe à la transformée deFourier (cf.ex.TF4), on a pour X(j · f) :

X (j · f) =+∞∑

k=−∞

A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t· δ(f − k · f0)

Par suite de l’échantillonnage, cette densité spectrale va se répéter et accu-muler tous les fe, i.e. dans le cas particulier tous les fe = 20 · f0 = 20 [kHz].

Xe (j · f) =+∞∑

m=−∞

X(j · (f −m · fe)) (3.1)

Comme X(j · f) n’est pas à bande limitée, il y aura recouvrement spectral,i.e. on retrouvera dans la bande de base −fe

2. . . + fe

2= −10 [kHz] . . . +

10 [kHz] des raies spectrales correspondant à des fréquences du spectre ori-ginal X(j · f) supérieures à fe

2= 10 [kHz].

3. Pour la raie spectrale de Xe(j · f) située à f = 3 [kHz], on aura :– La raie originale de X(j · f), correspondant à m = 0 et k = 3 dans

l’expression (3.1) ci-dessus ;– La raie de Xe(j · f), correspondant à m = 1 et k = −17 de (3.1) ;– La raie de Xe(j · f), correspondant à m = −1 et k = +23 de (3.1) ;On aura donc, en négligeant le recouvrement pour |m| > 1 :

Xe(j · 3 [kHz]) = X(j · 3 [kHz]) + X(−j · 17 [kHz]) + X(+j · 23 [kHz])

3.1.4 Exercice ECH 4

Soit un signal en dents de scie d’amplitude A = 5 [V], de période T0 = 1 [ms] quel’on échantillonne avec la fréquence fe = 8 [kHz] ;

1. esquissez x(t) et xe(t) ;

2. sachant que X(j · k) = (−1)k+1 · Aj·k·π , esquissez X(j · f) et Xe(j · f) ;

3. que valent X(j · f) et Xe(j · f) pour f = 1 [kHz] ?

Corrigé des exercices, v 1.16 83 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Corrigé

En préparation.

3.1.5 Exercice ECH 5

Considérant le signal analogique

xa(t) = 2·cos(100·π·t)+5·sin(250 · π · t +

π

6

)−4·cos(380·π·t)+16·sin

(600 · π · t +

π

4

)1. quelle valeur minimum faut-il choisir pour fe si l’on veut respecter le théo-

rème d’échantillonnage ?

2. soit fe = 3 ·fe min, esquissez les spectres d’amplitudes et de phases du signalxe(t).

Corrigé

1. Ce signal comporte quatre composantes spectrales situées en f = 50, 125, 190, 300 [Hz].La fréquence d’échantillonnage devra donc valoir au moins 2·fmax = 600 [Hz].

2. En choisissant fe = 3 · fe,min = 1800 [Hz], il n’y aura pas de recouvrementspectral. Dans la bande de base, il n’y aura donc pas d’autres raies spectralesque celles données au point 1.

3.1.6 Exercice ECH 6

Un signal analogique

xa(t) = cos(2 · π · 240 · t) + 3 · cos(2 · π · 540 · t +

π

6

)est échantillonné à raison de 600 échantillons par seconde.

1. que vaut la fréquence de Nyquist fN = fe

2?

2. si elles existent, que valent les fréquences repliées fr ?

3. si x[n] est restitué à l’aide d’un convertisseur NA suivi d’un filtre passe-basidéal tel que fc = fe

2, que vaut le signal reconstruit ya(t) ?

Corrigé

1. Comme l’on a fe = 600 [Hz], la fréquence de Nyquist vaut fN = fe

2=

300 [Hz]. On constate que le théorème d’échantillonnage n’est pas respectéet qu’il y aura du recouvrement spectral.

Corrigé des exercices, v 1.16 84 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

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2. Les fréquences repliées vaudront fr = ±fe± fmax = ±600± 540 = ±60 [Hz]dans la bande de base. Le cosinus de fréquence 540 [Hz] sera donc perçucomme un cosinus de fréquence 60 [Hz].

3. Le signal reconstruit et suivi d’un filtre passe-bas idéal vaudra donc

ya(t) = cos(2 · π · 240 · t) + 3 · cos(2 · π · 60 · t− π

6

)Le changement de signe de la phase provient du fait que la composante+60 [Hz] est due à la raie −540 [Hz] dont la phase vaut −π

6.

