GénéralitésHydrostatique

Cours de Mécanique des fluides

Olivier LOUISNARD

• pas de forme propre• s’écoule si on lui applique une force• prend la forme du récipient

Limite solide / fluide parfois floue :

• dépend de la dynamique de la sollicitation (sable mouillé, polymères, pâtes)

• états semi-ordonnés (ou « indécis »)(verre et liquides vitreux, cristaux liquides, colloïdes)

• dépend de l’échelle de temps considérée (glacier)

• Les molécules interagissent (peu pour les gaz)• Gardent une certaine mobilité les unes par rapport aux autres.• Pas d’ordre comme dans un solide (ordre local pour les liquides)

Qu’est-ce qu’un fluide ?

Monophasiqueseau, air, huile, métaux fondus, ...

Multiphasiques• aérosols = L ou S dans V (brouillard, essence dans carburateur, fumée)• émulsions = L dans L (lait, vinaigrette, anisette, shampoing...)• suspensions = S dans L (pâtes, boues)• liquides à bulles = G dans L (sodas, surface de l’océan, distillation,

fluides de refroidissement, mousses)

« Complexes »• magma, plasmas, ferrofluides (propriétés magnétiques)• polymères, micelles, cristaux liquides (molécules 1D ou 2D...)• milieux granulaires (sable, poudres)

Quelques fluides

Ferrofluides

Lait Liquide à bulles Sang

Cristaux liquides

Quelques fluides complexes

On cherche à représenter ce que l’on voit par des variables et des

équations continues / à x,y,z.

On veut donc « gommer » les inhomogénéités microscopiques

=> homogénéisation

Si possible un modèle valable pour gaz ET liquides

• Atomes ou molécules + ou - libres les uns / aux autres• Liquide = fort encombrement / interactions forte• Gaz = faible encombrement / interactions quasi nulles

Microscopique : ce qu’on ne voit pas directement

• un fluide apparaît comme un milieu continu• il exerce/subit des forces sur/par notre environnement

Macroscopique : à notre échelle

Description macroscopique d’un fluide

Echelle macroscopique (km)

x

(x) = ? (en nbre de voitures / km)

x

Echelle microscopique (m)

dx petit du point de vue macro

Suffisamment petit : pas devariation de densité à cette échelle

L grand du point de vue micro

Suffisamment grand : doit contenirun nombre suffisant de voitures

Volume de moyennage

Homogénéisation

Echelle mésoscopique (50 m)

Echelle microscopique

Masse volumique (kg/m3) Champ de vitesses

et v grandeurs continues (et dérivables...) / à x, y, z

Pas toujours vrai .... (ondes de chocs, vides poussés)

Echelle macroscopique

Masse volumique (x,y,z) = ? (kg/m3)

Echelle mésoscopique

(x,y,z) mi

Vitesse v (x,y,z) = ?

Comment définir une densité et une vitesse v variant continument / x,y,z ?

(x,y,z)

Le fluide comme un milieu continu

Remarque : V peut être fixe ou mobile (par rapport à nous)

G(t) grandeur extensive contenue dans V (c.a.d. G augmente avec le nombre de molécules)

Masse de fluide dans V

Quantité de mouvement de V

Energie cinétique de V

Energie interne de V

grandeurs locales (définies en chaque point)

grandeurs globales (représentent tout le volume V)

donc

On définit : grandeur volumique

Milieu continu : grandeurs volumiques

(x,y,z,t) en kg/m3

A priori non uniforme dans l’espace

Varie avec la température (même pour un liquide) : dilatabilitéVarie avec la pression (peu pour un liquide) : compressibilité

Eau 1000 kg/m3

Mercure 13540 kg/m3

Air (20°C, 1 bar) 1.3 kg /m3

Masse de fluide dans V

Une approximation bien utile : = 0 constant par rapport à t et x, y, zConditions de validité : plus tard (amphi 4, poly chapitre 5)

le fluide incompressible

Masse volumique

• pression• frottement visqueux (seulement si fluide en mouvement)

