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GÉNIE DES PROCÉDÉS ALIMENTAIRESSUPPLÉMENTS EN LIGNE

Ouvrage collectif coordonné par J.J. Bimbenet, A. Duquenoy, G. Trystram.

SOMMAIRE

S • Suppléments et applications numériques 3S.1.2.3 Filtration 3S.2.3.2 Calcul des pertes de charge 4S.3.2.1 Calcul des transferts de chaleur à travers la paroi composite d’un

entrepôt frigorifique 5S.3.3.2 Calcul d’un chauffage par micro-ondes 5S.3.5.2-a Application numérique : Bilans sur un effet d’évaporateur 6S.3.5.2-b Bilans sur un condenseur à mélange 7S.3.5.2-c Bilans sur un condenseur à paroi 8S.3.5.3-a Coefficient de transfert de chaleur côté vapeur de chauffe 8S.3.5.3-b Transfert de chaleur dans la paroi et le dépôt 9S.3.5.3-c Transfert de chaleur côté liquide à évaporer, en ébullition 10S.3.5.4-a Compression mécanique des vapeurs : application numérique 14S.3.5.4-b Bilans sur une station d’évaporation à multiple effet avec/sans

prélèvements et thermo-compression 15S.3.5.4-c Autres techniques d’économie d’énergie en évaporation 24S.3.5.5 Évaporateurs dans les IAA 25S.4.2.1 Application numérique : transferts de matière à travers un film

d’emballage 29S.4.3.1 Tables de solubilité sucre (betterave), solubilité sucre (canne) 30S.4.3.2 a à c Applications numériques : cristallisation 34S.4.4.5 Application numérique : dimensionnement d’une unité de clarification

par filtration tangentielle 34S.5.1.2 Application numérique : calcul de nombres d’étages théoriques sur

diagramme triangulaire en extraction solide-liquide 35S.5.2.2 Application numérique : dimensionnement d’une colonne à distiller 37S.6.3.4 Application numérique : dispersion des temps de séjour 37S.6.3.6 Application numérique : influence de la DTS sur les performances des

réacteurs 37S.7.1.2 Transferts stationnaires à travers un tube à paroi épaisse 39S.7.1.2 Transferts stationnaires à travers un tube à paroi épaisse 39S.7.1.4-a Table des fonctions de Bessel : J0(x) et J1(x), et des valeurs de Bn pour

lesquelles J0(Bn) = 0 41S.7.1.4-b Applications numériques : calculs de transferts non stationnaires 42

© DUNOD 2007 - Génie des procédés alimentaires - Jean-Jacques Bimbenet, Albert Duquenoy et Gilles Trystram

S.7.1.4-c Formules des solutions des équations de Fick et Fourier (solide semiinfini, plaque infinie, cylindre infini et sphère) et tables de coefficientsnécessaires à leur utilisation 44

S.7.1.4-d Apports des techniques de modélisation et de simulation lors de laconception et de la définition du mode de conduite d’une opération detraitement thermique de solides alimentaires en cavité fermée Étude decas 48

S.7.2.5 Calcul de barême 67S.7.3.1 Chambre de congélation discontinue : calcul de la puissance frigorifique

requise 72S.9.1.3 Diagramme enthalpique de l’air humide : pressions différentes de la

pression atmosphérique ordinaire 75S.9.1.6 Application numérique : bilans de matière et d’énergie sur un séchoir 75S.9.1.7 Critères de choix des séchoirs 78S.10.1.1 Caractérisation de la morphologie des particules, agglomérats et

poudres par analyse d’image 81S.10.1.2 Masses volumiques et coulabilité 82S. Diagrammes 82

P3A • Propriétés physiques des produits alimentaires 83P3A-0 Commentaire général sur les propriétés physiques des produits

alimentaires (P3A) 83P3A-1 Conductivité et diffusivité thermiques 84P3A-2 Conductivités et diffusivités de matière1 89


GÉNIE DES PROCÉDÉS ALIMENTAIRESSUPPLÉMENTS EN LIGNE

S.1.2.3 Filtration

1. L’équation différentielle de fonctionnement du filtre (1.17) nous permet d’écrirel’expression du débit instantané :

•V 5

1(h · a · C · V

S2 · Dp1

h · rs

S · Dp

)

Au début de la filtration, V 5 0, d’où

•V 5

S · Dph · rs

550 · 2.105

10−3 · 3,6.10105 0,278 m3.s−1

Pour calculer le débit au bout d’une heure de filtration, il faut d’abord calculerle volume filtré. La résolution de l’équation 1.19 du second degré en V pourt 5 3 600 s donne V 5 667 m3. En reportant dans l’équation 1.17, on obtientV 5 0,139 m3.s−1. Au bout d’une heure, le débit a donc chuté de 50 % et le cycleest arrêté. Le nombre de cycles journalier sera de 24.3 600/(3 600 1 1 800) 5 18.Le débit moyen de production est le rapport du volume filtré pendant un cycle surla durée totale du cycle, arrêt compris, soit

Vmoy 5 667/(3 600 1 1 800) 5 0, 123 m3.s−1.

2. Pour maximiser le volume filtré, il faut que lors de chaque cycle, on filtre

V 5

√2t0 · S2 · Dp

h · a · C5 816,5 m3.

La résolution de l’équation 1.19 nous donne alors t 5 4 740 s.Par rapport aux conditions de fonctionnement précédentes, la durée du cycle setrouve augmentée ; le nombre de cycles journaliers devient 24.3 600/(4 740 1 1 800),soit environ 13, et le débit moyen de production

Vmoy 5 816,5/(4 740 1 1 800) 5 0,125 m3.s−1.

On peut s’étonner de ce que la recherche de l’optimum de production conduise àdes gains de production aussi minimes par rapport à la situation antérieure, alorsque les conditions opératoires sont franchement différentes. En fait, nous sommesc ©

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S. • Génie des procédésalimentairtes

S.3.2.1 Calcul des pertes de charge

probablement ici dans une situation où l’optimum est atteint pour un grand nombrede couples (t, V ) (optimum « plat »).En revanche, la diminution du nombre des cycles (on passe de 18 à 13) permettracertainement de diminuer les coûts de fonctionnement de la filtration, en réduisantla part de main d’œuvre affectée à la surveillance du débâtissage.

S.2.3.2 Calcul des pertes de charge

Application numérique1

Toutes les valeurs numériques doivent être traduites en unités SI.

a. Calcul de la vitesse moyenne :Débit volumique 5 40/3 600 m3.s−1

Section 5 pD2/4 5 p2510−4/4 m2

v 5 5,7 m.s−1

Re 5 D.v.r/h 5 12,7103

(donc le régime est turbulent)Hypothèses : liquide newtonien, r et h sont donnés à la température où est ce miscella.Calcul Da : cf. abaque de Moody en C.2 : Da 5 0,028D’où Dp/Dl 5 8,1103 Pa.m−1, donc pour 86 m : Dp 5 6, 9105 PaAvec la dénivellation, ajouter h.r.g 5 0,7105 PaD’où Dp totale 5 7,6105 PaOn ne prend pas ici en compte l’existence de coudes. On trouve dans les manuels spécialisésdes valeurs de « pertes de charge singulières » en équivalence de longueur de tuyau, en nombrede diamètres.Hypothèse : on néglige ici Dp correspondant à l’énergie de mise en vitesse à l’entrée du tuyau :12r.v2 en J.m−3 5 0,15105 Pa, donc négligeable en effet.

b. Puissance théorique = débit volumique 3 perte de charge = 8,5 kW

RésolutionPrincipe : la perte de charge dans le tuyau horizontal est égale à la différence de pression entrel’entrée et la sortie du tuyau, ici égale à la pression hydrostatique à la base du tuyau :

h.r.g 5 20 3 1,0103 3 9,8 5 1,96105 Pa

Hypothèse : on néglige ici la perte de charge dans la partie verticale du tuyau, mais on peut penserqu’il s’agit d’un tuyau de gros diamètre.Ignorant la vitesse moyenne dans le tuyau, donc Re et Da, on procède de la même façon que pourcalculer une vitesse de décantation où l’on utilise le nombre d’Archimède indépendant de la vitesse.Ici, on passe par Ka : formules 2.40 puis 2.39 :Avec r 5 0,998103, h 5 1,010−2 (table VI pour l’eau, ici supposée à 20 ˚C) et

Dp/Dl 5 1,96105/100 5 1,96103 Pa.m−1

Ka 5 2,51108 d’où : Da 5 1,7310−2

Calcul de v moyenne (formule de Da en début de § 2.3.2) : v 5 3,0 m.s−1

et le débit vol. : V 5 3, 810−3 m.s−1 soit 3, 8 L.s−1

On note que le débit se fixe pour entraîner une perte de charge donnée. Si je ferme un peu unevanne, je crée une résistance supplémentaire : le débit devra être plus faible pour conserver la mêmeperte de charge totale.

4© DUNOD 2007 - Génie des procédés alimentaires - Jean-Jacques Bimbenet, Albert Duquenoy et Gilles Trystram


S.3.3.2 Calcul d’un chauffage par micro-ondes

S.3.2.1 Calcul des transferts de chaleur à traversla paroi composite d’un entrepôt frigorifique

a) Le coefficient global de transfert en régime stationnaire est donné, selon l’équation3.12 (le l du béton est celui du « béton moyen » de la table V) par :

r0 51h0

51,0.10−3

2301

3,0.10−2

3,0.10−21

5,0.10−2

1,1

5 (4.10−6) 1 (1,0) 1 (4,55.10−2) 5 1,0455

Les résistances des 3 couches correspondent aux 3 parenthèses et l’on note les fortesdifférences entre leurs valeurs : celle du métal apparaît comme négligeable par rapportaux deux autres et la résistance de l’isolant vaut plus de 20 fois celle de la couche debéton.On a : h0 5 0,956 W.m−2.˚C−1

D’où la densité de flux de chaleur : Ft 5 0,956 3 (30 1 20) 5 47,8 W.m−2.b) Si l’on désigne par u1 5 température de la surface interne 5 −20 ˚C,u4 5 température de la surface externe 51 30 ˚C,On a, selon les relations de démonstration de l’équation 3.12 :

u2 − u1 5 47,8 3 4 3 10−6 5 2 3 10−4 ˚Cu3 − u2 5 47,8 3 1,0 5 47,8 ˚C

u4 − u3 5 47,8 3 4,55 3 10−2 5 2,2 ˚C

d’où l’on déduit :

u2 5 température de l’interface métal − isolant ≈ −20 ˚Cu3 5 température de l’interface isolant − béton 5 27,8 ˚C.

Aux erreurs d’arrondi près, grâce il est vrai à une précision excessive dans les calculsdu point a, on retombe bien sûr la température externe de + 30 ◦C.Tout ceci suppose qu’il n’y a pas de mouvement interne (d’eau par exemple) dansla paroi, que le transfert est unidimensionnel (on se place suffisamment loin descoins, des ouvertures, etc.) et que le régime est établi (ce qui revient à supposer lestempératures interne et externe suffisamment constantes pendant la période étudiée).

S.3.3.2 Calcul d’un chauffage par micro-ondes

On peut calculer la profondeur de pénétration de l’onde électromagnétique (formule3.40) en prenant pour vitesse de propagation de l’onde dans l’air la vitesse de lalumière, soit

l0 5 300.106 m.s−1/2 450.106s−1 5 0,122 m

L’application de la formule 3.40 donne alors :

xp ≈ l0 ·√

´′

2 · p · ´′′5

0,122 · √352 · p · 12

5 9,6.10−3 mc ©D

unod

–La

phot

ocop

ieno

nau

tori

sée

estu

ndé

lit



S.3.5.2-a Application numérique :Bilans sur un effet d’évaporateur

Le flux d’énergie électromagnétique décroît exponentiellement au cours de sa pro-gression dans la viande selon : F 5 Fmax. exp(−x/xp)C’est la variation (dérivée) de F avec x qui donne l’échauffement (formule 3.41).Fmax est la densité du flux (850 W) entrant par la surface supérieure de la viande(100 cm2) soit 85 kW/m2.La densité du flux sortant par la face inférieure (à x=5 cm) de la viande est doncF 5 Fmax. exp(−x/xp) 5 85 kW/m2 ∗ exp(−5/0.96) 5 467 W/m2.

Quant à l’échauffement du produit, il résulte de l’énergie convertie en chaleur∂Q∂V

dissipée dans un matériau de capacité thermique (r.Cp) 5 3.8.106 J.m−3.k−1 et

l’on a : (r.Cp)∂T∂t

5∂Q∂V

.

D’où :∂T∂t

51

(r.Cp)· ∂Q∂V

51

(r.Cp)· fmax

xp. exp(−x/xp). Et les résultats :

X (m) 0,01 0,02 0,03

x/xp 1,04 2,08 3,12

exp(−x/xp) 3,53.10–1 1,25.10–1 4,40.10–2

dQdV

(W.m–3) 3,12.106 1,10.105 3,90.105

d T/d t (K.s–1) 0,82 0,29 0,10

Après 60 s : DT 5 (˚C ou K) 49,3 17,4 6,2

Cela ne chauffe guère à cœur (à x 5 2.5 cm on trouverait + 10,4 ◦C). En répartissantl’arrivée de l’onde sur les 2 faces on ne changerait pas la température à cœur mais onobtiendrait une meilleure uniformité de l’échauffement.

S.3.5.2-a Application numérique :Bilans sur un effet d’évaporateur

D’après (3.46) :mLi 5 4 600 · (0,15/0,40

)5 1 725 kg/h et d’après (3.47), le débit massique

évaporatoire est : mVEi 5 4 600 − 1 725 5 2 875 kg/h.Avant d’utiliser l’équation de conservation de l’énergie (3.49),

mV 0 · HV 0 1 mL0 · HL0

5 mL1 · HL1 1 mC1 · HC1 1 mVE1 · HVE1 1 0,02 · (mV 0 · HV 0 1 mL0 · HL0 )

il est nécessaire d’estimer les enthalpies massiques des différents fluides en entrée etsortie. Selon (3.58) et les tables thermodynamiques de l’eau :HL0 5 (1 − 0,66 · 0,15) · 105 5 95 kJ/kgHL1 5 (1 − 0,66 · 0,40) · 272 5 200 kJ/kguV 0 5 80 ◦C ⇒ pV 0 5 0,474 bar et HV 0 5 2 643 kJ/kg et HC1 5 335 kJ/kg


S. • Génie des procédésalimentaires

S.3.5.2-c Bilans sur un condenseur à mélange

uVE1 5 65 ◦C et EEL1 5 0 ⇒ pVE1 5 0,25 bar et HVE1 5 2 618 kJ/kget HC2 5 272 kJ/kg

mV 0 · (0,98 · HV 0 − HC1) 5 −0,98 · mL0 · HL0 1 mL1 · HL1 1 mVE1 · HVE1

⇒ mV 0 5−0,98 · mL0 · HL0 1 mL1 · HL1 1 mVE1 · HVE1

(0,98 · HV 0 − HC1)

⇒ mV 0 5−0,98 · 4 600 · 95 1 1 725 · 200 1 2875 · 2 618

(0,98 · 2 643 − 335)5 3 300 kg/h

Il vient alors :– pour la puissance thermique Qi 5 2 067 kW– CEM 5 7 441 962/2 875 5 2 kJ/kg, eau évaporée

soit environ une fois la chaleur latente de l’eau (RCE ≈ 1, 1) au lieu de 1, ce qui estnormal pour un « simple effet » où le liquide arrive « sous-refroidi ».

S.3.5.2-b Bilans sur un condenseur à mélange

La figure 3.26a représente les flux. La pression (niveau de vide) pVEi que l’on peutobtenir est directement fonction de la température d’eau tiède, corrigée par l’écartDuc nécessaire pour l’échange (notamment du fait des gaz incondensables), soit(uEt − Duc). Elle se règle par le débit d’eau froide mEf et la température d’eau froideuEf disponible, selon l’endroit, la saison, etc. Le bilan s’écrit :

mEf . HEf 1 mVEi . HVEi 5 (mEf 1 mVEi) . HEt

D’où le débit d’eau mEf 5

(HVEi − HEt

HEt − HEf

)· mVEi (3.59)

Le débit d’eau froide nécessaire au condenseur est donc proportionnel au débit devapeur à condenser (mVEi), avec un facteur d’amplification, ce qui fixe la puissance dela pompe de circulation. Par exemple, pour une évaporation conduite à 80 ◦C, avecde l’eau froide à 25 ◦C et une température d’eau tiède de 75 ◦C, le débit massiqued’eau froide nécessaire vaut 11 fois le débit évaporatoire :

mEf 5

(2 634 − 314314 − 104

)· mVE1 ≈ 11 · mVEi

Si on utilise un aéroréfrigérant, l’apport d’eau par la vapeur condensée (condenseurà mélange) compense à peu près l’évaporation sur l’aéroréfrigérant, et la consomma-tion d’eau pour maintenir le volume circulant est minime, ce qui est un avantage.Mais le système (condenseur à mélange + aéroréfrigérant) pose aussi des problèmesenvironnementaux, dans la mesure où la vapeur émise par le produit contient dela matière organique (du fait du primage = entraînement de gouttelettes de liquidepar la vapeur) ou des substances volatiles (COV = composés organiques volatils). LaDCO (= demande chimique en oxygène) de l’eau recyclée peut alors permettre ledéveloppement de micro-organismes adaptés sur l’aéroréfrigérant (risques de légio-nellose, etc.).c ©

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S.3.5.3-a Coefficient de transfert de chaleur côtévapeur de chauffe

C’est la raison pour laquelle on préfère de plus en plus les condenseurs à paroi, avecabsence de contact entre les condensats de la vapeur aspirée, et l’eau de refroidisse-ment dite « propre ».

S.3.5.2-c Bilans sur un condenseur à paroi

Un condenseur à paroi (figure 3.26b) fonctionne comme un échangeur de chaleurclassique, avec changement d’état d’un côté. La vapeur VEi est aspirée sous vide parsa condensation contre la paroi refroidie par circulation d’eau froide de l’autre côté.Les condensats ruisselants sont évacués par une pompe. Compte tenu des diversesrésistances aux transferts et de la paroi, la température de condensation est choisie àDuc 5 8 à 15 ◦C au-dessus de l’eau tiède uEt , ce qui pénalise un peu le système. Lebilan s’écrit :

mEf · 4,18 · (uEt − uEf ) 5 mVEi · DHvVEi 5 h · A · (Du)moy. log

Comme les condensats de la vapeur aspirée ne sont plus mélangés avec l’eau de refroi-dissement, la boucle de l’aéroréfrigérant n’est plus alimentée en eau par la condensa-tion de VEi, de sorte que le système devient consommateur d’eau. Ces condenseurs àparoi sont aussi plus coûteux en investissement que les condenseurs à mélange. Pources différentes raisons, d’autres types de réfrigérants à paroi refroidie par l’air ambiant(tubes à ailettes) sont actuellement envisagés.

S.3.5.3-a Coefficient de transfert de chaleur côtévapeur de chauffe

Dans les cas courants, le coefficient de transfert côté vapeur (hV ) en condensationest fixé par la résistance de film de condensats ruisselants (cas d’une paroi verticale),avec une couche limite équivalente dans l’eau (moins visqueuse que côté produit).Il est donc élevé, de l’ordre de 10 000 à15 000 W.m–2.◦C–1, c’est à dire en généralnon limitant. Une évaluation plus précise n’est donc pas forcément nécessaire. Desformules de calcul de hv sont tirées de sources bibliographiques (Bird et al., 1960, ouDelhaye 1990).Pour une condensation en film ruisselant supposé laminaire sur une surface verticale,hV peut être estimé par (Bird et al., 1960) :

hV 5 0,4 · l3 · r2 · g3 · h · G

(3.61)

(où la conductivité thermiquel, la masse volumique r et la viscosité dynamique hdes condensats sont pris à la température du film, G est le « débit spécifique » de

condensats (G 5m

N · P · D), avec m 5 débit massique, N 5 nombre de tubes

verticaux et p · D 5 périmètre externe des tubes.Pour des tubes hauts (hauteur > 1 m), le film de condensats devient plus épaiset l’écoulement turbulent. Pour des valeurs de Re supérieures à 350 (Re ≈ G/h)



S.3.5.3-b Transfert de chaleur dans la paroi et ledépôt

l’équation (3.62) semble préférable :

hV 5 0,03 ·(

l3 · r2 · G

h3

) 13

D’autres résistances au transfert peuvent aussi intervenir côté chauffage, d’où lesrègles suivantes pour conserver des valeurs élevées de hV :– éviter l’arrivée de vapeur surchauffée (tableau 3.1), sachant qu’elle doit d’abord se

désurchauffer sans changement d’état, ce qui correspond à un faible coefficient detransfert dans la zone d’échange concernée, avant de libérer sa chaleur latente dansles autres zones du faisceau ;

– éviter les gaz incondensables (air, gaz dissous), sinon on constate une diminutionimportante de hV dans les zones riches en gaz incondensables, et leur accumulationprogressive dans le temps, ce qui justifie un débit de purge continu de ces gaz ;

– faciliter l’évacuation des condensats de la surface d’échange, au fur et à mesurequ’ils se forment (tubes verticaux, ou inclinés, à cannelures (effet Gregorig), etc.).

En général, moyennant les précautions ci-dessus, le transfert côté vapeur est rarementlimitant devant les autres résistances décrites ci-après, et ne nécessite pas d’approfon-dissement.

S.3.5.3-b Transfert de chaleur dans la paroi et le dépôt

En IAA, la paroi est le plus souvent en acier inoxydable, matériau assez mauvaisconducteur de la chaleur (lp 5 15 W.m−2.◦C−1), mais suffisamment mince( Dx ≈ 1 mm) pour que sa résistance aux transferts soit également non limitante.L’utilisation de tubes en verre ou en matières plastiques (matériaux encore moinsconducteurs) a aussi été mise en oeuvre pour d’autres raisons (nettoyage, corro-sion,...).Cependant, la résistance thermique de la paroi peut augmenter considérablementpar suite de dépôts sur sa face en contact avec le liquide à évaporer, aussi appelésencrassement. Ces dépôts peuvent être des protéines coagulées (lait), des minérauxqui arrivent au point de saturation à la suite de l’évaporation de l’eau (phosphatetricalcique dans le lait), des sucres caramélisés (jus de fruits, concentré de tomates,extrait de café), hespéridine dans le jus d’orange, etc. Cet encrassement (déjà abordéau § 3.4.3 échangeurs) induit une résistance supplémentairere, néfaste pour plusieursraisons :– elle ralentit le transfert thermique, et peut devenir rapidement la résistance limi-

tante, entraînant une chute du débit évaporatoire ;– elle peut aussi nuire à la qualité du produit, ces dépôts restant soumis à une tempé-

rature élevée pendant un long temps de séjour, d’où un aspect « brûlé » (coloration,caramélisation, goût de cuit, etc.), et/ou la présence de points noirs et/ou un goûtmodifié.

La vitesse d’encrassement fixe la durée de travail de l’évaporateur, entre deux arrêtspour nettoyage, et intervient dans sa productivité. Le nettoyage est en général du typeNEP. (nettoyage en place, cf. 12.1.3) à base successivement d’acide nitrique (nonc ©

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S.3.5.3-c Transfert de chaleur côté liquide àévaporer, en ébullition

corrosif pour l’acier inox), de base (NaOH) et de rinçages. Certaines précautionspeuvent ralentir la vitesse d’encrassement, et permettre d’espacer les cycles :– diminuer la température d’ébullition côté produit uLi, notamment pour l’effet le

plus chaud, mais cela limite aussi le nombre d’effets possibles en multiple effet, etpénalise l’économie d’énergie ;

– augmenter la turbulence du liquide à évaporer (vitesse de circulation élevée, agita-tion, raclage), ce qui permet à la fois d’augmenter les performances thermiques etde diminuer le temps de séjour, et justifie les évaporateurs « à circulation forcée »avec pompe de circulation (voir plus loin) ;

– procéder à certains prétraitements du produit, tels que la dépectinisation des jus defruits, afin de diminuer leur viscosité, donc d’augmenter la turbulence du liquideet de ralentir la vitesse d’encrassement.

S.3.5.3-c Transfert de chaleur côté liquide à évaporer,en ébullition

Le coefficient de transfert de chaleur côté liquide à évaporer hL est généralement lefacteur limitant des transferts, donc le plus important à prédire, mais c’est aussi leplus difficile à estimer avec confiance. Nous commençons par la description de l’ex-périence de Nukiyama d’ébullition de l’eau pure, pour définir les différents régimesd’ébullition possibles.

Expérience de Nukiyama

Cet auteur a mesuré expérimentalement la variation du flux F(W/m2) dans le cas del’eau pure (EE = 0 ◦C), en fonction de l’écart de température entre la paroi chaude(indice S) et le produit (indice L), Du 5 (uS − uL), voir la figure. En travaillant àflux imposé (chauffage électrique) et croissant, hL suit le trajet ABCEF de la figure,montrant clairement l’augmentation de hL avec Du ?, ce qui est une particularité del’échange de chaleur avec ébullition (quand c’est le transfert limitant), et est donc trèsdifférent du cas des échangeurs sans ébullition (cf. § 3.2.4)Mais au-delà d’un écart de 30 ◦C environ pour l’eau, le coefficient de transfertdevient brusquement très mauvais, phénomène appelé caléfaction, qui fait passer lacourbe de C à E, avec un écart de température de 600 ◦C au lieu de 30 ◦C, pourle même flux imposé. Nous n’approfondissons pas ce point, sachant que les évapo-rateurs IAA utilisent généralement le chauffage par la vapeur, et donc fonctionnentplutôt à température imposée (au lieu du flux thermique imposé), c’est-à-dire selonle trajet ABCDEF. Ce phénomène peut par contre se rencontrer dans la cuisson surplaque chaude, ou la friture.Avant caléfaction (Du < 30 ˚C), on distingue deux régimes d’ébullition :– La partie AB, qui décrit l’ébullition non nucléée aux faibles Du, telle que la cha-

leur reçue par l’eau alimente le changement d’état à l’interface liquide/vapeur,en surface supérieure du film liquide, et sans formation de bulles contre la paroid’échange. Dans cette zone, h varie avec Du à la puissance 2 à 3 environ.




�� = (�s - �l) °C

�kW.m

-2

1 5 10 50 100 500

1

E10

3

10

1000 °C

102

Passage direct de C à E, à flux imposé croissant,

et de D à G à flux imposé décroissant

B

A

C

D

I

J

K

L

Trajectoire FDGA à flux

imposé décroissant

Domaine IJKL d’emploi

courant en IAA

F

Trajectoire CD à �� imposé (absente

lorsque le flux est imposé)

50 kW/m2

G

Figure S.3.5.3 – Densité de flux thermique entre liquide/paroi, en fonction de l’écart detempérature (uS − uL). Expérience de Nukiyama avec l’eau pure.

– La partie BC, qui décrit l’ébullition nucléée, où des bulles se forment contre lasurface chaude : leur croissance et leur détachement créent une agitation de nucléa-tion, qui explique le changement de pente par rapport au segment AB d’ébullitionnon nucléée. Alors, h varie beaucoup avec Du, à la puissance 4 à 5 environ.

Donc, la courbe Nukiyama nous montre qu’en ébullition, le coefficient de transferthL est fortement fonction du flux F, et donc aussi bien de Du mais avec un exposantdifférent, et que la situation d’ébullition nucléée et non nucléée conduit à des co-efficients de transfert très différents. Par comparaison avec les produits alimentaires,deux effets vont nous éloigner de la référence à Nukiyama, (qui ne concerne que l’eaupure, en vase) :– la viscosité plus élevée du produit à concentrer, ce qui doit conduire à des valeurs

de hL bien plus faibles que pour l’eau ;– la possibilité d’une ébullition nucléée dès un très faible écart de température, du

fait des micelles présentes dans le liquide alimentaire (protéines, particules, fibres,...) et des gaz dissous. On constate par exemple, l’ébullition nucléée dès 0,5◦Cpour le lait, en flot tombant (Bouman et al 1993), ce qui peut conduire aussi bienà des valeurs de hL plus fortes que pour l’eau, pour des faibles Du.

– La convection « forcée » du produit (grimpage, ou flot tombant), qui améliore letransfert par rapport à l’ébullition « en vase » (convection naturelle), en facilitantla mise à l’équilibre en surface du film.

Dit autrement, le domaine courant des évaporateurs dans les IAA peut s’écarter nota-blement de la référence Nukiyama, et se situer dans le quadrilatère IJKL de la figure.Il reste donc une grande incertitude sur la prévision de hLi en conception d’appareilpour IAA, et on devra souvent passer par des essais pilotes coûteux.c ©

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Prévision du coefficient de transfert en ébullition, pour un produitalimentaire

Selon la littérature, les paramètres pertinents pour fixer hL sont nombreux, et tiennentà la fois au produit (parenthèse d’indice L) et au procédé (parenthèse d’indice K ) :

hL 5 f[(

h(uL, xL) , s, r, ....)

L .... (Duu ou f , G , uL ( pVE), ...)K]

(1)

En termes qualitatifs, hL diminue si la viscosité h augmente (effet de la températureuL et de la concentrationxL), et augmente avec la vitesse de circulation entre fluideet paroi, ce qui dépend soit du débit de pompage du produit (ici G en kg de produitpar m de paroi mouillée ), soit principalement de l’agitation de nucléation, expriméedans les formules par le flux d’ébullition F. ou Duu, etc. ...).Il reste que la viscosité h est généralement mal connue dans les conditions du pro-cédé, c’est-à-dire pour des températures et concentrations élevées et variables. Parailleurs les aliments liquides concentrés ne sont forcément newtoniens (cf.§ 1.1 puréede poire : comportement rhéofluidifiant). Ajoutons que la formation des bulles devapeur au sein du liquide modifie ses propriétés rhéologiques. En conséquence, laprévision de hL par ces formules est particulièrement incertaine.La courbe de Nukiyama nous a aussi montré qu’en ébullition, le coefficient de trans-fert hL est fonction de Du entre la paroi en surface uS et la température d’ébullition duliquide uLi, et que les transferts sont très différents selon que l’ébullition est nuclééeou non nucléée (agitation liée à la formation et au détachement des bulles, contre laparoi chaude). La question de savoir si l’ébullition sera nucléée ou pas semble difficileà prévoir, sachant que cela dépend à la fois du produit (particules, gaz dissous), del’état de surface (rugosité), de l’écart de température paroi/produit, et aussi de latechnologie employée (flot tombant, grimpage, cuve, .. ;),...Si le liquide est en ébullition nucléée au voisinage de la surface d’échange thermique,hL devient fortement dépendant de Du, et est bien plus élevé que sans ébullition àmême Du. Pour cette situation, de nombreuses corrélations existent pour le calculde hL, souvent à base de nombres sans dimension, mais il apparaît éventuellementque l’effet de la viscosité du produit disparaît dans la forme développée (par exempleMcNelly), ce qui ne peut pas convenir pour un produit alimentaire. Nous proposonsici l’équation de Rosenhow (Hahne et al 1977), pour une ébullition nucléée enrécipient, et qui prend en compte de façon explicite l’effet de la viscosité h :

hL 5 1,464 · C f −1 · F0,67 · h−1,37L · p0,31 · l−1,7

L · Cp0,7L · s−0,17

L · DHv−0,67. (rL − rV )−0,17

Cf 5 0,013 pour l’inox poli(2)

où F est le flux thermique, pris comme donnée du calcul, rLet rV sont les massesvolumiques de la phase liquide et vapeur ; sL la tension superficielle liquide/vapeur,h la viscosité, p la pression de fonctionnement, l, Cp caractéristiques du liquide. Lanature et l’état de surface de la paroi sont pris en compte par le coefficient Cf (inoxpoli). Si on s’impose le flux F, le calcul de h permet de déduire le Du nécessaire entreparoi et produit, pour obtenir ce flux, dans l’effet considéré, quitte à explorer d’autreshypothèses.




