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Prof.M.Etique Traitement de Signal – 1 / 42
A
i
iutomatisation
n s t i t u t d '
n d u s t r i e l l e
Traitement de signal(TS)
(Signaux et Systèmes (M200))
Prof. Michel [email protected]
Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd)Département d’électricité et d’informatiqueinstitut d’Automatisation industrielle (iAi)
21 mars 2006
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Introduction
IntroductionOrganisation ducoursFiche d’unitéd’enseignement
ProgrammeFormeinformatiqueApplications dutraitement designalApplications dutraitement designalTraitement entemps réel de laparole
Traitement par lotTraitement commesystèmeéchantillonnéTraitement commesystèmeéchantillonné
Analyse dessignauxpériodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction dessignaux
Quelquesthéorèmes
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 2 / 42
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Organisation du cours
IntroductionOrganisation ducoursFiche d’unitéd’enseignement
ProgrammeFormeinformatiqueApplications dutraitement designalApplications dutraitement designalTraitement entemps réel de laparole
Traitement par lotTraitement commesystèmeéchantillonnéTraitement commesystèmeéchantillonné
Analyse dessignauxpériodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction dessignaux
Quelquesthéorèmes
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 3 / 42
Traitement de signal 4 périodes par semaine, 8séances, semestre no 5 ?
Théorie (≈50%), exercices (≈50%)2 TEs
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Fiche d’unité d’enseignement
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 4 / 42
1. http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ses/admin/fiches/fiche_SES.pdf
2. http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ses/admin/fiches/m_200_signaux_et_systemes.pdf
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Programme
IntroductionOrganisation ducoursFiche d’unitéd’enseignement
ProgrammeFormeinformatiqueApplications dutraitement designalApplications dutraitement designalTraitement entemps réel de laparole
Traitement par lotTraitement commesystèmeéchantillonnéTraitement commesystèmeéchantillonné
Analyse dessignauxpériodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction dessignaux
Quelquesthéorèmes
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 5 / 42
Traitement de Signal Périodes Total
4 périodes hebdo. = 32 périodesÉtude des signaux périodiques 12 12Analyse des signaux non périodiques 8 20Éléments d’analyse spectrale numérique 8 281-2 TE + correction 4 32
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Forme informatique
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 6 / 42
■ Cours, slides et exercices en formats pdf, source LATEX2ε :
http://iai.eivd.ch/users/mee/
■ Fiche d’unité d’enseignement
http ://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_TS/admin/fiche/ficheTS_1_v1.pdf
■ Cours polycopié inspiré à 100% de celui du Prof.F.Mudry de la HEIG-Vd
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Applications du traitement de signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 7 / 42
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Applications du traitement de signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 7 / 42
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Applications du traitement de signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 8 / 42
(applications réalisées grâce au Processeurs de Signaux (DSP))
■ Le traitement de signal, dans sa variante numérique, constitue de nos jour lavaleur ajoutée principale d’un grand nombre de produits
■ Exemples : les équipements médicaux (aides auditives, mesures de paramètresvitaux, etc)
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Applications du traitement de signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 8 / 42
■ Filtrage numérique classique (filtres FIR et IIR)■ Traitement d’image■ Traitement et le codage de la parole■ Transformée de Fourier rapide (FFT)■ Techniques d’audio digitale (lecteur CD)■ Compression de données (modulations numériques, codage d’image JPEG)■ Applications d’automatisation (régulateur, algorithme de commande de
servo-moteurs)
=⇒ traitement numérique de signal
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Applications du traitement de signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 8 / 42
Automotive Consumer Control General-PurposeAdaptive ride controlAntiskid brakesCellular telephonesDigital radiosEngine controlGlobal positioningNavigationVibration analysisVoice commands
Digital radios/TVsEducational toysMusic synthesizersPower toolsRadar detectorsSolid-state answeringmachines
Disk drive controlEngine controlLaser printer controlMotor controlRobotics controlServo control
Adaptive filteringConvolutionCorrelationDigital filteringFast Fourier trans-formsHilbert transformsWaveform generationWindowing
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Applications du traitement de signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 8 / 42
Graphics/Imaging Industrial Instrumentation Medical
3-D rotationAnimation/digitalmapHomomorphic proces-singPattern recognitionImage enhancementImage compression/-transmissionRobot visionWorkstations
Numeric controlPower-line monitoringRoboticsSecurity access
Digital filteringFunction generationPattern matchingPhase-locked loopsSeismic processingSpectrum analysisTransient analysis
Diagnostic equipmentFetal monitoringHearing aidsPatient monitoringProstheticsUltrasound equip-ment
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Applications du traitement de signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 8 / 42
Military Telecommunications Voice/Speech
Image processingMissile guidanceNavigationRadar processingRadio frequency mo-demsSecure communica-tionsSonar processing
1200- to 19200-bpsmodemsAdaptive equalizersADPCM transcodersCellular telephonesChannel multiplexingData encryptionDigital PBXsDigital speech inter-polation (DSI)Personal digital assis-tants (PDA)
DTMF encoding/de-codingEcho cancellationFaxLine repeatersSpeaker phonesSpread spectrumcommunicationsVideo conferencingX.25 Packet Swit-chingPersonal communica-tions systems (PCS)
Speech enhancementSpeech recognitionSpeech synthesisSpeaker verificationSpeech vocodingVoice mailText-to-speech
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Traitement en temps réel de la parole
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 9 / 42
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Traitement par lot
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 10 / 42
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Traitement comme système échantillonné
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 11 / 42
Signaux :
Temps Amplitude
Continu
0 t 0 t
Discret
0 t 0 t
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Traitement comme système échantillonné
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 12 / 42
Application Fréquence d’échantillon-nage fe = 1
htypique
Régulation 1 [kHz]Télécommunications 8 [kHz]Traitement de la parole 8 . . . 10 [kHz]Traitement audio 40 . . . 48 [kHz]Mise à jour d’écran video 50 . . . 100 [Hz]Mise à jour des pixels 14 [MHz]
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Analyse des signaux périodiques
Introduction
Analyse dessignauxpériodiques
Analyse de FourierDeuxreprésentationspour un seul signal
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction dessignaux
Quelquesthéorèmesimportants
Réponse d’unsystème linéaire
Réponse d’unsystèmenon-linéaire
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 13 / 42
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Analyse de Fourier
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 14 / 42
Analyse harmonique (ou fréquentielle) = instrument majeur de la théorie des signauxet des systèmes
■ Le développement en séries de Fourier (puis la transformation de Fourier)permettent d’obtenir une représentation spectrale des signaux déterministes,i.e. la répartition de
1. l’amplitude2. la phase3. l’énergie4. la puissance
des signaux considérés en fonction de la fréquence.
