Gestion optimale des pièces de rechange dans un …...Le système de gestion de stock des pièces...

Gestion optimale des pièces de rechange dans un réseau logistique multi-échelon flexible

Mémoire

Ahmed Bouzenad

Maîtrise en génie mécanique

Maître ès sciences (M. Sc.)

Québec, Canada

© Ahmed Bouzenad, 2017

Résumé

Ce mémoire aborde la problématique de planification et contrôle des inventaires des pièces de

rechange pour des systèmes assujettis à des défaillances aléatoires. Nous décrivons une série de

modèles de décision pour gérer une gamme de pièces de rechange pour des réseaux constitués de

plusieurs équipements en opération. Chaque équipement est composé d’une ou de plusieurs pièces

qui sont nécessaires à son bon fonctionnement. Lorsqu’une pièce tombe en panne, elle est

remplacée par une rechange, si disponible en stock, elle sera ensuite acheminée vers l’atelier de

réparation pour la remettre en état de fonctionnement.

Les modèles étudiés dans ce travail sont adaptés à une organisation disposant d’un réseau

d’équipements, de canaux de transport, de stocks de pièces de rechange et de plusieurs stations de

réparation. Les stocks et les stations sont déployés pour desservir un territoire, une zone ou une

région, afin de garantir un niveau de service requis.

Les modèles mathématiques proposés, décrivant les processus de défaillance, de réparation et de

transport, utilisent la théorie des files d’attente. Celle-ci traduit fidèlement le phénomène de

défaillance et de réparation provoqué par la contrainte de capacité des stations de réparation et des

canaux de transport.

Le processus stochastique qui engendre les arrivées des pièces défaillantes aux stations de

réparation est supposé être un processus de Poisson. Les délais de traitement et de transit d’une

pièce ne sont pas connus avec certitude, ils sont considérés comme des variables aléatoires qui

suivent des distributions générales. Le système de gestion de stock des pièces de rechanges adopte

une politique de transaction continue à réapprovisionnement unitaire (S-1, S).

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse de l’évolution du système dans un régime

permanent afin de trouver une politique de contrôle optimale qui dépend essentiellement de la

quantité de pièces de rechange à garder en stock et de la capacité de traitement des stations de

réparation. Nous développons aussi des modèles approximatifs pour traiter des configurations

logistiques multi-échelon, ainsi que des demandes en urgence dans un échelon supérieur, et des

transferts latéraux entre magasins de même échelon. Ces modèles sont ajustés pour faire face à des

mesures de services différentes et pour traiter plusieurs références de pièces de rechange.

Plusieurs algorithmes ont été proposés et implémentés, ils ont donné lieu à des résultats numériques

dégageant des courbes d’efficiences (Coût, Niveau de service, Capacité) permettant aux

gestionnaires de prendre des décisions éclairées le long du cycle de vie du système.

En outre, une étude comparative très poussée a permis de démontrer l’exactitude des résultats

obtenus par nos algorithmes avec les meilleures contributions publiées dans la littérature.

Mots clés : pièces de rechange, gestion des stocks, politiques de maintenance, politiques de

contrôle des stocks, fonction de renouvellement, files d’attente, chaînes logistiques, systèmes

multi-échelon.

v

Abstract

This paper deals with the problem of planning and control of spare parts inventory for systems

subject to random failures. We describe a series of decision models to manage a range of spare

parts for networks made up of several equipment in operation. Each equipment is composed of one

or more parts that are necessary for its proper functioning. When part breaks down, it is replaced

by another, if available in stock., it will then be taken to the repair station to restore it to its working

condition.

The models studied in this work are adapted to an organization with a network of equipment,

transport channels, stocks of spare parts and several repair stations. Inventories and stations are

deployed to serve a territory, zone or region to ensure a required level of service.

The proposed mathematical models, describing the failure, the repair and the transport processes,

use the queuing theory. It accurately reflects the phenomenon of failure and repair caused by the

capacity constraints of repair stations and transport channels.

The stochastic process that generates the arrival of failure parts at repair stations is assumed to be

a Poisson process. The processing and transit times of a part are not known with certainty, they are

considered as random variables, which follow general distributions. The spare parts inventory

management system adopts a continuous transaction policy with unit replenishment (S-1, S).

In this thesis, we are interested in analyzing the evolution of the system in a permanent regime, in

order to find an optimal control policy which depends essentially on the number of spare parts to

be kept in stock and the processing capacity of repair stations. We also develop approximate models

to deal with multi-echelon logistic configurations, as well as emergency requests in a higher

echelon, and lateral transfers between stores of the same echelon level. These models are adjusted

to deal with different service measures and to handle several spare parts references.

Several algorithms have been proposed and implemented, giving rise to numerical results yielding

efficiency curves (Cost, Service Level, Capacity) allowing managers to make informed decisions

throughout the life cycle of the system.

In addition, a very detailed comparative study has been conducted to demonstrate the accuracy of

the results obtained by our algorithms with the best contributions published in the literature.

Keywords: Spare parts inventory management, maintenance policies, inventory control policies,

renewal function, queuing system, supply chains, multi-echelon networks.

vii

Table des matières

Résumé .............................................................................................................. ………………..iii Abstract ......................................................................................................................................... v Liste des figures ............................................................................................................................ x Liste des tableaux ...................................................................................................................... xii Remerciements ......................................................................................................................... xiii

Dédicace .................................................................................................................................... xiiii

Chapitre 1: Introduction générale ........................................................................................ …..1 1.1. Introduction ................................................................................................................................... 1 1.2. Problématique de gestion des pièces de rechange ......................................................................... 3 1.2.1. Contexte et tendances actuelles de gestion des pièces de rechange .......................................... 3 1.2.2. Système de gestion des pièces de rechange ............................................................................... 6 1.2.2.1. Système physique .................................................................................................................. 6 1.2.2.2. Pilotage des flux .................................................................................................................... 8 1.2.2.3. Mission du système de gestion des pièces de rechange ....................................................... 11 1.2.2.4. Objectif du système de gestion des pièces de rechange ...................................................... 13 1.3. Revue de littérature ..................................................................................................................... 14 1.3.1. Contributions scientifiques & Applications industrielles ........................................................ 15 1.3.2. Codification des pièces de rechange : le point de départ de tout projet en gestion des pièces de

rechange....................................................................................................................................................15 1.3.3. Littérature sur la classification des pièces de rechange ........................................................... 16 1.3.4. Littérature sur la prévision de la demande en pièces de rechanges ......................................... 18 1.3.4.1. Prévision basée sur les séries temporelles ........................................................................... 19 1.3.4.2. Prévision basée sur la fiabilité ............................................................................................. 20 1.3.5. Littérature sur les stratégies de maintenance ........................................................................... 24 1.3.5.1. Stratégie de remplacement à la panne ................................................................................. 24 1.3.5.2. Stratégie des remplacements périodiques ............................................................................ 24 1.3.6. Littérature sur la Planification et contrôle des inventaires des pièces de rechange ................. 25 1.3.6.1. Politiques de pilotage et contrôle des inventaires des pièces de rechange .......................... 26 1.3.6.1.1. Modèles classiques .......................................................................................................... 26 1.3.6.1.2. Modèle jumelée (stratégie de maintenance, plan de production, besoin en pièces de

rechange, etc.). ........................................................................................................................................ 28 1.3.6.1.3. Modèles basées sur la théorie des files d’attente ............................................................. 29 1.3.6.1.4. Modèle de gestion des réapprovisionnements des pièces de rechange avec possibilité de

passer des commandes en urgence .......................................................................................................... 32 1.3.6.1.5. Modèles de gestion des pièces de rechange avec possibilité de transferts latéraux………33 1.4. Objectifs de la maîtrise ................................................................................................................ 34 1.4.1. Modèle pour la gestion des réseaux d’équipements homogènes multi-composant et des réseaux

de grandes tailles ..................................................................................................................................... 34 1.4.2. Modèles avec d’autres mesures de performance ..................................................................... 35 1.4.3. Modèle avec des possibilités de passer des commandes en urgence avec délai d’attente dans la

file……………………………………………………………………………………………………….35 1.4.4. Évaluation approximative du modèle multi-échelon et étude comparative ............................. 36 1.4.5. Modèle multi-échelon avec transfert latéraux dont le stock central est de capacité limitée….37 1.5. Contenu du mémoire ................................................................................................................... 37

viii

Chapitre 2: Gestion des pièces de rechange pour un réseau d’équipements assujettis à des défaillances

aléatoires : Modèles mono-échelon ........................................................................................... 39

2.1. Introduction ................................................................................................................................. 39 2.2. Modèle ......................................................................................................................................... 39 2.3. Problème d’optimisation ............................................................................................................. 42 2.4. Hypothèses et analyse du modèle ................................................................................................ 43 2.4.1. Modèle d’attente à capacité de traitement illimitée et de nombre d’équipements infini ......... 45 2.4.1.1. Modèle METRIC- Multi-Echelon Technique for Recoverable Item Control (Sherbrooke

(1968)……………………………………………………………………………………………………44 2.4.2. Modèle d’attente avec capacité de traitement limitée ............................................................. 48 2.4.2.1. Modèle d’attente général GI/G/k (Whitt (1993)) ................................................................. 48 2.4.2.2. Modèle M/M/k (Gross et Harris (1982)) .............................................................................. 49 2.4.2.2.1. Applications numériques (2.1) ........................................................................................ 52 2.4.2.3. Modèle M/M/k sous contrainte budgétaire Ebeling (1991, 2005) ....................................... 54 2.4.2.3.1. Applications numériques (2.2) ........................................................................................ 55 2.5. Extensions du modèle M/M/k ...................................................................................................... 57 2.5.1. Extension du modèle M/M/k d’Ebeling (1991, 2005) - Autres mesures de performance ... …58 2.5.2. Extension du modèle M/M/k d’Ebeling (1991, 2005) pour un réseau homogène d’équipements

multi-composant ...................................................................................................................................... 60 2.5.2.1. Applications numériques (2.3) ............................................................................................ 63 2.5.3. Évaluation approximative du Modèle M/M/k (Gross et Harris (1982), Ebeling (1991, 2005))

pour traiter des réseaux d’équipements de grande taille ......................................................................... 64 2.6. Conclusion ................................................................................................................................... 69


aléatoires : Modèle avec possibilité de passer des commandes en urgence ........................... 70

3.1. Introduction ................................................................................................................................. 70 3.2. Modèle ......................................................................................................................................... 73 3.2.1. Récapitulatif ............................................................................................................................ 80 3.2.2. Mesures de performance.......................................................................................................... 81 3.2.3. Problème d’optimisation ......................................................................................................... 81 3.3. Applications numériques (3.1) .................................................................................................... 84 3.4. Conclusion ................................................................................................................................... 86


aléatoires : Modèles multi-échelon ............................................................................................ 85

4.1. Introduction ................................................................................................................................. 87 4.2. Modèle ......................................................................................................................................... 87 4.2.1. Notation ................................................................................................................................... 88 4.2.2. Fondement du modèles ............................................................................................................ 89 4.2.3. Analyse du modèle .................................................................................................................. 95 4.3. Applications numériques (4.1) .................................................................................................. 100 4.4. Conclusion ................................................................................................................................. 105

ix


aléatoires : Modèles multi-échelon avec des possibilités d’échanges entre stocks de même échelon

.................................................................................................................................................... 106

5.1. Introduction ............................................................................................................................... 106 5.2. Modèle ....................................................................................................................................... 107 5.2.1. Problème d’optimisation ....................................................................................................... 118 5.2.2. Algorithme de résolution ....................................................................................................... 119

5.3. Applications numériques (5.1) .................................................................................................. 124 5.4. Conclusion ................................................................................................................................. 124

Conclusion générale ................................................................................................................. 125

Bibliographie ................................................................................................................. ………129 Annexe A: Résultat des applications 2.1 et 2.4 ......................................................................... 141 Annexe B: Résultat de calcul des déviations ............................................................................ 144 Annexe C: Résultat des applications 2.2 ................................................................................... 145 Annexe D: Résultat des applications 2.3................................................................................... 146 Annexe E: Résultat des applications 3.1 ................................................................................... 149 Annexe F: Résultat des applications 4.1 ................................................................................... 152

x

Liste des figures

Figure.1.1. Exemple de réseau logistique pour le réapprovisionnement en pièces de rechange……………7

Figure.1.2. Sous-réseau d’un centre de réparation…………………………………………………………..8

Figure.1.3. Métaphore du réservoir pour le pilotage des flux dans un centre de stockage………………….9

Figure.1.4. Système de pilotage des flux dans un centre de stockage……………………………………..10

Figure.1.5. Allure du taux de panne………………………………………………………………………..21

Figure.2.1. Processus de défaillance et de réparation……………………………………………………...40

Figure.2.2. Processus de défaillance et de réparation……………………………………………………...50

Figure.2.3. Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation pour k<s…………..51

Figure.2.4. Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation pour k≥ 𝑠………...51

Figure.2.5. Résultats générés par le programme de calcul Programme Projet.R.Exact.Matlab.R.2014a…53

Figure.2.6. Courbe d’efficience Projet.R.Exact.Cont.Budget.Matlab.R.2014a pour un réseau de 10

machines identiques ………………………………………………………………………………………55


équipements identiques, k=1 …………………………………………………………………………….56


équipements identiques, k=2 …………………………………………………………………………….56


équipements identiques, k=3 ……………………………………………………………………………..57

Figure.2.10.Courbe d’efficience Projet.multi.comp.Cont.Budget.Matlab.R.2014a pour un réseau de 10

équipements identiques à trois composants critiques en série……………………………………………..63


équipements identiques à trois composants critiques en série (zoom)………………………………….....64

Figure.2.12. Triplet (Disponibilité- Capacité-Stock). Résultats générés par les programmes de calcul :

Projet.R.Exact Matlab.R.2014a et Projet.R. Stirling.Matlab.R.2014a, (N=80,λ = 0.0002, µ = 0.01)…..65

Figure.2.13. Triplet (Disponibilité- Capacité-Stock). Résultats générés par les programmes de calcul :

Projet.R.Exact Matlab.R.2014a et Projet.R. Stirling.Matlab.R.2014a, (N=100,λ = 0.0002, µ = 0.01)... 66

Figure.2.14. Calcul de la disponibilité opérationnelle avec la méthode exact (Projet.R.

Stirling.Matlab.R.2014a) et la méthode approximative (Projet.R. Stirling.Matlab.R.2014a pour plusieurs

instances…………………………………………………………………………………………………... 67

Figure.2.15. Écarts constatées pour plusieurs instances ………………………………………………….67

Figure.2.16. Déviation constatées pour plusieurs instances ……………………………………………...68

Figure.3.1. Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation, pour k< 𝑠………..74

Figure.3.2. Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation, pour k≥ 𝑠………..77

Figure.3.3. Commande d’urgence: Résultats générés par par Projet.Commande.Urgence.Matlab.R.2014a

pour plusieurs instances………………………………………………………………………………..…..85

Figure.4.1. Réseau d’alimentation à deux échelons avec centre de réparation ...………………………….87

Figure.4.2. Niveaux stocks régionaux. Résultats obtenus par Projet.Multi.Echelon.Matlab.R.2014a pour

quatre approches………………………………………………………………………………………….100

Figure.4.2. Niveaux stocks régionaux. Résultats obtenus par Projet.Multi.Echelon.Matlab.R.2014a pour

quatre approches (zoom sur le stock 3) ……………………………………………...…….…………..…101

Figure.4.4. Nombre de Backorder de chaque région. Résultats obtenus par différentes approche………101

xi

Figure.4.5. Nombre de Backorder de chaque région. Résultats obtenus par différentes approches

(zoom)…………………………………………………………………………………………………….102

Figure.4.6. Écarts constatés………………………………………………………………………………102

Figure.4.7. Réseau d’alimentation à deux échelons avec des ateliers de réparation régionaux………….104

Figure.5.1. Réseau d’alimentation à deux échelons avec transfert latéraux…………………………….. 107

Figure.5.2. Diagramme de transition d’un système M/M/∞ pour le système d’attente de capacité de

traitement illimitée…………………………………………………………………………….………….114

xii

Liste des tableaux

Tableau.1.1. Classification des pièces de rechange pour des applications industrielles………………….18

Tableau 3.1. Extrait des résultats (Annexe E) : Commande d’urgence: Résultats générés pour plusieurs

instances…………………………………………………………………………………………………...84

Tableau 4.1 : Résultats des applications numériques (5.1) par Projet.Transferts.Lateraux.V..………....123

xiii

Remerciements

Au début, je voudrais exprimer ma plus profonde gratitude à Madame Claire Deschênes,

Professeure et Directrice des programmes de 2e et 3e cycles au Département de génie mécanique

de l’Université Laval, d’avoir supervisé cette maîtrise, ainsi que d’avoir géré si sagement, avec

magnanimité et en tout professionnalisme mon cheminement, surtout, pour que ce travail aboutisse.

Je voudrais aussi exprimer mes remerciements à Monsieur Mohamed Larbi Rebaiaia, Ph.D,

Chercheur au Centre Interuniversitaire de Recherche des Réseaux d’Entreprise et de Transport

(CIRRELT) de l’Université Laval, et codirecteur de cette maîtrise, pour avoir accepté de diriger

mes activités de recherche, pour le soutien continu, pour les conseils qui m’ont beaucoup motivé,

ainsi que de l’accompagnement qui nous a permis d’aller beaucoup plus en profondeur dans des

problématiques touchant un axe de recherche toujours d’actualité. Je suis ravi de sa générosité, de

sa vaste attitude de recherche, de son professionnalisme, de sa facilité de me transmettre la

connaissance et de ses expériences. J’ai eu toujours le plaisir d’échanger avec lui les idées et les

visions des choses. Ravi aussi, que cette interaction débouche sur une collaboration en vue de

prochaines productions scientifiques.

J’aimerais remercier également le comité d’évaluation en la personne de Monsieur Fayez Boctor,

Professeur titulaire au Département Opération et systèmes de décision à la Faculté des sciences de

l’administration, et Madame Nadia Lehoux, Professeure agrégée au Département de génie

mécanique, pour leurs commentaires, suggestions et conseils qui ont permis d’enrichir le contenu

du mémoire dans sa dimension méthodologique, d’analyse et de synthèse.

Mes sincères remerciements vont pareillement au Professeur Nadir Belkhiter, Vice doyen de la

Faculté de génie et au Professeur Jean Ruel, Directeur du Département de génie mécanique de la

loyauté démontrée, du soutien académique consenti et du support financier accordé pour la

réalisation de ce travail.

Je remercie tous les professeurs et chercheurs qui ont marqué leur présence, durant mon

cheminement, par leur soutien pédagogique, par leur professionnalisme et humanisme.

Je remercie le personnel administratif du département de génie mécanique qui ont mis à ma

disposition toutes les ressources nécessaires pour la réalisation de ce travail et des conditions

propices durant la phase de rédaction du mémoire.

Enfin, je remercie toute ma famille, plus particulièrement, mon père qui me soutient constamment,

il trouve le grand plaisir de me lire. C’est réciproque !

Ahmed Bouzenad

xiv

Je dédie ce mémoire :

À ma mère qu’Allah l'ait en sa sainte miséricorde, pour sa magnanimité, son amour et sa sagesse.

À mon père, le doux, l’ouvert et le bel intellectuel, pour son soutien constant et ses encouragements...

À mon frère Omar Chérif, l’ami et le mentor, pour son soutien et ses conseils judicieux.

À mes chères sœurs : Aziza, Samira, la regrettée Nina, Soumia et Sarah, les inspirées de belles et ma source

de douceur !

À mon fils, Mein Kleine Mansour, Mansour-Essaghir, le futur ingénieur. Sur les traces de son père ?

..et à tous ceux qui nous sont chers.

Ahmed Bouzenad

1

Chapitre 1

Introduction générale

1.1.Introduction

Lorsqu’un équipement cesse de fonctionner, une action de maintenance est nécessaire pour le

remettre en état de fonctionnement le plus rapidement possible. Les activités de remplacement, de

réparation et de réapprovisionnement des pièces requièrent des délais qui peuvent s’échelonner à

des durées pouvant affecter la performance de l’organisation. La mesure de performance, qui est

caractérisée par la proportion de temps de bon fonctionnement de l’équipement sur un horizon de

planification donné, s’appelle « disponibilité », elle dépend essentiellement des caractéristiques

techniques de l’équipement : sa structure, sa technologie, sa démontabilité, la fiabilité de ses

composants, leur accessibilité, etc., et des contraintes économiques, logistiques, écologiques,

réglementaires et opérationnelles. Elle (la disponibilité) est fortement liée aux ressources de

l’entreprise : budget, outillage, savoir-faire des opérateurs, et à la relation de l’entreprise avec son

environnement (fournisseurs, plateformes logistiques, alliances stratégiques, etc.).

Il arrive souvent qu’un équipement soit longtemps immobilisé en raison du manque de pièces de

rechange dans les stocks ou par suite du retard dans leur livraison. Dans plusieurs contextes

industriels, la remise en fonctionnement de l’équipement après défaillance et donc sa disponibilité

dépend essentiellement de la mise à disposition du kit de rechanges nécessaire pour la maintenance.

Sachant qu’un arrêt prolongé peut avoir des conséquences graves et peut fortement compromettre

la productivité de l’entreprise.

Toutefois, les budgets des organisations sont souvent limités, la part réservée au bon

fonctionnement des équipements représente un poste de dépense important, tant en termes de coût

des opérations qu’en dépenses en maintenance. Les coûts attachés à la fonction maintenance

peuvent être analysés comme un empilement de type : pièces de rechange et fournitures, ressources

humaines et matériels. Dans bien des organisations, les dépenses annuelles de la maintenance ne

cessent d’augmenter, elles représentent souvent une part importante du coût total de gestion. Selon

Öner et al. (2010), elles peuvent représenter jusqu’à cinq fois le coût d'acquisition d’un équipement

à la fin de sa vie utile. Les données statistiques indiquent que le coût de maintenance est estimé

entre 15% et 40% des coûts variables selon le type d’industrie. À titre indicatif, l’industrie

américaine, seule, consacre environ 300 milliards de dollars par année aux activités des opérations

et de maintenance (Latino (1999)). Le budget des opérations et de maintenance du département

américain de la défense (DoD : Department of Defense), rien que pour l'exercice 1997, était de

l'ordre de 79 milliard de dollars, ce qui fait que le coût pour maintenir seulement en opération un

avion militaire est estimé de 1,6 millions de dollars. Selon Kumar (1999), 11% du coût total

2

d'exploitation d'un avion est consacré aux activités de maintenance. De son côté, le secteur de

l’aviation dépense 45 milliards de dollars en inventaire des pièces de rechange (Flint (1995)).

La maintenance et les pièces de rechange qui lui sont associées sont donc au cœur de la performance

de l’ensemble des opérations dans une entreprise.

Ce mémoire traite la problématique de planification et contrôle des réseaux des inventaires des

pièces de rechange pour des parcs d’équipements sujets à des défaillances aléatoires. Nous nous

intéressons dans cette étude à l’élaboration des modèles de décision permettant de gérer une gamme

de pièces de rechange pour des réseaux d’équipements multi-composant critiques. Le système de

gestion des pièces de rechange est supposé contrôlé par plusieurs organisations formant une chaîne

logistique à configurations mono-échelon et multi-échelon flexibles, c’est-à-dire, un système de

gestion qui permet de passer des commandes en urgence et d’enclencher des réapprovisionnements

latéraux. Les modèles abordés dans ce mémoire sont utilisés pour soutenir les décisions

d'investissement des organisations et établir le budget nécessaire pour le bon fonctionnement du

parc. Plusieurs algorithmes ont été proposés et implémentés dans ce mémoire. En outre, nous avons

conduit des applications et généré plusieurs instances pour valider nos algorithmes tout en les

comparant avec des résultats publiés dans la littérature.

Ce chapitre est une introduction à la problématique de gestion des pièces de rechange, il couvre le

sujet principal de notre recherche. Il est organisé comme suit :

La section.1.2 aborde des questions importantes concernant les pièces de rechanges et les tendances

actuelles qui façonnent le contexte de leur gestion. Un examen de la structure et des processus

internes du système de gestion des pièces de rechange pour des organisations en réseaux et sa

mission seront ensuite abordés. Enfin, des exemples des meilleurs pratiques dans le domaine sont

exposés tout au long de cette section.

La section.1.3 est une revue de la littérature. D’abord, elle couvre brièvement les prérequis pour

gérer efficacement une gamme de pièces de rechange, notamment, la problématique de

codification, de classification des pièces de rechange pour des fins de leur gestion, les différentes

approches et modèles d’estimation des besoins en pièces de rechange et les stratégies de

maintenance. Cette revue traite ensuite la problématique de planification et contrôle des inventaires

des pièces de rechange. Une attention particulière est accordée aux modèles de gestion des pièces

de rechange pour des réseaux d’équipements réparables multi-échelon avec des possibilités de

passer des commandes en urgence à des échelons supérieurs et des échanges latéraux entre stocks

du même échelon.

La section.1.4 permet de tirer profit des discussions déjà entamées dans la section 1.2 en extrayant

nos objectifs de recherche et les raisons ayant motivées leur étude. Nous décrivons dans cette

section les principaux objectifs à atteindre en formalisant nos principales contributions.

La section.1.5 est une conclusion donnant un aperçu sur le contenu du mémoire.

3

1.2. Problématique de gestion des pièces de rechange

1.2.1. Contexte et tendances actuelles de gestion des pièces de rechange

Pour comprendre le contexte de gestion des pièces de rechange, on doit l’examiner à la fois d’un

point de vue fournisseur et d’un point de vue utilisateur :

L’entreprise utilisatrice, souvent confrontée à des risques d’immobilisation d’équipements

hautement capitalistiques ou critiques est amenée à rationaliser la gestion de ses biens et à maîtriser

les coûts le long de leurs cycles de vie. La recherche de rentabilité pousse l’entreprise à cibler des

performances élevées en exploitant ses biens à un coût le plus bas possible.

Pour le fournisseur, les pièces de rechange représentent une source de revenue substantielle. La

vente des pièces est souvent associée à des contrats de services qui doivent être assurés au client à

un taux satisfaisant de couverture permettant une mise à disposition rapide ou immédiate des

pièces. Atteindre des performances logistiques conséquentes requiert une bonne configuration de

la chaîne d'approvisionnement. Le réseau déployé permet d’acheminer aux zones d’utilisation, la

quantité requise en pièces de rechange et les services associés, avec la qualité souhaitée et en temps

voulu.

Toutefois, le client juge son fournisseur sur un niveau de service qui est lié directement à la mise à

disposition des pièces de rechange et le cas échéant, des services connexes. Les prestations fournies

prennent la forme de contrats de livraison associés à des services de maintenance et d’assistance

technique et/ou de contrats basés sur la performance logistique –Performance based Logistics

(PBL) (Kim et al (2007)).

Pour le 1er type de contrat, on tend à utiliser un indicateur de performance de type OTIF-On Time

in Full, cela veut dire, une commande, à la fois, complète, conforme et ponctuelle.

Pour le 2e type de contrat, l’indicateur de performance, sur lequel le prestataire est payé, est la

disponibilité. Obtenir des scores élevés selon ces deux types d’indicateurs permet au client de

maintenir le fournisseur qualifié et de ne pas pouvoir concéder à payer des pénalités pour des

retards, des manquants, des problèmes de qualité ou des baisses de niveau de disponibilité.

Rappelons que la mise en œuvre du PBL au sein de l'US Navy pour sa flotte d’avions de chasse a

donné lieu à une augmentation de la disponibilité de 67% à 85% (Geary (2006)).

Sur le plan stratégique de l’entreprise, les modalités de mise à disposition des pièces de rechange

impliquent des organisations logistiques et des modes de gestion spécifiques. L'organisation

logistique doit assurer le meilleur compromis entre le taux de service, le coût de stockage des pièces

et, éventuellement, les coûts de transport pour servir, le plus rapidement possible, le client et pallier

à l'installation défaillante.

Au niveau tactique, les ressources matérielles, humaines, informationnelles et cognitives requises

pour gérer la maintenance et les rechanges associées doivent être en cohérence avec la stratégie et

4

les objectifs l’entreprise et ses partenaires. Pour cela, les différentes ressources durables et

d’affectation peuvent être contrôlées et gérer par plusieurs organisations (transport, maintenance,

gestion des espaces, main d’œuvre, etc.). Sachant qu’une organisation donnée n’intervient

généralement que dans un sous-ensemble des activités de la chaîne logistique. Atteindre des

performances élevées ne se fait que par l’établissement de relations efficaces entre partenaires

(prestataires, sous-traitants, etc.).

Même si le recours à la sous-traitance est souvent motivé par un manque d’expertise ou un déficit

de ressources, la délégation partielle ou totale des activités permet aussi de réserver les tâches

d’expertises aux prestataires qualifiés et de réaliser beaucoup d’économies tout en trouvant des

solutions à des problèmes techniques et de gestion.

Depuis une vingtaine d’année, nous assistons à des relations entre utilisateurs et fournisseurs sous

forme de partenariats, d’alliances, de fusions, de restructurations, etc., cela permet de conclure des

contrats en proposant une gamme d’assistance technique (calibrage, Upgrade, réparation, révision,

etc.) et/ou de gestion (prévisions, planification, gestion des stocks, etc.).

Alstom (http://www.alstom.com), par exemple, propose deux contrats, soit un Contrat de Full

Material Management, soit un « Contrat de Disponibilité ». Ces deux contrats à long terme incluent

l'offre « Réparations et Révisions ». Elle définit avec son client le niveau de criticité de chaque

pièce et le temps de mise à disposition associé : livraison immédiate des pièces critiques, et sous

quelques jours pour les pièces non critiques. Elle fournit aussi bien des pièces neuves, réparées ou

usagées que des kits, et ce, principalement en réponse aux besoins de toutes les activités de

maintenance (préventive, corrective, inspection, révisions). Elle s’engage avec des taux de services

et des pénalités en cas de retard. Des stocks sont installés chez le fournisseur si la réactivité de ce

dernier est compatible avec les coûts d’indisponibilité et les caractéristiques des rechanges pour

chaque équipement.

Ces caractéristiques : volumétrie, grande variété des références et complexité des pièces dont

plusieurs sont hors-gabarit et de faible niveau de consommation, sont des grandes problématiques

dans l’industrie des pièces de rechange :

- Les volumes importants peuvent facilement dépasser les ressources disponibles pour

les gérer. Une entreprise peut avoir des centaines de milliers de références qu'elle

approvisionne et gère régulièrement. Certains équipements peuvent avoir plusieurs

centaines de pièces. La portée et le poids de certaines pièces sont parfois des facteurs

déterminants dans la stratégie de réapprovisionnement à adopter. Dans bien des cas, ces

pièces nécessitent des moyens de transport, de manutention, de pose, de dépose et des

conditions de stockage assez particulières.

- La grande diversité des pièces pose parfois des difficultés de classification, de stockage

physique et impacte la massification des flux, donc, les économies d’échelles.

- Aussi, le caractère aléatoire des défaillances des pièces et le faible niveau de

consommation de celles-ci rendent l’estimation des besoins futurs très difficile à établir.

5

- Sans oublier que les références dans les high-Tech (la haute technologie) changent à

grande vitesse en matière de régulation et d’automatisme. L’informatique constitue

l’essence de fonctionnement des appareils actuels. La complexité et la fiabilité des

composants qui constituent un équipement est un facteur important dans la

détermination de la stratégie de maintenance et des pièces de rechanges associées.

En raison de la volumétrie, du nombre élevé de références et des niveaux de consommation faible

des pièces de rechange, les risques de détérioration des équipements et la réduction de leur cycle

de vie génèrent une multiplication de la quantité des références et augmentent le risque

d'obsolescence et de désuétude.

Pour pallier à tous ces aléas, la pratique courante dans les entreprises est de conserver un stock de

sécurité et de mettre en place un système de contrôle qui suit l’évolution des stocks et qui gère les

réapprovisionnements.

Essentiellement, le système de contrôle s’appuie sur des plateformes d’échanges, de traitement et

d’archivage de l’information. Dans la scène industrielle d’aujourd’hui, les technologies de

l’information et de la communication (TIC) s’avèrent un facteur de succès incontournable dans la

détermination des stratégies des entreprises, notamment, dans l’amélioration des performances des

processus de gestion des approvisionnements en comblant les marges d’incertitudes dans

l’estimation des paramètres (délai de livraison et prévision de la demande) par des informations

fiables, précises et à jour. Les TIC facilitent la diffusion et le traitement des données et enrichissent

les outils d’aide à la décision.

Par conséquent, l’évolution des technologies ne concerne pas seulement les TIC, les moyens dédiés

aux opérations connaissent aussi des évolutions technologiques. On assiste maintenant à

l’utilisation des moyens pour la transformation, le stockage, la manutention et le transport à la fine

pointe de la technologie. Les différentes ressources sont maintenant équipées de moyens permettant

l’amélioration des activités et la diminution des coûts unitaires des opérations. Ces moyens

reposent sur des plateformes d’échange physiques et informationnels très performantes, ex. flottes

aériennes pour les expéditions d’urgence, flottes maritimes pour l’alimentation des installations

off-shore, etc. Pour un pilotage efficace des flux physiques et informationnels, l’entreprise doit

posséder un système d’information et de communication sophistiqué tout en tirant profit des

technologies existantes.

Sans toutefois oublier la percée technologique du troisième millénaire, l’impression 3D. Selon

plusieurs observateurs, l’émergence de l’Additive manufacturing peut changer le paradigme de la

gestion des pièces de rechange dans les années à venir.

Dans ce même contexte, les interventions sur des équipements et installations, la fabrication des

pièces ainsi que leurs réparations en cas de défaillance requièrent maintenant des habilitations et

des qualifications. Dans tous les secteurs industriels, les pièces de rechange doivent être certifiées

conformément aux spécifications du constructeur. De même, leur surclassement et/ou

revalorisation, au cas de fin de vie, doivent être exécutés selon les directives et référentiels en

6

vigueur. Elles doivent être soumises aux textes légaux propres au domaine où l’équipement opère.

Ces obligations se résument dans les diverses certifications nécessaires pour fournir des pièces de

rechanges à des installations relavant de domaines particuliers, comme l’aviation civile, l’industrie

des procédés chimiques, l’industrie nucléaire, etc., où la sûreté des installations, la sécurité des

personnes et l’environnement sont primordiales. Allant de la vis et de l’écrou aux grands appareils

et engins (réacteur, turbines géantes, etc.), l’entreprise est maintenant soumise à l’incessante

pression de la règlementation, et des mesures de sécurité accrues. Les textes légaux sont maintenant

la charte de conduite des entreprises.

Atteindre des performances écologiques nécessite aussi une conformité avec les normes et

référentiels environnementaux en vigueur auxquels l’entreprise souscrit et un suivi rigoureux des

directives touchant les activités de l’entreprise dont les organisations étaient soumises à peu de

contrôle dans le passé (ISO 14001, OSHAS 18001). Adopter une démarche responsable dans toutes

les activités permet à l’entreprise de gérer les processus dans le respect de l’environnement et de

contribuer à la prospérité des générations futures.

La protection de l'environnement et l'utilisation économique des ressources naturelles sont parmi

les tendances actuelles qui façonnent le contexte de l’économie mondiale. L’entreprise doit

participer activement à la conception des processus économiques, vivable et viable, autrement dit,

contribuer à l'amélioration de la qualité de vie des gens partout dans le monde, maintenant et dans

l'avenir. Cela conduit à des investissements dans des technologies vertes, des processeurs

écologiques et des activités écoresponsables : la contribution à la revalorisation partielle ou

complète des équipements, la mise en place de réseaux logistiques inverses, et les achats

écoresponsables.

Les contraintes économiques, sociales et environnementales sous lesquelles l’organisation opère

constituent le contexte réel de tout système de gestion des pièces de rechange.

1.2.2. Système de gestion des pièces de rechange

Nous avons mentionné dans la section précédente que, en gestion des pièces de rechange, les

processus de réapprovisionnement veillent à ce que les pièces de remplacement soient mises à

disposition et livrées le plus rapidement possible afin de remettre en état d’opération les

équipements.

1.2.2.1.Système physique

Le réseau sur lequel circule une pièce donnée prend la forme d'un arbre, comme montre la

Figure.1.1. Les nœuds du réseau correspondent aux installations de l’entreprise : Sources

d’approvisionnements en aval, entrepôts, stocks, stations et/ou ateliers de réparations, points de

vente, ports d’entrée et de sortie, etc., ainsi que tous les processus et ressources qui y renferment.

7

Les arcs sont associés aux moyens de transport, de manutention, de communication, et de paiement

utilisées pour acheminer les articles, l’information et les fonds d’un nœud à l‘autre.

Stock central

Sources d’approvisionnement

Réseau d’équipement (clients)

Envoi pour réparationTransport

Stock

Atelier de réparation

Figure.1.1. Exemple de réseau logistique pour le réapprovisionnement en pièces de rechange

Les nœuds et les arcs du réseau logistique des pièces de rechange représentent cinq activités

primaires, qui se trouvent le long du flux de matière : l’approvisionnement, la distribution, le

stockage, la vente et services (maintenance, calibrage, l’Upgrade, dépannage, révision, expertise,

etc.) et le transport.

À ces activités de base s’ajoute un ensemble d’activités de soutiens nécessaires pour les améliorer

et les piloter : gérer les ressources et connaissances, piloter les flux physiques, informationnels et

transactionnels, et faciliter l’interaction des interfaces de l’entreprise avec son environnement

(fournisseurs, partenaires, syndicats, marché des capitaux, etc.). Lorsqu’on s’intéresse aussi à ces

activités de soutien, on parle plutôt du système logistique des pièces de rechange.

8

NB : Lorsqu’on zoom sur un nœud du réseau (stock ou atelier de réparation), on identifie un

aménagement physique qui définit, à son tour, un sous-réseau avec des nœuds et arcs associés

respectivement, aux différentes moyens et ressources pour la maintenance et la manutention, etc.

(Figure.1.2).

Réapartion

DémontageTest

Envoi au stock

Man

uten

tion

montageRéception de la pièce déffectueuse

Figure.1.2. Sous-réseau d’un centre de réparation

La problématique de déploiement et de retrait des centres (stocks, ateliers) dans un réseau

logistique relève de la planification stratégique et des objectifs de l’organisation à long terme. De

bonnes discussions sur le sujet se trouvent dans Brown et Gibson (1972), Daganzo et Newell

(1986), Langevin et Riopel (2005), Martel (2007), Martel et al. (2012).

L’aménagement physique des centres est aussi une problématique qui peut engendrer des gains

substantiels par la réduction des coûts unitaires des opérations (Montreuil (2006)).

La problématique du design des réseaux et de l’aménagement physique des centres ne suffissent

pas pour garantir une performance élevée. C’est aussi par la coordination, l’analyse, l’amélioration

et le contrôle de l’ensemble des processus du réseau qu’une organisation performe bien. Ces

processus engendrent des flux qui circulent le long de la chaîne logistique.

1.2.2.2.Pilotage des flux

Si on considère, par exemple, un centre de stockage de pièces de rechange, le pilotage des flux

d’entrée/sortie peut être représenté intuitivement par un système hydraulique, comme le montre la

Figure.1.3. Cette métaphore permet de décrire le comportement du stock en fonction du débit

d’entrée (le réapprovisionnement) et de sortie (la demande). Deux événements sont envisageables

si le contrôle des deux débits n’est pas coordonné, soit une rupture de stock, soit un surstock.

9

SUR – STOCK RUPTURE DE STOCK

Figure.1.3. Métaphore du réservoir pour le pilotage des flux dans un centre de stockage

Pour que le système hydraulique performe bien il faut qu’il y ait une coordination efficace de toute

les activités en amont (en tirant les flux d’entrée) et en aval (en poussant les flux de sortie).

En gestion des stocks des pièces de rechange, le flux d’entrée est tiré par la politique de contrôle

des stocks, tandis que le flux de sortie est étroitement lié à la demande de la maintenance, autrement

dit, par la stratégie de maintenance adoptée par l’entreprise, qui est fortement dictée par : la

fiabilité, la maintenabilité et éventuellement de l’impact de la disponibilité des équipements sur la

performance globale de l’organisation.

Si on connait la demande et les délais de réparation & livraison des fournisseurs, le système peut

s’adapter à un univers déterministe et s’organiser pour que les flux se synchronisent et les

commande arrivent en juste à temps.

Or, la réalité du terrain est tout à fait différente, les coefficients de réapprovisionnement ne sont

pas connus avec certitude. Pour ajuster les stocks, il convient donc de réduire au maximum

l’incertitude qui affecte les coefficients du réapprovisionnement, ceci est possible si le système

possède des informations à jour, une base de donnée bien élaborée, un réseau disséminé et des

processus de décision robuste (Martel.et al. (2012)).

La Figure.1.4, illustre la configuration logique du système de pilotage des flux pour un centre de

stockage.

Flux de sortie

Stock

Flux

d’entrée

Flux de sortie Stock

Flux

d’entrée

Flux de sortie Stock

Flux d’entrée

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Système transactionnel

Système d’information

Système de décision

Système informatique et télématique

Stock

Flux de matières (pièces)

Commandes client

Commandes fournisseur

Flux informationnel

Figure.1.4. Système de pilotage des flux dans un centre de stockage

Sur le plan systémique de gestion, la technologie informatique et télématique est basée sur

l’architecture client/serveur afin d’échanger de l’information sur une plateforme de

communication. Cette plateforme peut prendre la forme de plusieurs postes de travail disséminées

en utilisant des réseaux intranet, internet. De même, on vit l’ère des technologies internet qui

évoluent de façon très soutenues, on assiste à des échanges entre entreprises (B2B) ou à des ventes

aux consommateurs (B2C).

Les infrastructures et les standards d’échange de données sont au cœur des communications entre

partenaires. Ils incluent quatre types de technologies :

- Les codes d’identification des pièces, des objets logistiques (caisses, palettes,

conteneurs...) et des lieux, ainsi que les mécanismes utilisés pour assurer leur intégrité

(GTIN -Global Trade Item Number, GLN-Global Location Number, SSCC- Serial

Shipping Container Code, etc). ;

- Les symbolismes utilisés pour marquer les pièces et les objets logistiques, et leur

support physique (code à barres, RSS, RFID) ;

- Les standards internationaux pour les messages électroniques échangés entre

partenaires (EANCOM, X12, XML) ;

- Les inforoutes internes (Intranet), externes (réseaux de télécommunication privés à haut

débit) ou globaux (Internet) exploitées pour transmettre les messages commerciaux.

11

Quant aux applications industrielles et commerciales, elles englobent les quatre segments des

systèmes informatiques :

- Les systèmes transactionnels : Permettent de suivre toutes les opérations de saisi, de

traitement, d’archivage et de communication décrivant toutes les transactions d’une

entreprise relevant du domaine de la comptabilité, des ventes, du paiement, des

opérations, etc.

- Les systèmes opérationnels : Permettent de soutenir la réalisation des activités primaires

ou de soutien d’une entreprise. La « gestion de maintenance assistée par ordinateur-

GMAO », la « conception assistée par ordinateur- CAO », la « fabrication assistée par

ordinateur- FAO » sont des exemples de systèmes informatiques opérationnels.

- Les systèmes d'information de gestion : appuient le gestionnaire dans ses activités de

planification et de contrôle en exploitant les informations en provenance des deux

systèmes informatiques précédents. Ils se manifestent comme des rapports (détaillés)

ou tableau de bord d’indicateurs de performance (agrégés) sous format électronique ou

papier.

- Les systèmes d'aide à la décision : c’est le support de toutes les décisions dans une

entreprise, ils encapsulent toutes les activités d’analyse et de résolution de problèmes

en utilisant des outils d’aide à la décision adaptés.

Pour plus de détails sur les systèmes de pilotage des flux dans une chaîne logistique, d’excellents

ouvrages et de bonnes couvertures se trouvent dans Martel (1995), Vallin (1999), Baglin et al.

(2001), Bradley et al. (2001), Babai (2005), Martel et Klibi (2007).

Vue l’interdépendance entre les sous-systèmes du système d’information, nous nous focalisons

dans notre étude sur le processus de décision, particulièrement, l’élaboration des politiques de

contrôle optimales qui dépendent de la quantité à commander, du niveau de stock à garder pour

soutenir une politique de maintenance donnée et garantir un niveau de service requis. C’est la

mission fondamentale du système de gestion des pièces de rechange.

1.2.2.3.Mission du système de gestion des pièces de rechange

La mission fondamentale de tout système organisationnel est la création continue de la valeur tant

pour l’entreprise que pour ses partenaires. En Finances, la valeur d’une entreprise est définie

comme la somme actualisée de tous les flux de trésorerie résiduels RCF- Residual Cash Flows

durant sa vie utile :

𝑅𝐶𝐹 = (∑𝑑𝑒𝑠 𝑅𝑒𝑣𝑒𝑛𝑢𝑠 −∑𝑑𝑒𝑠 𝐷é𝑝𝑒𝑚𝑠𝑒𝑠 𝑑′𝑒𝑥𝑝𝑙𝑜𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛) (1 − 𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑑′𝑖𝑚𝑝ô𝑡)

−∑𝑑𝑒𝑠 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 (1.1)

12

NB :

- Parfois, la mesure d’empilement de flux de trésorerie n’est pas possible, la plupart des

entreprises évaluent leur performance financière sur des mesures statiques comme la valeur

économique ajoutée, EVA (Economic Value Added) ou le rendement du capital investi

ROCE (Return of Capital Employed).

- La minimisation des impôts devient importante si le réseau logistique de l’entreprise se

déploie à l’international.

Théoriquement, pour accroître le RCF, l’entreprise doit continuellement réussir à maximiser ses

Revenus et à minimiser les dépenses d’exploitations et d’investissements.

Le contexte Lean manufacturing (Womack et Jones (1996)) incite l’organisation à minimiser les

dépenses d’exploitation en visant la minimisation des coûts des intrants (Énergies, matière

première…etc.) et des coûts des opérations logistiques (approvisionnement, production, transport,

maintenance...etc.). Les dépenses d’investissements sont aussi à réduire, elles sont particulièrement

liées à l’acquisition de ressources durables, aux mécanismes de financement et à la valeur

marchande des actifs courants et des immobilisations de l’entreprise. Par exemple, faire appel à

des financements externes auprès des Banques ou d’actionnaires, ces derniers ne prendront le

risque de consentir le financement que si l’entreprise leur inspire confiance, notamment par ses

bénéfices passées qui sont la seule preuve de rentabilité de son activité.