Dans cette forme dite développée, on constate l’absence de la dimension caractéris-tique D du récipient, ce qui est cohérent avec l’hypothèse d’ébullition nucléée, oùl’effet d’agitation dépend principalement de la nucléation, via le flux F0,67 et nonpas de la dimension du récipient (ou tube). Le flux F0,67 joue ici le même rôle quela vitesse du fluide dans le Re0,8 dans l’équation de Dittus-Boelter ( § 3.2.4). Si laformule décrit bien l’effet dépressif de la viscosité du liquide h sur le transfert hL,sa mise en œuvre suppose néanmoins de connaître la loi de viscosité du produith 5 f ( xL , uL , ....), ce qui dans la pratique représente une difficulté importante.

Dans le cas de « flot tombant », on peut ajouter l’effet sur le transfert du « taux d’ali-mentation » G. en (kg de produit/m de périmètre mouillé), qui fait varier l’épaisseurd du film ruisselant. La circulation de la vapeur au centre du tube a aussi un effetsur hL. Des formules spécialisées existent par produit et par type d’évaporateur, parexemple celle de Bouman (1993) pour le lait, et en flot tombant (hL en W.m–2.◦C–1,F en W.m–2, h en Pa, G (kg.s–1.m–1) :

hL 5 6,05 · F0,47 · h−0,44 · G0,26 (lait entier)

hL 5 0,77 · F0,69 · h−0,41 (lait écrèmé)

On peut comprendre que le premier coefficient numérique (6,05 ou 0,77) résumel’effet de tous les facteurs de l’équation 2 qui ne sont pas pris en compte explicite-ment, et qui varient assez peu (l, cp, DHv, rL, ...), alors que la viscosité et le fluxpeuvent eux, prendre des valeurs très diverses. Par ailleurs, le fait que l’exposantde h soit assez différent des autres sources reste à expliquer. La loi rhéologique enfonction de la concentration et de la température doit également être connue, dutype h 5 f (xLi, uLi).

En « flot grimpant », le transfert est également influencé par F, qui change le rapportdes volumes bulles/liquide dans le tube, et donc l’effet de grimpage. Il y a aussi uneinfluence du diamètre D du tube sur le grimpage (effet non décrit dans (2)).

On peut en déduire que l’équation proposée pour prédire hL dans un évaporateurn’est utilisable que « faute de mieux », sous réserve d’une ébullition nucléée, et ensachant que le résultat reste très incertain (en particulier si l’ébullition n’était enréalité pas nucléée). Pour d’autres formules, on pourra se référer à Delhaye (1990)ou à l’ouvrage de Hahne et Grigull (1977). La grande variabilité entre formules,notamment pour les puissances affectées aux mêmes facteurs, mérite discussion.

Les constructeurs d’équipement utilisent éventuellement des formules empiriquesidentifiées produit par produit, et pour chaque type d’appareil spécifié, mais ellesfont partie du savoir-faire des constructeurs, et ne sont pas forcément publiées. C’estpourquoi, pour un produit nouveau, des essais sur pilotes restent souvent nécessaires

Une autre limite aux transferts est un assèchement même partiel de la surfaced’échange côté produit, à l’intérieur du tube d’échange, ce qui diminue la surfaceutile à l’échange, et correspond à une vitesse de circulation moyenne faible, avecrisque de dégradation thermique du produit (coloration, goût), et/ou de bouchagedu tube. Pour éviter cela, le critère technique habituel en flot tombant est d’avoir undébit de fluide suffisant, dit « taux de mouillage G », exprimé en débit (volumiqueou massique) par cm de périmètre de tube (par exemple G > 15 kg.h−1.cm−1).c ©

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S.3.5.4-a Compression mécanique des vapeurs :application numérique

Cas d’un évaporateur sans ébullition dans l’échangeur

Pour le cas d’un évaporateur à circulation forcée, sans ébullition dans l’échangeur,(décrit en figure 3.33 d), hL peut être calculé à partir de relations connues et donnantun ordre de grandeur assez sûr, comme la corrélation de Dittus-Boelter applicable àun écoulement turbulent, et remplissant le tube (équation 3.18 du § 3.2.4 – où hLest indépendant de (Du)).Il reste à décrire le bilan matière et énergie sur le séparateur, pour savoir combien defois le liquide doit passer pour atteindre la concentration de sortie. Comme le débitde re-circulation est élevé devant le débit d’alimentation en L0, toute la boucle estsupposée à la concentration finale xL1, ce qui pénalise l’échange.

S.3.5.4-a Compression mécanique des vapeurs :application numérique

D’après les données thermodynamiques de l’eau pure (EE ≈ 0) :

HB 5 2 625 kJ/kg, SB 5 7,769 kJ.kg−1.K−1, pVE 5 0,3 bar

Après compression supposée isentropique, la vapeur se trouve en C sous une pressionpVC 5 0,51 bar à 114 ◦C ; sa température saturante en uE est 82 ◦C, soit une sur-chauffe de 32 ◦C. (cp) de la vapeur surchauffée≈ 1,95 kJ.kg−1.K−1). Son enthalpieà ce moment se lit sur le diagramme, ou bien se calcule selon :

HC ′ 5 2 647 1 (1,95 · 32) 5 2 710 kJ.kg−1.

La puissance mécanique à fournir à la vapeur est, avec l’hypothèse isentropique (théo-rique) :

W 5 mVE · (HB − HC ) 520 0003 600

(2 710 − 2 625) 5 473 kW

(si compression isentropique).

Pour la compression réelle, il faut faire intervenir le rendement adiabatique, condui-sant au point D réel, avec une surchauffe plus élevée qu’en C, et calculable à partirdu rendement adiabatique ra 5 0,7

ra 5HC − HB

HD − HB5 0,7

d’où

HD 5 HB 1HC − HB

0,75 2 615 1

2 710 − 2 6250,7

5 2 746 kJ/kg

La puissance réelle à fournir est donc, avec le rendement adiabatique ra,, et méca-nique rme :

W 5 mVE · (HD − HB) 520 0003 600

· (2 746 − 2 625)0,8

5 840 kW



S.3.5.4-b Bilans sur une station d’évaporationà multiple effet avec/sans prélèvements...

Le COP dit « réel » vaut alors COP 5QW

5mVE · DHV

W5 17,8

soit l’équivalent de 17 effets environ, mais seulement 8 effets-équivalents si on at-tribue un coût à l’énergie mécanique 2 fois plus élevé qu’à l’énergie thermique. Enmême temps, on économise l’achat d’une chaudière, d’un condenseur et de l’aéroré-frigérant associé.Comme l’énergie de surchauffe(HD − HE ) 5 (2 746 − 2 647) 5 49 kJ/kg de va-peur comprimée est supérieure à l’écart de chaleur latente :(DHvB − DHvE ) 5 (2 336 − 2 308) 5 28 , kJ.K−1 ceci signifie que le systèmeest potentiellement autosuffisant en énergie (aucune vapeur de chauffe additionnellenécessaire). On doit ensuite calculer le débit d’eau de désurchauffe mEdes par bilan,en fixant sa température à l’injection, et on devrait constater que cet accroissementde débit de mV 0 5 (mVE1 1 mEdes) est suffisant (en général) pour compenser lespertes thermiques et alimenter d’autres postes (purge des gaz incondensables).Un appoint de chauffage est parfois recommandé pour le démarrage.

S.3.5.4-b Bilans sur une station d’évaporationà multiple effet avec/sans prélèvementset thermo-compression

1 – quatre effets sans prélèvement.2 – avec prélèvements.3 – avec prélèvements et insertion d’une thermo-compression.

Cadre général du problèmeOn désire concentrer 600 t/h de jus de betteraves de 18 % à 72 % de M.S dansévaporateur à 5 effets à co-courant. Le jus à concentrer arrive à 85 ◦C de l’atelierd’épuration. La vapeur de chauffage est une vapeur issue d’un turboalternateur dite« vapeur d’échappement ». Sa pression absolue est de 2,9 bar. Le condenseur est uncondenseur à mélange barométrique alimenté par de l’eau à 30 ◦C. Le profil de lapression de vapeur dans les différents effets est le suivant :

caisse 0 1 2 3 4 5

p faisceau (bar abs) 2,9 2,5 2,1 1,7 1,1 0,6

h (W.m–2.◦C–1) 3 200 3 000 2 000 1 100 600

– On néglige les pertes de charge sur la vapeur et les pertes de chaleur par rayonne-ment.

– La chaleur spécifique des jus est calculée à partir de la relation

Cp 5 Cpeau ∗ (1 − 0, 7.xL).

– L’élévation ébullioscopique sera calculée par la relation

EE 5 28, 3 ∗ XmS

(XmS : fraction molaire en soluté).c ©D

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–La

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estu

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lit




1. Dimensionnement de l’évaporateur sans prélèvement

Dans un premier temps, on considère qu’aucun prélèvement n’est effectué.

1 – 1. Faire un schéma simplifié de l’installation avec tous les indices et les donnéesconnues.

1 – 2. Résoudre les bilans matière et énergétique. Déterminez la CEM (kJ/kg eauévaporée) et la RCE (kg de vapeur consommée/kg eau évaporée).

1 – 3. Déterminer la surface d’échange requise par corps d’évaporation.

1 – 4. Déterminer la consommation d’eau froide au condenseur et la hauteur mini-male de la jambe barométrique.

2. Dimensionnement de l’évaporateur avec prélèvements

Les autres ateliers de la sucrerie ont besoin de vapeur de chauffage pour les échan-geurs :– à l’atelier de diffusion, le réchauffage de 1 200 t/h du jus de circulation (JC) à

18 %MS de 72 à 82 ◦C. La faible quantité de chaleur requise s’explique par lamise en place d’un point froid (réchauffage des cossettes par le jus vert sortant) etla récupération d’énergie à partir des condensats.

– à l’atelier d’épuration, le réchauffage de 600 t/h de jus à 18 % MS de 85 ◦C à95 ◦C.

– à l’atelier d’évaporation pour le réchauffage du jus avant évaporation (JAE) de95 ◦C à sa température d’ébullition au premier corps.

– à l’atelier de cristallisation : au 1er jet 30 t/h de vapeur à 100 ◦C ; au 2ème jet 10 t/hde vapeur à 110 ◦C.

Pour simplifier le calcul, il sera possible de faire quelques hypothèses simplificatrices :« 1 pour 1 → un kg de vapeur qui se condense permet d’évaporer un kg d’eau »

2 – 1. Déterminer les points de prélèvement pour les différents besoins et les débitsde vapeur nécessaires.


2 – 3. Déterminer la CEM (kJ/kg eau évaporée) et la RCE (kg de vapeur consom-mée/kg eau évaporée).


2 – 5. Déterminer la consommation d’eau froide au condenseur.

2 – 6. Citer les avantages de fournir la vapeur à l’ensemble des ateliers à partir del’atelier d’évaporation.

3. Ajout d’un thermo-compresseur

On ne dispose en fait que de 70 t/h de vapeur d’échappement (issue de la détentede vapeur haute pression à 40 bar dans un turboalternateur). Plutôt que de détendrele complément, on décide d’installer une thermo-compression sur le premier corps.




Compte tenu des pressions de la vapeur HP disponible et de la vapeur émise au 1er

corps, le rapport de thermo-compression (kg vapeur BP aspirée/kg vapeur HP) estde 1,5. Redimensionner tout l’ensemble en gardant toutefois les mêmes coefficientsde transfert et la même hypothèse simplificatrice de « 1 pour 1 ».


3 – 2. Déterminer la CEM (kJ/kg eau évaporée) et la RCE (kg de vapeur consom-mée/kg eau évaporée).


3 – 4. Déterminer la consommation d’eau froide au condenseur.

3 – 5. Comparer les deux derniers cas de figure.

Résolution de l’exercice

Avant toute chose, on peut déterminer les caractéristiques des vapeurs en faisantl’hypothèse qu’elles sont toutes des vapeurs saturantes (on néglige l’enthalpie desurchauffe).

1. À partir de la pression de vapeur, on peut déterminer la température à partir del’équation :

uuuVi(◦C

)5(a 1 b ∗ ln(pabs)

)/(c − ln(pabs) avec p en bar et uuu en ◦C

a 5 1168,4 b 5 228,42 c 5 11,727

la chaleur latente de vaporisation à partir de l’équation :

DHVi(kJ/kg

)5 a 1 b ∗ uuu − c ∗ pabs avec p en bar et uuu en ◦C

a 5 2514 b 5 2,5513 c 5 −4,009

l’enthalpie de la vapeur saturante à partir de l’équation :

HVi(kJ/kg

)5 Cpeau ∗ uuu 1 DHVi uuu en ◦C

pV0 5 2,9 bar abs uV0 5 132 ◦C HC1 5 554 kJ/kg DHV0 5 2 187,9 kJ/kg HV0 5 2 742,0 kJ/kg


pV2 5 2, 1 bar abs uV2 5 122 ◦C HC3 5 510 kJ/kg DHV2 5 2211,7 kJ/kg HV2 5 2 721,5 kJ/kg

pV3 5 1, 7 bar abs uV3 5 115 ◦C HC4 5 482 kJ/kg DHV3 5 2227,0 kJ/kg HV3 5 2 709,1 kJ/kg



uEf 5 30 ◦C HEf 5 126 kJ/kg

c ©D

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Questions 1 : évaporateur 5 effets sans prélèvement

Zone

faisceau

L5

Zone

calandre

V

1

Eau purge

Air entrée

condenseur

Pompe à vide

VE4

Condensats vers station épuration

Zonefaisceau

vapeur de

chauffageissue de la

chaudière

C1

L0 L1

Zone

calandre

1

Zone

faisceau

Zone

calandre

VE1

2

Zone

faisceau

Zone

calandre

VE2

3

VE3

L2

4

L3

C2 C4

retour

chaufferie

C3

Zone

faisceau

Zone

calandre

VE55

L4

C5

bilan matières sèches

mL0 · xL0 5 mL5 · xL5 ⇒ mL5 5xL0

xL5· mL0

bilan global :

mL0 − mL5 5

5∑i51

mVEi

et mVE1 5 mVE2 5 mVE3 5 mVE4 5 mVE5 5mL0 − mL5

55 90 000 kg/h

⇒ mLi 5 mLi−1 − mVEi et xLi 5mL0 · xL0

mLi

et XmLi 5

xLi

Msoluté(xLi

Msoluté1

1 − xLi

Meau

) et EELi 5 28,3 · XmLi si soluté saccharose

⇒ XmLi 5

xLi

342(xLi

3421

1 − xLi

18

)

2. Pour les liquides, on détermine :la température par uuuLi 5 uuuVEi 1 EELi

l’enthalpie par HLi 5 cpeau · (1 − 0,7 ∗ xLi) · uuuLi

m VE1 5 m VE2 5 m VE3 5 m VE4 5 m VE5 5 90 000 kg/h

xL0 5 0,18 XmL0 5 0, 011 uL0 5 85,0 ◦C HL0 5 311,0 kJ/kg

mL1 5 510 000 kg/h xL1 5 0,21 XmL1 5 0,014 EEL1 5 0,5 ◦C uL1 5 127,9 ◦C HL1 5 456,1 kJ/kg








Détermination du débit de vapeur mV0

Écriture du bilan enthalpique sur le premier corps :mL0 · HL0 1 mV 0 · HV 0 5 mL1 · HL1 1 mC1 · HC1 1 mVE1 · HVE1 1 pertes (négligées ici)

⇒ Q1 5 mV 0 · (HV 0 − HC1) 5 −mL0 · HL0 1 mL1 · HL1 1 mVE1 · HVE1

et mV 0 5−mL0 · HL0 1 mL1 · HL1 1 mVE1 · HVE1

(HV 0 − HC1)

et CEM 5Q1∑mVE

5Q1

mL0 − mL4et RCE 5

mV 0∑mVE

mV0 = 133 424 kg/h

Q1 = 81 087 kW

CEM = 649 kJ/kg eau évaporée

RCE = 0,30 kg vapeur chauffage / kg eau évaporée

Remarque : La RCE (kg vapeur de chauffage/kg eau évaporée) pour ces 5 effetssans prélèvement est beaucoup plus forte que 0,20 que l’on aurait pu espérer. Cerésultat peut s’expliquer par le fait qu’une part non négligeable de la vapeur dechauffage sert au réchauffage de l’alimentation de 85 ◦C à sa température d’ébul-lition au premier corps (127,9 ◦C). La quantité de vapeur V0 qui se condenserien que pour réchauffer l’alimentation est de plus de 43 t/h. Nous verrons dansla partie 2, tout l’intérêt de réaliser le réchauffage de l’alimentation par plusieurséchangeurs en série, chacun alimenté par une vapeur de niveau de pression suffi-sante.

Détermination des surfaces d’échangePour le premier corps. La température utile est prise égale à la différence des tempé-ratures entre la vapeur de chauffage et le liquide à l’ébullition, même si celui-ci rentreen dessous de sa température d’ébullition

Q1 5 mV 0 · (HV 0 − HC1) 5 A1 · hG1 · (Duu1) ⇒ A1 5mV 0 · (HV 0 − HC1)hG1 · (uV 0 − uL1)

⇒ A1 5 m2

Pour les corps suivant, les quantités de chaleur échangées sont toutes égales :

Q2 ≈ mVE1 · (HVE1 − HC2) ≈ mVE1 · DHVE1 ≈ Q3 ≈ Q4

et A2 5Q2

hG2 · (uuuV 1 − uuuL2)et A3 5

Q2

hG3 · (uuuV 2 − uuuL3)

et A4 5Q2

hG4 · (uuuV 3 − uuuL4)et A5 5

Q2

hG5 · (uuuV 4 − uuuL5)Détermination du débit d’eau froide au condenseur– Pour que la vapeur au dernier corps soit celle désirée„ il faut que la température de

l’eau tiède en sortie de condenseur soit d’au moins 5◦C en dessous de la tempéra-ture de vapeur saturante au 5ème corps. Il faut en effet prévoir un écart de pressionc ©

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Q1 5 81 087 kW Duu1 5 4, 5 ◦C A1 5 5 652 m2

Q2 5 54 972 kW Duu2 5 5, 1 ◦C A2 5 3 618 m2

Q3 5 54 972 kW Duu3 5 5, 8 ◦C A3 5 4 716 m2

Q4 5 54 972 kW Duu4 5 11, 7 ◦C A4 5 4 283 m2

Q5 5 54 972 kW Duu5 5 13, 3 ◦C A5 5 6 893 m2

somme surfaces = 25 161 m2

suffisant pour entraîner la vapeur vers le condenseur et prévoir la présence des gazincondensables. uEt 5 uVE5 − 5

– Par bilan on peut déterminer le débit d’eau froide nécessaire au condenseur

mVE4 · HVE4 1 mEf · HEf 5(mVE4 1 mEf

) · HEt

⇒ mEf 5HVE4 − HEt

HEt − HEf· mVE4

5 923 091 kg/h

– Pour déterminer la hauteur minimale de la jambe du condenseur, il faut détermi-ner la pression correspondant à la température de l’eau tiède et écrire :

r · g · h 5(Patm − pvapEt

)5 h 5

(Patm − pvapEt

)r · g

5 4,72 m

Questions 2 : Evaporateur avec prélèvements pour assurer des besoins

L4'

V

1

Eau purge

Air entrée

Pompe à vide

VE4'


vapeur de

chauffage

issue de la

chaudière

C1'

L0

L1'

1

VE1'

2

VE2'

3

VE3'

L2'

4

L3'

C2' C4'

retour

chaufferie

C3'

VP1 VP2 VP3

V1' V2' V3' V4'

VP4

VE5'5

V5'

VP5

L5

C5'

VP0

V0'

Il faut en premier lieu définir les besoins en vapeur pour les différents échangeurset sur quelle vapeur peut se faire le prélèvement en gardant les mêmes niveaux depression dans les différents corps :

jus circulation sur VE5 de 72 à 82◦C mVP5−1 5 mJC ∗cpeau ∗(1−0, 7∗xL0)∗(82−76)/DHV5 mVP5−1 5 19 112 kg/h

jus Clair 1 de 85 à 95◦C sur VE4 mVP4−2 5 mL0∗cpeau∗(1−0, 7∗xL0)∗(95−85)/DHV4 mVP4−2 5 19 449 kg/h

JAE de 95 à 110◦C sur VE3 mVP3−1 5 mL0∗cpeau∗(1−0, 7∗xL0)∗(110−95)/DHV3 mVP3−1 5 14 786 kg/h

JAE de 110◦C à 118 sur VE2 mVP2−1 5 mL0∗cpeau∗(1−0, 7∗xL0)∗(118−110)/DHV2 mVP2−1 5 7 940 kg/h

JAE de 118◦C à 124◦C sur VE1 mVP1−1 5 mL0∗cpeau∗(1−0, 7∗xL0)∗(124−118)/DHV1 mVP1−1 5 5 990 kg/h

JAE de 124 à 128 ◦C sur V0 mVP0−1 5 mL0∗cpeau∗(1−0, 7∗xL0)∗(128−124)/DHV0 mVP0−1 5 4 013 kg/h

crista 1er jet à 100◦C sur VE3 mVP3−2 5 30 000 kg/h mVP3−2 5 30 000 kg/h

2ème jet à 110◦C sur VE2 mVP2−2 5 10 000 kg/h mVP2−2 5 10 000 kg/h




∑mVP0 5 4 013 kg/h

∑mVP1 5 5 990 kg/h

∑mVP2 5 17 940 kg/h

∑mVP3 5 44 786 kg/h

∑mVP4 5 19 449 kg/h

∑mVP5 5 19 112 kg/h

Détermination des débits de vapeur avec l’hypothèse 1 pour 1Des équations bilans, reportées ci-dessous, il est possible de déterminer mV0’ et d’endéduire tous les flux de vapeur émise et donc les débits de liquide, leur teneur enmatières sèches et leur température d’ébullition.

mVE1′ 5 ˙mV0′ mVE1 5 127 360 kg/h

mVE2′ 5 mVE1′ −∑

˙mVP1 5 mV0′ −∑

˙mVP1 mVE2′ 5 121 370 kg/h

mVE3′ 5 mVE2′ −∑

˙mVP2 5 mV0′∑

˙mVP1 −∑ ˙mVP2 mVE3′ 5 103 430 kg/h

mVE4′ 5 mVE3′ −∑

˙mVP3 5 mV0′ −∑

˙mVP1 −∑ ˙mVP2 −∑ ˙mVP3 mVE4′ 5 58 644 kg/h

m′VE5 5 mVE4′ −

∑˙mVP4 5 mV0′ −

∑˙mVP1 −∑ ˙mVP2 −∑ ˙mVP3 −∑ ˙mVP4 mVE5′ 5 39 196 kg/h

∑mVE′ 5 mL0−mL5 5 mV0′ −4∗

∑mVP1−3∗

∑mVP2−2∗

∑mVP3−

∑mVP4

m′V0 5

(mL0 − mL5 1 4 ∗

∑mVP1 1 3 ∗

∑mVP2 1 2 ∗

∑mVP3 1

∑mVP4

)/5

mV5′ 5 mVE5′ −∑

˙mVP5 mV5′ 5 20 084 kg/h

mL1′ 5 472 640 kg/h xL1′ 5 0, 23 XmL1′ 5 0, 015 EEL1′ 5 0, 5 ◦C uL1′ 5 128, 0 ◦C HL1′ 5 449, 9 kJ/kg


mL3′ 5 247840 kg/h xL3′ 5 0, 44 XmL3′ 5 0, 039 EEL3′ 5 1, 2 ◦C uL3′ 5 116, 4 ◦C HL3′ 5 338, 6 kJ/kg


mL5′ 5 150 000 kg/h xL5 5 0, 72 XmL5 5 0, 119 EEL5 5 3, 1 ◦C uL5′ 5 89, 0 ◦C HL5 5 184, 9 kJ/kg

Il est également possible de déterminer les quantités de chaleur échangées et par làmême les surfaces à installer à chacun des corps.

Q1′ 5 77 401 kW Duu1′ 5 4, 4 ◦C A1′ 5 5 452 m2

Q2′ 5 74 133 kW Duu2′ 5 4, 9 ◦C A2′ 5 5 039 m2

Q3′ 5 63 543 kW Duu3′ 5 5, 4 ◦C A3′ 5 5 897 m2

Q4′ 5 36 277 kW Duu4′ 5 11, 0 ◦C A4′ 5 3 006 m2

Q5′ 5 24 577 kW Duu5′ 5 13, 3 ◦C A5′ 5 3 082 m2

somme surfaces= 22 476 m2

c ©D

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–La

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tori

sée

estu

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lit




D’où une consommation globale :

mV0′ total 5 131 373 kg/h

CEM 5 639 kJ/kg eau évaporée

RCE 5 0,29 kg vapeur de chauffage/kg eau évaporée

mEf′ 5 205 990 kg/h

Rappelons que dans ce cas de figure, l’atelier assure également le chauffage de nom-breux autres ateliers

Questions 3 : Evaporateur avec prélèvements pour assurer des besoinset thermo-compression sur le premier corps pour compléter le débit devapeur d’échappement limité à 70 t/h

L4'’

V

1

Eau purge

Air entrée

Pompe à vide

VE4'’


C1'’

L0

L1'’

1

VE1'’

2

VE2'’

3

VE3'’

L2'’

4

L3'’

C2'’ C4'’

retour

chaufferie

C3'’

VP1 VP2 VP3

V1'’ V2'’ V3'’ V4'’

VP4

VE5'’

5

V5'’

VP5

L5

C5'’

VMP

VBP

vapeur de

Chauffage

Haute Pression

issue de la

chaudière

Véchappement

V0'’

z=mVBP/mVHPVHP

VP0

Détermination des débits de vapeur avec l’hypothèse 1 pour 1

mVE1′′ 5 mV0′′ 5 mVHP ∗ (1 1 z) 1 mVechapp − mVP0

mVE2′′ 5 mVE1′′ −∑

mVP1 − mVBP 5 mVHP ∗ (1 1 z) 1 mVechapp − mVP0 −∑

mVP1 − z ∗ mVHP

mVE2′′ 5 mVHP 1 mVechapp − mVP0 −∑ mVP1

mVE3′′ 5 mVE2′′ −∑

mVP2 5 mVHP 1 mVechapp − mVP0 −∑ mVP1 −∑ mVP2

mVE4′′ 5 mVE3′′ −∑

˙mVP3 5 mVHP 1 mVechapp − mVP0 −∑ mVP1 −∑ mVP2 −∑ mVP3

mVE5′′ 5 mVE4′′−∑

mVP4 5 mVHP 1 mVechapp−mVP0−∑

mVP1−∑

mVP2−∑

mVP3−∑

mVP4

∑mVE 5 mL0 − mL5 5 mVHP ∗ (5 1 z) 1 5 ∗ mVechapp − 5 ∗ mVP0 − 4 ∗

∑mVP1

− 3 ∗∑

mVP2 − 2 ∗∑

mVP3 −∑

mVP4

mVHP 5(mL0 − mL5 − 5 ∗ mVechapp 1 5 ∗ mVP0 1 4 ∗

∑mVP1 1 3 ∗

∑mVP2

1 2 ∗∑

mVP3 1∑

mVP4

)/(5 1 z)

mV5′′ 5 mVE5′′ −∑

mVP5



S.3.5.4-c Bilans sur une station d’évaporationà multiple effet avec/sans prélèvements...

mVHP 5 47 210 kg/h

mVE1′′ 5 184 012 kg/h

mVE2′′ 5 107 207 kg/h

mVE3′′ 5 89 267 kg/h

mVE4′′ 5 44 481 kg/h

mVE5′′ 5 25 033 kg/h

mV5 5 5 921 kg/h

mL1′′ 5 415 988 Kg/h xL1′′ 5 0, 26 XmL1′′ 5 0, 018 EEL1′′ 5 0, 6 ◦C uL1′′ 5 128, 0 ◦C HL1′′ 5 438, 6 kJ/kg





Q1′′ 5 114 270 kW Duu1′′ 5 4, 3 ◦C A1′′ 5 8 223 m2

Q2′′ 5 65 482 kW Duu2′′ 5 4, 8 ◦C A2′′ 5 4 594 m2

Q3′′ 5 63 543 kW Duu3′′ 5 5, 1 ◦C A3′′ 5 6 239 m2

Q4′′ 5 36 277 kW Duu4′′ 5 10, 6 ◦C A4′′ 5 3 110 m2

Q5′′ 5 24 577 kW Duu5′′ 5 13, 3 ◦C A5′′ 5 3 082 m2

somme surface = 25 248 m2

mVchauffage total 5 118 136 kg/h

CEM 5 570 kJ/kg eau évaporée

RCE 5 0,26 kg vapeur de chauffage/kg eau évaporée

mEf′′ 5 60 726 kg/h

Dans cet exercice, il ressort nettement que la situation la situation la plus économiquepour l’ensemble des besoins de l’usine associe un multiple effet avec prélèvements etla thermo-compression si on dispose de vapeur haute pression en sortie de chaudière.c ©

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S.3.5.4-c Autres techniques d’économie d’énergieen évaporation

TABLEAU RECAPITULATIF COMPLET

1-Sans prélèvement et sans compter autres besoins dans usine

mV0 = 133 t/h

mEf = 923 t/h

somme surface = 25 161 m 2

2-Récapitulatif consommation avec prélèvements

mV0′ = 131 t/h

mEf′ = 206 t/h


3- avec prélèvements et thermocompression

mVchauffage = 117 t/h

mEf′′ = 61 t/h


S.3.5.4-c Autres techniques d’économie d’énergieen évaporation

En plus des techniques décrites (multiple effet, compression des vapeurs émises),plusieurs techniques complémentaires sont décrites ci-dessous.

Réchauffage par étage des liquides

Pour avoir un coefficient de transfert de chaleur élevé dans l’évaporateur, il faut quele liquide soit introduit à une température proche de sa température d’ébullition(ce point vise à améliorer les transferts, et ne touche pas directement l’économied’énergie). C’est pourquoi on peut réchauffer le produit avant introduction dansl’évaporateur. Dans le cas d’un évaporateur multiple effet, ce réchauffage sera réalisépar des prélèvements de façon étagée à contre-courant de la cascade de pression, afinde reculer au maximum les prélèvements ; ce dernier point concerne bien l’économied’énergie.