=⇒ 2 chapitres consacrés à Fourier
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Deux représentations pour un seul signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 15 / 42
x(t) = A · cos (2 · π · f0 · t + α)
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Deux représentations pour un seul signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 15 / 42
x(t) = A · cos (2 · π · f0 · t + α)
+A
−A T
t
Espace temporel
t0
T
f
1/T
Espace fréquentiel
0 01/T
1/T
A
+π
−π
f f
Amplitude Phase
0
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Deux représentations pour un seul signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 15 / 42
x(t) = A · cos(
2 · π · f0 · t −π
2
)
+1
2· A · cos
(
4 · π · f0 · t −π
4
)
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Deux représentations pour un seul signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 15 / 42
x(t) = A · cos(
2 · π · f0 · t −π
2
)
+1
2· A · cos
(
4 · π · f0 · t −π
4
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Sinusoides de fréquences f0 et 2f
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Somme de 2 sinusoides
f_sfour_2.eps
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Deux représentations pour un seul signal
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 15 / 42
x(t) = A · cos(
2 · π · f0 · t −π
2
)
+1
2· A · cos
(
4 · π · f0 · t −π
4
)
900
f
A
A/2
f0
ff0
450
-450
-900
f
A
A/2
f
2 f0
2 f0
900
450
-450
-900
f
A
f
f0
2 f0
f0
2 f0
900
450
-450
-900
Cosinusoïde d'amplitude A et de phase -900 Cosinusoïde d'amplitude A/2 et de phase -450
Signal périodique non-sinusoïdal
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Séries de Fourier
Introduction
Analyse dessignauxpériodiques
Séries de Fourier
Séries de FourierDéfinition de lasérie de FourierSérie de Fourier encosinusSérie de FouriercomplexeRelations entre les3 représentationsSpectresd’amplitudes et dephases
Suite d’impulsions
Reconstruction dessignaux
Quelquesthéorèmesimportants
Réponse d’unsystème linéaire
Réponse d’unsystèmenon-linéaireProf.M.Etique Traitement de Signal – 16 / 42
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Séries de Fourier
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 17 / 42
L’élément fondamental de l’analyse de Fourier est constitué par le faitqu’un signal périodique peut être décomposé en une somme d’ondessinusoïdales
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Séries de Fourier
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 17 / 42
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
6x
1(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
61+x
1(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
6x
2(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
61+x
1(t)+x
2(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
6x
3(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
61+x
1(t)+x
2(t)+x
3(t)
f_sfour_3.eps
Le signal résultant est la somme de trois sinusoïdes dont la fréquence est chaque foisun multiple de la fondamentale f0
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Définition de la série de Fourier
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 18 / 42
Considérons un signal périodique x (t) de période T = 1f0
. Son développement ensérie de Fourier est :
x (t) =a0
2+
∞∑
k=1
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
∞∑
k=1
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
où
■ f0 = 1T
est la fréquence fondamentale du signal■ a0
2 est la valeur moyenne ou composante continue■ ak, bk sont les coefficients de Fourier du développement en cosinus et sinus :
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Définition de la série de Fourier
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 18 / 42
Considérons un signal périodique x (t) de période T = 1f0
. Son développement ensérie de Fourier est :
x (t) =a0
2+
∞∑
k=1
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
∞∑
k=1
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
où
■ f0 = 1T
est la fréquence fondamentale du signal■ a0
2 est la valeur moyenne ou composante continue■ ak, bk sont les coefficients de Fourier du développement en cosinus et sinus :
ak =2
T·∫ + T
2
−T2
x (t) · cos (2 · π · k · f0 · t) · dt k ≥ 0
bk =2
T·∫ + T
2
−T2
x (t) · sin (2 · π · k · f0 · t) · dt k ≥ 1
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Définition de la série de Fourier
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 18 / 42
−2 −1 0 1 2−2
0
2
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6x
1(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
61+x
1(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
6x
2(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
61+x
1(t)+x
2(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
6x
3(t)
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
61+x
1(t)+x
2(t)+x
3(t)
f_sfour_3.eps
x (t) =a0
2+
∞∑
k=1
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑
k=1
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
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Série de Fourier en cosinus
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 19 / 42
Partant la relation trigonométrique :
A · cos (x) + B · sin (x) =√
A2 + B2 · cos
(
x + arctan
(−B
A
))
le développement en série de Fourier
x (t) =a0
2+
∞∑
k=1
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
∞∑
k=1
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
peut également s’écrire :
x (t) = A0 +
∞∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
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Série de Fourier en cosinus
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 19 / 42
Partant la relation trigonométrique :
A · cos (x) + B · sin (x) =√
A2 + B2 · cos
(
x + arctan
(−B
A
))
le développement en série de Fourier
x (t) =a0
2+
∞∑
k=1
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
∞∑
k=1
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
peut également s’écrire :
x (t) = A0 +
∞∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
avec :
A0 =a0
2Ak =
√
a2k + b2
k αk = arctan
(−bk
ak
)
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Série de Fourier en cosinus
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 19 / 42
x (t) = A0 +
∞∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
Remarques :
■ Le développement en série en cosinus revient à considérer que le signal x (t) estcréé de manière équivalente par une infinité de générateurs sinusoïdaux
■ La représentation spectrale correspondante est le spectre unilatéral
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Série de Fourier en cosinus
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 19 / 42
x (t) = A0 +
∞∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
−0.5 0 0.5 1 1.5−1
−0.5
0
0.5
1
temps
x(t)
et x
c(t)
−0.5 0 0.5 1 1.5−1
−0.5
0
0.5
1
temps
x k(t)
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
frequence [k x f0]
Ak
0 2 4 6 8 10−2
−1
0
1
2
frequence [k x f0]
α k
f_sfour1_4.eps
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Série de Fourier complexe
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 20 / 42
■ Série de Fourier :
x (t) =a0
2+
∞∑
k=1
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑
k=1
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
■ Relations d’Euler :
cos (x) =e+j·x + e−j·x
2
sin (x) =e+j·x − e−j·x
2 · j. . .