Forces surfaciques ou « de contact » exercées sur chaque élément de surface dS

dS

• poids, • forces d’inertie (référentiel non-galiléen), • forces électriques, magnétiques …

Forces volumiques exercées sur chaque élément de volume dV

dV

Forces exercées sur un fluide

S

Fp1

Fp2

Fp est en fait la résultante de 2 forces Fp1 et Fp2

h

Liquide en équilibre mécanique

P =mg

• vers le haut•

donc proportionnelle à S

Equilibre :

• Fp1 et Fp2 orthogonales à S1, S2

• Fp1 et Fp2 vers l’intérieur de V

S2

S1

n1

n2

On écrit donc :

p1 et p2 pressions, positivesn1 et n2 normales sortantes

Une force Fp vers le hautcompense le poids

Forces de pression: approche intuitive

PRESSION = Echange de quantité de

mouvement avec les molécules

Système subissant la pression

n

dS

Fp= - p n dS

Pour un gaz, c’est simple…

Origine microscopique de la pression : gaz

Pression dans un gaz

Réalisé (par votre serviteur…) avec un petit logiciel « gadget »

Pour les liquides, pression aussi liée aux chocs …… mais plus compliqué

Forces attractives et répulsives

Origine microscopique de la pression : liquide

=> liquides peu compressibles : distance intermoléculaire ~constante

Attractive=> un liquide a une « cohésion »=> on peut « tirer dessus » sans le déchirer => pressions négatives=> il peut s’accrocher à / s’étaler sur des solides (capillarité, mouillage)

V

S

Expression générale : on considère un volume V fermé par une surface S

Sfermée

n dS = 0,Remarque importante : en vertu du théorème de la normale

S

dFpFp =

ndS

ndS

découpée en petits éléments de surface dS, de normale sortante n

Fp =

S

-pn dS

A retenir

dFp= -pn dS

Force de pression

S

Fp = - (p-p0) n dS on peut ajouter ou soustraire une constante arbitraire à p :

Poids :

V

P = g dVV

V

Fie+Fic = -(ae+ac) dV

Forces électriques et magnétiques :(pour info : plasmas, magma, ferrofluides)

Obtenues de la même façon.Responsables du champ magnétique terrestre (magnéto-hydrodynamique)

somme des poids élémentaires dm g = dVg de toutes les particules fluides dV

dV

dV gsomme des forces d’inertie élémentaires -dm (ae+ac) = -dV (ae+ac) de toutes les particules fluides dV

-dV (ae+ac)

Attention !a priori (x,y,z)

Forces volumiques

Forces d’inertie :(en référentiel non

galiléen)

(cf. rappel annexe poly)

Décrit un fluide immobile (dans un référentiel galiléen ou non)

Equilibre entre :

V

S dS

n

Forces volumiques

V

P = g dV

P

Forces de pression

Fp =

S

-p.n dS

Fp

S

-p.n dS +

V

g dV = 0 A retenir !!Fp+ P = 0

Hydrostatique : équation globale

Pour le montrer, on va réécrire l’équation de l’hydrostatique sous forme locale (= exprimée en tout point)

• Elle est donc toujours dirigée vers le hautC’est la poussée d’Archimède !

• La pression est donc plus grande en profondeur

Vn

dS

La résultante des forces de pressionFp =

S

-p.n dS

Fp

Variation spatiale de la pression

P

équilibre le poids P

S

-p.n dS +

V

g dV = 0

g dV = 0, vrai quel que soit V-grad p dV +

V

Donc :

V

grad p = g A retenirL’intégrande doit être nul, donc

Or (formule de Green):

S

-p.n dS = -grad p dV

V

Hydrostatique : équation locale

grad p = g

• Peut être intégrée pour trouver le champ de pression p(x,y,z) dans un fluide au repos

• Condition aux limites : p = patm sur la surface de contact avec l’air

• Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont perpendiculaires à g(car grad p = vecteur perpendiculaire à p = cte)

• La pression augmente quand on se dirige dans le sens de g(c’est le problème du plongeur)