Auto-évaporation des produits, des condensats

Dans la circulation co-courant, les produits progressent par sauts de pression décrois-sante, et chaque fois se mettent en équilibre avec la nouvelle pression en émettant unpeu de vapeur, dite par auto-évaporation, cela (n-1) fois.De même, les condensats sortant côté chauffage au niveau de pression pVi−1 peuventproduire de la vapeur par auto-évaporation (ou « flash »), au moment où ils entrentdans un ballon de détente, relié à la vapeur de chauffe de l’effet suivant, donc àpression inférieure pVi < pVi−1 . Cette détente va se poursuivre (n-i) fois de procheen proche, jusqu’à la pression du condenseur, en produisant chaque fois un peu devapeur de façon utile.



S.3.5.5 Évaporateurs dans les IAA

Ces deux apports sont faibles, et ont été négligés lorsqu’on a simplifié dans la règle« 1 pour 1 » (mVEi ≈ mVi−1, ou CEM 5 1 ∗ DHv) pour chaque effet, ce qui revientà supposer qu’ils compensent les pertes thermiques.

Pompe à chaleurUne pompe à chaleur (PAC) est un système voisin des circuits frigorifiques (cf.§ 7.3.2), visant à récupérer l’énergie (chaleur latente) des vapeurs émises VEi, etrestituer cette énergie côté chauffage, au niveau uVi−1. L’évaporateur frigorifique dela PAC sert de condenseur aux vapeurs émises dans l’évaporateur. Le condenseurde la PAC correspond au côté chauffage de l’évaporateur, en remplacement de lavapeur de chauffe. L’avantage d’un tel système est qu’il peut fonctionner à très bassetempérature d’évaporation, selon le choix du fluide frigorigène, ce qui est utile pourdes produits thermosensibles à haute valeur ajoutée.L’avantage par rapport à la CMV (vapeur d’eau) est décrit sur l’exemple suivant : à40◦C, les volumes massiques des vapeurs sèches d’eau et d’ammoniac valent respec-tivement 19,5 m3.kg–1 et 0,083 m3.kg–1, de sorte que le volume de gaz à comprimerdans la PAC est de 200 à 1000 fois plus faible dans une PAC à ammoniac quepour une CMV (vapeur d’eau). Néanmoins, le cycle frigorigène nécessite la pré-sence d’un échangeur de chaleur supplémentaire (évaporateur de la PAC), et estpénalisé par l’écart de température correspondant. Comme pour la CMV, le coef-ficient de performance (COP) est un critère important, bien que la technique soitplutôt choisie pour la basse température d’ébullition, plutôt que l’économie d’éner-gie.


1. Évaporateurs avec ébullition dans l’échangeur

1.1 Évaporateur à cuveCes évaporateurs, souvent de forme sphérique (figure 3.33-a), sont munis d’unedouble enveloppe chauffée par le vapeur V 0. Cet évaporateur est utilisé dans lespetites unités, pour la préparation de concentré de tomate, sauces, fruits confits,confitures,... qui sont des produits assez peu thermosensibles. Ils peuvent être munisd’un agitateur interne en forme d’ancre pour le traitement de produits visqueuxet collants. Les principaux inconvénients de ces évaporateurs sont leur faible sur-face spécifique d’échange (m2/m3) qui limite leur débit évaporatoire, augmente letemps de séjour du produit, et leur faible coefficient global d’échange (quelquescentaines de W.m–2.◦C–1). Ces évaporateurs sont généralement utilisés en modediscontinu.

1.2 Évaporateurs tubulaires dits « à grimpage »

Également connu sous le nom d’évaporateur “Robert”, le principe est décrit sur lafigure 3.25. Le liquide entrant dans le tube par le bas reçoit de la chaleur, se met àbouillir à l’intérieur du tube, et les bulles de vapeur émises (condition d’ébullitionnucléée) montent au sein du liquide, en créant un entraînement du liquide versle haut, ainsi qu’un cisaillement à la paroi favorable à l‘échange, même en cas dec ©

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grande viscosité. La hauteur des tubes est limitée à environ 3 m, pour que la pressionhydrostatique en bas ne diminue pas trop l’écart de température utile aux transfertsD uui, donc le flux d’ébullition local qui doit être nucléé.La pression hydrostatique locale du mélange liquide/vapeur, et donc l’écart de tem-pérature utile au niveau h, s’évalue sur la base d’une masse volumique évaluée au 1/3de celle du liquide pur, à la même profondeur. Ils existent en très grande surface, quipeut atteindre 4 000 m2 par effet (en sucrerie par exemple).La vapeur formée étant la seule force motrice pour la circulation du liquide, on entire les conséquences suivantes :– il est important que l’ébullition commence dès l’entrée du produit, en bas du

tube, et donc que le préchauffage du produit soit suffisant pour ce type d’évapo-rateur (voir § 3.5.4. prélèvements étagés) ; en circulation co-courant, le petit effetd’auto-évaporation à l’entrée est très favorable ici ;

– le grimpage reste efficace pour améliorer les transferts, dans le cas de liquidesvisqueux, à condition que les tubes ne soient pas trop longs à cause de la pressionhydrostatique – couramment 3 m) ;

– le volume de produit sous les tubes donne un temps de séjour du produit pluslong que pour le « flot tombant » (seulement le volume du film ruisselant pré-sent dans l’appareil) et la température subie éventuellement est plus élevée (liée àun Duui plus fort). Ces deux points sont critiques quand on traite des produitsthermosensibles (effets de coloration, dénaturation de protéines, etc. ...).

Dans le cas d’une circulation du produit co-courant, ces évaporateurs présententl’avantage de ne pas nécessiter de pompes de circulation pour les liquides (contraire-ment au flot tombant). Le profil thermique stationnaire entre effets est stable, mêmeen cas de prélèvements sporadiques, notamment du fait du grand volume liquideprésent. Ils sont très répandus dans l’industrie sucrière, où les quantités d’eau àévaporer sont très importantes, et où la thermo-sensibilité du produit est compatibleavec une circulation à co-courant.Le fait qu’ils nécessitent un écart de température plus élevé qu’en flot tombant a desconséquences sur le nombre d’effets possibles, et sur la mise en œuvre d’une CMV,qui suppose en général de faible Du. Quand la circulation naturelle par grimpagedu liquide est insuffisante, une pompe hélice interne à l’appareil peut améliorer lestransferts (cas des cristalliseurs de sucrerie).

1.3 Évaporateurs tubulaires à flot tombant, dits à « descendage »

La figure 3.33-b présente l’évaporateur à flot tombant, où le liquide ruisselle dehaut en bas sur la surface interne du tube, sous l’influence de la pesanteur et de lacirculation de la vapeur produite, sortant en bas. La séparation du liquide concentréet de la vapeur émise peut s’opérer dans une chambre au bas des tubes, ou bien dansune enceinte séparée (selon schéma).L’épaisseur d du film de produit ruisselant dépend de sa viscosité (à la températured’ébullition) et du débit d’alimentation. Le temps de séjour est plus court qu’engrimpage, et le coefficient de transfert plus élevé aux faibles D u (supposés identiquesdans la comparaison, ce qui n’est pas forcément l’optimum de chaque technique).Les tubes peuvent aussi être plus longs, jusqu’à 10 à 20 m de hauteur, ce qui réduit




l’encombrement et facilite le mouillage des tubes. Mais il faut toujours une pompepar corps pour monter le liquide, même dans le cas d’une circulation co-courant.L’inconvénient principal du flot tombant tient à la difficulté de la répartition duliquide dans tous les tubes, pour assurer un mouillage interne suffisant, et de tousles tubes. Diverses méthodes existent, comme la pulvérisation, l’emploi de plaquesde distribution perforées, la mise en œuvre d’une auto-évaporation (« flash ) dèsl’entrée du produit, résultant d’un effet de préchauffage/détente, ... Quand le débit deproduit est trop faible pour mouiller correctement l’intérieur des tubes, notammenten fin de concentration, on a deux solutions pour éviter que le produit ne se dessècheen bas du tube :– utiliser des tubes plus hauts et moins nombreux, à surface d’échange identique,

pour augmenter le débit spécifique G (kg de produit /seconde et cm de périmètremouillé) ;

– pratiquer une recirculation du produit par une pompe, s’il n’est pas trop thermo-sensible, d’une façon séparée du débit d’alimentation.

La calandre d’un appareil industriel peut contenir entre 3 et 1 000 tubes de 30 à50 mm de diamètre, et 6 à 20 m de hauteur. Ces évaporateurs sont très répandusdans l’industrie laitière, les jus de fruits et semblent se développer en sucrerie.

1.4 Évaporateurs à plaques (à flot tombant et/ou à grimpage)

L’échangeur de chaleur à plaques (cf. § 3.4.2) est très répandu en IAA pour réchauf-fer ou refroidir les aliments liquides visqueux (mais sans ébullition). Ce principepeut aussi être utilisé pour des évaporateurs à la place du faisceau tubulaire, avecdes plaques un peu différentes. Selon la configuration, l’appareil peut fonctionneren mode de film liquide (côté produit) tombant ou grimpant accompagné de savapeur émise, ou de film grimpant-tombant sur 2 compartiments successifs en série(fig. 3.33 c). À la différence du simple réchauffage, il y a ici 4 orifices par plaque,de tailles inégales : soit deux pour l’entrée vapeur et produit, deux pour la sortie descondensats et du produit concentré mélangé à sa vapeur émise. La séparation de lavapeur émise VEi et du concentré Li se fait dans un caisson séparé, après la sortie dumélange.Les coefficients d’échange obtenus dans un échangeur à plaques sont généralementsupérieurs à ceux des appareils tubulaires (à D uui identique), moyennant une puis-sance de pompage suffisante. Les temps de séjour sont aussi plus courts, ce qui estun avantage dans la concentration des jus thermosensibles, mais surtout, ils sontplus faciles à nettoyer complètement : l’échangeur peut être ouvert complètement,toutes les surfaces sont accessibles au nettoyage et à l’inspection. Malgré leur coût, cesappareils présentent donc de nombreux avantages comparativement aux évaporateurstubulaires aussi bien à flot grimpant que tombant.

2. Évaporateurs sans ébullition dans l’échangeur

Quand le produit à concentrer est encrassant (dépôt de protéine, de cristaux, ...), onpréfère l’appareil de la figure 3.33-d), dit à circulation forcée. Dans ce cas, on s’assurequ’il n’y a pas ébullition dans l’échangeur de chaleur B (tubulaire ou à plaques), enc ©

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ayant une pression suffisante côté liquide dans l’échangeur (effet de la pression hy-drostatique, et/ou perte de charge en aval). La vaporisation se fera plus loin, dans unechambre de détente séparée marquée C, à plus faible pression, reliée au condenseur.Ce principe est souvent appelé « flash ébullition ». La quantité de vapeur émiseest fonction de l’écart de température entre l’entrée et la sortie de cette chambre(uLR1−uL1). Le liquide n’ayant pas atteint sa concentration-objectif en 1 seul passage,doit effectuer N recirculations sous l’effet de la pompe P, avant de sortir de la boucle.Si N est grand, toute la boucle de produit est donc à une concentration voisine dexL1(concentration de sortie), tout en étant alimentée en continu par mL0 et extraite encontinu par mL1.Comme les transferts sont généralement moins bons en l’absence d’ébullition, lapompe vise à compenser cet effet en augmentant la vitesse de circulation (donc le Re)dans l’échangeur, afin d’améliorer ces transferts. Cela coûte en énergie de pompage,mais diminue la surface d’échange. Par ailleurs, cette vitesse élevée limite les dépôtssur la surface d’échange : en particulier, les cristaux et les précipitations vont se formerau sein du liquide, où ils seront éventuellement séparés, plutôt que sur la surfaced’échange chaude, ce qui limite son encrassement.Le débit de la pompe est relié au taux de recirculation N, calculé à partir des tem-pératures choisiesuV 0 côté chauffage, uVE1 côté produit (liée à pC du condenseur),ainsi qu’à l’écart (uLR1 - uL1) lui-même limité par la condition de non ébullition dansl’échangeur.Il faut aussi se fixer l’écart de température entre la vapeur de chauffe uV 0 et celle duproduit sortant de l’échangeur uLR1(pincement), pour en déduire l’écart moyen lo-garithmique caractéristique de l’échangeur (formule de Hausbrandt, cf. § 3.4.1). Onsuppose que le produit revient à l’échangeur à (uLi 5 uVEsat 1 EELi), en négligeantles pertes thermiques. La surface de l’échangeur s‘en déduit, en utilisant par exempleDittus-Boelter (§ 3.2.4). Un condenseur est nécessaire et un fonctionnement mul-tiple effet est possible, bien que l’écart utile aux transferts par effet soit ici plus élevé(ce qui diminue le nombre d’effets possibles).Parmi les évaporateurs à circulation forcée, on peut citer divers types :– circulation par une pompe de circulation externe (figure 3.33-d), établissant la

circulation du liquide dans l’échangeur sans ébullition, puis vers le séparateuroù le liquide émet la quantité de vapeur correspondant à sa mise en équilibrepression/température à pVEi ;

– circulation par une pompe de circulation interne à l’appareil, grâce à un mobileplacé au bas des tubes, et avec l’idée que la pression hydrostatique suffit à empêcherl’ébullition dans les tubes (cas d’un faible écart entre vapeur de chauffe et produit) ;

– évaporateur-cristalliseur, comprenant sur le circuit, outre la pompe, une chambrede décantation pour la séparation des cristaux formés, dit élutriateur (utilisés enconcentration des vinasses).

3. Evaporateurs à circulation forcée avec ébullition dans l’échangeur

– l’évaporateur dit « à surface raclée » consiste en un cylindre vertical à doubleenveloppe, muni d’un agitateur axial tournant, et qui projette le produit liquidevisqueux en anneau liquide, ruisselant contre la surface interne chaude. Sa mé-canique ressemble à l’échangeur de chaleur représenté en figure 3.24, mais en



S.4.2.1 Application numérique : transferts dematière à travers un film d’emballage

position verticale, et non rempli de liquide, la vapeur émise par le produit s’éva-cuant dans la zone centrale, près de l’axe, vers le haut. Le raclage de la surfaceaméliore l’échange thermique, et le temps de séjour du produit est court (ce quiest favorable), mais c’est aussi un appareil coûteux à l’achat et à l’entretien. Il estréservé aux cas spéciaux : produit de haute viscosité, et haute valeur ajoutée, sauces,produits thermosensible...

– l’évaporateur centrifuge, dont la surface chauffante est un cône à double pa-roi chauffée par la vapeur, et tournant à haute vitesse (technologie proche desdécanteuses à assiette, cf. § 2.5.5). Le produit arrive dans l’axe, s’étale et circuleen film très mince du centre vers la périphérie, sous l’effet du champ d’accé-lération élevé (1 000 à 2 000 g). Même pour un produit visqueux, le temps deséjour est alors très court. L’évaporateur centrifuge est relativement coûteux maisproduit des concentrés de très bonne qualité. Il est utilisé pour concentrer desjus de fruits et extraits de café, pour des capacités évaporatoires limitées (jusqu’àquelques t/h).

Les évaporateurs à surface raclée et centrifuges sont normalement conçus en simpleeffet, pour des produits à forte valeur ajoutée, où la problématique du coût de l’éner-gie n’est pas essentielle. Leur mise en oeuvre en multiple effet est techniquementpossible, mais pas forcément économiquement intéressante.

S.4.2.1 Application numérique : transferts de matièreà travers un film d’emballage

En négligeant les résistances à la diffusion dans les milieux gazeux interne et externe,nous appliquons la formule 4.18. La « perméabilité » du matériau est trouvée dans letableau 5 des suppléments en ligne en P3A-2 :

Dp 5 2, 1 3 10−12 enml · 10−13

cm2 · s · (Pa.cm−1)

Le volume de CO2 est compté à 0 ◦C et 1, 013 3 105 Pa.Nous supposons le produit assez peu acide pour être un absorbant parfait duCO2 : la pression interne en ce gaz est nulle. L’écart de pression partielle estdonc égal à la pression partielle du CO2 dans l’air ambiant. La concentrationmoyenne de CO2 dans l’air vaut 0,033 % (Weast et Astle, nd), donc la pressionpartielle :

0, 033 3 10−2 3 1, 013 3 105 5 33 Pa.

Si nous conservons les unités données ci-dessus pour Dp :

V 5 300 3 2, 1 3 10−12 3 (33/0, 010) 5 2, 1 3 10−6 ml.s−1

soit, sur 24 h (facteur 24 3 3600) : 0, 18 ml.d−1.Pour chiffrer ce transfert en masse, on calcule la masse volumique r du CO2 commeétant 44/29 de celle de l’air (44 est la masse molaire du CO2) soit, à 0 ◦C :1, 29 3 44/29 5 1, 96 kg.m−3, d’où un transfert journalier de 0, 35 mg.d−1.c ©

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S.4.3.1 Tables de solubilité sucre (betterave),solubilité sucre (canne)

S.4.3.1 Tables de solubilité sucre (betterave), solubilitésucre (canne)

Solubilité du saccharose (g/g eau) dans sirop de betterave(Bubnik et al. 1995 In : Van der Poel al., 1998.

Pureté%

50 ◦C 55 ◦C 60 ◦C 65 ◦C 70 ◦C 75 ◦C 80 ◦C 85 ◦C 90 ◦C

100 2,59 2,73 2,89 3,06 3,25 3,46 3,69 3,94 4,20

98 2,56 2,70 2,86 3,03 3,21 3,42 3,64 3,88 4,14

96 2,54 2,68 2,83 3,00 3,19 3,39 3,61 3,85 4,10

94 2,53 2,66 2,81 2,98 3,17 3,37 3,59 3,82 4,08

92 2,52 2,65 2,80 2,97 3,15 3,36 3,56 3,81 4,07

90 2,51 2,64 2,80 2,96 3,15 3,35 3,58 3,82 4,07

88 2,50 2,64 2,80 2,97 3,15 3,36 3,58 3,83 4,10

86 2,51 2,64 2,80 2,97 3,16 3,37 3,60 3,86 4,13

84 2,51 2,65 2,81 2,99 3,18 3,40 3,63 3,90 4,18

82 2,52 2,66 2,83 3,01 3,21 3,43 3,68 3,95 4,25

80 2,53 2,68 2,85 3,03 3,24 3,47 3,73 4,02 4,34

78 2,55 2,71 2,88 3,07 3,29 3,53 3,80 4,11 4,41

76 2,58 2,74 2,91 3,12 3,34 3,60 3,89 4,21 4,57

74 2,61 2,77 2,96 3,17 3,41 3,68 3,99 4,33 4,72

72 2,65 2,82 3,02 3,24 3,49 3,78 4,11 4,48 4,89

70 2,70 2,88 3,08 3,32 3,59 3,90 4,25 4,65 5,09

68 2,75 2,94 3,16 3,41 3,70 4,03 4,41 4,84 5,33

66 2,82 3,02 3,25 3,52 3,83 4,18 4,59 5,07 5,61

64 2,89 3,11 3,35 3,64 3,97 4,36 4,81 5,33 5,93

62 2,98 3,21 3,47 3,78 4,15 4,57 5,06 5,64 6,32

60 3,08 3,32 3,61 3,95 4,35 4,81 5,36 6,02 6,79

58 3,20 3,46 3,78 4,15 4,58 5,10 5,73 6,48 7,37

56 3,33 3,62 3,97 4,38 4,87 5,46 6,17 7,04 8,11




Brix à la saturation (gMS/g) dans sirop de betterave(Bubnik et al. 1995 In : Van der Poel al., 1998).

Pureté%

50 ◦C 55 ◦C 60 ◦C 65 ◦C 70 ◦C 75 ◦C 80 ◦C 85 ◦C 90 ◦C

100 72,1 73,2 74,3 75,4 76,5 77,6 78,7 79,8 80,8

98 72,3 73,4 74,5 75,6 76,6 77,7 78,8 79,8 80,9

96 72,6 73,6 74,7 75,8 76,9 77,9 79,0 80,0 81,0

94 72,9 73,9 74,9 76,0 77,1 78,2 79,2 80,3 81,3

92 73,3 74,2 75,3 76,3 77,4 78,5 79,5 80,5 81,6

90 73,6 74,6 75,7 76,7 77,8 78,8 79,9 80,9 81,9

88 74,0 75,0 76,1 77,1 78,2 79,2 80,3 81,3 82,3

86 74,5 75,4 76,5 77,5 78,6 79,7 80,7 81,8 82,8

84 74,9 75,9 77,0 78,1 79,1 80,2 81,2 82,3 83,3

82 75,4 76,4 77,5 78,6 79,7 80,7 81,8 82,8 83,8

80 76,0 77,0 78,1 79,1 80,2 81,3 82,3 83,4 84,4

78 76,6 77,7 78,7 79,7 80,8 81,9 83,0 84,0 85,0

76 77,2 78,3 79,3 80,4 81,5 82,6 83,7 84,7 85,7

74 77,9 78,9 80,0 81,1 82,2 83,3 84,4 85,4 86,4

72 78,6 79,7 80,7 81,8 82,9 84,0 85,1 86,2 87,2

70 79,4 80,4 81,5 82,6 83,7 84,8 85,9 86,9 87,9

68 80,2 81,2 82,3 83,4 84,5 85,6 86,6 87,7 88,7

66 81,0 82,1 83,1 84,2 85,3 86,4 87,4 88,5 89,5

64 81,9 82,9 84,0 85,0 86,1 87,2 88,3 89,3 90,3

62 82,8 83,8 84,8 85,9 87,0 88,1 89,1 90,1 91,1

60 83,7 84,7 85,7 86,8 87,9 88,9 89,9 90,9 91,9

58 84,7 85,6 86,7 87,7 88,8 89,8 90,8 91,8 92,7

56 85,6 86,6 87,6 88,7 89,7 90,7 91,7 92,6 93,5

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Solubilité du saccharose (g/geau) dans sirop de canne (Hugot 1972).

Pureté%

62 ◦C 64 ◦C 66 ◦C 68 ◦C 70 ◦C 72 ◦C 74 ◦C 76 ◦C 78 ◦C 80 ◦C

92 2,85 2,91 2,98 3,05 3,12 3,19 3,26 3,34 3,44 3,52

90 2,83 2,90 2,95 3,03 3,10 3,17 3,25 3,33 3,41 3,49

88 2,82 2,86 2,95 3,00 3,07 3,14 3,21 3,29 3,37 3,45

86 2,80 2,85 2,91 2,98 3,05 3,12 3,20 3,27 3,36 3,44

84 2,77 2,83 2,89 2,96 3,03 3,10 3,18 3,26 3,34 3,42

82 2,75 2,81 2,87 2,94 3,01 3,08 3,16 3,22 3,30 3,39

80 2,72 2,79 2,85 2,92 2,99 3,05 3,12 3,20 3,28 3,37

78 2,70 2,77 2,83 2,90 2,97 3,02 3,10 3,18 3,26 3,35

76 2,69 2,76 2,81 2,88 2,95 3,00 3,08 3,16 3,24 3,33

74 2,67 2,73 2,80 2,85 2,92 3,00 3,05 3,13 3,22 3,30

72 2,66 2,71 2,78 2,84 2,90 2,97 3,05 3,11 3,19 3,28

70 2,63 2,70 2,75 2,82 2,89 2,95 3,02 3,10 3,17 3,25

68 2,61 2,67 2,74 2,79 2,86 2,92 3,00 3,08 3,14 3,23

66 2,59 2,66 2,71 2,78 2,83 2,91 2,97 3,05 3,13 3,20

64 2,58 2,63 2,69 2,75 2,80 2,88 2,96 3,02 3,10 3,17

62 2,54 2,61 2,66 2,73 2,77 2,84 2,92 2,98 3,07 3,14

60 2,53 2,57 2,63 2,70 2,75 2,81 2,89 2,95 3,04 3,10

58 2,49 2,54 2,59 2,66 2,72 2,77 2,85 2,91 3,00 3,07

56 2,45 2,50 2,55 2,62 2,68 2,73 2,81 2,88 2,96 3,03

54 2,41 2,48 2,53 2,60 2,64 2,69 2,77 2,84 2,92 2,99

52 2,39 2,43 2,49 2,54 2,59 2,67 2,73 2,79 2,88 2,95

50 2,34 2,39 2,44 2,51 2,57 2,63 2,68 2,75 2,83 2,90

48 2,31 2,36 2,41 2,46 2,54 2,58 2,64 2,72 2,79 2,85

46 2,28 2,33 2,38 2,43 2,49 2,55 2,61 2,67 2,73 2,80

44 2,23 2,28 2,33 2,38 2,44 2,49 2,55 2,62 2,68 2,75

42 2,19 2,24 2,29 2,34 2,40 2,46 2,50 2,56 2,62 2,69




Brix à la saturation dans sirop de canne (Hugot 1972).

Pureté%

62 ◦C 64 ◦C 66 ◦C 68 ◦C 70 ◦C 72 ◦C 74 ◦C 76 ◦C 78 ◦C 80 ◦C

92 75,6 76,0 76,4 76,8 77,2 77,6 78,0 78,4 78,9 79,3

90 75,9 76,3 76,6 77,1 77,5 77,9 78,3 78,7 79,1 79,5

88 76,2 76,5 77,0 77,3 77,7 78,1 78,5 78,9 79,3 79,7

86 76,5 76,8 77,2 77,6 78,0 78,4 78,8 79,2 79,6 80,0

84 76,7 77,1 77,5 77,9 78,3 78,7 79,1 79,5 79,9 80,3

82 77,0 77,4 77,8 78,2 78,6 79,0 79,4 79,7 80,1 80,5

80 77,3 77,7 78,1 78,5 78,9 79,2 79,6 80,0 80,4 80,8

78 77,6 78,0 78,4 78,8 79,2 79,5 79,9 80,3 80,7 81,1

76 78,0 78,4 78,7 79,1 79,5 79,8 80,2 80,6 81,0 81,4

74 78,3 78,7 79,1 79,4 79,8 80,2 80,5 80,9 81,3 81,7

72 78,7 79,0 79,4 79,8 80,1 80,5 80,9 81,2 81,6 82,0

70 79,0 79,4 79,7 80,1 80,5 80,8 81,2 81,6 81,9 82,3

68 79,3 79,7 80,1 80,4 80,8 81,1 81,5 81,9 82,2 82,6

66 79,7 80,1 80,4 80,8 81,1 81,5 81,8 82,2 82,6 82,9

64 80,1 80,4 80,8 81,1 81,4 81,8 82,2 82,5 82,9 83,2

62 80,4 80,8 81,1 81,5 81,7 82,1 82,5 82,8 83,2 83,5

60 80,8 81,1 81,4 81,8 82,1 82,4 82,8 83,1 83,5 83,8

58 81,1 81,4 81,7 82,1 82,4 82,7 83,1 83,4 83,8 84,1

56 81,4 81,7 82,0 82,4 82,7 83,0 83,4 83,7 84,1 84,4

54 81,7 82,1 82,4 82,8 83,0 83,3 83,7 84,0 84,4 84,7

52 82,1 82,4 82,7 83,0 83,3 83,7 84,0 84,3 84,7 85,0

50 82,4 82,7 83,0 83,4 83,7 84,0 84,3 84,6 85,0 85,3

48 82,8 83,1 83,4 83,7 84,1 84,3 84,6 85,0 85,3 85,6

46 83,2 83,5 83,8 84,1 84,4 84,7 85,0 85,3 85,6 85,9

44 83,5 83,8 84,1 84,4 84,7 85,0 85,3 85,6 85,9 86,2

42 83,9 84,2 84,5 84,8 85,1 85,4 85,6 85,9 86,2 86,5

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S.4.4.5 Application numérique : dimensionnementd’une unité de clarification par filtration...

S.4.3.2 a à c Applications numériques : cristallisationCf. fichier Excel S 4.3.2.a.b.c.

S.4.4.5 Application numérique : dimensionnementd’une unité de clarification par filtrationtangentielle

Il s’agit de dimensionner une unité devant filtrer un débit de 80 m3/h. La filtrationpermet d’éliminer les macromolécules et les matières en suspension. L’atelier à étudiercomprend 6 lignes avec chacune 3 étages en série. La température est maintenueà 70 ◦C et la vitesse tangentielle dans les modules est de 4 m/s. Le FRV final(Volume d’alimentation/volume de rétentat) est de 20. L’opération est réalisée avecdes membranes minérales de micro/ultrafiltration (0,1 mm) tubulaires de 1,2 m delong. Compte tenu de l’augmentation de la viscosité du produit avec les étages, lesmembranes des étages avec FRV inférieur à 4 ont 23 canaux de 4 mm et celles desétages avec FRV � à 4 ont 8 canaux de 6,5 mm. Le temps de cycle moyen est de 24 h(20 h de filtration et 4 h de nettoyage). L’expérience a montré que sur ce temps decycle de 24 h et les conditions opératoires (70 ◦C et 4 m/s), l’évolution de la densitéde flux de filtrat (Fmoyen cycle) en fonction du FRV peut être donnée par une relationlogarithmique du type : F=70-20*ln(FRV ).

Questions

Déterminez les débits à traiter en moyenne sur chacune des 6 lignes. À partir de la re-lation donnant la densité de flux en fonction du FRV, proposer un dimensionnementd’une unité à 3 étages en série ayant des surfaces équivalentes aux deux derniers étageset une surface double au 1er étage. Sachant que les carters commerciaux contiennent37 membranes et qu’ils sont toujours montés en série de 2 par boucle, déterminerle nombre de carters et donc le nombre de boucles de circulation de chaque étage.Déterminer le débit de circulation à assurer dans chaque boucle pour maintenir unevitesse de circulation de 4 m/s. En supposant que la perte de charge dans chaquecarter soit de 1 bar, et les rendements mécanique et électrique de 0,8, déterminer lespuissances de pompage et donc la consommation électrique de l’ensemble de l’atelier.Y aurait-il eu avantage à installer une unité avec 5 étages ?

RésolutionCf. fichier Excel S 4.4.5 avec 2 feuilles : « Calculs » et « dessin 3 étages ».



S.5.1.2 Application numérique : calcul de nombresd’étages théoriques sur diagramme triangulaire...

S.5.1.2 Application numérique : calcul de nombresd’étages théoriques sur diagrammetriangulaire en extraction solide-liquide

Des tracés sur diagramme triangulaire (figure 5.10) sont effectués selon les raisonne-ments donnés en 5.1.2 (cas des phases partiellement miscibles) :a) le point représentant le solide sortant, Rtn, est à placer sur le lieu des Rt à l’abscisse

0,5 % d’huile. En effet, la teneur de 1 % d’huile sur produit sec (support) devient0,5 % sur produit contenant à peu près 50 % de solvant. Le tracé (figure 1) a,dans ce cas, la particularité que le point M’ est à l’infini : les droites représentant lesrelations opérationnelles sont des parallèles ; on trouve environ 6 étages théoriques.

b) pour b (figure 2), les mêmes constructions (mais le point M’ existe) donnent à peuprès 3 étages théoriques ;

c) pour c (figure 3) : un peu moins de 3 étages théoriques.

Figure 1 – Problème d’extraction solide-liquide : cas a.

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S.5.1.2 Application numérique : calcul de nombresd’étages théoriques sur diagramme triangulaire...

Ex1

Rt1

Ex2

M

Rt2

Sv100

10 % 20 % 30 % 50 %40 %0

Fd

Sommet huileà 100 %

M’

Fraction massique en huile, %

Frac

tion

mas

sique

enso

lvant

,%

Ex3

0,5 %

Figure 2 – Problème d’extraction solide-liquide : cas b.