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Série de Fourier complexe
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 20 / 42
■ Série de Fourier :
x (t) =a0
2+
∞∑
k=1
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑
k=1
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
■ Relations d’Euler :
cos (x) =e+j·x + e−j·x
2
sin (x) =e+j·x − e−j·x
2 · j. . .
. . . on montre aisément que la série de Fourier peut être transformée en une série deFourier complexe :
x (t) =
∞∑
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t
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Série de Fourier complexe
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 20 / 42
x (t) =
∞∑
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t
Les coefficients X (j · k) sont alors complexes et valent :
X (j · k) =1
T·∫ + T
2
−T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt −∞ < k < +∞
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Série de Fourier complexe
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 20 / 42
x (t) =
∞∑
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t
Remarques :
■ La représentation spectrale graphique correspondante est le spectre bilatéral■ Pour la suite du cours, on retiendra essentiellement cette description car elle est
analytiquement plus intéressante que la forme en cosinus
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Série de Fourier complexe
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 20 / 42
x (t) =
∞∑
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10−3
0
2
4
6
8Signal temporel
x(t)
temps
0 1000 2000 3000 4000 50000
1
2
3
4Spectre unilatéral
Ak
k f0
0 1000 2000 3000 4000 5000−1
−0.5
0
0.5
1
α k / π
k f0
−5000 0 50000
1
2
3
4Spectre bilatéral
|X(jk
)|k f
0
−5000 0 5000−1
−0.5
0
0.5
1
/X(jk
) / π
k f0
f_ex_SF_1_2_1.eps
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Relations entre les 3 représentations de Fourier
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 21 / 42
X(+jk) ∈C
X(-jk)
Re
Im
+αk
+ak
Ak ∈R
−αk
-bk
+bk/2
-bk/2
+ak/2
x (t) =a0
2+
∞∑
k=1
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑
k=1
bk · sin (2 · π · k · f0 · t) (1)
x (t) = A0 +∞∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk) (2)
x (t) =∞∑
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t (3)
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Relations entre les 3 représentations de Fourier
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 21 / 42
k = 0 a0
2 A0 X (0)
k > 0 {ak, bk} {Ak, αk} X (±j · k)ak ak +Ak · cos (αk) +2 · <{X (j · k)}bk bk −Ak · sin (αk) −2 · ={X (j · k)}Ak
√
a2k + b2
k Ak 2 · |X (j · k) |αk arctan
(−bk
ak
)
αk arctan
(={X (+j · k)}<{X (+j · k)}
)
X (+j · k) 12 · (ak − j · bk) 1
2 · Ak · e+j·αk X (+j · k)X (−j · k) 1
2 · (ak + j · bk) 12 · Ak · e−j·αk X (−j · k)
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tom
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tio
n
ns
tit
ut
d
'
nd
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lle
Relations entre les 3 représentations de Fourier
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 21 / 42
k = 0 a0
2 A0 X (0)
k > 0 {ak, bk} {Ak, αk} X (±j · k)ak ak +Ak · cos (αk) +2 · <{X (j · k)}bk bk −Ak · sin (αk) −2 · ={X (j · k)}Ak
√
a2k + b2
k Ak 2 · |X (j · k) |αk arctan
(−bk
ak
)
αk arctan
(={X (+j · k)}<{X (+j · k)}
)
X (+j · k) 12 · (ak − j · bk) 1
2 · Ak · e+j·αk X (+j · k)X (−j · k) 1
2 · (ak + j · bk) 12 · Ak · e−j·αk X (−j · k)
■ Relation existant entre les coefficients spectraux et la valeur efficace d’unecomposante spectrale :
Ak,eff =Ak√
2=
√2 · |X (j · k) |
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Spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 22 / 42
Spectres unilatéraux
x (t) = A0 +∞∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
−→ fréquences positives ou nulles
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Spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 22 / 42
Spectres unilatéraux
x (t) = A0 +∞∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
0 1 2 3
−1
−0.5
0
0.5
1
Signaux
0 2 4 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8Spectres unilatéraux
0 1 2 3
−1
−0.5
0
0.5
1
0 2 4 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 1 2 3
0
0.5
1
temps0 2 4 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
fréquence
f_sfour_5.eps
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Spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 22 / 42
Spectres bilatéraux
x (t) =∞∑
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10−3
0
2
4
6
8Signal temporel
x(t)
temps
0 1000 2000 3000 4000 50000
1
2
3
4Spectre unilatéral
Ak
k f0
0 1000 2000 3000 4000 5000−1
−0.5
0
0.5
1
α k / π
k f0
−5000 0 50000
1
2
3
4Spectre bilatéral
|X(jk
)|k f
0
−5000 0 5000−1
−0.5
0
0.5
1/X
(jk)
/ π
k f0
f_ex_SF_1_2_1.eps
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Spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 22 / 42
Spectres bilatéraux
x (t) =∞∑
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t
■ Les spectres d’amplitudes sont toujours des fonctions paires car :
|X (+j · k) | = |X (−j · k) | =Ak
2k 6= 0
■ Les spectres de phases sont toujours des fonctions impaires :
6 X (+j · k) = −6 X (−j · k) = αk k 6= 0
■ Pour le cas particulier de la composante continue du signal, on a :
|X (0) | = A0 6 X (0) = {0, π}
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Spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 22 / 42
Coefficients spectraux et symétries des signauxSi l’on tient compte des symétries du signal, le calcul des séries de Fourier estsimplifié :
■ une fonction paire est représentée par des cosinus seulement ; on a alors :
αk = {0,±π} ={X (j · k)} = 0
■ une fonction impaire est représentée par des sinus seulement ; on a alors :
αk = ±π
2<{X (j · k)} = 0
■ une fonction à symétrie demi-onde ne possède pas d’harmoniques paires :
X (j · k) = 0 si k est pair
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Spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 22 / 42
Coefficients spectraux et symétries des signaux
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f_sfour_6.eps
Les fonctions à symétrie demi-onde sont telles qu’une rotation autour del’abscisse de l’alternance positive ou négative permet de reproduire l’autrealternance.