Au-delà de la logique de soustraction des coûts, un système organisationnel doit non seulement

être en mesure de maximiser ses profits, mais il doit être bien adapté aux différentes contraintes

règlementaires et normatives (Habilitations, Hygiènes, Sécurité, Environnement, Responsabilité

sociale...etc.), et doit être aussi robuste et résiliant pour créer la valeur quel que soit les changements

à venir. Pour garantir le maintien de l’entreprise sur la scène industrielle, le système de gestion des

pièces de rechange doit être conçu de façon à minimiser son exposition de toutes sortes de risques,

ces risques étant liés aux aléas quotidiens (pannes, arrêts, dégradation des équipements, accident

de travail, variabilité des prix et de la demande, taux de change…etc.) mais aussi au péril

occasionnels (catastrophes naturelles, accidents industriels…etc.) qui peuvent avoir un impact

majeur sur les performances du système. Il faut alors envisager des conjonctures futures en

constituant une nouvelle dimension pour évaluer le système par une mesure de risque comme le

VAR- Value At Risk par exemple. Les pressions du marché, les aléas et les contraintes ont des

répercussions considérables sur les performances du système en ne laissant survivre que les

entreprises les plus performantes, les plus adaptés aux évolutions du marché futur.

Que ce soit pour minimiser les coûts, se maintenir dans la compétition ou obtenir un avantage

concurrentiel, les entreprises sont amenées à raisonner selon une orientation « création de valeur »

pour le client. Le client du système de gestion des pièces de rechange est la maintenance. Le

système doit réussir continuellement à mettre à la disposition de la maintenance des pièces de

rechange, et éventuellement, la prestation associée, la quantité requise, au moment voulu avec la

qualité souhaitée. L’objectif est de garantir une disponibilité requise à coûts minima.

13

1.2.2.4.Objectif du système de gestion des pièces de rechange

Pour une disponibilité donnée, le budget alloué pour le bon fonctionnement du réseaux

d’équipements dépend fortement du niveau du stock de rechange à devoir garder, à la fois, des

fonds disponibles pour l'investissement initial et des dépenses engagées pour soutenir les politiques

de maintenance et/ou des réapprovisionnements adoptées le long de la période d'exploitation du

bien.

En général, la phase post-acquisition de l’équipement est généralement supportée par la garantie

du constructeur. Une bonne estimation des besoins initiaux durant cette phase permet à l’entreprise

utilisatrice de maîtriser l’achat et de négocier efficacement les clauses de flexibilités offertes par le

fournisseur.

Durant son exploitation, l’équipement est assujetti à des stratégies de maintenance corrective et

préventive. La gestion optimale concerne la définition des cibles quantités à approvisionner en

tenant compte du processus de défaillance des pièces, et de l’incertitude dans les délais de transport

et de réparation (réapprovisionnement). Elle concerne aussi, la définition optimisée de la

localisation de ces stocks et des ateliers de réparation (sources de réapprovisionnement), en

combinant éventuellement stocks internes et externes, stock central et stocks régionaux, atelier

central (une seule source de réapprovisionnement) et ateliers régionaux (plusieurs sources de

réapprovisionnement).

Pour la maintenance préventive, les besoins en rechanges sont supposés connus sur une maille de

temps suffisamment importante, on saurait exactement ce que le plan de maintenance va demander,

quelle quantité et à quelle date. Le système pourrait s’adapter à cet univers déterministe et

approvisionner en juste à temps.

Or, pour la maintenance corrective, le caractère aléatoire des défaillances et la grande fiabilité des

équipements, conduisant le plus souvent à de faible rotation des stocks des pièces de rechanges,

rendent les estimations difficiles à établir. Les paramètres de réapprovisionnement sont étroitement

liés aux processus stochastiques décrivant la défaillance, la réparation (réapprovisionnement) et le

transport des pièces.

Si les processus stochastiques sous-jacents subissent peu de changement dans le temps, on peut

analyser l’évolution du système dans un régime stationnaire afin de trouver une politique de

contrôle optimale. Cette dernière dépend essentiellement de la quantité de pièces de rechange à

garder en stock et des capacités de ressources (réparation, transport, etc.) en utilisant les techniques

d’optimisation classiques.

Si toutefois les paramètres d’approvisionnements (défaillance, réparation, transport, etc.) sont

affectés par des processus stochastiques qui varient dans le temps, des facteurs saisonniers, par des

comportements cycliques ou par des décisions de promotion, etc., on aura des processus

stochastiques non-stationnaires. Les processus d'approvisionnement venant d'être décrits, donne

14

lieu à des problèmes de décision complexes : stochastiques dynamiques, multi-périodes, etc. qui

ne peuvent être résolus de manière optimale avec les techniques d’optimisation classique.

Quelle que soit la nature des processus stochastiques décrivant les paramètres du système de

gestion des pièces de rechange, l’objectif principal est de chercher le niveau de service maximal

qu’on pourrait atteindre étant donné une contrainte budgétaire imposée, ou, alternativement,

trouver le coût minimal nécessaire pour répondre à un service requis. Il s’agit d’instruire un

compromis, toujours difficile, entre l’investissement en achat, en ressources, en inventaire, et le

niveau de service.

La littérature scientifique est riche en modèles permettant de déterminer les paramètres des

réapprovisionnements en tenant compte des aléas de la demande, des délais (transport, réparation,

réapprovisionnement, etc.), des niveaux de services et des contraintes de capacité de ressources.

La politique optimale dépend du critère d’optimisation approprié. La plupart des problèmes de

décision utilise le critère qui :

- optimise l’espérance mathématique de la fonction-objectif.

- minimise la variance de la fonction -objectif. Ce critère est approprié si on veut apporter

une certaine stabilité au profil de la demande. Les modèles : VARI-METRIC de Graves

(1985) qui sont une extension du modèle METRIC (Multi_Echelon Technology for

Recoverable Items Control) proposé par Sherbrooke (1968) et l’approximation de Adan

et al. (1996), qui seront discutés dans les sections à venir, apportent une stabilité aux

déviations constatées des variances des processus stochastiques.

- maximise la probabilité d’atteindre une certaine aspiration. Ce critère transforme le

problème décisionnel en univers déterministe dont les coefficients du modèle prennent

les valeurs les plus probables.

1.3.Revue de littérature

Nous avons vu dans la section.1.1.2.2 que le pilotage des flux dans un réseau logistique nécessite

un système d’information performant et un ensemble de processus de décision adéquat, c’est-à-

dire, le modèle décisionnel retenu doit être suffisamment robuste pour pallier aux aléas de

l’environnement et faire face à tous les futurs plausibles. Les actions à entreprendre doivent

contribuer à la performance globale de l’entreprise d’une manière profitable, durable et

concurrentielle.

Nous abordons, dans cette section, la question des pièces de rechange. Pour cela, nous touchons

les grands axes de recherche dans le domaine et nous portons une attention particulière aux

approches classiques et contemporaines de gestion des pièces de rechange, notamment, les

techniques de classification des pièces de rechange, les modèles de prévision de la demande en

pièces de rechange et les modèles décisionnels systémique (multi-composant), multi-échelons,

particulièrement, les modèles avec possibilité de passer des commandes en urgence et des transferts

latéraux. Nous nous intéressons essentiellement à l’étude des systèmes réparables, c’est à dire, les

15

systèmes qui peuvent être remis en état de fonctionnement après une action de maintenance. De

tels systèmes comportent des éléments qui sont généralement moins coûteux à réparer que de les

remplacer, ainsi, les modèles de décision sont beaucoup plus compliqués que les modèles

classiques traitant les consommables.

Bien que ces deux catégories de pièces (consommables/réparables) aient pour but de garantir une

disponibilité requise pour le bon fonctionnement du réseau d’équipements, nous nous intéressons

davantage à l’étude des systèmes combinés (réparables et consommables) assujettis à des

remplacements à la panne pour une simple raison, les besoins de la maintenance préventive sont

connus à l’avance, le gestionnaire peut s’adapter avec cet univers certain et réapprovisionner en

juste à temps.

1.3.1. Contributions scientifiques & Applications industrielles

Avant d’examiner la littérature scientifique de la gestion des pièces de rechange, nous soulignons

que la plupart des modèles de décisions proposés dans la littérature scientifique ne connaissent pas

d’applications industrielles. Prenons par exemple le module R/3 du SAP, l’ERP le plus utilisé par

les organisations industrielles, il propose seulement des méthodes approximatives pour estimer les

besoins en univers dynamique au lieu des plans optimaux de Wagner et Whitin (1958). Même les

progiciels spécialisés en gestion des stocks des pièces de rechanges ne proposent pas de modèles

de planification avec commandes d’urgence ou avec transferts latéraux. Généralement, ces

pratiques se limitent au niveau opérationnel dans certaines organisations (Van Houtum et

Kranenburg (2015))

Or, ce constat n’est pas toujours vrai ! Depuis une dizaine d’années, on assiste à une nouvelle vague

qui remplace le paradigme des MRP- Materials Resources Planning /DRP- Distribution resource

planning /ERP- Enterprise resource planning dominant l’industrie des progiciels. Cette dernière

commence à proposer de diverses solutions basées sur des contributions scientifiques, et qui ont

également un impact majeur sur le développement des progiciels commerciaux. Cette nouvelle

orientation est connue sous l’appellation APS-Advanced Planning Systems. Ces applications ont

été initialement conçues pour remplacer certains modules ERP par des méthodes de pilotage plus

efficaces. Une des entreprises qui ont amorcé ce mouvement APS, demeure toujours parmi les

leaders de l’industrie, soit i2 technologies, acquise par JDA Software Group en 2010, avec le

logiciel RHYTHM. Une bonne discussion du sujet APS se trouve dans Stadtler et al (2000).

1.3.2. Codification des pièces de rechange : le point de départ de tout projet en gestion des

pièces de rechange

Nous avons mentionné dans la section.1.2.2.2 que les échanges de données et la communication

entre partenaires (fournisseur, prestataire, sous-traitant, etc.) nécessitent des infrastructures (réseau

16

internet, intranet, postes disséminés, etc.) et des standards, en attribuant, à chacune des pièces, des

caisses de pièces, palettes de pièces, conteneurs et des emplacements, un code d’identification avec

leur support physique ou symbolique. Le système de codification des pièces et objets constitue le

point de départ de tout projet d’implantation du système de gestion des stocks des pièces de

rechange.

Pour les entreprises utilisatrices des biens industriels, le système de codification des pièces de

rechange doit être différent de celui des équipements et installations. En général, le code attribué

doit fournir une compréhension rapide des caractéristiques techniques de la pièce, sa

hiérarchisation, des informations sur le fournisseur, et pour les pièces stockées, l’emplacement

physique dans le stock.

1.3.3. Littérature sur la classification des pièces de rechange

Nous avons vu dans la section.1.1.1 que les pièces de rechange sont très variées, avec des coûts,

des exigences de service et des profils de consommation différents. La détermination de la liste des

pièces de rechange susceptibles d’être stockées ou non dépend des informations que l’entreprise

possède en main.

Claver (2006) propose un processus d’identification des pièces de rechange permettant d’établir la

gamme des pièces à garder en stocks. Il a aussi proposé un filtre permettant de prendre des décisions

quant à l’achat, la réparation et le stockage.

Par conséquent, le regroupement des articles ayant des caractéristiques communes dépend des

objectifs de l’organisation. L’organisation doit répertorier les pièces de rechange et attribuer un

niveau de service requis pour chaque catégorie. La classification des pièces de rechange permet de

déterminer les exigences de service pour chaque classe de pièces, établir des prévisions pour

différents profils de la demande et contrôler les stocks (Boylan et Syntetos (2008)).

L’approche classique de classifications des pièces de rechange est généralement basée sur les

paramètres du stock. Cette approche consiste à analyser les données et à segmenter les pièces de

rechange en fonction de la typologie : demande régulière, faible (versus forte rotation), saisonnière,

intermittente, erratique, etc., la variation de la taille de la commande, ou le délai de livraison.

Williams (1984) propose une classification basée sur le comportement erratique d’une demande

qui suit une loi de poisson. Trois classes de demande sont issues de l’analyse de décomposition de

la variance de la demande durant le délai d’approvisionnement : demande régulière- Smooth

demand., demande à faible rotation- Slow moving demand et demande intermittente – Intermittent

demand.

Une autre classification, en quatre types de demande, a été proposée par Ghobbar et al. (2003). La

méthode consiste à évaluer la demande par le biais de l’intervalle moyen entre les demandes non

nulles et la variation de la demande : demande régulière, demande à faible rotation, demande

erratique et demande erratique avec un délai d’approvisionnement important.

17

Eaves et Kingsman (2004) proposent une classification basée sur la variabilité du délai

d’approvisionnement, la variabilité de la demande, et la variabilité des commandes. Cette méthode

permet d’engendrer cinq types de demande : demande régulière, demande irrégulière, demande à

faible rotation, demande erratique et demande très erratique.

Rappelons qu’:

- une demande est classée à faible rotation lorsque les observations sur la demande

contiennent des valeurs inférieures de dix unités par cycle d’approvisionnement

(Peterson et Silver (1979)).

- une demande est intermittente lorsque les observations sur la demande contiennent

des valeurs de demande nulles (Silver (1981)).

- une demande est erratique lorsque, pour une distribution donnée, l’écart type de la

demande et supérieur à sa moyenne (Brown (1977)).

Quant aux approches contemporaines, les pièces de rechange sont généralement classées en

fonction de leur criticité de fonctionnement (Naylor (1996)). Trois niveaux de criticité sont souvent

pris en considération dans la pratique : faible, moyenne et haute criticité. Dans bien des

organisations, la criticité reflète la façon dont l’indisponibilité potentielle affecte les coûts dus aux

arrêts, à la qualité des processus, à l’environnement et à la sécurité (Dekker et Bayindir (2004)).

Elle peut être évaluée par des méthodes, comme l’AMDEC- Analyse des modes de défaillance, de

leurs effets et de leur criticité, qui est réputé l’outil le plus souvent utilisé dans le domaine industriel,

particulièrement pour l’évaluation des modes de défaillance potentiels, leurs impacts et leurs

criticités relatives. Une étude intéressante et détaillée de cette approche se trouve dans Hagedorn

(2010).

Notons, que l’approche de classification des pièces de rechange la plus fréquemment utilisée est

l’ABC (Pareto). La segmentation A, B et C, selon le(s) critère(s) sélectionné(s), se fait en fonction

des objectifs de service. L’outil d’analyse est souvent représenté sous forme d’un histogramme de

distribution indiquant une courbe de cumul d’effets induits par plusieurs causes. La particularité de

la courbe de Pareto c’est que les nombreux phénomènes observés obéissent à loi 20/80. 20% des

causes produisent 80% d’effets.

Le Pareto aide le gestionnaire à classer les pièces selon leur criticité en se basant sur un critère

donné, à déterminer le mode de gestion, en l’occurrence, le modèle de décision adapté à chaque

classe. La combinaison de l’approche ABC avec d’autre outils d’analyse et d’aide à la décision

permet de prioriser les actions à entreprendre et de porter une attention particulière à la catégorie

de pièces dont leur disponibilité et/ou manque ont un impact significatif sur les performances de

l’organisation.

Si toutefois l’analyse monocritère est désormais claire et facile à analyser, elle demeure moins

réaliste dans le contexte industriel. Plusieurs techniques de classification multicritère ont été

utilisées dans la pratique et proposées dans la littérature, parmi lesquelles on peut citer : la méthode

de weighted linear programming (WLP) (Ramanathan, R. (2006), Zhou et Fan, L. (2007), Ng

18

(2007), Hadi-Vencheh (2010), Park et al. (2014), Hatefi et Torabi (2015)), la technique analytic

hierarchy process (AHP) (Saaty (1988), Partovi et Hopton (1994), Cakir et Canbolat (2008)), la

technique- The Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS)

(Bhattacharyaet al. (2007), les réseaux de neurones- Neural Networks (Partovi et Anandarajan,

(2002)), la méthode operations related groups (ORGs) (Cohen et Lee (1985), Cohen et Ernst

(1988), Ernst et Cohen (1990)), l’algorithme génétique Guvenir et Erel (1998), l’Approche particle

swarm optimization (Tsai & Yeh (2008)), et la logique floue-Fuzzy (Chu et al. (2008), Aydin

Keskin et Özkan (2012)).

Plusieurs parutions ont abordé la classification des pièces de rechange. Bacchetti et Saccani (2011)

fournissent un examen critique de la littérature traitant la classification des pièces de rechanges

pour fin de gestion des stocks des pièces de rechange. À travers dix études de cas, des écarts de

maturité ont été constatés chez quelques entreprises manufacturières. Des limites des modèles

théoriques proposés dans la littérature ont été abordées.

Hormis Yamashina (1989), qui tient compte des critères de la fiabilité et du coût de maintenance

dans son modèle de classification (sans étude de cas), la plupart des critères retenus pour la

classification des pièces de rechange dans la pratique sont : la demande, la criticité logistique, les

coûts des pièces. Le tableau.1.1 résume les différentes contributions scientifiques pour fin

d’applications industrielles.

Référence Critères utilisés Outils

utilisés

Industrie

Persson et Saccani

Syntetos et al.

Boylan et al.

Cavalieri et al.

Porras et Dekker

Eaves et Kingsman

Gajpal et al

Williams

Gelders et Van Looy

2009

2009

2008

2008

2008

2004

1994

1984

1978

LCA ; Profil de la demande ; Cout de la PdR; Localisation du fourn.

Féquence de la demande

Variabilité et fréquence de la demande

Spécifité des PdR, Variab. de la demande, Prix, criticité, Loc.Fourn.

Variab. de la demande, Prix, criticité de la piece, Loc.Fourn.

Variab. de la demande, Prix, criticité, Loc.Fourn.

Criticité de la pièce

Profil de la demande

Profil de la demande

MDS

ABC

ABC

AHP

CdC

ABC

AHP

VdP

ABC

Lourde

Électronique

Chimique et Aérospas.

GE manufacturière

Raffinage

Aviation civile

GE manufacturière

PME

Pétrochinmique

Légende : MDS : Modèle de simulation ; CdC : Cotes de Criticites; VdP : Variance partition.

Tableau.1.1. Classification des pièces de rechange pour des applications industrielles

1.3.4. Littérature sur la prévision de la demande des pièces de rechanges

Dans la pratique, il est rare que les informations futures soient connues avec exactitude, elles ne

sont ni parfaites ni complètes. La nature des données qui sont à la disposition du décideur

constituent un critère important pour la détermination du modèle et la résolution du problème.

Autrement dit, le modèle décisionnel dépendra de la nature des informations qu’on dispose, des

19

compétences et de l’expérience en matière des prévisions. Notons qu’une erreur de prévision

conduit sans doute à une mauvaise décision. Alors comment estimer les valeurs futures ?

Si les probabilités des fonctions ne peuvent pas être estimées quantitativement et qualitativement,

le modèle est en univers incertain. De même si une partie des décisions sont contrôlées par des

compétiteurs conscients de leurs actions, le système est dans un univers hostile. Ces problèmes

relèvent de la théorie des jeux (Von Neumann et Morgenstern (2007)), et ils ne sont pas couverts

dans notre étude.

Sinon, l’absence d'historique quantitatif permet un premier recours, l’avis des experts, et c’est la

méthode Delphi qui est fréquemment utilisée.

Par contre, si on réussit à estimer ces coefficients de manière quantitative (observations passées,

similaires, benchmark) et/ou qualitative (avis d’expert, connaissance de l’environnement), ce

modèle est en univers risqué. Pour un coefficient donné (la demande par exemple), le processus

stochastique engendré suit une distribution de probabilité P. L’espace d’états du processus est

l’ensemble des valeurs de la variable aléatoire dans le temps. Ce processus aléatoire représente une

évolution, discrète ou continue dans le temps.

À partir des caractéristiques du processus stochastique sous-jacent, Cavalieri et al (2008)

distinguent deux catégories de modèles de prévisions : modèles de prévisions basées sur les séries

temporelles et modèles de prévisions basées sur la fiabilité. La première catégorie fait partie de la

science des prévisionnistes, la plupart des modèles sont considérés comme une réalisation d’un

processus stochastique en temps discret. La deuxième, dont la consommation est estimée à partir

de la loi de dégradation de l’équipement, est considérée comme un processus stochastique évoluant

en temps continue.

NB : Lorsque l’évolution du système dans le temps s’effectue d’une façon discrète, on peut

généralement résoudre le problème à l’aide de la programmation markovienne. Yanagi et al. (1997)

modélisent également le problème en tant que processus markovien multidimensionnel.

1.3.4.1.Prévision basée sur les séries temporelles

Depuis des décennies, les entreprises manufacturières trouvent des difficultés à gérer l'incertitude

de la demande de pièces de rechange, ce qui a conduit au développement de nombreuses méthodes

de prévision en utilisant des techniques statistiques qui requièrent un historique, c’est à dire, une

série temporelle dans le jargon des prévisionnistes.

En gestion des approvisionnements, l’étude des séries temporelles a pour objectif d’établir des

prévisions de la demande via des techniques permettant de prévoir les valeurs la demande future à

partir des valeurs déjà observées. Elle permet d’analyser, de décrire et d’expliquer un phénomène

au cours du temps et d’en tirer des conséquences pour des prises de décision. Elle peut être

représentée par l’évolution à long terme des valeurs observées (modèle de Croston (1972) et

Croston modifiée). Elle peut faire apparaître une tendance (à la hausse ou à la baisse) qui traduit le

20

comportement moyen de la série (la régression, la moyenne mobile double et le lissage exponentiel

double). Le comportement de la série peut refléter des variations saisonnières, plus au moins

régulières, à des intervalles fixes ou variables, ou correspondre à des fluctuations aléatoires ou à

des évènements accidentels, voire des phénomènes rares (méthode de Winters (1976)).

Par ailleurs, les compétences et l’expérience en matière de prévision sont relativement longues à

acquérir. Même si une partie de la science des prévisionnistes est encodée dans des logiciels

spécialisés, encore faut-il savoir sélectionner le bon modèle mathématique en fonction de la

typologie de différentes demandes : demande stable, saisonnière, erratique, intermittente, etc.

Plusieurs techniques de prévisions sont maintenant encodées dans les logiciels spécialisés et ont

conquis certains ERP et progiciels de gestion. OMRS (http://www.ormstoday.org

/ormssurveys.html) présente un panel de logiciels de prévision disponible sur le marché.

En outre, des études ont permis de tester la précision et la robustesse des méthodes des différents

modèles de prévisions. Une méthode jugée bonne pour une série temporelle donnée ne garantit pas

toujours une bonne estimation pour différentes instances. La robustesse des méthodes est toujours

en question. La méthode de M1 Forcasting Method est réputée la méthode de comparaison (entre

méthodes de prévision) la plus utilisée par les chercheurs, elle a été employée pour la première fois

par Makridakis et al. (1982) et utilisée dans la plupart des études comparatives des méthodes de

prévision.

Une étude comparative a permis aussi à Willemain et al. (1994) de vérifier la robustesse du modèle

de Croston (1972) en utilisant des données réelles. Ces conclusions ont été même constatées chez

Johnston et Boylan (1996). Ces derniers consolident l’idée que le modèle de Croston (1972) donne

toujours de bonnes estimations par rapport à la méthode du lissage exponentiel lorsque la demande

est intermittente avec un temps moyen d’inter-arrivées des demandes est supérieur à 1.25.

En gestion des pièces de rechange, Syntetos et Boylan (2001) ont montré que la méthode de

Croston (1972) conduit parfois à des estimations biaisées de la demande. Pour surmonter les

faiblesses constatées, ils ont proposé une version modifiée du modèle. La performance du modèle

proposé est basée sur l’estimé de la déviation du niveau de service enregistré par apport à un

objectif de service donné.

Quelques années après, Syntetos et Boylan (2005) ont effectué une étude comparative entre les

méthodes de prévisions les plus populaires. L’exercice de simulation réalisé sur 3000 références

de pièces de rechange de l'industrie automobile avec « demande intermittente » montre que le

modèle de Syntetos et Boylan (2001) modifié est le mieux adapté. Il donne de meilleures

estimations.

1.3.4.2.Prévision basée sur la fiabilité

D’après la norme NF X 06–501, la fiabilité est définie par « la caractéristique d’un dispositif

exprimée par la probabilité que ce dispositif accomplisse une fonction requise dans des conditions

21

d’utilisation données et pour une période de temps déterminée ». La transition d’un état à un autre

s’effectue selon une loi de probabilité connue, partiellement connue ou complètement inconnue.

D’une manière générale, on mesure la durée de vie d’un système par le nombre d’heures durant

lesquelles il a effectivement fonctionné. La durée de mission du système est une variable aléatoire

non négative à laquelle nous pouvons associer une fonction de densité qui est exprimée en termes

de temps, de nombre des cycles (appareil automatique), de distance parcourue (appareil roulant) et

de tonnage produit (équipement de production).

La loi de dégradation de l’équipement, qui est caractérisée par sa fiabilité, sa probabilité de

défaillance, sa fonction de densité ou par son taux de panne, est déterminée à partir des

observations passées, des tests du constructeur, des benchmark de références, etc. Généralement,

les durées de vie observées ont de sources multiples (historiques des pannes, Banque de données

ou REX). L’analyse des données de survie s’effectue au moyen de plusieurs distributions des

durées de vie (ex.de lois : exponentielle, Weibull, Weibull mixte, lognormale, normale, gamma,

logistique, log-logistique, Gumbel, Bayésien-Weibull, modes de défaillance concurrents, etc.).

Plusieurs logiciels d’analyses sont disponibles sur le marché pour permettre de déterminer la loi de

dégradation du système, ils sont souvent munis d’outils performant permettant des analyses plus

approfondies (plans d'essais de fiabilité, analyse des données de dégradation, analyse des données

non-paramétriques, analyse des données de garantie, l'analyse des données issues d'évènements

récurrents, etc.) et la communication avec les interfaces du projets (utilitaires pour des courbes 3D,

importation des données issues de bases de données externes, filtre d'analyse des données, etc.).

La Figure 1.5 représente la courbe théorique du taux de panne, c’est une allure à laquelle on associe

la métaphore de la baignoire. Cette courbe regroupe les trois phases du cycle de vie de

l’équipement, voire, la phase de déverminage (rodage), phase de défaillance aléatoire (maturité) et

la phase de vieillissement (tendance à la fin de vie).

Figure.1.5. Allure du taux de panne

vie utile

Défaillance aléatoire Vieillissement

Action de maintenance

Taux de panne

Temps

Déverminage

22

La première phase est caractérisée par des défaillances, plus au moins fréquentes, dues

généralement à des erreurs de conception, d’ajustement et du rodage des composants que

constituent l’équipement. Chez la plupart des constructeurs, le rodage s’effectue avant même le

lancement de l’équipement sur le marché. Dans la plupart des cas, cette période est couverte par la

garantie du constructeur. Des clauses de flexibilité sont souvent offertes (services après-vente) pour

la maintenance, les pièces de rechange, l’assistance technique, etc. L’utilisateur est amené à

maîtriser cette phase pour bien gérer les installations à coûts minima.

La deuxième phase est la période de maturité. L’équipement après rodage, dont tous les défauts

sont éliminés, est adapté à son environnement opérationnel. Les défaillances sont de nature

accidentelle et de causes exogènes (erreur humaine, propagation des sollicitations externes, etc.).

L’équipement dans cette phase est désormais sous maîtrise statistique. Cette phase est caractérisée

par un taux de panne constant, la maintenance préventive du système durant cette période n’est pas

nécessaire.

La dernière phase représente la période de vieillesse de l’équipement, c’est-à-dire, après un certain

âge ou un temps d’usage, ce dernier est caractérisé par un taux de panne croissant. Des actions de

maintenance peuvent être envisagées pour prolonger la durée de vie du système jusqu’à date à le

surclasser, ou bien le revaloriser ou le revendre selon l’opportunité.

Rappelons que l’une des préoccupations de la maintenance est l’amélioration constante de la

fiabilité de l’équipement. Cette amélioration peut être aussi bien effectuée en agissant sur sa

technologie ou en agençant les composants ou modules de manière à les rendre plus fiables par

l’utilisation des redondances qui peuvent prendre plusieurs formes :

- Redondances actives par la mise en parallèle des éléments de l’équipement.

- Redondance passives ou stand-by par la mise en parallèle des éléments de l’équipement.

- Redondance majoritaire, appelé aussi k parmi n, dont au moins la majorité des éléments (en

nombre de k) est en état de fonctionnement.

Alors, pour une structure donnée, la criticité d’un composant dépend de la fiabilité du composant

et de comment il est agencé dans la structure du système (équipement), autrement dit, de comment

il impact la fiabilité totale.

Le Facteur d’Importance Marginale MIF- Marginal Importance Factor, parfois appelé, facteur

d'importance de Birnbaum (1968) permet de déterminer le composant qui satisfait la relation de

Dutuit et al. (2000), équation (1.1) :

𝑀𝐼𝐹 (𝑠

𝑖) =

𝜕𝑅𝑆𝜕𝑅𝑖

(1.2)

𝑅𝑆 : La fiabilité du système

𝑅𝑖: La fiabilité du composant i

23

Plusieurs méthodes de mesures du MIF sont publiées dans Rebaiaia et al. (2015) et Rebaiaia et al.

(2016).

Si à chaque défaillance d’un composant est associée une valeur économique, un impact (dû à

l’indisponibilité, au coût de maintenance, à la sûreté des installations, à la sécurité des personnes,

à l’environnement, etc.), la fiabilité du composant ne sera plus le critère qui détermine la criticité

mais plutôt la probabilité d’occurrence de l’évènement y associé. Cela nous amène aux critères de

classification évoqués dans la section.1.2.3, parmi lesquels nous pouvons citer : les coûts de la

pièce, de la maintenance, du stockage et de la commande, les conditions de stockage (périssabilité),

l’obsolescence, la sécurité, et l’environnement, etc.

Notons aussi qu’est considéré critère de classification tout élément pris en compte et intégré dans

la conception d’un équipement afin de faciliter sa maintenance. L’interchangeabilité des pièces et

modules est un critère de maintenabilité, leur disponibilité relève à la logistique de la maintenance.

Le critère logistique dénote la difficulté de mettre à la disposition de la maintenance les pièces de

rechange nécessaires pour des raisons géographiques (inaccessibilité des sites, manque de

plateformes logistiques, moyens de transport, etc.) ou climatiques (périodes d’inondations, de

neiges, etc.).

Aussi, l’idée de maintenir plus rapidement un équipement se matérialise par des mesures réalisées

à partir des durées d’intervention. Pour cela, « La maintenabilité est l’aptitude d’un bien à être

maintenu ou rétabli dans un état où il peut accomplir une fonction requise, lorsque la maintenance

est accomplie dans des conditions données, en utilisant des procédures et des moyens prescrits »

AFNOR. Cela peut être interprété par la probabilité de rétablir un système dans des conditions de

fonctionnement données, dans un temps imparti. On distingue : La maintenabilité intrinsèque : elle

est « construite » dès la phase de conception à partir d’un cahier des charges prenant en compte les

critères de maintenabilité. (Modularité, accessibilité, etc.) ; la maintenabilité prévisionnelle, elle

est également « construite », mais à partir de l’objectif de disponibilité ; la maintenabilité

opérationnelle, elle est mesurée à partir des historiques d’interventions.

Si le processus stochastique décrivant la défaillance (fiabilité) et la réparation (maintenabilité) de

l’équipement demeure inchangé dans le temps, on peut étudier le système dans un régime

permanent afin de déterminer la proportion de temps de bon fonctionnement, appelée : disponibilité

stationnaire, qui dépend essentiellement de la fiabilité et de la maintenabilité du système. Lorsque

les contraintes logistiques s’imposent, on peut parler de la disponibilité opérationnelle.

Selon la norme NF EN 13306 : « La disponibilité est l’aptitude d’un bien à être en état d’accomplir

une fonction requise dans des conditions données, à un instant donné ou durant un intervalle de

temps donné, en supposant que la fourniture des moyens extérieurs est assurée. Les moyens autres

que la logistique de maintenance (personnel, documentation, rechanges, etc.) n’affecte pas la

disponibilité d’un bien ».

Donc, à un instant donné, la disponibilité est la probabilité que le système soit en opération. La

remise en opération d’un équipement et donc sa disponibilité dépend fortement de la quantité des

24

pièces de rechange à réapprovisionner (stocker ou commander). Cette quantité, qui est en réalité,

le nombre moyen de renouvellement sur un horizon de planification donné, résulte essentiellement

de la stratégie de maintenance adoptée.

1.3.5. Littérature sur les stratégies de maintenance

Une organisation qui ne peut mettre en œuvre une stratégie de maintenance efficace se trouve soit

dans l’excès avec des coûts fixes élevés, soit dans la perte. Trouver un compromis, toujours

difficile, entre les coûts engendrés par la perte de production et/ou d’opportunité, et les dépenses

en maintenance permet de gérer l’appareil de production de manière efficace et profitable.

L’objectif principal est de garantir la disponibilité requise à un coût total minimal.

Pour un système donné (composant, module, équipement, chaîne de production, etc.), la politique

optimale de maintenance consiste à trouver le calendrier d’interventions préventives qui

minimisent le coût total dans un horizon de planification (Barlow et Proschan (1975)). La

détermination des rechanges nécessaires à une politique de maintenance est au cœur de la

performance de l’entreprise.

Les actions de maintenance à entreprendre sur un équipement peuvent prendre deux formes, soit

réactives, les interventions se font qu’après constatation d’une défaillance, soit proactives, les

interventions se font selon un plan bien défini. Ce sont les deux formes de stratégie que nous allons

aborder brièvement :

1.3.5.1. Stratégie de remplacement à la panne

Cette stratégie consiste à effectuer des remplacements à la panne. Elle est fortement suggérée

lorsque les défaillances sont purement aléatoires (taux de panne constant) ou lorsque les coûts de

remplacements préventifs sont élevés par rapport aux coûts engendrés par la défaillance.

Pour une distribution donnée, le nombre moyen de remplacement à la panne, sur un horizon de

planification, vérifie l’équation fondamentale de renouvellement (Barlow et Proschan (1975)).

L’obtention d’une solution analytique de la fonction de renouvellement de Barlow et Proschan

(1975) est généralement difficile. Excepté la distribution exponentielle et gamma d’ordre 2, des

procédures numériques de calcul ont été largement proposées dans la littérature (Cléroux et.

McConalogue (1976), Rebaiaia et al. (2016)).

1.3.5.2.Stratégie de remplacement périodique

- Stratégie de type âge : Cette stratégie consiste à effectuer des remplacements à la

panne ou après T unités de temps sans panne.

25

- Stratégie de type bloc : Cette stratégie suggère d’effectuer des remplacements à

des instants fixes et à la panne.

- Stratégie d’inspection : L’inspection s’effectue à des périodicités fixes. Si une

défaillance est détectée (après inspection), une action de maintenance sera

entreprise pour remettre en état de fonctionnement le composant défectueux. Cette

stratégie est suggérée pour des applications spécifiques dont la défaillance du

système n’est connue qu’après inspection. Dans plusieurs contextes, il n’existe

aucun symptôme indiquant la défaillance du composant.

L’obtention de la politique optimale est difficile voire impossible analytiquement. Sauf, si le

modèle est sous certaines hypothèses de délais (de détection, de diagnostic, de pose et dépose, de

démontage et de démontage, de remplacement, d’attente, etc.) négligeables, de différents coûts

supposés connus, et de processus stochastique engendrant les défaillances supposé connu et

demeure inchangé dans le temps. Le coût total moyen, dans un régime permanent, pour différentes

stratégies de maintenance, est donné par Barlow et Proschan (1975).

En général, une solution peut être envisagée dans le domaine étudié si le taux de panne est une

fonction croissante. Rebaiaia et al. (2015-bis) et Rebaiaia et al. (2016) proposent des

approximations et des procédures numériques pour calculer la politique optimale de type Bloc et

de type âge pour différentes distributions de durée de vie. Une étude comparative des deux

stratégies est effectuée.

Pour des distributions quelconques à taux de panne croissant, Chelbi (1996) propose une procédure

itérative permettant de déterminer, dans un régime permanent, le calendrier d’inspections optimales

qui minimisent le coût total. C’est une généralisation de la procédure de Barlow et Proschan (1975)

qui suggèrent une procédure de génération des instants d’inspection pour une classe particulière de

fonction de densité dites PF2- Polya Frequency functions of order 2.

Notons que les politiques vues jusqu’à présent supposent que les ressources pour la maintenance

et les rechanges associées sont disponibles, ce qui est moins réaliste dans la réalité des industriels.

Cela nous conduit à trouver les politiques optimales de contrôle des réapprovisionnements des

pièces de rechange en jumelant stratégie de maintenance et besoins en rechanges. Sujet que nous

abordons dans la section suivante.

1.3.6. Littérature sur la Planification et contrôle des inventaires des pièces de rechange

La problématique de planification et contrôle des pièces de rechange a fait l’objet de plusieurs

contributions dans la littérature. Plusieurs modèles décisionnels ont été proposés pour

l’identification, la planification et contrôle des stocks de pièces de rechange pour des systèmes

assujettis à des stratégies de remplacements préventifs et correctifs en tenant compte des aléas

d’approvisionnement, du service requis et des contraintes budgétaires. Ces méthodes

d’approvisionnements dépendent de plusieurs facteurs influant la décision du gestionnaire.

26

La littérature scientifique est riche de modèles qui tiennent compte totalement ou partiellement des

paramètres de gestion, exemple : nombre de références à gérer (un seul composant, multi-

composant) (Ebeling (1991), Rustenburg (2000), (Sherbrooke (2004)), du genre de pièces

(périssables, à détérioration, etc.) (Schmidt et Nahmias (1985), Padmanabhan et Vrat (1995), Goyal

et Giri (2001)), de la typologie de la demande (erratique, saisonnière, intermittente, etc.) (Syntetos

et Boylan (2001), Syntetos et Boylan (2005)), de l’évolution du système (statique ou dynamique)

(Harris et al (1912), Wagner et Whitin (1958)), de la nature des commandes acceptées par les

fournisseurs (sans contraintes de quantité, commandes regroupées, quantité minimale, taille des

paquets fixe..), de la nature des prix (prix fixes, escomptes de quantité, bas prix temporaires), de la

nature du processus de la demande (déterministe ou aléatoire) (Nahmias et Rivera (1976), Schaefer

(1989), Mabini et al. (1992)), de la capacité des ressources (limitée ou illimitée) (Sherbrooke

(1968), Diaz et Fu (1997), Gross et Harris (2003), Graves (1985)), de la nature des sources

d'approvisionnement (source unique, sources multiples, partenaire commercial, alliance

stratégique) (Muckstadt (1973)), du niveau de couverture (centralisé ou non , mono-échelon, multi-

échelon) (Sherbrooke (1968), Slay (1984), Graves (1985), Simpson (1970), Lee et Moinzadeh

(1987)) et de la nature du service adoptée par l’organisation (disponibilité maximale, taux de

remplissage maximal, le temps d’attente minimal, etc.) (Kranenburg (2006)).

1.3.6.1.Politiques de pilotage et contrôle des inventaires des pièces de rechange

Nous avons vu dans la section.1.2.3 que les coefficients de réapprovisionnement (la demande, le

délai de livraison, les coûts, etc.) sont rarement connus avec certitude. Pour pallier à ces différentes

fluctuations, la pratique courante est de conserver un stock de sécurité et mettre en place un système

de contrôle qui suit l’évolution des stocks et qui gère les réapprovisionnements. Les stratégies de

contrôle des inventaires des pièces de rechange dépendent du processus de pilotage, c.-à-d., de

comment l’information est enregistrée et communiquée à travers le système, sur laquelle les

décisions sur les paramètres d’approvisionnement sont prises et exécutées. L’émergence des

systèmes ERP, particulièrement les modules de gestion de maintenance assistée par ordinateur

(GMAO), ont contribué efficacement à l’amélioration des processus d’enregistrement, de

traitement, d’archivage et d’échange de l’information requise pour la prise de décision, pas

seulement au niveau des services de maintenance, mais aussi avec les interfaces des autres

fonctions de l’entreprise (finances, achat et approvisionnement, production, etc.).

1.3.6.1.1. Modèles classiques

Comme nous l’avons mentionné dans la section 1.2.4, la nature des données qui sont à la

disposition du gestionnaire constitue un critère important pour la détermination du modèle

décisionnel et la résolution du problème. Dans bien des cas de consommations jugées régulières,

telle que, les fournitures et les pièces de consommation courantes, et des besoins de la maintenance

27

préventive, la demande peut être estimée facilement. Pour cela, le gestionnaire possède toutes les

informations requises sur un horizon de temps suffisamment important alors que le système étudié

peut s’adapter à cet univers déterministe ce qui permet de planifier le juste nécessaire. La méthode

la plus simple et la moins réaliste est connue par la « Quantité Économique à Commander (QEC)

». Le profil de la consommation et du délai de livraison sont connus et demeurent inchangeables le

long de l’horizon de planification. Le modèle mathématique décrivant l’équilibre des coûts est

connu par la formule de Wilson (Harris et al (1912)). C’est une pondération des coûts de stockage

et des coûts de commande.

Lorsque les coefficients du modèle sont déterministes mais varient avec le temps, on peut gérer les

stocks avec une certaine efficacité tout en faisant varier les commandes. Wagner et Whitin (1958)

proposent un modèle permettant de retrouver des règles de décision pour ce genre de systèmes de

gestion des réapprovisionnements à l’aide de la programmation dynamique (Bellman (1954)). Dans

les problèmes décisionnels dynamiques, nous nous intéressons beaucoup plus à des plans optimaux

sur un horizon de planification, les décisions peuvent être influencées par des décisions passées ou

par les paramètres mis-à-jour au fur et à mesure de l’évolution du système dans le temps.

Quant à des variations aléatoires, on a deux types de systèmes de gestion des réapprovisionnements

: les systèmes à transactions continues et les systèmes à revues périodiques. Le premier système

consiste à effectuer le contrôle de l’état du stock (commande et réception des commandes, niveaux

du stock, etc.) en temps réel. L’implantation de ce genre du système est couteuse et requiert un

système d’information performant.

Si toutefois les organisations sont dans l’impossibilité d’installer un système à transactions

continues, soit parce que l’investissement dans tel système est dispendieux, soit pour des raisons

opérationnelles, elles se limitent à effectuer le contrôle de l’état des stocks à des périodes

prédéterminées.

Sur la base de ces deux systèmes de gestion des inventaires, les politiques de pilotage et de contrôle

que nous rencontrons dans la littérature des pièces de rechange sont caractérisées par des

recomplètements périodiques des stocks en commandant des quantités fixes ou variables. Elles

regroupent l’ensemble des politiques de contrôle des stocks classiques, notamment, la politique de

réapprovisionnement cyclique (𝑇, 𝑄), la politique de re-complétement périodique (T,S), la

politique de point de commande ROP-Reorder Point (s, Q) (Wilson (1934), Scarf (1959), Karlin

(1960), Hadley et whitin) (1963) et Iglheart (1964), (s, S) (Clark et Scarf (1960) ) et (S -1, S) . Ce

dernier représente un cas particulier intéressant découlant de la politique (s, S) lorsque s = S – 1.

Sherbrooke (1968), Gross et Harris (1973), Buzacott et Shanthikumar (1993) s’intéressaient à ces

deux dernières politiques pour décrire une politique de stock basée sur les files d’attente.

Pour plus de détails sur les politiques de contrôle des stocks, une bonne couverture est donnée par

Axsäter (2015).

28

1.3.6.1.2. Modèle jumelée (stratégie de maintenance, plan de production, besoin en pièces de

rechange, etc.)

La gestion des pièces de rechange exige aussi une façon de gérer les processus, particulièrement,

l'intégration de la maintenance (Cavalieri et al. (2008)). Nous avons vue dans la section 1.2.5.2 que

les stratégies de maintenance (Barlow-Proschan (1975)) supposent que les ressources requises pour

les interventions correctives sont mises à disposition en juste à temps et la disponibilité des

ressources est supposée immédiate. L’approche classique consiste à déterminer la politique

optimale de maintenance en superposant le calcul optimal des besoins en pièces requises pour les

remplacements en utilisant les modèles classiques de gestion des stocks évoqués plus haut.

Malheureusement, cette approche ne serait valide que pour une certaine catégorie de pièces dont le

profil de la demande est assez régulier, et de coût de stockage et d’inactivité (indisponibilité)

faibles.

Pour les pièces de remplacement caractérisées par des coûts d’acquisition et de stockage très élevés,

de consommation irrégulière et erratique, voir intermittente, et de conséquence d’inactivité

onéreuse, une stratégie conjointe est fortement recommandée. L’engagement optimal des

ressources tout en prenant en compte les aléas de production, de maintenance et des

réapprovisionnements performe mieux. Des études ont montré que la prise en compte des modèles

de stocks des pièces de remplacement dans la détermination des stratégies de maintenance pour

cette catégorie aura des retombées significatives sur le budget de la maintenance. Les résultats des

simulations de Kabir et Al-Olayan (1996) indiquent clairement que la politique conjointe optimale

est plus rentable que la politique de Barlow-Proschan (1975).

Plusieurs modèles de décision permettant de calculer les quantités de pièces à réapprovisionner et

les stocks de sécurité assujettis à des stratégies de maintenance corrective et préventive ont été

proposés dans la littérature.

Michell (1962) propose un modèle qui détermine le point de commande d’une pièce de rechange

assujettis à des remplacements à la panne. L’objectif est d’instruire un compromis entre les coûts

de stockage et les coûts d’inactivité de l’équipement. Le délai de livraison est supposé connu à

l’avance. L’estimation moyenne des coûts de pénurie et de stockage est une fonction de la fiabilité

de l’équipement. Ce modèle s’adapte mieux à un système qui atteint la phase de maturité (taux de

panne constant), de criticité élevé dont le coût d’inactivité et de stockage très élevés, et dont le coût

de commande est faible ou négligeable par rapport au prix de la pièce de rechange.

Une extension du modèle de Michell (1962) a été initiée par Dohi et al. (1996). Ils proposent une

série de modèles qui prend en considération les besoins en pièces à la panne et pour les

interventions préventives. Une commande d’urgence pourrait être lancée si, au moment de la

panne, le stock est épuisé. Plusieurs scénarios ont été envisagés pour déterminer le point de

commande et les intervalles de temps d’intervention préventive, chaque scénario est délimité par

une durée moyenne du cycle correspondant au comportement du système dans cet intervalle. La

politique optimale (temps de passation de commande, l’intervalle des remplacements préventifs)

29

est celle qui minimise le coût total par unité de temps, qui est l’empilement des coûts de stockage,

de commande ordinaire, de commande d’urgence et de pénurie. Ce modèle est bien adapté au

système à taux de panne variable. L’option d’urgence est justifiée car le taux de panne varie en

fonction de temps. Dans le contexte réel, la période infantile est généralement supportée par la

garantie du constructeur, par conséquent, la phase de vieillissement nécessite des intervalles

variables pour maîtriser le système, sinon, des pannes peuvent survenir entre intervalles fixes. Une

stratégie de maintenance de type âge serait mieux adaptée (Armstrong and Atkins (1996)).