Ex1

Rt1

Ex2

M

Rt2

Ex3

Rt3

10 % 20 % 30 % 50 %40 %0Fd

Sommethuile à100 %

M’

Fraction massique en huile, %

Frac

tion

mas

sique

enso

lvant

,%

0,5 %

Rtn

Sv100

Figure 3 – Problème d’extraction solide-liquide : cas c.



S.6.3.6 Application numérique : influence de la DTSsur les performances des réacteurs

S.5.2.2 Application numérique : dimensionnementd’une colonne à distiller

Cf. fichier Excel S 5.2.2 avec 3 feuilles : « Calculs », « Table » et « Graphe VLE ».

S.6.3.4 Application numérique : dispersion des tempsde séjour

La concentration du produit dans l’appareil est :

C (ts) 5E(ts) · n

•V

soit, dans le cas d’un réacteur parfaitement agité :

C (ts) 51ts· exp

(− t

ts

)· n

•V

Pour 5 % de la concentration initiale, on a : C (ts) 5 0,05 · nV

5 0,05 · n•

V · tsD’où :

1ts· exp

(− ts

ts

)· n

•V

5 0,05 · n•

V · ts

soit

exp

(− ts

ts

)5 0,05 d’où ts 5 3 · ts

Il faut un temps égal à trois fois le temps de séjour moyen, c’est-à-dire que pourn’avoir plus que 5 % de la concentration initiale, il faut passer

Vrinçage 5 ts ·•

V 5 3 · V•

V·

•V 5 3 · V 5 30m3

Pour 1 % de la concentration initiale, il faut que

exp

(− ts

ts

)5 0,01 d’où ts 5 4,6 · ts

Il faut passer Vrinçage 5 4,6 · V 5 46 m3


On a déterminé pour la stérilisation UHT (à 135 ◦C) en continu de liquide unedurée de traitement (ou un temps de séjour moyen dans l’appareil de traitementthermique) de 8 s. On dispose pour réaliser cette opération de deux types d’appareilsqui peuvent être assimilés pour le premier à un réacteur piston et, pour le second, àune série de 12 RPA en cascade.c ©

Dun

od–

Laph

otoc

opie

non

auto

risé

ees

tun

délit




1) Calculer dans chacun des cas la destruction d’une population de Clostridium Botuli-num sachant que D135 5 0,49 s et la perte en thiamine en supposant cette dernièreréaction d’ordre pseudo-zéro et avec une constante de vitesse k135 5 1,047.10−3 s−1.

2) Si l’on veut, dans le deuxième appareil (12 RPA en cascade) obtenir la même efficacitéen terme de destruction de micro-organismes que dans le premier appareil (piston),quel doit être le temps de traitement ? Quel vaudra alors la perte en thiamine ?

Résolution

1) Dans les deux types d’appareil, en désignant respectivement par C0 et C les concen-trations en thiamine initiale et en sortie de réacteur, on calcule la conversion enthiamine suivant

C/C0 5 1 − k135.ts 5 0,9916

soit une perte en thiamine de 0,84 %.En ce qui concerne les micro-organismes et en désignant respectivement par Nm0 etNm les populations en micro-organismes initiales et en sortie de réacteur, le traite-ment en réacteur piston permet d’atteindre la destruction (équation 6.7) :(

NmNm0

)piston

5 10− ts

D135 5 10−16,3

soit plus de 16 réductions décimales.Le traitement dans le réacteur se comportant comme une cascade de 12 RPA conduità une destruction (tableau 6.4) :(

NN0

)piston

51(

1 12,303.ts

12.D135

)12 5 4.10−08

en convertissant k en Du selon l’équation (6.7).Nous n’avons plus alors que 8 réductions décimales : la DTS entraîne donc unedestruction en micro-organismes beaucoup plus faible.

2) Pour retrouver, dans ce réacteur équivalent à 12 RPA en série, une efficacité en termede destruction thermique de micro-organismes comparable à celle du réacteur piston,il faudrait augmenter le temps de séjour pour atteindre ts tel que

10−16,3 51(

1 12,303.t2

s

12.D135

)12 soit ts 5 56 s

La perte en thiamine devient alors égale à 0,84.568

soit 5,8 % (7 fois plus). Du fait de

la DTS, toutes les réactions d’ordre pseudo-zéro de détérioration de la qualité sontdonc, sur cet exemple, beaucoup plus fortes.



S.7.1.2 Transferts stationnaires à travers un tubeà paroi épaisse


Ce peut être le cas d’un tuyau contenant un fluide sous une pression telle que l’onait dû donner une épaisseur importante à la paroi du tuyau. Ainsi, prend-t-on icil’exemple de transferts de chaleur dans un conduit cylindrique contenant un liquideplus chaud que l’ambiance externe.On fait l’hypothèse que le tube est infini, ce qui en pratique signifie que l’on faitle calcul à une distance suffisante des extrémités pour que l’on puisse négliger lestransferts parallèles à l’axe du cylindre. On suppose aussi que les températures de lasurface chaude interne (rayon R1 et température u1) et de la surface froide externe(rayon R2 et température u2) du tuyau soient homogènes sur toute la longueurdu tuyau et qu’elles sont constantes dans le temps, ce qui permet de considérer lasituation comme stationnaire.On commence par supposer négligeables les résistances de couche limite sur les sur-faces interne et externe, surfaces dont les températures sont donc celles des fluides.Dans ces conditions, les transferts sont radiaux. Il en découle la particularité de cettesituation, à savoir que la surface A de transfert entre la surface chaude interne et lasurface froide externe n’est pas constante dans l’espace, puisqu’elle est proportionnelleà la distance R à l’axe (cf. figure). Le débit de chaleur étant constant entre l’intérieuret l’extérieur puisque le régime est stationnaire, c’est le gradient de température quidoit varier avec R : le profil de température ne sera pas rectiligne.


Pour mettre ces considérations en équations, on écrit le débit de chaleur à travers unesurface cylindrique à la distance R de l’axe du cylindre sur une longueur l de tuyau.La surface de passage est alors :

A 5 2p.l .R

La 1ère loi de Fourier donne :

Q 5 −2p.l .l.R(

du

dR

)R

Ce débit étant constant avec R, le produit R(

du

dR

)R

doit être constant : plus on

s’éloigne de l’axe, plus le gradient est faible, d’où l’allure du profil porté sur la figure.On pose :

R.

(du

dR

)R

5 − Q2p.l .l

5 k

On résout l’équation différentielle :

R.

(du

dR

)R

5 k ou :du

dR5 k.

1Rc ©

Dun

od–

Laph

otoc

opie

non

auto

risé

ees

tun

délit




ce qui donne en intégrant de R1 à R :[du

dR

]R

R1

5 k[

1R

]R

R1

donc : u − u1 5 k.LnRR1

et de même de R1 à R2 : u2 − u1 5 k.LnR2

R1En divisant ces deux expressions l’une par l’autre, on trouve :

u − u1

u2 − u15

Ln(R/R1)Ln(R2/R1)

ce qui constitue la relation entre u et R.De la formule précédant celle-ci, on tire :

k 5u2 − u1

Ln(R2/R1)5 − u1 − u2

Ln(R2/R1)

d’où le débit de chaleur :

Q 5 −2p.l .l.k 5 2p.l .lu1 − u2

Ln(R2/R1)

Pour donner à ce résultat la forme des autres équations de transfert à travers desplaques, on peut l’écrire :

Q 5 2p.lR2 − R1

Ln(R2/R1).

l

R2 − R1.(u1 − u2)

R2 − R1

Ln(R2/R1)est la moyenne logarithmique de R1 et de R2, soit Rml . Donc 2p.l .Rml

est la surface de transfert Aml calculée avec ce rayon moyen.R2 − R1 étant l’épaisseur du tuyau, l/(R2 − R1) est un coefficient de transfert h.La formule du débit de transfert devient :

Q 5 Aml .h.(u1 − u2)

On note que si la paroi du tuyau est mince, R1, R2 et Rml peuvent être confondus,de même que les trois surfaces correspondantes, dans les formules précédentes. Onretrouve bien la formule classique :

Q 5 A.h.(u1 − u2)

Avec h 5 l/e, e étant l’épaisseur de la paroi.Dans les cas où les résistances de couches limites sur les surfaces interne et externe dutuyau ne sont pas négligeables, le même débit de chaleur traverse ces résistances :

Q 5 A1.h1.(u′1 − u1) Q 5 A2.h2.(u2 − u′2)

u′1 et u′2 étant les températures des fluides 1 et 2 hors des couches limitesh1 et h2 les coefficients de transfert de chaleur sur les surfaces interne et externeA1 et A2 les surfaces des cylindres de rayons R1 et R2 : A1 5 2p.l .R1 et A2 5 2p.l .R2



S.7.1.4-b Table des fonctions de Bessel : J0(x) et J1(x),et des valeurs de Bn pour lesquelles J0(Bn) = 0

Un calcul analogue à celui effectué pour calculer les transferts à travers des plaquesjuxtaposées (en 3.2.1) donne ici :

Q 5 A0.h0.(u′1 − u′2

)avec

1A0.h0

51

A1.h11

1Aml .h

11

A2.h2

formules dans lesquelles on ne peut dissocier A0 et h0.

S.7.1.4-a Table des fonctions de Bessel : J0(x) et J1(x),et des valeurs de Bn pour lesquelles J0(Bn) = 0

Table des fonctions de Bessel.

x Jo(x) J1(x) x Jo(x) J1(x) x Jo(x) J1(x)

0,0 1,0000 0,0000 5,0 –0,1776 –0,3276 10,0 –0,2459 0,0435

0,1 0,9975 0,0499 5,1 –0,1443 –0,3371 10,1 –0,2490 0,0184

0,2 0,9900 0,0995 5,2 –0,1103 –0,3432 10,2 –0,2496 –0,0066

0,3 0,9776 0,1483 5,3 –0,0758 –0,3460 10,3 –0,2477 –0,0313

0,4 0,9604 0,1960 5,4 –0,0412 –0,3453 10,4 –0,2434 –0,0555

0,5 0,9385 0,2423 5,5 –0,0068 –0,3414 10,5 –0,2366 –0,0789

0,6 0,9120 0,2867 5,6 0,0270 –0,3343 10,6 –0,2276 –0,1012

0,7 0,8812 0,3290 5,7 0,0599 –0,3241 10,7 –0,2164 –0,1224

0,8 0,8463 0,3688 5,8 0,0917 –0,3110 10,8 –0,2032 –0,1422

0,9 0,8075 0,4059 5,9 0,1220 –0,2951 10,9 –0,1881 –0,1603

1,0 0,7652 0,4401 6,0 0,1506 –0,2767 11,0 –0,1712 –0,1768

1,1 0,7196 0,4709 6,1 0,1773 –0,2559 11,1 –0,1528 –0,1913

1,2 0,6711 0,4983 6,2 0,2017 –0,2329 11,2 –0,1330 –0,2039

1,3 0,6201 0,5220 6,3 0,2238 –0,2081 11,3 –0,1121 –0,2143

1,4 0,5669 0,5419 6,4 0,2433 –0,1816 11,4 –0,0902 –0,2225

1,5 0,5118 0,5579 6,5 0,2601 –0,1538 11,5 –0,0677 –0,2284

1,6 0,4554 0,5699 6,6 0,2740 –0,1250 11,6 –0,0446 –0,2320

1,7 0,3980 0,5778 6,7 0,2851 –0,0953 11,7 –0,0213 –0,2333

1,8 0,3400 0,5815 6,8 0,2931 –0,0652 11,8 0,0020 –0,2323

1,9 0,2818 0,5812 6,9 0,2981 –0,0349 11,9 0,0250 –0,2290

2,0 0,2239 0,5767 7,0 0,3001 –0,0047 12,0 0,0477 –0,2234

2,1 0,1666 0,5683 7,1 0,2991 0,0252 12,1 0,0697 –0,2157

2,2 0,1104 0,5560 7,2 0,2951 0,0543 12,2 0,0908 –0,2060

2,3 0,0555 0,5399 7,3 0,2882 0,0826 12,3 0,1108 –0,1943

2,4 0,0025 0,5202 7,4 0,2786 0,1096 12,4 0,1296 –0,1807

2,5 –0,0484 0,4971 7,5 0,2663 0,1352 12,5 0,1469 –0,1655

2,6 –0,0968 0,4708 7,6 0,2516 0,1592 12,6 0,1626 –0,1487

2,7 –0,1424 0,4416 7,7 0,2346 0,1813 12,7 0,1766 –0,1307

2,8 –0,1850 0,4097 7,8 0,2154 0,2014 12,8 0,1887 –0,1114

2,9 –0,2243 0,3754 7,9 0,1944 0,2192 12,9 0,1988 –0,0912

3,0 –0,2601 0,3391 8,0 0,1717 0,2346 13,0 0,2069 –0,0703

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S.7.1.4-b Applications numériques : calculs detransferts non stationnaires

3,1 –0,2921 0,3009 8,1 0,1475 0,2476 13,1 0,2129 –0,0489

3,2 –0,3202 0,2613 8,2 0,1222 0,2580 13,2 0,2167 –0,0271

3,3 –0,3443 0,2207 8,3 0,0960 0,2657 13,3 0,2183 –0,0052

3,4 –0,3643 0,1792 8,4 0,0692 0,2708 13,4 0,2177 0,0166

3,5 –0,3801 0,1374 8,5 0,0419 0,2731 13,5 0,2150 0,0380

3,6 –0,3918 0,0955 8,6 0,0146 0,2728 13,6 0,2101 0,0590

3,7 –0,3992 0,0538 8,7 –0,0125 0,2697 13,7 0,2032 0,0791

3,8 –0,4026 0,0128 8,8 –0,0392 0,2641 13,8 0,1943 0,0984

3,9 –0,4018 –0,0272 8,9 –0,0653 0,2559 13,9 0,1836 0,1165

4,0 –0,3971 –0,0660 9,0 –0,0903 0,2453 14,0 0,1711 0,1334

4,1 –0,3887 –0,1033 9,1 –0,1142 0,2324 14,1 0,1570 0,1488

4,2 –0,3766 –0,1386 9,2 –0,1367 0,2174 14,2 0,1414 0,1626

4,3 –0,3610 –0,1719 9,3 –0,1577 0,2004 14,3 0,1245 0,1747

4,4 –0,3423 –0,2028 9,4 –0,1768 0,1816 14,4 0,1065 0,1850

4,5 –0,3205 –0,2311 9,5 –0,1939 0,1613 14,5 0,0875 0,1934

4,6 –0,2961 –0,2566 9,6 –0,2090 0,1395 14,6 0,0679 0,1999

4,7 –0,2693 –0,2791 9,7 –0,2218 0,1166 14,7 0,0476 0,2043

4,8 –0,2404 –0,2985 9,8 –0,2323 0,0928 14,8 0,0271 0,2066

4,9 –0,2097 –0,3147 9,9 –0,2403 0,0684 14,9 0,0064 0,2069

Six premières racines Bn de J0(x)=0.

n Bn J1(Bn)

1 2,4048 0,5192

2 5,5201 –0,3403

3 8,6537 0,2715

4 11,7915 –0,2325

5 14,9309 0,2065

6 18,0711 –0,1877

S.7.1.4-b Applications numériques :calculs de transferts non stationnaires

Application numérique 1

Nous allons assimiler les pommes de terre à des sphères (pour d’autres produits, on pourrait prendredes cylindres ou des plaques, ou utiliser un « coefficient de forme ». Pour plus de précision, lasimulation numérique, cf. plus loin, est utilisable, prenant en compte une forme géométrique plusréaliste, mais au prix de calculs plus lourds). La résolution consiste à calculer U et R/Rmax , endéduire Fo, d’où t. Nous supposerons que dès le premier instant de l’opération, la surface de lapomme de terre est portée à 100 ◦C. Si la résistance de surface n’était pas négligeable, on utiliseraitla démarche décrite plus loin (avec Bit).D’où : U 5 (100 − 75)/(100 − 20) 5 0, 31.

Au centre : R/Rmax 5 0Se reportant au diagramme E, on lit : Fo ∼5 0, 19



S.7.1.4-b Applications numériques : calculs detransferts non stationnaires

La valeur de la diffusivité thermique Dt est ici nécessaire. Nous allons utiliser la relation de Riedel(donnée dans les suppléments en ligne en P3A-1) valable pour des produits biologiques contenantau moins 40 % d’eau, entre 0 et 80 ◦C . Ce chercheur a considéré que la diffusivité thermique de cesproduits était (approximativement) la moyenne pondérée de celle de l’eau à la même températureet d’une matière sèche moyenne des produits biologiques :

Dt 5 0, 0885 3 10−6 1(Dt,H2O − 0, 0885 3 10−6

).xH20Dt

Dans notre cas, à la température de 60 ◦C (moyenne entre 20 et 100 ◦C) (cf. table IV), on obtient :

Dt 5 0, 14 3 10−6 m2.s−1

avec Rmax 5 2.5 3 10−2, on trouve t 5 990 s (16,5 min).Outre les hypothèses énoncées, ce calcul suppose que l’on puisse négliger les mouvements (d’eau)internes et les déformations à la cuisson et que la diffusivité soit constante dans l’espace et le temps.On peut poursuivre en calculant la température qu’ont au centre des pommes de terre de 3,0 cm dediamètre au bout du même temps de cuisson : on trouve 99, 3 ◦C, donc ces pommes de terre sonttrop cuites.De même pour des pommes de terre de 7,0 cm de diamètre : on n’a que 41 ◦C au centre. Encalculant quelques points du profil de température, on trouve que seule la périphérie atteint les75 ◦C : on prévoit un « anneau de cuisson » d’environ 1 cm d’épaisseur. Il y aurait donc un grandintérêt à calibrer les pommes de terre avant cuisson.Ces calculs confirment la grande influence des dimensions du produit sur la pénétration de chaleur.


On suppose que l’on s’intéresse à un endroit assez éloigné des bords pour que le transfert de ma-tière puisse être considéré comme unidirectionnel, dans la direction perpendiculaire à la surfaceconsidérée. On admet que cette surface se met à une concentration nulle (C1 5 0) dès le début del’expérience, ce qui suppose que la résistance de la couche limite soit négligeable par rapport à larésistance dans la gélose.On néglige les mouvements d’eau (dus notamment à l’effet de pression osmotique), ce qui permetd’utiliser le modèle de conduction pure dans une plaque infinie :La gélose pouvant être considérée comme de l’eau immobilisée par un réseau très lâche (cf. supplé-ments en ligne P3A-1), on rapporte la diffusivité dans la gélose à celle dans l’eau (table II), supposéeconstante avec la concentration. D’où :

Dm 5 0, 8 3 0, 56 5 0, 4510−9 m2.s−1

On calcule u pour x 5 0, 110−3 m :

u 5 x/(2(Dm 3 t)0,5) 5 0, 110−3/

(2(0, 4510−9 3 900)0,5) 5 0, 079

On lit U dans la table IX : U 5 0, 09

U 5 (C1 − C )/(C1 − C0)

avec ici : C1 5 0 et C0 5 160.

D’où : C 5 14 g.L−1

L’extraction du saccharose est donc presque complète à 0,1 mm de la surface au bout de 15 min.À la profondeur de 1,0 mm, on calcule : u 5 0, 79, d’où U 5 0, 734 et C 5 117 g.L−1

À 1,0 mm de profondeur, l’extraction n’est donc que très partielle.Ces calculs montrent la grande lenteur des transferts de matière par rapport aux transferts de chaleur(cf. l’application 1).

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S.7.1.4-c Formules des solutions des équations deFick et Fourier (solide semi infini, plaque infinie,...


Solution du point a.On considère que la plaque est assez grande par rapport à son épaisseur pour que le transfert dematière puisse être considéré comme unidirectionnel, perpendiculaire à la surface, sauf à proximitédes bords de la plaque.Les autres hypothèses sont les mêmes que pour l’application 2.

Fo 5 Dm.t/x2max 5 0, 4510−9 3 1800/(2, 010−3)2 5 0, 20

Sur le plan médian, on a : x/xmax 5 0D’où, sur le diagramme C.3 : U ≈ 0, 79Le calcul par la formule (7.12) donne : U 5 0, 78, seul le premier terme de la série étant pratique-ment utile.D’où : (C1 − C )/(C1 − C0) 5 (0 − C )/(0 − 160) 5 0, 78Donc C 5 124 g.L−1 (ou kg. m–3)

Solution du point bOn fait les mêmes hypothèses, en considérant un cylindre suffisamment long de Rmax 5 2, 010−3,d’où Fo 5 0, 23.Pour l’axe (R/Rmax 5 0), on lit sur le diagramme C.4 : U ≈ 0, 51On peut faire le calcul par la formule (7.13) en utilisant les tables données dans ces suppléments enligne (S Tables numériques). Seul le premier terme est significatif, et cela donne aussi U 5 0, 51D’où C 5 82 g.L−1

Solution du point cOn utilise la loi de Newmann sous la forme (7.18) :

U (cylindre fini) 5 U (plaque infinie) 3 U (cylindre infini)

Donc : U 5 0, 78 3 0, 51 5 0, 40D’où C 5 64 g.L−1

On note que, dans cette géométrie, U (cylindre infini) < U (plaque infinie), donc les transferts parles flancs du cylindre sont donc plus efficaces que ceux par les extrémités.

Remarque : Les mêmes calculs peuvent servir à évaluer Dm du saccharose à partird’essais dans lesquels on dose le saccharose dans les petits cylindres après untemps défini d’immersion. La concentration à utiliser est celle moyenne dans leproduit, que l’on peut trouver sous forme d’abaques dans Peczalski et Laurent(2001). On essaie plusieurs valeurs de Dm jusqu’à retrouver les résultats expéri-mentaux.

S.7.1.4-c Formules des solutions des équations de Ficket Fourier (solide semi infini, plaque infinie,cylindre infini et sphère) et tables decoefficients nécessaires à leur utilisation

Solution des équations de Fick et Fourier

∂U∂Fo

5 ∇2U U 5q1 − q

q1 − q0avec à t 5 Fo 5 0 : U 5 1




Solide semi infini : condition limite x=0 (bord)∂U∂x

5hl

.U

Cas h/l grand :

U 5 erf (u) avec u 5x

2

√l

r.Cp.t

Autres cas :

U 5 erf (u) 1 erfc

(u 1

hl

√l

r.Cp.t

)· exp

(h.xl

1

(hl

)2 l

r.Cp.t

)

Autres formes : U valeur moyenne de U

x′ 5x

xmaxou

RRmax

x 5 0 au centre;

Fo 5l.t

r.Cp.x2max

Bi 5h.xmax

l

Plaque infinie

Cas Bi grand :

U 54p

n5∞∑n51

(−1)n11

2.n − 1· cos

(2.n − 1

2· p.x′

)· exp

(−(

(2.n − 1) p

2

)2

Fo

)

U 58

p2

n5∞∑n51

(−1)n11

(2.n − 1)2· sin

(2.n − 1

2· p

)· exp

(−(

(2.n − 1) p

2

)2

Fo

)

Autres cas :

U 5

n5∞∑n51

2. sin mn

mn 1 sin mn. cos mn· cos(mn.x′) · exp

(−m2nFo)

cotg(m) 5m

Bi

U 5

n5∞∑n51

2. sin mn

mn · (mn 1 sin mn. cos mn)· sin(mn) · exp

(−m2nFo)

Cylindre infini

Cas Bi grand : U 5

n5∞∑n51

J0(mn.x′)mn.J1(mn)

· exp(−m2

nFo)

J0(m) 5 0

U 5

n5∞∑n51

2m2

n· exp

(−m2nFo)

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Autres cas :

U 5

n5∞∑n51

2.J1(mn)mn.(J 2

0 (mn) 1 J 21 (mn))

· J0(mn.x′) · exp(−m2

nFo)

U 5

n5∞∑n51

4.J 21 (mn)

m2n.(J

20 (mn) 1 J 2

1 (mn))· exp

(−m2nFo) J0(m)

J1(m)5

m

Bi

SphèreCas Bi grand :

U 5

n5∞∑n51

2 · (−1)n11 · sin(n · p.x′

)n · p.x′

· exp(− (n · p)2 Fo

)

U 5

n5∞∑n51

6 · (−1)n11 · cos (n · p)

(n · p)2 · exp(− (n · p)2 Fo

)Autres cas :

U 5

n5∞∑n51

2.(sin mn − mn cos mn)mn − sin mn. cos mn

· sin(mn.x′)mn.x′

· exp(−m2

nFo)

tg(m) 5 − m

Bi − 1

U 5

n5∞∑n51

6.(sin mn − mn cos mn)mn − sin mn. cos mn

· (sin(mn) − mn · cos(mn))m3

n· exp

(−m2nFo)

Six premières racines des fonctions utilisées par les calculs de U plaqueinfinie, cylindre infini et sphère

Racines de cotg (m) 5m

Bi:

Bi 1 2 3 4 5 6

0 0,0000 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664 15,7080

0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 12,5672 15,7086

0,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 12,5743 15,7143

0,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 12,5823 15,7207

0,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 12,6060 15,7397

1 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 12,6453 15,7713

2 1,0769 3,6436 6,5783 9,6296 12,7223 15,8336

5 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928 12,9352 16,0107

10 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 13,2142 16,2594

100 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871 13,9981 17,1093

∞ 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956 14,1372 17,2787




Racines deJ0(m)J1(m)

5m

Bi:

Bi 1 2 3 4 5 6

0 0,0000 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706

0,01 0,1412 3,8343 7,0170 10,1745 13,3244 16,4712

0,1 0,4417 3,8577 7,0298 10,1833 13,3312 16,4767

0,2 0,6170 3,8835 7,0440 10,1931 13,3387 16,4828

0,5 0,9408 3,9594 7,0864 10,2225 13,3611 16,5009

1 1,2558 4,0795 7,1558 10,2710 13,3984 16,5312

2 1,5994 4,2910 7,2884 10,3658 13,4719 16,5910

5 1,9898 4,7131 7,6177 10,6223 13,6786 16,7630

10 2,1795 5,0332 7,9569 10,9363 13,9580 17,0099

100 2,3809 5,4652 8,5678 11,6747 14,7834 17,8931

∞ 2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309 18,0711

Racines de tg (m) 5 − m

Bi − 1:

Bi 1 2 3 4 5 6

0 0,0000 4,4934 7,7253 10,9041 14,0662 17,2208

0,01 0,1730 4,4956 7,7265 10,9050 14,0669 17,2213

0,1 0,5423 4,5157 7,7382 10,9133 14,0733 17,2266

0,2 0,7593 4,5379 7,7511 10,9225 14,0804 17,2324

0,5 1,1656 4,6042 7,7899 10,9499 14,1017 17,2498

1 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956 14,1372 17,2787

2 2,0288 4,9132 7,9787 11,0855 14,2075 17,3364

5 2,5704 5,3540 8,3029 11,3348 14,4080 17,5034

10 2,8363 5,7172 8,6587 11,6532 14,6870 17,7481

100 3,1102 6,2204 9,3308 12,4414 15,5522 18,6633

∞ 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664 15,7080 18,8496

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S.7.1.4-d Apports des techniques de modélisationet de simulation lors de la conception et...

S.7.1.4-d Apports des techniques de modélisationet de simulation lors de la conceptionet de la définition du mode de conduited’une opération de traitement thermiquede solides alimentaires en cavité ferméeÉtude de cas

1. Introduction

L’objectif de cette étude est de démontrer les apports des techniques de modélisationet de simulation lors de la conception et de la définition du mode de conduite d’uneopération unitaire. Ces notions seront abordées sur la base d’un exemple concernantune opération de traitement thermique (cuisson ou analogue) en cavité fermée (fourde cuisson).On rappelle que la simulation de procédé est une méthode consistant à remplacer uneréalité physique (une opération unitaire dans notre cas) par un modèle mathématique« mimant » son comportement. Dans ce document, on restreindra le champ de notreétude aux modèles dits physiques développés à partir :– des équations de conservation de la matière, de l’énergie et de la quantité de mou-

vement ainsi que,– des expressions permettant d’exprimer les flux de ces grandeurs physiques au sein

du produit étudié et entre ce produit et son environnement.

La simulation intervient donc postérieurement à :– la modélisation dont l’objet est précisément l’établissement du modèle et– la phase de validation du modèle consistant à confronter les prédictions du mo-

dèle à une série de mesures expérimentales (pertinentes et précises) réalisées sur lesystème réel.

L’objectif de ce chapitre n’est pas de fournir des outils génériques permettant demodéliser puis de simuler le fonctionnement d’un grand nombre d’opérations uni-taires du génie industriel alimentaire mais plutôt d’illustrer sur la base d’un exempleles différentes étapes composant tout problème de modélisation et de simulation.L’exemple retenu est toutefois assez générique pour recouvrir une gamme de problé-matiques assez étendue et justifier le temps d’étude et de développement nécessaireau développement de tout outil de modélisation.

2. Éléments généraux de méthodologie en modélisationet simulation

Toute démarche de modélisation et de simulation peut généralement être décompo-sée en plusieurs étapes consécutives.

1) Une première étape consiste en la définition du cadre d’utilisation et des objectifsde l’outil de simulation. Cette étape est primordiale puisqu’elle conditionne engrande partie la nature du modèle développé ainsi que sa complexité. La complexité




d’un modèle est en effet en grande partie liée à la précision souhaitée sur les grandeurscalculées.

2) Une seconde étape consiste en la formalisation de l’ensemble des phénomènesphysico-chimiques intervenant dans le système étudié. Cette étape est primor-diale et ne peut être envisagée que sur la base d’une connaissance solide du systèmephysique étudié. Cette connaissance est en partie expérimentale (résultant de mesuresexpérimentales limitées par le niveau d’instrumentation et résultant également d’in-formations a priori sur les ordres de grandeur des variables et paramètres du modèle)et en partie théorique. Un phénomène physique est dans la quasi-totalité des cas dé-crit par une relation mathématique reliant le phénomène étudié (un flux d’énergie oude matière par exemple) aux grandeurs physiques et paramètres conditionnant l’am-plitude de ce phénomène. Lors de cette étape de formalisation de la connaissance,une part importante de l’attention du « modélisateur » est mobilisée par l’émissiond’hypothèses simplificatrices visant à simplifier la formulation mathématique desphénomènes physiques étudiés. Cette simplification de la réalité étudiée est bien sûrà mettre en relation avec objectifs de l’outil de simulation (cf. étape 1) et avec la duréeestimée de l’étude. Cette phase de simplification est également toujours réalisée enconsidérant la connaissance disponible et mobilisable pour chacun des phénomènesétudiés et en définissant en quelque sorte le phénomène physico-chimique limitanten terme de connaissance. Il est inutile par exemple de décrire avec trop de précisionles échanges externes par rayonnement lors d’une opération de traitement thermiquesi la connaissance des propriétés thermo-physiques et des mécanismes de transportinterne d’énergie et de matière au sein du produit traité n’est que parcellaire. Lapertinence des différentes hypothèses émises ne peut donc être évaluée qu’à l’aunedu niveau de connaissance disponible autour de chacun des phénomènes impliquésdans le système étudié.