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Spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 22 / 42
Exemple de représentations spectrales d’un signal
x (t) = 3+2·cos (2 · π · f0 · t)−3.464·sin (2 · π · f0 · t)+2·sin(
4 · π · f0 · t +π
4
)
Forme en cosinus
x (t) = 3 + 2 · cos (2 · π · f0 · t) − 3.464 · sin (2 · π · f0 · t) + 2 · sin
�4 · π · f0 · t +
π
4
�
= 3 +
p
22 + 3.4642· cos
�
2 · π · f0 · t + arctan
�− (−3.464)
2
��+ 2 · cos
�4 · π · f0 · t +
π
4−
π
2
�
= 3 + 4 · cos
�
2 · π · 1 · f0 · t +π
3
�+ 2 · cos
�2 · π · 2 · f0 · t −
π
4
�
= A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1) + A2 · cos (4 · π · f0 · t + α2)
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Spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 22 / 42
Exemple de représentations spectrales d’un signal
x (t) = 3+2·cos (2 · π · f0 · t)−3.464·sin (2 · π · f0 · t)+2·sin(
4 · π · f0 · t +π
4
)
Forme complexe
x (t) = 3+2·e+j·
�
2·π·f0·t+ π3
�
+2·e−j·
�2·π·f0·t+ π
3
�+1·e
+j·
�4·π·f0·t− π
4
�+1·e
−j·
�
4·π·f0·t− π4
�
= 3+2·e+j· π
3 ·e+j·2·π·f0·t
+2·e−j· π
3 ·e−j·2·π·f0·t
+1·e−j· π
4 ·e+j·4·π·f0·t
+1·e+j· π
4 ·e−j·4·π·f0·t
= X (0)+X (+j · 1)·e+j·2·π·f0·t
+X (−j · 1)·e−j·2·πf0+X (+j · 2)·e
+j·4·π·f0·t+X (−j · 2)·e
−j·4·π·f0
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Spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 22 / 42
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−5
0
5
10Signal temporel
x(t)
temps
0 1 2 3 40
1
2
3
4
5Spectres unilatéraux
Ak
k f0
0 1 2 3 4−1
−0.5
0
0.5
1
α k / π
k f0
−2 −1 0 1 20
1
2
3
4
5Spectres bilatéraux
|X(jk
)|
k f0
−2 −1 0 1 2−1
−0.5
0
0.5
1/X
(jk)
/ π
k f0
f_spectres_1c.eps
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Suite d’impulsions
Introduction
Analyse dessignauxpériodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsionsSuite d’impulsionsrectangulaires(SIR)
Suite d’impulsionsrectangulaires(SIR)
Signal carréSuite d’impulsionstriangulairesSuited’exponentiellesdécroissantes
Reconstruction dessignaux
Quelquesthéorèmesimportants
Réponse d’unsystème linéaire
Réponse d’unsystèmenon-linéaireProf.M.Etique Traitement de Signal – 23 / 42
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
A
t
+T -T 0
x(t)
∆ t
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
A
t
+T -T 0
x(t)
∆ t
Série de Fourier complexe de la SIR x (t). On a :
X (j · k) =1
T·∫ + T
2
−T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt avec f0 =1
T
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
A
t
+T -T 0
x(t)
∆ t
Série de Fourier complexe de la SIR x (t). On a :
X (j · k) =1
T·∫ + T
2
−T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt avec f0 =1
T
Selon la définition de la SIR, il vient :
X (j · k) =A
T·∫ +∆t
2
−∆t2
1 · e−j·2·π·k·f0·t · dt
=A
T· −1
j · 2 · π · k · f0·(
e−j·2·π·k·f0·∆t2 − e+j·2·π·k·f0·
∆t2
)
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
A
t
+T -T 0
x(t)
∆ t
Série de Fourier complexe de la SIR x (t). On a :
X (j · k) =1
T·∫ + T
2
−T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt avec f0 =1
T
Selon la définition de la SIR, il vient :
X (j · k) =A
T·∫ +∆t
2
−∆t2
1 · e−j·2·π·k·f0·t · dt
=A
T· −1
j · 2 · π · k · f0·(
e−j·2·π·k·f0·∆t2 − e+j·2·π·k·f0·
∆t2
)
Les relations d’Euler permettent de passer de la différence des exponentielles à unsinus et d’écrire ces coefficients sous la forme d’un sinus cardinal :
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
A
t
+T -T 0
x(t)
∆ t
Série de Fourier complexe de la SIR x (t). On a :
X (j · k) =1
T·∫ + T
2
−T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt avec f0 =1
T
Selon la définition de la SIR, il vient :
X (j · k) =A
T·∫ +∆t
2
−∆t2
1 · e−j·2·π·k·f0·t · dt
=A
T· −1
j · 2 · π · k · f0·(
e−j·2·π·k·f0·∆t2 − e+j·2·π·k·f0·
∆t2
)
X (j · k) = A · ∆t
T· sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t= A · ∆t
T· sinc (k · π · f0 · ∆t)
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
X (j · k) = A · ∆t
T· sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t= A · ∆t
T· sinc (k · π · f0 · ∆t)
1∆t
A · ∆tT
f0 = 1T
−15 −10 −5 0 5 10 15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
f [Hz]
X(j · k)
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
X (j · k) = A · ∆t
T· sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t= A · ∆t
T· sinc (k · π · f0 · ∆t)
1∆t
A · ∆tT
f0 = 1T
−15 −10 −5 0 5 10 15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
f [Hz]
X(j · k)
■ L’amplitude du spectre X (j · k) est égale à la valeur moyenne de la SIR(
limx→0sin(x)
x= 1)
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
X (j · k) = A · ∆t
T· sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t= A · ∆t
T· sinc (k · π · f0 · ∆t)
1∆t
A · ∆tT
f0 = 1T
−15 −10 −5 0 5 10 15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
f [Hz]
X(j · k)
■ Les coefficients de Fourier sont purement réels puisque le signal est pair
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
X (j · k) = A · ∆t
T· sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t= A · ∆t
T· sinc (k · π · f0 · ∆t)
1∆t
A · ∆tT
f0 = 1T
−15 −10 −5 0 5 10 15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
f [Hz]
X(j · k)
■ Plus les impulsions sont étroites par rapport à la période T , plus le spectres’étale :◆ le premier passage par zéro se fait à la fréquence 1
∆t
◆ la distance entre raies spectrales ne change pas puisqu’elle est égale à l’inverse de la période de la SIR f0 = 1T
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
−15 −10 −5 0 5 10 15
0
0.05
0.1
0.15
0.2
f [Hz]
|X(j · k)|