D’autre modèles décisionnels intégrants conjointement les stratégies de maintenance et les

politiques de stocks des pièces de rechange ont été proposés dans la littérature et découlent des

deux modèles précédents (Mehrez et Stulman (1983), Acharya et al (1986), Kabir et Al-Olayan

(1994), Kabir et Al-Olayan (1996), Armstrong et Atkins (1996), Diallo et al. (2008)) ainsi que le

triplet stock des pièces de rechange-maintenance-production (Rausch et Liao (2010)). Pour des fins

de faciliter les calculs, la plupart de ces modèles supposent que la périodicité de remplacement

préventif est multiple du délai de recomplètement périodique des stocks des pièces de rechange.

Ces modèles considèrent que l’équipement possède un seul composant critique et gèrent une seule

catégorie de pièces consommables (pièces non-réparables).

1.3.6.1.3. Modèles basées sur la théorie les files d’attente

Tous les modèles d’approvisionnement par lot ou unitaire vus jusqu’ à présent utilisent des

politiques de réapprovisionnement classiques. L’estimation des besoins est basée sur la loi de

dégradation du composant en supposant que la pièce défaillante n’est pas réparable

(consommable), et le modèles de décision ne considère qu’un seul composant jugé critique.

Sachant que la réalité industrielle est beaucoup plus compliquée, la majorité des défis des

entreprises est dans la gestion des pièces réparables qui sont à la fois, complexes, coûteuses et

difficile à gérer.

Complexes, car en réalité, l’équipement est composé de plusieurs éléments interdépendants et

agencée en construisant une structure, donc, il comporte un ou plusieurs composants pouvant

entraîner sa défaillance.

Couteuses dans le sens où le recomplètement du stock qui s’effectue à l’unité (politique (S-1, S)),

lorsque le coût de commande de ce type de réapprovisionnement est généralement négligeable par

rapport aux coûts d’achats et de stockage et de délai d’approvisionnement qui s’échelonne sur une

longue période. La gestion de cette catégorie de pièces de rechange nécessite des conditions de

stockage, des moyens de transport, de pose et dépose très particuliers.

Difficile à gérer, car le contrôle de l’inventaire des pièces diffère des approches classiques (point

de commande), il utilise la théorie des files d’attente pour décrire le processus de défaillance et de

réparation.

30

Schématiquement, le fonctionnement des processus est représenté par une boucle de réparation et

de défaillance. Si une pièce tombe en panne, elle est remplacée immédiatement par une pièce de

rechange prête à l’emploi si disponible en stock. La pièce défaillante est acheminée vers l’atelier

de réparation pour la remettre en état de fonctionnement. Ces modèles sont difficiles à résoudre à

cause de la complexité du réseau et de la prise en compte du phénomène d’attente.

La littérature sur les systèmes de gestion des pièces de rechange réparables est vaste. L’une des

premières parutions dans ce domaine est le modèle METRIC, Multi-Echelon Technique for

Recoverable Item Control, initié par Sherbrooke (1968). Le modèle METRIC considère un système

d'inventaire des pièces réparables à deux échelons. Il traite une gamme de composants de taille et

de capacité de station de réparation infinies. Le modèle mathématique décrivant le processus de

défaillance et de réparation des pièces utilise la théorie des files d’attente. Les arrivées des pièces

défectueuses aux stations de réparation suivent une distribution de Poisson à paramètre constant.

Le délai de réparation est une variable aléatoire qui suit une distribution générale. Sherbrooke

(1968) exploite le théorème de Palm (1938) pour donner une approximation à la convolution de la

boucle de défaillance/réparation. L’objectif est de minimiser la somme totale des Backorders

(quantités manquantes ou en souffrance) dans les sites locaux soumis à une contrainte budgétaire.

Toutefois l’approche par item suppose que le niveau des stocks pour chaque référence des pièces

est dimensionné indépendamment et que tous les paramètres des stocks partiels sont considérés

mutuellement exclusifs. L’importance de considérer tous les composants du système dans le

modèle de décision permet au gestionnaire de prendre des décisions à la lumière de la performance

globale du réseau et non selon des performances en silos. Cette approche est connue sous le nom «

approche systémique », elle a été officiellement présentée par Sherbrooke (2004), qui a démontré

à travers plusieurs études de cas, qu'une réduction significative des coûts peut être obtenue en

appliquant une approche systémique (multi-composant) au lieu d'une approche mono-composant.

Ce constat a été consolidé auparavant par d'autres chercheurs tels que Thonemann et al. (2002), et

Rustenburg et al. (2003).

Avant cela, Muckstadt (1973) a proposé un modèle intéressant, le MOD-METRIC, qui est en réalité

une extension du modèle METRIC de Sherbrooke (1968), le modèle tient compte de la structure

hiérarchique des éléments de l’équipement multi-indenture structure. Le terme indenture désigne

le niveau où se trouvent les sous-ensembles et les composants élémentaires dans l’arborescence de

l’équipement. Le modèle décrit la relation logistique entre l’équipement comme un « ensemble »

et ses « sous-ensembles » (modules ou pièces élémentaires). Le modèle est utilisé pour déterminer

le niveau des stocks (équipements, modules, pièces élémentaires) qui minimise le total des

Backorders sous contrainte de budget. La résolution de tel modèle devient de plus en plus

compliquée à chaque fois que d’autres échelons et indentures sont pris en compte. Muckstadt

(1978) utilise l’Optimisation Lagrangienne pour le cas de deux intentures et de configuration

logistique à deux échelons. Muckstadt (1979) étend le modèle METRIC à trois-échelons en

considérant uniquement des remplacements modulaires (une seule indenture).

31

Slay (1984) propose un modèle d’approximation appelé VARI-METRIC en supposant que le

nombre moyen des pièces en réparation égale à sa variance correspondant à une distribution

Binomiale négative.

Graves (1985) utilise la même approximation pour élaborer un modèle approximatif à deux

échelons. La distribution résultante est la convolution de la distribution des backorders du stock

central et la distribution des demandes des pièces pour chaque région en utilisant le Two-Moment

Fits. Elle dépend du rapport entre la variance et la moyenne de la distribution résultante. Si le

rapport est inférieur à 1, le processus résultant est considéré de distribution binomiale négative. Si

le rapport égale à 1, le processus stochastique résultant est un processus Poisson à paramètre

constant égale au premier moment, voire l’espérance mathématique du processus conjoint.

Rustenburg et al. (2003) propose une procédure d’évaluation exacte du VARI-METRIC, introduite

déjà par Graves (1985).

Pour le même modèle multi-échelon, Van Houtum et al. (2015) propose une extension du modèle

de Graves en utilisant des approximations basées sur une mixture de distributions d’Adan et al.

(1996) (Binomiale, Poisson, Binomiale négative et Géométrique). La distribution résultante est la

convolution de la distribution des backorders du stock central et la distribution des demandes des

pièces pour chaque région en utilisant le Two-Moment Fits. Elle dépend du coefficient de variation

qui peut prendre de différentes valeurs.

Rappelons que le modèle METRIC a été conçu pour des applications militaires, il est bien adapté

à des organisations comportant des stations de réparation à capacité illimitée et des stocks selon

une configuration mono ou multi-échelon permettant de gérer efficacement l’ensemble de

portefeuilles des pièces de rechange associés aux opération de maintenance en fournissant le plus

rapidement possible les rechanges nécessaires. Atteindre des performances élevées requiert un bon

design du réseau. Cette approche a franchi les frontières des militaires et conquit le domaine

maritime (Yang et al. (2012)) et l’aviation civile (Sun et Zuo (2010) Perlman et Levner (2010),

Wang and Ma (2011), Lu et Yang (2012), Chenyu et al. (2012), Jaarsveld et Dollevoet (2012)).

Ces travaux font référence à plusieurs extensions du modèle METRIC bien adaptées au contexte

de l’aviation civile, ils ont exploité l’évolution informatique pour présenter des modèles

performants et des procédures d’évaluations approximatives très intéressantes.

Caglar et al. (2004) ont analysé un système de pièces de rechange à deux échelons et ont développé

une heuristique pour réduire au minimum, les coûts de possession des stocks soumis à des

contraintes de temps d'attente.).

Or, pour certaines applications industrielles, le modèle METRIC et ses extensions, avec

l’hypothèse de stations de réparation à capacité illimitée et de taille de réseaux d’équipement

infinie, peuvent engendrer des erreurs d’estimation des paramètres du modèle. Gross et Ince (1978),

Gross (1982), Ebeling (1991, 2005), Diaz et Fu (1997, 2005) ont proposé des modèles avec capacité

de réparation limitée et un réseau de population finie. Les modèles mathématiques permettent de

32

déterminer, en régime permanent, le niveau de stock de rechange et le nombre de canaux de

réparation requis pour garantir une certaine disponibilité.

Gross et Ince (1978), Gross et Hariss (1982) supposent que les variables aléatoires caractérisant le

temps inter-arrivées et le temps de réparation suivent une loi exponentielle.

Ebeling (1991, 2005) étend le modèle précédent pour le considérer dans les limites du budget.

Plusieurs extensions ont été envisagées pour traiter des cas multi-composant. Diaz et Fu (1997)

présentent plusieurs cas particuliers intéressants et proposent des modèles approximatifs pour gérer

des distributions générales du délai de réparation et des temps inter-arrivées.

Notons que la capacité limitée des ateliers de réparation engendre un phénomène d’attente pour

certaines pièces arrivantes. L’augmentation du nombre de pièce dans la file impacte la disponibilité

du réseau. Pour surmonter ce problème, deux solutions sont envisageables, soit on s’investit dans

des ressources durables, c’est à dire, ouvrir d’autres canaux, soit on a recours à des commandes

d’urgence (ressources occasionnelles, moyen de transport rapide, etc.).

1.3.6.1.4. Modèle de gestion des réapprovisionnements des pièces de rechange avec

possibilité de passer des commandes en urgence

Cette problématique a été soulevée dans la littérature scientifique traitant la gestion des stocks,

plusieurs auteurs ont développé des modèles analytiques incluant les demandes en urgence dans

les systèmes de contrôle des stocks, Gross (1963), Krishnan et Rao (1965), Tagaras, et Cohen

(1992), Dada (1992), Needham, et Evers (1998).

En gestion des pièces de rechange, l’intégration des processus d’urgence permet de réduire le risque

de rupture des stocks. Ce constat a été prouvé par plusieurs études de cas (Lee (1987), Axsäter

(1990), Sherbrooke (1992), Alfredsson et Verrijdt (1999), Kranenburg (2006), Yang et al. (2013),

Van Houtum et al. (2015). Ces derniers ont constaté que l'utilisation des commandes d’urgence

peut conduire à des réductions remarquables des commandes en souffrance –Backorders, et une

augmentation du niveau de service. Dans la plupart des études menées par ces auteurs traitant les

stocks de pièces de rechange des systèmes réparables, particulièrement Sherbrooke (1992),

Kranenburg (2006) et Van Houtum et al. (2015), stipule qu’une livraison (réparation) d’urgence

peut être modélisée comme une demande perdue, qui serait satisfaite par une autre source hors

système d’attente, autrement dit, la proportion de perte de l’ensemble des pièces défectueuses

arrivant dans le système sera traitée (réparée ou commandée) par un canal externe plus performant

mais coûteux.

La plupart des modèles de décision planifient la proportion concernée par l’urgence par différentes

approximations de probabilité de perte dans le système d’attente. Les modèles basés sur l’approche

METRIC de Sherbrooke (1968) et leurs extensions considèrent la probabilité de perte d’Erlang –B

comme la proportion de pièces susceptible d’être traitée par le biais des canaux d’urgence.

33

Si dans certains cas, les demandes en urgence ne sont pas possibles pour des raisons techniques

(ex. pièces de grande portée et de grand volume), économiques (coût prohibitif), géographique

(sites inaccessibles par le moyen d’urgence, manque de plateformes logistiques) ou climatiques

(ex. période hivernale au Québec), les échanges latéraux entre stocks de même échelon demeurent

une solutionne fiable et faisable.

1.3.6.1.5. Modèles de gestion des pièces de rechange avec possibilité de transferts latéraux

Paterson et al. (2011) propose une revue de littérature exhaustive sur les travaux traitant la gestion

des stocks avec possibilité de réapprovisionnements latéraux. Cette problématique est abordée

selon deux approches distinctes : Une approche dite Transferts latéraux d’urgence, Emergency

lateral Transshipments-ELT, et transferts latéraux préventifs, Preventive Lateral Transshipments-

PLT (Lee et al. (2007)).

La première approche (ELT) est réactive, elle répond à une actuelle rupture de stock, tandis que,

l’approche (PLT) est proactive, elle réduit le risque d'éventuelle rupture de stock. Toutes les

parutions constatent qu’une telle pratique augmente le niveau de service et réalise des économies

(Lee (1987), Axsäter (1990), Tagaras et Choen (1992), Restunburg (2000), Kranenburg (2006),

Yang et al. (2013), Costantino et al. (2013), Van Houtum et al. (2015)).

Lee (1987) fut le premier qui a élargi le modèle METRIC permettant des échanges latéraux entre

stocks de même échelon. Les stocks régionaux sont alimentés via un stock central considéré de

capacité illimitée. Il a développé des approximations permettant de calculer la proportion de la

demande parachevée par le stock en main et la proportion de la demande satisfaite par les transferts

latéraux.

Axsäter (1990) applique le modèle de Lee (1987) pour gérer le stock selon une politique de

réapprovisionnement unitaire. Le processus des arrivées des pièces suit une loi de Poisson. La

demande nette du stock régional est la somme de la demande régulière tirée par le processus de

défaillance des composants et la demande en raison de transferts latéraux.

Sherbrooke (1992) propose une technique de modélisation par simulation pour étendre son modèle

permettant des transferts latéraux. Excepté Tagaras et Dimitrios (2002), les modèles de Lee (1987),

Axsäter (1990), Sherbrooke (1992) et Wong et al. (2005) supposent que le délai pour transférer

une pièce d’un stock à l’autre est négligeable.

Axsäter (1990), Alfredsson et Verrijdt (1999), Kutanoglu, et Mahajan (2009), Yang et Dekker

(2010), révisée ensuite par Yang, Axsäter et al. (2012) et Yang et al (2013) considèrent un système

d'inventaire à deux échelons, les demandes sont satisfaites soit par une livraison immédiate, soit en

attente des pièces en transit, soit à partir de transferts latéraux. Ils ont développé des procédures

itératives qui tiennent compte des possibilités d’échanges latérales entre stocks de même échelon

pour calculer les proportions de demande à satisfaire. Ils ont (tous) observé que la distribution

34

exponentielle du délai de réparation (livraison) par échange latérale n’a pas d’impact sur les

résultats finaux et par conséquent sur la performance globale du réseau.

Yang et Dekker (2010), révisée ensuite par Yang, Axsäter, et al. (2012) et Yang et al. (2013), a

étendu le modèle de Kutanoglu, et Mahajan (2009), ils proposent un modèle de décision sujet à un

service immédiat et à un service différé. Dans leur modèle, le stock central est considéré de capacité

illimitée, le temps requis pour transporter des pièces du stock central vers les stocks régionaux est

supposé déterministe.

1.4. Objectifs de la maîtrise

L’objectif général de la maitrise est de développer une série de modèles décisionnels pour la gestion

des pièces de rechange pour des parcs d’équipements multi-composant critiques. Ces modèles sont

adaptés à une organisation disposant d’un réseau d’équipements, de canaux de transport, de stocks

de pièces de rechange et de plusieurs stations de réparation. Nous allons considérer tout au long de

ce mémoire que le système de gestion des pièces de rechange est contrôlé par plusieurs

organisations formant un réseau logistique mono ou multi-échelon flexible, c’est-à-dire, un

système de gestion qui permet d’effectuer des demandes en urgence à un échelon supérieur et des

échanges des ressources et de la matière entre sites de même échelon.

Les modèles, qui sont présentés dans les sections suivantes, permettent de contribuer de façon

significative à l’élargissement des modèles existants, en particulier :

- le développement de modèles de gestion des pièces de rechange pour des parcs

d’équipements multi-composant critiques ;

- l’élaboration de modèles approximatifs permettant de gérer des parcs de grandes tailles;

- la proposition de modèles adaptés à des organisations qui peuvent s’intéresser à d’autres

mesures de performances ;

- la formulation de modèles avec possibilités de passer des commandes en urgence avec délai

d’attente dans la file;

- la conception de modèles multi-échelon génériques et avec transfert latéraux, et enfin;

- plusieurs modèles mathématiques, des algorithmes, des procédures logicielles et des

applications numériques sont dédiés à chaque modèle.

1.4.1. Modèle pour la gestion des réseaux d’équipements homogènes multi-composant et des

réseaux de grandes tailles

Nous avons vu dans les sections précédentes que la majorité des modèles décisionnels traite les

différentes références de pièces de façon indépendante et suppose qu’ils sont mutuellement

exclusifs. La diversité et la grande volumétrie des pièces posent toujours des problèmes de capacité

de traitement au niveau calcul et engendre souvent des complexités qui explosent

35

exponentiellement avec la taille et le nombre des références. La mutualisation des références, des

activités et des ressources s’avère-t-elle une approche bien profitable et performante ? Est-il

possible de proposer des modèles approximatifs permettant de gérer des réseaux de grande taille ?

Évidemment oui ! La 1ère raison est d’ordre organisationnel. Intuitivement, les diverses références

vont partager les mêmes ressources de l’entreprise qui sont souvent limitées en termes de

compétences, de poids, d'espace ou de budgets disponibles. Aussi, les différents contrats offerts

par les prestataires sont, pour la plupart, des contrats de disponibilité sur l’ensemble ou une partie

des installations. Expérimentalement, les applications industrielles ont prouvé que l’approche

systémique (multi-item) engendre facilement des gains qui peuvent atteindre, dans certaines

applications industrielles, les 50% du budget par rapport à l’approche mono-item (Kranenburg

(2006)).

La complexité des modèles exacts proposés dans la littérature peut être réduite à des échelles

permettant la résolution du problème que ce soit par des approximations ou par des méthodes

heuristiques.

1.4.2. Modèles avec d’autres mesures de performance

Dans certains cas, la performance du réseau pourrait être insensible à la mesure de disponibilité

lorsque le réseau est de grande taille ou bien lors que l’organisation s’intéresse à d’autres mesures

de service telles que : le nombre de Backorders, taux de remplissage, le temps d’attente, etc.

Est-il possible de faire une transposition des modèles existants à des mesures services autre que la

disponibilité opérationnelle ?

La réponse est positive. Selon Stidham (1975), la plupart des mesures de performance découle de

la disponibilité tant que le système d’attente opère dans un régime stationnaire. L’utilisation d’une

mesure de performance donnée répond aux exigences contractuelles, elle figure souvent dans les

contrats basés sur la performance logistique –Performance based Logistics (PBL) (Kim et al

(2007)).

Aussi, cette différentiation de service nous paraît un mode de gestion très intéressant lorsque le

réseau peut être contrôlé par des organisations différentes ou, tout simplement, lorsque l’entreprise

gère une gamme d’équipements susceptibles d’engendrer des niveaux de pertes de disponibilité.

1.4.3. Modèle avec des possibilités de passer des commandes en urgence avec délai d’attente

dans la file

Les modèles publiés dans la littérature sont capables d’estimer le nombre de pièces concernés par

l’urgence en utilisant la probabilité de perte d’Erlang –B mais ils ne précisent pas à quel moment

on devrait procéder à leur commande et quelles pièces sont concernées.

36

Exiger un délai d’attente maximal dans la file avant de déclencher l’urgence permet-il

d’opérationnaliser le concept d’urgence avec aisance ?

Pour ce faire, nous pouvons étendre le modèle d’attente de Gross et Harris (1985, 2003) en

introduisant un délai d’attente maximale requis dans la file avant de procéder. En premier lieu, le

modèle est élaboré pour pouvoir gérer une seule classe de pièces (criticité égale) et peut être étendu

pour gérer une gamme de composants à criticités variables.

NB : Notre intérêt à faire des extensions aux modèles markoviens de Gross et Harris

(1985, 2003) et Ebeling (1991, 2005) répond au constat de Alfredsson et Verrijdt

(1999) qui stipulent que le système M/G/∞ est insensible aux différentes

distributions de temps de traitements (déterministes, exponentiels, ou Log-

normales). Autrement dit, les deux systèmes d’attente se convergent dans un régime

stationnaire, M/G/∞ ≈ M/M/∞. Ces extensions demeurent valables, généralisables

et applicables à tous les modèles existants : Sherbrooke (1968, 2004), Diaz et Fu

(1997, 2005), Yang, Axsäter, et al. (2012), etc.

1.4.4. Évaluation approximative du modèle multi-échelon et étude comparative

Une autre caractéristique importante des systèmes de gestion des pièces de rechange, il est très rare

qu’une pièce donnée soit entreposée ou réparée en un seul endroit. Les systèmes de gestion des

pièces de rechange possèdent plusieurs niveaux en matière de centralisation et de compétence

(expertise en réparation), on les appelle communément « échelons » et « indentures ». Chaque

échelon correspond à un niveau d’agrégation et/ou de centralisation des flux de matière. Chaque

indenture reflète un niveau d’expertise sur lequel l’atelier de réparation peut agir.

L’examen de la littérature a permis d’identifier la complexité de ces modèles, qui est issue de la

multiplication des convolutions des processus stochastiques dans le système réseau. La majorité

des contributions scientifiques découle du courant de recherche METRIC (Sherbrooke (1968)) qui

suppose que les capacités de traitement (réparation, transport, etc.) et la taille du réseau sont

infinies. Cela veut dire que le processus stochastique résultant est toujours approximé par une

distribution de Poisson à paramètre constant via le théorème de Palm (1938).

Les contributions de Slay (1984), Graves (1985), Adan et al. (1996), Kranenburg (2006) et Van

Houtum et al. (2015) ont pu proposer des approximations plus flexibles et plus fines décrivant la

résultante des convolutions sans toutefois violer les hypothèses METRIC.

Est-il possible de développer une approximation permettant de décrire la résultante de la

convolution des distributions de différents paramètres de réapprovisionnement quelle que soit la

nature du processus stochastique sous-jacent tout en relâchant les hypothèses METRIC ?

La réponse est oui. La convolution résultante peut être approximée par la convolution discrète des

différentes distributions à condition que :

37

- les distributions soient de nature discrètes, et c’est la caractéristique de presque tous

les processus stochastiques engendrés dans les systèmes de gestion des pièces de

rechange ;

- la fonction de distribution résultante doit être convexe et vérifie sa convergence

dans le domaine étudié.

1.4.5. Modèle multi-échelon avec transfert latéraux dont le stock central est de capacité

limitée

Toutefois, nous pouvons donner une flexibilité aux modèles précédents en permettant de faire des

transferts latéraux des ressources et de la matière entre les sites de même échelon. Si cette

problématique a été déjà soulevée par la littérature scientifique, la plupart des contributions

proposent des approximations en supposant que le stock central est de capacité infinie et le délai

de transport (transit), entre le site central et les sites régionaux, est constant (Axsäter (1990),

Alfredsson et Verrijdt (1999), Kutanoglu, et Mahajan (2009), Yang et Dekker (2010), révisée

ensuite par Yang, Axsäter, et al. (2012) et Yang et al. (2013)).

Peut-on relâcher ces deux hypothèses et proposer un modèle réellement admis par la réalité

industrielle (ressources et moyen sont souvent limités, accessibilité difficile, etc.) ?

Oui ! En se basant sur les approximations déjà proposées dans la contribution 1.4.4 et les propriétés

de systèmes d’attente de Alfredsson et Verrijdt (1999) (M/G/∞ ≈ M/M/∞.), nous pouvons établir

une évaluation approximative de cas de configuration à deux échelons avec stock central de

capacité finie et de délai de transit de distribution exponentielle ou quelconque.

1.5.Contenu du mémoire

Pour bien illustrer nos contributions, le reste du contenu de ce mémoire est organisé comme suit :

Le Chapitre 2 présente une série de modèles permettant de déterminer la quantité de pièces de

rechange à garder en stock avec un maximum de disponibilité et un minimum de coût total pour

des configuration mono-échelon qui peuvent être agrégées par des modèles mono-stock. Plusieurs

extensions du modèle générique sont exposées, ils font référence à des modèles approximatifs

permettant de gérer des réseaux de grandes tailles, des modèles multi-composant et des modèles

avec mesures de performance différentes.

Un modèle de décision avec des traitements en urgence est proposé au Chapitre 3. Contrairement

aux autres modèles d’estimation de perte, notre modèle prend en considération un délai de séjour

maximal requis de la pièce dans la file avant qu’elle soit expédiée en urgence.

Le Chapitre 4 est une extension des modèles traités dans les Chapitres 2 et 3. Nous nous

intéressons à des cas de configurations multi-échelon. Nous étudions le cas d’un réseau à deux

échelons avec des cas particuliers intéressants faisant référence à un courant de recherche qui

38

domine la gestion des pièces de rechange, le modèle METRC de Sherbrooke (1968). Nous

proposons une procédure numérique permettant de décrire les processus stochastiques résultant de

la défaillance, de la réparation et du transport dans un échelon supérieur. Contrairement aux

modèles du courant METRIC, qui étend la propriété markovienne le long des échelons via le

théorème de Palm (1938), la procédure numérique permet de traiter des processus ayant des

distributions exponentielles ou générales. Une étude comparative est effectuée avec les différentes

contributions jugées meilleures dans le domaine.

Le Chapitre 5 propose un modèle permettant de donner une flexibilité à la gestion des pièces de

rechange dans des réseaux multi-échelon. Nous étudions un modèle intéressant permettant de

décrire le comportement du réseau dans le cas où les échanges latéraux entre les sites de même

échelon sont permis. Nous généralisons les modèles existants pour pouvoir traiter des réseaux

multi-échelon avec des stocks en amont de capacité finie et de délai de transit de distribution

exponentielle ou quelconque.

Enfin, une Conclusion générale permet de présenter une synthèse des travaux et les perspectives

de recherches à venir relavant du domaine de la gestion des pièces de rechange.

39

Chapitre 2

Gestion des pièces de rechange pour un réseau d’équipements

assujettis à des défaillances aléatoires : Modèles mono-échelon

2.1.Introduction

Ce chapitre traite la problématique de gestion des pièces de rechange, dans un contexte mono-

échelon, pour un réseau d’équipements assujettis à une stratégie de maintenance corrective. Nous

décrivons un modèle générique de gestion des pièces réparables et nous tirons, au fur et à mesure,

des cas particuliers intéressants faisant référence à des grands axes de recherche dans le domaine.

Nous présentons une série de modèles permettant de déterminer la quantité de pièces de rechange

à garder en stock pour assurer une certaine disponibilité tout en tenant compte des contraintes

budgétaires. Plusieurs extensions des modèles existants dans la littérature sont proposées. Une

attention particulière est accordée aux modèles de gestion des pièces de rechanges pour des parcs

équipements de grandes tailles, multi-composant et avec des mesures de services différentes.

2.2.Modèle

Le modèle que nous présentons est adapté à une organisation disposant d’un réseau de m

équipements identiques, de stock de pièces de rechange et d’un atelier de réparation comptant k

canaux de réparation parallèles. Si une composante tombe en panne, elle est remplacée

immédiatement par une composante de rechange si disponible en stock. La composante défaillante

est acheminée vers l’atelier de réparation pour être remise en état de fonctionnement. Tous les

sites sont connectés par des canaux de transport ordinaires. Figure.2.1.

40

Réseau de N0 machines en opération

Canaux de réparation

N2

StockN4

SN3

N1 N5Canaux de transport

Figure.2.1. Processus de défaillance et de réparation.

Nous supposons que chaque équipement contient un seul composant critique. Est considéré critique

par rapport au critère de la disponibilité, tout composant dont sa défaillance entraîne

immédiatement l’arrêt de la machine. Les autres composants (non-critiques) qui constituent

l’équipement peuvent être gérés indépendamment, et ce à la lumière des consommations passées

en utilisant les modèles classiques de gestion des stocks.

Les processus des arrêts des équipements, des arrivées des pièces défectueuses, des transferts des

pièces traitées et de la mise à disposition des pièces pour maintenance sont des processus

stochastiques à temps continus.

Soit à l’instant t, les variables aléatoires :

𝑁0(𝑡) : Le nombre d’équipements en opération.

𝑁1(𝑡) : Le nombre de pièces défectueuses dans le canal du transport à destination de réparation.

𝑁2(𝑡): Le nombre de pièces dans le système (attente pour réparation + en traitement).

𝑁3 (𝑡): Le nombre de pièces réparées dans le canal de transfert vers le stock.

𝑁4 (𝑡): Le nombre de pièces en stock.

𝑁5 (𝑡): Le nombre de pièces dans le canal de transfert pour remplacement.

1)

𝑁1(𝑡) + 𝑁2(𝑡) + 𝑁3 (𝑡) + 𝑁4(𝑡) = 𝑆 (2.1)

𝑁4(𝑡) = 𝑆 − (𝑁1(𝑡) + 𝑁2(𝑡) + 𝑁3 (𝑡))

Posons 𝑋(𝑡) la variable aléatoire résultant de la convolution de, respectivement,

𝑁1(𝑡), 𝑁2(𝑡) 𝑒𝑡 𝑁3 (𝑡)

Si 𝑁1(𝑡), 𝑁2(𝑡) 𝑒𝑡 𝑁3 (𝑡) sont mutuellement exclusives, on a :

41

𝑋(𝑡) = 𝑁1(𝑡) + 𝑁2(𝑡) + 𝑁3 (𝑡) (2.2)

𝑁4(𝑡) = 𝑆 − 𝑋(𝑡)

𝑁4(𝑡) est l’état du stock à un instant t donné, il peut prendre deux formes : soit en rupture de

stock dont le nombre BO-Backorder number soit un stock en main dont le nombre OH- Stock

on Hand.

𝑁4(𝑡) ∶ {𝑂𝐻(𝑡) = [𝑆 − 𝑋(𝑡)]+

.

𝐵𝑂 (𝑡) = [𝑆 − 𝑋(𝑡)]− (2.3)

En utilisant le principe d’égalités des stocks, on obtient :

𝑂𝐻(𝑡) − 𝐵𝑂 (𝑡) = 𝑆 − 𝑋(𝑡) (2.4)

La probabilité que le stock en main contienne x pièces de rechange est :

P (𝑂𝐻(𝑡) = 𝑥) = {𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑆 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑆

.∑ 𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑦)𝑆+𝑚𝑦=𝑠 𝑠𝑖 𝑥 = 0

(2.5)

La probabilité de rupture de stock peut être écrite :

P (𝐵𝑂(𝑡) = 𝑥) = {𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑆 + 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑚

.∑ 𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑦)𝑆𝑦=0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

(2.6)

Pour un horizon de planification T, l’espérance mathématique des variables aléatoires décrivant le

processus de défaillance et de réparation du réseau :

𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑋 =∫ 𝑋(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (2.7)

𝐸[𝑂𝐻(𝑡)] =∫ 𝑂𝐻(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (2.8)

𝐸[𝐵𝑂(𝑡)] =∫ 𝐵𝑂(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (2.9)

Le nombre moyen de pièces dans le stock :

𝐸[𝑂𝐻(𝑆, 𝑡)] = ∑(𝑆 − 𝑥) 𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑥)

𝑆

𝑥=0

(2.10)

Le nombre moyen de pièces en souffrance :

𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] = ∑ (𝑥 − 𝑆)𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑥)

𝑆+𝑚

𝑥=𝑆+1

(2.11)

42

NB : la somme des probabilités jusqu’à (𝑆 + 𝑚) indique que le réseau ne fonctionne pas lorsque

le nombre de pièces défectueuses dans le système atteint 𝑆 + 𝑚. Toutefois, nous pouvons adapter

les calculs à différents contextes où le fonctionnement du réseau dépend du nombre minimal de

machines en opération (ex. minimum K machines en opération), soit un système (K parmi N) dans

son sens générique. L’équation (2.11) peut être écrite :

𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] = ∑ (𝑥 − 𝑆)𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑥)

𝑁−𝐾+1

𝑥=𝑆+1

(2.11. bis. 1)

Pour une population infinie (réseau très étendu) :

𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] = ∑ (𝑥 − 𝑆)𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑥)

∞

𝑥=𝑆+1

(2.11. bis. 2)

À partir de l’équation (2.10) 𝑒𝑡 (2.11) on obtient :

𝐸[𝑂𝐻(𝑆, 𝑡)] − 𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] = 𝑆 − 𝑋(𝑡) (2.12)

2)

𝐵𝑂(𝑡) + 𝑁5(𝑡) + 𝑁0(𝑡) = 𝑚 (2.13)

𝑁0(𝑡) = 𝑚 − 𝐵𝑂(𝑡) − 𝑁5(𝑡)

La disponibilité instantanée 𝐴(𝑡) est la proportion du temps de bon fonctionnement des machines,

elle est égale au rapport entre le nombre de machines en opération au temps t, 𝑁0(𝑡), et le nombre

total des équipements du parc 𝑚.

𝐴(𝑡) = 𝑁0(𝑡)

𝑚= 1 −

𝐵𝑂 (𝑡) − 𝑁5(𝑡)

𝑚 (2.14)

𝐴 = 𝐸[𝐴(𝑡)] =∫ 𝐴(𝑡)𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (2.15)

𝐴 = 1 − 𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] − 𝐸[𝑁5 (𝑡)]

𝑚 (2.16)

2.3.Problème d’optimisation

Le modèle décisionnel que nous proposons est un problème d’optimisation multi-objectif, le

gestionnaire prendra une décision à partir de la courbe d’efficience, Coût-Disponibilité.

`Min 𝐶(𝑆) = 𝐶ℎ. 𝐸[𝑂𝐻(𝑡)] + 𝐶𝑇 (𝐸[ 𝑁1(𝑡)] + 𝐸[𝑁3(𝑡)] + 𝐸[𝑁5 (𝑡)]) + 𝐶𝑘. k + 𝐶𝑓

𝑀𝑎𝑥 𝐴 = 1 − 𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] − 𝐸[𝑁5 (𝑡)]

𝑚

43

Avec :

𝑘 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶𝑘⌉

𝑆 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

Les différents coûts par unité de temps sont donnés comme suit :

𝐶𝑓: La somme des coûts fixes.

𝐶𝑘 : Coût variable de réparation.

𝐶ℎ : Coût de stockage de la pièce.

𝐶𝑇: Coût de transport.

Le choix du couple (A, C), la disponibilité 𝐴 et total de l’investissement C(s) doit être en cohérence

avec les objectifs de disponibilité 𝐴𝑂𝑏𝑗 que souhaite l’organisation et dans les limites de son budget.

Vue de la complexité des processus stochastiques sous-jacents et la multiplicité des convolutions

de diverses distributions, ce modèle est impossible à résoudre sans poser des limitations et des

hypothèses. Toutefois la simulation et les procédures numériques s’avèrent efficaces dans un

certain cas où les paramètres sont bien ajustés.

2.4.Hypothèses et analyse du modèle

1. La désignation « composante, composant, pièce, système, équipement » est générique, le

modèle proposé peut s`appliquer à un équipement, à un module ou à une composante

élémentaire.

2. Tous les composants sont supposés réparables. Pour des raisons économiques et

techniques, de tels systèmes sont composés d'éléments qui sont moins coûteux à réparer

que de les remplacer par des neufs. Leurs durées de vie sont longues, leurs systèmes de

gestion sont beaucoup plus compliqués que les systèmes de gestion des stocks classiques

(fournitures et consommables). Mais cela n’exclue pas qu’avec peu de changements, on

peut adapter le modèle pour gérer des consommables et/ou réparables.

3. La politique de contrôle des stocks de type (S-1, S) est justifiée lorsque les coûts de

gestion, de transport, de traitement et de commande sont négligeables par rapport au coût

d’achat et de stockage de la pièce. Sinon, nous pouvons nous intéresser au

réapprovisionnement par lots Q plutôt qu’à l’unité. La décision sur la quantité à massifier

est un compromis entre les différents coûts (commande, stockage, etc.) y compris des

pertes encourues, si une perte de disponibilité et/ou une interruption accidentelle du

service a lieu.

44

4. Les modèles mathématiques décrivant le processus de défaillance et de réparation

utilisent la théorie des files d’attente qui traduit fidèlement le phénomène du couple

défaillance et réparation provoqué par la contrainte de capacité des stations de réparation.

5. L’ordre de priorité, premier arrivé premier servi FIFO- First In, First Out, est une

hypothèse vraie dans le cas d’équipements mono-composant (un seul composant

critique). Si l’équipement est constitué de plus d’un composant critique, nous maintenons

la règle FIFO sous prétexte que les composants arrivant au système d’attente sont

supposés de criticité égale. Adopter d’autres règles de priorité au niveau opérationnel

peut engendrer des gains substantiels, par exemple : prioriser les équipements encore sous

garantie ou faire de la cannibalisation, etc. Une couverture du sujet traitant les systèmes

multiserveurs et multi-classes se trouve dans Harten et al. (2000).

6. Le critère d’indépendance stochastique est maintenu pour des fins de calculs. En réalité,

la défaillance d’un élément impacte la fiabilité du système. Si les spécifications

d’interface avec les éléments voisins sont précises, l’élément défectueux pourrait

entraîner leur dégradation et/ou au pire des cas, leur défaillance.

7. Le processus stochastique qui engendre les arrivées des pièces défectueuses à la station

de réparation suit une loi de poisson à paramètre constant 𝜆 . Cette hypothèse est justifiée

lorsque la durée de vie des composants critiques suit une loi exponentielle (ex.

composants électroniques, équipements dans la phase de maturité, c’est-à-dire, à taux de

panne constant) ou lorsque la taille de la population étudiée est suffisamment grande,

voire infinie.

8. On suppose que les processus stochastiques sous-jacents subissent peu ou pas de

changement dans le temps. On se limite donc à l’étude de l’évolution du système dans un

régime permanent afin de trouver une politique de contrôle optimale qui dépend

essentiellement de la quantité des pièces de rechange à garder en stock et éventuellement

des capacités de traitement des stations de réparation et des transports.

𝐸[𝑋(𝑆)] = 𝑋 = lim𝑇→∞

∫ 𝑋(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (2.17)

𝐸𝑂𝐻(𝑆) = lim𝑇→∞

∫ 𝑂𝐻(𝑡) 𝑑𝑡𝑇0

𝑇= ∑ (𝑆 − 𝑥)P (𝑋 = 𝑥) (2.18)𝑆

𝑥=0

𝐸𝐵𝑂 (𝑆)= lim𝑇→∞

∫ 𝐵𝑂 (𝑡) 𝑑𝑡𝑇0

𝑇 = ∑ (𝑥 − 𝑆)P (𝑋 = 𝑥) 𝑆+𝑚

𝑥=𝑆+1 (2.19)

De l’équation (3.12) :

𝐸𝑂𝐻(𝑆) − 𝐸𝐵𝑂 (𝑆) = 𝑆 − 𝑋 (2.20)

NB :Si les processus stochastiques varient dans le temps, on se contente d’étudier le système en

observant ses paramètres (taux d’arrivée, délai de traitement, etc.) à des intervalles de temps

suffisants en supposant que les paramètres du système à des intervalles consécutifs sont

mutuellement exclusifs (équations: de (2.7) à (2.9)). Une mise à jour des paramètres est fortement

45

recommandée chaque période (3 mois, 6 mois, un an..) pour redimensionner le niveau du stock et

l’adapter au contexte opérationnel du réseau.

Gross (1975) a effectué une analyse de sensibilité en cas de variation du taux de panne et du taux

de défaillance tout en étudiant le comportement du modèle durant la phase de transition.

9. Si la livraison des pièces de rechange est quasi-immédiate, 𝑁5(𝑡) → 0. La disponibilité

devient :

𝐴 = 1 − 𝐸𝐵𝑂 (𝑆)

𝑚 (2.21)

2.4.1. Modèle d’attente à capacité de traitement illimitée et de nombre d’équipements infini

Lorsque la population du parc d’équipements est considérée infinie (𝑚 → ∞), 𝐴 → 1 cela conduit

le décideur à s’intéresser à d’autres mesures de performance comme le nombre moyen de pièces

en souffrance, EBO- Expected Backorder. Nous exposerons en détail, dans la Section.2.5.1, la

mutation vers les autres mesures de performance les plus utilisées dans la littérature et

éventuellement celles qui figurent dans les closes de contrat PBL- Performance based Logistics

(PBL) (Kim et al (2007)).

Cette hypothèse est beaucoup plus adaptée aux organisations (fournisseurs et prestataires de service

de maintenance) qui gèrent des gammes de composants chez leurs clients. L’objectif est de garantir

un service efficace et rapide. Le modèle de décision peut prendre la forme du problème multi-

objectif suivant :

Min 𝐶(𝑆)

Min 𝐸𝐵𝑂 (𝑆)

S : 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟

2.4.1.1.Modèle METRIC- Multi-Echelon Technique for Recoverable Item Control

(Sherbrooke (1968))

Si nous adoptons toutes les hypothèses décrites ci-haut, en plus, nous supposons que les canaux de

réparation et de transport ont des capacités illimitées avec des distributions générales G à délais

moyens respectivement 1/µ ,𝑡1,𝑡3, 𝑡5 on obtient le modèle METRIC- Multi-Echelon Technique for

Recoverable Item Control (Sherbrooke (1968)).

Pour les transports, cette hypothèse parait valide pour une organisation dont les moyens de

transport et de manutention sont engagés en permanence soit par le biais de contrats avec des

prestataires ou bien gérés à l’interne.

Pour des pièces dont le profil de consommation faible, les délais de transfert 𝑡1,𝑡3,𝑡5 sont

généralement omis par rapport au délai alloué à la réparation d’une pièce donnée. Cette hypothèse

46

est bien fondée car les sites d’affaires (entrepôts, ateliers, etc.) sont déployés pour garantir un

service quasi-immédiat en matière d’acheminement des pièces défectueuses vers les ateliers de

réparation et pour la mise à disposition des pièces pour remplacement.

En ce qui concerne la capacité des ateliers de réparation, l’hypothèse est un peu restrictive. Dans

la pratique, les ressources des entreprises sont souvent limitées, la réparation est généralement

confiée à des canaux spécialisés (organisme prestataire, main d’œuvre qualifiée, etc.), un

engagement optimal est souvent requis pour garantir un service satisfaisant.

Toutefois, l’hypothèse pour des systèmes à faible taux de panne parait acceptable si au moment

d’arrivées des pièces défectueuses, le délai d’attente est considéré faible ou négligeable, et le

système d’attente demeure stable quel que soit la distribution de temps de réparation considéré.

Alfredsson et Verrijdt (1999) ont effectué une analyse de sensibilité par Simulation, ils ont

démontré que le comportement du système étudié demeure stable lorsque les temps de traitements

sont déterministes, exponentiels, ou Log-normales.

Le processus stochastique résultant dans le cas de système M/G/∞ (les arrivées des pièces de

rechange suivent la loi de Poisson, et les canaux de réparation et de transport ont de capacités

illimitées avec des distributions de durées générales G) est un processus de Poisson de paramètre λ

µ. 𝑡1. 𝑡3 (Théorème de Palm). Une démonstration du théorème se trouve dans Palm (1938).

On peut considérer les canaux de transports et l’atelier de réparation comme un seul système

d’attente. Pour 𝑡1 = 𝑡3 = 1 (délais par unités de temps) :

𝑃{𝑋 = 𝑥} = 𝜆𝑥

µ𝑥.𝑥!𝑒− λ

µ , avec 𝑥 entier (2.22)

De l’équation (3.20) :

𝐸𝐵𝑂(𝑆) = 𝑋 − 𝑆 + 𝐸𝑂𝐻(𝑆)

𝐸𝐵𝑂(𝑆) = λ

µ− 𝑆 +∑(𝑆 − 𝑥)P (𝑋 = 𝑥) (2.23)

𝑆

𝑥=0

La courbe d’efficience est obtenue en résolvant le problème bi-objectif suivant :

Min 𝐶(𝑆)

Min 𝐸𝐵𝑂(𝑆)

Avec S ∶ 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟

L’obtention d’une solution exacte du problème est très difficile. La Relaxation Lagrangienne

permet, jusqu’à un certain nombre de références, de donner de résultats exacts. Pour de grand

nombre de références, nous faisons recours à des méthodes heuristiques.

47

Pour trouver une solution dans le domaine étudié, il faut que la fonction 𝐸𝐵𝑂(𝑆) soit décroissante

et convexe. Une heuristique gloutonne avec recherche locale est nécessaire. Les procédures de

calcul sont très complexes et ils ne sont pas discutés ici.

Slay (1984) propose un modèle d’approximation appelé VARI-METRIC en supposant que le

nombre moyen de pièces en réparation est égal à sa variance correspondant à une distribution

Binomiale négative. Graves (1985) a utilisé la même distribution pour élaborer un modèle

approximatif à deux échelons. Cette problématique sera discutée au chapitre 3.

𝐸[𝑋] = 𝑉𝐴𝑅[𝑋]

L’expression de la distribution Binomiale négative peut être obtenue analytiquement en résultant

de la convolution des deux distributions :

- des arrivées de pièces défectueuses suivant une loi de Poisson à paramètre constant λ : 𝜆𝑥

.𝑥!𝑒−λ

- du délai de réparation suivant une distribution gamma : 𝛽.𝛽𝛼

𝜓 (𝛼+1)𝑒−𝛽

La distribution résultante est une distribution binomiale négative avec paramètre 𝛼 + 1 𝑒𝑡 𝛽

𝛽+𝜆 et

donc,

P {𝑋 = 𝑥} =𝜓 (𝛼+𝑥+1)

𝑥! 𝜓 (𝛼+1) (

𝛽

𝛽+𝜆)𝛼+1

(𝜆

𝛽+𝜆)𝑥

, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼, 𝜆 𝑒𝑡 𝛽 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓𝑠 (2.24)

Le nombre moyen de pièces en réparation est égal :

𝐸[𝑋] = (𝛼+1

𝛽)𝜆

(2.25)

La variance de la distribution binomiale négative est :

𝑉𝐴𝑅[𝑋] = (𝛼+1

𝛽2). (𝛽 + 𝜆). λ (2.26)

Le modèle METRIC repose sur l’hypothèse que les ateliers de réparation sont de capacités

illimitées et de population d’équipements infinie. Bien que ces hypothèses peuvent être justifiées

dans les applications militaires, elles nous semblent moins réalistes dans la plupart des industries.

Les ressources et les budgets des entreprises sont souvent limités, la disponibilité immédiate des

prestations de services dans le marché des affaires n’est pas toujours garantie, particulièrement

dans les zones ou l’accessibilité est difficile.

48

L’étude du système avec une capacité de réparation limitée nous conduit à des modèles beaucoup

plus compliqués à résoudre en raison de la prise en compte du phénomène d’attente dans le système

provoqué par la contrainte de capacité des stations de réparation.