3) Une troisième étape concerne le choix du mode de résolution des équations dumodèle obtenu. Dans la grande majorité des cas, les équations obtenues sont soitalgébriques soit différentielles (ordinaires ou aux dérivées partielles). En fonction dumodèle développé et de sa complexité, il convient de choisir l’algorithme de résolu-tion le plus adapté au système mathématique développé. Il est utile à ce niveau deremarquer que la plupart des modèles mettant en œuvre des équations différentiellesdans le domaine des industries alimentaires et biologiques n’admettent pas de solu-tion analytique. Ces solutions décrites au § 7.1.4 ne sont en effet utilisables que surdes cas simplissimes, exigeant beaucoup d’hypothèses simplificatrices par rapport à laréalité. Il convient donc mettre en œuvre des méthodes numériques de résolutionde ces équations utilisant bien souvent des algorithmes itératifs mettant en œuvre ungrand nombre de calculs. L’utilisation de ces algorithmes nécessite donc l’utilisationd’outils logiciels adaptés. Quelques études utilisent les langages informatiques dits« de base » (Fortran, C++, Pascal) pour résoudre les équations de leur modèle maisde plus en plus de chercheurs leur préfèrent des logiciels de calculs scientifiques telsMatlab ou Scilab composés de noyaux de calcul préprogrammés mais néanmoinsparamétrables et réalisant un nombre important de fonctions en analyse numérique(minimisation, intégration, résolution d’équations différentielles). Lors de l’utilisa-tion de ces logiciels de calcul scientifique, seules des connaissances de base en algo-rithmique et en programmation sont requises pour traiter le problème.c ©

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4) Une confrontation des résultats calculés par le modèle avec des données expé-rimentales est ensuite nécessaire. Cette phase de confrontation dite de validationdu modèle doit permettre de valider les hypothèses émises lors de la formulation dumodèle et de fixer les valeurs pour les différents paramètres inconnus ou incertains dumodèle. Les valeurs de ces paramètres (propriétés thermophysiques du produit lorsde la modélisation du traitement thermique d’un produit par exemple) ont en effetsouvent été fixées à partir de valeurs mesurées au laboratoire au cours d’une expé-rience annexe ou tirées de la littérature. Un ajustement de la valeur de ces paramètresou la remise en cause d’une des hypothèses du modèle permet dans la plupart descas de faire coïncider les mesures expérimentales et les valeurs des variables d’état dusystème (température, paramètre de composition...) calculées par le modèle.

5) Le modèle sous sa forme résolue et validé peut maintenant être substitué au systèmephysique étudié et une étude de simulation peut alors être réalisée. Cette étude desimulation peut être menée afin de répondre à différents objectifs :

i) déterminer par calcul l’influence des principales variables de conduite et des fac-teurs de dimensionnement du procédé sur la cinétique de transformation du pro-duit traité. Ce niveau de transformation peut être évalué sur le simple calcul desprofils de montée en température ou de perte en eau du produit. Le modèle peutégalement intégrer la prédiction des cinétiques de variation de caractéristiquesde qualité du produit. Cette cible qualité du produit peut être définie à partir duniveau de quelques caractéristiques de qualité (importantes dans l’appréciation duproduit ou discriminantes) et/ou à partir du calcul de « valeurs transformatrices »(pasteurisatrice, stérilisatrice ou cuisatrice en fonction de l’objectif recherché). Surla base des nombreux résultats de simulation ayant été générés et après définitiond’une grille de lecture de ces résultats, l’objectif du travail est maintenant d’ana-lyser ces résultats de simulation afin d’améliorer notre niveau de connaissancedu procédé et donc par extension de rationaliser son mode de conduite. Les cou-plages entre phénomènes peuvent être finement étudiés. L’identification du ou desphénomènes limitant dans la cinétique d’établissement de la qualité du produit(phénomènes thermiques, liés aux transferts de matière ou purement réactionnels)peut également être menée afin d’être en mesure de lever ce verrou et de proposerdes modes de conduite originaux de l’opération étudiée.

ii) l’influence des variables de conduite et des facteurs de dimensionnement du pro-cédé sur la cinétique de transformation du produit ayant été déterminée, optimi-ser les conditions opératoires du procédé de traitement. La cible qualité ayant étécorrectement définie, le modèle peut être utilisé pour définir les jeux de conditionsopératoires permettant d’atteindre cette cible qualité en minimisant un critèretechnico-économique (durée du traitement, énergie consommée par le traite-ment...). Cette étude est souvent désignée sous le terme général d’optimisation.La méthodologie pour répondre à ces critères d’optimalité peut être :

– « raisonnée » par utilisation d’une méthodologie de type essai/erreur enanalysant les résultats calculés après chaque simulation ou.

– « à l’aveugle » en mobilisant la force de calcul de l’ordinateur pour calculerla réponse du système à un très grand nombre de conditions opératoires eten triant les résultats en fonction de leur distance au critère d’optimalité.




iii) déterminer par calcul la robustesse d’un point de fonctionnement du procédé.Après avoir déterminé plusieurs conditions opératoires répondant au critère d’op-timalité défini, on détermine le point de fonctionnement le plus robuste en testantla réponse du modèle à de « légères » variations sur les variables opératoires. Ondistingue alors les points de fonctionnements non robustes (de faibles variationssur les variables opératoires se traduisent par de fortes variations sur le critèred’optimalité) des points de fonctionnement robustes.

Il est important de signaler à ce niveau l’importance à accorder aux allers/retours entreles expériences et le modèle. Quel que soit le cadre d’utilisation du modèle, toutesles tendances importantes dégagées par l’analyse des résultats de simulation doiventêtre validées par un essai en conditions réelles, et ce surtout dans le cas où le nombred’hypothèses émises lors de la formulation du modèle est important. Le modèle et lesessais de simulation (expérimentations numériques) ne dispensent pas de réaliser desexpériences. Ils orientent simplement le choix des expériences à réaliser et permettentde diminuer significativement leur nombre. On note toutefois que le modèle peutparfois être réalisé lors d’une étude de conception de procédé afin d’orienter leschoix technologiques et de définir la plage de variations espérée pour chacune desvariables de conduite importantes du procédé. Dans ce cas, le système physique nesera disponible qu’a posteriori et la validation du modèle ne se fera qu’en fin d’étude.Il faut être dans ce cas très prudent dans la nature des hypothèses simplificatricesémises et être conscient que le modèle ne fournira qu’une description simplifiée etapprochée de la situation physique étudiée.

3. Présentation du cas d’étude

L’objectif de cette étude de modélisation et de simulation consiste en une aide à laconception d’une cellule discontinue destinée à la cuisson de solides alimentaires. Lemodèle développé doit également permettre de rationaliser le mode de conduite dela cellule en cours de conception.

3.1 Description des phénomènes

Les différents phénomènes de transfert de matière et d’énergie et de matière inter-venant entre le produit et son environnement (dits transferts externes) pendant letraitement thermique sont représentés schématiquement sur la figure 1. Les transfertsd’énergie externes pris en compte sont la convection, le rayonnement thermique et lestransferts d’énergie par contact. Les phénomènes de rayonnement ont été présentésen 3.3.1 sur un exemple très proche. Le mode de transfert de matière externe est leséchage par entraînement. On peut remarquer à ce niveau que l’énergie transférée auproduit via sa surface inférieure (au contact avec le support) est le résultat de 3 modesde transfert d’énergie intervenant en série : un transfert convectif entre l’atmosphèrede cuisson en sole et la surface inférieure du support, la conduction thermique ausein du support et un transfert par contact entre le support et la surface inférieure duproduit. Dans le cas d’un support fin et relativement conducteur (inertie thermiquedu support négligeable) et en remarquant que la qualité des échanges par contact estbien supérieure à celle des échanges par convection aux faibles vitesses d’air rencon-trées dans une cellule de cuisson, on conclut que le transfert global d’énergie entrec ©

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l’atmosphère de cuisson en sole et la surface inférieure du produit est limité par leséchanges convectifs entre l’air de cuisson et la surface inférieure du support.

Rayonnementthermique

Convection

Support

Transferts parcontact

Parois

Produit

Convection

VOÛTE

SOLE

O

x

e

Figure 1 – Représentation schématique de la cellule discontinue de traitement thermiqueet des modes de transferts externes d’énergie mis en œuvre.

Pour faciliter la formulation mathématique des phénomènes de transferts, on sup-posera les transferts d’énergie et de matière au sein du produit unidimensionnelset intervenant principalement selon l’axe Ox perpendiculaire au plan du support.Cette hypothèse revient à négliger les échanges de matière et d’énergie via les surfaceslatérales du produit. Sa validité est bien évidemment conditionnée par les dimensionsdu produit.Afin de simplifier la formulation du modèle et de mettre sur un plan d’égalité lacomplexité du modèle et la connaissance expérimentale disponible sur le procédé, onsimplifiera volontairement la formalisation des phénomènes de transferts de matière,d’énergie et de quantité de mouvement dans l’atmosphère de la chambre de cuisson.À ce titre, la température et l’hygrométrie de l’atmosphère de cuisson seront suppo-sées uniformes dans l’espace. D’autre part, la température des parois du four ainsique la température du support de cuisson seront supposées égales en tout temps àla température de l’atmosphère de la chambre de cuisson ce qui revient à négligerl’inertie thermique de ces constituants (faible dimension caractéristique et bonneconductivité thermique). Les phénomènes aérauliques dans la chambre de cuissonet surtout leur influence sur les phénomènes de transferts de matière et d’énergiene seront pas pris en compte dans le modèle en première approche. La théorie dela couche limite sera utilisée et la valeur des coefficients de transfert de matière etd’énergie par convection sera fixée a priori.Le produit traité, quelles que soient sa nature et sa structure, sera assimilé à une phasecontinue équivalente constituée d’un mélange monophasique d’eau et de matièresèche (cette matière sèche peut inclure une porosité initialement présente dans leproduit). Il sera également considéré indéformable pendant son traitement ce quirevient à considérer que l’eau perdue par le produit au cours de son traitement mèneà la création d’une porosité interne ou à l’augmentation de la fraction volumique dela phase gazeuse initialement présente dans le produit. L’influence du niveau de cette




porosité « hypothétique » ou « supposée » sur les propriétés de transport de matièreet d’énergie au sein du produit sera négligée en première approximation.La description des phénomènes de transfert de matière et d’énergie au sein du pro-duit (dits internes) pendant son traitement sera délibérément simplifiée. Ces sim-plifications doivent permettre d’accroître les capacités de généralisation du modèle(utilisation de celui-ci pour une large gamme de produits de nature et de structuredifférentes). En ce qui concerne les phénomènes de transferts de matière internes,seuls les phénomènes de migration d’eau seront considérés. L’ensemble des méca-nismes responsables de la migration de l’eau au sein du produit (diffusion d’eauliquide ou de vapeur dans les produits poreux, transferts par perméation, par capil-larité, transfert de vapeur par évapo-condensation...) sera assimilé à un phénomènede diffusion dite équivalente caractérisé par la loi de Fick (cf. suppléments en ligneP3A-2). L’efficacité de ce phénomène sera conditionnée par la valeur d’un coefficientde diffusion apparente supposé constant en première approche. De la même façon,l’ensemble des mécanismes responsables de l’énergie au sein du produit (conductionthermique, transferts d’enthalpie de changement d’état par mouvement de vapeur...)seront assimilés à un phénomène de conduction apparente caractérisé par la loi deFourier via la définition d’une conductivité apparente supposée constante en pre-mière approche (cf. suppléments en ligne P3A-1).

3.2. Equations constitutives du modèle

Bilan de matière (eau)Dans le cadre des hypothèses discutées précédemment, l’équation caractéristique dubilan matière sur l’eau du produit prend la forme :(

∂X∂t

)5 D

(∂2X∂x2

)pour 0 < x < e, ∀t (1)

À cette équation de bilan décrivant les phénomènes de transferts de matière internessont associées deux conditions aux limites décrivant les phénomènes de transferts dematière entre le produit et son environnement soit :

−D(

∂X∂x

)5 0 en x 5 0, ∀t (2)

−rmsD(

∂X∂x

)5 km (Cvs − Cv∞) en x 5 e, ∀t (3)

La condition en x 5 0 exprime que le produit repose pendant son traitement surun support isolant vis-à-vis de phénomènes de transferts d’eau. La condition enx 5 e exprime un séchage par entraînement intervenant entre la surface supérieuredu produit et l’atmosphère de la chambre de cuisson. La concentration de vapeur àla surface du produit soit Cvs sera calculée en supposant en tout temps un équilibreinstantané entre l’eau de surface du produit et la vapeur au voisinage immédiat de lasurface et en supposant le mélange air–vapeur au voisinage du produit assimilable àun gaz parfait soit :

Cvs 5 pvsMe

R T5 aw

(X |x5e , T |x5e

)pvsat

(T |x5e

) Me

R T |x5e(4)

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La condition en x 5 e est alors réécrite selon :

−rmsD(

∂X∂x

)5

km Me

R

(aw pvsat

T− pv∞

Tvoute

)en x 5 e, ∀t (5)

Les équations différentielles précédentes (Eqs. 1, 2 et 5) sont des équations aux dé-rivées partielles. Elles décrivent l’ensemble des phénomènes de transferts de matièreau sein du produit de cuisson. Ce sont des équations d’évolution qui nécessitent ladonnée d’une condition dite initiale avant leur résolution soit par exemple :

X 5 X0 pour 0 � x � e, t 5 0 (6)

en supposant l’uniformité de la teneur en eau au sein du produit à l’instant initial.

Bilan d’énergieDans le cadre des hypothèses discutées précédemment, l’équation caractéristique dubilan énergétique prend la forme :

rms(cpms 1 cpe X

)(∂T∂t

)5 l

(∂2T∂x2

)1 rms cpe D

(∂X∂x

) (∂T∂x

)

pour 0 < x < e, ∀t

(7)

Le premier terme du membre de droite correspond au terme de transfert d’énergiepar conduction (apparente) et le second terme au transfert interne d’énergie lié auphénomène de migration d’eau au sein du produit. Compte tenu des très faiblesvaleurs de la diffusivité apparente de l’eau au sein des produits alimentaires, ce termeest dans la quasi-intégralité des applications négligeables soit :(

∂T∂t

)5

l

rms(cpms 1 cpe X

) (∂2T∂x2

)pour 0 < x < e, ∀t (8)

À cette équation de bilan sont associées les deux conditions aux limites suivantes :

hs (Tsole − T ) 5 −l

(∂T∂x

)en x 5 0, ∀t (9)

−l

(∂T∂x

)5(hray 1 hconv

)(T − Tvoute) 1

km Me

R

(aw pvsat

T− pv∞

Tvoute

)LT

en x 5 e, ∀t(10)

En x 5 0, le chauffage de la surface du produit est le résultat de 3 modes detransfert d’énergie intervenant en série : un transfert convectif entre l’atmosphèrede cuisson en sole et la surface inférieure du support, la conduction thermique ausein du support et un transfert par contact entre le support et la surface inférieure duproduit. La qualité globale de cet enchaînement de phénomènes est quantifiée parun coefficient de transfert de chaleur hs exprimé en W.m–2.K–1. En x 5 e, la surfacedu produit est chauffée par rayonnement thermique et convection (premier terme dumembre de droite). Sa cinétique de montée en température est également influencéepar le phénomène d’évaporation de l’eau en surface du produit (deuxième terme du




membre de droite). Le coefficient de transfert par rayonnement est par définitionvariable et fonction de la température du produit selon :

hray 5 s ´(

T 2∣∣x5e 1 T 2

voute

) (T |x5e 1 T 2

voute

)(11)

Ces équations sont complétées par la donnée d’une condition initiale soit :

T 5 T0 pour 0 � x � e, t 5 0 (12)

en supposant la température au sein du produit uniforme à l’instant initial.

4. Résolution

Le système d’équations aux dérivées partielles (EDP) constitué par :– l’équation du bilan de matière (éq. 1), ses deux conditions aux limites (éqs. 2 et 5)

et sa condition initiale (éq. 6) associées ainsi que,– l’équation du bilan d’énergie (éq. 8), ses deux conditions aux limites (éqs. 9 et 10)

et sa condition initiale (éq. 12) associée,

doit maintenant être résolu afin de calculer la température et la teneur en eau entout point du produit et à tout temps. Ce système d’EDP n’admet pas de solutionanalytique (directement intégrable) et doit être résolu numériquement. La méthodedite des différences finies peut être réalisée pour résoudre ce système d’EDP. Leprincipe de cette méthode de résolution consiste à évaluer la valeur approchée dela solution exacte du système à certaines valeurs discrètes de l’espace (dits points dediscrétisation) et certaines valeurs discrètes du temps. Dans le cas des méthodes à pasconstants, on parle de pas de temps de résolution Dt pour désigner la durée (en s)séparant deux valeurs discrètes consécutives dans le temps et de pas de discrétisationspatiale Dx pour désigner l’intervalle (en m) séparant deux valeurs voisines dansl’espace. Ce principe de résolution est représenté schématiquement sur la figure 2dans le cas d’un schéma à 6 points de discrétisation (nombre fixé arbitrairement).

Pour un temps t quelconque

Solution exacte T

Solution exacte X

Valeurs approchées T et X

x

T, XO

Profils à t + �t

Profils à t

x + �x

x

Figure 2 – Représentation schématique du principe de résolution des équations auxdérivées partielles décrivant les phénomènes de transfert de matière et d’énergie.c ©

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Un choix pertinent de l’algorithme de résolution ainsi que des paramètres de cesalgorithmes (valeurs des pas de temps de résolution et des pas de discrétisation spa-tiale) permettent d’assurer la stabilité et la précision de cette solution numérique. Lesdétails de cette méthode de résolution ne seront pas fournis dans ce document etpeuvent être aisément trouvés dans la littérature (Ozisik, 1994).

5. Résultats de simulationLe modèle une fois résolu doit être confronté à des résultats expérimentaux afin :– de valider les hypothèses simplificatrices émises lors de la formulation du modèle

et– de fixer les valeurs des variables et paramètres du modèle.

On ne s’attachera pas dans ce document à décrire les détails de cette phase de confron-tation ou de validation. On s’attache par contre dans ce paragraphe à détailler sur labase de quelques résultats de simulation commentés l’utilité du modèle développé enterme d’aide à la conception et de conduite de l’opération de cuisson.

5.1. Définition d’une simulation dite de référenceAvant d’entamer la présentation de ces résultats de simulation, on présente dans letableau suivant les valeurs numériques pour les propriétés du système utilisées dansla simulation dite de référence. Cette simulation de référence constitue un premierpoint de fonctionnement de l’opération unitaire étudiée. L’influence des variablesde conduite de l’opération sur les cinétiques de traitement thermique du produit(montée en température, perte en eau) sera étudiée autour de ce premier point defonctionnement.On note que dans le tableau précédent les valeurs apparentes de diffusivité del’eau et de conductivité apparente sont relativement élevées : respectivement9, 25 3 10−9 m2.s−1 et 1, 25 W.m−1.K−1. Ces valeurs sont néanmoins d’unordre de grandeur physiquement acceptables en tant que propriétés apparentesne représentant pas simplement un mécanisme de diffusion d’eau liquide ou deconductivité thermique pure mais globalisant les effets de plusieurs mécanismes detransport d’énergie et de matière.On note également que la valeur d’activité d’eau du produit sera en première ap-proximation supposée indépendante de la température du produit et calculée selon :

aw 5 0,99 exp(−a X−1,6

)(13)

Les variations de la valeur de teneur en eau à l’équilibre en fonction de la valeurd’activité d’eau sont représentées sur la figure 3. La valeur du paramètre a retenuepour le calcul est fournie dans le tableau 1 et fixée a priori à 0,05.Sur la figure 3, on remarque que la loi retenue pour le calcul de l’activité d’eau duproduit prédit une croissance non linéaire de la teneur en eau à l’équilibre du produitavec l’activité d’eau. A contrario, plus la teneur en eau à l’équilibre du produit diminue(ce qui est observé de fait pendant le traitement thermique), plus son aptitude àl’évaporation quantifiée par la valeur d’activité d’eau est faible. Aux fortes teneursen eau (> 0,5 kg/kg base sèche), cet effet est peu marqué puisque l’activité d’eau nevarie que peu entre 0,90 et 1. Cet effet devient par contre très marqué aux teneursen eau inférieures à 0,5 kg/kg base sèche où une faible variation de teneur en eau




Tableau 1 – Valeurs numériques des variables de conduite de l’opération et despropriétés du système pour la simulation dite de référence.

Propriétésdu produit

Concentration de matière sèche (ms) supposéeconstante (produit indéformable)

600 kg.m–3

Largeur (longueur) du produit 10 cmÉpaisseur du produit 5 cmDiffusivité apparente de l’eau liquide 9, 5 3 10−9 m2.s–1

Conductivité thermique apparente du produit 1 W.m–1.K–1

Chaleur massique de la matière sèche 2500 J.kg–1.K–1

Chaleur massique de l’eau pure 4185 J.kg–1.K–1

Chaleur massique de la vapeur d’eau 2000 J.kg–1.K–1

Paramètre a de l’isotherme de sorption 0,05 (kgeau/kgMS)1.6

Emissivité du produit 0,9 -

Conditionsopératoires

Température en voûte (air et parois) 200 ◦CTempérature en sole (air et parois) 175 ◦CCoefficient de transfert convectif en voûte 20 W.m–2.K–1

Coefficient de transfert équivalent en sole(convection+conduction plaque+contact)

12,5 W.m–2.K–1

Hygrométrie de l’air 0.01 kgvapeur/kgair sec

Durée d’essai 1 h

Constantesphysiques

Masse molaire de l’eau 18310–3 kg.mole–1

Constante universelle des gaz parfaits 8,314 J.mole–1.K–1

Chaleur latente de vaporisation eau pure 2,53106 J.kg–1

Constante de Stefan-Boltzmann 5,72310–8 W.m–2.K–4

Paramètresde résolution

Pas de temps de résolution Dt 1 sPas de discrétisation spatiale Dx 5310–2 m

Valeursinitiales

Température (supposée uniforme) 20 ◦CTeneur en eau (supposée uniforme) 1 kgeau/kgms

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Activité d'eau

Ten

eur

en e

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l'éq

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re b

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sèch

e X

Figure 3 – Représentation de la teneur en eau à l’équilibre du produiten fonction del’activité d’eau.c ©

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se traduit par une variation importante d’activité d’eau. Ces conclusions dépendentbien évidemment de l’allure du graphe présenté en figure 3 et donc de la nature duproduit traité.On remarque enfin que dans le corps du modèle, les valeurs de pression partiellesde l’air pv∞ (en Pa) seront calculées à partir des valeurs d’hygrométrie Y∞ (en kg devapeur par kg d’air sec) selon :

pv∞ 5101325 Y∞Y∞ 1 0.622

(14)

On représente sur les figures suivantes les cinétiques de variation des variables d’étatdu système (température et teneur en eau) calculées par le modèle pour les condi-tions opératoires et les valeurs des propriétés du système fournies dans le tableau 1(simulation dite de référence).

0 10 20 30 40 50 6020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Temps, min

Tem

péra

ture

, °C

x = 0

x = e/2x = e

Figure 4 – Cinétiques de montée en température en surface inférieure (x=0), à cœur(x=e/2) et en surface supérieure (x=e) pour la simulation dite de référence.

Ce premier résultat de simulation confirme l’hétérogénéité de traitement thermiqueau sein d’un produit alimentaire réputé par définition isolant. Des gradients de tem-pérature d’environ 40 ◦C sont constatés pour un produit de 5 cm dans un four àconvection marquée (hconv = 20 W.m–2.K–1) pour un traitement thermique à 200 ◦Cen voûte et 175 ◦C en sole (cf. tableau 1). On remarque également un très net effetde l’évaporation de l’eau du produit en surface qui tend à ralentir très nettement lacinétique de montée en température du produit en surface supérieure. Cet effet estparticulièrement marqué aux temps de cuisson intermédiaires correspondant très cer-tainement aux instants de séchage à vitesse importante. Il est intéressant de signalerque sur la figure 4, on présente les variations de variables délicates (température ensurface supérieure) voire impossibles (température en surface inférieure) à mesurer. Lemodèle peut donc appuyer voire suppléer aux techniques expérimentales classiquesdans le cas de mesures délicates à réaliser.




Les valeurs de teneur en eau correspondant à notre simulation de référence sont quantà elles fournies sur la figure 5.

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Temps, min

Ten

eur

en e

au b

ase

sèch

e

x = e

x = e −Δx

x = e−2Δx

Figure 5 – Cinétiques de perte en eau en surface inférieure (x=0), à 0,5 cm (x = e-Dx) et 1cm (x = e-2Dx) de la surface supérieure (x= e) pour la simulation dite de référence.

La figure 5 indique des gradients très marqués de teneur en eau au sein du produitpendant le traitement thermique puisque seul un cinquième de l’épaisseur de pro-duit semble subir une déshydratation significative. Le reste du produit reste à uneteneur en eau voisine de la teneur en eau initiale. Le produit présente une « croûte »extérieure plus sèche que le cœur du produit ce qui est observé dans le cas de la plu-part des opérations de cuisson des solides alimentaires (produits céréaliers, produitscarnés,...). Ce résultat confirme la différence nette d’allure entre les phénomènes detransfert d’énergie et de transfert de matière. Ces derniers sont souvent le phéno-mène limitant lors de la recherche de conditions opératoires minimisant la durée desopérations de traitement thermique. Ce phénomène est dû aux très faibles valeursde diffusivité apparente de l’eau dans les aliments. Les composants biochimiques desproduits alimentaires présentent en effet une forte affinité avec l’eau ce qui ralentitsignificativement les phénomènes de migration d’eau au sein de ces produits. Dansla suite du document, on représentera par conséquent les variations de teneur en eaumoyenne du produit en gardant présent à l’esprit le fait que ces pertes en eau restentlocalisées au voisinage de la surface du produit.

5.2. Sensibilité des cinétiques de cuisson aux principales variablesde conduite de l’opération

On étudie dans cette partie l’influence des principales variables de conduite de l’opé-ration de cuisson sur les cinétiques de variation des variables d’état du système (tem-pérature et teneur en eau). Cette étude sera bien évidemment réalisée par simulation.c ©

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Influence de la température de consigne sur les cinétiques de cuissonLes figures 6a et 6b présentent les variations de température en surface supérieureet à cœur ainsi que les variations de teneur en eau moyennes simulées pour troisconditions de cuisson différentes :– une cuisson à températures de consigne en voûte et en sole de 150 et 175 ◦C,– une cuisson à températures de consigne en voûte et en sole de 175 et 200 ◦C et– une cuisson à températures de consigne en voûte et en sole de 200 et 225 ◦C.

0 10 20 30 40 50 6020

40

60

80

100

120

140

Temps, min

Tem

péra

ture

, °C

x = e

x =e/2

Figure 6a – Cinétiques de montée en température en surface supérieure (x=e) et à cœur(x=e/2) pour trois simulations à température de cuisson différentes :

(◦), Tsole 5 150 ◦C/Tvoûte 5 175 ◦C ; (�), Tsole 5 175 ◦C/Tvoûte 5 200 ◦C et(+), Tsole 5 200 ◦C/Tvoûte 5 250 ◦C.

0 10 20 30 40 50 600.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

Temps, min

Ten

eur

en e

au m

oyen

ne b

ase

sèch

e

Tsole=150°C / Tvoûte=175°C



Figure 6b – Cinétiques de variations de teneur en eau moyenne pour trois simulations àtempérature de cuisson différentes : (◦), Tsole 5 150 ◦C/Tvoûte 5 175 ◦C ; (�),

Tsole 5 175 ◦C/Tvoûte 5 200 ◦C et (+), Tsole 5 200 ◦C/Tvoûte 5 250 ◦C.




On remarque une influence très nette de la température de consigne sur les cinétiquesde cuisson et ce particulièrement sur les températures de surface. La phase de ralentis-sement de la cinétique de montée en température de surface est d’autant plus longueque la température de consigne est faible. On note par conséquent des différences detempérature de surface très importantes en fin de traitement : de 90 à 150 / 175 ◦Cà environ 140 ◦C à 200 / 225 ◦C. On s’attend par conséquent à des produits à fortsgradients de propriétés (couleur, saveur, texture) entre le cœur et la surface dans lecas des traitements à température de consigne élevée. Cet effet est moins marqué àcœur puisqu’en fin de traitement, on note des différences de température de 20 ◦Cau maximum entre les essais à faible température de consigne et les essais à forte tem-pérature de consigne. On note également que la température de consigne n’affecteque très modérément la cinétique de variation de teneur en eau moyenne. Cet effetest bien évidemment propre au produit considéré tant en terme de dimensions qu’enterme d’affinité de l’eau du produit avec sa matière sèche (allure de l’isotherme desorption). Dans le cas étudié, on a vu dans le § 5.1 que le produit ne se déshydrataitsignificativement que sur une très faible épaisseur au voisinage de la surface supérieur(phénomène de croûtage très marqué). Ce phénomène est également fonction duproduit étudié mais on note toutefois que, dans la plupart des opérations de traite-ment thermique concernant des solides alimentaires, ces phénomènes de transfertsinternes de matière sont limitants dans la définition des conditions opératoires. Lamigration de l’eau au sein des solides alimentaires est généralement très lente de parla forte affinité de l’eau et des constituants biochimiques de la matière. Une porositéinterne significative (préexistante ou développée au cours du traitement thermique)peut permettre d’accélérer cette migration globale d’eau (en phase liquide et vapeur)du cœur du produit vers la surface du produit.

Influence de l’hygrométrie de l’air sur les cinétiques de cuissonLes figures 7a et 7b présentent les variations de température en surface supérieuret à cœur ainsi que les variations de teneur en eau moyennes simulées pour troisconditions de cuisson différentes :– une cuisson à hygrométrie d’air supposée constante et égale à 0,01 kg/kg d’air sec

(air sec),– une cuisson à hygrométrie d’air égale à 0,40, kg/kg d’air sec (air très humide) et– une cuisson à hygrométrie d’air égale à 0,75 kg/kg d’air sec (air très humide).

On remarque une influence très nette de l’hygrométrie de la chambre de cuissonsur les cinétiques de cuisson et ce particulièrement sur les températures de surface.L’augmentation de l’hygrométrie d’air dans la chambre de cuisson permet d’accélérernotablement la cinétique de montée en température initiale du produit de cuissonpar condensation de vapeur à la surface du produit. Ce phénomène est égalementvisualisé sur les cinétiques de perte en eau puisque l’on observe une augmentation dela teneur en eau moyenne du produit aux premiers instants de cuisson pour atteindreune valeur supérieure à la teneur en eau initiale du produit. Ce phénomène estd’autant plus marqué que l’hygrométrie d’air est élevée. Conséquemment, on observeun allongement de la phase de cuisson à température de surface constante. Pendantcette phase, l’énergie reçue est utilisée pour évaporer l’eau de surface du produit.Cette fraction d’eau correspond à l’eau initialement présente dans le produit ainsiqu’à la quantité d’eau condensée à la surface du produit lors des premiers instants dec ©

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0 10 20 30 40 50 6020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Temps, min

Tem

péra

ture

, °C

x = e

x = e/2

Figure 7a – Cinétiques de montée en température en surface supérieure (x=e) et à cœur(x=e/2) pour trois simulations à hygrométrie d’air différente : (◦), 10 g/kg d’air sec ; (�),

400 g/kg d’air sec et (+), 750 g/kg d’air sec.