−15 −10 −5 0 5 10 15
−1
−0.5
0
0.5
1
f [Hz]
arg{X(j·k)}π
■ Il est fréquent que le spectre d’un signal soit complexe. Dans ce cas, sareprésentation dans un plan ne peut se faire qu’au travers du traçage distinct desspectres d’amplitudes et de phases
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 24 / 42
http ://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts/chap_01/sysquake/SI.exe
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Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 25 / 42
k = [−N:N ] ;
A = 1 ;T = 1 ;f 0 = 1/T;Delta_t = 0 . 2 ;
X = A∗Delta_t/T∗ s i n c ( p i ∗k∗ f 0∗Delta_t ) ;
t = −2∗T:1∗T/300:2∗T;x = z e r o s ( s i z e ( t ) ) ;f o r l =1: l e n g t h ( k )x = x + X( l ) .∗ exp ( j ∗2∗ p i ∗ f 0∗k ( l )∗ t ) ;endc l fs u bp l o t (211)p l o t ( k∗ f0 ,X, ’ o r ’ )p l o t ( k∗ f0 ,X, ’ r : ’ )l a b e l ( ’ f ␣ [ Hz ] ’ , ’X( j k ) ’ )s u bp l o t (212)p l o t ( t , x , ’ s r ’ )l a b e l ( ’ t ’ , ’ xN( t ) ’ )
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Signal carré
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 26 / 42
T2
T2
A
−0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
t [s]
x(t)
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Signal carré
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 26 / 42
T2
T2
A
−0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
t [s]
x(t)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
f [Hz]
X(j · k)
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Signal carré
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 26 / 42
4π· A
A
−2 −1 0 1 2 3
−1
−0.5
0
0.5
1
t [s]
x(t)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
f [Hz]
X(j · k)
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Suite d’impulsions triangulaires
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 27 / 42
t
0+T+∆t−∆t-T
x(t)
Α
X(jk)
f = k f0
A ∆ t / T
+1/ ∆t-1/ ∆t 0
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Suite d’impulsions triangulaires
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 27 / 42
t
0+T+∆t−∆t-T
x(t)
Α
X(jk)
f = k f0
A ∆ t / T
+1/ ∆t-1/ ∆t 0
■ Afin que les surfaces de la SIR et de la SIT soient égales, la largeur à la base dutriangle est égale à 2 · ∆t
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Suite d’impulsions triangulaires
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 27 / 42
t
0+T+∆t−∆t-T
x(t)
Α
X(jk)
f = k f0
A ∆ t / T
+1/ ∆t-1/ ∆t 0
■ Spectre :
X (j · k) = A · ∆t
T·(
sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t
)2
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Suite d’exponentielles décroissantes
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 28 / 42
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f_sfour3_3.eps
x (t) = A · e− tτ si 0 ≤ t < T
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Suite d’exponentielles décroissantes
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 28 / 42
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f_sfour3_3.eps
■ Calcul du spectre :
X (j · k) =1
T·∫ T
0
x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt
=A
T·∫ T
0
e−tτ · e−j·2·π·k·f0·t · dt
=A
T·∫ T
0
e−t·( 1τ+j·2·πk·f0) · dt
=A
T· e−t·( 1
τ+j·2·π·k·f0)
−(
1τ
+ j · 2 · π · k · f0
)
∣∣∣∣∣
T
0
=A
T· −τ
(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )·[
e−(Tτ
+j·2·π·k·f0·T) − 1]
Ai iu
tom
atisa
tio
n
ns
tit
ut
d
'
nd
us
trie
lle
Suite d’exponentielles décroissantes
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 28 / 42
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f_sfour3_3.eps
■
X (j · k) =A
T· −τ
(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )·[
e−(Tτ
+j·2·π·k·f0·T) − 1]
En admettant que la constante de temps τ soit beaucoup plus petite que lapériode T , l’exponentielle revient "quasiment" à zéro à la fin de chaque période
−→ le premier terme entre crochets �1 :
X (j · k) = A · τ
T· 1
(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )si τ � T
Ai iu
tom
atisa
tio
n
ns
tit
ut
d
'
nd
us
trie
lle
Suite d’exponentielles décroissantes
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 28 / 42
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f_sfour3_3.eps
■
X (j · k) = A · τ
T· 1
(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )si τ � T
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
abs(
X(jf
))
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100
−80
−60
−40
−20
0
fréquence [kHz]
angl
e(X
(jf))
f_sfour3_4.eps
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n
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ut
d
'
nd
us
trie
lle
Suite d’exponentielles décroissantes
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 28 / 42
■
X (j · k) = A · τ
T· 1
(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )si τ � T
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
abs(
X(jf
))
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100
−80
−60
−40
−20
0
fréquence [kHz]
angl
e(X
(jf))
f_sfour3_4.eps
■ On trouve dans ce résultat la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1
H(j · ω) =Y (j · ω)
X(j · ω)=
A · τT
1 + j · ω · τ
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ut
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'
nd
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trie
lle
Suite d’exponentielles décroissantes
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 28 / 42
■
X (j · k) = A · τ
T· 1
(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )si τ � T
10−2
10−1
100
101
102
103
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f [Hz]