• La pression diminue quand on se dirige en sens inverse de g(mal de l’altitude, pressurisation des cabines d’avion)

Hydrostatique : conséquences

Le fluide est immobile par rapport à un référentiel R’ qui accélère / R

• une cuve ou un verre dans un véhicule qui freine/accélère (ae horizontal)• miroirs liquides (cf. TD), centrifugeuses (ae radial)• expériences en gravité zéro (ae = g)

Fp+ P + Fie= 0

• Il faut ajouter la force d’inertie d’entraînement • La force de Coriolis est nulle en statique car le fluide est immobile

S

-p.n dS + g - ae)dV = 0

V

Tout revient à remplacer g par la « pesanteur apparente » g - ae

V

Fieae dV Fic

Hydrostatique en référentiel non galiléen

Sous forme locale : grad p = (g -ae)

Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont maintenant perpendiculaires à g - ae

S

-p.n dS + (g -ae) dV = 0

V

Sous forme globale :

Les équations sont les mêmes en remplaçant g par g - ae

Hydrostatique en référentiel non galiléen

On peut simuler l’apesanteur en prenant ae = g

Fluideimmobile

VSCorpsétranger(pas en équilibre)

• Rappel : Ce n’est rien d’autre que la résultante des forces de pression.• On cherche en général la force exercée sur un corps étranger au fluide

(solide ou bulle dans liquide, ballon d’hélium dans l’air...)

Fp= ?Fluideimmobile

VS

Fluideen

équilibre

On remplace par du fluide

L’équilibre dans le deuxième cas montre que Fp= fluideVg

fluideVg

Fp

Le champ de pression est le même dans les deux cas, donc Fp aussi.

Force d’Archimède

VSCorpsétranger

Fp= fluideVg

Pcorps= corpsVg

Deux cas possibles• corps fluide : il descend• corps fluide : il monte

Pcorps+ Fp = (corpsfluide)Vg ≠ Le corps n’est pas en équilibre !

Force sur un corps dans un fluide statique

V

Le corps est moins dense :fluide>corps

Iceberg

On peut généraliser le raisonnement à un objet partiellement immergé.

On retiendra : Fp= fluideVimmergé gDans ce cas l’équilibre est possible :

Vimmergé

Vimmergé < V

Pcorps+ Fp = 0 =>

V

Le corps est pourtant plus dense : corps >fluide

Bateau en alu

Vimmergé

mais V < Vimmergé

corpsVfluideVimmergé

Et pourtant, il flotte...

On définit la densité d’un corps par :

d = corps/ eau si solide ou liquide

d = corps / air (20°C,1 atm) si gaz

Densité

Masse volumique :

Pression atmosphérique :

1 atm = 1,01325 bar = 101325 Pa = 760 torr = 14,70 psi

unité SI : kg / m3

unité SI : N / m2 = kg m-1 s-2 = Pa (Pascal)• 1 bar = 100 kPa• 1 torr = 1 mm Hg• 1 psi = 1 pound / square inch

Pression p :

Rappel sur les unités

V

S

A

dSn

M

ndS

M

Utile pour les problèmes de stabilité / à la rotation.

dFp= pn dS

S

MA(Fp) = AM dFp

AM

Moment total en A de Fp = somme des moments élémentaires en A des dFp

S

MA(Fp) = AM pn dSsoit :

Le second théorème de la normale permet de retrancher une constante à p :

S

MA(Fp) = AM (p-p0) n dS

Moment des forces de pression

Centre de poussée d’Archimède

En particulier, on peut définir le centre de poussée C (ou centre de carène)d’un volume V immergé totalement ou non.

C’est le point C tel que MC(Fp) = 0.

Simmergée

0 = CM pn dSsoit :

On montre que :

Le centre de carène C est le centre de gravité du volume immergé

• Intégration de l’équation de l’hydrostatique

- dans un liquide incompressible- dans l’atmosphère- dans en liquide en référentiel non galiléen

• Mesure de la densité avec un tube en U

Exercices d’application de l’hydrostatique