2.4.2. Modèle d’attente avec capacité de traitement limitée

Plusieurs contributions scientifiques ont été publiées dans la littérature traitant le problème à

capacité de traitement limitée. Taylor et Jackson (1954) sont les premiers qui ont appliqué la théorie

des files d'attente aux problèmes d'approvisionnement des pièces de rechange. Le modèle a permis

d’estimer le nombre de moteurs de rechange nécessaires pour maintenir une flotte d'avions à un

niveau de service requis. Le modèle d’attente est supposé de capacité limitée. Gross et al, 1977

utilisent ce modèle dans le cas où les opérations de retrait, de transport et de réparation de la pièce

défectueuse représentent trois traitements séparés, modélisés en trois stations de services en série.

Il utilise les séries d’Erlang à cet effet.

Plusieurs extensions du modèle d’attente ont été abordées, Gross et Ince (1978), Gross et al. (1983,

1987, 1993), Gross et Harris (1985), Albright et Soni (1988), Albright (1989), Ebeling (1991,

2005), Albright et Gupta (1993), et Whitt (1983, 1993), Diaz et Fu (1997, 2005).

2.4.2.1.Modèle d’attente général GI/G/k (Whitt (1993))

En relaxant les hypothèses 10 et 11, c’est-à-dire, qu’en supposant que le parc machines est de

population finie et que les stations de réparation ont des capacités limitées, Whitt (1993) propose

une approximation par un modèle de file d’attente GI/G/k, la distribution des arrivées des pièces

défectueuses suit une loi générale indépendante, le délai de réparation est une distribution

quelconque.

Le nombre moyen des pièces défectueuses dans le système d’attente est approximé par les relations

suivantes :

𝐸[𝑁2] = 𝜆 [(𝐶𝑎2 + 𝐶𝑠

2

2)(𝑝0𝑘µ

𝑘𝜌𝑘

𝑘! (1 − 𝜌)2) +

1

µ] (2.27)

𝑉𝐴𝑅[ 𝑁2(𝑡)] = 𝐸[ 𝑁22] – 𝐸[ 𝑁2]

2 (2.28)

𝑘: Le nombre de canaux de réparation.

𝜌 = 𝜆

𝑘µ: L’intensité du système d’attente avec k canaux de réparation.

𝑝0: Probabilité en régime permanent qu’il n’y a aucune pièce dans le système

49

𝑝0 = 1

∑(𝑘𝜌)1

𝑖! + (𝑘𝜌)𝑘

𝑘! (1 − 𝜌)𝑚−1𝑖=0

(2.29)

𝐶𝑎 𝑒𝑡 𝐶𝑠 : Coefficients de la variation des temps d’inter-arrivées et du délai de réparation,

respectivement.

À partir du modèle de Whitt (1993) nous tirons deux cas particuliers et une troisième approximation

intéressante :

- Pour 𝐶𝑎 = 1 , il n y a aucune variation de taux de panne, le système d’attente est de type

M/G/k. Le nombre moyen des pièces dans le système d’attente :

𝐸[ 𝑁2] = 𝜆 [(1 + 𝐶𝑠

2

2)(𝑝0𝑘µ

𝑘𝜌𝑘

𝑘! (1 − 𝜌)2) +

1

µ] (2.30)

- Pour 𝐶𝑠 =𝐶𝑎 = 1 , le taux de panne et le taux de réparation sont constants, le système est

adapté au modèle M/M/k (Gross et Harris (1982)). La propriété Markovienne des arrivées

des pièces et des délais de réparation est intéressante. Le nombre moyen de pièces dans le

système d’attente pour k canaux de réparation est écrit :

𝐸[ 𝑁2] = 𝑘 𝜌 + 𝑝0 𝜌 (𝑘𝜌)

𝑘

𝑘! (1 − 𝜌)2 (2.31)

- L’approximation ci-dessous demeure intéressante :

𝐸[𝑁𝐺𝐼/𝐺/𝑘2 ]. 𝐸[ 𝑁𝑀/𝑀/𝑘]

2 ≈ 𝐸[𝑁𝑀/𝑀/𝑘

2 ]. 𝐸[ 𝑁𝐺𝐼/𝐺/𝑘]2 (2.32)

2.4.2.2.Modèle M/M/k (Gross et Harris (1982))

Le modèle de boucle de défaillance et de réparation 𝑁𝑀/𝑀/𝑘 proposé par Gross (1982) possède la

propriété markovienne. Le processus stochastique décrivant la défaillance des pièces suit une loi

de Poisson et le délai de réparation est une distribution exponentielle.

Schématiquement, le réseau est constitué d’un parc de N machines identiques, de magasins de

pièces de rechange et d’un atelier de réparation comptant k canaux de réparation parallèles. Si une

composante tombe en panne, elle est remplacée par une composante de rechange si disponible en

stock. La composante défaillante est acheminée vers l’atelier de réparation pour la remettre en état

de fonctionnement (Figure 2.2).

50

N équipements

λ λ λ

λ

µ

λ λ λ

λ λ µ

µ

K CANAUX DE RÉPARATION

Stock S

Figure.2.2. : Processus de défaillance et de réparation.

Si nous notons :

𝜆𝑥 : Le taux moyen d’arrivée des pièces lorsque x pièces sont dans le système d’attente.

µ𝑥 : Le taux moyen de réparation lorsque x pièces sont dans le système d’attente.

Soit 𝑃𝑖 la probabilité, en régime permanente, que i composantes défaillantes soit en attente ou en

cours de réparation.

Dans le cas où les données suivantes sont disponibles :

- Le nombre de machines en service N, indépendantes et identiquement distribuées ;

- Le taux de panne 𝜆 constant;

- Le taux de réparation 𝜇 constant;

- Le nombre de réparateur k ;

- Où s est le nombre de composantes de remplacement.

𝑃𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑖): La probabilité que i composantes défaillantes soit en attente ou en cours de

réparation.

𝑃0 = 𝑃(𝑋 = 0) : La probabilité qu’aucune composante défaillante soit en attente ou en cours de

réparation (𝑖 = 0).

𝑃𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑖) =𝐶𝑖. 𝑃(𝑋 = 0)

𝐶𝑖 est donnée par la somme d’équations ci-dessous.

En partant de la modélisation du réseau utilisant la théorie des files d’attente, le processus de

défaillance et de réparation des composantes peut être considéré comme un processus

stochastique en temps continu avec un espace d’état discret.

51

La chaîne de Markov associé à ce processus est représentée par les deux alternatives, pour 𝑘 < 𝑠

et 𝑘 ≥ 𝑠 respectivement (Figures 2.3 et 2.4).

- Pour k <s (Figure.2.3)

0 1 2 k-1 k k+1Nλ

µ 2µ 3µ (k-1)µ kµ

Nλ Nλ

s-1 s s+1

kµ kµ

N+S-1 N+s

kµ kµ kµ kµ kµ kµ

Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ (N-1)λ 2λ λ

Figure.2.3. Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation pour k< 𝑠

𝐶𝑖 =

{

𝑁

𝑖

𝑖!(λ

µ)𝑖

; 𝑖 = 1, … . . 𝑘

𝑁𝑖

𝑘𝑖−𝑘𝑘!(λ

µ)𝑖

; 𝑖 = 𝑘 + 1,… . 𝑠

𝑁𝑠 𝑁!

(𝑁 − 𝑖 + 𝑠)! 𝑘𝑖−𝑘𝑘!(λ

µ)𝑖

; 𝑖 = 𝑠 + 1, … . . 𝑠 + 𝑁

(2.33)

- Pour k ≥ s (Fig.2.4)

0 1 2 s-1 s s+1

Nλ

µ 2µ 3µ (s-1)µ sµ

Nλ Nλ

k-1 k k+1

kµ (s+1)µ

N+S-1 N+s

kµ kµ kµ kµ

Nλ Nλ Nλ2λ λ

(N-1)λ

(s+2)µ (k-1)µ

(N+S-k+2)λ (N+S-k)λ(N+S-k+1)λ (N+S-k-1)λ

Figure.2.4. Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation pour k≥ 𝑠

𝐶𝑖 =

{

𝑁

𝑖

𝑖!(λ

µ)𝑖

; 𝑖 = 1, … . . 𝑠

𝑁𝑠 𝑁!

(𝑁 − 𝑖 + 𝑠)! 𝑖!(λ

µ)𝑖

; 𝑖 = 𝑠 + 1, … . 𝑘

𝑁𝑠 𝑁!

(𝑁 − 𝑖 + 𝑠)! 𝑘𝑖−𝑘𝑘!(λ

µ)𝑖

; 𝑖 = 𝑘 + 1,… . . 𝑠 + 𝑁

(2.34)

Pour i= 0 on aura : 𝑃0 =𝐶0. 𝑃0 donc 𝐶0 = 1

Pour i= 1 on aura : 𝑃1 =𝐶1. 𝑃0

52

Pour i= 2 on aura : 𝑃2 =𝐶2. 𝑃0

…………….

Pour i= s + N on aura : 𝑃𝑠+𝑁 =𝐶𝑠+𝑁. 𝑃0

On a le somme des probabilités égale à 1 : ∑ 𝑃𝑖𝑖=𝑠+𝑁𝑖=0 = 1

𝑃0 + 𝑃1 +𝑃2…𝑃𝑠+𝑁 = 1. 𝑃0 + 𝐶1. 𝑃0 + 𝐶2. 𝑃0 +…+𝐶𝑠+𝑁 . 𝑃0 =1

(1 + 𝐶1 + 𝐶2+…+𝐶𝑠+𝑁). 𝑃0= 1

𝑃0 = 𝑃(𝑋 = 0) = 1

(1 + 𝐶1 + 𝐶2 +⋯+ 𝐶𝑠+𝑁)=

1

1 + ∑ 𝐶𝑖𝑖=𝑠+𝑁𝑖=1

(2.35)

Les probabilités de défaillance 𝑄𝑖 sont données en fonction des 𝑃𝑖

𝑄𝑖 =

{

𝑁. 𝑃𝑖

𝑁 − ∑ (𝑖 − 𝑠)𝑃𝑖𝑖=𝑠+𝑁𝑖=𝑠

; 𝑖 = 0, … 𝑠 − 1

(𝑁 − 𝑖 + 𝑠)𝑃𝑖

𝑁 − ∑ (𝑖 − 𝑠)𝑃𝑖𝑖=𝑠+𝑁𝑖=𝑠

; 𝑖 = 𝑠, … 𝑠 + 𝑁

(2.36)

Il suffit de trouver le 1er entier s tel que :

∑𝑄𝑖

𝑆−1

𝑖=0

≥ 𝑁𝑆 (2.37)

NS est le niveau de disponibilité requis.

NB : L’intensité du trafic, λ

k.µ, doit être inférieure à 1 ( (

λ

k.µ < 1), sinon, après un certain temps, le

système bloque.

2.4.2.2.1. Applications numériques (2.1)

Nous allons générer maintenant plusieurs applications numériques permettant d’illustrer le triplet :

Niveau du stock- Nombre de canaux de réparation- Disponibilité opérationnelle pour un réseau

d’équipements identiques.

Si une entreprise X voulait conserver un stock des pièces de rechanges et dimensionner ses

ressources pour soutenir la maintenance d’un réseau constitué de plusieurs équipements en

opération (N=100). Chaque équipement contient un seul composant critique, c.-à-d., la défaillance

de ce composant entraîne l’arrêt immédiat de l’équipement.

53

Les données statistiques qui sont à la disposition du gestionnaire indiquent que le nombre moyen

de défaillances par heure est de 0.002 (λ = 0.002), et le moyen de réparation (livraison) par heure

est de 0.02(µ = 0.02). Nous maintenons l’hypothèse que le délai de remplacement est négligeable.

La courbe d’efficience donnée par la Figure.2.5 dénote la disponibilité opérationnelle du réseau en

fonction du nombre de pièces de rechange à garder en stock, s, et du nombre de canaux de

réparation parallèles, k.

Figure.2.5. Résultats générés par le programme de calcul Programme Projet.R.Exact.Matlab.R.2014a

(N=100, λ = 0.0002, µ = 0.01)

Pour atteindre la disponibilité souhaitée, l’organisation doit ouvrir plus de 10 canaux de réparation.

Avec une capacité de réparation de moins de 10 canaux (k=10), le réseau cesse de fonctionner

après un certain temps t. Cet arrêt est motivé par le phénomène de congestion dans le système

d’attente. L’atelier de réparation avec une capacité k<10 et un taux de traitement, µ = 0.01, est

incapable de traiter toutes les pièces défaillantes arrivant dans le système, la longueur de la file

54

augmente au fur et à mesure avec le temps provoquant l’arrêt systématique du réseau, c’est à dire,

après un temps t, le nombre des équipements défaillants atteint S+N (disponibilité nulle).

Au-delà de 10 canaux de réparation, le réseau pourrait atteindre des disponibilités croissantes, et

ce en fonction du nombre de pièces de rechange gardée en stock, s. Atteindre une disponibilité A

requiert une capacité de réparation, k, et un niveau de stock, s.

Pour atteindre une disponibilité de 0.99 par exemple, le décideur est face à deux alternatives, soit

il s’investit dans une capacité de k=12 en gardant un niveau de stock s=30 pièces de rechange, soit

il maintient la capacité k=11 et s=50. La bonne décision est d’instruire un compromis, toujours

difficile, entre l’investissement en achat, le stockage, s, la capacité, k et les objectifs de

l’organisation (disponibilités souhaitée). Ce modèle a été initialement proposé par Ebeling (1991).

Cette problématique sera abordée dans la section suivante.

2.4.2.3. Modèle M/M/k sous contrainte budgétaire Ebeling (1991, 2005)

Si on dénote par:

- 𝐿0: est le nombre moyen d’unités en opération:

𝑁0 = 𝑁 − ∑ (𝑥 − 𝑠) 𝑃(𝑋 = 𝑥) .

𝑥=𝑠+𝑁

𝑥=𝑠+1

(2.38)

𝐸𝐵𝑂 : est le nombre moyen de pièces en attente d’être mis à disposition (en souffrance)

𝐸𝐵𝑂 = ∑ (𝑥 − 𝑠)𝑃(𝑋 = 𝑥)

𝑥=𝑠+𝑁

𝑥=𝑠+1

(2.39)

La disponibilité du réseau constitué de N machines identiques :

𝐴 =𝑁0N (2.40)

On peut formuler un problème d’optimisation comme suit :

𝑀𝑎𝑥 𝑁0

𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡 à ∶ 𝐶𝑓 + 𝐶𝑘𝑘 + 𝐶ℎ𝑠 ≤ 𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡

𝑘 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶𝑘⌉

𝑠 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

𝐶𝑓: Le coût fixe

𝐶𝑘 : Coût variable de réparation

𝐶ℎ : Coût de stockage de la pièce

55

Notons qu’à partir de la fonction de coût C (s, k) = 𝐶𝑓 + 𝐶𝑘𝑘 + 𝐶ℎ𝑠 , on peut formuler un

problème d’optimisation bi-objectif :

𝑀𝑎𝑥𝑁0(𝑠, 𝑘)

𝑀𝑖𝑛 𝐶(𝑠, 𝑘)

Avec

𝑘 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶𝑘⌉

𝑠 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

Le gestionnaire prendra une décision à partir de la courbe d’efficience, Coût-Disponibilité dans

notre exemple, qui est la solution du problème multi-objectif ci-dessus. Le choix du couple (A, C),

la disponibilité 𝐴 et le total de l’investissement C(s) doivent être en cohérence avec les objectifs de

disponibilité 𝐴𝑂𝑏𝑗 que souhaite l’organisation et dans les limites de son budget.

2.4.2.3.1. Applications numériques (2.2)

La Figure.2.6 représente la solution du problème bi-objectif ci-haut, pour un réseau de 10 machines

identiques de taux de panne, λ=0.002, de taux de réparation μ= 0.01, et avec les coûts par unité

de temps : un coût de canal de réparation, 𝐶𝑘= 2000 et le coût de stockage 𝐶ℎ= 4000.

Pour atteindre des disponibilités élevées (au-delà de 0.5 et de 0.9), l’organisation doit s’investir

dans des ressources supplémentaires en ajoutant des canaux de réparation.

56

Figure.2.6. Courbe d’efficience Projet.R.Exact.Cont.Budget.Matlab.R.2014a pour un réseau de 10 équipements

identiques de taux de panne 𝜆 = 0.002, de taux de réparation 𝜇= 0.01 et avec les coûts : 𝐶𝑘= 2000, 𝐶ℎ= 4000

Comme le montre la Figure.2.7, il est inutile de chercher une disponibilité de plus de 0.5 avec un

seul canal de réparation puisque coût croît rapidement (accélération de la courbe).

Figure.2.7. Courbe d’efficience Projet.R.Exact.Cont.Budget.Matlab.R.2014a

k=1

un réseau de 10 équipements identiques de taux de panne

𝜆 = 0.002, de taux de réparation 𝜇= 0.01 et avec les coûts : 𝐶𝑘= 2000, 𝐶ℎ= 4000

Idem pour la Figure.2.8. On ne peut atteindre plus de 0.9 de disponibilité avec seulement deux

canaux de réparation (k=2)


k=2

57



Un investissement supplémentaire permet d’atteindre une disponibilité élevée. La décision sur le

couple (Coût, Disponibilité) dépend des objectifs de l’organisation et ce dans la limite de son

budget, Figure.2.9.


k=3



NB : Tous les résultats sont donnés en Annexe C.

Les modèles M/M/k proposés par Gross et Harris (1982) et Ebeling (1991, 2005) suppose qu’il y

ait un seul composant critique pouvant entraîner la défaillance de la machine. Les stocks des pièces

considérés dans l’exemple sont gérés indépendamment.

Si cette supposition paraît valide dans plusieurs problèmes de gestion des stocks, dans les

problématiques de gestion des pièces de rechange, ces derniers nécessitent une gestion simultanée

parce que les différentes références doivent partager les mêmes ressources disponibles (ex. budget,

espaces, etc.). Aussi, la complexité croissante des modèles ne permet pas de traiter que des réseaux

de petites tailles.

2.5.Extensions du modèle M/M/k

Cette section permet de proposer des extensions à ces modèles pour pouvoir traiter des réseaux de

grandes tailles et une gamme des pièces de rechange pour des équipements ayant plusieurs

58

composant critiques et avec des mutations graduelles vers d’autres mesures de performance qui

découlent de la disponibilité opérationnelle du réseau.

2.5.1. Extension du modèle M/M/k d’Ebeling (1991, 2005) - Autres mesures de performance

Une organisation donnée peut s’intéresser à des mesures de performance autre que la disponibilité

A. Stidham (1975) a démontré que toutes les relations sont valides tant que le système d’attente

opère dans un régime permanent et que les paramètres 𝜆,𝑊 sont finis. À partir de notre formule

ci-dessus on peut tirer ce qui suit :

- 𝐸𝐵𝑂 : est le nombre moyen de pièces en attente d’être livrées.

On peut écrire la disponibilité A qui est équivalente à la proportion des machines en opération :

𝐴 = 1 −𝐸𝐵𝑂 𝑁 (2.41)

𝐸𝐵𝑂 est le nombre moyen de pièces en attente d’être livré le moment où le stock est épuisé,

autrement dit, lorsque le nombre de pièce dans le système d’attente est supérieur à 𝑠 (𝑥 > 𝑠).

𝐸𝐵𝑂 est donné par l’équation (2.39):

𝐸𝐵𝑂 (𝑠, 𝑘) = ∑ (𝑥 − 𝑠)𝑃(𝑋 = 𝑥)

𝑥=𝑠+𝑁

𝑥=𝑠+1

- Le temps d’attente d’une pièce :

𝑊 =𝐸𝐵𝑂

λ̅ (2.42)

- 𝐿𝑠𝑦𝑠𝑡: Le nombre moyen de pièce dans le système (en cours de réparation + en file d’attente)

𝐿𝑠𝑦𝑠𝑡 = ∑ 𝑥. 𝑃(𝑋 = 𝑥)

𝑥=𝑠+𝑁

𝑥=1

(2.43)

- 𝑊 𝑠𝑦𝑠𝑡: le temps d’attente moyen dans le système (Loi de Little)

𝑊 𝑠𝑦𝑠𝑡 =𝐿𝑠𝑦𝑠𝑡

λ̅ (2.44)

Sachant que 𝑊 𝑠𝑦𝑠𝑡 = 1

𝜇 + Temps moyen d’attente pour réparation

1

𝜇= 𝑀𝑇𝑇𝑅 + 𝑆𝐷𝑇 (2.45)

𝑀𝑇𝑇𝑅 : est le temps moyen technique de réparation.

𝑆𝐷𝑇 : est le temps logistique

- λ̅ ∶ Le taux moyen d’arrivée à l’atelier de réparation

59

λ̅ = ∑ 𝜆𝑥𝑃(𝑋 = 𝑥)

𝑥=𝑠+𝑁

𝑥=0

(2.46)

𝜆𝑥 = 𝜆. (𝑁 + 𝑠 − 𝑥) (2.47)

𝜆𝑥 désigne le taux de défaillance lorsqu’il y a x pièce dans le système (en attente ou en cours de

réparation).

λ̅ = ∑ 𝜆. (𝑁 + 𝑠 − 𝑥)𝑃(𝑋 = 𝑥) (2.48)

𝑥=𝑠+𝑁

𝑥=0

λ̅ = 𝜆. ( 𝑁 − ∑ (𝑥 − 𝑠)𝑃(𝑋 = 𝑥)

𝑥=𝑠+𝑁

𝑥=𝑠+1

) (2.49)

À partir de l’équation (2.38):

λ̅ = 𝜆 𝑁0 (2.50)

- 𝛽: est le taux de remplissage. Par définition, c’est la probabilité que la commande pièce

soit satisfaite immédiatement.

𝛽(𝑠, 𝑘) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥)

𝑥=𝑠−1

𝑥=0

(2.51)

- 𝛼 : est le nombre moyen des pièces hors-stock- stockout

𝛼 (𝑠, 𝑘) = λ̅ (1 − 𝛽(𝑠, 𝑘)) (2.52)

Le problème d’optimisation peut être formulé comme suit :

𝑀𝑖𝑛 𝐸𝐵𝑂(𝑠, 𝑘) 𝒐𝒖 𝑀𝑖𝑛 𝑊(𝑠, 𝑘) 𝒐𝒖 𝑀𝑖𝑛 𝛼(𝑠, 𝑘)𝒐𝒖 𝑀𝑎𝑥 𝛽(𝑠, 𝑘) 𝒐𝒖 𝑀𝑎𝑥 𝑁0 (𝑠, 𝑘)

𝑀𝑖𝑛 𝐶(𝑠, 𝑘)

Avec :

𝑘 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶𝑘⌉

𝑠 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

60

2.5.2. Extension du modèle M/M/k d’Ebeling (1991, 2005) pour un réseau homogène

d’équipements multi-composant

Le modèle généralisé considère N équipements identiques ayant plus d’un composant critique.

Chaque machine contient 𝑛𝑗 composants de référence j. 𝑁𝑗 = 𝑛𝑗 𝑁, est le nombre de composants de

référence j dans un réseau de N machines. Le comportement d’arrivée des pièces défectueuses suit

un processus de poisson à taux constant 𝜆𝑗; j ∈ J = {1,2…}. Des canaux 𝑘𝑗 de réparation sont alloués

à chaque référence j de pièces de remplacement, c’est-à-dire, qu’on peut traiter une référence j à

un taux constant µ𝑗.

Le modèle d’attente devient :

Pour 𝑘𝑗 < 𝑠𝑗

𝐶𝑖 =

{

𝑁𝑗

𝑖

𝑖!(𝜆𝑗

µ𝑗)

𝑖

; 𝑖 = 1, … . . 𝑘𝑗

𝑁𝑗 𝑖

𝑘𝑗 𝑖−𝑘𝑗 𝑘𝑗 !

(𝜆𝑗

µ𝑗)

𝑖

; 𝑖 = 𝑘𝑗 + 1,… . 𝑠𝑗

𝑁𝑗 𝑠𝑗 . 𝑁!

(𝑁𝑗 − 𝑖 + 𝑠𝑗)! 𝑘𝑗 𝑖−𝑘𝑗 . 𝑘𝑗 !

(𝜆𝑗

µ𝑗)

𝑖

; 𝑖 = 𝑠𝑗 + 1,… . . 𝑠𝑗 + 𝑁𝑗

(2.53)

Pour 𝑘𝑗 ≥ 𝑠𝑗

𝐶𝑖 =

{

𝑁𝑗

𝑖

𝑖!(𝜆𝑗

µ𝑗)

𝑖

; 𝑖 = 1, … . . 𝑠𝑗

𝑁𝑗 𝑠𝑗 𝑁𝑗 !

(𝑁𝑗 − 𝑖 + 𝑠𝑗)! 𝑖!(𝜆𝑗

µ𝑗)

𝑖

; 𝑖 = 𝑠𝑗+1, … . 𝑘𝑗 (2.54)

𝑁𝑠𝑗 𝑁!

(𝑁𝑗 − 𝑖 + 𝑠𝑗)! 𝑘𝑗 𝑖−𝑘𝑗 𝑘𝑗 !

(𝜆𝑗

µ𝑗)

𝑖

; 𝑖 = 𝑘𝑗 + 1,… . . 𝑠𝑗 + 𝑁𝑗

La fonction de coût est l’empilement de tous les coûts encourus lors du processus et égale à la

somme des coûts pour chaque référence j,

𝐶𝑗 (𝑠𝑗, 𝑘𝑗) = 𝐶𝑗𝑓+ 𝐶𝑗

𝑘𝑘𝑗 + 𝐶𝑗ℎ𝑠𝑗 (2.55)

C (𝑠𝑗, 𝑘𝑗) =∑ 𝐶𝑗 (𝑠𝑗, 𝑘𝑗) 𝑗 ∈𝐽 = ∑ (𝐶𝑗𝑓+ 𝐶𝑗

𝑘𝑘𝑗 + 𝐶𝑗ℎ𝑠𝑗𝑗 ∈𝐽 ) (2.56)

Si on dénote 𝐸𝐵𝑂 𝑗(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗) le nombre moyen des pièces en attente d’être livrées pour la référence

j, on peut généraliser l’équation (2.40) et écrire la disponibilité stationnaire de la machine j:

61

𝐴(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗) = 1 − 𝐸𝐵𝑂 𝑗(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗)

𝑛𝑗 𝑁 (2.57)

L’expression de la disponibilité stationnaire ci-dessus peut prendre plusieurs formes, en fonction

de la structure du système machine de 𝑛𝑗 composants critiques de référence j.

Si on maintient le critère de l’indépendance stochastique de tous les processus de défaillance et de

réparation, la disponibilité stationnaire du réseau de N machines constitués de 𝑛𝑗 𝑁 en série

pourrait être écrite:

𝐴 =∏(1 − 𝐸𝐵𝑂 𝑗

𝑛𝑗 𝑁) 𝑛𝑗

𝑗 ∈𝐽

(2.58)

𝐴 ≈ 1 −∑ 𝑛𝑗𝐸𝐵𝑂 𝑗 𝑛𝑗 𝑁

𝑗 ∈𝐽

+ ∑ 𝑛𝑗 ( 𝑛𝑗 − 1)

2.𝐸𝐵𝑂 𝑗 𝑛𝑗 𝑁

2

𝑗 ∈𝐽

+⋯ (2.59)

Pour des petites valeurs de 𝐸𝐵𝑂 𝑗 et 𝑛𝑗 . 𝑁 grand:

𝐴 ≈ 1 −∑ 𝑛𝑗𝐸𝐵𝑂 𝑗 𝑛𝑗 𝑁

𝑗 ∈𝐽

= 1 −∑𝐸𝐵𝑂 𝑗 𝑁

𝑗 ∈𝐽

= 1 −∑ 𝐸𝐵𝑂 𝑗𝑗 ∈𝐽

𝑁

𝐴 ≈ 1 −𝐸𝐵𝑂

𝑁 (2.60)

Avec :

𝐸𝐵𝑂 = ∑ 𝐸𝐵𝑂 𝑗𝑗 ∈𝐽

(2.61)

𝐸𝐵𝑂: Le nombre moyen de pièces en attente de livraison de toutes les références des pièces.

On peut généraliser l’équation (2.39) et l’écrire:

𝐸𝐵𝑂 𝑗(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗) = ∑ (𝑥 − 𝑠𝑗)𝑃(𝑋𝑗 = 𝑥)

𝑥=𝑠𝑗+𝑁𝑗

𝑥=𝑠𝑗+1

(2.62)

Le total de temps d’attente de réparation est la pondération des temps d’attente pour chaque

référence j. Pour une règle de priorité FIFO, le temps total d’attente moyen dans le système peut

être écrit :

𝑊 = ∑λ̅𝑗

λ̅𝑡𝑜𝑡𝑊𝑗

𝑗 ∈𝐽

(2.63)

62

De la même façon, le taux de remplissage total est la pondération de tous les taux de remplissage

pour chaque référence j:

𝛽 = ∑λ̅𝑗

λ̅𝑡𝑜𝑡 𝛽𝑗(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗)

𝑗 ∈𝐽

(2.64)

De l’équation(2.51), le taux de remplissage de la référence j est écrit:

𝛽(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗) = ∑ 𝑃(𝑋𝑗 = 𝑥)

𝑥=𝑠𝑗−1

𝑥=0

(2.65)

De l’équation(2.49), le taux moyen d’arrivée des pièces défectueuses de référence j à l’atelier

de réparation:

λ̅𝑗 = 𝜆𝑗 𝑁𝑗 − 𝜆𝑗 ∑ (𝑥 − 𝑠𝑗) 𝑃(𝑋𝑗 = 𝑥) .

𝑥=𝑠𝑗+𝑁𝑗

𝑥=𝑠𝑗+1

(2.66)

De l’équation(2.52), le nombre de pièce de référence j Hors-stock- Stockout (par unité de

temps):

𝛼 𝑗(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗) = λ̅𝑗 (1 − 𝛽𝑗(𝑠𝑗, 𝑘𝑗) (2.67)

Le total des Hors-stocks- Stockout (par unité de temps):

𝛼 = ∑ 𝛼 𝑗(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗)

𝑗 ∈𝐽

(2.68)

Le problème d’optimisation peut être formulé comme suit :

𝑀𝑎𝑥 𝐴

𝑀𝑖𝑛 ∑ (𝐶𝑗𝑓+ 𝐶𝑗

𝑘𝑘𝑗 + 𝐶𝑗ℎ𝑠𝑗𝑗 ∈𝐽 )

Avec

𝑘𝑗 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − ∑ 𝐶𝑗

𝑓𝑗 ∈𝐽

∑ 𝐶𝑗𝑘

𝑗 ∈𝐽

⌉

𝑠𝑗 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − ∑ 𝐶𝑗

𝑓𝑗 ∈𝐽

∑ 𝐶𝑗ℎ

𝑗 ∈𝐽

⌉

63

2.5.2.1.Applications numériques (2.3)

La Figure.2.10 représente la courbe d’efficience, qui est la solution du problème multi-objectif

pour un réseau de 10 équipements identiques à trois composants critiques qui forme une structure en

série avec des taux de panne 𝜆𝑗 = 0.002, 0.001, 0.003 des taux de réparation est supposé

identiques, µ𝑗= 0.01 et des coûts: 𝐶1𝑘= 𝐶2

𝑘 = 𝐶3𝑘 = 100000, 𝐶1

ℎ= 40000, 𝐶2ℎ= 4000, 𝐶1

ℎ= 400.


équipements identiques à trois composants critiques en série, de taux de panne 𝜆𝑗 = 0.002, 0.001, 0.003 de

taux de réparation µ𝑗= 0.01 et avec les coûts :

𝐶1𝑘= 𝐶2

𝑘 = 𝐶3𝑘 = 100000, 𝐶1

ℎ= 40000, 𝐶2ℎ= 4000, 𝐶1

ℎ= 400

Tout comme les sections précédentes, le gestionnaire peut prendre facilement une décision éclairée

quant à la performance souhaitée dans la limite du budget de l’organisation.

La Figure.2.11 est un zoom sur la Figure.2.10 faisant apparaître la partie où figurent les différents

coûts relatifs à des disponibilités élevées. Tous les résultats de cet exemple sont donnés

explicitement dans le tableau de l’Annexe D. La performance du réseau dépend essentiellement

des paramètres influant la décision du gestionnaire, notamment, les budgets, la performance des

équipements et l’efficacité des canaux de réparation. On peut donc envisager plusieurs scénarios

en fonction des différentes valeurs des paramètres du système.

64


équipements identiques à trois composants critiques en série, de taux de panne 𝜆𝑗 = 0.002, 0.001, 0.003 de

taux de réparation µ𝑗= 0.01 et avec les coûts :

𝐶1𝑘= 𝐶2

𝑘 = 𝐶3𝑘 = 100000, 𝐶1

ℎ= 40000, 𝐶2ℎ= 4000, 𝐶1

ℎ= 400

2.5.3. Évaluation approximative du Modèle M/M/k (Gross et Harris (1982), Ebeling (1991,

2005)) pour traiter des réseaux d’équipements de grande taille

Le problème d’optimisation du genre est de complexité croissante, le nombre d'opérations

élémentaires nécessaires pour résoudre une instance donnée se croît exponentiellement en fonction

de la taille du réseau, N et de l’intensité du système d’attente, 𝜆

𝑘.𝜇 . Cette complexité réside dans

la prise en compte du phénomène d’attente, ce qui rend les formules plus complexes et leur

résolution requiert des techniques de programmation et d’outils de calcul de grande mémoire

opérationnelle.

Pour surmonter les contraintes de capacité des calculateurs, nous utilisons la formule de

Stirling pour trouver un modèle approximatif permettant de déterminer le nombre de pièces de

rechange à garder en stock et le nombre de canaux de réparation pour un réseau de grande de taille,

ce qu’il n’était pas possible de faire avec la formulation exacte.

La formule de Stirling :

𝐿𝑜𝑔 𝑁! = 𝑁 𝐿𝑜𝑔 𝑁 – 𝑁 + 0.5𝐿𝑜𝑔2𝜋𝑁 (2.69)

65

Les deux figures : Figure.2.12 et Figure.2.13 illustrent bien le triplet (Disponibilité- Capacité-

Stock) calculé par deux méthodes différentes, une méthode exacte basée sur la formulation de Gross

(1982) (équations : (2.33)et (2.34)) et une méthode approximative utilisant l’approximation de

Stirling (équation(2.69)) (Allure en rouge) pour décrire le factoriel des formulations précédentes

à une échelle logarithmique. Les résultats obtenus sont adaptés au même contexte de l’Application

numérique.3.1 mais pour deux réseaux de tailles différentes, respectivement, N=100 et N=80.

Figure.2.12. Triplet (Disponibilité- Capacité-Stock)

Résultats générés par les programmes de calcul : Projet.R.Exact Matlab.R.2014a et Projet.R.

Stirling.Matlab.R.2014a (N=100,λ = 0.0002, µ = 0.01)

66

Figure.2.13. Triplet (Disponibilité- Capacité-Stock)

Résultats générés par les programmes de calcul: Projet.R.Exact Matlab.R.2014a et Projet.R. Stirling.Matlab.R.2014a

(N=80,λ = 0.0002, µ = 0.01)

Nous remarquons que notre approximation converge rapidement vers la méthode exacte pour des

mesures de disponibilités élevées et/ou d’intensité 𝜆

𝑘.𝜇 faible. Ces écarts sont dus à la croissance

des coefficients du modèle exact à l’échelle exponentielle versus modèle approximatif à l’échelle

logarithmique.

Pour tester la robustesse du modèle approximatif, il fallait générer plusieurs instances avec

différents coefficients du modèle (taille du réseau (N), taux de panne (λ), taux de réparation (µ),

capacité de traitement (k)) par les deux méthodes : la méthode exacte (en bleu) et la méthode

approximative (en rouge), Figure.2.14.

NB : Tous les résultats sont donnés en Annexe A.

67

Figure.2.14. Calcul de la disponibilité opérationnelle avec la méthode exact (Projet.R. Stirling.Matlab.R.2014a) et

la méthode approximative (Projet.R. Stirling.Matlab.R.2014a) pour plusieurs instances : réseau de taille(N), taux de

panne (λ), taux de réparation (µ) , capacité de traitement (k) différents.

Empiriquement, la méthode approximative donne de bons résultats. Les écarts constatées

(Figure.2.15) se veulent faibles, excepté l’instance 15 ou l’écart est remarquable, cela nous conduit

d’étudier la performance de l’approximation en analysant le comportement des déviations par

rapport à l’optimum (méthode exacte). Le détail des résultats sont donnés en Annexe B.

Figure.2.15. Écarts constatées plusieurs instances : réseau de taille(N), taux de panne (λ), taux de

réparation (µ) , capacité de traitement (k) différents

68

La performance du modèle approximatif peut être vérifiée en mettant l’hypothèse que la

distribution des déviations par rapport à la solution exacte suit une loi Student de moyenne et

variance (𝜇𝐷 , 𝑣𝐷) de population (nombre d’instance, n= 24) (Boctor (2015)). La déviation du

modèle par rapport à l’optimum est représentée par la Figure.2.16.

Figure.2.16. Déviation constatées plusieurs instances : réseau de taille(N), taux de panne (λ), taux de

réparation (µ), capacité de traitement (k) différents.

Déviation par rapport à l’optimum

Maximale : 1,037

Minimale : 1,518. E-07

Moyenne des déviations, 𝜇𝐷 : 0,057

Variance des déviations, 𝑣𝐷: 0,044

intervalle de confiance: Pour un risque de 𝛼% par exemple, les déviations doivent

se situer dans un intervalle :

[𝜇𝐷 − 𝑡1−𝛼/2𝑛−1 √

𝑣𝐷𝑛 , 𝜇𝐷 − 𝑡1−𝛼/2

𝑛−1 √ 𝑣𝐷𝑛. ]

𝑡1−𝛼

2

𝑛−1: Le quantile d’ordre 1 − α/2 de la loi de Student à 𝑛 − 1 degrés de liberté.

69

Pour un risque α de 5%, par exemple, on a 95% de chance que la déviation de la méthode

approximative par rapport à la méthode exacte se situe dans un intervalle : [−0,032 , 0,145 ].

L’approximation est jugée performante avec un risque 5%.

NB : L’étude de la dominance empirique et/ou stochastique (Boctor (2015) et Golden et Assad

(1984)) du modèle approximatif s’avère intéressante si on est face à plusieurs méthodes

rapprochées à comparer.

2.6. Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre une série de modèles permettant au gestionnaire de prendre

des décisions claires et précises sur l’investissement, en inventaire et dans les ressources

nécessaires pour garantir une disponibilité d’un réseau constitué de plusieurs équipements en

opération. Nous avons proposé une approximation pouvant aider le décideur à traiter des réseaux

de grande taille. De même, nous avons étendu les modèles existants dans la littérature pour pouvoir

traiter le cas d’équipements multi-composant et des modèles avec des mesures de performance

différentes. Nous avons remarqué que les modèles approximatifs proposés donnent des résultats

valables et montrent des gains économiques remarquables en mutualisant la gestion des différentes

références des pièces de rechange.

70

Chapitre 3


assujettis à des défaillances aléatoires : Modèle avec possibilité de

passer des commandes en urgence

3.1.Introduction

Dans la pratique, il est possible d’effectuer des réparations (commandes) en urgence auprès

d’autres sources d’approvisionnement (prestataires de services) en cas de déficit de ressources. Le

processus consiste à solliciter d’autres sources lorsque la source d’approvisionnement est un atelier

central faisant partie du réseau logistique de l’entreprise, et/ou d’utiliser un moyen de transport

plus rapide mais coûteux. Donc, on peut envisager plusieurs façons de traiter une commande en

urgence dont chacune a un délai et un coût qui lui revient.

Une livraison en urgence est significativement plus rapide qu’une livraison ordinaire, elle demeure

coûteuse et paraît économiquement profitable lorsque les coûts d'immobilisation des équipements

sont élevés et/ou la baisse de disponibilité peut compromettre la productivité de l’entreprise. Cette

problématique a été soulevée dans la littérature scientifique traitant la gestion des stocks, plusieurs

auteurs ont développé des modèles analytiques incluant les demandes en urgence dans la gestion

des stocks, Gross (1963), Krishnan et Rao (1965), Tagaras, et Cohen (1992), Dada (1992),

Needham, et Evers (1998). Dans le contexte de la gestion des pièces de rechange, elle a été abordée

par plusieurs auteurs, Lee (1987), Axsäter (1990), Sherbrooke (1992), Alfredsson et Verrijdt

(1999), Kranenburg et al. (2003), Yang et al. (2013), Van Houtum et Kranenburg (2015). Ces

derniers ont constaté que l'utilisation des commandes d’urgence peut conduire à des réductions

remarquables des commandes en souffrance –EBO-Backorder, et une augmentation du niveau de

service

De leur côté, Alfredsson et Verrijdt (1999) ont montré par simulation que le modèle avec des

commandes d’urgence produit des estimations précises, et que les performances du système

d'inventaire sont insensibles aux différentes distributions du délai de livraison. Dans la plupart des

études menées par les auteurs traitant les stocks de pièces de rechange des systèmes réparables,

particulièrement Sherbrooke (1992), Kranenburg et al. (2003), il est stipulé qu’une livraison

(réparation) d’urgence peut être modélisée comme une demande perdue qui serait satisfaite par une

autre source hors système d’attente, autrement dit, la proportion de perte de l’ensemble des pièces

défectueuses arrivant dans le système sera traitée (réparée ou commandée) par un canal externe.

71

En général, les sources d’urgence sollicitées sont considérées de capacités infinies, c’est-à-dire, la

prestation de service est disponible à tout moment en cas d’urgence.

Le temps moyen et le coût d’une réparation d’une pièce en urgence sont respectivement,𝑡𝑒𝑚, 𝐶𝑒𝑚.

La proportion des pièces qui ne sont pas satisfaites par le traitement ordinaire est égale à (1- 𝛽(𝑠)).

𝛽(𝑠) est le taux de remplissage (la proportion des réparations satisfaites). C’est une mesure de

performance très importante, elle constitue parfois une exigence client et un indicateur de

performance permettant de maintenir les fournisseurs qualifiés.

Si on note 𝐶𝑇(𝑠)le coût total:

𝐶𝑇(𝑠) = 𝐶𝑓 + 𝐶ℎ.s +𝐶𝑘𝑘 + �̅�.(1- 𝛽(𝑠))𝐶𝑒𝑚 (3.1)

Pour de station de réparation de capacité illimitée, le modèle serait proche du METRIC

(Sherbrooke (1968)), la fonction du coût total peut être écrite :

𝐶𝑇(𝑠) = 𝐶ℎ.s +�̅�.(1- 𝛽(𝑠))𝐶𝑒𝑚 (3.2)

On peut écrire le temps moyen d’attente de livraison 𝑊 :

𝑊(𝑠) = (1- 𝛽(𝑠)) 𝑡𝑒𝑚 (3.3)

Des équations(2.41) et (2.42), on peut écrire la disponibilité du réseau :

𝐴(𝑠) = 1 − �̅�.𝑊(𝑠)

𝑁 (3.4)

Des équations (3.3) et (3.4) on obtient :

𝐴(𝑠) = 1 − �̅� (1 − 𝛽(𝑠))𝑡𝑒𝑚

𝑁 (3.5)

𝛽(𝑠) est donné par l’équation (2.51).

72

La décision sur le nombre de pièces de rechange à garder en stock est de choisir, parmi les points

de la courbe d’efficience, le couple (Min C, max A) qui répond aux exigences de disponibilité dans

les limites du budget. Le problème d’optimisation peut être écrit :

𝑀𝑎𝑥 𝐴(𝑠)𝑜𝑢 𝑀𝑖𝑛 𝑊(𝑠)

𝑀𝑖𝑛 𝐶𝑇(𝑠)

Avec s entier positif

Pour que le problème d’optimisation ait des solutions dans l’espace probabilisé considéré, il faut

que 𝛽(𝑠) soit fonction strictement concave et croissante.

Notons que la notion de perte dans un système d’attente fait référence à la proportion des arrivées

que le système ne peut desservir, elle est représentée par la probabilité que toutes les ressources du

système soient occupées. Cette proportion est considérée perdue au sens qu’elle quitte le système

définitivement.

Dans le contexte des pièces de rechange, cette proportion serait récupérée pour la traiter ensuite

via des canaux externes qui sont considérés plus performants en matière de temps de livraison mais

en contrepartie coûtent chères. L’estimation de la proportion de perte pour les systèmes METRIC

(capacités de traitement et la population sont considérées infinies) M | G | ∞ sont à partir de la

fonction de probabilité de perte d’Erlang –B. Il est démontré que cette probabilité de perte ne

dépend pas de la loi de service, c’est à dire que la file M | G | k | k et M | M| | k | k ont la même

estimation de probabilité de perte. Pour la démonstration, voir Lee et Miller (1998).

𝛽(𝑠) = 1 −

1𝑠!𝜌𝑠

∑1𝑗!

𝑠𝑗=0 𝜌𝑗

; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜌 =𝜆

µ (3.6)

Rappelons que la probabilité de perte d’Erlang–B est strictement convexe et décroissante en

fonction du nombre de serveur (Karush (1957)). L’évaluation de ce genre de modèle est possible

par des méthodes approximatives (heuristique gloutonne + recherches locales). Pour plus de détail

sur les méthodes de résolution de ce type de problème d’optimisation, voir Fox (1966). Une

méthode approximative est bien illustrée dans la Section.8 du livre.

La formule d’Erlang-B évalue la probabilité de pertes lorsque tous les canaux de réparation sont

occupés, si une pièce défectueuse arrive, elle est rejetée automatiquement, en constituant un « échec

» de traitement (une perte). Ce scénario nous paraît moins réaliste dans le contexte industriel, car

le fait que les ressources sont déjà occupées ne constitue pas une raison valable pour faire recours

à l’urgence immédiatement et débourser tant d’argent pour juste accélérer le traitement.

Pour relâcher cette hypothèse, nous proposons un délai d’attente maximal qui pourrait être exigé

avant de procéder à l’urgence. Donc, la pièce se loge dans le système pendant un certain délai, s’il

est dépassé, la procédure d’urgence est déclenchée. Ce délai d’attente est motivé par trois raisons

qui nous paraissent valables et reflètent la réalité industrielle :

73

- Il se peut qu’au moment où on déclenche l’urgence, une ou plusieurs pièces soient en fin

de traitement, ce qui conduirait le plus souvent à des ressources d’assignation longtemps

inactives.

- Logiquement, lorsqu’on on procède à l’urgence c’est pour vocation de compenser un déficit

de ressource tout d’abord et pour récupérer le temps perdu ensuite dans la file d’attente,

ensuite. Le coût d’urgence engagé permet de maintenir la disponibilité requise. Sinon

l’engagement de ressources supplémentaires pourrait être économiquement profitable en

ciblant des performances élevées. Ce temps est estimé en fonction de l’offre à coût/délai

pondérés, autrement dit, combien va nous coûter l’immobilisation versus l’opportunité

perdue.