A(f
)
10−2
10−1
100
101
102
103
−100
−80
−60
−40
−20
0
f [Hz]
φ(f)
f_sfour3_8.eps
■ On trouve dans ce résultat la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1
H(j · ω) =Y (j · ω)
X(j · ω)=
A · τT
1 + j · ω · τ
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n
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ut
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'
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trie
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Reconstruction des signaux
Introduction
Analyse dessignauxpériodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction dessignauxSynthèse d’unsignal carréPhénomène deGibbsImportance de laphase
Quelquesthéorèmesimportants
Réponse d’unsystème linéaire
Réponse d’unsystèmenon-linéaire
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 29 / 42
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ut
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Synthèse d’un signal carré
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 30 / 42
x (t) =∞∑
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t
Ai iu
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nd
us
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lle
Synthèse d’un signal carré
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 30 / 42
x (t) =∞∑
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t
xN (t) = A · ∆t
T·
+N∑
k=−N
sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·k·f0·t
= A · ∆t
T·(
−1∑
k=−N
sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·k·f0·t
+sin (0 · π · f0 · ∆t)
0 · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·0·f0·t
++N∑
k=1
sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·k·f0·t
)
= A · ∆t
T·(
N∑
k=1
sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t· e−j·2·π·k·f0·t
+ 1 +
+N∑
k=1
sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·k·f0·t
)
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lle
Synthèse d’un signal carré
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 30 / 42
xN (t) = A · ∆t
T·(
1 + 2 ·+N∑
k=1
sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t· cos (2 · π · k · f0 · t)
)
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Synthèse d’un signal carré
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 30 / 42
xN (t) = A · ∆t
T·(
1 + 2 ·+N∑
k=1
sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t· cos (2 · π · k · f0 · t)
)
Dans le cas d’un signal carré, le rapport cyclique ∆tT
vaut 0.5 et le sinus cardinals’annule pour k pair. Avec A = 1, il vient alors :
xN (t) =1
2+
2
π·cos (2 · π · f0 · t)−
2
3 · π ·cos (6 · π · f0 · t)+2
5 · π ·cos (10 · π · f0 · t)+. . .
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lle
Synthèse d’un signal carré
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 30 / 42
xN (t) =1
2+
2
π·cos (2 · π · f0 · t)−
2
3 · π ·cos (6 · π · f0 · t)+2
5 · π ·cos (10 · π · f0 · t)+. . .
−5 0 5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
N = 0
−5 0 5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
N = 1
−5 0 5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
N = 3
−5 0 5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
N = 5
f_sfour2_4.eps
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Phénomène de Gibbs
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 31 / 42
■ Reconstruction d’un signal :
x(N) (t) =
N∑
k=−N
X (j · k) · ej·2·π·k·f0·t
= A0 +N∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
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lle
Phénomène de Gibbs
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 31 / 42
■ Reconstruction d’un signal :
x(N) (t) =
N∑
k=−N
X (j · k) · ej·2·π·k·f0·t
= A0 +N∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
■ On remarque en général une convergence rapide vers le signal original au fur et àmesure que N augmente
■ Cela n’est plus vrai lorsque le signal possède des discontinuités d’ordre 0 :il apparaît alors, à l’endroit de la discontinuité, des oscillations que l’on désignesous le nom de phénomène de Gibbs
■ L’amplitude du dépassement dû à ces oscillations est égale au 9% de l’amplitudede la discontinuité
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Phénomène de Gibbs
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 31 / 42
x(N) (t) =N∑
k=−N
X (j · k) · ej·2·π·k·f0·t
= A0 +N∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
−4 −2 0 2 4−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
xN
(t) avec
N = 3
−4 −2 0 2 4−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
xN
(t) avec
N = 7
−4 −2 0 2 4−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
xN
(t) avec
N = 19
−4 −2 0 2 4−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
xN
(t) avec
N = 79
f_sfour2_5.eps
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Importance de la phase
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 32 / 42
x(N) (t) =
N∑
k=−N
X (j · k) · ej·2·π·k·f0·t
= A0 +
N∑
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)
■ Il est fréquent en traitement du signal de ne parler que des spectres d’amplitudeset de délaisser quelque peu les spectres de phases
■ Cette attitude est due au fait que lors du filtrage de signaux audio, on secontente de modifier le spectre d’amplitudes car l’oreille est peu sensible auxdistorsions de phase
■ Cependant, lorsque l’on désire conserver la forme d’un signal, en particulier dansle cas du filtrage d’images, il est très important de ne pas négliger le spectre dephases.