0 10 20 30 40 50 600.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

Temps, min

Ten

eur

en e

au m

oyen

ne b

ase

sèch

e

10 g/kg air sec

400 g/kg air sec750 g/kg air sec

Figure 7b – Cinétiques de variations de teneur en eau moyenne pour trois simulations àhygrométrie d’air différente : (◦), 10 g/kg d’air sec ; (�), 400 g/kg d’air sec et (+), 750 g/kg

d’air sec.

cuisson. Globalement, l’influence de l’hygrométrie de l’air n’est pas marquée sur lesvaleurs finales de température de produit (en surface et à cœur). On note par contreque les histoires (temps - température) vécues par les points du produit à cœur et ensurface sont radicalement différentes ce qui laisse présager de grosses variations surles propriétés organoleptiques du produit fini.




5.3 Sensibilité du modèle développé aux incertitudes sur les valeursdes paramètres

La validité et la précision du modèle développé dépendent en partie des valeursfournies pour les différentes propriétés du système (propriétés thermophysiques dumatériau traité, propriétés de transport de la matière et de l’énergie au sein du produittraité et entre le produit traité et son environnement,...). Certaines de ces propriétéspeuvent être mesurées au laboratoire hors-ligne ou tirées de la littérature. Dans lesdeux cas, les valeurs obtenues sont plus ou moins précises. Il peut être intéressant à ceniveau d’évaluer la sensibilité des variables d’état du système (température et teneuren eau du produit dans notre cas) aux incertitudes sur les différentes propriétés àdéterminer. Si les variables d’état du modèle et leur cinétique de variation sont trèssensibles à la valeur d’une des propriétés manquantes, il est nécessaire d’obtenir unevaleur très précise de cette dernière. A contrario, si les variables d’état du modèle nesont que peu sensibles à la valeur d’une autre propriété, un simple ordre de grandeurpour cette dernière peut suffire.Dans le problème étudié, on peut par exemple chercher à évaluer la sensibilité desvaleurs de température à la valeur de coefficient de transfert externe par convectionhconv (en W.m–2.K–1). Le modèle développé et validé peut être utilisé pour répondreà cette question. On calcule dans ce cas la fonction de sensibilité ∂T /∂hconv (en◦C/(W.m−2.K−1) ) qui permet d’estimer au cours du temps la variation de sensi-bilité de la température calculée (au cœur du produit et en surface) en fonction dela valeur de ce coefficient de transfert. Le résultat de ce calcul est présenté sur lafigure 8. On note que ce calcul est réalisé autour des conditions de simulation ditesde référence soit hconv 5 20 W.m−2.K−1.

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Temps, min

@T

/ @

hcon

v (°

C /

W.m

-2.°

C-1

)

x=e/2

x=e

Figure 8 – Évaluation de la sensibilité ∂T/∂hconv (en ◦C / (W.m–2.K–1)) des températures Tcalculées (au cœur et en surface du produit).

On s’aperçoit très rapidement par calcul que la température de surface du produitest très sensible à la valeur du coefficient de transfert par convection. Entre 20 etc ©

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30 min de cuisson, une imprécision de 1 W.m–2.K–1 sur la valeur du coefficient detransfert convectif se traduit par une imprécision de 2 à 2,5◦C sur la températurede surface. Il faut noter à ce niveau que l’utilisation des corrélations classiques issuesde la mécanique des fluides ne permet certainement pas d’obtenir une précision de1 W.m–2.K–1 sur la valeur de ce coefficient. Cette sensibilité est nettement moinsmarquée aux courts temps de cuisson (inférieurs à 10 ou 15 min) et au cœur duproduit. L’incertitude sur l’amplitude des transferts convectifs est en effet « gommée »ou atténuée par le phénomène de conduction thermique au sein du produit. Danstous les cas, on note toutefois que la précision de la prédiction des valeurs de tempé-rature du produit est très fortement liée à la précision sur la valeur du coefficient detransfert convectif. Un soin très particulier doit donc être apporté à la mesure ou à ladétermination à partir de corrélations issues de la littérature de ce coefficient.

5.4 Évaluation de l’efficacité du traitement thermique

L’objectif de l’opération unitaire de cuisson n’est pas uniquement d’élever la tem-pérature des produits traités mais aussi d’induire une série de transformations et deréactions des composants biochimiques de la matière afin de rendre le produit pos-sible et agréable à consommer. Le modèle de transfert de matière développé peut êtreutilisé afin de d’évaluer l’efficacité du traitement thermique via le calcul de variablessecondaires telles une valeur pasteurisatrice, stérilisatrice ou plus généralement unevaleur dite cuisatrice (cf. livre, § 6.2.2). Lors de la définition d’une valeur cuisatrice, ilest nécessaire dans un premier temps de déterminer une réaction ou une transforma-tion représentatrice de l’avancement de la cuisson. Cette transformation peut être parexemple un niveau de luminosité de surface comme dans le cas des produits céréalierspar exemple ou la couleur de surface du produit est souvent utilisée pour évaluer leniveau de cuisson. On peut également s’intéresser à une propriété mécanique dusolide traité comme dans le cas de la cuisson de produits végétaux. Une fois cetteréaction indicatrice du niveau de cuisson définie, il convient de déterminer un niveaude cuisson dit optimal. Cette détermination est relativement aisée en conditions aussiisothermes que possible. La thermosensibilité de la transformation suivie peut alorsêtre évaluée via la réalisation de mesures de cinétiques de transformation dans plu-sieurs conditions isothermes différentes. On est alors à même de définir une valeurcuisatrice et un niveau de cuisson objectif associé. Dans l’étude nous concernant, onpeut par exemple définir la valeur cuisatrice suivante :

VC (t) 5

∫ t

010

T−8030 dt avec VCobjectif 5 2 min (14)

L’équation précédente (cf. livre, § 6.2.2) nous indique qu’un traitement isothermede 3 min à 80 ◦C nous permettrait de cuire de façon optimale le produit traité. Untraitement à 80 1 30 soit 110 ◦C permet de réduire le temps de traitement à 3/10soit 0,3 min ou 18 s alors qu’a contrario, un traitement à 80 − 30 soit 50 ◦C allongela durée du traitement à 3 3 10 soit 30 min. Cette valeur cuisatrice nous permetdonc de comparer deux traitements non isothermes différents en terme de niveaude cuisson et non seulement à partir du simple examen graphique des cinétiques demontée en température.




On cherche par exemple à comparer sur les figures 9 et 10 les efficacités de deuxtraitements de cuisson différents :– un premier traitement dit à haute température / temps court qui correspond à une

cuisson de 60 min à températures de voûte et de sole valant respectivement 200 et175 ◦C (figure 9) et

– un second traitement dit à basse température / temps long qui correspond à unecuisson de 120 min à températures de voûte et de sole valant respectivement 150et 125◦C (figure 10).

Les efficacités de ces deux traitements ne seront pas évaluées uniquement sur la basedes histoires (temps – température) vécues par les différentes zones du produit (sur-faces inférieure et supérieure et produit à cœur) mais également par le calcul de lavaleur cuisatrice définie par l’équation 14 dans chacune des zones du produit.

0 20 40 60 80 100 12020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Temps, min

Tem

péra

ture

, °C

x=0

x=e/2

x=e

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

140

Temps, min

Val

eurs

cui

satr

ices

, s

x=0

x=e/2x=e

Figure 9 – Cinétiques de montée en température et de variations de valeurs cuisatrices ensurface inférieure (x=0), à cœur (x=e/2) et en surface supérieure (x=e) dans le cas d’une

cuisson de 60 min à Tvoûte 5 200 ◦C et Tsole 5 175 ◦C.

0 20 40 60 80 100 12020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Temps, min

Tem

péra

ture

, °C

x=0

x=e/2x=e

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

140

Temps, min

Val

eurs

cui

satr

ices

, s

x=0

x=e/2x=e

Figure 10 – Cinétiques de montée en température et de variations de valeurs cuisatricesen surface inférieure (x=0), à cœur (x=e/2) et en surface supérieure (x=e) dans le cas d’une

cuisson de 120 min à Tvoûte 5 150 ◦C et Tsole 5 125 ◦C.

On s’aperçoit que les deux traitements thermiques définis précédemment mènent àdeux produits finis de nature différente. Le traitement à temps long et basse tempé-rature de traitement mène à une cuisson plus homogène que le traitement à tempsc ©

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court et haute température. Ce phénomène qualitativement évident est ici quanti-fié par l’utilisation du modèle de transferts couplé au modèle de calcul de valeurcuisatrice. En fin de traitement, les valeurs cuisatrices en surface inférieure, à cœuret en surface supérieure valent respectivement 30 s/ 10 s / 130 s dans le cas destraitements à temps court et température élevée et 60 s/ 40 s / 120 s dans le cas destraitements à temps long et faible température. On est donc à même d’évaluer sur unebase objective les hétérogénéités de traitement thermiques et d’utiliser le modèle detransferts pour proposer des modes de conduite permettant de réduire si nécessaire ceniveau d’hétérogénéité. On note qu’en pratique ce calcul est plus complexe puisquebien souvent un barème de traitement thermique est défini sur la base de plusieurscritères organoleptiques (ce qui nécessite le calcul de plusieurs valeurs cuisatrices)et parfois d’un critère sanitaire (nécessitant le calcul d’une valeur pasteurisatrice oustérilisatrice).

6. ConclusionOn a cherché dans l’étude de cas précédente à présenter les différentes étapes rencon-trées au cours de toute étude de modélisation. L’accent a été mis sur la confrontationaussi fréquente que possible et les allers et retours permanents entre résultats calculéset réalité physique étudiée. Ce point constitue le cœur de la phase de validation dumodèle mais est également très présent lors de l’écriture des équations constitutivesdu modèle et du choix d’hypothèses simplificatrices pertinentes pour formaliser ma-thématiquement la réalité physique étudiée. Le modèle développé ne peut s’appuyerque sur une connaissance fine des mécanismes physico-chimiques impliqués et surdes mesures expérimentales aussi précises que possible. On s’est également attaché àsouligner l’utilité du modèle développé en terme d’aide à la conception et de conduitede l’opération unitaire étudiée. Quelques graphes de simulation nous ont permisd’améliorer notre connaissance du procédé étudié voire dans certains cas de proposerdes modes de conduite originaux.

Nomenclature

Notations latines

aw Activité d’eau –

cpe Chaleur spécifique de l’eau J.kg–1.K–1

cpms Chaleur spécifique de la matière sèche J.kg–1.K–1

Cvs Concentration de vapeur du produit kg.m–3

Cv∞ Concentration de vapeur dans l’atmosphère de cuisson kg.m–3

D Diffusivité apparente de l’eau m2.s–1

e Épaisseur du produit m

hconv Coefficient de transfert thermique par convection W.m–2.K–1

hray Coefficient de transfert par rayonnement W.m–2.K–1

hs Coefficient de transfert global relatif aux échanges en sole W.m–2.K–1

km Coefficient de transfert de matière externe m.s–1

LT Chaleur latente de vaporisation à la température T J.kg–1



S.7.2.5 Calcul de barême

Me Masse molaire de l’eau = 18310—03 kg.mole–1

pvs Pression de vapeur du produit Pa

pv∞ Pression de vapeur dans l’atmosphère de cuisson Pa

R Constante des gaz parfaits = 8,314 J.mole–1.K–1

t Temps s

T Température du produit K

T0 Température initiale du produit K

Tsole Température de l’atmosphère de cuisson en sole K

Tvoute Température de l’atmosphère de cuisson en voûte K

x Coordonnée d’espace m

X Teneur en eau base sèche kgeau/kgMS

X0 Teneur en eau initiale base sèche kgeau/kgMS

Y∞ Hygrométrie de l’atmosphère de cuisson kgvap/kgair sec

Notations grecques

´ Emissivité thermique –

l Conductivité thermique W.m–1.K–1

rms Concentration de matière sèche dans le produit kg.m–3

s Constante de Stefan-Boltzmann 5 5, 72 3 10−8 W.m–2.K–4

S.7.2.5 Calcul de barêmeLe tableau ci-dessous correspond à l’enregistrement des températures présenté à lafigure 7.12 du livre.

Temps (s) Températures (◦C)

Autoclave Cœur particule1

Cœur particule2

Liquide : sonde1

Liquide : sonde2

0 42,3 35,9 37,4 37,3 33,4

62 83,9 35,6 37,5 58,2 56,8

122 103,4 35,5 38 85,4 82,8

182 120,1 36,7 40,1 107,9 104,6

246 119,2 40,2 44,5 116,2 113,9

306 119,9 46,3 51,1 117,5 115,8

366 119,8 54,3 58,7 117,7 116,7

426 119,8 62,6 66,3 117,9 117,2

486 119,9 70,6 73,3 118,1 117,5

546 119,8 77,7 79,6 118,1 118

606 119,8 84,1 85,3 118,3 118,3

c ©D

unod

–La

phot

ocop

ieno

nau

tori

sée

estu

ndé

lit




Temps (s) Températures (◦C)

Autoclave Cœur particule1

Cœur particule2

Liquide : sonde1

Liquide : sonde2

666 120 89,6 90,3 118,7 118,6

726 119,7 94,2 94,5 118,9 118,9

786 119,9 98,4 98,2 119 119

846 119,7 101,8 101,4 119,1 119,2

906 119,8 104,7 104,2 119,3 119,3

966 119,8 107,2 106,5 119,4 119,4

1026 119,7 109,2 108,6 119,5 119,5

1086 119,9 111 110,3 119,6 119,6

1146 119,7 112,4 111,7 119,7 119,6

1206 119,8 113,6 113 119,7 119,6

1266 119,8 114,6 114 119,8 119,6

1326 119,6 115,4 114,9 119,8 119,7

1386 119,9 116,1 115,7 119,7 119,7

1446 51,4 116,6 116 118,1 118,1

1506 22,7 115,8 111,8 99,2 110,7

1566 13,1 116,1 110,7 69,2 103,4

1626 12,7 115 109,1 53,3 78,2

1686 13,2 112,5 104,6 41,8 60,9

1746 12,2 108,6 99,7 34 52,4

1806 10,6 103,8 92,9 28,2 46,6

1866 10,5 98,3 85,5 24,8 39,9

1926 10,3 92,1 78,2 21,4 36,3

1986 10,2 85,6 71,2 18,8 33,2

2046 10 79,4 64,5 17,1 30,4

2106 9,9 73,5 58,4 15,5 29,2

2166 9,9 68 52,9 14,5 24,9

2226 9,7 62,7 47,8 14,2 23,6

2286 9,6 58 43,3 13,1 21,5

2346 9,5 53,6 39,2 12,5 21,6

2406 9,5 49,7 35,6 12 19,7

2466 12,6 45,9 32,5 11,9 18,7

2526 12,1 42,5 29,7 11,5 20,9

2586 12,4 39,5 24,4 12 22,4

2646 12,4 15,3 13,4 10,3 11,2

2706 12,1 13 14,8 11,6 12,6




On veut calculer à l’aide de ce tableau :1. Les valeurs stérilisatrice et cuisatrice (température de référence de 100 ◦C et

z 5 30 ◦C) à cœur des particules solides.

2. Les deux températures de palier (chaud et froid) et le CUT de l’autoclave et lescaractéristiques j et fh et jc et fc des deux solides.

3. Le temps de barème à appliquer si, partant de la même température, on souhaiteobtenir une VS de 3 min à cœur d’une particule pour une température d’autoclavede 125 ◦C et un CUT de 5 min.Pour réaliser ces calculs on recopiera le tableau ci-dessus dans un tableur et on pourraprocéder comme suit.

Calcul des valeurs stérilisatrices et cuisatricesOn utilise (après recopie éventuelle dans une autre feuille) les colonnes A : temps (s),B (température d’une des 2 particules)Sur chaque ligne on calcule le facteur de Bigelow et le « facteur de cuisson » selonles formules (x et x-1 sont les numéros de ligne – débutant à 2, après le nom decolonne-) :

Cx 5 10 ∧ ((Ax − 121, 1)/10)

ou Cx 5 puissance(10; (Ax − 121, 1)/10

)Dx 5 Dx − 1 1 (Cx − 1 1 Cx)/2 ∗ (Ax − Ax − 1)/60 après avoir placé 0 dans lacase D2La formule ci-dessus correspond à l’application stricte de la formule des trapèzes. Ladivision par 60 permet d’obtenir un résultat en minutes.On fait de même pour la valeur cuisatrice en remplaçant 121,1 par 100 et la divisionpar 10 par une division par 30. On obtient ainsi :

Particule 1 Particule 2

Valeur stérilisatrice (VS) 2,80 1,82

Valeur cuisatrice (VC) 48,4 39,7

On constatera dans le tableau qu’à t 5 1 446 (fin du chauffage) les différences deVS et VC entre les 2 particules sont très faibles et que la différence résulte de leurcomportement différent au refroidissement (phénomène aléatoire ou déplacement dela sonde).

Caractéristiques de l’autoclave et des particulesPour l’autoclave : le tracé du graphique de sa température en fonction du tempspermet d’estimer le temps de montée en température (180 s environ) et de déterminerl’intervalle des deux paliers : chauffage entre t 5 182 et t 5 1 446, refroidissemententre t 5 1 566 et la fin. On peut considérer que les températures de paliers corres-pondantes sont 120 et 11 ◦C.Pour les particules : calcul des caractéristiques de chauffage.Dans le tableur, on construit les colonnes suivantes :Sur toutes les lignes jusqu’à t 5 1 446 (chauffage).c ©

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– Ex 5 log(120 − Bx) (120 est la température de palier).– Fx = Ex (cette ligne servira à ajuster les caractéristiques j et f ).

On sélectionne la partie chauffage des colonnes A, E et F et on en fait tracer legraphe. On demande le tracé d’une droite passant par les points correspondants à lacolonne F avec affichage de l’équation de la droite. On élimine un à un les valeursde la colonne F jusqu’à ce que la droite apparaisse comme une asymptote pour lespoints restants. Généralement les points sont éliminés en partant de l’origine destemps. Veiller à choisir un affichage de l’équation utilisant la notation scientifique à2 décimales afin d’avoir une précision bonne et sans excès dans les calculs qui sont :– j = ordonnée à l’origine de la droite.– fh 5 −1/pente de la droite. (attention : il s’agissait ci-dessus d’un log décimal).

Pour les particules : calcul des caractéristiques de refroidissement.Dans le tableur, on construit les colonnes suivantes :Sur les lignes de t 5 1 446 à la fin (refroidissement) :Gx 5 Ax−1446..........pour décompter le temps depuis le début du refroidissement.Hx 5 log(Bx − 11) 11 est la température du palier froid.Ix 5 Hx comme ci-dessus.On sélectionne la partie utile des colonnes G, H et I et on procède comme pour lechauffage. Toutefois ici on aura intérêt à éliminer aussi des points en fin de courbe.Nous avons obtenu les résultats suivants (valeurs dépendant un peu du choix despoints, elles diffèrent de celle présentes sur la figure 7.13 où l’on a ajusté les 2 courbesensemble) :

Particule 1 Particule 2

j 2,32 2,24

fh (min) 13,2 14,2

jc 2,23 2,29

fc (min) 24,7 17,7

Le chauffage des particules s’effectue par conduction à l’intérieur de celles-ci, et lenombre de Biot en surface n’est certainement pas très grand (peu d’agitation duliquide). On n’en obtient pas pour autant des j inférieurs à 2,04 : en fait, dans lesboîtes au contenu non homogène, la chaleur se transmet d’éléments à éléments et lesretards se cumulent.Ces résultats montrent par ailleurs une différence de comportement entre les 2 par-ticules au refroidissement. La particule 2 ne commence pas seulement à refroidirplus tôt, elle refroidit aussi plus rapidement (fc plus faible). Ce constat exclut undéplacement de la sonde. fc plus faible explique aussi que, malgré le « départ rapide »de la particule 2, son facteur de retard j ne soit pas plus faible que celui de laparticule 1. La différence peut être liée à la position de la particule dans la boîte(l’écart entre les 2 températures dans le liquide est plus grand au refroidissementqu’au chauffage)




Calcul d’un temps de barème

Ici on utilisera les tables du livre, bien que :– l’écart entre les paliers ne soit pas de 100 ◦C,– les valeurs de jc sont différentes de 1,4.

Ceci n’a rien de choquant car l’application qui suit n’a pour objectif que de faire unessai (toujours coûteux) qui s’approchera assez près du bon barème, plutôt que de lefaire « au petit bonheur la chance ».Les données utilisées pour les calculs sont rappelées au fur et à mesure de ceux-ci. Envoici les étapes, dans le cas simple où l’on considère le f au refroidissement égal àcelui du chauffage.On calcule U 5 VS souhaitée*10 ∧ ((121, 1 − Tchauffage)/10

)Ici VS 5 3 et Tchauffage 5 125 ◦C donne U 5 1, 22 min (les U de la méthode deBall sont des « valeurs stérilisatrices » comptées à la température de l’autoclave au lieude 121,1 ◦C).

fh/U 5 13, 2/1, 22 5 10, 8 (Cas de la particule 1)

Dans la table cette valeur se situe entre 10 et 12,5 ; Une interpolation linéaire permetde trouver g 5 5, 25 ◦C (g est la différence entre le palier chaud et la températuremesurée au cœur de la particule), d’où le temps de barème :

tb 5 13, 2 ∗ log(2, 32 ∗ (125 − 35, 9)/5, 25

)5 21, 1 min

On peut tenir compte du changement du CUT : lors de l’essai il était de 3 min, ilpasserait à 5 donc une différence de +2 min dont on ne retient que la moitié : onappliquera lors de l’essai suivant un temps de barème de 22 minutes ;Dans le cas où l’on considère la différence entre les f on commence le calcul ense donnant une valeur de g, qui soit dans la table pour faire simple. Cet écart g étaitde 4 ◦C lors de l’essai, nous avons choisi g 5 3, 94 qui correspond à f /U 5 7 et àfrac 5 0, 772. Voici comment utiliser ces chiffres :f /U permet de calculer 2 valeurs de U, l’une avec fh, l’autre avec fc : Uh 5 fh/7et Uc 5 fc/7 . Comme les valeurs stérilisatrices, les U se cumulent, sachant qu’auchauffage on n’en réalise qu’une fraction (frac justement) et au refroidissement lafraction complémentaire soit 1-frac. Donc ici g 5 3, 94 ◦C permet d’obtenir un Utotal de :

U 5 0, 772∗13, 2/7 1 (1−0, 772)∗24, 7/7 5 2, 26 min au lieu de 1,22 souhaité.

Plus le barème est long plus U est grand et g petit. Ici on a donc essayé g trop petit.On fait une deuxième tentative : par exemple g 5 5, 71 ◦C, pour obtenir par lemême processus U 5 1, 31 min donc ce g est encore trop fort, mais l’on pourraits’en contenter car on est près de l’objectif. Si l’on essaie g 5 6, 26 ◦C on trouve cettefois U 5 1, 10 min, trop faible cette fois. Les 2 derniers calculs encadrent l’objectifde 1,22 min. On retiendra donc, par interpolation, g 5 6 ◦C. Le calcul du temps debarème reste le même que pour le calcul simple soit :

tb 5 13, 2 ∗ log(2, 32 ∗ (125 − 35, 9)/6

)5 20, 3 minc ©

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S.7.3.1 Chambre de congélation discontinue : calculde la puissance frigorifique requise

Ce temps est un peu plus court que le précédent car il tient compte du fait, via fc, quela particule se refroidit plus lentement, et donc acquiert plus de valeur stérilisatrice,que dans le cas précédent.Pour la particule 2, nos calculs ont donné, avant correction de la CUT (+1 min),pour le calcul simple : tb 5 22, 1 min, pour le calcul compliqué : tb 5 21, 9 min,donc sans changement car les valeurs de f sont très peu différentes.

S.7.3.1 Chambre de congélation discontinue :calcul de la puissance frigorifique requise1

Calculer la puissance frigorifique moyenne (sur 18 h) requise pour un congélateurdiscontinu conçu pour congeler une charge de 1600 carcasses d’agneau, de poidsmoyen 14 kg, en 18 h (de 16 h à 10 h le lendemain). La température moyenne descarcasses pré-refroidies est de 22◦C à l’entrée et des carcasses congelées de –18◦C àla sortie.

Données

Propriétés du produit

Masse volumique : 1020 kg/m3

Capacité thermique massique du produit non congelé :3, 5 kJ/kg.◦CCapacité thermique massique du produit congelé : 1, 9 kJ/kg.◦CDifférence d’enthalpie massique entre –1 et –10 ◦C : 215 kJ/kg

La chambre

Dimensions : 24 x 12 m2, hauteur : 2,6 mIsolation : mousse polystyrène (l 5 0, 03 W/m.◦C), épaisseur 150 mm sur murs etplafondSol : béton 100 mm ; mousse polystyrène 100 mmTempératures extérieures : murs et plafond 15 ◦C ; sol −16 ◦C (chambre de congé-lation en dessous)Porte : largeur 1,2 m ; hauteur 2,4 mMasse totale d’acier dans la chambre 11,4 t

Conditions de fonctionnementTempérature d’évaporation : −32 ◦CTempérature nominale dans la chambre : −24 ◦CTempérature de la chambre au démarrage : 0 ◦CVitesse de l’air sur les murs intérieurs : 1 m/sPorte ouverte de 8 h à 10 h. Vitesse de l’air à la porte : 0,4 m/sL’air du couloir est à 15 ◦C, avec une humidité de 8g eau /kg air secIl y a 6 évaporateurs avec une surface d’échange faciale pour chacun de 4,6 m2,opérant avec une vitesse d’air de 2,6 m/s. La perte de charge est de 45 mm d’eau . Lerendement du ventilateur est 0,65 et le rendement du moteur 0,9.

1. d’après le Professeur A. Cleland, Massey University, New Zealand.




De 8 h à 10 h, 8 personnes travaillent dans la chambre ; les lumières allumées repré-sentent 500 W, et le convoyeur de 1,5 kW fonctionne.

Résolution1) Produit.

Congélation des carcasses

T1 5 22 ◦C → Tf1 5 −1 ◦C → Tf2 5 −10 ◦C → T2 5 −18 ◦C

q1 5 m/t[cp1(T1 − Tf1 ) 1 DHTf1→Tf2 1 cp2(Tf2 − T2)] (kJ/s)

q1 5 (1600x14)/(18x3600)[3, 5(22 − (−1)

)1 215 1 1, 9

(− 10 − (−18))]

q1 5 107, 4 kW

2) Mise en température de la chambre de 0 à −24 ◦C.→ sol béton + acier + air + (´ isolant)– Béton (cp 5 750 kJ/kg.◦C)– surface 3 épaisseur 3 masse volumique 5 24 3 12 3 0, 1 3 2300 5 66 240 kg– Acier (cp 5 500 kJ/kg.◦C)11400 kg– Air (hypothèse : environ 90 % du volume de la chambre ; masse volumique soit :

0, 9 3 24 3 12 3 3, 6 3 1, 42 5 1325 kg.

enthalpie air initial 0 ◦C saturé 5 108 kJ/kg ; air final à −24 ◦C 5 76, 5 kJ/kg

q2 5 66240 3 0, 750(0 − (−24)) 1 11500 3 0, 500(0 − (−24))1 1325(108 − 76, 5)

pour 18 h (18 3 3600) soit, ramené en kW :

q2 5 21, 2 kW

3) Transfert de chaleur par les parois.

q3 5 Sh.A.Dq

Sol : 1/h 5 béton 1 mousse 1 air à 1 m/s

5 (0, 1/0, 9) 1 (0, 1/0, 03) 1 1/[7, 3(1)0,8]

hsol 5 0, 279 W/m2.◦CMurs + plafond : 1/hmp 5 mousse 1 air intérieur 1 air extérieur (pas de vent)

5 (0, 15/0, 03) 1 1/7, 3 1 1/6, 5

hmp 5 0, 189 W/m2.◦C

q3 5 transferts par murs 1 plafond 1 sol

5 0, 189[2(12 1 24)3, 6 1 12 3 24

]3[15 − (−24)

]1 0, 279 3 12 3 24

[16 − (−24)

]5 4676 Wc ©

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auquel on ajoute forfaitairement 30 %

q3 5 6, 08 kW

4) Apport de chaleur par la porte.Air qui s’échange = air extérieur à 15 ◦C qui entre (8 g eau/kg air sec) et air à −24 ◦Cqui sort ; et on considère la demi surface de la porte.q4 5 1/23A3vitesse3masse volumique(enthalpie air entrée - enthalpie air sortie)

q4 5 1/2 3 1, 2 3 2, 4 3 0, 4 3 1, 42(135 − 76, 5)

Cette quantité de chaleur échangée sur 2 h, soit 47 kW, est amortie sur tout le tempsde 18 h soit 2/18 → q4 5 5, 31 kW

5) Puissance du ventilateur.

P′ 5 perte de charge 3 débit volumique(446 Pa ⇒ 45 mm d’eau)

P′ 5 6 3 4, 6 3 2, 6 3 446

Et avec les rendements de 0,65 et 0 ,9

P 5 P′/(0, 65 3 0, 9)

Cette puissance se transforme intégralement en chaleur :

q5 5 P 5 54, 7 kW

6) Lumières pendant 2h.500 W 3 2/18 5 60 W, puissance qui elle aussi se transforme intégralement enchaleur, donc 5 q6

7) Personnesq7 5 450 W par personne soit 450 3 8 3 2/18 5 400 W

8) Convoyeur.

q8 5 1, 5 3 2/18 5 0, 14 kW.

Bilan

Produit 107,4 kW 55 %

Chambre 21,2 11 %

Pertes parois 6,08

Porte 5,31

Ventilateur 54,7 28 %

Lumières 0,06

Personnes 0,40

Convoyeur 0,14

Total 195 kW



S.9.1.6 Application numérique : bilans de matièreet d’énergie sur un séchoir

S.9.1.3 Diagramme enthalpique de l’air humide :pressions différentes de la pressionatmosphérique ordinaire

Si un air humide est détendu ou comprimé de façon isotherme, sa teneur en vapeurd’eau ne varie pas, pas plus que son enthalpie (hypothèse d’un gaz parfait). Le pointqui le représente est donc le même. Par contre, sa pression partielle, qui est directe-ment proportionnelle à la pression totale, est divisée ou multipliée d’autant et il enest donc de même pour w. Par contre, le rapport w/pr reste inchangé. Cette grandeurpermet donc de se repérer sur le diagramme quelle que soit la pression de travail.Il convient cependant d’insister sur le fait que la définition de w ne dépend pas dela pression totale. Ainsi w 5 1 correspond à la saturation quelle que soit la pressiontotale. On observe que la courbe de saturation correspond à :– w 5 1 pour pt 5 1 bar.– w/pr 5 2 pour pt 5 0, 5 bar.– w/pr 5 5 pour pt 5 0, 2 bar.

Ceci explique qu’un air saturé à pression ordinaire :– comprimé de façon isotherme, devient un brouillard, puisqu’il passe sous sa courbe

de saturation,– détendu de la même façon, se désature puisqu’il passe au-dessus de cette courbe.

C’est une technique possible pour produire de l’air à degré hygrométrique fixé.


1. Bilan matièreEn supposant le régime stationnaire et en négligeant les pertes de matière, on exprimela constance du débit de matière sèche :

mms 5 2500 3 0, 48 5 1200 kg.h−1 5 m2 3 0, 97.