- Si toutefois les modèles publiés dans la littérature réussissent à donner des estimations

valables et parfois précises à la probabilité de perte engendrés par la contrainte de capacité

des stations de réparation, ces mêmes modèles ne disent pas quand on peut déclencher

l’urgence et lesquelles des pièces sont concernées. Est-ce que le fait qu’une pièce soit en

attente, comme stipulent les modèles METRIC, constituent une condition nécessaire et

suffisante pour la faire parvenir en urgence ? Si nous faisons un rapprochement en ce sens,

nous nous trouvons dans une situation proche de l’abus d’urgence dans les moments de

blocage.

3.2.Modèle

Pour étendre les modèles existants, nous introduisons un délai d’attente maximal dans la file que

nous exigeons avant de procéder à l’urgence. La prise en compte du délai d’attente maximal dans

le modèle de décision est d’une grande utilité, car il permet d’estimer à l’avance la probabilité de

perte permettant un engagement optimal des ressources et une gestion opérationnelle efficace du

système. Lorsqu’une pièce en attente dépasse un certain délai, D, dans la file, une opération

d’urgence sera lancée. L’estimation de la proportion concernée par l’envoi en urgence permet au

gestionnaire d’envisager les sources d’approvisionnement requises, de solliciter les fournisseurs

potentiels et de négocier les contrats de service et les clauses de flexibilité y attachées, le cas

échéant.

Nous supposons qu’au moment d’arrivée d’une pièce au site de réparation, le gestionnaire ne

dispose pas d’informations sur les pièces dans le système (le temps restant des pièces en cours de

réparation, les temps d’attente des pièces déjà dans la file, etc.).

Nous nous intéressons dans notre modèle à l’étude du cas où la variable aléatoire caractérisant le

délai de patience dans la file possède la propriété markovienne, c’est-à-dire, la probabilité d’attente

est sans mémoire, l’évènement futur est indépendant des évènements passés et dépend seulement

de l’état actuel du système. La propriété PASTA- Poisson Arrivals See Time Average (Wolff

(1982)) demeure une propriété clé des processus de Poisson. La connaissance du temps d’arrivée

74

d’une pièce ne donne aucune information sur les temps d’arrivée des autres pièces, particulièrement

les pièces déjà arrivées.

Nous maintenons la même notation et hypothèses du Chapitre 2, et nous Posons :

𝑇𝑖 la variable aléatoire caractérisant le temps d’arrivée de la ième pièce défectueuse au site de

réparation. On suppose qu’une seule pièce arrive à la fois (arrivées unitaires). Pour i entier, les 𝑇𝑖

est une suite de variable aléatoire croissante.

𝐼𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑇𝑖−1 est une variable aléatoire qui caractérise les temps d’inter-arrivée des pièces au site

de réparation. Pour une population infinie, 𝐼𝑖 est constante, le processus stochastique des arrivées

peut posséder la propriété markovienne, les temps d’inter-arrivée des pièces défectueuses au site

de réparation suivent une loi de poisson à paramètre constant.

𝐷𝑖 la variable aléatoire caractérisant le délai d’attente associé à l’arrivée d’une pièce défectueuse i

à l’atelier de réparation. 𝑆𝑖 son délai de réparation.

Si le temps de séjour d’une pièce défectueuse i dans la file est noté 𝑊 𝑖𝑞 , le temps total de son

séjour dans système (file + canal de réparation):

𝑊𝑖 = (𝑊 𝑖𝑞 + 𝑆𝑖). 𝑃{𝑊 𝑖

𝑞 < 𝐷𝑖}+ 𝐷𝑖 . 𝑃{𝑊 𝑖𝑞 ≥ 𝐷𝑖} (3.7)

Pour une pièce donnée i, 𝜋𝑖 est la probabilité que le temps d’attente dans la file soit supérieure au

temps d’attente maximal autorisé.

𝜋𝑖 = 𝑃{𝑊 𝑖𝑞 < 𝐷𝑖} (3.8)

Supposant que toutes les variables aléatoires sont supposées indépendantes et identiquement

distribuées (i.i.d), le système opère dans un régime permanent et toutes les variables aléatoires

possèdent la propriété markovienne de :

𝜆 = 1

𝐸[𝐼] ; µ =

1

𝐸[𝑆] ; 𝜂 =

1

𝐸[𝐷] 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑠

La pièce est en attente lorsque tous les canaux de réparation sont occupés. La chaîne de Markov

associée au processus de défaillance, de réparation et d’attente est représentée :

Pour 𝑘 < 𝑠 (Figure.3.1)

0 1 2 k-1 k k+1

Nλ


Nλ Nλ

s-1 s s+1

kµ+(s-k)η kµ +η

N+S-1 N+s

kµ +2η kµ+(s-k-1)η kµ+(s+1-k)η kµ +(s-k+2)η kµ + (N+s-k-1)η kµ+(N+s-k)η

Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ (N-1)λ 2λ λ

Figure.3.1. Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation

pour k< 𝑠

75

Lorsque le système atteint l’équilibre, selon le principe de conservation de flux en régime

permanent, nous obtenons les formules de récurrence suivantes :

1) 𝑖 = 1,2… . . 𝑘

0 1 2 k-1 kNλ


Nλ Nλ

kµ +η

Nλ Nλ Nλ

𝑃0. 𝑁𝜆 = µ. 𝑃1.⇒ 𝑃1 =

𝑁𝜆

µ𝑃0

𝑃1. 𝑁𝜆 = 2µ. 𝑃2.⇒ 𝑃2 =

𝑁𝜆

µ𝑃1 =

(𝑁𝜆)2

2( µ)2𝑃0

𝑃3. 𝑁𝜆 = 3µ. 𝑃2.⇒ 𝑃3 =

𝑁𝜆

3µ𝑃2 =

(𝑁𝜆)3

3.2.1( µ)3𝑃0

𝑃𝑖 . 𝑁𝜆 = 𝑖µ. 𝑃𝑖−1.⇒ 𝑃𝑖 =

𝑁𝜆

𝑖µ𝑃𝑖−1 =

(𝑁𝜆)𝑖

𝑖!( 𝜇)𝑖𝑃0; 𝑖 = 1,2… . . 𝑘

𝑃𝑖 =(𝑁𝜆)𝑖

𝑖! µ𝑖𝑃0 (3.9)

2) 𝑖 = 𝑘 + 1,… . , 𝑠

k k+1 s-1 s

kµ+(s-k)η kµ +η kµ +2η kµ+(s-k-1)η kµ+(s+1-k)η

Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ

𝑃𝑘. 𝑁𝜆 = ( 𝑘µ + 𝜂). 𝑃𝑘+1.⇒ 𝑃𝑘+1 =

𝑁𝜆

( 𝑘µ+1𝜂)𝑃𝑘

𝑃𝑘+1. 𝑁𝜆 = ( 𝑘µ + 2𝜂). 𝑃𝑘+2.⇒ 𝑃𝑘+2 =

𝑁𝜆

( 𝑘µ+2𝜂)𝑃𝑘+1=

(𝑁𝜆)2

( 𝑘µ+2𝜂)( 𝑘µ+1𝜂)𝑃𝑘

𝑃𝑘+𝐽= (𝑁𝜆)𝐽

∏ ( 𝑘µ+(𝑗−𝑘)𝜂)𝑗=𝐽𝑗=1

𝑃𝑘= (𝑁𝜆)𝐽


(𝑁𝜆)𝑘

𝑘!µ𝑘𝑃0

𝑃𝑘+𝐽= 1


(𝑁𝜆)𝐽+𝑘

𝑘!µ𝑘𝑃0; 𝐽 = 1,2, … . , 𝑠 − 𝑘;

76

𝑃𝑖 =1

∏ ( 𝑘µ + (𝑗 − 𝑘)𝜂)𝑗=𝑖−𝑘𝑗=1

(𝑁𝜆)𝑖

𝑘! ( 𝜇)𝑘𝑃0 (3.10)

3) 𝑖 = 𝑠 + 1, ……𝑠 + 𝑁

s+1 N+S-1 N+s

kµ+(s+1-k)η kµ +(s-k+2)η kµ + (N+s-k-1)η kµ+(N+s-k)η

Nλ (N-1)λ 2λ λ

𝑃𝑠. 𝑁𝜆 = ( 𝑘µ + (𝑠 − 𝑘 + 1)𝜂). 𝑃𝑠+1 .⇒ 𝑃𝑠+1 =

𝑁𝜆

( 𝑘µ+(𝑠−𝑘+1)𝜂) 𝑃𝑠

𝑃𝑠+1. (𝑁 − 1)𝜆 = ( 𝑘µ + (𝑠 − 𝑘 + 2)𝜂). 𝑃𝑠+2.⇒ 𝑃𝑠+2 =

(𝑁 − 1)𝜆

( 𝑘µ + (𝑠 − 𝑘 + 2)𝜂)𝑃𝑠+1

𝑃𝑠+2 = 𝑁(𝑁 − 1)𝜆2

( 𝑘µ + (𝑠 − 𝑘 + 2)𝜂). ( 𝑘µ + (𝑠 − 𝑘 + 1)𝜂)𝑃𝑠

𝑃𝑠+𝐿 = 𝜆𝐿 . ∏ (𝑁 − 𝑙 + 1)𝑙=𝐿

𝑙=1

∏ ( 𝑘µ + (𝑠 − 𝑘 + 𝑙)𝜂)𝑙=𝐿𝑙=1

𝑃𝑠

𝑃𝑠+𝐿 = 𝜆𝐿 . ∏ (𝑁 − 𝑙 + 1)𝑙=𝐿

𝑙=1

∏ ( 𝑘µ + (𝑠 − 𝑘 + 𝑙)𝜂)𝑙=𝐿𝑙=1

1

∏ ( 𝑘µ + (𝑗 − 𝑘)𝜂)𝑗=𝑠−𝑘𝑗=1

(𝑁𝜆)𝑠

𝑘! ( 𝜇)𝑘𝑃0

On a :

∏(𝑁− 𝑙 + 1)

𝑙=𝐿

𝑙=1

= 𝑁!

(𝑁 − 𝐿)!

𝑃𝑠+𝐿 = 𝑁!

(𝑁 − 𝐿)!∏ ( 𝑘µ + (𝑠 − 𝑘 + 𝑙)𝜂)𝑙=𝐿𝑙=1

1

∏ ( 𝑘µ + (𝑗 − 𝑘)𝜂)𝑗=𝑠−𝑘𝑗=1

𝜆𝐿 . (𝑁𝜆)𝑠

𝑘! ( 𝜇)𝑘𝑃0 ;

𝐿 = 1,2, ……𝑁

𝑃𝑖 =𝑁! 𝑁𝑠

(𝑁 + 𝑠 − 𝑖)! ∏ ( 𝑘µ + (𝑠 − 𝑘 + 𝑙)𝜂)∏ ( 𝑘µ + (𝑗 − 𝑘)𝜂)𝑗=𝑠−𝑘𝑗=1

𝑁=𝑖−𝑠𝑙=1

𝜆𝑖

𝑘! ( 𝜇)𝑘𝑃0

(3.11)

77

Pour 𝑘 < 𝑠

𝑃𝑖

{

(𝑁𝜆)𝑖

𝑖! µ𝑖𝑃0; 𝑖 = 1,2, … . . 𝑘

1

∏ ( 𝑘µ + (𝑗 − 𝑘)𝜂)𝑗=𝑖−𝑘𝑗=1

(𝑁𝜆)𝑖

𝑘! ( 𝜇)𝑘𝑃0 ; 𝑖 = 𝑘 + 1,… . . 𝑠

𝑁! 𝑁𝑠



𝜆𝑖

𝑘! ( 𝜇)𝑘𝑃0 ; ; 𝑖 = 𝑠 + 1,……𝑠 + 𝑁 𝑖 = 𝑠 + 1,… . . 𝑠 + 𝑁

; 𝑖 = 𝑠 + 1,…… 𝑠 + 𝑁

Pour 𝑘 ≥ 𝑠 (Figure.3.2)

0 1 2 s-1 s s+1

Nλ

2µ 3µ (s-1)µ sµ

Nλ Nλ

k-1 k k+1

kµ (s+1)µ

N+S-1 N+s

kµ+η kµ+2η

Nλ Nλ Nλ 2λ λ(N-1)λ

(s+2)µ (k-1)µ

(N+S-k+2)λ (N+S-k)λ(N+S-k+1)λ (N+S-k-1)λ

µ kµ + (N+s-k-1)η kµ+(N+s-k)η

Figure.3.2. : Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation

pour 𝑘 ≥ 𝑠

Selon le principe de conservation de flux nous obtenons les formules de récurrence suivantes :

1) 𝑖 = 1,2… . . 𝑠

0 1 2 s-1 s

Nλ

2µ 3µ (s-1)µ sµ

Nλ Nλ

(s+1)µ

Nλ Nλ Nλ

µ

Idem que l’équation (3.1)

𝑃𝑖 =(𝑁𝜆)𝑖

𝑖! µ𝑖𝑃0 (3.12)

78

2) 𝑖 = 𝑠 + 1,……𝑘

s s+1 k-1 k

kµ (s+1)µ kµ+η

Nλ (N-1)λ

(s+2)µ (k-1)µ

(N+S-k+2)λ (N+S-k)λ(N+S-k+1)λ

𝑃𝑠. 𝑁𝜆 = ( 𝑠 + 1)µ. 𝑃𝑠+1 .⇒ 𝑃𝑠+1 =

𝑁𝜆

( 𝑠+1) 𝑃𝑠

𝑃𝑠+1. (𝑁 − 1)𝜆 = ( 𝑠 + 2)µ. 𝑃𝑠+2

𝑃𝑠+2 = (𝑁−1)𝜆

( 𝑠+2)µ𝑃𝑠+1=

𝑁(𝑁−1)𝜆.𝜆

( 𝑠+2)( 𝑠+1)µ.µ𝑃𝑠+1=

𝑁(𝑁−1)𝜆2

( 𝑠+2)( 𝑠+1)µ2𝑃𝑠

𝑃𝑠+𝐽 = 𝜆𝐽.∏ (𝑁−𝑗+1)

𝑗=𝐽𝑗=1

µ𝐽∏ ( 𝑠+𝑗)𝑗=𝐽𝑗=1

𝑃𝑠

𝑃𝑠+𝐽 = 𝜆𝐽. ∏ (𝑁 − 𝑗 + 1)

𝑗=𝐽𝑗=1

µ𝐽∏ ( 𝑠 + 𝑗)𝑗=𝐽𝑗=1

(𝑁𝜆)𝑠

𝑠! µ𝑠𝑃0

On a :

∏(𝑁 − 𝑗 + 1)

𝑙=𝐽

𝑙=1

= 𝑁!

(𝑁 − 𝐽)!

∏( 𝑠 + 𝑗)

𝑗=𝐽

𝑗=1

= ( 𝑠 + 𝐽)!

𝑠!

𝑃𝑠+𝐽 = 𝜆𝐽. 𝑁!. 𝑠!

µ𝐽(𝑁 − 𝐽)! ( 𝑠 + 𝐽)!

(𝑁𝜆)𝑠

𝑠! µ𝑠𝑃0; 𝐽 = 1,2, ……𝑁

𝑃𝑠+𝐽 = 𝑁𝑠𝑁!

(𝑁 − 𝐽)! ( 𝑠 + 𝐽)!

(𝜆)𝑠+𝐽

µ𝑠+𝐽𝑃0; 𝑖 = 𝑠 + 1,……𝑘

𝑃𝑖 = 𝑁𝑠𝑁!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑖)! 𝑖!

𝜆𝑖

µ𝑖𝑃0 (3.13)

79

3) 𝑖 = 𝑘 + 1,… . . 𝑁 + 𝑆

k k+1 N+S-1 N+s

kµ+η kµ+2η

2λ λ(N+S-k)λ (N+S-k-1)λ

kµ + (N+s-k-1)η kµ+(N+s-k)η

𝑃𝑘. (𝑁 + 𝑠 − 𝑘)𝜆 = (𝑘µ + 𝜂). 𝑃𝑘+1 .⇒ 𝑃𝑘+1 =

(𝑁+𝑠−𝑘)𝜆

(𝑘µ+𝜂)𝑃𝑘

𝑃𝑘+1. (𝑁 + 𝑠 − (𝑘 + 1))𝜆 = (𝑘µ + 2𝜂). 𝑃𝑘+2 .⇒ 𝑃𝑘+2 =

(𝑁+𝑠−(𝑘+1))𝜆

(𝑘µ+2𝜂)𝑃𝑘+1

𝑃𝑘+2 =(𝑁 + 𝑠 − (𝑘 + 1)) (𝑁 + 𝑠 − 𝑘)𝜆2

(𝑘µ + 2𝜂) (𝑘µ + 𝜂)𝑃𝑘

𝑃𝑘+𝐿 =𝜆𝐿 . ∏ (𝑁 + 𝑠 − (𝑘 + 𝑙 − 1)𝑙=𝐿

𝑙=1

∏ (𝑘µ + 𝑙𝜂)𝑙=𝐿𝑙=1

𝑃𝑘; 𝐿 = 1,2… . . 𝑁 + 𝑆 − 𝑘

On a :

∏(𝑁+ 𝑠 − (𝑘 + 𝑙 − 1)

𝑙=𝐿

𝑙=1

= (𝑁 + 𝑠)!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘 − 𝐿)!

𝑃𝑘+𝐿 =(𝑁 + 𝑠)!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘 − 𝐿)!

𝜆𝐿


𝑃𝑘; 𝐿 = 1,2… . . 𝑁 + 𝑆 − 𝑘

𝑃𝑘+𝐿 =(𝑁 + 𝑠)!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘 − 𝐿)!

𝜆𝐿


𝑃𝑘; 𝐿 = 1,2… . . 𝑁 + 𝑆 − 𝑘

𝑃𝑘+𝐿 =(𝑁 + 𝑠)!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘 − 𝐿)!

𝜆𝐿


𝑁𝑠𝑁!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘)! 𝑘!

𝜆𝑘

µ𝑘𝑃0 ;

𝐿 = 1,2… . . 𝑁 + 𝑆 − 𝑘

𝑃𝑘+𝐿 =(𝑁 + 𝑠)!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘 − 𝐿)!

𝑁!


𝑁𝑠

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘)! 𝑘!

𝜆𝑘+𝐿

µ𝑘𝑃0 ;

𝐿 = 1,2… . . 𝑁 + 𝑆 − 𝑘

𝑃𝑖 =(𝑁 + 𝑠)!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑖)!

𝑁!

∏ (𝑘µ + 𝑙𝜂)𝑙=𝑖−𝑘𝑙=1

𝑁𝑠

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘)! 𝑘!

𝜆𝑖

µ𝑘𝑃0 (3.14)

80

Pour 𝑘 ≥ 𝑠

𝑃𝑖

{

𝑃𝑖 =

(𝑁𝜆)𝑖

𝑖! µ𝑖 𝑃0; 𝑖 = 1,2, … . . 𝑘

𝑃𝑖 = 𝑁𝑠𝑁!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑖)! 𝑖!

𝜆𝑖

µ𝑖𝑃0 ; 𝑖 = 𝑘 + 1,… . 𝑠

(𝑁 + 𝑠)!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑖)!

𝑁!


𝑁𝑠

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘)! 𝑘!

𝜆𝑖

µ𝑘 𝑃0; 𝑖 = 𝑘 + 1,…………𝑁 + 𝑆

3.2.1. Récapitulatif du modèle

La probabilité, en régime permanente, pour qu’il y ait i pièces dans le système :

Pour k <s

𝑃𝑖

{

(𝑁𝜆)𝑖

𝑖! µ𝑖𝑃0; 𝑖 = 1,2, … . . 𝑘

1

∏ ( 𝑘µ + (𝑗 − 𝑘)𝜂)𝑗=𝑖−𝑘𝑗=1

(𝑁𝜆)𝑖

𝑘! ( 𝜇)𝑘𝑃0 ; 𝑖 = 𝑘 + 1, , … . . 𝑠 (3.15)

𝑁! 𝑁𝑠



𝜆𝑖

𝑘! ( 𝜇)𝑘𝑃0 ; ; 𝑖 = 𝑠 + 1,……𝑠 + 𝑁 𝑖 = 𝑠 + 1,… . . 𝑠 + 𝑁

; 𝑖 = 𝑠 + 1,…… 𝑠 + 𝑁

Pour 𝑘 ≥ 𝑠

𝑃𝑖

{

(𝑁𝜆)𝑖

𝑖! µ𝑖 𝑃0; 𝑖 = 1,2, … . . 𝑠

𝑁𝑠𝑁!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑖)! 𝑖!

𝜆𝑖

µ𝑖𝑃0 ; 𝑖 = 𝑠 + 1,… . 𝑘 (3.16)

(𝑁 + 𝑠)!

(𝑁 + 𝑠 − 𝑖)!

𝑁!


𝑁𝑠

(𝑁 + 𝑠 − 𝑘)! 𝑘!

𝜆𝑖

µ𝑘 𝑃0; 𝑖 = 𝑠 + 1, …………𝑁 + 𝑆

De même que l’équation (2.35), la probabilité qu’il n’y ait aucune pièce dans le système

d’attente:

𝑃0 = 𝑃(𝑋 = 0) = 1

(1 + 𝐶1 + 𝐶2 +⋯+ 𝐶𝑠+𝑁)=

1

1 + ∑ 𝐶𝑖𝑖=𝑠+𝑁𝑖=1

81

3.2.2. Mesures de performance

La probabilité de déclencher une procédure d’urgence, en régime permanent, est égale à la

probabilité de perte d’une pièce défectueuse après un délai d’attente moyen 𝐸[𝐷] = 1

𝜂 dans la file:

𝜋 = 1 − 𝛽 = ∑ 𝜂. 𝑃𝑛𝑖=𝑁+𝑠𝑖=𝑘+1

�̅� (3.17)

Le nombre moyen de pièces jugé valable pour les faire parvenir pour réparation d’urgence après

un délai maximal de séjour D dans la file est 𝜋. �̅�.

À partir des équations (3.5) et (3.17), la disponibilité peut être écrite :

𝐴 = 1 −∑ 𝜂. 𝑃𝑖𝑖=𝑁+𝑠𝑖=𝑘+1

𝑁 𝑡𝑒𝑚 (3.18)

3.2.3. Problème d’optimisation

Le problème d’optimisation est écrit :

𝑀𝑎𝑥 𝐴 (𝑠, 𝑘, 𝜂 ) = 1 −∑ 𝜂. 𝑃𝑖𝑖=𝑁+𝑠𝑖=𝑘+1

𝑁 𝑡𝑒𝑚

𝑀𝑖𝑛 {𝐶𝑓 + 𝐶𝑘𝑘 + 𝐶ℎ 𝑠 + �̅�. (1 − 𝛽(𝑠, 𝑘, 𝜂 ))𝐶𝑒𝑚 }

Avec :

𝑘 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶𝑘⌉

𝑠 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

NB :

- Le problème d’optimisation ci-haut est valable dans le cas où la gamme des pièces à gérer

est réparable. Toutefois, nous pouvons ajuster la fonction de coûts pour l’adapter à un

contexte de consommables (articles non-réparables). Le problème d’optimisation peut être

écrit :

82

𝑀𝑎𝑥 𝐴 (𝑠, 𝑘, 𝜂 ) = 1 −∑ 𝜂. 𝑃𝑖𝑖=𝑁+𝑠𝑖=𝑘+1

𝑁 𝑡𝑒𝑚

𝑀𝑖𝑛 {𝐶𝑓 + 𝐶𝑘𝑘 + 𝐶ℎ ( 𝑠 −�̅�

𝜇. 𝛽(𝑠, 𝑘, 𝜂 )) + �̅�. (1 − 𝛽(𝑠, 𝑘, 𝜂 )). 𝐶𝑒𝑚 }

Avec:

𝑘 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶𝑘⌉

𝑠 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

Nous remarquons que la proportion �̅�

𝜇. 𝛽(𝑠, 𝑘, 𝜂 ) , soustraite du nombre de stock en main

OH, représente, dans un régime permanent, le nombre de pièces qui sont satisfaites par les

commandes ordinaires, elles sont commandées, elles ne sont pas encore en possession de

stock.

En outre, certaines pièces de rechange consommables sont couvertes par des garanties

légales de conformité. Les fournisseurs acceptent le retour des pièces non-réparables pour

les retravailler contre un coût de remise de « défectueux irréparable », qui serait

généralement soustrait du coût d’achat de la pièce neuve, ce qui permet des réductions

remarquables sur les coûts d’achat de quelques pièces. Pour une gamme de pièces de

rechange donnée, cette propriété peut être considérée comme un critère de classification

intéressant. Actuellement, ces pratiques sont devenues courantes chez la plupart des

fournisseurs. Comme mentionné dans la section.1.1.1, ce genre de prestations offertes

couvre la quasi-totalité des industries, elle fait partie des démarches de

réapprovisionnement écoresponsable que les entreprises adoptent en couvrant une partie

importante de gestion de leurs processus dans une perspective de développement durable.

- Le modèle de décision avec commande en urgence peut être généralisé pour gérer un parc

machines multi-composant, similaire à que nous avons vu dans la section 2.5.2. La fonction

du coût total est l’empilement de tous les coûts engendrés par l’investissement en ressource,

les commandes (ordinaires et d’urgences), l’achat et le stockage des pièces, etc., pour

chaque référence 𝑗 ∈ 𝐽 (catégorie de composants jugée critiques pour le fonctionnement de

la machine ou l’appareil). Nous pouvons écrire le coût total CT :

- Pour les consommables :

𝐶𝑇 = 𝐶𝑓 +∑𝐶𝑗𝑘𝑘𝑗

.

𝑗 ∈𝐽

+∑𝐶𝑗ℎ (𝑠𝑗 −

�̅�𝑗

𝜇𝑗. 𝛽𝑗(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗 , 𝜂𝑗 )) +∑𝜆�̅�. (1 − 𝛽𝑗(𝑠𝑗 , 𝑘𝑗 , 𝜂𝑗 ). 𝐶𝑗

𝑒𝑚

.

𝑗 ∈𝐽

.

𝑗 ∈𝐽

(𝟑. 𝟏𝟗)

83

- Pour les réparables :

𝑪𝑻 = 𝑪𝒇 +∑𝑪𝒋𝒌𝒌𝒋

.

𝒋 ∈𝑱

+∑𝑪𝒋𝒉𝒔𝒋 +∑𝝀�̅�. (𝟏 − 𝜷𝒋(𝒔𝒋, 𝒌𝒋, 𝜼𝒋 ). 𝑪𝒋

𝒆𝒎

.

𝒋 ∈𝑱

.

𝒋 ∈𝑱

(𝟑. 𝟐𝟎)

À partir des relations (2.60) et (2.64), la disponibilité du réseau peut être écrite:

𝑨(𝒔) ≈ 𝟏 − �̅�𝒕𝒐𝒕.𝑾(𝒔)

𝑵 (𝟑. 𝟐𝟏)

De même que la relation (2.62), le taux de panne total (le nombre de pièces qui arrivent au

système:

λ̅𝑡𝑜𝑡 = ∑ λ̅𝑗

𝑗 ∈𝐽

À partir de la propriété (2.60) qui suppose que les différentes références sont de criticité

égale et que la règle de priorité dans le système de file d’attente est FIFO, le total de temps

d’attente 𝑊 est écrit comme (2.64) :

𝑊 = ∑λ̅𝑗

λ̅𝑡𝑜𝑡𝑊𝑗

𝑗 ∈𝐽

On peut généraliser l’équation (3.3) et écrire le temps moyen d’attente de livraison d’une

pièce de référence j:

𝑊𝑗 = (1- 𝛽𝑗 ). 𝑡𝑗𝑒𝑚 (3.22)

Nous substituons (2.64) dans (3.22), nous aurons :

𝑊 = ∑λ̅𝑗

λ̅𝑡𝑜𝑡(1 − 𝛽𝑗 ). 𝑡𝑗

𝑒𝑚 (3.23)

𝑗 ∈𝐽

Nous substituons (3.22) dans (3.21), pour décrire la disponibilité du réseau, qui est

donnée par l’équation suivante :

𝐴 = 1 − ∑ λ̅𝑗 . (1 − 𝛽𝑗 ). 𝑡𝑗

𝑒𝑚 𝑗 ∈𝐽

𝑁 (3.24)

En général, la résolution du problème d’optimisation de la problématique de gestion des

pièces de rechange pour un réseau d’équipements identiques constitués de plusieurs

84

composants est une courbe d’efficience résultante de la solution du problème multi-objectif

suivant :

𝑀𝑎𝑥 𝐴 (équation(3.24))𝑜𝑢 𝑀𝑖𝑛 𝑊(équation(3.23))

𝑴𝒊𝒏 𝑪𝑻 (é𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏(𝟑.𝟏𝟗))𝒐𝒖 𝑴𝒊𝒏 𝑪𝑻 (é𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏(𝟑.𝟐𝟎))

𝑠, 𝑘 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓𝑠

3.3.Applications numériques (3.1)

pour le même contexte de la section 2.4.2.3.1.Applications numériques (2.2), réseau de 10

machines identiques de taux de panne 𝜆 = 0.002, de taux de réparation 𝜇= 0.01 et avec les coûts:

𝐶𝑘= 2000, 𝐶ℎ= 4000.

Une procédure d’urgence à temps de traitement en urgence 𝑡𝑒𝑚 = 20, coût, 𝐶𝑒𝑚=8000 et taux

d’attente dans la file 𝜂 = 0.01.

s k tem 𝜼 EBO L Lsyst Lamdabar Perte W A CT A.METRIC

1 1 5 0 5,1741 4,8259 6,1732 0,0097 0 536,07 1 6000 0,99762979

1 1 5 0,01 1,5876 8,4124 2,5655 0,0168 0,0093 94,357 0,9953 6001 0,99472361

1 1 10 0,01 1,5876 8,4124 2,5655 0,0168 0,0093 94,357 0,9907 6001 0,98944722

1 1 5 0,05 0,8684 9,1316 1,7827 0,0183 0,0371 47,55 0,9814 6005 0,99409933

1 1 10 0,05 0,8684 9,1316 1,7827 0,0183 0,0371 47,55 0,9629 6005 0,98819866

Tableau 3.1. Extrait des résultats (Annexe E) :

Commande d’urgence: Résultats générés pour plusieurs instances.

Le Tableau 3.1 est un extrait tiré des résultats donnés en (Annexe E) et présentés graphiquement

par la Figure.3.3. L’Allure en bleu représente les résultats de notre approche, tandis que celle en

rouge représente les résultats engendrés par l’utilisation de l’approche basée sur la probabilité de

perte d’Erlang-B.

Nous remarquons que la disponibilité augmente à chaque fois que le temps de livraison d’urgence

( 𝑡𝑒𝑚) et le délai d’attente moyen 𝐸[𝐷] = 1

𝜂 diminuent.

De même, un temps de traitement en urgence, 𝑡𝑒𝑚 = 1

µ= 100 est équivalent d’un canal de

réparation supplémentaire.

85

Comme le montre la Figure.3.3, notre approche donne des résultats similaires à ceux dégagés par

l’approche METRIC (Sherbrooke (1968)) avec la plupart des instances générées. Van Houtum et

al. (2015), comme tous les chercheurs du courant de recherche METRIC, utilisent la probabilité de

perte d’Erlang-B pour estimer la proportion soumise aux traitements d’urgence. Les écarts

constatés entre les deux approches sont dus à la prise en compte du délai d’attente maximal dans

la file dans notre modèle, contrairement à l’approche METRIC qui tient compte de la perte due à

l’occupation des serveurs (canaux de réparation). Pour un délai d’attente moyen 𝐸[𝐷] = 1

𝜂 très

grand, les deux approches donnent presque les mêmes résultats car les pertes dues au délai d’attente

maximal toléré sont nulles.

La quasi-linéarité constatée dans l’allure de notre modèle (en bleu) reflète et consolide l’hypothèse

des capacités de traitement infinie METRIC (Sherbrooke (1968)). L’ajout des canaux de réparation

dans notre modèle ne change pas la disponibilité (investissement inutile). Dans des contextes

similaires, l’hypothèse de la capacité infinie donnée par Sherbrooke (1968) est valable.

Figure.3.3. Commande d’urgence: Résultats générés par Projet.Commande.Urgence.Matlab.R.2014a pour plusieurs

instances. Comparaison avec l’approche METRIC (en rouge).

Temps de livraison 𝑡𝑒𝑚 = 20, de coût, 𝐶𝑒𝑚=8000 et taux d’attente dans la file 𝜂 = 0.01, pour le même contexte de

Des Application numériques (2.2) : réseau de 10 équipements identiques de taux de panne 𝜆 = 0.002, de taux de

réparation 𝜇= 0.01 et avec les coûts : 𝐶𝑘= 2000, 𝐶ℎ= 4000.

86

NB : Bien évidemment, les résultats obtenus sont basés sur l’hypothèse que toutes les

variables aléatoires caractérisant les processus de défaillance, de réparation et d’attente des

pièces dans la file sont de distributions exponentielles. La littérature scientifique est riche

de contributions traitants le système de files d’attente avec un délai de service et de délai

d’attente de distribution générale. Iravani et Balcioglu (2008) a étudié le cas de M/G/1+M,

le délai de service de distribution générale et des délais d’attente Markovien. Ce cas, si

généralisé pour une capacité de service infinie, peut être adaptée au modèle METRIC en

rendant l’approximation de la probabilité de perte plus améliorée. Boxma et al. (2001) a

étudié également le cas de M/G/1+G. Ils supposent que la nouvelle pièce arrivant dans le

système dispose d’informations sur les pièces présentes dans le système et peut décider

d’entrer ou non dans la file d’attente. Choi et Chung (2001) ont introduit une approche

simple pour l'analyse des systèmes M/M/k avec un temps d’attente déterministe.

3.4.Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre un modèle décisionnel permettant de passer des commandes

d’urgence à des échelons supérieurs considérés de capacité illimitée. Contrairement à l’approche

METRIC (Sherbrooke (1968)), l’introduction d’un délai d’attente maximal dans la file permet

d’opérationnaliser la question d’urgence dans le contexte de la gestion des pièces de rechange. La

propriété markovienne est une estimation peu réaliste mais les résultats obtenus ont montré que le

modèle est insensible à cette hypothèse. Toutefois, nous pouvons affiner les résultats et proposer

un modèle en utilisant un délai d’attente maximal déterministe. Cette particularité reflète bien la

réalité industrielle. La prise en compte d’un délai d’attente déterministe est laborieuse, l’évaluation

du modèle devient complexe. Cette extension fera l’objet de travaux futurs.

87

Chapitre 4


assujettis à des défaillances aléatoires : Modèles multi-échelon

4.1.Introduction

Dans les chapitres 2 et 3, nous avons présenté une série de modèles de décision traitant la

problématique des pièces réparables, consommables ou les deux combinés en utilisant la théorie

des files d’attente. Nous avons vu que ces modèles s’adaptent bien à des organisations possédant

un ou plusieurs entrepôts d’alimentation régionaux, qui sont étroitement liés à des sources

d’approvisionnement en amont considérées de capacités illimitées.

Dans ce chapitre, nous étudions le cas d’un réseau composé d'un stock central et de plusieurs stocks

régionaux. Contrairement aux modèles précédents, le stock central est considéré de capacité limitée

et chargé d’alimenter les stocks régionaux via une politique de réapprovisionnement unitaire. La

boucle de défaillance et de réparation (commande et livraison en cas de consommables) s’étend à

des échelons supérieurs. Nous décrivons un modèle générique à deux échelons, qui est en réalité

une extension du modèle traité dans les chapitres 2 et 3, pour lequel nous imposons et nous

relâchons quelques hypothèses permettant de nous aligner avec les grands axes de recherche dans

le domaine. Pour mieux affiner les résultats, nous proposons une procédure numérique pour décrire

l’empilement des convolutions résultant des processus stochastiques décrivant le temps d’inter-

arrivées des pièces défectueuses, le temps de traitement, le temps de transport, etc. Nous dédions à

chacun un algorithme qui décrit au mieux la recherche d’une solution. Une étude comparative, avec

les modèles les plus performants que connaissent la littérature scientifique et les applications

industrielles, est effectuée.

4.2.Modèle

Le réseau que nous étudions présente un système de réapprovisionnement à deux échelons. Il est

constitué de stocks régionaux et d’un stock central chargé de les alimenter avec système de

recomplètement unitaire (S, S-1). Le réseau global est constitué de plusieurs sous-réseaux

régionaux de 𝑚𝑗 machines. Le processus de défaillance (commande) et de réparation (livraison)

est bien décrit dans la Figure.4.1.

88


N2

Stock1Si

Stock2

Stockj

Stock central

Stockk

S0

N5,1

N4

N5,2N5,iN5,k

N1,1N1,2N1,jN1,k

N3

N6,1N6,2N6,jN6,k

N7,1N7,2N7jN7,k

N0,1N0,2N0,jN0,k

m1m2mjmk

Canaux de transport

Figure.4.1. Réseau d’alimentation à deux échelons avec centre de réparation

4.2.1. Notation

𝑀 = ∑ 𝑚𝑗𝑘𝑗=1 : Le nombre total de machines dans le réseau.

Les processus des arrivées des pièces défectueuses, de la réparation, des transferts des pièces

traitées et de la mise à disposition des pièces pour maintenance sont des processus stochastiques à

temps continus.

Soit à l’instant t, les variables aléatoires :

𝑁0(𝑡) = ∑ 𝑁0,𝑗(𝑡)𝑘𝑗=1 : Le nombre total de machines en opération.

𝑁0,𝑗(𝑡): Le nombre de machine en opération dans la région j.

𝑁1(𝑡) = ∑ 𝑁1,𝑗(𝑡)𝑘𝑗=1 : Le nombre de pièces défectueuses dans les canaux de transport à

destination de réparation.

𝑁1,𝑗(𝑡): Le nombre de pièces défectueuses dans le canal de transport reliant la région j avec

l’atelier de réparation.

𝑁2(𝑡): Le nombre de pièces dans l’atelier de réparation.

89

𝑁3 (𝑡): Le nombre de pièces réparées qui sont dans le canal de transfert à destination stock

central.

𝑁4 (𝑡): Le nombre de pièces dans le stock central.

𝑁5 (𝑡) = ∑ 𝑁5,𝑗(𝑡)𝑘𝑗=1 ∶ Le nombre de pièces dans les canaux de transport à destination stocks

régionaux.

𝑁5,𝑗(𝑡): Le nombre de pièces dans le canal de transport reliant le stock central avec le stock j.

𝑁6 (𝑡) = ∑ 𝑁6,𝑗(𝑡)𝑘𝑗=1 ∶ Le nombre de pièces dans les stocks régionaux.

𝑁6,𝑗(𝑡): Le nombre de pièces dans le stock régional j.

𝑁7 (𝑡) = ∑ 𝑁7,𝑗(𝑡)𝑘𝑗=1 ∶ Le nombre de pièces dans les canaux de mise à disposition pour

maintenance.

𝑁7,𝑗(𝑡): Le nombre de pièces dans le canal de mise à disposition reliant le stock régional j et la

maintenance.

4.2.2. Fondement du modèle

1)

𝑁1(𝑡) + 𝑁2(𝑡) + 𝑁3 (𝑡) + 𝑁4(𝑡) = 𝑆0 (4.1)

𝑁4(𝑡) = 𝑆0 − (𝑁1(𝑡) + 𝑁2(𝑡) + 𝑁3 (𝑡))

Posons 𝑋(𝑡) la variable aléatoire résultant de la convolution de 𝑁1(𝑡), 𝑁2(𝑡) 𝑒𝑡 𝑁3 (𝑡).

Si 𝑁1(𝑡), 𝑁2(𝑡) 𝑒𝑡 𝑁3 (𝑡) sont mutuellement exclusives, nous pouvons écrire:

𝑋(𝑡) = ∑𝑁1,𝑗(𝑡)

𝑘

𝑗=1

+ 𝑁2(𝑡) + 𝑁3 (𝑡) (4.2)

𝑁4(𝑡) = 𝑆0 − 𝑋(𝑡) (4.3)

𝑁4(𝑡) est l’état de stock central à un instant t donné, il peut prendre deux formes: soit une rupture

de stock dont le nombre BO-Backorder number soit un stock en main dont le nombre OH- Stock

on Hand.

𝑁4(𝑡) = {𝑂𝐻0(𝑡) = [𝑆0 − 𝑋(𝑡)]

+

.𝐵𝑂0(𝑡) = [𝑆0 − 𝑋(𝑡)]

− (4.4)


90

𝑂𝐻0(𝑡) − 𝐵𝑂0(𝑡) = 𝑆0 − 𝑋(𝑡) (4.5)

La probabilité que le stock en main contienne x pièces de rechange :

P (𝑂𝐻0(𝑡) = 𝑥) = {

𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑆0 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑆0.

∑ 𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑦)𝑆0+𝑀+∑ 𝑠𝑗

𝑘𝑗=1

𝑦=𝑆0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

(4.6)

La probabilité de rupture de stock peut être écrite :

P (𝐵𝑂0(𝑡) = 𝑥) = {

𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑆0 + 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ ∑ 𝑚𝑗𝑘𝑗=1

.

∑ 𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑦)𝑆0𝑦=0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

(4.7)


processus de défaillance et de réparation du réseau :

𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑋 =∫ 𝑋(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (4.8)

𝐸[𝑂𝐻0(𝑡) ] = ∫ 𝑂𝐻0(𝑡) d𝑡𝑇

0

𝑇 (4.9)

𝐸[𝐵𝑂0(𝑡) ] =∫ 𝐵𝑂0(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (4.10)

Le nombre moyen de pièces dans le stock central :

𝐸[𝑂𝐻0(𝑆0, 𝑡) ] = ∑(𝑆0 − 𝑥). P (𝑋(𝑡) = 𝑥)

𝑆0

𝑥=0

(4.11)

Le nombre moyen de pièces en souffrance dans le stock central -Backorders:

𝐸[𝐵𝑂0(𝑆0, 𝑡) ] = ∑ (𝑥 − 𝑆0). P (𝑋(𝑡) = 𝑥) (4.12)

𝑆0+𝑀+∑ 𝑠𝑗𝑘𝑗=1

𝑥=𝑆0+1

À partir des équations (4.11) et (4.12)on obtient:

𝐸[𝑂𝐻0(𝑆0, 𝑡)] − 𝐸[𝐵𝑂0(𝑆0, 𝑡)] = 𝑆0 − 𝑋(𝑡) (4.13)

2)

𝐵𝑂0(𝑡) +∑𝑁5,𝑗(𝑡)

𝑘

𝑗=1

+∑𝑁6,𝑗(𝑡)

𝑘

𝑗=1

=∑𝑆𝑗

𝑘

𝑗=1

(4.14)

91

𝐵𝑂0(𝑡) = ∑𝐵𝑂0,𝑗(𝑡) (4.15)

𝑘

𝑗=1

La fraction des Backorders pour chaque région j est donnée en fonction du taux 𝛼𝑗 désignant le

poids de chaque région j:

𝐵𝑂0,𝑗(𝑡) = 𝛼𝑗 𝐵𝑂0(𝑡) (4.16)

𝛼𝑗 dépend la concentration des flux dans chaque région, autrement dit, du taux de panne 𝜆𝑗 et de la

criticité de la pièce (la règle de priorité dans le système d’attente):

∑𝛼𝑗 = 1 (4.17)

𝑘

𝑗=1

Pour chaque région j, la somme des flux égale au niveau du stock 𝑆𝑗 (principe de conservation de

la matière dans le réseau logistique):

𝛼𝑗 𝐵𝑂0(𝑡) + 𝑁5,𝑗(𝑡) + 𝑁6,𝑗(𝑡) = 𝑆𝑗 (4.18)

𝑁6,𝑗(𝑡) = 𝑆𝑗 − 𝛼𝑗 𝐵𝑂0(𝑡) − 𝑁5,𝑗(𝑡)

𝑁6,𝑗(𝑡) = 𝑆𝑗 − 𝑌𝑗(𝑡) (4.19)

𝑌𝑗(𝑡) est la convolution de la proportion de Backorders du stock central correspondante à la région

j et le nombre de pièces dans le canal de transport reliant le stock central avec le stock j:

𝑌𝑗(𝑡) = 𝛼𝑗 𝐵𝑂0(𝑡) + 𝑁5,𝑗(𝑡) (4.20)

Tout comme la section précédente, la variable aléatoire 𝑁6,𝑗(𝑡) est l’état du stock régional j à un

instant t donné, il peut prendre deux formes: soit une rupture de stock dont le nombre est BO-

Backorder number, soit un stock en main dont le nombre est OH- Stock on Hand.

𝑁6,𝑗(𝑡) = {𝑂𝐻𝑗(𝑡) = [𝑆𝑗 − 𝑌𝑗(𝑡)]

+

.𝐵𝑂𝑗(𝑡) = [𝑆𝑗 − 𝑌𝑗(𝑡)]

− (4.21)


𝑂𝐻𝑗(𝑡) − 𝐵𝑂𝑗(𝑡) = 𝑆𝑗 − 𝑌𝑗(𝑡) (4.22)

La probabilité que le stock en main j contienne x pièces de rechange est donnée par l’équation :

92

P (𝑂𝐻𝑗(𝑡) = 𝑥) = {

𝑃 (𝑌𝑗(𝑡) = 𝑆𝑗 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑆.

∑ 𝑃 (𝑌𝑗(𝑡) = 𝑦)𝑆𝑗+𝑚𝑗𝑦=𝑆𝑗

𝑠𝑖 𝑥 = 0 (4.23)

La probabilité de rupture du stock j de x pièces de rechange est donnée par l’équation :

P (𝐵𝑂𝑗(𝑡) = 𝑥) = {

𝑃 (𝑌𝑗(𝑡) = 𝑆𝑗 + 𝑥) 𝑠𝑖 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑚𝑗.