■ La phase contient une part importante de l’information concernant la forme d’un
signal
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Importance de la phase
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 32 / 42
original
module phase
TF inverse du module TF inverse de la phase
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Quelques théorèmes importants
Introduction
Analyse dessignauxpériodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction dessignaux
QuelquesthéorèmesimportantsThéorème de lapuissance (dit deParseval)
Décalage temporelModulationd’amplitudeRotation d’unsignal autour deson ordonnée
Réponse d’unsystème linéaire
Réponse d’unsystèmenon-linéaire
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 33 / 42
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Théorème de la puissance (dit de Parseval)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 34 / 42
Définition de la puissance moyenne normalisée :
P =1
T·∫ + T
2
−T2
x2 (t) · dt = X2eff
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Théorème de la puissance (dit de Parseval)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 34 / 42
Définition de la puissance moyenne normalisée :
P =1
T·∫ + T
2
−T2
x2 (t) · dt = X2eff
■ Cette définition coïncide avec celle du carré de la valeur efficace du signal x (t)■ Les unités de la puissance normalisée ne s’expriment donc pas en [W], mais en
[V2] ou [A2] selon que le signal est une tension ou un courant électrique
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Théorème de la puissance (dit de Parseval)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 34 / 42
Définition de la puissance moyenne normalisée :
P =1
T·∫ + T
2
−T2
x2 (t) · dt = X2eff
■ Le théorème de Parseval affirme que la puissance normalisée d’un signal peut secalculer aussi bien dans le domaine temporel que dans le domaine fréquentiel
■ Dans l’espace des fréquences, le signal x (t) est représenté par des générateursd’amplitude Ak −→ la puissance totale est égale à la somme des puissancesfournies par chaque générateur :
P = X2eff =
∞∑
k=0
Pk = A20 +
∞∑
k=1
(Ak√
2
)2
= A20 +
∞∑
k=1
1
2· A2
k
= Pdc + Pac
= X (0)2
+
∞∑
k=1
1
2· (2 · |X (j · k)|)2 =
+∞∑
k=−∞
|X (j · k)|2
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Théorème de la puissance (dit de Parseval)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 34 / 42
On conclut que la puissance peut se calculer dans le domaine temporel ou dans ledomaine fréquentiel avec l’une ou l’autre des relations :
P =1
T·∫ + T
2
−T2
x2 (t) · dt
= A20 +
1
2·
∞∑
k=1
A2k
=
+∞∑
k=−∞
|X (j · k)|2
= X (0)2 + 2 ·+∞∑
k=1
|X (j · k)|2
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Théorème de la puissance (dit de Parseval)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 34 / 42
De
P = A20 +
1
2·
∞∑
k=1
A2k
découle le résultat important :
X2eff = X2
dc + X2ac
Le carré de la valeur efficace d’un signal est égal à la somme descarrés des valeurs efficaces de chacune de ses composantes.
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Théorème de la puissance (dit de Parseval)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 34 / 42
X(jk)
f = k f0
+1/∆t-1/∆t
0
1/T = f0
A ∆t/T
■ Le premier lobe du spectre d’une SIR contient environ le 90% de la puissancetotale du signal
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Théorème de la puissance (dit de Parseval)
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 34 / 42
■ Les puissances des trois signaux les plus usuels que sont le carré, le sinus et letriangle d’amplitude A et à valeur moyenne nulle sont par exemple :
x (t) = A · sqr(2 · π · f · t) =⇒P =A2
1
x (t) = A · sin (2 · π · f · t) =⇒P =A2
2
x (t) = A · tri(2 · π · f · t) =⇒P =A2
3
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Décalage temporel
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 35 / 42
■ Il est fréquent en analyse des signaux de devoir décaler temporellement un signal
x (t)
On obtient alorsy (t) = x (t + td)
Ce décalage td peut être positif (signal avancé) ou négatif (signal retardé).
x(t)
t
+t1-t1
x(t+t1)
t
-t1
x(t-t1)
t
+t1
td > 0 td < 0
0 0 0
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Décalage temporel
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 35 / 42
■ On montre alors qu’entre les espaces temps et fréquences, il existe la relationsuivante :
y (t) = x (t + td) ⇐⇒ Y (j · k) = e+j·2·π·k·f0·td · X (j · k)
■ Comme le module du phaseur e+j·2·π·k·f0·td vaut toujours un, il s’ensuit que seulle spectre de phases est modifié par un décalage temporel. On a donc :
|Y (j · k)| = |X (j · k)| βk = αk + 2 · π · k · f0 · td
À un décalage temporel correspond une phase variant linéairementavec la fréquence.
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Modulation d’amplitude
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 36 / 42
■ En télécommunications, on émet souvent des signaux dont le spectre a étédéplacé dans un spectre de fréquences permettant la transmission par ondesélectromagnétiques
x (t) = m(t)︸︷︷︸
message
· p(t)︸︷︷︸
porteuse
Si p(t) est de type sinus, on peut écrire :
cos (2 · π · fp · t) =e+j·2·πfpt + e−j·2·πfpt
2
Généralisation : multiplication par un phaseur
x (t) = m (t) · p (t) = m (t) · e±j·2·πfp·t
On peut alors montrer :
x (t) = e±j·2·π·fp·t · m (t) ⇐⇒ X (j · k) = M (j · (k · f0 ∓ fp))
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Modulation d’amplitude
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 36 / 42
0 1 2 3
0
0.5
1
Modulation d’amplitude
m(t
)
0 1 2 3−1
−0.5
0
0.5
1
p(t)
0 1 2 3−1
−0.5
0
0.5
1
x(t)
temps
−20 −10 0 10 200
0.2
0.4
|M(jf
)|
Spectres
−20 −10 0 10 200
0.2
0.4
|P(jf
)|−20 −10 0 10 200
0.2
0.4
|X(jf
)|
fréquence
f_sfmodulat_2.eps
À une multiplication par un phaseur dans le domaine temporelcorrespond un décalage dans l’espace des fréquences
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Rotation d’un signal autour de son ordonnée
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 37 / 42
■ La rotation d’un signal autour de son ordonnée est décrite par :
y (t) = x (−t)
■ On montre que
y (t) = x (−t) ⇐⇒ Y (j · k) = X (−j · k) = X∗ (j · k)
À une rotation du signal temporel autour de l’ordonnéecorrespond le conjugué complexe dans le domaine fréquentiel.