D’où le débit de produit sortant :

m2 5 1240 kg.h−1(ou 0, 34 kg.s−1)

et le débit d’eau évaporée :

me 5 2 500 − 1 240 5 1 260 g.h−1(ou 0, 35 kg.s−1).

2. Bilan d’eau air-produitL’air froid entrant A0 est à Y0 5 0, 010 kg d’eau par kg AS (air sec), comme on lelit sur le diagramme ci-joint, et de même l’air chauffé A1 entrant dans la chambre deséchage :

Y1 5 Y0.

Selon l’équation (9.13), l’air gagne

DY 5 Y2 − Y1 5 me/ma 5 1 260/37 000 5 0, 034 kg d’eau par kg AS.c ©D

unod

–La

phot

ocop

ieno

nau

tori

sée

estu

ndé

lit




L’air sort donc à la teneur :

Y2 5 0, 010 1 0, 034 5 0, 044 kg d’eau par kg AS.

Ceci suppose qu’il n’y a ni entrée ni sortie d’air parasites.L’air sortant A2 est alors positionné sur le diagramme ci-joint par sa température etsa teneur en eau.

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13Y en kg d'eau/kg air sec

-100

2040

6080

100120

140160

180200

220240

260280

300

Enth

alpi

e en

kJ/

kg d

'air s

ec

0 °C

10 °C

20 °C

30 °C

40 °C

50 °C

100

150 °C

200

250 °C

ϕ/pr = 10

ϕ/pr = 4

ϕ/pr = 2

ϕ/pr = 1

ϕ/pr = 0,001 ϕ/pr = 0,002 ϕ/pr = 0,005

ϕ/p r = 0,01

ϕ/p r = 0,02

ϕ/p r = 0,05

ϕ/p r = 0,1

ϕ/p r = 0,2

ϕ/pr = 0,3

ϕ/p r = 0,4

ϕ/pr = 0,5ϕ/pr = 0,6

ϕ/pr = 0,8

400

500

600

A0

A/0

A1

A/1

A/2

A2

ΔΔ/ Δ//

1500 kJ/kg1000 kJ/kg

418 kJ/kg

2000 kJ/kg

2671 kJ/kg

3000 kJ/kg

4000

kJ/kg

- ∞

+ ∞

0 kJ/kg




3. Bilan thermique

Air chaud A1 entrant : H1 5 210 kJ par kg AS, lue sur le diagramme.Débit : 37000/3600 5 10, 3 kg.s−1.D’où un débit d’énergie de : 10, 3 3 210 5 2160 kW.Pour l’air sortant A2, on lit : H2 5 212 kJ par kg AS.L’hypothèse d’isenthalpie n’est donc pas exactement respectée ici.Débit d’énergie correspondant à l’air sortant : 10, 3 3 212 5 2 180 kW.Débit d’énergie du concentré entrant :

Qc 5 m.cp.u 5 (2 500/3 600) 3 3, 0 3 50 5 104 kW.

De la même façon le débit d’énergie correspondant à la poudre sortante est :

0, 34 3 1, 7 3 75 5 44 kW.

Bilan global :

Sentrées 5 2 160 1 104 5 2 264 kW Ssorties 5 2 180 1 44 5 2 224 kW.

On trouve donc un décalage de 40 kW (soit moins de 2 % du débit d’énergie) quipeut correspondre à des pertes de chaleur par les parois, mais s’explique sans doutedavantage par les erreurs de mesure, de lecture du diagramme, d’arrondis et d’écartsaux hypothèses.

4. Efficacité énergétique

Puissance de la batterie : 10, 3 3 (210 − 50) 5 1 650 kW.CEM (cf. § 9.1.6) = 1 650 / 0,35 = 4 700 kJ par kg d’eau évaporée.On peut aussi parvenir à ce résultat en raisonnant sur 1 kg d’air sec, qui coûte :210 − 50 5 160 kJ de chauffage et emporte : 0,034 kg d’eau :

160/0, 034 5 4700 kJ par kg d’eau évaporée.

On note que cette valeur correspond à la direction de mélange (notée D sur le dia-gramme) entre A0 et A2

Par rapport à la chaleur d’évaporation de l’eau à 60 ◦C (température vers laquellel’eau s’évapore dans ce séchoir), soit 2360 kJ par kg d’eau, on trouve :

RCE60 5 4 700/2 360 5 2, 0.

On dépense donc le double de l’énergie nécessaire ! D’où vient ce défaut d’efficacité ?Ni des pertes thermiques par les parois ou des erreurs (calculées très faibles), ni del’énergie de liaison de l’eau, négligeable à ces valeurs de teneurs en eau.Il vient pour l’essentiel des 37 000 / 1 260 = 29 kg AS par kg d’eau évaporée quientrent à 25 ◦C et sortent à 95 ◦C.Parmi les solutions possibles pour améliorer cette efficacité, on peut :– Remonter la température de l’air chaud de façon à réduire le nombre de kg AS

par kg d’eau évaporée. Si par exemple il est possible, sous l’angle de la qualité,d’admettre un air (A’1)à 220 ◦C au lieu de 180 ◦C et de faire sortir l’air à la mêmetempérature 95 ◦C, soit le point A’2, on constate visuellement que la direction dec ©

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S.9.1.7 Critères de choix des séchoirs

mélange D’ est plus basse que D, donc que la CEM est plus avantageuse. Avec lesvaleurs lues sur le diagramme, le calcul pour 1 kg AS donne :– 1 / (0,059 – 0,010) = 20,5 kg AS par kg d’eau évaporée.– CEM 5 (253 − 50)/(0, 059 − 0, 010) 5 4140 kJ par kg d’eau évaporée. Le

gain énergétique est de 12 %.– Récupérer par un échangeur de chaleur à contre-courant une partie de l’en-

thalpie de l’air sortant A2 (qui se refroidirait par exemple de 95 à 50 ◦C) enchauffant l’air entrant de 25 à 70 ◦C. Telles que choisies, ces températuresn’entraînent pas de condensation de l’air sortant (on lit sur le diagramme pourcet air A2 une température de rosée de 39 ◦C), ce qui évite des ruissellementsd’eau plus ou moins chargée en fines de lait sur les parois de l’échangeur, sourcesde contaminations. La CEM se calcule pour 1 kg AS entre les points A′

0 et A2.Il est clair sur le diagramme que la direction de mélange D" est moins pentueque D. Le calcul de la CEM devient :

– (212 − 95)/(0, 044 − 0, 010) 5 3 440 kJ par kg d’eau évaporée : l’investissementde l’échangeur permet de gagner 26 % d’énergie.

S.9.1.7 Critères de choix des séchoirsLe choix d’un type de séchoir est une affaire plus délicate qu’il n’y paraît. Les ha-bitudes consistant à associer automatiquement un type de séchoir déterminé à unproduit à sécher mériteraient parfois d’être remises en question. Mais la grande di-versité des situations ne nous permet pas de dépasser ici le niveau de considérationsgénérales. Nous ne traitons pas non plus des aspects économiques (à la notable excep-tion près des questions énergétiques, brièvement traitées en 9.1.6) ni des questionspratiques liées au fonctionnement des séchoirs.

Le comportement mécanique du produitCe comportement, aussi bien du produit initial, intermédiaire que final, est le prin-cipal critère de choix des séchoirs. Il détermine en effet le mode de manutention duproduit et la façon dont on va assurer son contact avec le milieu chauffant (air ouautre gaz, surface chauffante ou rayonnante), donc va fournir la première orientationvers des types de séchoirs.On distingue de ce point de vue :– les produits pompables (liquides, pâtes fluides) qui orientent vers les séchoirs par

pulvérisation, les cylindres chauffants,– les produits pâteux : cylindres chauffants, séchoirs sur bandes,– les produits pulvérulents ou émiettables (morceaux de légumes, céréales, pulpes,

luzerne, herbes aromatiques, sucre en cristaux, amidon, etc.) : séchoirs à tapis, entambours rotatifs, en silos, en lit fluidisé, pneumatiques, etc.

– les produits en morceaux ou objets de l’ordre du cm ou plus (pruneaux, saucis-sons, poissons, fromages, etc.) : séchoirs discontinus en étuves, armoires, à claies,à chariots, etc.

À noter que la lyophilisation peut traiter toutes les textures possibles.La fragilité mécanique du produit est à prendre impérativement en compte, les pro-duits fragiles ne devant pas être brassés.



S.9.1.7 Critères de choix des séchoirs

Il est aussi à remarquer que le même produit peut être justifiable de plusieurs typesde séchoir, par exemple sur bande, en étuve ou par lyophilisation. Le même produitpeut aussi être séché successivement dans plusieurs types de séchoirs, le cas le plusrépandu étant celui des liquides séchés par pulvérisation, les poudres obtenues étantensuite séchées par fluidisation.

Ébullition ou entraînement ?

Dans les IAA, on préfère souvent le séchage par entraînement, généralement par l’airchaud, car :– l’apport de chaleur par l’air chaud est plus facile à réaliser que par contact ou

rayonnement,– l’air sert aussi à emporter la vapeur d’eau et peut aussi servir de moyen de transport

du produit,– à pression ordinaire, les températures du produit peuvent rester modérées, ce qui

préserve la qualité du produit,– même en ménageant les qualités du produit, les vitesses de transfert, obtenues par

des valeurs élevées de u − us, peuvent être rapides, ce qui conduit à des tempsde séjour courts, donc des séchoirs compacts, tout en limitant la dégradation duproduit.

L’avènement de la lyophilisation dans les IAA à partir des années 1950 a pu fairepenser à un revirement de situation. Il n’en a rien été : ses applications sont restéeslimitées à quelques produits (extraits de café, légumes pour soupes séchées, plats pourrandonneurs...ou spationautes, etc.), il est vrai à haute valeur ajoutée.Toutefois, le séchage par ébullition garde des atouts :– sa consommation énergétique est moindre que celle du séchage à l’air chaud, cf.

tableau 9.4 du livre ;– il conduit à des produits poreux, tels que la purée de pommes de terre en paillettes ;– il s’effectue à l’abri de l’air, ce qui est intéressant pour des produits oxydables.

C’est ainsi que le séchage sur cylindre garde ses usages et que le séchage par vapeursurchauffée donne lieu à quelques applications (pulpes de sucrerie) et quelques re-cherches.

Circulation relative air/produit

Dans le cas important des séchoirs continus à air chaud, on doit choisir les modesrelatifs de déplacement de l’air et du produit (figure 1).– La circulation à contre-courant peut, à l’exemple des échangeurs de chaleur, sem-

bler la plus rationnelle, puisqu’elle permet de saturer au maximum l’air au contactdu produit humide entrant, ce qui donne une bonne efficacité énergétique. Ce-pendant, le produit séché sortant est alors en contact avec l’air le plus chaud, d’oùrésulte un fort risque de détérioration de sa qualité. La plupart des produits dans lesIAA étant thermosensibles, ce choix de circulation oblige à limiter la températurede l’air chaud, ce qui, sur le plan énergétique (cf. Bilans sur un séchoir, en ligne plushaut), amoindrit l’intérêt énergétique du contre-courant. En outre, pour recueillirle bénéfice énergétique de ce mode de séchage, les écarts de température air-produitc ©

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S.10.1.1 Caractérisation de la morphologie desparticules, agglomérats et poudres par...

produit

airair

produit

air

produit

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Figure 1 – Modes de circulation de l’air et du produit.

(cf. figure 1) doivent rester modérés, d’où des vitesses de séchage relativementfaibles, ce qui conduit à des séchoirs peu compacts. Pour la même raison, les tempsde séjour sont élevés, au détriment de la qualité.

– C’est pourquoi la circulation à co-courant est en pratique plus utilisée. Elle per-met, sans trop de risque pour la qualité du produit, de l’attaquer avec un air trèschaud : il est « protégé par son humidité », c’est à dire que l’évaporation de soneau l’empêche de s’échauffer trop rapidement (cf. figure 9.9 du livre). Le débutdu séchage est donc rapide. Mais si l’on vise une bonne utilisation énergétique del’air chaud, sa température de sortie ne doit pas être trop élevée, d’où une longuefin de séchage, pendant laquelle peut se produire un échauffement du produit, àlimiter pour ne pas nuire à la qualité. Mais au total, malgré la faible saturation del’air sortant en eau, la consommation énergétique, grâce à la température élevée del’air entrant est modérée. L’exemple traité ci-dessus dans ces suppléments (Bilanssur un séchoir) illustre bien ces raisonnements : l’air entre vers 220 ◦C dans leséchoir à lait ou lactosérum, globalement à co-courant. La qualité du produit estrespectée et, pour des séchoirs à air chaud, l’efficacité énergétique est acceptable.Cette logique poussée à bout a conduit aux séchoirs à pulpes de sucrerie et deluzerne dans lesquels le produit est mis en contact avec un air entrant à 700 ou800 ◦C.

– Le système à courants croisés le plus simple n’a aucun des avantages des précé-dents. Toutefois, il est simple et se prête bien au cas des séchoirs à tapis. Pour desraisons énergétiques et de qualité, on peut, dans ce cas, faire passer le produit dansplusieurs sections en série, dans lesquelles les caractéristiques de l’air sont choisiespour respecter la qualité. L’air, lui, est partiellement ou totalement recirculé d’unesection à l’autre pour le saturer autant que possible en eau. L’ensemble peut alorsglobalement s’apparenter à un co-courant.

– Il existe enfin des systèmes mixtes, comportant des sections à co-couran et dessections à contre-courant. C’est le cas de certains séchoirs à luzerne et à pulpes(figure 9.12 b du livre) ou, sur le même principe, à sucre cristallisé.

D’autres critères (temps de séjour, modes d’apport de la chaleur, etc.) sont pris encompte dans les tableaux 9.5 et 9.6 du livre.



S.10.1.1 Caractérisation de la morphologie desparticules, agglomérats et poudres par...

S.10.1.1 Caractérisation de la morphologiedes particules, agglomérats et poudrespar analyse d’image

Une caméra ou un photoscope numérique associé à un microscope optique (pourdes dimensions de 0.5 à 1000 mm) fournit une image numérique bi-dimensionnellede la particule. Les descripteurs sont calculés à partir de la silhouette de la particuleobtenue après seuillage et binarisation de l’image.Les plus simples sont les descripteurs de taille tels que la surface A et le périmètre P.Les diamètres de Féret (Dmax et Dmin) sont également souvent utilisés (cf. figure). Lediamètre équivalent est le diamètre du disque de même surface que la silhouette de laparticule :

Deq 5 2(A/p)1/2

Ils permettent le calcul de descripteurs géométriques bi-dimensionnels indépendantsde la taille de la particule. La circularité (ou sphéricité) C compare la surface A del’objet à celle du disque de même périmètre P :

C 5 P2/4pA

Le facteur d’allongement C caractérise l’allongement du polygone convexe entourantla particule :

C 5 Dmax/Dmin

R (rondeur) compare le périmètre P de l’objet à celui du disque de même Dmax :

R 5 Deq/Dmax

Ces descripteurs sont normalisés. Leur valeur est 1 si la silhouette est un disque,elle s’éloigne de 1 si l’allongement ou l’irrégularité augmente. Ils renseignent sur laforme générale de la particule (C < 1, 25 : sphéroïdale ; 1, 25 < C < 2 : angulaire ;C > 2 : allongée). Des descripteurs de contour peuvent également être calculés partransformée de Fourier ou analyse fractale (Pons et al., 1999).Aucun de ces descripteurs ne suffit à donner une description complète de la formedes particules : plusieurs sont nécessaires. D’autre part, pour une bonne représentati-vité, la caractérisation morphologique d’un échantillon de poudre nécessite l’analysed’un grand nombre de particules (>500 - AFNOR). Elle est de plus en plus souventautomatisée.

Traitement Image

(niveaux de gris)

Silhouette

(noir et blanc)

Analyse

Dmax

Dmin

Surface (A)

polygone convexe

Détermination des descripteurs de taille par analyse d’image (Turchiuli et al., 2005).

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S. Diagrammes

Référence bibliographiquePONS M.N., VIVIER H., BELAROUI K., BERNARD-MICHEL B., CORDIER F.,OULHANA D., DODDS J.A., Particle morphology : from visualisation to measure-ment. Powder Technology, 103, 44-57, 1999.

TURCHIULI C., ELOUALIA Z., EL MANSOURI N., DUMOULIN E., FLUIDISEDbed agglomeration : agglomerates shape and end-use properties. Powder Technology,157, 168-175, 2005.

S.10.1.2 Masses volumiques et coulabilitéEn fonction de leur forme, des particules de même nature peuvent présenter desmasses volumiques vrac (rvrac : rapport entre la masse de l’échantillon et son volumesans tassement) et tassée (rtassée : rapport entre la masse de l’échantillon et son volumeaprès tassement) différentes (cf. tableau). Le rapport de Haussner

HR 5 rtassée/rvrac

et l’indice de Carr :ICarr 5 (rtassée − rvrac)/rtassée

caractérisent respectivement les frottements entre particules et l’aptitude au tasse-ment de la poudre. Ils sont utilisés de manière usuelle pour prédire les propriétésd’écoulement des poudres notamment pour une quantité d’échantillon limitée oudes particules fragiles (agglomérats). Voir aussi 10.1.2 pour d’autres méthodes.

Tableau – Estimation de l’aptitude à l’écoulement des poudres à partir du rapport deHaussner (HR) et de l’indice de Carr (ICarr).

HR Écoulement

HR < 1.2 Libre

1.2 < HR < 1.4 Intermédiaire

HR > 1.4 Mauvais

ICarr (%) Écoulement

<15 Très bon

15-20 Bon

20-35 Moyen

35-45 Mauvais

> 45 Très mauvais

S. DiagrammesNote sur la réalisation des diagrammes de l’air humide C.6 et C.7. Cf. fichier « SDiagramme ».


GÉNIE DES PROCÉDÉS ALIMENTAIRESPROPRIÉTÉS PHYSIQUES DES PRODUITS

ALIMENTAIRES

P3A-0 Commentaire général sur les propriétésphysiques des produits alimentaires (P3A)

D’une manière générale, les propriétés physiques des produits alimentaires sont peuprévisibles, à la différence de celles des métaux et corps chimiques purs ou en mélangesbien définis.Nombreuses sont les raisons qui l’expliquent :– ces produits, le plus souvent d’origine végétale ou animale, portent à la sortie du

champ ou de la ferme toute la variabilité liée aux espèces, au climat, à la maturitéou l’âge à la date de récolte, de pêche ou d’abattage ;

– cette nature biologique les amène à évoluer lors des stockages préalables ou consé-cutifs aux traitements industriels, notamment dans la phase de distribution ;

– malgré tout cela, ces traitements leur font acquérir une certaine standardisation etaptitude à la conservation.

Il est donc difficile de définir exactement le produit dont on cherche la diffusivitéthermique par exemple.Quelques facteurs en particulier influent fortement sur les propriétés physiques.La porosité que possèdent certains produits (comme la pomme, certains produitsséchés, produits céréaliers cuits, etc.) a une forte influence sur les P3A, notamment lesconductivités et diffusivités thermiques et de matière. Or cette porosité n’est souventqu’imparfaitement connue, peut varier d’un point à un autre, dépendre de l’espèce,de la maturité de produits naturels, des traitements subis, etc., ce qui introduit alorsdes incertitudes sur les propriétés.L’humidité que possèdent la plupart des produits alimentaires pose des problèmescomparables, en ce qu’elle influe fortement sur ces grandeurs, qu’elle varie dans letemps et d’un point à l’autre. La plupart des corrélations citées dans les points quisuivent utilisent la teneur en eau comme paramètre.La température, mais surtout le fait que l’eau soit congelée ou non modifie pro-fondément les mécanismes de transferts de chaleur, donc les valeurs de conductivitéet de diffusivité thermiques. On verra donc que les valeurs et les corrélations sontdifférentes dans les deux cas.En résumé, même lorsque les mesures sont raisonnablement précises (par exemple à2% près), les facteurs ci-dessus font qu’il ne faut pas attendre une grande qualitéc ©

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P3A • Génie des procédésalimentaires

P3A-1 Conductivité et diffusivité thermiques

prédictive à des données recueillies dans la littérature. Il suffit de comparer les chiffresque donnent différents auteurs pour la même propriété du « même produit » pour lecomprendre.Nous nous gardons donc de parler de « constantes » physiques.Cela n’empêche pas que lorsque des calculs doivent être faits, des ordres de grandeurde ces propriétés sont nécessaires. Voir dans Meffert (1983) une discussion sur lasensibilité des calculs de procédés aux incertitudes sur les données physiques.On ne donnera pas ici de valeurs de propriétés pour des produits non alimentaires,bien que l’on en utilise couramment dans les calculs : métaux servant de surfacesd’échangeurs ou de récipients, matériaux de construction utilisés dans des chambresfroides, etc. De telles valeurs peuvent en effet être trouvées dans des recueils dedonnées classiques comme les Techniques de l’ingénieur, le Perry’s et al. Chemicalengineers’ handbook, le Weast et Astle Handbook of chemistry and physics.

Référence bibliographique

MEFFERT H.F.T., History, aims, results and future of thermophysical properties workwithin COST 90. In : Jowitt R., Escher F., Hallström B., Meffert H.F. Th., Spiess W.E. L., Vos G. (coord.). Physical properties of foods, Applied Science Publ., Londres,1983.


Définitions

Ces grandeurs sont définies par leur emploi :– la conductivité thermique l pour les transferts à travers des parois (livre en 3.2.1)

et plus généralement dans la 1ère loi de Fourier (en 7.1.2)– la diffusivité thermique Dt dans la 2nde loi de Fourier (livre en 7.1.3).

Ces deux grandeurs sont en relation l’une avec l’autre par le fait que :

Dt 5 l/r.cp

Utilisations

En principe, les lois de transferts ne sont valables que pour des situations de conduc-tion moléculaire pure, c’est-à-dire dans des milieux sans mouvement interne ni défor-mation. Les métaux ou les matériaux de construction par exemple remplissent biences conditions, mais dans le cas des produits alimentaires, elles ne sont qu’imparfai-tement respectées car, par exemple, l’eau qu’elles contiennent peut migrer sous l’effetdu gradient de température, car des déformations peuvent en découler, etc.Dans ces lois, l et Dt servent de « constantes » de proportionnalité. En réalité, on faitvarier ces grandeurs pour rendre compte des écarts à ces lois. Des phénomènes com-plexes et multiples sont ainsi artificiellement, mais très imparfaitement, représentéspar des lois simples. On parle ainsi de l ou de Dt « équivalents » ou « efficaces ». Il enrésulte que des propriétés mesurées dans une situation ne s’extrapolent pas forcémentbien à d’autres situations.




La conductivité est surtout utilisée en situation stationnaire, notamment pour laconduction à travers des parois (par exemple : récipients, murs de chambre froide),constituant un cas particulier d’application de la 1ère loi de Fourier (livre en 3.2.1 et7.1.2).La diffusivité est en pratique surtout employée en régime non stationnaire pourévaluer la pénétration ou l’évacuation de la chaleur dans des objets de formes diversesau moyen de la 2nde loi de Fourier (livre en 7.1.3). Mais la 1ère loi est sous-jacente àces situations puisqu’elle sert à démontrer la 2ndeloi.Lorsque les géométries et les conditions peuvent être assimilés à des cas simples, lescalculs peuvent se faire à la main en utilisant les formules ou les abaques donnés dansl’ouvrage papier. Sinon, on fait appel à des méthodes de modélisation (cf. complé-ments en ligne en C 7.1.4). Mais dans tous les cas, la connaissance des conductivitésou des diffusivités est nécessaire.

Principes des mesuresLes mesures l et Dt sont plus faciles à mener pour des produits solides. Certainesd’entre elles peuvent toutefois être mises en œuvre pour des liquides, moyennant lesprécautions pour les immobiliser, donc éviter tout courant de convection naturelle.Le cas des gaz concerne peu les produits alimentaires.La conductivité est mesurée (Degiovanni, 1994, Saravacos et Maroulis, 2001) :– en régime quasi-stationnaire, par la méthode de la plaque traversée par de la cha-

leur passant d’une source chaude à une source froide (« guarded hot plate ») ;– ou plus commodément par une sonde cylindrique chauffée placée dans le produit,

la mesure de la température étant effectuée en début de cette opération en régimetransitoire ;

– il existe d’autres méthodes, dites quasi stationnaires : de Fitch modifiées par plu-sieurs chercheurs (Rahman, 1995) ;

– enfin, on peut calculer l à partir de Dt , de r et de cp.

La diffusivité thermique se mesure évidemment en régime transitoire. La méthodela plus classique et la plus utilisée est celle de Dickerson, modifiée ensuite (Rahman,1995, Saravacos et Maroulis, 2001, etc.), consistant à plonger dans de l’eau chaudeun cylindre du produit initialement froid, équipé d’un thermocouple en son axe. Onutilise la corrélation du cylindre infini (cf. livre en 7.1.4), la mesure s’effectuant dansla phase exponentielle, celle où seul compte le premier terme de la série. D’autresméthodes sont décrites dans Rahman (1995).

Conductivité l

On trouve quelques valeurs de l pour des solides, des liquides et des gaz dans le livre,en tables III-IV-V. Noter en particulier l’eau vers 20 ◦C : l ≈ 0,6 W. m–1.K–1.Krokida et al. (2001), repris par Saravacos & Maroulis (2001), ont effectué uneremarquable recherche bibliographique, sur 146 articles récents fournissant 1200données. Ils en ont tiré 24 pages de tableaux de valeurs (moyennes, maximales,minimales) de l, avec des teneurs en eau et des températures, pour des produitsalimentaires majoritairement solides.La base de données « Food Properties Data base 2.0 » de R.P. Singh (1995) donnedes valeurs de l pour environ 200 produits.c ©

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Rahman (1995) a compilé un grand nombre de tables de valeurs de l, souventaccompagnées de teneurs en eau, de températures et de masses volumiques, pourdes fruits et légumes, des produits carnés et laitiers, des solutions de saccharose, desgels d’amidon, quelques produits lyophilisés.Quelques valeurs et fourchettes de valeurs représentatives de produits alimentairessont données dans les tableaux 1 et 2.

Tableau 1 – Conductivités thermiques de produits alimentaires (repris de Nesvabda, citépar Rao et al., 2005).

Aliment Teneur en eau xw(% sur mat. humide)

Température u◦C

Valeur de lW. m–1.K–1

Viandes (en général) 74-84 10 0, 40 ± 0, 15

Boeuf (4-9 % mat. grasse) 75-79 0 0,47

Fruits & légumes (en général) 80 20 0, 40 ± 0, 20

Produits laitiers (en général) 80 20 0, 5 ± 0, 1

Matières grasses (en général) 0 20 0, 2 ± 0, 05

Émulsions eau- matières grasses(en général) 75 20 0, 45 ± 0, 15

Mélanges eau-éthanol 80 20 0, 55 ± 0, 05

Produits poreux (grains, farines) 5 20 0, 10 ± 0, 01

Tableau 2 – Conductivités thermiques de produits alimentaires à 25 ◦C (reprises, avecl’aimable autorisation des auteurs, de Saravacos & Maroulis, 2001, arrondies).


Valeur de lW. m–1.K–1

Amidon granulaire 15 0,11

Amidon gélatinisé 85 0,55

Pomme de terre 82 0,53

Pomme 85 0,51

Concentré de tomate 65 0,55

Viande de bœuf 74 0,45

Poisson 80 0,46

Lait 85 0,53

Huile végétale 0 0,18

Fruit sec 18 0,24

Gel lyophilisé 4 0,04

On trouvera des analyses bibliographiques critiques de valeurs de l, mais aussi de Dt ,de masses volumiques, de capacités thermiques massiques et d’enthalpies massiques,de points de congélation, pour de nombreux fruits et légumes, dans Mayer et al.(2004).Saravacos & Maroulis (2001) citent des ordres de grandeur approximatifs de l esti-més par Kostaropoulos en 1981 :




Aliments à plus de 30-40% de teneur en eau : li ≈ 0, 40 − 0, 58W .m−1.K −1

Aliments secs : lii ≈ 0, 1liMatières grasses : liii ≈ 0, 25 − 0, 50li

Les valeurs de l dépendent de la température (ce qui oblige, pour utiliser les lois, ànégliger ces variations et à prendre des valeurs moyennes). Les mêmes Saravacos &Maroulis (2001) fournissent un graphe montrant que les conductivités de la dizainede produits étudiés varient avec u à peu près parallèlement à la variation de l’eauConcernant les produits congelés, la glace ayant une conductivité environ 4 foissupérieure à celle de l’eau liquide (Rao, 2005, donne l 5 2, 24 W.m−1.K−1 à0 ◦C, contre 0,554 pour l’eau à cette température), on peut s’attendre à avoir des lbien plus élevés que pour les produits non congelés. Saravacos & Maroulis (2001)indiquent en effet :Produits congelés à plus de 30-40% de teneur en eau : liiii ≈ 2, 5li Saravacos &Maroulis (2001) fournissent une courbe moyenne pour des produits à 85% d’eauentre + 30 et – 40 ◦C.

Corrélations et modèlesMiles et al. (1983) ont recensé dans la littérature à cette date une trentaine de corréla-tions pour l à températures positives et négatives et effectué quelques comparaisonssur ces corrélations. Dans le même ouvrage, Mellor (1983) évalue les erreurs de l’unede ces corrélations (trouvées de 1 à 10%) par rapport à des mesures, concernant desproduits à températures négatives.Saravacos & Maroulis (2001) ont testé sur 430 produits le résultat de Sweat en 1995et l’ont trouvé valable, sauf pour les milieux poreux (voir plus loin) :

l 5 0, 58xw 1 0, 155xp 1 0, 25xg 1 0, 16xmg 1 0, 135xc

les x correspondant respectivement aux fractions massiques en eau, en protéines, englucides, en matières grasses et en cendres.Les mêmes auteurs donnent une corrélation à 4 paramètres qu’ils ont mise au point,donnant l en fonction de la teneur en eau (par une loi de mélange matériau sec-matériau très humide) et de la température (par une loi d’Arrhénius). Ils donnentdes tables de ces paramètres pour une vingtaine de produits et comparent certains deces résultats avec des valeurs mesurées, avec des résultats assez divers.Des « modèles structuraux » ont été proposés pour le cas des produits composites,notamment, dans notre cas, des produits poreux (mélanges produit + air). On partde modèles théoriques où les deux composants sont disposés en strares parallèles autransfert de chaleur (modèle parallèle) ou perpendiculairement à ce transfert (modèlesérie). Mais la réalité correspond plutôt à des modèles mixtes série-parallèles ou à desmodèles aléatoires. S’ils peuvent donc aider à interpréter des mesures, ils sont peuapplicables en prédiction de l.

Diffusivité thermique Dt = l/r.cp

Les tables III à V du livre citées plus haut pour l donnent aussi Dt .Mais curieusement, les ouvrages de référence cités à propos de l fournissent beau-coup moins de résultats pour Dt . La raison en est peut-être que l’on peut facilementcalculer Dt à partir de l si l’on connaît r et cp, valeurs relativement faciles à estimer.c ©

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La base de données « Food Properties Data base 2.0 » de R.P. Singh (1995) ne donnedes valeurs de Dt que pour une vingtaine de produits.Rahman (1995) fournit une vingtaine de tables donnant Dt (appelée a dans certainsouvrages en anglais) accompagnée de valeurs de xw et de u, d’où nous avons extraitles ordres de grandeur donnés en tableau 4.