∑ 𝑃 (𝑌𝑗(𝑡) = 𝑦)𝑆𝑗𝑦=0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

(4.24)


processus de défaillance et de réparation du réseau régional j:

𝐸[𝑌𝑗(𝑡)] =∫ 𝑌𝑗 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (4.25)

𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑡)] =∫ 𝑂𝐻𝑗(𝑡)𝑡𝑇

0

𝑇 (4.25)

𝐸[𝐵𝑂𝑗(𝑡) ] =∫ 𝐵𝑂𝑗(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (4.26)

Le nombre moyen de pièces dans le stock régional j:

𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗 , 𝑡) )] = ∑(𝑆𝑗 − 𝑥) 𝑃 (𝑌𝑗(𝑡) = 𝑥)

𝑆𝑗

𝑥=0

(4.27)

Le nombre moyen de pièces en souffrance dans le stock régional j :

𝐸[𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗 , 𝑡) ] = ∑ (𝑥 − 𝑆𝑗)𝑃 (𝑌𝑗(𝑡) = 𝑥)

𝑆𝑗+𝑚𝑗

𝑥=𝑆𝑗+1

(4.28)

À partir des équations (4.27) et (4.28) on obtient:

𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗, 𝑡) )] − 𝐸[𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗 , 𝑡) ] = 𝑆𝑗 − 𝑌𝑗 (𝑡) (4.29)

3)

𝐵𝑂𝑗(𝑡) + 𝑁7,𝑗(𝑡) + 𝑁0,𝑗(𝑡) = 𝑚𝑗 (4.30)

Pour l’ensemble du réseau nous avons :

∑𝐵𝑂𝑗(𝑡) +

𝑘

𝑗=1

𝑁0(𝑡) + 𝑁7(𝑡) =∑𝑚𝑗

𝑘

𝑗=1

(4.31)

𝑁0(𝑡) est le nombre total des machines en opération dans tous le réseau:

93

𝑁0(𝑡) =∑𝑁0,𝑗(𝑡) (4.32)

𝑘

𝑗=1

𝑁7(𝑡) est le nombre de pièces dans tous les canaux de mise à disposition pour la maintenance:

𝑁7(𝑡) =∑𝑁7,𝑗(𝑡) (4.33)

𝑘

𝑗=1

La disponibilité instantanée 𝐴(𝑡) est la proportion du temps de bon fonctionnement des machines

à l’instant t, elle est égale au rapport entre le nombre de machines en opération en temps t, 𝑁0(𝑡), et

le nombre total de machines du parc, 𝑀 = ∑ 𝑚𝑗𝑘𝑗=1 .

𝐴(𝑡) = 𝑁0(𝑡)

∑ 𝑚𝑗𝑘𝑗=1

(4.34)

Des équations (4.31) et (4.34):

𝐴(𝑡) = 1 −∑ 𝐵𝑂𝑗(𝑡)𝑘𝑗=1 + 𝑁7(𝑡)


(4.35)

L’espérance mathématique de la disponibilité instantanée 𝐴(𝑡) sur un horizon 𝑇:

𝐴 = 𝐸[𝐴(𝑡)] =∫ 𝐴(𝑡)𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (4.36)

De l’équation (4.35):

𝐴 = 1 − 𝐸 [∑ 𝐵𝑂𝑗 (𝑆0, 𝑆𝑗, 𝑡)

𝑘𝑗=1 ] + 𝐸[𝑁7(𝑡)]


(4.37)

Si 𝐵𝑂𝑗(𝑡) sont des évènements mutuellement exclusifs:

𝐸 [∑ 𝐵𝑂𝑗 (𝑆0, 𝑆𝑗, 𝑡)𝑘𝑗=1 ] = ∑ 𝐸 [𝐵𝑂𝑗 (𝑆0, 𝑆𝑗, 𝑡)]

𝑘𝑗=1 (4.38)

L’équation (4.37) peut-être écrite:

𝐴 = 1 − ∑ 𝐸 [𝐵𝑂𝑗 (𝑆0, 𝑆𝑗, 𝑡) ]𝑘𝑗=1 + 𝐸[𝑁7(𝑡)]


(4.39)

94

Le problème d’optimisation d’un système multi-échelon est écrit :

{

Min 𝐶(𝑆0,𝑆𝑗) = 𝐶ℎ. ( 𝐸 [𝑂𝐻0(𝑆0, 𝑡) ]+∑𝐸 [𝑂𝐻𝑗 (𝑆0, 𝑆𝑗,, 𝑡)])

𝑘

𝑗=1

+𝐶𝑇

(

∑𝐸[𝑁1,𝑗(𝑡)]

𝑘

𝑗=1

+ 𝐸[𝑁3(𝑡)]

+ ∑𝐸[𝑁5,𝑗(𝑡)]+

𝑘

𝑗=1

∑𝐸[𝑁7,𝑗(𝑡)]

𝑘

𝑗=1 )

+𝐶𝐾. K + 𝐶𝑓 .

𝑀𝑎𝑥 𝐴 = 1 − ∑ 𝐸[𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗 , 𝑡) ]𝑘𝑗=1 + ∑ 𝐸[𝑁7,𝑗(𝑡)]

𝑘𝑗=1


Avec :

𝐾 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶𝐾⌉

𝑆0 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

𝑆𝑗 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

NB: Pour une mise à disposition quasi-immédiate des pièces pour maintenance, 𝑁7(𝑡) =

0. Les différents coûts par unité de temps sont donnés comme suit :

𝐶𝑓: La somme des coûts fixes.

𝐶𝑇: Coût de transport.

𝐶𝐾: Coût variable de réparation.

𝐶ℎ: Coût de stockage de la pièce.

La résolution de ce problème d’optimisation bi-objectif permet de tracer la courbe d’efficience

(Coût, Disponibilité). Le gestionnaire peut prendre des décisions éclairées quant à l’investissement

en achat, en inventaire, en transport, etc., pour garantir une disponibilité donnée.

Le modèle est complexe, il est impossible de le résoudre sans limitations et hypothèses. Les

hypothèses énumérées dans le chapitre 2 demeurent inchangées. L’analyse du modèle permet

d’étudier des cas intéressants qui peuvent être tirés de ce modèle générique.

95

4.2.3. Analyse du modèle

Si les processus stochastiques qui engendrent tous les évènements de défaillance, de réparation et

de transport demeurent inchangés le long de l’horizon de planification, le système peut être étudié

en régime permanent, et on aura :

𝐸[𝑋 ] = 𝑋 = lim𝑇→∞

∫ 𝑋(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (4.40)

𝐸[𝑂𝐻0(𝑆0) ] = lim𝑇→∞

∫ 𝑂𝐻0(𝑡) d𝑡𝑇

0

𝑇=∑(𝑆0 − 𝑥). P (𝑋 = 𝑥)

𝑆0

𝑥=0

(4.41)

𝐸[𝐵𝑂0(𝑆0)] = lim𝑇→∞

∫ 𝐵𝑂0(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇= ∑ (𝑥 − 𝑆0). P (𝑋 = 𝑥)


𝑥=𝑆0+1

(4.42)

𝑌𝑗 = lim𝑇→∞

∫ 𝑌𝑗(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇 (4.43)

𝐸[𝑂𝐻𝑗 (𝑆0, 𝑆𝑗)] = lim𝑇→∞

∫ 𝑂𝐻𝑗(𝑡) d𝑡𝑇

0

𝑇 = ∑(𝑆𝑗 − 𝑥). P (𝑌𝑗 = 𝑥)

𝑆𝑗

𝑥=0

(4.44)

𝐸[𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗 ] = lim𝑇→∞

∫ 𝐵𝑂𝑗(𝑡) 𝑑𝑡𝑇

0

𝑇= ∑ (𝑥 − 𝑆𝑗). P (𝑌𝑗 = 𝑥)

𝑆𝑗+𝑚𝑗

𝑥=𝑆𝑗+1

(4.45)

Pour 𝑚𝑗 → ∞ , c’est-à-dire que le nombre d’équipements dans les sous-réseaux régionaux est

infini, le temps d’inter-arrivées des pièces de rechange va tendre vers une distribution de Poisson

de paramètre λ𝑗 .

Si les capacités des stations de réparation et des différents canaux de transport sont considérées

illimitées, la part des coûts réservés à la réparation et au transport peut être considérée comme un

investissement d’assignation au sens comptable, donc ce sont des coûts fixes qui peuvent être

actualisés au fur et à mesure :

𝐶(𝑆0, 𝑆𝑗) = 𝐶ℎ. ( 𝐸[𝑂𝐻0(𝑆0) ] +∑𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗,)])

𝑘

𝑗=1

+ 𝐶𝑓 (4.46)

Dans cet environnement où les capacités sont illimitées, le type de processus stochastique qui

engendre le transport et la réparation n’a point d’impact sur le processus résultant comme stipule

le théorème de Palm (1938), il peut être de distribution générale de moyen de temps de réparation

égal à 1

µ. Comme nous l’avons mentionné dans le chapitre 3, cet environnement est adapté au

contexte METRIC (Sherbrooke (1968)).

96

Dans le même contexte, le processus de défaillance suit une loi de poisson de paramètre constant

λ et de délai de traitement général de moyenne 1

µ. On peut considérer des délais de transports par

unités de temps (1unité de temps), la probabilité en régime permanent qu’il y ait x pièces

défectueuses dans la réparation (Palm (1938)) :

𝑃{𝑋 = 𝑥} =𝜆𝑥

µ𝑥. 𝑥!𝑒− λµ ; 𝑥 entier (4.47)

𝐸[𝑋 ] = λ

µ (4.48)

Le taux d’arrivée des pièces défectueuses à la station de réparation (cas d’une station de réparation

centrale) :

𝜆 = ∑𝜆𝑗

𝑘

𝑗=1

(4.49)


𝐸𝐵𝑂0(𝑆0) = 𝐸[𝑋 ] − 𝑆0 + 𝐸𝑂𝐻(𝑆0)

Et des équations (4.48) et (4.11):

𝐸𝐵𝑂0(𝑆0) = λ

µ− 𝑆0 +∑(𝑆0 − 𝑥)P (𝑋 = 𝑥)

𝑆0

𝑥=0

(4.50)

De l’équation (4.20) nous tirons la même expression en régime permanent:

𝑌𝑗 = 𝛼𝑗 . 𝐵𝑂0 + 𝑁5,𝑗 (4.51)

En assurant l’indépendance stochastique des distributions de 𝑁5,𝑗 et 𝛼𝑗𝐵𝑂0, la distribution de 𝑌𝑗

est le résultat de la convolution des deux distributions 𝑁5,𝑗 et 𝛼𝑗𝐵𝑂0.

Pour des distributions quelconques, la convolution des deux distributions (𝑁5,𝑗 et 𝛼𝑗𝐵𝑂0.) peut être

déterminée approximativement par des procédures numériques.


𝐸𝐵𝑂𝑗 (𝑆0, 𝑆𝑗) = 𝐸[𝑌𝑗] − 𝑆𝑗 +∑(𝑆𝑗 − 𝑥)P (𝑌𝑗 = 𝑥) (4.52)

𝑆𝑗

𝑥=0

97

NB: Pour le cas où le nombre de pièces de rechange dans le canaux de transport du stock central

vers le stock régional j, 𝑁5,𝑗, est considéré négligeable (𝑁5,𝑗 ≈ 0).Cela traduit par des moyens de

transport rapides et des taux de défaillance faible:

𝑌𝑗 = 𝛼𝑗 𝐵𝑂0 (4.53)

La moyenne de 𝑌𝑗 est écrite:

𝐸[𝑌𝑗] = 𝐸[𝑁5,𝑗] + 𝐸[ 𝛼𝑗 . 𝐵𝑂0 ] (4.54)

Si 𝛼𝑗 et 𝐵𝑂0 sont mutuellement exclusifs:

𝐸[𝑌𝑗] = 𝐸[𝑁5,𝑗] + 𝐸[ 𝛼𝑗]. 𝐸𝐵𝑂0(𝑆0) (4.55)


𝐸𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗) = 𝐸[𝑁5,𝑗(𝑡)] + 𝐸[ 𝛼𝑗]. 𝐸𝐵𝑂0(𝑆0) − 𝑆𝑗 +∑(𝑆𝑗 − 𝑥)P (𝑌𝑗 = 𝑥) (4.56)

𝑆𝑗

𝑥=0

Si les composants des équipements sont de criticité égale, ce qui est moins réaliste dans le cas d’un

réseau d’équipements constitués de plusieurs composants critiques, la règle FIFO convient le

mieux. On peut donner une approximation à 𝛼𝑗 en réalisant un contexte binomial typique:

𝑃 (𝐵𝑂𝑗 = 𝑥) = ∑ (𝑦

𝑥)


𝑦=𝑥

( 𝜆𝑗

∑ 𝜆𝑗𝑘𝑗=1

)

𝑥

(1 − 𝜆𝑗


)

𝑦−𝑥

𝑃 (𝐵𝑂0 = 𝑦) (4.57)

L’équation (4.54) devient:

𝐸[𝑌𝑗] = 𝐸[𝑁5,𝑗] + 𝜆𝑗


𝐸𝐵𝑂0(𝑆0) (4.58)

𝐸[ 𝛼𝑗] = 𝜆𝑗


(4.59)

𝑁5,𝑗 suit une loi de Poisson à paramètre 𝜆𝑗 . 𝐸[𝑡5,𝑗], l’équation (4.56) devient:

𝐸𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗) = 𝜆𝑗 . 𝐸[𝑡5,𝑗] + 𝜆𝑗


𝐸𝐵𝑂0(𝑆0) − 𝑆𝑗 +∑(𝑆𝑗 − 𝑥)P (𝑌𝑗 = 𝑥)

𝑆𝑗

𝑥=0

(4.60)

Même si cette hypothèse parait limitative, elle peut garantir une approximation valable si les

conditions citées auparavant s’imposent.

98

Le problème d’optimisation peut être résolu par l’algorithme de programmation proposé ci-

dessous :

ALGORITHME.4.1

𝐶𝑓 , 𝐶ℎ, 𝜆𝑗 , µ , 𝑚𝑗 , 𝜆 = ∑ 𝜆𝑗𝑘𝑗=1 , 𝑀 = ∑ 𝑚𝑗

𝑘𝑗=1

Pour 𝑆0 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡−𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉; Pour 𝑆𝑗 = 1,2, … ⌈

𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡−𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉;

Étape 1: Pour une distribution de𝑋:

- Déterminer 𝐸𝑂𝐻0(𝑆0) ∶

𝐸𝑂𝐻0(𝑆0) = ∑(𝑆0 − 𝑥) P (𝑋 = 𝑥)

𝑆0

𝑥=0

- Déterminer 𝐸𝐵𝑂0(𝑆0):

𝐸𝐵𝑂0(𝑆0) = λ

µ− 𝑆0 + 𝐸𝑂𝐻0(𝑆0)

Étape 2 : pour tout j = 1 à k

- Déterminer 𝑌𝑗:

𝑌𝑗 = 𝛼𝑗 𝐵𝑂0 + 𝑁5,𝑗

𝑌𝑗 : 𝑝𝑟𝑜𝑐é𝑑𝑢𝑟𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑞𝑢𝑒, 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠(𝑀𝐸𝑇𝑅𝐼𝐶, 𝐺𝑅𝐴𝑉𝐸𝑆, 𝐴𝐷𝐴𝑁 𝐸𝑇 𝐴𝐿. 𝑒𝑡𝑐. )

𝐸𝑂𝐻𝑗(𝑆𝑗) = ∑(𝑆𝑗 − 𝑥) P (𝑌𝑗 = 𝑥)

𝑆𝑗

𝑥=0

𝐸𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗) = 𝜆𝑗 . 𝐸[𝑡5,𝑗] + 𝜆𝑗


𝐸𝐵𝑂0(𝑆0) − 𝑆𝑗 + 𝐸𝑂𝐻𝑗(𝑆𝑗)

Étape 3 :

- Déterminer la disponibilité A:

1 −∑ 𝐸𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗)𝑘𝑗=1

𝑀

- Déterminer le coût total C

𝐶(𝑆0, 𝑆𝑗) = 𝐶ℎ. (𝐸𝑂𝐻(𝑆0) +∑𝐸𝑂𝐻𝑗(𝑆𝑗))

𝑘

𝑗=1

+ 𝐶𝑓

Les résultats du modèle à deux échelons dépendent essentiellement de l’approximation de 𝑌𝑗 qui

est la convolution des deux distributions 𝑁5,𝑗 et 𝛼𝑗𝐵𝑂0 .

Sherbrooke(1968) utilise une approximation simple pour caractériser 𝑌𝑗 par une distribution de

Poisson à paramètre �̅� = 𝐸[𝑌𝑗] .

Graves (1985) utilise une évaluation approximative de 𝑌𝑗 en utilisant le Two-Moment Fits. La

distribution résultante dépend du rapport 𝑉𝐴𝑅[𝑌𝑗]

𝐸[𝑌𝑗]. Si

𝑉𝐴𝑅[𝑌𝑗]

𝐸[𝑌𝑗]< 1, on peut considérer 𝑌𝑗 de

99

distribution binomiale négative. Si 𝑉𝐴𝑅[𝑌𝑗]

𝐸[𝑌𝑗]= 1 la distribution 𝑌𝑗 peut être approximée par une

distribution de Poisson à paramètre constant �̅� = 𝐸[𝑌𝑗].

Aussi, Adan et al. (1996) proposent une évaluation approximative en utilisant une mixture de

distributions (Binomiale, Poisson, Binomiale négative et Géométrique). La distribution convenant

à 𝑌𝑗 dépend du coefficient de variation 𝑎𝑗:

𝑎𝑗 =𝑉𝐴𝑅[𝑌𝑗] − 𝐸[𝑌𝑗]

𝐸[𝑌𝑗]2

Notre approche consiste à générer une procédure numérique permettant de trouver la convolution

des deux distributions discrètes 𝑁5,𝑗 et 𝛼𝑗𝐵𝑂0:

𝑃(𝑌𝑗 = 𝑥) =∑𝑃(𝐵𝑂𝑗 = 𝑧). 𝑃(𝑁5,𝑗 = 𝑥 − 𝑧)

𝑧=𝑥

𝑧=0

(4.61)

À partir des distributions des probabilités de 𝛼𝑗𝐵𝑂0, (équation (4.56)) et de la distribution de 𝑁5,𝑗

qui est supposé suit une loi de Poisson à paramètre 𝜆𝑗 . 𝐸[𝑡5,𝑗]:

𝑃(𝑌𝑗 = 𝑥) = ∑

∑ (𝑦

𝑧)


𝑦=𝑧

( 𝜆𝑗


)

𝑧

(1 − 𝜆𝑗


)

𝑦−𝑧

𝑃 (𝐵𝑂0(𝑆0) = 𝑦).

(𝜆𝑗.𝐸[𝑡5,𝑗])

𝑥−𝑧

(𝑥 − 𝑧)!𝑒−(𝜆𝑗.𝐸

[𝑡5,𝑗]

𝑧=𝑥

𝑧=0

(4.62)


𝑃(𝑌𝑗 = 𝑥)

=

{

∑𝜆𝑛

µ𝑛. 𝑛!𝑒− λµ + ∑ (1 −

𝜆𝑗


)

𝑦𝑆0+𝑀+∑ 𝑠𝑗

𝑘𝑗=1

𝑦=1

𝜆(𝑦+𝑆0)

µ(𝑦+𝑆0). (𝑦 + 𝑆0)!𝑒− λµ . 𝑒−(𝜆𝑗.𝐸

[𝑡5,𝑗] ; 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 = 0

𝑆0

𝑛=0

∑𝜆𝑛

µ𝑛. 𝑛!𝑒− λµ +

𝑆0

𝑛=0

∑ (1 − 𝜆𝑗


)

𝑦𝑆0+𝑀+∑ 𝑠𝑗

𝑘𝑗=1

𝑦=1

𝜆(𝑦+𝑆0)

µ(𝑦+𝑆0). (𝑦 + 𝑆0)!𝑒− λµ .

+


𝑥

𝑥!𝑒−(𝜆𝑗.𝐸

[𝑡5,𝑗] +

∑

∑ (𝑦

𝑧)


𝑦=𝑧

( 𝜆𝑗


)

𝑧

(1 − 𝜆𝑗


)

𝑦−𝑧𝜆(𝑦+𝑆0)

µ(𝑦+𝑆0). (𝑦 + 𝑆0)!𝑒− λµ .


𝑥−𝑧

(𝑥 − 𝑧)!𝑒−(𝜆𝑗.𝐸

[𝑡5,𝑗]

𝑧=𝑥

𝑧=1

; 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ≤ 𝑆0 +𝑀 +∑ 𝑠𝑗

𝑘

𝑗=1

(4.63)

100

La procédure itérative s’arrête lorsque 𝐸𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗) et/ou 𝐸𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗) convergent et ce pour des

valeurs 𝑥, 𝑧 et 𝑦 comprises, dans l’intervalle, [0, 𝑆0 +𝑀 + ∑ 𝑠𝑗𝑘𝑗=1 ].


Prenons l’exemple d’une organisation disposant d’un parc de 𝑚𝑗 équipements mono-composant

critique (taux de panne 𝜆𝑗 ), d’un stock central (𝑆0), d’un atelier de réparation (taux de réparation

µ ) et de douze stocks régionaux (𝑆𝑗) (j=12). Le coût de stockage (𝐶ℎ) est supposé le même pour

toutes les régions y compris le stock central. Les délais de transfert (temps de transport) sont

considérés à l’unité. 𝑡𝑖,𝑗 = 1 ; (𝑖 = 1, 3, 5).

𝑚𝑗 = 100, 150, 100, 150, 100, 150, 100, 150, 100, 150, 100, 150

𝜆𝑗 = 0.15, 0.2, 0.13, 0.23,0.32, 0.26, 0.29, 0.4, 0.14 , 0.28, 0.11, 0.25

µ = 0.25; 𝐶ℎ = 10000$.

Les résultats obtenus sont comparés avec les trois autres approches, Sherbrooke (1968), Graves

(1985) et Adan et al. (1996), que nous avons encodées dans des programmes respectifs.

Figure.4.2. Niveaux stocks régionaux. Résultats obtenus par Projet.Multi.Echelon.Matlab.R.2014a pour quatre

approches : notre procédure numérique (BLEU), Sherbrooke (1968) (NOIRE), Graves (1985) (VERT) et Adan et al.

(1996) (ROUGE)

101

Figure.4.3. Zoom sur le stock 3

Figure.4.4. Nombre de Backorder. Résultats obtenus par Projet.Multi.Echelon.Matlab.R.2014a pour quatre

approches : notre procédure numérique (BLEU), Sherbrooke (1968) (NOIRE), Graves (1985) (VERT) et Adan et al.

(1996) (ROUGE)

102

Figure.4.5. Zoom sur le stock 10

NB : Le détail des résultats est donné en Annexe.E.

Figure.4.6. Écarts constatés avec les trois autres approches, Sherbrooke (1968), Graves (1985) et Adan et al. (1996)

NB: Si le stock central est de capacité infinie, on aura 𝐸𝐵𝑂0(𝑆0) = 0 (aucune rupture de stock

central n’est envisagée), les modèles pourraient être adaptés au contexte mono-échelon, similaire

à celui traité dans le chapitre 2.

Si nous étendons ce problème pour le cas multi-composant, similaire à ce que nous avons abordé

à la section.2.5.2, nous nous retrouverons avec un problème d’optimisation de grande taille. Par

conséquent, sa résolution est très difficile en raison de la complexité du problème. Plusieurs

méthodes d’évaluation ont été proposées dans la littérature traitant ce type de problème, soit par

103

des méthodes exactes (Slay (1984), Graves (1985), Caggiano et al. (2007), Rustenburg et al. (2003),

Stenius et al. (2011)), soit par des méthodes d’approximations (heuristiques) (Wong et al. (2007)).

Une bonne revue de méthodes de résolution de ce type de problèmes se trouve dans Kranenburg,

et Van Houtum (2015).

En relâchant l’hypothèse METRIC (les capacités et le nombre d’équipements dans le réseau étaient

supposées illimités), Diaz et Fu (1997) ont proposé des modèles approximatifs pour traiter les

problèmes à capacité de réparation limitée. Ensuite, Ils ont effectué une étude comparative entre

trois méthodes: METRIC Sherbrooke (1968), l’approximation de Two-Moment Fits (Graves

(1985)) et l’estimation de 𝐸[𝑁2] et VAR[𝑁2] par le modèle M/M/K (Gross et Harris (1985)). Des

écarts importants ont été constatés pour différentes intensités λ

µ et différents taux de services. Ces

écarts sont dus au phénomène d’attente provoqué par la contrainte de capacité des stations de

réparation surtout quand λ

µ augmente. Plusieurs approximations intéressantes ont été détaillées à

la section.2.4.2.1 pouvant servir d’approximation pour évaluer les modèles multi-échelon.

Par ailleurs, nous tenons à préciser que le réseau étudié jusqu’à présent est adapté à la plupart des

organisations industrielles, particulièrement, les entreprises dont le déploiement peut franchir les

frontières, ex. Plateformes pétrolières, réseaux éoliens, etc. Plusieurs configurations peuvent être

envisagées, l’objectif de toute organisation est de concevoir un réseau profitable, durable et robuste,

capable de s’adapter à tous les futurs plausibles. Le choix d’une configuration donnée doit être en

cohérence avec la stratégie de l’entreprise à long terme en maximisant le rendement du capital

investi ROC. Comme nous l’avons précisé au Chapitre 1, les entreprises de production de biens et

de services vivent des mutations, on peut assister des développements technologiques, des

restructurations (Alliances, fusions, etc.) qui poussent les entreprises à revoir leurs installations et

l’architecture global du réseau par des implantations et des retraits afin de s’adapter avec la

conjoncture de la nouvelle économie ou à conquérir de nouveaux marchés. Cette problématique

relève de la planification stratégique et de la réingénierie des réseaux d’affaires, ce volet dépasse

les objectifs de notre mémoire. Pour la problématique de design des chaînes logistiques et du choix

des sites d’affaires, voir Brown et Gibson (1972), Daganzo et Newell (1986), Langevin et Riopel

(2005), Martel (2007).

La Figure 4.2. Illustre un exemple d’une organisation où chaque région détient un stock et un

atelier de réparation. Le modèle mathématique décrivant tous les processus du réseau subira peu

de changement:

𝑁3 (𝑡) = ∑𝑁3,𝑗(𝑡)

𝑘

𝑗=1

(4.64)

Sous les mêmes hypothèses (capacités illimitées, population infinie), tous les coefficients du

modèle restent inchangés, hormis, les arrivées 𝑁3,𝑗 des pièces (réparées ou commandées) au stock

central qui peuvent être représentées par une distribution de poisson avec paramètre

104

𝜆𝑗

µ. 𝐸[𝑡1,𝑗].. 𝐸[𝑡3,𝑗], où 𝐸[𝑡1,𝑗].. 𝐸[𝑡3,𝑗] représentent les temps moyen de transports dans les canaux

liant le parc machine, l’atelier de réparation et le stock central.


Stock1

SjStock

2

Stock central

Stockj

S0

N5,1

N4

N5,2N5,j

N1,1N1,2

N3,j

N1,j

N6,1N6,2N6,j

N7,1N7,2N7j

N0,1N0,2N0,j

m1m2mj

Canaux de transport



N3,1

N3,2

N2,1N2,2N2,j

Figure.4.7. Réseau d’alimentation à deux échelons avec des ateliers de réparation régionaux

Le réseau logistique peut avoir plusieurs configurations, et ce, selon les objectifs de l’organisation

et sa mission. Le pilotage des flux au niveau tactique dépend de comment les ressources durables

de l’entreprise (magasins, ateliers, entrepôts, etc.) sont déployées, de la planification des moyens à

engager, et de la politique de contrôle des flux (physiques ou symboliques) adoptée.

Si la configuration du réseau est liée principalement à l’aménagement et au déploiement physique

des installations de l’entreprise, le pilotage des flux peut agir avec une certaine flexibilité. Partager

les ressources et échanger de la matière et de l’information entre sites régionaux peut engendrer

des gains substantiels et des performances élevées. Cette configuration qui est de nature purement

logique requiert un système d’information performant et des modèles de décisions robustes

permettant au gestionnaire d’agir avec une certaine flexibilité par rapport au mode de gestion

classique.

L’une des problématiques qui préoccupe les chercheurs et les praticiens du domaine de la gestion

des pièces de rechange est la possibilité de transferts et d’échanges de pièces (éventuellement de

l’information) entre les sites de même échelon. Soulignons que lorsque le transport est lent, les

quantités des pièces dans les canaux de transport (𝑁1,𝑗(𝑡), 𝑁3,𝑗(𝑡), 𝑁5,𝑗(𝑡), 𝑁7,𝑗(𝑡)) augmentent.

L’idée de commander des pièces de rechange à partir des stocks adjacents est motivée par des coûts

105

fixes qui sont très élevés lors de la mobilisation des ressources, des coûts prohibitifs de transport

urgent pour certaines catégories de pièces où l’accessibilité aux sites, la portée et le poids des pièces

sont des facteurs déterminants dans la stratégie de rapprovisionnement à adopter. Cette

problématique de possibilités de transferts latéraux entre stocks de même échelon est le sujet de

notre prochain chapitre.

4.4.Conclusion

Ce chapitre a été consacré au développement mathématique d’un modèle multi-échelon,

particulièrement pour des réseaux logistiques à deux échelons. Nous avons présenté une démarche

structurée pour le développement des modèles de décision en tirant des cas spéciaux intéressants,

qui font référence à quelques contributions dans le domaine. Nous avons proposé une

approximation permettant d’évaluer le modèle. Une étude comparative a été effectuée.

L’approximation que nous avons proposée donne de bons résultats en se calant avec les meilleures

contributions dans le domaine.

106

Chapitre 5


assujettis à des défaillances aléatoires : Modèles multi-échelon avec

des possibilités d’échanges latéraux entre stocks de même échelon

5.1.Introduction

Dans ce chapitre, nous présentons un modèle, qui est désormais, une extension du modèle

précédent, cette fois-ci, les échanges entre stocks régionaux sont permis, et le modèle

mathématique qui décrit l’ensemble des processus du réseau prend en compte cette particularité

avec le processus stochastique sous-jacent qui décrit le temps et le taux de livraison par transfert

latéral ainsi que le coût qui y est attaché. Même si cette pratique existe dans la réalité des

entreprises, malheureusement, elle se limite au niveau opérationnel. Soulever cette problématique

au niveau tactique et dimensionner les stocks en tenant compte des possibilités d’échanges entre

stocks régionaux constitue un défi pour les gestionnaires. Comme nous l’avons précisé auparavant,

ce nouveau mode de gestion nécessite un système d’information performant à partir duquel nous

possédons toutes les informations sur l’emplacement et le déplacement des items en temps réel,

comme stipule la politique de contrôle (S-1, S).

Notons que cette problématique a été largement abordée dans la littérature traitant les modèles de

gestion des stocks dans un contexte multi-échelon. Notre contribution permet de généraliser les

modèles déjà existants dans la littérature : Sherbrooke (2004), Lee (1987), Axsäter (1990,

Alfredsson et Verrijdt (1999), Yang et Dekker (2010) (révisés ensuite par Yang, Dekker, Axsäter

et al. (2012)) et Yang et al. (2013. Ils considèrent que le temps le stock central à capacité finie et

le temps pour transiter une pièce du stock central vers un stock régional est supposé déterministe.

Nous relâchons ces deux hypothèses et nous proposons un modèle permettant de contrôler et

dimensionner les ressources d’un réseau logistique à deux échelons avec un stock central, qui est

supposée cette fois-ci, de capacité finie et de temps de transit suivant une distribution exponentielle

ou quelconque. Des cas particuliers intéressants découlent du modèle proposé, et une comparaison

avec d’autres modèles de la littérature est effectuée.

107

5.2.Modèle

Considérons le même réseau étudié dans le chapitre précédent, mais cette fois-ci avec la possibilité

d’effectuer des transferts latéraux entre les stocks de même échelon, tel que présenté dans la Figure.

5.1


N2

Stock1

Si Stock2

Stockj

Stock central

Stockk

S0

N5,1

N4

N5,2N5,iN5,k

N1,1N1,2N1,jN1,k

N3

N6,1N6,2N6,jN6,k

N7,1N7,2N7jN7,k

N0,1N0,2N0,jN0,k

m1m2mjmk

Canaux de transport

Figure.5.1. Réseau d’alimentation à deux échelons avec transfert latéraux

Si toutefois le recours à des commandes d’urgence est motivé par un déficit de ressources, opter

pour des commandes en sollicitant des stocks voisins permet de pallier à d’éventuelles pénuries.

Comme nous avons proposé un temps d’attente maximal dans la file avant tout déclenchement

d’urgence, de la même façon, la procédure de commande latérale n’est pas automatique, c’est-à-

dire, une rupture momentanée du stock j ne constitue pas une raison suffisante pour déclencher un

processus de réapprovisionnement latéral, car il y a toujours un certain nombre de pièces en cours

(𝑁5,𝑗(𝑡)), qui sont dans les canaux de réparation et qui peuvent arriver après un certain temps.

Donc, la décision de déclencher ou non un processus de commande latéral dépend de l’information

sur les pièces qui sont dans les canaux de transport.

Si on note 𝑡𝑖𝑗𝑙𝑎𝑡 le temps de livraison d’une pièce du stock i vers les stocks j (qui est en rupture),

une procédure de commande latérale serait déclenchée si au moment de la rupture de stock, la pièce

dans le canal de transport se trouve à une distance de (𝑡5,𝑗 − 𝑡) > 𝑡𝑖𝑗𝑙𝑎𝑡 ou à une distance de (𝑡5,𝑗 −

𝑡) > 𝑇 lorsque le service offert se trouve dans une limite de temps d’attente maximal 𝑊𝑂𝑏𝑗 = 𝑇.

108

T étant le délai requis pour déclencher une procédure latérale, ce délai T est une variable de

décision, elle constitue une mesure de performance qui doit être déterminée en fonction du niveau

de service rendu (NS).

Donc, pour une région j donnée, nous nous retrouvons avec :

- 𝑁𝑆𝑗0, la proportion de la demande qui est satisfaite immédiatement par le stock j. Elle peut

être exprimée par la probabilité qu’il y ait un stock en main 𝑂𝐻𝑗 > 0:

𝑁𝑆𝑗0 = 𝑃 (𝑁6,𝑗 > 0) (5.1)

- 𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 , la proportion de la demande qui est satisfaite dans l’intervalle ]0, 𝑇] en provenance

du stock central. Elle peut être exprimée par la probabilité que la pièce de rechange soit

mise à disposition avec un maximum temps d’attente T :

𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 = 𝑃 (0 < 𝑊𝑗 ≤ 𝑇) (5.2)

- 𝑁𝑆𝑗𝑖𝐿𝑎𝑡 , la proportion de la demande de la région 𝑗 satisfaite par le stock 𝑖 ≠ 𝑗 ∈

{1, 2. . , 𝑘} via transfert latéral:

D’abord, ce processus sera enclenché lorsque la région j est en rupture de stock et les pièces

de rechanges dans le canal de transport se trouvent à une distance (𝑡5,𝑗 − 𝑡) > 𝑇.

Si les deux évènements, stock j’en rupture (𝑁6,𝑗 ≤ 0) et la pièce de rechange se trouve à

une distance excédant T (𝑊𝑗 > 𝑇) sont indépendants, La probabilité conjointe peut être

exprimée par:

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑊𝑗 > 𝑇 ) = (1 − 𝑃 (𝑁6,𝑗 > 0) − 𝑃 (0 < 𝑊𝑗 ≤ 𝑇)) (5.3)


𝑃 (𝑁6,𝑗 ≤ 0 𝑒𝑡 𝑊𝑗 > 𝑇 ) = (1 − 𝑁𝑆𝑗0 − 𝑁𝑆𝑗

𝑡≤𝑇) (5.4)

Ensuite, on sollicite un stock parmi l’ensemble des stocks i ≠ 𝑗 ∈ {1, 2. . , 𝑘} selon un ordre

établi. L’ordre peut résulter d’une analyse mono (multi)-critère. Les critères de priorisation

sont souvent : la distance, les coûts (transport, stockage, etc.), l’état du stock, etc. Pour un

ordre donné, les stocks jugés capables de servir la région j (en rupture de stock) via le

transfert latéral construisent un ensemble :

𝐸𝑗𝑜𝑟𝑑 = {𝑖1, 𝑖2, 𝑖3…𝑖𝑝−1, 𝑖𝑝, … 𝑖𝑘−1}

Dans la réalité du terrain, un stock 𝑖𝑝 est sollicité lorsque son état se trouve en dessus d’un

niveau, 𝑠𝑖𝑟 , jugé requis pour alimenter un autre stock de même échelon et les stocks

prioritaires, 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3… 𝑖𝑝−1, s’y trouvent en dessous. 𝑠𝑖𝑟 peut être considéré comme une

variable de décision qui s’agence au modèle décisionnel. Ce niveau 𝑠𝑖𝑟 doit être suffisant

afin d’éviter un risque d’une rupture stock effectuant le transfert latéral.

Si tous les évènements sont supposés indépendants, la probabilité de choisir le stock 𝑖𝑝, de

l’ensemble 𝐸𝑗𝑜𝑟𝑑 , sachant que les stocks prioritaires: 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3… 𝑖𝑝−1 sont en dessous- de

𝑠𝑖𝑟, peut être exprimée par le produit des probabilités:

109

𝑃 (𝑁6,𝑖𝑝 ≥ 𝑠𝑖𝑟/𝑁6,𝑙 < 𝑠𝑖

𝑟; 𝑙 < 𝑝) =

= 𝑃 (𝑁6,𝑖1 < 𝑠𝑖𝑟). 𝑃 (𝑁6,𝑖2 < 𝑠𝑖

𝑟). 𝑃 (𝑁6,𝑖3 < 𝑠𝑖𝑟). . 𝑃 (𝑁6,𝑖𝑝−1

< 𝑠𝑖𝑟) . 𝑃 (𝑁6,𝑖𝑝 ≥ 𝑠𝑖

𝑟) (5.5)

Des équations (5.3) et (5.4), la proportion de la demande de la région 𝑗 satisfaite par le

stock 𝑖 ≠ 𝑗 ∈ {1, 2. . , 𝑘} via transfert latéral: peut être exprimée par l’équation suivante:

𝑁𝑆𝑗𝑖𝑝𝐿𝑎𝑡 = (1 − 𝑁𝑆𝑗

0 −𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇). 𝑃 (𝑁6,𝑖1 < 𝑠𝑖

𝑟). 𝑃 (𝑁6,𝑖2 < 𝑠𝑖𝑟). 𝑃 (𝑁6,𝑖3 < 𝑠𝑖

𝑟). . 𝑃 (𝑁6,𝑖𝑝−1


𝑟) (5.6)

- 𝑁𝑆𝑗𝑡>𝑇 , la proportion de demande qui est satisfaite après un délai T.

Selon le principe de conservation des flux, la somme de toutes les proportions :

𝑁𝑆𝑗0 + 𝑁𝑆𝑗

𝑡≤𝑇 + ∑ 𝑁𝑆𝑗𝑖𝐿𝑎𝑡

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

+ 𝑁𝑆𝑗𝑡>𝑇 = 1 (5.7)

Nous nous intéressons à une mesure de service NS qui est la probabilité que le client (la

maintenance) soit servi dans un délai situé dans l’intervalle[0, 𝑇].

𝑁𝑆 = 1 − 𝑁𝑆𝑗𝑡>𝑇 = 𝑁𝑆𝑗

0 + 𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 + ∑ 𝑁𝑆𝑗𝑖

𝐿𝑎𝑡

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

(5.8)

Toutefois, nous pouvons nous intéresser à plusieurs taux de services si le réseau est géré par

plusieurs organisations ou, si, tout simplement, le gestionnaire contrôle un portefeuille de pièces

de rechange ayant plusieurs classes, donc plusieurs niveaux de criticités susceptibles d’exiger des

niveaux de services différents.

Si on note :

𝜏𝑗𝑖: La distribution caractérisant le nombre des pièces demandées par le réseau régional j et qui est

satisfait par le stock régional i ≠ 𝑗 ∈ {1, 2. . , 𝑘} via des transferts latéraux.

𝜏𝑖𝑗: La distribution caractérisant le nombre des pièces demandées par le réseau régional i ≠ 𝑗 ∈

{1, 2. . , 𝑘} et qui est satisfait par le stock régional j via des transferts latéraux.

Si le processus stochastique décrivant la probabilité de défaillance des équipements suit une loi de

Poisson de paramètre 𝜆𝑗, et la capacité des canaux de transport est supposée illimitée (indépendance

stochastique, Palm (1938)), la moyenne de la distribution 𝜏𝑗𝑖 (𝜏𝑖𝑗) , 𝐸[𝜏𝑗𝑖 ] ( 𝐸 [𝜏𝑖𝑗 ]) peut être

exprimée par la relations suivante:

110

𝐸[𝜏𝑗𝑖 ] = 𝜆𝑖 . ( 𝑡5,𝑖 + 𝑡𝑖𝑗𝑙𝑎𝑡).𝑁𝑆𝑗𝑖

𝐿𝑎𝑡 (5.9)

𝐸[𝜏𝑖𝑗 ] = 𝜆𝑗 . ( 𝑡5,𝑗 + 𝑡𝑗𝑖𝑙𝑎𝑡). 𝑁𝑆𝑖𝑗

𝐿𝑎𝑡 (5.10)

Le nombre de pièces de rechange en stock j, dépend de 𝑌𝑗 exprimée par l’équation (4.51) (résultant

de la convolution de 𝛼𝑗𝐵𝑂0 , le nombre de Backorder du stock central, de 𝑁5,𝑗 , le nombre des

pièces de rechange dans les canaux de transport), de ∑ 𝜏𝑗𝑖𝑖=𝑘𝑖≠𝑗=1 , caractérisant la somme de pièces

demandées par le réseau régional j qui est satisfaite par les stocks régionaux i ≠ 𝑗 ∈ {1, 2. . , 𝑘} via

des transferts latéraux, et de ∑ 𝜏𝑖𝑗𝑖=𝑘𝑖≠𝑗=1 caractérisant la somme de pièces demandées par les stocks

régionaux i ≠ 𝑗 = {1, 2. . , 𝑘} via des transferts latéraux qui est satisfaite par le stock régional j.

𝑁6,𝑗 + 𝛼𝑗 𝐵𝑂0 + 𝑁5,𝑗 − ∑ 𝜏𝑗𝑖

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

+ ∑ 𝜏𝑖𝑗

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

= 𝑆𝑗 (5.11)

𝑁6,𝑗 = 𝑆𝑗 − 𝛼𝑗 𝐵𝑂0 − (𝑁5,𝑗 − ∑ 𝜏𝑗𝑖

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

+ ∑ 𝜏𝑖𝑗

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

) (5.12)

Posons :

𝑁5,𝑗∗ = 𝑁5,𝑗 − ∑ 𝜏𝑗𝑖

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

+ ∑ 𝜏𝑖𝑗

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

(5.13)

𝑁6,𝑗 = 𝑆𝑗 − 𝛼𝑗 𝐵𝑂0 − 𝑁5,𝑗∗ (5.14)

Posons :

𝑌𝑗 ∗ = 𝛼𝑗 𝐵𝑂0 + 𝑁5,𝑗

∗ (5.15)

𝑁6,𝑗 = 𝑆𝑗 − 𝑌𝑗 ∗ (5.16)

Trois scénarios sont envisageables pour 𝑁5,𝑗∗ en fonction de l’état du stock 𝑁6,𝑗.

𝑁5,𝑗∗ = 𝑁5,𝑗

∗ . 𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟) + 𝑁5,𝑗

∗ . 𝑃 (0 < 𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑗𝑟) + 𝑁5,𝑗

∗ . 𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0) (5.17)


𝑁5,𝑗∗ . 𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗

𝑟) = 𝑁5,𝑗. 𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟)+ ∑ 𝜏𝑖𝑗

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

; 𝑠𝑖 𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟 (5.18)

𝑁5,𝑗∗ . 𝑃 (0 < 𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑗

𝑟) = 𝑁5,𝑗. 𝑃 (0 < 𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑗𝑟); 𝑠𝑖 0 < 𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑗

𝑟 (5.19)

111

𝑁5,𝑗∗ . 𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0) = 𝑁5,𝑗. 𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0)− ∑ 𝜏𝑗𝑖

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

; 𝑠𝑖 𝑁6,𝑗 ≤ 0 (5.20)

𝑁5,𝑗∗ est exprimé :

𝑁5,𝑗∗ =

{

𝑁5,𝑗 +

1

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟)∑ 𝜏𝑖𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗

𝑟

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

𝑁5,𝑗 ; 𝑠𝑖 0 < 𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑗𝑟

𝑁5,𝑗 −1

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0)∑ 𝜏𝑗𝑖

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

; 𝑠𝑖 𝑁6,𝑗 ≤ 0

(5.21)

Le niveau du stock 𝑁6,𝑗 peut connaître trois (3) états :

𝑁6,𝑗 =

{

𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗

𝑟 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡⇔ 𝑁5,𝑗

∗ ≤ 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟

0 < 𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑗𝑟

é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡⇔ 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗

𝑟 < 𝑁5,𝑗∗ < 𝑆𝑗

𝑁6,𝑗 < 0 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡⇔ 𝑁5,𝑗

∗ > 𝑆𝑗

(5.22)

L’équation (5.17) peut être écrite sous la forme suivante :

𝑁5,𝑗∗ =

{

𝑁5,𝑗 +

1

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟)∑ 𝜏𝑖𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑁5,𝑗


𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

𝑁5,𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 < 𝑁5,𝑗

∗ < 𝑆𝑗

𝑁5,𝑗 −1

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0)∑ 𝜏𝑗𝑖

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

; 𝑠𝑖 𝑁5,𝑗∗ ≥ 𝑆𝑗

(5.23)

Lors que le réseau j atteint l’équilibre, la demande moyenne tirée par le stock j peut être exprimée

par :

𝐸[𝑁5,𝑗∗ ] =

{

𝜆𝑗. 𝑡5,𝑗 +

1

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟)∑ 𝐸[𝜏𝑖𝑗 ] ; 𝑠𝑖 𝑁5,𝑗


𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

𝜆𝑗. 𝑡5,𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 < 𝑁5,𝑗

∗ < 𝑆𝑗

𝜆𝑗 . 𝑡5,𝑗 −1

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0)∑ 𝐸 [𝜏𝑗𝑖 ]

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1


(5.24)

112


𝐸[𝑁5,𝑗∗ ] =

=

{

𝜆𝑗 . 𝑡5,𝑗 +

1

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟)∑ 𝜆𝑖. ( 𝑡5,𝑗 + 𝑡𝑗𝑖

𝑙𝑎𝑡).𝑁𝑆𝑖𝑗𝐿𝑎𝑡 ; 𝑠𝑖 𝑁5,𝑗


𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

𝜆𝑗 . 𝑡5,𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 < 𝑁5,𝑗

∗ < 𝑆𝑗

𝜆𝑗 . 𝑡5,𝑗 −1

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0)∑ 𝜆𝑗. ( 𝑡5,𝑖 + 𝑡𝑖𝑗

𝑙𝑎𝑡).𝑁𝑆𝑗𝑖𝐿𝑎𝑡

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1


(5.25)

Si on met les hypothèses :

- 𝑡𝑖𝑗𝑙𝑎𝑡 = 𝑡𝑗𝑖

𝑙𝑎𝑡 circuit réversible, même technologie et même performance des moyens

de transport.

- 𝑡𝑖𝑗𝑙𝑎𝑡 ≪ 𝑡5,𝑗 est une forte hypothèse sur en la base qu’on faisait recours aux transferts

latéraux.