3.1.7 Exercice ECH 7

Considérant qu’un signal est échantillonné à 40 [kHz] et numérisé avec 16 bits,quelle est la durée d’enregistrement que l’on peut stocker dans 1 Moct ?

CorrigéEn préparation.

3.1.8 Exercice ECH 8

Un filtre numérique est constitué des éléments suivants :– un convertisseur AN à 12 bits avec un temps de conversion de 5 [µs],– un processeur DSP de 16 bits avec un cycle d’horloge de 50 [ns],– un convertisseur NA à 12 bits avec un temps d’établissement de 0.5 [µs].

Calculez la bande passante maximum que peut traiter ce filtre sachant que pourchaque valeur échantillonnée le DSP calcule le signal de sortie avec l’équationsuivante :

y[n] =19∑

m=0

h[m] · x[n−m]

en effectuant une multiplication et une addition en un seul cycle d’horloge.

Corrigé

3.1.9 Exercice ECH 9

Un signal sinusoïdal d’amplitude 6 [V] est numérisé à l’aide d’un convertisseur16 bits. Sachant que celui-ci travaille entre ±10 [V] et qu’il est entâché d’unenon-linéarité de ±1

2LSB, calculez :

1. sa résolution et son pas de quantification ;2. les valeurs efficaces du signal et du bruit de quantification ;3. le rapport signal sur bruit du signal numérisé.

Corrigé des exercices, v 1.16 85 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

CorrigéEn préparation.

3.1.10 Exercice ECH 10

On échantillonne un signal sinusoïdal d’amplitude 5 [V] avec un CAN 16 [bit]±10 [V]

en-tâché d’une de non-linéarité de ±1

2LSB. Est-il possible de garantir un SNR d’au

moins 90 [dB] ?

CorrigéEn préparation.

3.1.11 Exercice ECH 11

On échantillonne un signal analogique

x(t) = 4 · cos(2 · π · 300 · t) + 2 · cos(2 · π · 900 · t) [V]

avec un convertisseur AN 16 bits travaillant entre + et −5 [V] qui possède une nonlinéarité de ±1

2LSB. Les valeurs numériques du CAN sont transmises à travers

une ligne dont le débit est de 104[oct

s

]. On demande :

1. y a-t-il repliement spectral ?2. que valent la résolution et le pas de quantification du convertisseur ?3. que vaut la puissance du signal x(t) ? quelle est sa valeur efficace ?4. que vaut le rapport signal sur bruit de conversion AN?

CorrigéEn préparation.

3.1.12 Exercice ECH 12

On utilise un filtre analogique passe-bas de Butterworth d’ordre 6 et de fréquencede coupure 4 [kHz] comme filtre antirepliement. Considérant que le signal échan-tillonné est perturbé par une composante spectrale d’amplitude A = 5 [V] et defréquence f0 = 8 [kHz], on demande :

1. quelle fréquence d’échantillonnage chosissez-vous pour que le repliement dela perturbation se fasse en f ≥ fc ?

2. quelle sera l’amplitude Ar du signal replié en f = fc ?

Corrigé des exercices, v 1.16 86 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

CorrigéEn préparation.

3.1.13 Exercice ECH 13

On utilise un filtre analogique passe-bas de Butterworth d’ordre 3 (sa fréquencede coupure fc est fixée par l’application) comme filtre antirepliement en amontd’un convertisseur AN 12 bits avec ±1

2LSB de non linéarité.

1. quelle est la résolution du convertisseur comprenant la quantification et lanon-linéarité ;

2. esquissez la réponse fréquentielle du filtre et celle causée par le repliementspectral ;

3. calculez la fréquence d’échantillonnage nécessaire pour que l’affaiblissementdu repliement spectral en f = fc soit inférieur à la résolution du convertis-seur.Rép. : fe = 13.7 · fc

CorrigéEn préparation.

3.1.14 Exercice ECH 14

Un signal x(t) sinusoïdal d’amplitude A = 10 [V] de fréquence f = 1 [kHz] estéchantillonné très rapidement (à 1 [MHz], par exemple) à l’aide d’un convertisseuranalogique-numérique 4 bits travaillant entre + et −10 [V].