Tableau 4 – Fourchettes de valeurs pour Dt(d’après Rahman, 1995).


Température u◦C

Diffusivité thermique Dtm2.s–1

Morue 81 5 − 65 0, 12 − 0, 1510−6

Corned beef 65 65 0, 1210−6

Pomme - 0 − 32 0, 11 − 0, 1510−6

Pomme de terre – 20 − 91 0, 12 − 0, 1810−6

Pâte à pain 43 − 46 diverses 0, 15 − 0, 1910−6

Glace 100 −40 − 7 0, 16 − 0, 1210−6

Saravacos & Maroulis (2001) donnent, comme pour l, des ordres de grandeurpour Dt :Aliments à plus de 30-40 % de teneur en eau : Dt i ≈ 0, 14.10−6 m2.s−1

Aliments secs : Dt ii ≈ 0, 8Dt iMatières grasses : Dt iii ≈ 0, 6Dt iProduits congelés : Dt iv ≈ 3Dt i

Ces auteurs fournissent aussi une courbe moyenne de Dt pour des aliments de + 30à−40 ◦C. On y observe un creux très marqué autour de 0 ◦C, correspondant à lavariation de cp lors de la congélation-fusion de la glace.Rahman (1995) donne quelques corrélations, notamment :– celle de Riedel (de 1969), valable pour des aliments à plus de 40 % de teneur en

eau (xw > 0,40) et de 0 à 80 ◦C, basée sur une loi de mélange matière sèche-eau àla même température :

Dt 5 0, 088.10−6 1 (Dtw − 0, 088.10−6).xw

dans laquelle Dtw est la diffusivité thermique de l’eau à la même température. Ellea été vérifiée par plusieurs chercheurs.

– la corrélation de Martens (de 1980) :

Dt 5 (57xw 1 0, 29T ).10−9

T étant la température absolue.

Références non données dans le livreDEGIOVANNI A., Conductivité et diffusivité thermique des solides. In Techniques del’ingénieur, R 2850, Paris, 1994.MAYER Z., HOUSKA M., CIGANIK M., THI CAM TU L., SESTAK J., NESVADBAP., Thermophysical properties of foods – Selected fruits and vegetables. Food Re-search Institute, Prague et Institut International du Froid, Paris, 2004.



P3A-2 Conductivités et diffusivités de matière

MELLOR J.D., Critical evaluation of thermophysical properties of foodstuffs andoutline of future developments. In : Jowitt R., Escher F., Hallström B., Meffert H.F.Th., Spiess W. E. L., Vos G. (coord.). Physical properties of foods, Applied SciencePubl., Londres, 1983.

MILES C.A.,VAN BEEK G., VEERKAMP C.H., Calculation of thermophysical pro-perties of foods. In : Jowitt R., Escher F., Hallström B., Meffert H.F. Th., Spiess W.E. L., Vos G. (coord.). Physical properties of foods, Applied Science Publ., Londres,1983.

SINGH R.P., Food properties data base. Version 2.0 for Windows. CRC Press, BocaRaton, 1995Voir aussi le livre et sa bibliographie.

P3A-2 Conductivités et diffusivités de matière0

Le livre, en 7.1, traite des transferts par diffusion moléculaire d’une espèce dans uneautre. Par diffusion moléculaire, on entend le déplacement des molécules dans unmilieu par mouvement brownien.La conductivité de matière DC est définie au § 4.2.1 pour les transferts à travers desparois et en § 7.1.2 pour toutes les géométries, avec la loi de Fick qui constitue unegénéralisation du cas des parois. On rappelle que les valeurs et les dimensions de DCdépendent des unités de concentration C employées pour les gradients. La diffusivitéDm (m2.s–1) est définie par la seconde loi de Fick au § 7.1.3. Mais si le C est enm3.s–1, on retrouve Dm, ce qui permet de ne parler ici que de cette grandeur.Dans ces lois, Dm sert de « constante » de proportionnalité. En réalité, on fait varierDm pour rendre compte des écarts à ces lois. Des phénomènes complexes et multiplessont ainsi artificiellement, mais très imparfaitement, représentés par les lois de ladiffusion. On parle ainsi de Dm « équivalents » ou « efficaces », qui rendent comptede la diffusion moléculaire, mais aussi tous les phénomènes « non fickiens » commele mouvement capillaire, le déplacement de molécules sous l’effet d’un champ depression ou de température, etc. Il en résulte que des Dm mesurées dans une situationne s’extrapolent pas forcément bien à d’autres situations.

1. Diffusion de matière dans un milieu homogèneCe point concerne le cas de petites molécules simples se déplaçant dans une phasehomogène telle que l’air ou l’eau. Il s’agit du cas le plus simple, le seul pour lequel lesdiffusivités peuvent être estimées a priori à partir des équations de la dynamique desparticules (Saravacos et Maroulis 2001).Aux équations données dans le livre, il faut ajouter que dans le cas d’un mélange deplusieurs constituants, la somme des flux de matière est nulle. En effet, le déplace-ment d’une espèce par diffusion entraîne un mouvement inverse des autres espèces.De toute façon, le milieu a tendance à aller vers une homogénéité de concentrationmolaire de chaque constituant.

0. Note rédigée avec la contribution d’E. Chantoiseau, ingénieur Ensiac ©D

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Pour les grandes dilutions dans un composé majoritaire (cas de l’eau contenant unefaible concentration de solutés), on peut employer ces équations avec une diffusi-vité constante. Pour des solutions très concentrées, les diffusivités doivent être desfonctions des gradients de fractions molaires de toutes les espèces présentes.

Dans les gaz

La diffusion d’un gaz A dans un gaz B immobile est décrite, en densité de flux dematière, par l’écriture (1) de la 1ère loi de Fick. Celle-ci est écrite pour la situationd’un film de gaz, par exemple immobilisé dans un milieu poreux ou considéré commeimmobile dans une couche limite équivalente (cf.§ 3.2.2), ce qui représente les casd’utilisation les plus fréquents. Il s’agit donc de situations de transferts unidirection-nels : −→

FA 5DAB pRTpBM

DpA

Dz(1)

Avec :−→FA : densité de flux de matière (mol.m–2.s–1)

DAB : diffusivité Dm de A dans B (m2.s–1)

DpA : différence de pression partielle de A de part et d’autre du film

pBM : moyenne logarithmique de pression partielle de B dans le film.

R : Constante des gaz parfaits

Dz : Epaisseur du film (m).

Dans le cas d’un composé B largement majoritaire (diffusion d’un gaz A dans l’air Bpar exemple), pBM est prise comme égale à p et on peut poser, toujours en densité deflux molaire : −→

FA 5 −−→FB 5

DAB

RTDpA

Dz(2)

La valeur de DAB est calculable en s’appuyant sur les propriétés physiques et ther-modynamiques des gaz par les équations de Chapman-Enskog ou de Fuller (Cussler1984). Les diffusivités dans les gaz courants, sont ainsi relativement connues (cf. tableI du livre pour quelques valeurs de diffusivités dans l’air).

Dans les liquides

De manière analogue à ce que l’on a donné pour les gaz, on pose, en situation detransferts unidirectionnels (couche limite équivalente ou milieu poreux), la densitéde flux du composé A dans un film immobile du liquide B comme :

−→FA 5

DAB CA

xBM

DxA

Dz(3)

Avec :

DxA : Différence de concentration molaire en A (mol.m–3)

xBM : Concentration molaire de B (mol.m–3)

CA : Concentration molaire globale de la solution (mol.m–3)




que l’on peut simplifier si l’espèce statique (ici B) est largement majoritaire (cas del’eau B dans une solution aqueuse) par :

−→FA 5 −−→

FB 5 DAB CAVDxA

Dz(4)

Des formules semi-empiriques (en particulier l’équation de Wilke-Chang) existentpour calculer DAB. Elles sont basées sur des relations issues des propriétés physiqueset chimiques des espèces en présence (Cussler, 1984). Cela n’est valable que pour lecas des éléments simples (cf. table II dans le livre).La diffusion dans les gaz et les liquides simples telle qu’évoqué ici est en réalitérarement le principal facteur explicatif du déplacement de la matière, car, mises àpart les situations très particulières (films de fluide immobile), la convection en est,en général, le moteur prédominant des transferts.

2. Diffusion des solutés dans les alimentsEn IAA, la diffusivité des solutés dans les produits alimentaires s’effectue presquetoujours dans l’eau qui est, en général, le solvant. Cette eau est souvent à peu prèsimmobilisée par la structure de l’aliment (parois cellulaires, matrice de gels, etc.).Mais la complexité de structure des aliments rend difficile les modélisations, et ladiversité des produits rend les extrapolations ardues.L’expérimentation se fait principalement par la mesure du gradient de concentrationdans des cylindres accolés (figure 1). Les concentrations en solutés doivent être assezfaibles pour ne pas provoquer de mouvements de l’eau du fait des pressions osmo-tiques (c’est-à-dire sous l’action de gradients d’activités de l’eau).

Ct=0 = C0 Ct=0 = 0

x

C0

Figure 1 – Principe de la mesure des gradients de concentration.

Les deux cylindres à concentrations différentes en soluté sont accolés à t = 0. Aubout d’un temps fixé de diffusion du soluté, on découpe l’ensemble en tranches. Laconcentration en composant est mesurée dans chaque tranche de manière à bâtir unprofil. On répète l’opération en modifiant les temps de manière à avoir une évolutiondes profils avec le temps.Du fait de leur intérêt pratique, les valeurs concernant le sel et certains composésorganiques (tels que les arômes) sont relativement présentes dans la bibliographie.c ©

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Dans le cas du sel diffusant dans un gel, que l’on peut considérer comme de l’eauimmobilisée à concentration élevée, la diffusivité est relativement proche de celledans l’eau : par exemple 1,2.10–9 m2s–1 dans un gel d’agar, pour 1,6.10–9 m2.s–1

dans l’eau. Au fur et à mesure que la structure du solide se complexifie et s’éloigne decelle d’un gel, la diffusivité diminue ; la présence de matières grasses abaisse encore lediffusivité (tableau 1). Ainsi, dans les olives fraîches, riches en huile, la diffusivité dusel est faible, alors que le traitement à la soude caustique détruit la matière grasse, cequi fait augmenter la diffusivité.

Tableau 1 – Diffusivité du sel dans différents aliments à 20 ◦C (d’après Saravacos etMaroulis 2001).

Aliments Dm en 10–9

m2.s–1

Gel d’agar 3 % de MS 1,2

Conserve au vinaigre 1,1

Fromage (pâte cuite) 0,19

Viande (muscle) fraîche 0,22

Viande (muscle) décongelée 0,4

Harengs 0,23

Olives vertes fraîches 0,04

Olives vertes traitées 0,20

Pour la diffusion des composés organiques plus complexes dans un solide comportantune phase liquide, d’autres paramètres sont en jeu. Ainsi, la diffusivité est influencéepar la taille de la molécule de soluté : le rapport de taille entre les molécules desolvant ou l’espace libre du solide jouent un rôle dans le déplacement des molécules.La diffusion fickienne de grosses molécules devient négligeable. L’affinité chimique,le gradient électrique influent aussi sur le déplacement.

Tableau 2 – Diffusivité de certains composés organiques en extraction solide-liquide(d’après Saravacos et Maroulis 2001).

Solide Soluté Solvant Températureen ◦C

Dm en 10–9

m2.s–1

Betterave à sucre Saccharose Eau 65 0,68

Canne à sucre Saccharose Eau 75 0,2

Tranche de pomme Sucres Eau 75 1,15

Grain de café Soluté Eau 98 0,1

Grain de soja Huile de soja Hexane 69 0,1

Grain de coton Huile de coton Hexane 69 0,027

Cacahouète Huile de Cacahouète Hexane 25 0,0006




3. Cas des polymèresLes emballages alimentaires actuels sont souvent composés de polymères, en parti-culier en matière plastique. Mais l’utilisation de ces matériaux en contact avec lesaliments pose un certain nombre de problèmes d’interactions avec le produit et deperméabilité.Contrairement au verre et au métal, les polymères montrent une perméabilité aux gaznon négligeable, ce qui peut poser des problèmes, particulièrement dans le cas de pro-duits conservés sous atmosphère modifiée. D’autre part, certains de leurs constituantspeuvent migrer dans l’aliment, ce qui peut soulever des problèmes toxicologiques.Les polymères sont présents sous deux formes en fonction de la température. Entrela température de transition vitreuse et la température de fusion, le polymère estsous forme « caoutchoutique ». Le solide est alors déformable, et le passage desgaz dans la matrice polymérique se fait principalement par diffusion. À plus bassetempérature, les chaînes polymériques sont mieux organisées : le polymère est sousforme vitreuse. La diffusion est ralentie et se fait par des phénomènes complexes, telsque la perméation des solutés entre les irrégularités des chaînes de polymère.En outre, la présence d’eau gazeuse ou liquide modifie beaucoup la diffusion, commeon va le voir.Dans ce contexte, donner des valeurs précises de diffusivité est problématique. Leslois de transport sont elles aussi trop complexes pour être détaillées ici. On se re-portera à l’ouvrage de Piringer (2001) qui fait un état complet des connaissancesconcernant les transferts (méthodes de mesure, modes de transport, compilation dedonnées expérimentales,...). En français mais plus ancien, on citera Multon et Bureau(1989), qui rassemblent un grand nombre d’informations.

Migration des gaz à travers un film de polymèreDans le cas du passage d’un gaz A à travers un film polymérique B, on pose le transfertclassique selon l’équation 5. Des détails sont disponibles au § 4.2.1 du livre.

−→FA 5 PAB

DpA

Dz5 DAB SAB

DpA

Dzavec SAB 5

1HAB

5CA

pA(5)

Avec (les unités employées dans ce domaine diffèrent de celles utilisées dans le restede cet ouvrage) :−→FA : densité de flux de A (cm3

gaz.cm–2film.s–1 )

PAB : perméabilité du milieu pour le gaz considéré

Les unités de mesure sont en général des déclinaisons de :

P encm 3

gaz.cm film

cm 2film .s.Pa

, D encm 2

film

Paet C en

cm 3gaz

cm 3film

Volumes aux conditions standard (0 ◦C à une atmosphère)Mais toutes les perméabilités données dans le texte et les tableaux sont en

cm3gaz.cmfilm.cm−2

film.s−1.Pa−1.

DpA : Différence de pression partielle de part et d’autre du film (Pa)c ©D

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DAB : Diffusivité du pénétrant

SAB : Solubilité du pénétrant dans le polymère

HAB : Constante de Henry en Pa. m3film.m–3

gaz

CAB : Concentration du pénétrant dans le polymère

pA : pression partielle en pénétrant en Pa.

La valeur de la perméabilité du polymère varie énormément au passage de l’étatvitreux à l’état caoutchoutique. Celui-ci entraîne une augmentation de la diffusionde deux à trois ordres de grandeur (de 10–18 à 10–12 pour les polymères vitreux à10–14 à 10–10 pour les polymères à l’état caoutchoutique).En outre, les polymères utilisés sont divers et leurs propriétés en matière de perméabi-lité sont très différentes. Ainsi un même polymère montrera des perméabilités enversles différents gaz de l’air s’étalant sur une plage de 5 ordres de grandeur. Pour unmême gaz, les perméabilités peuvent être très variables selon le polymère en jeu.

4. Facteurs de variationComme dit précédemment, la température est le principal facteur de variation dela perméabilité d’un film polymérique. Cependant on peut aussi noter l’influencede l’eau qui dans certains cas va s’associer avec les polymères et en faire varier laperméabilité aux autres gaz.

Tableau 3 – Perméabilité de EVOH (copolymère de vinyle-alcool-ethylène) vis-à-vis del’oxygène à 30 ◦C (D’après Piringer, 2000).

Humiditérelative de l’air

Perméabilité3 10−18

0 2,48

20 3,35

40 7,43

60 29,8

80 187

100 1810

De plus, pour améliorer les produits utilisés, un certain nombre d’additifs sont ajou-tés aux polymères (plastifiant, colorant). Ces ajouts modifient les propriétés des po-lymères vis-à-vis de la perméabilité au gaz.

Tableau 4 – Perméabilité de PVC vis-à-vis de l’eau à 30 ˚C en fonction de la concentrationde plastifiant ajoutée (D’après Piringer, 2000).

% de plastifiant Perméabilité à l’eau3 10−12

0,5 0,241

2,7 0,2

4,9 0,17

7,2 0,124




Parmi les autres facteurs de variation de la perméabilité des polymères, on peut citerle taux de cristallisation du polymère qui joue un rôle important (cf. l’exemple duPET1 dans le tableau 5). Ce phénomène s’explique par une meilleure association deschaines de polymère qui laissent moins de place au soluté que sous forme amorphe,ce qui limite les passages à travers la structure.

5. Exemple de valeurs de perméabilitéLe tableau 2 donne la perméabilité des principaux types de films pour les principauxgaz.

Tableau 5 – Perméabilité et diffusivité des principaux films polymérique à 25 ◦C (D’aprèsBrandsch et Piringer, 2000).

Constituant du film ÉtatPerméabilité3 10−12 vis-à-vis de

O2 CO2 N2 H2O

Polyéthylène basse densité Caoutchoutique 0,518 2,1 0,158 9,3

Polyéthylène haute densité Caoutchoutique 0,0825 0,3225 0,0248 1,35

Polystyrène croisé Vitreux 0,2 0,79 0,059 84

Chlorite de Polyvinyle Vitreux 0,0034 0,012 0,00089 20,6

PET amorphe Vitreux 0,00444 0,0227 0,00108 -

PET cristallisé à 40 % Vitreux 0,00257 0,0118 0,000513 -

Cellulose Nitrate 0,146 0,159 0,0087 472

En plus des propriétés barrières décrites ici, les différents types de film se distinguentpar des propriétés différentes tout aussi importante d’un point de vue mises enœuvre et mise en vente (résistance mécanique, film transparent/opaque, rigidité, filmthermo-soudable ou non,...).Au final c’est l’association de différents types de film dans des films complexes quiva permettre le contrôle du passage de l’ensemble des gaz et la réalisation des autresfonctions de l’emballage.

6. Migration des composés des films de polymère dans les alimentsLes plastifiants présents dans le film polymérique, ainsi que les constituants de po-lymère, peuvent passer dans le produit. Ces transferts, qui peuvent être importants,entraînent des problèmes de qualité du produit (odeurs, « goût de plastique ») etsurtout de toxicité. L’ampleur des transferts de matière entre l’emballage et le produitdépend fortement de la température.Les conditions de test de migration sont fixées par la réglementation afin de collerau mieux à l’utilisation qui sera faite industriellement :ainsi, la durée, la températured’exposition et le composé simulant le produit seront différents selon :– le produit utilisé.– le temps de contact.– la température de contact.

1. Poly-Ethylène Téréphtalatec ©D

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Ainsi, dans le cas où l’utilisation de l’emballage peut se faire à n’importe quelle tem-pérature, et pendant une durée non limitée, la migration est testée à 40 ◦C pendant10 jours et à 70 ◦C pendant 2 heures (condition sensément les plus sévères). Lamigration relevée en fin de test peut être exprimée en mg de composé par kg deproduit ou en mg de composé par dm2 d’emballage en contact avec le produit.

Tableau 6 – Évolution de la migration d’antioxydant en fonction de la température.Passage de l’Irganox 1076 présent dans un film de polypropylène. D’après Begley, 2000.

Température Migration en mg/dm2 vers :

Bouillon de poulet Lait écrémé Sauce Newburg Huile de mais

77 385 8,9 87 443

100 907 36 452 1096

121 1583 112 553 2091

135 2680 – – –

Les plastifiants sont en général de grosses molécules organiques. Leur diffusion dansle polymère pose les mêmes problèmes que les solutés, avec en plus des effets d’affi-nités chimiques entre les différentes molécules organiques en jeu.

Tableau 7 – Migration d’antioxydant d’un film de polyéthylène haute densité versdifférents produits. Migration d’Irganox 1076 lors d’un traitement de deux heures à

121 ◦C. D’après Saravacos et Maroulis, 2001.

Solutionsaqueuses

Migrationen

mg.dm–2

% decomposé

ayant migré

Matièregrasse

Migrationen

mg.dm–2

% decomposé

ayant migré

Eau 14 0,4 Beurre liquide 2219 69

Eau salée (0,75 %de sel) 13 0,35 Huile de foie

de morue 1996 56

Eau sucrée (40 %sucre) 12 0,34 Huile de maïs 3090 88

Eau acide 0,75 %d’acide citrique 17 0,48 Huile d’olive 2407 68

Eau avec O,O35 % de

d-limonène012 0,33 Huile

d’arachide 2298 65

Ethanol/eau à8 % et O, O35 %de d-limonène

22 0,61 Soja 2002 58

Eau avec 0,15 %de polysorbate 60 44 1,2 HB 307 2377 68

Eau avec 0,3 %de polysorbate 60 123 3,4

Le passage des molécules dans le produit dépend d’une différence d’affinité chimiquedes molécules avec le film et avec le produit et du contact entre film et produit. Onvoit donc que le triplet molécule-film-produit détermine le taux de transfert.




Des données complètes sont disponibles dans le livre de Piringer qui fait d’autrepart un point sur la législation américaine et européenne dans ce domaine. On s’yreportera pour des informations plus complètes.

7. Diffusion de l’eau dans les solidesComme dans le cas des polymères, il s’agit de mesurer la diffusion de l’eau dans desmilieux complexes. En revanche, il faut noter que les aliments étudiés sont beaucoupplus variables tant en composition qu’en structure. Ainsi les phénomènes en jeu sontnombreux ; on peut sans être exhaustif citer :– la diffusion suite à un gradient de température ;– la diffusion de Knudsen : déplacement dans des conduites de diamètre équivalant

à celui des molécules diffusantes ;– le déplacement par flux capillaire en plus de la diffusion Fickienne.

Par hypothèse, on pose souvent le déplacement de l’eau comme le résultat d’unediffusion de Fick simple, avec une diffusivité (diffusivité effective) sensiblement dif-férentes dans sa signification : elle unifie l’ensemble des déplacements sous la loi deFick au lieu de quantifier l’impact de ce phénomène seul.

8. Facteurs de variationLe facteur prépondérant dans le déplacement de l’eau est la structure physique duproduit dans lequel elle se déplace (figure 2). La constitution chimique joue elleaussi un rôle important, particulièrement pour la matière grasse (hydrophobe) ou lessucres (création de gradient de pression osmotique et surtout colmatage des pores etaugmentation de la viscosité de l’eau).

Pulvérulent

10-08

Figure 2 – Schéma de l’évolution de la diffusivité en fonction de la teneur en eau dedifférents types d’amidon. D’après Saravacos et Maroulis, 2001.

D’autre part, on considère généralement que la diffusivité augmente avec la tem-pérature suivant une loi d’Arrhénius. Le paramètre est l’énergie d’activation de ladiffusion (équivalente à l’énergie de liaison de l’eau avec le substrat).c ©

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Comme on le voit plus loin, la teneur en eau du milieu joue un rôle important dansla diffusion de l’eau. En effet, on observe des variations importantes de la diffusivitéde l’eau en fonction de la teneur en eau du produit.

Pour les solides poreux. Il est d’usage de poser la diffusivité effective pour les solidesporeux par la formule 6.

Deff 5´

tD avec ´ : porosité du milieux

t : tortuosité du milieux(6)

Cependant, les mesures de porosité et de tortuosité du milieu ne sont pas faciles àeffectuer, ce qui impose une mesure directe de la diffusivité effective.Il apparaît que la teneur en eau joue un rôle important, principalement par les mo-difications structurelles qu’elle entraîne. La porosité réapparaît comme le paramètreprincipal car elle détermine le poids relatif des différents phénomènes de transport(cf. figure 3).

X kg

Dm2.s-1

Figure 3 – Évolution de la diffusivité en fonction de teneur en eau dans un solide poreux.Pour de faible concentration en eau. A : diffusion liquide et flux capillaire. B : diffusion de

vapeur et flux capillaire. C : désorption de l’eau des polymères du produit. D’aprèsSaravaros et Maroulis, 2001.

Pour les gels (milieux continus structurés par des macromolécules), les variationsde teneur en eau mettent en jeu différents types d’eau en fonction de leur liaison àla matrice. A haute teneur en eau, l’eau se déplace librement dans la structure duproduit. Quand la quantité d’eau diminue, cette eau disparaît en premier et il nereste plus que l’eau interfaciale, plus liée à la structure du gel. Pour les teneurs en eaufaibles, l’eau restante est liée à la structure par des liaisons hydrogène, sa migrationest très limitée, ce qui diminue encore la diffusivité.Les produits alimentaires sont rarement purement gélatineux ou purement poreux etl’on considère en général une association des deux types de structure.

Pour les polymères. La diffusivité de l’eau dans les polymères est détaillée dansle tableau 5. Dans ces produits, l’eau se comporte comme un soluté gazeux et lesexplications données dans la partie 0 sont aussi valables pour l’eau.




9. Méthode de mesureLa diffusivité est en général calculée à partir de données produites par des expé-riences. Plusieurs méthodes se détachent pour mesurer la diffusivité de l’eau (Roques1987) :– L’étude de l’évolution de la teneur en eau d’un échantillon lors d’une expérience

de séchage.– L’étude de l’évolution de la teneur en eau lors d’expérience de sorption — désorp-

tion.– L’étude des profils d’humidité dans deux cylindres de produit d’Aw différentes

accolés (figure 1).– La mesure directe par résonance magnétique nucléaire (RMN) qui permet de

suivre en direct les profils de teneur en eau dans le solide.

Les expériences à base de séchage sont effectuées en aménageant les conditions d’ex-périence pour maximiser l’importance de la diffusion, jusqu’à ce que les autres fac-teurs soient négligeables. Pour la sorption, on peut effectuer une série de petit palierd’Aw pour avoir la variation de la diffusivité en fonction de la teneur en eau.Dans tous les cas, les données sont ensuite analysées selon différents modèles mathé-matiques qui permettent de remonter jusqu’aux valeurs de la diffusivité de l’eau enfonction de la teneur en eau.Ce type de mesure pose le problème de l’évolution du produit en cours d’expérience.Ainsi dans le cas de séchage à l’air chaud, outre la variation de teneur en eau, onobserve des fissurations de la structure du solide en fin de séchage, ce qui perturbe lamesure. En revanche, on peut facilement balayer de grandes plages de teneur en eaupour chaque produit (et donc différents types de structure).D’autre part, on montre que pour un même produit, les différentes méthodes, voireles différents modèles mathématiques donnent des valeurs (et des évolutions avec lateneur en eau) différentes Zogzas (1996) comme sur l’exemple donné sur la figure 4.

Figure 4 – Évolution de la diffusivité de l’eau avec la teneur en eau À gauche, différentesévolutions trouvées dans la littérature pour le maïs (D’après Zogzas et al. 1996). Chaquecouleur représente les résultats d’une étude. À droite, diffusivité de l’eau en fonction de

la teneur en eau pour la pomme à différentes températures (D’après Saravacos etMaroulis 2001).

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10. ExemplesComme exprimée dans la partie précédente, la diffusivité de l’eau dans les produitsalimentaires complexe est peu connu et seul des plages de valeurs peuvent être don-ner. Si des valeurs plus précises sont nécessaires, une bibliographie des études doitêtre effectuée, les relevés de Saravacos et Maroulis fournissant une bonne base (unesélection extraite de ces valeurs est donnée par le tableau 7).Enfin, pour des produits ou des conditions plus spécifiques, des mesures doiventêtre effectuées afin de trouver des valeurs de référence. La méthodologie employée(discuté dans Roques 1987) devra correspondre à l’opération envisagée afin d’être leplus proche possible de la valeur utile.

Tableau 7 – Diffusivité de l’eau dans différents produits alimentaires. D’après Saravacoset Maroulis, 2001.

Produit Teneur en eau(kg eau/kg MS)

Températureen ◦C

Diffusivité3 10−9m2.s−1

Amidon de maïs – 30 0,189 – 0,26

Amidon – gluten gélatinisé 0,09 – 0,2 74 0,022 – 0,04

Amidon – gluten non-gélatinisé 0,09 – 0,2 74 0,019 – 0,032

Pain 0,67 80 50

Endosperme de riz brun 0,24 30 – 50 0,0436 – 0,0964

Riz échaudé 0,51 – 0,53 50 – 100 0,212 – 0,484

Endosperme de blé 0,5 30 0,19

Lentille 0,12 – 0,24 30 – 50 0,0143 – 0,0317

Pois 0,5 – 1,5 30 – 65 0,11 – 0,44

Flageolet 0,15 – 0,4 35 – 65 33,3 – 55,6

Lait en poudre (écrémé) 0,12 25 0,021

Œuf 1 33 – 40 0,0103 – 0,0203

Filet de morue – 30 0,34

Maquereau – 30 0,035

Carcasse de bœuf, os – – 0,00548

Carcasse de bœuf, gras – – 0,0307

Carcasse de bœuf, muscle – – 0,583

Bœuf haché 0,16 25 0,03

En ce qui concerne les végétaux (en particulier les légumes), les travaux utilisés dansles industries du bois peuvent être regardés avec intérêt. En effet, ces industries ontdéveloppé de bons modèles pour la diffusion de l’eau dans le bois, en fonction del’orientation des fibres et de l’espèce.

Références

BRANDSCH, J., PIRINGER, O.-G. Characteristics of plastic materials. In Plastic Pa-ckaging Materials for Food. Barrier function, mass transport, quality assurance, and legis-lation. O.-G. Piringer, A.L. Baner (eds.).2000. Wiley-VCH. ISBN : 3-527-28868-6.

BEGLEY, T.H. Migration from food packaging. Regulatory consideration for es-timating exposure. In Plastic Packaging Materials for Food. Barrier function, mass




transport, quality assurance, and legislation. O.-G. Piringer, A.L. Baner (eds.).2000.Wiley-VCH. ISBN : 3-527-28868-6.CUSSLER E.L., Diffusion Mass Transfer in Fluid Systems. Cambridge Universitypress, 1984.MULTON, J.L., BUREAU, G. L’emballage des denrées alimentaires de grandesconsommations. Lavoisier tech et doc 1989.PIRINGER, O.-G. Permeation of gases, water vapor and volatil organic compounds.In Plastic Packaging Materials for Food. Barrier function, mass transport, qualityassurance, and legislation. O.-G. Piringer, A.L. Baner (eds.).2000. Wiley-VCH.ISBN : 3-527-28868-6.ROQUES, M. Diffusion in foods : the work of COST90bis subgroup. In PhysicalPropertiesof foods. R. Jowit (ed). 1987. Elsevier Applied Science, London. pp13-25,vol. 2.SARAVACOS, G.D. Mass transfert Properties of foods, In Engineering Properties offood. M.A Rao, S.S.H. Riza, A.K. Datte (eds.).2001. p327-380.ZOGZAS, N.P., MAROULIS, Z.B. et MARINOS-KOURIS, D. Moisture diffusivitydata compilation foodstuffs. Drying technology, (1996), 14 (10), 2225-2253.

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