L’équation (5.25) peut être écrite:

𝐸[𝑁5,𝑗∗ ] =

=

{

𝜆𝑗 . 𝑡5,𝑗 +

1

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟)∑ 𝜆𝑖. 𝑡5,𝑗 . 𝑁𝑆𝑖𝑗

𝐿𝑎𝑡 ; 𝑠𝑖 𝑁5,𝑗∗ ≤ 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗

𝑟

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

𝜆𝑗. 𝑡5,𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 < 𝑁5,𝑗

∗ < 𝑆𝑗

𝜆𝑗 . 𝑡5,𝑗 −1

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0)∑ 𝜆𝑗 . 𝑡5,𝑖. 𝑁𝑆𝑗𝑖

𝐿𝑎𝑡

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1


(5.26)

La demande moyenne ( 𝑡5,𝑗 = 𝑡5,𝑖) tirée par chaque région j peut être exprimé:

𝐸[𝑁5,𝑗∗ ] =

{

(𝜆𝑗 +

1

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟)∑ 𝜆𝑖. 𝑁𝑆𝑗𝑖

𝐿𝑎𝑡

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

) . 𝑡5,𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑁5,𝑗∗ ≤ 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗

𝑟

𝜆𝑗 . 𝑡5,𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 < 𝑁5,𝑗

∗ < 𝑆𝑗

( 𝜆𝑗 −1

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0)∑ 𝜆𝑗. 𝑁𝑆𝑗𝑖

𝐿𝑎𝑡

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

) . 𝑡5,𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑁5,𝑗∗ ≥ 𝑆𝑗

(5.27)

113

Notons que la distribution de probabilité de la variable aléatoire 𝑁5,𝑗∗ peut être obtenue en utilisant

de diverses approches:

- Une approximation vers une distribution de Poisson à paramètre 𝜆𝑗∗ = 𝐸[𝑁5,𝑗

∗ ] similaire à

l’approche METRIC (Sherbrooke(1968)).

- Une évaluation approximative de 𝑁5,𝑗∗ en utilisant le Two-Moment Fit similaire à l’approche

Graves (1985)

- Une évaluation approximative de 𝑁5,𝑗∗ en utilisant une mixture de distributions (Binomiale,

Poisson, Binomiale négative et Géométrique) Adan et al. (1996).

- Une procédure numérique similaire à ce que nous avons effectué dans la section précédente.

La procédure numérique requiert de donner des distributions quelconques aux proportions

∑ 𝜏𝑗𝑖𝑖=𝑘𝑖≠𝑗=1 et ∑ 𝜏𝑖𝑗

𝑖=𝑘𝑖≠𝑗=1 , tout d’abord, procéder à une convolution discrète ensuite, et enfin,

prouver la convergence de la distribution résultante dans le domaine étudié.

Dans la pratique, donner des distributions aux proportions ∑ 𝜏𝑗𝑖𝑖=𝑘𝑖≠𝑗=1 et ∑ 𝜏𝑖𝑗

𝑖=𝑘𝑖≠𝑗=1 n’est pas évident,

sauf si l’organisation pratiquait déjà les échanges latéraux au niveau opérationnel et possède un

retour d’expérience (REX) permettant d’estimer la moyenne et la variance de la série temporelle.

L’alternative la plus pertinente est de modéliser le système de transport comme étant un système

d’attente M/M/∞ pour estimer la probabilité 𝑃(𝑁5,𝑗∗ = 𝑥) . Notons que l’hypothèse de temps de

traitement markovien demeure forte car il a été démontré par simulation que le système M/G/∞

demeure insensible aux différentes distributions de temps de traitements (déterministes,

exponentiels, ou Log-normales) (Alfredsson et Verrijdt (1999)). Donc M/G/∞ ≈ M/M/∞.

Si les deux processus, de défaillance ( 𝜆𝑗) et des transferts latéraux ( ∑ 𝜏𝑗𝑖𝑖=𝑘𝑖≠𝑗=1 et ∑ 𝜏𝑖𝑗

𝑖=𝑘𝑖≠𝑗=1 ), sont

supposés markoviens, le processus résultant est un processus markovien à taux 𝜆𝑗∗ :

𝜆𝑗∗ =

{

𝜂𝑗 = 𝜆𝑗 +

1

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟)∑ 𝜆𝑖. 𝑁𝑆𝑖𝑗


𝑟

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

𝜆𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 < 𝑁5,𝑗

∗ < 𝑆𝑗

𝜎𝑗 = 𝜆𝑗 −1

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0)∑ 𝜆𝑗. 𝑁𝑆𝑗𝑖

𝐿𝑎𝑡

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1


(5.28)

114

Et si 𝐸[ 𝑡5,𝑗] = 𝑡5,𝑗 est le temps moyen requis pour transporter une pièce du stock central vers le

stock régional j, le diagramme de transition d’un système M/M/∞ est représenté par la Figure.5.2 :

1/t5j

j

2/t5j

j j

(Sj-sjr)/t5j

j 𝝀j

Sj-sjr

j 𝝀j

1 2 3 Sj-sjr+1 Sj-1 Sj

𝝀j

3/t5j

K

j

(Sj-sjr+1)/t5j (Sj-sjr+2)/t5j (Sj-1)/t5j (Sj+1)/t5jSj/t5j K/t5j

0

j

4/t5j

j

Figure.5.2. diagramme de transition d’un système M/M/∞ pour le système d’attente de capacité de traitement

illimitée (temps de traitement 𝑡5,𝑗) et à taux 𝜆𝑗∗ de l’équation (5.28)

Nous avons procédé de la même façon qu’au Chapitre 3 afin de trouver les formules de récurrences

suivantes :

𝑃(𝑁5,𝑗∗ = 𝑥) =

=

{

(𝜂𝑗. 𝑡5,𝑗)

𝑥

𝑥!. 𝑃(𝑁5,𝑗

∗ = 0) ; 𝑥 = 1, … . . 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟

(𝜂𝑗

𝜆𝑗)

(𝑆𝑗−𝑠𝑗𝑟)( 𝜆𝑗 𝑡5,𝑗)

𝑥


∗ = 0) ; 𝑥 = 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 + 1,… . 𝑆𝑗 − 1

(𝜂𝑗

𝜆𝑗)

(𝑆𝑗−𝑠𝑗𝑟)

( 𝜆𝑗

𝜎𝑗)

(𝑆𝑗−1)

(𝜎𝑗 𝑡5,𝑗)𝑥


∗ = 0) ; 𝑥 = 𝑆𝑗 , … . . 𝐾

( 5.29)

Avec :

𝑃(𝑁5,𝑗∗ = 0) =

=1

1 + ∑(𝜂𝑗 . 𝑡5,𝑗)

𝑥

𝑥! + ∑ (𝜂𝑗 𝜆𝑗)(𝑆𝑗−𝑠𝑗

𝑟) ( 𝜆𝑗 𝑡5,𝑗)𝑥

𝑥! + ∑ (𝜂𝑗 𝜆𝑗)(𝑆𝑗−𝑠𝑗

𝑟)

( 𝜆𝑗𝜎𝑗)

(𝑆𝑗−1)(𝜎𝑗 𝑡5,𝑗)

𝑥

𝑥!𝐾𝑥= 𝑆𝑗

𝑆𝑗−1

𝑥= 𝑆𝑗−𝑠𝑗𝑟

𝑆𝑗−𝑠𝑗𝑟

𝑥=1

(5.30)

Des équations (5.15) et (5.16), le nombre de pièces de rechange dans le stock régional j, 𝑁6,𝑗 , prend

deux formes, soit stock en main 𝑂𝐻, soit en rupture de stock, 𝐵𝑂 .

Comme nous avons procéder dans les sections précédentes, on peut décrire 𝑁6,𝑗 par l’équation

suivante:

𝑁6,𝑗 = {𝑂𝐻𝑗 = [𝑆𝑗 − 𝑌𝑗

∗]+

.𝐵𝑂𝑗 = [𝑆𝑗 − 𝑌𝑗

∗ )]− (5.31)

En utilisant le principe d’égalités des stocks en régime permanent, on obtient :

𝑂𝐻𝑗 − 𝐵𝑂𝑗 = 𝑆𝑗 − 𝑌𝑗 ∗ (5.32)

115

La probabilité que le stock en main contienne x pièces de rechange :

P (𝑂𝐻𝑗 = 𝑥) = {

𝑃 (𝑌𝑗 ∗ = 𝑆𝑗 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑆𝑗

.

∑ 𝑃 (𝑌𝑗 ∗ = 𝑦)

𝑆𝑗+𝑚𝑗𝑦=𝑆𝑗

𝑠𝑖 𝑥 = 0 (5.33)

La probabilité de rupture de stock de x pièces de rechange peut être écrite :

P (𝐵𝑂𝑗 = 𝑥) = {

𝑃 (𝑌𝑗 ∗ = 𝑆𝑗 + 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑚𝑗

.

∑ 𝑃 (𝑌𝑗 ∗ = 𝑦)

𝑆𝑗𝑦=0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

(5.34)

Le nombre moyen de pièces dans le stock j :

𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗) )] = ∑(𝑆𝑗 − 𝑥) 𝑃 (𝑌𝑗 ∗ = 𝑥)

𝑆𝑗

𝑥=0

(5.35)

Le nombre moyen de pièces en souffrance dans le stock j:

𝐸[𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗) ] = ∑ (𝑥 − 𝑆𝑗)𝑃 (𝑌𝑗 ∗ = 𝑥)

𝑆𝑗+𝑚𝑗

𝑥=𝑆𝑗+1

(5.36)

À partir des équations (4.75) 𝑒𝑡 (4.74) on obtient:

𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗) )] − 𝐸[𝐵𝑂𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗) ] = 𝑆𝑗 − 𝐸[𝑌𝑗 ∗] (5.37)

𝑌𝑗 ∗ résulte de la convolution des deux distributions 𝛼𝑗 𝐵𝑂0 et 𝑁5,𝑗

∗ . Cette distribution peut être

obtenue par les approximations de Sherbrooke (1968), Graves (1985) et Adan et al. (1996) ou en

utilisant notre procédure numérique (équation(4.61)).

𝑃(𝑌𝑗 ∗ = 𝑥) =∑𝑃(𝐵𝑂𝑗 = 𝑧). 𝑃(𝑁5,𝑗

∗ = 𝑥 − 𝑧)

𝑧=𝑥

𝑧=0

(5.38)

Des équations (4.57)et (4.93)

116

𝑃(𝑌𝑗 ∗ = 𝑥) =

=∑

{

∑ (𝑦

𝑧)


𝑦=𝑧

( 𝜂𝑗

∑ 𝜂𝑗𝑘𝑗=1

)

𝑧

(1 − 𝜂𝑗

∑ 𝜂𝑗𝑘𝑗=1

)

𝑦−𝑧

𝑃 (𝐵𝑂0(𝑆0) = 𝑦).

(𝜂𝑗 . 𝑡5,𝑗)

𝑥−𝑧

(𝑥 − 𝑧)!. 𝑃(𝑁5,𝑗

∗ = 0) ; 𝑠𝑖 𝑥 = 1, … . . 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟

∑ (𝑦

𝑧)


𝑦=𝑧

( 𝜆𝑗


)

𝑧

(1 − 𝜆𝑗


)

𝑦−𝑧

𝑃 (𝐵𝑂0(𝑆0) = 𝑦).

(𝜂𝑗

𝜆𝑗)


𝑥−𝑧

(𝑥 − 𝑧)!. 𝑃(𝑁5,𝑗

∗ = 0) ; 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 + 1,… . 𝑆𝑗 − 1

∑ (𝑦

𝑧)


𝑦=𝑧

( 𝜎𝑗

∑ 𝜎𝑗𝑘𝑗=1

)

𝑧

(1 − 𝜎𝑗

∑ 𝜎𝑗𝑘𝑗=1

)

𝑦−𝑧

𝑃 (𝐵𝑂0(𝑆0) = 𝑦).

(𝜂𝑗

𝜆𝑗)


( 𝜆𝑗

𝜎𝑗)

(𝑆𝑗−1)

(𝜎𝑗 𝑡5,𝑗)𝑥−𝑧

(𝑥 − 𝑧)!. 𝑃(𝑁5,𝑗

∗ = 0) ; 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑆𝑗 , … . . 𝐾

𝑧=𝑥

𝑧=0

(5.39)

𝑁𝑆𝑗0 correspond à la probabilité qu’il ait un stock en main 𝑂𝐻𝑗. À partir de l’équation (5.1):

𝑁𝑆𝑗0 = 𝑃 (𝑁6,𝑗 > 0) = ∑ 𝑃 (𝑌𝑗

∗ = 𝑥) +


𝑥=0

∑ 𝑃 (𝑌𝑗 ∗ = 𝑥) (5.40)

𝑆𝑗−1

𝑥=𝑆𝑗−𝑠𝑗𝑟+1

Si la règle de priorité est le « premier arrivé premier servi » (FIFO), la proportion de demande

totale qui est satisfaite immédiatement réalise un processus Binomial (voir le chapitre 4). Donc, on

peut exprimer le niveau de service global 𝑁𝑆0 par l’équation suivante:

𝑁𝑆0 =∑ 𝜆𝑗


𝑘

𝑗=1

𝑁𝑆𝑗0 (5.41)

Comme nous l’avons exprimé dans l’équation (5.2), 𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 est le niveau de service accordé dans

un intervalle ]0, 𝑇], il correspond à la probabilité qu’il y ait une rupture de stocks momentanée, la

maintenance attend l’arrivée des pièces qui sont encore dans les canaux de transports.

Si 𝑊𝑗 est le temps d’attente du client (la maintenance) du site régional j, nous aurons:

𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 = 𝑃 (0 < 𝑊𝑗 ≤ 𝑇) (5.42)

L’équation (5.42) peut être exprimée par la probabilité qu’il y ait au moins 𝑆𝑗 pièces de rechange

dans le tronçon ]0, 𝑇] qui possède une distance = 𝑡5,𝑗 − ( 𝑡5,𝑗 − 𝑇).

117

De l’équation (5.15), on peut exprimer la probabilité qu’il y ait au moins 𝑆𝑗 pièces de rechange

dans les deux tronçon de canal du transport respectivement, ]0, 𝑡5,𝑗] et ]0, 𝑡5,𝑗 − 𝑇]:

𝑌𝑗 ∗( 𝑡5,𝑗) = 𝛼𝑗 𝐵𝑂0 +𝑁5,𝑗

∗ ( 𝑡5,𝑗) (5.43)

𝑌𝑗 ∗( 𝑡5,𝑗 − 𝑇) = 𝛼𝑗 𝐵𝑂0 +𝑁5,𝑗

∗ ( 𝑡5,𝑗 − 𝑇) (5.44)

Des deux équations (5.43) et (5.44) on peut exprimer la probabilité qu’au moins une pièce peut

être mise à disposition à après un maximum de temps d’attente T :

𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 = ∑ 𝑃(𝑌

𝑗 ∗( 𝑡5,𝑗) = 𝑥)

𝑆𝑗+𝑚𝑗

𝑆𝑗

− ∑ 𝑃(𝑌𝑗 ∗( 𝑡5,𝑗 − 𝑇) = 𝑥)

𝑆𝑗+𝑚𝑗

𝑆𝑗

(5.45)

L’équation (5.45) peut-être transformée comme suit :

𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 = 1 − ∑ 𝑃(𝑌𝑗

∗( 𝑡5,𝑗) = 𝑥)

𝑆𝑗−1

𝑥=0

− (1 − ∑ 𝑃(𝑌𝑗 ∗( 𝑡5,𝑗 − 𝑇) = 𝑥)

𝑆𝑗−1

𝑥=0

)

𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 = ∑ 𝑃(𝑌𝑗

∗( 𝑡5,𝑗 − 𝑇) = 𝑥)

𝑆𝑗−1

𝑥=0

− ∑ 𝑃(𝑌𝑗 ∗( 𝑡5,𝑗) = 𝑥)

𝑆𝑗−1

𝑥=0

(5.46)

Pour la même discipline « premier arrivé premier servi » (FIFO) :

𝑁𝑆𝑡≤𝑇 =∑ 𝜆𝑗


𝑘

𝑗=1

𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 (5.47)

En outre, la probabilité que le niveau du stock ne franchit pas le seuil (𝑠𝑗𝑟) requis pour effectuer un

transfert latéral :

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑖𝑟) = 1 − 𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑖

𝑟) (5.48)

La probabilité que le stock possède une quantité supérieure ou égale à 𝑠𝑗𝑟 :

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑖𝑟) = ∑ 𝑃 (𝑌𝑗

∗ = 𝑥)


𝑥=0

(5.49)

118

Selon un ordre de priorité établi (𝐸𝑗𝑜𝑟𝑑 = {𝑖1, 𝑖2, 𝑖3…𝑖𝑝−1, 𝑖𝑝, … 𝑖𝑘−1}), et à partir des équations

(5.40), (5.46), (5.48) 𝑒𝑡 (5.49) on peut calculer la proportion satisfaite via transferts latéraux par

l’équation (5.6):


0 −𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇). 𝑃 (𝑁6,𝑖1 < 𝑠𝑖

𝑟). 𝑃 (𝑁6,𝑖2 < 𝑠𝑖𝑟). 𝑃 (𝑁6,𝑖3 < 𝑠𝑖

𝑟). . 𝑃 (𝑁6,𝑖𝑝−1


𝑟)

𝑁𝑆𝑗𝑖𝐿𝑎𝑡 peut être calculé par une procédure itérative comme proposée dans Axsäter (1990) et Yang

et al. (2013).

Lors que l’itération atteint la convergence et à partir des équations, (5.29) et (5.30), on calcul le

nombre moyen de pièces dans les canaux de transport :

𝐸[𝑁5,𝑗∗̃ ] = ∑𝑥. 𝑃(𝑁5,𝑗

∗̃

,

∗= 𝑥) (5.50)

𝐾

𝑥=1

5.2.1. Problème d’optimisation

Si nous posons 𝐶𝑖𝑗𝐿𝑎𝑡 , le coût des transferts latéraux des stocks i ≠ 𝑗 ∈ {1, 2. . , 𝑘} vers le stock j, le

problème d’optimisation prend la forme de la somme d’équations :

{

Min 𝐶(𝑆0,𝑆𝑗) = 𝐶ℎ. ( 𝐸 [𝑂𝐻0(𝑆0) ]+∑𝐸 [𝑂𝐻𝑗 (𝑆0, 𝑆𝑗,)])

𝑘

𝑗=1

+ 𝐶𝑇 ∑𝐸[𝑁5,𝑗∗ ]+

𝑘

𝑗=1

+∑ ∑ 𝐶𝑖𝑗𝐿𝑎𝑡

𝑘

𝑖 ≠𝑗=1

𝑘

𝑗=1

𝑁𝑆𝑖𝑗𝐿𝑎𝑡. 𝜆𝑗 + 𝐶𝐾. K + 𝐶𝑓

.

𝑀𝑎𝑥 (𝑁𝑆0 + 𝑁𝑆𝑡≤𝑇 + ∑ 𝑁𝑆𝑗𝑖𝐿𝑎𝑡

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

)

Avec :

𝐾 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶𝐾⌉

𝑆0 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

𝑆𝑗 = 1,2,… ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

i ≠ 𝑗 ∈ {1, 2. . , 𝑘}

119

5.2.2. Algorithme de résolution

Le problème d’optimisation peut être résolu par l’algorithme de programmation proposé ci-

dessous :

ALGORITHME.4.2.

𝐶𝑓 , 𝐶ℎ, 𝜆𝑗 , µ , 𝑚𝑗 , 𝜆 = ∑ 𝜆𝑗𝑘𝑗=1 , 𝑀 = ∑ 𝑚𝑗

𝑘𝑗=1

Pour 𝑆0 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡−𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉;

Pour 𝑆𝑗 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡−𝐶𝑓

𝐶ℎ⌉

Étape 0 : Calculer le nombre moyen des pièces de rechange dans le stock central.

- Pour une distribution de 𝑋 correspondant au processus de défaillance des pièces, calculer 𝐸𝑂𝐻0(𝑆0)

par l’équation (4.41):

𝐸𝑂𝐻0(𝑆0) = ∑(𝑆0 − 𝑥) 𝑃 (𝑋 = 𝑥)

𝑆0

𝑥=0

Pour j = 1 à k :

CANDITIONS INITIALES : 𝜂𝑗=𝜎𝑗 = 𝜆𝑗 (𝑁𝑆𝑖𝑗𝐿𝑎𝑡 = 𝑁𝑆𝑖𝑗

𝐿𝑎𝑡 = 0) .

Étape 1 : Calculer 𝑃(𝑁5,𝑗∗ = 0) par l’équation (5.30)

𝑃(𝑁5,𝑗∗ = 0) =

=1

1 + ∑(𝜂𝑗 . 𝑡5,𝑗)

𝑥

𝑥!+ ∑ (

𝜂𝑗 𝜆𝑗)(𝑆𝑗−𝑠𝑗

𝑟) ( 𝜆𝑗 𝑡5,𝑗)𝑥

𝑥!+ ∑ (

𝜂𝑗 𝜆𝑗)(𝑆𝑗−𝑠𝑗

𝑟)

( 𝜆𝑗𝜎𝑗)

(𝑆𝑗−1)(𝜎𝑗 𝑡5,𝑗)

𝑥

𝑥!𝐾𝑥= 𝑆𝑗

𝑆𝑗−1

𝑥= 𝑆𝑗−𝑠𝑗𝑟


𝑥=1

Étape 2 : Déterminer 𝑌𝑗∗

- Pour une distribution de 𝑁5,𝑗∗ donnée par l’équation (5.29)

𝑃(𝑁5,𝑗∗ = 𝑥) =

{

(𝜂𝑗. 𝑡5,𝑗)

𝑥


∗ = 0) ; 𝑥 = 1, … . . 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟

(𝜂𝑗

𝜆𝑗)


𝑥


∗ = 0) ; 𝑥 = 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 + 1,… . 𝑆𝑗 − 1

(𝜂𝑗

𝜆𝑗)


( 𝜆𝑗

𝜎𝑗)

(𝑆𝑗−1)

(𝜎𝑗 𝑡5,𝑗)𝑥


∗ = 0) ; 𝑥 = 𝑆𝑗 , … . . 𝐾

- Pour une distribution de 𝐵𝑂𝑗( 𝛼𝑗 . 𝐵𝑂0) donnée par l’équation (4.57):

120

𝑃 (𝐵𝑂𝑗 = 𝑥) = ∑ (𝑦

𝑥)


𝑦=𝑥

( 𝜆𝑗


)

𝑥

(1 − 𝜆𝑗


)

𝑦−𝑥

𝑃 (𝐵𝑂0 = 𝑦)

Déterminer 𝑌𝑗∗, la convolution de des deux distributions 𝐵𝑂𝑗 et 𝑁5,𝑗

∗

𝑌𝑗∗ = 𝐵𝑂𝑗 + 𝑁5,𝑗

∗

𝑌𝑗 peut être obtenue par procédure numérque (équation (5.39))

ou par des approximations:

(METRIC )(Sherbrouke (1968)), Graves(1985), Adanet al. (1996), etc.

Étape 3 : Calculer 𝑁𝑆𝑗0, 𝑁𝑆𝑗

𝑡≤𝑇, 𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑖𝑟), 𝑃 (𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑖

𝑟) et 𝑁𝑆𝑗𝑖𝑝𝐿𝑎𝑡

- Calculer 𝑁𝑆𝑗0par l’équation (5.40):

𝑁𝑆𝑗0 = 𝑃 (𝑁6,𝑗 > 0) = ∑ 𝑃 (𝑌𝑗

∗ = 𝑥) +


𝑥=0

∑ 𝑃 (𝑌𝑗∗ = 𝑥)

𝑆𝑗−1

𝑥=𝑆𝑗−𝑠𝑗𝑟+1

- Calculer 𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 par l’équation (5.46)

𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 = ∑ 𝑃(𝑌𝑗

∗( 𝑡5,𝑗 − 𝑇) = 𝑥)

𝑆𝑗−1

𝑥=0

− ∑ 𝑃(𝑌𝑗 ∗( 𝑡5,𝑗) = 𝑥)

𝑆𝑗−1

𝑥=0

- Calculer 𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑖𝑟)par l’équation (5.49)

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑖𝑟) = ∑ 𝑃 (𝑌𝑗

∗ = 𝑥)


𝑥=0

- Calculer 𝑃 (𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑖𝑟) par l’équation (5.48)

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑖𝑟) = 1 − 𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑖

𝑟)

- Calculer 𝑃 (𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑖𝑟) par l’équation (5.6)


0 − 𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇). 𝑃 (𝑁6,𝑖1 < 𝑠𝑖

𝑟). 𝑃 (𝑁6,𝑖2 < 𝑠𝑖𝑟). 𝑃 (𝑁6,𝑖3 < 𝑠𝑖

𝑟). . 𝑃 (𝑁6,𝑖𝑝−1 < 𝑠𝑖𝑟) . 𝑃 (𝑁6,𝑖𝑝

≥ 𝑠𝑖𝑟)

Étape 4: calculer 𝜆𝑗∗ par l’équation (5.28):

121

𝜆𝑗∗ =

{

𝜂𝑗 = 𝜆𝑗 +

1

𝑃 (𝑁6,𝑗 ≥ 𝑠𝑗𝑟)∑ 𝜆𝑖 . 𝑁𝑆𝑖𝑗


𝑟

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

𝜆𝑗 ; 𝑠𝑖 𝑆𝑗 − 𝑠𝑗𝑟 < 𝑁5,𝑗

∗ < 𝑆𝑗

𝜎𝑗 = 𝜆𝑗 −1

𝑃 (𝑁6,𝑗 < 0)∑ 𝜆𝑗 . 𝑁𝑆𝑗𝑖

𝐿𝑎𝑡

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1


Pour des valeurs de 𝜆𝑗∗ refaire les Étapes : 1 , 2, 3 et 4.

Si 𝜆𝑗∗ converge vers une valeur 𝜆𝑗

∗̂ , la boucle itérative s’arrête et on maintien les valeurs de l’état de

convergence : 𝜆𝑗∗̂, 𝑌𝑗

∗̃, 𝑁5,𝑗∗̃ , 𝑁𝑆𝑗

0̃ , 𝑁𝑆𝑗𝑡≤𝑇 , 𝑃 (𝑁6,�̃� ≥ 𝑠𝑗

𝑟), 𝑃 (𝑁6,𝑗 < 𝑠𝑖𝑟),̃ 𝑁𝑆𝑗𝑖

𝐿𝑎𝑡̃ , 𝑁𝑆𝑖𝑗𝐿𝑎𝑡̃

Étape 5 : Calculer 𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗,)] 𝐸[𝑁5,𝑗∗̃ ] 𝑁𝑆0 𝑁𝑆𝑡≤𝑇 et ∑ 𝑁𝑆𝑖𝑗

𝐿𝑎𝑡̃𝑖=𝑘𝑖≠𝑗=1

- Calculer 𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗,)] par l’équation (5.37) :

𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗,)] = ∑(𝑆𝑗 − 𝑥) 𝑃 (𝑌𝑗∗̃ = 𝑥)

𝑆𝑗

𝑥=0

- Calculer 𝐸[𝑁5,𝑗∗̃ ] par l’équation (5.50) :

𝐸[𝑁5,𝑗∗̃ ] = ∑𝑥. 𝑃(𝑁5,𝑗

∗̃

,

∗= 𝑥)

𝐾

𝑥=1

Étape 6: Déterminer le coût total 𝐶(𝑆0, 𝑆𝑗) et le niveau de service NS

𝐶(𝑆0, 𝑆𝑗) = 𝐶ℎ. ( 𝐸[𝑂𝐻0(𝑆0) ] +∑𝐸[𝑂𝐻𝑗(𝑆0, 𝑆𝑗,)])

𝑘

𝑗=1

+ 𝐶𝑇 ∑𝐸[𝑁5,𝑗∗̃ ] +

𝑘

𝑗=1

+∑ ∑ 𝐶𝑖𝑗𝐿𝑎𝑡

𝑘

𝑖 ≠𝑗=1

𝑘

𝑗=1

𝑁𝑆𝑖𝑗𝐿𝑎𝑡̃ .𝜆𝑗 + 𝐶𝐾 . K + 𝐶𝑓

.

.

- Calculer 𝑁𝑆0 par l’équation (5.41) :

𝑁𝑆0 =∑ 𝜆𝑗


𝑘

𝑗=1

𝑁𝑆𝑗0̃

- Calculer 𝑁𝑆𝑡≤𝑇 par l’équation (5.47) :

𝑁𝑆𝑡≤𝑇 =∑ 𝜆𝑗


𝑘

𝑗=1

𝑁𝑆𝑗𝑡≤�̃�

𝑁𝑆 = 𝑁𝑆0 + 𝑁𝑆𝑡≤𝑇 + ∑ 𝑁𝑆𝑖𝑗𝐿𝑎𝑡̃

𝑖=𝑘

𝑖≠𝑗=1

122

Le modèle que nous proposons permet de généraliser les modèles existants dans la littérature, de

dimensionner et contrôler les stocks d’un réseau logistique à deux échelons ayant un stock central

de capacité limitée. Le problème d’optimisation proposé est difficile à résoudre à cause de la

multiplication des convolutions qui sont impossibles à déterminer analytiquement. Toutefois des

procédures de simulation demeurent valables pour certaines distributions des coefficients du

modèle. Plusieurs cas particuliers intéressants peuvent être tirés de ce modèle général :

- Dans le cas du stock central de capacité illimité (𝑆0 →∞) et 𝑠𝑗𝑟 = 0 , on se retrouve avec

les modèles proposés par Yang et Dekker (2010) ( révisés ensuite par Yang ,Dekker,

Axsäter, et al. (2012)) et Yang et al. (2013) qui proposent un système d’attente avec délai

de transport (transit) déterministe M/D/∞ . Ils ont utilisé des approximations des paramètres

du système d’attente, qui ont été préalablement initiées par (Dekker et al. (2002).

- 𝑌𝑗 ∗ peut être approximée par une loi de Poisson METRIC (Sherbrooke (1968), Sherbrooke

(2004), et Sherbrooke (2006)).

NB : L’hypothèse de stock central illimité peut conduire à des processus similaires au cas

mono-échelon abordé au chapitre 3.


Pour valider l’exactitude de notre modèle on peut se caler sur des résultats déjà obtenus dans la

littérature. Nous avons repris l’exemple de Yang et al (2013). L’exemple reflète la réalité d’une

organisation disposant d’un parc de 𝑚𝑗 = 100 machines mono-composant critique de taux de

panne 𝜆𝑗 = 0.05, 0.1, 0.15, d’un stock central de capacité 𝑆0 = 0,1,2,3,4 𝑒𝑡 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖, d’un atelier de

réparation (taux de réparation µ = 0.25 et de 3 stocks régionaux (𝑆𝑗) (j=3) . Les délais de transfert

(temps de transport) 𝑡𝑖,𝑗 = 1 ; (𝑖 = 1, 3), 𝑡5,𝑗 = 3. Les délais de transfert latéraux sont considérés

négligeables.

L’ordre de priorité des stocks régionaux : 𝐸1𝑜𝑟𝑑 = {2, 3}, 𝐸2

𝑜𝑟𝑑 = {3, 1}, 𝐸3𝑜𝑟𝑑 = {1, 2}

Les résultats sont donnés sur le Tableau 4.1

Nous remarquons bien que pour le cas particulier (𝑆0 → ∞) , c’est-à-dire, stock central illimité, et

𝑠𝑗𝑟 = 0 , les résultats de notre modèle coïncident avec ceux obtenus par Yang et Dekker (2010) et

Yang et al (2013). Les déviations constatées sont dues au caractère aléatoire du délai de transit

entre le stock central et le stock régional j ( 𝑡5,𝑗) que nous avons pris en considération dans notre

modèle et des approximations des convolutions utilisés pour décrire la combinaison des processus

aléatoires engendrés. Yang et Dekker (2010) et Yang et al (2013) utilisent un 𝑆0 illimité et 𝑡5,𝑗

déterministe. Cette dernière hypothèse demeure valable si les organisations ont la maîtrise sur les

processus de connexion, particulièrement les transports, sinon, elle parait faible dans des contextes

123

industriels où les aléas sont de résonnances beaucoup plus fortes, surtout dans les installations

offshores, des sites à accessibilité difficile pour des raisons climatiques, géographiques ou autre.

lamda(1) lamda(2) lamda(3) S0 s(1) s(2) s(3) nu(1) nu(2) nu(3) sigma(1)sigma(2)sigma(3) NS0(1) NS0(2) NS0(3) NST(1) NST(2) NST(3) NSLat(1,2) NSLat(1,3) NSLat(2,3) NSLat(2,1) NSLat(3,1) NSLat(3,2)

0,04 0,08 0,12 0 1 1 1 0,12316 0,11956 0,16108 0,01623 0,02831 0,03998 0,5889 0,50728 0,38166 0,0597 0,06585 0,10127 0,178257 0,06608075 0,15544215 0,16291983 0,3045054 0,1078312

0,04 0,08 0,12 1 1 1 1 0,09766 0,10423 0,1482 0,01003 0,01898 0,02953 0,70461 0,65246 0,54007 0,03195 0,04079 0,07352 0,1718892 0,0494479 0,09940684 0,1656653 0,2722663 0,0744737

0,04 0,08 0,12 2 1 1 1 0,08644 0,09812 0,14245 0,00731 0,01452 0,02387 0,75967 0,72218 0,6225 0,02093 0,02773 0,05346 0,1584503 0,03794503 0,07172107 0,15568165 0,2461632 0,0562411

0,04 0,08 0,12 3 1 1 1 0,0831 0,09638 0,14072 0,0065 0,01304 0,02178 0,77673 0,74386 0,64903 0,01781 0,02351 0,04627 0,1528365 0,03415684 0,06341669 0,15098149 0,2366681 0,0506052

0,04 0,08 0,12 4 1 1 1 0,08233 0,09599 0,14032 0,00631 0,01268 0,02126 0,78067 0,74887 0,65522 0,01711 0,02252 0,04454 0,1514415 0,03327521 0,06152938 0,14978594 0,234385 0,0493148

0,04 0,08 0,12 5 1 1 1 0,08219 0,09592 0,14025 0,00628 0,01262 0,02116 0,7814 0,74981 0,65638 0,01698 0,02234 0,04421 0,1511781 0,03311113 0,06117989 0,14955907 0,2339569 0,0490755

0,04 0,08 0,12 infini 1 1 1 0,08217 0,09591 0,14023 0,00627 0,0126 0,02114 0,78153 0,74997 0,65659 0,01696 0,02231 0,04415 0,1511305 0,03308159 0,06111706 0,14951809 0,2338798 0,0490325

0,04 0,08 0,12 infini 1 1 1 0,07298 0,09107 0,13541 0,01 0,01912 0,02709 0,81817 0,78052 0,70265 0,03593 0,04289 0,05755 0,11388 0,02250025 0,04295923 0,12407525 0,1961943 0,0340334

Écart constatéeÉcart Constaté 0,00919 0,00484 0,00483 0,00373 0,00651 0,00595 0,03664 0,03055 0,04606 0,01898 0,02059 0,0134 0,0372506 0,01058135 0,01815782 0,02544284 0,0376855 0,0149991

0,04 0,08 0,12 0 2 2 2 0,06394 0,08292 0,12828 0,00363 0,00847 0,01714 0,95088 0,88827 0,78532 0,00336 0,01077 0,02965 0,0406467 0,00401495 0,02060916 0,07928383 0,17594 0,0080729

0,04 0,08 0,12 1 2 2 2 0,05149 0,08096 0,12379 0,00189 0,00582 0,01278 0,98053 0,94955 0,89655 0,00082 0,00357 0,01093 0,0177067 0,00084352 0,00475553 0,04203076 0,090721 0,0017105

0,04 0,08 0,12 2 2 2 2 0,04738 0,08052 0,12237 0,00124 0,00413 0,00932 0,9888 0,96894 0,93471 0,00033 0,00158 0,00505 0,0105389 0,00031578 0,0019031 0,02755439 0,0595635 0,0006539

0,04 0,08 0,12 3 2 2 2 0,0463 0,08042 0,12201 0,00105 0,00354 0,00805 0,99079 0,97389 0,94472 0,00023 0,00114 0,00369 0,0087468 0,00022155 0,0013674 0,02358783 0,0511057 0,0004627

0,04 0,08 0,12 4 2 2 2 0,04606 0,0804 0,12193 0,00101 0,00341 0,00775 0,99121 0,97496 0,94692 0,00021 0,00106 0,00342 0,0083598 0,00020327 0,00126175 0,02270775 0,0492297 0,0004254

0,04 0,08 0,12 infini 2 2 2 0,04601 0,08039 0,12191 0,001 0,00338 0,00768 0,99131 0,9752 0,94739 0,00021 0,00104 0,00336 0,0082762 0,00019942 0,00123942 0,02251653 0,0488219 0,0004175

0,04 0,08 0,12 infini 2 2 2 0,04382 0,08023 0,12122 0,01428 0,02824 0,04193 0,99231 0,97654 0,95185 0,00274 0,00827 0,01682 0,0048324 0,00011048 0,00072537 0,01444979 0,0310926 0,0002352

Écart constatéeÉcart Constaté 0,00219 0,00016 0,00069 0,01328 0,02486 0,03425 0,00101 0,00135 0,00445 0,00253 0,00724 0,01346 0,0034437 8,8945E-05 0,00051405 0,00806674 0,0177293 0,0001823

0,05 0,1 0,15 0 1 1 1 0,17219 0,16525 0,21182 0,02649 0,04664 0,06443 0,48842 0,4083 0,2907 0,09709 0,09614 0,12903 0,1692342 0,07129532 0,17168011 0,14405973 0,2834172 0,1212038

0,05 0,1 0,15 1 1 1 1 0,14053 0,14412 0,1959 0,0184 0,03417 0,05046 0,60342 0,54912 0,43245 0,05973 0,06784 0,10892 0,1849696 0,06567951 0,13118029 0,16564423 0,2767491 0,0998749

0,05 0,1 0,15 2 1 1 1 0,12343 0,13353 0,18698 0,01378 0,02675 0,04165 0,67194 0,63433 0,5258 0,04055 0,04847 0,08498 0,1823699 0,05527807 0,10107197 0,16678287 0,2615391 0,0809963

0,05 0,1 0,15 3 1 1 1 0,11713 0,12978 0,18362 0,01203 0,02371 0,03768 0,69866 0,6678 0,5641 0,03374 0,04044 0,07318 0,1787055 0,05014703 0,08885383 0,16458398 0,2534164 0,0729927

0,05 0,1 0,15 4 1 1 1 0,11535 0,12873 0,18267 0,01153 0,0228 0,03643 0,70635 0,67747 0,57535 0,03185 0,03806 0,06949 0,1773676 0,04858227 0,08532512 0,16366735 0,2508644 0,0706563

0,05 0,1 0,15 infini 1 1 1 0,11485 0,12844 0,1824 0,01139 0,02254 0,03606 0,70853 0,68023 0,57857 0,03131 0,03738 0,06842 0,1769637 0,04813069 0,08432131 0,16338326 0,2501217 0,0699901

0,05 0,1 0,15 infini 1 1 1 0,10102 0,1197 0,17451 0,01373 0,02616 0,0365 0,76372 0,72803 0,64381 0,04648 0,0527 0,06815 0,1381779 0,0332322 0,05964775 0,14116615 0,2199819 0,0495475


0,05 0,1 0,15 0 2 2 2 0,09172 0,10685 0,16499 0,00681 0,01397 0,0266 0,91723 0,83702 0,70087 0,00761 0,01921 0,04967 0,0629041 0,00858476 0,03944665 0,10076537 0,2288087 0,0172813

0,05 0,1 0,15 1 2 2 2 0,07247 0,10253 0,15764 0,00363 0,00981 0,02092 0,96286 0,91738 0,83598 0,00223 0,00765 0,02244 0,032033 0,00241179 0,01184038 0,06267575 0,1363188 0,0048242

0,05 0,1 0,15 2 2 2 2 0,06455 0,10131 0,15478 0,00233 0,00703 0,0157 0,9789 0,94921 0,89546 0,00087 0,00347 0,01084 0,0191944 0,0009197 0,00484308 0,04237688 0,0917277 0,0018764

0,05 0,1 0,15 3 2 2 2 0,06199 0,10098 0,15389 0,00188 0,00582 0,01317 0,98358 0,95912 0,91481 0,00056 0,00233 0,00743 0,0152129 0,00059315 0,00323015 0,0352672 0,076483 0,0012249

0,05 0,1 0,15 4 2 2 2 0,0613 0,1009 0,15365 0,00176 0,00547 0,01241 0,98478 0,96175 0,92001 0,00049 0,00205 0,00657 0,014164 0,00051832 0,00285203 0,03330914 0,0722995 0,0010745

0,05 0,1 0,15 infini 2 2 2 0,06111 0,10088 0,15358 0,00173 0,00537 0,01219 0,98511 0,96247 0,92146 0,00047 0,00197 0,00634 0,0138732 0,00049842 0,00275076 0,03275927 0,0711251 0,0010344

0,05 0,1 0,15 infini 2 2 2 0,05704 0,10049 0,15228 0,01785 0,03516 0,05205 0,98743 0,96509 0,92979 0,00447 0,01226 0,02434 0,0078175 0,00026296 0,00157078 0,0210679 0,0452892 0,0005563


0,1 0,2 0,3 0 1 1 1 0,45468 0,44373 0,4777 0,08868 0,16535 0,23261 0,17135 0,1187 0,07186 0,31309 0,21998 0,1551 0,0611941 0,0326482 0,10517743 0,04751952 0,1324647 0,0760346

0,1 0,2 0,3 1 1 1 1 0,41227 0,40927 0,4611 0,08227 0,15339 0,21469 0,22644 0,17822 0,119 0,27676 0,22043 0,19329 0,0885402 0,04858204 0,11996747 0,07155983 0,155726 0,0948105

0,1 0,2 0,3 2 1 1 1 0,37336 0,37864 0,44581 0,0746 0,14016 0,19755 0,28557 0,24603 0,17605 0,23531 0,20555 0,21402 0,1178781 0,06359574 0,12904257 0,09654791 0,174181 0,107209

0,1 0,2 0,3 3 1 1 1 0,34648 0,35814 0,43458 0,06803 0,12926 0,18453 0,33256 0,30199 0,22578 0,2032 0,18714 0,21629 0,1401948 0,07316454 0,13153809 0,11534819 0,1855448 0,112454

0,1 0,2 0,3 4 1 1 1 0,3321 0,34739 0,42821 0,06399 0,12258 0,1767 0,36027 0,33576 0,25706 0,1849 0,17422 0,21196 0,1527137 0,07766265 0,131156 0,12596415 0,1912935 0,1140515

0,1 0,2 0,3 infini 1 1 1 0,32242 0,34023 0,42376 0,06101 0,11763 0,17085 0,38012 0,36035 0,28048 0,1721 0,16409 0,20624 0,1613559 0,08033524 0,13007104 0,13338554 0,1951104 0,1146531

0,1 0,2 0,3 infini 1 1 1 0,29653 0,31095 0,40464 0,04363 0,08334 0,11423 0,51271 0,48548 0,40852 0,09242 0,09288 0,10266 0,1916998 0,08299666 0,12786686 0,17224747 0,2506248 0,1156407


0,1 0,2 0,3 0 2 2 2 0,30672 0,28734 0,39173 0,04977 0,08438 0,11826 0,61969 0,50513 0,31388 0,09106 0,10779 0,1741 0,1461059 0,04492838 0,16458088 0,12149802 0,3172965 0,0983614

0,1 0,2 0,3 1 2 2 2 0,25276 0,25395 0,36493 0,035 0,06382 0,10008 0,73328 0,6415 0,451 0,05088 0,07252 0,14447 0,138459 0,03489684 0,11512692 0,12897404 0,2966375 0,0692159

0,1 0,2 0,3 3 2 2 2 0,18874 0,22182 0,33406 0,01719 0,03693 0,07079 0,8689 0,81295 0,66747 0,01534 0,02758 0,07208 0,0941101 0,01445318 0,04607471 0,10643885 0,2263035 0,0277589

0,1 0,2 0,3 4 2 2 2 0,17708 0,21713 0,32871 0,01408 0,03101 0,06201 0,89241 0,84399 0,71372 0,01082 0,02 0,0553 0,0816679 0,01077452 0,03474827 0,09707591 0,2061269 0,0209729

0,1 0,2 0,3 5 2 2 2 0,17213 0,21528 0,32649 0,01278 0,02835 0,05769 0,90212 0,85692 0,7338 0,00913 0,01699 0,04813 0,076052 0,00931787 0,03027813 0,09252074 0,1967198 0,0182909

0,1 0,2 0,3 infini 2 2 2 0,16948 0,21432 0,32531 0,0121 0,02689 0,05522 0,90722 0,86376 0,74462 0,00829 0,01546 0,04434 0,072976 0,00857104 0,02798471 0,08993796 0,1914632 0,0169122

0,1 0,2 0,3 infini 2 2 2 0,14364 0,20666 0,31533 0,03656 0,07011 0,10165 0,93692 0,88699 0,79668 0,02212 0,03866 0,06792 0,0363306 0,00368768 0,01416308 0,05923318 0,1268544 0,0075753


124

Tableau 5.1 : Résultats des applications numériques (5.1) par Projet.Transferts.Lateraux.VB Modèle à deux

échelons avec transfert latéraux dont les stocks d’approvisionnement en amont sont considérés de capacité finie.

Comparaison avec le modèle Yang et Dekker (2010), Yang, Dekker, Axsäter, et al. (2012) et Yang et al (2013) (en

gris)

5.4.Conclusion

Ce chapitre a été consacré au développement mathématique d’un modèle multi-échelon ayant une

certaine flexibilité et adapté au contexte où les transferts latéraux entre stocks de même échelon

sont permis. En plus de ce que la littérature fournie, notre modèle considère les stocks en amont (à

un échelon supérieur) de capacité limitée. À cet effet, des procédures numériques et plusieurs

approximations ont été proposées pour décrire la convolution engendrant les processus de

défaillance, de transit et de réparation à des échelons supérieurs.

Tout comme les sections précédentes, nous avons remarqué que, pour de grands nombres de

références de pièces de rechange, ce genre de problème est classé NP-Hard, ce qui requiert des

méthodes heuristiques bien élaborées. Élaborer des méthodes heuristiques pour la résolution de ce

genre de problème avec criticité inégale (gamme de pièces multi-classe) constitue notre perspective

de recherche dans ce volet.

125

Conclusion générale

L’objectif général du mémoire était de développer une série de modèles décisionnels pour la

gestion des pièces de rechange dans des réseaux logistiques mono ou multi-échelon flexibles.

C’est-à-dire, développer un système qui permet d’effectuer des demandes en urgence à un échelon

supérieur et d’échanger des ressources et de la matière entre sites de même échelon. Ce système

permet également de gérer une gamme de pièces de rechange pour des réseaux d’équipements

multi-composant, de grandes tailles, avec différentes mesures de performance.

Plusieurs problématiques ont été abordées auxquelles nous avons apporté des contributions et des

solutions qui se résument comme suit :

Nous avons abordé la planification et contrôle des inventaires des pièces de rechange pour des

réseaux d’équipements assujettis à des défaillances aléatoires et sujets à une stratégie de

maintenance corrective. La maintenance à la panne est motivée par le caractère aléatoire des

défaillances, des besoins qui sont difficiles à estimer et de l’influence des arrêts accidentels sur la

performance globale du réseau.