1. esquissez les signaux x(t), xe[n], xq(t) ;2. esquissez l’erreur de quantification e(t) ;3. quelle est la valeur efficace de ce bruit de quantification ?4. que vaut le SNR?

Corrigé1. Voir figure 3.2 page suivante2. Voir figure 3.2 page suivante3. Selon le cours, la puissance du bruit de quantication est donnée par :

PQ =Q2

12

Corrigé des exercices, v 1.16 87 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−3

−10

−5

0

5

10

temps

Am

plitu

de

Quantification d’un signal analogique

originalcodageBruit

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−3

−1

−0.5

0

0.5

1

temps

Am

plitu

de

Quantification d’un signal analogique. Qeff

=0.34541[V]

Bruit

f_ex_ECH_14_3.eps

Fig. 3.2 – (fichier source)

Corrigé des exercices, v 1.16 88 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

La valeur efficace du bruit est par définition :

Qeff =√

PQ =Q√12

En tenant compte des valeurs numérique, on a :

Qeff =Q√12

=Umax

2n−1√12

=10 [V]24−1√

12

= 0.3608

A noter que si l’on calcule effectivement la puissance de e(t) puis sa va-leur efficace sur la base de ses valeurs numériques successives telles qu’ellesapparaissent sur la figure 3.2 page ci-contre par la formule

Px =1

T·∫ t0+T

t0

x2(t) · dt −→ Px ≈1

N−1∑n=0

x2[n]

on obtient PQ = 0.1193 et donc

Qeff =√

PQ = 0.3454

qui est très proche de la valeur calculée plus haut.4. Le rapport signal-sur-bruit (SNR) se calcule comme suit :

SNR =Xeff

Qeff

=

10 [V]√2

0.3608 [V]

= 18.56

= 25.37 [dB]

3.1.15 Exercice ECH 15

On remplace le signal sinusoïdal de l’exercice précédent par un signal triangulairede mêmes amplitude et fréquence. Qu’est ce qui change ?

CorrigéEn préparation.

Corrigé des exercices, v 1.16 89 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

3.1.16 Exercice ECH 16

On dit qu’un signal ne peut pas avoir simultanément une durée temporelle finieet une bande passante fréquentielle finie. Jusitifiez cette affirmation au travers dequelques exemples bien connus. Du point de vue de l’échantillonnage, qu’est-ceque cela implique ?

Corrigé

En préparation.

3.1.17 Exercice ECH 17

Considérant une exponentielle décroissante x(t) = e−at·ε(t) que l’on échantillonneavec une fréquence fe, montrez que le spectre du signal échantillonné vaut :

Xe(j · f) =1

a + j · 2 · π · f+

+∞∑k=1

2 · (a + j · 2 · π · f)

(a + j · 2 · π · f)2 + (2 · π · k · fe)2

Corrigé

La densité spectrale d’amplitude de x(t) = e−a·t · ε(t) vaut (chap.2) :

X(j · f) =1

a + j · 2 · πf

L’échantillonnage avec une fréquence fe conduit à la recopie de ce spectre en tousles multiples de m · fe de fe. On a donc :

Xe(j · f) =+∞∑

m=−∞

1

a + j · 2 · π · (f −m · fe)

=−1∑

m=−∞

1

a + j · 2 · π · (f −m · fe)+

1

a + j · 2 · πf+

+∞∑m=+1

1

a + j · 2 · π · (f −m · fe)

Considérant deux termes symétriques (m < 0 et m > 0) de chaque somme,

Corrigé des exercices, v 1.16 90 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

on voit que l’on a

1

a + j · 2 · π · (f −m · fe)

∣∣∣∣m<0

+1

a + j · 2 · π · (f −m · fe)

∣∣∣∣m>0

=1

a + j · 2 · π · (f + m · fe)

∣∣∣∣m>0

+1

a + j · 2 · π · (f −m · fe)