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Rotation d’un signal autour de son ordonnée
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 37 / 42
Par exemple, si l’on s’intéresse à une suite périodique d’exponentielles croissantesdécrite par
x (t)|T = A · e+ tτ si 0 ≤ t < T
son spectre se calcule aisément à partir de celui de la suite d’exponentiellesdécroissantes
xo (t)|T = A · e− tτ si 0 ≤ t < T
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Rotation d’un signal autour de son ordonnée
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 37 / 42
Par exemple, si l’on s’intéresse à une suite périodique d’exponentielles croissantesdécrite par
x (t)|T = A · e+ tτ si 0 ≤ t < T
son spectre se calcule aisément à partir de celui de la suite d’exponentiellesdécroissantes
xo (t)|T = A · e− tτ si 0 ≤ t < T
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f_sfour3_3.eps
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lle
Rotation d’un signal autour de son ordonnée
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 37 / 42
Par exemple, si l’on s’intéresse à une suite périodique d’exponentielles croissantesdécrite par
x (t)|T = A · e+ tτ si 0 ≤ t < T
son spectre se calcule aisément à partir de celui de la suite d’exponentiellesdécroissantes
xo (t)|T = A · e− tτ si 0 ≤ t < T
Xo (j · k) = A · τ
T· 1
1 + j · 2 · π · k · f0 · τsi τ � T
On voit en effet que l’on ax (t) = xo (−t)
donc
X (j · k) = Xo (−j · k) = A · τ
T· 1
1 − j · 2 · π · k · f0τsi τ � T
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Réponse d’un système linéaire
Introduction
Analyse dessignauxpériodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction dessignaux
Quelquesthéorèmesimportants
Réponse d’unsystème linéaireRéponse d’unsystème linéaire
Réponse d’unsystèmenon-linéaire
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 38 / 42
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Réponse d’un système linéaire
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 39 / 42
■ Filtre de fonction de réponse fréquentielle G (j · ω) soumis à une SIR■ x(t) périodique =⇒ y(t) périodique
Y (j · k) = X (j · k) · G (j · ω)|ω=2·π·k·f0
x(t)
t
G(jω)x(t) y(t)
y(t)
t
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lle
Réponse d’un système linéaire
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 39 / 42
■ x(t) périodique =⇒ y(t) périodique
Y (j · k) = X (j · k) · G (j · ω)|ω=2·π·k·f0
■ Les systèmes linéaires conservent la fréquence des signaux appliqués
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
fréquence [Hz]
|X(jk)||G(jf)||Y(jk)|
f_sfour3_7.eps
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Réponse d’un système non-linéaire
Introduction
Analyse dessignauxpériodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction dessignaux
Quelquesthéorèmesimportants
Réponse d’unsystème linéaire
Réponse d’unsystèmenon-linéaireRéponse d’unsystèmenon-linéaireDistorsion due àune diode
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Réponse d’un système non-linéaire
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■ La caractéristique remarquable des systèmes non-linéaires est de déformer lessignaux sinusoïdaux
■ Le signal de sortie d’un système non-linéaire qui serait ainsi soumis à une entréesinusoïdale pure est donc, tout en restant périodique, non-sinusoïdal
■ Le spectre du signal de sortie est constitué d’un grand nombre de raies spectrales,alors qu’à l’entrée il n’y avait qu’une seule raie
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Réponse d’un système non-linéaire
Prof.M.Etique Traitement de Signal – 41 / 42
■ La caractéristique remarquable des systèmes non-linéaires est de déformer lessignaux sinusoïdaux
■ Le signal de sortie d’un système non-linéaire qui serait ainsi soumis à une entréesinusoïdale pure est donc, tout en restant périodique, non-sinusoïdal
■ Le spectre du signal de sortie est constitué d’un grand nombre de raies spectrales,alors qu’à l’entrée il n’y avait qu’une seule raie
■ On mesure cette déformation à l’aide du taux de distorsion harmonique (TDH).
TDH =Xeff (k > 1)
Xeff (k = 1)=
√
X(2)2 + X(3)2 + X(4)2 + . . .
X(1)2
■ Le TDH est défini comme le rapport de la valeur efficace des harmoniques d’ordresupérieur à 1 avec la valeur efficace du premier harmonique
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Distorsion due à une diode
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uD(t)
∆(t)
U0
i(t)
u (t) = U0 + ∆u (t) = U0 + A · sin (2 · π · f0 · t)
ID = IS ·(
eUD
n·VT − 1
)
(Loi exponentielle)
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Distorsion due à une diode
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uD(t)
∆(t)
U0
i(t)
u (t) = U0 + ∆u (t) = U0 + A · sin (2 · π · f0 · t)
ID = IS ·(
eUD
n·VT − 1
)
U0 = 0.5 [V] A = 0.05 [V] f0 = 100 [Hz]IS = 10 [pA] n = 1 VT = 26 [mV]
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Distorsion due à une diode
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uD(t)
∆(t)
U0
i(t)
u (t) = U0 + ∆u (t) = U0 + A · sin (2 · π · f0 · t)
ID = IS ·(
eUD
n·VT − 1
)
1. Calcul de I0, Imax et Imin
2. Esquisse de u (t) et i (t)3. Calcul de U (j · k) et I (j · k)4. Calcul le TDH du courant
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Distorsion due à une diode
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■ Le calcul de I0, Imax et Imin se fait par simple application numérique de
l’équation de la diode ID = IS ·(
eUD
n·VT − 1
)
:
1. Courant au point de fonctionnement I0 = 2.54 [mA]2. Valeur maximum Imax = 17.2 [mA]3. Valeur minimum Imin = 0.36 [mA]
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Distorsion due à une diode
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■ La simulation temporelle avec Spice donne :
On y voit que la variation sinusoïdale de la tension u(t) de la diode (50 [mV])autour du point de fonctionnement (500 [mV]) entraîne une variation nonsinusoïdale du courant i(t) caractérisé par les valeurs calculées
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Distorsion due à une diode
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■ L’analyse spectrale obtenue par FFT (Fast Fourier Transform) donne :
1. La tension de la diode ne contient que 2 raies spectrales :
(a) La composante DC : Udc = 0.5 [V](b) La composante AC : U1 = 50 [mV]
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Distorsion due à une diode
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■ L’analyse spectrale obtenue par FFT (Fast Fourier Transform) donne :
2. Le courant non sinusoïdal est composé d’un grand nombre de raies spectralesdont les 10 premières sont les plus significatives. On y trouve en particulier
(a) La composante DC : Idc = 5.41 [mA](b) La composante fondamentale : I1 = 7.43 [mA]
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Distorsion due à une diode
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■ L’analyse spectrale obtenue par FFT (Fast Fourier Transform) donne :
■ Calcul du taux de distorsion :
TDH =Xeff (k > 1)
Xeff (k = 1)=
√
X(2)2 + X(3)2 + X(4)2 + . . .
X(1)2
=
√
3.142 + 0.942 + 0.222 + 0.0412 + 0.00652 + . . .
7.432
= 44%
= forte déformation !
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