Nous avons débuté notre étude par une introduction au système de gestion des pièces de rechange.

Il nous parait nécessaire de connaître les particularités des composants de rechanges et situer les

tendances actuelles qui façonnent le contexte de leur gestion. Un bref examen des processus

physiques et de pilotage des réseaux logistiques des pièces de rechange a été présenté. Selon une

certaine suite méthodologique permettant de gérer une gamme des pièces de rechange dans une

entreprise, une revue de littérature détaillée a été exposée en mettant l’accent sur les grands axes

de recherche dans le domaine. Une attention particulière a été mise sur les modèles de gestion des

pièces réparables, adaptés, ensuite, aux consommables et aux deux ensembles, dans un contexte

mono-stock, mono-échelon et multi-échelon avec des possibilités d’effectuer des

réapprovisionnements en urgence à des échelons supérieurs et des échanges latéraux entre sites de

même échelon. Notre intérêt à l’étude des pièces réparables répond à des impératifs techniques,

économiques et de gestion. Contrairement aux consommables, les pièces réparables sont coûteuses,

difficile à gérer, leur processus de défaillance et de réparation engendre un phénomène d’attente,

qui est provoqué par les capacités des stations de réparation.

Nous avons développé une série de modèles permettant de gérer une gamme de pièces réparables

assujettis à des défaillances aléatoires. Dans le cas général, nous avons présenté un modèle

générique permettant de décrire le processus de défaillance et de réparation d’une pièce dans un

réseau adapté à des organisations constituées de parcs équipements, d’entrepôts de pièces de

rechange et de stations de réparation. Des cas particuliers intéressants ont été tirés du modèle

126

générique faisant référence à des travaux de recherche déjà réalisés dans le domaine et qui

constituent des courants de recherche importants jusqu’à date. Ces cas ne cessent d’être améliorés

par les chercheurs, notamment, les modèles à capacité de réparation illimitée versus limitée. Nous

avons relaxé plusieurs contraintes afin de nous conformer, le mieux possible, avec les réalités des

organisations industrielles, plus particulièrement, l’hypothèse de la capacité illimitée de canaux de

transport et de réparation, de population infinie, et l’estimation de la proportion pour des

traitements en urgence.

Pour ces mêmes raisons pratiques, et afin de mieux s’aligner aux modes de gestion des

organisations, nous avons généralisé les modèles pour traiter des cas où on est face à des mesures

de performance différentes et d’équipements multi-composants en évaluant le problème

d’optimisation dans sa globalité au lieu de se limiter à un ensemble d’optimisations partielles (cas

d’équipements mono-composant). Une contrainte budgétaire a été imposée à chaque modèle.

Ensuite, nous avons vu que la capacité des ateliers de réparation engendre, dans certaines mesures,

des immobilisations longues des pièces dans la file. Pour pallier à cette contrainte, des procédures

d’urgence ont été permises avec un coût élevé et un temps de réapprovisionnement court en

comparaison avec la procédure ordinaire. La plupart des modèles publiés dans la littérature donne

des approximations à la proportion de perte engendrée par la probabilité de rejet d’Erlang-B. Pour

enrichir ces modèles (publiés), nous avons proposé un modèle avec un délai d’attente maximal

dans la file jugé requis avant tout déclenchement d’urgence. Les résultats numériques montrent

clairement une amélioration de la disponibilité du réseau. Nous avons aussi constaté des gains

économiques remarquables. Bien évidemment, les résultats obtenus dans le chapitre 3 sont basés

sur l’hypothèse que toutes les variables aléatoires caractérisant les processus de défaillance, de

réparation et d’attente des pièces dans la file sont de distributions exponentielles. La littérature

scientifique est riche de contributions traitants le système de files d’attente avec un délai de service

et de délai d’attente de distribution générale. Il nous paraît pratique de considérer un temps d’attente

déterministe permettant au gestionnaire de prendre une décision éclairée quant au recours à

l’urgence. Le caractère déterministe du temps d’attente maximal rendra le modèle difficile à

résoudre, mais une initiative de recherche a été amorcée pour trouver une estimation précise dans

le cas de notre modèle de décision.

Tout au long des chapitres 2 et 3, Nous avons supposé que la capacité des sources

d’approvisionnement, qui se situent schématiquement dans des échelons élevés, est illimitée. Cette

hypothèse parait limitative, car il arrive souvent que les délais de livraison s’échelonnent pour des

raisons de manque de pièces de rechange dans des entrepôts centraux. Le dimensionnement des

stocks à des échelons supérieurs nous conduit à faire une extension de nos modèles. La prise en

compte des stocks dans des échelons supérieurs dans les modèles de décision permet de bénéficier

de plusieurs pratiques intéressantes telles que les échanges entre magasins de mêmes échelons.

Cette problématique a été abordée aux chapitres 4 et 5 qui traitent les problèmes de gestion des

pièces de rechange des systèmes de stocks multi-échelon.

127

Dans le chapitre 4, nous avons proposé une extension du modèle mono-échelon développé au

chapitre 2, en considérant un système de réapprovisionnement à deux échelons. Nous avons

remarqué que l’étude d’un tel système tend à se compliquer à chaque fois que nous étendons le

modèle à un échelon supérieur. Cette complexité est due à la multiplication des convolutions des

processus stochastiques dans le réseau (processus de transport, de défaillance et de réparation).

Pour cela, nous avons développé un modèle générique permettant de montrer cette complexité.

Nous avons remarqué aussi que la résolution de problèmes du genre est très difficile, voire

impossible sans délimiter le système et imposer des hypothèses. Le modèle METRIC demeure le

plus populaire, il permet de bénéficier des particularités des systèmes d’attente à capacité illimitée,

pour étendre, au maximum, la propriété markovienne. Cette propriété permet de décrire

l’empilement des processus stochastiques sous-jacents via le théorème de Palm (1938). Pour

confiner les résultats déjà obtenus dans la littérature, nous avons proposé une procédure numérique

basée sur la convolution discrète des processus stochastiques sous-jacents avec des distributions

générales. Une étude comparative avec les meilleures parutions jusqu’à date a été effectuée.

Nous avons ensuite présenté, dans le chapitre 5, un modèle permettant les échanges entre stocks de

même échelon. Cette particularité est aussi intéressante dans le contexte où les demandes en

urgence ne sont pas possibles pour des raisons économiques, géographiques ou climatiques. Le

modèle proposé a permis de généraliser les modèles déjà existants dans la littérature. Pour se caler

avec la réalité des organisations, nous avons présenté le fondement mathématique d’un modèle de

configuration multi-échelon dont la capacité des sources d’approvisionnement en amont est

considérée finie, et le temps pour transiter une pièce d’un échelon supérieur vers un échelon

inférieur est une distribution exponentielle, Log-normale ou quelconque.

Soulignons que les hypothèses de capacité de sources d’approvisionnement illimitées et de temps

de transit constant, évoquées dans la littérature, demeurent limitatives dans des contextes où

l’acheminement des pièces de grandes portées est une problématique, surtout quand le réseau opère

dans des endroits d’accessibilité difficile ou limitée, comme c’est le cas des sites pétroliers, minier,

des chantiers offshores, etc. Nous réitérons que le pilotage de flux dans un tel réseau, requiert un

système d’information performant et une base de données très bien élaborée afin de pallier et

minimiser, au maximum, d’éventuels aléas, surtout, en ce qui concerne la traçabilité des pièces

dans les canaux de transport.

Par ailleurs, les modèles que nous avons étudiés tout au long de ce mémoire supposent que la règle

de priorité pour le service est « premier arrivé premier servi, FIFO- First In, First Out ». Cette

hypothèse est jugée valable si nous considérons que tous les composants sont de criticité égale.

Or, la réalité est tout à fait différente, les composants d’un équipement sont classés selon leurs

impacts. Comme nous avons vu dans la revue de la littérature, les impacts se voient comme des

critères de classification. Prioriser un composant d’une classe par rapport à un autre de classe

inférieure aura sans doute des retombées économiques et de performance pour l’organisation. Par

exemple, le gestionnaire peut favoriser les pièces qui sont encore sous garanties durant la période

accordée ou consentie à cet effet. De même, on peut effectuer de la cannibalisation si les délais de

128

pose, de dépose et de remplacement sont largement inférieurs à la durée d’attente dans la file. Si

toutefois les organisations se limitent seulement à les pratiquer au niveau opérationnel, ces

problématiques constituent des pistes pour nos contributions postérieures afin de proposer des

modèles de planification et de contrôle au niveau tactique tenant compte de ces particularités.

Une autre particularité dans les modèles étudiés concerne le fait que les pièces sont considérées

toutes réparables. Comme nous l’avons signalé, notre intérêt pour cette catégorie de pièces est

motivé par des raisons économiques, techniques et de gestion. Cela, n’exclue pas, qu’avec peu de

changement, on peut adapter ces modèles pour gérer des consommables et réparables ou les deux

ensembles, car il arrive que certaines pièces défectueuses soient parfois irréparables, comme elles

peuvent aussi être réparables uniquement pour un nombre limité de fois parce que sa performance

diminue graduellement au fur et à mesure des cycles de défaillance et de réparation. Dans ce cas-

là, les pièces doivent être remplacées par des neuves. On note le délai de livraison d’une pièce est

égal à 𝑟 𝑡𝑟é𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 + (1 − 𝑟)𝑡𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 La valeur de 𝑟, qui est la probabilité que la pièce

défaillante soit réparable, n’est pas toujours facile à estimer, notamment pour les pièces à faible

rotation. L’incorporation de la nouvelle formulation de temps de livraison composé dans les

modèles est difficile, de même, dans bien de cas déjà étudiés dans la littérature, les résultats pour

un taux élevé de (1 − 𝑟) rend l’estimation des besoins en pièces de rechange un peu biaisée. Par

exemple, Sherbrooke (2006) constate que le modèle VARI-METRIC sera toujours précis si le taux

de rejet (pièces irréparables) est de 5% ou moins.

Ce dernier constat découle du projet, déjà réalisé dans le cadre d’une action de consultation, visant

à déterminer la taille d’une première dotation en pièces de rechange pour la maintenance d’un

réseau de télécommunication du Gouvernement du Québec (Ait-Kadi et Bouzenad (2014)).

Ce travail a permis d’identifier plusieurs opportunités de recherche futures, dont :

- La localisation optimale des lieux d’entrepôts et des stations de réparation ;

- Le développement des modèles de décisions pour gérer une gamme de composants à

criticité inégale ;

- Le développement des modèles de décisions avec possibilité de cannibalisation ;

- La prise en compte de la désuétude dans le modèle de gestion des stocks des pièces de

rechange ;

- Le développement des modèles d’estimation de besoin en pièces de rechange pour soutenir

les stratégies d’inspection ;

- L’élaboration d’un modèle de prévision de la demande utilisant la théorie de la fiabilité et

la théorie de renouvellement.

129

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Annexe A

Résultat des applications 2.1 et 2.4

N k λ µ s Dispo,M.Approx Dispo.M.Exacte Écart

100 1 0,0002 0,01 1 0,315569401 1,63032E-10 0,3156

100 1 0,0002 0,01 2 0,422143772 2,44548E-10 0,4221

100 1 0,0002 0,01 3 0,463883761 2,85306E-10 0,4639

100 1 0,0002 0,01 4 0,482571367 3,05685E-10 0,4826

100 1 0,0002 0,01 5 0,49143496 3,15874E-10 0,4914

100 1 0,0002 0,01 6 0,495753858 3,20969E-10 0,4958

100 1 0,0002 0,01 7 0,497885912 3,23517E-10 0,4979

100 1 0,0002 0,01 8 0,498945181 3,2479E-10 0,4989

100 1 0,0002 0,01 9 0,499473136 3,25427E-10 0,4995

100 1 0,0002 0,01 10 0,499736697 3,25745E-10 0,4997

100 2 0,0002 0,01 1 0,315569401 0,036469832 0,2791

100 2 0,0002 0,01 2 0,603217319 0,101971708 0,5012

100 2 0,0002 0,01 3 0,715930939 0,159134697 0,5568

100 2 0,0002 0,01 4 0,778774351 0,209455924 0,5693

100 2 0,0002 0,01 5 0,818849452 0,254094293 0,5648

100 2 0,0002 0,01 6 0,84663213 0,293961085 0,5527

100 2 0,0002 0,01 7 0,867026135 0,329782516 0,5372

100 2 0,0002 0,01 8 0,882632855 0,362144653 0,5205

100 2 0,0002 0,01 9 0,894960973 0,391525418 0,5034

100 2 0,0002 0,01 10 0,904945437 0,418318687 0,4866

100 3 0,0002 0,01 1 0,315569401 0,115124479 0,2004

100 3 0,0002 0,01 2 0,603217319 0,341264561 0,262

100 3 0,0002 0,01 3 0,793064043 0,564298742 0,2288

100 3 0,0002 0,01 4 0,878767535 0,711048231 0,1677

100 3 0,0002 0,01 5 0,925222039 0,808033384 0,1172

100 3 0,0002 0,01 6 0,952515244 0,87231753 0,0802

100 3 0,0002 0,01 7 0,969314914 0,915008865 0,0543

100 3 0,0002 0,01 8 0,979953345 0,943397131 0,0366

100 3 0,0002 0,01 9 0,986811779 0,962290576 0,0245

100 3 0,0002 0,01 10 0,991284503 0,97487183 0,0164

100 3 0,0002 0,01 11 0,994223237 0,983252957 0,011

142

100 3 0,0002 0,01 12 0,99616358 0,98883759 0,0073

100 3 0,0002 0,01 13 0,9974489 0,992559343 0,0049

100 3 0,0002 0,01 14 0,998302179 0,995040216 0,0033

100 3 0,0002 0,01 15 0,998869383 0,996693598 0,0022

100 3 0,0002 0,01 16 0,999246849 0,997795825 0,0015

100 3 0,0002 0,01 17 0,999498162 0,998530661 0,001

100 3 0,0002 0,01 18 0,999665563 0,999020284 0,0006

100 3 0,0002 0,01 19 0,999777094 0,999346959 0,0004

100 3 0,0002 0,01 20 0,999851374 0,999564663 0,0003

100 3 0,0002 0,01 21 0,999900922 0,999709929 0,0002

100 4 0,0002 0,01 1 0,315569401 0,132188767 0,1834

100 4 0,0002 0,01 2 0,603217319 0,393917754 0,2093

100 4 0,0002 0,01 3 0,793064043 0,654344559 0,1387

100 4 0,0002 0,01 4 0,906817377 0,827459335 0,0794

100 4 0,0002 0,01 5 0,955482811 0,91380138 0,0417

100 4 0,0002 0,01 6 0,978226095 0,956918508 0,0213

100 4 0,0002 0,01 7 0,989230305 0,978463814 0,0108

100 4 0,0002 0,01 8 0,99464395 0,989232916 0,0054

100 4 0,0002 0,01 9 0,997329098 0,994616792 0,0027

100 4 0,0002 0,01 10 0,9986663 0,997308451 0,0014

100 4 0,0002 0,01 11 0,999333651 0,998654303 0,0007

100 4 0,0002 0,01 12 0,999666943 0,999327152 0,0003

100 4 0,0002 0,01 13 0,999833497 0,999663514 0,0002

100 4 0,0002 0,01 14 0,999916725 0,999831742 8E-05

100 4 0,0002 0,01 15 0,999958344 0,999915976 4E-05

80 1 0,0002 0,01 1 0,365617335 2,18553E-05 0,3656

80 1 0,0002 0,01 2 0,496274889 3,55146E-05 0,4962

80 1 0,0002 0,01 3 0,553722046 4,40515E-05 0,5537

80 1 0,0002 0,01 4 0,583415356 4,9387E-05 0,5834

80 1 0,0002 0,01 5 0,600047279 5,27217E-05 0,6

80 1 0,0002 0,01 6 0,609784219 5,48059E-05 0,6097

80 1 0,0002 0,01 7 0,61563265 5,61085E-05 0,6156

80 1 0,0002 0,01 8 0,61919973 5,69226E-05 0,6191

80 1 0,0002 0,01 9 0,621395735 5,74315E-05 0,6213

80 1 0,0002 0,01 10 0,62275543 5,77495E-05 0,6227

80 2 0,0002 0,01 1 0,365617335 0,125441328 0,2402

80 2 0,0002 0,01 2 0,67215924 0,317946233 0,3542

80 2 0,0002 0,01 3 0,792221859 0,465116985 0,3271

143

80 2 0,0002 0,01 4 0,857469305 0,578739427 0,2787

80 2 0,0002 0,01 5 0,897646263 0,667127438 0,2305

80 2 0,0002 0,01 6 0,92431435 0,736290984 0,188

80 2 0,0002 0,01 7 0,942908317 0,790661018 0,1522

80 2 0,0002 0,01 8 0,95632159 0,833556529 0,1228

80 2 0,0002 0,01 9 0,966237057 0,867495727 0,0987

80 2 0,0002 0,01 10 0,973700028 0,894409217 0,0793

80 3 0,0002 0,01 1 0,365617335 0,189944535 0,1757

80 3 0,0002 0,01 2 0,67215924 0,490457714 0,1817

80 3 0,0002 0,01 3 0,852896109 0,729237854 0,1237

80 3 0,0002 0,01 4 0,927252039 0,855874553 0,0714

80 3 0,0002 0,01 5 0,962650284 0,923213065 0,0394

80 3 0,0002 0,01 6 0,980469145 0,959069617 0,0214

80 3 0,0002 0,01 7 0,989690978 0,978176968 0,0115

80 3 0,0002 0,01 8 0,994531939 0,988362833 0,0062

80 3 0,0002 0,01 9 0,997092197 0,993794198 0,0033

80 3 0,0002 0,01 10 0,998451583 0,996690273 0,0018

80 3 0,0002 0,01 11 0,999174875 0,998234877 0,0009

80 3 0,0002 0,01 12 0,999560136 0,99905868 0,0005

80 3 0,0002 0,01 13 0,999765455 0,999498027 0,0003

80 3 0,0002 0,01 14 0,999874904 0,999732434 0,0001

80 3 0,0002 0,01 15 0,999933281 0,999857337 8E-05

80 3 0,0002 0,01 16 0,999964454 0,999923963 4E-05

80 3 0,0002 0,01 17 0,999981007 0,99995951 2E-05

80 3 0,0002 0,01 18 0,999989855 0,999978504 1E-05

80 3 0,0002 0,01 19 0,999994588 0,999988626 6E-06

80 3 0,0002 0,01 20 0,999997139 0,999994102 3E-06

80 3 0,0002 0,01 21 0,999998458 0,999996851 2E-06

80 4 0,0002 0,01 1 0,365617335 0,200822487 0,1648

80 4 0,0002 0,01 2 0,67215924 0,519742727 0,1524

80 4 0,0002 0,01 3 0,852896109 0,77419509 0,0787

80 4 0,0002 0,01 4 0,944788769 0,909744233 0,035

80 4 0,0002 0,01 5 0,978392642 0,963908028 0,0145

80 4 0,0002 0,01 6 0,991431126 0,985564835 0,0059

80 4 0,0002 0,01 7 0,996584116 0,994226257 0,0024

80 4 0,0002 0,01 8 0,998635517 0,997690562 0,0009

80 4 0,0002 0,01 9 0,999454511 0,999076164 0,0004

80 4 0,0002 0,01 10 0,999781904 0,999630362 0,0002

80 4 0,0002 0,01 11 0,999912745 0,999852286 6E-05

80 4 0,0002 0,01 12 0,999965117 0,999941017 2E-05

144

80 4 0,0002 0,01 13 0,99998608 0,999976291 1E-05

80 4 0,0002 0,01 14 0,999994402 0,999990557 4E-06

80 4 0,0002 0,01 15 0,999997714 0,999996199 2E-06

Annexe B

Résultat de calcul des déviation

Intance N k λ µ s Dispo.Exact Dispo.Approx Écart Déviation

1 404 2 2E-06 0,002 5 Complexité 0,9995 - -

2 90 1 2E-06 0,0028 1 0,9394 0,9383 0,0011 0,001134

3 145 1 2E-06 0,0012 2 0,9529 0,9603 0,0074 0,007743

4 57 1 2E-06 0,0014 2 0,9943 0,9943 0,0000 2,01E-05

5 116 2 1E-05 0,0014 3 0,8442 0,9131 0,0689 0,081673

6 213 2 1E-05 0,0024 4 Complexité 0,9555 - -

7 20 1 6E-06 0,0031 2 0,9987 0,9986 5,6E-05 5,6E-05

8 268 3 7E-06 0,0015 1 Complexité 0,4436 - -

9 380 2 5E-06 0,0048 2 Complexité 0,9489 - -

10 24 1 7E-06 0,0032 2 0,9976 0,9975 6,5E-05 6,56E-05

11 24 1 5E-06 0,0016 1 0,9263 0,9260 3,3E-04 0,000352

12 762 3 4E-06 0,0011 5 Complexité 0,8069 - -

13 113 1 2E-06 0,0016 2 0,9720 0,9749 0,0029 0,00303

14 113 2 7E-06 0,0017 1 0,6384 0,6761 0,0378 0,059164

15 111 1 1E-05 0,0013 2 0,3537 0,7206 0,3669 1,037174

16 113 3 2E-06 0,0018 1 0,8598 0,8592 0,0006 0,000642

17 113 6 6E-05 0,0015 12 0,9528 0,9856 0,0328 0,034476

18 2 1 4E-05 0,0043 1 0,9813 0,9801 0,0012 0,001251

19 5 1 3E-05 0,0016 1 0,8947 0,8973 0,0026 0,002892

20 1 1 1E-05 0,001 1 0,9902 0,9894 0,0007 0,00074

21 7 1 5E-06 0,0015 1 0,9758 0,9744 0,0014 0,001408

22 1 1 5E-06 0,0018 1 0,9975 0,9973 0,0002 0,000203

23 635 3 7E-06 0,0023 3 Complexité 0,8185 - -

24 44 1 6E-06 0,0015 1 0,8362 0,8491 0,0129 0,015395

25 143 2 3E-08 0,0015 2 1,0000 1,0000 0,0000 1,52E-07

26 508 2 4E-06 0,0014 3 Complexité 0,8220 - -

27 134 1 3E-06 0,001 1 0,6628 0,7320 0,0692 0,104378

28 146 2 3E-06 0,0027 1 0,8442 0,8451 0,0009 0,001112

29 274 3 3E-06 0,0022 2 Complexité 0,9493 - -

30 140 1 3E-06 0,0012 3 0,9551 0,9690 0,0139 0,014511

31 15 1 7E-06 0,0025 3 0,9999 0,9999 0,0000 2,47E-06

145

32 15 1 7E-06 0,0022 2 0,9979 0,9979 0,0001 6,5E-05

Annexe C

Résultat des applications 2.2

s k EBO L L_syst λbar Beta W A CT

1 1 5,0455 4,9545 6,0364 0,0099 0,0091 509,19 0,4954 6000

2 1 5,0227 4,9773 7,0045 0,01 0,0136 504,55 0,4977 10000

3 1 5,0113 4,9887 7,9864 0,01 0,0158 502,27 0,4989 14000

4 1 5,0056 4,9944 8,9763 0,01 0,0169 501,13 0,4994 18000

5 1 5,0028 4,9972 9,9706 0,01 0,0175 500,56 0,4997 22000

6 1 5,0014 4,9986 10,968 0,01 0,0178 500,28 0,4999 26000

7 1 5,0007 4,9993 11,966 0,01 0,0179 500,14 0,4999 30000

8 1 5,0004 4,9996 12,965 0,01 0,018 500,07 0,5 34000

9 1 5,0002 4,9998 13,964 0,01 0,018 500,04 0,5 38000

10 1 5,0001 4,9999 14,964 0,01 0,018 500,02 0,5 42000

1 2 1,9379 8,0621 2,841 0,0161 0,0969 120,19 0,8062 8000

2 2 1,6233 8,3767 3,2987 0,0168 0,2435 96,895 0,8377 12000

3 2 1,3966 8,6034 3,7681 0,0172 0,3492 81,166 0,8603 16000

4 2 1,2255 8,7745 4,2451 0,0175 0,4289 69,83 0,8775 20000

5 2 1,0917 8,9083 4,7271 0,0178 0,4913 61,273 0,8908 24000

6 2 0,9842 9,0158 5,2126 0,018 0,5413 54,584 0,9016 28000

1 3 1,1551 8,8449 2,0183 0,0177 0,1368 65,298 0,8845 10000

2 3 0,715 9,285 2,207 0,0186 0,381 38,504 0,9285 14000

3 3 0,455 9,545 2,364 0,0191 0,6061 23,834 0,9545 18000

4 3 0,2944 9,7056 2,4904 0,0194 0,7451 15,166 0,9706 22000

5 3 0,1925 9,8075 2,5898 0,0196 0,8334 9,8131 0,9808 26000

7 3 0,0838 9,9162 2,7253 0,0198 0,9275 4,2233 0,9916 34000

146

Annexe D


s1 s2 s3 k1 k2 k3 EBO1 EBO2 EBO3 A1 A2 A3 A CT

1 1 1 1 1 1 5,05 5,05 5,046 0,495 0,495 0,495 0,121 1E+05

1 1 2 1 1 1 5,046 5,046 5,023 0,495 0,495 0,498 0,122 2E+05

1 1 3 1 1 1 5,046 5,046 5,01 0,495 0,495 0,499 0,122 2E+05

1 2 1 1 1 1 5,046 5,023 5,046 0,495 0,498 0,495 0,122 1E+05

1 2 2 1 1 1 5,046 5,023 5,023 0,495 0,498 0,498 0,123 2E+05

1 2 3 1 1 1 5,046 5,023 5,01 0,495 0,498 0,499 0,123 2E+05

1 3 1 1 1 1 5,046 5,011 5,046 0,495 0,499 0,495 0,122 2E+05

1 3 2 1 1 1 5,046 5,011 5,023 0,495 0,499 0,498 0,123 2E+05

1 3 3 1 1 1 5,046 5,011 5,01 0,495 0,499 0,499 0,123 2E+05

2 1 1 1 1 1 5,023 5,046 5,046 0,498 0,495 0,495 0,122 2E+05

2 1 2 1 1 1 5,023 5,046 5,023 0,498 0,495 0,498 0,123 2E+05

2 1 3 1 1 1 5,023 5,046 5,01 0,498 0,495 0,499 0,123 2E+05

2 2 1 1 1 1 5,023 5,023 5,046 0,498 0,498 0,495 0,123 2E+05

2 2 2 1 1 1 5,023 5,023 5,023 0,498 0,498 0,498 0,123 2E+05

2 2 3 1 1 1 5,023 5,023 5,01 0,498 0,498 0,499 0,124 2E+05

2 3 1 1 1 1 5,023 5,011 5,046 0,498 0,499 0,495 0,123 2E+05

2 3 2 1 1 1 5,023 5,011 5,023 0,498 0,499 0,498 0,124 2E+05

2 3 3 1 1 1 5,023 5,011 5,01 0,498 0,499 0,499 0,124 3E+05

3 1 1 1 1 1 5,011 5,046 5,046 0,499 0,495 0,495 0,122 2E+05

3 1 2 1 1 1 5,011 5,046 5,023 0,499 0,495 0,498 0,123 2E+05

3 1 3 1 1 1 5,011 5,046 5,01 0,499 0,495 0,499 0,123 3E+05

3 2 1 1 1 1 5,011 5,023 5,046 0,499 0,498 0,495 0,123 2E+05

3 2 2 1 1 1 5,011 5,023 5,023 0,499 0,498 0,498 0,124 3E+05

3 2 3 1 1 1 5,011 5,023 5,01 0,499 0,498 0,499 0,124 3E+05

3 3 1 1 1 1 5,011 5,011 5,046 0,499 0,499 0,495 0,123 2E+05

3 3 2 1 1 1 5,011 5,011 5,023 0,499 0,499 0,498 0,124 3E+05

3 3 3 1 1 1 5,011 5,011 5,01 0,499 0,499 0,499 0,124 3E+05

1 1 1 2 1 1 1,938 5,046 5,046 0,806 0,495 0,495 0,198 1E+05

1 1 2 2 1 1 1,938 5,046 5,023 0,806 0,495 0,498 0,199 2E+05

1 3 3 4 3 4 0,992 0,455 0,252 0,901 0,955 0,975 0,838 3E+05

2 1 1 4 3 4 0,516 1,155 0,992 0,948 0,884 0,901 0,756 2E+05

147

2 1 2 4 3 4 0,516 1,155 0,516 0,948 0,884 0,948 0,796 3E+05

2 1 3 4 3 4 0,516 1,155 0,252 0,948 0,884 0,975 0,818 3E+05

2 2 1 4 3 4 0,516 0,715 0,992 0,948 0,928 0,901 0,793 3E+05

2 2 2 4 3 4 0,516 0,715 0,516 0,948 0,928 0,948 0,835 3E+05

2 2 3 4 3 4 0,516 0,715 0,252 0,948 0,928 0,975 0,858 3E+05

2 3 1 4 3 4 0,516 0,455 0,992 0,948 0,955 0,901 0,815 3E+05

2 3 2 4 3 4 0,516 0,455 0,516 0,948 0,955 0,948 0,858 3E+05

2 3 3 4 3 4 0,516 0,455 0,252 0,948 0,955 0,975 0,882 3E+05

3 1 1 4 3 4 0,252 1,155 0,992 0,975 0,884 0,901 0,777 3E+05

3 1 2 4 3 4 0,252 1,155 0,516 0,975 0,884 0,948 0,818 3E+05

3 1 3 4 3 4 0,252 1,155 0,252 0,975 0,884 0,975 0,841 3E+05

3 2 1 4 3 4 0,252 0,715 0,992 0,975 0,928 0,901 0,815 3E+05

3 2 2 4 3 4 0,252 0,715 0,516 0,975 0,928 0,948 0,858 3E+05

3 2 3 4 3 4 0,252 0,715 0,252 0,975 0,928 0,975 0,882 4E+05

3 3 1 4 3 4 0,252 0,455 0,992 0,975 0,955 0,901 0,838 3E+05

3 3 2 4 3 4 0,252 0,455 0,516 0,975 0,955 0,948 0,882 4E+05

3 3 3 4 3 4 0,252 0,455 0,252 0,975 0,955 0,975 0,907 4E+05

1 1 1 3 4 4 1,155 0,992 0,992 0,884 0,901 0,901 0,718 2E+05

1 1 2 3 4 4 1,155 0,992 0,516 0,884 0,901 0,948 0,756 2E+05

1 1 3 3 4 4 1,155 0,992 0,252 0,884 0,901 0,975 0,777 3E+05

1 2 1 3 4 4 1,155 0,516 0,992 0,884 0,948 0,901 0,756 2E+05

1 2 2 3 4 4 1,155 0,516 0,516 0,884 0,948 0,948 0,796 3E+05

1 2 3 3 4 4 1,155 0,516 0,252 0,884 0,948 0,975 0,818 3E+05

1 3 1 3 4 4 1,155 0,252 0,992 0,884 0,975 0,901 0,777 2E+05

1 3 2 3 4 4 1,155 0,252 0,516 0,884 0,975 0,948 0,818 3E+05

1 3 3 3 4 4 1,155 0,252 0,252 0,884 0,975 0,975 0,841 3E+05

2 1 1 3 4 4 0,715 0,992 0,992 0,928 0,901 0,901 0,753 2E+05

2 1 2 3 4 4 0,715 0,992 0,516 0,928 0,901 0,948 0,793 3E+05

2 1 3 3 4 4 0,715 0,992 0,252 0,928 0,901 0,975 0,815 3E+05

2 2 1 3 4 4 0,715 0,516 0,992 0,928 0,948 0,901 0,793 3E+05

2 2 2 3 4 4 0,715 0,516 0,516 0,928 0,948 0,948 0,835 3E+05

2 2 3 3 4 4 0,715 0,516 0,252 0,928 0,948 0,975 0,858 3E+05

2 3 1 3 4 4 0,715 0,252 0,992 0,928 0,975 0,901 0,815 3E+05

2 3 2 3 4 4 0,715 0,252 0,516 0,928 0,975 0,948 0,858 3E+05

2 3 3 3 4 4 0,715 0,252 0,252 0,928 0,975 0,975 0,882 3E+05

3 1 1 3 4 4 0,455 0,992 0,992 0,955 0,901 0,901 0,774 3E+05

3 1 2 3 4 4 0,455 0,992 0,516 0,955 0,901 0,948 0,815 3E+05

3 1 3 3 4 4 0,455 0,992 0,252 0,955 0,901 0,975 0,838 3E+05

3 2 1 3 4 4 0,455 0,516 0,992 0,955 0,948 0,901 0,815 3E+05

3 2 2 3 4 4 0,455 0,516 0,516 0,955 0,948 0,948 0,858 3E+05

3 2 3 3 4 4 0,455 0,516 0,252 0,955 0,948 0,975 0,882 4E+05

3 3 1 3 4 4 0,455 0,252 0,992 0,955 0,975 0,901 0,838 3E+05

3 3 2 3 4 4 0,455 0,252 0,516 0,955 0,975 0,948 0,882 4E+05

148

3 3 3 3 4 4 0,455 0,252 0,252 0,955 0,975 0,975 0,907 4E+05

1 1 1 4 4 4 0,992 0,992 0,992 0,901 0,901 0,901 0,731 2E+05

1 1 2 4 4 4 0,992 0,992 0,516 0,901 0,901 0,948 0,77 2E+05

1 1 3 4 4 4 0,992 0,992 0,252 0,901 0,901 0,975 0,791 3E+05

1 2 1 4 4 4 0,992 0,516 0,992 0,901 0,948 0,901 0,77 2E+05

1 2 2 4 4 4 0,992 0,516 0,516 0,901 0,948 0,948 0,81 3E+05

1 2 3 4 4 4 0,992 0,516 0,252 0,901 0,948 0,975 0,833 3E+05

1 3 1 4 4 4 0,992 0,252 0,992 0,901 0,975 0,901 0,791 3E+05

1 3 2 4 4 4 0,992 0,252 0,516 0,901 0,975 0,948 0,833 3E+05

1 3 3 4 4 4 0,992 0,252 0,252 0,901 0,975 0,975 0,856 3E+05

2 1 1 4 4 4 0,516 0,992 0,992 0,948 0,901 0,901 0,77 3E+05

2 1 2 4 4 4 0,516 0,992 0,516 0,948 0,901 0,948 0,81 3E+05

2 1 3 4 4 4 0,516 0,992 0,252 0,948 0,901 0,975 0,833 3E+05

2 2 1 4 4 4 0,516 0,516 0,992 0,948 0,948 0,901 0,81 3E+05

2 2 2 4 4 4 0,516 0,516 0,516 0,948 0,948 0,948 0,853 3E+05

2 2 3 4 4 4 0,516 0,516 0,252 0,948 0,948 0,975 0,877 3E+05

2 3 1 4 4 4 0,516 0,252 0,992 0,948 0,975 0,901 0,833 3E+05

2 3 2 4 4 4 0,516 0,252 0,516 0,948 0,975 0,948 0,877 3E+05

2 3 3 4 4 4 0,516 0,252 0,252 0,948 0,975 0,975 0,901 4E+05

3 1 1 4 4 4 0,252 0,992 0,992 0,975 0,901 0,901 0,791 3E+05

3 1 2 4 4 4 0,252 0,992 0,516 0,975 0,901 0,948 0,833 3E+05

3 1 3 4 4 4 0,252 0,992 0,252 0,975 0,901 0,975 0,856 4E+05

3 2 1 4 4 4 0,252 0,516 0,992 0,975 0,948 0,901 0,833 3E+05

3 2 2 4 4 4 0,252 0,516 0,516 0,975 0,948 0,948 0,877 3E+05

3 2 3 4 4 4 0,252 0,516 0,252 0,975 0,948 0,975 0,901 4E+05

3 3 1 4 4 4 0,252 0,252 0,992 0,975 0,975 0,901 0,856 3E+05

3 3 2 4 4 4 0,252 0,252 0,516 0,975 0,975 0,948 0,901 4E+05

3 3 3 4 4 4 0,252 0,252 0,252 0,975 0,975 0,975 0,926 4E+05

149

Annexe E


s k tem nu EBO L Lsyst Lamdabar Perte W A CT A.METRIC

1 1 5 0 5,1741 4,8259 6,1732 0,0097 0 536,07 1 6000 0,99762979

2 1 5 0 1,25 8,75 3,25 0,0175 0 71,428 1 10000 0,99687044

3 1 5 0 1,25 8,75 4,25 0,0175 0 71,428 1 14000 0,99848956

4 1 5 0 1,25 8,75 5,25 0,0175 0 71,428 1 18000 0,99938558

1 2 5 0 3,3579 6,6421 4,3562 0,0133 0 252,78 1 8000 0,99621053

2 2 5 0 2,718 7,282 4,7139 0,0146 0 186,63 1 12000 0,99780409

3 2 5 0 1,25 8,75 4,25 0,0175 0 71,428 1 16000 0,99848956

4 2 5 0 1,1111 8,8889 5,1111 0,0178 0 62,499 1 20000 0,99935217

1 3 5 0 3,3579 6,6421 4,3562 0,0133 0 252,78 1 10000 0,99621053

2 3 5 0 2,718 7,282 4,7139 0,0146 0 186,63 1 14000 0,99780409

3 3 5 0 1,1111 8,8889 4,1111 0,0178 0 62,499 1 18000 0,9984278

4 3 5 0 1,1111 8,8889 5,1111 0,0178 0 62,499 1 22000 0,99935217

1 1 5 0,01 1,5876 8,4124 2,5655 0,0168 0,0093 94,357 0,9953 6001 0,99472361

2 1 5 0,01 1,0515 8,9485 3,0515 0,0179 0,01 58,754 0,995 10001 0,99673642

3 1 5 0,01 1,0411 8,9589 4,0411 0,0179 0,01 58,102 0,995 14001 0,99839624

4 1 5 0,01 1,0341 8,9659 5,034 0,0179 0,01 57,669 0,995 18001 0,9993332

1 2 5 0,01 2,4094 7,5906 3,4046 0,0152 0,0098 158,71 0,9951 8001 0,99542378

2 2 5 0,01 1,5037 8,4963 3,49 0,017 0,0098 88,492 0,9951 12001 0,99703924

3 2 5 0,01 1,0411 8,9589 4,0411 0,0179 0,01 58,103 0,995 16001 0,99839624

4 2 5 0,01 1,0341 8,9659 5,0341 0,0179 0,01 57,67 0,995 20001 0,99933321

1 3 5 0,01 3,2869 6,7131 4,2854 0,0134 0,0099 244,81 0,995 10001 0,99615255

2 3 5 0,01 2,3532 7,6468 4,3497 0,0153 0,0099 153,87 0,995 14001 0,9975823

3 3 5 0,01 1,416 8,584 4,4107 0,0172 0,01 82,48 0,995 18001 0,99856188

4 3 5 0,01 1,0341 8,9659 5,0341 0,0179 0,01 57,67 0,995 22001 0,99933321

5 3 5 0,01 1,0292 8,9708 6,0291 0,0179 0,01 57,361 0,995 26001 0,99103055

6 3 5 0,01 1,0254 8,9746 7,0252 0,0179 0,01 57,129 0,995 30001 0,99993057

1 1 10 0,01 1,5876 8,4124 2,5655 0,0168 0,0093 94,357 0,9907 6001 0,98944722

2 1 10 0,01 1,0515 8,9485 3,0515 0,0179 0,01 58,754 0,99 10001 0,99347283

3 1 10 0,01 1,0411 8,9589 4,0411 0,0179 0,01 58,102 0,99 14001 0,99679248

4 1 10 0,01 1,0341 8,9659 5,034 0,0179 0,01 57,669 0,99 18001 0,9986664

1 2 10 0,01 2,4094 7,5906 3,4046 0,0152 0,0098 158,71 0,9902 8001 0,99084757

2 2 10 0,01 1,5037 8,4963 3,49 0,017 0,0098 88,492 0,9902 12001 0,99407847

150

3 2 10 0,01 1,0411 8,9589 4,0411 0,0179 0,01 58,103 0,99 16001 0,99679248

4 2 10 0,01 1,0341 8,9659 5,0341 0,0179 0,01 57,67 0,99 20001 0,99866641

5 2 10 0,01 1,0291 8,9709 6,0291 0,0179 0,01 57,36 0,99 24001 0,99953305

6 2 10 0,01 1,0254 8,9746 7,025 0,0179 0,01 57,126 0,99 28001 0,99986114

1 3 10 0,01 3,2869 6,7131 4,2854 0,0134 0,0099 244,81 0,9901 10001 0,99230509

2 3 10 0,01 2,3532 7,6468 4,3497 0,0153 0,0099 153,87 0,9901 14001 0,9951646

3 3 10 0,01 1,416 8,584 4,4107 0,0172 0,01 82,48 0,99 18001 0,99712376

4 3 10 0,01 1,0341 8,9659 5,0341 0,0179 0,01 57,67 0,99 22001 0,99866641

5 3 10 0,01 1,0292 8,9708 6,0291 0,0179 0,01 57,361 0,99 26001 0,99953306

6 3 10 0,01 1,0254 8,9746 7,0252 0,0179 0,01 57,129 0,99 30001 0,99986115

1 1 5 0,05 0,8684 9,1316 1,7827 0,0183 0,0371 47,55 0,9814 6005 0,99409933

2 1 5 0,05 1,0126 8,9874 3,0125 0,018 0,05 56,332 0,975 10007 0,99670991

3 1 5 0,05 1,0094 8,9906 4,0093 0,018 0,05 56,139 0,975 14007 0,99838189

4 1 5 0,05 1,0067 8,9933 5,0044 0,018 0,05 55,97 0,975 18007 0,99932638

1 2 5 0,05 2,0128 7,9872 2,9985 0,016 0,0464 126 0,9768 8006 0,99508781

2 2 5 0,05 1,0932 8,9068 3,0502 0,0178 0,0473 61,371 0,9763 12007 0,99676473

3 2 5 0,05 1,0119 8,9881 4,012 0,018 0,05 56,29 0,975 16007 0,998383

4 2 5 0,05 1,0092 8,9908 5,0094 0,018 0,05 56,123 0,975 20007 0,99932699

1 3 5 0,05 3,0554 6,9446 4,0517 0,0139 0,0489 219,99 0,9756 10005 0,99596243

2 3 5 0,05 2,1002 7,8998 4,0914 0,0158 0,0493 132,93 0,9753 14006 0,99742431

3 3 5 0,05 1,1328 8,8672 4,1193 0,0177 0,0495 63,875 0,9752 18007 0,99843752

4 3 5 0,05 1,0115 8,9885 5,0122 0,018 0,05 56,264 0,975 22007 0,99932756

5 3 5 0,05 1,0083 8,9917 6,007 0,018 0,05 56,07 0,975 26007 0,99976422

6 3 5 0,05 1,0064 8,9936 7,0029 0,018 0,05 55,948 0,975 30007 0,9999298

7 3 5 0,05 1,0021 8,9979 7,9815 0,018 0,0498 55,683 0,9751 34007 0,99998194

8 3 5 0,05 0,9752 9,0248 8,7917 0,018 0,0486 54,029 0,9757 38007 0,99999585

9 3 5 0,05 0,7612 9,2388 8,0325 0,0185 0,0385 41,195 0,9808 42006 0,99999899

1 1 10 0,05 0,8684 9,1316 1,7827 0,0183 0,0371 47,55 0,9629 6005 0,98819866

2 1 10 0,05 1,0126 8,9874 3,0125 0,018 0,05 56,332 0,95 10007 0,99341982

3 1 10 0,05 1,0094 8,9906 4,0093 0,018 0,05 56,139 0,95 14007 0,99676378

4 1 10 0,05 1,0067 8,9933 5,0044 0,018 0,05 55,97 0,95 18007 0,99865275

5 1 10 0,05 0,9964 9,0036 5,964 0,018 0,0498 55,334 0,9502 22007 0,99952577

6 1 10 0,05 0,8925 9,1075 6,4155 0,0182 0,048 48,998 0,952 26007 0,9998501

7 1 10 0,05 0,3448 9,6552 3,902 0,0193 0,0386 17,857 0,9614 30006 0,99994433

8 1 10 0,05 0,0289 9,9711 1,9668 0,0199 0,0331 1,4468 0,9669 34005 0,99998315

9 1 10 0,05 0,0015 9,9985 1,7707 0,02 0,0326 0,0734 0,9674 38005 0,99999619

10 1 10 0,05 6E-05 9,9999 1,7592 0,02 0,0326 0,0032 0,9674 42005 0,99999924

1 2 10 0,05 2,0128 7,9872 2,9985 0,016 0,0464 126 0,9536 8006 0,99017563

2 2 10 0,05 1,0932 8,9068 3,0502 0,0178 0,0473 61,371 0,9527 12007 0,99352946

3 2 10 0,05 1,0119 8,9881 4,012 0,018 0,05 56,29 0,95 16007 0,996766

4 2 10 0,05 1,0092 8,9908 5,0094 0,018 0,05 56,123 0,95 20007 0,99865399

5 2 10 0,05 1,0076 8,9924 6,0088 0,018 0,05 56,025 0,95 24007 0,99952827

6 2 10 0,05 1,0074 8,9926 7,0173 0,018 0,0501 56,012 0,9499 28007 0,99985969

151

6 2 10 0,05 1,0074 8,9926 7,0173 0,018 0,0501 56,012 0,9499 28007 0,99985969

1 3 10 0,05 3,0554 6,9446 4,0517 0,0139 0,0489 219,99 0,9511 10005 0,99192486

2 3 10 0,05 2,1002 7,8998 4,0914 0,0158 0,0493 132,93 0,9507 14006 0,99484863

3 3 10 0,05 1,1328 8,8672 4,1193 0,0177 0,0495 63,875 0,9505 18007 0,99687504

4 3 10 0,05 1,0115 8,9885 5,0122 0,018 0,05 56,264 0,95 22007 0,99865513

5 3 10 0,05 1,0083 8,9917 6,007 0,018 0,05 56,07 0,95 26007 0,99952843

6 3 10 0,05 1,0064 8,9936 7,0029 0,018 0,05 55,948 0,95 30007 0,9998596

7 3 10 0,05 1,0021 8,9979 7,9815 0,018 0,0498 55,683 0,9502 34007 0,99996389

8 3 10 0,05 0,9752 9,0248 8,7917 0,018 0,0486 54,029 0,9514 38007 0,9999917

9 3 10 0,05 0,7612 9,2388 8,0325 0,0185 0,0385 41,195 0,9615 42006 0,99999799

10 3 10 0,05 0,1944 9,8056 3,6362 0,0196 0,0117 9,9143 0,9883 46002 0,99999936

152

Annexe F


Gestion optimale des pièces de rechange dans un …...Le système de gestion de stock des pièces...

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