∣∣∣∣m>0

=1

(a + j · 2 · π · f) + j · 2 · π ·m · fe

+1

(a + j · 2 · π · f)− j · 2 · π ·m · fe

=(a + j · 2 · π · f)− j · 2 · π ·m · fe + (a + j · 2 · π · f) + j · 2 · π ·m · fe

(a + j · 2 · π · f)2 − (j · 2 · π ·m · fe)2

=2 · (a + j · 2 · π · f)

(a + j · 2 · π · f)2 − (j · 2 · π ·m · fe)2

=2 · (a + j · 2 · π · f)

(a + j · 2 · π · f)2 + (2 · π ·m · fe)2

Ce qui donne finalement

Xe(j · f) =1

a + j · 2 · π · f+ 2 ·

+∞∑m=1

a + j · 2 · π · f(a + j · 2 · π · f)2 + (2 · π ·m · fe)

2

3.1.18 Exercice ECH 18

Considérant un signal carré à valeur moyenne nulle de période T0 = 1 [ms] etd’amplitude A = 1 [V] que l’on échantillonne à la fréquence fe = 9.8 [kHz], ondemande :

1. Quelles sont les fréquences et amplitudes des raies spectrales du signal ana-logique ? Esquissez le spectre d’amplitudes.

2. Quelle est la largeur de la bande de base ? Quelles sont les composantesspectrales réelles présentes dans la bande de base ?

3. Quelles sont les fréquences apparentes d’ordre n ∈ [0, . . . , 15] présentes dansla bande de base ?

4. Quelles sont les amplitudes de chacune de ces raies ?5. Les résultats de l’analyse spectrale sont donnés dans la figure 3.4 ; asso-

ciez les numéros des composantes spectrales théoriques aux raies spectralesobtenues après échantillonnage.

Corrigé1. Le spectre d’un signal carré d’amplitude A est décrit par

X(j·k) = A·∆t

T·sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t=

A

2·sin(k · π

2

)k · π

2

=

0 si k pair ou k = 0± A

k·π si k impair

Corrigé des exercices, v 1.16 91 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−0.5

0

0.5

1

Signal échantillonné xe(t)

temps [ms]

x(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−40

−30

−20

−10

0Spectre théorique (o) et spectre dû au repliement spectral (−)

fréquence [kHz]

|X(jf

)| [d

B]

f0 = 1

f_xechcarre_1.eps

Fig. 3.3 – Echantillonnage et repliement spectral pour un signal carré (fichier source).

Corrigé des exercices, v 1.16 92 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0Spectre théorique (o) et spectre dû au repliement spectral (−)

fréquence [kHz]

|X(jf

)| [d

B]

f0 = 1

fN

5

7

911

1315

1719

2123

252729 31 33 353739 41 43 45

f_cx_echcarre_1.eps

Fig. 3.4 – Repliement spectral pour un signal carré.

2. La bande de base est comprise entre ±fe

2= 4.9 [kHz]. Les composantes

spectrales réelles présentes se situent donc en ±1 kHz et ±3 [kHz].3. Les fréquences apparentes sont présentées dans la figure 3.4.4. L’amplitude de chaque raie d’ordre k vaut A

k·π .5. Voir figure 3.4

Corrigé des exercices, v 1.16 93 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

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Corrigé des exercices, v 1.16 94 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006

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Date Notes

v1.8 29 janvier 2006 erreur offset (1.5 → 3) ex.4.2 (figure1.6)

v1.9 31 janvier 2006 erreur calcul puissance (75 [V2] →85 [V2]) ex. SF7, erreur (2±j)→ (−2±j) ex.SF6, terminé ex.SF6

v1.10 3 février 2006 erreur figure 2.5v1.11 25 février 2006 erreur ∆t ex. TF 2v1.12 11 mars 2006 erreur phase X(j · k) ex. SF 15. Listing

MATLAB exercice SF4v1.13 18 mars 2006 erreur transformée de Fourier I(j · f)

(manque C au numérateur) ex. TF 17v1.14 20 mars 2006 Corrigé exercice Corr 1v1.15 19 mai 2006 Corrigés exercices Ech1, Ech5, Ech6,

Ech17, Ech18v1.16 19 mai 2006 Corrigé exercice Ech14

Tab. 3.1 – Versions publiées

Corrigé des exercices, v 1.16 95 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006